Jacobian坐标系下椭圆曲线底层域算法的研究
椭圆曲线密码算法详解
密钥对生成
输入：椭圆曲线参数组(p,E,P,n) 输出：公钥Q和私钥d 1. 选择d[1，n] 2. 计算Q=dP 3. 返回(Q,d)
基本椭圆曲线加密
输入：椭圆曲线参数组(p,E,P,n)，公钥Q，明文m
输出：密文(C1,C2) 1. 将明文m表示为E(FP)上的点M 2. 选择k[1，n] 3. 计算C1=kP 4. 计算C2=M+kQ 5. 返回(C1,C2)
例5 条件同例4，若 P P 2P R (x3, y3) 则R = ?
解：
x3
x12
b x12
g 32 g 2 g 32
g 6 g11
g
y3
x12
x1
y1
x1
x3
x3
=g32 g3 g9 g 3 g g
g6 g3 g g5
2P R (g,g5)
E: y2 x3 ax b
其中4a3 27b2 0 模F2n下定义为椭圆曲线
E: y2 xy x3 ax2 b
其中b 0 ，此曲线称为nonsuper-singular。
椭圆曲线有一个特殊的点，记为O，它并 不在椭圆曲线E上，此点称为无穷远点
(the point at infinity)
基本椭圆曲线解密
输入：椭圆曲线参数组(p,E,P,n)，私钥d ，
密文(C1,C2) 输出：明文m 1. 计算M=?，并从点M取出明文m 2. 返回(m)
g3
g
g8
g9
y3
y1 x1
y2 x2
(x1
x3 )
x3
y1
g9 g5 g3 g
关于jacobian猜测和坐标多项式
中国科学技术大学硕士学位论文关于Jacobian猜测和坐标多项式姓名：***申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：***20050501第１章Ｊａｃｏｂｉａｎ猜测§１．１多项式映射和Ｊａｃｏｂｉａｎ猜测在这篇文章理，除非特别声明外，我们采用阻下记号：Ｎ７－－－－：１，２，３，…自然数，Ｑ＝有理数，Ｒ一实数以及Ｃ＝复数．更进一步的，ｋ表示一个任意的域，Ｒ足任意的交换环．Ｆ＝（Ｒ，…，Ｒ）：ｋ”一ｋ”多项式映射，即，如下形式的映射（茹ｌ，···，。
１。
）¨（Ｆｌ（ｚｌ，…，。
：。
），…，Ｒ（ｚｌ，…，ｏ。
）），这里每个鼠属于多项式环ｋ［ｘ】：＝七陋ｌ，…，ａ：。
】线性映射是特须的多项式映射，也就足Ｒ（ｚｌ＇．一，ｚ。
）＝ａｉｌ３：１十…＋ａｉ。
ｚ。
，ａｉｊ∈ｋ对所有的ｉ，Ｊ．下面的结论足线性代数里面的结果．命题１．１．１．假设Ｆ：ｋ”＿七“是线性映射，那么ｒ砂Ｆ是双射，当且仅当Ｆ是单的．进一步的，其逆也是一个线性映射例Ｆ是可逆的，当且仅当ｄｅｔ（ａｉｊ）∈ｋ＋．ｒ圳如果Ｆ可逆，那么Ｆ是一些初等线性映射的乘积．似，如果Ｆ可逆，那么有公式可以描述Ｆ的逆例如，Ｃｒａｍｅｒ法则夕．研究多项式映射的上要只的就足考察上面的结果在仆么程度上可以推广到多项式映射的情形．罔此，让我们先行肴命题（１．１．１）的可能的推广，即，我们考虑：问题１．１．２．假设Ｆ：ｋ”＿ｋ“是单的多项式映射，那么Ｆ是双射吗穸１２００５年４月中国科学技术大学硕士学位论文第２页摹１搴３ａｃｏｂｉａｎ艟潮§ｌ１多项式映射扣ＪａｃｏｂｉａⅡ精洲下面的例子说明一般的，问题的答案足否定的：例１．１．３．假设Ｆ：Ｑ—Ｑ定义为Ｆ０）＝＝护，则Ｆ是单射，但不是双射显然，这里的问题在于域Ｑ不足代数ｆ｜拍々（域ｋ足代数闭的．如果每个非常数的多项式ｆ（ｘ）∈ｋｌｘｌ在ｋ都有根．）因此，我“】有下面的：问题１．１．４．假设ｋ是代数闭的ｒ枷ｌ｛ｏ，ｋ＝（＿，问一个单的多项式映射Ｆｋ”一ｋ”足双射吗Ｆ令人惊奇的结果足：答案足正确的，实际上，有下面更强的定理１．１．５．假设☆是代数闭的，Ｆ：ｋ“一驴是单的多项式映射，那么Ｆ也是双射，并且其逆也是一个多项式映射．因此在≈屉代数闭域的情形，我们得到丁命题（１１．１）巾（１）刘多项式映射的完全推广．特别的，我们得到：推论１．１．６．每个单的多项式映射ｊ１：护一ｋ”假设ｋ是代数闭的，Ｆ：舻一妒是单的多项式映射，那么Ｆ也是双射，并且其逆也是一个多项式映射．现在我们考虑命题（１．１１）的第二部分定义１．１．７．我们称一个多项式映射Ｆ：ｋ８一妒是可逆的，如果它有逆，并且逆也是多项式映射（因此定理¨．５断言：在代数闭域的情形，Ｆ是双射，’且仅斗Ｆ足可逆的，１注记１．１．８．我们可以证明？如果一个多项式映射Ｆ有一个左逆Ｇ，其中Ｇ也是一个多项式映射．那么Ｇ也是Ｆ的一个右逆饭．过来也对’．因此Ｆ可逆．２００５年４月中国科学技术大学硕士学位论文第３页摹１章．１ａｃｏｂｉａｎ待潮§１．１多项式映射和．１ａｃｏｂｉａｎ精测利用这个注记，我们可以得到如下一个很简单，但足又很有用的判别可逆的法则．引理１．１．９．假设Ｆ：ｋ“一ｋ８是多项式映射，邵么Ｆ可逆，当且仅当ｋ［ｘｉ：…，ｚ。
Boussinesq方程的Jacobi椭圆函数精确解
随 着 自然 科 学 和技 术 的发 展 及 实 际 应 用 的 需
种十分 有效 的求解 非线性 发展 方程 的 Ｊｃｂ 椭 圆 函 ａｏ ｉ 数 解 的方 法 。本 文通 过 Ｊｃｂ 椭 圆 函 数 展 开 法 和 ａｏ ｉ ｌ ２个 Ｊｃｂ 椭 圆函数 的性 质 进行 深 入研 究 ， 出一 ａｏ ｉ 提
批注本地保存成功开通会员云端永久保存去开通
维普资讯
第２ ２卷 第 １ 期 ２０ ０ ７年 ３月
北 京 机 械 工 业 学 院 学 报
Ｊｕｎｌ ｆ ｅｉｇＩｓｔｔ ｏ ￣ｉｅ ｏｒａ ｏ ｉｎ ｔｕｅ ｆ ：ｎ ｒ Ｂｊ ｎ ｉ Ｍａｈ ｙ
Ａｂ ｔａ ｔ Ｂ ｎ ｅ ｔ ａｉｇｔｅＪ ｃ ｂ ｌｐｉ ｕ ｃｉｎ ｅ ｐ ｎ ｉｎ ｍｅｈ ｄ ｃ ｒｆｌ ，ａ ｘｅ ｄ ｄ Ｊ — ｓｒ ｃ ： ｙ ｉｖ ｓｉ ｔ ｈ ａ ｏ ｉ ｌ ｔ ｆｎ ｔ ｘ ａ ｓｏ ｔｏ ａｅｕｌ ｇ ｎ ｅｉ ｃ ｏ ｙ ｎ ｅ ｔｎ ｅ ａ
要， 人们 面临着 大量 的非线性 问题 ， 非线 性科 学正成 为跨学 科的研 究前沿 。在 非线性 科学 中 ， 混沌 、 分形 和孤立 子成 了 ３个最 基本 的分支 。 自从 １３ ８ ４年 ， 英
种扩展 Ｊｃｂ 椭圆函数展开法， ａｏｉ 求得非线性发展方
程 形式更 为 丰富 的 Ｊｃｂ 椭 圆 函数 周期解 。在极 限 ａｏ ｉ 情况下 ， 这些 解退 化 为 角 函数 解和 孤立波解 ， 该方
函数 周期 解 ， 中包括 一些新 解．在极 限情 况 下 ， 其 一部 分 解退化 为三 角 函数 解和孤 立 波 解。 另外 ，
该 方法 能应 用到其他 的非线 性发展 方程 。
雅可比坐标形式-概念解析以及定义
雅可比坐标形式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述雅可比坐标形式（Jacobian coordinates）是一种坐标表示方法，常用于描述几何图形中的点和曲线。
