椭圆题型、方法突破二
椭圆常见题型与典型方法归纳
椭圆常见题型与典型方法归纳椭圆是平面内与两个定点距离之和等于常数的点的轨迹。
这两个定点被称为椭圆的焦点，椭圆的焦距是两个焦点之间的距离。
另外，椭圆也可以被定义为平面内一个点到一个定直线距离与到一个定点距离之比等于常数的轨迹。
这个定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，这个常数是椭圆的离心率。
需要注意的是，当两个定点之间的距离等于常数时，椭圆的轨迹是线段，而当两个定点之间的距离小于常数时，椭圆的轨迹不存在。
椭圆的标准方程有两种形式，一种是焦点在x轴上的形式，另一种是焦点在y轴上的形式。
这些方程可以用来确定椭圆的形状和位置。
需要注意的是，椭圆的焦点位置可以通过方程中分母的大小来判断。
如果分母中x的系数大于y的系数，那么焦点在y轴上，反之则在x轴上。
如果椭圆过两个定点，但焦点位置不确定，可以设椭圆方程为mx+ny=1，其中m和n都是正数。
在解题时，需要牢记椭圆的几何性质。
例如，如果一个点到椭圆的左焦点的距离是到右焦点距离的两倍，那么这个点的横坐标可以通过解方程得到。
又例如，如果一个点在椭圆上，那么它到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
1.椭圆的基本性质椭圆方程为x2/a2 + y2/b2 = 1 (a>b>0)，其中a和b分别为长轴和短轴长。
椭圆的中心在原点(0,0)处，长轴与x轴平行。
椭圆的顶点分别为(a,0)。
(-a,0)。
(0,b)。
(0,-b)，离心率为e=c/a，其中c为焦点到中心的距离，焦距为2c。
椭圆的准线方程为y=±(b/a)x，通径方程为y=kx或x=h，其中k和h为常数。
椭圆关于x轴和y轴对称，且具有中心对称性。
椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于长轴长，即PF1 + PF2 = 2a。
椭圆上任意一点到两焦点的距离之差等于该点到准线的距离，即PF1 - PF2 = 2b。
椭圆上点的横坐标的范围为-x ≤ x ≤ x，纵坐标的范围为-y ≤ y ≤ y。
2.典型练1) 题目描述：给定椭圆方程x2/a2 + y2/b2 = 1，已知长轴位于x轴上，长轴长为8，短轴位于y轴上，短轴长为6，焦点在x轴上，焦点坐标为(5,0)和(-5,0)，求离心率e、左顶点坐标、下顶点坐标和椭圆上点的横坐标的范围、纵坐标的范围以及x+y的取值范围。
椭圆27种常考经典题型及方法
椭圆27种常考经典题型及方法
很多学生都说，青颜整理的63套高中数学解题方法很实用，特别针对了解答题类。
很多学生很期待，青颜能出一套关于高中数学选择填空破题方面的方法。
今天开始，我们就开始更新一系列高中数学选择填空破题微方法大全，而椭圆是常见常考的一个考点！下面是
椭圆27种常考经典题型及方法！
今天我们研究椭圆的定义(第一定义)，“平面内与两个定点的距离之和等于定长的动点轨迹” (定长大于两定点之间的距离)是椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
椭圆题型总结较难
椭圆题型总结一、焦点三角形1. 设F 1、F 2是椭圆12322=+y x 的左、右焦点，弦AB 过F 2，求1ABF △的面积的最大值。
（法一）解：如图，设2(0)xF B ααπ∠=<<，22||||AF m BF n ==，，根据椭圆的定义，1||AF m =，1||BF n =，又12||2F F =，在ΔAF 2F 1和ΔBF 2F 1中应用余弦定理，得2222)44cos )44cos m m m n n n αα⎧=+-⎪⎨=++⎪⎩，∴m =n =∴11211||||2()sin 22F AB B A S F F y y m n α∆=⋅-=⋅⋅+α==令sin t α=，所以01t <≤，∴21()22t g t t t t==++在(01]，上是增函数 ∴当1t =，即2πα=时，max 1()3g t =，故1ABF △（法二）解：设AB ：x=my+1，与椭圆2x 2+3y 2=6联立，消x 得 (2m 2+3)y 2+4my-4=0 ∵ AB 过椭圆定点F 2，∴ Δ恒大于0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则Δ=48(m 2+1)1ABF S ∆=|y 1-y 2|=223m +=令 t=m 2+1≥1，m 2=t-1， 则1ABF S ∆=t ∈[1,+∞) f(t)=144t t++在t ∈[1,+∞)上单调递增，且f(t)∈[9,+∞) ∴ t=1即m=0时，ΔABF 1。
注意：上述AB 的设法：x=my+1，方程中的m 相当于直线AB 的斜率的倒数，但又包含斜率不存在的情况，即m=0的时候。
在直线斜率不等于零时都可以这样设，往往可使消元过程简单化，而且避免了讨论。
2. 如图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN += (1) 求点P 的轨迹方程；(2) 若2·1cos PM PN MPN-∠＝，求点P 的坐标.解：(1) 由椭圆的定义，点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，长轴长2a =6的椭圆. 因此半焦距c =2，长半轴a =3，从而短半轴b =225a c -=，所以椭圆的方程为221.95x y += (2) 由2,1cos PM PN MPN=-得cos 2.PM PN MPN PM PN =-①因为cos 1,MPN P ≠不为椭圆长轴顶点，故P 、M 、N 构成三角形. 在△PMN 中，4,MN =由余弦定理有2222cos .MN PM PN PM PN MPN =+-②将①代入②，得22242(2).PM PN PM PN =+--故点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为23的双曲线2213x y -=上. 由(Ⅰ)知，点P 的坐标又满足22195x y +=，所以由方程组22225945,3 3.x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得33,5.2x y ⎧=±⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩即P 点坐标为335335335335(,)-、（，-）、（-，）或（，-）.二、点差法定理在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN -=⋅.3. 直线l 经过点A (1，2)，交椭圆2213616x y +=于两点P 1、P 2，（1）若A 是线段P 1P 2的中点，求l 的方程；（2）求P 1P 2的中点的轨迹． 解：（1）设P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+116361163622222121y x y x ⇒016))((36))((21212121=+-++-y y y y x x x x …………*∵A (1，2)是线段P 1P 2的中点，∴x 1+x 2=2，y 1+y 2=4， ∴016)(436)(22121=-+-y y x x ，即922121-=--x x y y 。
高中数学椭圆知识题型总结,高二升高三的你们复习必备
高中数学椭圆知识题型总结，高二升高三的你们复习必备
高中数学：椭圆知识题型总结，高二升高三的你们复习必备！-
或许，这就是数学的魅力吧，只需一二定理，三四公式，就可以制出成百上千道不同的题目。
今天来说说高中数学重要章节——圆锥曲线椭圆相关知识点。
椭圆题在高中数学中占据比较重要的位置，占的分数也比较多。
分析历年高考题可知，选择题、填空题、大题中都有椭圆相关的题型。
所以一定要系统的掌握知识，对各类题型和基本解题方法有一定的了解。
关于椭圆的复习指导：
1、熟悉椭圆的定义及其几何性质，能求出椭圆的标准方程。
2、掌握常见的几种数学思想方法—函数与方程、数形结合、转化与回归等。
体会解析几何的本质问题（用代数的方法解决几何问题）
为了帮助同学们更好地复习，边肖为大家整理了高中数学椭圆中的几种题型汇总。
高二高三的孩子就趁这个假期好好复习。
相信对你的数学会有帮助。
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椭圆的五种基本题型
椭圆专题训练(一)题型1、给出曲线方程，求相应量的值1、求椭圆400251622=+y x 的长轴长为 、短半轴长为 、离心率为 、焦点坐标为 、顶点坐标为 。
2、（练习）求下列各椭圆的长轴和短轴的长，离心率、焦点坐标、顶点坐标、准线方程： ①=+3610022y x 1 ②8222=+y x方法提练：①转化为相应的标准方程；②直接求出a 、b 、c 。
③判断焦点在哪一坐标轴上④将a 、b 、c 的值代入相应量公式（接第2题）③16422=+y x ④81922=+y x3、椭圆)0(022<<=++n m mn ny mx 的焦点为 。
4、曲线=+92522y x 1与=+--ky kx 925221（k<0）有相同的（ ）A 、长轴长；B 、离心率；C 、准线；D 、焦点题型2、给出相应量的值，求曲线方程1、焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过点P （3，-62）的椭圆方程为： 。
解：依题设椭圆的方程为)0(12222>>=+b a b y a x2、准线方程为x=±4,离心率为1/2的椭圆方程为： 3、两焦点为（±3，0），椭圆上一点P 到两焦点距离的和为10，椭圆方程为：3、两焦点为（±2，0）且过点（2325,-）的椭圆方程为： 方法提练：①判断焦点在哪一坐标轴上；②设出相应的椭圆方程③联立方程组求出a 、b 、c 。
（注意别忘记隐藏的公式）④将a 、b 、c 的值代入相应量公式4、写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ①a=4,b=1,焦点在x 轴上。
②a=4,c=15,焦点在y 轴上③a+b=10 c=25.④a=6,c=1/3, 焦点在x 轴上。
⑤过点（-22，0）（0，5）⑥长轴是短轴的3倍，且过点（3，0）⑦离心率e=0.8，焦距为8的椭圆⑧若椭圆的焦点在x 轴上，焦点到短轴顶点的距离为2，到相应准线的距离为3，则椭圆的方程为：椭圆专题训练(二)题型3、给出某曲线方程，表达的是椭圆求所给方程中含的字母的范围。
高中数学椭圆解题技巧
高中数学椭圆解题技巧
椭圆历史悠久,内容经典,文化沉淀丰厚.通过平面截圆锥、拉线作图、建立坐标系、讨论方程研究椭圆,把握椭圆数量关系以及形成的条件.下面店铺给你分享高中数学椭圆解题技巧，欢迎阅读。
高中数学椭圆解题技巧一、设点或直线
高中数学椭圆解题技巧二、转化条件
有的时候题目给的条件是不能直接用或直接用起来不方便的，这时候就需要将这些条件转化一下。
对于一道题来说这是至关重要的一步，如果转化得巧，可以极大地降低运算量。
比如点在圆上可以转化为向量点乘得零，三点共线可以转化成两个向量平行，某个角的角平分线是一条水平或竖直直线则这个角的两条边斜率和是零。
有的题目可能不需要转化直接带入条件解题即可，有的题目给的条件可能有多种转化方式，这时候最好先别急着做题，多想几种转化方法，估计一下哪种方法更简单。
高中数学椭圆解题技巧三、代数运算
转化完条件就剩算数了。
很多题目都要将直线与椭圆联立以便使用一元二次方程的韦达定理，但要注意并不是所有题目都是这样。
有的题目可能需要算弦长，可以用弦长公式
高中数学椭圆解题技巧四、能力要求
做解析几何题，首先对人的耐心与信心是一种考验。
在做题过程中可能遇到会一大长串的式子要化简，这时候，只要你方向没错，坚持算下去肯定能看到最终的结果。
另外运算速度和准确率也是很重要的，在真正考试的时候肯定不像平时做题的时候能容你慢慢做题，因此需要有一定的做题速度，在做题的时候运算准确也是必须要保证的，因为一旦算错数，就很可能功亏一篑。
高中数学椭圆解题技巧五、理论拓展
这一部分主要说一些对做题有帮助的公式、定理、推论等内容。
高中数学椭圆秒杀技巧
高中数学椭圆秒杀技巧
椭圆是平面几何中的重要概念，也是高中数学中常见的几何图形之一。
在学习
椭圆的过程中，很多同学可能会觉得难以掌握，但实际上只要掌握一些技巧，就能轻松秒杀椭圆相关问题。
本文将介绍几个高中数学中秒杀椭圆题目的技巧。
技巧一：理解椭圆的定义
在学习椭圆之前，首先要对椭圆的定义有一个清晰的认识。
椭圆是平面上到两
个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
这个定义看起来有点抽象，但理解了这个定义之后，我们就能更好地解决与椭圆相关的问题。
技巧二：熟练掌握椭圆的标准方程
椭圆的标准方程是一个常见的形式，即$\\frac{x^2}{a^2} + \\frac{y^2}{b^2} =
1$。
掌握这个标准方程可以帮助我们快速识别椭圆，并在解题过程中更加得心应手。
技巧三：利用对称性简化问题
椭圆具有很强的对称性，可以利用这一特点简化问题。
分析题目中给出的条件，找到椭圆的对称轴和对称中心，可以帮助我们更快地找到解题思路。
技巧四：化简方程，消减未知数
有些椭圆相关的问题可能会涉及复杂的方程式，我们可以通过一系列化简操作，将方程转化为更简单的形式。
在这个过程中，适当的代换和方程变换是非常有帮助的。
技巧五：灵活运用性质和定理
掌握椭圆的相关性质和定理是解题过程中的利器。
比如椭圆的离心率性质、焦
点定理等，都可以帮助我们更好地理解题目和解题。
通过掌握上述技巧，我们就能更好地应对高中数学中关于椭圆的问题，轻松秒
杀各种椭圆相关题目。
希望同学们能够在练习中不断提升解题能力，取得更好的成绩！。
高考数学椭圆解题方法总结
高考数学椭圆解题方法总结一、设点或直线做题一般都需要设点的坐标或直线方程，其中点或直线的设法有很多种。
其中点可以设为,等，如果是在椭圆上的点，还可以设为。
一般来说，如果题目中只涉及到唯一一个椭圆上的的动点，这个点可以设为。
还要注意的是，很多点的坐标都是设而不求的。
对于一条直线，如果过定点并且不与y轴平行，可以设点斜式,如果不与x轴平行，可以设，如果只是过定点，可以设参数方程，其中α是直线的倾斜角。
一般题目中涉及到唯一动直线时可以设直线的参数方程。
二、转化条件有的时候题目给的条件是不能直接用或直接用起来不方便的，这时候就需要将这些条件转化一下。
对于一道题来说这是至关重要的一步，如果转化得巧，可以极大地降低运算量。
比如点在圆上可以转化为向量点乘得零，三点共线可以转化成两个向量平行，某个角的角平分线是一条水平或竖直直线则这个角的两条边斜率和是零。
有的题目可能不需要转化直接带入条件解题即可，有的题目给的条件可能有多种转化方式，这时候最好先别急着做题，多想几种转化方法，估计一下哪种方法更简单。
三、代数运算转化完条件就剩算数了。
很多题目都要将直线与椭圆联立以便使用一元二次方程的韦达定理，但要注意并不是所有题目都是这样。
有的题目可能需要算弦长，可以用弦长公式，设参数方程时，弦长公式可以简化为解析几何中有时要求面积，如果O是坐标原点，椭圆上两点A、B坐标分别为和，AB与x轴交于D，则(d是点O到AB的距离；第三个公式是我自己推的，教材上没有，解答题慎用)。
解析几何中很多题都有动点或动直线。
