2021版高考数学一轮复习第十章算法初步第66讲变量间的相关关系与统计案例学案20210507221

2021版高考数学一轮复习第十章算法初步第66讲变量间的相关关系与统计案例学案202105072215
考纲要求
考情分析 命题趋势
1.会作两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系．
2．了解最小二乘法的思想，能依照给出的线性回来方程系数公式建立线性回来方程．
3．了解常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题．
4．了解独立性检验(只要求2×2列联表)的差不多思想、方法及其简单应用．
5．了解回来分析的差不多思想、方法及其简单应用.
2021·全国卷Ⅰ，19 2021·全国卷Ⅲ，18 2020·全国卷Ⅱ，3 2020·福建卷，4
1.散点图与相关关系、线性回来方程与独立性检验在实际生活中的应用．
2．有关统计内容及方法要紧以选择题、填空题的形式出现，属容易题；抽样方法和各种统计图表与概率的有关内容相结合或与统计案例相
结合也会显现在解答题中，属中档题.
分值：5～12分
1．相关关系与回来方程 (1)相关关系的分类
①正相关：从散点图上看，点散布在从__左下角__到__右上角__的区域内． ②负相关：从散点图上看，点散布在从__左上角__到__右下角__的区域内． (2)线性相关关系
从散点图上看，假如这些点从整体上看大致分布在一条直线邻近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫__回来直线__．
(3)回来方程
①最小二乘法：使得样本数据的点到回来直线的__距离的平方和__最小的方法叫最小二乘法．
②回来方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，
y n )，其回来方程为y ^
＝b ^
x ＋a ^
，其中
⎩⎪
⎨⎪⎧
b ^
＝∑i ＝1n
(x i
－x )(y i
－
y )∑i ＝1n (x i －x )2＝∑i ＝1
n
x i y i
－n x y ∑i ＝1
n
x 2i
－n x 2
，a ^
＝y －b ^
x ，
其中(x ，y )称为样本点的中
心．
(4)样本相关系数r ＝
∑i ＝1
n
(x i －x )(y i －y
)
∑i ＝1
n
(x i －x )2
∑i ＝1
n
(y i －y
)
2
，用它来衡量两个变量间的线性相
关关系的强弱．
①当r ＞0时，说明两个变量__正相关__； ②当r ＜0时，说明两个变量__负相关__；
③r 的绝对值越接近1，说明两个变量的线性相关性__越强__；r 的绝对值越接近0，说明两个变量的线性相关性__越弱__，通常当||r >0.75时，认为两个变量有专门强的线性相关关系．
2．独立性检验
(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量． (2)列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X 和Y ，它们的可能取值分别为{}x 1，x 2和{}y 1，y 2，其样本频数列联表(称为2×2列联表)如下.
y 1 y 2 总计
x 1 a b a ＋b x 2
c d c ＋d 总计
a
＋c
b
＋d
a ＋
b ＋c
＋d
K 2
＝n (ad －(a ＋b )(a ＋c )(b ＋d )(c ＋d )
(其中n ＝__a ＋b ＋c ＋d __为样本容量)，则利用独立性检
验判定表来判定“X 与Y 的关系”．
1．思维辨析(在括号内打“√”或打“×”)．
(1)相关关系与函数关系差不多上一种确定性的关系，也是一种因果关系．( × ) (2)利用样本点的散点图能够直观判定两个变量的关系是否能够用线性关系去表
示．( √ )
(3)通过回来方程y ^
＝b ^
x ＋a ^
能够估量和观测变量的取值和变化趋势．( √ ) (4)任何一组数据都对应着一个回来直线方程．( × )
(5)事件X ，Y 关系越紧密，则由观测数据运算得到的K 2
的观测值越大．( √ ) 2．观看下列各图：
其中两个变量x ，y 具有相关关系的图是( C ) A ．①② B ．①④ C ．③④
D ．②③
解析 由散点图知③④具有相关关系．
3．已知x ，y 的取值如下表，从散点图能够看出y 与x 线性相关，且回来方程为y ^
＝0.95x
＋a ^
，则a ^
＝( B )
x 0 1 3 4 y
2
.2
4.3
4.8
6.7
A ．3.25 C ．2.2
D ．0
解析 由已知得x ＝2，y ＝4.5，因为回来方程通过点(x ，y )，因此a ＝4.5－0.95×2＝2.6.
