考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识方法篇专题11 数学方法第48练

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2017版考前三个月高考数学全国甲卷通用理科知识方法

第12练导数几何意义的必会题型[题型分析·高考展望] 本部分题目考查导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数即为函数图象在该点处的切线的斜率，考查形式主要为选择题和填空题或者在解答题的某一步中出现(难度为低中档)，内容就是求导，注意审题是过点(x 0，y 0)的切线还是在点(x 0，y 0)处的切线.体验高考1.(2016·四川)设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0<x <1，ln x ，x >1图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是( )A.(0，1)B.(0，2)C.(0，＋∞)D.(1，＋∞) 答案 A解析 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0<x <1，ln x ，x >1，∴f ′(x )＝⎩⎨⎧－1x，0<x <1，1x ，x >1.若k 1·k 2＝－1，则两个切点一个在x ∈(0，1)的图象上为P 1，一个在x ∈(1，＋∞)的图象上为P 2.设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则k 1＝－1x 1，k 2＝1x 2.∵k 1k 2＝－1，∴x 1x 2＝1. 令x 1＝x 0(0<x 0<1)，则x 2＝1x 0.∴P 1(x 0，－ln x 0)，P 2⎝⎛⎭⎫1x 0，－ln x 0.∴l 1：y ＋ln x 0＝－1x 0(x －x 0)⇒y ＝－1x 0x ＋1－ln x 0，∴A (0，1－ln x 0).l 2：y ＋ln x 0＝x 0(x －1x 0)⇒y ＝x 0x －1－ln x 0，∴B (0，－1－ln x 0)，∴|AB |＝1－ln x 0－(－1－ln x 0)＝2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1x 0x ＋1－ln x 0，y ＝x 0x －1－ln x 0，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0x 20＋1，x 20－1x 20＋1－ln x 0.∴S △P AB ＝12·2|x 0|x 20＋1·|AB |＝12·2x 0x 20＋1·2＝2x 0x 20＋1＝2x 0＋1x 0.∵x 0∈(0，1)，∴0＜2x 0＋1x 0＜1，故S △P AB ∈(0，1).2.(2016·课标全国丙)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程是________. 答案 y ＝2x解析设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1＋x ，因为f (x )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝e x －1＋x .因为当x ＞0时，f ′(x )＝e x －1＋1，所以f ′(1)＝2，所以曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程为 y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .3.(2016·课标全国甲)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________. 答案 1－ln 2解析 y ＝ln x ＋2的切线为：y ＝1x 1·x ＋ln x 1＋1(设切点横坐标为x 1)，y ＝ln(x ＋1)的切线为：y ＝1x 2＋1x ＋ln(x 2＋1)－x 2x 2＋1(设切点横坐标为x 2)，∴⎩⎨⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝ln (x 2＋1)－x2x 2＋1，解得⎩⎨⎧x 1＝12，x 2＝－12，，∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2.4.(2015·天津)已知函数f (x )＝4x －x 4，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间；(2)设曲线y ＝f (x )与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y ＝g (x )，求证：对于任意的实数x ，都有f (x )≤g (x )；(3)若方程f (x )＝a (a 为实数)有两个实数根x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：x 2－x 1≤－a3＋431.(1)解由f (x )＝4x －x 4，可得f ′(x )＝4－4x 3. 当f ′(x )＞0，即x ＜1时，函数f (x )单调递增；当f ′(x )＜0，即x ＞1时，函数f (x )单调递减. 所以f (x )的单调递增区间为(－∞，1)，单调递减区间为(1，＋∞). (2)证明设点P 的坐标为(x 0，0)，则x 0＝431，f ′(x 0)＝－12.曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程为y ＝f ′(x 0)·(x －x 0)，即g (x )＝f ′(x 0)(x －x 0). 令函数F (x )＝f (x )－g (x )，即F (x )＝f (x )－f ′(x 0)(x －x 0)，则F ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0).由于f ′(x )＝－4x 3＋4在(－∞，＋∞)上单调递减，故F ′(x )在(－∞，＋∞)上单调递减. 又因为F ′(x 0)＝0，所以当x ∈(－∞，x 0)时，F ′(x )＞0；当x ∈(x 0，＋∞)时，F ′(x )＜0，所以F (x )在(－∞，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减，所以对于任意的实数x ，F (x )≤F (x 0)＝0，即对于任意的实数x ，都有f (x )≤g (x ). (3)证明由(2)知g (x )＝－12⎝⎛⎭⎫x －431.设方程g (x )＝a 的根为x 2′，可得x 2′＝－a12＋431.因为g (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，又由(2)知g (x 2)≥f (x 2)＝a ＝g (x 2′)，因此x 2≤x 2′.类似地，设曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝h (x )，可得h (x )＝4x .对于任意的x ∈(－∞，＋∞)，有f (x )－h (x )＝－x 4≤0，即f (x )≤h (x ). 设方程h (x )＝a 的根为x 1′，可得x 1′＝a4.因为h (x )＝4x 在(－∞，＋∞)上单调递增，且h (x 1′)＝a ＝f (x 1)≤h (x 1)，因此x 1′≤x 1，由此可得x 2－x 1≤x 2′－x 1′＝－a3＋431.5.(2016·课标全国甲)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1). (1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0，求a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞). 当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)， f ′(x )＝ln x ＋1x －3，f ′(1)＝－2，f (1)＝0，曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y －2＝0.(2)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0等价于ln x －a (x －1)x ＋1>0，设g (x )＝ln x －a (x －1)x ＋1，则g ′(x )＝1x －2a(x ＋1)2＝x 2＋2(1－a )x ＋1x (x ＋1)2，g (1)＝0.①当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时， x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1>0，故g ′(x )>0，g (x )在(1，＋∞)上单调递增，因此g (x )>0；②当a >2时，令g ′(x )＝0得，x 1＝a －1－(a －1)2－1，x 2＝a －1＋(a －1)2－1. 由x 2>1和x 1x 2＝1得x 1<1，故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在(1，x 2)上单调递减，因此g (x )<0.综上，a 的取值范围是(－∞，2].高考必会题型题型一直接求切线或切线斜率问题例1 (1)(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，7)，则a ＝______. (2)曲线y ＝x e x－1在点(1，1)处切线的斜率等于( )A.2eB.eC.2D.1 答案 (1)1 (2)C解析 (1)f ′(x )＝3ax 2＋1，f ′(1)＝1＋3a ，f (1)＝a ＋2. 在点(1，f (1))处的切线方程为y －(a ＋2)＝(1＋3a )(x －1). 将(2，7)代入切线方程，得7－(a ＋2)＝(1＋3a )，解得a ＝1. (2)∵y ＝x ex －1＝x e x e， ∴y ′＝1e (e x ＋x ·e x )＝1e·e x·(x ＋1)，故曲线在点(1，1)处的切线斜率为y ′|x ＝1＝2. 点评导数几何意义的应用，需注意以下两点：(1)当曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0.(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.变式训练1 (2016·课标全国丙)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________. 答案 2x ＋y ＋1＝0解析设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (x )为偶函数，f (x )＝ln x －3x ，f ′(x )＝1x －3，f ′(1)＝－2，切线方程为y ＝－2x －1. 题型二导数几何意义的综合应用例2 (2015·山东)设函数f (x )＝(x ＋a )ln x ，g (x )＝x 2e x . 已知曲线y ＝f (x ) 在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0平行. (1)求a 的值；(2)是否存在自然数k ，使得方程f (x )＝g (x )在(k ，k ＋1)内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由；(3)设函数m (x )＝min{f (x )，g (x )}(min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)，求m (x )的最大值. 解 (1)由题意知，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为2，所以f ′(1)＝2，又f ′(x )＝ln x ＋ax ＋1，即f ′(1)＝a ＋1＝2，所以a ＝1.(2)当k ＝1时，方程f (x )＝g (x )在(1，2)内存在唯一的根.设h (x )＝f (x )－g (x )＝(x ＋1)ln x －x 2e x ，当x ∈(0，1]时，h (x )＜0.又h (2)＝3ln 2－4e 2＝ln 8－4e 2＞1－1＝0，所以存在x 0∈(1，2)，使得h (x 0)＝0. 因为h ′(x )＝ln x ＋1x ＋1＋x (x －2)e x ，所以当x ∈(1，2)时，h ′(x )＞1－1e ＞0，当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )＞0，所以当x ∈(1，＋∞)时，h (x )单调递增，所以k ＝1时，方程f (x )＝g (x )在(k ，k ＋1)内存在唯一的根. (3)由(2)知方程f (x )＝g (x )在(1，2)内存在唯一的根x 0. 且x ∈(0，x 0)时，f (x )＜g (x )， x ∈(x 0，＋∞)时，f (x )＞g (x )，所以m (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)ln x ，x ∈(0，x 0]，x 2e x ，x ∈(x 0，＋∞).当x ∈(0，x 0)时，若x ∈(0，1]，m (x )≤0；若x ∈(1，x 0)，由m ′(x )＝ln x ＋1x ＋1＞0，可知0＜m (x )≤m (x 0)；故m (x )≤m (x 0).当x ∈(x 0，＋∞)时，由m ′(x )＝x (2－x )e x ，可得x ∈(x 0，2)时，m ′(x )＞0，m (x )单调递增； x ∈(2，＋∞)时，m ′(x )＜0，m (x )单调递减；可知m (x )≤m (2)＝4e 2，且m (x 0)＜m (2).综上可得，函数m (x )的最大值为4e2.点评已知切线求参数问题，主要利用导数几何意义，通过切点坐标、切线斜率之间的关系来构造方程组求解.变式训练2 (2015·广东)设a >1，函数f (x )＝(1＋x 2)e x －a . (1)求f (x )的单调区间；(2)证明：f (x )在(－∞，＋∞)上仅有一个零点；(3)若曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M (m ，n )处的切线与直线OP 平行(O是坐标原点)，证明：m ≤3a －2e－1.(1)解 f ′(x )＝2x e x ＋(1＋x 2)e x ＝(x 2＋2x ＋1)e x ＝(x ＋1)2e x ，∀x ∈R ，f ′(x )≥0恒成立.∴f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)，无单调减区间. (2)证明 ∵f (0)＝1－a ，f (a )＝(1＋a 2)e a －a ， ∵a >1，∴f (0)<0，f (a )>2a e a －a >2a －a ＝a >0， ∴f (0)·f (a )<0，∴f (x )在(0，a )上有一零点，又∵f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增， ∴f (x )在(0，a )上仅有一个零点， ∴f (x )在(－∞，＋∞)上仅有一个零点. (3)证明 f ′(x )＝(x ＋1)2e x ，设P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝ex (x 0＋1)2＝0，∴x 0＝－1，把x 0＝－1代入y ＝f (x )得y 0＝2e －a ，∴k OP ＝a －2e .f ′(m )＝e m (m ＋1)2＝a －2e，令g (m )＝e m －(m ＋1)，g ′(m )＝e m －1.令g ′(x )>0，则m >0，∴g (m )在(0，＋∞)上单调递增，令g ′(x )<0，则m <0，∴g (m )在(－∞，0)上单调递减， ∴g (m )min ＝g (0)＝0.∴e m －(m ＋1)≥0，即e m ≥m ＋1. ∴e m (m ＋1)2≥(m ＋1)3，即a －2e ≥(m ＋1)3.∴m ＋1≤3a －2e ，即m ≤ 3a －2e－1.高考题型精练1.已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A.x ＋y －1＝0B.x －y －1＝0C.x ＋y ＋1＝0D.x －y ＋1＝0答案 B解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0). 又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0. ∴切点为(1，0)， ∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.故选B.2.已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 等于( ) A.－1 B.－3 C.－4 D.－2 答案 D解析 ∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1. 又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1. g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1， y 0＝12x 20＋mx 0＋72(m <0)，于是解得m ＝－2.故选D.3.已知直线l 与曲线f (x )＝x 2－3x ＋2＋2ln x 相切，则直线l 倾斜角的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 答案 B解析函数的定义域为(0，＋∞).由导数的几何意义可知，曲线上任意一点P (x ，y )处的切线的斜率为f ′(x )＝2x －3＋2x ，因为x ＞0，故2x ＋2x≥22x ×2x ＝4(当且仅当2x ＝2x，即x ＝1时取等号)，所以f ′(x )＝2x －3＋2x ≥4－3＝1，即直线l 的斜率的最小值为1，此时直线的倾斜角取得最小值π4.故选B.4.设a ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数是f ′(x )，若f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为( ) A.y ＝3x B.y ＝－2x C.y ＝－3x D.y ＝2x答案 C解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a －3)，又f ′(x )是偶函数，∴a ＝0，即f ′(x )＝3x 2－3. ∴k ＝f ′(0)＝－3，∴曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝－3x ，故选C. 5.曲线y ＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13B.12C.23 D.1 答案 A解析因为y ′＝－2e－2x，∴曲线在点(0，2)处的切线斜率k ＝－2，∴切线方程为y ＝－2x＋2，该直线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形如图所示，其中直线y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点为A ⎝⎛⎭⎫23，23，所以三角形的面积S ＝12×1×23＝13.6.若曲线f (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx ＋d (a ，b ，c >0)上不存在斜率为0的切线，则f ′(1)b －1的取值范围是( ) A.(1，＋∞) B.[1，＋∞) C.(2，＋∞) D.[2，＋∞)答案 A解析因为函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c ，所以f ′(1)b －1＝a ＋b ＋c b －1＝a ＋cb .函数f (x )图象上不存在斜率为0的切线，也就是f ′(x )＝0无解，故Δ＝b 2－4ac <0，即ac >b 24，所以a ＋c b ≥2ac b >2b 24b＝1，即f ′(1)b －1＝a ＋c b的取值范围是(1，＋∞).7.(2015·陕西)设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P的坐标为________. 答案 (1，1)解析 y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x (x >0)的导数为y ′＝－1x 2(x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2 (m >0)，因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1，1).8.已知f (x )＝x 3＋f ′(23)x 2－x ，则f (x )的图象在点(23，f (23))处的切线斜率是________.答案－1解析 f ′(x )＝3x 2＋2f ′(23)x －1，令x ＝23，可得f ′(23)＝3×(23)2＋2f ′(23)×23－1，解得f ′(23)＝－1，所以f (x )的图象在点(23，f (23))处的切线斜率是－1.9.已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1，0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为________. 答案278解析设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a ). 由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ，切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝3t 2－a ，① 所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t ).②将点(1，0)代入②式得，－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解得t ＝0或t ＝32.分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k ＝－a 和k ＝274－a ，由题意它们互为相反数，得a ＝278.10.已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是________.答案 x －y －2＝0解析根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2，0)，所以切线方程为x －y －2＝0.11.(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋14，g (x )＝－ln x . (1)当a 为何值时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线；(2)用min{m ，n }表示m ，n 中的最小值，设函数h (x )＝min {}f (x )，g (x )(x >0)，讨论h (x )零点的个数.解 (1)设曲线y ＝f (x )与x 轴相切于点(x 0，0)，则f (x 0)＝0，f ′(x 0)＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧x 30＋ax 0＋14＝0，3x 20＋a ＝0，解得⎩⎨⎧ x 0＝12，a ＝－34.因此，当a ＝－34时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线. (2)当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＝－ln x <0，从而h (x )＝min{f (x )，g (x )}≤g (x )<0，故h (x )在(1，＋∞)内无零点.当x ＝1时，若a ≥－54，则f (1)＝a ＋54≥0， h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝g (1)＝0，故x ＝1是h (x )的零点；若a <－54，则f (1)<0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝f (1)<0，故x ＝1不是h (x )的零点.当x ∈(0，1)时，g (x )＝－ln x >0.所以只需考虑f (x )在(0，1)上的零点个数.(ⅰ)若a ≤－3或a ≥0，则f ′(x )＝3x 2＋a 在(0，1)内无零点，故f (x )在(0，1)上单调.而f (0)＝14，f (1)＝a ＋54，所以当a ≤－3时，f (x )在(0，1)有一个零点；当a ≥0时，f (x )在(0，1)内没有零点.(ⅱ)若－3<a <0，则f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－a 3上单调递减，在⎝⎛⎭⎫ －a 3，1上单调递增，故在(0，1)中，当x ＝－a 3时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝⎛⎭⎫ －a 3＝2a 3 －a 3＋14.①若f ⎝⎛⎭⎫ －a 3>0，即－34<a <0，f (x )在(0，1)内无零点； ②若f ⎝⎛⎭⎫ －a 3＝0，即a ＝－34，则f (x )在(0，1)内有唯一零点； ③若f ⎝⎛⎭⎫－a 3<0，即－3<a <－34，由于f (0)＝14，f (1)＝a ＋54，所以当－54<a <－34时，f (x )在(0，1)内有两个零点；当－3<a ≤－54时，f (x )在(0，1)内有一个零点. 综上，当a >－34或a <－54时，h (x )有一个零点；当a ＝－34或a ＝－54时，h (x )有两个零点；当－54<a <－34时，h (x )有三个零点. 12.(2016·北京)设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)求f (x )的单调区间.解 (1)f (x )的定义域为R .∵f ′(x )＝e a －x －x e a －x ＋b ＝(1－x )e a －x ＋b . 依题设，⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝2e ＋2，f ′(2)＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1. 解得a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f (x )＝x e 2－x ＋e x ，由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x ＞0知， f ′(x )与1－x ＋e x －1同号. 令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )＜0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增.故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g (x )＞0，x ∈(－∞，＋∞).综上可知，f ′(x )＞0，x ∈(－∞，＋∞)，故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞).。