如果题目只涉及到一个动点时，可以考虑用参数设点。
若是只涉及一个过定点的动直线，题目中又涉及到求长度面积之类的东西，这时设直线的参数方程会简单一些。
在解析几何中还有一种方法叫点差法，设椭圆上两个点的坐标，将两点在椭圆上的方程相减，整理即可得到这两点的中点的横纵坐标与这两点连线的斜率的关系式。
四、能力要求做解析几何题，首先对人的耐心与信心是一种考验。
破解椭圆中最值问题的常见策略
破解椭圆中最值问题的常见策略第一类：求离心率的最值问题 破解策略之一：建立c b a ,,的不等式或方程例1：若B A ,为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长轴两端点，Q 为椭圆上一点，使0120=∠AQB ，求此椭圆离心率的最小值。
分析：建立c b a ,,之间的关系是解决离心率最值问题常规思路。
此题也就要将角转化为边的思想，但条件又不是与焦点有关，很难使用椭圆的定义。
故考虑使用到角公式转化为坐标形式运用椭圆中y x ,的取值进行求解离心率的最值。
解：不妨设),(),0,(),0,(y x Q a B a A -，则ax y k a x y k BQ AQ -=+=,，利用到角公式及0120=∠AQB 得：0120t an 1=-++--+ax ya x y a x ya x y （a x ±≠），又点A 在椭圆上，故22222yb a a x -=-，消去x ， 化简得2232c ab y =又b y ≤即b cab ≤2232则42223)(4c c a a ≤-，从而转化为关于e 的高次不等式 044324≥-+e e 解得136<≤e 。
故椭圆离心率的最小值为36。
（或2222)ab a b -，得：0b a <≤，由e =，故136<≤e ）（注：本题若是选择或填空可利用数形结合求最值） 点评：对于此类最值问题关键是如何建立c b a ,,之间的关系。
常用椭圆上的点),(y x 表示成c b a ,,，并利用椭圆中y x ,的取值来求解范围问题或用数形结合进行求解。
破解策略之二：利用三角函数的有界性求范围例2：已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>两个焦点为12,F F ，如果曲线C 上存在一点Q ，使12F Q F Q ⊥，求椭圆离心率的最小值。
分析：根据条件可采用多种方法求解，如例1中所提的方法均可。
椭圆的解题方法和技巧
椭圆的解题方法和技巧省市褚兰中学海平一、椭圆的定义的应用椭圆的定义是用椭圆上的点到焦点的距离来描述的，因此在解题中凡涉及曲线上的点到焦点的距离时，应先想到用定义求解，常会有事半功倍之效。
例1 的三边、、成等差数列且满足，、两点的坐标分别是、。
求顶点的轨迹。
分析：数列与解析几何相联系，往往构成综合性较大的题目，历来是高考考查的热点之一。
解析：∵、、成等差数列，∴，即，又，∴。
根据椭圆的定义，易得点的轨迹方程为。
又∵，∴，即，∴，∴。
故点的轨迹是椭圆的一半，方程为（）。
又当时，点、、在同一条直线上，不能构成三角形，∴。
∴点的轨迹方程为。
评注：该例是先由条件找到动点所满足的几何关系，寻找出满足椭圆定义的条件，然后确定椭圆的方程。
解题时，易忽略这一条件，因此易漏掉这一限制；由于、、三点构成三角形，故应剔除使、、共线的点。
例2 、椭圆上一点到两焦点、的距离之差为2，试判断的形状。
分析：由椭圆定义知，的和为定值，且二者之差为题设条件，故可求出的两边。
解析：由，解得。
又，故满足。
∴为直角三角形。
评注：由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称作焦点三角形。
利用焦点三角形能有意识地考查定义、三角形正（余）弦定理、角和定理及面积公式能否灵活运用。
二、利用待定系数法确定椭圆的标准方程。
例3、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1(6,1)P ,2(3,2)P ,求椭圆的方程.【解析】设椭圆方程为22mx ny 1+=（m ＞0,n ＞0且m≠n）. ∵椭圆经过1P ，2P 点，∴1P ，2P 点坐标适合椭圆方程， 则①6m+n=1，② 3m+2n=1，①②两式联立，解得m= 19, n= 13.∴所求椭圆方程为22x y 193+=评注：运用待定系数法求椭圆标准方程,即设法建立关于a ，b 的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2+ny2=1（m ＞0,n ＞0,m≠n），由题目所给条件求出m ，n 即可. 三、 利用向量解决椭圆问题几何中突出向量的工具作用成为高考命题的新亮点，向量本身具有“数”与“形”的双重身份，常把向量的代数式转化为坐标表示或利用其几何关系求解．()()()22410,14111()()22212||y x M l A B O P OP OA OB N l M P NP +==+例、最值问题设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于、两点，是坐标原点，点满足，点的坐标为，．当绕点旋转时，求：动点的轨迹方程；的最大值与最小值．()()112222221221221212220,1 1.()()1(4)2301424.8414()()()212244l M k l y kx A x y B x y y kx k x kx y x k x x k y y k x x y y k OP OA OB k k =+=+⎧⎪++-=⎨+=⎪⎩⎧+=-⎪⎪+⎨⎪+=⎪+⎩++-=+==++直线过点，当斜率存在时，设其斜率为，则的方程为记，，，，由，得，所以解，：，析则．()()222222222()40.0,0111.16441117||()()3(40.1||6611||.4).2261242P x P x y k x y y AB P x x NP x y y y x NP x x NP +-=≤-≤≤=-+-=-+-=++=-=点的轨迹方程为当时，取得设点的坐标为，，则，消去得当斜率不存在时，的中点为原点，也满足上述方程．所以由点的轨迹方程知，即所以故当时，取得最小值为评注：由向量作为载体的解析几何问题一要利用向量的几何意义，二要熟悉向量的坐标运算．而与椭圆有关的求最值问题则常与求函数的值域相联系． 例5、参数围问题()()()(01)0,1||()12||G ABC A B x M MA MC GM AB R C k l C P Q AP AQ k λλ∆-==∈=已知点是的重心，，，，在轴上有一点，满足，．求点的轨迹方程；若斜率为的直线与点的轨迹交于不同的两点、，且满足，试求的取值()222()()33()(0)3||1(0)3131(0)x yC x y G ABC G GM AB R GM AB xM x M MA MC y x x C y x λλ∆=∈==+=≠+=≠设，，为的重心，则，．因为，所以，而点在轴上，则，．，得整理得．所点的轨迹方析：程为以解()()()222222222211220||.013(13)63(1)0*(6)4(13)3(1)0130**()()2k l C P Q AP AQ k l y kx m x y k x kmx m l km k m k m P x y Q x y ==≠=++=+++-=∆=-+⋅->+->①当时，与椭圆有两个不同的交点、，由椭圆的对称性知②当时，可设的方程为，代入，整理得，，因为直线与椭圆交于不同的两点，所以，即，设，，，，1122212122212000002222()()63(1)1313()231313||11313-13AN P x y Q x y km m x x x x k kx xPQ N x y x km m y kx m k k AP AQ AN PQ mk k k k km k -+=-=+++==-=+=++=⊥++⋅=⋅=-+设，，，，则，，则中点，的坐标为，，又，所以，所以，()()()()2213**121,00,1,11k m k k k -+=<∈-得，代入得，所以．的取值范围得，是综合①②．． 评注：解决参数的取值围问题常用的方法有两种：①不等式(组)求解法：根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式(组)得出参数的取值围；②函数值域求解法：把所讨论的参数表示为有关某个变量的函数，通过讨论函数的值域求参数的变化围．。
椭圆的常见题型及解法二
椭圆的常见题型及解法（二）一对称问题平面解析几何常遇到含参数的对称问题，常困扰学生思维.其实平面解析几何所有的对称只有以下四类,分别为“点关于点对称”；“点关于直线对称”；“曲线关于点对称”；“曲线关于直线对称”.①点A 关于B 的对称点为C ，点B 为A 、C 的中点，由中点坐标公式有：⎩⎨⎧-=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=11112222y b y x a x y y b x x a ； ②设点A(x 1,y 1)关于直线 ：ax+by+c=0的对称点为C(x,y),由AC 直线与 垂直，且AB的中点在 上，有：()();222202212211222211221111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+---=+---=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯--b a bc abx y b a y b a acaby x a b x c y y b x x a b a x x y y(当直线 中a=0或b=0时，上面结论也正确)③曲线F(x,y)=0关于点B(a,b)对称的曲线，在曲线F(x,y)=0上任取一点A(x 1,y 1)，它关于点B(a,b)的对称点为C(x,y).其实点A 为主动点,点C 为从动点,由中点坐标公式有:⎩⎨⎧-=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y b y xa x y yb x x a 22221111,代入到主动点的方程中,得对称曲线方程:0)2,2(=--y b x a F .④曲线F(x,y)=0关于点ax+by+c=0对称的曲线, 在曲线F(x,y)=0上任取一点A(x 1,y 1)，它关于直线ax+by+c=0的对称点为C(x,y),则有:()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+---=+---=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯--2222122221111122220221b a bcabx y b a y b a acaby x a b x c y y b x x a b a x x y y ,代入到主动点的方程中,得对称曲线方程:()()0)22,22(22222222=+---+---b a bcabx y b a b a ac aby x a bF .圆锥曲线上存在两点关于某直线对称，求某参变量的取值范围.这一类问题求解时,必须同时确保: ⑴垂直;⑵平分⑶存在,下面就实例说明三个确保的实施.例1.已知椭圆C: 191622=+y x ,试确定m 的取值范围,使得对于直线 :m x y +=4在椭圆C 上存在不同的两点关于直线 对称.解:椭圆上存在两点A,B 关于直线 m x y +=4对称, 设直线AB 为:n x y +-=41(确保垂直). 设直线AB 与椭圆有两个不同的交点()()2211,,,y x B y x A .0728451916412222=-+-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=n nx x y x n x y ()()072854422>-⨯⨯--=∆n n (确保存在)即：()10,10102-∈⇒<n n ()1545421nn x x =--=+ AB 两点的中点的横坐标为,52221n x x =+纵坐标为n n n 1095241=+⨯- 则点⎪⎭⎫⎝⎛n n 109,52在直线 m x y +=4上,m n n +⨯=524109. (确保平分).107n m -=⇒ 把上式代入(1)中,得：.1010710107<<-m 变式训练（2010年安徽理19）：已知椭圆E 经过点A （2，3），对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率.21=e （I ）求椭圆E 的方程；（II ）求21AF F ∠的角平分线所在直线l 的方程；（III ）在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由.本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式，点关于直线的对称等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力、探究意识与创新意识.解：（I ）设椭圆E 的方程为22221x y a b+=2222222211,,2,3,221.43c e a c b a c e a x yc e ====-=∴+=由即得椭圆方程具有形式 将A （2，3）代入上式，得22131,2,c c c+==解得 ∴椭圆E 的方程为22 1.1612x y += （II ）解法1：由（I ）知12(2,0),(2,0)F F -，所以直线AF 1的方程为：3(2),3460,4y x x y =+-+=即 直线AF 2的方程为： 2.x =由点A 在椭圆E 上的位置知，直线l 的斜率为正数. 设(,)P x y l 为上任一点，则|346||2|.5x y x -+=- 若346510,280x y x x y -+=-+-=得（因其斜率为负，舍去）. 所以直线l 的方程为：210.x y --= 解法2：121212121(2,3),(2,0),(2,0),(4,3),(0,3).114(4,3)(0,3)(1,2).535||||2,:32(1),210.A F F AF AF AF AF AF AF k l y x x y -∴=--=-∴+=--+-=-∴=∴-=---=即（III ）解法1：假设存在这样的两个不同的点1122(,)(,),B x y C x y 和2121121200001,.2(,),,,22BC y y BC l k x x x x y y BC M x y x y -⊥∴==-++==设的中点为则由于M 在l 上，故00210.x y -+= ①又B ，C 在椭圆上，所以有222211221 1.16121612x y x y +=+=与 两式相减，得222221210,1612x x y y --+=即12211221()()()()0.1612x x x x y y y y +-+-+=将该式写为122112211108262x x y y y y x x +-+⋅+⋅⋅=-，并将直线BC 的斜率BC k 和线段BC 的中点，表示代入该表达式中， 得0000110,320.812x y x y -=-=即 ② ①×2—②得202,3x y ==，即BC 的中点为点A ，而这是不可能的. ∴不存在满足题设条件的点B 和C. 解法2：假设存在1122(,),(,)B x y C x y l 两点关于直线对称， 则1,.2BC l BC k ⊥∴=-221,1,21612x y BC y x m =-++=设直线的方程为将其代入椭圆方程得一元二次方程2222134()48,120,2x x m x mx m +-+=-+-=即 则12x x 与是该方程的两个根， 由韦达定理得12,x x m +=于是121213()2,22m y y x x m +=-++= ∴B ，C 的中点坐标为3(,).24m m又线段BC 的中点在直线321,1, 4.4my x m m =-∴=-=上得即B ，C 的中点坐标为（2，3），与点A 重合，矛盾. ∴不存在满足题设条件的相异两点.二 中点弦问题例1、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