4．若回来直线方程为y ^＝2－1.5x ^
，则变量x 增加一个单位，y ( C ) A ．平均增加1.5个单位 B ．平均增加2个单位 C ．平均减少1.5个单位
D ．平均减少2个单位
解析 因为回来直线方程为 y ^＝2－1.5x ，因此b ^
＝－1.5，则变量x 增加一个单位，y 平均减少1.5个单位．
5．在吸烟与患肺病这两个分类变量的运算中，下列说法正确的是 ( C )
A ．若K 2
的观测值为k ＝6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病
B ．从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病
C ．若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得
推断显现错误
D ．以上三种说法都不正确
解析 依照独立性检验的思想知C 项正确．
一 相关关系的判定
判定两个变量正、负相关性的方法
(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．
(2)相关系数：r >0时，正相关；r <0时，负相关.
(3)线性回来方程中：b ^
>0时，正相关；b ^
<0时，负相关．
(4)相关关系的直观判定方法确实是作出散点图，若散点图呈带状且区域较窄，说明两个变量有一定的线性相关性，若呈曲线型也是有相关性，若呈图形区域且分布较乱则不具备相关性．
【例1】 (1)为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计某班学生的
两科成绩得到如图所示的散点图(x 轴、y 轴的单位长度相同)，用回来直线方程y ^
＝b ^
x ＋a ^
近似地刻画其相关关系，依照图形，以下结论最有可能成立的是( B )
A ．线性相关关系较强，b ^
的值为1.25
B ．线性相关关系较强，b ^
的值为0.83
C ．线性相关关系较强，b ^
的值为－0.87 D ．线性相关关系较弱，无研究价值
(2)已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关，下列结论中正确的是( C )
A ．x 与y 正相关，x 与z 负相关
B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关
C ．x 与y 负相关，x 与z 负相关
D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关
解析 (1)由散点图能够看出两个变量所构成的点在一条直线邻近，因此线性相关关系较
强，且应为正相关，因此回来直线方程的斜率应为正数，且从散点图观看，回来直线方程的斜率应该比y ＝x 的斜率要小一些，故选B ．
(2)因为y ＝－0.1x ＋1，x 的系数为负，故x 与y 负相关；而y 与z 正相关，故x 与z 负相关．
二 线性回来分析
(1)正确明白得运算b ^
，a ^
的公式并能准确的运算出结果是求线性回来方程的关键．
(2)回来直线方程y ^
＝b ^
x ＋a ^
必过样本点中心(
x ，y )．
(3)在分析两个变量的相关关系时，可依照样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回来方程来估量和推测．
【例2】 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的阻碍．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
x
y
ω
∑i ＝1
8
(x i －
x )2
∑i ＝1
8
(ωi
－ω)2
∑i ＝1
8
(x i －
x )
(y i －y )
∑i ＝1
8
(ωi －
ω)
(y i －y ) 46.6
563
6.8
289.8 1.6 1.469
108.8
其中ωi ＝x i ，ω＝18∑i ＝1
8
ωi .
(1)依照散点图判定y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回来方程类型？(给出判定即可，不必说明理由)
(2)依照(1)的判定结果及表中数据，建立y 关于x 的回来方程；
(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .依照(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？
附：关于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回来直线v ＝α＋βu 的斜率
和截距的最小二乘估量分别为β^
＝
∑i ＝1
n
(u i －u )(v i －v
)
∑i
＝1
n
(u i －u
)
2
，α^＝v －β^
u .