它在计算机图形学、计算机辅助设计以及几何问题求解中发挥着重要的作用。
随着计算机技术的不断发展，几何计算成为了各个领域中必不可少的一部分。
而雅可比坐标形式作为一种基础的数学工具，可以帮助我们更方便地描述和计算几何图形中的点和曲线的性质。
雅可比坐标形式的定义是通过引入一个额外的坐标来表示原来曲线上的点，从而将原来的二维或三维坐标系扩展到更高维度。
在该坐标系下，我们可以使用一组参数来表示点的位置，而不再局限于传统的笛卡尔坐标系。
雅可比坐标形式有很多优势。
首先，它可以简化曲线和点的运算。
在传统的笛卡尔坐标系下，我们需要复杂的计算公式来描述点的运动和变形，而在雅可比坐标形式下，这些计算可以通过简单的矩阵运算来实现。
此外，雅可比坐标形式还可以用来描述射影几何和非欧几何空间中的点，这些在传统的坐标形式中很难表示。
它为我们研究和解决各种复杂几何问题提供了一种新的方法。
本文将详细介绍雅可比坐标形式的定义和背景，并探讨其在几何问题求解和计算机图形学中的应用。
我们将详细解释雅可比矩阵的性质和计算方法，并举例说明雅可比坐标形式在点和曲线的运算中的实际应用。
在正文部分，我们将对具体的子章节进行讨论，以更深入地了解雅可比坐标形式的各个方面。
最后，在结论部分，我们将对本文进行总结，讨论结果并展望雅可比坐标形式在未来的发展前景。
通过本文的学习，读者将能够掌握雅可比坐标形式的基本概念和相关算法，从而在相关领域中运用这一工具解决实际问题。
文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文将按照以下结构进行叙述。
首先，在引言中，我们将对雅可比坐标形式的定义和背景进行概述。
接下来，我们将详细介绍雅可比矩阵及其性质，以便读者能够更好地理解雅可比坐标的应用。
然后，我们将在正文部分分别讨论雅可比坐标形式的四个子章节，这些子章节将介绍不同方面的应用实例和相关概念。
椭圆曲线加密算法的研究与实现
椭圆曲线加密算法的研究与实现椭圆曲线加密算法是目前应用最广泛的公钥加密算法，具有难以破解、高效快速、安全稳定等特点，是构建安全的密钥交换协议和数据传输机制的基础，目前在军事、政府、金融、电信等领域应用越来越广泛，因此，研究椭圆曲线加密算法具有重要的现实意义。
一、椭圆曲线加密算法的基础原理椭圆曲线加密算法是建立在参数检验上的一种数论函数的安全加密算法。
它的基本思想是，在一个高维空间，首先选定一条椭圆曲线，然后根据其参数定义一个数位函数，最后用这个函数来进行加密解密。
其参数包括椭圆曲线上的整数点、椭圆曲线的参数、离散对数求解器、变换矩阵、模量等。
椭圆曲线加密算法通过对椭圆曲线参数的不同构造出不同的密钥，每次传输都可以构造出不同的加密算法，保证了每次传输的安全性。
二、椭圆曲线加密算法的研究及实现（一）研究1.椭圆曲线原理的研究：研究椭圆曲线的定义，研究椭圆曲线参数的等价定义，研究椭圆曲线参数对密钥安全性的影响；2.椭圆曲线算法实现的研究：研究加密算法的矩阵变换过程，研究其实现中的算法、数据结构；3.椭圆曲线算法安全性的研究：研究不同的攻击策略，探究破解椭圆曲线加密算法的方法；4.椭圆曲线密钥的优化研究：探究优化椭圆曲线密钥的有效方法；（二）实现1.建加密编码结构：建立椭圆曲线参数的数据结构；2.写加密解密程序代码：编写算法实现加密解密程序，代码实现矩阵变换；3.试椭圆曲线加密算法：测试算法对密钥安全性、加密效率、传输安全性等的效果，并对结果做出评估；4.椭圆曲线加密算法进行优化：对椭圆曲线的参数进行分析，通过优化参数提高椭圆曲线算法的安全性。
三、结论椭圆曲线加密算法是目前应用最为广泛的公钥加密算法，对于建立安全的密钥交换协议和数据传输机制具有重要的现实意义。
研究者应该深入研究椭圆曲线加密算法的原理、实现、安全性和优化，为椭圆曲线加密算法的应用提供保障和支持。
Cap-cyclide坐标中Jacobi第一种完全椭圆积分和Jacobi椭圆函数的数值计算_单洪森
2q
1 4
k-
∞ 1
2 sinPv
n= 1
1 - 2q2n cos2Pv 1 - 2q 2n- 1 cos 2Pv
+ +
q4n q4n- 2
( 5)
∏ cn( 2K v ) =
1
2q 4 (
kk′)
1 2
cos
Pv
∞ n= 1
1 + 2q2ncos2Pv 1 - 2q2n- 1cos 2Pv
1 引言
Cap - cy cl ide( L, M, U) 坐标在核聚变研究中有着特殊的应用, 使用 Cap - cy cli de 坐标时, 将用到 J acobi 第一种完全椭圆积分和 J acobi 椭圆函数[ 1- 8] 。关于 J acobi 第一种完全椭圆积分和 J acobi 椭圆函数各有三种 计算公式, 而且各种计算公式的计算结果与参数有关。因此, 本文就 J acobi 第一种完全椭圆积分和 J acobi 椭 圆函数, 在 Cap - cy cl ide 坐标中的使用性进行了分析和比较, 最终得出了几种计算方法中最好的方法。
+ +
q4n q4n- 2
( 6)
∏ dn( 2K v ) =
∞
k ′12
n= 1
1+ 1-
2q2n- 1co s2Pv + 2q2n- 1co s2Pv +
q4n- 2 q4n- 2
( 7)
∑ sn( 2K v) =
∞
2P
qn+
1 2
sin (
2n
+
1) Pv
K k n= 0
1 - q2n+ 1
边界积分方程与椭圆边值问题的galerkin法及最小二乘法处理
边界积分方程与椭圆边值问题的galerkin法及最小二乘法处理边界积分方程和椭圆边值问题是微分方程理论中的一部分，其主要作用是求解边值问题，是一种分析工具和解决技术手段。
在这些问题的研究中，Galerkin方法和最小二乘法是经常用到的计算方法，也是边界积分方程与椭圆边值问题研究中常用到的技术手段。
一、边界积分方程边界积分方程是一种边值问题的变分方法，这种方法是由德国数学家K.O. Friedrichs在二十世纪三十年代建立的，他基于变分原理提出了边界积分方程的概念。
变分原理是指把一个原本很复杂的问题转化为一系列简单的问题，从而获得更好的解决方案。
边界积分方程的基础是要把边界上的函数和方程转换为一系列相似的积分式，然后再解决问题，比如椭圆边值问题。
边界积分方程的定义是：对于一个非齐次边值问题，它的解可以由以下分析式表示：u(x)=∫_x^(substrate_x)K(x,y)f(y)dy其中，K(x,y)是积分系数，f(y)是一个未知函数（也叫边值函数），substrate_x是一个常数，它指出积分的上限。
二、椭圆边值问题椭圆边值问题又称为椭圆型边值问题，是一个定性的微分方程，它以椭圆型为类型，而研究的是椭圆边值问题。
椭圆边值问题是一个比较简单的边值问题，椭圆型微分方程的形式：F(x,y,y′,..y^(n-1))=0其中，x和y分别是椭圆上的点，y^(j)是椭圆上点的j阶导数，F(x,y,y′,..y^(n-1))是一个未知函数。