椭圆常见题型 有解析
椭圆常见题型 （有解答）例1 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值．分析：把椭圆的方程化为标准方程，由2=c ，根据关系222c b a +=可求出m 的值．解：方程变形为12622=+my x ．因为焦点在y 轴上，所以62>m ，解得3>m ．又2=c ，所以2262=-m ，5=m 适合．故5=m ．例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆的标准方程．分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，求出参数a 和b （或2a 和2b ）的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a by a x ．由椭圆过点()03，P ，知10922=+b a ．又b a 3=，代入得12=b ，92=a ，故椭圆的方程为1922=+y x ．当焦点在y 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a bx a y ．由椭圆过点()03，P ，知10922=+ba ．又b a 3=，联立解得812=a ，92=b ，故椭圆的方程为198122=+x y ．例3 ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．分析：（1）由已知可得20=+GB GC ，再利用椭圆定义求解．（2）由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系，利用代入法求A 的轨迹方程．解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ．（2）设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）． 例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和352，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．解：设两焦点为1F 、2F ，且3541=PF ，3522=PF ．从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=a ． 从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴，所以在12F PF Rt ∆中，21sin 1221==∠PF PF F PF ， 可求出621π=∠F PF ，3526cos21=⋅=πPF c ，从而310222=-=c a b ．∴所求椭圆方程为1103522=+y x 或1510322=+y x ． 例5 已知椭圆方程()012222>>=+b a by a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积（用a 、b 、α表示）．分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用C ab S sin 21=∆求面积． 解：如图，设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设P 在第一象限．由余弦定理知： 221F F 2221PF PF +=12PF -·224cos c PF =α．①由椭圆定义知： a PF PF 221=+ ②，则－①②2得 αcos 12221+=⋅b PF PF ．故αsin 212121PF PF S PF F ⋅=∆ ααsin cos 12212+=b 2tan 2αb =．例6 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式．解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点， 即定点()03，-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径，即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422=-=b 的椭圆的方程：171622=+y x ．说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．例7 已知椭圆1222=+y x ，（1）求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过()12，A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； （4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k ， 求线段PQ 中点M 的轨迹方程．分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．解：设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④，③，②，①，y y y x x x y x y x 222222212122222121①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ． 由题意知21x x ≠，则上式两端同除以21x x -，有()()0221212121=-+++x x y y y y x x ，将③④代入得022121=--+x x y y yx ．⑤（1）将21=x ，21=y 代入⑤，得212121-=--x x y y ，故所求直线方程为： 0342=-+y x ． ⑥将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662=--y y ，0416436>⨯⨯-=∆符合题意，0342=-+y x 为所求．（2）将22121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 04=+y x ．（椭圆内部分）（3）将212121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 022222=--+y x y x ．（椭圆内部分）（4）由①＋②得 ： ()2222212221=+++y y x x ， ⑦， 将③④平方并整理得212222124x x x x x -=+， ⑧， 212222124y y y y y -=+， ⑨将⑧⑨代入⑦得：()224424212212=-+-y y y x x x ， ⑩ 再将212121x x y y -=代入⑩式得： 221242212212=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-x x y x x x ， 即 12122=+y x ．此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．例8 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()1422=++m x x ，即012522=-++m mx x ．()()020*******22≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ，解得2525≤≤-m ． （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得5221mx x -=+，51221-=m x x ．根据弦长公式得 ：51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+m m ．解得0=m ．方程为x y =．说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式∆；解决弦长问题，一般应用弦长公式． 用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．例9 以椭圆131222=+y x 的焦点为焦点，过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程．分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决．解：如图所示，椭圆131222=+y x 的焦点为()031，-F ，()032，F ． 点1F 关于直线09=+-y x l ：的对称点F 的坐标为（－9，6），直线2FF 的方程为032=-+y x ． 解方程组⎩⎨⎧=+-=-+09032y x y x 得交点M 的坐标为（－5，4）．此时21MF MF +最小．所求椭圆的长轴：562221==+=FF MF MF a ，∴53=a ，又3=c ，∴()3635322222=-=-=c a b ．因此，所求椭圆的方程为1364522=+y x ． 例10 已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆，求k 的取值范围．解：由⎪⎩⎪⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<<k ，且4≠k ．∴满足条件的k 的取值范围是53<<k ，且4≠k ．说明：本题易出现如下错解：由⎩⎨⎧<-<-,03,05k k 得53<<k ，故k 的取值范围是53<<k ．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆．例11 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围．分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围．解：方程可化为1cos 1sin 122=+ααy x ．因为焦点在y 轴上，所以0sin 1cos 1>>-αα．因此0sin >α且1tan -<α从而)43,2(ππα∈．说明：(1)由椭圆的标准方程知0sin 1>α，0cos 1>-α，这是容易忽视的地方． (2)由焦点在y 轴上，知αcos 12-=a ，αsin 12=b ． (3)求α的取值范围时，应注意题目中的条件πα<≤0．例12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程．分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为122=+ny mx (0>m ，0>n )，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．解：设所求椭圆方程为122=+ny mx (0>m ，0>n )．由)2,3(-A 和)1,32(-B 两点在椭圆上可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+-⋅=-⋅+⋅,11)32(,1)2()3(2222n m n m 即⎩⎨⎧=+=+,112,143n m n m 所以151=m ，51=n ．故所求的椭圆方程为151522=+y x ．例13 知圆122=+y x ，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段，求线段中点M 的轨迹．分析：本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题．这种题目一般利用中间变量(相关点)求轨迹方程或轨迹． 解：设点M 的坐标为),(y x ，点P 的坐标为),(00y x ，则2x x =，0y y =． 因为),(00y x P 在圆122=+y x 上，所以12020=+y x ．将x x 20=，y y =0代入方程12020=+y x 得1422=+y x ．所以点M 的轨迹是一个椭圆1422=+y x ．说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为),(y x ，设已知轨迹上的点的坐标为),(00y x ，然后根据题目要求，使x ，y 与0x ，0y 建立等式关系， 从而由这些等式关系求出0x 和0y 代入已知的轨迹方程，就可以求出关于x ，y 的方程， 化简后即我们所求的方程．这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握．例14 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求． 解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ，所以33=c ．因为焦点在x 轴上，所以椭圆方程为193622=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为93+=x y ． 由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132=⨯++x x ．设1x ，2x 为方程两根，所以1337221-=+x x ，1383621⨯=x x ，3=k ， 从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB ．(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．由题意可知椭圆方程为193622=+y x ，设m AF =1，n BF =1，则m AF -=122，n BF -=122．在21F AF ∆中，3cos 22112212122πF F AF F F AF AF -+=，即21362336)12(22⋅⋅⋅-⋅+=-m m m ；所以346-=m ．同理在21F BF ∆中，用余弦定理得346+=n ，所以1348=+=n m AB ．(法3)利用焦半径求解．先根据直线与椭圆联立的方程0836372132=⨯++x x 求出方程的两根1x ，2x ，它们分别是A ，B 的横坐标． 再根据焦半径11ex a AF +=，21ex a BF +=，从而求出11BF AF AB +=．例15 椭圆192522=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则ON （O 为坐标原点）的值为A ．4B ．2C ．8D ．23说明：(1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆．(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即a MF MF 221=+，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离．例16 已知椭圆13422=+y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．分析：若设椭圆上A ，B 两点关于直线l 对称，则已知条件等价于：(1)直线l AB ⊥；(2)弦AB 的中点M 在l 上．利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围．解：(法1)设椭圆上),(11y x A ，),(22y x B 两点关于直线l 对称，直线AB 与l 交于),(00y x M 点． ∵l 的斜率4=l k ，∴设直线AB 的方程为n x y +-=41．由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=,134,4122yx n x y 消去y 得 0481681322=-+-n nx x ①。
