2020高考数学大一轮复习第九章概率课下层级训练53几何概型含解析文新人教A版
2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何教案文含解析新人教A版
2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何 §9.1 直线的方程1.平面直角坐标系中的基本公式 (1)两点的距离公式：已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则d (A ，B )＝|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)中点公式：已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，点M (x ，y )是线段AB 的中点，则x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.2.直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，我们规定，与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角. (2)倾斜角的范围：[0°，180°). 3.直线的斜率(1)定义：通常，我们把直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率，垂直于x 轴的直线，人们常说它的斜率不存在；(2)计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2).若直线的倾斜角为θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ≠π2，则k ＝tan θ. 4.直线方程的五种形式概念方法微思考1.直线都有倾斜角，是不是都有斜率？倾斜角越大，斜率k 就越大吗？ 提示 倾斜角α∈[0，π)，当α＝π2时，斜率k 不存在；因为k ＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2.当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，α越大，斜率k 就越大，同样α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时也是如此，但当α∈(0，π)且α≠π2时就不是了.2.“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？提示 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( √ ) (2)若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( × ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( × )(4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示.( √ ) 题组二 教材改编2.若过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A.1B.4C.1或3D.1或4 答案 A解析 由题意得m －4－2－m＝1，解得m ＝1.3.过点P (2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为. 答案 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0解析 当截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0； 当截距不为0时，设直线方程为x a ＋y a＝1，则2a ＋3a＝1，解得a ＝5.所以直线方程为x ＋y －5＝0.题组三 易错自纠4.直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 答案 B解析 由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1， 又－1≤－1a 2＋1<0，所以倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 5.如果A ·C <0且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 C解析 由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－CA >0，在y 轴上的截距－C B>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限.6.过直线l ：y ＝x 上的点P (2,2)作直线m ，若直线l ，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的方程为.答案 x －2y ＋2＝0或x ＝2解析 ①若直线m 的斜率不存在，则直线m 的方程为x ＝2，直线m ，直线l 和x 轴围成的三角形的面积为2，符合题意；②若直线m 的斜率k ＝0，则直线m 与x 轴没有交点，不符合题意；③若直线m 的斜率k ≠0，设其方程为y －2＝k (x －2)，令y ＝0，得x ＝2－2k ，依题意有12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2k ×2＝2，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1k ＝1，解得k ＝12，所以直线m 的方程为y －2＝12(x －2)，即x －2y ＋2＝0.综上可知，直线m 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＝2.题型一 直线的倾斜角与斜率例1(1)直线2x cos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是 ( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3答案 B解析 直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α， 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1， 3 ].设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1， 3 ].又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3， 即倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3. (2)(2018·抚顺调研)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为. 答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析 如图，∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3， ∴k ∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞). 引申探究1.若将本例(2)中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围. 解 ∵P (－1,0)，A (2,1)，B (0，3)， ∴k AP ＝1－02－(－1)＝13，k BP ＝3－00－(－1)＝ 3.如图可知，直线l 斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3. 2.若将本例(2)中的B 点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的取值范围. 解 如图，直线PA 的倾斜角为45°，直线PB 的倾斜角为135°，由图象知l 的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°). 思维升华 (1)倾斜角α与斜率k 的关系①当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，k ∈[0，＋∞).②当α＝π2时，斜率k 不存在.③当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，k ∈(－∞，0). (2)斜率的两种求法①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率. ②公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率. (3)倾斜角α范围与直线斜率范围互求时，要充分利用y ＝tan α的单调性. 跟踪训练1(1)若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a 等于( ) A.1±2或0 B.2－52或0 C.2±52D.2＋52或0 答案 A解析 ∵平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，∴k AB ＝k AC ， 即a 2＋a 2－1＝a 3＋a3－1，即a (a 2－2a －1)＝0，解得a ＝0或a ＝1± 2.故选A.(2)直线l 经过A (3,1)，B (2，－m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 解析 直线l 的斜率k ＝1＋m 23－2＝1＋m 2≥1，所以k ＝tan α≥1.又y ＝tan α在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，因此π4≤α<π2.题型二 求直线的方程例2求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P (3,2)，且在两坐标轴上的截距相等； (2)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14；(3)过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点且|AB |＝5.解 (1)方法一 设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)， ∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋y a＝1， ∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2a＝1，∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0，方法二 由题意，所求直线的斜率k 存在且k ≠0， 设直线方程为y －2＝k (x －3)，令y ＝0，得x ＝3－2k，令x ＝0，得y ＝2－3k ，由已知3－2k ＝2－3k ，解得k ＝－1或k ＝23，∴直线l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)，即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0. (2)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－14×3＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(3)过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0，求得B 点坐标为(1,4)，此时|AB |＝5，即x ＝1为所求. 设过A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k (x －1)，得两直线交点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋7k ＋2，y ＝4k －2k ＋2.(k ≠－2，否则与已知直线平行). 则B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2.由已知⎝⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝52，解得k ＝－34，∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.思维升华在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.跟踪训练2求适合下列条件的直线方程：(1)过点P (2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数； (2)过点A (－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍； (3)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12. 解 (1)当直线过原点时，方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0.当直线l 不过原点时，设直线方程为x a －y a＝1. 将P (2,3)代入方程，得a ＝－1， 所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0.综上，所求直线l 的方程为3x －2y ＝0或x －y ＋1＝0. (2)设直线y ＝3x 的倾斜角为α， 则所求直线的倾斜角为2α.因为tan α＝3，所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(3)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.题型三 直线方程的综合应用命题点1 与基本不等式相结合求最值问题例3(2018·包头模拟)已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA →|·|MB →|取得最小值时直线l 的方程. 解 设A (a,0)，B (0，b )，则a >0，b >0，直线l 的方程为x a ＋y b＝1，所以2a ＋1b＝1.|MA →|·|MB →|＝－MA →·MB →＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b －5＝2b a ＋2a b≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0. 命题点2 由直线方程解决参数问题例4已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0<a <2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值.解 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，当a ＝12时，四边形的面积最小. 思维升华与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.(2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程. (3)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.跟踪训练3过点P (4,1)作直线l 分别交x 轴，y 轴正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点. (1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程； (2)当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程. 解 设直线l ：x a ＋y b＝1(a >0，b >0)， 因为直线l 经过点P (4,1)， 所以4a ＋1b＝1.(1)4a ＋1b＝1≥24a ·1b＝4ab，所以ab ≥16，当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立，所以当a ＝8，b ＝2时，△AOB 的面积最小，此时直线l 的方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0.(2)因为4a ＋1b＝1，a >0，b >0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝5＋a b ＋4b a ≥5＋2a b ·4ba ＝9，当且仅当a ＝6，b＝3时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x 6＋y3＝1，即x ＋2y －6＝0.一、选择题1.直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( ) A.30° B.60° C.150° D.120°答案 B解析 设直线的倾斜角为α，斜率为k ， 化直线方程为y ＝3x ＋a ，∴k ＝tan α＝ 3. ∵0°≤α<180°，∴α＝60°.2.(2018·大连模拟)过点(2,1)且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( ) A.x ＝2 B.y ＝1 C.x ＝1 D.y ＝2答案 A解析 ∵直线y ＝－x －1的斜率为－1， 则倾斜角为3π4，依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，∴斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x ＝2.3.已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为( )A.150°B.135°C.120°D.不存在答案 A解析 由y ＝2－x 2，得x 2＋y 2＝2(y ≥0)，它表示以原点O 为圆心，以2为半径的圆的一部分，其图象如图所示.显然直线l 的斜率存在，设过点P (2,0)的直线l 为y ＝k (x －2)， 则圆心到此直线的距离d ＝|－2k |1＋k2， 弦长|AB |＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫|－2k |1＋k 22＝22－2k21＋k2， 所以S △AOB ＝12×|－2k |1＋k 2×22－2k21＋k2 ≤(2k )2＋2－2k22(1＋k 2)＝1， 当且仅当(2k )2＝2－2k 2，即k 2＝13时等号成立，由图可得k ＝－33⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＝33舍去， 故直线l 的倾斜角为150°.4.如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则 ( )A.k 1<k 2<k 3B.k 3<k 1<k 2C.k 3<k 2<k 1D.k 1<k 3<k 2 答案 D解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k 3<k 2， 因此k 1<k 3<k 2，故选D.5.直线MN 的斜率为2，其中点N (1，－1)，点M 在直线y ＝x ＋1上，则( ) A.M (5,7) B.M (4,5) C.M (2,1) D.M (2,3) 答案 B解析 设M 的坐标为(a ，b )，若点M 在直线y ＝x ＋1上， 则有b ＝a ＋1.①若直线MN 的斜率为2，则有b ＋1a －1＝2.② 联立①②可得a ＝4，b ＝5， 即M 的坐标为(4,5).故选B.6.已知两点M (2，－3)，N (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A.k ≥34或k ≤－4B.－4≤k ≤34C.34≤k ≤4 D.－34≤k ≤4答案 A解析 如图所示，∵k PN ＝1－(－2)1－(－3)＝34，k PM ＝1－(－3)1－2＝－4， ∴要使直线l 与线段MN 相交， 当l 的倾斜角小于90°时，k ≥k PN ；当l 的倾斜角大于90°时，k ≤k PM ，∴k ≥34或k ≤－4.7.(2018·焦作期中)过点A (3，－1)且在两坐标轴上截距相等的直线有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条答案 B解析 ①当所求的直线与两坐标轴的截距都不为0时， 设该直线的方程为x ＋y ＝a ， 把(3，－1)代入所设的方程得a ＝2，则所求直线的方程为x ＋y ＝2，即x ＋y －2＝0； ②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时， 设该直线的方程为y ＝kx ，把(3，－1)代入所设的方程得k ＝－13，则所求直线的方程为y ＝－13x ，即x ＋3y ＝0.综上，所求直线的方程为x ＋y －2＝0或x ＋3y ＝0， 故选B.8.已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ，则直线ax －by ＋c＝0的倾斜角为( ) A.π4 B.π3 C.2π3D.3π4答案 C解析 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x 知函数f (x )的图象关于x ＝π3对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，所以a＝－3b ，由直线ax －by ＋c ＝0知其斜率k ＝a b ＝－3，所以直线的倾斜角为2π3，故选C.二、填空题9.一条直线经过点A (2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y ＝13x 的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是. 答案3x －y －33＝0解析 因为直线y ＝13x 的倾斜角为π6，所以所求直线的倾斜角为π3，即斜率k ＝tan π3＝ 3.又该直线过点A (2，－3)，故所求直线为y －(－3)＝3(x －2)， 即3x －y －33＝0.10.直线kx ＋y ＋2＝－k ，当k 变化时，所有的直线都过定点. 答案 (－1，－2)解析 kx ＋y ＋2＝－k 可化为y ＋2＝－k (x ＋1)，根据直线方程的点斜式可知，此类直线恒过定点(－1，－2).11.已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为.答案 x ＋13y ＋5＝0解析 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴BC 边上中线所在的直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y＋5＝0.12.经过点A (4,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的3倍的直线l 的方程的一般式为.答案 x ＋3y －10＝0或x －2y ＝0解析 当截距为0时，设直线方程为y ＝kx ，则4k ＝2， ∴k ＝12，∴直线方程为x －2y ＝0.当截距不为0时，设直线方程为x 3a ＋ya ＝1，由题意得，43a ＋2a ＝1，∴a ＝103.∴x ＋3y －10＝0.综上，直线l 的一般式方程为x ＋3y －10＝0或x －2y ＝0.13.设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是. 答案 [－2,2]解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值－2和最大值2. ∴b 的取值范围是[－2,2].14.已知动直线l 0：ax ＋by ＋c －3＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，且Q (4,0)到动直线l 0的最大距离为3，则12a ＋2c 的最小值为.答案 32解析 ∵动直线l 0：ax ＋by ＋c －3＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )， ∴a ＋bm ＋c －3＝0.又Q (4,0)到动直线l 0的最大距离为3，∴(4－1)2＋m 2＝3，解得m ＝0.∴a ＋c ＝3. 则12a ＋2c ＝13(a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2c ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋c 2a ＋2a c ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋2 c 2a ·2a c ＝32， 当且仅当c ＝2a ＝2时取等号. 三、解答题15.过点P (3,0)作一条直线，使它夹在两直线l 1：2x －y －2＝0与l 2：x ＋y ＋3＝0之间的线段AB 恰好被点P 平分，求此直线的方程. 解 设点A (x ，y )在l 1上，点B (x B ，y B )在l 2上.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x B 2＝3，y ＋yB2＝0，则点B (6－x ，－y )，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，(6－x )＋(－y )＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝113，y ＝163，则所求直线的斜率k ＝163－0113－3＝8，故所求的直线方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0. 16.已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R ). (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程.(1)证明 直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1， 故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1). (2)解 直线l 的方程可化为y ＝kx ＋2k ＋1， 则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，故k 的取值范围是k ≥0.(3)解 依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，且k >0，所以A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0,1＋2k )， 故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(4＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时取等号，故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何 §9.2 两条直线的位置关系1.两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.(ⅱ)当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. ②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2， 则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2. (2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解.2.几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离 |P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.概念方法微思考1.若两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率有什么关系？提示 当两条直线l 1与l 2的斜率都存在时，1l k ·2l k ＝－1；当两条直线中一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，l 1与l 2也垂直.2.应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么？ 提示 (1)将方程化为最简的一般形式.(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两平行线方程中x ，y 的系数分别对应相等.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l2.( × )(2)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( √ )(3)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.