2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(三十一) 不等式的性质及一元二次不等式

【通用版】2018-2019学年高中理数新创新一轮复习课时达标检测五函数的单调性与最值含解析

课时达标检测（五）函数的单调性与最值[小题对点练——点点落实]对点练(一) 函数的单调性1．(2018·阜阳模拟)给定函数①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：选B ①y ＝x 12在(0,1)上递增；②∵t ＝x ＋1在(0,1)上递增，且0<12<1，故y ＝log 12(x ＋1)在(0,1)上递减；③结合图象可知y ＝|x －1|在(0,1)上递减；④∵u ＝x ＋1在(0,1)上递增，且2>1，故y ＝2x ＋1在(0,1)上递增．故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.2．(2018·天津模拟)若函数f (x )满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝(x －1)2B ．f (x )＝e xC ．f (x )＝1xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C 根据条件知，f (x )在(0，＋∞)上单调递减．对于A ，f (x )＝(x －1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除A ；对于B ，f (x )＝e x 在(0，＋∞)上单调递增，排除B ；对于C ，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，C 正确；对于D ，f (x )＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D.3．(2018·宜春模拟)函数f (x )＝log 3(3－4x ＋x 2)的单调递减区间为( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，1)，(3，＋∞) C ．(－∞，1)D ．(－∞，1)，(2，＋∞)解析：选C 由3－4x ＋x 2>0得x <1或x >3.易知函数y ＝3－4x ＋x 2的单调递减区间为(－∞，2)，函数y ＝log 3x 在其定义域上单调递增，由复合函数的单调性知，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，1)，故选C.4．(2018·贵阳模拟)下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是( ) A ．y ＝－2x ＋1 B ．y ＝1x C ．y ＝lg xD ．y ＝x 3解析：选B y ＝－2x ＋1在定义域上为单调递减函数；y ＝lg x 在定义域上为单调递增函数；y ＝x 3在定义域上为单调递增函数；y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为单调递减函数，但在定义域上不是单调函数．故选B.5．若函数f (x )＝8x 2－2kx －7在[1,5]上为单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，8]B ．[40，＋∞)C ．(－∞，8]∪[40，＋∞)D ．[8,40]解析：选C 由题意知函数f (x )＝8x 2－2kx －7的图象的对称轴为x ＝k8，因为函数f (x )＝8x 2－2kx －7在[1,5]上为单调函数，所以k 8≤1或k8≥5，解得k ≤8或k ≥40，所以实数k的取值范围是(－∞，8]∪[40，＋∞)．故选C.6．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 2－x x ＋3在(－∞，m )上单调递减，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．[－2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2]解析：选D ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，∴f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 2－x x ＋3＝(x －1)(x ＋3)－2×(－x )＝x 2＋4x －3＝(x ＋2)2－7，∴f (x )的单调递减区间为(－∞，－2)， ∵函数f (x )在(－∞，m )上单调递减，∴(－∞，m )⊆(－∞，－2)，即m ≤－2.故选D. 对点练(二) 函数的最值1．已知a >0，设函数f (x )＝2 018x ＋1＋2 0162 018x ＋1(x ∈[－a ，a ])的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝( )A ．2 016B ．2 018C ．4 032D ．4 034解析：选D 由题意得f (x )＝2 018x ＋1＋2 0162 018x ＋1＝2 018－22 018x＋1.∵y ＝2 018x ＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，∴f (x )＝2 018－22 018x ＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，∴M ＝f (a )，N ＝f (－a )，∴M ＋N ＝f (a )＋f (－a )＝4 036－22 018a ＋1－22 018－a ＋1＝4 034.2．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x在区间(1，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数解析：选D 由题意知a <1，又函数g (x )＝x ＋ax －2a 在[|a |，＋∞)上为增函数，故选D.3．(2018·湖南雅礼中学月考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(0,2]C ．[2，＋∞)D ．(1,2 2 ]解析：选A 当x ≤2时，－x ＋6≥4.当x >2时，⎩⎪⎨⎪⎧3＋log a x ≥4，a >1，∴a ∈(1,2]，故选A.4．(2018·安徽合肥模拟)已知函数f (x )＝(x 2－2x )·sin(x －1)＋x ＋1在[－1,3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝( )A ．4B ．2C ．1D ．0解析：选A 设t ＝x －1，则y ＝(x 2－2x )sin(x －1)＋x ＋1＝(t 2－1)sin t ＋t ＋2，t ∈[－2,2]．记g (t )＝(t 2－1)sin t ＋t ＋2，则函数y ＝g (t )－2＝(t 2－1)sin t ＋t 是奇函数．由已知得y ＝g (t )－2的最大值为M －2，最小值为m －2，所以M －2＋(m －2)＝0，即M ＋m ＝4.故选A.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x <1，则f (x )的最小值是________．解析：当x ≥1时，x ＋2x －3≥2x ·2x －3＝22－3，当且仅当x ＝2x ，即x ＝2时等号成立，此时f (x )min ＝22－3＜0；当x ＜1时，lg(x 2＋1)≥lg(02＋1)＝0，此时f (x )min ＝0.所以f (x )的最小值为22－3.答案：22－36．(2018·益阳模拟)已知函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤38，49，则函数g (x )＝f (x )＋1－2f (x )的值域为________．解析：∵38≤f (x )≤49，∴13≤1－2f (x )≤12.令t ＝1－2f (x )，则f (x )＝12(1－t 2)⎝⎛⎭⎫13≤t ≤12，令y ＝g (x )，则y ＝12(1－t 2)＋t ，即y ＝－12(t －1)2＋1⎣⎡⎦⎤13≤t ≤12.∴当t ＝13时，y 有最小值79；当t ＝12时，y 有最大值78.∴g (x )的值域为⎣⎡⎦⎤79，78. 答案：⎣⎡⎦⎤79，78[大题综合练——迁移贯通]1．已知函数f (x )＝ax ＋1a (1－x )(a >0)，且f (x )在[0,1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值．解：f (x )＝⎝⎛⎭⎫a －1a x ＋1a ，当a >1时，a －1a >0，此时f (x )在[0,1]上为增函数，∴g (a )＝f (0)＝1a ；当0<a <1时，a －1a<0，此时f (x )在[0,1]上为减函数，∴g (a )＝f (1)＝a ；当a ＝1时，f (x )＝1，此时g (a )＝1.∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0<a <1，1a ，a ≥1，∴g (a )在(0,1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，又a ＝1时，有a ＝1a＝1，∴当a ＝1时，g (a )取最大值1.2．(2018·衡阳联考)已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．解：(1)证明：设x 1>x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在R 上为减函数．(2)∵f (x )在R 上是减函数，∴f (x )在[－3,3]上也是减函数，∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)．而f (3)＝3f (1)＝－2，且f (0)＋f (0)＝f (0)，∴f (0)＝0，又f (－3)＋f (3)＝f(－3＋3)＝0，∴f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.3．已知f(x)＝xx－a(x≠a)．(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．解：(1)证明：任设x1<x2<－2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1＋2－x2x2＋2＝2(x1－x2)(x1＋2)(x2＋2).∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)上单调递增．(2)任设1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1－a－x2x2－a＝a(x2－x1)(x1－a)(x2－a).∵a>0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤1.综上所述知a的取值范围是(0,1]．。

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课时达标检测（十一）函数与方程[小题对点练——点点落实]对点练(一) 函数的零点问题1．(2018·河北武邑中学基础训练)方程ln(x ＋1)－2x ＝0(x >0)的根存在的大致区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(3,4)解析：选B 令f (x )＝ln(x ＋1)－2x ，则f (1)＝ln(1＋1)－2＝ln 2－2<0，f (2)＝ln 3－1>0，所以函数f (x )的零点所在大致区间为(1,2)．故选B.2．(2018·四川双流中学必得分训练)函数f (x )＝2x ＋2x 的零点所处的区间是( ) A ．[－2，－1] B ．[－1,0] C ．[0,1]D ．[1,2]解析：选B f (－2)＝2－2＋2×(－2)<0，f (－1)＝2－1＋2×(－1)<0，f (0)＝20＋0>0，由零点存在性定理知，函数f (x )的零点在区间[－1,0]上．故选B.3．(2018·云南大理州统测)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >0，－x (x ＋2)，x ≤0的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 当x >0时，令f (x )＝0可得x ＝1；当x ≤0时，令f (x )＝0可得x ＝－2或x ＝0.因此函数的零点个数为3.故选D.4．关于x 的方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ∵a >0，∴a 2＋1>1.而y ＝|x 2－2x |的图象如图所示，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有2个交点，即方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是2.5．函数f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：选B 令2sin πx －x ＋1＝0，得2sin πx ＝x －1，令h (x )＝2sin πx ，g (x )＝x －1，则f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数问题就转化为函数h (x )与g (x )的图象的交点个数问题．h (x )＝2sin πx 的最小正周期为T ＝2ππ＝2，画出两个函数的图象，如图所示，因为h (1)＝g (1)，h ⎝⎛⎭⎫52>g ⎝⎛⎭⎫52，g (4)＝3>2，g (－1)＝－2，所以两个函数图象的交点共5个，所以f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.对点练(二) 函数零点的应用问题1．已知函数f (x )＝log 3x ＋2x －a 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，－log 32)B ．(0，log 52)C ．(log 32,1)D ．(1，log 34)解析：选C ∵单调函数f (x )＝log 3x ＋2x －a 在区间(1,2)内有零点，∴f (1)·f (2)<0，即(1－a )·(log 32－a )<0，解得log 32<a <1，故选C.2．(2018·甘肃天水一中月考)已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋ax 恰有两个零点，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪{1}解析：选C 由题意，显然x ＝1是函数f (x )的一个零点，取a ＝－1，则f (x )＝ln x ＋x 2－x ，f ′(x )＝2x 2－x ＋1x ＝2⎝⎛⎭⎫x －142＋78x>0恒成立．则f (x )仅有一个零点，不符合题意，排除A 、D ；取a ＝1，则f (x )＝ln x －x 2＋x ，f ′(x )＝1－2x 2＋x x ＝(1＋2x )(1－x )x，f ′(x )＝0得x ＝1，则f (x )在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，f (x )max ＝f (1)＝0，即f (x )仅有一个零点，不符合题意，排除B ，故选C.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2 017x ，x >1，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a＋b ＋c 的取值范围是( )A ．(1,2 017)B ．(1,2 018)C ．[2,2 018]D ．(2,2 018)解析：选D 作出函数f (x )的图象与直线y ＝m ，如图所示，不妨设a <b <c ，当0≤x ≤1时，函数f (x )的图象与直线y ＝m 的交点分别为A ，B ，由正弦曲线的对称性，可得A (a ，m )与B (b ，m )关于直线x ＝12对称，因此a ＋b ＝1，当直线y ＝m ＝1时，由log 2 017x ＝1，解得x ＝2 017.若满足f (a )＝f (b )＝f (c )，且a ，b ，c 互不相等，由a <b <c 可得1<c <2 017，因此可得2<a ＋b ＋c <2 018，即a ＋b ＋c ∈(2，2 018)．故选D.4．(2018·孝感模拟)若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，14B.⎝⎛⎭⎫－14，12 C.⎝⎛⎭⎫14，12D.⎣⎡⎦⎤－14，12 解析：选C依题意并结合函数f (x )的图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，[m －2－m ＋(2m ＋1)](2m ＋1)<0，[m －2＋m ＋(2m ＋1)][4(m －2)＋2m ＋(2m ＋1)]<0，解得14<m <12.5．(2018·广东七校联合体联考)若函数f (x )＝2x ＋a 2x －2a 的零点在区间(0,1)上，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，12 B ．(－∞，1) C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D ．(1，＋∞)解析：选C 易知函数f (x )的图象连续，且在(0,1)上单调递增．∴f (0)f (1)＝(1－2a )(2＋a 2－2a )<0，解得a >12.6．已知x 0是f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1x 的一个零点，x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0 B ．f (x 1)>0，f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)<0，f (x 2)>0解析：选C 在同一坐标系下作出函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，f (x )＝－1x 的图象(图略)，由图象可知当x ∈(－∞，x 0)时，⎝⎛⎭⎫12x >－1x ；当x ∈(x 0,0)时，⎝⎛⎭⎫12x <－1x ，所以当x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)时，有f (x 1)>0，f (x 2)<0.7．(2018·龙岩质检)已知f (x )是奇函数，且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是________．解析：令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.答案：－788．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，转化为f (x )－m ＝0的根有3个，进而转化为y ＝f (x )，y ＝m 的交点有3个．画出函数y ＝f (x )的图象，则直线y ＝m 与其有3个公共点．又抛物线顶点为(－1,1)，由图可知实数m 的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)[大题综合练——迁移贯通]1．已知a 是正实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a .如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，求a 的取值范围．解：f (x )＝2ax 2＋2x －3－a 的对称轴为x ＝－12a.①当－12a ≤－1，即0<a ≤12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≤0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥1，∴无解．②当－1<－12a <0，即a >12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝⎛⎭⎫－12a ≤0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12a －3－a ≤0，a ≥1，解得a ≥1，∴a 的取值范围是[1，＋∞)．2．(2018·德州模拟)已知函数f (x )＝－x 2－2x .g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x >0，x ＋1，x ≤0.(1)求g [f (1)]的值；(2)若方程g [f (x )]－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围．解：(1)∵f (1)＝－12－2×1＝－3，∴g [f (1)]＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象，如图所示，由图象可知，当1≤a <54时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫1，54. 3．(2018·信阳模拟)已知函数f (x )＝log 2(2x ＋1)． (1)求证：函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；(2)若g (x )＝log 2(2x －1)(x >0)，且关于x 的方程g (x )＝m ＋f (x )在[1,2]上有解，求m 的取值范围．解：(1)证明：∵函数f (x )＝log 2(2x ＋1)，任取x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝log 2(2x 1＋1)－log 2(2x 2＋1)＝log 22x 1＋12x 2＋1，∵x 1<x 2，∴0<2x 1＋12x 2＋1<1，∴log 22x 1＋12x 2＋1<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增． (2)∵g (x )＝m ＋f (x )， ∴m ＝g (x )－f (x )＝log 2(2x －1)－log 2(2x ＋1) ＝log 22x －12x ＋1＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1，∵1≤x ≤2，∴2≤2x ≤4，∴log 213≤log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1≤log 235，故m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤log 213，log 235.。