高中数学必修2椭圆常见题型与典型方法归纳
椭圆常见题型与典型方法归纳考点一 椭圆的定义椭圆的第一定义：我们把平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数 1.22(2)a a F F >的点的轨迹叫做椭圆.这两定点12,F F 叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距.椭圆的第二定义：我们把平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=ac(0<e<1)的动点M 的轨迹叫做椭圆.这个定点是椭圆的焦点，这条定直线叫做椭圆的准线，这个常数e 是椭圆的离心率.注意：当平面内与两个定点12,F F 距离的和等于常数 1.22(2)a a F F =的点的轨迹是线段12F F ;当平面内与两个定点12,F F 距离的和等于常数 1.22(2)a a F F <的点的轨迹不存在. 例 动点P 到两个定点1F （- 4，0）、2F （4，0）的距离之和为8，则P 点的轨迹为 （ ） A 、椭圆 B 、线段12,F F C 、直线12,F F D 、不能确定考点二 椭圆的标准方程一 标准方程1焦点在x 轴上 标准方程是：22221x y a b +=（其中222,0).b a c a b =->>焦点的坐标分别为(,0),(,0)c c -2焦点在y 轴上 标准方程是：22221y x a b +=（其中222,0).b a c a b =->>焦点的坐标分别为(0,),(0,)c c -3焦点位置判断 哪项分母大焦点就在相应的轴上 如 求22179x y +=的焦点坐标 4 椭圆过两定点，焦点位置不确定时可设椭圆方程为221mx ny +=（其中0,0m n >>）例 已知椭圆过两点1),(2)A B -，求椭圆标准方程5 与12222=+b y a x （a ＞b ＞0）共焦点的椭圆为12222=+++k b y k a x二 重难点问题探析: 1.要有用定义的意识例 已知12,F F 为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若2212F A F B += 则AB =________。
高中数学必修2椭圆常见题型与典型方法归纳
椭圆常见题型与典型方法归纳考点一 椭圆的定义椭圆的第一定义：我们把平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数 1.22(2)a a F F >的点的轨迹叫做椭圆.这两定点12,F F 叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距.椭圆的第二定义：我们把平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=ac(0<e<1)的动点M 的轨迹叫做椭圆.这个定点是椭圆的焦点，这条定直线叫做椭圆的准线，这个常数e 是椭圆的离心率.注意：当平面内与两个定点12,F F 距离的和等于常数 1.22(2)a a F F =的点的轨迹是线段12FF ; 当平面内与两个定点12,F F 距离的和等于常数 1.22(2)a a F F <的点的轨迹不存在. 例 动点P 到两个定点1F （- 4，0）、2F （4，0）的距离之和为8，则P 点的轨迹为 （ ） A 、椭圆 B 、线段12,F F C 、直线12,F F D 、不能确定考点二 椭圆的标准方程一 标准方程1焦点在x 轴上 标准方程是：22221x y a b +=（其中222,0).b a c a b =->>焦点的坐标分别为(,0),(,0)c c -2焦点在y 轴上 标准方程是：22221y x a b +=（其中222,0).b a c a b =->>焦点的坐标分别为(0,),(0,)c c -3焦点位置判断 哪项分母大焦点就在相应的轴上 如 求22179x y +=的焦点坐标 4 椭圆过两定点，焦点位置不确定时可设椭圆方程为221mx ny +=（其中0,0m n >>）例 已知椭圆过两点1),(2)A B -，求椭圆标准方程5 与12222=+b y a x （a ＞b ＞0）共焦点的椭圆为12222=+++kb y k a x二 重难点问题探析: 1.要有用定义的意识例 已知12,F F 为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若2212F A F B += 则AB =________。
高中数学椭圆解题技巧
高中数学椭圆解题技巧
一、设点或直线
二、转化条件
有的时候题目给的条件是不能直接用或直接用起来不方便的，这时候就需要将这些条
件转化一下。
对于一道题来说这是至关重要的一步，如果转化得巧，可以极大地降低运算量。
比如点在圆上可以转化为向量点乘得零，三点共线可以转化成两个向量平行，某个角
的角平分线是一条水平或竖直直线则这个角的两条边斜率和是零。
有些问题可能不需要转化，可以直接带到解决问题的条件中。
有些问题可能有多种条
件转换方法。
此时，最好不要急于回答问题，考虑几种转换方法，并估计哪种方法更简单。
三、代数运算
转换后，条件将生效。
许多问题需要结合一条直线和一个椭圆，才能使用一个变量的
二次方程的吠陀定理，但需要注意的是，并不是所有的问题都是这样的。
有些问题可能需
要计算弦长。
可以使用弦长公式
四、能力要求
做解析几何题，首先是对人们耐心和信心的考验。
在做问题的过程中，你可能会遇到
一系列需要简化的公式。
此时，只要你在正确的方向上，你一定可以看到最终的结果，如
果你继续计数。
此外，计算速度和精度也非常重要。
在真正的考试中，当你做问题的时候，你肯定不能慢下来。
因此，你需要有一定的速度。
在做问题时，必须保证计算的准确性，
因为一旦你计算错误的数字，你很可能无法成功。
五、理论拓展
这一部分主要讨论一些有用的公式、定理、推论等。
高考必考-破解椭圆最值的求解绝招-逆袭140
高考必考-破解椭圆最值的求解绝招-逆袭140
圆锥曲线在高考中占有很重要的位置，频频出现在近几年的高考试卷中，在各种题型中均有考查，而椭圆最值问题为三曲线之首，它涉及的知识面广，综合性强，处理方法灵活多变，能够充分考查学生的函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想方法，从而让学生感觉到无从入手．下面介绍几种常见的与椭圆有关的最值问题进行分类破解策略．
一、代数绝招
解析几何沟通了数学中数与形、代数与几何等基本对象之间的关系，是一门用代数方法研究几何问题及几何意义直观反映代数关系的学科．因此，在处理解析几何中最值问题时，若目标与条件容易用数量关系来说明时，不妨考虑建立目标函数，通过函数的单调性、均值不等式、判别式、二次函数的图象等知识点来解决
1.1二次函数法
1.2判别式法
1.3均值不等式法
二、三角策略
椭圆的参数方程中选择适当的角作为自变量，为我们将这些最值问题转化为三角函数式，并利用三角函数的性质解题提供了可能性，主要难点是利用三角函数求最值要有主元变换思想，把三角函数化为单一三角函数。
三、几何策略
若题目中的条件与结论蕴含特定的几何特征及意义，那么不妨借助图形，利用几何性质和定义来处理最值问题。
利用二级结论秒杀椭圆双曲线(解析版)
利用二级结论秒杀椭圆双曲线【考点目录】考点一：椭圆焦点三角形的面积秒杀公式考点二：中点弦问题(点差法)秒杀公式考点三： 双曲线焦点到渐近线的距离为b考点四：双曲线中，焦点三角形的内心I 的轨迹方程为x =a (−b <y <b ,y ≠0).考点五：椭圆与双曲线共焦点的离心率关系秒杀公式考点六：圆锥曲线定比分焦点弦求离心率秒杀公式考点七：双曲线中定比分渐近线求离心率秒杀公式【考点分类】考点一：椭圆焦点三角形的面积为S =b 2⋅tan θ2(θ为焦距对应的张角)证明：设PF 1=m ,PF 2=nm +n =2a 1 2c 2=m 2+n 2-2mn cos θ2 S △F 1PF 2=12mn sin θ3 ，1 2-2 ：mn =2b 21+cos θ⇒S △F 1PF 2=b 2⋅sin θ1+cos θ=b 2⋅2sin θ2cos θ22cos 2θ2=b 2tanθ2．双曲线中焦点三角形的面积为S =b 2tan θ2(θ为焦距对应的张角)【精选例题】1(2021年全国高考甲卷数学(理)试题)已知F 1,F 2为椭圆C ：x 216+y 24=1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且PQ =F 1F 2 ，则四边形PF 1QF 2的面积为．【答案】8【解析】因为P ,Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ |=|F 1F 2|，所以四边形PF 1QF 2为矩形，设|PF 1|=m ,|PF 2|=n ，则m +n =8,m 2+n 2=48，所以64=(m +n )2=m 2+2mn +n 2=48+2mn ，mn =8，即四边形PF 1QF 2面积等于8.故答案为：8.2设F 1，F 2是双曲线C :x 2-y 23=1的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP |=2，则△PF 1F 2的面积为()A.72B.3C.52D.2【答案】B 【解析】由已知，不妨设F 1(-2,0),F 2(2,0)，则a =1,c =2，∵|OP |=1=12|F 1F 2|，∴点P 在以F 1F 2为直径的圆上]即△F 1F 2P 是以P 为直角顶点的直角三角形，故|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2，即|PF 1|2+|PF 2|2=16，又|PF 1|-|PF 2| =2a =2，∴4=|PF 1|-|PF 2| 2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|=16-2|PF 1||PF 2|，解得|PF 1||PF 2|=6，∴S △F 1F 2P =12|PF 1||PF 2|=3，故选B ．【跟踪训练】1设P 为椭圆x 225+y 29=1上一点，F 1,F 2为左右焦点，若∠F 1PF 2=60°，则P 点的纵坐标为()A.334B.±334C.934D.±934【答案】B【分析】根据椭圆中焦点三角形的面积公式S =b 2tan θ2求解即可.【详解】由题知S △F 1PF 2=9×tan60°2=3 3.设P 点的纵坐标为h ，则12⋅F 1F 2 ⋅h =33⇒h =±334.故选：B2设双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为5．P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =()A.1B.2C.4D.8【答案】A 解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为S PF 1F 2=b 2tan θ2．∴b 2tan45°=4，则b =2，又∵e =ca=5，∴a =1．考点二：中点弦问题(点差法)秒杀公式若椭圆与直线l 交于AB 两点，M 为AB 中点，且k AB 与k OM 斜率存在时，则k AB ⋅K OM =−b 2a 2；(焦点在x 轴上时)，当焦点在y 轴上时，k AB ⋅K OM =−a 2b2若AB 过椭圆的中心，P 为椭圆上异于AB 任意一点，k PA ⋅K PB =−b 2a 2(焦点在x 轴上时)，当焦点在y轴上时，k PA ⋅K PB =−a 2b2下述证明均选择焦点在x 轴上的椭圆来证明，其他情况形式类似．直径问题证明：设P (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，因为AB 过原点，由对称性可知，点B (-x 1，-y 1)，所以k PA ⋅k PB=y 0−y 1x 0−x 1⋅y 0+y 1x 0+x 1=y 02−y 12x 02−x 12．又因为点P (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)在椭圆上，所以有x 02a 2+y 02b 2=1(1)x 12a 2+y 12b 2=1(2)．两式相减得y 02−y 12x 02−x 12=−b 2a 2，所以k PA ⋅k PB =−b 2a2．中点弦问题证明：设A x 1，y 1 ，B x 2，y 2 ，M x 0，y 0 则椭圆x 12a 2+y 12b 2=11x 22a 2+y 22b 2=12两式相减得y 22-y 12x 22-x 12=-b 2a2k AB ⋅k OM =y 2-y 1x 2-x 1⋅y 0x 0=y 2-y 1x 2-x 1⋅y 1+y 22x 1+x 22=y 22-y 12x 22-x 12=-b 2a2=e 2-1．