人教新课标版数学高二-人教选修2-3练习 两个计数原理及其综合应用

选修2-3 1.1.2
一、选择题
1．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少有1个，至多5个，则不同的分法共有()
A．4种B．5种
C．6种D．7种
[答案] A
[解析]分类考虑，若最少一堆是1个，那由至多5个知另两堆分别为4个、5个，只有一种分法；若最少一堆是2个，则由3＋5＝4＋4知有2种分法；若最少一堆是3个，则另两堆为3个、4个，故共有分法1＋2＋1＝4种．
2．四个同学，争夺三项冠军，冠军获得者可能有的种类是() A．4 B．24
C．43D．34
[答案] C
[解析]依分步乘法计数原理，冠军获得者可能有的种数是4×4×4＝43.故选C.
3．已知函数y＝ax2＋bx＋c，其中a，b，c∈{0,1,2,3,4}，则不同的二次函数的个数共有()
A．125个B．15个
C．100个D．10个
[答案] C
[解析]由题意可得a≠0，可分以下几类，
第一类：b＝0，c≠0，此时a有4种选择，c也有4种选择，共有4×4＝16个不同的函数；
第二类：c＝0，b≠0，此时a有4种选择，b也有4种选择，共有4×4＝16个不同的函数；
第三类：b≠0，c≠0，此时a，b，c都各有4种选择，共有4×4×4＝64个不同的函数；
第四类：b＝0，c＝0，此时a有4种选择，共有4个不同的函数．由分类加法计数原理，可确定不同的二次函数共有N＝16＋16＋64＋4＝100(个)．故选C.
4．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有()
A．6种B．12种
C．24种D．30种
[答案] C
[解析]分步完成．首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法，其次由甲从剩下的3门课程中任选1门，有3种方法，最后乙从剩下的2门课程中任选1门，有2种方法，于是，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×3×2＝24种，故选C.
5．将5名世博会志愿者全部分配给4个不同的地方服务，不同的分配方案有()
A．8 B．15
C．512 D．1024
[答案] D
[解析]由分步计数原理得4×4×4×4×4＝1024，故选D.
6．如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中共有6个焊接点A、B、C、D、E、F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通，现在电路不通了，那么焊接点脱落的可能性共有()
A．6种B．36种
C．63种D．64种
[答案] C
[解析]每个焊接点都有正常与脱落两种情况，只要有一个脱落电路即不通，∴共有26－1＝63种．故选C.
7．如图，某段电路由五个电阻组成，其中共有6个焊接点A、B、C、D、E、F，如果某个焊接点脱落，该段电路就会不通，现在电路MN间没有电流通过，那么焊接点脱落的可能性共有()
A．14种B．49种
C．16种D．64种
[答案] B
[解析]支路A、B、C有23－1＝7种．支路D、E、F有23－1＝7种．∴共有7×7＝49种，故选B.
9．某班2011年元旦联欢会原定的9个歌唱节目已排成节目单，但在开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为()
A．110 B．120
C．20 D．12
[答案] A
[解析]先将其中一个节目插入原节目单的9个节目形成的10个空中有10种方法，再把另一个节目插入前10个节目形成的11个空中有11种插法．由乘法原理知有10×11＝110种．
10．同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有() A．6种B．9种
C．11种D．23种
[答案] B
[解析]解法1：设四人A，B，C，D写的贺年卡分别是a，b，c，d，当A拿贺年卡b，则B可拿a，c，d中的任何一张，即B拿a，C拿d，D拿c或B拿c，D拿a，C拿d或B拿d，C拿a，D拿c，所以A拿b时有三种不同的分配方式．同理，A拿c，d时也各有三种不同的分配方式．由分类加法计数原理，四张贺年卡共有3＋3＋3＝9(种)分配方式．
解法2：让四人A，B，C，D依次拿一张别人送出的贺年卡，如果A先拿，有3种，此时被A拿走的那张贺年卡的人也有3种不同
的取法．接下来，剩下的两个人都各只有1种取法，由分类乘法计数原理，四张贺年卡不同的分配方式有3×3×1×1＝9(种)．
二、填空题
12．设椭圆x2
m＋
y2
n＝1的焦点在y轴上，m∈{1,2,3,4,5}，
n∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆个数为________________．[答案]20
[解析]曲线是焦点在y轴上的椭圆，∴n>m.当m＝1时，n有6种取法，当m＝2时，n有5种取法……当m＝5时n有2种取法，∴这样的椭圆共有6＋5＋4＋3＋2＝20个．
13．已知m∈{3,4,5}，n∈{0,2,7,8}，r∈{1,8,9}，则方程(x－m)2＋(y－n)2＝r2可以表示不同圆________个．
[答案]36
[解析]只有m、n、r都确定后，圆的方程才能确定，由分步乘法计数原理知共表示不同圆3×4×3＝36个．。