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课时达标检测（二十）三角函数的图象与性质[小题对点练——点点落实]对点练(一) 三角函数的定义域和值域) (是的值a －b ，则]b ，a [，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π的定义域为x 2cos ＝y 已知函数)考安徽联·(2018．1 A ．2 B ．3 2＋3C.3－2．D －b ，所以2,1]－[的值域为x 2cos ＝y ，所以函数⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π的定义域为x 2cos ＝y 因为函数 B 选解析：a ＝1－(－2)＝3，故选B.)(为的最大值与最小值分别x 2sin －x 2cos ＝y ．函数2 A ．3，－1 B ．3，－2 C ．2，－1D ．2，－2 ＝y ，1,1]－[∈t ，则x sin ＝t ，令1＋x 2sin －x 2sin －＝x 2sin －x 2sin －1＝x 2sin －x 2cos ＝y D 选解析： 2.－，最小值为2为，所以最大值2＋21)＋t (－＝1＋t 2－2t － )(为的值ab ，则[5,8]的值域是)x (f 时，函数]π，0[∈x ，若b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos2x 2＋sin x a ＝)x (f ．已知函数3 224－42或51－215．A 15－215．B 224－42．C 224＋42或51＋215．D .b ＋a ＋⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4sin a 2＝b ＋)x sin ＋x cos ＋1(a ＝)x (f A 选解析：，5π4≤π4＋x ≤π4∴，π≤x ≤0∵ 0.≠a ，依题意知1≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4sin ≤22－∴ 5.＝b ，3－23＝a ∴⎩⎨⎧ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，时，0>a 当① 8.＝b ，23－3＝a ∴⎩⎨⎧2a ＋a ＋b ＝5，b ＝8，时，0<a 当② 8.＝b ，23－3＝a 或5＝b ，3－23＝a 综上所述， .224－42或51－215＝ab 所以)(1]如例⎩⎪⎨⎪⎧a ，a≤b，b ，a>b.＝b *a 定义运算：)考湖南衡阳八中月·(2018．4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22A. 1,1]－[．B ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1C. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22D. 解析：选D 根据三角函数的周期性，我们只看两函数在一个最小正周期内的情况即可．设x ∈[0,2π]，，x >sin x cos ，时π2≤x <5π4或π4<x ≤0当，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22∈)x (f ，x cos ＝)x (f ，x cos ≥x sin ，时5π4≤x ≤π4当.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22的值域为)x (f 综上知．]1,0－[∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，22∈)x (f ，x sin ＝)x (f ________________.＝x ，此时________为的最大值⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π42cos －3＝y ．函数5 ．)Z ∈k (πk 2＋3π4＝x ，即πk 2＋π＝π4＋x ，此时5＝2＋3为的最大值⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π42cos －3＝y 函数解析： )Z ∈k (πk 2＋3π45答案：对点练(二) 三角函数的性质) (为的单调递增区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 2sin ＝y )考安徽六安一中月·(2018．1 )Z ∈k (⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π12，kπ＋5π12A. )Z ∈k (⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋5π12，kπ＋11π12B. )Z ∈k (⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π3，kπ＋π6C. )Z ∈k (⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋π6，kπ＋2π3D. 5π12＋πk ，即)Z ∈k (3π2＋πk 2≤π3－x 2≤π2＋πk 2∴，⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32sin －＝y 函数可化为∵ B 选解析：．)Z ∈k (11π12＋πk ≤x ≤ 2．(2018·云南检测)下列函数中，存在最小正周期的是( )A ．y ＝sin|x |B ．y ＝cos|x | |x tan|＝y ．C01)＋2x (＝y ．D ＝T ，最小正周期x cos ＝|x cos|＝y ：B ；不是周期函数⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x≥0，－sin x ，x<0，＝|x sin|＝y ：A B 选解析：，无最小正周期．1＝01)＋2x (＝y ：D ；不是周期函数⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，x≥0，－tan x ，x<0，＝|x tan|＝y ：C ；π2 π12＝x 的图象关于直线)<14ω(1<⎝⎛⎭⎪⎫ωx－π43cos ＝)x (f 若函数)模辽宁抚顺一·(2018．3对称，则ω＝( )A ．2B ．3C ．6D ．9 ，即Z ∈k ，πk ＝π4－ωπ12∴对称，π12＝x 的图象关于直线)<14ω(1<⎝⎛⎭⎪⎫ωx－π43cos ＝)x (f ∵ B 选解析：ω＝12k ＋3，k ∈Z .∵1<ω<14，∴ω＝3.故选B.)(＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6f ，则)x －(f ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x f 都有x 对任意)φ＋x ω2sin(＝)x (f 若函数)考福建六校联·(2018．4 A ．2或0 B ．0 C ．－2或0D ．－2或2 ，可知函数图象的一条对称轴为)x －(f ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x f 都有x 对任意)φ＋x ω2sin(＝)x (f 由函数 D 选解析：－或2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6f ∴时，函数取得最大值或者最小值．π6＝x 根据三角函数的性质可知，当.π6＝π3×12＝x 直线 2.故选D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x f，都有x 对任意实数②是偶函数；)x (f ①同时具有以下两个性质：)x (f ．若函数5)(是的解析式可以)x (f 则.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x f ＝ xcos ＝)x (f ．A ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ＝)x (f ．B ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π2sin ＝)x (f ．Cx cos 6＝)x (f ．D 是偶函x cos ＝)x (f ∵对称，π4＝x 数，且它的图象关于直线是偶函)x (f 由题意可得，函数 C 选解析：sin －＝⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ＝)x (f 函数∵A.除对称，故排π4＝x ，不是最值，故不满足图象关于直线22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4f 数，，是最小值，1－＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4f 是偶函数，x cos 4＝⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π2sin ＝)x (f 函数∵B.除是奇函数，不满足条件，故排x 2，不是最值，故0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4f 是偶函数．x cos 6＝)x (f 函数∵满足条件．C 故对称，π4＝x 故满足图象关于直线 D.除对称，故排π4＝x 不满足图象关于直线∈x 对一切⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤)x (f 若.0≠ab ，R ∈b ，a ，其中x cos 2b ＋x sin 2a ＝)x (f 已知)考洛阳统·(2018．6) (是的单调递增区间)x (f ，则0＞⎝ ⎛⎭⎪⎫π2f 恒成立，且R ) Z ∈k (⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π3，kπ＋π6A. )Z ∈k (⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋π6，kπ＋2π3B. )Z ∈k (⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ，kπ＋π2C. )Z ∈k (⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π2，kπD. 是π6＝x ∴，⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤)x (f ∵.b a ＝φtan 中，其)φ＋x sin(2a2＋b2＝x cos 2b ＋x sin 2a ＝)x (f B 选解析：的取值可以φ∴，0＞⎝ ⎛⎭⎪⎫π2f ．又)Z ∈k (πk ＋π6＝φ，)Z ∈k (πk ＋π2＝φ＋π3的图象的一条对称轴，即)x (f 函数k (2π3＋πk ≤x ≤π6＋πk 得)Z ∈k (π2＋πk 2≤5π6－x 2≤π2－πk 2由，⎝⎛⎭⎪⎫2x －5π6sin a2＋b2＝)x (f ∴，5π6是－∈Z )，故选B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0的图象关于)π<θ)(0<θ＋x cos(2＋)θ＋x sin(23＝)x (f 若函数)检河北石家庄一·(2018．7) (是上的最小值⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6在)x (f 对称，则函数 1－．A 3．－B 12．－C 32．－D ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2f ，则由题意，知⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋θ＋π62sin ＝)θ＋x cos(2＋)θ＋x sin(23＝)x (f B 选解析：上是减函数，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4在)x (f ，x 2sin 2－＝)x (f ，所以5π6＝θ，所以π<θ0<又，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋θ＋π62sin B.选，故3＝－π32sin －＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6f 上的最小值为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6在)x (f 函数[大题综合练——迁移贯通].⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π222sin ＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3cos ＝)x (f 设函数)模湖南岳阳二·(2017．1 (1)求f (x )的最小正周期和对称轴方程；的值域．)x (f 时，求⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4∈x 当)(2)π＋x cos(2－1＋x sin 232＋x cos 212＝)x (f (1)解：，1＋⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3sin 3＝1＋x sin 232＋x cos 232＝所以f (x )的最小正周期T ＝π. ，Z ∈k ，π2＋πk ＝π3＋x 2由 .Z ∈k ，π12＋kπ2＝x 得对称轴方程为，5π6≤π3＋x 2≤π3，所以－π4≤x ≤π3因为－)(2 .⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3＋1的值域为)x (f 所以 1.－x 2 cos ＋2)x cos ＋x (sin ＝)x (f 已知函数)拟北京怀柔区模·(2018．2 (1)求函数f (x )的最小正周期；上的最大值和最小值．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4在区间)x (f 求函数)(2 ，⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4sin 2＝x cos2＋x sin 2＝x cos2＋x cos x 2sin ＝1－x cos 2＋2)x cos ＋x (sin ＝)x (f ∵(1)解： .π＝2π2＝T 的最小正周期)x (f 函数∴ .⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4sin 2＝)x (f 可知，)(1由)(2 ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4∈π4＋x 2∴，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4∈x ∵ 1.－，2上的最大值和最小值分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4在区间)x (f 故函数.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1∈⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4sin ∴ ．)R ∈x (x cos 23－x cos x 2sin ＝)x (f 已知函数)模辽宁葫芦岛普通高中二·(2017．3 的值；αcos 2求，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2π3∈α且12＝)α(f 若)(1 的最小值．a 上单调递增，求实数)b <a (]πb ，πa [在)x (f ，且函数b 上的最大值为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2在)x (f 记函数)(2 .⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32sin ＝x cos 23－x sin 2＝)x (f (1)解： .14＝⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3sin ∴，12＝)α(f ∵ ，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2π3∈α∵，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π∈π3－α2∴ .154＝－⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3cos ∴ 32×14－12×154＝－⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3＋π3cos ＝α2 cos ∴ .3＋158＝－∈k ，πk 2＋π2≤π3－x 2≤πk 2＋π2由－.2＝b ∴，[1,2]∈)x (f ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3∈π3－x 2，时⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2∈x 当)(2Z ，.Z ∈k ，πk ＋5π12≤x ≤πk ＋π12得－又∵函数f (x )在[a π，2π](a <2)上单调递增，，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋2π，5π12＋2π⊆]π2，πa [∴ ，π2<πa ≤π2＋π12－∴ .2312的最小值是a 实数∴，2<a ≤2312∴。

2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测直线与圆锥曲线 Word版含解析

课时达标检测（四十七）直线与圆锥曲线[小题常考题点——准解快解]1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．0解析：选A 因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝ba x 平行，所以它与双曲线只有1个交点．2．已知直线y ＝22(x －1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，点M (－1，m )，若MA ―→MA ―→·MB ―→＝0，则m ＝( )A. 2B.22C.12D ．0解析：选B 由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得A (2,22)，B ⎝⎛⎭⎫12，－2，又∵M (－1，m )且MA ―→·MB ―→＝0，∴2m 2－22m ＋1＝0，解得m ＝22. 3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105D.8105解析：选C 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝x ＋t消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0.则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2· ⎝⎛⎭⎫－85t 2－4×4(t 2－1)5＝425·5－t 2，故当t ＝0时，|AB |max ＝4105. 4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b ＞0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y ＝ax 2上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，则m的值为( )A.32B.52 C ．2D ．3解析：选A 由双曲线的定义知2a ＝4，得a ＝2，所以抛物线的方程为y ＝2x 2.因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线y ＝2x 2上，所以y 1＝2x 21，y 2＝2x 22，两式相减得y 1－y 2＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)，不妨设x 1＜x 2，又A ，B 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－1，故x 1＋x 2＝－12，而x 1x 2＝－12，解得x 1＝－1，x 2＝12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝y 1＋y 22＝2x 21＋2x 222＝54，因为中点M 在直线y ＝x ＋m 上，所以54＝－14＋m ，解得m ＝32. 5．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为________．解析：直线l 的方程为y ＝3x ＋1，由⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，得y 2－14y ＋1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝14，∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16.答案：166．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为________．解析：双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线为y ＝ba x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，y ＝x 2＋1，消去y ，得x 2－b a x ＋1＝0有唯一解，所以Δ＝⎝⎛⎭⎫b a 2－4＝0，b a ＝2，所以e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 5.答案： 57．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA ―→·MB ―→＝0，则k ＝________.解析：如图所示，设F 为焦点，易知F (2，0)，取AB 的中点P ，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为G ，H ，连接MF ，MP ，由MA ―→·MB ―→＝0，知MA ⊥MB ，则|MP |＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AG |＋|BH |)，所以MP 为直角梯形BHGA 的中位线，所以MP ∥AG ∥BH ，由|MP |＝|AP |，得∠GAM ＝∠AMP ＝∠MAP ，又|AG |＝|AF |，AM 为公共边，所以△AMG ≌△AMF ，所以∠AFM ＝∠AGM ＝90°，则MF ⊥AB ，所以k ＝－1k MF＝2.答案：2[大题常考题点——稳解全解]1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2,0)，离心率为63.过点F 2的直线l (斜率不为0)与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点，直线OD 交椭圆于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)当四边形MF 1NF 2为矩形时，求直线l 的方程．解：(1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝6，b ＝ 2.故椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1.(2)由题意可知直线l 的斜率存在．设其方程为y ＝k (x －2)，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，N (－x 3，－y 3)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，y ＝k (x －2)得(1＋3k 2)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0，所以x 1＋x 2＝12k 21＋3k 2，则y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－4)＝－4k 1＋3k 2，所以AB 的中点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 21＋3k 2，－2k 1＋3k 2，因此直线OD 的方程为x ＋3ky ＝0(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3ky ＝0，x 26＋y 22＝1解得y 23＝21＋3k 2，x 3＝－3ky 3.因为四边形MF 1NF 2为矩形，所以F 2M ―→·F 2N ―→＝0，即(x 3－2，y 3)·(－x 3－2，－y 3)＝0，所以4－x 23－y 23＝0.所以4－2(9k 2＋1)1＋3k2＝0.解得k ＝±33.故直线l 的方程为3x －3y －23＝0或3x ＋3y －23＝0.2．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，其一个顶点是抛物线x 2＝－43y 的焦点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意得b ＝3，c a ＝12，解得a ＝2，c ＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切，所以直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －2)＋1，得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0.① 因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)＝0，整理，得96(2k ＋1)＝0，解得k ＝－12.所以直线l 的方程为y ＝－12(x －2)＋1＝－12x ＋2.将k ＝－12代入①式，可以解得M 点的横坐标为1，故切点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32. 3．已知过点(2,0)的直线l 1交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于A ，B 两点，直线l 2：x ＝－2交x 轴于点Q .(1)设直线QA ，QB 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值；(2)点P 为抛物线C 上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 交直线l 2于M ，N 两点，OM ―→·ON ―→＝2，求抛物线C 的方程．解：(1)设直线l 1的方程为x ＝my ＋2，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2px ，得y 2－2pmy －4p ＝0，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－4p . k 1＋k 2＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝y 1my 1＋4＋y 2my 2＋4＝2my 1y 2＋4(y 1＋y 2)(my 1＋4)(my 2＋4)＝－8mp ＋8mp(my 1＋4)(my 2＋4)＝0.(2)设点P (x 0，y 0)，直线PA ：y －y 1＝y 1－y 0x 1－x 0(x －x 1)，当x ＝－2时，y M ＝－4p ＋y 1y 0y 1＋y 0，同理y N ＝－4p ＋y 2y 0y 2＋y 0.因为OM ―→·ON ―→＝2，所以4＋y N y M ＝2，即－4p ＋y 2y 0y 2＋y 0·－4p ＋y 1y 0y 1＋y 0＝16p 2－4py 0(y 2＋y 1)＋y 20y 1y 2y 2y 1＋y 0(y 2＋y 1)＋y 20＝16p 2－8p 2my 0－4py 20－4p ＋2pmy 0＋y 20＝－4p (－4p ＋2pmy 0＋y 20)－4p ＋2pmy 0＋y 20＝－2，故p ＝12，所以抛物线C 的方程为y 2＝x .4.如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534，求直线l 的方程．解：(1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题设，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， ∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5.由d <1得|m |<52.(*) ∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y23＝1，得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3. ∴|AB |＝ ⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫－122[m 2－4(m 2－3)] ＝1524－m 2. 由|AB ||CD |＝534得 4－m 25－4m 2＝1，解得m ＝±33，均满足(*)．12x＋33或y＝－12x－33.∴直线l的方程为y＝－。

2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(十一) 函数与方程含解析

课时达标检测（十一）函数与方程[小题对点练——点点落实]对点练(一) 函数的零点问题1．(2018·河北武邑中学基础训练)方程ln(x ＋1)－2x ＝0(x >0)的根存在的大致区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(3,4)解析：选B 令f (x )＝ln(x ＋1)－2x ，则f (1)＝ln(1＋1)－2＝ln 2－2<0，f (2)＝ln 3－1>0，所以函数f (x )的零点所在大致区间为(1,2)．故选B.2．(2018·四川双流中学必得分训练)函数f (x )＝2x ＋2x 的零点所处的区间是( ) A ．[－2，－1] B ．[－1,0] C ．[0,1]D ．[1,2]解析：选B f (－2)＝2－2＋2×(－2)<0，f (－1)＝2－1＋2×(－1)<0，f (0)＝20＋0>0，由零点存在性定理知，函数f (x )的零点在区间[－1,0]上．故选B.3．(2018·云南大理州统测)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >0，－x (x ＋2)，x ≤0的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 当x >0时，令f (x )＝0可得x ＝1；当x ≤0时，令f (x )＝0可得x ＝－2或x ＝0.因此函数的零点个数为3.故选D.4．关于x 的方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ∵a >0，∴a 2＋1>1.而y ＝|x 2－2x |的图象如图所示，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有2个交点，即方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是2.5．函数f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：选B 令2sin πx －x ＋1＝0，得2sin πx ＝x －1，令h (x )＝2sin πx ，g (x )＝x －1，则f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数问题就转化为函数h (x )与g (x )的图象的交点个数问题．h (x )＝2sin πx 的最小正周期为T ＝2ππ＝2，画出两个函数的图象，如图所示，因为h (1)＝g (1)，h ⎝⎛⎭⎫52>g ⎝⎛⎭⎫52，g (4)＝3>2，g (－1)＝－2，所以两个函数图象的交点共5个，所以f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.对点练(二) 函数零点的应用问题1．已知函数f (x )＝log 3x ＋2x －a 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，－log 32)B ．(0，log 52)C ．(log 32,1)D ．(1，log 34)解析：选C ∵单调函数f (x )＝log 3x ＋2x －a 在区间(1,2)内有零点，∴f (1)·f (2)<0，即(1－a )·(log 32－a )<0，解得log 32<a <1，故选C.2．(2018·甘肃天水一中月考)已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋ax 恰有两个零点，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪{1}解析：选C 由题意，显然x ＝1是函数f (x )的一个零点，取a ＝－1，则f (x )＝ln x ＋x 2－x ，f ′(x )＝2x 2－x ＋1x ＝2⎝⎛⎭⎫x －142＋78x>0恒成立．则f (x )仅有一个零点，不符合题意，排除A 、D ；取a ＝1，则f (x )＝ln x －x 2＋x ，f ′(x )＝1－2x 2＋x x ＝(1＋2x )(1－x )x，f ′(x )＝0得x ＝1，则f (x )在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，f (x )max ＝f (1)＝0，即f (x )仅有一个零点，不符合题意，排除B ，故选C.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2 017x ，x >1，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a＋b ＋c 的取值范围是( )A ．(1,2 017)B ．(1,2 018)C ．[2,2 018]D ．(2,2 018)解析：选D 作出函数f (x )的图象与直线y ＝m ，如图所示，不妨设a <b <c ，当0≤x ≤1时，函数f (x )的图象与直线y ＝m 的交点分别为A ，B ，由正弦曲线的对称性，可得A (a ，m )与B (b ，m )关于直线x ＝12对称，因此a ＋b ＝1，当直线y ＝m ＝1时，由log 2 017x ＝1，解得x ＝2 017.若满足f (a )＝f (b )＝f (c )，且a ，b ，c 互不相等，由a <b <c 可得1<c <2 017，因此可得2<a ＋b ＋c <2 018，即a ＋b ＋c ∈(2，2 018)．故选D.4．(2018·孝感模拟)若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，14B.⎝⎛⎭⎫－14，12 C.⎝⎛⎭⎫14，12D.⎣⎡⎦⎤－14，12 解析：选C 依题意并结合函数f (x )的图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，[m －2－m ＋(2m ＋1)](2m ＋1)<0，[m －2＋m ＋(2m ＋1)][4(m －2)＋2m ＋(2m ＋1)]<0，解得14<m <12.5．(2018·广东七校联合体联考)若函数f (x )＝2x ＋a 2x －2a 的零点在区间(0,1)上，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，12 B ．(－∞，1) C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞D ．(1，＋∞)解析：选C 易知函数f (x )的图象连续，且在(0,1)上单调递增．∴f (0)f (1)＝(1－2a )(2＋a 2－2a )<0，解得a >12.6．已知x 0是f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1x 的一个零点，x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0 B ．f (x 1)>0，f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)<0，f (x 2)>0解析：选C 在同一坐标系下作出函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，f (x )＝－1x 的图象(图略)，由图象可知当x ∈(－∞，x 0)时，⎝⎛⎭⎫12x >－1x ；当x ∈(x 0,0)时，⎝⎛⎭⎫12x <－1x ，所以当x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)时，有f (x 1)>0，f (x 2)<0.7．(2018·龙岩质检)已知f (x )是奇函数，且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是________．解析：令y ＝f (2x ＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x ＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.答案：－788．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，转化为f (x )－m ＝0的根有3个，进而转化为y ＝f (x )，y ＝m 的交点有3个．画出函数y ＝f (x )的图象，则直线y ＝m 与其有3个公共点．又抛物线顶点为(－1,1)，由图可知实数m 的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)[大题综合练——迁移贯通]1．已知a 是正实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a .如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，求a 的取值范围．解：f (x )＝2ax 2＋2x －3－a 的对称轴为x ＝－12a. ①当－12a ≤－1，即0<a ≤12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≤0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥1，∴无解．②当－1<－12a <0，即a >12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝⎛⎭⎫－12a ≤0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12a －3－a ≤0，a ≥1，解得a ≥1，∴a 的取值范围是[1，＋∞)．2．(2018·德州模拟)已知函数f (x )＝－x 2－2x .g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x >0，x ＋1，x ≤0.(1)求g [f (1)]的值；(2)若方程g [f (x )]－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围．解：(1)∵f (1)＝－12－2×1＝－3，∴g [f (1)]＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象，如图所示，由图象可知，当1≤a <54时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫1，54. 3．(2018·信阳模拟)已知函数f (x )＝log 2(2x ＋1)． (1)求证：函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；(2)若g (x )＝log 2(2x －1)(x >0)，且关于x 的方程g (x )＝m ＋f (x )在[1,2]上有解，求m 的取值范围．解：(1)证明：∵函数f (x )＝log 2(2x ＋1)，任取x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝log 2(2x 1＋1)－log 2(2x 2＋1)＝log 22x 1＋12x 2＋1，∵x 1<x 2，∴0<2x 1＋12x 2＋1<1，∴log 22x 1＋12x 2＋1<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增． (2)∵g (x )＝m ＋f (x )， ∴m ＝g (x )－f (x )＝log 2(2x －1)－log 2(2x ＋1) ＝log 22x －12x ＋1＝log 2⎝⎛⎭⎫1－22x ＋1，∵1≤x ≤2，∴2≤2x ≤4， ∴log 213≤log 2⎝⎛⎭⎫1－22x ＋1≤log 235，故m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤log 213，log 235.。