( × ) (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( √ )(5)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k，且线段AB 的中点在直线l 上.( √ ) 题组二 教材改编2.已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A.2B.2－2C.2－1D.2＋1 答案 C解析 由题意得|a －2＋3|1＋1＝1.解得a ＝－1＋2或a ＝－1－ 2. ∵a >0，∴a ＝－1＋ 2.3.已知P (－2，m )，Q (m,4)，且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0，则m ＝________. 答案 1解析 由题意知m －4－2－m＝1，所以m －4＝－2－m ，所以m ＝1.4.若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________. 答案 －9解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.所以点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0， 即m ×1＋2×2＋5＝0，所以m ＝－9. 题组三 易错自纠5.直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m 等于( ) A.2 B.－3 C.2或－3 D.－2或－3答案 C解析 直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2，故m ＝2或－3.故选C.6.直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是______. 答案324解析 先将2x ＋2y ＋1＝0化为x ＋y ＋12＝0，则两平行线间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－122＝324.7.若直线(3a ＋2)x ＋(1－4a )y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则a ＝________. 答案 0或1解析 由两直线垂直的充要条件，得(3a ＋2)(5a －2)＋(1－4a )(a ＋4)＝0，解得a ＝0或a ＝1.题型一 两条直线的平行与垂直例1(2018·满洲里调研)已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. (1)试判断l 1与l 2是否平行； (2)当l 1⊥l 2时，求a 的值.解 (1)方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)， l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a，－3≠－(a ＋1)，解得a ＝－1，综上可知，当a ＝－1时，l 1∥l 2，a ≠－1时，l 1与l 2不平行. 方法二 由A 1B 2－A 2B 1＝0，得a (a －1)－1×2＝0， 由A 1C 2－A 2C 1≠0， 得a (a 2－1)－1×6≠0，∴l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧a (a －1)－1×2＝0，a (a 2－1)－1×6≠0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a (a 2－1)≠6，可得a ＝－1，故当a ＝－1时，l 1∥l 2.当a ≠－1时，l 1与l 2不平行. (2)方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2， 故a ＝0不成立； 当a ≠1且a ≠0时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，由⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2·11－a＝－1，得a ＝23.方法二 由A 1A 2＋B 1B 2＝0，得a ＋2(a －1)＝0， 可得a ＝23.思维升华(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件. (2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论. 跟踪训练1(1)已知直线l 1：x ＋2ay －1＝0，l 2：(a ＋1)x －ay ＝0，若l 1∥l 2，则实数a 的值为( ) A.－32B.0C.－32或0D.2答案 C解析 若a ≠0，则由l 1∥l 2⇒a ＋11＝－a 2a ，故2a ＋2＝－1，即a ＝－32；若a ＝0，l 1∥l 2，故选C. (2)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0垂直，则m 的值为( ) A.2或－3 B.2 C.－35D.35答案 C解析 由l 1⊥l 2得2×m ＋(m ＋1)×3＝0， 整理得5m ＋3＝0.解得m ＝－35.题型二 两直线的交点与距离问题1.(2018·葫芦岛调研)若直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于M ，N 两点，且MN 的中点是P (1，－1)，则直线l 的斜率是( ) A.－23B.23C.－32D.32答案 A解析 由题意，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)－1，分别与y ＝1，x －y －7＝0联立解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋1，1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫k －6k －1，－6k ＋1k －1.又因为MN 的中点是P (1，－1)，所以由中点坐标公式得k ＝－23. 2.若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( ) A.95B.185C.2910D.295 答案 C解析 因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910. 3.已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，12 解析 方法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k ＋1，y ＝－12x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1.(若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行)∴交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2－4k 2k ＋1，6k ＋12k ＋1.又∵交点位于第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4k 2k ＋1>0，6k ＋12k ＋1>0，解得－16<k <12.方法二 如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A (4,0)，B (0,2).而直线方程y ＝kx ＋2k ＋1可变形为y －1＝k (x ＋2)，表示这是一条过定点P (－2,1)，斜率为k 的动直线.∵两直线的交点在第一象限，∴两直线的交点必在线段AB 上(不包括端点)， ∴动直线的斜率k 需满足k PA <k <k PB . ∵k PA ＝－16，k PB ＝12.∴－16<k <12.4.已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，若在坐标平面内存在一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2，则P 点坐标为________________. 答案()1，－4或⎝⎛⎭⎪⎫277，－87解析 设点P 的坐标为(a ，b ). ∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2). 而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3， 即x －y －5＝0.∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上，∴a －b －5＝0.① 又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， ∴|4a ＋3b －2|42＋32＝2，即4a ＋3b －2＝±10，② 由①②联立解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫277，－87.思维升华 (1)求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.(2)利用距离公式应注意：①点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.题型三对称问题命题点1 点关于点中心对称例2过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________.答案x＋4y－4＝0解析设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.命题点2 点关于直线对称例3 如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是( )A.3 3B.6C.210D.2 5答案 C解析直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线经过的路程为|CD|＝62＋22＝210.命题点3 直线关于直线的对称问题例4 直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是______________.答案x－2y＋3＝0解析设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－(y －y 0)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0， 即x －2y ＋3＝0.思维升华解决对称问题的方法 (1)中心对称①点P (x ，y )关于Q (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决. (2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决. 跟踪训练2已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求： (1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程； (3)直线l 关于(1,2)的对称直线.解 (1)设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)，∵k PP ′·k l ＝－1，即y ′－yx ′－x×3＝－1.① 又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上， ∴3×x ′＋x 2－y ′＋y2＋3＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－4x ＋3y －95， ③y ′＝3x ＋4y ＋35.④把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7， ∴点P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7).(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ， 得关于l 对称的直线方程为 －4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0， 化简得7x ＋y ＋22＝0.(3)在直线l ：3x －y ＋3＝0上取点M (0,3)， 关于(1,2)的对称点M ′(x ′，y ′)， ∴x ′＋02＝1，x ′＝2，y ′＋32＝2，y ′＝1，∴M ′(2,1).l 关于(1,2)的对称直线平行于l ，∴k ＝3，∴对称直线方程为y －1＝3×(x －2)， 即3x －y －5＝0.妙用直线系求直线方程在求解直线方程的题目中，可采用设直线系方程的方式简化运算，常见的直线系有平行直线系，垂直直线系和过直线交点的直线系. 一、平行直线系例1求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l 的方程. 解 由题意，设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0(c ≠1)， 又因为直线过点(1,2)，所以3×1＋4×2＋c ＝0，解得c ＝－11. 因此，所求直线方程为3x ＋4y －11＝0. 二、垂直直线系例2求经过A (2,1)，且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程. 解 因为所求直线与直线2x ＋y －10＝0垂直， 所以设该直线方程为x －2y ＋C ＝0， 又直线过点A (2,1)，所以有2－2×1＋C ＝0，解得C ＝0， 即所求直线方程为x －2y ＝0. 三、过直线交点的直线系例3求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程.解 方法一 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得P (0,2).∵l 3的斜率为34，且l ⊥l 3，∴直线l 的斜率为－43，由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2，即4x ＋3y －6＝0.方法二 设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0， 即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0.又∵l ⊥l 3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0， 解得λ＝11.∴直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.1.直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( ) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.不能确定答案 C解析 直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2，直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率k 2＝－12，则k 1≠k 2，且k 1k 2≠－1.故选C.2.已知直线l 1：x ＋my ＋7＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0互相平行，则实数m 等于( ) A.－1或3 B.－1 C.－3 D.1或－3答案 A解析 当m ＝0时，显然不符合题意； 当m ≠0时，由题意得，m －21＝3m ≠2m7， 解得m ＝－1或m ＝3，故选A.3.已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( )A.－10B.－2C.0D.8答案 A解析 因为l 1∥l 2，所以k AB ＝4－mm ＋2＝－2.解得m ＝－8.又因为l 2⊥l 3，所以－1n×(－2)＝－1，解得n ＝－2，所以m ＋n ＝－10.4.过点M (－3,2)，且与直线x ＋2y －9＝0平行的直线方程是( ) A.2x －y ＋8＝0 B.x －2y ＋7＝0 C.x ＋2y ＋4＝0 D.x ＋2y －1＝0答案 D解析 方法一 因为直线x ＋2y －9＝0的斜率为－12，所以与直线x ＋2y －9＝0平行的直线的斜率为－12，又所求直线过M (－3,2)，所以所求直线的点斜式方程为y －2＝－12(x ＋3)，化为一般式得x ＋2y －1＝0.故选D.方法二 由题意，设所求直线方程为x ＋2y ＋c ＝0，将M (－3，2)代入，解得c ＝－1，所以所求直线为x ＋2y －1＝0.故选D.5.(2018·盘锦模拟)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为( ) A.423 B.4 2 C.823D.2 2答案 C解析 ∵l 1∥l 2，∴a ≠2且a ≠0， ∴1a －2＝a 3≠62a，解得a ＝－1， ∴l 1与l 2的方程分别为l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，∴l 1与l 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－232＝823.6.已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为( )A.12B.－12C.2D.－2答案 A解析 直线y ＝2x ＋3与y ＝－x 的交点为A (－1,1)，而直线y ＝2x ＋3上的点(0,3)关于y ＝－x 的对称点为B (－3，0)，而A ，B 两点都在l 2上，所以2l k ＝1－0－1－(－3)＝12.7.已知直线l 1：ax ＋y －1＝0，直线l 2：x －y －3＝0，若直线l 1的倾斜角为π4，则a ＝______；若l 1⊥l 2，则a ＝______；若l 1∥l 2，则两平行直线间的距离为________. 答案 －1 1 2 2 解析 若直线l 1的倾斜角为π4，则－a ＝k ＝tan π4＝1，故a ＝－1；若l 1⊥l 2，则a ×1＋1×(－1)＝0，故a ＝1；若l 1∥l 2，则a ＝－1，l 1：x －y ＋1＝0，两平行直线间的距离d ＝|1－(－3)|1＋1＝2 2.8.将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝____. 答案345解析 由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线， 于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345.9.直线l 1：y ＝2x ＋3关于直线l ：y ＝x ＋1对称的直线l 2的方程为______________. 答案 x －2y ＝0解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝x ＋1，解得直线l 1与l 的交点坐标为(－2，－1)， 所以可设直线l 2的方程为y ＋1＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k －1＝0.在直线l 上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l 1，l 2的距离相等，由点到直线的距离公式得|k －2＋2k －1|k 2＋1＝|2－2＋3|22＋1， 解得k ＝12(k ＝2舍去)，所以直线l 2的方程为x －2y ＝0.10.已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为______________. 答案 6x －y －6＝0解析 设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －(－3)·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.11.已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2,2).(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于4 2.(1)解 显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线. ∵方程可变形为2x －y －6＋λ(x －y －4)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6＝0，x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，故直线经过的定点为M (2，－2).(2)证明 过P 作直线的垂线段PQ ，由垂线段小于斜线段知|PQ |≤|PM |，当且仅当Q 与M 重合时，|PQ |＝|PM |，此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0. 但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0， ∴M 与Q 不可能重合，而|PM |＝42， ∴|PQ |<42，故所证成立.12.已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a >0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510.(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5.若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由.解 (1)直线l 2：2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1222＋(－1)2＝7510， 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋125＝7510，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72， 又a >0，解得a ＝3.(2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0).若P 点满足条件②，则P 点在与l 1，l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋125，即c ＝132或116，所以2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0；若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式， 有|2x 0－y 0＋3|5＝25|x 0＋y 0－1|2， 即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， 所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0；由于点P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能. 联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12，(舍去)联立方程2x 0－y 0＋116＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝19，y 0＝3718.所以存在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718同时满足三个条件.13.已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4，2)，(3,1)，则点C 的坐标为( ) A.(－2,4) B.(－2，－4) C.(2,4) D.(2，－4)答案 C解析 设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，∴BC 所在直线方程为y －1＝－2－14－3(x －3)， 即3x ＋y －10＝0.同理可得点B (3,1)关于直线y ＝2x 的对称点为(－1,3)， ∴AC 所在直线方程为y －2＝3－2－1－(－4)(x ＋4)，即x －3y ＋10＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －10＝0，x －3y ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，则C (2,4).故选C.14.(2018·赤峰质检)若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋ny ＋5＝0相交于同一点，则点(m ，n )到原点的距离的最小值为( )A.5B.6C.23D.2 5 答案 A解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，解得x ＝1，y ＝2.把(1,2)代入mx ＋ny ＋5＝0可得，m ＋2n ＋5＝0. ∴m ＝－5－2n .∴点(m ，n )到原点的距离d ＝m 2＋n 2＝(5＋2n )2＋n 2＝5(n ＋2)2＋5≥5， 当n ＝－2，m ＝－1时取等号.∴点(m ，n )到原点的距离的最小值为 5.15.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC 的顶点A (1,0)，B (0,2)，且AC ＝BC ，则△ABC 的欧拉线的方程为( ) A.4x ＋2y ＋3＝0 B.2x －4y ＋3＝0 C.x －2y ＋3＝0 D.2x －y ＋3＝0答案 B解析 因为AC ＝BC ，所以欧拉线为AB 的中垂线， 又A (1，0)，B (0,2)，故AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，k AB ＝－2， 故AB 的中垂线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即2x －4y ＋3＝0.16.在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，又与直线l 重合.若直线l 与直线l 1关于点(2,4)对称，求直线l 的方程. 解 由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1：y ＝k (x －3)＋5＋b ，将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为y ＝k (x －3－1)＋b ＋5－2，即y ＝kx ＋3－4k ＋b ，∴b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34，∴直线l的方程为y ＝34x ＋b ，直线l 1为y ＝34x ＋114＋b ，取直线l 上的一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，b ＋3m 4，则点P 关于点(2,4)的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m ，8－b －3m 4，∴8－b －3m 4＝34(4－m )＋b ＋114，解得b ＝98.∴直线l的方程是y ＝34x ＋98，即6x －8y ＋9＝0.。
2020版高考数学(文)新增分大一轮人教通用版平面解析几何第九章 9.3
思维升华
求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程. ②定义法：根据圆、直线等定义列方程. ③几何法：利用圆的几何性质列方程. ④相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.
跟踪训练2
设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两
A＝C≠0， B＝0， 2 2 D ＋ E －4AF>0.
提示
2.已知⊙C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则“E＝F＝0且D<0”是“⊙C与y轴相 切于原点”的什么条件？
提示 由题意可知，⊙C 与 y
D 轴相切于原点时，圆心坐标为－ 2 ，0 ，而
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
解 设 M(x，y)，C(x0，y0)，因为 B(3,0)，M 是线段 BC 的中点，由中点坐标 x0＋3 y0＋0 公式得 x＝ 2 ，y＝ 2 ，
所以x0＝2x－3，y0＝2y. 由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)， 将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4， 即(x－2)2＋y2＝1. 因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
2 2 ( x － 2 5) ＋ y ＝5 所得弦的长为2，则圆的方程为_________________.
解析
2
根据题意，设圆的圆心坐标为 (a,0)(a>0)，则圆的标准方程为 (x－a)2
|a＋2×0| 5 ＋y ＝5(a>0)，则圆心到直线 x＋2y＝0 的距离 d＝ ＝ 5 a. 2 2 1 ＋2
D
可以大于 0，所以“E＝F＝0 且 D<0”是“⊙C 与 y 轴相切于原点”的充分 不必要条件.