双曲线中焦点在x 轴上为k OM ⋅k AB =b 2a 2，焦点在y 轴上为k OM ⋅k AB =a 2b 2，【精选例题】3已知椭圆G :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，-1)，则G 的方程为A.x 245+y 236=1B.x 236+y 227=1C.x 227+y 218=1D.x 218+y 29=1【答案】D【解析】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则x 1+x 2=2，y 1+y 2=-2，x 21a 2+y 21b 2=1， ① x 22a 2+y 22b 2=1， ②①-②得(x 1+x 2)(x 1-x 2)a 2+(y 1+y 2)(y 1-y 2)b 2=0，所以k AB =y 1-y 2x 1-x 2=-b 2(x 1+x 2)a 2(y 1+y 2)=b 2a2，又k AB =0+13-1=12，所以b 2a 2=12，又9=c 2=a 2-b 2，解得b 2=9，a 2=18，所以椭圆方程为x 218+y 29=1，故选D4过双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的焦点且斜率不为0的直线交C 于A ，B 两点，D 为AB 中点，若k AB ⋅k OD =12，则C 的离心率为()A.6B.2C.3D.62【答案】D【分析】先设出直线AB 的方程，并与双曲线C 的方程联立，利用设而不求的方法及条件k AB ⋅k OD =12得到关于a 、c 的关系，进而求得双曲线C 的离心率【详解】不妨设过双曲线C 的焦点且斜率不为0的直线为y =k (x -c ),k ≠0，令A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)由x 2a 2-y 2b 2=1y =k (x -c )，整理得b 2-a 2k 2x 2+2a 2k 2cx -a 2k 2c 2+a 2b 2=0则x 1+x 2=2a 2k 2c a 2k 2-b 2，x 1x 2=a 2k 2c 2+a 2b 2a 2k 2-b 2，D a 2k 2c a 2k 2-b 2，kb 2ca 2k 2-b2则k OD =kb 2c a 2k 2c =b 2a 2k ，由k AB ⋅k OD =12，可得b 2a 2k ⋅k =12则有a 2=2b 2，即3a 2=2c 2，则双曲线C 的离心率e =c a =62，故选：D 5已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，上、下顶点分别为B 1，B 2．点M为C 上不在坐标轴上的任意一点，且MA 1，MA 2，MB 1，MB 2四条直线的斜率之积大于19，则C 的离心率可以是A.33B.63C.23D.73【答案】AC【分析】根据椭圆的概念、标准方程及简单几何性质，结合题意即可求解.【详解】设M x 0,y 0 ，依题意可得x 20a 2+y 20b 2=1，则y 20=b 2a 2a 2-x 20 ，x 20=a 2b2b 2-y 20 ，又A 1-a ,0 ,A 2a ,0 ,B 10,b ,B 20,-b ，所以k MA 1⋅k MA 2⋅k MB 1⋅k MB 2=y 0x 0+a ⋅y 0x 0-a ⋅y 0-b x 0⋅y 0+b x 0=y 20x 20-a 2⋅y 20-b2x 20=b 2a 22>19，b 2a 2>13，从而e =1-b 2a2∈0,63 .故选：AC .【跟踪训练】3已知M 为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右顶点，A 为双曲线右支上一点，若点A 关于双曲线中心O 的对称点为B ，设直线MA 、MB 的倾斜角分别为α、β，且tan α⋅tan β=14，则双曲线的离心率为()A.5B.3C.62D.52【答案】D【分析】设出A,B坐标，根据题意得k MA⋅k MB=14，代入斜率公式，由A点在双曲线上，消元整理得到a,b的关系，进一步求得双曲线的离心率.【详解】设A x0,y0，则B-x0,-y0，因为tanαtanβ=14，即k MA⋅k MB=14，由M(a,0)，所以y0-0x0-a⋅-y0-0 -x0-a =y20x20-a2=14，因为x20a2-y20b2=1，所以y20=b2a2x20-a2，即b2a2x20-a2x20-a2=14，得b2a2=14，所以b a =12，即b=12a，又c2=a2+b2，所以c2=a2+14a2，即c2=54a2，所以e=ca=52，故双曲线的离心率为e=52．故选：D.4已知A，B，P是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为43，则该双曲线的离心率为()A.52B.62C.2D.213【答案】D【分析】设A x1,y1，P x2,y2，根据对称性，知B-x1,-y1，然后表示出k PA⋅k PB，又由于点A，P在双曲线上，所以将其坐标代入方程中，两式相减，结合前面的式子可得k PA⋅k PB=b2a2=43，化简可求出离心率【详解】设A x1,y1，P x2,y2，根据对称性，知B-x1,-y1，所以k PA⋅k PB=y2-y1x2-x1⋅y2+y1x2+x1=y22-y21x22-x21．因为点A，P在双曲线上，所以x21a2-y21b2=1x22a2-y22b2=1，两式相减，得x22-x12a2=y22-y12b2，所以b2a2=y22-y12x22-x12所以k PA⋅k PB=b2a2=43，所以e2=a2+b2a2=73，所以e=213．故选：D5已知双曲线x24-y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过左焦点F1作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为14，则双曲线的离心率是()A.62B.2 C.32D.2【答案】A【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2)，P(m,n)，利用点差法，结合直线的斜率公式可求出b2，从而可求出c，进而可求出离心率【详解】A(x1,y1),B(x2,y2)，P(m,n)，则x124-y12b2=1，x224-y22b2=1，两式相减得14(x1-x2)(x1+x2)-1b2(y1-y2)(y1+y2)=0，所以(y1-y2)(y1+y2)(x1-x2)(x1+x2)=b24，因为P是AB的中点，所以x1+x2=2m，y1+y2=2n，因为直线OP的斜率为14，所以nm=14，因为过左焦点F1作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，所以k AB=y1-y2x1-x2=2，所以y1-y2x1-x2⋅2n2m=b24，2×14=b24，得b2=2，所以c=a2+b2=4+2=6，所以离心率为e=ca=62故选：A考点三：双曲线焦点到渐近线的距离为b 【精选例题】1若双曲线x2a2-y2b2=1的焦点F2,0到其渐近线的距离为3，则双曲线的渐近线方程为()A.y=±3xB.y=±3xC.y=±13x D.y=±33x【答案】B【分析】由题可得b=3，a=1，即得.【详解】双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的焦点c,0到渐近线：y=bax，即bx-ay=0的距离为：d=bca2+b2=bcc=b=3，而c=2，从而a=1，故渐近线y=±bax即y=±3x.故选：B.2已知F是双曲线C：x2-my2=3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为A.3B.3C.3mD.3m【答案】A【解析】双曲线方程为x23m-y23=1，焦点F到一条渐近线的距离为b=3，故选A．【跟踪训练】1已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为()A.x 24-y 212=1B.x 212-y 24=1C.x 23-y 29=1D.x 29-y 23=1【答案】C【解析】设双曲线的右焦点坐标为F c ,0 c >0 ，则x A =x B =c ，由c 2a 2-y 2b2=1可得：y =±b 2a ，不妨设：A c ,b 2a ,B c ,-b 2a ，双曲线的一条渐近线方程为：bx -ay =0，据此可得：d 1=bc -b 2 a 2+b 2=bc -b 2c ，d 2=bc +b 2a 2+b 2=bc +b 2c ，则d 1+d 2=2bc c =2b =6，则b =3,b 2=9，双曲线的离心率：e =c a =1+b 2a2=1+9a2=2，据此可得：a 2=3，则双曲线的方程为x 23-y 29=1，故选C ．2已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2+y 2-6x +5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为A.x 25-y 24=1B.x 24-y 25=1C.x 23-y 26=1D.x 26-y 23=1【答案】A 【解析】圆C :(x -3)2+y 2=4，c =3,而3bc=2，则b =2,a 2=5，故选A ．考点四：双曲线中，焦点三角形的内心I 的轨迹方程为x =a (−b <y <b ,y ≠0).【精选例题】3已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左､右焦点分别为F 1,F 2，离心率为2，焦点到渐近线的距离为 6.过F 2作直线l 交双曲线C 的右支于A ,B 两点，若H ,G 分别为△AF 1F 2与△BF 1F 2的内心，则HG 的取值范围为()A.22,4B.3,2C.2,433D.22,463【答案】D【详解】由题意，在C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 中，根据焦点到渐近线的距可得b =6，离心率为2，∴e =c a=1+b 2a 2=1+6a2=2，解得：a =2，∴c =b 2+a 2=22∴双曲线的方程为C :x 22-y 26=1.记△AF 1F 2的内切圆在边AF 1，AF 2，F 1F 2上的切点分别为M ,N ,E ，则H ，E 横坐标相等AM =AN ，F 1M =F 1E ，F 2N =F 2E ，由AF 1 -AF 2 =2a ，即AM +MF 1 -AN +NF 2 =2a ，得MF 1 -NF 2 =2a ，即F 1E -F 2E =2a ，记H 的横坐标为x 0，则E x 0,0 ，于是x 0+c -c -x 0 =2a ，得x 0=a ，同理内心G 的横坐标也为a ，故HG ⊥x 轴.设直线AB 的倾斜角为θ，则∠OF 2G =θ2，∠HF 2O =90°-θ2(Q 为坐标原点)，在△HF 2G 中，HG =c -a tan θ2+tan 90°-θ2 =c -a ⋅sin θ2cos θ2+cos θ2sin θ2=c -a ⋅2sin θ=22sin θ，由于直线l 与C 的右支交于两点，且C 的一条渐近线的斜率为ba=3，倾斜角为60°，∴60°<θ<120°，即32<sin θ≤1，∴HG 的范围是22,463.故选：D .4(多选题)双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的左、右焦点分别F 1、F 2，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P ，双曲线和椭圆的离心率分别为e 1,e 2,△PF 1F 2的内切圆的圆心为I ，过F 2作直线PI 的垂线，垂足为D ，则()A.I 到y 轴的距离为aB.点D 的轨迹是双曲线C.若OP =F 1F 2 ，则1e 21+1e 22=5 D.若S △IPF 1-S △IPF 2≥12S △IF 1F2，则1<e 1≤2【答案】ACD【详解】设圆I 与△PF 1F 2三边PF 1,PF 2,F 1F 2的切点为A ,B ,C ，F 1C =F 1A =PF 1 -PB =PF 1 -PF 2 -F 2B =2a +F 2C ，又F 1C +F 2C =2c ，故F 2C =c -a ，故OC =a ，所以I到y轴的距离为a ，故A 正确；过F 2作直线PI 的垂线，垂足为D ，延长F 2I 交PF 1于点E ，因为△PED ≅△PF 2D ，则D 为F 2E 的中点且PF 2 =PE ，于是OD =12F 1E =12PF 1 -PE =12PF 1 -PF 2 =a ，故点D 的轨迹是在以O 为圆心，半径为a 的圆上，故B 不正确；设椭圆的长半轴长为a 1，它们的半焦距为c ，并设PF 1 =m ,PF 2=n，根据椭圆和双曲线的定义可得：m+n=2a1,m-n=2a，所以m=a1+a,n=a1-a，在△POF1中，由余弦定理得：PF12=OF12+OP2-2OF1OPcos∠POF1，即m2=c2+4c2-2×c×2c cos∠POF1，在△POF2中，由余弦定理得：PF22=OF22+OP2-2OF2OPcos∠POF2，即n2=c2+4c2-2×c×2c cos∠POF2，由∠POF2=π-∠POF1，两式相加，则n2+m2=10c2，又n2+m2=2a21+2a2，所以2a21 +2a2=10c2，所以a21+a2=5c2，所以a21c2+a2c2=5，即1e21+1e22=5，故C正确；S△IPF1-S△IPF2≥12S△IF1F2，即PF1-PF2≥c，所以2a≥c，即1<e1≤2，故D正确.故选：ACD.5(多选题)已知F1,F2分别为双曲线x2-y23=1的左、右焦点，过F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点，记△AF1F2的内切圆O1的面积为S1，△BF1F2的内切圆O2的面积为S2，则()A.圆O1和圆O2外切B.圆心O1在直线AO上C.S1⋅S2=π2D.S1+S2的取值范围是2π,3π【答案】AC【详解】双曲线x2-y23=1的a=1,b=3,c=2，渐近线方程为y=3x、y=-3x，两渐近线倾斜角分别为π3和2π3，设圆O1与x轴切点为G过F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点，可知直线AB的倾斜角取值范围为π3,2π3，O1、O2的的横坐标为x，则由双曲线定义AF1-AF2=2a，所以由圆的切线长定理知x-(-c)-c-x=2a，所以x=a.O1、O2的横坐标均为a，即O1O2与x轴垂直.故圆O1和圆O2均与x轴相切于G1,0，圆O1和圆O2两圆外切.选项A正确；由双曲线定义知，△AF1F2中，AF1>AF2，则AO只能是△AF1F2的中线，不能成为∠F1AF2的角平分线，则圆心O1一定不在直线AO上.选项B错误；在△O1O2F2中，∠O1F2O2=90°，O1O2⊥F2G，则由直角三角形的射影定理可知F2G2=O1G⋅O2G，即(c-a)2=r1⋅r2则r1⋅r2=1，故S1⋅S2=πr21⋅πr22=π2.选项C正确；由直线AB 的倾斜角取值范围为π3,2π3 ，可知∠AF 2F 1的取值范围为π3,2π3，则∠O 1F 2F 1的取值范围为π6,π3，故r 1=F 2G ⋅tan ∠O 1F 2F 1=tan ∠O 1F 2F 1∈33,3 ，又r 1⋅r 2=1，则S 1+S 2=πr 21+r 22 =πr 21+1r 21,r 1∈33,3 令f x =x +1x ,x ∈13,3 ，则f x 在13,1 单调递减，在1,3 单调递增.f 1 =2,f 13 =103,f 3 =103,f x =x +1x ,x ∈13,3 值域为2,103 故S 1+S 2=πr 21+1r 21,r 1∈33,3 的值域为2π,103π .选项D 错误.故选：AC .【跟踪训练】3已知双曲线方程是x 2-y 23=1，过F 2的直线与双曲线右支交于C ，D 两点(其中C 点在第一象限)，设点M 、N 分别为△CF 1F 2、△DF 1F 2的内心，则MN 的范围是.