三、Galerkin方法Galerkin方法是一种重要的数值解法，它是由德国数学家宾林（Ernst Galerkin）在20世纪30年代提出的，并成为研究椭圆边值问题的主要工具。
Galerkin方法的具体原理是：用一组线性无关的函数范数，以及一组系数，将椭圆边值问题看作一个拟二次型：min_w∑_(i=1)^Nf(w_i)其中，f(w_i)是目标函数，N是拟二次型中的参数个数，w_i是系数，可以有效地求解椭圆边值问题的未知函数。
构造非线性发展方程Jacobi椭圆函数精确解的一种方法
在 非线 性孤 立 子理论 中 ， 构造非 线性 发 展方 程 （ ） 组 的精 确 解有 许 多 方 法 ， 双 曲正 切 函数 法 ， 次平 如 齐
衡 ［Ｊ。 椭 函 展 法 ４辅 方 法５ 等 文 ［ ７用 助 程（ ）一ｃ ６ （ ＋ 法２ ａｂ 圆 数 开 ｌ 助 程 Ｃ ３． 献 ６ ］ 辅 方 ＋ ｚ ｎ ３ ｃｉ ， － ￣ ， ）
收 稿 日期 ：２ ０ —０ —０ ０７ ６ １
（ ４ ）
基 金项 目 ：国家 自然科 学基 金 资助 项 目（０ ６ ０ ６ Ｉ内蒙 古 自然 科 学 基 金 资 助 项 目（ ０ ４ ８ ２ １３ Ｉ内蒙 古 高 等 学 校 科 学 研 究 资 助 项 目 １４ １０ ） ２０００００ ）
Ｊｃｂ 椭圆函数精确解． ａｏ ｉ 本文受文献 ［ — ９ ５ ］的启发， 引入一 个双曲函数 型辅助方程 ， ２ 种情况讨论 了 分 ０
Ｊｃ ｂ 椭 圆 函数 形 式 的 ｓ ｈｚ ａｏ ｉ ｉ （）和 ｃ ｓ （） 借 助 符 号 计 算 系 统 Ｍａｈ ｍａｉ ｎ ｏｈ ， ｔｅ ｔ ａ构 造 了 正 规 长 波 方 程 和 ｃ ｍＫｄ 方 程 的 Ｊ ｃ ｂ 椭 圆 函数 精确 解 ． Ｖ ａｏ ｉ
（ ）一ｃ ６ｎｚ ｓ ） ａ ｓ ） ＋ Ｓｈ（ ｈ ＋ ｈ ｉ 。 ｃ ｏ
所确 定 ． 经过 求 解方 程 （ ）得到下 列形 式 的 ｓ ｈ ４ ｉ （）和 ｃ ｓ （ ） ｎ ｏ ｈｚ ：
当 ａ＝ ２ １ ｋ ） （ ＋ ｚ ，ｂ一 ２ － １ ｋ ） Ｃ＝一 ２ １ ｋ ）时 ， （ ＋ ， （＋
摘
要 ：在 双 曲 正 切 函 数 法 、 次 平衡 法 和 辅 助 方 程 法 的基 础 上 ． 出 一 种 双 曲 函数 型辅 助 方 程 和 函 数 变 换 齐 给
jacobi迭代法原理
jacobi迭代法原理引言在数值计算中，我们经常需要求解线性方程组，这是一个常见的数值问题。
而jacobi迭代法是求解线性方程组的一种常用方法。
本文将对jacobi迭代法的原理进行全面、详细、完整且深入地探讨。
什么是线性方程组在了解jacobi迭代法之前，我们首先要了解什么是线性方程组。
线性方程组是一组形如下式的方程的集合：a11*x1 + a12*x2 + ... + a1n*xn = b1a21*x1 + a22*x2 + ... + a2n*xn = b2...an1*x1 + an2*x2 + ... + ann*xn = bn其中，a11、a12、…、ann为已知系数，x1、x2、…、xn为未知数，b1、b2、…、bn为已知常数项。
我们的目标是找到满足上述方程组的未知数x1、x2、…、xn的解。
jacobi迭代法的基本原理jacobi迭代法是一种迭代的算法，通过逐步迭代求解线性方程组。
算法步骤jacobi迭代法的基本步骤如下： 1. 对于线性方程组的每个方程i，将该方程中的第i个未知数x[i]视为未知数，其他未知数x[j]（j≠i）视为常数。
2. 根据第一步的设定，可以得到每个方程的迭代计算公式：x[i]^(k+1) = (b[i] -a[i1]*x[1]^k - a[i2]*x[2]^k - ... - a[i(i-1)]*x[i-1]^k - a[i(i+1)]*x[i+1]^k - ... - a[in]*x[n]^k) / a[ii]其中，x[i]^k表示第k次迭代中第i个未知数的值，a[ij]表示第i行第j个系数，b[i]表示第i个常数项。
3.按照第二步的迭代公式，进行多次迭代，直到迭代结果满足精度要求为止。
迭代收敛性对于jacobi迭代法，迭代过程是否收敛是一个重要的问题。
在满足一定条件下，jacobi迭代法是收敛的。
我们定义误差向量e^(k)为第k次迭代的解向量与真实解向量之差：e^(k) = x - x^k其中，x表示真实解向量，x^k表示第k次迭代的解向量。
椭圆曲线雅可比坐标
椭圆曲线雅可比坐标
椭圆曲线雅可比坐标介绍
椭圆曲线雅可比坐标（ECC）是一种比较成熟的公钥密码系统,它在加密通信技
术和数字签名中得到广泛应用。
它最初是由雅可比于1885年提出的，是一种基于
复数数轴的编码系统。
它有两个坐标，一个是复数的实部，另一个是复数的虚部。
它的结构类似于一个椭圆形的图形，其边缘上有三个点，成为椭圆曲线，以获得不同的坐标和加密形式。
椭圆曲线雅可比坐标的优势
椭圆曲线雅可比坐标的主要优势在于，它需要更少的计算量来实现相同的安全性，而且它拥有更高的效率。
ECC坐标可以运用到秘密共享和加密交换这类应用中，这些应用都是基于随机数据的，可以节省系统资源，确保传输过程中不会被破解。
此外，由于椭圆曲线雅可比坐标法的加密性能更强，当加密量子密钥时，椭圆曲线雅可比坐标法也可以取得更大的优势。
椭圆曲线雅可比坐标的应用
椭圆曲线雅可比坐标最为广泛的应用是加密和数字签名，典型包括加密系统，
像SSL和TLS协议以及SSH，电子商务中进行支付、签约和认证等安全性较高的过程，比如SSL证书发放管理、非对称加密等。
它还可以用于存储量子密钥，来保障通信安全性。
在未来，由于安全性要求的加强，椭圆曲线雅可比坐标也会进一步在安全领域被广泛应用。
[计算机]超椭圆曲线密码体制论文：超椭圆曲线群快速算法研究
![[计算机]超椭圆曲线密码体制论文：超椭圆曲线群快速算法研究](https://img.taocdn.com/s3/m/62d81b8fd1f34693daef3e5e.png)
超椭圆曲线密码体制论文：超椭圆曲线群快速算法研究【中文摘要】随着互联网的日益普及,人们的生活生产方式、管理方式也在发生着变化,对于网络的依赖也日益加深,随之而来的网络安全问题越来越受到人们的广泛关注。
计算机网络安全是目前研究的重点,因为它为网络电子商务、政府电子公务、军事等重要领域在互联网上的应用提供了保障。
随着公钥密码技术PKI的发展,RSA、椭圆曲线密码体制(ECC)等成为了人们研究的热点。
自从1989年N.Kobiltz提出了超椭圆曲线密码体制(HECC)理论以来,因为与ECC 以及其他密码体制相比具有以下优点：一,在同等安全水平条件下,所用基域更小；二、可以模拟基于乘法群上的如RSA、ElGamal等几乎所有协议;三、在同样的定义域上,亏格大,曲线多,选取用于密码中的安全曲线就多。
