第八章 空间解析几何与向量代数知识点,题库与答案
8第八章空间解析几何答案
8第八章空间解析几何答案第八章空间解析几何与向量代数§8.1向量及其线性运算1.填空题（1）点关于面对称的点为（），关于面对称的点为（），关于面对称的点为（）.（2）点关于轴对称的点为（），关于轴对称的点为（），关于轴对称的点为（），关于坐标原点对称的点为（）.2. 已知两点和，计算向量的模、方向余弦和方向角.解：因为，故，方向余弦为，，，方向角为，， .3. 在平面上，求与、、等距离的点.解：设该点为，则，即，解得，则该点为.4. 求平行于向量的单位向量的分解式.解：所求的向量有两个，一个与同向，一个与反向. 因为，所以.5. 已知点且向量在x轴、y轴和z轴上的投影分别为，求点的坐标.解：设点的坐标为，由题意可知，则，即点的坐标为.§8.2 数量积向量积1.若，求的模.解：所以.2.已知，证明：.证明：由，可得，可知，展开可得，即，故.3. 。
4.已知，，求与的夹角及在上的投影.解：，，. 因为，所以.5..§8.3 曲面及其方程1.填空题（1）将xOz坐标面上的抛物线绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（），绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）.（2）以点为球心，且通过坐标原点的球面方程为（）.（3）将坐标面的圆绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）. 2.求与点与点之比为的动点的轨迹，并注明它是什么曲面.解：设动点为，由于，所以，解之，可得，即，所以所求的动点的轨迹为以点为心，半径为的球面.3§8.4 空间曲线及其方程1. 填空题（1）二元一次方程组在平面解析几何中表示的图形是（两相交直线的交点）；它在空间解析几何中表示的图形是（两平面的交线，平行于轴且过点）.（2）旋转抛物面在面上的投影为（），在面上的投影为（），在面上的投影为（）.2.求球面与平面的交线在面上的投影方程.解：将代入，得，因此投影方程为.4.分别求母线平行于轴、轴及轴且通过曲线的柱面方程.解：在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.4.将下列曲线的一般方程化为参数方程：（1）.解：将代入得，即. 令，，所求的参数方程为..§8.5 平面及其方程1. 填空题（1）一平面过点且平行于向量和，平面的点法式方程为（）,平面的一般方程为（）,平面的截距式方程（）,平面的一个单位法向量为（）.（2）设直线的方程为，当（）时，直线过原点；当（）且（或有一个成立）时，直线平行于轴但不与轴相交；当（）时，直线与轴相交；当（）时，直线与轴重合.2.求过三点，和的平面方程.解：由平面的三点式方程知，所求的平面方程为=0，即.3.求过点且垂直于两平面和的平面方程.解：该平面的法向量为，平面的方程为，即.4.分别按下列条件求平面方程：（1）平行于平面且经过点；（2）通过轴和点；（3）求平行于轴，且经过两点和的平面方程.解：（1）平面的法向量是，可作为所求平面的法向量，因此所求平面的方程为，即.（2）所求平面的法向量即垂直于轴又垂直于向量，所以所求平面的法向量为，因此所求平面的方程为，即.（3）由于所求平面平行于轴，故设所求平面方程为. 将点和分别代入得及，解得及. 因此所得方程为，即.§8.6 空间直线及其方程1. 填空题（1）直线和平面的关系是（平面与直线互相垂直）.（2）过点且与直线平行的直线的方程是（）.（3）直线与直线的夹角为（）.2.化直线为对称式方程和参数方程.解：直线的方向向量为. 取，代入直线方程可得，. 所以直线的对称式方程为.令，所给直线的参数方程为.3.求过点且与直线垂直的平面方程.解：直线的方向向量可作为所求平面的法向量，即.所求平面的方程为，即.4. 确定的值，使直线与平面平行，并求直线与平面之间的距离.解：直线的方向向量，要使直线与平面平行，只要（其中为平面的法向量），即，解得. 令，代入直线的方程可得，，直线与平面之间的距离.第八章空间解析几何与向量代数综合练习1.填空题：（1）已知，，且与夹角为，则（）.（2）若向量，平行，则（）.（3）已知向量的模为，且与轴的夹角为，与y轴的夹角为，与z 轴的夹角为锐角，则=（）.（4）曲线 (a、b为常数)在xOy平面上投影曲线是（）.（5）xOy平面上曲线绕x轴旋转一周所得旋转曲面方程是（）.（6）直线与平面的夹角的正弦（）.（7）方程所表示的曲面名称为（双曲抛物面）.（8）与两直线及都平行，且过原点的平面方程是（）.（9）已知动点到平面的距离与点到点的距离相等，则点的轨迹方程为（）.（10）与两平面和等距离的平面方程为（）.2. 设，，求向量，使得成立，这样的有多少个，求其中长度最短的.解：设，则，则，因此这样的，有无穷个.由于，因此，当时，即长度最短.3.已知点和点，试在轴上求一点，使得的面积最小.解：设，则，，，故的面积为，显然，当时，的面积最小，为，所求点为.4. 求曲线在各坐标平面上的投影曲线方程.解：在平面投影为；在平面投影为；在zOx平面投影为.5.求原点关于平面的对称点的坐标.解：过原点作垂直于平面的直线，该直线的方向向量等于平面的法向量，所求直线的对称式方程为，即为其参数方程. 将此参数方程代入平面，有，解得，即直线与平面的交点为. 设所求的对称点为，则，，，即所求的对称点为.6.求直线在平面上的投影直线绕轴线转一周所成曲面的方程.解：过作垂直于平面的平面，所求的直线在平面上的投影就是平面和的交线. 平面的法向量为：，则过点的平面的方程为：，即. 所以投影线为. 将投影线表示为以为参数的形式：，则绕轴的旋转面的方程为，即.7.求球心在直线上，且过点和点的球面方程.解：设球心为，则，即.又因为球心在直线上，直线的参数方程为，将直线的参数方程代入，可得，球心坐标为，所求球面方程为.8.已知两条直线的方程是，，求过且平行于的平面方程.解：因为所求平面过，所以点在平面上. 由于平面的法向量垂直于两直线的方向向量，因此平面的法向量为. 因此所求平面的方程为，即.9. 在过直线的所有平面中，求和原点距离最大的平面.解：设平面束方程为，即，平面与原点的距离为要使平面与原点的距离最大，只要，即该平面方程为.10. 设两个平面的方程为和（1）求两个平面的夹角. （2）求两个平面的角平分面方程.（3）求通过两个平面的交线，且和坐标面垂直的平面方程.解：（1）两个平面的法向量为和，设两个平面的夹角为，则，所以.（2）因为角平分面上任意一点到两个平面的距离相等，由点到平面的距离公式，可得，即，所求的角平分面方程为或.（3）设通过两个平面的交线的平面方程为，即，由于该平面垂直于坐标面，所以，可得，因此所求的平面方程为.。
(完整版)高数期末复习题第八章空间解析几何与向量代数
第八章一、填空题8.1.1.1、点)1,3,2(-M 关于xoy 面的对称点是)1,3,2(-- .8.1.2.3、向量)2,20(),1,4,2(-=-=b a ϖϖ，则同时垂直于b a ϖϖ,的单位向量为)1,1,1(31--±. 8.1.3.1、向量=⊥-=-=c ,),,2,1(),1,1,3( 则： 且 b a c b a ϖϖϖϖ 1 . 8.1.41、点)1,2,1(M 到平面01022=-++z y x 的距离为 1 .8.1.51、. 过点02)1,2,1(=+-z y x 与平面 平行的平面方程为12=+-z y x 8.1.6.2、平面3=y 在坐标系中的位置特点是 平行xoz 面 .8.1.7.2、过三点A （2，0，0），B （0，3，0），C （0，0，4）的平面方程为1432=++z y x . 8.1.8.2、过两点）（，（2,0,1),1,2321--M M 的直线方程是12241-==-+z y x . 8.1.9.3、过点)4,2,0(且与平面2312=-=+z y z x 及都平行的直线是14322-=-=-z y x . 8.1.10.3、曲面z y x =-22在xoz 面上的截痕的曲线方程为⎩⎨⎧==02y z x . 二、选择题8.2.1.2、点)3,0,4(在空间直角坐标的位置是 （ C ）A ．y 轴上； B. xoy 平面上； C. xoz 平面上； D. 第一卦限内。
8.2.2.2、设AB 与u 轴交角为α，则AB 在u 轴上的投影AB j u Pr = （C ）A ．αcos ； B. αsin ； C. α ； D. α.8.2.3.2、两个非零向量b a ρρ与互相垂直，则 （ B ）A ．其必要不充分条件是0=⋅b a ϖϖ； B. 充分必要条件是0=⋅b a ϖϖ；C ．充分不必要条件是0=⋅b a ϖϖ； D. 充分必要条件是0=⨯b a ϖϖ.8.2.4.2、向量),,(z y x a a a a =ϖ, ),,(z y x b b b b =ϖ 且 0=++z z y y x x b a b a b a 则 （ C ）A. b a ϖϖ//；B. λλ(b a ϖϖ=为非零常数) ；C. b a ϖϖ⊥ ；D. 0ϖϖϖ=+b a .8.2.5.2、平面0633=--y x 的位置是 （ B ）A ．平行xoy 面；B . 平行z 轴 ； C. 垂直z 轴； D. 通过z 轴.8.2.6.2、过点131111)1,1,1(--=+=-z y x 与直线 垂直的平面方程为 （ A ） A. 1=-+z y x ； B. 2=-+z y x ；C. 3=-+z y x ；D. 0=-+z y x .8.2.7.2、直线37423L z y x =-+=-+：与平面3224=--z y x 的位置关系是（ A ） A ．平行； B. 直线在平面上； C. 垂直相交； D. 相交但不垂直.8.2.8.2、xoy 面上曲线369422=-y x 绕x 轴旋转一周，所得曲面方程是（ C ）A ．369)4222=-+y z x （； B. 36)(9)42222=+-+z y z x （; C. 36)(94222=+-z y x ; D. 369422=-y x .8.2.9.2、球面2222R z y x =++与平面a z x =+交线在xoy 平面上投影曲线方程是（ D ）A ．2222)R z y z a =++-（； B. ⎩⎨⎧==++-0)(2222z R z y z a ； C. 2222)(R x a y x =-++； D. ⎩⎨⎧==-++0)(2222z R x a y x 8.2.10.3、方程⎩⎨⎧==++13694222y z y x 表示 （ B ）A ．椭球面； B. 1=y 平面上椭圆；C. 椭圆柱面；D. 椭圆柱面在平面0=y 上的投影曲线.三、计算题8.3.1.2、 一平面过点)1,0,1(-，且平行于向量)0,1,1()1,1,2(-==b a ϖϖ和，求这个平面。
高等数学期末复习向量代数与空间解析几何
