同济汽车震动课件

机械振动分析
同济大学汽车学院 张立军 2009年12月21日
第六章
随机振动分析
6.1 随机振动概述 6.2 随机振动的统计特性 6.3 随机振动响应分析方法
2009-12-21
简谐振动与频谱分析基础
2
6.1 随机振动概述
基本概念：
确定性振动 随机振动 振动。 如果振动系统的响应可以准确地用一个时间的 振动系统的响应不能用一个时间的函数来表示的 函数来表示的振动。
∫
∞
−∞
X (ω ) eiωt dω
x ( t ) = eiωt ⇒ y ( t ) = H (ω ) eiωt = H (ω ) x ( t )
1 ∞ y ( t ) = H (ω ) x ( t ) = H (ω ) X (ω ) eiωt d ω 2π ∫−∞ 1 ∞ y (t ) = Y (ω ) eiωt d ω Y (ω ) = H (ω ) X (ω ) 2π ∫−∞
5 2
∞
3 2⎞ 15 ⎛ μ x = ∫ xp ( x ) dx = ∫ ⎜ x ⋅ x ⎟ dx = −∞ 0 4 ⎝ 125 ⎠
μ x = ∫ x p ( x ) dx = ∫
2
2
∞
5
−∞
0
3 2 x ⋅ x dx = 15 125
2
2
σ x2 = x 2 − x 2 = 15 − ⎜
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2 S (ω ) dω = W ( f ) df ⇒ W ( f ) = 4π S (ω )
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第六章
随机振动分析
6.1 随机振动概述 6.2 随机振动的统计特性 6.3 随机振动响应分析方法
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简谐振动与频谱分析基础
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6.3 随机激励下的响应
⎛ 15 ⎞ 15 ⎟ = ⎝ 4 ⎠ 16
简谐振动与频谱分析基础 13
6.2 随机振动的统计分析－相关域
相关函数 描述随机过程不同时刻随机变量之间的联系。
∞
R ( t1 , t2 ) = ∫
−∞ −∞
∫
∞
x1 x2 p ( x1 , x2 ) dx1dx2 = E ( x1 , x2 )
R (t, t + τ ) = ∫
∞
−∞ −∞
∫ x ( t ) ⋅ x ( t + τ ) p ( x ( t ) , x ( t + τ ) ) dxdx
∞
= E ⎡ x ( t ) ⋅ x ( t + τ )⎤ ⎣ ⎦
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6.2 随机振动的统计分析－平稳随机过程
平稳随机过程 都保持不变。 随机过程的概率分布相对任意一个时间推移
−∞
∞ x y
协方差
σ xy = E ⎡( x − μ x ) ( y − μ y ) ⎤ =Байду номын сангаас∫ ⎣ ⎦
=∫
∞ ∞ −∞ −∞ ∞ ∞ x y
∫ ( xy − yμ − xμ = ∫ ∫ xyp ( x, y ) dxdy − ∫ ∫ μ yp ( x, y ) dxdy − ∫ ∫ μ xp ( x, y ) dxdy + ∫ ∫ μ μ p ( x, y ) dxdy
多随机变量的联合概率分布
′ ′ P ( x1 , x2 ) = Prob [ x1 < x1 , x2 < x2 ] = ∫ p ( x ) = ∫ p ( x, y ) dy
−∞ ∞
x1
−∞ −∞
∫
x2
′ ′ ′ ′ p ( x1 , x2 ) dx1dx2
∞
p ( y ) = ∫ p ( x, y ) dx
各态历经过程 可以通过单个样本函数得到它的统 计特性，并且可以应用于总体。 时间平均
1 T /2 μ x = E [ x ] = lim ∫ x ( t ) dt T →∞ T −T /2 1 T /2 2 2 2 ψ x = E ⎡ x ⎤ = lim ∫ x ( t ) dt ⎣ ⎦ T →∞ T −T /2 1 T /2 Rx (τ ) = lim ∫ x ( t ) x ( t + τ ) dt T →∞ T −T /2
σ2
σ2
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6.2 随机振动的统计分析－平稳随机过程
μ 2 − σ 2 ≤ R (τ ) ≤ μ 2 + σ 2
R (τ ) = R ( −τ )
R (τ → ∞ ) = μ 2
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简谐振动与频谱分析基础
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6.2 随机振动的统计分析－各态历经过程
, n)
{ xi }