考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)考前抢分必做考前回扣回扣10含答案

回扣10 复数、算法、推理与证明1.复数的相关概念及运算法则 (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的分类 ①z 是实数⇔b ＝0. ②z 是虚数⇔b ≠0.③z 是纯虚数⇔a ＝0且b ≠0. (2)共轭复数复数z ＝a ＋b i 的共轭复数z ＝a －b i. (3)复数的模：复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2. (4)复数相等的充要条件a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R ). 特别地，a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0(a ，b ∈R ). (5)复数的运算法则加减法：(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ；乘法：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；除法：(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i ；其中a ，b ，c ，d ∈R . 2.复数的几个常见结论 (1)(1±i)2＝±2i ； (2)1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i ； (3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈Z )； (4)ω＝－12±32i ，且ω0＝1，ω2＝ω，ω3＝1，1＋ω＋ω2＝0.3.程序框图的三种基本逻辑结构 (1)顺序结构：如图(1)所示. (2)条件结构：如图(2)和图(3)所示. (3)循环结构：如图(4)和图(5)所示.程序框图由程序框和流程线组成，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；流程线带有方向箭头，按照算法进行的顺序将程序框连接起来.程序框图的基本逻辑结构包括顺序结构、条件结构和循环结构三种.4.推理推理分为合情推理与演绎推理，合情推理包括归纳推理和类比推理；演绎推理的一般模式是三段论.合情推理的思维过程(1)归纳推理的思维过程：实验、观察―→概括、推广→猜测一般性结论(2)类比推理的思维过程：实验、观察―→联想、类推→猜测新的结论5.证明方法(1)分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知.推理模式：框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件(2)综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知.推理模式：框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论).(3)反证法在假定命题结论成立的前提下，经过推理，若推出的结果与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此判定命题结论成立的方法叫反证法.1.复数z 为纯虚数的充要条件是a ＝0且b ≠0(z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ).还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧.2.复数的运算与多项式运算类似，要注意利用i 2＝－1化简合并同类项.3.在解决含有循环结构的框图时，要弄清停止循环的条件.注意理解循环条件中“≥”与“>”的区别.4.解决程序框图问题时，要注意流程线的指向与其上文字“是”“否”的对应.5.类比推理易盲目机械类比，不要被表面的假象(某一点表面相似)迷惑，应从本质上类比.用数学归纳法证明时，易盲目以为n 0的起始值n 0＝1，另外注意证明传递性时，必须用n ＝k 成立的归纳假设.6.在循环结构中，易错误判定循环体结束的条件，导致错求输出的结果.1.复数z ＝1＋i1－2i 的虚部为( )A.－15B.15C.－35D.35答案 D解析 z ＝1＋i 1－2i ＝(1＋i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝－15＋35i ，所以其虚部为35.2.复数z 满足z (2－i)＝1＋7i ，则复数z 的共轭复数为( ) A.－1－3i B.－1＋3i C.1＋3i D.1－3i 答案 A解析 z (2－i)＝1＋7i ，∴z ＝1＋7i 2－i ＝(1＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝－5＋15i5＝－1＋3i ，共轭复数为－1－3i.3.阅读如图所示的程序框图，若m ＝8，n ＝10，则输出的S 的值等于( )A.28B.36C.45D.120 答案 C解析第一次循环：S ＝10，k ＝1；第二次循环：S ＝10×92＝45，k ＝2；第三次循环：S ＝45×83＝120，k ＝3；第四次循环：S ＝120×74＝210，k ＝4；第五次循环：S ＝210×65＝252，k ＝5；第六次循环：S ＝252×56＝210，k ＝6；第七次循环：S ＝210×47＝120，k ＝7；第八次循环：S ＝120×38＝45，k ＝8＝m ；结束循环，输出S ＝45.4.已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4，…，类比有x ＋ax n ≥n ＋1 (n ∈N *)，则a 等于( ) A.n B.2n C.n 2 D.n n 答案 D解析第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝1，第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝4，第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33，归纳可以知道a＝n n.5.“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是()A.正方形都是对角线相等的四边形B.矩形都是对角线相等的四边形C.等腰梯形都是对角线相等的四边形D.矩形都是对边平行且相等的四边形答案 B解析用三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据，∵由四边形ABCD 为矩形，得到四边形ABCD的对角线相等的结论，∴大前提一定是矩形的对角线相等.6.用反证法证明命题：“已知a，b∈N*，如果ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()A.a，b都被5整除B.a，b都不能被5整除C.a，b不能被5整除D.a不能被5整除答案 B解析由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证.命题“a，b∈N*，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”.7. 以下是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①，②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是()A.①—综合法，②—分析法B.①—分析法，②—综合法C.①—综合法，②—反证法D.①—分析法，②—反证法答案 A解析根据已知可得该结构图为证明方法的结构图：∵由已知到可知，进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法为：①—综合法，②—分析法.8.执行如图所示的程序框图，若输出的是n＝6，则输入整数p的最小值为()A.15B.16C.31D.32 答案 B解析列表分析如下是否继续循环 S n 循环前 0 1 第一圈是 1 2 第二圈是 3 3 第三圈是 7 4 第四圈是 15 5 第五圈是 31 6 第六圈否故当S 值不大于15时继续循环，大于15但不大于31时退出循环，故p 的最小正整数值为16. 9.在平面上，如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么类比得到的结论是______________.答案 S 21＋S 22＋S 23＝S 24解析将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S 21＋S 22＋S 23＝S 24.10.若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2＋y 0yb2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________________. 答案x 0x a 2－y 0y b 2＝1 解析设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1，P 2的切线方程分别是 x 1x a 2－y 1y b 2＝1，x 2x a 2－y 2y b 2＝1. 因为P 0(x 0，y 0)在这两条切线上，故有x 1x 0a 2－y 1y 0b 2＝1，x 2x 0a 2－y 2y 0b2＝1，这说明P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线x 0x a 2－y 0yb2＝1上，故切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2－y 0yb2＝1.合理分配高考数学答题时间找准目标，惜时高效——合理分配高考数学答题时间经过漫长的第一、第二轮复习，对于各知识点的演练同学们已经烂熟于心，我们把这称为战术上的纯熟。

2017版考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识方法篇专题11 数学方法第50练 Word版含答案

第50练关于计算过程的再优化[题型分析·高考展望] 中学数学的运算包括数的计算，式的恒等变形，方程和不等式同解变形，初等函数的运算和求值，各种几何量的测量与计算，求数列和函数、定积分、概率、统计的初步计算等.《高中数学新课程标准》所要求的数学能力中运算求解能力更为基本，运算求解能力指的是要求学生会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算.运算求解能力是思维能力和运算技能的结合.运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等.数学运算，都是依据相应的概念、法则、性质、公式等基础知识进行的，尤其是概念，它是思维的形式，只有概念明确、理解透彻，才能作出正确的判断及合乎逻辑的推理.计算法则是计算方法的程序化和规则化，对法则的理解是计算技能形成的前提.高考命题对运算求解能力的考查主要是针对算法、推理及以代数运算为主的考查.因此在高中数学中，对于运算求解能力的培养至关重要.提高数学解题能力，首先是提高数学的运算求解能力，可以从以下几个方面入手： 1.培养良好的审题习惯. 2.培养认真计算的习惯.3.培养一些常用结论的记忆的能力，记住一些常用的结论，比如数列求和的公式12＋22＋32＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)，三角函数中的辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ)等等.4.加强运算练习是提高基本运算技能的有效途径，任何能力都是有计划、有目的地训练出来的，提高基本运算技能也必须加强练习、严格训练.5.提高运算基本技能，必须要提高学生在运算中的推理能力，这就首先要清楚运算的定理及相关理论.6.增强自信是解题的关键，自信才能自强，在数学解题中，自信心是相当重要的.高考必会题型题型一化繁为简，优化计算过程例1 过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )A.33 B.－33 C.±33D.－ 3 答案 B解析由y ＝1－x 2得，x 2＋y 2＝1(y ≥0)，设直线方程为x ＝my ＋2，m <0(m ≥0不合题意)，代入x 2＋y 2＝1(y ≥0)，整理得， (1＋m 2)y 2＋22my ＋1＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－22m 1＋m 2，y 1y 2＝11＋m 2，则△AOB 的面积为12×2|y 1－y 2|＝22|y 1－y 2|，因为|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝(－22m 1＋m 2)2－41＋m 2＝2m 2－11＋m 2＝2m 2－12＋m 2－1＝22m 2－1＋m 2－1≤222m 2－1×m 2－1＝22，当且仅当2m 2－1＝m 2－1，即m 2－1＝2，m ＝－3时取等号. 此时直线方程为x ＝－3y ＋2，即y ＝－33x ＋63，所以直线的斜率为－33. 点评本题考查直线与圆的位置关系以及三角形的面积公式，先设出直线方程x ＝my ＋2，表示出△AOB 的面积，然后探讨面积最大时m 的取值，得到直线的斜率. 题型二运用概念、性质等优化计算过程例2 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________.答案 57解析如图，设|BF |＝m ，由题意知，m 2＋100－2×10m cos ∠ABF ＝36，解得m ＝8，所以△ABF 为直角三角形，所以|OF |＝5，即c ＝5，由椭圆的对称性知|AF ′|＝|BF |＝8(F ′为右焦点)，所以a ＝7，所以离心率e ＝57.点评熟练掌握有关的概念和性质是快速准确解决此类题目的关键. 题型三代数运算中加强“形”的应用，优化计算过程例3 设b >0，数列{a n }满足a 1＝b ，a n ＝nba n －1a n －1＋2n －2(n ≥2).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n ，a n ≤b n ＋12n ＋1＋1.(1)解由a 1＝b >0，知a n ＝nba n －1a n －1＋2n －2>0，n a n ＝1b ＋2b ·n －1a n －1. 令A n ＝n a n ，A 1＝1b ，当n ≥2时，A n ＝1b ＋2bA n －1＝1b ＋2b 2＋…＋2n －2b n －1＋2n －1bn －1A 1 ＝1b ＋2b 2＋…＋2n －2bn －1＋2n －1b n . ①当b ≠2时，A n ＝1b [1－(2b )n ]1－2b ＝b n －2n b n (b －2)；②当b ＝2时，A n ＝n2.综上，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧nb n(b －2)b n －2n ，b ≠2，2， b ＝2.(2)证明当b ≠2时，(2n ＋1＋bn ＋1)b n －2nb －2＝(2n ＋1＋b n ＋1)(b n －1＋2b n －2＋…＋2n －1)＝2n ＋1b n －1＋2n ＋2b n －2＋…＋22n ＋b 2n ＋2b 2n －1＋…＋2n －1b n ＋1＝2n b n(2b ＋22b 2＋…＋2n b n ＋b n 2n ＋b n －12n －1＋…＋b 2)>2n b n (2＋2＋…＋2)，＝2n ·2n b n ＝n ·2n ＋1b n ，∴a n ＝nb n (b －2)b n －2n <b n ＋12n ＋1＋1.当b ＝2时，a n ＝2＝b n ＋12n ＋1＋1.综上所述，对于一切正整数n ，a n ≤b n ＋12n ＋1＋1.点评结合题目中a n 的表达式可知，需要构造a n 新的形式n a n ＝1b ＋2b ·n －1a n －1，得到新的数列，根据新数列的形式求和；不等式的证明借用放缩完成.高考题型精练1.已知函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域是一切实数，则m 的取值范围是( ) A.0<m ≤4 B.0≤m ≤1 C.m ≥4 D.0≤m ≤4 答案 D解析根据题意mx 2＋mx ＋1≥0(x ∈R )恒成立，当m ＝0时，满足不等式；当m ≠0时，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4，综上0≤m ≤4.2.已知函数f (x －1x )＝x 2＋1x 2，则f (3)的值为( )A.8B.9C.11D.10 答案 C解析 ∵f (x －1x )＝(x －1x)2＋2，∴f (3)＝9＋2＝11.3.已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－1或x >12}，则f (10x )>0的解集为( )A.{x |x <－1或x >lg 2}B.{x |－1<x <lg 2}C.{x |x >－lg 2}D.{x |x <－lg 2}答案 D解析由题意知，一元二次不等式f (x )>0的解集为(－1，12)，即－1<10x <12⇒x <－lg 2.4.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －1x )6，x <0，－x ，x ≥0.则当x >0时，f (f (x ))表达式的展开式中常数项为( )A.－20B.20C.－15D.15 答案 A解析当x >0时，f [f (x )]＝(－x ＋1x )6＝(1x －x )6的展开式中，常数项为C 36(1x)3(－x )3＝－20.5.在△ABC 中，若AC AB ＝cos Bcos C ，则( )A.A ＝CB.A ＝BC.B ＝CD.以上都不正确答案 C解析 ∵AC AB ＝sin B sin C ＝cos Bcos C ，∴sin B cos C －cos B sin C ＝0. ∴sin(B －C )＝0. 又∵－π<B －C <π， ∴B －C ＝0，即B ＝C .6.已知直线l 与抛物线y 2＝4x 交于A 、B 两点，若P (2，2)为AB 的中点，则直线AB 的方程为________. 答案 x －y ＝0解析 ∵点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线y 2＝4x 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，∴y 22－y 21＝4x 2－4x 1，即y 2－y 1x 2－x 1＝4y 2＋y 1.∵P (2，2)为AB 的中点，所以y 2＋y 1＝4， ∴直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝44＝1，∴直线AB 的方程为x －y ＝0.7.抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部与边界).若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是________. 答案 [－2，12]解析易知切线方程为：y ＝2x －1，所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为A (0，0)，B (12，0)，C (0，－1).易知过C 点时有最小值－2，过B 点时有最大值12. 8.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin(π4＋C )－c sin(π4＋B )＝a .(1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积.(1)证明由b sin(π4＋C )－c sin(π4＋B )＝a ，应用正弦定理，得sin B sin(π4＋C )－sin C sin(π4＋B )＝sin A ，sin B (22sin C ＋22cos C )－sin C (22sin B ＋22cos B )＝22，整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1，即sin(B －C )＝1. 由于0<B ，C <34π，从而B －C ＝π2.(2)解由(1)知，B －C ＝π2，又B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8.由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝12.9.在如图所示的多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，且AC ＝AD ＝CD ＝DE ＝2，AB ＝1.(1)请在线段CE 上找到点F 的位置，使得恰有直线BF ∥平面ACD ，并证明； (2)求平面BCE 与平面ACD 所成锐二面角θ的大小.解以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得x 轴和z 轴的正半轴分别经过点A 和点E ，则各点的坐标为D (0，0，0)，A (2，0，0)，E (0，0，2)，B (2，0，1)，C (1，3，0). (1)点F 应是线段CE 的中点，证明如下：设F 是线段CE 的中点，则点F 的坐标为(12，32，1)，DE →＝(0，0，2)，BF →＝⎝⎛⎭⎫－32，32，0，∴BF →·DE →＝0，∴BF →⊥DE →. 而DE →是平面ACD 的一个法向量. 此即证得BF ∥平面ACD .(2)设平面BCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥CB →，且n ⊥CE →，由CB →＝(1，－3，1)，CE →＝(－1，－3，2)，得⎩⎨⎧x －3y ＋z ＝0，－x －3y ＋2z ＝0，不妨设y ＝3，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，z ＝2，即n ＝(1，3，2)， ∴所求角θ满足cos θ＝n ·DE →|n |·|DE →|＝422×2＝22，∴θ＝π4.10.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，O 为坐标原点，离心率e ＝2，点M (5，3)在双曲线上.(1)求双曲线方程；(2)若直线l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP →·OQ →＝0，求1|OP |2＋1|OQ |2的值.解 (1)∵e ＝2，∴c ＝2a ，b 2＝c 2－a 2＝3a 2， ∴双曲线方程为x 2a 2－y 23a 2＝1，即3x 2－y 2＝3a 2，∵点M (5，3)在双曲线上， ∴15－3＝3a 2，∴a 2＝4， ∴所求双曲线方程为x 24－y 212＝1.(2)设直线OP 的方程为y ＝kx (k ≠0)，联立x 24－y212＝1得⎩⎨⎧x 2＝123－k 2，y 2＝12k23－k 2，∴|OP |2＝x 2＋y 2＝12(k 2＋1)3－k 2.∵OP →·OQ →＝0，∴直线OQ 的方程为y ＝－1k x ，同理可得|OQ |2＝12(k 2＋1)3k 2－1，∴1|OP |2＋1|OQ |2＝3－k 2＋(3k 2－1)12(k 2＋1)＝2＋2k 212(k 2＋1)＝16. 11.已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0).(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围. 解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N *). 结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1＞a 1＞a 2＞a 3＞a 4， a 5＞a 6＞a 7＞…＞a n ＞1(n ∈N *).∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0. (2)a n ＝1＋1a ＋2(n －1)＝1＋12n －2－a2，已知对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，可知5＜2－a2＜6，即－10＜a ＜－8.12.若正数x ，y 满足x ＋2y ＋4＝4xy ，且不等式(x ＋2y )a 2＋2a ＋2xy －34≥0恒成立，求实数a 的取值范围.解 ∵正实数x ，y 满足x ＋2y ＋4＝4xy ，即x ＋2y ＝4xy －4.不等式(x ＋2y )a 2＋2a ＋2xy －34≥0恒成立，即(4xy －4)a 2＋2a ＋2xy －34≥0恒成立，变形得2xy (2a 2＋1)≥4a 2－2a ＋34恒成立，即xy ≥2a 2－a ＋172a 2＋1恒成立.又∵x >0，y >0，∴x ＋2y ≥22xy ， ∴4xy ＝x ＋2y ＋4≥4＋22xy ，即2(xy )2－2xy －2≥0， ∴xy ≥2或xy ≤－22(舍去)，可得xy ≥2. 要使xy ≥2a 2－a ＋172a 2＋1恒成立，只需2≥2a 2－a ＋172a 2＋1恒成立，化简得2a 2＋a －15≥0，解得a ≤－3或a ≥52.故a 的取值范围是(－∞，－3]∪[52，＋∞).。