创新大课堂2018届高三数学理一轮复习课时活页作业31

课时活页作业（三十一）[基础训练组]1．(2016·温州质检)设a ，b ∈R ，则“a ＞1且b ＞1”是“ab ＞1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] a ＞1且b ＞1⇒ab ＞1；但ab ＞1，则a ＞1且b ＞1不一定成立，如a ＝－2，b ＝－2时，ab ＝4＞1.故选A.[答案] A2．设a 1bB.1a －b >1a C ．|a |>－b D.－a >－b[解析] 由题设得a <a －b <0，所以有1a －b <1a 成立，即1a －b >1a不成立． [答案] B3．已知p ＝a ＋1a －2，q ＝，其中a >2，x ∈R ，则p ，q 的大小关系是( ) A ．p ≥qB ．p >qC ．p <qD ．p ≤q[解析] p ＝a ＋1a －2＝a －2＋1a －2＋2≥2＋2＝4，当且仅当a ＝3时取等号．因为x 2－2≥－2，所以q ＝≤(12)－2＝4，当且仅当x ＝0时取等号．所以p ≥q . [答案] A4．(2016·晋城模拟)已知下列四个条件：①b ＞0＞a ，②0＞a ＞b ，③a ＞0＞b ，④a ＞b＞0，能推出1a ＜1b成立的有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 [解析] 运用倒数性质，由a ＞b ，ab ＞0可得1a ＜1b，②、④正确．又正数大于负数，①正确，③错误，故选C.[答案] C5．设a ，b 是非零实数，若a 0时，a 20，ab 符号不确定，故B 错．∵1ab 2－1a 2b ＝a －b a 2b 2<0，∴1ab 2<1a 2b ，故C 正确．D 中b a 与a b的大小不能确定．[答案] C6．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的________条件．[解析] ∵x ≥2且y ≥2，∴x 2＋y 2≥4，∴“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的充分条件；而x 2＋y 2≥4不一定得出x ≥2且y ≥2，例如当x ≤－2且y ≤－2时，x 2＋y 2≥4亦成立，故“x ≥2且y ≥2”不是“x 2＋y 2≥4”的必要条件．∴“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的充分不必要条件．[答案] 充分不必要7．若角α，β满足－π2＜α＜β＜π2，则2α－β的取值范围是________． [解析] ∵－π2＜α＜β＜π2，∴－π＜2α＜π，－π2＜－β＜π2，∴－3π2＜2α－β＜3π2，又∵2α－β＝α＋(α－β)＜α＜π2，∴－3π2＜2α－β＜π2. [答案] ⎝⎛⎭⎫－3π2，π2 8．已知f (n )＝n 2＋1－n ，g (n )＝n －n 2＋1，φ(n )＝12n(n ∈N *，n >2)，则f (n )，g (n )，φ(n )的大小关系是________．[解析] f (n )＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n <12n ＝φ(n )， g (n )＝n －n 2－1＝1n ＋n 2－1>12n＝φ(n )， ∴f (n )<φ(n )<g (n )．[答案] f (n )<φ(n )<g (n )9．(1)设x ＜y ＜0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)·(x ＋y )的大小；(2)已知a ，b ，x ，y ∈(0，＋∞)且1a ＞1b ，x ＞y ，求证：x x ＋a ＞y y ＋b. [解析] 法一 (x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝(x －y )[x 2＋y 2－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )，∵x ＜y ＜0，∴xy ＞0，x －y ＜0，∴－2xy (x －y )＞0，∴(x 2＋y 2)(x －y )＞(x 2－y 2)(x ＋y )．法二 ∵x ＜y ＜0，∴x －y ＜0，x 2＞y 2，x ＋y ＜0.∴(x 2＋y 2)(x －y )＜0，(x 2－y 2)(x ＋y )＜0，∴0＜(x 2＋y 2)(x －y )(x 2－y 2)(x ＋y )＝x 2＋y 2x 2＋y 2＋2xy＜1， ∴(x 2＋y 2)(x －y )＞(x 2－y 2)(x ＋y )．(2)证明：x x ＋a －y y ＋b ＝bx －ay (x ＋a )(y ＋b ). ∵1a ＞1b且a ，b ∈(0，＋∞)，∴b ＞a ＞0，又∵x ＞y ＞0，∴bx ＞ay ＞0，∴bx －ay (x ＋a )(y ＋b )＞0，∴x x ＋a ＞y y ＋b. 10．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试判断谁先到教室？[解析] 设从寝室到教室的路程为s ，甲、乙两人的步行速度为v 1，跑步速度为v 2，且v 1＜v 2.甲所用的时间t 甲＝s 2v 1＋s 2v 2＝s (v 1＋v 2)2v 1v 2，乙所用的时间t 乙＝2s v 1＋v 2， ∴t 甲t 乙＝s (v 1＋v 2)2v 1v 2×v 1＋v 22s ＝(v 1＋v 2)24v 1v 2 ＝v 21＋v 22＋2v 1v 24v 1v 2＞4v 1v 24v 1v 2＝1. ∵t 甲＞0，t 乙＞0，∴t 甲＞t 乙，即乙先到教室．[能力提升组]11．若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是( )A ．－n ＜m ＜n ＜－mB ．－n ＜m ＜－m ＜nC ．m ＜－n ＜－m ＜nD ．m ＜－n ＜n ＜－m[解析] 法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可．法二：m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立．[答案] D12．(2016·黄冈质检)已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式中成立的是( )A ．xy >yzB ．xz >yzC ．xy >xzD ．x |y |>z |y |[解析] 因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0,3z <x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0.所以由⎩⎨⎧x >0y >z 可得xy >xz . [答案] C13．(2016·济南调研)设a >1，且m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a －1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系为( )A ．n >m >pB ．m >p >nC ．m >n >pD ．p >m >n[解析] 因为a >1，所以a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0，即a 2＋1>2a ，又2a >a －1，所以由对数函数的单调性可知log a (a 2＋1)>log a (2a )>log a (a －1)，即m >p >n .[答案] B14．(2015·北京东城区统测)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：每次都提价p ＋q 2%.若p >q >0，则提价多的方案是________． [解析] 设原价为a ，方案甲提价后为a (1＋p %)(1＋q %)，方案乙提价后为a ⎝⎛⎭⎫1＋p ＋q 2%2，∵⎝⎛⎭⎫1＋p ＋q 2%2＝⎝⎛⎭⎫1＋p %＋1＋q %22≥()(1＋p %)(1＋q %)2＝(1＋p %)(1＋q %)，又∵p >q >0，∴等号不成立，则提价多的为方案乙．[答案] 乙15．设f (x )＝ax 2＋bx,1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．[解] 法一：设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1) (m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝1， ∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧ f －(1)＝a －b f (1)＝a ＋b ，得⎩⎨⎧ a ＝12[f (－1)＋f (1)]b ＝12[f (1)－f (－1)]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.法三：由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤22≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分，当f (－2)＝4a －2b 过点A (32，12)时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f (－2)≤10。

2018-2019学年高中新创新一轮复习理数江苏专版：课时

课时达标检测(九）指数与指数函数[练基础小题——强化运算能力]1．下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )·f (y )”的单调递增函数的序号是________． ①f (x )＝x 3；②f (x )＝3x；③f (x )＝x 12；④f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x .解析：根据各选项知，②④中的指数函数满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )．又f (x )＝3x 是增函数，所以②正确．答案：② 2．函数f (x )＝2|x－1|的大致图象是________．(填序号)解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝⎛⎭⎫12x －1，x ＜1，易知f (x )在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减，故②正确．答案：②3．(2018·江苏省赣榆高级中学模拟)函数f (x )＝a |x＋1|(a ＞0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是________．解析：由题意知a ＞1，f (－4)＝a 3，f (1)＝a 2，由y ＝a t (a ＞1)的单调性知a 3＞a 2，所以f (－4)＞f (1)．答案：f (－4)＞f (1)4．若函数f (x )＝a |2x －4|(a ＞0，且a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．解析：由f (1)＝19得a 2＝19，又a ＞0，所以a ＝13，因此f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|.因为g (x )＝|2x －4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递减区间是[2，＋∞)．答案：[2，＋∞)5．(2018·南京摸底)已知函数f (x )＝a x a x ＋1＋b tan x ＋x 2(a ＞0，a ≠1)，若f (1)＝3，则f (－1)＝________.解析：f (－x )＋f (x )＝a xa x ＋1＋a －xa －x ＋1＋2x 2＝1＋2x 2，所以f (－1)＝1＋2－f (1)＝0.答案：0[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.75，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：由0.2＜0.75＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.75，即b ＞c ；因为a ＝20.2＞1，b ＝0.40.2＜1，所以a ＞b .综上，a ＞b ＞c .答案：a ＞b ＞c2.已知奇函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ＞0，g (x )，x ＜0.如果f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝________.解析：由题图知f (1)＝12，∴a ＝12，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，由题意得g (x )＝－f (－x )＝－⎝⎛⎭⎫12－x ＝－2x .答案：－2x3．设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x＋a的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则a ＝________.解析：设(x ，y )为y ＝f (x )图象上任意一点，则(－y ，－x )在y ＝2x＋a的图象上，所以有－x ＝2－y ＋a，从而有－y ＋a ＝log 2(－x )(指数式与对数式的互化)，所以y ＝a －log 2(－x )，即f (x )＝a －log 2(－x )，所以f (－2)＋f (－4)＝(a －log 22)＋(a －log 24)＝(a －1)＋(a －2)＝1，解得a ＝2.答案：24．(2018·豫晋冀三省调研)设函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在x ∈[－1,1]上的最大值与最小值之和为g (a )，则函数g (a )的取值范围是________．解析：f (x )在x ∈[－1,1]上的最大值和最小值在两端点处取得，∴g (a )＝f (1)＋f (－1)＝a ＋1a ，又a ＞0，且a ≠1，所以g (a )＝a ＋1a ＞2.答案：(2，＋∞)5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )＜1，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＜0时，不等式f (a )＜1可化为⎝⎛⎭⎫12a －7＜1，即⎝⎛⎭⎫12a ＜8，即⎝⎛⎭⎫12a ＜⎝⎛⎭⎫12－3，因为0＜12＜1，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 是减函数，所以a ＞－3，此时－3＜a ＜0；当a ≥0时，不等式f (a )＜1可化为a ＜1，所以0≤a ＜1.故a 的取值范围是(－3,1)．答案：(－3,1)6．(2018·张家港市四校联考)已知a ＞0，且a ≠1，f (x )＝x 2－a x .当x ∈(－1,1)时，均有f (x )＜12，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ∈(－1,1)时，均有f (x )＜12，即a x ＞x 2－12在(－1,1)上恒成立，令g (x )＝a x ，m (x )＝x 2－12，由图象知：当0＜a ＜1时，g (1)≥m (1)，即a ≥1－12＝12，此时12≤a ＜1；当a ＞1时，g (－1)≥m (1)，即a －1≥1－12＝12，此时1＜a ≤2.综上，12≤a ＜1或1＜a ≤2. 答案：⎣⎡⎭⎫12，1∪(1,2]7．已知函数f (x )＝e x －e －x e x ＋e－x ，若f (a )＝－12，则f (－a )＝________.解析：∵f (a )＝e a －e －a e a ＋e －a ＝－12.∴f (－a )＝e －a －e a e －a ＋e a ＝－e a －e －a e a ＋e－a ＝－⎝⎛⎭⎫－12＝12. 答案：128．若函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________. 解析：当a ＞1时，f (x )＝a x －1在[0,2]上为增函数，则a 2－1＝2，∴a ＝±3.又∵a ＞1，∴a ＝ 3.当0＜a ＜1时，f (x )＝a x －1在[0,2]上为减函数，又∵f (0)＝0≠2，∴0＜a ＜1不成立．综上可知，a ＝ 3.答案： 39．(2018·安徽十校联考)已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________．解析：由于f (x )＝max{e |x |，e|x －2|}＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥1，e 2－x ，x ＜1.当x ≥1时，f (x )≥e ，且当x ＝1时，取得最小值e ；当x ＜1时，f (x )＞e.故f (x )的最小值为f (1)＝e.答案：e10．(2018·信阳质检)若不等式(m 2－m )2x －⎝⎛⎭⎫12x＜1对一切x ∈(－∞，－1]恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：(m 2－m )2x －⎝⎛⎭⎫12x ＜1可变形为m 2－m ＜⎝⎛⎭⎫12x ＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x 2.设t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则原条件等价于不等式m 2－m ＜t ＋t 2在t ≥2时恒成立．显然t ＋t 2在t ≥2时的最小值为6，所以m 2－m ＜6，解得－2＜m ＜3.答案：(－2,3) 二、解答题11．已知函数f (x )＝2a ·4x －2x －1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈[－3,0]的值域；(2)若关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x －2x －1＝2(2x )2－2x －1，令t ＝2x ，因为x ∈[－3,0]，则t ∈⎣⎡⎦⎤18，1.故y ＝2t 2－t －1＝2⎝⎛⎭⎫t －142－98，t ∈⎣⎡⎦⎤18，1，故值域为⎣⎡⎦⎤－98，0. (2)关于x 的方程2a (2x )2－2x －1＝0有解，等价于方程2am 2－m －1＝0(m ＞0)在 (0，＋∞)上有解．记g (m )＝2am 2－m －1，m ＞0，当a ＝0时，g (m )＝0的解为m ＝－1＜0，不成立．当a ＜0时，g (m )的图象开口向下，对称轴m ＝14a ＜0，则g (m )在(0，＋∞)上单调递减，且图象过点(0，－1)，不成立．当a ＞0时，g (m )的图象开口向上，对称轴m ＝14a ＞0，则g (m )在⎝⎛⎦⎤0，14a 上单调递减，在⎣⎡⎭⎫14a ，＋∞上单调递增，且图象过点(0，－1)，必有一个根为正，所以，a ＞0.综上所述，a 的取值范围是(0，＋∞)．12．(2018·连云港月考)设函数f (x )＝ka x －a －x (a ＞0，a ≠1)是奇函数．(1)求常数k 的值；(2)若a ＞1，试判断f (x )的单调性，并用定义法加以证明；(3)若已知f (1)＝83，且函数g (x )＝a 2x ＋a －2x －2mf (x )在区间[1，＋∞)上的最小值为－2，求实数m 的值．解：(1)因为函数f (x )＝ka x －a －x (a ＞0，a ≠1)是奇函数，所以f (－x )＋f (x )＝0对于任意x ∈R 恒成立，即(ka －x －a x )＋(ka x －a －x )＝0；(k －1)(a x ＋a －x )＝0恒成立，所以k －1＝0，即k ＝1.(2)a ＞1时，f (x )＝a x －a －x 在R 上为增函数．理由如下：设x 1＜x 2则f (x 1)－f (x 2)＝(ax 1－a －x 1)－(ax 2－a －x 2)＝(ax 1－ax 2)(ax 1＋x 2＋1)ax 1＋x 2.因为a ＞1，x 1＜x 2，所以0＜ax 1＜ax 2，ax 1＋x 2＞0，所以f (x 1)＜f (x 2)，即f (x )＝a x －a －x 在R 上为增函数．(3)由f (1)＝83得a －1a ＝83，即a ＝3或a ＝－13(舍)．所以f(x)＝3x－3－x，g(x)＝32x＋3－2x－2m(3x－3－x)＝(3x－3－x)2－2m(3x－3－x)＋2.设t＝3x－3－x，x∈[1，＋∞)，则t＝3x－3－x在[1，＋∞)上为增函数，即t≥8 3，所以y＝t2－2mt＋2，t≥83，对称轴为t＝m.当m≤83时，y min＝⎝⎛⎭⎫832－163m＋2＝－2，解得m＝2512.当m≥83时，y min＝m2－2m2＋2＝－2，所以m＝－2或m＝2(均舍去)．综上m＝2512.。