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6.2 随机振动的统计分析－概念
样本函数 随机过程的每一次试验结果称为一个样本函数。 随机过程的总体 n个随机过程试验得到的n个样本函数构成 随机过程的总体。
xn ( t )
x ( t1 ) = { x1 ( t1 ) , x2 ( t1 ) ,
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脉冲响应函数方法（杜哈梅积分）
y ( t ) = ∫ x (τ ) h ( t − τ ) dτ
t −∞
1 −ξωn ( t −τ ) h (t −τ ) = e sin (ωd ( t − τ ) ) mωd
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6.3 随机激励下的响应
频响函数法
1 x (t ) = 2π
−∞ ∞ −∞ ∞ ∞
=∫
−∞ −∞
∫ x ( t − θ ) x ( t + τ − θ ) h (θ ) h (θ ) dθ dθ
1 2 1 2 1
∞
2
Ry (τ ) = E ⎡ y ( t ) y ( t + τ ) ⎤ ⎣ ⎦ =∫
∫ =∫ ∫
∞
∞
∞
−∞ −∞ ∞
E ⎡ x ( t − θ1 ) x ( t + τ − θ 2 ) ⎤ h (θ1 ) h (θ 2 ) dθ1dθ 2 ⎣ ⎦ Rx (τ + θ1 − θ 2 ) h (θ1 ) h (θ 2 ) dθ1dθ 2
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−∞ −∞
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6.3 平稳随机激励下的响应
频响函数法—功率谱密度
1 S y (ω ) = 2π 1 = 2π
∞
∫
∞
−∞ ∞
Ry (τ ) e − iωτ dτ e
− iωτ
∫
−∞
dτ ∫
∞
−∞ −∞ ∞
∫
∞
Rx (τ + θ1 − θ 2 ) h (θ1 ) h (θ 2 ) dθ1dθ 2
−∞
∞
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6.2 随机振动的统计分析－时间域
数学期望
μ f = E ⎡ f ( x ) ⎤ = f ( x ) = ∫ f ( x ) p ( x ) dx ⎣ ⎦ −∞
μ x = E [ x ] = x = ∫ xp ( x ) dx
−∞ 2 x 2 2 ∞
−∞ −∞
y
−∞ −∞
x
y
简谐振动与频谱分析基础
6.2 随机振动的统计分析－时间域
例题 转子制造误差引起的偏心分布满足以下规律，求时间域的统计参数。
⎧kx 2 p ( x) = ⎨ ⎩ 0
∞
0≤ x≤5 others
5
3 1 = ∫ p ( x ) dx = ∫ kx dx ⇒ k = −∞ 0 125
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6.3 随机激励下的响应
脉冲响应函数法与频响函数法的关系
1 y (t ) = h (t ) = 2π X (ω ) = ∫ x ( t )e
−∞ ∞
∫
∞
−∞
H (ω ) X (ω ) eiωt dω
∞ −∞
− iωt
dt = ∫ δ ( t )e − iωt dt = 1
P ( x)
dP ( x ) P ( x + Δx ) − P ( x ) p ( x) = = lim Δx → 0 Δx dx
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6.2 随机振动的统计分析－概率分布
概率分布的性质
P ( x ) = ∫ p ( x′ ) dx′
x −∞
P ( ∞ ) = ∫ p ( x′ ) dx′ = 1
x y ∞ ∞ −∞ −∞ ∞ ∞ −∞ −∞ ∞ x ∞
∫ ( x − μ ) ( y − μ ) p ( x, y ) dxdy + μ μ ) p ( x, y ) dxdy
∞ −∞ −∞
相关系数
σ xy ρ xy = σ xσ y
12
= E ( xy ) − μ x μ y
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−∞ −∞ ∞
θ =t −τ
∞
⎡ ∞ x ( t − θ ) h (θ ) dθ ⎤ = ∞ E ⎡ x ( t − θ ) ⎤ h (θ ) dθ E ⎡ y ( t )⎤ = E ∫ ⎣ ⎦ ⎦ ⎢ −∞ ⎥ ∫−∞ ⎣ ⎣ ⎦ = E ⎡ x ( t − θ ) ⎤ ∫ h (θ ) dθ ⎣ ⎦
2 R (τ = 0 ) = E ( x 2 ) = ψ x
E ⎡{ x ( t ) − μ }{ x ( t + τ ) − μ }⎤ σx x τ ⎦ = ⎣ ρ= σ tσ t +τ σ2