2017版考前三个月高考数学全国甲卷通用理科知识方法

第16练定积分问题[题型分析·高考展望] 定积分在理科高考中，也是重点考查内容.主要考查定积分的计算和利用定积分求不规则图形的面积，题目难度不大，多为中低档题目，常以选择题、填空题的形式考查，掌握定积分的计算公式，会求各种类型的曲边图形的面积是本节重点.体验高考1.(2015·湖南)⎠⎛02(x －1)d x ＝________.答案 0解析 ⎠⎛02(x －1)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－x ⎪⎪⎪20＝12×22－2＝0. 2.(2015·陕西)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________.答案 1.2解析由题意可知最大流量的比即为横截面面积的比，建立以抛物线顶点为原点的直角坐标系，如图所示.设抛物线方程为y ＝ax 2，将点(5，2)代入抛物线方程得a ＝225，故抛物线方程为y ＝225x 2，抛物线的横截面面积为S 1＝2⎠⎛05⎝⎛⎭⎫2－225x 2d x ＝2⎝⎛⎭⎫2x －275x 3⎪⎪⎪50＝403(m 2)，而原梯形下底为10－2tan 45°×2＝6(m)，故原梯形面积为S 2＝12(10＋6)×2＝16(m 2)，S 2S 1＝16403＝1.2.3.(2015·天津)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________. 答案 16解析曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ，得A (1，1)，面积S ＝⎠⎛01x d x －⎠⎛01x 2d x ＝12x 2⎪⎪⎪10－13x 3⎪⎪⎪10＝12－13＝16.4.(2015·福建)如图，点A 的坐标为(1，0)，点C 的坐标为(2，4)，函数f (x )＝x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________.答案512解析由题意知，阴影部分的面积 S ＝⎠⎛12(4－x 2)d x ＝(4x －13x 3)⎪⎪⎪21＝53，∴所求概率P ＝S S 矩形ABCD ＝531×4＝512.高考必会题型题型一定积分的计算例1 (1)⎠⎜⎜⎛－π2π2 (sin x ＋cos x )d x 的值为( )A.0B.π4C.2D.4(2)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋sin x ，－1≤x ≤1，2，1＜x ≤2.则⎠⎛－12 f (x )d x 等于( )A.0B.1C.2D.3 答案 (1)C(2)C解析 (1)原式＝(－cos x ＋sin x ) ⎪⎪⎪π2－π2＝1－(－1)＝2，故选C.(2)⎠⎛－12f (x )d x ＝⎠⎛－11(x 3＋sin x )d x ＋⎠⎛122d x＝(14x 4－cos x )⎪⎪⎪1－1＋(2x )⎪⎪⎪21＝0＋2＝2. 点评 (1)计算定积分，要先将被积函数化简，然后利用运算性质分解成几个简单函数的定积分，再利用微积分基本定理求解；(2)对有关函数图象和圆的定积分问题可以利用定积分的几何意义求解.变式训练1 (1)已知复数z ＝a ＋(a －2)i(a ∈R ，i 为虚数单位)为实数，则⎠⎛0a ()4－x 2＋x d x的值为( )A.2＋πB.2＋π2 C.4＋2π D.4＋4π(2)⎠⎛03|x 2－4|d x 等于( )A.213B.223C.233D.253 答案 (1)A (2)C解析 (1)因为z ＝a ＋(a －2)i(a ∈R )为实数，所以a ＝2，⎠⎛0a (4－x 2＋x )d x ＝⎠⎛024－x 2d x＋12x 2⎪⎪⎪20，由定积分的几何意义知，⎠⎛02 4－x 2d x 的值为以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的四分之一，即是π，所以⎠⎛024－x 2d x ＋12x 2⎪⎪⎪2的值为2＋π，故选A.(2)画出函数图象如图所示，可知⎠⎛03|x 2－4|d x ＝⎠⎛02(4－x 2)d x ＋⎠⎛23(x 2－4)d x ＝8－83＋(9－12－83＋8)＝233.题型二利用定积分求曲边梯形的面积例2 (1)由曲线y ＝x 2与y ＝x 的边界所围成区域的面积为( )A.13B.23C.1D.16 (2)y ＝12ex 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2 B.4e 2 C.2e 2 D.e 2 (3)由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面图形(如图中的阴影部分所示)的面积是( )A.1B.π4C.223 D.22－2答案 (1)A (2)D (3)D解析 (1)由题意可知，曲线y ＝x 2与y ＝x 的边界所围成区域的面积 S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝(23x 32－13x 3)⎪⎪⎪10＝23－13＝13.(2)因为y ′＝1212e x ，所以y ′|x ＝4＝12e 2，所以在点(4，e 2)处的切线方程是y －e 2＝12e 2(x －4)，当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝2，所以切线与坐标轴所围成三角形的面积是 S ＝12×|－e 2|×2＝e 2，故选D. (3)方法一由sin x ＝cos x (x ∈(0，π2))，得x ＝π4.故所求阴影部分的面积S ＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎜⎛π4π2(sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪⎪π4＋(－cos x －sin x ) ⎪⎪⎪π2π4＝sin π4＋cos π4－sin 0－cos 0＋[(－cos π2－sin π2)－(－cos π4－sin π4)]＝22－2.故选D.方法二由sin x ＝cos x (x ∈(0，π2))，得x ＝π4.根据图象的对称性，可知所求阴影部分的面积S ＝2⎠⎜⎛0π4(cos x －sin x )d x ＝2(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪⎪π40＝2(sin π4＋cos π4－sin 0－cos 0)＝22－2.点评求曲边多边形面积的步骤(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形. (2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限. (3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和. (4)计算定积分.变式训练2 如图所示，由函数f (x )＝sin x 与函数g (x )＝cos x 在区间⎣⎡⎦⎤0，3π2上的图象所围成的封闭图形的面积为( )A.32－1B.42－2C. 2D.2 2 答案 B解析 f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 在⎣⎡⎦⎤0，3π2上的交点坐标为⎝⎛⎭⎫π4，22，⎝⎛⎭⎫5π4，－22，两函数图象所围成的封闭图形的面积为S ＝⎠⎜⎛0π4(cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎜⎛π45π4(sin x －cos x )d x ＋⎠⎜⎜⎛5π43π2(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪⎪π4－(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪5π4π4＋(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪3π25π4＝42－2.故选B.高考题型精练1.已知自由落体运动的速率v ＝gt ，则落体运动从t ＝0到t ＝t 0所走的路程为( ) A.gt 203 B.gt 20 C.gt 202 D.gt 206 答案 C解析由题意，可知所走路程为⎠⎛0t 0v d t ＝⎠⎛0t 0gt d t ＝12gt 2⎪⎪⎪t 00＝12gt 20.2.定积分⎠⎛01(e x ＋2x )d x 的值为( )A.1B.e －1C.eD.e ＋1 答案 C解析 ⎠⎛01(e x ＋2x )d x ＝⎠⎛01e x d x ＋⎠⎛012x d x＝e x ⎪⎪⎪10＋x 2⎪⎪⎪1＝e ，故选C. 3.若⎠⎜⎛0π2(sin x －a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( )A.－1B.1C.－ 3D. 3 答案 A解析 ⎠⎜⎛0π2(sin x －a cos x )d x ＝(－cos x －a sin x )⎪⎪⎪⎪π20＝－a ＋1＝2，a ＝－1.4.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝⎠⎛03(1＋2x )d x ，S 20＝17，则S 30为( )A.15B.20C.25D.30 答案 A解析由已知得S 10＝⎠⎛03(1＋2x )d x ＝12，根据等差数列性质可得S 10＝12，S 20－S 10＝5，S 30－S 20＝S 30－17亦成等差数列，故有12＋S 30－17＝10⇒S 30＝15. 5.由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A.4 B.6 C.103 D.163答案 D解析因为⎩⎨⎧y ＝xy ＝x －2⇒x ＝4，根据定积分的几何意义可得，⎠⎛04(x －x ＋2)d x ＝(23x 32－12x 2＋2x )⎪⎪⎪40＝163，故选D.6.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈[1，e](其中e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x 的值为( )A.43B.54C.65D.76 答案 A解析根据定积分的运算法则，由题意，可知⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1xd x ＝13x 3⎪⎪⎪10＋ln x ⎪⎪⎪e1＝13＋1＝43.7.如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线f (x )＝sin x ，x ∈(0，π)及直线x ＝a ，a ∈(0，π)与x 轴围成.向矩形OABC 内随机投掷一点，若此点落在阴影部分的概率为14，则a 的值是( )A.7π12B.2π3C.3π4D.5π6 答案 B解析由题意可得，是与面积有关的几何概型，构成试验的全部区域是矩形OACB ，面积为a ×6a ＝6.记“向矩形OACB 内随机投掷一点，若落在阴影部分”为事件A ，则构成事件A 的区域即为阴影部分，面积为⎠⎛0a sin x d x ＝－cos x ⎪⎪⎪a＝1－cos a ，由几何概型的计算公式可得P (A )＝14＝1－cos a 6，cos a ＝－12，又∵a ∈(0，π)，∴a ＝2π3，故选B.8.已知⎠⎛02(3x 2＋k )d x ＝16，则k 等于( )A.1B.2C.3D.4 答案 D解析 ⎠⎛02(3x 2＋k )d x ＝(x 3＋kx )⎪⎪⎪20＝8＋2k ＝16，所以k ＝4.故选D.9.定积分⎠⎛01(2＋1－x 2)d x ＝________.答案 π4＋2解析 ⎠⎛01(2＋1－x 2)d x ＝⎠⎛012d x ＋⎠⎛011＋x 2d x＝2x ⎪⎪⎪10＋⎠⎛011＋x 2d x ＝2＋⎠⎛011＋x 2d x ，令y ＝1＋x 2，得x 2＋y 2＝1(y ≥0)，点(x ，y )的轨迹表示半圆.⎠⎛011＋x 2d x 表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的14，故⎠⎛011＋x 2d x ＝14×π×12＝π4，∴⎠⎛01(2＋1－x 2)d x ＝π4＋2.10.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________.答案－1解析由曲线在原点处与x 轴相切，可得f ′(0)＝0＝b ，此时f (x )＝－x 3＋ax 2＝x 2(a －x )，据定积分知，阴影部分面积为－⎠⎛a0(－x 3＋ax 2)d x ＝112，解得a ＝－1. 11.已知a ＞0，(ax －x )6的展开式的常数项为15，则⎠⎛－aa (x 2＋x ＋4－x 2)d x ＝______. 答案2＋2π3＋ 3 解析根据二项展开式的通项公式可知，T k ＋1＝C k 6(－1)k a6－k1(6)2k k x－－＝C k 6(－1)k a 6－k332k x－，∴令k ＝2，∴C 26(－1)2a 4＝15⇒a ＝1(a ＞0)，∴⎠⎛－a a (x 2＋x ＋4－x 2)d x＝⎠⎛－11x 2d x ＋⎠⎛－11x d x ＋⎠⎛－114－x 2d x .作出⎠⎛－114－x 2d x 表示的图象如图，根据定积分的几何意义及定义，从而可知⎠⎛－11x 2d x ＋⎠⎛－11x d x ＋⎠⎛－114－x 2d x＝23＋0＋12·1·3·2＋16π·4＝2＋2π3＋ 3. 12.计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积.解由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3，解得x ＝0及x ＝3.从而所求图形的面积 S ＝⎠⎛03[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)]d x＝⎠⎛03(－x 2＋3x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋32x 2⎪⎪⎪30＝92.。