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课时达标检测（十一）函数与方程[小题对点练——点点落实]对点练(一) 函数的零点问题1．(2018·河北武邑中学基础训练)方程ln(x ＋1)－2x ＝0(x >0)的根存在的大致区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(3,4)解析：选B 令f (x )＝ln(x ＋1)－2x ，则f (1)＝ln(1＋1)－2＝ln 2－2<0，f (2)＝ln 3－1>0，所以函数f (x )的零点所在大致区间为(1,2)．故选B.2．(2018·四川双流中学必得分训练)函数f (x )＝2x ＋2x 的零点所处的区间是( ) A ．[－2，－1] B ．[－1,0] C ．[0,1]D ．[1,2]解析：选B f (－2)＝2－2＋2×(－2)<0，f (－1)＝2－1＋2×(－1)<0，f (0)＝20＋0>0，由零点存在性定理知，函数f (x )的零点在区间[－1,0]上．故选B.3．(2018·云南大理州统测)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >0，－x (x ＋2)，x ≤0的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 当x >0时，令f (x )＝0可得x ＝1；当x ≤0时，令f (x )＝0可得x ＝－2或x ＝0.因此函数的零点个数为3.故选D.4．关于x 的方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ∵a >0，∴a 2＋1>1.而y ＝|x 2－2x |的图象如图所示，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有2个交点，即方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是2.5．函数f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：选B 令2sin πx －x ＋1＝0，得2sin πx ＝x －1，令h (x )＝2sin πx ，g (x )＝x －1，则f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数问题就转化为函数h (x )与g (x )的图象的交点个数问题．h (x )＝2sin πx 的最小正周期为T ＝2ππ＝2，画出两个函数的图象，如图所示，因为h (1)＝g (1)，h ⎝⎛⎭⎫52>g ⎝⎛⎭⎫52，g (4)＝3>2，g (－1)＝－2，所以两个函数图象的交点共5个，所以f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.对点练(二) 函数零点的应用问题1．已知函数f (x )＝log 3x ＋2x －a 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，－log 32)B ．(0，log 52)C ．(log 32,1)D ．(1，log 34)解析：选C ∵单调函数f (x )＝log 3x ＋2x －a 在区间(1,2)内有零点，∴f (1)·f (2)<0，即(1－a )·(log 32－a )<0，解得log 32<a <1，故选C.2．(2018·甘肃天水一中月考)已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋ax 恰有两个零点，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪{1}解析：选C 由题意，显然x ＝1是函数f (x )的一个零点，取a ＝－1，则f (x )＝ln x ＋x 2－x ，f ′(x )＝2x 2－x ＋1x ＝2⎝⎛⎭⎫x －142＋78x>0恒成立．则f (x )仅有一个零点，不符合题意，排除A 、D ；取a ＝1，则f (x )＝ln x －x 2＋x ，f ′(x )＝1－2x 2＋x x ＝(1＋2x )(1－x )x，f ′(x )＝0得x ＝1，则f (x )在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，f (x )max ＝f (1)＝0，即f (x )仅有一个零点，不符合题意，排除B ，故选C.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2 017x ，x >1，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a＋b ＋c 的取值范围是( )A ．(1,2 017)B ．(1,2 018)C ．[2,2 018]D ．(2,2 018)解析：选D 作出函数f (x )的图象与直线y ＝m ，如图所示，不妨设a <b <c ，当0≤x ≤1时，函数f (x )的图象与直线y ＝m 的交点分别为A ，B ，由正弦曲线的对称性，可得A (a ，m )与B (b ，m )关于直线x ＝12对称，因此a ＋b ＝1，当直线y ＝m ＝1时，由log 2 017x ＝1，解得x ＝2 017.若满足f (a )＝f (b )＝f (c )，且a ，b ，c 互不相等，由a <b <c 可得1<c <2 017，因此可得2<a ＋b ＋c <2 018，即a ＋b ＋c ∈(2，2 018)．故选D.4．(2018·孝感模拟)若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，14B.⎝⎛⎭⎫－14，12 C.⎝⎛⎭⎫14，12D.⎣⎡⎦⎤－14，12 解析：选C依题意并结合函数f (x )的图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，[m －2－m ＋(2m ＋1)](2m ＋1)<0，[m －2＋m ＋(2m ＋1)][4(m －2)＋2m ＋(2m ＋1)]<0，解得14<m <12.5．(2018·广东七校联合体联考)若函数f (x )＝2x ＋a 2x －2a 的零点在区间(0,1)上，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，12 B ．(－∞，1) C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D ．(1，＋∞)解析：选C 易知函数f (x )的图象连续，且在(0,1)上单调递增．∴f (0)f (1)＝(1－2a )(2＋a 2－2a )<0，解得a >12.6．已知x 0是f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1x 的一个零点，x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0 B ．f (x 1)>0，f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)<0，f (x 2)>0解析：选C 在同一坐标系下作出函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，f (x )＝－1x 的图象(图略)，由图象可知当x ∈(－∞，x 0)时，⎝⎛⎭⎫12x >－1x ；当x ∈(x 0,0)时，⎝⎛⎭⎫12x <－1x ，所以当x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)时，有f (x 1)>0，f (x 2)<0.7．(2018·龙岩质检)已知f (x )是奇函数，且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是________．解析：令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.答案：－788．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，转化为f (x )－m ＝0的根有3个，进而转化为y ＝f (x )，y ＝m 的交点有3个．画出函数y ＝f (x )的图象，则直线y ＝m 与其有3个公共点．又抛物线顶点为(－1,1)，由图可知实数m 的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)[大题综合练——迁移贯通]1．已知a 是正实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a .如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，求a 的取值范围．解：f (x )＝2ax 2＋2x －3－a 的对称轴为x ＝－12a.①当－12a ≤－1，即0<a ≤12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≤0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥1，∴无解．②当－1<－12a <0，即a >12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝⎛⎭⎫－12a ≤0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12a －3－a ≤0，a ≥1，解得a ≥1，∴a 的取值范围是[1，＋∞)．2．(2018·德州模拟)已知函数f (x )＝－x 2－2x .g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x >0，x ＋1，x ≤0.(1)求g [f (1)]的值；(2)若方程g [f (x )]－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围．解：(1)∵f (1)＝－12－2×1＝－3，∴g [f (1)]＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象，如图所示，由图象可知，当1≤a <54时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫1，54. 3．(2018·信阳模拟)已知函数f (x )＝log 2(2x ＋1)． (1)求证：函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；(2)若g (x )＝log 2(2x －1)(x >0)，且关于x 的方程g (x )＝m ＋f (x )在[1,2]上有解，求m 的取值范围．解：(1)证明：∵函数f (x )＝log 2(2x ＋1)，任取x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝log 2(2x 1＋1)－log 2(2x 2＋1)＝log 22x 1＋12x 2＋1，∵x 1<x 2，∴0<2x 1＋12x 2＋1<1，∴log 22x 1＋12x 2＋1<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增． (2)∵g (x )＝m ＋f (x )， ∴m ＝g (x )－f (x )＝log 2(2x －1)－log 2(2x ＋1) ＝log 22x －12x ＋1＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1，∵1≤x ≤2，∴2≤2x ≤4，∴log 213≤log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1≤log 235，故m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤log 213，log 235.。

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课时达标检测（十一）函数与方程[小题对点练——点点落实]对点练(一) 函数的零点问题1．(2018·河北武邑中学基础训练)方程ln(x ＋1)－2x ＝0(x >0)的根存在的大致区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(3,4)解析：选B 令f (x )＝ln(x ＋1)－2x ，则f (1)＝ln(1＋1)－2＝ln 2－2<0，f (2)＝ln 3－1>0，所以函数f (x )的零点所在大致区间为(1,2)．故选B.2．(2018·四川双流中学必得分训练)函数f (x )＝2x ＋2x 的零点所处的区间是( ) A ．[－2，－1] B ．[－1,0] C ．[0,1]D ．[1,2]解析：选B f (－2)＝2－2＋2×(－2)<0，f (－1)＝2－1＋2×(－1)<0，f (0)＝20＋0>0，由零点存在性定理知，函数f (x )的零点在区间[－1,0]上．故选B.3．(2018·云南大理州统测)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >0，－x (x ＋2)，x ≤0的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 当x >0时，令f (x )＝0可得x ＝1；当x ≤0时，令f (x )＝0可得x ＝－2或x ＝0.因此函数的零点个数为3.故选D.4．关于x 的方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ∵a >0，∴a 2＋1>1.而y ＝|x 2－2x |的图象如图所示，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有2个交点，即方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是2.5．函数f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：选B 令2sin πx －x ＋1＝0，得2sin πx ＝x －1，令h (x )＝2sin πx ，g (x )＝x －1，则f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数问题就转化为函数h (x )与g (x )的图象的交点个数问题．h (x )＝2sin πx 的最小正周期为T ＝2ππ＝2，画出两个函数的图象，如图所示，因为h (1)＝g (1)，h ⎝⎛⎭⎫52>g ⎝⎛⎭⎫52，g (4)＝3>2，g (－1)＝－2，所以两个函数图象的交点共5个，所以f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.对点练(二) 函数零点的应用问题1．已知函数f (x )＝log 3x ＋2x －a 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，－log 32)B ．(0，log 52)C ．(log 32,1)D ．(1，log 34)解析：选C ∵单调函数f (x )＝log 3x ＋2x －a 在区间(1,2)内有零点，∴f (1)·f (2)<0，即(1－a )·(log 32－a )<0，解得log 32<a <1，故选C.2．(2018·甘肃天水一中月考)已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋ax 恰有两个零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞) C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪{1}解析：选C 由题意，显然x ＝1是函数f (x )的一个零点，取a ＝－1，则f (x )＝ln x ＋x 2－x ，f ′(x )＝2x 2－x ＋1x＝2⎝⎛⎭⎫x －142＋78x >0恒成立．则f (x )仅有一个零点，不符合题意，排除A 、D ；取a ＝1，则f (x )＝ln x －x 2＋x ，f ′(x )＝1－2x 2＋x x ＝(1＋2x )(1－x )x ，f ′(x )＝0得x ＝1，则f (x )在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，f (x )max ＝f (1)＝0，即f (x )仅有一个零点，不符合题意，排除B ，故选C.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2 017x ，x >1，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是( )A ．(1,2 017)B ．(1,2 018)C ．[2,2 018]D ．(2,2 018)解析：选D 作出函数f (x )的图象与直线y ＝m ，如图所示，不妨设a <b <c ，当0≤x ≤1时，函数f (x )的图象与直线y ＝m 的交点分别为A ，B ，由正弦曲线的对称性，可得A (a ，m )与B (b ，m )关于直线x ＝12对称，因此a＋b ＝1，当直线y ＝m ＝1时，由log 2 017x ＝1，解得x ＝2 017.若满足f (a )＝f (b )＝f (c )，且a ，b ，c 互不相等，由a <b <c 可得1<c <2 017，因此可得2<a ＋b ＋c <2 018，即a ＋b ＋c ∈(2，2 018)．故选D.4．(2018·孝感模拟)若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，14B.⎝⎛⎭⎫－14，12 C.⎝⎛⎭⎫14，12D.⎣⎡⎦⎤－14，12 解析：选C依题意并结合函数f (x )的图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，[m －2－m ＋(2m ＋1)](2m ＋1)<0，[m －2＋m ＋(2m ＋1)][4(m －2)＋2m ＋(2m ＋1)]<0，解得14<m <12.5．(2018·广东七校联合体联考)若函数f (x )＝2x ＋a 2x －2a 的零点在区间(0,1)上，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，12 B ．(－∞，1) C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞D ．(1，＋∞)解析：选C 易知函数f (x )的图象连续，且在(0,1)上单调递增．∴f (0)f (1)＝(1－2a )(2＋a 2－2a )<0，解得a >12.6．已知x 0是f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1x 的一个零点，x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0 B ．f (x 1)>0，f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)<0，f (x 2)>0解析：选C 在同一坐标系下作出函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，f (x )＝－1x 的图象(图略)，由图象可知当x ∈(－∞，x 0)时，⎝⎛⎭⎫12x >－1x ；当x ∈(x 0,0)时，⎝⎛⎭⎫12x <－1x，所以当x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)时，有f (x 1)>0，f (x 2)<0. 7．(2018·龙岩质检)已知f (x )是奇函数，且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是________．解析：令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.答案：－788．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，转化为f (x )－m ＝0的根有3个，进而转化为y ＝f (x )，y ＝m 的交点有3个．画出函数y ＝f (x )的图象，则直线y ＝m 与其有3个公共点．又抛物线顶点为(－1,1)，由图可知实数m 的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)[大题综合练——迁移贯通]1．已知a 是正实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a .如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，求a 的取值范围．解：f (x )＝2ax 2＋2x －3－a 的对称轴为x ＝－12a.①当－12a ≤－1，即0<a ≤12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≤0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥1，∴无解．②当－1<－12a <0，即a >12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝⎛⎭⎫－12a ≤0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12a －3－a ≤0，a ≥1，解得a ≥1，∴a 的取值范围是[1，＋∞)．2．(2018·德州模拟)已知函数f (x )＝－x 2－2x .g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x >0，x ＋1，x ≤0.(1)求g [f (1)]的值；(2)若方程g [f (x )]－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围．解：(1)∵f (1)＝－12－2×1＝－3，∴g [f (1)]＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象，如图所示，由图象可知，当1≤a <54时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫1，54.3．(2018·信阳模拟)已知函数f (x )＝log 2(2x ＋1)． (1)求证：函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；(2)若g (x )＝log 2(2x －1)(x >0)，且关于x 的方程g (x )＝m ＋f (x )在[1,2]上有解，求m 的取值范围．解：(1)证明：∵函数f (x )＝log 2(2x ＋1)，任取x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝log 2(2x 1＋1)－log 2(2x 2＋1)＝log 22x 1＋12x 2＋1，∵x 1<x 2，∴0<2x 1＋12x 2＋1<1，∴log 22x 1＋12x 2＋1<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增． (2)∵g (x )＝m ＋f (x )， ∴m ＝g (x )－f (x )＝log 2(2x －1)－log 2(2x ＋1) ＝log 22x －12x ＋1＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1，∵1≤x ≤2，∴2≤2x ≤4，∴log 213≤log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1≤log 235，故m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤log 213，log 235.。

2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测集合 Word版含解析

课时达标检测（一）集合[小题对点练——点点落实]对点练(一) 集合的概念与集合间的基本关系 1．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，则( )A ．A ＝BB ．A ∩B ＝∅C ．A BD ．B A 解析：选D ∵A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，∴B A .⊆C |C {＝B ，}0≤3－x 2＋2x |N ∈x {＝A 已知集合)拟莱州一中模·(2018．2A }，则集合B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 B个子集，因此集合4＝22有，共}{0,1＝}1≤x ≤3－|N ∈x {＝}0≤1)－x 3)(＋x |(N ∈x {＝A C 选解析：中元素的个数为4，选C.3．(2018·广雅中学测)(是图n Ven 的关系}0＝x ＋2x |x {＝N 和}1,0,1－{＝M ，则正确表示集合R ＝U 若全集)试B.选，故M N ，所以}1,0,1－{＝M ，而}1,0－{＝}0＝x ＋2x |x {＝N 由题意知， B 选解析：．________为的值m ，则A ∈3若，}m ＋2m 2,2＋m {＝A ．已知集合4 ，3＝m ＋2m 2且3＝2＋m 时，1＝m ，当32＝－m 或1＝m ，则3＝m ＋2m 2或3＝2＋m 由题意得解析：.32＝－m ，故3＝m ＋2m 2则，12＝2＋m 时，32＝－m 根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当 32－答案：．________是的取值范围 b －a ，则实数B ⊆A ，若]b ，a [＝B ，}16≤x 2≤|4x {＝A ．已知集合5，所4≥b ，2≤a ，所以B ⊆A ，因为[2,4]＝}4≤x ≤|2x {＝}42≤x 2≤2|2x {＝}16≤x 2≤|4x {＝A 集合解析：以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]对点练(二) 集合的基本运算)(＝N ∪M ，则}0≤x |lg x {＝N ，}x ＝2x |x {＝M ．设集合1 A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(－∞，1] ．][0,1＝N ∪M ，}1≤x ＜0|x {＝}0≤x |lg x {＝N ，}{0,1＝}x ＝2x |x {＝M A 选解析： )(＝B ∩A ，则}A ∈x ，2x ＝y |y {＝B ，}1,0,1－{＝A ．若集合2 A ．{0}B ．{1}C ．{0,1}D ．{0，－1} ．}{0,1＝B ∩A ，所以}{0,1＝}A ∈x ，2x ＝y |y {＝B 因为 C 选解析： )(＝B ∪)A U ∁(则，}3≤y ≤|1y {＝B ，}2≤x ≤|0x {＝A ，集合R ＝U 设全集)考中原名校联·(2018．3 A ．(2,3]B ．(－∞，1]∪(2，＋∞)C ．[1,2)D ．(－∞，0)∪[1，＋∞)．)∞，＋1[∪0)，∞－(＝B ∪)A U ∁(以，所}3≤y ≤|1y {＝B ，}<0x 或2>x |x {＝A U ∁因为 D 选解析： 4．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉)(＝Q －P ，那么}2|<1－x ||x {＝Q ，}<1x 2|log x {＝P ，如果}Q A ．{x |0<x <1}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |1≤x <2}D ．{x |2≤x <3} ．由}<3x |1<x {＝Q ，所以3<x 1<得，12|<－x |由；}<2x |0<x {＝P ，所以2<x 0<得，1<x 2log 由 B 选解析：题意，得P －Q ＝{x |0<x ≤1}．∪P ．若}0≤b ＋ax ＋2x |x {＝Q ，}2>0－y －2y |y {＝P 已知集合)考河北正定中学月·(2018．5Q ＝R ，且P ∩Q ＝(2,3]，则a ＋b ＝( )A ．－5B ．5C ．－1D ．1 ，所以1,3]－[＝Q ，得](2,3＝Q ∩P 及R ＝Q ∪P ．由}1－<y 或2>y |y {＝}2>0－y －2y |y {＝P A 选解析：－a ＝－1＋3，b ＝－1×3，即a ＝－2，b ＝－3，a ＋b ＝－5，故选A.6．(2018·唐山统一考) (是，则图中阴影部分表示的集合}<1x |2x {＝B ，}6<0－x 5－2x |x {＝A ，集合R ＝U 若全集)试A ．{x |2<x <3}B ．{x |－1<x ≤0}C ．{x |0≤x <6}D ．{x |x <－1} ＝B ，所以0<x ，解得1<x 2由．}<6x 1<－|x {＝A ，所以6<x 1<－，解得06<－x 5－2x 由 C 选解析： C.选，故}<6x ≤|0x {＝A ∩)B U ∁(以，所}0≥x |x {＝B U ∁，A ∩)B U ∁(为．又题图中阴影部分表示的集合}<0x |x { )(是的取值范围m ，则实数}>4x |x {＝B ∩A ．若}m ≥x |x {＝B ，}12>0－x －2x |x {＝A ．已知集合7 A ．(－4,3)B ．[－3,4]C ．(－3,4)D ．(－∞，4] 解析：选B 集合A ＝{x |x <－3或x >4}，∵A ∩B ＝{x |x >4}，∴－3≤m ≤4，故选B.)(为}{1,4,7合，则集}0＝21＋x 8－2x |x {＝N ，}{2,3,5＝M ，集合}<8x |0<Z ∈x {＝U ．已知全集8 )N U ∁(∩M ．A)N ∩M (U ∁．B )N ∪M (U ∁．C N ∩)M U ∁(．D ＝N ∩M ，}{3,5＝}{1,3,4,5,7∩{2,3,5}＝)N U ∁(∩M ，}{2,6＝N ，}{1,2,3,4,5,6,7＝U 由已知得 C 选解析：选，}{6＝}{2,6∩{1,4,6,7}＝N ∩)M U ∁(，}{1,4,7＝)N ∪M (U ∁，}{2,3,5,6＝N ∪M ，},3,4,5,6,7{1＝)N ∩M (U ∁，}{2 C.[大题综合练——迁移贯通]．}R ∈m ，R ∈x ，0≤4－2m ＋mx 2－2x |x {＝B ，}0≤3－x 2－2x |x {＝A ．已知集合1 (1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值；的取值范围．m ，求实数B R ∁⊆A 若)(2 解：由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)因为A ∩B ＝[0,3]，2.＝m 所以⎩⎪⎨⎪⎧ m －2＝0，m ＋2≥3.所以，}2＋m >x 或2－m <x |x {＝B R ∁(2) ，1－<2＋m 或32>－m ，所以B R ∁⊆A 因为即m >5或m <－3. 因此实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)． 2．已知集合A ＝{x |1＜x ＜3}，集合B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}，则A ∪B ＝{x |－2<x <3}．，2－≤m 解得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＞2m ，2m≤1，1－m≥3，知B ⊆A 由)(2 即实数m 的取值范围为(－∞，－2]． (3)由A ∩B ＝∅，得，符合题意；∅＝B 时，13≥m ，即m －1≥m 2若① ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜13，2m≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜13，1－m≤1时，需13＜m ，即m －1＜m 2若② .13＜m ≤0即，∅或13＜m ≤0得综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．．}>1x 2|log x {＝B ，}27≤x 3≤|3x {＝A 已知集合)考江西玉山一中月·(2018．3；A ∪)B R ∁(，B ∩A 分别求)(1 (2)已知集合C ＝{x |1<x <a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围．，33≤x 3≤13即，72≤x 3≤3∵(1)解： ∴1≤x ≤3，∴A ＝{x |1≤x ≤3}．，22>log x 2log 即，1>x 2log ∵ ∴x >2，∴B ＝{x |x >2}． ∴A ∩B ＝{x |2<x ≤3}．B R∁∴，x|x{＝}2≤A)B R∁(∴＝∪≤．}3x|x{(2)由(1)知A＝{x|1≤x≤3}，C⊆A.当C为空集时，满足C⊆A，a≤1；当C为非空集合时，可得1<a≤3.综上所述，a≤3.实数a的取值范围是{a|a≤3}.。