2020年高考数学(文科)一轮复习 第九单元 听课手册 第54讲几何概型
听课手册第54讲几何概型1.几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称.2.几何概型的两个基本特点(1)无限性:在一次试验中可能出现的结果;(2)等可能性:每个试验结果的发生具有.3.几何概型的概率公式P(A)=构成事件的区域长度 面积或体积.试验的全部结果所构成的区域长度 面积或体积4.随机模拟方法(1)概念:使用计算机或者其他方式进行的模拟试验,以便通过这个试验求出随机事件概率近似值的方法就是模拟方法.(2)随机模拟方法的基本步骤①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数,并赋予每个随机数一定的意义;②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N;③计算频率f n(A)=作为所求概率的近似值.题组一常识题1.[教材改编]在长为6 m的木棒AB上任取一点P,则点P到木棒两端点的距离都大于2 m 的概率是.2.[教材改编]如图9-54-1所示,有四个游戏盘,将它们水平放稳后,分别在上面扔一颗玻璃小球,若小球落在阴影部分,则可中奖.在B图中,中奖的概率为;要想得到最大中奖机会,应选择的游戏盘是.图9-54-1图9-54-23.[教材改编]为了测算如图9-54-2所示阴影部分的面积,作一个边长为6的正方形将其包含在内,并向正方形内随机投掷800个点,已知恰有200个点落在阴影部分,据此,可估计阴影部分的面积是.4.[教材改编]设不等式组表示的平面区域为D,在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率为.题组二常错题◆索引:易混淆几何概型与古典概型;几何概型的测度选择不正确.5.在区间[-2,4]上随机地取一个整数x,则x满足|x|≤2的概率为;在区间[-2,4]上随机地取一个实数x,则x满足|x|≤2的概率为.6.若正方形ABCD的边长为2,E为边上任意一点,则AE的长度大于的概率为.7.如图9-54-3所示,在Rt△ABC中,A=30°,过直角顶点C作射线CM交线段AB于点M,则AM>AC的概率为;在线段AB上任取一点M,则AM>AC的概率为.图9-54-3[总结反思] 用随机模拟方法估算不规则图形A的面积的一般步骤:(1)利用几何概型得到点落在A内的概率P=,利用随机模拟方法得到点落在A内的频率f=;(2)由频率估计概率得到≈,进而估算出不规则图形A的面积S A.变式题[2018·大连二模]关于圆周率π 数学发展史上出现过许多很有创意的求法.我们可以通过设计下面的试验来估计π的值,试验步骤如下:①先请高二年级500名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对(x,y)(0<x<1,0<y<1);②若卡片上的(x,y)能与1构成锐角三角形,则将此卡片上交;③统计上交的卡片数,记为m;④根据统计数m估计π的值.假如本次试验的统计结果是m=113,那么可以估计π的值约为 ()A.B.C.D.探究点二与长度、角度有关的几何概型例2 (1)[2018·山东实验中学月考]《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”图9-54-5问题:“今有池方一丈, 葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是:“有一水池一丈见方,池中心生有一棵类似芦苇的植物,露出水面一尺,若把它引向岸边,正好与岸边齐(如图9-54-5所示),问水有多深,该植物有多长?”其中一丈为十尺.若从该植物上随机取一点,则该点取自水下的概率为()A. B.C.D.(2)[2018·大连一模]已知半径为R的圆上有一定点A,在圆上等可能地任意取一点与点A 连接,则所得弦长小于R的概率为.[总结反思] 求与长度、角度有关的几何概型的概率的方法:(1)确认是否符合几何概型的特点;(2)分别求出全部事件Ω和所求事件对应的区域长度、角度;(3)利用几何概型概率计算公式正确计算概率.变式题(1)在长为8 cm的线段AB上任取一点C,作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积小于15 cm2的概率为()A. B. C. D.(2)[2018·合肥一模]某广播电台只在每小时的整点和半点开始播送新闻,时长均为5分钟,则一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台,能听到新闻的概率是()A. B.C.D.探究点三与面积有关的几何概型例3 (1)[2018·山东枣庄二模]七巧板图9-54-6是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图9-54-6是一个用七巧板拼成的正方形,在此正方形中任取一点,则此点取自阴影部分的概率是()A. B.C.D.(2)设点(a,b)为不等式组-表示的平面区域内的任意一点,则函数f(x)=ax2-2bx+3在区间上是增函数的概率为()A. B.C. D.[总结反思] 求与面积有关的几何概型的概率的常用处理方法:(1)判断是否为几何概型问题;(2)根据题意确定所求事件构成的区域图形,分别求出全部事件和所求事件对应的区域面积;(3)利用几何概型概率计算公式正确计算概率,需要注意计算的测度是否一致.图9-54-7变式题(1)[2018·湖南名校三联]已知以原点O为圆心,1为半径的圆以及函数y=x3的图像如图9-54-7所示,向圆内任意投掷一粒小米(视为质点),则该小米落入阴影部分的概率为()A.B.C.D.(2)某日,甲、乙两人随机选择早上6:00至7:00的某个时刻到达七星公园进行锻炼,则甲比乙提前到达超过20分钟的概率为()A. B. C. D.探究点四与体积有关的几何概型例4 如图9-54-8,图9-54-8正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,在正方体内随机取点M,则使四棱锥M-ABCD的体积小于的概率为.[总结反思] 对于与体积有关的几何概型问题,求解的关键是计算问题的总体积(总空间)以及构成事件的区域的体积(事件空间),对于某些较复杂的事件也可利用其对立事件去求解.变式题正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,AC1,BD1相交于O,在正方体内(含正方体表面)随机取一点M,则OM≤1的概率为()A. B. C. D.完成课时作业(五十四)。
2020版高考数学(文)新增分大一轮人教通用版平面解析几何第九章 9.2
§9.2 两条直线的位置关系1.两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (ⅱ)当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. ②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2， 则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2. (2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解. 2.几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离 |P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. 概念方法微思考1.若两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率有什么关系？提示 当两条直线l 1与l 2的斜率都存在时，1l k ·2l k ＝－1；当两条直线中一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，l 1与l 2也垂直.2.应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么？ 提示 (1)将方程化为最简的一般形式.(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两平行线方程中x ，y 的系数分别对应相等.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l2.( × )(2)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( √ )(3)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k 2.( × )(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( √ )(5)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k ，且线段AB 的中点在直线l 上.( √ ) 题组二 教材改编2.已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A. 2 B.2－ 2 C.2－1 D.2＋1 答案 C解析 由题意得|a －2＋3|1＋1＝1.解得a ＝－1＋2或a ＝－1－ 2. ∵a >0，∴a ＝－1＋ 2.3.已知P (－2，m )，Q (m,4)，且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0，则m ＝________. 答案 1解析 由题意知m －4－2－m ＝1，所以m －4＝－2－m ，所以m ＝1.4.若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________. 答案 －9解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.所以点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0， 即m ×1＋2×2＋5＝0，所以m ＝－9. 题组三 易错自纠5.直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m 等于( ) A.2 B.－3 C.2或－3 D.－2或－3答案 C解析 直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2，故m ＝2或－3.故选C.6.直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是______. 答案324解析 先将2x ＋2y ＋1＝0化为x ＋y ＋12＝0，则两平行线间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪2－122＝324.7.若直线(3a ＋2)x ＋(1－4a )y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则a ＝________. 答案 0或1解析 由两直线垂直的充要条件，得(3a ＋2)(5a －2)＋(1－4a )(a ＋4)＝0，解得a ＝0或a ＝1.题型一 两条直线的平行与垂直例1(2018·满洲里调研)已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. (1)试判断l 1与l 2是否平行； (2)当l 1⊥l 2时，求a 的值.解 (1)方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0， l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2； 当a ＝0时，l 1：y ＝－3， l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，l 1∥l 2⇔⎩⎨⎧－a 2＝11－a，－3≠－(a ＋1)，解得a ＝－1，综上可知，当a ＝－1时，l 1∥l 2，a ≠－1时，l 1与l 2不平行. 方法二 由A 1B 2－A 2B 1＝0，得a (a －1)－1×2＝0， 由A 1C 2－A 2C 1≠0， 得a (a 2－1)－1×6≠0，∴l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧a (a －1)－1×2＝0，a (a 2－1)－1×6≠0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a (a 2－1)≠6，可得a ＝－1，故当a ＝－1时，l 1∥l 2.当a ≠－1时，l 1与l 2不平行. (2)方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0， l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2， 故a ＝0不成立； 当a ≠1且a ≠0时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由⎝⎛⎭⎫－a 2·11－a ＝－1，得a ＝23. 方法二 由A 1A 2＋B 1B 2＝0，得a ＋2(a －1)＝0， 可得a ＝23.思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件. (2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.跟踪训练1 (1)已知直线l 1：x ＋2ay －1＝0，l 2：(a ＋1)x －ay ＝0，若l 1∥l 2，则实数a 的值为( ) A.－32B.0C.－32或0D.2答案 C解析 若a ≠0，则由l 1∥l 2⇒a ＋11＝－a 2a ，故2a ＋2＝－1，即a ＝－32；若a ＝0，l 1∥l 2，故选C.(2)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0垂直，则m 的值为( ) A.2或－3 B.2 C.－35D.35 答案 C解析 由l 1⊥l 2得2×m ＋(m ＋1)×3＝0， 整理得5m ＋3＝0.解得m ＝－35.题型二 两直线的交点与距离问题1.(2018·葫芦岛调研)若直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于M ，N 两点，且MN 的中点是P (1，－1)，则直线l 的斜率是( ) A.－23 B.23 C.－32 D.32答案 A解析 由题意，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)－1，分别与y ＝1，x －y －7＝0联立解得M ⎝⎛⎭⎫2k ＋1，1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫k －6k －1，－6k ＋1k －1.又因为MN 的中点是P (1，－1)，所以由中点坐标公式得k ＝－23. 2.若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( ) A.95 B.185 C.2910 D.295 答案 C解析 因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.3.已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫－16，12 解析 方法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k ＋1，y ＝－12x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k 2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1.(若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行)∴交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 2k ＋1，6k ＋12k ＋1. 又∵交点位于第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4k2k ＋1>0，6k ＋12k ＋1>0，解得－16<k <12.方法二 如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A (4,0)，B (0,2).而直线方程y ＝kx ＋2k ＋1可变形为y －1＝k (x ＋2)，表示这是一条过定点P (－2,1)，斜率为k 的动直线.∵两直线的交点在第一象限，∴两直线的交点必在线段AB 上(不包括端点)， ∴动直线的斜率k 需满足k P A <k <k PB . ∵k P A ＝－16，k PB ＝12.∴－16<k <12.4.已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，若在坐标平面内存在一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2，则P 点坐标为________________. 答案 ()1，－4或⎝⎛⎭⎫277，－87 解析 设点P 的坐标为(a ，b ). ∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2). 而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3， 即x －y －5＝0.∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上，∴a －b －5＝0. ① 又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， ∴|4a ＋3b －2|42＋32＝2，即4a ＋3b －2＝±10， ②由①②联立解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4或⎩⎨⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87. 思维升华 (1)求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.(2)利用距离公式应注意：①点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数化为相等.题型三 对称问题命题点1 点关于点中心对称例2 过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________. 答案 x ＋4y －4＝0解析 设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 命题点2 点关于直线对称例3 如图，已知A (4,0)，B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A.3 3B.6C.210D.2 5答案 C解析 直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2,0)关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0)，则光线经过的路程为|CD |＝62＋22＝210.命题点3 直线关于直线的对称问题例4 直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是______________. 答案 x －2y ＋3＝0解析 设所求直线上任意一点P (x ，y )， 则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由⎩⎨⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－(y －y 0)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0， 即x －2y ＋3＝0.思维升华 解决对称问题的方法 (1)中心对称①点P (x ，y )关于Q (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决. (2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有⎩⎨⎧n －bm －a ×⎝⎛⎭⎫－AB ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决. 跟踪训练2 已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求： (1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程； (3)直线l 关于(1,2)的对称直线.解 (1)设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)，∵k PP ′·k l ＝－1，即y ′－yx ′－x ×3＝－1.①又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上， ∴3×x ′＋x 2－y ′＋y 2＋3＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－4x ＋3y －95，③y ′＝3x ＋4y ＋35. ④把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7， ∴点P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7). (2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ， 得关于l 对称的直线方程为 －4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0， 化简得7x ＋y ＋22＝0.(3)在直线l ：3x －y ＋3＝0上取点M (0,3)， 关于(1,2)的对称点M ′(x ′，y ′)，∴x ′＋02＝1，x ′＝2，y ′＋32＝2，y ′＝1，∴M ′(2,1). l 关于(1,2)的对称直线平行于l ，∴k ＝3， ∴对称直线方程为y －1＝3×(x －2)， 即3x －y －5＝0.妙用直线系求直线方程在求解直线方程的题目中，可采用设直线系方程的方式简化运算，常见的直线系有平行直线系，垂直直线系和过直线交点的直线系. 一、平行直线系例1 求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l 的方程. 解 由题意，设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0(c ≠1)， 又因为直线过点(1,2)，所以3×1＋4×2＋c ＝0，解得c ＝－11. 因此，所求直线方程为3x ＋4y －11＝0. 二、垂直直线系例2 求经过A (2,1)，且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程. 解 因为所求直线与直线2x ＋y －10＝0垂直， 所以设该直线方程为x －2y ＋C ＝0， 又直线过点A (2,1)，所以有2－2×1＋C ＝0，解得C ＝0， 即所求直线方程为x －2y ＝0. 三、过直线交点的直线系例3 求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程.解 方法一 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得P (0,2).∵l 3的斜率为34，且l ⊥l 3，∴直线l 的斜率为－43，由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2，即4x ＋3y －6＝0.方法二 设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0， 即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0.又∵l ⊥l 3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0， 解得λ＝11.∴直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.1.直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( ) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.不能确定答案 C解析 直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2，直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率k 2＝－12，则k 1≠k 2，且k 1k 2≠－1. 故选C.2.已知直线l 1：x ＋my ＋7＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0互相平行，则实数m 等于( ) A.－1或3 B.－1 C.－3 D.1或－3 答案 A解析 当m ＝0时，显然不符合题意； 当m ≠0时，由题意得，m －21＝3m ≠2m7，解得m ＝－1或m ＝3，故选A.3.已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( ) A.－10 B.－2 C.0 D.8 答案 A解析 因为l 1∥l 2，所以k AB ＝4－mm ＋2＝－2.解得m ＝－8.又因为l 2⊥l 3，所以－1n ×(－2)＝－1，解得n ＝－2，所以m ＋n ＝－10.4.过点M (－3,2)，且与直线x ＋2y －9＝0平行的直线方程是( )A.2x －y ＋8＝0B.x －2y ＋7＝0C.x ＋2y ＋4＝0D.x ＋2y －1＝0答案 D解析 方法一 因为直线x ＋2y －9＝0的斜率为－12，所以与直线x ＋2y －9＝0平行的直线的斜率为－12，又所求直线过M (－3,2)，所以所求直线的点斜式方程为y －2＝－12(x ＋3)，化为一般式得x ＋2y －1＝0.故选D.方法二 由题意，设所求直线方程为x ＋2y ＋c ＝0，将M (－3，2)代入，解得c ＝－1，所以所求直线为x ＋2y －1＝0.故选D.5. (2018·盘锦模拟)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为( ) A.423B.4 2C.823D.2 2答案 C解析 ∵l 1∥l 2，∴a ≠2且a ≠0， ∴1a －2＝a 3≠62a ，解得a ＝－1， ∴l 1与l 2的方程分别为l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，∴l 1与l 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪6－232＝823.6.已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为( ) A.12 B.－12C.2D.－2答案 A解析 直线y ＝2x ＋3与y ＝－x 的交点为A (－1,1)，而直线y ＝2x ＋3上的点(0,3)关于y ＝－x的对称点为B (－3，0)，而A ，B 两点都在l 2上，所以2l k ＝1－0－1－(－3)＝12.7.已知直线l 1：ax ＋y －1＝0，直线l 2：x －y －3＝0，若直线l 1的倾斜角为π4，则a ＝______；若l 1⊥l 2，则a ＝______；若l 1∥l 2，则两平行直线间的距离为________. 答案 －1 1 2 2解析 若直线l 1的倾斜角为π4，则－a ＝k ＝tan π4＝1，故a ＝－1；若l 1⊥l 2，则a ×1＋1×(－1)＝0，故a ＝1；若l 1∥l 2，则a ＝－1，l 1：x －y ＋1＝0，两平行直线间的距离d ＝|1－(－3)|1＋1＝2 2.8.将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝____. 答案345解析 由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎨⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345.9.直线l 1：y ＝2x ＋3关于直线l ：y ＝x ＋1对称的直线l 2的方程为______________. 答案 x －2y ＝0解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝x ＋1，解得直线l 1与l 的交点坐标为(－2，－1)， 所以可设直线l 2的方程为y ＋1＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k －1＝0.在直线l 上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l 1，l 2的距离相等，由点到直线的距离公式得|k －2＋2k －1|k 2＋1＝|2－2＋3|22＋1，解得k ＝12(k ＝2舍去)，所以直线l 2的方程为x －2y ＝0.10.已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为______________. 答案 6x －y －6＝0解析 设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎨⎧b －4a －(－3)·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)， 所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.11.已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2,2).(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于4 2.(1)解 显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线. ∵方程可变形为2x －y －6＋λ(x －y －4)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －6＝0，x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，故直线经过的定点为M (2，－2).