【答案】2,433【详解】 因x 2-y 23=1，故a =1，b =3，c =a 2+b 2=2，如图，过M 点分别作MA ⊥F 1F 2，MP ⊥F 2C ，MQ ⊥F 1C ，垂足分别为A ,P ,Q ，因M 为△CF 1F 2的内心，所以AF 1 -AF 2 =QF 1 -PF 2 =CF 1 -CF 2 =2a =2，故A 点也在双曲线上，即A 为双曲线的右顶点，同理NA ⊥F 1F 2，所以M ,A ,N 三点共线，设直线CD 的倾斜角为θ，因双曲线的渐近线方程为y =±3x ，倾斜角为π3，根双曲线的对称性，不妨设π3<θ≤π2，因AF 2 =c-a =2-1=1，所以MA =MA AF 1=tan ∠MF 2A =tanπ-θ2，NA =NA NF 1=tan ∠NF 2A =tan θ2,所以MN =MA +NA =tan π-θ2+tan θ2=sin π-θ2cos π-θ2+sin θ2cos θ2=cos θ2sin θ2+sin θ2cos θ2=1sin θ2cos θ2=2sin θ，因π3<θ≤π2，所以sin θ∈32,1 ，所以2sin θ∈2,433，故答案为：2,4334(多选题)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为2，焦点到渐近线的距离为 6.过F 2作直线l 交双曲线C 的右支于A 、B 两点，若H 、G 分别为△AF 1F 2与△BF 1F 2的内心，则()A.C 的渐近线方程为y =±3xB.点H 与点G 均在同一条定直线上C.直线HG 不可能与l 平行D.HG 的取值范围为22,463【答案】ABD【详解】设双曲线C 半焦距为c ，双曲线C 的渐近线方程为y =±b a x ，即bx ±ay =0，双曲线C 的右焦点F 2c ,0 到渐近线的距离为bcb 2+a 2=b =6，由题意知e =ca=1+b 2a2=1+6a2=2，所以a 2=2，所以c =b 2+a 2=22，故双曲线C 的方程为x 22-y 26=1，故渐近线方程为y =±3x ，故A 正确；对于B 选项，记△AF 1F 2的内切圆在边AF 1、AF 2、F 1F 2上的切点分别为M 、N 、E ， 由切线长定理可得AM =AN ，F 1M =F 1E ，F 2N =F 2E ，由AF 1 -AF 2 =2a ，即AM +MF 1 -AN +NF 2 =2a ，得MF 1 -NF 2 =2a ，即F 1E -F 2E =2a ，记H 的横坐标为x 0，则E x 0,0 ，于是x 0+c -c -x 0 =2a ，得x 0=a ，同理内心G 的横坐标也为a ，故HG ⊥x 轴，即H 、G 均在直线x =a 上，故B 正确；对于C 选项，当l 与x 轴垂直时，HG ⎳l ，故C 错误；对于D 选项，设直线AB 的倾斜角为θ，则∠OF 2G =θ2，∠HF 2O =90°-θ2(O 为坐标原点)，在△HF 2G 中，HG =EG +HE =c -a tan θ2+tan 90°-θ2=c -asin θ2cos θ2+sin 90°-θ2 cos 90°-θ2 .c -a sin θ2cos θ2+cos θ2sin θ2=c -a 1sin θ2cos θ2=c -a ⋅2sin θ=22sin θ，由于直线l 与C 的右支交于两点，且C 的一条渐近线的斜率为b a =3，倾斜角为60°，结合图形可知60°<θ<120°，即32<sin θ≤1，所以，HG =22sin θ∈22,463，故D 正确.故选：ABD .考点五：已知具有公共焦点F 1,F 2的椭圆与双曲线的离心率分别为e 1,e 2,P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2=2θ，则有sin θe 12+cos θe 22=1.【精选例题】6已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2=π3，则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为()A.43B.433C.4D.463【答案】B【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．【详解】设椭圆的长半轴为a ，双曲线的实半轴为a 1a >a 1 ，半焦距为c ，由椭圆和双曲线的定义可知，设PF 1 =m ，PF 2 =n ，F 1F 2 =2c ，椭圆和双曲线的离心率分别为e 1=c a ，e 2=ca 1，因P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2=π3，则由余弦定理可得：4c 2=m 2+n 2-2mn cosπ3⋯⋯①在椭圆中，由定义知m +n =2a ，①式化简为：4c 2=4a 2-3mn ⋯⋯②在双曲线中，由定义知m -n =2a 1，①式化简为：4c 2=4a 21+mn ⋯⋯③由②③两式消去mn 得：16c 2=4a 2+12a 21，等式两边同除c 2得4=a 2c 2+3a 21c2，即4=1e 21+3e 22，由柯西不等式得1e 21+3e 221+13 ≥1e 1+3e 2⋅132，∴1e 1+1e 2≤433.故选：B7已知椭圆C 1:x 2a 21+y 2b 21=1(a 1>b 1>0)与双曲线C 2:x 2a 22-y 2b 22=1(a 2>0，b 2>0)有公共焦点F 1(左焦点)，F 2(右焦点)，且两条曲线在第一象限的交点为P ，若△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，C 1，C 2的离心率分别为e 1和e 2，且e 2=2，则()A.a 21-b 21=a 22+b 22B.1e 1+1e 2=2 C.e 1=25D.cos ∠F 1PF 2=34【答案】ACD【分析】A 由已知共焦点及椭圆、双曲线参数的关系判断；B 、C 由椭圆、双曲线的定义可得|PF 1|=2a 1-|PF 2|=2a 2+|PF 2|，而|PF 2|=|F 1F 2|=2c ，即可判定；D 记∠F 1PF 2=θ，应用余弦定理可得cos θ=e 21+e 22-2e 21e 22e 22-e 21，由已知及B 、C 分析，即可判断.【详解】设C 1，C 2的焦距为2c ，由C 1，C 2共焦点知：a 21-b 21=a 22+b 22=c 2，故A 正确；△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形知|PF 2|=|F 1F 2|=2c ，由P 在第一象限知：|PF 1|=2a 1-|PF 2|=2a 2+|PF 2|，即2a 1-2c =2a 2+2c ，即a 1-a 2=2c ，即1e 1-1e 2=2，故B 错；由e 2=2且1e 1-1e 2=2，易得e 1=25，故C 正确；在△PF 1F 2中，记∠F 1PF 2=θ，根据定义PF 1+PF 2=2a 1PF 1-PF 2=2a 2⇒PF 1=a 1+a 2PF 2=a 1-a 2 ．由余弦定理有(2c )2=(a 1+a 2)2+(a 1-a 2)2-2(a 1+a 2)(a 1-a 2)cos θ．整理得2c 2=a 21+a 22-(a 21-a 22)cos θ，两边同时除以c 2，可得2=1e 21+1e 22-1e 21-1e 22cos θ，故cos θ=e 21+e 22-2e 21e 22e 22-e 21．将e 1=25,e 2=2代入，得cos θ=34．故D 正确故选：ACD ．【跟踪训练】5已知F 是椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点，A 为椭圆C 1的下顶点，双曲线C 2：x 2m 2-y 2n 2=1(m >0，n >0)与椭圆C 1共焦点，若直线AF 与双曲线C 2的一条渐近线平行，C 1，C 2的离心率分别为e 1，e 2，则1e 1+2e 2的最小值为．【答案】22【分析】根据直线AF 与C 2的一条渐近线平行，得到b c =nm，再结合双曲线与椭圆共焦点得到e 1e 2=1，再利用基本不等式求解.【详解】解：设C 1的半焦距为c (c >0)，则F c ,0 ，又A 0,-b ，所以k AF =b c，又直线AF 与C 2的一条渐近线平行，所以b c =n m ，所以b 2c 2=n 2m 2，所以a 2-c 2c 2=c 2-m 2m 2，所以a 2c 2=c 2m 2，所以e 1e 2=1，又1e 1+2e 2=e 2+2e 1e 1e 2=e 2+2e 1≥22e 1e 2=22，当且仅当e 2=2e 1，即e 1=22，e 2=2时等号成立，即1e 1+1e 2的最小值为22．故答案为：22考点六：设圆锥曲线C 的焦点F 在x 轴上，过点F 且斜率为k 的直线l 交曲线C 于A ,B 两点，若AF =λFB(λ>0)，则e =1+k 2λ-1λ+1，即e cos θ =λ-1λ+1．【精选例题】8已知椭圆C :x 24+y 23=1过焦点F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF=2FB ，则直线l 的斜率k 的值为．【答案】±52【详解】由题，点A 位于x 轴上方且AF =2FB，则直线l 的斜率存在且不为0，F 1,0 ，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则可得-y 1=2y 2，设直线l 方程为x =ty +1，联立直线与椭圆x 24+y 23=1x =ty +1可得3t 2+4 y 2+6ty -9=0，∴y 1+y 2=-6t3t 2+4y 1y 2=-93t 2+4，∴y 2=6t 3t 2+4,-2y 22=-93t 2+4，∴-26t 3t 2+42=-93t 2+4，解得t =±255，则直线的斜率为±52.故答案为：±52.9已知F 是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点，直线l 经过点F 且与双曲线相交于A ,B 两点，记该双曲线的离心率为e ，直线l 的斜率为k ，若AF =2FB，则()A.8e 2-k 2=1B.e 2-8k 2=1C.9e 2-k 2=1D.k 2-9e 2=1【答案】C【详解】由题意，设直线l 的方程为x =my +c ，联立方程组x =my +cx 2a2+y 2b 2=1，整理得(b 2m 2-a 2)y 2+2b 2mcy +b 4=0，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，可得y 1+y 2=-2b 2mc b 2m 2-a 2,y 1y 2=b 4b 2m 2-a 2，因为AF =2FB ，即(c -x 1,-y 1)=2(x 2-c ,y 2)，可得-y 1=2y 2，代入上式，可得y 2=2b 2mcb 2m 2-a 2-2y 22=b 4b 2m 2-a2，可得-22b 2mcb 2m 2-a22=b 4b 2m 2-a2，整理得-8m 2c 2=b 2m 2-a 2，即(8c 2+b 2)m 2-a 2=0，又由c 2=a 2+b 2，可得(9c 2-a 2)m 2-a 2=0，即(9e 2-1)m 2-1=0，所以(9e 2-1)⋅1k2-1=0，可得9e 2-1-k 2=0，即9e 2-k 2=1.故选：C .10已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左，右焦点，过点F 1倾斜角为30°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点A ，B .若AF 2 =BF 2 ，则双曲线C 的离心率为()A.2B.3C.2D.5【答案】A【详解】设AF 1 =t ，则AF 2 =t +2a =BF 2 ，从而BF 1 =t +4a ，进而BA =4a .过F 2作F 2H ⊥AB =H ，则AH =2a .如图：在Rt △F 1F 2H 中，F 2H =2c sin30°=c ，F 1H =2c cos θ=3c =AF 2 ；在Rt △AF 2H 中，3c 2-c 2=2a2，即2c 2=4a 2，所以e = 2.故选：A 【跟踪训练】6斜率为12的直线l 过椭圆C :y 2a 2+x 2b2=1a >b >0 的焦点F ，交椭圆于A ,B 两点，若AF =23AB ，则该椭圆的离心率为．【答案】53【详解】设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由AF =23AB 得：AF =2FB ，∴x 1=-2x 2，即x1x 2=-2；不妨令F 0,c ，则直线l :y =12x +c ，由y =12x +c y 2a 2+x 2b2=1得：b 2+4a 2 x 2+4b 2cx -4b 4=0，∴x 1+x 2=-4b 2cb 2+4a 2x 1x 2=-4b 4b 2+4a2，∴x 1+x 22x 1x 2=x1x 2+x 2x 1+2=-16b 4c 2b 2+4a 2 24b 4b 2+4a 2=-4c 2b 2+4a2=-12，即8c 2=b 2+4a 2=a 2-c 2+4a 2=5a 2-c 2，∴9c 2=5a 2，∴e =c 2a 2=59=53；由椭圆对称性可知：当F 0,-c 时，e =53；∴椭圆的离心率为53.故答案为：53.7已知双曲线x 2a 2-y2b 2=1a ,b >0 的左､右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1且倾斜角为π6的直线l 与双曲线的左､右支分别交于点A ，B ，且AF 2 =BF 2 ，则该双曲线的离心率为()A.2B.3C.22D.23【答案】A【详解】解：过F 2作F 2N ⊥AB 于点N ，设AF 2 =BF 2 =m ，因为直线l 的倾斜角为π6，所以在直角三角形F 1F 2N 中，NF 2 =c ，NF 1 =3c ，由双曲线的定义可得BF 1 -BF 2 =2a ，所以BF 1 =2a +m ，同理可得AF 1 =m -2a ，所以AB =BF 1 -AF 1 =4a ，即AN =2a ，所以AF 1 =3c -2a ，因此m =3c ，在直角三角形ANF 2中，AF 2 2=NF 2 2+AN 2，所以3c 2=4a 2+c 2，所以c =2a ，则e =ca= 2.故选：A .考点七：已知双曲线方程为x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的右焦点为F ，过点F 且与渐近线y =ba x 垂直的直线分别交两条渐近线于P ,Q 两点.情形1.如图1.若FP =λFQ λ>0,λ≠1 ,则e 2=2λλ−1(*)图1图2如图2.