解析 (1)由散点图能够判定y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回来方程类型．
(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回来方程．
由于d ^＝
∑i ＝1
8
(w i －w )(y i －y
)
∑i ＝1
8
(w i －w
)
2
＝108.81.6
＝68， c ^
＝y －d ^
w ＝563－68×6.8＝100.6，
因此y 关于w 的线性回来方程为y ^＝100.6＋68w ，因此y 关于x 的回来方程为y ^
＝100.6＋68x .
(3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值． y ^
＝100.6＋6849＝576.6，
年利润z 的预报值z ^
＝576.6×0.2－49＝66.32. ②依照(2)的结果知，年利润z 的预报值 z ^
＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12.
因此当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^
取得最大值．
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．
三 独立性检验
(1)独立性检验的关键是正确列出2×2列联表，并运算出K 2
的值．
(2)弄清判定两变量有关的把握性与犯错误概率的关系，依照题目要求作出正确的回答． 【例3】 为了调查某高中学生每天的睡眠时刻，现随机对20名男生和20名女生进行问卷调查，结果如下：
女生：
(2)完成下面2×2列联表，并回答是否有90%的把握认为“睡眠时刻与性别有关”？
⎝ ⎛⎭
⎪⎫K 2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d
解析 (1)设所求事件概率为P
，则P ＝C 1
12C 2
8C 320＝2895.
(2)
计
K 2
＝40×(12×6－14×8)2
20×26×14×20＝4091
≈0.440＜2.706.
因此没有90%的把握认为“睡眠时刻与性别有关”．
1．下列四个散点图中，变量x 与y 之间具有负的线性相关关系的是( D )
解析 观看散点图可知，只有D 项的散点图表示的是变量x 与y 之间具有负的线性相关关系．
2．为研究变量x 和y 的线性相关性，甲、乙二人分别做了研究，利用回来分析的方法得到回来直线l 1和l 2，两人运算得x 相同，y 也相同，则下列结论正确的是( C )
A ．l 1与l 2重合
B ．l 1与l 2一定平行
C ．l 1与l 2相交于点(x ，y )
D ．无法判定l 1和l 2是否相交
解析 因为回来直线通过样本点的中心(x ，y )，故两直线都通过点(x ，y )，而x ，
y 相同不能得到a ^，b ^
一定相同，故选C ．
3．某车间为了制定工时定额，需要确定加工零件所花费的时刻，为此做了四次试验，得到的数据如下.
零件的个数x /
个 2 3
4
5
加工的时刻y /小时
2.5
3
4 4
.5
(1)
(2)求出y 关于x 的线性回来方程y ^＝b ^x ＋a ^
； (3)试推测加工10个零件需要多少小时？
⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫注：b ^
＝∑i ＝1
n
x i y i
－n x y ∑i ＝1
n
x 2i
－n x 2
，a ^＝y －b ^
x 解析 (1)散点图如图．
(2)由表中数据得∑i ＝1
4
x i y i ＝52.5，x －＝3.5，y －＝3.5，∑i ＝1
4
x 2
i ＝54，
∴b ^＝0.7，∴a ^＝1.05，∴y ^
＝0.7x ＋1.05.
(3)将x ＝10代入线性回来方程，得y ^
＝0.7×10＋1.05＝8.05，故推测加工10个零件约需要8.05小时．
4．某校数学课外爱好小组为研究数学成绩是否与性别有关，先统计本校高三年级每个学生一学期数学成绩平均分(采纳百分制)，剔除平均分在40分以下的学生后，共有男生300名，女生200名．现采纳分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，按性别分为两组，并将两组学生成绩分为6组，得到如下所示频数分布表.
分数段 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100) 男 3 9 18 15 6 9 女
6
4
5
10
13
2
数学成绩与性别是否有关；
(2)规定80分以上为优分(含80分)，请你依照已知条件作出2×2列联表，并判定是否有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”.