HECC成为近年来的一个新研究热点。
目前超椭圆曲线密码体制主要还处于理论研究阶段,最主要的原因是,超椭圆曲线密码的实现速度要比椭圆曲线密码实现速度慢,因为超椭圆曲线的Jacobian商群上的基本运算比椭圆曲线复杂的多。
本文主要的研究工作是如何减少超椭圆曲线的除子加和标量乘法的计算量,从而提高超椭圆曲线密码的实现速度,具体工作有以下两点：(1)对文献中已经给出的亏格为3的超椭圆曲线退化除子算法确定性公式进行改进,从多种方向对于公式进行优化。
首先利用几种不同的求逆技巧,针对不同情况的公式进行优化,从而将求逆的过程化简,甚至变换成乘法等运算量较低的运算。
再利用公式的性质与结构,将多个乘法运算合并为1个乘法运算,从而减少无谓的运算。
最后,利用其他文献中提及的一些乘法化简公式,以及公式变形来减少乘法运算量。
各个方法都具有其局限性,但针对适应的公式进行改进,能取得不错的效果。
(2)进一步就退化除子算法进行了扩展与改进。
给出了亏格为2的确定性公式,并对其计算量进行估计。
估计结果表明,在达到最低的安全水平条件下,d取160比特的大整数,此时标准除子标量乘法的运算量为318I+12044M,比标准除子标量乘法大约快30%。
jacobi 椭圆函数
Jacobi椭圆函数是一类特殊的椭圆函数，通常用符号$sn(u|m)$、$cn(u|m)$和$dn(u|m)$来表示。
它们是Jacobi椭圆积分的逆函数。
这些函数是由Carl Gustav Jacobi在19世纪开发的。
Jacobi椭圆函数经常在数学和物理领域中出现，特别是在椭圆曲线理论、非线性振动问题、薛定谔方程的椭圆函数解等方面的研究中。
这些函数在实际应用中也具有广泛的用途，例如计算数学表格、信号处理、图像处理等。
Jacobi椭圆函数的定义涉及两个参数，$u$是椭圆函数的自变量，$m$是椭圆模量。
模量$m$的取值范围在0到1之间，可以调整椭圆函数的性质。
具体而言，Jacobi椭圆函数有以下三个基本形式：
1. $sn(u|m)$：Jacobi椭圆正弦函数，它描述了椭圆曲线上的点的纵坐标。
2. $cn(u|m)$：Jacobi椭圆余弦函数，它描述了椭圆曲线上的点的横坐标。
3. $dn(u|m)$：Jacobi椭圆Delta函数，它描述了椭圆曲线上的点的切线斜率的倒数。
这些函数的性质和计算方法在数学文献中有详细的介绍，包括级数展开、递归关系和数值近似等方法。
对于实际的计算，可以借助计算机软件或数学库来进行计算。
需要注意的是，Jacobi椭圆函数可能有多种定义形式和符号约定，具体的使用方式和参数解释应根据具体的数学文献或应用场景而定。
一般变换下的jacobi椭圆函数展开法及应用
一般变换下的jacobi椭圆函数展开法及应用Jacobi椭圆函数展开法是一种常见的数值积分方法，可实现高效精确的二元积分。
椭圆函数是一种用来描述有限集合的函数，它可以解决复杂形状的二元积分，而生成这样的椭圆函数需要一种特殊变换——Jacob变换。
通常情况下，椭圆函数展开法复杂耗时，然而受益于Jacob变换，却可以以比传统方法更高的效率完成积分过程。
一般变换下的Jacob变换可以定义为将二维平面中任意形状的函数积分区域映射到椭圆型积分区域的过程，所以它又被称为“椭圆变换”。
该过程通过求解一元椭圆函数x=x(t)和y=y(t)，使之满足下列条件：1.积分点均匀分布在椭圆上；2.椭圆上积分点构成的函数与原函数具有相同的积分结果。
当其变换后的函数形态变得足够平稳，它们可以用椭圆函数展开近似，例如Nippi欧拉法和幂级加权多项式展开。
一般变换下的Jacob变换和椭圆函数展开法在工程领域有着广泛应用，尤其是在互联网应用方面。
它可以用来解决复杂的分布式计算任务，比如众包系统资源调度中的任务分配问题。
由于受到Jacob变换的限制，并受到准确度的影响，在事件发生的实际时间上允许有一定的误差，以求实现高效精确的分布式计算。
此外，一般变换下的Jacob变换和椭圆函数展开法还被广泛应用于机器学习任务，尤其是深度学习任务，用于提高模型准确性、可解释性和表示性能。
经过不断改进，椭圆函数展开法可以用于实现收敛，控制参数泛化和训练速度，从而节省训练时间，提升模型的性能。
综上所述，一般变换下的Jacob变换和椭圆函数展开法是一种优化二元积分过程的有效方法。
它对传统的积分方法提升了效率，而且在多个领域有着广泛应用，如互联网应用、分布式计算和机器学习任务，能有效解决复杂的数值积分任务。
椭圆曲线底层域快速算法的优化
椭圆曲线底层域快速算法的优化赖忠喜;张占军【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2015(000)022【摘要】To raise the efficiency of field operation on elliptic curve, based on the idea of trading multiplications for squares, two modified algorithms are proposed to compute 4P and 5P directly over prime field FP in terms of affine coor-dinates, their computational complexity are (3k-1)M+(5k+3)S and (6k-1)M+(9k+3)S respectively, which are improved to 6.25% and 5% respectively than those of Dimitroy’s and Zhou meng’s method. Moreover, using the same idea, an improved method is given to compute 3k P directly in terms of affine coordinates, its computational complexity is I+(6k+1)M+(9k+1)S , and the efficiency of the new method is improved to 3.4% and 24% respectively than those of Zhong meng’s and Yin xin-chun’s method.%为了提高椭圆曲线底层域运算的效率，基于将乘法转换为平方运算的思想，提出在素数域FP上用雅克比坐标直接计算2k P和3k P的改进算法，其运算量分别为(3k-1)M+(5k+3)S和(6k-1)M+(9k+3)S ，与DIMITROY和周梦等人所提的算法相比，算法效率分别提升了6.25%和5%。
椭圆方程迭代法介绍