2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(二) 命题及其关系、充分条件与必要条件

课时达标检测（二）命题及其关系、充分条件与必要条件[小题对点练——点点落实]对点练(一) 命题及其关系1．命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( )A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数解析：选C 由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”，故选C.2．命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( ) A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题解析：选D 原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题． 3．在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( )A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真解析：选D 对于原命题：“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题：“若{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集非空时，可以有a >0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题．故选D.4．(2018·德州一中模拟)下列命题中为真命题的序号是________．①若x ≠0，则x ＋1x ≥2；②命题：若x 2＝1，则x ＝1或x ＝－1的逆否命题为：若x ≠1且x ≠－1，则x 2≠1； ③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件；④命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”．解析：当x<0时，x＋1x≤－2，故①是假命题；根据逆否命题的定义可知，②是真命题；“a＝±1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故③是假命题；根据否命题的定义知④是真命题．答案：②④5．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为：________________________________________________________________________.解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，结论：∠A，∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角”．答案：在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角对点练(二)充分条件与必要条件1．(2016·山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.2．(2018·浙江名校联考)一次函数y＝－mn x＋1n的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是()A．m>1，且n<1 B．mn<0C．m>0，且n<0 D．m<0，且n<0解析：选B因为y＝－mn x＋1n的图象经过第一、三、四象限，故－mn>0，1n<0，即m>0，n<0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn<0.3．(2018·河南豫北名校联盟精英对抗赛)设a，b∈R，则“log2a>log2b”是“2a－b>1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A log2a>log2b⇔a>b>0,2a－b>1⇔a>b，所以“log2a>log2b”是“2a－b>1”的充分不必要条件．故选A.4．(2018·重庆第八中学调研)定义在R上的可导函数f(x)，其导函数为f′(x)，则“f′(x)为偶函数”是“f(x)为奇函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴[f (－x )]′＝[－f (x )]′，∴f ′(－x )·(－x )′＝－f ′(x )，∴f ′(－x )＝f ′(x )，即f ′(x )为偶函数；反之，若f ′(x )为偶函数，如f ′(x )＝3x 2，f (x )＝x 3＋1满足条件，但f (x )不是奇函数，所以“f ′(x )为偶函数”是“f (x )为奇函数”的必要不充分条件．故选B.5．(2018·山西怀仁一中期中)命题“∀x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )A ．a ≥4B ．a >4C ．a ≥1D ．a >1解析：选B x 2－a ≤0⇔a ≥x 2.因为x 2∈[1,4)，所以a ≥4.故a >4是已知命题的一个充分不必要条件．故选B.6．(2018·广东梅州质检)已知命题p ：“方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”，且綈p 为真命题的充分不必要条件为a >3m ＋1，则实数m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(0,1)解析：选B 命题p ：“方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”为真时，Δ＝16－4a ≥0，∴a ≤4.∴綈p 为真命题时，a >4.又∵綈p 为真命题的充分不必要条件为a >3m ＋1，∴(3m ＋1，＋∞)是(4，＋∞)的真子集，∴3m ＋1>4，解得m >1，故选B.7．(2018·福建闽侯二中期中)设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：由|4x －3|≤1，得12≤x ≤1；由x 2－(2a ＋1)·x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1.∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件，∴p 是q 的充分不必要条件．∴⎣⎡⎦⎤12，1[a ，a ＋1]．∴a ≤12.且a ＋1≥1，两个等号不能同时成立，解得0≤a ≤12.∴实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 答案：⎣⎡⎦⎤0，12[大题综合练——迁移贯通]1．写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：(1)逆命题：已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2<4b ，为真命题．(3)逆否命题：已知a ，b ∈R ，若a 2<4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，为真命题．2．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴716≤y ≤2，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 3．已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )<0}．(1)若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，求a 的取值范围．(2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．解：A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}＝{x |2<x <4}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )<0}．(1)当a ＝0时，B ＝∅，不合题意．当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，要满足题意，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ≥4，解得43≤a ≤2. 当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，要满足题意，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ≤2，a ≥4，无解．综上，a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤43，2.(2)要满足A ∩B ＝∅，当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，则a ≥4或3a ≤2，即0<a ≤23或a ≥4.当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，则a ≤2或a ≥43，即a <0. 当a ＝0时，B ＝∅，A ∩B ＝∅.综上，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，23∪[4，＋∞)．。

教育最新K122018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(十一) 函数与方程 Word版含解析-

课时达标检测（十一）函数与方程[小题对点练——点点落实]对点练(一) 函数的零点问题1．(2018·河北武邑中学基础训练)方程ln(x ＋1)－2x ＝0(x >0)的根存在的大致区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(3,4)解析：选B 令f (x )＝ln(x ＋1)－2x ，则f (1)＝ln(1＋1)－2＝ln 2－2<0，f (2)＝ln 3－1>0，所以函数f (x )的零点所在大致区间为(1,2)．故选B.2．(2018·四川双流中学必得分训练)函数f (x )＝2x ＋2x 的零点所处的区间是( ) A ．[－2，－1] B ．[－1,0] C ．[0,1]D ．[1,2]解析：选B f (－2)＝2－2＋2×(－2)<0，f (－1)＝2－1＋2×(－1)<0，f (0)＝20＋0>0，由零点存在性定理知，函数f (x )的零点在区间[－1,0]上．故选B.3．(2018·云南大理州统测)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >0，－x (x ＋2)，x ≤0的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 当x >0时，令f (x )＝0可得x ＝1；当x ≤0时，令f (x )＝0可得x ＝－2或x ＝0.因此函数的零点个数为3.故选D.4．关于x 的方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ∵a >0，∴a 2＋1>1.而y ＝|x 2－2x |的图象如图所示，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有2个交点，即方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是2.5．函数f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：选B 令2sin πx －x ＋1＝0，得2sin πx ＝x －1，令h (x )＝2sin πx ，g (x )＝x －1，则f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数问题就转化为函数h (x )与g (x )的图象的交点个数问题．h (x )＝2sin πx 的最小正周期为T ＝2ππ＝2，画出两个函数的图象，如图所示，因为h (1)＝g (1)，h ⎝⎛⎭⎫52>g ⎝⎛⎭⎫52，g (4)＝3>2，g (－1)＝－2，所以两个函数图象的交点共5个，所以f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.对点练(二) 函数零点的应用问题1．已知函数f (x )＝log 3x ＋2x －a 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，－log 32)B ．(0，log 52)C ．(log 32,1)D ．(1，log 34)解析：选C ∵单调函数f (x )＝log 3x ＋2x －a 在区间(1,2)内有零点，∴f (1)·f (2)<0，即(1－a )·(log 32－a )<0，解得log 32<a <1，故选C.2．(2018·甘肃天水一中月考)已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋ax 恰有两个零点，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪{1}解析：选C 由题意，显然x ＝1是函数f (x )的一个零点，取a ＝－1，则f (x )＝ln x ＋x 2－x ，f ′(x )＝2x 2－x ＋1x ＝2⎝⎛⎭⎫x －142＋78x>0恒成立．则f (x )仅有一个零点，不符合题意，排除A 、D ；取a ＝1，则f (x )＝ln x －x 2＋x ，f ′(x )＝1－2x 2＋x x ＝(1＋2x )(1－x )x，f ′(x )＝0得x ＝1，则f (x )在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，f (x )max ＝f (1)＝0，即f (x )仅有一个零点，不符合题意，排除B ，故选C.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2 017x ，x >1，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a＋b ＋c 的取值范围是( )A ．(1,2 017)B ．(1,2 018)C ．[2,2 018]D ．(2,2 018)解析：选D 作出函数f (x )的图象与直线y ＝m ，如图所示，不妨设a <b <c ，当0≤x ≤1时，函数f (x )的图象与直线y ＝m 的交点分别为A ，B ，由正弦曲线的对称性，可得A (a ，m )与B (b ，m )关于直线x ＝12对称，因此a ＋b ＝1，当直线y ＝m ＝1时，由log 2 017x ＝1，解得x ＝2 017.若满足f (a )＝f (b )＝f (c )，且a ，b ，c 互不相等，由a <b <c 可得1<c <2 017，因此可得2<a ＋b ＋c <2 018，即a ＋b ＋c ∈(2，2 018)．故选D.4．(2018·孝感模拟)若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，14B.⎝⎛⎭⎫－14，12 C.⎝⎛⎭⎫14，12D.⎣⎡⎦⎤－14，12 解析：选C依题意并结合函数f (x )的图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，[m －2－m ＋(2m ＋1)](2m ＋1)<0，[m －2＋m ＋(2m ＋1)][4(m －2)＋2m ＋(2m ＋1)]<0，解得14<m <12.5．(2018·广东七校联合体联考)若函数f (x )＝2x ＋a 2x －2a 的零点在区间(0,1)上，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，12 B ．(－∞，1) C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D ．(1，＋∞)解析：选C 易知函数f (x )的图象连续，且在(0,1)上单调递增．∴f (0)f (1)＝(1－2a )(2＋a 2－2a )<0，解得a >12.6．已知x 0是f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1x 的一个零点，x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0 B ．f (x 1)>0，f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)<0，f (x 2)>0解析：选C 在同一坐标系下作出函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，f (x )＝－1x 的图象(图略)，由图象可知当x ∈(－∞，x 0)时，⎝⎛⎭⎫12x >－1x ；当x ∈(x 0,0)时，⎝⎛⎭⎫12x <－1x ，所以当x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)时，有f (x 1)>0，f (x 2)<0.7．(2018·龙岩质检)已知f (x )是奇函数，且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是________．解析：令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.答案：－788．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，转化为f (x )－m ＝0的根有3个，进而转化为y ＝f (x )，y ＝m 的交点有3个．画出函数y ＝f (x )的图象，则直线y ＝m 与其有3个公共点．又抛物线顶点为(－1,1)，由图可知实数m 的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)[大题综合练——迁移贯通]1．已知a 是正实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a .如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，求a 的取值范围．解：f (x )＝2ax 2＋2x －3－a 的对称轴为x ＝－12a.①当－12a ≤－1，即0<a ≤12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≤0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥1，∴无解．②当－1<－12a <0，即a >12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝⎛⎭⎫－12a ≤0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12a －3－a ≤0，a ≥1，解得a ≥1，∴a 的取值范围是[1，＋∞)．2．(2018·德州模拟)已知函数f (x )＝－x 2－2x .g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x >0，x ＋1，x ≤0.(1)求g [f (1)]的值；(2)若方程g [f (x )]－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围．解：(1)∵f (1)＝－12－2×1＝－3，∴g [f (1)]＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象，如图所示，由图象可知，当1≤a <54时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫1，54. 3．(2018·信阳模拟)已知函数f (x )＝log 2(2x ＋1)． (1)求证：函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；(2)若g (x )＝log 2(2x －1)(x >0)，且关于x 的方程g (x )＝m ＋f (x )在[1,2]上有解，求m 的取值范围．解：(1)证明：∵函数f (x )＝log 2(2x ＋1)，任取x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝log 2(2x 1＋1)－log 2(2x 2＋1)＝log 22x 1＋12x 2＋1，∵x 1<x 2，∴0<2x 1＋12x 2＋1<1，∴log 22x 1＋12x 2＋1<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增． (2)∵g (x )＝m ＋f (x )， ∴m ＝g (x )－f (x )＝log 2(2x －1)－log 2(2x ＋1) ＝log 22x －12x ＋1＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1，∵1≤x ≤2，∴2≤2x ≤4，∴log 213≤log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1≤log 235，故m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤log 213，log 235.。

2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(十一) 函数与方程含解析

课时达标检测（十一）函数与方程[小题对点练——点点落实]对点练(一) 函数的零点问题1．(2018·河北武邑中学基础训练)方程ln(x ＋1)－2x ＝0(x >0)的根存在的大致区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(3,4)解析：选B 令f (x )＝ln(x ＋1)－2x ，则f (1)＝ln(1＋1)－2＝ln 2－2<0，f (2)＝ln 3－1>0，所以函数f (x )的零点所在大致区间为(1,2)．故选B.2．(2018·四川双流中学必得分训练)函数f (x )＝2x ＋2x 的零点所处的区间是( )A ．[－2，－1]B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[1,2]解析：选B f (－2)＝2－2＋2×(－2)<0，f (－1)＝2－1＋2×(－1)<0，f (0)＝20＋0>0，由零点存在性定理知，函数f (x )的零点在区间[－1,0]上．故选B.3．(2018·云南大理州统测)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >0，－x (x ＋2)，x ≤0的零点个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 当x >0时，令f (x )＝0可得x ＝1；当x ≤0时，令f (x )＝0可得x ＝－2或x ＝0.因此函数的零点个数为3.故选D.4．关于x 的方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ∵a >0，∴a 2＋1>1.而y ＝|x 2－2x |的图象如图所示，∴y＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有2个交点，即方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是2.5．函数f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B 令2sin πx －x ＋1＝0，得2sin πx ＝x －1，令h (x )＝2sin πx ，g (x )＝x －1，则f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数问题就转化为函数h (x )与g (x )的图象的交点个数问题．h (x )＝2sin πx 的最小正周期为T ＝2ππ＝2，画出两个函数的图象，如图所示，因为h (1)＝g (1)，h ⎝⎛⎭⎫52>g ⎝⎛⎭⎫52，g (4)＝3>2，g (－1)＝－2，所以两个函数图象的交点共5个，所以f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.对点练(二) 函数零点的应用问题1．已知函数f (x )＝log 3x ＋2x－a 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1，－log 32)B ．(0，log 52)C ．(log 32,1)D ．(1，log 34)解析：选C ∵单调函数f (x )＝log 3x ＋2x －a 在区间(1,2)内有零点，∴f (1)·f (2)<0，即(1－a )·(log 32－a )<0，解得log 32<a <1，故选C.2．(2018·甘肃天水一中月考)已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋ax 恰有两个零点，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪{1}解析：选C 由题意，显然x ＝1是函数f (x )的一个零点，取a ＝－1，则f (x )＝ln x ＋x 2－x ，f ′(x )＝2x 2－x ＋1x ＝2⎝⎛⎭⎫x －142＋78x >0恒成立．则f (x )仅有一个零点，不符合题意，排除A 、D ；取a ＝1，则f (x )＝ln x －x 2＋x ，f ′(x )＝1－2x 2＋x x ＝(1＋2x )(1－x )x，f ′(x )＝0得x ＝1，则f (x )在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，f (x )max ＝f (1)＝0，即f (x )仅有一个零点，不符合题意，排除B ，故选C.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ sin πx ，0≤x ≤1，log 2 017x ，x >1，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a。