考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)考前抢分必做考前回扣回扣3

回扣3 三角函数、平面向量1.准确记忆六组诱导公式对于“k π2±α，k ∈Z ”的三角函数值，与α角的三角函数值的关系可按口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限.2.同角三角函数的基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α(cos α≠0).3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.(4)a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba ).4.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.5.三种三角函数的性质函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象单调性在[－π2＋2k π，π2＋2k π] (k ∈Z )上单调递增；在[π2＋2k π，3π2＋2k π] (k ∈Z )上单调递减在[－π＋2k π，2k π] (k ∈Z )上单调递增；在[2k π，π＋2k π](k ∈Z )上单调递减在(－π2＋k π，π2＋k π)(k ∈Z )上单调递增对称性对称中心：(k π，0)(k ∈Z )；对称轴：x ＝π2＋k π (k ∈Z )对称中心：(π2＋k π，0)(k ∈Z )；对称轴：x ＝k π(k ∈Z )对称中心：(k π2，0) (k ∈Z )6.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)的图象 (1)“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出相应的x 的值与y 的值，描点、连线可得.(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口. (3)图象变换：y ＝sin x ――――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ) ――――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ) ――――――――――――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ). 7.正弦定理及其变形a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径). 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 8.余弦定理及其推论、变形a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C . 9.面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .10.解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解.(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一. (3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解. (4)已知三边，利用余弦定理求解. 11.平面向量的数量积(1)若a ，b 为非零向量，夹角为θ，则a·b ＝|a||b |cos θ. (2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 12.两个非零向量平行、垂直的充要条件若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 13.利用数量积求长度(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 14.利用数量积求夹角若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a·b|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22.15.三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则 (1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a 2sin A. (2)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0. (3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →. (4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0.1.利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号.2.在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x 的取值范围.3.求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意A 与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后求解.4.三角函数图象变换中，注意由y ＝sin ωx 的图象变换得y ＝sin(ωx ＋φ)时，平移量为⎪⎪⎪⎪φω，而不是φ.5.在已知两边和其中一边的对角时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解.6.要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行.7.a·b >0是〈a ，b 〉为锐角的必要不充分条件； a·b <0是〈a ，b 〉为钝角的必要不充分条件.1.2sin 45°cos 15°－sin 30°的值等于( )A.12B.22C.32 D.1 答案 C解析 2sin 45°cos 15°－sin 30°＝2sin 45°cos 15°－sin(45°－15°)＝2sin 45°cos 15°－(sin 45°cos 15°－cos 45°sin 15°)＝sin 45°cos 15°＋cos 45°sin 15°＝sin 60°＝32.故选C. 2.要得到函数y ＝sin 2x 的图象，可由函数y ＝cos(2x －π3)( )A.向左平移π6个单位长度得到B.向右平移π6个单位长度得到C.向左平移π12个单位长度得到D.向右平移π12个单位长度得到答案 D解析由于函数y ＝sin 2x ＝cos(π2－2x )＝cos(2x －π2)＝cos[2(x －π12)－π3]，所以可由函数y ＝cos(2x －π3)向右平移π12个单位长度得到函数y ＝sin 2x 的图象，故选D.3.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC的面积是( )A.3B.932C.332 D.3 3答案 C解析 c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6，① ∵C ＝π3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，②由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332，故选C.4.(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)的值是( ) A. 3 B.1＋ 2 C.2 D.2(tan 18°＋tan 27°) 答案 C解析由题意得，tan(18°＋27°)＝tan 18°＋tan 27°1－tan 18°tan 27°，即tan 18°＋tan 27°1－tan 18°tan 27°＝1，所以tan 18°＋tan 27°＝1－tan 18°tan 27°，所以(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝2，故选C.5.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定答案 B解析 ∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ， ∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，∴sin A ＝1，∴A ＝π2，三角形为直角三角形.6.已知A ，B ，C 是锐角△ABC 的三个内角，向量p ＝(sin A ，1)，q ＝(1，－cos B )，则p 与q 的夹角是( )A.锐角B.钝角C.直角D.不确定答案 A解析 ∵A 、B 、C 是锐角△ABC 的三个内角，∴A ＋B >π2，即A >π2－B >0，∴sin A >sin(π2－B )＝cos B ，∴p·q ＝sin A －cos B >0.再根据p ，q 的坐标可得p ，q 不共线，故p 与q 的夹角为锐角. 7. f (x )＝12sin(2x －π3)＋32cos(2x －π3)是( )A.最小正周期为2π的偶函数B.最小正周期为2π的奇函数C.最小正周期为π的奇函数D.最小正周期为π的偶函数答案 C解析 f (x )＝12sin(2x －π3)＋32cos(2x －π3)＝sin(2x －π3＋π3)＝sin 2x ，是最小正周期为π的奇函数，故选C.8.已知a ，b 为同一平面内的两个向量，且a ＝(1，2)，|b |＝12|a |，若a ＋2b 与2a －b 垂直，则a与b 的夹角为( ) A.0 B.π4 C.2π3 D.π答案 D解析 |b |＝12|a |＝52，而(a ＋2b )·(2a －b )＝0⇒2a 2－2b 2＋3b·a ＝0⇒b·a ＝－52，从而cos 〈b ，a 〉＝b·a|b|·|a |＝－1，〈b ，a 〉＝π，故选D. 9.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 有下列命题： ①若A >B >C ，则sin A >sin B >sin C ；②若cos A a ＝cos B b ＝cos C c ，则△ABC 为等边三角形；③若sin 2A ＝sin 2B ，则△ABC 为等腰三角形； ④若(1＋tan A )(1＋tan B )＝2，则△ABC 为钝角三角形； ⑤存在A ，B ，C 使得tan A tan B tan C <tan A ＋tan B ＋tan C 成立. 其中正确的命题为________.(写出所有正确命题的序号). 答案 ①②④解析若A >B >C ，则a >b >c ⇒sin A >sin B >sin C ；若cos A a ＝cos B b ＝cos C c ，则cos A sin A ＝cos B sin B⇒sin(A －B )＝0⇒A ＝B ⇒a ＝b ，同理可得a ＝c ，所以△ABC 为等边三角形；若sin 2A ＝sin 2B ，则2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，因此△ABC 为等腰或直角三角形；若(1＋tan A )(1＋tan B )＝2，则tan A ＋tan B ＝1－tan A tan B ，因此tan(A ＋B )＝1⇒C ＝3π4，△ABC 为钝角三角形；在△ABC 中，tan A tan B tan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C 恒成立，因此正确的命题为①②④.10.若△ABC 的三边a ，b ，c 及面积S 满足S ＝a 2－(b －c )2，则sin A ＝________. 答案817解析由余弦定理得S ＝a 2－(b －c )2＝2bc －2bc cos A ＝12bc sin A ，所以sin A ＋4cos A ＝4，由sin 2A ＋cos 2A ＝1，解得sin 2A ＋(1－sin A 4)2＝1，sin A ＝817(0舍去).11.若tan θ＝3，则cos 2θ＋sin θcos θ＝________. 答案 25解析 ∵tan θ＝3， ∴cos 2θ＋sin θcos θ＝cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1＋tan θtan 2θ＋1＝1＋332＋1＝25.12.已知单位向量a ，b ，c ，且a ⊥b ，若c ＝t a ＋(1－t )b ，则实数t 的值为________. 答案 1或0解析 c ＝t a ＋(1－t )b ⇒c 2＝t 2＋(1－t )2＝|c |2＝1⇒t ＝0或t ＝1.13.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足b cos A ＝(2c ＋a )cos(A ＋C ).(1)求角B 的大小；(2)求函数f (x )＝2sin 2x ＋sin(2x －B )(x ∈R )的最大值. 解 (1)由已知，b cos A ＝(2c ＋a )cos(π－B )，即sin B cos A ＝－(2sin C ＋sin A )cos B ，即sin(A ＋B )＝－2sin C cos B ，则sin C ＝－2sin C cos B ， ∴cos B ＝－12，即B ＝2π3.(2)f (x )＝2sin 2x ＋sin 2x cos2π3－cos 2x sin 2π3＝32sin 2x －32cos 2x ＝3sin(2x －π6)，即x ＝π3＋k π，k ∈Z 时，f (x )取得最大值 3.14.已知函数f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且锐角A 满足f (A )＝1，b ＝2，c ＝3，求a 的值.解 (1)f (x )＝2sin x cos x －2cos 2x ＋1 ＝sin 2x －cos 2x ＝2sin(2x －π4)，所以f (x )的最小正周期为π.由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π(k ∈Z )，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )，所以f (x )的单调增区间为[k π－π8，k π＋3π8](k ∈Z ).(2)由题意知f (A )＝2sin(2A －π4)＝1，sin(2A －π4)＝22，又∵A 是锐角， ∴2A －π4＝π4，∴A ＝π4，由余弦定理得a 2＝2＋9－2×2×3×cos π4＝5，∴a＝ 5.。

考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识方法篇专题11 数学方法第48练 Word版含答案

第48练整体策略与换元法[题型分析·高考展望] 整体思想是指把研究对象的某一部分(或全部)看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径.换元法又称辅助元素法、变量代换法，通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来；或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化.高考必会题型题型一整体策略例1 (1)计算(1－12－13－14－…－12 014)×(12＋13＋14＋15＋…＋12 015)－(1－12－13－14－15－…－12 014－12 015)×(12＋13＋14＋…＋12 014)； (2)解方程(x 2＋5x ＋1)(x 2＋5x ＋7)＝7. 解 (1)设12＋13＋14＋…＋12 014＝t ，则原式＝(1－t )(t ＋12 015)－(1－t －12 015)t ＝t ＋12 015－t 2－12 015t －t ＋t 2＋12 015t ＝12 015.(2)设x 2＋5x ＝t ，则原方程化为(t ＋1)(t ＋7)＝7， ∴t 2＋8t ＝0，解得t ＝0或t ＝－8，当t ＝0时，x 2＋5x ＝0，x (x ＋5)＝0，x 1＝0，x 2＝－5；当t ＝－8时，x 2＋5x ＝－8，x 2＋5x ＋8＝0， Δ＝b 2－4ac ＝25－4×1×8<0，此时方程无解；即原方程的解为x 1＝0，x 2＝－5.点评整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个(或多个)未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决. 变式训练1 计算：(1－12－13－14)×(12＋13＋14＋15)－(1－12－13－14－15)×(12＋13＋14).解令12＋13＋14＝t ，则原式＝(1－t )(t ＋15)－(1－t －15)t ＝t ＋15－t 2－15t －45t ＋t 2＝15.题型二换元法例2 (1)已知函数f (x )＝4x －2x t ＋t ＋1在区间(0，＋∞)上的图象恒在x 轴上方，则实数t 的取值范围是________________.(2)已知点A 是椭圆x 225＋y 29＝1上的一个动点，点P 在线段OA 的延长线上，且OA →·OP →＝48，则点P 的横坐标的最大值为________. 答案 (1)(－∞，2＋22) (2)10解析 (1)令m ＝2x (m >1)，则问题转化为函数f (m )＝m 2－mt ＋t ＋1在区间(1，＋∞)上的图象恒在x 轴上方，即Δ＝t 2－4(t ＋1)<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，t2<1，1－t ＋t ＋1>0，解得t <2＋22，即实数t 的取值范围是(－∞，2＋22). (2)当点P 的横坐标最大时，射线OA 的斜率k >0，设OA ：y ＝kx ，k >0，与椭圆x 225＋y 29＝1联立解得x ＝159＋25k 2，又OA →·OP →＝x A x P ＋k 2x A x P ＝48，解得x P ＝48(1＋k 2)x A ＝1659＋25k 21＋k 2＝1659＋25k 2(1＋k 2)2，令9＋25k 2＝t >9，即k 2＝t －925，则x P ＝165t (t ＋1625)2＝165×25tt 2＋162＋32t＝801t ＋162t＋32≤80×164＝10，当且仅当t ＝16，即k 2＝725时取等号，所以点P 的横坐标的最大值为10.(3)已知函数f (x )＝ax －ln(1＋x 2).①当a ＝45时，求函数f (x )在(0，＋∞)上的极值；②证明：当x >0时，ln(1＋x 2)<x ；③证明(1＋124)(1＋134)…(1＋1n 4)<e(n ∈N *，n ≥2，e 为自然对数的底数).①解当a ＝45时，f (x )＝45x －ln(1＋x 2)，f ′(x )＝45－2x1＋x 2＝4x 2－10x ＋45(1＋x 2)＝0，x ＝2或x ＝12.f (x )和f ′(x )随x 的变化情况如下表：f (x )极大值＝f (12)＝25－ln 54，f (x )极小值＝f (2)＝85－ln 5.②证明令g (x )＝x －ln(1＋x 2)，则g ′(x )＝1－2x1＋x 2≥0，∴g (x )在(0，＋∞)上为增函数，g (x )>g (0)＝0， ∴ln(1＋x 2)<x .③证明由②知，ln(1＋x 2)<x ，令x 2＝1n 4得，ln(1＋1n 4)<1n 2<1n (n －1)＝1n －1－1n ，∴ln(1＋124)＋ln(1＋134)＋…＋ln(1＋1n 4)<1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝1－1n <1，∴(1＋124)(1＋134)…(1＋1n4)<e.点评换元法是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，使问题得到简化，变得容易处理，换元法的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是通过换元变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来；或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化.主要考查运用换元法处理以函数、三角函数、不等式、数列、解析几何为背景的最值、值域或范围问题，通过换元法把不熟悉、不规范、复杂的典型问题转化为熟悉、规范、简单的典型问题，起到化隐形为显性、化繁为简、化难为易的作用，以优化解题过程. 变式训练2 (1)已知函数f (x )＝1x －1＋2x (x >1)，则f (x )的最小值为________. 答案 2＋2 2解析 f (x )＝1x －1＋2(x －1)＋2，令x －1＝t ，则f (t )＝1t ＋2t ＋2(t >0)，∴f (t )≥21t×2t ＋2＝2＋2 2. 当且仅当1t ＝2t 时等号成立，故f (x )的最小值为2＋22，当且仅当1x －1＝2(x －1)，即x ＝22＋1时等号成立. (2)已知在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12. ①求S n 的表达式；②设b n ＝S n 2n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明T n <12.①解 ∵S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12， a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)， ∴S 2n ＝(S n －S n －1)⎝⎛⎭⎫S n －12，即2S n －1S n ＝S n －1－S n ， (*)由题意得S n －1·S n ≠0，(*)式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列.∴1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1， ∴S n ＝12n －1.②证明 ∵b n ＝S n 2n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1<12，∴T n <12.高考题型精练1.已知长方体的表面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为( )A.2 3B.14C.5D.6 答案 C解析设长方体长，宽，高分别为x ，y ，z ，由已知“长方体的表面积为11，其12条棱的长度之和为24”，得⎩⎪⎨⎪⎧2(xy ＋yz ＋xz )＝11，4(x ＋y ＋z )＝24，长方体所求对角线长为x 2＋y 2＋z 2＝(x ＋y ＋z )2－2(xy ＋yz ＋xz )＝62－11＝5，故选C.2.设实数x ，y ，m ，n 满足x 2＋y 2＝1，m 2＋n 2＝3，那么mx ＋ny 的最大值是______. 答案3解析设x ＝sin α，y ＝cos α，m ＝3sin β，n ＝3cos β，其中α，β∈(0°，180°)，∴mx ＋ny ＝3sin βsin α＋3cos βcos α＝3cos(α－β)，故最大值为 3.3.函数y ＝3x ＋2－42－x 的最小值为________. 答案－8解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，2－x ≥0，解得－2≤x ≤2，所以函数的定义域为[－2，2]. 因为(x ＋2)2＋(2－x )2＝4，故可设⎩⎨⎧x ＋2＝2sin θ，2－x ＝2cos θ(θ∈[0，π2])，则y ＝3×2sin θ－4×2cos θ＝6sin θ－8cos θ ＝10sin(θ－φ)(φ∈(0，π2)，cos φ＝35，sin φ＝45)，因为θ∈[0，π2]，所以θ－φ∈[－φ，π2－φ]，所以当θ＝0时，函数取得最小值 10sin(－φ)＝10×(－45)＝－8.4.已知不等式x >ax ＋32的解集是(4，b )，则a ＝______，b ＝________.答案 1836解析令x ＝t ，则t >at 2＋32，即at 2－t ＋32<0，其解集为(2，b )，故⎩⎨⎧2＋b ＝1a，2·b ＝32a，解得a ＝18，b ＝36.5.已知y ＝f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝－x 2＋2x ，则满足f (f (a ))＝12的实数a 的个数为________. 答案 8解析由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0，其图象如图所示，令t ＝f (a )，则t ≤1，令f (t )＝12，解得t ＝1－22或t ＝－1±22，即f (a )＝1－22或f (a )＝－1±22，由数形结合得，共有8个交点.6.设f (x 2＋1)＝log a (4－x 4)(a >1)，则f (x )的值域是________. 答案 (－∞，log a 4] 解析设x 2＋1＝t (t ≥1)， ∴f (t )＝log a [－(t －1)2＋4]， ∴值域为(－∞，log a 4].7.已知m ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x ＋1|，x <1，log 2(x －1)，x >1，g (x )＝x 2－2x ＋2m －1，若函数y ＝f (g (x ))－m有6个零点，则实数m 的取值范围是________. 答案 (0，35)解析函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x ＋1|，x ＜1，log 2(x －1)，x >1的图象如图所示，令g (x )＝t ，y ＝f (t )与y ＝m 的图象最多有3个交点，当有3个交点时，0<m <3，从左到右交点的横坐标依次t 1<t 2<t 3，由于函数有6个零点，t ＝x 2－2x ＋2m －1，则每一个t 的值对应2个x 的值，则t 的值不能为最小值，函数t ＝x 2－2x ＋2m －1的对称轴为x ＝1，则最小值1－2＋2m －1＝2m －2，由图可知，2t 1＋1＝－m ，则t 1＝－m －12，由于t 1是交点横坐标中最小的，满足－m －12>2m －2，①又0<m <3，② 联立①②得0<m <35.8.已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. (1)求y －x 的最大值和最小值； (2)求x 2＋y 2的最大值和最小值解方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0变形为(x －2)2＋y 2＝3，表示的图形是圆. (1)设x －2＝3cos θ，则y ＝3sin θ，故x ＝2＋3cos θ， y ＝3sin θ，则y －x ＝3sin θ－3cos θ－2 ＝6sin(θ－π4)－2，∴当θ－π4＝2k π－π2(k ∈Z )时，y －x 有最小值－6－2，当θ－π4＝2k π＋π2(k ∈Z )时，y －x 有最大值6－2.(2)由(1)知x 2＋y 2＝(2＋3cos θ)2＋(3sin θ)2＝7＋43cos θ. ∴当θ＝2k π(k ∈Z )时，x 2＋y 2有最大值7＋43，当θ＝2k π＋π(k ∈Z )时， x 2＋y 2有最小值7－4 3.9.平面内动点P 与两定点A (－2，0)，B (2，0)连线的斜率之积等于－14，若点P 的轨迹为曲线E ，直线l 过点Q (－65，0)交曲线E 于M ，N 两点.(1)求曲线E 的方程，并证明：∠MAN 是一定值； (2)若四边形AMBN 的面积为S ，求S 的最大值. 解 (1)设动点P 坐标为(x ，y )，当x ≠±2时，由条件得：y x －2·y x ＋2＝－14，化简得x 24＋y 2＝1(x ≠±2)，曲线E 的方程为x 24＋y 2＝1(x ≠±2)，由题意可设直线l 的方程为x ＝ky －65，联立方程组可得⎩⎨⎧x ＝ky －65，x24＋y 2＝1，化简得(k 2＋4)y 2－125ky －6425＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1y 2＝－6425(k 2＋4)，y 1＋y 2＝12k5(k 2＋4). 又A (－2，0)，则AM →·AN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2)＝(k 2＋1)y 1y 2＋45k (y 1＋y 2)＋1625＝0，所以∠MAN ＝90°，所以∠MAN 的大小为定值.(2)S ＝12|AB |·|y 1－y 2|＝12·|2＋2|·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2⎣⎡⎦⎤12k 5(k 2＋4)2＋4×6425(k 2＋4)＝8525k 2＋64(k 2＋4)2，令k 2＋4＝t (t ≥4)， ∴k 2＝t －4，∴S ＝8525t －36t 2. 设f (t )＝25t －36t 2，∴f ′(t )＝25t 2－2t (25t －36)t 4＝－25t ＋72t 3，∵t ≥4，∴f ′(t )<0，∴y ＝f (t )在[4，＋∞)上单调递减. ∴f (t )≤f (4)＝100－3616＝4，由t ＝4，得k ＝0，此时S 有最大值165.。