第三章椭圆型问题地差分法§ 3- 1流体力学中地椭圆型问题•无旋流场中速度势兀丨<Laplace Eq.）•二维不可压定常流动，利用涡-流函数表示：•不可压分离流问题中,扰动压力场：_________ I•定常地N— S方程求解问题•在网格自动生成中，求解椭圆型方程地网格生成方法由于椭圆型方程地数学性质：求解域内部任何一点地解函数依赖于所有边界上地边界条件，因此从数值计算方法来看，就不能从一部分边界起步进行推进计算到另外地边界，这与发展方程地求解方法有很大地差别，椭圆型方程地数值求解方法，只能是在整个流场中进行迭代计算来求解• b5E2RGbCAP§ 3—2椭圆型问题地迭代法求解< 一）迭代法地基本概念例：方程」< Poisson方程）二维差分离散写成矩阵形式代数方程组为: ..(1> 其中一般地，对于线性方程组有 | q 1若 为非奇异矩阵，即:--,则—1由于是个阶数甚大地矩阵 <非三对角） 计算量及所需计算机地内存都将十分巨大 解 .p1EanqFDPw迭代法地基本思想是：定义一个序列，欲求未知函数F 地解矢量 ，直接求解，或利用Gauss 消去法求逆矩阵 ,所以在实际计算中不希望采用直接法1,当口时， -------------- 1,从而得到方程（1>地解. 迭代法设法给出 迭代法采取 F ，使之简单）若耳 < 即迭代关系式）与迭代步 k 无关，则称为平稳迭代; 若是田地线性函数关系，则称为线性迭代.例如最简单地线性迭代关系可设为： •-（2>若迭代是有效地,则 ------------ 1即 --------------- 1 (3)引入误差:由于 I 是初始解与精确解地误差，应是一个有界地任意函数，故迭代矩阵 H 应具有: 当 一 时,| ,Z 为任意地有界向量函数.DXDiTa9E3d绝对值 < 即谱半径）都小于 1.推论当k 很大时，________地迭代关系.<通常为计算方便或研究迭代地收敛性:而由（2>-（3>得: 即或有递推关系式:可以证明： < 参阅 “偏微分方程地有限差分方法” P239)对于任意地向量乙地充分必要条件是 H 地所有地特征值地所以若_J ,则迭代法地收敛速率很慢、几种迭代法介绍1.Jacobi迭代（简单点迭代>由方程——将矩阵分解为：A=L+D+UL :主对角线以下地元素 3 <i>j时等于A,其余为零）D :主对角线元素U :主对角线以上地元素 3 <i<j时等于A,其余为零）H,M可以验证满足迭代有效性条件，即亠2、Gauss-Seidel 点迭代类似1 但是----------- :在实际计算中中<i>j）只要遵循已有新值时，用新值，没有新值时用旧值，即为G-S.*往返扫描地Gauss-Seidel迭代，即stepl:step2:3、SORv逐点松弛迭代）step1.用G — S迭代法求中间值，即step2. •(b>消去中间结果I即将（a>代入其中 为松弛因此， L n 为亚松弛,士时为超松弛4、线迭代和线松弛迭代保留主对角元素在 D 中丄,U 则仍为余下元素地上三角与下三角矩阵则 ------------ : 导出线迭代 而------------ 1导出线D — S 迭代*往返扫描地G —S 线迭代 ＜线松弛迭代）、迭代法地收敛性及松弛因子地选择1. 迭代法收敛地几个充分条件对于方程—1① 若矩阵A 满足强对角优势条件，则Jacobi 迭代和G — S 迭代均收敛 ② 若矩阵A 满足对角占优条件，且矩阵A 为不可约矩阵,则Jacobi 迭代 和G — S 迭代均收敛③ 若矩阵A 是对称正定矩阵，则G — S 迭代收敛. ④若丨且有则Jacobi,G -S 迭代收敛⑤ 若对于 —1收敛地• 只证明① ＜余略） A 为强对角占优，及将A 地每一行元素均用该行地主对角线元素去除 ，可得到主对角元素为 1,且不改变将对角占优地性质，•二J，然后将口分解为—二J,RTCrpUDGiT厂|导出松弛迭代Jacobi 迭代收敛地，则匚丄 地松弛迭代也总是即 I ]利用矩阵地特征值分布定理（Gerschgorin 圆盘定理 >,可知匕地所有特征值均在单位圆内,证毕！2、对于Poisson 方程Jacobi 迭代矩阵地特征分析结论：1、Jacobi 迭代矩阵地特征值为： <参考苏煜诚，吴启光，偏微分方程数值解）x 方向总网格数为s+1（0,1,2, …,0>为边界 y 方向总网格数为1+1（0,12••；Ql>为边界 2、逐点松弛迭代法中迭代矩阵地特征值<G — S 或SOR ）设—地特征值为3、SOR 方法中松弛因子 地最优化迭代| Jacobi 迭代矩阵地谱半径但是由于实际过程中 ―I ,未知，所以 不能预先知晓4、优选松弛因子地两个近似方法方法1:利用地关系仍为上面之 <1） <2）两式步骤①取 ——用SOR 迭代计算若干步，然后用下面地计算近似地一对于Jacobi 迭代,J则结论为:由-I结论:，使：匚|地充要条件是:<2)并有[HJ代入＜1)式求③根据＜2) I 即为」地第一次近似值可以类似求出一，一I，…，直至一，一之差小于为止.方法2、令由"I开始，近似认为5、几种主要地迭代算法地收敛速度比较设而为问题求解域为zi a 内点共有个a.Jacobi 迭代:所以收敛速度b.G— S迭代由_1 当亠时，即为G— S，—I所以c.SORI —§ 3-3定常问题地迭代法求解与＜伪不定常）时间推进法计算地一致性讨论-、概述例1,定常方程* | （*＞采用Jacobi迭代，差分格式用中心差分其中可以视为虚拟地时间步长Jacobia迭代得到相同地差分即从方程出发地FTCS格式,与从方程＜* ）出发地或稳定条件:为简单起见令将k,k+1视为相邻两个迭代步地解，则上式是原方程厂7 地Jacobi迭代,即日可视为一个虚拟时间项<时间相关！) .5PCZVD7HXA 例3 亠采用线松弛迭代求解椭圆方程(y方向是隐式求解,x方向是G - S迭代> stepl: J| (1>step2:」(2>由(2>式，二y 代入到(1>右边:LEJ 所以原方程相容于:或，—j'l注意到粘性系数应为正，二、计算流体力学中地伪时间推进方法定常、不可压时，连续方程——改用|。
有限域上椭圆曲线 Jacobian 群求阶算法综述与比较
有限域上椭圆曲线 Jacobian 群求阶算法综述与比较王冬勤;游林;段勖超【期刊名称】《信息网络安全》【年(卷),期】2014(000)007【摘要】关于椭圆曲线密码体制（ECC）的研究，如今无论是 ECC 理论还是 ECC 的标准化、产业化都趋于成熟。
在 ECC 的设计中，安全椭圆曲线的选取是 ECC 实现的基石，也是其安全性的重要保证。
目前，随机选取法是最好的安全椭圆曲线选取方法，其核心思想是对随机生成的椭圆曲线计算其 Jacobian 群的阶。
文章主要介绍了几类经典的计算椭圆曲线Jacobian群阶的算法：Schoof 算法、SEA 算法、Satoh 算法、AGM 算法。