2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(三十) 数列的综合问题 Word版含解析

课时达标检测（三十）数列的综合问题[小题常考题点——准解快解]1．(2018·安徽六安一中月考)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝5－n ，其前n 项和为S n ，将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n .若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，S n ≤T m ＋λ恒成立，则实数λ的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选D 依题意得S n ＝(4＋5－n )n 2＝n (9－n )2，根据二次函数的性质，n ＝4,5时，S n 取得最大值为10.另外，根据通项公式得数列{a n }的前4项为a 1＝4，a 2＝3，a 3＝2，a 4＝1，观察易知抽掉第二项后，余下的三项可组成等比数列．所以数列{b n }中，b 1＝4，公比q ＝12，所以T n ＝4⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝8⎝⎛⎭⎫1－12n ，所以4≤T n <8.因为存在m ∈N *，对任意n ∈N *，S n ≤T m ＋λ恒成立，所以10<8＋λ，所以λ>2.故选D.2．(2018·北京景山学校段测)已知数列{a n }满足a 1＝1，P (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线x －y ＋1＝0上，如果函数f (n )＝1n ＋a 1＋1n ＋a 2＋…＋1n ＋a n(n ∈N *，n ≥2)，那么函数f (n )的最小值为( )A.13 B ．14C.712D ．512解析：选C 将点P 的坐标代入直线方程，得a n ＋1－a n ＝1，所以{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，所以a n ＝n ，所以f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n ，f (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n ＋n ＋2，所以f (n ＋1)－f (n )＝1n ＋n ＋1＋1n ＋n ＋2－1n ＋1>12n ＋2＋12n ＋2－1n ＋1＝0，所以f (n )单调递增，故f (n )的最小值为f (2)＝712，故选C.3．(2018·江西金溪一中月考)据统计测量，已知某养鱼场，第一年鱼的质量增长率为200%，以后每年的增长率为前一年的一半．若饲养5年后，鱼的质量预计为原来的t 倍．下列选项中，与t 值最接近的是( )A ．11B ．13C ．15D ．17解析：选B 设鱼原来的质量为a ，饲养n 年后鱼的质量为a n ，q ＝200%＝2，则a 1＝a (1＋q )，a 2＝a 1⎝⎛⎭⎫1＋q 2＝a (1＋q )⎝⎛⎭⎫1＋q 2，…，a 5＝a (1＋2)×(1＋1)×⎝⎛⎭⎫1＋12×⎝⎛⎭⎫1＋122×⎝⎛⎭⎫1＋123＝40532a ≈12.7a ，即5年后，鱼的质量预计为原来的12.7倍，故选B. 4．(2018·湖北襄阳四校联考)我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n .①第二步：将数列①的各项乘以n2，得到一个新数列a 1，a 2，a 3，…，a n .则a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n －1a n ＝( ) A.n 24 B ．(n －1)24C.n (n －1)4D ．n (n ＋1)4解析：选C 由题意知所得新数列为1×n 2，12×n 2，13×n 2，…，1n ×n2，所以a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n－1a n＝n 24⎣⎢⎡⎦⎥⎤11×2＋12×3＋13×4＋…＋1(n －1)×n ＝n 24⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎣⎡⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎣⎢⎡⎭⎪⎫1n －1－1n ＝n 24⎣⎡⎭⎫1－1n ＝n (n －1)4，故选C. 5．(2018·辽宁盘锦高中月考)数列{a n }满足a 1＝14，a n ＋1＝14－4a n，若不等式a 2a 1＋a 3a 2＋…＋a n ＋2a n ＋1<n ＋λ对任何正整数n 恒成立，则实数λ的最小值为( ) A.74 B ．34C.78D ．38解析：选A 因为数列{a n }满足a 1＝14，a n ＋1＝14－4a n，所以反复代入计算可得a 2＝26，a 3＝38，a 4＝410，a 5＝512，…，由此可归纳出通项公式a n ＝n 2(n ＋1)，经验证，成立．所以a n ＋1an＝1＋1n (n ＋2)＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，所以a 2a 1＋a 3a 2＋…＋a n ＋2a n ＋1＝n ＋1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋2－1n ＋3＝n＋74－12⎣⎢⎡⎭⎪⎫1n ＋2＋1n ＋3.因为要求a 2a 1＋a 3a 2＋…＋a n ＋2a n ＋1<n ＋λ对任何正整数n 恒成立，所以λ≥74.故选A.6．已知数列{a n }满足a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，n ∈N *，且a 5＝π2，若函数f (x )＝sin 2x ＋2cos 2x2，记y n ＝f (a n )，则数列{y n }的前9项和为( )A ．0B ．－9C ．9D ．1解析：选C 由已知可得，数列{a n }为等差数列，f (x )＝sin 2x ＋cos x ＋1，∴f ⎝⎛⎭⎫π2＝1.∵f (π－x )＝sin(2π－2x )＋cos(π－x )＋1＝－sin 2x －cos x ＋1，∴f (π－x )＋f (x )＝2.∵a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝…＝2a 5＝π，∴f (a 1)＋…＋f (a 9)＝2×4＋1＝9，即数列{y n }的前9项和为9.7．(2018·四川成都石室中学模拟)若f (x )＝x m ＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n )(n ∈N *)的前n 项和为( ) A.n n ＋1 B ．n ＋2n ＋1C.n n －1D ．n ＋1n解析：选A 因为f (x )＝x m ＋ax ，所以f ′(x )＝mx m －1＋a .又因为f ′(x )＝2x ＋1，所以m ＝2，a ＝1，所以f (n )＝n 2＋n ＝n (n ＋1)，所以1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n )的前n 项和为1f (1)＋1f (2)＋…＋1f (n )＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.故选A.8．(2018·河南新乡模拟)若数列{a n ＋1－a n }是等比数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝5，则a n＝________.解析：∵a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，∴q ＝3，∴a n ＋1－a n ＝3n －1，∴a n －a 1＝a 2－a 1＋a 3－a 2＋…＋a n －1－a n －2＋a n －a n －1＝1＋3＋…＋3n －2＝3n －1－12，∵a 1＝1，∴a n ＝3n －1＋12.答案：3n －1＋129．(2018·广东潮州模拟)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a n ＝2·3n －1(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，则b 1＋b 2＋…＋b n ＝________.解析：由a n ＝2·3n －1可知数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列，所以S n ＝2(1－3n )1－3＝3n－1，则b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1，则b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫1S 1－1S 2＋⎝⎛⎭⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝12－13n ＋1－1.答案：12－13n ＋1－110．(2018·安徽六安一中段测)已知f (x )是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x ，y ∈R 都有f (xy )＝xf (y )＋yf (x )成立，数列{a n }满足a n ＝f (3n )(n ∈N *)，且a 1＝3，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：因为a n ＝f (3n )，所以a n ＋1＝f (3n ＋1)且a 1＝3＝f (3)．又因为对于任意的x ，y ∈R 都有f (xy )＝xf (y )＋yf (x )成立，所以令x ＝3n ，y ＝3，则f (3n ＋1)＝3n f (3)＋3f (3n )，所以a n ＋1＝3a n ＋3·3n，所以a n ＋13n ＋1－a n 3n ＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a n3n ＝1＋(n－1)×1＝n ，所以a n ＝n ·3n .答案：n ·3n[大题常考题点——稳解全解]1．(2018·山西八校联考)已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝1，且2a 2，a 4,3a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝2na n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由2a 2，a 4,3a 3成等差数列可得2a 4＝2a 2＋3a 3，即2a 1q 3＝2a 1q ＋3a 1q 2，又q >1，a 1＝1，故2q 2＝2＋3q ，即2q 2－3q －2＝0，得q ＝2，因此数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)b n ＝2n ×2n －1＝n ×2n ，T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，① 2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1.② ①－②得－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1，－T n ＝2(2n －1)2－1－n ×2n ＋1，T n ＝(n －1)×2n ＋1＋2.2．(2017·山东高考)已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1＋x 2＝3，x 3－x 2＝2. (1)求数列{x n }的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1，1)，P 2(x 2,2)，…，P n ＋1(x n ＋1，n ＋1)得到折线P 1P 2…P n ＋1，求由该折线与直线y ＝0，x ＝x 1，x ＝x n ＋1所围成的区域的面积T n .解：(1)设数列{x n }的公比为q ，由已知得q >0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 1q ＝3，x 1q 2－x 1q ＝2.所以3q 2－5q －2＝0.因为q >0，所以q ＝2，x 1＝1，因此数列{x n }的通项公式为x n ＝2n －1.(2)过P 1，P 2，…，P n ＋1向x 轴作垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，…，Q n ＋1.由(1)得x n ＋1－x n ＝2n－2n －1＝2n －1，记梯形P n P n ＋1Q n ＋1Q n 的面积为b n ，由题意得b n ＝(n ＋n ＋1)2×2n －1＝(2n ＋1)×2n －2，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n －1)×2n －3＋(2n ＋1)×2n －2.①又2T n ＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n －1)×2n －2＋(2n ＋1)×2n －1.② ①－②得－T n ＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n －1)－(2n ＋1)×2n －1＝32＋2(1－2n －1)1－2－(2n ＋1)×2n －1. 所以T n ＝(2n －1)×2n ＋12.3．(2018·河北二市联考)在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N *)，a 1a 3＝4，且a 3＋1是a 2和a 4的等差中项，若b n ＝log 2a n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式； (2)若数列{c n }满足c n ＝a n ＋1＋1b 2n －1·b 2n ＋1，求数列{c n }的前n 项和．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，且q >0，在等比数列{a n }中，由a n >0，a 1a 3＝4得，a 2＝2，① 又a 3＋1是a 2和a 4的等差中项，所以2(a 3＋1)＝a 2＋a 4，②把①代入②得，2(2q ＋1)＝2＋2q 2，解得q ＝2或q ＝0(舍去)，所以a n ＝a 2q n －2＝2n －1，则b n ＝log 2a n ＋1＝log 22n ＝n . (2)由(1)得，c n ＝a n ＋1＋1b 2n －1·b 2n ＋1＝2n ＋1(2n －1)(2n ＋1)＝2n＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以数列{c n }的前n 项和S n ＝2＋22＋…＋2n ＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1－13)＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝2(1－2n )1－2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1 ＝2n ＋1－2＋n2n ＋1.4．(2018·河北定州中学阶段性检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 22＋3n2.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足b n ＝a n ＋2－a n ＋1a n ＋2·a n，且数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <2n ＋512. 解：(1)因为S n ＝n 22＋3n2，①所以当n ≥2时，S n －1＝(n －1)22＋3(n －1)2，②所以由①②两式相减得a n ＝S n －S n －1＝n 22＋3n 2－(n －1)22－3(n －1)2＝n ＋1.又因为n ＝1时，a 1＝S 1＝2适合a n ＝n ＋1，所以a n ＝n ＋1.(2)证明：由(1)知b n ＝n ＋3－(n ＋1)＋1(n ＋3)(n ＋1)＝2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋3，所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝2n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋13－15＋…＋1n ＋1－1n ＋3 ＝2n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13－1n ＋2－1n ＋3＝2n ＋512－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2＋1n ＋3<2n ＋512.。

2018-2019学年高中新创新一轮复习理数江苏专版：课时

课时达标检测(一）集合1．(2017·江苏高考)已知集合A＝{1,2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．解析：因为a2＋3≥3，所以由A∩B＝{1}得a＝1，即实数a的值为1.答案：12．(2017·全国卷Ⅲ改编)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B 中元素的个数为________．解析：因为A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y ＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.答案：23．设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝________.解析：M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|lg x≤0}＝{x|0＜x≤1}，M∪N＝{x|0≤x≤1}．答案：{x|0≤x≤1}4．(2017·全国卷Ⅱ改编)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝________.解析：因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m ＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1,3}．答案：{1,3}5．(2018·镇江中学高三模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x2－1＜0}，则图中的阴影部分表示的集合为________．解析：因为A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|－1＜x＜1}，所以A∪B＝{x|－1＜x≤2}，A∩B＝{x|0≤x＜1}．故图中阴影部分表示的集合为∁(A∪B)(A∩B)＝(－1,0)∪[1,2]．答案：(－1,0)∪[1,2]6．(2018·扬州月考)已知集合A＝{x|x2－2x－a＜0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________．解析：由A＝{x|x2－2x－a＜0},1∉A得12－2×1－a≥0，解得a≤－1.答案：(－∞，－1]7．(2018·如东高三第一次检测)已知全集U＝N(N是自然数集)，集合A＝{x|x－2＞0}，则∁U A＝________.解析：由U＝N，A＝{x|x－2＞0}得∁U A＝{x|x≤2，x∈N}＝{0,1,2}．答案：{0,1,2}8．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫5，b a ，a －b ，B ＝{b ，a ＋b ，－1}，若A ∩B ＝{2，－1}，则A ∪B ＝________.解析：由A ∩B ＝{2，－1}，可得⎩⎪⎨⎪⎧ b a ＝2，a －b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ b a ＝－1，a －b ＝2.当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，此时B ＝{2,3，－1}，则A ∪B ＝{－1，2,3,5}；当⎩⎪⎨⎪⎧ba ＝－1，a －b ＝2时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，此时不符合题意，舍去．故A ∪B ＝{－1,2,3,5}．答案：{－1,2,3,5}9．已知集合A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |x 2－2x ＜0}，则A ∪(∁R B )＝________.解析：∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |x 2－2x ＜0}＝{x |0＜x ＜2}，∴A ∪(∁R B )＝(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)10．(2018·盐城模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}， B ∩(∁U A )＝∅，则实数m 的值构成的集合为________．解析：由题可知A ＝{－1,2}，又B ∩(∁U A )＝∅，所以B ＝∅或{－1}或{2}．若B ＝∅，则m ＝0；若B ＝{－1}，则m ＝1；若B ＝{2}，则m ＝－12.故实数m 的值构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，－12.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，－1211．(2018·常熟高三月考)若非空集合A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |3≤x ≤22}，则能使A ⊆B 成立的实数a 的集合是________．解析：借助数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≤3a －5，2a ＋1≥3，3a －5≤22，解得6≤a ≤9.答案：{a |6≤a ≤9}12．(2018·启东市一中月考)定义：满足任意元素x ∈A ，则|4－x |∈A 的集合称为优集，若集合A ＝{1，a,7}是优集，则实数a 的值为________．解析：依题意，当x ＝1时，|4－x |＝3∈A ，当x ＝7时，|4－x |＝3∈A ，所以，a ＝3时符合条件．答案：313．(2018·南通模拟)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，定义集合A ×B ＝ {(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，集合A ×B 中属于集合{(x ，y )|log x y ∈N }的元素的个数是________．解析：由定义可知A ×B 中的元素为(1,2)，(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(3,8)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(4,8)．其中使log x y ∈N 的有(2,2)，(2,4)，(2,8)，(4,4)，共4个．答案：414．已知集合A ＝{y |y 2－(a 2＋a ＋1)y ＋a (a 2＋1)＞0}，B ＝yy ＝12x 2－x ＋52，0≤x ≤3.若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________________．解析：A ＝{y |y ＜a 或y ＞a 2＋1}，B ＝{y |2≤y ≤4}．当A ∩B ＝∅时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1≥4，a ≤2，∴3≤a ≤2或a ≤－3，∴a 的取值范围是(－∞，－ 3 ]∪[3，2]．答案：(－∞，－ 3 ]∪[3，2]。

2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测对数与对数函数 Word版含解析

课时达标检测（九）对数与对数函数[小题对点练——点点落实]对点练(一) 对数的运算1．(2018·山西重点协作体模拟)已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x -12＝( )A.13B.36C.33D.24解析：选D 由条件知，log 3(log 2x )＝1，∴log 2x ＝3，∴x ＝8，∴x -12＝24.故选D. 2．(2018·德阳模拟)计算：⎝⎛⎭⎫278-13＋log 2(log 216)＝________.解析：原式＝⎝⎛⎭⎫23－3×⎛⎫⎪⎝⎭13-＋log 24＝23＋2＝83.答案：833．(2018·江西百校联盟模拟)已知14a ＝7b ＝4c ＝2，则1a －1b ＋1c＝________.解析：14a ＝7b ＝4c ＝2，则a ＝log 142，b ＝log 72，c ＝log 42，∴1a ＝log 214，1b ＝log 27，1c ＝log 24，∴1a －1b ＋1c ＝log 214－log 27＋log 24＝log 28＝3.答案：34．(2018·成都外国语学校模拟)已知2x ＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为________．解析：由2x ＝3，log 483＝y 得x ＝log 23，y ＝log 483＝12log 283，所以x ＋2y ＝log 23＋log 283＝log 28＝3.答案：35．若lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则xy 的值为________．解析：∵lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )， ∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0，即(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y . 又x >0，y >0，x －2y >0，故x ＝y 不符合题意，舍去． ∴x ＝4y ，即xy ＝4.答案：4对点练(二) 对数函数的图象及应用1．(2018·广东韶关南雄模拟)函数f (x )＝x a 满足f (2)＝4，那么函数g (x )＝|log a (x ＋1)|的图象大致为( )解析：选C 法一：∵f (2)＝4，∴2a ＝4，解得a ＝2，∴g (x )＝|log 2(x ＋1)|＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，－log 2(x ＋1)，－1<x <0，∴当x ≥0时，函数g (x )单调递增，且g (0)＝0；当－1<x <0时，函数g (x )单调递减．故选C.法二：由f (2)＝4，即2a ＝4得a ＝2，∴g (x )＝|log 2(x ＋1)|，函数g (x )是由函数y ＝|log 2x |向左平移一个单位得到的，只有C 项符合，故选C.2．(2018·深圳模拟)已知函数f (x )＝|lg x |.若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是( )A ．(22，＋∞)B ．[22，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析：选C f (x )＝|lg x |的图象如图所示，由题知f (a )＝f (b )，则有0<a <10，∴g (b )在(1，＋∞)上为增函数，∴g (b )＝2b ＋1b>3，故选C.3.设平行于y 轴的直线分别与函数y 1＝log 2x 及函数y 2＝log 2x ＋2的图象交于B ，C 两点，点A (m ，n )位于函数y 2＝log 2x ＋2的图象上，如图，若△ABC 为正三角形，则m ·2n ＝________.解析：由题意知，n ＝log 2m ＋2，所以m ＝2n －2.又BC ＝y 2－y 1＝2，且△ABC 为正三角形，所以可知B (m ＋3，n －1)在y 1＝log 2x 的图象上，所以n －1＝log 2(m ＋3)，即m ＝2n －1－3，所以2n ＝43，所以m ＝3，所以m ·2n ＝3×43＝12.答案：124．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a >1.答案：(1，＋∞)对点练(三) 对数函数的性质及应用 1．(2018·湖北孝感统考)函数f (x )＝1ln (3x ＋1)的定义域是( )A.⎝⎛⎭⎫－13，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－13，0∪(0，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫－13，＋∞ D ．[0，＋∞)解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1>0，ln (3x ＋1)≠0，解得x >－13且x ≠0，故选B.2．(2018·河南新乡模拟)设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a 1，b ＝log 0.40.5∈(0,1)，c ＝log 80.4<0，∴a >b >c .故选B. 3．若log a 23<1(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，23 B ．(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，23∪(1，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫23，1解析：选C 当0<a <1时，log a 23<log a a ＝1，∴0<a <23；当a >1时，log a 23<log a a ＝1，∴a >1.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，23∪(1，＋∞)． 4．(2018·郴州模拟)设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：选A 由f (x )是奇函数可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x1－x ，定义域为(－1,1)．由f (x )<0，可得0<1＋x1－x<1，∴－1<x <0.5．(2018·长沙模拟)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为( )A ．[1,2)B ．[1,2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选A 令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，其图象的对称轴为x＝a ，要使函数f (x )在(－∞，1]上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a∈[1,2)，故选A.6．(2018·商丘模拟)已知f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2，则f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值为( ) A ．4 B ．2 C ．6D ．8解析：选B ∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2，f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈[0,1]时， f (x )是增函数；当x ∈⎝⎛⎦⎤1，32时，f (x )是减函数．故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f (1)＝2. 7．(2018·辽宁沈阳模拟)已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm ＝________.解析：∵f (x )＝|log 3x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，∴－log 3m ＝log 3n ，∴mn ＝1.∵f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，函数f (x )在[m 2,1)上是减函数，在(1，n ]上是增函数，∴－log 3m 2＝2或log 3n ＝2.若－log 3m 2＝2，得m ＝13，则n ＝3，此时log 3n ＝1，满足题意．那么n m ＝3÷13＝9.同理，若log 3n ＝2，得n ＝9，则m ＝19，此时－log 3m 2＝4>2，不满足题意．综上可得nm ＝9.答案：9[大题综合练——迁移贯通]1．已知函数f (x )＝log 21＋axx －1(a 为常数)是奇函数．(1)求a 的值与函数f (x )的定义域；(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋log 2(x －1)>m 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)∵函数f (x )＝log 21＋axx －1是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴log 21－ax －x －1＝－log 21＋ax x －1，即log 2ax －1x ＋1＝log 2x －11＋ax ，∴a ＝1，f (x )＝log 21＋xx －1.令1＋xx －1>0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x >0，x －1>0，或⎩⎪⎨⎪⎧1＋x <0，x －1<0，解得x <－1或x >1.∴函数f (x )的定义域为{x |x <－1或x >1}． (2)∵f (x )＋log 2(x －1)＝log 2(1＋x )，当x >1时，x ＋1>2，∴log 2(1＋x )>log 22＝1. ∵当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋log 2(x －1)>m 恒成立， ∴m ≤1.∴m 的取值范围是(－∞，1]．2．(2018·枣庄模拟)设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求实数a 的值．解：f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2)＝12[(log a x )2＋3log a x ＋2] ＝12⎝⎛⎭⎫log a x ＋322－18. 当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32.∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)． ∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8处取得．若12⎝⎛⎭⎫log a 2＋322－18＝1，则a ＝2-13，此时f (x )取得最小值时，x ＝（2-13）-23＝2∉[2,8]，舍去；若12⎝⎛⎭⎫log a 8＋322－18＝1，则a ＝12，此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝⎛⎭⎫12－32＝22∈[2,8]，符合题意．∴a ＝12. 3．(2018·江西师大附中诊断)已知函数f (x )＝log a x ＋m (a >0且a ≠1)的图象过点(8,2)，点P (3，－1)关于直线x ＝2的对称点Q 在f (x )的图象上．(1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝2f (x )－f (x －1)，求g (x )的最小值及取得最小值时x 的值．解：(1)点P (3，－1)关于直线x ＝2的对称点Q 的坐标为(1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ f (8)＝2，f (1)＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋log a 8＝2，m ＋log a 1＝－1，解得m ＝－1，a ＝2，故函数f (x )的解析式为f (x )＝－1＋log 2x .(2)g (x )＝2f (x )－f (x －1)＝2(－1＋log 2x )－[－1＋log 2(x －1)]＝log 2x 2x －1－1(x >1)，∵x 2x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋1x －1 ＝(x －1)＋1x －1＋2≥2(x －1)·1x －1＋2＝4，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，“＝”成立，而函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，则log 2x 2x －1－1≥log 24－1＝1，故当x ＝2时，函数g (x )取得最小值1.。