考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)考前抢分必做考前回扣回扣7

回扣7 解析几何1.直线方程的五种形式(1)点斜式：y －y 1＝k (x －x 1)(直线过点P 1(x 1，y 1)，且斜率为k ，不包括y 轴和平行于y 轴的直线).(2)斜截式：y ＝kx ＋b (b 为直线l 在y 轴上的截距，且斜率为k ，不包括y 轴和平行于y 轴的直线).(3)两点式：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(直线过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，y 1≠y 2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线).(4)截距式：x a ＋yb ＝1(a 、b 分别为直线的横、纵截距，且a ≠0，b ≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线).(5)一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0). 2.直线的两种位置关系当不重合的两条直线l 1和l 2的斜率存在时： (1)两直线平行l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (2)两直线垂直l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.提醒：当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略. 3.三种距离公式(1)A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点间的距离： |AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点到直线的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(其中点P (x 0，y 0)，直线方程为Ax ＋By ＋C ＝0).(3)两平行线间的距离：d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2(其中两平行线方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0).提醒：应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x ，y 的系数应对应相等. 4.圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0). 5.直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法.(2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数判断法与几何判断法.6.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质|x|≤a，|y|≤b |x|≥a x≥07.直线与圆锥曲线的位置关系判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断.弦长公式：|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|.8.范围、最值问题的常用解法(1)几何法①直线外一定点P到直线上各点距离的最小值为该点P到直线的垂线段的长度.②圆C外一定点P到圆上各点距离的最大值为|PC|＋R，最小值为|PC|－R(R为圆C的半径).③过圆C内一定点P的圆的最长的弦即为经过点P的直径，最短的弦为过点P且与经过点P 的直径垂直的弦.④圆锥曲线上本身存在最值问题，如(ⅰ)椭圆上两点间最大距离为2a(长轴长)；(ⅱ)双曲线上两点间最小距离为2a(实轴长)；(ⅲ)椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为[a－c，a＋c]，a－c与a＋c分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最小与最大距离；(ⅳ)在抛物线上的点中，顶点与抛物线的准线距离最近.(2)代数法把要求的最值表示为某个参数的解析式，然后利用函数、最值、基本不等式等进行求解.9.定点、定值问题的思路求解直线或曲线过定点问题的基本思路是把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.求证某几何量为定值，首先要求出这个几何量的代数表达式，然后对表达式进行化简、整理，根据已知条件列出必要的方程(或不等式)，消去参数，最后推出定值.10.解决存在性问题的解题步骤第一步：先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)；第二步：解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在；第三步：得出结论.1.不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错.2.易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为xa＋ya＝1；再如，过定点P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为y－y0＝k(x－x0)等.3.讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为0.4.在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，要注意有可能这两条直线重合；在立体几何中提到的两条直线，一般可理解为它们不重合.5.求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式|C1－C2|A2＋B2，导致错解.6.在圆的标准方程中，误把r2当成r；在圆的一般方程中，忽视方程表示圆的条件.7.易误认两圆相切为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解.8.利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件.如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a<|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支.9.易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a，b，c三者之间的关系，导致计算错误.10.已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解. 11.直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制.尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ>0”下进行.1.直线2mx －(m 2＋1)y －m ＝0倾斜角的取值范围为( ) A.[0，π) B.[0，π4]∪[3π4，π) C.[0，π4] D.[0，π4]∪(π2，π)答案 C解析由已知可得m ≥0.直线的斜率k ＝2m m 2＋1.当m ＝0时，k ＝0，当m >0时，k ＝2m m 2＋1＝2m ＋1m ≤22m ·1m＝1，又因为m >0，所以0<k ≤1.综上可得直线的斜率0≤k ≤1.设直线的倾斜角为θ，则0≤tan θ≤1，因为0≤θ<π，所以0≤θ≤π4.2.若直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0平行，则a 等于( ) A.2或－1 B.2 C.－1 D.以上都不对答案 C解析由题意a (a －1)＝2，得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，l 1方程为2x ＋2y ＋6＝0，即x ＋y ＋3＝0，l 2方程为x ＋y ＋3＝0，两直线重合，不合题意，舍去；当a ＝－1时，直线l 1，l 2的方程分别为－x ＋2y ＋6＝0，x －2y ＝0，符合题意.所以a ＝－1.故选C.3.直线x ＋y ＝3a 与圆x 2＋y 2＝a 2＋(a －1)2相交于点A ，B ，点O 是坐标原点，若△AOB 是正三角形，则实数a 等于( ) A.1 B.－1 C.12 D.－12答案 C解析由题意得，圆的圆心坐标为O (0，0)，设圆心到直线的距离为d ，所以弦长为2r 2－d 2＝r ，得4d 2＝3r 2. 所以6a 2＝3a 2＋3(a －1)2，解得a ＝12，故选C.4.直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于( ) A.4 3 B.3 3 C.2 3 D. 3答案 C解析由于圆x 2＋y 2＝4的圆心为O (0，0)，半径r ＝2，而圆心O (0，0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝|－5|32＋42＝1，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－1＝2 3.5.与圆O 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0都相切的直线条数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 答案 B解析圆O 1(－2，2)，r 1＝1，圆O 2(2，5)，r 2＝4， ∴|O 1O 2|＝5＝r 1＋r 2，∴圆O 1和圆O 2相外切， ∴与圆O 1和圆O 2相切的直线有3条.故选B.6.已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在直线，直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2，那么( ) A.m ∥l ，l 与圆相交 B.m ⊥l ，l 与圆相切 C.m ∥l ，l 与圆相离 D.m ⊥l ，l 与圆相离答案 C解析以点P 为中点的弦所在的直线的斜率是－ab ，直线m ∥l ，点P (a ，b )是圆x 2＋y 2＝r 2内一点，所以a 2＋b 2<r 2，圆心到ax ＋by ＝r 2，距离是r 2a 2＋b 2>r ，故相离. 7.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F 1、F 2是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当∠F 1PF 2＝30°时，这一对相关曲线中椭圆的离心率是( )A.7－4 3B.2－ 3C.3－1D.4－2 3 答案 B解析由题意设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线方程为x 2a 21－y 2b 21＝1，且c ＝c 1.由题意c a ·ca 1＝1，(*)由∠F 1PF 2＝30°，由余弦定理得：椭圆中4c 2＝4a 2－(2＋3)|PF 1||PF 2|，双曲线中：4c 2＝4a 21＋(2－3)|PF 1||PF 2|，可得b 21＝(7－43)b 2，代入(*)式，c 4＝a 21a 2＝(c 2－b 21)a 2＝(8－43)c 2a 2－(7－43)a 4，即e 4－(8－43)e 2＋(7－43)＝0，得e 2＝7－43，即e ＝2－3，故选B.8.若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点分成5∶3两段，则此椭圆的离心率为( ) A.255 B.41717 C.35 D.45答案 A解析 ∵c ＋b2c －b 2＝53，a 2－b 2＝c 2，c ＝2b ，∴5c 2＝4a 2，∴e ＝c a ＝25＝255.9.如图，已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，|F 1F 2|＝4，点A 在双曲线的右支上，线段AF 1与双曲线左支相交于点B ，△F 2AB 的内切圆与BF 2相切于点E ，若|AF 2|＝2|BF 1|，|BE |＝22，则双曲线C 的离心率为________.答案2解析设|AF 2|＝2|BF 1|＝2m ，由题意得|AF 1|＝2m ＋2a ，|BF 2|＝m ＋2a ，因此|AB |＝m ＋2a ，2|BE |＝|AB |＋|BF 2|－|AF 2|＝4a ，即a ＝2，又|F 1F 2|＝4⇒c ＝2，所以离心率为ca＝ 2.10.已知F 1，F 2是双曲线x 216－y 29＝1的焦点，PQ 是过焦点F 1的弦，且PQ 的倾斜角为60°，那么|PF 2|＋|QF 2|－|PQ |的值为________. 答案 16解析由双曲线方程x 216－y 29＝1知，2a ＝8，由双曲线的定义得，|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8， ① |QF 2|－|QF 1|＝2a ＝8，②①＋②得|PF 2|＋|QF 2|－(|QF 1|＋|PF 1|)＝16， ∴|PF 2|＋|QF 2|－|PQ |＝16. 11.抛物线y 2＝4x的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是________.答案32解析抛物线y 2＝4x 的焦点为(1，0)，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线为y ＝±ba x ，即y ＝±3x .由于焦点(1，0)到双曲线的两条渐近线距离相等，所以只考虑焦点到其中一条之间的距离d ＝|3|3＋1＝32. 12.过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |<|BF |，则|AF |＝________. 答案 56解析 ∵1|AF |＋1|BF |＝2p ＝2，|AB |＝|AF |＋|BF |＝2512，|AF |<|BF |，∴|AF |＝56，|BF |＝54.13.已知圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝r 2与圆F 2：(x －1)2＋y 2＝(4－r )2 (0<r <4)的公共点的轨迹为曲线E ，且曲线E 与y 轴的正半轴相交于点M .若曲线E 上相异两点A 、B 满足直线MA ，MB 的斜率之积为14.(1)求曲线E 的方程；(2)证明：直线AB 恒过定点，并求定点的坐标； (3)求△ABM 的面积的最大值. 解 (1)设圆F 1，圆F 2的公共点为Q ，由已知得，|F 1F 2|＝2，|QF 1|＝r ，|QF 2|＝4－r ，故|QF 1|＋|QF 2|＝4>|F 1F 2|，因此曲线E 是长轴长2a ＝4，焦距2c ＝2的椭圆，且b 2＝a 2－c 2＝3，所以曲线E 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由曲线E 的方程得，上顶点M (0，3)，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，x 1≠0，x 2≠0，若直线AB 的斜率不存在，则直线AB 的方程为x ＝x 1，故y 1＝－y 2，且y 21＝y 22＝3(1－x 214)，因此k MA ·k MB ＝y 1－3x 1·y 2－3x 2＝－y 21－3x 21＝34，与已知不符，因此直线AB 的斜率存在，设直线AB ：y＝kx ＋m ，代入椭圆E 的方程x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－3)＝0.①因为直线AB 与曲线E 有公共点A ，B ，所以方程①有两个非零不等实根x 1，x 2，所以x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2，又k AM ＝y 1－3x 1＝kx 1＋m －3x 1，k MB ＝y 2－3x 2＝kx 2＋m －3x 2，由k AM ·k BM ＝14，得4(kx 1＋m －3)(kx 2＋m －3)＝x 1x 2，即(4k 2－1)x 1x 2＋4k (m －3)(x 1＋x 2)＋4(m －3)2＝0，所以4(m 2－3)(4k 2－1)＋4k (m －3)(－8km )＋4(m －3)2(3＋4k 2)＝0，化简得m 2－33m ＋6＝0，故m ＝3或m ＝23，结合x 1x 2≠0知m ＝23，即直线AB 恒过定点N (0，23). (3)由Δ>0且m ＝23得k <－32或k >32，又S △ABM ＝|S △ANM －S △BNM |＝12|MN |·|x 2－x 1|＝32(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝32(－8km 3＋4k 2)2－4·4(m 2－3)3＋4k 2＝64k 2－93＋4k 2＝64k 2－9＋124k 2－9≤32，当且仅当4k 2－9＝12，即k ＝±212时，△ABM 的面积最大，最大值为32.。

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回扣8计数原理1.分类加法计数原理完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有m n种方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种方法(也称加法原理).2.分步乘法计数原理完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有m n种方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种方法(也称乘法原理).3.排列(1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列.(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A m n表示.(3)排列数公式：A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1).(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A n n＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！.排列数公式写成阶乘的形式为A m n＝n！(n－m)！，这里规定0！＝1.4.组合(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数，用C m n表示.(3)组合数的计算公式：C m n＝A m nA m m＝n！m！(n－m)！＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！，由于0！＝1，所以C0n＝1.(4)组合数的性质：①C m n＝C n－mn ；②C m n＋1＝C m n＋C m－1n.5.二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b1＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*).这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C k n(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数.式中的C k n a n－k b k叫做二项展开式的通项，用T k＋1表示，即展开式的第k ＋1项：T k ＋1＝C k n an －k b k. 6.二项展开式形式上的特点 (1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C n n .7.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n ＝C n －m n. (2)增减性与最大值：二项式系数C k n，当k <n ＋12时，二项式系数是递增的；当k >n ＋12时，二项式系数是递减的.当n 是偶数时，那么其展开式中间一项12+n T 的二项式系数最大.当n 是奇数时，那么其展开式中间两项112-+n T 和112++n T 的二项式系数相等且最大.(3)各二项式系数的和(a ＋b )n 的展开式的各个二项式系数的和等于2n ，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C k n ＋…＋C n n ＝2n . 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1.1.关于两个计数原理应用的注意事项(1)分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.(2)混合问题一般是先分类再分步. (3)分类时标准要明确，做到不重复不遗漏.(4)要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律. 2.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑： (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数. 3.排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件. 4.对于二项式定理应用时要注意：(1)区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细.项的系数与a ，b 有关，可正可负，二项式系数只与n 有关，恒为正.(2)运用通项求展开的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出k ，再求所需的某项；有时需先求n ，计算时要注意n 和k 的取值范围及它们之间的大小关系. (3)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1. (4)在化简求值时，注意二项式定理的逆用，要用整体思想看待a 、b .1.用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( ) A.36个 B.18个 C.9个 D.6个答案 B解析利用树状图考察四个数位上填充数字的情况，如：1⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧2⎩⎪⎨⎪⎧ 1⎩⎨⎧ 233⎩⎨⎧123⎩⎪⎨⎪⎧1⎩⎨⎧ 232⎩⎨⎧13，共可确定8个四位数，但其中不符合要求的有2个，所以所确定的四位数应有18个，故选B.2.某学习小组男女生共8人，现从男生中选2人，女生中选1人，分别去做3种不同的工作，共有90种不同的选法，则男，女生人数为( ) A.2，6 B.3，5 C.5，3 D.6，2 答案 B解析设男生人数为n ，则女生人数为8－n ，由题意可知C 2n C 18－n A 33＝90，即C 2n C 18－n ＝15，解得n ＝3，所以男，女生人数为3，5，故选B.3.将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有( ) A.150种 B.180种 C.240种D.540种答案 A解析先将5个人分成三组，(3，1，1)或(1，2，2)，分组方法有C 35＋C 15C 24C 222＝25(种)，再将三组全排列有A 33＝6(种)，故总的方法数有25×6＝150(种).4.从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任(每班1位班主任)，要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有( ) A.210种 B.420种 C.630种 D.840种答案 B解析因为要求3位班主任中男、女教师都要有，所以共有两种情况，1男2女或2男1女.若选出的3位教师是1男2女则共有C 15C 24A 33＝180(种)不同的选派方法，若选出的3位教师是2男1女则共有C 25C 14A 33＝240(种)不同的选派方法，所以共有180＋240＝420(种)不同的方案，故选B.5.若二项式(2x ＋a x )7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a 等于( )A.2B.54 C.1 D.24答案 C解析二项式(2x ＋a x )7的通项公式为T k ＋1＝C k 7(2x )7－k (a x )k ＝C k 727－k a k x 7－2k ，令7－2k ＝－3，得k ＝5.故展开式中1x 3的系数是C 5722a 5＝84，解得a ＝1. 6.(x －1)4－4x (x －1)3＋6x 2(x －1)2－4x 3(x －1)＋x 4等于( ) A.－1 B.1 C.(2x －1)4 D.(1－2x )5 答案 B解析 (x －1)4－4x (x －1)3＋6x 2(x －1)2－4x 3(x －1)＋x 4＝((x －1)－x )4＝1.7.某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲乙中两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有( )A.30种B.600种C.720种D.840种答案 C解析 A 47－A 45＝720(种).8.如图，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种一种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案的种数为( )A.180B.240C.360D.420 答案 D解析若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有A 55种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，则2，4两个花池栽同一种颜色的花，或3，5两个花池栽同一种颜色的花，方法有2A 45种；若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有A 35种，所以最多有A 55＋2A 45＋A 35＝420(种).9.(x ＋1ax )5的各项系数和是1 024，则由曲线y ＝x 2和y ＝x a 围成的封闭图形的面积为______.答案512解析设x ＝1，则各项系数和为(1＋1a )5＝1 024＝45，所以a ＝13，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝x 31可得交点坐标分别为(0，0)，(1，1)，所以曲线y ＝x 2和y ＝x 31围成的封闭图形的面积为⎠⎛01(x 31－x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 34－13x 3⎪⎪⎪10＝34－13＝512.10.圆上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为______. 答案 120解析圆上任意三点都不共线，因此有三角形C 310＝120(个).11.一排共有9个座位，现有3人就坐，若他们每两人都不能相邻，每人左右都有空座，而且至多有两个空座，则不同坐法共有________种. 答案 36解析可先考虑3人已经就座，共有A 33＝6(种)，再考虑剩余的6个空位怎么排放，根据要求可产生把6个空位分为1，1，2，2，放置在由已经坐定的3人产生的4个空中，共有C 24＝6，所以不同的坐法共有6×6＝36(种).12.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机(甲、乙、丙、丁、戊)准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有________种. 答案 24解析先把甲、乙捆绑在一起有A 22种情况，然后对甲、乙整体和戊进行排列，有A 22种情况，这样产生了三个空位，插入丙、丁，有A 23种情况，所以着舰方法共有A 22A 22A 23＝2×2×6＝24(种).13.实验员进行一项实验，先后要实施5个程序(A ，B ，C ，D ，E )，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序C 或D 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有______种. 答案 24解析依题意，当A在第一步时，共有A22A33＝12(种)；当A在最后一步时，共有A22A33＝12(种).所以实验的编排方法共有24种.14.用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为________.答案288解析从2，4，6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有A23＝6(种)，先排3个奇数，有A33＝6(种)，形成了4个空，将“整体”和另一个偶数插在3个奇数形成的4个空中，方法有A24＝12(种).根据分步乘法计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×6×12＝432(种).若1排在两端，1的排法有A12A22＝4(种)，形成了3个空，将“整体”和另一个偶数插在3个奇数形成的3个空中，方法有A23＝6(种)，根据分步乘法计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×4×6＝144(种)，故满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为432－144＝288(种).。