优分 非优分
总计 男生 女生
总计100
解析(1)x男＝45×0.05＋55×0.15＋65×0.3＋75×0.25＋85×0.1＋95×0.15＝71.5，
x女＝45×0.15＋55×0.1＋65×0.125＋75×0.25＋85×0.325＋95×0.05＝71.5，从男、女生各自的平均分来看，并不能判定数学成绩与性别有关．
(2)由频数分布表可知：由抽取的100名学生中，“男生组”中的优分有15人，“女生组”中的优分有15人，据此可得2×2列联表如下.
优
分
非
优分
总
计
男
生
1
5
45
6
女
生
1
5
25
4
总
计
3
70
1
00
可得K2＝
100×(
60×40×30×70
≈1.79，因为1.79＜2.706，
因此没有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”．
易错点数据较大，难求真值，忽略样本中心点的特点
错因分析：①数据位数较大，运算容易出错；②y
^
＝b
^
x＋a
^
与y＝ax＋b容易混淆．为了幸免这些容易发生的错误可将一些数据进行处理．
【例1】某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据.
年份
2
006
2
008
2
010
2
020
2
020
需求量/
万吨
2
36
2
46
2
57
2
76
2
86
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的线性回来方程y＝b x＋a；
(2)利用(1)中所求出的线性回来方程推测该地2021年的粮食需求量．
解析(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求线性回来方
程，先将数据处理如下.
对处理的数据，容易算得x ＝0，y ＝3.2，
b ^
＝
(－4)×(－21)＋(－2)×(－11)＋2×19＋4×29－5×0×3.2
(－4)2＋(－2)2＋22＋42－5×0
2
＝ 260
40
＝6.5，a ^＝y －b ^
x ＝3.2. 由上述运算结果，知所求线性回来方程为
y ^
－257＝6.5(x －2 010)＋3.2，即y ^
＝6.5(x －2 010)＋260.2.
(2)利用所求得的线性回来方程，可推测2021年的粮食需求量大约为6.5×(2 016－ 2 010)＋260.2 ＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．
【跟踪训练1】 某种书每册的成本费y (元)与印刷册数x (千册)有关，经统计得到数据如下.
(1)经观测每册书的成本费y 与印刷册数的倒数x
之间具有明显的线性相关关系，求出y
对x 的回来方程；
(2)试比较(1)中的回来方程与回来模型y ＝7
x
哪一个拟合成效更好．
参考数据：
1
2≈0.707，1
5
≈0.447. 解析 (1)设t ＝1
x
，则
t ＝14
(0.05＋0.1＋0.2＋0.5)＝0.212 5，y ＝4
(1.5＋2.0＋2.7＋5.4)＝2.9，
由最小二乘法得b ^
＝
∑i ＝1
4
t i y i －4t y
∑i ＝1
4
t 2i －4t 2
＝
3.515－2.465
0.302 5－0.180 625
≈8.615，
a ^
＝y －b t ≈2.9－8.615×0.212 5≈1.069，
∴y ^＝8.615t ＋1.069，即线性回来方程为y ^＝8.615
x
＋1.069.
(2)由回来方程y ^＝8.615x
＋1.069和回来方程y ＝7x
，得以下表格.
∴关于回来方程y ^＝8.615x
＋1.069，∑i ＝1
4
y i －y ^2＝02＋0.0692＋0.0922＋0.0232
≈0.014；
关于回来方程y ＝7
x
，∑i
＝1
4
y i －y ^2＝0.0652＋0.2122＋0.4292＋0.4512
≈0.437，
∵0.014<0.437，
∴回来方程y ^＝8.615
x
＋1.069比回来模型y ＝7x
的拟合成效更好．
课时达标 第66讲
[解密考纲]本节内容在高考中，三种题型均有考查，文字量比较大，但题目较容易． 一、选择题
1．为了了解某保温产品的用电量y (kW·h)与气温(℃)之间的关系，随机统计了4次用电量与相应的气温，并制作了对比表.