(2)证明 过P 作直线的垂线段PQ ，由垂线段小于斜线段知|PQ |≤|PM |，当且仅当Q 与M 重合时，|PQ |＝|PM |，此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0， ∴M 与Q 不可能重合，而|PM |＝42， ∴|PQ |<42，故所证成立.12.已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a >0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510.(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5.若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由. 解 (1)直线l 2：2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪a －⎝⎛⎭⎫－1222＋(－1)2＝7510， 所以⎪⎪⎪⎪a ＋125＝7510，即⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72， 又a >0，解得a ＝3.(2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0).若P 点满足条件②，则P 点在与l 1，l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12⎪⎪⎪⎪c ＋125，即c ＝132或116，所以2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0；若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式， 有|2x 0－y 0＋3|5＝25|x 0＋y 0－1|2， 即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， 所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0；由于点P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能.联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12，(舍去) 联立方程2x 0－y 0＋116＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝19，y 0＝3718.所以存在点P ⎝⎛⎭⎫19，3718同时满足三个条件.13.已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4，2)，(3,1)，则点C 的坐标为( ) A.(－2,4) B.(－2，－4) C.(2,4) D.(2，－4)答案 C解析 设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎨⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，∴BC 所在直线方程为y －1＝－2－14－3(x －3)，即3x ＋y －10＝0.同理可得点B (3,1)关于直线y ＝2x 的对称点为(－1,3)， ∴AC 所在直线方程为y －2＝3－2－1－(－4)(x ＋4)，即x －3y ＋10＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y －10＝0，x －3y ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，则C (2,4).故选C.14. (2018·赤峰质检)若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋ny ＋5＝0相交于同一点，则点(m ，n )到原点的距离的最小值为( ) A. 5 B. 6 C.2 3 D.2 5 答案 A解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，解得x ＝1，y ＝2.把(1,2)代入mx ＋ny ＋5＝0可得，m ＋2n ＋5＝0. ∴m ＝－5－2n .∴点(m ，n )到原点的距离 d ＝m 2＋n 2＝(5＋2n )2＋n 2＝5(n ＋2)2＋5≥5，当n ＝－2，m ＝－1时取等号.∴点(m ，n )到原点的距离的最小值为 5.15.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC 的顶点A (1,0)，B (0,2)，且AC ＝BC ，则△ABC 的欧拉线的方程为( ) A.4x ＋2y ＋3＝0 B.2x －4y ＋3＝0 C.x －2y ＋3＝0 D.2x －y ＋3＝0答案 B解析 因为AC ＝BC ，所以欧拉线为AB 的中垂线， 又A (1，0)，B (0,2)，故AB 的中点为⎝⎛⎭⎫12，1，k AB ＝－2， 故AB 的中垂线方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎫x －12，即2x －4y ＋3＝0.16.在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，又与直线l 重合.若直线l 与直线l 1关于点(2,4)对称，求直线l 的方程. 解 由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1：y ＝k (x －3)＋5＋b ，将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为y ＝k (x －3－1)＋b ＋5－2，即y ＝kx ＋3－4k ＋b ，∴b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34，∴直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，直线l 1为y ＝34x ＋114＋b ，取直线l 上的一点P ⎝⎛⎭⎫m ，b ＋3m 4，则点P 关于点(2,4)的对称点为⎝⎛⎭⎫4－m ，8－b －3m 4，∴8－b －3m 4＝34(4－m )＋b ＋114，解得b ＝98.∴直线l 的方程是y ＝34x ＋98，即6x －8y ＋9＝0.。
2022届高考数学(文)大一轮复习检测：第九章第3讲几何概型 Word版含答案
第3讲 几何概型,[同学用书P179])1．几何概型假如每个大事发生的概率只与构成该大事区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的概率公式P (A )＝构成大事A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）1．辨明两个易误点(1)几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在大事之内不影响所求结果．(2)易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是基本大事的发生是等可能的，不同之处是几何概型中基本大事的个数是无限的，古典概型中基本大事的个数是有限的．2．会解三种常见的几何概型(1)与长度有关的几何概型，其基本大事只与一个连续的变量有关；(2)与面积有关的几何概型，其基本大事与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本大事就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题．(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．1. 教材习题改编 如图，转盘的指针落在A 区域的概率为( )A ．16B ．19C ．112D ．118[答案] C2.教材习题改编 一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，则某人到达路口时观察的是红灯的概率是( )A ．15B ．25C ．35D ．45B [解析] P ＝3030＋5＋40＝25，故选B.3.教材习题改编 如图，在一边长为2的正方形ABCD 内有一曲线L 围成的不规章图形．往正方形内随机撒一把豆子(共m 颗)．落在曲线L 围成的区域内的豆子有n 颗(n <m )，则L 围成的区域面积(阴影部分)为( )A ．2nmB ．4n mC ．n 2mD ．n 4mB [解析]S 阴影S 正方形＝落在L 围成的区域的豆子数n 落在正方形中的豆子数m，所以S 阴影＝n m ×22＝4nm.4.教材习题改编 如图，圆中有一内接等腰三角形．假设你在图中随机投掷一点，则它落在阴影部分的概率为________．[解析] 设圆的半径为R ，由题意知圆内接三角形为等腰直角三角形，其直角边长为2R ， 则所求大事的概率为P ＝S 阴S 圆＝12×2R ×2R πR 2＝1π.[答案]1π5．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M -ABCD 的体积小于16的概率为________．[解析] 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设M -ABCD 的高为h ，则13×S 四边形ABCD ×h ＝16.又S 四边形ABCD ＝1，所以h ＝12.若体积小于16，则h <12，即点M 在正方体的下半部分，所以P ＝12V正方体V 正方体＝12.[答案] 12与长度、角度有关的几何概型[同学用书P180][典例引领](1)(2022·高考全国卷乙)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A ．13B ．12C ．23D ．34(2)(2021·烟台模拟)在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个数x ，则cos x 的值介于0到12之间的概率为________．(3)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，则BM <1的概率为________．【解析】 (1)由题意得图：由图得等车时间不超过10分钟的概率为12.(2)当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤12，得－π2≤x ≤－π3或π3≤x ≤π2，依据几何概型概率公式得所求概率为13.(3)由于∠B ＝60°，∠C ＝45°， 所以∠BAC ＝75°.在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°， 所以BD ＝ADtan 60°＝1，∠BAD ＝30°.记大事N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时大事N 发生． 由几何概型的概率公式，得： P (N )＝30°75°＝25.【答案】 (1)B (2)13 (3)251.本例(2)中，若将“cos x 的值介于0到12”改为“cos x 的值介于0到32”，则概率如何？[解] 当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤32， 得－π2≤x ≤－π6或π6≤x ≤π2，依据几何概型概率公式得所求概率为23.2.本例(3)中，若将“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ”改为“在线段BC 上找一点M ”，则BM <1的概率是多少？[解] 依题意知BC ＝BD ＋DC ＝1＋3，P (BM <1)＝11＋3＝3－12.与长度、角度有关的几何概型的求法解答关于长度、角度的几何概型问题，只要将全部基本大事及大事A 包含的基本大事转化为相应长度或角度，即可利用几何概型的概率计算公式求解．要特殊留意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建大事的区域(长度或角度)．[通关练习]1．在区间[0，2]上随机地取出一个数x ，则大事“－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为( ) A ．34B ．23C ．13D ．14A [解析] 不等式－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1可化为log 122≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤log 1212，即12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32，故由几何概型的概率公式得P ＝32－02－0＝34.2．如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．[解析] 如题图，由于射线OA 在坐标系内是等可能分布的，则OA 落在∠yOT 内的概率为60360＝16.[答案] 16与面积有关的几何概型(高频考点)[同学用书P181]与面积有关的几何概型是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，多为简洁题或中档题． 高考对与面积有关的几何概型的考查主要有以下两个命题角度： (1)与平面图形面积有关的几何概型； (2)与线性规划学问交汇命题的几何概型． [典例引领](1)(2022·高考全国卷甲)从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A ．4nmB ．2nmC ．4mnD ．2m n(2)(2021·湖北华师附中联考)在区间[0，4]上随机取两个实数x ，y ，使得x ＋2y ≤8的概率为( )A ．14B ．316C ．916D ．34【解析】 (1)设由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x n ≤10≤y n ≤1构成的正方形的面积为S ，x 2n ＋y 2n ＜1构成的图形的面积为S ′，所以S ′S ＝14π1＝m n ，所以π＝4mn，故选C. (2) (x ，y )构成的区域是边长为4的正方形及其内部，其中满足x ＋2y ≤8的区域为如图所示的阴影部分，易知A (4，2)，所以P ＝12×（2＋4）×44×4＝34.选D.【答案】 (1)C (2)D与面积有关的几何概型的求法求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某大事对应的面积以求面积，必要时可依据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．[题点通关]角度一 与平面图形面积有关的几何概型1. 如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分)．现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为( )A ．4π－1B ．1πC ．1－1πD ．2πA [解析] 顺次连接星形的四个顶点，则星形区域的面积等于(2)2－4⎝⎛⎭⎫14×π×12－12×12＝4－π，又由于圆的面积等于π×12＝π，因此所求的概率等于4－ππ＝4π－1. 角度二 与线性规划学问交汇命题的几何概型2．在区间[0，1]上任取两个数a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 2无零点的概率为________． [解析] 要使该函数无零点，只需a 2－4b 2<0，即(a ＋2b )(a －2b )<0.由于a ，b ∈[0，1]，a ＋2b >0，所以a －2b <0.作出⎩⎨⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，a －2b <0的可行域(如图阴影部分所示)，易得该函数无零点的概率P ＝1－12×1×121×1＝34.[答案] 34与体积有关的几何概型[同学用书P181][典例引领](1)在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．(2)(2021·黑龙江五校联考)在体积为V 的三棱锥S －ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S －APC 的体积大于V3的概率是________．【解析】 (1)正方体的体积为：2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：12×43πr 3＝12×43π×13＝23π，则点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－23π8＝1－π12. (2)由题意可知V S －APC V S －ABC >13，三棱锥S －ABC 的高与三棱锥S －APC 的高相同．作PM ⊥AC 于M ，BN ⊥AC 于N ，则PM ，BN 分别为△APC 与△ABC 的高，所以V S －APC V S －ABC ＝S △APC S △ABC ＝PM BN >13，又PM BN ＝AP AB ，所以AP AB >13，故所求的概率为23(即为长度之比)．【答案】 (1)1－π12 (2)23与体积有关的几何概型的求法对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及大事的体积(大事空间)，对于某些较简单的也可利用其对立大事求解．(2021·长春其次次调研) 如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，H 分别是棱A 1B 1，D 1C 1上的点(点E 与B 1不重合)，且EH ∥A 1D 1，过EH 的平面与棱BB 1，CC 1相交，交点分别为F ，G .设AB ＝2AA 1＝2a ，EF ＝a ，B 1E ＝2B 1F .在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机选取一点，则该点取自于几何体A 1ABFE -D 1DCGH 内的概率为________．[解析] 由于EH ∥A 1D 1，所以EH ∥B 1C 1，所以EH ∥平面BCC 1B 1.过EH 的平面与平面BCC 1B 1交于FG ，则EH ∥FG ，所以易证明几何体A 1ABFE -D 1DCGH 和EB 1F -HC 1G 分别是等高的五棱柱和三棱柱，由几何概型可知，所求概率为：P ＝1－V 三棱柱V 长方体＝1－S △EB 1F S 矩形ABB 1A 1＝1－12×55a ×255a 2a 2＝910.[答案]910,[同学用书P182])——转化与化归思想在几何概型中的应用某校早上8：00开头上课，假设该校同学小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为__________．(用数字作答)【解析】 设小王到校时间为x ，小张到校时间为y ，则小张比小王至少早到5分钟时满足x －y ≥5.如图，原点O 表示7：30，在平面直角坐标系中画出小王和小张到校的时间构成的平面区域(图中正方形区域)，该正方形区域的面积为400，小张比小王至少早到5分钟对应的图形(图中阴影部分)的面积为12×15×15＝2252，故所求概率为P ＝2252400＝932.【答案】932本题通过设置小张、小王两人到校的时间这两个变量x ，y ，将已知转化为x ，y 所满足的不等式，进而转化为坐标平面内的点(x ，y )的相关约束条件，从而把时间这个长度问题转化为平面图形的二维面积问题，进而转化为面积型的几何概型问题求解．若题中涉及三个相互独立的变量，则需将其转化为空间几何体的体积问题加以求解．甲、乙两位同学商定周日上午在某电影院旁见面，并商定先到达者等10分钟后另一人还没有到就离开．假如甲是8：30到达，假设乙在8：00～9：00之间到达，且乙在8：00～9：00之间何时到达是等可能的，则两人见面的概率是( )A ．16B ．14C ．13D ．12C [解析] 由题意知，若以8：00为起点，则乙在8：00～9：00之间到达这一大事对应的集合是Ω＝{x |0<x <60}，而满足条件的大事对应的集合是A ＝{x |20≤x ≤40}，所以两人见面的概率是40－2060－0＝13., [同学用书P349(独立成册)])1．设p 在[0，5]上随机地取值，则关于x 的方程x 2＋px ＋1＝0有实数根的概率为( ) A ．15B ．25C ．35D ．45C [解析] 方程x 2＋px ＋1＝0有实根，则Δ＝p 2－4≥0，解得p ≥2或p ≤－2(舍去)．由几何概型的概率计算公式可知所求的概率为5－25－0＝35.2．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )A ．16B ．13C ．23D ．45C [解析] 设AC ＝x ，则CB ＝12－x ，所以x (12－x )<32，解得x <4或x >8. 所以P ＝4＋412＝23.3．已知ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A ．π4B ．1－π4C ．π8D ．1－π8B [解析] 如图，依题意可知所求概率为图中阴影部分与长方形的面积比，即所求概率P ＝S 阴影S 长方形ABCD＝2－π22＝1－π4.4. 如图所示，A 是圆上肯定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为( )A ．12B ．32C ．13D ．14C [解析] 当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′＝π3，A ′点在A 点左右都可取得，故由几何概型的概率计算公式得P ＝2π32π＝13，故选C.5．(2021·商丘模拟)已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A ．14B ．13C ．12D ．23C [解析] 如图所示，设点M 是BC 边的中点，由于PB →＋PC →＋2P A →＝0，所以点P 是中线AM 的中点，所以黄豆落在△PBC 内的概率P ＝S △PBC S △ABC ＝12，故选C.6．任取实数a 、b ∈[－1，1]，则a 、b 满足|a －2b |≤2的概率为( ) A ．18B ．14C ．34D ．78D [解析] 建立如图所示的坐标系，由于|a －2b |≤2，所以－2≤a －2b ≤2表示的平面区域为图中阴影部分，所以|a －2b |≤2的概率为S 阴影S 正方形＝78.7. 如图，在一不规章区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1 000 颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375颗，以此试验数据为依据，可以估量出该不规章图形的面积为________平方米．[解析] 设该不规章图形的面积为x 平方米，向区域内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375，所以依据几何概型的概率计算公式可知3751 000＝1x ，解得x ＝83.[答案] 838．已知函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5，5]，若从区间[－5，5]内随机抽取一个实数x 0，则所取的x 0满足f (x 0)≤0的概率为________．[解析] 令x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2，由几何概型的概率计算公式得P ＝2－（－1）5－（－5）＝310＝0.3.[答案] 0.39．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A －A 1BD 内的概率为________．[解析] 设大事M ＝“动点在三棱锥A －A 1BD 内”， 则P (M )＝V 三棱锥A －A 1BDV 长方体ABCD －A 1B 1C 1D1＝V 三棱锥A 1－ABDV 长方体ABCD －A 1B 1C 1D1＝13AA 1·S △ABD V 长方体ABCD －A 1B 1C 1D1＝13AA 1·12S 矩形ABCD AA 1·S 矩形ABCD＝16.[答案] 1610．(2021·郑州模拟)若不等式x 2＋y 2≤2所表示的平面区域为M ，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，y ≥2x －6表示的平面区域为N ，现随机向区域N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域M 内的概率为________．[解析] 作出不等式组与不等式表示的可行域如图所示，平面区域N 的面积为12×3×(6＋2)＝12，区域M在区域N 内的面积为14π(2)2＝π2，故所求概率P ＝π212＝π24.[答案]π2411. 如图所示，圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(1)已知点A 的坐标为(2，0)，B 为圆周上任意一点，求AB ︵的长度小于π的概率； (2)若N (x ，y )为圆O 内任意一点，求点N 到原点的距离大于2的概率． [解] (1)圆O 的周长为4π，所以AB ︵的长度小于π的概率为2π4π＝12.(2)记大事M 为N 到原点的距离大于2，则Ω(M )＝{(x ，y )|x 2＋y 2>2}，Ω＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}，所以P (M )＝4π－2π4π＝12.12．(2021·广东七校联考) 如图，已知圆的半径为10，其内接三角形ABC 的内角A ，B 分别为60°和45°，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形ABC 内的概率为( )A ．3＋316πB ．3＋34πC ．4π3＋3D ．16π3＋3B [解析] 由正弦定理BC sin A ＝ACsin B＝2R (R 为圆的半径)⇒⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝20sin 60°，AC ＝20sin 45°⇒⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝103，AC ＝10 2.那么S △ABC ＝12×103×102sin 75°＝12×103×102×6＋24＝25(3＋3)． 于是，豆子落在三角形ABC 内的概率为S △ABC 圆的面积＝25（3＋3）102π＝3＋34π. 13．已知集合A ＝[－2，2]，B ＝[－1，1]，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )．(1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1内的概率；(2)求以(x ，y )为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于22的概率． [解] (1)集合M 内的点形成的区域面积S ＝8.由于x 2＋y 2＝1的面积S 1＝π， 故所求概率为P 1＝S 1S ＝π8.(2)由题意|x ＋y |2≤22，即－1≤x ＋y ≤1，形成的区域如图中阴影部分所示，面积S 2＝4，故所求概率为P 2＝S 2S ＝12.14．已知袋子中放有大小和外形相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12.(1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，其次次取出的小球标号为b . ①记“a ＋b ＝2”为大事A ，求大事A 的概率；②在区间[0，2]内任取2个实数x ，y ，求大事“x 2＋y 2>(a －b )2恒成立”的概率．[解] (1)依题意n n ＋2＝12，得n ＝2.(2)①记标号为0的小球为s ，标号为1的小球为t ，标号为2的小球为k ，h ，则取出2个小球的可能状况有：(s ，t )，(s ，k )，(s ，h )，(t ，s )，(t ，k )，(t ，h )，(k ，s )，(k ，t )，(k ，h )，(h ，s )，(h ，t )，(h ，k )，共12种，其中满足“a ＋b ＝2”的有4种：(s ，k )，(s ，h )，(k ，s )，(h ，s )．所以所求概率为P (A )＝412＝13.②记“x 2＋y 2>(a －b )2恒成立”为大事B ，则大事B 等价于“x 2＋y 2>4恒成立”，(x ，y )可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤2，0≤y ≤2，x ，y ∈R }，而大事B 构成的区域为B＝{(x ，y )|x 2＋y 2>4，(x ，y )∈Ω}．所以所求的概率为P (B )＝1－π4.。
2020高考数学大一轮复习 第九章 概率 第3节 几何概型课件 文 新人教A版
第三节 几何概型
概型的意义．
1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． 2.了解几何
栏 目 导 航
01 课前回扣·双基落实 02 课堂互动·考点突破
01 课前回扣·双基落实
1．几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的__长__度__(_面__积__或__体__积__)___成比 例，与区域的形状，位置无关，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概 型．
(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率． (6)从(5)区与间面[积1,1有0]关内的任几取何一概个型数的，概取率到与1几的何概图率形是的P形＝状19. 有关．
(×) (( × ))
VS
题组二 教材改编⇔最新模拟
2．(P137 思考改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于 1 的概率为
A．12
B．13
C．14
D．1
(B )
解析 坐标小于 1 的区间为[0,1)，长度为 1，[0,3]的区间长度为 3，故所求概率 为13.