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回扣2 函数与导数1.函数的定义域和值域(1)求函数定义域的类型和相应方法①若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；②若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f [g (x )]的定义域为不等式a ≤g (x )≤b 的解集；反之，已知f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为函数y ＝g (x )(x ∈[a ，b ])的值域； ③在实际问题中应使实际问题有意义. (2)常见函数的值域①一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域为R ； ②二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)：a >0时，值域为⎣⎡⎭⎫4ac －b24a ，＋∞，a <0时，值域为⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a ；③反比例函数y ＝kx (k ≠0)的值域为{y ∈R |y ≠0}.2.函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称)，都有f (－x )＝－f (x )成立，则f (x )为奇函数(都有f (－x )＝f (x )成立，则f (x )为偶函数).(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f (x )，如果对于定义域内的任意一个x 的值：若f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)，则f (x )是周期函数，T 是它的一个周期. 3.关于函数周期性、对称性的结论 (1)函数的周期性①若函数f (x )满足f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )为周期函数，2a 是它的一个周期.②设f (x )是R 上的偶函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，2a 是它的一个周期.③设f (x )是R 上的奇函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，4a 是它的一个周期.(2)函数图象的对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称. ②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a ，0)对称. ③若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称.4.函数的单调性函数的单调性是函数在定义域上的局部性质. ①单调性的定义的等价形式：设x 1，x 2∈[a ，b ]，那么(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f x 1－f x 2x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f x 1－f x 2x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数.②若函数f (x )和g (x )都是减函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )是减函数；若函数f (x )和g (x )都是增函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )是增函数；根据同增异减判断复合函数y ＝f [g (x )]的单调性.5.函数图象的基本变换 (1)平移变换：y ＝f (x )――――→h >0，右移h <0，左移y ＝f (x －h )， y ＝f (x )――――→k >0，上移k <0，下移y ＝f (x )＋k . (2)伸缩变换：y ＝f (x )――――→0<ω<1，伸ω>1，缩y ＝f (ωx )， y ＝f (x )――――→0<A <1，缩A >1，伸y ＝Af (x ). (3)对称变换： y ＝f (x )――→x 轴y ＝－f (x )， y ＝f (x )――→y 轴y ＝f (－x )， y ＝f (x )――→原点y ＝－f (－x ).6.准确记忆指数函数与对数函数的基本性质 (1)定点：y ＝a x (a >0，且a ≠1)恒过(0，1)点； y ＝log a x (a >0，且a ≠1)恒过(1，0)点.(2)单调性：当a >1时，y ＝a x 在R 上单调递增；y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增；当0<a <1时，y ＝a x 在R 上单调递减；y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减. 7.函数与方程(1)零点定义：x 0为函数f (x )的零点⇔f (x 0)＝0⇔(x 0，0)为f (x )的图象与x 轴的交点.(2)确定函数零点的三种常用方法 ①解方程判定法：即解方程f (x )＝0.②零点定理法：根据连续函数y ＝f (x )满足f (a )f (b )<0，判断函数在区间(a ，b )内存在零点. ③数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解. 8.导数的几何意义(1)f ′(x 0)的几何意义：曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，该切线的方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0).(2)切点的两大特征：①在曲线y ＝f (x )上；②在切线上. 9.利用导数研究函数的单调性(1)求可导函数单调区间的一般步骤：①求函数f (x )的定义域；②求导函数f ′(x )；③由f ′(x )>0的解集确定函数f (x )的单调增区间，由f ′(x )<0的解集确定函数f (x )的单调减区间.(2)由函数的单调性求参数的取值范围：①若可导函数f (x )在区间M 上单调递增，则f ′(x )≥0(x ∈M )恒成立；若可导函数f (x )在区间M 上单调递减，则f ′(x )≤0 (x ∈M )恒成立；②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f ′(x )>0(或f ′(x )<0)在该区间上存在解集；③若已知f (x )在区间I 上的单调性，区间I 中含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，则I 是其单调区间的子集.10.利用导数研究函数的极值与最值(1)求函数的极值的一般步骤：①确定函数的定义域；②解方程f ′(x )＝0；③判断f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根x 0两侧的符号变化：若左正右负，则x 0为极大值点；若左负右正，则x 0为极小值点；若不变号，则x 0不是极值点.(2)求函数f (x )在区间[a ，b ]上的最值的一般步骤： ①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②比较函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )、f (b )的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.11.定积分的三个公式与一个定理 (1)定积分的性质： ①⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x ；②⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x .③⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b ).(2)微积分基本定理：一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a ).1.解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则.2.解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围.3.求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接或用“，”隔开.单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替.4.判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响.5.准确理解基本初等函数的定义和性质.如函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的单调性忽视字母a 的取值讨论，忽视a x >0；对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)忽视真数与底数的限制条件.6.易混淆函数的零点和函数图象与x 轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化.7.已知可导函数f (x )在(a ，b )上单调递增(减)，则f ′(x )≥0(≤0)对∀x ∈(a ，b )恒成立，不能漏掉“＝”号，且需验证“＝”不能恒成立；而已知可导函数f (x )的单调递增(减)区间为(a ，b )，则f ′(x )>0(＜0)的解集为(a ，b ).8.f ′(x )＝0的解不一定是函数f (x )的极值点.一定要检验在x ＝x 0的两侧f ′(x )的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点.1.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，x ≤0，2x －4，x >0，则f (f (1))等于( )A.－10B.10C.－2D.2 答案 C解析由f (f (1))＝f (21－4)＝f (－2)＝2×(－2)＋2＝－2，故选C.2.若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A.[1，＋∞)B.[1，32)C.[1，2)D.[32，2)答案 B解析因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，y ′＝2x －12x ，由f ′(x )＝0，得x ＝12.利用图象可得，⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0，解得1≤k <32，故选B.3.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7单调递增，则实数a 的取值范围是( )A.(94，3)B.[94，3) C.(1，3) D.(2，3) 答案 D解析因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7单调递增，所以1<a <3且由f (7)<f (8)得，7(3－a )－3<a 2，解得a <－9或a >2，所以实数a 的取值范围是(2，3)，故选D.4.设函数F (x )＝f (x )＋f (－x )，x ∈R ，且⎣⎡⎦⎤－π，－π2是函数F (x )的一个单调递增区间.将函数F (x )的图象向右平移π个单位，得到一个新的函数G (x )的图象，则G (x )的一个单调递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π，－π2 B.⎣⎡⎦⎤－π2，0 C.⎣⎡⎦⎤π2，π D.⎣⎡⎦⎤3π2，2π 答案 D解析 ∵F (x )＝f (x )＋f (－x )，x ∈R ，∴F (－x )＝f (－x )＋f (x )＝F (x )，∴F (x )为偶函数，∴⎣⎡⎦⎤π2，π为函数F (x )的一个单调递减区间.将F (x )的图象向右平移π个单位，得到一个新的函数G (x )的图象，则G (x )的一个单调递减区间是⎣⎡⎦⎤3π2，2π.5.已知函数f (x )为偶函数，将f (x )的图象向右平移一个单位后得到一个奇函数，若f (2)＝－1，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)等于( ) A.1 B.0 C.－1 003 D.1 003 答案 B解析由条件知f (x －1)是奇函数，所以f (－x －1)＝－f (x －1)，又f (x )为偶函数，所以f (x ＋1)＝－f (x －1)，即f (x ＋2)＝－f (x )，从而f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )是周期为4的函数，在f (x ＋2)＝－f (x )中令x ＝－1，可得f (1)＝0，再令x ＝1可得f (3)＝－f (1)＝0，令x ＝2可得f (4)＝－f (2)＝1，因此f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝504[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＝0，故选B.6.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且f (－1)＝2，则f (2 017)的值是( ) A.2 B.0 C.－1 D.－2 答案 D解析由题意得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数是以T ＝4的周期函数，所以f (2 017)＝f (1)＝－f (－1)＝－2，故选D.7.a 、b 、c 依次表示函数f (x )＝2x ＋x －2，g (x )＝3x ＋x －2，h (x )＝ln x ＋x －2的零点，则a 、b 、c 的大小顺序为( )A.c <b <aB.a <b <cC.a <c <bD.b <a <c 答案 D解析 a 、b 、c 为直线y ＝2－x 分别与曲线y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝ln x 的交点横坐标，从图象可知b <a <c ，故选D.8.设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A.a >c >b B.b >c >a C.c >b >a D.c >a >b 答案 D解析易知log 23>1，log 32，log 52∈(0，1).在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝log 3x 与y ＝log 5x 的图象，观察可知log 32>log 52.所以c >a >b .比较a ，b 的其他解法：log 32>log 33＝12，log 52<log 55＝12，得a >b ；0<log 23<log 25，所以1log 23>1log 25，结合换底公式得log 32>log 52，即a ＞b .9.若函数f (x )定义域为[－2，2]，则函数y ＝f (2x )·ln(x ＋1)的定义域为________. 答案 (－1，1]解析由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤2x ≤2，x ＋1>0，∴－1<x ≤1，即函数y ＝f (2x )·ln(x ＋1)的定义域为(－1，1].10.设函数f (x )＝x 3－2e x 2＋mx －ln x ，记g (x )＝f (x )x ，若函数g (x )至少存在一个零点，则实数m的取值范围是__________. 答案 (－∞，e 2＋1e]解析令g (x )＝x 2－2e x ＋m －ln xx ＝0，∴m ＝－x 2＋2e x ＋ln xx(x >0)，设h (x )＝－x 2＋2e x ＋ln xx ，令f 1(x )＝－x 2＋2e x ，f 2(x )＝ln xx ，∴f 2′(x )＝1－ln x x 2，发现函数f 1(x )，f 2(x )在x ∈(0，e)上都是单调递增，在x ∈(e ，＋∞)上都是单调递减，∴函数h (x )＝－x 2＋2e x ＋ln xx 在x ∈(0，e)上单调递增，在x ∈(e ，＋∞)上单调递减，∴当x ＝e 时，h (x )max＝e 2＋1e ，∴函数有零点需满足m ≤h (x )max ，即m ≤e 2＋1e.11.设奇函数y ＝f (x )(x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈[0，12]时f (x )＝－x 2，则f (3)＋f (－32)的值等于________.答案－14解析由于y ＝f (x )为奇函数，根据对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，可得f (－t )＝f (1＋t )，所以函数y ＝f (x )的一个周期为2，故f (3)＝f (1)＝f (0＋1)＝－f (0)＝0， f (－32)＝f (12)＝－14，∴f (3)＋f (－32)＝－14.12.函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极小值10，则a ＋b 的值为________. 答案－7解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10，解得a ＝4，b ＝－11或a ＝－3，b ＝3，经验证，a ＝4，b ＝－11符合题意，故a ＋b ＝－7.13.已知函数f (x )＝x ＋1e x (e 为自然对数的底数).(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设函数φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋1e x ，存在实数x 1，x 2∈[0，1]，使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立，求实数t的取值范围.解 (1)∵函数的定义域为R ，f ′(x )＝－xe x ，∴当x <0时，f ′(x )>0，当x >0时，f ′(x )<0， ∴f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减.(2)存在x 1，x 2∈[0，1]，使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立，则2[φ(x )]min <[φ(x )]max .∵φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋e －x＝x 2＋(1－t )x ＋1e x，∴φ′(x )＝－x 2＋(1＋t )x －t e x＝－(x －t )(x －1)e x. ①当t ≥1时，φ′(x )≤0，φ(x )在[0，1]上单调递减， ∴2φ(1)<φ(0)，即t >3－e2>1；②当t ≤0时，φ′(x )>0，φ(x )在[0，1]上单调递增， ∴2φ(0)<φ(1)，即t <3－2e<0；③当0<t <1时，若x ∈[0，t )，φ′(x )<0，φ(x )在[0，t )上单调递减，若t ∈(t ，1]，φ′(x )>0，φ(x )在(t ，1)上单调递增，∴2φ(t )<max{φ(0)，φ(1)}，即2·t ＋1e t <max{1，3－t e}.(*)由(1)知，g (t )＝2·t ＋1e t 在[0，1]上单调递减，故4e ≤2·t ＋1e t ≤2，而2e ≤3－t e ≤3e ， ∴不等式(*)无解.综上所述，存在t ∈(－∞，3－2e)∪(3－e2，＋∞)，使得命题成立.。

