苏教版高中数学必修4课件：第1章1.1-1.1.1任意角

所以 2α 是第三或第四象限角，以及终边落在 y 轴的 非正半轴上的角． k·360°＋90°＜α＜k· 360°＋180°，k∈Z， α 所以 k· 180°＋45°＜ ＜k· 180°＋90°，k∈Z， 2 当 k 为偶数时，令 k＝2n，n∈Z， α α 则 n· 360° ＋45°＜ ＜n· 360°＋90°， 为第一象限角； 2 2
1 任意角
[情景导入] 你的手表慢了 5 分钟，你是怎样将它校 准的？假如你的手表快了 1.25 小时，你应当如何将它校 准？当时间校准后， 分针旋转了多少度？从该问题中可以 看出，要正确地表达“校准”手表的过程，需要同时说明 分针的旋转量和旋转方向．当分针旋转超过一周后，如何 表述这样的量呢？我们有必要对角的概念加以推广．
[变式训练] 已知 α＝－1 845°，在与 α 终边相同的 角中，求满足下列条件的角． (1)最小的正角； (2)最大的负角； (3)在－360°～720°间的角．
解：因为－1 845°＝－45°＋(－5)×360°与－45°角的 终边相同，所以与角 α 终边相同的角的集合为{β|β＝－ 45°＋k·360°，k∈Z}．
2．角的分类． (1)正角——按逆时针方向旋转所形成的角； (2)零角——射线没有作任何旋转形成的角； (3)负角——按顺时针方向旋转所形成的角．
二、象限角和轴线角 1．象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为 x 轴非负半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除 端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角． 2．轴线角：如果角的终边在坐标轴上，称这个角为 轴线角．
当 k 为奇数时，令 k＝2n＋1，n∈Z， α α 则 n· 360°＋225°＜ ＜n· 360°＋270°， 为第三象限角． 2 2 α 所以 为第一或第三象限角． 2
规律方法 1．谨防出现这样的错误：由 α 是第二象限角，仅想 α α 到 90°＜α＜180°，得到 45°＜ ＜90°，从而仅得到 为第 2 2 α 一象限角，而将 是第三象限角的可能性丢掉． 2
(1)最小的正角为 315°. (2)最大的负角为－45°. (3)－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°.
题型 3 象限角、轴线角 α [典例 3] 已知角 α 是第二象限角，则角 2α， 分别 2 是第几象限角？ 解：因为 α 是第二象限角，则 k·360°＋90°＜α＜k· 360°＋180°，k∈Z. 所以 2k· 360°＋180°＜2α＜2k· 360°＋360°，k∈Z.
(3)k· 360°与 α 之间是“＋”号，k·360°－α 可理 解为 k· 360°＋(－a).
题型 1 任意角的概念 [典例 1] (1)已知集合 A＝{第一象限角}， B＝{锐角}， C＝{小于 90°的角}，则下面关系正确的是( A．A＝B＝C C．A⊂C＝B B．A⊆C D．B∪C⊆C )
(2)在下列说法中： ①时钟经过两个小时，时针转过的角是 60°； ②钝角一定大于锐角； ③射线 OA 绕端点 O 按逆时针旋转一周所成的角是 0°； ④小于 90°的角都是锐角． 其中错误说法的序号为 ________( 错误说法的序号都写 上 )．
解析：(1)第一象限角可表示为 k· 360°<α<k·360°＋ 90°，k∈Z；锐角可表示为 0°<β<90°，小于 90°的角可表示 为 γ<90°，由三者之间的关系可知 B∪C⊆C. (2)①时针经过两个小时，时针按顺时针方向旋转 60°，因而转过的角为－60°，所以①不正确．
②钝角 α 的取值范围为 90°<α<180°，锐角 θ 的取值 范围为 0°<θ<90°，因此钝角一定大于锐角，所以②正确． ③射线 OA 按逆时针旋转一周所成的角是 360°， 所以 ③不正确． ④锐角 θ 的取值范围是 0°<θ<90°， 小于 90°的角也可 以是零角或负角，所以④不正确．
三、终边相同的角 与角 α 终边相同的角的集合为