3．(P140T5改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小 球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是
A ()
解析 ∵P(A)＝38，P(B)＝28，P(C)＝26，P(D)＝13，∴P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．
4．(2019·山东临沂月考)有一杯1 L的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从
这杯水中取出0.1 L，则小杯水中含有这个细菌的概率为
(B)
A．0
B．0.1
C．0.01
D．1
解析 小杯水含有这个细菌的概率为 P＝01.1＝0.1.
2020版高考数学(文)新增分大一轮人教通用版平面解析几何第九章 9.7
1
2
3
4
5
6
7
题组三 易错自纠
5.设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是 A.4 B.6 √ C.8 D.12 解析 如图所示， 抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点， 过点P作PA⊥y轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B，则|AB|＝2. 由于点P到y轴的距离为4， 则点P到准线l的距离|PB|＝4＋2＝6，
所以点P到焦点的距离|PF|＝|PB|＝6.
故选B.
1 2 3 4 5 6 7
6.已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线 C的方程是
A.y2＝± 2 2x
解析
B.y2＝± 2x
C.y2＝± 4x
√
D.y2＝± 4 2x
由已知可知双曲线的焦点为(－ 2，0)，( 2，0).
2
√
D.y2＝3x
师生共研
题型二
抛物线的几何性质
例3
(1)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原
点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为
2 A. 2 B. 2
√
3 2 C. 2
D.2 2
1 2 (2)过点P(－2,0)的直线与抛物线C：y ＝4x相交于A，B两点，且|PA|＝ |AB|，
大一轮复习讲义
第九章 平面解析几何
§9.7 抛物线
内容索引
NEIRONGSUOYIN
基础知识
题型分类 课时作业
自主学习
深度剖析
PART ONE
1
基础知识 自主学习
知识梳理
ZHISHISHULI
1.抛物线的概念 相等 的点的轨迹叫做 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离_____ 焦点 ，直线l叫做抛物线的_____. 准线 抛物线.点F叫做抛物线的_____
2020版高考数学大一轮复习 第九章 概率 第52讲 几何概型课时达标 文(含解析)新人教A版
第52讲几何概型课时达标一、选择题1．在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为( )A.45B.35C.25D.15B解析区间[－2,3]的长度为3－(－2)＝5，[－2,1]的长度为1－(－2)＝3，故满足条件的概率P＝35.2．设p在[0,5]上随机地取值，则关于x的方程x2＋px＋1＝0有实数根的概率为( ) A.15B.25C.35D.45C解析方程有实根，则Δ＝p2－4≥0，解得p≥2或p≤－2(舍去)．所以所求概率为5－25－0＝35.3．在区间[0,2π]上任取一个数x，则使得2sin x>1的概率为( )A.16B.14C.13D.23C解析因为2sin x>1，x∈[0,2π]，所以x∈⎝⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以P＝5π6－π62π＝13.故选C.4．中国人民银行发行了2018中国戊戌(狗)年金银纪念币一套，如图所示是一枚3克圆形金质纪念币，直径为18 mm，小米同学为了测算图中装饰狗的面积，他用1枚针向纪念币上投掷500次，其中针尖恰有150次落在装饰狗的身体上，据此可估计装饰狗的面积大约是( )A.486π5mm2 B.243π10mm2C.243π5mm2D.243π20mm2B解析设装饰狗的面积为S mm2.由题意得Sπ×⎝⎛⎭⎪⎫1822＝150500，所以S＝243π10mm2.故选B.5．(2019·阳泉一中期中)已知直线y＝3－x与两坐标轴所围成的区域为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y≤3－x，x≥0，y≥2x所围成的区域为Ω2，现在区域Ω1中随机放置一点，则该点落在区域Ω2内的概率是( )A.14B.13C.12D.23B解析在平面直角坐标系中，做出区域Ω1，如图中△OAB所示，其面积为12×3×3＝92.作出区域Ω2，如图中△OBC所示，联立⎩⎪⎨⎪⎧y＝3－x，y＝2x，得C(1,2)，所以区域Ω2的面积为12×3×1＝32，故所求概率P＝3292＝13.6．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADF －BCE内自由飞翔，则它飞入几何体F－AMCD内的概率为( )A.14B.38C.12D.58C 解析 由题图可知V F －AMCD ＝13×S梯形AMCD×DF ＝14a 3，V ADF －BCE ＝12a 3，所以它飞入几何体F－AMCD 内的概率为14a 312a 3＝12.二、填空题7．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取一点M ，则使四棱锥M －ABCD 的体积小于16的概率为________．解析 当V M －ABCD ＝16时，即13×1×1×h ＝16，解得h ＝12，则点M 到底面ABCD 的距离小于12，所以所求概率P ＝1×1×121×1×1＝12.答案 128．(2019·福州三中月考)已知线段AC ＝16 cm ，先截取AB ＝4 cm 作为长方体的高，再将线段BC 任意分成两段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过128 cm 3的概率为________．解析 依题意，设长方体的长为x cm ，则相应的宽为(12－x )cm ，由4x (12－x )＞128，得x 2－12x ＋32＜0，解得4＜x ＜8，因此所求的概率为8－412＝13. 答案 139．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中任取一点M ，则满足∠AMB ＞90°的概率为________．解析 在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中任取一点M ，满足∠AMB ＞90°的区域的体积是半径为1的球的14，体积为14×43×π×13＝π3，所以所求概率为π3 8 ＝π24.答案 π24三、解答题10．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计)即为中奖．乙商场：从装有3个白球、3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？解析 如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘，面积为πR 2(R 为圆盘的半径)，阴影区域的面积为4×15πR 2360＝πR 26.所以在甲商场中奖的概率为P 1＝πR26 πR 2＝16.如果顾客去乙商场，记盒子中3个白球为a 1，a 2，a 3,3个红球为b 1，b 2，b 3，记(x ，y )为一次摸球的结果，则一切可能的结果有(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3 )，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 3，b 3 )，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，共15种，摸到的2个球都是红球有(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)共3个，所以在乙商场中奖的概率为P 2＝315＝15，又P 1<P 2，所以顾客在乙商场中奖的可能性大．11．设事件A 表示“关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b 2＝0有实根”，其中a ，b 为实常数．(1)若a 为区间[0,5]上的整数值随机数，b 为区间[0,2]上的整数值随机数，求事件A 发生的概率；(2)若a 为区间[0,5]上的均匀随机数，b 为区间[0,2]上的均匀随机数，求事件A 发生的概率．解析 (1)当a ∈{0,1,2,3,4,5}，b ∈{0,1,2}时，共可以产生6×3＝18个一元二次方程．若事件A 发生，则a 2－4b 2≥0，即|a |≥2|b |.又a ≥0，b ≥0，所以a ≥2b .从而数对(a ，b )的取值为(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(5,0)，(5,1)，(5,2)，共12组值，所以P (A )＝1218＝23.(2)据题意，试验的全部结果所构成的区域为D ＝{(a ，b )|0≤a ≤5,0≤b ≤2}，构成事件A 的区域B ＝{(a ，b )|0≤a ≤5,0≤b ≤2，a ≥2b }．在平面直角坐标系中画出区域B ，D ，如图．其中区域D 为矩形，其面积S (D )＝5×2＝10，区域B 为直角梯形，其面积S (B )＝1＋52×2＝6.所以P (A )＝S B S D ＝610＝35.12．已知袋子中放有大小和形状相同但颜色互异的小球若干，其标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12.(1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b .①记“2≤a ＋b ≤3”为事件A ，求事件A 的概率；②在区间[0,2]内任取2个实数x ，y ，求事件“x 2＋y 2>(a －b )2恒成立”的概率． 解析 (1)由题意共有小球n ＋2个，标号为2的小球n 个．从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是nn ＋2＝12，解得n ＝2. (2)①从袋子中不放回地随机抽取2个球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b ，则取出2个小球的可能情况共有12种结果，令满足“2≤a ＋b ≤3”为事件A ，则事件A 共有8种结果，故P (A )＝812＝23.②由①可知(a －b )2≤4，故x 2＋y 2>4，(x ，y )可以看成平面中点的坐标，则全部结果构成的区域Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤2,0≤y ≤2，x ，y ∈R }，由几何概型可得概率为P ＝4－14π·224＝1－π4.13．[选做题](2019·绍兴中学月考)在底和高等长度的锐角三角形中有一个内接矩形ABCD ，矩形的一边BC 在三角形的底边上，如图，在三角形内任取一点，则该点取自矩形内的最大概率为________．解析 设AD ＝x ，AB ＝y ，则由三角形相似可得x a ＝a －ya，解得y ＝a －x ，所以矩形的面积S ＝xy ＝x (a －x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a －x 22＝a 24，当且仅当x ＝a －x ，即x ＝a 2时，S 取得最大值a 24，所以该点取自矩形内的最大概率为a 2412×a ×a ＝12.答案 12。
2020版高考数学大一轮复习第九章概率第52讲几何概型课件文新人教A版
了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法给出了勾股定理
的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直
角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若
直角三角形中较小的锐角α＝
π 6
，现在向该正方形区域内随机
地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率为( )
A．1－
3 2
4－ 3 C. 4
答案 A
等．( √ ) (4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立
体图形．( √ )
解析 (1)正确．由随机模拟方法及几何概型可知该说法正 确．
(2)错误．虽然环境相同，但是因为随机模拟得到的是某 一次的频率，所以结果不一定相等．
(3)正确．由几何概型的定义知该说法正确． (4)正确．由几何概型的定义知该说法正确．
【例1】 (1)(2017·江苏卷)记函数f(x)＝ 6＋x－x2的定义 域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是 __________．
(2)甲、乙两个人玩一转盘游戏(转盘如图①，C为弧AB的 中点)，任意转动转盘一次，指针指向圆弧AC时甲胜，指向圆 弧BC时乙胜．后来转盘损坏如图②，甲提议连接AD，取AD 中点E，若任意转动转盘一次，指针指向线段AE时甲胜，指 向线段ED时乙胜．然后继续游戏，你觉得此时游戏 __________(填公平或不公平)，因为P甲__________P乙(填 “<”“>”或“＝”)．
A.14
B.π8
1
π
C.2
D.4
(2)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在 早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻 到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为 __________(用数字作答)．
(新课标)2020年高考数学一轮总复习第九章概率9_3几何概型课件文新人教A版
D.1285
答案：C
(2)(2018·合肥质检)小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午5：00～6：00 之间送货上门．已知小李下班到家的时间在下午5：30～6：00之间，快递员到小 李家时，如果小李未到家，就将商品存放到快递柜中，则小李需要去快递柜收取 商品的概率等于________．
(2)因为f(2)＝6，所以22＋m＝6，解得m＝2.因为f(x)≥4，所以2x＋2≥4，所以
x≥1，而x∈[－3,3]，故根据几何概型的概率计算公式，得f(x)的值不小于4的概率
P＝26＝13.故选B .
(3)如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，所以OA落在∠yOT内的概
率为36600°°＝16.
2 n
＋y
2 n
<1构成的图形的面
1 积为S′，所以S′ S ＝41π＝mn ，所以π＝4nm，故选C.