2017版考前三个月高考数学全国甲卷通用理科知识方法

第11练研创新——以函数为背景的创新题型[题型分析·高考展望] 在近几年的高考命题中，以函数为背景的创新题型时有出现.主要以新定义、新运算或新规定等形式给出问题，通过判断、运算解决新问题.这种题难度一般为中档，多出现在选择题、填空题中，考查频率虽然不是很高，但失分率较高.通过研究命题特点及应对策略，可以做到有备无患.体验高考1.(2015·湖北)已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0.f (x )是R 上的增函数，g (x )＝f (x )－f (ax )(a >1)，则( )A.sgn[g (x )]＝sgn xB.sgn[g (x )]＝sgn[f (x )]C.sgn[g (x )]＝－sgn xD.sgn[g (x )]＝－sgn[f (x )]答案 C解析因为f (x )是R 上的增函数，令f (x )＝x ，所以g (x )＝(1－a )x ，因为a ＞1，所以g (x )是在R 上的减函数.由符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0知，sgn[g (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ＞0，0，x ＝0，1，x ＜0.所以sgn[g (x )]＝－sgn x .2.(2016·山东)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是( ) A.y ＝sin x B.y ＝ln x C.y ＝e x D.y ＝x 3答案 A解析对函数y ＝sin x 求导，得y ′＝cos x ，当x ＝0时，该点处切线l 1的斜率k 1＝1，当x ＝π时，该点处切线l 2的斜率k 2＝－1，∴k 1·k 2＝－1，∴l 1⊥l 2；对函数y ＝ln x 求导，得y ′＝1x 恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y ＝e x 求导，得y ′＝e x 恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y ＝x 3求导，得y ′＝2x 2恒大于等于0，斜率之积不可能为－1.故选A. 3.(2015·四川)已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R ).对于不相等的实数x 1，x 2，设 m＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2，n ＝g (x 1)－g (x 2)x 1－x 2，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m ＞0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n ＞0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中的真命题有________(写出所有真命题的序号). 答案 ①④解析设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，C (x 1，g (x 1))，D (x 2，g (x 2)). 对于①，从y ＝2x 的图象可看出，m ＝k AB ＞0恒成立，故①正确；对于②，直线CD 的斜率可为负，即n ＜0，故②不正确；对于③，由m ＝n 得f (x 1)－f (x 2)＝g (x 1)－g (x 2)，即f (x 1)－g (x 1)＝f (x 2)－g (x 2)，令h (x )＝f (x )－g (x )＝2x －x 2－ax ，则h ′(x )＝2x ·ln 2－2x －a .由h ′(x )＝0，得2x ·ln 2＝2x ＋a ，(*)结合图象知，当a 很小时，方程(*)无解，∴函数h (x )不一定有极值点，就不一定存在x 1，x 2使f (x 1)－g (x 1)＝f (x 2)－g (x 2)，不一定存在x 1，x 2使得m ＝n ，故③不正确；对于④，由m ＝－n ，得f (x 1)－f (x 2)＝g (x 2)－g (x 1)，即f (x 1)＋g (x 1)＝f (x 2)＋g (x 2)，令F (x )＝f (x )＋g (x )＝2x ＋x 2＋ax ，则F ′(x )＝2x ln 2＋2x ＋a .由F ′(x )＝0，得2x ln 2＝－2x －a ，结合如图所示图象可知，该方程有解，即F (x )必有极值点，∴存在x 1，x 2，使F (x 1)＝F (x 2)，使m ＝－n ，故④正确.故①④正确.4.(2015·福建)一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *)，其中x k (k ＝1，2，…，n )称为第k 位码元.二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0).已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组： ⎩⎪⎨⎪⎧x 4x 5x 6x 7＝0，x 2x 3x 6x 7＝0，x 1x 3x 5x 7＝0，其中运算定义为00＝0，01＝1，10＝1，11＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于________. 答案 5 解析 (1)x 4x 5x 6x 7＝111＝1，(2)x 2x 3x 6x 7＝11＝0；(3)x 1x 3x 5x 7＝111＝1.由(1)(3)知x 5，x 7有一个错误，(2)中没有错误，∴x 5错误，故k 等于5.5.(2016·四川)在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为P ′⎝⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C ′定义为曲线C 的“伴随曲线”.现有下列命题： ①若点A 的“伴随点”是点A ′，则点A ′的“伴随点”是点A ； ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”C ′关于y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是________(写出所有真命题的序号). 答案 ②③解析 ①设A 的坐标为(x ，y )，则其“伴随点”为A ′⎝⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2，A ′的“伴随点”横坐标为－x x 2＋y 2⎝⎛⎭⎫y x 2＋y 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－x x 2＋y 22＝－x ，同理可得纵坐标为－y ，故A ″(－x ，－y )，①错误；②设单位圆上的点P 的坐标为(cos θ，sin θ)，则P 的“伴随点”的坐标为P ′(sin θ，－cos θ)，则有sin 2θ＋(－cos θ)2＝1，所以P ′也在单位圆上，即单位圆的“伴随曲线”是它自身，②正确；③设曲线C 上点A 的坐标为(x ，y )，其关于x 轴的对称点A 1(x ，－y )也在曲线C 上，所以点A 的“伴随点”A ′⎝⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2，点A 1的“伴随点”A 1′⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2，A ′与A 1′关于y 轴对称，③正确；④反例：例如y ＝1这条直线，则A (0，1)，B (1，1)，C (2，1)，这三个点的“伴随点”分别是A ′(1，0)，B ′⎝⎛⎭⎫12，－12，C ′⎝⎛⎭⎫15，－25，而这三个点不在同一直线上，下面给出严格证明：设点P (x ，y )在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0上，P 点的“伴随点”为P ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝yx 2＋y 2，y 0＝－xx 2＋y 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－y0x 2＋y 20，y ＝xx 20＋y 20.代入直线方程可知，A－y 0x 20＋y 20＋B x 0x 20＋y 20＋C ＝0，化简得－Ay 0＋Bx 0＋C (x 20＋y 20)＝0.当C ＝0时，C (x 20＋y 20)是一个常数，点P ′的轨迹是一条直线；当C ≠0时，C (x 20＋y 20)不是一个常数，点P ′的轨迹不是一条直线.所以，一条直线的“伴随曲线”不一定是一条直线，④错误. 综上，真命题是②③.高考必会题型题型一与新定义有关的创新题型例1 已知函数y ＝f (x )(x ∈R ).对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称.若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )>g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________. 答案 (210，＋∞)解析由已知得h (x )＋4－x 22＝3x ＋b ，所以h (x )＝6x ＋2b －4－x 2. h (x )>g (x )恒成立，即6x ＋2b －4－x 2>4－x 2，3x ＋b >4－x 2恒成立.在同一坐标系内，画出直线y ＝3x ＋b 及半圆y ＝4－x 2(如图所示)，可得b10>2，即b >210，故答案为(210，＋∞).点评解答这类题目关键在于解读新定义，利用定义的规定去判断和求解是这类题目的主要解法.变式训练1 若函数y ＝f (x )在定义域内给定区间[a ，b ]上存在x 0(a ＜x 0＜b )，满足f (x 0)＝f (b )－f (a )b －a，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点.例如y ＝|x |是[－2，2]上的“平均值函数”，0就是它的均值点.若函数f (x )＝x 2－mx －1是[－1，1]上的“平均值函数”，则实数m 的取值范围是________. 答案 (0，2)解析因为函数f (x )＝x 2－mx －1是[－1，1]上的“平均值函数”，所以关于x 的方程x 2－mx －1＝f (1)－f (－1)2在区间(－1，1)内有实数根，即x 2－mx －1＝－m 在区间(－1，1)内有实数根，即x 2－mx ＋m －1＝0，解得x ＝m －1或x ＝1.又1不属于(－1，1)，所以x ＝m －1必为均值点，即－1＜m －1＜1，即0＜m ＜2，所以实数m 的取值范围是(0，2). 题型二综合型函数创新题例2 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ].例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”； ②函数f (x )∈B 的充要条件是f (x )有最大值和最小值；③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∉B ； ④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1(x >－2，a ∈R )有最大值，则f (x )∈B .其中的真命题是________.(写出所有真命题的序号)答案 ①③④解析因为f (x )∈A ，所以函数f (x )的值域是R ，所以满足∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ，同时若∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ，则说明函数f (x )的值域是R ，则f (x )∈A ，所以①正确；令f (x )＝1x，x ∈(1，2]，取M ＝1，则f (x )⊆[－1，1]，但是f (x )没有最大值，所以②错误；因为f (x )∈A ，g (x )∈B 且它们的定义域相同(设为[m ，n ])，所以存在区间[a ，b ]⊆[m ，n ]，使得f (x )在区间[a ，b ]上的值域与g (x )的值域相同，所以存在x 0∉[a ，b ]，使得f (x 0)的值接近无穷，所以f (x )＋g (x )∉B ，所以③正确；因为当x >－2时，函数y ＝ln(x ＋2)的值域是R ，所以函数f (x )若有最大值，则a ＝0，此时f (x )＝x x 2＋1.因为对∀x ∈R ，x 2＋1≥2|x |，所以－12≤x x 2＋1≤12.即－12≤f (x )≤12，故f (x )∈B ，所以④正确.点评此类题目包含了与函数有关的较多的概念、性质及对基本问题的处理方法.解答这类题目，一是要细心，读题看清要求；二是要熟练掌握函数的基本性质及其判断应用的方法，掌握基本函数的图象与性质等.变式训练2 如果y ＝f (x )的定义域为R ，对于定义域内的任意x ，存在实数a 使得f (x ＋a )＝f (－x )成立，则称此函数具有“P (a )性质”.给出下列命题： ①函数y ＝sin x 具有“P (a )性质”；②若奇函数y ＝f (x )具有“P (2)性质”，且f (1)＝1，则f (2 015)＝1；③若函数y ＝f (x )具有“P (4)性质”，图象关于点(1，0)成中心对称，且在(－1，0)上单调递减，则y ＝f (x )在(－2，－1)上单调递减，在(1，2)上单调递增；④若不恒为零的函数y ＝f (x )同时具有“P (0)性质”和“P (3)性质”，则函数y ＝f (x )是周期函数.其中正确的是________(写出所有正确命题的编号). 答案 ①③④解析 ①因为sin (x ＋π)＝－sin x ＝sin (－x )，所以函数y ＝sin x 具有“P (a )性质”，所以①正确；②因为奇函数y ＝f (x )具有“P (2)性质”，所以f (x ＋2)＝f (－x )＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝f (x )，周期为4，因为f (1)＝1，所以f (2 015)＝f (3)＝－f (1)＝－1. 所以②不正确；③因为函数y ＝f (x )具有“P (4)性质”，所以f (x ＋4)＝f (－x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝2对称，即f (2－x )＝f (2＋x )，因为图象关于点(1，0)成中心对称，所以f (2－x )＝－f (x )，即f (2＋x )＝－f (－x )，所以得出f (x )＝f (－x )，f (x )为偶函数，因为图象关于点(1，0)成中心对称，且在(－1，0)上单调递减，所以图象也关于点(－1，0)成中心对称，且在(－2，－1)上单调递减；根据偶函数的对称性得出在(1，2)上单调递增，故③正确； ④因为具有“P (0)性质”和“P (3)性质”，所以f (x )＝f (－x )，f (x ＋3)＝f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数，且周期为3，故④正确.高考题型精练1.对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得x 取定义域内的每一个值，都有f (x )＝f (2a －x )，则称f (x )为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是( ) A.f (x )＝cos(x ＋1) B.f (x )＝x C.f (x )＝tan x D.f (x )＝x 3答案 A解析由题意知，若f (x )是准偶函数，则函数的对称轴是直线x ＝a ，a ≠0，选项B ，C ，D 中，函数没有对称轴；函数f (x )＝cos(x ＋1)，有对称轴，且x ＝0不是对称轴，选项A 正确.故选A.2.设f (x )的定义域为D ，若f (x )满足条件：存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域是⎣⎡⎦⎤a 2，b 2，则称f (x )为“倍缩函数”.若函数f (x )＝ln(e x ＋t )为“倍缩函数”，则t 的范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫14，＋∞ B.(0，1) C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.⎝⎛⎭⎫0，14 答案 D解析因为函数f (x )＝ln(e x ＋t )为“倍缩函数”，所以存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域是⎣⎡⎦⎤a 2，b 2，因为函数f (x )＝ln(e x ＋t )为增函数，所以⎩⎨⎧ln (e a ＋t )＝a2，ln (e b ＋t )＝b2，即⎩⎨⎧e a ＋t ＝e 2a ，e b＋t ＝e2b ，即方程e x－e 2x＋t ＝0有两个不等的正根，即⎩⎪⎨⎪⎧(－1)2－4t ＞0，t ＞0，解得t 的范围是⎝⎛⎭⎫0，14. 3.设函数y ＝f (x )的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D 且x 1＋x 2＝2a ，恒有f (x 1)＋f (x 2)＝2b ，则称点(a ，b )为函数y ＝f (x )图象的对称中心.研究并利用函数f (x )＝x 3－3x 2－sin πx 的对称中心，可得f (12 016)＋f (22 016)＋…＋f (4 0302 016)＋f (4 0312 016)等于( )A.－16 124B.16 124C.－8 062D.8 062 答案 C解析如果x 1＋x 2＝2，则f (x 1)＋f (x 2)＝x 31－3x 21－sin πx 1＋x 32－3x 22－sin πx 2＝x 31－3x 21－sin πx 1＋(2－x 1)3－3(2－x 1)2－sin π(2－x 1)＝－4. 令S ＝f (12 016)＋f (22 016)＋…＋f (4 0302 016)＋f (4 0312 016)，又S ＝f (4 0312 016)＋f (4 0302 016)＋…＋f (12 016)，两式相加得2S ＝－4×4 031，所以S ＝－8 062.故选C.4.函数f (x )在[a ，b ]上有定义，若对任意x 1，x 2∈[a ，b ]，有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22≤12[f (x 1)＋f (x 2)]，则称f (x )在[a ，b ]上具有性质P .设f (x )在[1，3]上具有性质P ，现给出如下命题： ①f (x )在[1，3]上的图象是连续不断的； ②f (x 2)在[1， 3 ]上具有性质P ；③若f (x )在x ＝2处取得最大值1，则f (x )＝1，x ∈[1，3]； ④对任意x 1，x 2，x 3，x 4∈[1，3]，有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 3＋x 44≤14[f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)].其中真命题的序号是( )A.①②B.①③C.②④D.③④ 答案 D解析令f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＝1，0，1<x <3，1，x ＝3，可知对∀x 1，x 2∈[1，3]，都有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22≤12[f (x 1)＋f (x 2)]，但f (x )在[1，3]上的图象不连续，故①不正确；令f (x )＝－x ，则f (x )在[1，3]上具有性质P ，但f (x 2)＝－x 2在[1， 3 ]上不具有性质P ，因为－⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222＝－x 21＋x 22＋2x 1x 24≥－2(x 21＋x 22)4＝12(－x 21－x 22)＝12[f (x 21)＋f (x 22)]，故②不正确；对于③，假设存在x 0∈[1，3]，使得f (x 0)≠1，因为f (x )max ＝f (2)＝1，x ∈[1，3]，所以f (x 0)<1. 又当1≤x 0≤3时，有1≤4－x 0≤3，由f (x )在[1，3]上具有性质P ，得 f (2)＝f ⎝⎛⎭⎫x 0＋4－x 02≤12[f (x 0)＋f (4－x 0)]，由于f (x 0)<1，f (4－x 0)≤1，与上式矛盾. 即对∀x ∈[1，3]，有f (x )＝1，故③正确. 对于④，对∀x 1，x 2，x 3，x 4∈[1，3]， f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 3＋x 44＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22＋x 3＋x 422 ≤12⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋f ⎝⎛⎭⎫x 3＋x 42 ≤12⎩⎨⎧⎭⎬⎫12[f (x 1)＋f (x 2)]＋12[f (x 3)＋f (x 4)] ＝14[f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)]，故④正确. 5.已知函数f (x )＝1－|2x －1|，x ∈[0，1].定义：f 1(x )＝f (x )，f 2(x )＝f [f 1(x )]，…，f n (x )＝f [f n －1(x )]，n ＝2，3，4，…，满足f n (x )＝x 的点x ∈[0，1]称为f (x )的n 阶不动点.则f (x )的n 阶不动点的个数是( )A.nB.2n 2C.2(2n －1)D.2n 答案 D解析函数f (x )＝1－|2x －1|＝⎩⎨⎧2x ，0≤x ≤12，2－2x ，12＜x ≤1，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，f 1(x )＝2x ＝x ⇒x ＝0，当x ∈⎝⎛⎦⎤12，1时，f 1(x )＝2－2x ＝x ⇒x ＝23， ∴f 1(x )的1阶不动点的个数为2.当x ∈⎣⎡⎦⎤0，14时，f 1(x )＝2x ，f 2(x )＝4x ＝x ⇒x ＝0，当x ∈⎝⎛⎦⎤14，12时，f 1(x )＝2x ，f 2(x )＝2－4x ＝x ⇒x ＝25，当x ∈⎝⎛⎦⎤12，34时，f 1(x )＝2－2x ，f 2(x )＝4x －2＝x ⇒x ＝23，当x ∈⎝⎛⎦⎤34，1时，f 1(x )＝2－2x ，f 2(x )＝4－4x ＝x ⇒x ＝45. ∴f 2(x )的2阶不动点的个数为22，以此类推，f (x )的n 阶不动点的个数是2n .6.若集合A ＝{1，2，3，k }，B ＝{4，7，a 4，a 2＋3a }，其中a ∈N *，k ∈N *，f ：x →y ＝3x ＋1，x ∈A ，y ∈B 是从定义域A 到值域B 的一个函数，则a ＋k ＝________. 答案 7解析由对应法则知1→4，2→7，3→10，k →3k ＋1，又a ∈N *，∴a 4≠10，∴a 2＋3a ＝10，解得a ＝2(舍去a ＝－5)，所以a 4＝16，于是3k ＋1＝16，∴k ＝5.∴a ＋k ＝7.7.如果定义在R 上的函数f (x )，对任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称函数f (x )为“H 函数”.给出下列函数：①y ＝x 2；②y ＝e x ＋1；③y ＝2x －sin x ；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln|x |，x ≠0，0，x ＝0.以上函数是“H 函数”的所有序号为________. 答案 ②③解析由已知x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)得(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＞0，所以函数f (x )在R 上是增函数.对于①，y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，其不是“H 函数”；对于②，y ＝e x ＋1在R 上为增函数，所以其为“H 函数”；对于③，由于y ′＝2－cos x ＞0恒成立，所以y ＝2x －sin x 是增函数，所以其为“H 函数”；对于④，由于其为偶函数，所以其不可能在R 上是增函数，所以不是“H 函数”.综上知，是“H 函数”的序号为②③.8.已知二次函数f (x )的两个零点分别为b 1－a ，b1＋a(0<b <a ＋1)，f (0)＝b 2.定义card(A )：集合A中的元素个数.若“⎩⎪⎨⎪⎧x ∈A ，card (A ∩Z )＝4”是“f (x )>0”的充要条件，则实数a 的取值范围是____________. 答案 (1，2)解析由条件可得f (x )＝(1－a 2)(x －b 1－a )(x －b1＋a )，结合⎩⎪⎨⎪⎧x ∈A ，card (A ∩Z )＝4知a >1，所以f (x )开口向下，所以f (x )>0的解集为⎝⎛⎭⎫b 1－a ，b 1＋a ，且0<b 1＋a <1.结合数轴分析，知－4≤b 1－a<－3，即3a －3<b ≤4a －4，又0<b <a ＋1，所以3a －3<b <a ＋1，得1<a <2.9.设f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，且f (x )＞0，对任意a ＞0，b ＞0，若经过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))的直线与x 轴的交点为(c ，0)，则称c 为a ，b 关于函数f (x )的平均数，记为M f (a ，b ).例如，当f (x )＝1(x ＞0)时，可得M f (a ，b )＝c ＝a ＋b 2，即M f (a ，b )为a ，b 的算术平均数. (1)当f (x )＝________(x ＞0)时，M f (a ，b )为a ，b 的几何平均数；(2)当f (x )＝________(x ＞0)时，M f (a ，b )为a ，b 的调和平均数2ab a ＋b. (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)答案 (1)x (2)x解析设A (a ，f (a ))，B (b ，－f (b ))，C (c ，0)，则三点共线.(1)依题意，c ＝ab ，则求得f (a )a ＝f (b )b，故可以选择f (x )＝x (x ＞0).(2)依题意，c ＝2ab a ＋b，求得f (a )a ＝f (b )b ，故可以选择f (x )＝x (x ＞0).10.对于函数f (x )，若存在区间M ＝[a ，b ](其中a <b )，使得{y |y ＝f (x )，x ∈M }＝M ，则称区间M 为函数f (x )的一个“稳定区间”.给出下列4个函数：①f (x )＝(x －1)2；②f (x )＝|2x －1|；③f (x )＝cos π2x ；④f (x )＝e x . 其中存在“稳定区间”的函数是________.(填出所有满足条件的函数序号)答案 ①②③解析据已知定义，所谓的“稳定区间”即函数在区间[a ，b ]内的定义域与值域相等.问题可转化为已知函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝x 是否相交，若相交则两交点所在区间即为函数的“稳定区间”.数形结合依次判断，①②③均符合条件，而④不符合条件.综上可知，①②③均为存在“稳定区间”的函数.11.若函数f (x )在定义域D 内的某个区间I 上是增函数，且F (x )＝f (x )x在I 上是减函数，则称y ＝f (x )在I 上是“非完美增函数”.已知f (x )＝ln x ，g (x )＝2x ＋2x＋a ln x (a ∈R ). (1)判断f (x )在(0，1]上是否为“非完美增函数”；(2)若g (x )在[1，＋∞)上是“非完美增函数”，求实数a 的取值范围.解 (1)易知f ′(x )＝1x ＞0在(0，1]上恒成立，所以f (x )＝ln x 在(0，1]上是增函数.F (x )＝f (x )x＝ln x x ，求导得F ′(x )＝1－ln x x 2，因为x ∈(0，1]，所以ln x ≤0，即F ′(x )＞0在(0，1]上恒成立，所以F (x )＝ln x x在(0，1]上是增函数.由题意知，f (x )在(0，1]上不是“非完美增函数”. (2)若g (x )＝2x ＋2x ＋a ln x (a ∈R )在[1，＋∞)上是“非完美增函数”，则g (x )＝2x ＋2x＋a ln x 在[1，＋∞)上单调递增，G (x )＝g (x )x ＝2＋2x 2＋a ln x x在[1，＋∞)上单调递减. ①若g (x )在[1，＋∞)上单调递增，则g ′(x )＝2－2x 2＋a x ≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≥2x－2x 在[1，＋∞)上恒成立.令h (x )＝2x －2x ，x ∈[1，＋∞)，因为h ′(x )＝－2x 2－2＜0恒成立，所以h (x )在[1，＋∞)上单调递减，h (x )max ＝h (1)＝0，所以a ≥0.②若G (x )在[1，＋∞)上单调递减，则G ′(x )＝－4x 3＋a (1－ln x )x 2≤0在[1，＋∞)上恒成立，即－4＋ax －ax ln x ≤0在[1，＋∞)上恒成立.令t (x )＝－4＋ax －ax ln x ，x ∈[1，＋∞)，因为t ′(x )＝－a ln x ，由①知a ≥0，所以t ′(x )≤0恒成立，所以t (x )＝－4＋ax －ax ln x 在[1，＋∞)上单调递减，则t (x )max ＝t (1)＝a －4.要使t (x )＝－4＋ax －ax ln x ≤0在[1，＋∞)上恒成立，则a－4≤0，即a ≤4，此时G ′(x )＝－4x 3＋a (1－ln x )x 2≤0在[1，＋∞)上恒成立. 综合①②知，实数a 的取值范围为[0，4].12.已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，g (x )＝e x .(1)当a ≤0时，求f (x )的单调区间；(2)若不等式g (x )＜x －m x有解，求实数m 的取值范围； (3)定义：对于函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在其公共定义域内的任意实数x 0，称|f (x 0)－g (x 0)|的值为两函数在x 0处的差值.证明：当a ＝0时，函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在其公共定义域内的所有差值都大于2.(1)解 f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋1x(x ＞0). ①当a ＝0时，f ′(x )＞0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a ＜0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝－1a，则当x ∈(0，－1a)时，f ′(x )＞0，∴f (x )单调递增，当x ∈(－1a，＋∞)时，f ′(x )＜0，∴f (x )单调递减. 综上，当a ＝0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＜0时，f (x )在(0，－1a )上单调递增，在(－1a，＋∞)上单调递减. (2)解由题意：e x ＜x －m x有解，即e x x ＜x －m 有解，因此只需m ＜x －e x x ，x ∈(0，＋∞)有解即可.设h (x )＝x －e x x ，h ′(x )＝1－e xx －e x 2x ＝1－e x (x ＋12x ). ∵x ＋12x ≥212＝2＞1，且x ∈(0，＋∞)时e x ＞1， ∴1－e x (x ＋12x)＜0，即h ′(x )＜0，故h (x )在(0，＋∞)上单调递减.∴h (x )＜h (0)＝0，故m ＜0.(3)证明当a ＝0时，f (x )＝ln x ，f (x )与g (x )的公共定义域为(0，＋∞)，|f (x )－g (x )|＝|ln x －e x |＝e x －ln x ＝e x －x －(ln x －x ).设m (x )＝e x －x ＞0，则m ′(x )＝e x －1＞0，x ∈(0，＋∞)，m (x )在(0，＋∞)上单调递增，m (x )＞m (0)＝1.又设n (x )＝ln x －x ，x ∈(0，＋∞)，n ′(x )＝1x－1，当x ∈(0，1)时，n ′(x )＞0，n (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，n ′(x )＜0，n (x )单调递减，所以x ＝1为n (x )的极大值点，即n (x )≤n (1)＝－1，故|f (x )－g (x )|＝m (x )－n (x )＞1－(－1)＝2.即公共定义域内任一点差值都大于2.。