高等数学期末复习第八章 向量代数与空间解析几何 一、内容要求1、了解空间直角坐标系，会求点在坐标面、坐标轴上的投影点的坐标2、掌握向量与三个坐标面夹角余弦关系3、会运用定义和运算性质求向量数量积4、会运用定义和运算性质求向量的向量积5、掌握向量数积和向量积的定义形式6、掌握向量模的定义与向量数量积关系7、掌握向量的方向余弦概念8、掌握向量的平行概念9、掌握向量的垂直概念10、能识别如下空间曲面图形方程：柱面，球面、锥面，椭球面、抛物面，旋转曲面，双曲面 11、掌握空间平面截距式方程概念，会化平面方程为截距式方程和求截距 12、会求过三点的平面方程，先确定平面法向量 13、会用点法式求平面方程，通常先确定平面法向量14、会求过一点，方向向量已知的直线对称式方程，通常先确定直线方向向量 15、会用直线与平面平行、垂直的方向向量法向量关系确定方程中的参数 16、掌握直线对称式方程标准形式，能写出直线方向向量 二、例题习题1、点)2,4,1(-P 在yoz 面上的投影点为( )； （内容要求1）A. )2,4,1(-QB. )2,0,1(-QC. )0,4,1(-QD. )2,4,0(Q 解：yoz 面不含x ，所以x 分量变为0，故选D2、设向量a 与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ（2,,0321πθθθ≤≤），则=++322212cos cos cos θθθ（ ）(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D); 3 解：由作图计算可知，222123cos cos cos 2θθθ++=，所以选C 。
（内容要求2）3、设向量a 与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ（2,,0321πθθθ≤≤），则=++322212cos cos cos θθθ ;解：222123coscos cos 2θθθ++=，所以填2。
（内容要求2）4、向量)3,1,1(-=a，)2,1,3(-=b ，则=⋅b a ( )；A.0 B. 1 C. 2 D. )2,11,5(---解：311(1)232a b ⋅=-⨯+⨯-+⨯=，所以选C 。
第八章空间解析几何与向量代数（整理解答）
第八章空间解析几何与向量代数（整理解答）第八章空间解析几何与向量代数一、空间直角坐标系，坐标面，坐标轴，投影坐标8.3 点)2,4,1(-P 在yoz 面上的投影点为( )；A. )2,4,1(-QB. )2,0,1(-QC. )0,4,1(-QD. )2,4,0(Q 解：在yoz 面上，坐标x 分量必为零，所以选D.二、向量，方向角，模，向量运算，数量积，向量积8.5设向量a 与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ（2,,0321πθθθ≤≤），则=++322212cos cos cos θθθ（）(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D); 3解：由作图计算可知，222123cos cos cos 2θθθ++=，所以选C 。
8.8 向量)3,1,1(-=a ，)2,1,3(-=b ，则=?b a ( )；A. 0B. 1C. 2D. )2,11,5(--- 解：311(1)232a b ?=-?+?-+?=，所以选C 。
8.12 向量}3,0,1{=a ，}2,1,1{-=b ，则=?b a ( )；A. 6B. 6-C. }1,1,3{-D. }1,1,3{-- 解：1033112ij k a b i j k ?==+--，所以选C 。
8.16 a 与b 为两个向量，θ为二者的夹角，则a b ?=( ).(A) sin ab θ (B) s i n a b θ (C) cos ab θ(D) cos a b θ解：由定义，选D 。
8.21 已知1,a b ==a 与b的夹角为4π，则a b +=( ). (A)(B) 1 (C) 2 (D) 1解：222||||2||||cos 5θ+=++?=a b a b a b ，所以，+=a b A 。
8.23 设,a b 为非零向量，且⊥a b ，则必有( ).(A) +=+a b a b (B) -=-a b a b (C) +=-a b a b (D) +=-a b a b解：因为⊥a b ，所以由向量加法和减法平行四边形法则+=-a ba b ，选C 。
第八章空间解析几何与向量代数
即有
b
a.
(
此时
b
与
a
同向,
且 a
a
b
a
b
)
两的式唯相一减性，.得又设设(bb)aaa，， 0，
即
a
a
0，
a
0
0
即 .
设 ea
表示与非零向量
a
同方向的单位向量，
按照数乘的定义，得
规定：
a
a
|
a
1
| ea
a
a
|a
即
| a |a
|
|
1 a
a |
ea
|
1 (| a|
a
OP 与实数 x 一一对应
点P 向量OP xi 实数 x 定义：轴上点P 的坐标为实数 x
x
Oi
P
x
轴上点P的坐标为x
OP x i
三、空间直角坐标系
在空间取定一点O和三个两两垂直
的单位向量 i , j, k
就确定了三条以O为原点的
i
两两垂直的数轴，依次记为
x轴, y轴, z轴
x
（横轴）（纵轴）（竖轴）统称为坐标轴
2
2
MC AM a b 2
定 理1 设 向 量a 0， 那 末 向 量b 平 行 于 向 量 a 的 充 分 必 要 条 件 是 ： 存在 唯 一 的
实数 ，使得 b a
证 充分性 显然
必要性 的存在性
设 b‖
a
取
b
,
即
b
a
a
当
b
与
a
同向时
取正值，
当
b
与
空间解析几何与向量代数
第八章空间解析几何与向量代数一、 选择题 1．设}.4,,1{},2,3,{y b x a -== 若b a //，则B（A ）、x=0.5y=6(B)、x=-0.5y=6(C)、x=1y=-7(D)、x=-1y=-32．平面x-2z=0的位置是 D 。
（Ａ）、平行ＸＯＺ坐标面。
（Ｂ）、平行ＯＹ轴 （Ｃ）、垂直于ＯＹ轴 （Ｄ）、通过ＯＹ轴3．下列平面中通过坐标原点的平面是 C 。
（Ａ）、x=1(Ｂ)、x+2z+3y+4=0(C)、3(x-1)-y+(y+3)=0(D)、x+y+z=14．已知二平面π１：mx+y-3z+1=0与π２：７x-2y-z=0当m ＝ Bπ１⊥π２。
（Ａ）、１／７ （Ｂ）、－１／７ （Ｃ）、７ （Ｄ）、－７ 5．二平面π１：x+y-11=0,π2:3x+8=0的夹角θ＝ C 。
（Ａ）、2π （Ｂ）、π／３ （Ｃ）、π／４ （Ｄ）、π／６6．下列直线中平行与XOY 坐标面的是D 。
（A ）233211+=+=-z y x （C ）10101z y x =-=+ （B ）{4404=--=--y x z x （D ）⎪⎩⎪⎨⎧==+=4321z t y t x 7．直线L 1：{7272=-+=++-z y x z y x 与L 2：{836302=-+=--z y x z y x 的关系是B 。
（A ）、L 1⊥L 2（B ）、L 1//L 2（C ）、L 1与L 2相交但不垂直。
（D ）、L 1与L 2为异面直线。
二、填空题1.点Ｐ（１，２，１）到平面x+2y+2z-10=0的距离是 1 。
2．当l =-4,及m=3时，二平面2x+my+3z-5=0与l x-6y-6z+2=0互相平行。
3．过点Ｐ（４，－１，３）且平行于直线51232-==-z y x 的直线方程 为532/1134-=+=-z y x 。
三、计算题1·求过点(3?0??1)且与平面3x ?7y ?5z ?12?0平行的平面方程?解所求平面的法线向量为n ?(3??7?5)?所求平面的方程为3(x ?3)?7(y ?0)?5(z ?1)?0?即3x ?7y ?5z ?4?0?2.求过点(2??3?0)且以n ?(1??2?3)为法线向量的平面的方程?解根据平面的点法式方程?得所求平面的方程为(x ?2)?2(y ?3)?3z ?0?即x ?2y ?3z ?8?0?3·求过三点M 1(2??1?4)、M 2(?1?3??2)和M 3(0?2?3)的平面的方程? 解我们可以用→→3121M M M M ⨯作为平面的法线向量n ?因为→)6 ,4 ,3(21--=M M ?→)1 ,3 ,2(31--=M M ?所以 →→k j i k j i n -+=----=⨯=9141326433121M M M M ? 根据平面的点法式方程?得所求平面的方程为14(x ?2)?9(y ?1)?(z ?4)?0?即14x ?9y ?z ?15?0?4·求过点(4??1?3)且平行于直线51123-==-z y x 的直线方程? 解所求直线的方向向量为s ?(2?1?5)?所求的直线方程为531124-=+=-z y x ? 5·求过两点M 1(3??2?1)和M 2(?1?0?2)的直线方程?解所求直线的方向向量为s ?(?1?0?2)?(3??2?1)?(?4?2?1)?所求的直线方程为 112243-=+=--z y x ? 6.?求与两平面x ?4z ?3和2x ?y ?5z ?1的交线平行且过点(?3?2?5)的直线的方程? 解?平面x ?4z ?3和2x ?y ?5z ?1的交线的方向向量就是所求直线的方向向量s ?? 因为)34(512 401)52()4(k j i k j i k j i k i s ++-=---=--⨯-=? 所以所求直线的方程为153243-=-=+z y x ? 7.一个平面过两点M 1(1?11?1)、M 2(0?1??1)，且垂直于平面x+y+z=0,求其方程 解：1098=-+z y x。
空间解析几何与向量代数复习题(答案)
第八章 空间解析几何与向量代数答案一、选择题1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 的模是（A ） A5 B 3 C6 D 92. 设a =（1,-1,3）, b =（2,-1,2），求c =3a -2b 是（ B ）A （-1,1,5）.B （-1,-1,5）.C （1,-1,5）.D （-1,-1,6）. 3. 设a =（1,-1,3）, b =（2, 1,-2），求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b 为（A ） A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D -2i -j +5k 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是（ C ）A2π B 4π C 3πD π 5. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是（ C ） A2π B 4π C 3πD π 6. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12213+=-=z y x 的距离是：（ A ）A 138B 118C 158D 17. 设,23,a i k b i j k =-=++r rr r r r r 求a b ⨯r r 是：（ D ）A -i -2j +5kB -i -j +3kC -i -j +5kD 3i -3j +3k8. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ A ）AB 364C 32D 3 9. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程是：（ D ）A 2x+3y=5=0B x-y+1=0C x+y+1=0D 01=-+y x ．10、若非零向量a,b 满足关系式-=+a b a b ，则必有（ C ）；A -+a b =a b ；B =a b ；C 0⋅a b =；D ⨯a b =0． 11、设,a b 为非零向量，且a b ⊥, 则必有（ C ）A a b a b +=+B a b a b -=-C +=-a b a bD +=-a b a b12、已知()()2,1,21,3,2---a =,b =，则Pr j b a =（ D ）； A53； B 5； C 3； D 13、直线11z 01y 11x -=-=--与平面04z y x 2=+-+的夹角为 （B ） A6π； B 3π； C 4π； D 2π． 14、点(1,1,1)在平面02=+-+1z y x 的投影为 （A ）（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0,21； （B ）13,0,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭； （C ）()1,1,0-；（D ）11,1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭．15、向量a 与b 的数量积⋅a b =（ C ）.A a rj P b a ；B ⋅a rj P a b ；C a rj P a b ；D b rj P a b ． 16、非零向量,a b 满足0⋅=a b ，则有（ C ）．A a ∥b ;B =λa b (λ为实数)；C ⊥a b ；D 0+=a b ． 17、设a 与b 为非零向量，则0⨯=a b 是（A ）．A a ∥b 的充要条件；B a ⊥b 的充要条件;C =a b 的充要条件；D a ∥b 的必要但不充分的条件． 18、设234,5=+-=-+a i j k b i j k ，则向量2=-c a b 在y 轴上的分向量是（B ）． A 7 B 7j C –1； D -9k19、方程组2222491x y z x ⎧++=⎪⎨=⎪⎩ 表示 （ B ）.A 椭球面；B 1=x 平面上的椭圆；C 椭圆柱面；D 空间曲线在1=x 平面上的投影. 20、方程 220x y +=在空间直角坐标系下表示 （C ）.A 坐标原点(0,0,0)；B xoy 坐标面的原点)0,0(；C z 轴；D xoy 坐标面. 21、设空间直线的对称式方程为012x y z==则该直线必（ A ）. A 过原点且垂直于x 轴； B 过原点且垂直于y 轴； C 过原点且垂直于z 轴； D 过原点且平行于x 轴. 22、设空间三直线的方程分别为123321034:;:13;:2025327x tx y z x y z L L y t L x y z z t=⎧+-+=⎧++⎪===-+⎨⎨+-=--⎩⎪=+⎩,则必有（ D ）.A 1L ∥2L ；B 1L ∥3L ；C 32L L ⊥；D 21L L ⊥.23、直线34273x y z++==--与平面4223x y z --=的关系为 ( A )． A 平行但直线不在平面上； B 直线在平面上；C 垂直相交；D 相交但不垂直．24、已知1,==a b 且(,)4∧π=a b , 则 +a b = ( D )． A 1； B1+ C 2； D.25、下列等式中正确的是( C )．A +=i j k ；B ⋅=i j k ；C ⋅=⋅i i j j ；D ⨯=⋅i i i i ． 26、曲面22x y z -=在xoz 平面上的截线方程为 (D)．A 2x z =； B 20y z x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩； C 2200x y z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩； D 20x zy ⎧=⎪⎨=⎪⎩．二、计算题1．已知()2,2,21M ，()0,3,12M ，求21M M 的模、方向余弦与方向角。
高等数学第八章空间解析几何与向量代数
|
c
|
102 52 5 5,
c0
|
c c
|
2
j
5
1 5
k
.
k
4 10 j 5k, 2
作业 P23习题8-2
1(1)、(3)，3，4，9
第三节 平面及其方程
一、平面的点法式方程
z
如果一非零向量垂直于一
平面，这向量就叫做该平
面的法线向量．
o
y
x
法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量．
定的平面, 指向符合右手系。
定义
向量
a
与
b
的向量积为
c
a
b
(其中
为a
与b
的夹角)
c 的方向既垂直于a，又垂直于b ，
指向符合右手系。
向量积也称为“叉积”、“外积”。
1、关于向量积的说明：
(1)
a
a
0.
( 0 sin 0)
(2) a//b
a b 0.
(a
0,
b
,
ab .
()
ab,
,
2
cos 0,
ab
|
a
|| b
2
| cos
0.
2、数量积符合下列运算规律：
(1) 交换律：
a
b
b
a
(2) 分配律：
(a b) c a c b c
(3) 若 为常数：
若 、 为常数：
(a)
b
a
(b)
(a
(a)
( b )
(a
b ).
3、向量积的坐标表达式
设
a
axi
(完整版)空间解析几何及向量代数测试题及答案
军教院 第八章空间解析几何测试题一、填空题（共7题，2分/空，共20分）1.四点(0,0,0)O ,(1,0,0)A ,(0,1,1)B ,(0,0,1)C 组成的四面体的体积是___16___. 2.已知向量(1,1,1)a →=,)3,2,1(=→b ,(0,0,1)c →=,则→→→⨯⨯c b a )(=__(-2,-1,0)____.3.点)1,0,1(到直线⎩⎨⎧=-=03z x y x 的距离是4.点)2,0,1(到平面321x y z ++=的距离是___________.5.曲线C:2201x y z z x ⎧+-=⎨=+⎩对xoy 坐标面的射影柱面是___2210x x y -+-=____,对yoz 坐标面的射影柱面是__22(1)0z y z -+-=_________,对xoz 坐标面的射影柱面是____10z x --=__________.6.曲线C:220x yz ⎧=⎨=⎩绕x 轴旋转后产生的曲面方程是__4224()x y z =+_____，曲线C 绕y 轴旋转后产生的曲面方程是___222x z y +=_______________.7.椭球面12549222=++z y x 的体积是_____40π____________.二、计算题（共4题,第1题10分,第2题15分,第3题20分, 第4题10分,共55分）1. 过点(,,)P a b c 作3个坐标平面的射影点,求过这3个射影点的平面方程.这里,,a b c 是3个非零实数.解: 设点(,,)P a b c 在平面0z =上的射影点为1(,,0)M a b ，在平面0x =上的射影点为2(0,,)M a b ，在平面0y =上的射影点为3(,0,)M a c ，则12(,0,)M M a c =-u u u u u u r，13(0,,)M M b c =-u u u u u u r于是1M ，12M M u u u u u u r ，13M M u u u u u u r所确定的平面方程是000x ay b z ac bc---=- 即 ()()0bc x a ac y b abz -+-+= .2.已知空间两条直线:1l 010x y z +=⎧⎨+=⎩,:2l 010x y z -=⎧⎨-=⎩.(1)证明1l 和2l 是异面直线;(2)求1l 和2l 间的距离;(3)求公垂线方程. 证明：(1) 1l 的标准方程是1110x y z +==-，1l 经过点1(0,0,1)M -，方向向量1{1,1,0}v =- 2l 的标准方程是2110x y z -==，2l 经过点2(0,0,2)M ，方向向量2{1,1,0}v =，于是1212003(,,)1106110M M v v =-=u u u u u u r0≠，所以1l 和2l 是异面直线。
同济高等数学第八章学习指导及习题详解
462第八章 向量代数与空间解析几何一、预习导引第一节 向量及其线性运算1. 中学阶段已经学习了向量的概念、线性运算及运算规律.阅读本节前两部分的内容，从中找出与你以前学过的向量有关内容不同之处.2. 尝试自己画出空间直角坐标系的图形，确认每一个卦限的方位.你能找出坐标轴上的点、坐标面上的点及各卦限内的点的坐标的特点吗？空间任意一个向量你能用坐标表示吗？阅读本节第三部分内容，从中找出答案.3. 在空间直角坐标系中，向量可以用坐标来表示，那么向量的线性运算是否也可以利用坐标作运算？点的坐标表示与向量的坐标表示有区别吗？利用坐标进行向量运算要注意什么问题？仔细阅读本节第四部分内容，你将会正确解答这些问题.4. 在空间直角坐标系中画出向量()1,2,2OM =，利用本节第三部分知识，求向量OM 的模及它与,,x y z 三个坐标轴的夹角（分别设为,,αβγ，称为向量的方向角）的余弦cos ,cos ,cos αβγ，并考察向量的模、方向余弦与其坐标的关系.这种关系式可以推广到空间任意向量吗？阅读本节第五部分的1、2，验证你的结论是否正确.在书上画出来空间任意两点间的距离公式.5 .阅读本节第五部分的3，细心体会向量在轴上的投影概念.向量(),,OM x y z =在三个坐标轴上的投影分别是什么？与向量OM 在三个坐标轴上的分向量有什么区别？注意向量投影的性质.第二节 数量积 向量积 *混合积1. 中学阶段我们已经学习了平面上两向量的数量积的定义、坐标表示及运算规律，请你尝试把数量积的定义、坐标表示及运算规463 律推广到空间向量.阅读本节第一部分内容，验证你的推论.2. 两向量的向量积是一个向量，怎样确定这个向量的模、方向及向量积如何用坐标表示、有什么运算规律？带着这些问题阅读本节第二部分，从中找出答案.3. 向量的混合积顾名思义，是指既含有向量积又含有数量积的向量运算，即()a b c ⨯⋅.根据本节前两部分所学知识，用坐标表示向量的混合积()a b c ⨯⋅；混合积()a b c ⨯⋅的几何意义是什么？阅读本节第三部分内容，检验你的结论.第三节 平面及其方程1. 在平面解析几何中，把平面曲线看作动点的轨迹，建立了曲线和二元方程之间的关系，那么空间曲面或曲线是否也可以看作动点的几何轨迹，建立三元方程或方程组之间的关系？阅读曲面方程与空间曲线方程的概念，从你熟悉的学习和生活实践中举例说明这些概念.2. 用坐标表示向量()0000,,M M x x y y z z =---垂直于向量(),,n A B C =.把(),,M x y z 看作动点，满足0M M n ⊥的点M 的集合在空间表示怎样的图形？如果把n 换为2n ，0M M n ⊥的坐标表示式会变吗？换为任意非零常数乘以n 呢？仔细阅读本节第二部分，回答上述问题，揣摩用平面的点法式方程求解的问题类型.3. 平面方程0Ax By Cz D +++=中，,,,A B C D 中任意一个为零、任意两个为零及,,A B C 中任意两个为零且0D =时，它们对应的几何图形分别有什么特点？阅读本节第三部分，总结特殊的三元一次方程所表示的平面的特点．4. 阅读本节第四部分，弄清楚两平面的夹角的概念，夹角取值的范围，并用向量的坐标表示两平面的夹角.思考如何判断两平面的位置关系.推导空间中的点到平面的距离公式.第四节 空间直线及其方程4641. 从几何的角度看，两张相交平面确定一条直线L ，直线L 用动点的坐标表示，即由两个三元一次方程构成的方程组.通过空间一条直线L 的平面有多少？L 的方程唯一吗？阅读本节第一部分，从中找出答案.2. 用坐标表示向量()0000,,M M x x y y z z =---平行于向量(),,s m n p =.把(),,M x y z 看作动点，满足0//M M s 的点M 的集合在空间表示怎样的图形？如果把s 换为2s ，0//M M s 的坐标表示式会变吗？换为任意非零常数乘以s 呢？仔细阅读本节第二部分，回答上述问题，在书上画出直线的对称式方程和参数式方程.3. 阅读本节第三部分，弄清楚两直线夹角的取值范围.如何计算两直线的夹角？如何判断两直线的位置关系？4. 阅读本节第四部分，弄清楚直线与平面的夹角的取值范围.如何计算直线与平面的夹角？如何判断直线与平面的位置关系？分析平面束方程与三元一次方程的关系.第五节 曲面及其方程1. 阅读本节第一部分内容，通过例1与例2仔细揣摩：已知空间曲面如何建立其方程；已知坐标,,x y z 间的一个方程怎样研究它所表示的曲面的形状.2. 阅读本节第二部分内容，找出在进行旋转曲面方程的推导过程中，变化的量和不变的量，总结旋转曲面的方程的特点.思考给定一个三元二次方程，你能判断出它是否是旋转曲面？如果是，你能给出它的母线的方程和轴吗？它的母线唯一吗？3. 柱面方程的特点是什么？它的图形有什么特点？柱面方程与平面曲线方程有什么区别与联系？带着这些问题，阅读本节第三部分内容，从中找出答案.4. 阅读本节第四部分内容，从中找出下列问题的答案，怎样方程表示的曲面是二次曲面？常见的二次曲面有哪些？它们的图形是怎样的？。
第八章答案
第八章 空间解析几何与向量代数第一节 向量及其线性运算一、填空题1.点(1,2,3)-在第Ⅴ卦限，点(2,3,1)--在第Ⅲ卦限．2.点(,,)x y z 到xoy 面、yoz 面、xoz 面的距离分别为z ，x ，y ；到x 轴、y 轴、z.3.点(,,)a b c 关于yoz 面的对称点是(,,)a b c -；与(,,)a b c -关于xoz 面对称；关于原点的 对称点是(,,)a b c ---．4.点M 的向径与x 轴成45角，与y 轴成60角，长度为6，若在z 轴上的坐标是负值，则点M的坐标为3)-．提示：设(,,)OM x y z =，cos 6x xr α===，x =1cos 26y y r β===，3y =；由222coscos cos 1αβγ++=，有1cos 2γ=-，3z =-.5.与向量(16,15,12)a =-平行，方向相反且长度为75的向量为(48,45,36)--．6．设()()11112222,,,,,M x y z M x y z ,则12M M=7.与向量(6,7,6)a =- 平行的单位向量为676,,111111⎛⎫±- ⎪⎝⎭．8.向量AB在x 轴、y 轴、z 轴上的投影依次为44-，，7，它的终点坐标为(2,1,7)B -， 则起点坐标(2,3,0)-．提示：若(,,)A x y z ，则AB(4,4,7)(2,1,7)x y z =-=----.9. 若()(),,,,,,x y z x y z a a a a b b b b ==则a b ± =(,,)x x y y z z a b a b a b ±±±． b a ⇔ ∥y x z x y za a ab b b ==．10．在xoy 面上，与三点(3,1,2),(4,2,2),(0,5,1)A B C --等距离的点为3821,,055⎛⎫-- ⎪⎝⎭．提示：设点(,,0)D x y ，由222AD BD CD ==得26108142x y x y -=⎧⎨-+=⎩.二、单项选择题1.设向量,a b互相平行，但方向相反，当0a b >> 时，必有 A ．Ａ．a b a b +=- Ｂ．a b a b +>- Ｃ．a b a b +<- Ｄ．a b a b +>+2.下列各组角可以作为某向量的方向角的是 A ．A ．90,150,60αβγ===B ．45,135,60αβγ===C ．60αβγ===D ．60,120,150αβγ===三、计算题1.已知两点()1M 和()23,0,2M ．计算向量12M M的模、方向余弦和方向角．解：()1M ，()23,0,2M ，∴()121,M M =-，122M M = ．∴1212M M M M11,222⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭，方向余弦为12-，，12，方向角为0120，0135，060． 2.设()()()3,5,8,2,4,7,5,1,4m n p ==--=- ，求向量43a m n p =+-在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量．解：()()()3,5,8,2,4,7,5,1,4m n p ==--=-，∴ 43(13,7,15)a m n p =+-= ， 故在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分向量为7j ． 3.向量a 与三坐标轴的正向构成相等的锐角，其模长为3，求a ．解：设 (,,)a x x x = ，且0x >，由3a = ，有239x =，得x =∴a =．第二节 数量积 向量积一、填空题1．a ⇔ ⊥b 0b a ⋅= ；a b ⇔ ∥0a b ⨯=．2．向量()(),,,,,x y z x y z a a a a b b b b ==,若两向量夹角为θ，则 cos θa b a b a b ++3．向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=- ,则()23a b -⋅= 18-,2a b ⨯= 10214i j k ++．4．已知点()()()2,4,,3,7,5,,10,9A n B C m 三点共线，则m = 4 ，n = 1 ．5．已知点()()()1231,1,2,3,3,1,3,1,3M M M -,与,M M M M 1223同时垂直的单位向量为2,2)--． 提示：与,M M M M 1223 同时垂直的单位向量为M M M M M M M M ⨯±⨯12231223.6．设()()2,5,1,1,3,2a b ==- ,a b λμ+与z 轴垂直，则λ与μ的关系2λμ=． 提示：()0a b k λμ+⋅=.7．,,a b c 为三个非零向量，a b ⊥,a 与c 的夹角为π3，b 与c 的夹角为π6，且a =1,2,3bc == ，则a b c ++=提示：2()()a b c a b c a b c ++=++⋅++ . 二、单项选择题1. 已知()()0,3,4,2,1,2a b ==- ，则ab =Pr j C ． A ．３ Ｂ．13-Ｃ．－１ Ｄ．１提示：515a a b b a⋅-===-Prj . 2.已知向量,a b的模分别为4,2a b ==，且a b ⋅= ，则a b ⨯= C ．A．2B．．．2 提示： cos(,)a b a b a b ⋅= ，cos(,)2a b = ， sin(,)a b a b a b ⨯==三、计算题1．()()()2,3,1,1,1,3,1,2,0a b c =-=-=-,求()a b c ⨯⋅ ．解：23185113i j ka b i j k ⨯=-=--+-，所以()(8,5,1)(1,2,0)2a b c ⨯⋅=--⋅-= ．2．求向量()4,3,4a =- 在向量()2,2,1b =上的投影．解：6Pr j 23b a b a b ⋅====． 3．已知3,26,72a b a b ==⨯=，求a b ⋅ ．解：∵sin 72a b a b θ⨯== ∴7212sin 32613θ==⨯，5cos 13θ==±，从而5cos 3263013a b a b θ⎛⎫⋅==⨯⨯±=± ⎪⎝⎭．4．化简：()()()a b c c a b c b b c a ++⨯+++⨯--⨯．解：()()()a b c c a b c b b c a ++⨯+++⨯--⨯a cbc a b c b b a c a =⨯+⨯+⨯+⨯-⨯+⨯ a c b c a b b c a b c a =⨯+⨯+⨯-⨯+⨯-⨯2()a b =⨯ ．第三节 曲面及其方程一、填空题1．xoy 面上双曲线224936x y -=分别绕x 轴、y 轴旋转一周所得旋转曲面的方程依次 为36)(94222=+-z y x 和369)(4222=-+y z x .2．曲面2221x y z --=是由xoy 面上的曲线221x y -=绕x 轴旋转一周所得或由xoz 面上 曲线122=-z x 绕x 轴旋转一周所得.3．2221484x y z ++=表示的曲面为 旋转椭球面 ． 4．2235x y z +=表示的曲面为 椭圆抛物面 ．5．z =表示的曲面为 圆锥面的上半部分 ．6.22y x =表示的曲面为 母线平行于z 轴的抛物柱面 ．二、计算题1．一动点与两定点()2,3,1A 和()4,5,6B 等距离，求这动点的轨迹方程． 解：设动点为),,(z y x P ，则由题意知：22||||PB PA =,从而222222)6()5()4()1()3()2(-+-+-=-+-+-z y x z y x即 0631044=-++z y x ∴动点的轨迹方程为：0631044=-++z y x ． 2.将xoz 坐标面上的曲线z x a =+分别绕x 轴及z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程. 解：在xoz 面上的a x z +=绕x 轴旋转一周，所得旋转曲面为：a x z y +=+±22即222)(z y a x +=+，同理，绕z 轴旋转一周后，得旋转曲面方程为：a y x z ++±=22， 即222)(y x a z +=-．3.说明下列旋转曲面是怎样形成的：⑴2221499x y z ++= ⑵22214yx z -+= 解：(1) xoy 面上的曲线19422=+y x (或xoz 面上的曲线19422=+z x )绕x 轴旋转一周所得；(2) xoy 面上的曲线1422=-y x (或yoz 面上的曲线1422=-y z )绕y 轴旋转一周所得． 4.画出由曲面4z =22z x y =+及221x y +=所围立体(含z 轴部分).解：4z =)4,0,0(的下半圆锥面，22z x y =+表示旋转抛物面，221x y +=表示圆柱面，从而三者所围立体即可得到，如图所示．第四节 空间曲线及其方程一、填空题1.母线平行于y 轴且经过曲线2222222160x y z x z y ⎧++=⎨+-=⎩的柱面方程为223216x z +=. 2.球面z =z =xoy 面上的投影方程为221x y z ⎧+=⎨=⎩. z 22z x y =+ 221x y +=4z =图8-1x yO3.旋转抛物面()2204z x y z =+≤≤在xoy 面上的投影为224x y z ⎧+≤⎨=⎩，在yo z 面上的投 影为240y z x ⎧≤≤⎨=⎩.4.圆锥面z =22z x =所围立体在xoy 面上的投影为2220x y xz ⎧+≤⎨=⎩，在xoz面上的投影为0x z y ⎧≤≤⎪⎨=⎪⎩ 二、单项选择题1.曲线2221:1645230x y z x z Γ⎧+-=⎪⎨⎪-+=⎩关于xoy 面的投影柱面的方程是 A . A .2220241160x y x +--= B .22441270y z z +--=C .22202411600x y x z ⎧+--=⎨=⎩D .224412700y z z x ⎧+--=⎨=⎩2.曲线22203y z x z ⎧+-=⎨=⎩在面xoy 上的投影曲线的方程是 B .A .220y x z ⎧=⎨=⎩B .2290y x z ⎧=-⎨=⎩C .2293y x z ⎧=-⎨=⎩D .223y xz ⎧=⎨=⎩三、将曲线方程22222443812y z x zy z x z ⎧++=⎨+-=⎩化成母线分别平行于x 轴及z 轴的柱面的交线方程. 解：将22222443812y z x z y z x z ⎧++=⎨+-=⎩分别消去,x z ，得 224y z z += ① 240y x += ②再将①②联立得交线方程：222440y z zy x ⎧+=⎨+=⎩．第五节 平面及其方程一、填空题1.设一平面经过点()000,,x y z,且垂直于向量(),,A B C ，则该平面方程为000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=. 2.平面260x y z -+-=与平面250x y z ++-=的夹角为π3.3.平行于xoz 面且经过点()2,5,3-的平面方程为50y +=.4.经过x 轴和点()3,1,2--的平面方程为20y z +=. 提示：过x 轴的平面方程设为0By CZ +=.5.点()1,2,1到平面22100x y z ++-=的距离为 1 .提示：d =.二、求平行于x 轴且经过两点()4,0,2-和()5,1,7的平面方程.解：设所求平面方程为0By Cz D ++=， 又平面过()4,0,2-()5,1,7两点2070C D B C D -+=⎧∴⎨++=⎩, 29D CB C=⎧∴⎨=-⎩， ∴所求平面方程为：920y z --=． 三、一平面过点()1,0,1-且平行于向量()2,1,1a = 和()1,1,0b =-,试求该平面方程.解：设平面的法向量为n ，则n a b =⨯ ，2113110i j kn i j k ∴==+--，从而(1,1,3)n =-． 又 平面过点(1,0,1)-，∴所求平面方程为(1)3(1)0x y z -+-+=，即340x y z +--=.四、求平面2250x y z -++=与各坐标面夹角的余弦.解：平面2250x y z -++=的法向量(2,2,1)n =-，设平面与,,yoz xoz xoy 面的夹角分别为,,αβγ， 又yoz 面的法向量(1,0,0)i =2c o s .3n i n i α⋅∴== 同理．21cos ,cos .33βγ== 第六节 空间直线及其方程一、填空题1．设直线经过点()000,,x y z ，且平行于向量(),,m n p ,则该直线的对称式方程为00o x x y y z z m n p ---==,参数方程为000x x mty y nt z z pt=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩. 2．直线124x y z x y z -+=⎧⎨++=⎩的对称式方程为302213x y z --+==-. 3．过点()0,2,4且与两平面21x z +=和32y z -=平行的直线方程为024231x y z ---==-. 4．直线30x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩与平面10x y z --+=的夹角为 0 .5．点()3,1,2-到直线10240x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩的距离为. 提示：过(3,1,2)A -与10:240x y z L x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩垂直的平面为1y z +=，该平面与直线L 的交点131,,22B ⎛⎫-⎪⎝⎭，则A 到直线L 的距离即为AB .6．过直线1:L 4020x z y +-=⎧⎨-=⎩且平行于直线221:211x y zL +-==的平面方程为 320x y z -++=.提示：过1L 的平面束:(4)(2)0x z y λ∏+-+-=， 2∥L ∏20n s ∴⋅= ,2(1,,1),(2,1,1)n s λ==210λ∴++=,得3λ=-．∴平面为43(2)0x z y +---=，即320x y z -++=..7．直线326040x y z x y z D -+-=⎧⎨+-+=⎩与z 轴相交，则D = 3 .二、单项选择题1．两直线1158:121x y z L --+==-与26:23x y L y z -=⎧⎨+=⎩的夹角为 C . A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．π22．直线111x x y y z z m n p---==与平面0Ax By Cz D +++=的夹角θ满足 C . A ．sin θ=B ．cos θ=C ．sin θ=D ．cos θ=3．过点()2,0,3-且与直线247035210x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩垂直的平面方程是 A .A ．16(2)14(0)11(3)0x y z --+-++=B .(2)2(0)4(3)0x y z ---++=C ．3(2)5(0)2(3)0x y z -+--+=D .16(2)14(0)11(3)0x y z -++++-= 4．设直线3210:21030x y z L x y z +++=⎧⎨--+=⎩及平面:4220x y z ∏-+-=，则直线L C .A ．平行于∏B ．在∏上C ．垂直于∏D ．与∏斜交提示：判断直线的方向向量与平面的法向量的关系.三、计算题1．求过点()4,1,3-且与直线230:510x y L y z --=⎧⎨-+=⎩平行的直线方程．解：设直线L 的方向向量12025051i j ks i j k =-=++-，∴所求直线的方向向量(2,1,5)s '=，从而直线方程为：413215x y z -+-==． 2．求直线2403290x y z x y z -+=⎧⎨---=⎩在平面41x y z -+=上的投影直线的方程．解：过已知直线的平面束方程为：329(24)0x y z x y z λ---+-+=，即(32)(14)(2)90x y z λλλ+-++--=．要使其与平面41x y z -+=垂直，则满足4(32)1420,λλλ++++-= 11.13λ=-1731371170.x y z ∴+--= ∴投影直线方程为 41.1731371170x y z x y z -+=⎧⎨+--=⎩ 3．求过直线20:4236x y L x y z +=⎧⎨++=⎩且切于球面2224x y z ++=的平面方程．解：设所求平面方程为：4236(2)0x y z x y λ++-++=即(42)(2)360x y z λλ++++-= 由题意知：(0,0,0)到平面的距离为22=即2440λλ++=2λ∴=-∴所求平面方程为：2z =．第八章 自测题一、填空题（每小题3分，共24分）1．设a =()2,5,1-，b =()1,3,2,问λ与μ有怎样的关系2λμ=，λa +μb 与z 轴垂直． 2．若已知向量a =()3,4,0,b =()1,2,2,则a ,b夹角平分线上的单位向量为．提示： a ，b 夹角平分线上的单位向量为a b a b a ba b+±+.3．若两个非零向量a ,b的方向余弦分别为111cos ,cos ,cos αβγ和222cos ,cos ,cos αβγ， 设a ,b夹角为ϕ，则cos ϕ=122112cos cos cos cos cos cos ααββγγ++．4．过直线122232x y z -+-==-且与平面3250x y z +--=垂直的平面方程为 81390x y z -++-=．提示：L ：122232x y z -+-==-，化为一般方程12232232x y y z -+⎧=⎪⎪-⎨+-⎪=⎪-⎩， 即32102320x y y z ++=⎧⎨+-=⎩，过L 的平面束为：321(232)0x y y z λ++++-= ① (3,22,3)n λλ=+ ，(3,2,1)s =-，由0n s ⋅= 得13λ=-，代入①，可得平面方程.5．直线1l :158121x y z --+==-与直线2l :623x y y z -=⎧⎨-=⎩的夹角θ=1arccos 6． 6．点()3,-4,4到直线452221x y z ---==-的距离为 提示：过()A 3,-4,4与L ：452221x y z ---==-垂直的平面为：2(3)2(4)(4)0x y z --++-=，与L 的交点为(8,1,4)B ，A 到L 的距离即为AB . 7．曲线22210x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在xoy 面上的投影曲线为2222210x y xy z ⎧++=⎨=⎩．8．与两直线112x y t z t=⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩及121121x y z ++-==都平行，且过原点的平面方程为 0x y z -+=．二、单项选择题（每小题3分，共12分）1．点()3,2,2P -在平面32210x y z -+-=上的投影点是 B ． A ．()3,1,2- B ．301720,,777⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．()7,2,1 D ．()2,21,3--提示：过()3,2,2P -与平面 垂直的直线为322312x y z -+-==-，其与平面∏的交点即为投影点. 2．直线224213x y z -+-==-与平面4x y z ++=的关系是 A ． A ．直线在平面上 B ．平行 C ．垂直 D ．三者都不是 3．两平行平面23490x y z -++=与234150x y z -+-=的距离为 C ．A ．629 B ．2429 CD提示：两平行平面的距离为平面上任一点到另一平面的距离 4．xoz 平面上曲线e xz =绕x 轴旋转所得旋转曲面方程为 A ．Ae x = B ．22e x y z += C ．22e xy z += D．z =三、计算题（共64分）1．求与坐标原点O 及点()2,3,4A 距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程，它表示 怎样的曲面？（本题6分）解：设所求曲面上的点为(,,)x y z ，则由题意知：2222221(2)(3)(4)4x y z x y z ++=-+-+-， ∴ 曲面方程为：222333468290x y z x y z +++++-=，表示一球面．2．将空间曲线方程222160x y z x z ⎧++=⎨+=⎩化为参数方程．（本题5分）解：把z x =-代入22216x y z ++=，得22216x y +=，令x t =，4sin y t =，则z t =-，∴空间曲线方程的参数方程为：4sin x ty t z t⎧=⎪=⎨⎪=-⎩．3．求中心点在直线247045140x y z x y z +--=⎧⎨++-=⎩上且过点A ()0,3,3和点B ()1,3,4-的球面方程．（本题6分）解：把247045140x y z x y z +--=⎧⎨++-=⎩化为对称式方程：7002322x y z ---==-，设球心坐标为 73,2,22O t t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则OA OB =，从而 ()()()222227932233423222t t t t t ⎛⎫⎛⎫-+-=-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴32t =， ∴(1,3,3)O -，1OA =，所以球面方程为222(1)(3)(3)1x y z ++-+-=．4．求通过直线0230x y z x y z ++=⎧⎨-+=⎩且平行于直线23x y z ==的平面方程．（本题7分）解：设所求平面的方程为：(23)0x y z x y z λ+++-+=，即(12)(1)(13)0x y z λλλ++-++=，(12,1,13)n λλλ=+-+ ，又∵直线11123x y z==平行于平面， ∴1112(1)(13)023λλλ++-++=， ∴1115λ=-， ∴所求平面方程为：726180x y z -+=．5．点()2,1,1P --关于平面∏的对称点为1P ()-2,3,11，求∏的方程．（本题7分）解：设1PP 的中点为0P ，则0(0,1,5)P ，1(4,4,12)PP =- ，∵1//PP n ，取(1,1,3)n =-，由题意知所求∏的方程为：(0)(1)3(5)0x y z --+-+-=，即3160x y z -++-=．6．直线10:10x y z L x y z +--=⎧⎨-++=⎩在平面:0x y z ∏++=上投影直线L 0的方程．（本题7分）解：设所求平面方程为：1(1)0x y z x y z λ+--+-++=，即(1)(1)(1)10x y z λλλλ++-+-+-=，1(1,1,1)n λλλ=+--， 又∵2(1,1,1)n = ，22n n ⊥， ∴1110λλλ++-+-= ∴1λ=-，∴ 10y z --=， ∴ 投影直线L 0的方程为：10y z x y z -=⎧⎨++=⎩．7．求过直线5040x y z x z ++=⎧⎨-+=⎩且与平面48120x y z --+=成π4角的平面方程．（本题7分）解：设所求平面的方程为：5(4)0x y z x z λ+++-+=，即(1)5(1)40x y z λλλ+++-+=，1(1,5,1)n λλ=+- ，又∵2(1,4,8)n =--，1212πcos 4n n n n ⋅==，=即，解得34λ=-， 又平面40x z -+=与平面48120x y z --+=的夹角余弦cos ==θ π.4∴=θ ∴所求平面方程为：207120x y z ++-=及40x z -+=.8．求过点()P 2,1,3且与直线l :11321x y z+-==-垂直相交的直线方程．（本题7分） 解：由题意知，过点P ()2,1,3且垂直与l 的平面方程为：3(2)2(1)(3)0x y z -+---=即3250x y z +--=，令3121x t y t z t=-⎧⎪=+⎨⎪=-⎩，代入上述平面方程，解得37t =．所以平面与l 的交点为02133,,777P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由于所求直线的方向向量0//s P P ，所以取(2,1,4)s =- ， 所以直线方程为213214x y z ---==-． 9．直线过点()3,5,9A --且和直线1l :3523y x z x =+⎧⎨=-⎩,2l :47510y x z x =-⎧⎨=+⎩相交，求此直线方程．（本题7分）解：设所求直线为l ，则l 与1l ，2l 分别相交，1l ：5332y z x -+==，2l ：71045y z x +-==， 所以取11(0,5,3)P l -∈，1(1,3,2)s = ，1(3,0,6)AP = ；22(0,7,10)Pl -∈，2(1,4,5)s =， 2(3,12,19)AP =- ，令111(18,0,9)n s A P =⨯=-，222(136,4,24)n s AP =⨯=--，过l 与1l 的平面方程为：2(3)(9)0x z +-+=，即230x z --=；过l 与2l 的平面方程为：34(3)(5)6(9)0x y z +---+=，即346530x y z --+=；所以直线l 的方程为：230346530x z x y z --=⎧⎨--+=⎩．。
第八章向量代数与空间解析几何习题
。 。 ， 。
x 2 + y 2 （０ ≤ z ≤ 1 ）在ＸＯＹ面上的投影为
，在ＹＯＺ面上的投影为 。
在ＸＯＺ面上的投影为 6．曲线 ⎪
⎧x = t + 1
2 ⎨y = t ⎪ z = 2t + 1 ⎩
的一般式方程为
Байду номын сангаас
二、选择题 １．方程
{
4 9 y=z
2 x +y
2
=1
在空间解析几何中表示 （Ｂ） 、椭圆曲线
K
K
四、设 a = {2,−1,1}, b = 1{1,3,−1} ，求与 a 、 b 均垂直的单位向量。
K
K
K
K
五 、 设 向 量 a = {2,3,−1}、b = {1,−2,3}、c = {2,1,2} , 向 量 d 与 a , b 均 垂 直 ， 且 在 向 量
K
K
K
K
K K
K K c 上的投影是14，求向量d .
3．若 ( a b ) =
∧
1．设 (a b ) =
K
π
， a = 5, b = 8, 则 a − b =
K
K
K
K
。 。 。 。 。 。 。 时。 P = λa + 5b 与 Q = 3a − b 共线。
K
5．三向量 a , b , c 的混合积 [a , b , c ] 的几何意义是 6．设 a = {4,−3,4}, b = {2,2,1} ，则 Prj b = 7．设 a = {2,−3,2}, b = {−4,6,−4} ，则 ( a b ) = 8．设 a , b 为不共线向量，则当 λ = 三、选择题
第八章空间解析几何与向量代数知识点,题库与答案
第⼋章空间解析⼏何与向量代数知识点,题库与答案第⼋章：空间解析⼏何与向量代数⼀、重点与难点1、重点①向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、⽅向⾓；②数量积（是个数）、向量积（是个向量）；③⼏种常见的旋转曲⾯、柱⾯、⼆次曲⾯；④平⾯的⼏种⽅程的表⽰⽅法（点法式、⼀般式⽅程、三点式⽅程、截距式⽅程），两平⾯的夹⾓；⑤空间直线的⼏种表⽰⽅法（参数⽅程、对称式⽅程、⼀般⽅程、两点式⽅程），两直线的夹⾓、直线与平⾯的夹⾓；2、难点①向量积（⽅向）、混合积（计算）；②掌握⼏种常见的旋转曲⾯、柱⾯的⽅程及⼆次曲⾯所对应的图形；③空间曲线在坐标⾯上的投影；④特殊位置的平⾯⽅程（过原点、平⾏于坐标轴、垂直于坐标轴等；）⑤平⾯⽅程的⼏种表⽰⽅式之间的转化；⑥直线⽅程的⼏种表⽰⽅式之间的转化；⼆、基本知识1、向量及其线性运算①向量的基本概念：向量:既有⼤⼩⼜有⽅向的量；向量表⽰⽅法：⽤⼀条有⽅向的线段(称为有向线段)来表⽰向量有向线段的长度表⽰向量的⼤⼩有向线段的⽅向表⽰向量的⽅向.；向量的符号:以A为起点、B为终点的有向线段所表⽰的向量记作向量可⽤粗体字母表⽰也可⽤上加箭头书写体字母表⽰例如a、r、v、F或、、、；向量的模:向量的⼤⼩叫做向量的模向量a、、的模分别记为|a|、、单位向量: 模等于1的向量叫做单位向量；向量的平⾏: 两个⾮零向量如果它们的⽅向相同或相反就称这两个向量平⾏向量a与b平⾏记作a // b零向量认为是与任何向量都平⾏；两向量平⾏⼜称两向量共线零向量:模等于0的向量叫做零向量记作0或零向量的起点与终点重合它的⽅向可以看作是任意的共⾯向量：设有k(k3)个向量当把它们的起点放在同⼀点时如果k个终点和公共起点在⼀个平⾯上就称这k个向量共⾯；两向量夹⾓：当把两个⾮零向量a与b的起点放到同⼀点时两个向量之间的不超过的夹⾓称为向量a与b的夹⾓记作或如果向量a与b中有⼀个是零向量规定它们的夹⾓可以在0与之间任意取值；②向量的线性运算向量的加法（三⾓形法则）：设有两个向量a与b平移向量使b的起点与a的终点重合此时从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和记作a+b即ca+b .:平⾏四边形法则:向量a与b不平⾏时平移向量使a与b的起点重合以a、b为邻边作⼀平⾏四边形从公共起点到对⾓的向量等于向量a 与b的和ab向量的加法的运算规律: (1)交换律abba (2)结合律(ab)ca(bc)负向量: 设a为⼀向量与a的模相同⽽⽅向相反的向量叫做a的负向量记为a向量的减法:把向量a与b移到同⼀起点O则从a的终点A向b的终点B所引向量便是向量b与a的差ba向量与数的乘法：向量a与实数的乘积记作规定a是⼀个向量它的模|a||||a| 它的⽅向当>0时与a相同当<0时与a相反当0时 |a|0 即a为零向量这时它的⽅向可以是任意的运算规律: (1)结合律 (a)(a)()a； (2)分配律 ()aaa；(ab)ab向量的单位化: 设a0则向量是与a同⽅向的单位向量记为e a，于是a|a|e a 定理1 设向量a0那么向量b平⾏于a的充分必要条件是: 存在唯⼀的实数使b a③空间直⾓坐标系在空间中任意取定⼀点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴依次记为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴) 统称为坐标轴它们构成⼀个空间直⾓坐标系称为Oxyz坐标系注: (1)通常三个数轴应具有相同的长度单位;(2)通常把x轴和y轴配置在⽔平⾯上⽽z轴则是铅垂线;(3)数轴的的正向通常符合右⼿规则坐标⾯: 在空间直⾓坐标系中任意两个坐标轴可以确定⼀个平⾯这种平⾯称为坐标⾯x轴及y轴所确定的坐标⾯叫做xOy⾯另两个坐标⾯是yOz⾯和zOx⾯卦限:三个坐标⾯把空间分成⼋个部分每⼀部分叫做卦限含有三个正半轴的卦限叫做第⼀卦限它位于xOy⾯的上⽅在xOy⾯的上⽅按逆时针⽅向排列着第⼆卦限、第三卦限和第四卦限在xOy⾯的下⽅与第⼀卦限对应的是第五卦限按逆时针⽅向还排列着第六卦限、第七卦限和第⼋卦限⼋个卦限分别⽤字母I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII表⽰向量的坐标分解式任给向量r对应有点M使以OM为对⾓线、三条坐标轴为棱作长⽅体有设则上式称为向量r的坐标分解式x i、y j、z k称为向量r沿三个坐标轴⽅向的分向量点M、向量r与三个有序x、y、z之间有⼀⼀对应的关系有序数x、y、z称为向量r(在坐标系Oxyz)中的坐标记作r(x y z)向量称为点M关于原点O的向径④利⽤坐标作向量的线性运算设a(ax ay az) b(bx by bz)ab(axbx ayby azbz)ab(axbx ayby azbz)a(ax ay az)利⽤向量的坐标判断两个向量的平⾏:设a(ax ay az)0 b(bx by bz) 向量b//aba即b//a(bx by bz)(ax ay az) 于是⑤向量的模、⽅向⾓、投影设向量r(x y z) 作则向量的模长公式设有点A (x1 y1 z1)、B(x2 y2 z2)(x2 y2 z2)(x1 y1 z1)(x2x1 y2y1 z2z1)A、 B两点间的距离公式为：⽅向⾓：⾮零向量r与三条坐标轴的夹⾓、、称为向量r的⽅向⾓设r(x y z) 则x|r|cos y|r|cos z|r|coscos、cos、cos 称为向量r的⽅向余弦从⽽ cos2cos2cos21投影的性质性质1 (a)u|a|cos (即Prj u a|a|cos ) 其中为向量与u轴的夹⾓性质2 (ab)u(a)u(b)u (即Prj u(ab) Prj u a Prj u b)性质3 (a)u(a)u (即Prj u(a)Prj u a)2、数量积、向量积、混合积①两向量的数量积数量积对于两个向量a和b它们的模|a|、|b|及它们的夹⾓的余弦的乘积称为向量a和b的数量积记作ab即a·b|a| |b| cos数量积的性质(1)a·a|a| 2(2) 对于两个⾮零向量a、b如果a·b0则ab;反之如果ab则a·b0如果认为零向量与任何向量都垂直则ab a·b0两向量夹⾓的余弦的坐标表⽰设(a ^ b) 则当a0、b0时有数量积的坐标表⽰设a(ax ay az )b(bx by bz ) 则a·b axbxaybyazbz数量积的运算律(1)交换律a·b b·a;(2)分配律(ab)cacbc(3)(a)·b a·(b) (a·b)(a)·(b) (a·b)、为数②两向量的向量积向量积设向量c是由两个向量a与b按下列⽅式定出c的模|c||a||b|sin 其中为a与b间的夹⾓;c的⽅向垂直于a与b所决定的平⾯c的指向按右⼿规则从a转向b 来确定那么向量c叫做向量a与b的向量积记作ab即c ab向量积的性质(1) aa0 ;(2) 对于两个⾮零向量a、b如果ab0则a//b;反之如果a//b则ab0如果认为零向量与任何向量都平⾏则a//b ab0数量积的运算律(1) 交换律ab ba;(2) 分配律(ab)c ac bc(3) (a)b a(b)(ab) (为数)数量积的坐标表⽰设a(ax ay az) b(bx by bz)ab( ay bz az by) i ( az bx ax bz) j ( ax by ay bx) k为了邦助记忆利⽤三阶⾏列式符号上式可写成aybz i+azbx j+axby k aybx k axbz j azby i( ay bz az by) i ( az bx ax bz) j ( ax by ay bx) k③三向量的混合积混合积：先作两向量a和b的向量积,把所得到的向量与第三个向量c再作数量积，这样得到的数量叫做三个向量a、b、c的混合积，记作[abc][abc]= =混合积的⼏何意义：混合积[abc]是这样⼀个数，它的绝对值表⽰以向量a、b、c 为棱的平⾏六⾯体的体积，如果向量a、b、c组成右⼿系，那么混合积的符号是正的，如果a、b、c组成左⼿系，那么混合积的符号是负的。
高等数学第八章练习题及答案
第八章 空间解析几何与向量代数自测题A一、填空1. 已知空间三点(1,2,0)A 、(1,3,2)B -、(2,3,1)C ，则cos BAC ∠=AB 在AC上的投影为；三角形的面积ABC S ∆=2；同时垂直于向量AB 与AC的单位向量为1,4,3)±--. 2. xOy 面上的曲线2y x =绕y 轴旋转一周所得旋转曲面方程为22y x z =+.3. 在平面解析几何中2y x =表示抛物线_图形，在空间解析几何中表示_抛物柱面_图形.4. 球面0242222=++-++z y x z y x 的球心坐标为(1,2,1)--.5. 曲线22291x y z x z ⎧++=⎨+=⎩在xOy 面上的投影为22228x x y z ⎧-+=⎨=⎩.6.曲面z =被曲面2220x y x +-=所截下的部分在xOy 面上的投影为22200x x y z ⎧-+≤⎨=⎩.7. 过点A (3,0,1)-且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程为37540x y z -+-=.8. 点A (3,0,1)-到平面2230x y z -+-=的距离为23. 9. 直线531123-=++=-z k y k x 与直线22531-+=+=-k z y x 相互垂直，则k =34. 二、解答题1. 求过点)2,1,4(1M ，)1,5,3(2--M ，且垂直于07326=++-z y x 的平面. 解：由已知可知，已知平面的法向量为0(6,2,3)n =-，取所求平面的法向量为120743(6,3,10)623ij kn M M n =⨯=--=--，所以所求平面方程为 6(4)3(1)10(2)0x y z -+---=，即631070x y z +--=.2. 求通过直线13213x y z +-==-与点A (3,0,1)的平面方程. 解：由已知可知，直线过点(0,1,3)P -，方向向量为(2,1,3)s =-，取所求平面的法向量 312(1,13,5)213ij kn PA s =⨯=-=---，所以所求平面方程为3135(1)0x y z ----=，即 13520x y z --+=.3. 求直线2432-=-=-z y x 与平面062=-++z y x 的交点及夹角余弦. 解：直线的参数是方程为2,3,42x t y t z t =+=+=+，代入平面方程得1t =-，所以交点坐标为(1,2,2)，5sin |cos(,)|,cos 66s ns n s n ϕϕ⋅====. 4. 求过点A (3,0,1)且与直线13213x y z +-==-垂直相交的直线方程. 解：设垂足坐标为000(,,)P x y z ，则由已知条件得00013213x y z +-==-， 0002(3)3(1)0AP s x y z ⋅=--+-=，解得11339(,,)71414P --，取所求直线方向向量为AP ，所以所求直线的方程为3122132571414x y z --==--，即31441325x y z --==--. B1. 求点A (3,0,1)到直线13213x y z +-==-的距离； 解：由已知可知，直线过点(0,1,3)P -，方向向量为(2,1,3)s =-，所以19514AP s d s ⨯==. 2. 判定直线113:213x y z l +-==-与直线2152:342x y z l -++==-是否相交，如果相交，求出交点，如果异面，求出两条异面直线间的距离；解：由已知可知，直线1l 过点1(0,1,3)P -，方向向量为1(2,1,3)s =-，直线2l 过点1(1,5,2)P--，方向向量为2(3,4,2)s =-，因为1212145[ ]2131170342PP s s --=-=-≠-，所以两直线异面，距离 121212[ ]117390PP s s d s s ==⨯；3. 求点(1,1,3)A 关于平面0x y z ++=对称的点.解：过点(1,1,3)A 且与平面垂直的直线方程为点113x y z -=-=-，所以垂足为224(,,)333P --，设对称点为(,,)M x y z ，则2AM AP =，即555(1,1,3)2(,,)333x y z ---=---，所以771(,,)333M ---.4. 求直线2432-=-=-z y x 在平面062=-++z y x 上的投影直线及直线关于平面对称的直线方程；解：由已知可知，直线0l 的参数式方程为2,3,42x t y t z t =+=+=+，代入平面方程可得1t =-，所以交点为1(1,2,2)P ，过点(2,3,4)P 且与已知平面垂直的直线2l 方程为22,3,4x t y t z t =+=+=+，垂足为211319(,,)366P ，所以已知直线0l 在平面上的投影直线为122217366x y z ---==-，即12247x z y --=-=-， 设点(2,3,4)P 关于已知平面的对称点为3P ，则322PP PP =，解得3447(,,)333P -，所以已知直线关于平面对称的直线方程为122721333x y z ---==--，即12272x y z --==---. 5. 求直线1321x y z +==--绕z 轴旋转一周所得旋转曲面方程.解：设所求曲面上任一点(,,)P x y z 是由直线上的点1111(,,)P x y z 绕z 轴旋转得来，则22221111111,,321x y x y x y z z z ++=+===--，消去111,,x y z 得22252840x y z z +-+=.。
第8章空间解析几何与向量代数近年试题济南大学(最新整理)
B 4、设 a, b 为两个向量，则正确的是
（A） a b a b =0；
（） （B） a b a b =0；
（C） a b 表示以 a ， b 为邻边的平行四边形的面积；
（D） a b a b = 0 ．
利用数量积和向量积的性质: a b 0 a b ， a b 0 a b ，
2 s
2 n
= 2
|4| 2
3
2 . arc sin 3
2. 3
0910B
一、填空题（每小题 2 分，共 10 分）
1、 过 点 (3,0,1) 且 与 平 面 3x 7 y 5z 12 0 垂 直 的 直 线 方 程
为
．
与平面垂直的直线和该平面的法向量平行，
x 3 y z 1 3 7 5
为
.
M1M 2 (2 1,3 2,1 (1)) (1,1, 2) ， n (1, 1,1)
i j k
所求平面的法向量 n1 1 1 2 3i j 2k.
1 1 1
所求平面方程为: 3(x 1) ( y 2) 2(z 1) 0 或 3x y 2z 7 0
二、选择题（每小题 2 分，共 10 分）
y2 z2 2x 0
2、
曲
线
z
3
在 xOy 面 上 的 投 影 曲 线 的 方 程 是
（）
y2 2x
（A）
z
0
；
y2 2x 9
（B）
z
0
；
（C） y 2 2x 9 ；
y2 2x 9
（D）
z3
．
在 xOy 面上的投影曲线，消去曲线中的变量 z，然后联立 z=0.
y
z
高数B(下册)空间解析几何与向量代数习题精选
=
12 = 4。 3
13、 求与平面 π : x + y − 3 z + 1 = 0 平行且相距为 3 的平面方程。 [解]：设 p ( x, y, z ) 为平面上一点，它与已知平面的距离为 3，由平面外一点到平面的距离公式知：
x + y − 3z + 1
1 + 1 + ( −3 )
2 2 2
= 3 ⇒ x + y − 3 z + 1 = 11 ⇒ x + y − 3 z + 1 = ± 11 ，故所求的平面方程为
1 1 1 sh = × × 6 × −3 × 2 = 6 。 3 3 2
16、 求过点 P (1, 2,3) 且与直线 ⎨
⎧ x − 2 y + 3z − 6 = 0 平行的直线方程。 ⎩3 x + y − 2 z + 4 = 0 �
[解]：设所求的直线为 l ，其方向向量为 s ，已知直线的方向向量取为
34 ⎧ ⎪ x = − 7 + 3t ⎪ 15 ⎪ 参数式方程为 ⎨ y = − + t 其中 t 为参数。 7 ⎪ ⎪ z = −t ⎪ ⎩
18、 求直线 ⎨
⎧ x− y =6 x −1 y − 2 z − 5 与直线 = = 的夹角。 1 −2 1 ⎩2 y − z = 3
( )
9、 求过 y 轴与点 M ( −3,1, 2 ) 的平面方程。 [解]：设所求平面为 π ，法向量为 n ，因为平面过 y 轴，故 n ⊥ j ，又 OM = {−3,1, 2} 在 π 上，
�
�
�
���� �
� � i j � ���� � � � ���� � 所以 n ⊥ OM ⇒ 取 n = j × OM = {0,1, 0} × {−3,1, 2} = 0 1 −3 1
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第八章：空间解析几何与向量代数一、重点与难点1、重点①向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角；②数量积（是个数）、向量积（是个向量）；③几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面；④平面的几种方程的表示方法（点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程），两平面的夹角；⑤空间直线的几种表示方法（参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程），两直线的夹角、直线与平面的夹角；2、难点①向量积（方向）、混合积（计算）；②掌握几种常见的旋转曲面、柱面的方程及二次曲面所对应的图形；③空间曲线在坐标面上的投影；④特殊位置的平面方程（过原点、平行于坐标轴、垂直于坐标轴等；）⑤平面方程的几种表示方式之间的转化；⑥直线方程的几种表示方式之间的转化；二、基本知识1、向量及其线性运算①向量的基本概念：向量既有大小又有方向的量；向量表示方法：用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量有向线段的长度表示向量的大小有向线段的方向表示向量的方向.；向量的符号以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作→AB向量可用粗体字母表示也可用上加箭头书写体字母表示例如a、r、v、F或→a、→r、→v 、→F ；向量的模 向量的大小叫做向量的模 向量a 、→a 、→AB 的模分别记为|a |、||→a 、||→AB单位向量 模等于1的向量叫做单位向量；向量的平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反 就称这两个向量平行 向量a与b 平行 记作a →0^) ,(b a ^) ,(a b平行四边形法则 向量a 与b 不平行时 平移向量使a 与b 的起点重合 以a 、b 为邻边作一平行四边形从公共起点到对角的向量等于向量a 与b 的和a b向量的加法的运算规律 (1)交换律a b b a (2)结合律(a b )c a(b c )负向量 设a 为一向量 与a 的模相同而方向相反的向量叫做a 的负向量 记为a向量的减法把向量a 与b 移到同一起点O 则从a 的终点A 向b 的终点B 所引向量→AB便是向量b 与a 的差ba向量与数的乘法： 向量a 与实数的乘积记作规定a 是一个向量 它的模|a ||||a | 它的方向当>0时与a 相同 当<0时与a 相反当0时|a |0 即a 为零向量 这时它的方向可以是任意的运算规律 (1)结合律 (a )(a )()a ； (2)分配律 ()a a a ；(ab )a b向量的单位化设a则向量||a a 是与a 同方向的单位向量记为e a ，于是a |a |e a定理1 设向量a 0 那么 向量b 平行于a 的充分必要条件是 存在唯一的实数使 b a ③空间直角坐标系在空间中任意取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴依次记为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)统称为坐标轴它们构成一个空间直角坐标系称为Oxyz坐标系注: (1)通常三个数轴应具有相同的长度单位(2)通常把x轴和y轴配置在水平面上而z轴则是铅垂线(3)数轴的的正向通常符合右手规则坐标面在空间直角坐标系中任意两个坐标轴可以确定一个平面这种平面称为坐标面x轴及y轴所确定的坐标面叫做xOy面另两个坐标面是yOz面和zOx面卦限三个坐标面把空间分成八个部分每一部分叫做卦限含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限它位于xOy面的上方在xOy面的上方按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限在xOy面的下方与第一卦限对应的是第五卦限按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限和第八卦限八个卦限分别用字母I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII表示向量的坐标分解式任给向量r对应有点M使→r=OM以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体有→→→→→→→OROQOPNMPNOPOM++=++==r设→i xOP=→j yOQ=→k zOR=则→kjir zyxOM++==上式称为向量r的坐标分解式x i、y j、z k称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量点M、向量r与三个有序x、y、z之间有一一对应的关系→),,(zyxzyxOMM↔++==↔kjir有序数x、y、z称为向量r(在坐标系Oxyz)中的坐标记作r(x y z)向量→OM=r称为点M关于原点O的向径④利用坐标作向量的线性运算设a(a x a y a z)b(b x b y b z)a b(ax bxaybyazbz)a b (a x b x a y b y a z b z ) a (a x a y a z )利用向量的坐标判断两个向量的平行 设a (a x a y a z )0b(b x b y b z ) 向量bzzy y x x a b a b a b ==→r=OM 222||z y x ++=r →→→OAOB AB -=→212212212)()()(||||z z y y x x AB AB -+-+-==||cos r x=α||cos r y =β||cos r z=γre r r ==||1)cos ,cos ,(cos γβα222222||||cos zy x z y x zz y y x x b b b a a a b a b a b a ++++++=⋅=b a b a θzy x zy x b b b a a a kj i b a =⨯ba ⨯cb a •⨯)(cb a •⨯)(zyxz y x c c c b b b z y x a a a zyxz y x c c c b b b z y x a a a 0) ,(22=+±z y x f 22y x +±0) ,(22=+±z y x f 0) ,(22=+±z x y f 22222z b y a x =+1222222=++c z b y a x 1222222=-+c z b y a x 1222222=--c z b y a x z b y a x =+2222z b y a x =-222212222=+b y a x 12222=-b y a x ay x =2⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x (2) 当给定t t 1时 就得到C 上的一个点(x 1 y 1 z 1) 随着t 的变动便得曲线C 上的全部点 方程组(2)叫做空间曲线的参数方程 ③空间曲线在坐标面上的投影以曲线C 为准线、母线平行于z 轴的柱面叫做曲线C 关于xOy 面的投影柱面 投影柱面与xOy 面的交线叫做空间曲线C 在xOy 面上的投影曲线 或简称投影(类似地可以定义曲线C 在其它坐标面上的投影) 设空间曲线C 的一般方程为⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F设方程组消去变量z 后所得的方程H (x y )0这就是曲线C 关于xOy 面的投影柱面曲线C 在xOy 面上的投影曲线的方程为⎩⎨⎧==0),(z y x H 5 平面及其方程①平面的点法式方程法线向量 如果一非零向量垂直于一平面 这向量就叫做该平面的法线向量 已知平面上的一点M 0(x 0 y 0 z 0)及它的一个法线向量n (A B C )，平面的点法式方程为：A (x x 0)B (y y 0)C (z z 0)0②平面的一般方程 平面的一般方程为：Ax By Cz D 0， 其中x y z 的系数就是该平面的一个法线向量n 的坐标 即 n(A BC )特殊位置的平面方程：D 0 平面过原点n (0 B C ) 法线向量垂直于x 轴 平面平行于x 轴 n (A 0 C ) 法线向量垂直于y 轴 平面平行于y 轴 n (A B 0) 法线向量垂直于z 轴 平面平行于z 轴n (0 0 C ) 法线向量垂直于x 轴和y 轴 平面平行于xOy 平面 n (A 0 0) 法线向量垂直于y 轴和z 轴 平面平行于yOz 平面 n (0 B 0) 法线向量垂直于x 轴和z 轴 平面平行于zOx 平面求这平面的方程③平面的截距式方程为： 1=++czb y a x (其中a 0 b 0c 0)该平面与x 、y 、z 轴的交点依次为P (a 0 0)、Q (0 b 0)、R (0c )三点 而a 、b 、c 依次叫做平面在x 、y 、z 轴上的截距④平面的三点式方程为：131313121212 z z y y x x z z y y x x ------111z -z y -y x -x =0其中M(111,,z y x )，N(222,,z y x ) P(333,,z y x )是平面上的三点。
⑤两平面的夹角两平面的夹角两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角 设平面1和2的法线向量分别为n 1(A 1 B 1 C 1)和n 2(A 2 B 2 C 2) 那么平面1和2的夹角 应是) ,(2^1n n 和) ,() ,(2^12^1n n n n -=-π两者中的锐角2222222121212121212^1|||) ,cos(|cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++==n n θ平面1和2垂直相当于A 1 A 2 B 1B 2 C 1C 20 也即21n n 垂直于平面 1和2平行或重合相当于212121C C B B A A ==也即21n n 平行于设P 0(x 0y 0 z 0)是平面Ax By Cz D 0外一点 P 0到这平面的距离公式为d 222000||CB A D Cz By Ax +++++=6 空间直线及其方程①空间直线的一般方程空间直线L 可以看作是两个平面1和2的交线如果两个相交平面1和2的方程分别为A 1x B 1y C 1z D 10和A 2xB 2yC 2zD 20 那么直线L 满足方程组⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A (1)上述方程组叫做空间直线的一般方程②空间直线的对称式方程与参数方程 方向向量如果一个非零向量平行于一条已知直线 这个向量就叫做这条直线的方向向量容易知道 直线上任一向量都平行于该直线的方向向量 已知直线L 通过点M 0(x 0 y 0x 0) 且直线的方向向量为s(m n p )则直线L 的方程为：pz z n y y m x x 000-=-=- 叫做直线的对称式方程或点向式方程 注 当m n p 中有一个为零 例如m 0 而n p 0时 这方程组应理解为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=p z z n y y x x 000当m n p 中有两个为零 例如mn 0 而p 0时 这方程组应理解为⎩⎨⎧=-=-0000y y x x设tpz z n y y m x x =-=-=-000 得方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nty y mt x x 000此方程组就是直线L 的参数方程 ③两直线的夹角两直线的方向向量的夹角( 通常指锐角)叫做两直线的夹角 设直线L 1和L 2的方向向量分别为s 1(m 1n 1 p 1)和s 2(m 2 n 2 p 2) 那么L 1和L 2的夹角就是) ,(2^1s s 和) ,() ,(2^12^1s s s s -=-π两者中的锐角 因此|) ,cos(|cos 2^1s s =ϕ|) ,cos(|cos 2^1s s =ϕ222222212121212121||p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=设有两直线L 1111111p z z n y y m x x -=-=- L 2222222p z z n y y m x x -=-=- 则L 1L 2m 1m 2n 1n 2p 1p 20 l 1II L 2212121p p n n m m == ④直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角当直线与平面垂直时 规定直线与平面的夹角为2π 设直线的方向向量s (m n p ) 平面的法线向量为n(ABC ) 直线与平面的夹角为那么|) , (2|^n s -=πϕ 因此|) , cos(|sin ^n s =ϕ 222222||sin p n m C B A Cp Bn Am ++⋅++++=ϕ因为直线与平面垂直相当于直线的方向向量与平面的法线向量平行 所以 直线与平面垂直相当于 pCn B m A ==因为直线与平面平行或直线在平面上相当于直线的方向向量与平面的法线向量垂直 所以 直线与平面平行或直线在平面上相当于 Am BnCp 0设直线L 的方向向量为(m n p ) 平面的法线向量为(A B C )则LpC n B m A ==L / /Am Bn Cp 0三、疑难点解析（1）数量积、向量积、混合积易混怎么办答：数量积是一个数量无方向、向量积是个向量有方向，算出来的向量垂直于两向量 构成的平面，且满足右手法则。