(2)不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形＝4.
由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑＝S白＝
1 2
S圆＝
π
π2，所以由几何概型知，所求概率P＝SS正黑 方形＝24＝π8.
体 ABCD－A1B1C1D1 内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为
________．
[解析] (1)当点P到底面ABC的距离小于32时， 1
VP－ABC<2VS－ABC. 由几何概型知(如图所示)，
所求概率为 P＝1－123＝78. (2)V正＝23＝8，V半球＝12×43π×13＝23π.VV半正球＝82×π3＝1π2，∴P＝1－1π2. [答案] (1)A (2)1－1π2
[答案]
2020版高考数学(文)新增分大一轮人教通用版讲义：第九章 平面解析几何9.4 含解析
§9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系. d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离. (2)代数法：―――→判别式Δ＝b 2－4ac⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交；＝0⇔相切；<0⇔相离.2.圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)， 圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).方法 位置关系几何法：圆心距d 与r 1，r 2的关系代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况外离 d >r 1＋r 2 无解 外切 d ＝r 1＋r 2 一组实数解 相交 |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2 两组不同的实数解 内切 d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2) 一组实数解内含0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)无解概念方法微思考1.在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？提示 应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，切线为零条.2.用两圆的方程组成的方程组有一解或无解时能否准确判定两圆的位置关系？提示 不能，当两圆方程组成的方程组有一解时，两圆有外切和内切两种可能情况，当方程组无解时，两圆有相离和内含两种可能情况.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( × )(2)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.( × ) (3)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ )(4)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则O ，P ，A ，B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ )(5)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切.( √ ) 题组二 教材改编2.若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A.[－3，－1] B.[－1,3]C.[－3,1]D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 C解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2， ∴|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.3.圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离答案 B解析 两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17. ∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交.4.圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________. 答案 2 2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得两圆公共弦所在直线为x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为22＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，所以所求弦长为2 2. 题组三 易错自纠5.若直线l ：x －y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0恒有公共点，则m 的取值范围是( ) A.[－2，2] B.[－22，22] C.[－2－1，2－1] D.[－22－1,22－1] 答案 D解析 圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为(2,1)，半径为2，圆心到直线的距离d ＝|2－1＋m |2，若直线与圆恒有公共点，则|2－1＋m |2≤2， 解得－22－1≤m ≤22－1，故选D.6. (2018·鄂尔多斯模拟)设圆C 1，C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|等于( ) A.4 B.4 2 C.8 D.8 2 答案 C解析 因为圆C 1，C 2和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，所以两圆都在第一象限内，设圆心坐标为(a ，a )，则|a |＝(a －4)2＋(a －1)2， 解得a ＝5＋22或a ＝5－22，可取C 1(5＋22，5＋22)，C 2(5－22，5－22)， 故|C 1C 2|＝(42)2＋(42)2＝8，故选C.7.过点A (3,5)作圆O ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的切线，则切线的方程为__________. 答案 5x －12y ＋45＝0或x －3＝0解析 化圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0为标准方程得(x －1)2＋(y －2)2＝4，其圆心为(1,2)，∵|OA |＝(3－1)2＋(5－2)2＝13>2，∴点A (3,5)在圆外.显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x －3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y －5＝k (x －3)，即kx －y ＋5－3k ＝0.又圆心为(1,2)，半径r ＝2，而圆心到切线的距离d ＝|3－2k |k 2＋1＝2， 即|3－2k |＝2k 2＋1，∴k ＝512，故所求切线方程为5x －12y ＋45＝0或x －3＝0.题型一 直线与圆的位置关系命题点1 位置关系的判断例1 已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定答案 B解析 因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外， 所以a 2＋b 2>1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离 d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b 2＝1a 2＋b 2<1. 所以直线与圆相交. 命题点2 弦长问题例2 已知直线：12x －5y ＝3与圆x 2＋y 2－6x －8y ＋16＝0相交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 答案 4 2解析 把圆的方程化成标准方程为 (x －3)2＋(y －4)2＝9，所以圆心坐标为(3,4)，半径r ＝3， 所以圆心到直线12x －5y ＝3的距离 d ＝|12×3－5×4－3|122＋(－5)2＝1， 则|AB |＝2r 2－d 2＝4 2. 命题点3 切线问题例3 已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程. (1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行； (2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直； (3)过切点A (4，－1).解 (1)设切线方程为x ＋y ＋b ＝0， 则|1－2＋b |2＝10，∴b ＝1±25， ∴切线方程为x ＋y ＋1±25＝0. (2)设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0， 则|2－2＋m |5＝10，∴m ＝±52，∴切线方程为2x ＋y ±52＝0. (3)∵k AC ＝－2＋11－4＝13，∴过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，∴过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)， 即3x ＋y －11＝0.思维升华 (1)判断直线与圆的位置关系的常见方法 ①几何法：利用d 与r 的关系. ②代数法：联立方程之后利用Δ判断.③点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形. (3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题. 跟踪训练1 (1)圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为________. 答案 相交解析 直线2tx －y －2－2t ＝0恒过点(1，－2)， ∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0， ∴点(1，－2)在圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0内，直线2tx －y －2－2t ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0相交.(2)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________. 答案 2 2解析 设P (3,1)，圆心C (2,2)，则|PC |＝2，半径r ＝2，由题意知最短的弦过P (3,1)且与PC 垂直，所以最短弦长为222－(2)2＝2 2.(3)过点P (2,4)引圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为__________________. 答案 x ＝2或4x －3y ＋4＝0解析 当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d ＝|k －1＋4－2k |k 2＋(－1)2＝|3－k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，∴所求切线方程为43x －y ＋4－2×43＝0，即4x －3y ＋4＝0.综上，切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.题型二 圆与圆的位置关系命题点1 位置关系的判断例4 分别求当实数k 为何值时，两圆C 1：x 2＋y 2＋4x －6y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－2x －14y ＋k ＝0相交和相切.解 将两圆的一般方程化为标准方程，得C 1：(x ＋2)2＋(y －3)2＝1，C 2：(x －1)2＋(y －7)2＝50－k ， 则圆C 1的圆心为C 1(－2,3)，半径r 1＝1； 圆C 2的圆心为C 2(1,7)，半径r 2＝50－k ，k <50. 从而|C 1C 2|＝(－2－1)2＋(3－7)2＝5.当|50－k －1|<5<50－k ＋1，即4<50－k <6， 即14<k <34时，两圆相交.当1＋50－k ＝5，即k ＝34时，两圆外切； 当|50－k －1|＝5，即k ＝14时，两圆内切. 所以当k ＝14或k ＝34时，两圆相切. 命题点2 公共弦问题例5 已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0. (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.(1)证明 由题意得，圆C 1和圆C 2一般方程化为标准方程，得(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝16，则圆C 1的圆心C 1(1,3)，半径r 1＝11， 圆C 2的圆心C 2(5,6)，半径r 2＝4，两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝11＋4， |r 1－r 2|＝4－11，∴|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2， ∴圆C 1和C 2相交.(2)解 圆C 1和圆C 2的方程相减，得4x ＋3y －23＝0， ∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0. 圆心C 2(5,6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离 d ＝|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27. 思维升华 (1)判断两圆位置关系的方法常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法.重视两圆内切的情况，作图观察.(2)两圆相交时，公共弦所在直线方程的求法两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.(3)两圆公共弦长的求法求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d，半弦长l2，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解. 跟踪训练2 (1)(2016·山东)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离答案 B解析∵圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，∴圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝|a|2，由几何知识得⎝⎛⎭⎫|a|22＋(2)2＝a2，解得a＝2.∴M(0,2)，r1＝2.又圆N的圆心坐标N(1,1)，半径r2＝1，∴|MN|＝(1－0)2＋(1－2)2＝2，r1＋r2＝3，r1－r2＝1.∴r1－r2<|MN|<r1＋r2，∴两圆相交，故选B.(2)圆x2＋y2＋4x－4y－1＝0与圆x2＋y2＋2x－13＝0相交于P，Q两点，则直线PQ的方程为______________.答案x－2y＋6＝0解析两个圆的方程两端相减，可得2x－4y＋12＝0.即x－2y＋6＝0.1.若两圆x 2＋y 2＝m 和x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0有公共点，则实数m 的取值范围是( ) A.(－∞，1) B.(121，＋∞) C.[1,121] D.(1,121)答案 C解析 x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0化成标准方程为 (x ＋3)2＋(y －4)2＝36.圆心距为d ＝(0＋3)2＋(0－4)2＝5， 若两圆有公共点，则|6－m |≤5≤6＋m ， 所以1≤m ≤121.故选C.2. (2018·沈阳调研)直线x －3y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －3)2＝10相交所得弦长为( ) A.30 B.532C.4 2D.3 3 答案 A解析 圆(x －1)2＋(y －3)2＝10的圆心坐标为(1,3)，半径r ＝10，圆心(1,3)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－9＋3|10＝510，故弦|AB |＝210－2510＝30，故选A.3.已知直线l ：x cos α＋y sin α＝2(α∈R )，圆C ：x 2＋y 2＋2x cos θ＋2y sin θ＝0(θ∈R )，则直线l 与圆C 的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.与α，θ有关答案 D解析 圆C ：x 2＋y 2＋2x cos θ＋2y sin θ＝0(θ∈R )，即(x ＋cos θ)2＋(y ＋sin θ)2＝1(θ∈R )，圆心C 的坐标为(－cos θ，－sin θ)，半径为r ＝1.圆心C 到直线l ：x cos α＋y sin α＝2(α∈R )的距离 d ＝|－cos θcos α－sin θsin α－2|cos 2α＋sin 2α＝2＋cos(θ－α).当cos(θ－α)＝－1时，d ＝r ，直线l 和圆C 相切； 当－1<cos(θ－α)≤1时，d >r ，直线l 和圆C 相离，故选D.4. (2018·包头模拟)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A.y ＝－34 B.y ＝－12C.y ＝－32D.y ＝－14答案 B解析 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以|PC |＝(1－1)2＋(－2－0)2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.5.若点A (1,0)和点B (4,0)到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 答案 C解析 如图，分别以A ，B 为圆心，1,2为半径作圆.由题意得，直线l 是圆A 的切线，A 到l 的距离为1，直线l 也是圆B 的切线，B 到l 的距离为2，所以直线l 是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线).6.(2018·东北三省联考)直线x ＋2y ＋m ＝0(m >0)与⊙O ：x 2＋y 2＝5交于A ，B 两点，若|OA →＋OB →|>2|AB →|，则m 的取值范围是( ) A.(5，25) B.(25，5) C.(5，5) D.(2，5)答案 B解析 ∵直线x ＋2y ＋m ＝0与⊙O ：x 2＋y 2＝5交于相异两点A ，B ，∴O 点到直线x ＋2y ＋m ＝0的距离d < 5.记OA →＋OB →＝OD →，则四边形OADB 是菱形，且|OD →|＝2d . ∵|OA →＋OB →|>2|AB →|，∴2d >2|AB →|， 即d >|AB →|＝25－d 2，解得d >2. 又d <5，∴2<d <5，即2<|m |5< 5. 又m >0，解得m ∈(25，5).7.(2016·全国Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________.答案 4解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，得y 2－33y ＋6＝0，解得x 1＝－3，y 1＝3；x 2＝0，y 2＝23， ∴A (－3，3)，B (0,23). 过A ，B 作l 的垂线方程分别为y －3＝－3(x ＋3)，y －23＝－3x ，令y ＝0，则x C ＝－2，x D ＝2，∴|CD |＝2－(－2)＝4. 8.过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB →＝________. 答案 32解析 由题意，得圆心为O (0,0)，半径为1.如图所示，∵P (1，3)，∴PB ⊥x 轴， |P A |＝|PB |＝ 3.∴△POA 为直角三角形， 其中|OA |＝1，|AP |＝3，则|OP |＝2，∴∠OP A ＝30°，∴∠APB ＝60°. ∴P A →·PB →＝|P A →||PB →|·cos ∠APB ＝3×3×cos 60°＝32.9.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________. 答案 43解析 圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0). 由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2， 即|4k －2|k 2＋1≤2，整理得3k 2－4k ≤0，解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.10.(2018·大连模拟)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25，圆C 上的点到直线l ：3x ＋4y ＋m ＝0(m <0)的最短距离为1，若点N (a ，b )在直线l 上位于第一象限的部分，则1a ＋1b的最小值为____________.答案7＋4355解析 圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25，圆心坐标(3,4)，半径为5，因为圆C 上的点到直线l ：3x ＋4y ＋m ＝0(m <0)的最短距离为1，则直线l 与圆C 相离，设圆心到直线的距离为d ，则d －r ＝1，可得|9＋16＋m |9＋16＝6，解得m ＝－55或m ＝5(舍去).因为点N (a ，b )在直线l 上位于第一象限的部分， 所以3a ＋4b ＝55，a >0，b >0. 则1a ＋1b ＝155⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (3a ＋4b ) ＝155⎝⎛⎭⎫7＋4b a ＋3a b≥155⎝⎛⎭⎫7＋24b a ·3a b ＝7＋4355， 当且仅当a ＝－55＋11033，b ＝55－5532时取等号.11.