2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测二项式定理 Word版含解析

课时达标检测（五十三）二项式定理[小题对点练——点点落实]对点练(一) 二项式的通项公式及应用) (是的展开式中的常数项10⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x2．二项式1 A ．180 B ．90 C ．45D ．360 得，0＝k 52－5令，k 52－5x k 10C k 2＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x2k －01)x ·(k 10C ＝1＋k T 的展开式的通项为10⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x2A 选：解析180.＝210C 22故常数项为，2＝k ()＝a 则，03的项的系数为32x 的展开式中含5⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 已知．2 3A. 3．－B C ．6D ．－6 －＝a 得，03＝)a －(15C 由1.＝r 解得，32＝5－2r 2由，5－2r2x r)a －(r5C ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a x ·r －5)x (r 5C ＝1＋r T D 选：解析 6.故选D.) (为项的系数3x 的展开式中，含6)x ＋1(x 在．3 A ．30 B ．20 C ．15D ．10 ＝3x 26C 为的项3x 的展开式中含6)x ＋1(x ，则r x r 6C ＝1＋r T 项为1＋r 的展开式的第6)x ＋1( C 选解析：15.为，所以系数3x 15 ) (为项的系数3x 展开式中101)＋x －2x (．4 A ．－210 B ．210 C ．30D ．－30 －x (10C ＋91)－x (2x 910C －…＋)1－x (9)2x (10C －10)2x (010C ＝101)]－x (－2x [＝101)＋x －2x ( A 选解析： A.选，故021－＝)710C －(10C ＋89C 910C －项的系数为：3x ，所以含101) ________.＝n ，则45是项的系数2x 的展开式中含有n )x 3＋1(知已)考山东高·(2017．5 4.＝n ∴，45＝232n C 为项的系数2x 含有∴，r x r 3r n C ＝1＋r T 的展开式的通项n )x 3＋1(解析：答案：4．________为的值x d 2x ⎠⎛a －2，则3的展开式的第二项的系数为－6⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋366. ＝x d 22x －⎠⎛a ，因此1－＝a 得，解3＝－5a 16C 36，由5a 16C 36该二项展开式的第二项的系数为解析：.73＝83＋13＝－1－2|x33＝x d 2x ⎠⎛－2－1 73答案：．________是的项的系数3x 含的展开式中，8x)－1(＋7x)－1(＋6x)－1(＋5x)－1(在．7 121.－＝31)－(38C ＋31)－(37C ＋31)－(36C ＋31)－(35C 项的系数为3x 含展开式中解析：答案：－121)案用数字填写答(．________为的系数7y 2x 中的展开式8y)＋x y)(－x (．8 82－8＝68C －78C 的系数为7y 2x ∴，68C ，其系数为－)6y 2y·(x ＝7y 2x ，78C ，其系数为)7x·(xy ＝7y 2x 解析：＝－20.答案：－20对点练(二) 二项式系数的性质及应用)(为的值m 数，则实36＝6a ＋…＋2a ＋1a 且，6x 6a ＋…＋2x 2a ＋x 1a ＋0a ＝6mx)＋1(若．1 A ．1或3 B ．－3 C ．1D ．1或－3 …＋3a ＋2a ＋1a 又.6a ＋…＋2a ＋1a ＋0a ＝6m)＋1(得，1＝x 令.1＝60)＋1(＝0a 得，0＝x 令 D 选解析： 3.－＝m 或1＝m ∴，62＝46＝6m)＋1(∴，36＝6a ＋ )(＝7a ＋…＋2a ＋1a 则，8x 8a ＋…＋2x 2a ＋x 1a ＋0a ＝72x)－1x)(＋1(若．2 A ．－2 B ．－3 C ．125D ．－131 以，所812－＝72)－(7C ＝8a 又.1＝0a 则，0＝x 令，2－＝8a ＋…＋2a ＋1a ＋0a 则，1＝x 令 C 选解析：125.＝)128－(－1－2－＝7a ＋…＋2a ＋1a 3．(2018·河北省“五校联盟”质量检)(为，则展开式的中间项的系数812为的展开式中，偶数项的二项式系数之和n 2x)－1(式在二项)测 A ．－960 B ．960 C ．1 120D ．1 680 的展开式中，二项式系n 2x)－1(在，所以812为根据题意，奇数项的二项式系数之和也应 C 选解析：，41 120x ＝4x 42)－(48C ＝5T 且项，5第的展开式的中间项为82x)－1(则，8＝n ，625＝n 2即，625为数之和即展开式的中间项的系数为1 120，故选C .) (是，则展开式中常数项314的展开式中第三项与第五项的系数之比为n ⎝⎛⎭⎪⎫x2－1x ．若4 A ．－10 B ．10 C ．－45D ．45，314＝C2n C4n ，所以5r 2－n x2r 1)－(r n C ＝r 2－x r 1)－(·r －n )2·(x r n C ＝1＋r T 为因为展开式的通项公式 D 选解析：45.＝81)－(810C ＝9T 为常数项∴8.＝r ∴，0＝5r2－02令，5r 2－0·x2r 1)－(·r 10C ＝1＋r T ∴，01＝n ∴ ⎝⎛⎭⎪⎪⎫9x －133x ．在二项式5．________为的系数x 中，则展开式625为的展开式中，偶数项的二项式系数之和n 所.9＝n 得，解625＝1－n 2以因为二项式展开式中，偶数项与奇数项的二项式系数之和相等，所解析：，1＝r 43－9令.r 43－9x r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13·r －99r 9C ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－133x ·r －9(9x)r 9C ＝1＋r T 为的展开式中，通项9⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫9x －133x 以二项式84.＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×39×69C 的系数为x 中，所以展开式6＝r 得解答案：84⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ．在二项式6．________是项的系数2x 含项的二项式系数最大，则展开式中5第的展开式中恰好n 的展开式的通8⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ∵8.＝n ∴项的二项式系数最大，5第的展开式中恰好n ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 在二项式∵解析：56.－＝38C 项的系数是－2x 含展开式中∴，3＝r 则，2＝r 2－8令，2r －8x r 8C r 1)－(＝1＋r T 为项答案：－56．____________于的值可能等n 则项系数最大，7第的展开式中，若n y)＋x (在．7 系数相等且6T 与7T 若②；21＝n ，项31有系数最大，则共7T 仅若①根据题意，分三种情况：解析：11,12,13.于的值可能等n 以所.13＝n ，项41有系数相等且最大，则共8T 与7T 若③；11＝n ，项21有最大，则共答案：11,12,13[大题综合练——迁移贯通]，求：7x 7a ＋…＋2x 2a ＋x 1a ＋0a ＝72x)－1(知．已1 ；7a ＋…＋2a ＋1(1)a ；7a ＋5a ＋3a ＋1(2)a ；6a ＋4a ＋2a ＋0(3)a |.7|a ＋…＋|2|a ＋|1|a ＋|0(4)|a 解：令x ＝1，①1.－＝7a ＋6a ＋5a ＋4a ＋3a ＋2a ＋1a ＋0a 则令x ＝－1，②.73＝7a －6a ＋5a －4a ＋3a －2a ＋1a －0a 则，1＝07C ＝0a ∵(1) 2.－＝7a ＋…＋3a ＋2a ＋1a ∴ 1 094.－＝－1－372＝7a ＋5a ＋3a ＋1a 得，2)÷②－①(2)( 1 093.＝－1＋372＝6a ＋4a ＋2a ＋0a 得，2)÷②＋①)((3 |7|a ＋…＋|2|a ＋|1|a ＋|0|a ∴小于零，7a ，5a ，3a ，1a 而大于零，6a ，4a ，2a ，0a 中展开式72x)－1(∵(4) )7a ＋5a ＋3a ＋1(a －)6a ＋4a ＋2a ＋0(a ＝＝1 093－(－1 094)＝2 187.112.为项的系数x 含，展开式中625为的展开式的二项式系数之和)数是正实m (n )x m ＋1(知．已2 (1)求m ，n 的值；(2)求展开式中奇数项的二项式系数之和；项的系数．2x 含的展开式中)x －1(n )x m ＋1(求)(3 m或2＝m 得，解211＝2m 28C 项的系数为x 含，r2x r m r n C ＝1＋r 8.T ＝n 得，解625＝n 2得由题意可)(1解：＝－2(舍去)．故m ，n 的值分别为2,8.128.＝1－82＝8C ＋68C ＋48C ＋28C ＋08C 展开式中奇数项的二项式系数之和为)(2 ，8)x 2＋1x(－8)x 2＋1(＝)x －1(8)x 2＋1(3)( 1 008.＝2228C －4248C 的系数为2x 含所以 11.为的系数x 的展开式中)*N ∈n ，m (n 2x)＋1(＋m x)＋1(＝)f(x 知．已3 的值；n 的系数取最小值时2x 求)(1 的奇次幂项的系数之和．x 展开式中)x (f 的系数取得最小值时，求2x 当)(2 11.＝n 2＋m ∴，11＝1n 2C ＋1m C 得由已知)(1解： .错误!＋2错误!＝错误!)m －1(1＋错误!＝)1－n (n 2＋错误!＝2n C 22＋2m C 为的系数2x 3.＝n ，此时22值的系数取得最小2x 时，5＝m ∴，*N ∈m ∵ 3.＝n ，5＝m 的系数取得最小值时，2x 知，当)(1由)(2 .3)x 2＋1(＋5)x ＋1(＝)x (f ∴ ，5x 5a ＋…＋2x 2a ＋x 1a ＋0a ＝)x (f 的展开式为)x (f 设，95＝33＋52＝5a ＋4a ＋3a ＋2a ＋1a ＋0a ，1＝x 令，1－＝5a －4a ＋3a －2a ＋1a －0a ，1－＝x 令 30.为的奇次幂项的系数之和x ，故展开式中06＝)5a ＋3a ＋1a 2(得两式相减。

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课时达标检测(十一）函数的图象及其应用[练基础小题——强化运算能力]1．函数f (x )＝sin xx 2＋1的图象大致为________．(填序号)解析：因为f (x )＝sin xx 2＋1，所以f (0)＝f (π)＝f (－π)＝0，排除③④；当0＜x ＜π时，sin x ＞0，所以当0＜x ＜π时，f (x )＞0，排除②，故①正确．答案：①2.已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为________．(填序号)解析：由y ＝f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤1，1，1＜x ≤2.当x ∈[0,2]时，2－x ∈[0,2]，所以f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，0≤x ≤1，2－x ，1＜x ≤2，故y ＝－f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，0≤x ≤1，x －2，1＜x ≤2.结合图象可知②正确．答案：②3．若变量x ，y 满足|x |－ln 1y＝0，则y 关于x 的函数图象大致是________．(填序号)解析：由|x |－ln 1y ＝0，得y ＝1e |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x，x ≥0，e x ，x ＜0，利用指数函数图象可知②正确．答案：②4.如图是张大爷离开家晨练过程中离家距离y 与行走时间x 的函数y ＝f (x )的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷行走的路线可能是________．(填序号)解析：由图象知，张大爷晨练时，离家的距离y 随行走时间x 的变化规律是先匀速增加，中间一段时间保持不变，然后匀速减小．故张大爷的行走的路线可能如④所示．答案：④5.如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝⎛⎭⎫1f (3)＝________.解析：∵由图象知f (3)＝1，∴1f (3)＝1.∴f ⎝⎛⎭⎫1f (3)＝f (1)＝2.答案：2[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．如图，下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系，其中正确的个数为________．解析：将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来；图①应该是匀速的，故下面的图象不正确；②中的变化率应该是越来越慢的，正确；③中的变化规律是先快后慢再快，正确；④中的变化规律是先慢后快再慢，也正确，故只有①是错误的．答案：32.如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为________．(填序号)解析：当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，图象不会是直线段，从而排除①③.当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，f ⎝⎛⎭⎫π4＝f ⎝⎛⎭⎫3π4＝1＋5，f ⎝⎛⎭⎫π2＝2 2.∵22＜1＋5，∴f ⎝⎛⎭⎫π2＜f ⎝⎛⎭⎫π4＝ f ⎝⎛⎭⎫3π4，从而排除④.所以②正确．答案：②3．函数y ＝x 33x －1的图象大致是________．(填序号)解析：由题意得，x ≠0，排除①；当x ＜0时，x 3＜0，3x－1＜0，∴x 33x －1＞0，排除②；又∵x →＋∞时，x 33x －1→0，排除④，故③正确．答案：③ 4.函数f (x )＝ax ＋b(x ＋c )2的图象如图所示，则下列结论中正确的结论的序号是________． ①a ＞0，b ＞0，c ＜0；②a ＜0，b ＞0，c ＞0；③a ＜0，b ＞0，c ＜0；④a ＜0，b ＜0，c ＜0.解析：函数定义域为{x |x ≠－c }，结合图象知－c ＞0，∴c ＜0.令x ＝0，得f (0)＝bc 2，又由图象知f (0)＞0，∴b ＞0.令f (x )＝0，得x ＝－b a ，结合图象知－ba＞0，∴a ＜0.故③正确．答案：③5．(2018·南京模拟)已知函数y ＝f (x )及y ＝g (x )的图象分别如图所示，方程f (g (x ))＝0和g (f (x ))＝0的实根个数分别为a 和b ，则ab ＝________.解析：由图象知，f (x )＝0有3个根，分别记为0，±m ，其中1＜m ＜2，g (x )＝0有2个根，分别记为n ，p ，－2＜n ＜－1,0＜p ＜1，由f (g (x ))＝0，得g (x )＝0或±m ，由图象可知当g (x )所对应的值为0，±m 时，其都有2个根，因而a ＝6；由g (f (x ))＝0，知f (x )＝n 或p ，由图象可以看出当f (x )＝n 时，有1个根，而当f (x )＝p 时，有3个根，即b ＝1＋3＝4.所以ab ＝24.答案：246.如图所示，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，点P 以1 cm/s 的速度沿A →B →C 的路径向C 移动，点Q 以2 cm/s 的速度沿B →C →A 的路径向A 移动，当点Q 到达A 点时，P ，Q 两点同时停止移动．记△PCQ 的面积关于移动时间t 的函数为s ＝f (t )，则f (t )的图象大致为________．(填序号)解析：当0≤t ≤4时，点P 在AB 上，点Q 在BC 上，此时PB ＝6－t ，QC ＝8－2t ，则s ＝f (t )＝12QC ×BP ＝12(8－2t )×(6－t )＝t 2－10t ＋24；当4≤t ≤6时，点P 在AB 上，点Q 在CA 上，此时AP ＝t ，P 到AC 的距离为45t ，QC ＝2t －8，则s ＝f (t )＝12QC ×45t ＝12(2t －8)×45t＝45(t 2－4t )；当6≤t ≤9时，点P 在BC 上，点Q 在CA 上，此时CP ＝14－t ，QC ＝2t －8，则s ＝f (t )＝12QC ×CP sin ∠ACB ＝12(2t －8)·(14－t )×35＝35(t －4)·(14－t )．综上，函数f (t )对应的图象是三段抛物线，依据开口方向得图象是①.答案：①7．(2018·石家庄模拟)若函数y ＝f (x )的图象过点(1,1)，则函数y ＝f (4－x )的图象一定经过点________．解析：由于函数y ＝f (4－x )的图象可以看作y ＝f (x )的图象先关于y 轴对称，再向右平移4个单位长度得到．点(1,1)关于y 轴对称的点为(－1,1)，再将此点向右平移4个单位长度，可推出函数y ＝f (4－x )的图象过定点(3,1)．答案：(3,1)8．(2018·泰兴调研)给定min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，b ＜a ，已知函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4，若动直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，则实数m 的取值范围为________．解析：设g (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}，则f (x )＝g (x )＋4，故把g (x )的图象向上平移4个单位长度，可得f (x )的图象，函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，数形结合可得m 的取值范围为(4,5)．答案：(4,5)9.如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为________．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，－1≤x ＜0，2－x ，0≤x ＜2，令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，则g (x )的定义域为(－1，＋∞)，作出函数g (x )图象如图．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2－x ，y ＝log 2(x ＋1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1＜x ≤1}．答案：{x |－1＜x ≤1}10．若当x ∈(1,2)时，函数y ＝(x －1)2的图象始终在函数y ＝log a x 的图象的下方，则实数a 的取值范围是________．解析：如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝(x －1)2和y＝log a x 的图象．由于当x ∈(1,2)时，函数y ＝(x －1)2的图象恒在函数y ＝log a x 的图象的下方，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，log a 2≥1，解得1＜a ≤2.答案：(1,2] 二、解答题11．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R)，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间；(4)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围．解：(1)∵f (4)＝0， ∴4|m －4|＝0，即m ＝4. (2)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －4)＝(x －2)2－4，x ≥4，－x (x －4)＝－(x －2)2＋4，x ＜4.f (x )的图象如图所示．(3)f (x )的单调递减区间是[2,4]．(4)从f (x )的图象可知，当a ＞4或a ＜0时，f (x )的图象与直线y ＝a 只有一个交点，即方程f (x )＝a 只有一个实数根，所以a 的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．12．设函数f (x )＝x ＋1x 的图象为C 1，C 1关于点A (2,1)的对称图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )．(1)求函数g (x )的解析式；(2)若直线y ＝b 与C 2有且仅有一个公共点，求b 的值，并求出交点的坐标．解：(1)设曲线C 2上的任意一点为P (x ，y )，则P 关于A (2，1)的对称点P ′(4－x,2－y )在C 1上，所以2－y ＝4－x ＋14－x，即y ＝x －2＋1x －4＝(x －3)2x －4，所以g (x )＝(x －3)2x －4(x ≠4)．(2)由(x －3)2x －4＝b ，得(x －3)2＝b (x －4)(x ≠4)．所以x 2－(b ＋6)x ＋4b ＋9＝0(x ≠4)(*)有唯一实根．由Δ＝[－(b ＋6)]2－4(4b ＋9)＝b 2－4b ＝0，得b ＝0或b ＝4，把b ＝0代入(*)式得x ＝3，所以g (3)＝(3－3)23－4＝0；把b ＝4代入(*)式得x ＝5，所以g (5)＝(5－3)25－4＝4，所以当b ＝0或b ＝4时，直线y ＝b 与C 2有且仅有一个公共点，且交点的坐标为(3,0)或(5,4)．。