若QF =λFP(0<λ<1)，则e 2=2λ+1【精选例题】11过双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点做一条渐近线的垂线，垂足为A ，与双曲线的另一条渐近线交于点B ，若FB =2FA，则此双曲线的离心率为【答案】满足情形1，即λ=2，故e 2=2λλ−1，则e =212已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1，(a >0,b >0)过C 的右焦点F 作垂直于渐近线的直线l 交两渐近线于A 、B 两点A 、B 两点分别在一、四象限，若AF BF =12，则双曲线C 的离心率为()A.233B.2C.3D.5【答案】A【详解】解：由题意知：双曲线的右焦点F c ,0 ，渐近线方程为y =±b a x ，即bx ±ay =0，如下图所示:由点到直线距离公式可知：FA =bcb 2+a2=b ，又∵c 2=a 2+b 2，∴OA =a ，∵AF BF=12，即BF =2b ，设∠AOF =α，由双曲线对称性可知∠AOB =2α，而tan α=b a ，tan2α=AB OA=3ba ，由正切二倍角公式可知：tan2α=2tan α1-tan 2α=2×b a 1-b a2=2ab a 2-b 2，即3b a =2ab a 2-b 2，化简可得：a 2=3b 2，即b 2a2=13，由双曲线离心率公式可知：e =ca =1+b 2a2=1+13=233.故选：A .【跟踪训练】8已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的两条渐近线分别为直线l 1，l 2，经过右焦点F 且垂直于l 1的直线l 分别交l 1，l 2于A ,B 两点，且FB =2AF，则该双曲线的离心率为()A.233B.3C.43D.433【答案】满足情形2，即λ=2，e 2=2λ+1⇒e =233.9F 1,F 2是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点，过F 1且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于A ,B 两点，若AB =2BF 1，则双曲线的离心率为A.52B.5C.103D.10【答案】B【详解】设直线方程为y =x +c ，与渐近线方程y =±b a x 联立方程组解得y B =bc a +b ,y A =bc b -a,因为AB =2BF 1 ，所以y B -y A =2(0-y B )y A =3y B ∴3bc a +b =bc b -a,∴b =2a ,∴c =5a ,e =5，选B .1已知点P 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 上，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若PF 1 ⋅PF 2 =3，且△PF 1F 2的面积为2，则b 2=()A.2B.3C.4D.5【答案】C【分析】画出图形，结合解三角形知识、数量积的定义、椭圆的定义以及平方关系即可求解.【详解】PF 1 +PF 2=2a 如图所示：设∠F 1PF 2=θ，由题意PF 1 ⋅PF 2 =PF 1 ⋅PF 2 cos θ=3，S △PF 1F 2=12PF 1⋅PF 2 sin θ=2，两式相比得tan θ=sin θcos θ=43，又θ∈0,π ，且cos 2θ+sin 2θ=1，所以cos θ=35,sin θ=45,PF 1⋅PF 2 =5，而由余弦定理有2c 2=F 1F 2 2=PF 1 2+PF 2 2-2PF 1 ⋅PF 2cos θ=PF 1 2+PF 2 2-6，即2c 2+6=PF 1 2+PF 2 2，且由椭圆定义有2a 2=PF 1 +PF 2 2=PF 1 2+PF 2 2+2PF 1 ⋅PF 2=2c 2+6+10，所以4b 2=4a 2-4c 2=16，解得b 2=4.故选：C .2椭圆mx 2+ny 2=1与直线y =1-x 交于M ，N 两点，连接原点与线段MN 中点所得直线的斜率为22，则mn 的值是()A.22B.233C.922D.2327【答案】A【分析】设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，利用点差法可推出y 1+y 2x 1+x 2⋅y 1-y 2x 1-x 2=-mn，设线段MN 中点为(x 0,y 0)，结合题意推出y 0x 0=22，y 1-y 2x 1-x 2=-1，代入y 1+y 2x 1+x 2⋅y 1-y 2x 1-x 2=-mn化简，即可得答案.【详解】设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，则mx 21+ny 21=1,mx 22+ny 22=1，两式相减得m (x 21-x 22)+n (y 21-y 22)=0，由已知椭圆mx 2+ny 2=1与直线y =1-x 交于M ，N 两点，可知x 1≠x 2，故y 21-y 22x 21-x 22=-m n ，即y 1+y 2x 1+x 2⋅y 1-y 2x 1-x 2=-m n ，设线段MN 中点为(x 0,y 0)，则x 1+x 2=2x 0,y 1+y 2=2y 0，而y 1-y 2x 1-x 2=k MN =-1，连接原点与线段MN 中点所得直线的斜率为22，即y 0x 0=22，故22⋅(-1)=-m n ，即m n =22，故选：A3已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a ,b >0)的离心率为2，焦点到渐近线距离为3，则双曲线C 实轴长()A.3B.3C.23D.6【答案】D【解析】由双曲线的性质可得双曲线渐近线方程，由点到直线的距离公式可得b =3，再结合离心率即可得解.【详解】由题意，双曲线的一个渐近线为y =-ba x 即bx +ay =0，设双曲线的的右焦点为F c ,0 ,c >0，则c 2=a 2+b 2，所以焦点到渐近线的距离d =bca 2+b 2=bcc=b =3，又离心率e =ca=2，所以a =3，所以双曲线C 实轴长2a =6.故选：D .4(多选题)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，离心率为12，且经过点3,32,P 在椭圆上，则()A.PF 1 的最大值为3B.△PF 2F 1的周长为4C.若∠F 2PF 1=60°，则△PF 2F 1的面积为3D.若PF 1 PF 2 =4，则∠F 2PF 1=60°【答案】ACD【分析】先求出椭圆方程，然后根据椭圆的几何性质逐项判断即可.【详解】由题意，椭圆离心率为12，则a :b :c =2:3:1⇒a =23b ，则x 2a 2+y 2b 2=1⇒3x 24b 2+y 2b 2=1，代入3,32 ，得b 2=3⇒a 2=4，所以C :x 24+y 23=1，对A ，由题意PF 1 max =a +c =3，故A 正确；对B ,△PF 2F 1的周长为2a +2c =6，故B 错误；对C ，若∠F 2PF 1=60°，则由余弦定理得：F 2F 12=PF 1 2+PF 2 2-2PF 1 PF 2 cos60°=PF 1 +PF 2 2-3PF 1 ⋅PF 2 .即(2c )2=(2a )2-3PF 1 ⋅PF 2 ，故PF 1 ⋅PF 2 =4，故S △PF 2F 1=12PF 1 ⋅PF 2 sin60°=3，故C 正确；对D ，由余弦定理F 2F 12=PF 1 2+PF 2 2-2PF 1 ⋅PF 2 cos ∠F 2PF 1=PF 1 +PF 2 2-2PF 1 ⋅PF 2 ⋅1+cos ∠F 2PF 1 ，即4=16-2×41+cos ∠F 2PF 1 ，解得cos ∠F 2PF 1=12，故∠F 2PF 1=60°，故D 正确，故选:ACD5(多选题)设椭圆的方程为x 22+y 24=1，斜率为k 的直线不经过原点O ，而且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，下列结论不正确的是()A.直线AB 与OM 垂直B.若点M 坐标为(1,1)，则直线方程为2x +y -3=0C.若直线方程为y =x +1，则点M 坐标为13,43D.若直线方程为y =2x +2，则|AB |=432【答案】AC【分析】根据椭圆中点弦的性质k AB ∙k OM =-42=-2，可以判断ABC ，对于D ,直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求得|AB |，从而判断正误．【详解】对于A ：设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则x 222+y 224=1x 212+y 214=1，相减可得x 21-x 222+y 21-y 224=0，所以y 1-y 2x 1-x 2⋅x 1+x 2y 1+y 2=-42=-2≠-1，故A 错误；对于B ：根据k AB ∙k OM =-2，k OM =1，所以k AB =-2，所以直线方程为y -1=-2(x -1)，即2x +y -3=0，故B 正确；对于C ：若直线方程为y =x +1，点M 13,43，则k AB ∙k OM =1×4=4≠-2，所以C 错误；对于D ：若直线方程为y =2x +2，与椭圆方程x 22+y 24=1联立，得到2x 2+(2x +2)2-4=0，整理得：3x 2+4x =0，解得x 1=0,x 2=-43，所以|AB |=1+12∙-43-0 =423，故D 正确；故选：AC ．6(多选题)设A ，B 是双曲线x 2-y 24=1上的两点，下列四个点中可以为线段AB 中点的是()A.0,2B.-1,2C.1,1D.1,4【分析】A选项由双曲线的对称性可直接判断，B、C、D选项，首先根据点差法分析可得k AB⋅k=4，结合双曲线的渐近线斜率可判断B，C、D可通过联立直线方程与双曲线方程，利用判别式即可判断.【详解】对于选项A：因为双曲线关于y轴对称，所以当直线AB的方程为y=2时，线段AB的中点为(0,2)，故A正确；当直线AB的斜率存在且不为0时，设A x1,y1,B x2,y2，则AB的中点Mx1+x22,y1+y22，可得k AB=y1-y2x1-x2,k=y1+y22x1+x22=y1+y2x1+x2，因为A,B在双曲线上，则x21-y214=1x22-y224=1，两式相减得x21-x22-y21-y224=0，所以k AB⋅k=y21-y22x21-x22=4.对于选项B：可得k=-2,k AB=-2，则AB:y-2=2(x+1)，即y=2x+4，双曲线的渐近线方程为y=±2x，由于y=2x+4与其中一条渐近线平行，故不可能有两个交点，故B 错误；对于选项C：可得k=1,k AB=4，则AB:y-1=4(x-1)，即y=4x-3，联立方程y=4x-3x2-y24=1，消去y得12x2-24x+13=0，此时Δ=242-4×12×13=-48<0，故直线AB与双曲线没有交点，故C错误；对于选项D：k=4,k AB=1，则AB:y-4=x-1，即y=x+3，联立方程y=x+3x2-y24=1，消去y得3x2-6x-13=0，此时Δ=-62+4×3×13>0，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；故选：AD.7(多选题)若P是椭圆C1:x2a2+y2b2=1a>b>0与双曲线C2:x2m2-y2n2=1m>0,n>0在第一象限的交点，且C1，C2共焦点F1，F2，∠F1PF2=θ，C1，C2的离心率分别为e1，e2，则下列结论中正确的是()A.PF1=m+a，PF2=m-a B.cosθ=b2-n2 b2+n2C.若θ=120°，则3e21+1e22=4 D.若θ=90°，则e21+e22的最小值为2【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线定义计算判断A ；由余弦定理计算判断B ；再结合B ，基本不等式等讨论CD 选项即可.【详解】解：依题意，PF 1+ PF 2 =2aPF 1- PF 2 =2m ，解得PF 1 =a +m ,PF 2 =a -m ，A 不正确；令|F 1F 2|=2c ，由余弦定理得：cos θ=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=(a +m )2+(a -m )2-4c 22(a +m )(a -m )=a 2+m 2-2c 2a 2-m 2，因为在椭圆C 1中a 2-c 2=b 2，在双曲线C 2中，m 2-c 2=-n 2，所以cos θ=a 2+m 2-2c 2a 2-m 2=b 2-n 2b 2+n 2，故B 选项正确；当θ=120°时，cos θ=b 2-n 2b 2+n 2=-12，即3b 2=n 2，所以3a 2+m 2=4c 2，即3a c2+m c2=4，所以，3e 21+1e 22=4，故C 选项正确；当θ=90°时，b 2=n 2，即a 2+m 2=2c 2，所以，a c2+m c 2=2，有1e 21+1e 22=2，因为0<e 21<1<e 22，所以，e 21+e 22=2e 21e 22<2e 21+e 2222，解得e 21+e 22>2，D 不正确；故选：BC8(多选题)如图，P 是椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)与双曲线C 2:x 2m 2-y 2n 2=1(m >0,n >0)在第一象限的交点，且C 1,C 2共焦点F 1,F 2,∠F 1PF 2=θ,C 1,C 2的离心率分别为e 1,e 2，则下列结论正确的是()A.PF 1 =a +m ,PF 2 =a -mB.若θ=60°，则1e 21+3e 22=4C.若θ=90°，则e 21+e 22的最小值为2D.tanθ2=nb【答案】ABD【分析】根据给定条件结合椭圆、双曲线定义计算判断A ；借助余弦定理、离心率公式、均值不等式计算判断B ，C ，D 作答.【详解】由椭圆和双曲线的定义得：PF 1 +PF 2 =2aPF 1 -PF 2 =2m ，解得PF 1 =a +m ，PF 2 =a -m ，A 正确；在△F 1PF 2中，由余弦定理得：a -m 2+a +m 2-2a -m a +m cos θ=2c 2，整理得a 21-cos θ +m 21+cos θ =2c 2，a 21-cos θ c 2+m 21+cos θ c 2=2，即1-cos θe 21+1+cos θe 22=2，当θ=60°时，12e 21+32e 22=2，即1e 21+3e 22=4，B 正确；当θ=90°时，1e 21+1e 22=2，e 21+e 22=121e 21+1e 22(e 21+e 22)=1+12e 22e 21+e 21e 22≥1+e 22e 21⋅e 21e 22=2，当且仅当e 1=e 2=1时取“=”，而0<e 1<1,e 2>1，C 不正确；在椭圆中，2|PF 1||PF 2|cos θ=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|2=4a 2-4c 2-2|PF 1||PF 2|，即|PF 1||PF 2|=2b 21+cos θ，在双曲线中，2|PF 1||PF 2|cos θ=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|2=4m 2-4c 2+2|PF 1||PF 2|，即|PF 1||PF 2|=2n 21-cos θ，于是得2n 21-cos θ=2b 21+cos θ⇔n 2b 2=1-cos θ1+cos θ=2sin 2θ22cos 2θ2=tan 2θ2，而0<θ2<π2，则tan θ2=n b ，D 正确.故选：ABD【点睛】方法点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、双曲线定义，得到a ，c 的关系.9己知椭圆C :x 2m 2+y 26=1的焦点分别为F 10,2 ，F 20,-2 ，设直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且点P 12,12为线段MN 的中点，则直线l 的方程为．【答案】3x +y -2=0【分析】先由题意求出m 2，再由点差法可以求出直线l 的斜率，由直线的点斜式化简即可求解.【详解】根据题意，因为焦点在y 轴上，所以6-m 2=4，则m 2=2，即椭圆C :x 22+y 26=1，所以P 点为椭圆内一点，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，则x 212+y 216=1，x 222+y 226=1，两式相减得x 1+x 2 x 1-x 22=-y 1+y 2 y 1-y 26，变形得y 1-y 2x 1-x 2=-3×x 1+x2y 1+y 2，因为点P 12,12 为线段MN 的中点，所以x 1+x 2y 1+y 2=x 1+x 22y 1+y 22=x P y P=1212=1，所以直线l 的斜率为k =y 1-y 2x 1-x 2=-3×x 1+x2y 1+y 2=-3×1=-3，所以直线l 的方程为y -12=-3x -12，即3x +y -2=0.故答案为：3x +y -2=0.10已知点A ,B ,C 是离心率为2的双曲线Γ:x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 上的三点, 直线AB ,AC ,BC 的斜率分别是k 1,k 2,k 3,点D ,E ,F 分别是线段AB ,AC ,BC 的中点,O 为坐标原点，直线OD ,OE ,OF 的斜率分别是k '1,k '2,k '3.若1k '1+1k '2+1k '3=3,则k 1+k 2+k 3=【答案】3【分析】本题考查点差法，根据点差法的内容，设点，作差，计算得出y 0y 1-y 2 x 0x 1-x 2 =b 2a 2,结合离心率为2，求得k 1k '1=1.同理求得k 2k '2=1,k 3k '3=1.代入问题计算即可.【详解】因为双曲线Γ的离心率为2, 所以ba=1.不妨设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,D x 0,y 0 ,因为点A ,B 在Γ上，所以x 21a 2-y 21b 2=1,x 22a 2-y 22b2=1,两式相减,得x 1+x 2 x 1-x 2a 2=y 1+y 2 y 1-y 2b 2,因为点D 是AB 的中点，所以x 1+x 2=2x 0, y 1+y 2=2y 0,。
椭圆的解题方法和技巧
椭圆的解题方法和技巧安徽省宿州市褚兰中学海平一、椭圆的定义的应用椭圆的定义是用椭圆上的点到焦点的距离来描述的，因此在解题中凡涉及曲线上的点到焦点的距离时，应先想到用定义求解，常会有事半功倍之效。
例1 的三边、、成等差数列且满足，、两点的坐标分别是、。
求顶点的轨迹。
分析：数列与解析几何相联系，往往构成综合性较大的题目，历来是高考考查的热点之一。
解析：∵、、成等差数列，∴，即，又，∴。
根据椭圆的定义，易得点的轨迹方程为。
又∵，∴，即，∴，∴。
故点的轨迹是椭圆的一半，方程为（）。
又当时，点、、在同一条直线上，不能构成三角形，∴。
∴点的轨迹方程为。
评注：该例是先由条件找到动点所满足的几何关系，寻找出满足椭圆定义的条件，然后确定椭圆的方程。
解题时，易忽略这一条件，因此易漏掉这一限制；由于、、三点构成三角形，故应剔除使、、共线的点。
例2 、椭圆上一点到两焦点、的距离之差为2，试判断的形状。
分析：由椭圆定义知，的和为定值，且二者之差为题设条件，故可求出的两边。
解析：由，解得。
又，故满足。
∴为直角三角形。
评注：由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称作焦点三角形。
利用焦点三角形能有意识地考查定义、三角形正（余）弦定理、内角和定理及面积公式能否灵活运用。
二、利用待定系数法确定椭圆的标准方程。
二、利用待定系数法确定椭圆的标准方程。
例3、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1(6,1)P ,2(3,2)P ,求椭圆的方程. 【解析】设椭圆方程为22mx ny 1+=（m ＞0,n ＞0且m≠n ）. ∵椭圆经过1P ，2P 点，∴1P ，2P 点坐标适合椭圆方程，则①6m+n=1，② 3m+2n=1，①②两式联立，解得m= 19, n= 13. ∴所求椭圆方程为22x y193+= 评注：运用待定系数法求椭圆标准方程,即设法建立关于a ，b 的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2+ny2=1（m ＞0,n ＞0,m≠n ），由题目所给条件求出m ，n 即可. 三、三、 利用向量解决椭圆问题利用向量解决椭圆问题几何中突出向量的工具作用成为高考命题的新亮点，向量本身具有“数”与“形”的双重身份，常把向量的代数式转化为坐标表示或利用其几何关系求解．用其几何关系求解．()()()22410,14111()()22212||y x M l A B O P OP OA OB N l M P NP +==+例、最值问题设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于、两点，是坐标原点，点满足，点的坐标为，．当绕点旋转时，求：动点的轨迹方程；的最大值与最小值．()()112222221221221212220,1 1.()()1(4)2301424.8414()()()212244l M k l y kx A x y B x y y kx k x kx y x k x x ky y k x x y y k OP OA OB k k =+=+ìï++-=í+=ïîì+=-ï+íï+=ï+î++-=+==++ 直线过点，当斜率存在时，设其斜率为，则的方程为记，，，，由，得，所以解，：，析则．()()222222222()40.0,0111.16441117||()()3(40.121||6611||.4).2261242P x P x y k x y y AB P x x NP x y y y x NP x x NP +-=£-££=-+-=-+-=++=-=点的轨迹方程为当时，取得设点的坐标为，，则，消去得当斜率不存在时，的中点为原点，也满足上述方程．所以由点的轨迹方程知，即所以故最大值为；当时，取得最小值为评注：由向量作为载体的解析几何问题一要利用向量的几何意义，二要熟悉向量的坐标运算．而与椭圆有关的求最值问题则常与求函数的值域相联系．的值域相联系． 例5、参数范围问题、参数范围问题()()()(01)0,1||()12||G ABC A B x M MA MC GM AB R C k l C P Q AP AQ k l l D -==Î=已知点是的重心，，，，在轴上有一点，满足，．求点的轨迹方程；若斜率为的直线与点的轨迹交于不同的两点、，且满足，试求的取值()22222222()()33()(0)3||()(01)()331(0)3131(0)x yC x y G ABC G GM AB R GM AB x M x M MA MC x x x y x y x x C y x l lD =Î=++=-++=¹+=¹设，，为的重心，则，．因为，所以，而点在轴上，则，．由，得，整理得．所点的轨迹方析：程为以解()()()222222222211220||.013(13)63(1)0*(6)4(13)3(1)0130**()()2k l C P Q AP AQ k l y kx m xy k x kmx m l km k m k m P x y Q x y ==¹=++=+++-=D =-+×->+->①当时，与椭圆有两个不同的交点、，由椭圆的对称性知②当时，可设的方程为，代入，整理得，，因为直线与椭圆交于不同的两点，所以，即，设，，，，1122212122212000002222()()63(1)1313()231313||11313-13AN P x y Q x y km m x x x x k k x x PQ N x y x km m y kx m k k AP AQ AN PQ m k k k k kmk-+=-=+++==-=+=++=^++×=×=-+设，，，，则，，则中点，的坐标为，，又，所以，所以，()()()()2213**121,00,1,11km k k k -+=<Î- 得，代入得，所以．的取值范围得，是综合①②．． 评注：解决参数的取值范围问题常用的方法有两种：①不等式(组)求解法：根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式(组)得出参数的取值范围；②函数值域求解法：把所讨论的参数表示为有关某个变量的函数，通过讨论函数的值域求参数的变化范围．化范围．。
一些好用的高中数学椭圆解题方法总结计划
一些好用的高中数学椭圆解题方法一些好用的高中数学椭圆解题方法一、设点或直线做题一般都需要设点的坐标或直线方程，其中点或直线的想法有很多种。
其中点能够设为等，若是是在椭圆上的点，还可以够设为。
一般来说，若是题目中只涉及到唯一一个椭圆上的的动点，这个点能够设为。
还要注意的是，很多点的坐标都是设而不求的。
关于一条直线，若是过定点并且不与 y轴平行，能够设点斜式若是不与x轴平行，能够设，若是可是过定点，能够设参数方程，其中是直线的倾斜角。
一般题目中涉及到唯一动直线时能够设直线的参数方程。
二、转变条件有的时候题目给的条件是不能够直接用或直接用起来不方便的，这时候就需要将这些条件转变一下。
关于一道题来说这是至关重要的一步，若是转变得巧，能够极大地降低运算量。
比方点在圆上能够转变成向量点乘得零，三点共线能够转变成两个向量平行，某个角的角均分线是一条水平或竖直直线第1 页则这个角的两条边斜率和是零。
有的题目可能不需要转变直接带入条件解题即可，有的题目给的条件可能有多种转变方式，这时候最好先别急着做题，多想几种转变方法，估计一下哪一种方法更简单。
三、代数运算转变完条件就剩算数了。
很多题目都要将直线与椭圆联立以便使用一元二次方程的韦达定理，但要注意其实不是所有题目都是这样。
有的题目可能需要算弦长，能够用弦长公式，设参数方程时，弦长公式能够简化为剖析几何中有时要求面积，若是O是坐标原点，椭圆上两点A、B坐标分别为和，AB与x轴交于D，则(d是点O到AB的距离；第三个公式是我自己推的，教材上没有，解答题慎用)。
剖析几何中很多题都有动点或动直线。
若是题目只涉及到一个动点时，能够考虑用参数设点。
若是只涉及一个过定点的动直线，题目中又涉及到求长度面积之类的东西，这时设直线的参数方程会简单一些。
在剖析几何中还有一种方法叫点差法，设椭圆上两个点的坐标，将两点在椭圆上的方程相减，整理即可获取这两点的中点的横纵坐标与这两点连线的斜率的关系式。
2021年高考椭圆综合题做题技巧与方法总结
2021年高考椭圆综合题做题技巧与方法总结知识点梳理：1.椭圆定义：（1）第一个定义：移动点P的轨迹称为椭圆，其中平面上两个固定点F1和F2之间的距离之和为常数2A（2A？| F2F2F2 |），当Pf1？pf2？2a？当F1F2时，P的轨迹为椭圆；；Pf1什么时候？pf2？2a？在F1F2，P的轨迹不存在；当pf1?pf2?2a?f1f2时,p的轨迹为以f1、f2为端点的线段（2）椭圆的第二定义:平面内到定点f与定直线l(定点f不在定直线l上)的距离之比是常数e(0?e?1)的点的轨迹为椭圆（使用第二种定义，从椭圆上的移动点到焦点的距离和到相应的引导线的距离可以相互转换）2.椭圆的方程与几何性质:y2x2x2y2标准方程??1(a?b?0)??1(a?b?0)a2b2a2b2性质参数关系焦点焦距范围顶点对称性离心率a2?b2?c2(c,0),(?c,0)(0,c),(0,?c)2c|x|?a,|y|?b(?a,0),(a,0),(0,?b),(0,b)|y|?a,|x |?b(0,?a),(0,a),(?b,0),(b,0)关于x轴、y轴和原点对称ce??(0,1)a准线a2x??ca2y??c考点1椭圆定义及标准方程题型1:椭圆定义的运用[示例1]椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点a、b是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点a的小球（小球的半径不计），从点a沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点a时，小球经过的路程是a．4ab．2(a－c)c．2(a+c)d．以上答案均有可能[解析]按小球的运行路径分三种情况:(1)a?c?a,此时小球经过的路程为2(a－c);(2)a?b?d?b?a,此时小球经过的路程为2(a+c);(3)a?p?b?q?a此时小球经过的路程为4a,故选d总结：考虑小球的运行路径要全面练习2的椭圆的两个焦点是F1和F2。
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直线与椭圆的位置关系判断的四个步骤：
第一步：建立直线与椭圆的方程；
第二步：联立直线与椭圆的方程；
第二步：消元得出关于x （或y ）的一元二次方程；
第四步：当0>∆时，直线与椭圆相交；
当0=∆时，直线与椭圆相切；
当0<∆时，直线与椭圆相离；
12、判断直线2
1-
=x y 与椭圆2422=+y x 的位置关系.
13、当m 为何值的时，直线m x y +=与椭圆14
22
=+y x 相交、相切、相离？
（一）弦长公式：曲线与直线相交于两点),(),,(2211y x B y x A 直线的斜率为k ，则 ||1||212x x k AB -+= 或||11||212
y y k AB -+=
（二）弦中点问题：解决直线与椭圆相交弦的中点有关的问题时，通常有两种方法： 方法一：
（1）联立直线与椭圆的方程;
（2）消元得出关于x （或y ）的一元二次方程;
（3）利用根和系数的关系a
c x x a b x x =⋅-
=+2121,与中点坐标公式建立方程组求解.
方法二：点差法
椭圆与直线相交于两点),(),,(2211y x B y x A ，（当21x x ≠时）且弦AB 的中点为),(n m P 则有 1221221
=+b
y a x 与 1222222
=+b y a x ，两个方程相减得 0))(())((2212122121=+-++-b y y y y a x x x x 再变形为2
121222121y y x x a b x x y y ++⋅-=-- 即n
m a b n m a b k AB
⋅-=⋅-=222222
14、已知椭圆19
362
2=+y x 和点)2,4(P ，直线l 经过点P 且与椭圆交于A,B 两点 （1）当直线l 的斜率为
2
1时，求线段AB 的长度； （2）当点P 恰好为线段AB 的中点时，求直线l 的方程.
15、经过点)1,1(P 的直线与椭圆12
42
2=+y x 交于A,B 两点，若线段AB 的中点恰为点P ，求A,B 所在的直线l 的方程及弦长|AB|。