极大熵法在几何量测量不确定度评定中的应用

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摘 要 : 为提高新一代 GPS标准体系中几何量测量不确定度的评定精度 ,提出了一种基于极大熵检验 的曲线拟合方法 。该方法根据极大熵原理 ,将极大熵函数法应用到几何量测量要素操作的拟合中 ,把曲 线拟合转化为光滑函数优化问题进行求解 。最后以圆度为例 ,利用极大熵法和最小二乘法对测量数据 进行了处理 。对比结果表明 ,该方法简单易行 ,精度高 ,符合新一代 GPS标准的要求 。 关键词 : 极大熵 ; GPS; 测量不确定度 中图分类号 : TG801; TH124 文献标识码 : A 文章编号 : 1008 - 5300 ( 2008 ) 01 - 0030 - 04
( 5)
3 极大熵法在圆度检验中的应用实例
根据新一代 GPS 标准要求 , 几何量检验最后结 果 ,在给定检验结果的同时 ,还应给出检验结果的不确 定度值 ,以提高检验结果的准确性
[4]
( 2 )以 α 为初始点 ,调用 B FGS拟牛顿法求解无
( k)
约束非线性规划问题 :
m in Fp (α) = 1
p i =1
Σ ln{ exp〔 p ( f ( xi ) - yi ) 〕+
exp〔- p ( yi - f ( xi ) ) 〕 }
( 3)
n
。下面以圆度为
例介绍下极大熵方法在提高检验结果精度方面的应 用。
3. 1 圆度检验的不确定度评定方法
得到最优解 α ; ( k + 1) ( k + 1) ( 3 )若 ‖ Φ (α ) ‖ <ε, 停止 , 否则 - Fp (α 转 (4) ; ( 4 )若 pk < p, 则另 pk + 1 = l・pk ,否则 pk + 1 = pk , k =
。
几何量的曲线拟合是几何量测量不确定度评定中 一个不可缺少的环节 , 其中圆度的评定问题是实际应 用中较多的一种 。文中以圆度的不确定度评定为例 , 得到一些测量数据 ,然后针对测量数据的某些规律拟
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收稿日期 : 2007 - 12 - 18 基金项目 :广西自然科学基金 (0640166) ;广西教育厅科研项目 (200508032) ;广西高校百名中青年学科带头人资助计划项目 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
[2]
合出所需要的理想曲线 , 从而来预测其它未知问题 。 在实际问题中 ,为了求得圆度回归参数的大小 ,最常用 的方法是最小二乘法 。采用最小二乘法估计其回归参 数具有良好的统计性质 ,如无偏性 、 一致性和最小方法 性 ,然而拟合中测量数据千差万别 , 例如对测量数据 的概率分布偏离正态分布 , 此时采用最小二乘法的回 归分析结果就失去其良好的统计特性 。因此研究一种 用于测量数据拟合的通用算法 , 显得十分重要 。根据 Jaynes提出的极大熵原理 , 文中给出了一种测量不确 定度评定方法 ,该方法将极大熵函数应用到数据拟合 中 ,并成功地应用到圆度的检验中 ,最后将评定结果与 应用最小二乘法得到的数据进行了对比 。计算结果表 明 ,该方法能够准确地进行圆度曲线拟合 ,对提高新一 代 GPS中不确定度的评定精度具有重要作用 。
( 6 ) 中每一个元素 x1 , y1 , x2 , y2 , a 和 b 的不确定度及
其中 :
p = x1 - a ( x1 - a ) ( x2 - a ) ( x1 - a ) ( x2 - a )
2 2
+ ( y1 - b) + ( y2 - b) + ( y1 - b)
;
其传递系数 。每一个元素的传递系数如下 : δ 5 = 5x1 δ 5 = 5x2 δ 5 = 5y1 δ 5 = 5y2 δ 5 = 5a
( k + 1)
对于图 1 所示的圆度的检验 , 假设在取样点极大 熵圆的圆心距离最大的点为 ( x1 , y1 ) , 距离最小的点为
( x2 , y2 ) ,则圆度检验结果的不确定度可以表示为 :

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R , k = 0;
n
Φ (α) = Σ | f ( xi ) - yi |
i =1
n
从而确定未知参数 。 ( 4 )求值 。根据拟合公式 , 给定采样点到拟合方 程的距离为 :
di = ( xi - a )
2
+ ( yi - b )
2
- r
( 4)
得出圆度检验的结果为 : δ = m ax ( di ) - m in ( di )
i =1 n
α 1 ,α 2 , …, α n , 记α = (α 1 ,α 2 , …, α n ) , 令Φ (α) = Σ
| f ( xi ) - yi | ,则该问题可转化为利用极大熵函数法求
n
i=1
Φ (α) 。由于 解 m in Φ (α) = Σ | f ( xi ) - yi | =
第 1期
孙永厚 ,等 : 极大熵法在几何量测量不确定度评定中的应用
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1 极大熵法曲线拟合的基本原理
已知一组几何量的测量数据 ( xi , yi ) ( i = 1, 2, …,
n ) , 首先描绘出该组测量数据的散点图 , 估计出测量
k + 1, 转 ( 2 ) 。
2 极大熵法几何量检验的基本步骤
电 子 机 械 工 程
