椭圆的常见题型及解法(一).

椭圆的常见题型及其解法(一)

椭圆是圆锥曲线的内容之一，也是高考的热点和重点，椭圆学习的好坏还直接影响后面的双曲线与抛物线的学习，笔者在这里就椭圆常见题型作简要的探讨，希望对学习椭圆的同学有所帮助.

一、椭圆的焦半径

椭圆上的任意一点到焦点F 的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。 1.公式的推导

设P （

，

）是椭圆上的任意一点，

分别是椭圆的左、右焦点，椭圆

，求证，。

证法1：

。

因为，所以

∴

又因为，所以

∴

，

证法2：设P 到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知

11

PF e d ，又

，所以

，而

。

∴，。

2.公式的应用

例1 椭圆上三个不同的点A （）、B （）、C （）到焦点F （4，

0）的距离成等差数列，则

12

x x + .

解：在已知椭圆中，右准线方程为

25

4x =

，设A 、B 、C 到右准线的距离为

，

则、、。

∵

，

，

，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。

∴，即，。

例 2.12,F F 是椭圆22

14x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的动点，求

的最大值和最

小值。 解：设

，则1020332,2.22PF x PF x =+

=-2

12034.4

PF PF x ⋅=-

P 在椭圆上，022x ∴-≤≤，12PF PF ⋅的最大值为4，最小值为1.

变式练习1：. 求过椭圆的左焦点，倾斜角为的弦AB 的长度。

解：由已知可得

，所以直线AB 的方程为

，代入椭圆方程得

设

，则

，从而

变式练习2. 设Q 是椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上任意一点，求证：以2QF （或1QF ）为

直径的圆C 与以长轴为直径的圆相内切。 证明：设

，圆C 的半径为r

即

也就是说：两圆圆心距等于两圆半径之差。故两圆相内切 同理可证以

为直径的圆与以长轴为直径的圆相内切。

3.椭圆焦半径公式的变式

P 是椭圆x a y b a b 222

210+=>>()上一点，E 、F 是左、右焦点，PE 与x 轴所成的角为α，

PF 与x 轴所成的角为β，c 是椭圆半焦距，则（1）||cos PE b a c =-2

α

；（2）||cos PF b a c =+2β。

P 是椭圆y a x b a b 222

210+=>>()上一点，E 、F 是上、下焦点，PE 与x 轴所成的角为α，

PF 与x 轴所成的角为β，c 是椭圆半焦距，则（3）||sin PE b a c =+2

α

；（4）||sin PF b a c =-2β。

证明：（1）设P 在x 轴上的射影为Q ，当α不大于90°时，在三角形PEQ 中，有

|

|||||cos PE c

x PE EQ P +==

α 由椭圆焦半径公式（1）得 ||PE a ex P =+。 消去x P 后，化简即得（1）||cos PE b a c =-2

α

。

而当α大于90°时，在三角形PEQ 中，有|

|||||)cos(PE x c PE EQ P

--==

-απ ⇒=

+cos ||

αx c

PE P ， 以下与上述相同。（2）、（3）、（4）的证明与（1）相仿，从略。

4.变式的应用

对于椭圆的一些问题，应用这几个推论便可容易求解。

例1. （2005年全国高考题）P 是椭圆x a y b

a b 222

210+=>>()上一点，E 、F 是左右焦

点，过P 作x 轴的垂线恰好通过焦点F ，若三角形PEF 是等腰直角三角形，则椭圆的离心率

是___________。

解：因为PF ⊥EF ，所以由（2）式得 ||cos PF b a c b a

=+=22

90°。再由题意得

222222

0222||||e a ac c ac c a a

b c PF EF ⇒=-+⇒=-⇒=⇒=＋210e -=。

注意到0121<<=

-e e 解得。

例2. P 是椭圆

x y 22

10064

1+=上且位于x 轴上方的一点，E ，F 是左右焦点，直线PF 的斜率为-43，求三角形PEF 的面积。

解：设PF 的倾斜角为β，则：

tan cos sin βββ=-=-=431743

7

，，。因为a ＝10，b ＝8，c ＝6，由变式（2）得

||()

PF =

+-=81061

7

72

× 所以三角形PEF 的面积

3247

3462721sin ||||21===

××××βEF PF S 变式训练1.经过椭圆x a y b

a b 222

210+=>>()的左焦点F 1作倾斜角为60°的直线和椭

圆相交于A ，B 两点，若||||AF BF 112=，求椭圆的离心率。

解：由题意及变式（2）得