已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M .(1)若点P 运动到(1,3)处，求此时切线l 的方程； (2)求满足条件|PM |＝|PO |的点P 的轨迹方程.解 把圆C 的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， ∴圆心为C (－1,2)，半径r ＝2.(1)当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x ＝1， C 到l 的距离d ＝2＝r ，满足条件. 当l 的斜率存在时，设斜率为k ， 得l 的方程为y －3＝k (x －1)， 即kx －y ＋3－k ＝0， 则|－k －2＋3－k |1＋k 2＝2，解得k ＝－34.∴l 的方程为y －3＝－34(x －1)，即3x ＋4y －15＝0.综上，满足条件的切线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y －15＝0. (2)设P (x ，y )，则|PM |2＝|PC |2－|MC |2 ＝(x ＋1)2＋(y －2)2－4， |PO |2＝x 2＋y 2，∵|PM |＝|PO |， ∴(x ＋1)2＋(y －2)2－4＝x 2＋y 2， 整理，得2x －4y ＋1＝0，∴点P 的轨迹方程为2x －4y ＋1＝0.12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4).(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC |＝|OA |，求直线l 的方程； (3)设点T (t,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围. 解 (1)圆M 的方程化为标准形式为(x －6)2＋(y －7)2＝25，圆心M (6,7)，半径r ＝5， 由题意，设圆N 的方程为(x －6)2＋(y －b )2＝b 2(b >0). 且(6－6)2＋(b －7)2＝b ＋5.解得b ＝1，∴圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1. (2)∵k OA ＝2，∴可设l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0.又|BC |＝|OA |＝22＋42＝2 5.由题意，圆M 的圆心M (6,7)到直线l 的距离为d ＝ 52－⎝⎛⎭⎫|BC |22＝25－5＝2 5.即|2×6－7＋m |22＋(－1)2＝25，解得m ＝5或m ＝－15.∴直线l 的方程为y ＝2x ＋5或y ＝2x －15.(3)由TA →＋TP →＝TQ →，则四边形AQPT 为平行四边形， 又∵P ，Q 为圆M 上的两点，∴|PQ |≤2r ＝10. ∴|TA |＝|PQ |≤10，即(t －2)2＋42≤10， 解得2－221≤t ≤2＋221.故所求t 的取值范围为[2－221，2＋221].13.(2018·呼伦贝尔质检)已知直线l ：(m ＋2)x ＋(m －1)y ＋4－4m ＝0上总存在点M ，使得过M 点作的圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0的两条切线互相垂直，则实数m 的取值范围是( ) A.m ≤1或m ≥2 B.2≤m ≤8 C.－2≤m ≤10D.m ≤－2或m ≥8答案 C 解析 如图，设切点分别为A ，B .连接AC ，BC ，MC ，由∠AMB ＝∠MAC ＝∠MBC ＝90°及|MA |＝|MB |知，四边形MACB 为正方形，故|MC |＝2＋2＝2，若直线l 上总存在点M 使得过点M 的两条切线互相垂直，只需圆心(－1,2)到直线l 的距离d ＝|－m －2＋2m －2＋4－4m |(m ＋2)2＋(m －1)2≤2，即m 2－8m －20≤0，∴－2≤m ≤10，故选C.14.若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长是________. 答案 4解析 ⊙O 1与⊙O 在A 处的切线互相垂直，如图，可知两切线分别过另一圆的圆心，∴O 1A ⊥OA .又∵|OA |＝5，|O 1A |＝25，∴|OO 1|＝5. 又A ，B 关于OO 1所在直线对称， ∴AB 长为Rt △OAO 1斜边上的高的2倍， ∴|AB |＝2×5×255＝4.15.已知圆O ：x 2＋y 2＝9，点P 为直线x ＋2y －9＝0上一动点，过点P 向圆O 引两条切线P A ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 过定点( ) A.⎝⎛⎭⎫49，89 B.⎝⎛⎭⎫29，49 C.(1,2) D.(9,0)答案 C解析 因为P 是直线x ＋2y －9＝0上的任一点，所以设P (9－2m ，m )，因为P A ，PB 为圆x 2＋y 2＝9的两条切线，切点分别为A ，B ，所以OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，则点A ，B 在以OP 为直径的圆(记为圆C )上，即AB 是圆O 和圆C 的公共弦， 易知圆C 的方程是⎝⎛⎭⎫x －9－2m 22＋⎝⎛⎭⎫y －m 22＝(9－2m )2＋m 24， ①又x 2＋y 2＝9， ② ②－①得，(2m －9)x －my ＋9＝0，即公共弦AB 所在直线的方程是(2m －9)x －my ＋9＝0， 即m (2x －y )＋(－9x ＋9)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，－9x ＋9＝0得x ＝1，y ＝2. 所以直线AB 恒过定点(1,2)，故选C.16.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于点A ，B ，以线段AB 为直径的圆E 上存在点P ，Q ，使得以PQ 为直径的圆过点D ⎝⎛⎭⎫－32，t ，求实数t 的取值范围. 解 由题意可得直线AB 的方程为x ＝y ＋1，与y 2＝4x 联立消去x ，可得y 2－4y －4＝0，显然Δ＝16＋16>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝－4，设E (x E ，y E )，则y E ＝y 1＋y 22＝2，x E ＝y E ＋1＝3，又|AB |＝x 1＋x 2＋2＝y 1＋1＋y 2＋1＋2＝8， 所以圆E 是以(3,2)为圆心，4为半径的圆， 所以点D 恒在圆E 外.圆E 上存在点P ，Q ，使得以PQ 为直径的圆过点D ⎝⎛⎭⎫－32，t ， 即圆E 上存在点P ，Q ，使得DP ⊥DQ ，设过D 点的两直线分别切圆E 于P ′，Q ′点，要满足题意，则∠P ′DQ ′≥π2，所以|EP ′||DE |＝4⎝⎛⎭⎫3＋322＋()2－t 2≥22， 整理得t 2－4t －314≤0，解得2－472≤t ≤2＋472，故实数t 的取值范围为⎣⎡⎦⎤2－472，2＋472.。
2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第5讲椭圆分层演练理(含解析)新人教A版(最新整理)
第5讲椭圆1．已知椭圆错误!＋错误!＝1的焦点在x轴上，焦距为4，则m等于（)A．8 B．7C．6 D．5解析：选A.因为椭圆错误!＋错误!＝1的焦点在x轴上．所以错误!解得6〈m<10.因为焦距为4，所以c2＝m－2－10＋m＝4，解得m＝8。
2．（2019·湖北武汉模拟)已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是错误!，则此椭圆的标准方程是( )A.错误!＋错误!＝1B.x216＋错误!＝1或错误!＋错误!＝1C。
x216＋错误!＝1D.错误!＋错误!＝1或错误!＋错误!＝1解析：选B。
因为a＝4，e＝错误!，所以c＝3,所以b2＝a2－c2＝16－9＝7.因为焦点的位置不确定，所以椭圆的标准方程是错误!＋错误!＝1或错误!＋错误!＝1。
3．(2019·湖北八校联考）设F1，F2分别为椭圆错误!＋错误!＝1的两个焦点，点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上，则错误!的值为( )A.错误!B.错误!C.49D。
错误!解析：选B。
由题意知a＝3，b＝错误!，c＝2.设线段PF1的中点为M，则有OM∥PF2，因为OM⊥F1F2，所以PF2⊥F1F2，所以｜PF2｜＝错误!＝错误!。
又因为｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝6，所以|PF1｜＝2a－｜PF2｜＝133,所以错误!＝错误!×错误!＝错误!，故选B.4．(2018·高考全国卷Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°,则C的离心率为( ）A．1－错误! B．2－错误! C。
错误! D。
错误!－1解析：选D。
由题设知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，｜F1F2|＝2c，所以|PF2｜＝c，|PF1|＝错误!c.由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2｜＝2a，即错误!c＋c＝2a,所以(错误!＋1)c＝2a，故椭圆C的离心率e＝错误!＝错误!＝错误!－1.故选D.5．（2019·湖南百校联盟联考)已知椭圆错误!＋错误!＝1（a>b〉0)的右顶点和上顶点分别为A、B,左焦点为F.以原点O为圆心的圆与直线BF相切，且该圆与y轴的正半轴交于点C，过点C 的直线交椭圆于M、N两点．若四边形FAMN是平行四边形,则该椭圆的离心率为( )A.错误!B。
高考数学(文)一轮复习文档：第九章 概率 第3讲几何概型 Word版含答案
第3讲几何概型,)1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）1．辨明两个易误点(1)几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．(2)易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是基本事件的发生是等可能的，不同之处是几何概型中基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的．2．会解三种常见的几何概型(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题．(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．1.教材习题改编如图，转盘的指针落在A区域的概率为( )A ．16 B ．19 C ．112 D ．118C2.教材习题改编一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，则某人到达路口时看见的是红灯的概率是( )A ．15 B ．25 C ．35D ．45 B P ＝3030＋5＋40＝25，故选B.3.教材习题改编如图，在一边长为2的正方形ABCD 内有一曲线L 围成的不规则图形．往正方形内随机撒一把豆子(共m 颗)．落在曲线L 围成的区域内的豆子有n 颗(n <m )，则L 围成的区域面积(阴影部分)为( )A ．2n mB ．4n mC ．n2m D ．n4mBS 阴影S 正方形＝落在L 围成的区域的豆子数n落在正方形中的豆子数m， 所以S 阴影＝n m×22＝4n m.4.教材习题改编如图，圆中有一内接等腰三角形．假设你在图中随机投掷一点，则它落在阴影部分的概率为________．设圆的半径为R ，由题意知圆内接三角形为等腰直角三角形，其直角边长为2R ， 则所求事件的概率为 P ＝S 阴S 圆＝12×2R ×2R πR 2＝1π. 1π5．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M ABCD 的体积小于16的概率为________．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，设M ABCD 的高为h ，则13×S 四边形ABCD ×h ＝16.又S 四边形ABCD ＝1，所以h ＝12.若体积小于16，则h <12，即点M 在正方体的下半部分，所以P ＝12V 正方体V 正方体＝12.12与长度、角度有关的几何概型(1)(2016·高考全国卷乙)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A ．13 B ．12 C ．23D ．34(2)(2017·烟台模拟)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上随机取一个数x ，则cos x 的值介于0到12之间的概率为________．(3)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM交BC 于点M ，则BM <1的概率为________．【解析】 (1)由题意得图：由图得等车时间不超过10分钟的概率为12.(2)当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤12，得－π2≤x ≤－π3或π3≤x ≤π2，根据几何概型概率公式得所求概率为13.(3)因为∠B ＝60°，∠C ＝45°， 所以∠BAC ＝75°.在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°， 所以BD ＝ADtan 60°＝1，∠BAD ＝30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得：P (N )＝30°75°＝25. 【答案】 (1)B (2)13 (3)251.本例(2)中，若将“cos x 的值介于0到12”改为“cos x 的值介于0到32”，则概率如何？当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤32， 得－π2≤x ≤－π6或π6≤x ≤π2，根据几何概型概率公式得所求概率为23.2.本例(3)中，若将“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ”改为“在线段BC 上找一点M ”，则BM <1的概率是多少？依题意知BC ＝BD ＋DC ＝1＋3，P (BM <1)＝11＋3＝3－12.与长度、角度有关的几何概型的求法解答关于长度、角度的几何概型问题，只要将所有基本事件及事件A 包含的基本事件转化为相应长度或角度，即可利用几何概型的概率计算公式求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．1．在区间上随机地取出一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1”发生的概率为( ) A ．34 B ．23 C ．13D ．14A 不等式－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1可化为log 122≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤log 1212，即12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32，故由几何概型的概率公式得P ＝32－02－0＝34.2．如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，则OA 落在∠yOT 内的概率为60360＝16. 16与面积有关的几何概型(高频考点)与面积有关的几何概型是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，多为容易题或中档题．高考对与面积有关的几何概型的考查主要有以下两个命题角度： (1)与平面图形面积有关的几何概型； (2)与线性规划知识交汇命题的几何概型．(1)(2016·高考全国卷甲)从区间随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A ．4nmB ．2n mC ．4m nD ．2m n(2)(2017·湖北华师附中联考)在区间上随机取两个实数x ，y ，使得x ＋2y ≤8的概率为( )A ．14B ．316C ．916D ．34【解析】 (1)设由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x n ≤10≤y n ≤1构成的正方形的面积为S ，x 2n ＋y 2n ＜1构成的图形的面积为S ′，所以S ′S ＝14π1＝m n ，所以π＝4mn，故选C.(2) (x ，y )构成的区域是边长为4的正方形及其内部，其中满足x ＋2y ≤8的区域为如图所示的阴影部分，易知A (4，2)，所以P ＝12×（2＋4）×44×4＝34.选D.【答案】 (1)C(2)D与面积有关的几何概型的求法求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．角度一 与平面图形面积有关的几何概型1. 如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分)．现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为( )A ．4π－1 B ．1π C ．1－1πD ．2πA 顺次连接星形的四个顶点，则星形区域的面积等于(2)2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫14×π×12－12×12＝4－π，又因为圆的面积等于π×12＝π，因此所求的概率等于4－ππ＝4π－1.角度二 与线性规划知识交汇命题的几何概型2．在区间上任取两个数a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 2无零点的概率为________． 要使该函数无零点，只需a 2－4b 2<0，即(a ＋2b )(a －2b )<0.因为a ，b ∈，a ＋2b >0， 所以a －2b <0.作出⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，a －2b <0的可行域(如图阴影部分所示)，易得该函数无零点的概率P ＝1－12×1×121×1＝34.34与体积有关的几何概型(1)在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．(2)(2017·黑龙江五校联考)在体积为V 的三棱锥S －ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S －APC 的体积大于V3的概率是________．【解析】 (1)正方体的体积为：2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：12×43πr 3＝12×43π×13＝23π，则点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－23π8＝1－π12.(2)由题意可知V S －APC V S －ABC >13，三棱锥S －ABC 的高与三棱锥S －APC 的高相同．作PM ⊥AC 于M ，BN ⊥AC 于N ，则PM ，BN 分别为△APC 与△ABC 的高，所以V S －APC V S －ABC ＝S △APC S △ABC ＝PM BN >13，又PM BN ＝APAB ，所以AP AB >13，故所求的概率为23(即为长度之比)． 【答案】 (1)1－π12 (2)23与体积有关的几何概型的求法对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解．(2017·长春第二次调研) 如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，H 分别是棱A 1B 1，D 1C 1上的点(点E 与B 1不重合)，且EH ∥A 1D 1，过EH 的平面与棱BB 1，CC 1相交，交点分别为F ，G .设AB ＝2AA 1＝2a ，EF ＝a ，B 1E ＝2B 1F .在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1内随机选取一点，则该点取自于几何体A 1ABFE D 1DCGH 内的概率为________．因为EH ∥A 1D 1，所以EH ∥B 1C 1，所以EH ∥平面BCC 1B 1.过EH 的平面与平面BCC 1B 1交于FG ，则EH ∥FG ，所以易证明几何体A 1ABFE D 1DCGH 和EB 1F HC 1G 分别是等高的五棱柱和三棱柱，由几何概型可知，所求概率为：P ＝1－V 三棱柱V 长方体＝1－S △EB 1F S 矩形ABB 1A 1＝1－12×55a ×255a 2a 2＝910. 910,)——转化与化归思想在几何概型中的应用某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为__________．(用数字作答)【解析】 设小王到校时间为x ，小张到校时间为y ，则小张比小王至少早到5分钟时满足x －y ≥5.如图，原点O 表示7：30，在平面直角坐标系中画出小王和小张到校的时间构成的平面区域(图中正方形区域)，该正方形区域的面积为400，小张比小王至少早到5分钟对应的图形(图中阴影部分)的面积为12×15×15＝2252，故所求概率为P ＝2252400＝932.【答案】932本题通过设置小张、小王两人到校的时间这两个变量x ，y ，将已知转化为x ，y 所满足的不等式，进而转化为坐标平面内的点(x ，y )的相关约束条件，从而把时间这个长度问题转化为平面图形的二维面积问题，进而转化为面积型的几何概型问题求解．若题中涉及三个相互独立的变量，则需将其转化为空间几何体的体积问题加以求解．甲、乙两位同学约定周日上午在某电影院旁见面，并约定先到达者等10分钟后另一人还没有到就离开．如果甲是8：30到达，假设乙在8：00～9：00之间到达，且乙在8：00～9：00之间何时到达是等可能的，则两人见面的概率是( )A ．16 B ．14 C ．13D ．12C 由题意知，若以8：00为起点，则乙在8：00～9：00之间到达这一事件对应的集合是Ω＝{x |0<x <60}，而满足条件的事件对应的集合是A ＝{x |20≤x ≤40}，所以两人见面的概率是40－2060－0＝13., )1．设p 在上随机地取值，则关于x 的方程x 2＋px ＋1＝0有实数根的概率为( ) A ．15 B ．25 C ．35D ．45C 方程x 2＋px ＋1＝0有实根，则Δ＝p 2－4≥0，解得p ≥2或p ≤－2(舍去)．由几何概型的概率计算公式可知所求的概率为5－25－0＝35.2．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )A ．16B ．13C ．23D ．45C 设AC ＝x ，则CB ＝12－x ，所以x (12－x )<32，解得x <4或x >8. 所以P ＝4＋412＝23.3．