由表中数据，得到线性回来方程y ^＝－2x ＋a ^(a ^
∈R )，由此请估量出用电量72 kW·h 时气温的度数为( D )
A ．－10
B ．－8
C ．－4
D ．－6
解析 由题意可得x ＝10，y ＝40，因此a ^＝y ＋2x ＝40＋2×10＝60.因此y ^
＝－2x ＋60，当y ^
＝72时，有－2x ＋60＝72，解得x ＝－6，故选D ．
2．对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，8)其回来直线方程是y ^＝13x ＋a ^，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8)＝6，则实数a ^
的值是
( B )
A ．1
16 B ．1
8 C ．1
4
D ．12
解析 依题意可知样本中心点为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，38，则38＝13×34＋a ^，解得a ^＝18，故选B ． 3．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )都在直线y ＝1
2x ＋1上，则这组样本数
据的样本相关系数为( D )
A ．－1
B ．0
C ．1
2
D ．1
解析 由题设可知这组样本中的数据完全正相关，又都在y ＝1
2x ＋1上，故相关系数为1，
故选D ．
4．(2020·辽宁大连双基测试)关于下列表格所示五个散点，已知求得的线性回来方程为y ^
＝0.8x －155，则实数m 的值为( A )
A ．8 C ．8.4
D ．8.5
解析 x ＝196＋197＋200＋203＋2045＝200，y ＝1＋3＋6＋7＋m 5＝17＋m
5
，将样本中心
点⎝
⎛⎭⎪⎫200，17＋m 5代入y ^＝0.8x －155，可得m ＝8，故选A ． 5．如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据，依照表提供的数据，求出y 关于x 的线性回来方程为y ^
＝0.7x ＋0.35，则下列结论错误的是( B )
A B ．t 的取值必定是3.15 C ．回来直线一定过(4.5,3.5)
D ．A 产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨
解析 由题意，x ＝3＋4＋5＋64＝4.5，因为y ^
＝0.7x ＋0.35，因此 y ＝0.7×4.5＋0.35
＝3.5，因此t ＝4×3.5－2.5－4－4.5＝3，故选B ．
6．(2020·福建泉州模拟)已知某产品连续4个月的广告费x i (千元)与销售额y i (万元)，通过对这些数据的处理，得到如下数据信息：
①∑i ＝4
4
x i ＝18，∑i ＝4
4
y i ＝14；
②广告费用x 和销售额y 之间具有较强的线性相关关系； ③回来直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^
＝0.8(用最小二乘法求得)． 那么广告费用为6千元时，可推测销售额约为( B ) A ．3.5万元 B ．4.7万元 C ．4.9万元
D ．6.5万元
解析 因为∑i ＝14
x i ＝18，∑i ＝1
4
y i ＝14，因此x ＝92，y ＝72，因为回来直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^
中
的b ^＝0.8，因此72＝0.8×92＋a ^，因此a ^＝－110，因此y ^
＝0.8x －110.故x ＝6时，可推测销售额
约为4.7万元，故选B ．
二、填空题
7．已知
x ，y 的取值如下表.
从散点图分析，y 与x 线性相关，且回来方程为y ＝1.46x ＋a ，则实数a ^
的值为__－0.61__. 解析 x ＝2＋3＋4＋54＝3.5，y ＝2.2＋3.8＋5.5＋6.54＝4.5，回来方程必过样本的中
心点(x ，y )．把(3.5,4.5)代入回来方程，运算得a ^
＝－0.61.
8．高三某班学生每周用于物理学习的时刻x (单位：小时)与物理成绩y (单位：分)之间有如下关系.