2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(五) 函数的单调性与最值

课时达标检测（五）函数的单调性与最值[小题对点练——点点落实]对点练(一) 函数的单调性1．(2018·阜阳模拟)给定函数①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：选B ①y ＝x 12在(0,1)上递增；②∵t ＝x ＋1在(0,1)上递增，且0<12<1，故y ＝log 12(x ＋1)在(0,1)上递减；③结合图象可知y ＝|x －1|在(0,1)上递减；④∵u ＝x ＋1在(0,1)上递增，且2>1，故y ＝2x＋1在(0,1)上递增．故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.2．(2018·天津模拟)若函数f (x )满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝(x －1)2B ．f (x )＝e xC ．f (x )＝1xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C 根据条件知，f (x )在(0，＋∞)上单调递减．对于A ，f (x )＝(x －1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除A ；对于B ，f (x )＝e x 在(0，＋∞)上单调递增，排除B ；对于C ，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，C 正确；对于D ，f (x )＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D.3．(2018·宜春模拟)函数f (x )＝log 3(3－4x ＋x 2)的单调递减区间为( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，1)，(3，＋∞) C ．(－∞，1)D ．(－∞，1)，(2，＋∞)解析：选C 由3－4x ＋x 2>0得x <1或x >3.易知函数y ＝3－4x ＋x 2的单调递减区间为(－∞，2)，函数y ＝log 3x 在其定义域上单调递增，由复合函数的单调性知，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，1)，故选C.4．(2018·贵阳模拟)下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是( ) A ．y ＝－2x ＋1 B ．y ＝1x C ．y ＝lg xD ．y ＝x 3解析：选B y ＝－2x ＋1在定义域上为单调递减函数；y ＝lg x 在定义域上为单调递增函数；y ＝x 3在定义域上为单调递增函数；y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为单调递减函数，但在定义域上不是单调函数．故选B.5．若函数f (x )＝8x 2－2kx －7在[1,5]上为单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，8]B ．[40，＋∞)C ．(－∞，8]∪[40，＋∞)D ．[8,40]解析：选C 由题意知函数f (x )＝8x 2－2kx －7的图象的对称轴为x ＝k8，因为函数f (x )＝8x 2－2kx －7在[1,5]上为单调函数，所以k 8≤1或k8≥5，解得k ≤8或k ≥40，所以实数k的取值范围是(－∞，8]∪[40，＋∞)．故选C.6．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 2－x x ＋3在(－∞，m )上单调递减，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．[－2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2]解析：选D ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，∴f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 2－x x ＋3＝(x －1)(x ＋3)－2×(－x )＝x 2＋4x －3＝(x ＋2)2－7，∴f (x )的单调递减区间为(－∞，－2)， ∵函数f (x )在(－∞，m )上单调递减，∴(－∞，m )⊆(－∞，－2)，即m ≤－2.故选D. 对点练(二) 函数的最值1．已知a >0，设函数f (x )＝2 018x ＋1＋2 0162 018x ＋1(x ∈[－a ，a ])的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝( )A ．2 016B ．2 018C ．4 032D ．4 034解析：选D 由题意得f (x )＝2 018x ＋1＋2 0162 018x ＋1＝2 018－22 018x＋1.∵y ＝2 018x ＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，∴f (x )＝2 018－22 018x ＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，∴M ＝f (a )，N ＝f (－a )，∴M ＋N ＝f (a )＋f (－a )＝4 036－22 018a＋1－22 018－a ＋1＝4 034. 2．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x 在区间(1，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数解析：选D 由题意知a <1，又函数g (x )＝x ＋ax －2a 在[|a |，＋∞)上为增函数，故选D.3．(2018·湖南雅礼中学月考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log ax ，x >2(a >0且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(0,2]C ．[2，＋∞)D ．(1,2 2 ]解析：选A 当x ≤2时，－x ＋6≥4.当x >2时，⎩⎪⎨⎪⎧3＋log a x ≥4，a >1，∴a ∈(1,2]，故选A.4．(2018·安徽合肥模拟)已知函数f (x )＝(x 2－2x )·sin(x －1)＋x ＋1在[－1,3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝( )A ．4B ．2C ．1D ．0解析：选A 设t ＝x －1，则y ＝(x 2－2x )sin(x －1)＋x ＋1＝(t 2－1)sin t ＋t ＋2，t ∈[－2,2]．记g (t )＝(t 2－1)sin t ＋t ＋2，则函数y ＝g (t )－2＝(t 2－1)sin t ＋t 是奇函数．由已知得y ＝g (t )－2的最大值为M －2，最小值为m －2，所以M －2＋(m －2)＝0，即M ＋m ＝4.故选A.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x <1，则f (x )的最小值是________．解析：当x ≥1时，x ＋2x －3≥2x ·2x －3＝22－3，当且仅当x ＝2x ，即x ＝2时等号成立，此时f (x )min ＝22－3＜0；当x ＜1时，lg(x 2＋1)≥lg(02＋1)＝0，此时f (x )min ＝0.所以f (x )的最小值为22－3.答案：22－36．(2018·益阳模拟)已知函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤38，49，则函数g (x )＝f (x )＋1－2f (x )的值域为________．解析：∵38≤f (x )≤49，∴13≤1－2f (x )≤12.令t ＝1－2f (x )，则f (x )＝12(1－t 2)⎝⎛⎭⎫13≤t ≤12，令y ＝g (x )，则y ＝12(1－t 2)＋t ，即y ＝－12(t －1)2＋1⎣⎡⎦⎤13≤t ≤12.∴当t ＝13时，y 有最小值79；当t ＝12时，y 有最大值78.∴g (x )的值域为⎣⎡⎦⎤79，78. 答案：⎣⎡⎦⎤79，78[大题综合练——迁移贯通]1．已知函数f (x )＝ax ＋1a (1－x )(a >0)，且f (x )在[0,1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值．解：f (x )＝⎝⎛⎭⎫a －1a x ＋1a ，当a >1时，a －1a >0，此时f (x )在[0,1]上为增函数，∴g (a )＝f (0)＝1a ；当0<a <1时，a －1a <0，此时f (x )在[0,1]上为减函数，∴g (a )＝f (1)＝a ；当a ＝1时，f (x )＝1，此时g (a )＝1.∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0<a <1，1a ，a ≥1，∴g (a )在(0,1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，又a ＝1时，有a ＝1a＝1，∴当a ＝1时，g (a )取最大值1.2．(2018·衡阳联考)已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．解：(1)证明：设x 1>x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在R 上为减函数．(2)∵f (x )在R 上是减函数，∴f (x )在[－3,3]上也是减函数，∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)．而f (3)＝3f (1)＝－2，且f (0)＋f (0)＝f (0)，∴f (0)＝0，又f (－3)＋f (3)＝f (－3＋3)＝0，∴f (－3)＝－f (3)＝2.∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.3．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．解：(1)证明：任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增．(2)任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1.综上所述知a 的取值范围是(0,1]．。

高考数学课标通用(理科)一轮复习课时跟踪检测：31Word版含解析

课时追踪检测 (三十一 )[高考基础题型得分练 ]1．数列 0,1,0，－1,0,1,0，－1，的一个通项公式是 a n等于 ()－1n＋1πA.B．cos n22n＋1n＋2C．cos 2 πD．cos 2π答案： D分析：令 n＝1,2,3，，逐个考证四个选项，易得D 正确．2．设 a n＝－ 3n2＋15n－18，则数列 { a n}中的最大项的值是 () 1613A. 3B．3C．4D．0答案： D分析：∵a n＝－ 3n－52＋3，由二次函数性质，适当 n 24＝2 或 3 时， a n获得最大值为 0.3．[2017 ·湖北黄冈模拟 ]已知数列 { a n} 的前 n 项和为 S n＝n2－2n ＋2，则数列 { a n} 的通项公式为 ()A ．a n＝2n－3B．a n＝2n＋31，n＝1，1，n＝1，C．a n＝D．a n＝2n－3，n≥22n＋3，n≥2答案： C分析：当 n＝1 时，a＝S1＝；当n≥时，＝－－＝2n－，112a n S n S n 13因为 a1的值不合适上式，应选 C.4．[2017 ·河北保定调研 ]在数列 { a n} 中，已知 a1＝1，a n＋1＝2a n＋1，则其通项公式为a n＝()A ．2n－1B．2n－1＋1C．2n－1D．2(n－1)答案： A分析：解法一：由 a n＋1＝2a n＋1，可求 a2＝3，a3＝7，a4＝15，，考证可知， a n＝2n－1.解法二：由题意知， a n＋1＋1＝2(a n＋1)，∴数列{ a n＋1} 是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列，∴ a n＋1＝2n，∴a n＝2n－1.5．[2017·山西四校联考]已知数列n的前n项和为n，S n＝2a n{ a }S－n，则 a n＝()A ．2n－1－1B．2n－1C．2n－1D．2n＋1答案： B分析：当 n≥2 时，a n＝S n－S n－1＝2a n－n－2a n－1＋(n－1)，即 a n ＝2a n－1＋1，∴a n＋1＝2(a n－1＋1)，∴数列{ a n＋1} 是首项为 a1＋1＝2，公比为 2 的等比数列，∴a n＋1＝2·2n－1＝2n，∴a n＝2n－1.6．数列 { a n} 知足 a n＋1＋a n＝2n－3，若 a1＝2，则 a8－a4＝()A ．7B．6C．5D．4答案： D分析：依题意，得 (a n＋2＋ a n＋1)－ (a n＋1＋a n)＝ [2(n＋1)－ 3]－ (2n －3)，即 a n＋2－a n＝2，因此 a8－a4＝(a8－a6)＋(a6－a4)＝2＋2＝4.7．在数列 { a n} 中，已知a1＝2，a2＝7，a n＋2等于 a n a n＋1(n∈N*)的个位数，则 a2 015＝()A ．8B．6C．4D．2答案： D分析：由题意，得 a3＝，4＝，5＝2， 6＝，7＝，8＝，4 a8 a a 6 a 2 a2 a9＝4，a10＝8.因此数列中的项从第 3 项开始呈周期性出现，周期为 6，故 a2 015＝a335×6＋5＝a5＝2.8．已知数列 { a n} 知足 a n＋1＝a n－a n－1(n≥2)，a1＝1，a2＝3，记S n＝a1＋a2＋＋ a n，则以下结论正确的选项是 ()A ．a2 014＝－ 1，S2 014＝2B．a2 014＝－ 3，S2 014＝5C．a2 014＝－ 3，S2 014＝2D．a2 014＝－ 1，S2 014＝5答案： D分析：由 a n＋1＝a n－a n－1(n≥2)知，a n＋2＝a n＋1－a n，则 a n＋2＝－a n－1(n≥2)，a n＋3＝－ a n，，a n＋6＝a n，又 a1＝1，a2＝3，a3＝2，a4＝－ 1，a5＝－ 3，a6＝－ 2，因此当 k∈N时， a k＋1＋a k＋2＋a k＋3＋a k＋4＋a k＋5＋a k＋6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，因此 a2 014＝a4＝－ 1，S2 014＝a1＋a2＋a3＋a4＝1＋3＋2＋(－1)＝5.9 ．在数列 { a n} 中， a1＝ 1 ，关于全部的n≥2 ， n∈N*，都有a 1a 2a 3· ·a n ＝n 2，则 a 3＋a 5＝________.61答案： 16分析：由题意知， a 1a 2a 3· ·a n －1＝(n －1)2，n∴a n ＝ n －1 2(n ≥2)，∴a 3＋a 5＝3 2 5 2 612 ＋4 ＝ .16．设是首项为的正项数列，且＋22＋a ＋ · 10 { a n } 1 ＋－na(n 1)a n 1n n 1 a n＝ 0(n ＝1,2,3， )，则它的通项公式 a n ＝________.1答案： n分析： ∵(n ＋1)a 2n ＋ 1＋a n ＋1·a n －na n 2＝0，∴(a n ＋1＋a n )[( n ＋1)a n ＋ 1－na n ]＝0.又 a n ＋ 1＋a n >0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，即a n ＋1na 2 a 3 a 4 a 5a n 12 3 4n －1，∵ ＝，∴ ···· · ＝×××× ×na nn ＋1a 1 a 2 a 3 a 42345a n － 11a 1＝1，∴a n ＝n .11．[2017 ·山西太原二模 ]已知数列 { a n } 知足 a 1＝1，a n － a n ＋1＝na n a n ＋1(n ∈ N *)，则 a n ＝________.2答案： n 2－n ＋2分析：由已知，得1－ 1＝n ，a n ＋1a n1 11111∴ －＝n －1，－＝n －2，，－＝1，a n a n －1a n － 1 a n －2a 2 a 1∴1 － 1 ＝ n n －1 ，∴1＝ n 2－n ＋2 ，a n a 1 2 a n 22∴a n＝n 2－n ＋2.12．已知 a n ＝n 2＋λn，且关于随意的 n ∈N *，数列 { a n } 是递加数列，则实数 λ的取值范围是 ________．答案： (－3，＋∞ )分析：因为 { a n } 是递加数列，因此对随意的 n ∈N * ，都有 a n ＋1＞a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)＞ n 2＋λn，整理得 2n ＋ 1＋λ＞0，即 λ＞－ (2n ＋1)．(*)因为 n ≥1，因此－ (2n ＋1)≤－3，要使不等式 (*) 恒建立，只要 λ＞－ 3.[ 冲刺名校能力提高练 ]1．[2017 ·山东日如实验中学月考 ] 假如数列 { a n } 知足 a 1＝2，a 2＝a n －1 －a na n －a n ＋ 110项等于()1，且＝(n ≥2)，则这个数列的第a n －1a n ＋1A.110 B ． 192 211C.5D ．10答案： Ca n －1－a n a n －a n ＋1分析： ∵ ＝ a n ＋1 ，a n －1∴1－a n＝a n－1，a n＋a n＝2，a n －1 a n ＋1 a n －1 a n ＋1∴1121＋＝，故是等差数列．a n －1a n ＋1 a na n又 d ＝ 1 － 1 ＝1，∴1 ＝1＋9×1＝5，a 2 a 1 2 a 10 2 21 故 a 10＝5.2．已知 { a n } 知足 a n ＋1＝a n ＋2n ，且 a 1＝33，则a n的最小值为 ()nA ．21B ．102117C. 2D ． 2答案： C分析：由已知条件可知，当 n ≥2 时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋＋(a n －a n －1)＝ 33＋2＋4＋＋2(n －1)＝ n 2－n ＋33.又 n ＝1 时， a 1＝33 知足此式，a n33因此 n ＝n ＋ n －1.a n 33 令 f(n)＝ n ＝n ＋ n －1，则 f(n)在[1,5] 上为减函数，在 [6，＋ ∞)上为增函数，5321又 f(5)＝ 5 ，f(6) ＝ 2 ，a n 21则 f(5)>f(6)，故 f(n)＝ n 的最小值为 2.3．[2017 ·北京海淀区期末 ] 若数列 { a n } 知足： a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列 { a n } 的前 n 项和数值最大时， n 的值为 ()A ．6B ．7C ．8D ．9答案： B分析： ∵a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－ 3，∴数列{ a n } 是以 19 为首项，－ 3 为公差的等差数列，∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n.设 { a n } 的前 k 项和数值最大，则有a k ≥0，k ∈N * ，∴22－3k ≥0，a k ＋ 1≤0，22－3 k ＋1≤0，19 22 ∴3 ≤k ≤ 3 .∵k ∈N *，∴k ＝7.∴知足条件的 n 的值为 7.1＋a n4．[2017 ·贵州贵阳监测 ]已知数列 { a n } 知足 a 1＝2，a n ＋ 1＝1－a n (n∈N *)，则该数列的前 2 015 项的乘积 a 1a 2a 3· ·a 2 015＝________.答案： 3分析：由题意可得， a 1＋a1＝－，＝1＋a21，1＋a3＝＝－＝21－a1 3 a31－a22 a41－a3 11＋a4＝，a5＝＝2＝a1，∴数列{ a n}是以4为周期的数列，而 2 015＝31－a44×503＋3，a1a2a3a4＝1，∴前2 015 项的乘积为 1503·a1a2a3＝3.5．[2017 ·甘肃天水一模 ]已知数列 { a n} 中， a1＝1，且 a n＋a n＋1＝2n，求数列 { a n} 的通项公式．解：∵a n＋a n＋1＝2n，①∴a n＋1＋a n＋2＝2n＋1，②②－①，得 a n＋2－a n＝2n.由 a1＝1，a1＋a2＝2，得 a2＝1.当 n 为奇数时，a n＝(a n－a n－2)＋(a n－2－a n－4)＋＋ (a3－a1)＋a1＝2n－2＋2n－4＋＋ 2＋1＝13×2n＋13；当 n 为偶数时，a n＝(a n－a n－2)＋(a n－2－a n－4)＋＋ (a4－a2)＋a2＝2n－2＋2n－4＋＋ 22＋1＝13×2n－13.13×2n＋13，n为奇数，故 a n＝13×2n－13，n为偶数 .6．已知数列n中， n ＝ 1＋1∈*，a ∈R ，且 a ≠0)．{ a } aa ＋2 n － 1 (n N(1)若 a ＝－ 7，求数列 { a n } 中的最大项和最小项的值；(2)若对随意的 n ∈N *，都有 a n ≤a 6 建立，求 a 的取值范围．解： (1)∵a n ＝1＋1∈N *，a ∈R ，且 a ≠0)，a ＋2 n －1(n1又∵ a ＝－ 7，∴ a n＝1＋2n －9.1联合函数 f(x)＝1＋2x －9的单一性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4，a 5>a 6>a 7> >a n >1(n ∈N *)．∴数列 { a n } 中的最大项为 a 5＝2，最小项为 a 4＝0.1 (2)a n ＝1＋12.＝1＋2－aa ＋2 n －1n － 2∵对随意的 n ∈ N *，都有 a n ≤a 6 建立，12联合函数 f(x)＝1＋2－a 的单一性知，x － 22－a 5<2<6，∴－ 10<a<－8.故 a 的取值范围为 (－ 10，－ 8)．。

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