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Electro - M echan ica l Eng in eer i ng
2008 年第 24 卷第 1 期 2008. Vol . 24 No. 1
极大熵法在几何量测量不确定度评定中的应用
孙永厚 ,周洪彪 ,黄美发 ,匡 兵
(桂林电子科技大学机电工程学院 , 广西 桂林 541004 )
则应用极大熵函数可以表示为 :
Fp (α) =
1
p i =1
Σ ln{ exp〔 p ( f ( xi ) - yi ) 〕+
exp〔- p ( yi - f ( xi ) ) 〕 }
( 2)
n
其中 p > 0 为控制参数 , 且 Fp (α) 与 yi = f ( xi ) ( i = 1, 2, …, n ) 具有同阶光滑性 。通过控制参数 p 的调节 , 可 Φ (α) - Fp (α) ‖ 使 Fp (α) 充分近似函数 Φ (α) , 当 ‖ 满足一定精度时 , 可把 α作为 Φ (α) 的最优解 , 因此设 ( ) ( ) Φ (α k + 1 - Fp (α k + 1 ) ‖ <ε[ 3 ] 。 Fp 置终止条件为 ‖ (α) 是 Φ (α) 的一个近似函数 , 从而曲线拟合问题转 化为无约束光滑函数优化问题来进行求解 , 克服了 Φ (α) 不可微的缺陷 。 求解无约束非线性优化问题基本算法如下 : ( ) ( 1 )给定充分大的 p > 0, l > 1,ε > 0, 初始点 α 0 ∈
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电子机械工程
第 24 卷
δ = d1 - d2 =
( x2 - a )
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( x1 - a )
2
+ ( y1 - b)
2
2
( 6)
( p - q) ua + ( m - n ) ub +
2
2
2
2
+ ( y2 - b)
[1]
2 ( p - q) ( m - n )ρ ab uab
( 14 )
由 ISO / TS 14253 - 1 给出的不确定度传递公式 可知 ,计算圆度检验结果 δ 的不确定度时 , 必须确定式
i =1 n n
图 1 几何量检验要素操作基本步骤
( 2 )提取 。提取是从分离出来的非理想要素中得
Σ m ax{ f ( xi ) - yi , yi - f ( xi ) }
i =1
( 1)
到一系列特定点的一种操作 ,如图 1 ( b ) 和 ( c ) 所示 。 ( 3 )拟合 。拟合是依据特定准则用理想要素逼近 非理想要素的一种操作 ,如图 1 ( c ) 和 ( d ) 所示为圆 度的拟合 。利用极大熵法拟合出来的圆 , 我们称作极 大熵圆 ,其拟合规则是每一个测量点到极大熵圆的距 离为最小 ,即 :
The App lication of Maxi m um Entropy Verification Method in Geometrical ParametersMeasurement Uncertainty Esti m ation
SUN Yong2hou, ZHOU Hong2biao, HUANG M ei2fa, KUANG B ing
( S chool of M echan ica l and E lectrica l Eng ineering, Gu ilin U n iversity of E lectron ic Technology, Gu ilin 541004, Ch ina )
Abstract: In order to i m p rove the evaluation p recision of the geometrical param eters measurement uncertainty in new generation GPS standard system , a maxim um entropy verification method of curve fitting is p roposed in this paper . According to the maxim um entropy p rincip le, maxim um entropy function m ethod is app lied to geo2 m etrical parameters elements operation fitting, and transfor m ed the curve fitting into the p roblem of smooth function op tim ization to calculate. Finally, taking roundness as an examp le, the m easured data were disposed by using m axi m um entropy and least - square method, The result in comparison indicated that this method is sim p le, p racticable , high accuracy and accordant w ith new generation GPS standard. Key words: maxim um entropy; Geometrical Product Specification ( GPS) ; measurement uncertainly