已知ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A ．π4B ．1－π4C ．π8D ．1－π8B 如图，依题意可知所求概率为图中阴影部分与长方形的面积比，即所求概率P ＝S 阴影S 长方形ABCD ＝2－π22＝1－π4.4. 如图所示，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为( )A ．12 B ．32C ．13D ．14C 当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′＝π3，A ′点在A 点左右都可取得，故由几何概型的概率计算公式得P ＝2π32π＝13，故选C.5．(2017·商丘模拟)已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2PA →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A ．14B ．13C ．12D ．23C 如图所示，设点M 是BC 边的中点，因为PB →＋PC →＋2PA →＝0，所以点P 是中线AM 的中点，所以黄豆落在△PBC 内的概率P ＝S △PBC S △ABC ＝12，故选C. 6．任取实数a 、b ∈，则a 、b 满足|a －2b |≤2的概率为( ) A ．18 B ．14 C ．34 D ．78D 建立如图所示的坐标系，因为|a －2b |≤2，所以－2≤a －2b ≤2表示的平面区域为图中阴影部分，所以|a －2b |≤2的概率为S 阴影S 正方形＝78. 7. 如图，在一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1 000 颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375颗，以此实验数据为依据，可以估计出该不规则图形的面积为________平方米．设该不规则图形的面积为x 平方米，向区域内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375，所以根据几何概型的概率计算公式可知3751 000＝1x，解得x ＝83.838．已知函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈，若从区间内随机抽取一个实数x 0，则所取的x 0满足f (x 0)≤0的概率为________．令x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2，由几何概型的概率计算公式得P ＝2－（－1）5－（－5）＝310＝0.3.0.39．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A －A 1BD 内的概率为________．设事件M ＝“动点在三棱锥A －A 1BD 内”， 则P (M )＝V 三棱锥A －A 1BDV 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1＝V 三棱锥A 1－ABDV 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1＝13AA 1·S △ABD V 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 ＝13AA 1·12S 矩形ABCD AA 1·S 矩形ABCD ＝16. 1610．(2017·郑州模拟)若不等式x 2＋y 2≤2所表示的平面区域为M ，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，y ≥2x －6表示的平面区域为N ，现随机向区域N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域M 内的概率为________．作出不等式组与不等式表示的可行域如图所示，平面区域N 的面积为12×3×(6＋2)＝12，区域M 在区域N 内的面积为14π(2)2＝π2，故所求概率P ＝π212＝π24.π2411. 如图所示，圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(1)已知点A 的坐标为(2，0)，B 为圆周上任意一点，求AB ︵的长度小于π的概率； (2)若N (x ，y )为圆O 内任意一点，求点N 到原点的距离大于2的概率． (1)圆O 的周长为4π，所以AB ︵的长度小于π的概率为2π4π＝12.(2)记事件M 为N 到原点的距离大于2，则Ω(M )＝{(x ，y )|x 2＋y 2>2}，Ω＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}，所以P (M )＝4π－2π4π＝12.12．(2017·广东七校联考) 如图，已知圆的半径为10，其内接三角形ABC 的内角A ，B 分别为60°和45°，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形ABC 内的概率为( )A ．3＋316πB ．3＋34πC ．4π3＋3D ．16π3＋3B 由正弦定理BCsin A＝ACsin B＝2R (R 为圆的半径)⇒⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝20sin 60°，AC ＝20sin 45°⇒⎩⎨⎧BC ＝103，AC ＝10 2.那么S △ABC ＝12×103×102sin 75°＝12×103×102×6＋24＝25(3＋3)． 于是，豆子落在三角形ABC 内的概率为S △ABC圆的面积＝25（3＋3）102π＝3＋34π. 13．已知集合A ＝，B ＝，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )．(1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1内的概率； (2)求以(x ，y )为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于22的概率． (1)集合M 内的点形成的区域面积S ＝8. 因为x 2＋y 2＝1的面积S 1＝π， 故所求概率为P 1＝S 1S ＝π8. (2)由题意|x ＋y |2≤22，即－1≤x ＋y ≤1，形成的区域如图中阴影部分所示，面积S 2＝4，故所求概率为P 2＝S 2S ＝12.14．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12.(1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b .①记“a ＋b ＝2”为事件A ，求事件A 的概率；②在区间内任取2个实数x ，y ，求事件“x 2＋y 2>(a －b )2恒成立”的概率． (1)依题意nn ＋2＝12，得n ＝2. (2)①记标号为0的小球为s ，标号为1的小球为t ，标号为2的小球为k ，h ，则取出2个小球的可能情况有：(s ，t )，(s ，k )，(s ，h )，(t ，s )，(t ，k )，(t ，h )，(k ，s )，(k ，t )，(k ，h )，(h ，s )，(h ，t )，(h ，k )，共12种，其中满足“a ＋b ＝2”的有4种：(s ，k )，(s ，h )，(k ，s )，(h ，s )．所以所求概率为P (A )＝412＝13.②记“x 2＋y 2>(a －b )2恒成立”为事件B ，则事件B 等价于“x 2＋y 2>4恒成立”，(x ，y )可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤2，0≤y ≤2，x ，y ∈R }，而事件B 构成的区域为B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2>4，(x ，y )∈Ω}．所以所求的概率为P (B )＝1－π4.。
2020高考文科数学(人教A版)总复习课件：第九章 解析几何9.4
解析:由已知条件知圆心(-1,-2),半径r=5,弦长m=8.
设弦心距是 d,则由勾股定理得 r2=d2+
������ 2
2,解得 d=3.若 l 的斜
率不存在,则直线 l 的方程为 x=-4,圆心到直线的距离是 3,符合题意.
若 l 的斜率存在,设为 k,则直线 l 的方程为 y+3=k(x+4),即
由题意知|������-2+1-3������|=2,解得
������2+1
k=34.
所以圆的切线方程为 y-1=34(x-3), 即 3x-4y-5=0.
故过点 M 的圆的切线方程为 x=3 或 3x-4y-5=0.
考点1
第九章
考点2
考点3
9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识·预案自诊
关关键键能能力力··学学案案突突破破
������2+������2
∴a2+b2<r2,∴ |������2| >r,∴直线 n 与圆 O 相离.故选 A.
������2+������2
(2)因为直线 l:y=kx+1(k<0)与圆 C:(x+2)2+(y-1)2=2 相切,
所以|-2������-1+1| = √2,解得 k=±1,因为 k<0,所以 k=-1,
关关键键能能力力··学学案案突突破破
-9-
考点1
考点2
考点3
直线与圆的位置关系及其应用 例1(1)已知O的方程x2+y2=r2(r>0),点P(a,b)(ab≠0)是圆O内一点,以 P为中心点的弦所在的直线为m,直线n的方程为ax+by=r2,则( A) A.m∥n,且n与圆O相离 B.m∥n,且n与圆O相交 C.m与n重合,且n与圆O相离 D.m⊥n,且n与圆O相交 (2)(2018云南宣威五中期末,10)若直线l:y=kx+1(k<0)与圆 C:(x+2)2+(y-1)2=2相切,则直线l与圆D:(x-2)2+y2=3的位置关系是 ( A) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
2020版高考数学(文)新增分大一轮人教通用版平面解析几何第九章 9.2
2
.( × )
1
线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( √ ) (5)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于 －1 ，且 k 线段AB的中点在直线l上.( √ )
1
2
3
4
5
6
7
题组二 教材改编 2.已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于
1 3.已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－ x＋2的交点位于第一象限，则实数k 2
1 1 － ， 6 2 的取值范围是________.
4.已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，若在坐标平面内存在一点
27 8 1，－4 或 ，－ 7 7 P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2，则P点坐标为___________________.
A. 2 B.2－ 2 C. 2－1 √ D. 2＋1
解析
|a－2＋3| 由题意得 ＝1. 1＋1
解得 a＝－1＋ 2或 a＝－1－ 2.
∵a>0，∴a＝－1＋ 2.
1
2
3
4
5
6
7
1 3.已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝___.
解析 由题意知 ＝1，所以 m－4＝－2－m， －2－m m－4
9 A.5 18 29 29 B. 5 C.10 D. 5 3 4 －12 因为6＝8≠ 5 ，所以两直线平行，将直线 3x＋4y－12＝0 化为 6x＋8y－
√
解析
24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，
2020版高考数学(文)新增分大一轮人教通用版平面解析几何第九章 9.1
π ②当 α＝2时，斜率 k 不存在. ③当
π α∈2，π 时，k∈(－∞，0).
(2)斜率的两种求法 ①定义法：若已知直线的倾斜角 α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan
α求斜率.
y2－y1 ②公式法： 若已知直线上两点 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 一般根据斜率公式 k＝ x2－x1 (x1≠x2)求斜率.
x y 当截距不为 0 时，设直线方程为a＋a＝1， 2 3 则a＋a＝1，解得 a＝5.所以直线方程为 x＋y－5＝0.
1
2
3
4
5
6
题组三 易错自纠 4.直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是
π A.0，4 π π C.0，4∪2，π
综上可知，直线m的方程为x－2y＋2＝0或x＝2.
1 2 3 4 5 6
PART TWO
2
题型分类
深度剖析
师生共研
题型一
(1)直线 2xcos
直线的倾斜角与斜率
的倾斜角的取值范围是
例1
π π ， A. 6 3 π π ， C. 4 2
π π ， α－y－3＝0α∈ 6 3 π π ， B. 4 3 π 2π ， D. 4 3
1 当 a＝2时，四边形的面积最小.
思维升华 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 (1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利 用基本不等式求解最值. (2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接
写出方程.
(3)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合
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课下层级训练(五十三) 几何概型
[A 级 基础强化训练]
1．如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为2
3
，则阴影区域的面积为( )
A ．4
3 B ．83 C ．23
D ．无法计算
B [正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率P ＝S 阴影S 正方形＝23，即S 阴影4＝2
3
，解得S 阴影＝8
3
.]
2．“抖空竹”是中国的传统杂技，表演者在两根直径约8～12毫米的杆上系一根长度为1 m 的绳子，并在绳子上放一空竹，则空竹与两端距离都大于0.2 m 的概率为( )
A ．1
2 B ．3
5 C ．2
5
D ．23
B [与两端都大于0.2 m 即空竹的运行范围为(1－0.2－0.2)m ＝0.6 m ，记“空竹与两端距离都大于0.2 m”为事件A ，则所求概率满足几何概型，即P (A )＝1－0.2－0.21＝3
5
.]
3．(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )
A ．1
4 B ．π8
C ．12
D ．π4
B [不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4． 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π
2，
所以由几何概型知所求概率P ＝S 黑
S 正方形＝π
24＝π8
.]
4．已知正棱锥S ABC 的底面边长为4，高为3，在正棱锥内任取一点P ，使得V P ABC ＜1
2V S ABC
的概率是( )
A ．34
B ．78
C ．12
D ．14
B [由题意知，当点P 在三棱锥的中截面以下时，满足V P AB
C ＜12V S ABC ，故使得V P ABC ＜1
2V S ABC
的概率P ＝大三棱锥的体积－小三棱锥的体积大三棱锥的体积＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝7
8
.]
5．如图所示，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为(
)
A ．1
2 B ．
32
C ．13
D ．14
C [当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′＝π
3，A ′点在A 点左右都可取得，故由
几何概型的概率计算公式得P ＝2π32π＝1
3
.]
6．设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( )
A ．34＋12π
B ．14－12π
C ．12－1π
D ．12＋1π
B [由|z |≤1可得(x －1)2
＋y 2
≤1，表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部，满足
y ≥x 的部分为如图阴影部分所示，
由几何概型概率公式可得所求概率为 P ＝14π×12
－12×12π×12
＝π4－12π＝14－12π
.] 7．(2019·山东临沂月考)一只昆虫在边分别为5,12,13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为__________．
π15 [如图所示，该三角形为直角三角形，其面积为12×5×12＝30，阴影部分的面积为12×π×22
＝2π，所以所求概率为2π30＝π15
.]
8．(2019·山东济南模拟)如图，长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A A 1BD 内的概率为__________．
1
6
[设事件M ＝“动点在三棱锥A A 1BD 内”， P (M )＝
V 三棱锥A A 1BD
V 长方体ABCD A 1B 1C 1D 1
＝
V 三棱锥A 1ABD
V 长方体ABCD A 1B 1C 1D 1
＝1
3
AA 1·S △ABD V 长方体ABCD A 1B 1C 1D 1 ＝13AA 1·1
2S 矩形ABCD AA 1·S 矩形ABCD ＝16
.] 9．在边长为2的正方形ABCD 内部任取一点M ，则满足∠AMB >90°的概率为__________． π
8
[如图，如果M 点位于以AB 为直径的半圆内部，则∠AMB >90°，否则，M 点位于半圆上及空白部分，则∠AMB ≤90°，
所以∠AMB >90°的概率P ＝12×π×1222
＝π
8
.] 10．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2
n 2＝1表示焦点在
x 轴上的椭圆的概率是__________．
12 [∵方程x 2
m 2＋y
2
n
2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n .如图，
由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q (m ，n )，点Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分，∴所求的概率为P ＝12
.]
[B 级 能力提升训练]
11．已知在△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为( )
A ．16
B ．13
C ．12
D ．23
C [如图，当BE ＝1时，
∠AEB 为直角，则当点D 在线段BE (不包含B ，E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则当点D 在线段CF (不包含C ，F 点)上时，△ABD 为钝角三角形，所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝1
2
.]
12．(2018·河北石家庄模拟)已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2PA →
＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )
A ．14
B ．13
C ．23
D ．12
D [则PB →＋PC →＝PD →，因为PB →＋PC →＋2PA →＝0，所以PB →＋PC →＝－2PA →，得PD →＝－2PA →
，由此可得，P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，点P 到BC 的距离等于A 到BC 距离的1
2，所以S △PBC
＝12S △ABC ，所以将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为S △PBC S △ABC ＝12
.] 13．在边长为4的等边三角形OAB 及其内部任取一点P ，使得OA →·OP →≤4的概率为( ) A ．12 B ．14 C ．13
D ．18
D [设OP →在OA →上的投影为|OQ →|，又OA →·OP →＝|OA →|·|OQ →|，OA →·OP →
≤4，
则|OQ →
|≤1.取OB 的中点M ，作MN ⊥OA 于N ，则满足条件的P 构成的区域为图中阴影部
分，N 为OA 的四等分点，所以使得OA →·OP →
≤4的概率为S △OMN S △OAB ＝18
.]
14．若m ∈(0,3)，则直线(m ＋2)x ＋(3－m )y －3＝0与x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于9
8
的概率为__________．
2
3
[对于直线方程(m ＋2)x ＋(3－m )y －3＝0，
令x ＝0，得y ＝
33－m ；令y ＝0，得x ＝3m ＋2
， 由题意可得12·|3m ＋2|·|33－m |＜9
8，因为m ∈(0,3)，所以解得0＜m ＜2，由几何概型计
算公式可得，所求事件的概率P ＝2
3
.]
15．平面区域A 1＝{(x ，y )|x 2
＋y 2
＜4，x ，y ∈R }，A 2＝{(x ，y )||x |＋|y |≤3，x ，y ∈R }．在A 2内随机取一点，则该点不在A 1内的概率为__________．
1－2π
9
[分别画出区域A 1，A 2，如图中圆内部分和正方形及其内部所示，
根据几何概型可知，所求概率为18－4π18＝1－2π
9
.]
16．某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为__________(用数字作答)．
9
32
[设小张与小王的到校时间分别为7：00后第x 分钟，第y 分钟．根据题意可画出图形，如图所示，则总事件所占的面积为(50－30)2
＝400.小张比小王至少早5分钟到校表示的事件A ＝{(x ，y )|y －x ≥5, 30≤x ≤50， 30≤y ≤50}，如图中阴影部分所示，
阴影部分所占的面积为12×15×15＝225
2，所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为
P (A )＝225
2400＝9
32.]。