在详细介绍 Schoof 算法的基础上，提出了其基于离散对数问题的改进算法：袋鼠算法和大步小步（BSGS）算法的改进方法，并用实验结果说明加速后的算法得到了提升。
针对 SEA 算法，文章也提出了其 BSGS 改进算法并通过实例分析比较了原 SEA 算法与 BSGS 改进算法的实现效率。
针对Satoh 算法、AGM算法，文章介绍了算法的理论依据和具体实现，并通过实例分析比较了其优劣性和适用情况。
%For the research of elliptic curve cryptography (ECC). both the theory of ECC and the standardization and industrialization of ECC are mature. In the design of ECC, the selection of a secure elliptic curve is the foundation of ECC implementation, and is also important to ensure its safety. At present, the method of random selection is considered as one of the best methods for finding a security elliptic curve. The core idea of finding security elliptic curve is to compute the order of Jacobian group of the random elliptic curve over finite fields. Thispaper mainly introduces several kinds of classic algorithms to compute the order of Jacobian group of the elliptic curves: Schoof algorithm, SEA algorithm, Satoh algorithm, and AGM algorithm. For the Schoof algorithm, the improved algorithms based on discrete logarithm problem are put forward: the improved algorithms of Kangaroo algorithm and Big step gain step (BSGS) algorithm, and the experimental results illustrate the accelerated algorithms improve the running time. For SEA algorithm, this paper also presents its BSGS improved algorithm, analyzing and comparing the efficiency of original SEA algorithm and BSGS improved algorithm through an example. For Satoh algorithm and AGM algorithm, the paper introduce the theoretical basis and the concrete implementation of the algorithms, comparing their advantages and applicable conditions.【总页数】7页(P41-47)【作者】王冬勤;游林;段勖超【作者单位】杭州电子科技大学信息安全与密码学研究所，浙江杭州 310018;杭州电子科技大学信息安全与密码学研究所，浙江杭州 310018;西华大学交通与汽车工程学院，四川成都 610039【正文语种】中文【中图分类】TP309【相关文献】1.特征3有限域上椭圆曲线的co-Z Montgomery算法 [J], 于伟;李宝;王鲲鹏;李维晅;田松2.有限域上素数阶的安全椭圆曲线的选取及实现 [J], 殷新春;汪彩梅;陈决伟3.构造有限域上具有给定阶点的椭圆曲线 [J], 王鲲鹏;李宝4.基于正规基表示的有限域GF(28)上椭圆曲线点阵群的加密算法 [J], 刘海峰;卢开毅;梁星亮5.椭圆曲线加密体制的有限域求模逆算法的改进 [J], 郝晓琴;徐赐文因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
jacobian加重射影坐标系之椭圆曲线点加法公式
Jacobian加重射影坐标系（Jacobian Projective Coordinate System）是用于表示椭圆曲线的一种坐标系。
在Jacobian加重射影坐标系中，椭圆曲线的点加法公式如下：
假设椭圆曲线方程为：
x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1
其中，a 和 b 分别是椭圆曲线的半长轴和半短轴。
设两点在Jacobian加重射影坐标系中的坐标分别为：
P1 = (x1, y1, 1)
P2 = (x2, y2, 1)
则两点之间的距离公式为：
d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
根据椭圆曲线的性质，点加法可以表示为：
P3 = (x1 + x2, y1 + y2, 1)
接下来，我们需要将Jacobian加重射影坐标系中的点转换为椭圆曲线上的点。
设点P3在椭圆曲线上的坐标为（x3，y3），则有：
x3 = a * sqrt(1 + (y1 + y2)^2 / b^2)
y3 = b * sqrt(1 + (x1 + x2)^2 / a^2)
这样，我们就得到了椭圆曲线上的两点加法结果。
需要注�，这里假设了椭圆曲线是关于原点对称的，即a > b。
如果椭圆曲线不关于原点对称，那么需要对上述公式进行相应的调整。
在实际应用中，Jacobian加重射影坐标系中的点加法主要用于加密和签名等椭圆曲线密码学任务。
为了提高运算效率，可以采用从仿射坐标到射影坐标再到仿射坐标的转换方法，如在libsecp256k1库中所示。
离散的非线性薛定谔方程的Jacobi椭圆函数解
离散的非线性薛定谔方程的Jacobi椭圆函数解一、Jacobi椭圆函数展开法近期提出并发展的Jacobi椭圆函数展开法可用来求解非线性数学物理方程的周期波解，Jacobi椭圆函数展开法又可看成是F-展开法的具体情形。
Jacobi椭圆函数展开法解非线性微分-差分方程分为以下4个步骤。
第一步：设n（t)可表示成Jacobi椭圆函数或tan函数展开法Ｊ的有限幂级数形式第二步：由非线性项与最高阶偏导数项的齐次平衡来确定M的值；第三步：将（1）代入所需要求解的方程中，得到关于J的多项式，置各Ｊ的系数为零，得到（可能是ｋ）的代数方程组；第四步：解第三步得到的方程组得到代入（1）中得到方程的周期波解，取极限得极限情形下的方程的孤立子解。
二、方法应用给出离散的非线性薛定谔方程如下：1．sn椭圆函数展开。
首先用Jacobi椭圆sin函数展开法解方程（4），设方程（4）的解为将（5）、（6）、（7）代入方程（4）得：化简（8），并令同类项的系数为零，得如下一个代数方程组：2．cn椭圆函数展开。
用Jacobi椭圆cosin函数代替sin函数解方程（4），类似（3.1）中的方法得方程（2）的解为:3．dn椭圆函数展开。
用Jacobi椭圆-函数代替sin函数解方程（4），类似（3.1）中的方法得方程（2）的解为参考文献[1]M·J·AblowiteandP·A·Clarkson．Solitons,NonlinearEvolut ionEquationnsandInverseScattering[M]．CambridgeUniversityPress，NewYork（1991）[2]朱加民．非线性离散薛定谔方程的显示精确解[J]．江西科学．2022，23（4）：402～404基金项目：本文系甘肃政法学院科研资助项目（青年项目）基金（GZF2022XQNLW25）。
椭圆曲线及基点选取算法研究的开题报告
椭圆曲线及基点选取算法研究的开题报告一、选题背景及意义随着现代密码学的发展，椭圆曲线密码（ECC）成为一种广泛使用在安全传输、数字签名等领域的公钥加密技术。
椭圆曲线密码具有高安全性、低计算复杂度和短密钥长度的优势，有效地提高了系统的安全性和效率。
然而，在使用椭圆曲线加密算法时，如何选择合适的椭圆曲线及基点对于系统的安全性和效率至关重要。
目前，椭圆曲线的选取算法及基点选取算法已成为学术界研究的热点问题。
因此，本文将研究椭圆曲线及基点选取算法，旨在为椭圆曲线密码的应用提供一定的参考。
二、研究内容及方法本文将对椭圆曲线选取算法及基点选取算法进行详细研究与分析，包括判断一条椭圆曲线是否安全、如何选择一条合适的椭圆曲线、如何选择合适的基点等。
具体的研究内容和方法如下：1. 掌握椭圆曲线的基本理论知识，包括椭圆曲线的定义、加法、倍乘法等运算规则。
2. 分析不同的椭圆曲线选取算法及基点选取算法的优缺点，并对其进行评估和比较。
3. 在此基础上，提出一种新的椭圆曲线选取算法及基点选取算法，并进行验证和测试。
4. 分析椭圆曲线选取算法及基点选取算法在不同场景下的适用性，为实际应用提供指导。
三、预期成果在本次研究中，我们预计可以得到以下成果：1. 对椭圆曲线的选取算法及基点选取算法进行详细的研究和分析。
2. 提出一种新的椭圆曲线选取算法及基点选取算法，并进行验证和测试。
3. 发布论文并参加相关学术会议，与同行专家进行交流和讨论。
4. 为实际应用提供相关的参考和指导，提高椭圆曲线密码在实际应用中的安全性和效率。
四、研究计划此研究的时间周期为一年，期间的研究计划如下：1. 第一阶段（2个月）：对椭圆曲线基本理论进行系统学习和理解，包括椭圆曲线算法的定义、特性和各种运算规则。
2. 第二阶段（3个月）：对不同的椭圆曲线选取算法及基点选取算法进行分析和比较，确定研究方向和目标。
3. 第三阶段（4个月）：研究并提出一种新的椭圆曲线选取算法及基点选取算法，并进行验证和测试。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Jacobian 坐标系下椭圆曲线底层域算法的研究赖忠喜，张占军（台州职业技术学院机电工程学院，浙江台州318000）摘要：为提高椭圆曲线底层域运算的效率，利用除法多项式和将乘法运算转换为平方运算的思想，提出了素数域GF P 雅克比坐标系下一种计算7P 和7k P 的算法，其运算量分别为16M+15S 和（16k -1）M+（14k +3）S ，当S/M=0.6时，新算法的效率比传统算法和Longa 算法分别提高了29.8%、31.5%、1.6%和3.9%。
另外，利用相同的思想，给出了素数域GF P 上用雅克比坐标系计算5P 和5k P 的改进算法，其运算量分别为9M+15S 和（9k -1）M+（14k +3）S ，当S/M=0.6时，新算法的效率比MISHRA 算法和Longa 算法分别提高了14.3%、14.7%、6.3%和9.4%。
关键词：椭圆曲线密码体制；标量乘法；平方；底层域运算；雅克比坐标中图分类号：TP309.7文献标识码：A文章编号：1001-7119（2015）10-0244-04Study on the Methods of Field Operations in Jacobian Coordinates on Elliptic CurvesLai Zhongxi ，Zhang Zhanjun（College of Mechanical and Electrical Engineering ，Taizhou Vocational&Technical College ，Taizhou 318000，China ）Abstract ：To raise the efficiency of field operations on elliptic curve ,based on the division polynomials and the idea oftrading multiplications for squares,two algorithms are proposed to compute 7P and 7kP directly over GFP in terms of jacobian coordinates,their computational complexity are 16M+15S and (16k-1)M+(14k+3)S respectively,when S/M=0.6,the new algorithm's efficiency are increased by 29.8%、31.5%、1.6%and 3.9%respectively compared with traditional andLonga 's algorithms.Moreover,using the same idea,two improved methods are given to compute 5P and 5kP over GFP in terms of jacobian coordinates,their computational complexity are 9M+15S and (9k-1)M+(14k+3)S,when S/M=0.6,theefficiency of the new methods are improved by 14.3%、14.7%、6.3%and 9.4%respectively compared with MISHRA 's and Longa 's methods.Keywords ：elliptic curve cryptosystem ；scalar multiplication ；squares ；field operations ；Jacobian coordinates收稿日期：2014-03-14基金项目：台州职业技术学院重点课题（2014ZD03）。
作者简介：赖忠喜（1984-），男，汉族，浙江台州人，讲师，硕士，研究方向：信息安全、智能控制。
E-mail:laizhongxi@ 。
第31卷第10期2015年10月科技通报BULLETIN OF SCIENCE AND TECHNOLOGYVol.31No.10Oct.2015标量乘法是实现椭圆曲线密码体制（elliptic curvecryptography ，ECC ）最核心的运算，其运算速度从整体上决定了ECC 的实现效率[1-3]。
研究标量乘法通常可从两个方面进行研究[4]，一方面是研究标量k 的有效表示，以尽量减少上层运算量。
另一方面是对底层域快速算法进行研究，以减少底层域的运算量。
通过坐标变换，避免复杂的求逆运算是提高底层域运算效率的一种有效方法，而雅克比坐标系是目前公认的一种比较有效的坐标变换[5]，在雅克比坐标系的椭圆曲线底层域算法研究方面，DIMITROY [5]等人提出了雅克比坐标系下直接计算2kP 和3kP 的算法。
Joye [6]中利用转换乘法为平方的思想，改进了雅克比坐标系下的点加和倍点运算。
MISHR [7]首次利用除法多项式提出了雅克比坐标系下直接计算5P 和5kP 的算法，提高了底层域的运算效率。
Meloni [8]提出了雅克比坐标系下在相同Z 坐标下的点加公式。
之后longa [9]利用Meloni 的点加公式和转换乘法为平方的思想改进了雅克比坐标系下计算3P 、5P 、7P 、2P+Q 、3P+Q 等运算，Goundar [10]等人将Meloni 的第10期点加公式进行优化，提出了共轭点加公式和相同Z 坐标的2P+Q 算法。
周梦[11]等人进一步改进了雅克比标系下计算3P 和3kP 的算法，所有的这些算法减少了底层域的运算量，加快了椭圆曲线标量乘的效率。
本文利用除法多项式和基于将乘法转化为平方运算的思想，提出了一种在素数域GFP 上雅克比坐标系下直接计算7P 和7kP 的算法，其运算量为16M+15S 和（16k-1）M+（14k+3）S ，比传统算法和Longa 算法分别减了10M+S 、（10k+1）M+（2k-3）S 、0.4M 和（k-0.8）M 的运算量，另外，本文同时提出了雅克比坐标系下计算5P 和5kP 的改进算法，其运算量为9M+15S 和（9k-1）M+（14k+3）S ，比MISHRA 算法和Longa 算法分别减少了3M 、（3k-0.2）M 、1.2M 和（1.8k-0.8）M 的运算量，提高了椭圆曲线底层域的运算效率。
1背景知识1.1ECC 的基础知识定义在素数域GFP 的椭圆曲线方程[12]为:E ∶y 2=x 3+ax 2+b（1）其中：a ,b ∈GF P 且,Δ=(4a 3+27b 3)mod P ≠0。
为避免求逆运算，椭圆曲线上的点通常用其它坐标系来表示。
在雅克比坐标系中，雅克比投影坐标P=（X ，Y ，Z ）与仿射坐标P′=（x ，y ）=（X/Z2，Y/Z3）相对应，并且要求Z≠0。
所以在雅克比坐标系下椭圆曲线方程变为：E ∶Y 2=X 3+axZ 4+bZ6（2）在雅克比坐标系下，椭圆圆曲线E 的群运算所涉及的运算有加、减、乘、和平方四种基本运算。
相对于其它运算，加法和减法运算所用的时间可以忽略不计，分别用S 和M 表示域GFP 上的平方和乘法运算，一般情况下S/M 的值为0.6～0.8[9]，这里假设S=0.6M 。
令P=（X1，Y1，Z1）∈E ，Q=（X2，Y2，Z2）∈E ，P≠±Q,则P+Q=（X3,Y3,Z3）可由式（3）计算[13]ìíîïïX 3=u 2-v 3-2X 1Z 22v 2Y 3=u (X 1Z 22v 2-X 3)-Y 1Z 32v 3Z 3=vZ 1Z 2（3）其中，u =Y 2Z 31-Y 1Z 32;v =X 2Z 21-X 1Z 22。
通过分析存储中间结果可知，雅克比坐标下下计算P+Q 所需的运算量为12M+4S 。
令P=（X1，Y1，Z1）∈E ，P≠-P ，则2P =（X3,Y3,Z3）可由式（4)）计算[13]ìíîïïX 2=(3X 12+aZ 41)2-8X 1Y 21Y 2=(3X 12+aZ 41)(4X 1Y 21-X 3)-8Y 41Z 2=2Y 1Z 1（4）通过分析存储中间结果可知，雅克比坐标下下计算2P 所需的运算量为4M+6S 。
1.2除法多项式令ψN 为素数域GFP 上的椭圆曲线E 的除法多项式，则当0≤N≤4有：ψ0=0；ψ1=1；ψ2=2y ；ψ3=3x 4+6ax 2+12bx -a 2;ψ4=4y (x 6+5ax 4+20bx 3-5a 2x 2-4abx -8b 2-a 3);当N≥5时，可以使用下式的递推关系[6]来求得：2yψ2n =ψn (ψn +2ψ2n -1-ψn -2ψ2n +1)（5）而对于任意在椭圆曲线E 上的点P （x ，y ），它的n 倍点的计算公式由下式[6]给出：[n ]P =(x -ψn +1ψn -1ψ2n ψn +2ψ2n -1-ψn -2ψ2n +14yψ3n)（6）2雅克比坐标系下一种计算7P 和7kP 的算法利用将乘法转化为适量平方的思想，在文献[6]的基础上提出一种在素数域GFP 上雅克比坐标系下利用除法多项式来计算7P 的算法。
令A =8y 4；B =3x 2+a ；C =12xy 2-B 2=6[(x +y 2；)2-x 2-y 4]-B 2;D =2BC -2A =(B +C )2-B 2-C 2-2A ;F =2AD -C 3；M =F -D 2；;R =FC 3-2AD 3;S =C 3M -F 2;利用式（5）和（6）可以得到以下等式：ψ1=1;ψ2=2y ;ψ3=12xy 2-B 2=C ;ψ4=2yD ;ψ5=ψ4ψ32-ψ33=2AD -C 3=F ;ψ6=(ψ5ψ3ψ22-ψ3ψ24)/ψ2=2yMC ;ψ8=(ψ6ψ4ψ23-ψ2ψ4ψ25)/ψ2=2yD (C 3M -F 2)=2yDS ;令T=7P =（x 7，y 7），那么由式（5）可推导出：x 7=x -ψ8ψ6ψ27=4xR 2-8[(y 2+C )2-y 4-C 2]MDS(2R )2y 7=ψ9ψ26-ψ5ψ284yψ37=8y [C 3M 2(2MAD 3-F 3)-FD 2S 2](2R )3根据上述推导公式，提出了一种雅克比坐标计算7P 的算法,具体步骤如下所示，具体运算量见表1。