__13.5__(精确到0.1)．
解析 由已知可得
x ＝24＋15＋23＋19＋16＋11＋20＋16＋17＋13
10＝17.4，
y ＝
92＋79＋97＋89＋64＋47＋83＋68＋71＋59
10
＝74.9，
设回来直线方程为y ^＝3.53x ＋a ^，则74.9＝3.53×17.4＋a ^，解得a ^
≈13.5. 9．以下四个命题：
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，如此的抽样是分层抽样；
②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；
③在回来直线方程y ^＝0.2x ＋12中，当说明变量x 每增加一个单位时，预报变量y ^
平均增加0.2个单位；
④对分类变量X 与Y ，它们的随机变量K 2
的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大．
其中所有正确的是__②③__(填序号)．
解析 ①是系统抽样；关于④，随机变量K 2的观测值k 越小，说明两个变量有关系的把握程度越小．
三、解答题
10．下表是高三某位文科生连续5次月考的历史、政治的成绩，结果统计如下.
(1)求该生5(2)一样来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关关系，依照上表提供的数据，求两个变量x ，y 的线性回来方程y ^＝b ^x ＋a ^
.
附：b ^＝
∑i ＝1
n
(x i －x )(y i －y
)∑i ＝1
n
(x i －x
)
2
＝
∑i ＝1
n
x i y i －n x y
∑i ＝1
n
x 2i －n x 2
，a ^＝y －b ^
x .
解析 (1)x ＝1
5×(79＋81＋83＋85＋87)＝83，
∵y ＝1
5
×(77＋79＋79＋82＋83)＝80，
∴s 2y ＝15
×[(77－80)2＋(79－80)2＋(79－80)2＋(82－80)2＋(83－80)2
]＝4.8.
(2)∵∑i ＝1
5
(x i －x )(y i －y )＝30，∑i ＝1
5
(x i －x )2
＝40，
∴b ^＝0.75，a ^＝y －b ^
x ＝17.75， 则所求的线性回来方程为y ^
＝0.75x
＋17.75.
11．(2020·河北石家庄调研)某学校高中毕业班有男生900人，女生600人，学校为了对高三学生数学学习情形进行分析，从高三年级按照性别进行分层抽样，抽取200名学生成绩，统计数据如下表所示.
学生人数；
(2)假如样本数据中，有60名女生数学成绩及格，请完成如下数学成绩与性别的列联表，并判定是否有90%的把握认为“该校学生的数学成绩与性别有关”.
参考公式：K 2
＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
解析 (1)高三学生数学平均成绩为
200
×(60×20＋80×40＋100×70＋120×50＋140×20)＝101，估量高三学生数学平均成绩为101分，及格学生人数为70＋50＋20
200×(900
＋600)＝1 050.
(2)
K 2
的观测值k ＝80×120×60×140＝63
≈1.587<2.706，
因此没有90%的把握认为“该校学生的数学成绩与性别有关”．
12．一家商场为了确定营销策略，进行了四次投入促销费用x 和商场实际销售额的试验，得到如下数据.
万元 00 00 00
00
(1)的线性相关性；
(2)求出x ，y 之间的回来直线方程y ^＝b ^x ＋a ^
；
(3)若该商场打算营销额不低于600万元，则至少要投入多少万元的促销费用？ 解析 (1)散点图如图所示，从图上能够看出两个变量具有较好的线性相关性．
(2)x ＝
2＋3＋5＋64＝4，y ＝100＋200＋300＋400
4
＝250， ∑i ＝14
(x i －x )2＝(2－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2＋(6－4)2＝4＋1＋1＋4＝10，
∑i ＝1
4
(x 1－x )(y i －y )＝(－2)×(－150)＋(－1)×(－50)＋1×50＋2×150＝700，
b ^
＝
∑i ＝1
4
(x i －x )(y i －y
)
∑i ＝1
4
(x i －x
)
2
＝700
10
＝70， a ^
＝y －b ^
x ＝250－70×4＝－30.
故所求的回来直线方程为y ^
＝70x －30. (3)令70x －30≥600，即x ≥
600＋30
70
＝9(万元)． 故该商场打算营销额不低于600万元，则至少要投入9万元的促销费用．。