2018-2019学年高中数学 考点02 棱锥与棱台庖丁解题 新人教A版必修2

考点02 棱锥与棱台
1．棱锥的主要结构特征：
(1)有一个面是多边形；
(2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形；棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧
面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；多边形叫做棱锥的底面；顶点到底面的距离叫做棱锥的高．
2．棱锥按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥等．如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形；等腰三角形底边上的高叫做棱锥的斜高．
3．棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．原棱锥的底面与截面分别叫做棱台的下底面、上底面；其他各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；两底面间的距离叫做棱台的高．
4．由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．正棱台各侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高．
【例】给出两块正三角形纸片(如图所示)，要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图中，并作简要说明．
【解析】如图①所示，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥．
如图②所示，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角
形边长的41
，有一组对角为直角，余下部分按虚线折成，可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底．
1．能保证棱锥是正棱锥的一个条件是( )
A ．底面为正多边形
B ．各侧棱都相等
C ．各侧面与底面都是全等的正三角形
D ．各侧面都是等腰三角形 【答案】C
【易错易混】对于棱锥要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，必须强调其余各面是共顶点的三角形．
2．下列说法正确的是( )
A ．各个面都是三角形的多面体一定是棱锥
B ．四面体一定是三棱锥
C ．棱锥的侧面是全等的等腰三角形，该棱锥一定是正棱锥
D ．底面多边形既有外接圆又有内切圆，且侧棱相等的棱锥一定是正棱锥
【答案】B
3．下列几种说法中正确的有（）
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台．
②棱台的侧面一定不会是平行四边形．
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
A．0个B．1个
C．2个D．3个
【答案】A
【解析】必须用一个平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分才是棱台，故①不正确;棱台的侧面一定是梯形，故②正确;有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定是棱台，因为各条侧棱不一定相交于一点，故③不正确．
【方法技巧】关于棱锥、棱台结构特征题目的判断方法
（1）举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．（2）直接法
4．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能是( )
A ．正三棱锥
B ．正四棱锥
C ．正五棱锥
D ．正六棱锥
【答案】D
【解析】如图所示，在正六边形ABCDEF 中，OA ＝OB ＝AB ，而在正六棱锥S －ABCDEF 中，SA ＞OA ＝AB ，即侧棱长大于底面边长，侧面不可能是等边三角形．
5．棱台不具有的性质是（ ）
A ．两底面相似
B ．侧面都是梯形
C ．侧棱长都相等
D ．侧棱延长后交于一点
【答案】C
【解析】棱台是由平行于棱锥的底面的平面截棱锥得到的，棱锥的侧棱长不一定相等，所以棱台的侧棱长也不一定相等．A ，B ，D 选项都正确．
【方法技巧】延长各侧棱看能否还原成棱锥．如图所示的两个几何体就不是棱台．
6．若正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为，则该棱锥的高等于( )
A ．3,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(3,3EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(3
B ．
C ．1
D ．2,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(3,2EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(3
【答案】B
1．如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是( )
A．①③B．②④
C．③④D．①②
【答案】C
2．有一个正三棱锥和一个正四棱锥，它们所有的棱长都相等，把这个正三棱锥的一个侧面重合在正四棱锥的一个侧面上，则所得到的这个组合体是( )
A．底面为平行四边形的四棱柱B．五棱锥
C．无平行平面的六面体D．斜三棱柱
【答案】D
【解析】如图，正三棱锥A—BEF和正四棱锥B—CDEF的一个侧面重合后，
而面BCD和面AEF平行，其余各面都是四边形，故该组合体是斜三棱柱．
3．正五棱台的上、下底面面积分别为1 cm2、49 cm2，平行于底面的截面面积为25 cm2，那么截面到上、下底面的距离的比值为________．
【答案】2
【解析】“还台于锥”，利用相似比求．
4．如图，在三棱锥V－ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面△AEF，求△AEF周长的最小值．
【答案】4．
东方之冠中国馆
中国馆的几何结构是倒立的棱台。