β|β＝α＋k· 360°，k∈Z ．即任一与角 α 终边相同的角，

都可以表示成角 α 与整数个周角的和．
一、任意角的概念理解 高中角的概念是以动态观点来刻画的，是初中角的 静态定义的推广． 角的三要素是：顶点、始边与终边． 正角与负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正 负规定纯属习惯使然，就好像正数、负数的规定一样．零 角无正负，就好像数零无正负一样．
5 分针转过的角度是： ×360°＝30°， 60 5 时针转过的角度是： ×30°＝2.5°. 60 答案：30 2.5
题型 2 终边相同的角 [典例 2] 写出终边落在直线 y＝x 上的角的集合． 解：在 0°≤α<360°范围内，终边落在直线 y＝x 上的 角有 45°和 225°. 与 45 °角终边相同的角的集合为 S3 ＝ {α|α ＝ 45 °＋ k· 360°，k∈Z}，
2．熟悉下列事实，对我们解答有关问题大有好处． α (1)当 α 为第一、第二象限角时， 为第一、第三象限 2 角． α (2)当 α 为第三、第四象限角时， 为第二、第四象限 2 角．
α [变式训练] 已知 α 为第三象限的角，则 所在的象 2 限是( ) B．第二或第三象限 D．第二或第四象限
答案：(1)D (2)①③④
规律方法 1．对角的概念的理解要紧紧抓住“旋转”二字，用 运动的观点来看待，一是要明确旋转的方向，二是要明确 旋转的大小，三是要明确射线未做任何旋转时的位置，从 而得到正角、负角、零角的定义． 2．判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举
出反例即可．
[ 变式训练 ] 要将时钟拨慢 5 分钟，则分针转了 ________度．时针转了________度． 解析：将时钟拨慢了 5 分钟，分针、时针都是按逆时 针方向转动，转过的是正角．
与 225°角终边相同的角的集合为 S4＝{α|α＝225°＋ k· 360°，k∈Z}， 故终边在直线 y＝x 上的角的集合为： S＝S3∪S4＝{α|α＝45°＋2k· 180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋ (2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋k· 180°，k∈Z}．
规律方法 1．终边相同的角之间相差 360°的整数倍，终边在同 一直线上的角之间相差 180°的整数倍． 2．要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其 方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式， 再依条 件构建不等式求出 k 的值．
A．第一或第二象限 C．第一或第三象限
解析：由 k· 360°＋180°＜α＜k· 360°＋270°，k∈Z， α 得 k·180°＋90°＜ ＜k· 180°＋135°，k∈Z.对 k 分奇、 2 偶数讨论：
α 当 k＝2n，n∈Z 时， 为第二象限角；当 k＝2n＋1， 2 α n∈Z 时， 为第四象限角． 2 答案：D
[学习目标] 1.了解正角、负角、零角和象限角的概 念，理解任意角的概念． 2.掌握终边相同的角的表示方 法． 3.能够判断任意角所在的象限．
一、任意角 1．任意角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着 它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．射 线旋转的开始位置是角的始边，射线的终止位置是角的 终边，射线的端点是角的顶点．
二、象限角的概念 判断一个角在哪个象限时，必须使角的顶点与坐标 原点重合， 角的始边与 x 轴非负半轴重合为前提， 再看终 边在第几象限，否则，就不能加以判断说明． 轴线角不属于任何象限，如 0°，90°，270°， 360°，－90°，－180°，－270°，－360°等都是轴线 角．
三、终边相同的角的认知 与角 α 终边相同的角的集合为{β|β＝k· 360°＋α，k ∈Z}． 注意以下几点： (1)α 为任意角，k∈Z. (2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定 相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍；