上海市2011届高三一模试卷(徐汇松江区)

2010学年第一学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷 （文科试卷）（考试时间：120分钟，满分150分） 2011.1一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、函数12log (1)y x =-的定义域为 。

2、抛物线24y x =的准线方程是 。

3、方程4220xx+-=的解是 。

4、若3sin 5θ=-，则行列式cos sin sin cos θθθθ= 。

5、已知向量(2,3),(4,7)a b ==-，则向量b 在向量a 的方向上的投影为 。

6、若1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的第4项含3x ,则n 的值为 。

7、已知无穷等比数列{}n a 的各项和为4，则首项1a 的取值范围是 。

8、若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数,a b R ∈）是偶函数，且它的值域为(,4]-∞，则该函数的解析式()f x = 。

9、一颗骰子投两次, 记第一次得到的数值为a , 第二次得到的数值为b , 将它们作为关于x y 、的二元一次方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩，的系数, 则方程组有唯一解的概率为 。

（用数字作答）10、已知函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，若函数(1)y f x =+的图象经过点(3,1)，则函数1()y f x -=的图象必经过点 。

11、若函数)1lg()(2--=ax x x f 在区间),1(+∞上是增函数，则a 的取值范围是 。

12、在数列{}n a 中，13a =，点*(1,)n n N >∈在直线0x y -=上，则2lim(1)nn a n →∞+= 。

13、已知x 是1，2，3，x ，5，6，7这七个数据的中位数，且1，3，2,x y -这四个数据的平均数为1，则1y x-的最小值为 。

14、定义平面向量之间的一种运算“*”如下：对任意的(,),(,)a m n b p q == ，令*a b mq np =-。

给出以下四个命题：（1）若a 与b 共线，则*0a b = ；（2）**a b b a =；（3）对任意的R λ∈，有()*(*)a b a b λλ= ；（4）2222(*)()a b a b a b +⋅=⋅ 。

（注：这里a b ⋅ 指a 与b 的数量积）其中所有真命题的序号是 。

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。

15、已知a ，b 都是实数，则“b a >”是“22b a >”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分又不必要条件16、以下向量中，能成为以行列式形式表示的直线方程10121011xy =的一个法向量的是（ ） （A ）()1,2n =-- ； （B ）()2,1n = ； （C ）()1,2n =- ； （D ）()2,1n =-；17、在直角坐标平面xOy 中，已知点(3,2)A ，点B 在圆221x y +=上运动，动点P 满足AP PB =，则点P 的轨迹是（ ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）抛物线 （D ）直线18、函数x xx xe e y e e--+=-的图像大致为 ( )C三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。

19．（本题满分12分）第（1）小题满分4分，第（2）小题满分8分。

已知关于x 的不等式01a xx -≥+的解集为P ，不等式11x -<的解集为Q 。

（1）若3a =，求P ；（2）若P Q P ⋃=，求正数a 的取值范围。

20．（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分。

在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin cos sin cos 3sin cos C B B C A B +=。

（1） 求cos B 的值；（2）若2BA BC ⋅= ，且22=b ，求a 和c 的值。

21．（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分。

设函数[)(),0,1af x x x x =+∈+∞+。

（1）当2a =时，求函数()f x 的最小值；（2）当01a <<时，试判断函数()f x 的单调性，并证明。

22．（本题满分16分）第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分6分。

各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2*2(1)()n n n S a a n N +=+∈。

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足*112,2()n nb b b n N +==∈，数列{}nc 满足*,21(),2n n n a n k c k N b n k=-⎧=∈⎨=⎩，数列{}n c 的前n 项和为n T ，当n 为偶数时，求n T ； （3）若数列*4(21)()3nn P n N =⋅-∈，甲同学利用第（2）问中的n T ，试图确定n n T P -的值是否可以等于20？为此，他设计了一个程序（如图），但乙同学认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束），你是否同意乙同学的观点？请说明理由。

23．（本题满分18分）第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分。

圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦。

若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦。

已知椭圆C ：2214x y +=。

（1）过椭圆C 的右焦点作一条垂直于x 轴的垂轴弦MN ，求MN 的长度；（2）若点P 是椭圆C 上不与顶点重合的任意一点，MN 是椭圆C 的短轴，直线MP NP 、分别交x 轴于点(,0)E E x 和点(,0)F F x （如右图），求E F x x ⋅的值； （3）在（2）的基础上，把上述椭圆C 一般化为22221(0)x y a b a b+=>>，MN 是任意一条垂直于x 轴的垂轴弦，其它条件不变，试探究E F x x ⋅是否为定值？（不需要证明）；请你给出双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中相类似的结论，并证明你的结论。

2010学年第一学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷 （理科试卷）（考试时间：120分钟，满分150分） 2011.1一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、方程4220xx+-=的解是 。

2、设集合{}|0,|12x A x B x x x ⎧⎫=>=<⎨⎬-⎩⎭，则A B ⋃= 。

3、已知圆22440x x y --+=的圆心是点P ，则点P 到直线10x y --=的距离是 。

4、若3sin 5θ=-，则行列式cos sin sin cos θθθθ= 。

5、已知向量(2,3),(4,7)a b ==-，则向量b 在向量a 的方向上的投影为 。

6、已知无穷等比数列{}n a 的各项和为4，则首项1a 的取值范围是 。

7、若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数,a b R ∈）是偶函数，且它的值域为(,4]-∞，则该函数的解析式()f x = 。

8、一颗骰子投两次, 记第一次得到的数值为a , 第二次得到的数值为b , 将它们作为关于x y 、的二元一次方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩，的系数, 则方程组有唯一解的概率为 。

（用数字作答）9、已知函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，若函数(1)y f x =+的图象经过点(3,1)，则函数1()y f x -=的图象必经过点 。

10、若函数)1lg()(2--=ax x x f 在区间),1(+∞上是增函数，则a 的取值范围是 。

11、若2010220100122010(13)()x a a x a x a xx R -=++++∈ ，则20101222010333a a a +++= 。

12、已知x 是1，2，3，x ，5，6，7这七个数据的中位数，且1，3，2,x y -这四个数据的平均数为1，则1y x-的最小值为 。

13、设,,a b R ∈且1b ≠。

若函数1y a x b =-+的图象与直线y x =恒有公共点，则,a b 应满足的条件是 。

14、设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，前n 项和为n S ，满足222223457,7a a a a S +=+=，则使得12m m m a a a ++⋅为数列{}n a 中的项的所有正整数m 的值为 。

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。

15、已知a ，b 都是实数，则“b a >”是“22b a >”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分又不必要条件16、以下向量中，能成为以行列式形式表示的直线方程10121011xy =的一个法向量的是（ ） （A ）()1,2n =- （B ）()1,2n =-- （C ）()2,1n = （D ）()2,1n =-17、定义平面向量之间的一种运算“*”如下：对任意的(,),(,)a m n b p q == ，令*a b mq np =-。

给出以下四个命题：（1）若a 与b 共线，则*0a b = ；（2）**a b b a =；（3）对任意的R λ∈，有()*(*)a b a b λλ= ；（4）2222(*)()a b a b a b +⋅=⋅ 。

（注：这里a b ⋅ 指a 与b 的数量积）则其中所有真命题的序号是（ ） （A ）（1）（2）（3） （B ）（2）（3）（4） （C ）（1）（3）（4） （D ）（1）（2）（4）18、函数x xx xe e y e e --+=-的图像大致为 ( )C三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。

19．（本题满分12分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分。

在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin cos sin cos 3sin cos C B B C A B +=。