高考数学大一轮复习第11章第4节数学归纳法及其应用理

D．f(n)中共有 n2－n＋1 项，当 n＝2 时，f(2)＝12＋13＋14
解析：从 n 到 n2 共有 n2 － n ＋ 1 个数，所以 f(n) 中共有 n2 － n ＋ 1 项．
4．凸k边形内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和为f(k＋1)＝ f(k)＋________.
那么当 n＝k＋1 时，左边＝1－12＋13－14＋…＋2k－1 1－21k＋2k＋11－1－2k＋1 1 ＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k＋2k＋1 1－2k＋1 1 ＝k＋1 2＋k＋1 3＋…＋21k＋2k＋1 1＋k＋1 1－2k＋1 1 ＝k＋11＋1＋k＋11＋2＋…＋k＋11＋k ＋k＋1＋1 k＋1＝右边，所以当 n＝k＋1 时等式也成立．综合①②知，对一切 n∈N*，等式都成立．
[调研 2] (1)用数学归纳法证明： 1＋n2≤1＋12＋13＋…＋21n≤12＋n(n∈N*)． [证明] ①当 n＝1 时，左边＝1＋12，右边＝12＋1， ∴32≤1＋12≤32，即命题成立． ②假设当 n＝k 时命题成立，即 1＋2k≤1＋12＋13＋…＋21k≤12＋k，
则当 n＝k＋1 时， 1＋12＋13＋…＋21k＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k＋1 2k＞1＋2k＋2k·2k＋1 2k ＝1＋k＋2 1. 又 1＋12＋13＋…＋21k＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k＋1 2k＜12＋k＋2k·21k＝ 12＋(k＋1)，即 n＝k＋1 时，命题成立．由①②可知，命题对所有 n∈N*都成立．
(2)用数学归纳法证明：对任意的
n
∈
N*
，
1 1×3
＋
1 3×5
＋
…
＋
2n－112n＋1＝2nn＋1.

2021版考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识方法篇专题

2021版考前三个月高考数学（全国甲卷通用理科）知识方法篇专题2021版考前三个月高考数学（全国甲卷通用理科）知识方法篇专题第13次练习的强制测试类型——导数和单调性[题型分析高考展望]利用导数研究函数单调性是高考每年必考内容，多以综合题中某一问的形式考查，题目承载形式多种多样，但其实质都是通过求导判断导数符号，确定单调性.题目难度为中等偏上，一般都在最后两道压轴题上，这是二轮复习的得分点，应高度重视.体验高考1.(2021福建)若定义在r上的函数f(x)满足f(0)＝－1，其导函数f′(x)满足f′(x)＞k＞1，则下列结论中一定错误的是()1?1a.f??k?＜k11c.f?k－1?＜??k－1答案c它由已知条件解析，构造器g（x）=f（x）-KX，11则g′(x)＝f′(x)－k＞0，故函数g(x)在r上单调递增，且＞0，故g()＞g(0)，k－1k－11k11所以f()－＞－1，f()＞，K-1k-1k-1k-1，所以C的结论肯定是错误的，选项D无法判断；构造函数H（x）=f （x）-x，1然后H'（x）=f'（x）-1>0，因此函数H（x）在R上单调增加且>0，k一万一千一百一十一所以h()＞h(0)，即f()－＞－1，f()＞－1，选项a，b无法判断，故选c.KKKK2.(2021课标全国ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈r)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()a.(－∞，－1)∪(0，1)b.(－1，0)∪(1，＋∞)c.(－∞，－1)∪(－1，0)d.(0，1)∪(1，＋∞)答案axf′？x？－F十、F十、解析记函数g(x)＝，则g(x)＝，三十二1?1b、 f？>？Kk－11kd。

Fk－1？＞？？k－1因为当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，故当x＞0时，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，＋∞)单调递减；又因为函数f(x)(x∈r)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，因此，G（x）在（－∞, 当0<x<1时，G（-1）=G（1）=0，G（x）>0，则f（x）>0；当x＜-1，G（x）＜0时，则f（x）＞0综上所述，使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，故选a.3.(2021浙江)设函数f(x)＝x3＋(1)f(x)≥1－x＋x2；33(2)＜f(x)≤.421－?－十、41-x4证明（1）因为1-x+x-x==，1－?－x?1＋x二3一，x∈[0，1].证明：1＋x1－x41由于x∈[0，1]，有≤，1＋xx＋11即1－x＋x2－x3≤，X+1，所以f（X）≥ 1-x+x2（2）X3≤ x、 0比11≤ 十、≤ 1.故f(x)＝x3＋≤x＋x＋1x＋1133?x－1??2x＋1?33=x＋－≤，22x＋1222?x＋1?3所以f（x）≤2133x-？2 + ≥, from（1），f（x）≥ 1-x+x2=？？2.44。

考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)考前抢分必做考前回扣回扣5

回扣5 不等式与线性规划1.一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间).解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0、Δ＝0、Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小. 2.一元二次不等式的恒成立问题 (1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.3.分式不等式f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)； f (x )g (x )≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x )≥0(≤0)，g (x )≠0. 4.基本不等式(1)①a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )当且仅当a ＝b 时取等号. ②a ＋b2≥ab (a ，b ∈(0，＋∞))，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)几个重要的不等式：①ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；②a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b(a >0，b >0，当a ＝b 时等号成立). ③a ＋1a≥2(a >0，当a ＝1时等号成立)；④2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R ，当a ＝b 时等号成立). 5.可行域的确定“线定界，点定域”，即先画出与不等式对应的方程所表示的直线，然后代入特殊点的坐标，根据其符号确定不等式所表示的平面区域. 6.线性规划(1)线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；(2)线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多个.1.不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错.2.解形如一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a >0，a <0进行讨论.3.应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把f (x )g (x )≤0直接转化为f (x )·g (x )≤0，而忽视g (x )≠0.4.容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f (x )＝x 2＋2＋1x 2＋2的最值，就不能利用基本不等式求解最值；求解函数y ＝x ＋3x (x <0)时应先转化为正数再求解.5.解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解.6.求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如y －2x ＋2是指已知区域内的点(x ，y )与点(－2，2)连线的斜率，而(x －1)2＋(y －1)2是指已知区域内的点(x ，y )到点(1，1)的距离的平方等.1.下列命题中正确的个数是( )①a >b ，c >d ⇔a ＋c >b ＋d ；②a >b ，c >d ⇒a d >b c ；③a 2>b 2⇔|a |>|b |；④a >b ⇔1a <1b .A.4B.3C.2D.1 答案 C解析 ①a >b ，c >d ⇔a ＋c >b ＋d 正确，不等式的同向可加性；②a >b ，c >d ⇒a d >bc 错误，反例：若a ＝3，b ＝2，c ＝1，d ＝－1，则a d >b c 不成立；③a 2>b 2⇔|a |>|b |正确；④a >b ⇔1a <1b 错误，反例：若a ＝2，b ＝－2，则1a <1b不成立.故选C.2.设M ＝2a (a －2)＋4，N ＝(a －1)(a －3)，则M ，N 的大小关系为( ) A.M >N B.M <N C.M ＝N D.不能确定答案 A解析 M －N ＝2a (a －2)＋4－(a －1)(a －3)＝a 2＋1>0.故选A.3.若不等式2kx 2＋kx －38≥0的解集为空集，则实数k 的取值范围是( )A.(－3，0)B.(－∞，－3)C.(－3，0]D.(－∞，－3)∪(0，＋∞)答案 C解析由题意可知2kx 2＋kx －38<0恒成立，当k ＝0时成立，当k ≠0时需满足⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ<0，代入求得－3<k <0，所以实数k 的取值范围是(－3，0].4.(2016·四川)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p是q 的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A解析如图，(x －1)2＋(y －1)2≤2，①表示圆心为(1，1)，半径为2的圆内区域的所有点(包括边界)；⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，②表示△ABC 内部区域的所有点(包括边界).实数x ，y 满足②则必然满足①，反之不成立.则p 是q 的必要不充分条件.故选A.5.不等式1x －1≥－1的解集为( )A.(－∞，0]∪[1，＋∞)B.[0，＋∞)C.(－∞，0]∪(1，＋∞)D.[0，1)∪(1，＋∞)答案 C解析由题意得，1x －1≥－1⇒1x －1＋1＝xx －1≥0，解得x ≤0或x >1，所以不等式的解集为(－∞，0]∪(1，＋∞)，故选C.6.设第一象限内的点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为40，则5a ＋1b 的最小值为( )A.256B.94 C.1 D.4 答案 B解析不等式表示的平面区域如图中阴影部分，直线z ＝ax ＋by 过点(8，10)时取最大值，即8a ＋10b ＝40，4a ＋5b ＝20，从而5a ＋1b ＝(5a ＋1b )4a ＋5b 20＝120(25＋4a b ＋25b a )≥120(25＋24a b ×25b a )＝94，当且仅当2a ＝5b 时取等号，因此5a ＋1b 的最小值为94，故选B.7.已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于( )A.6B.5C.4D.3 答案 B解析作出不等式组对应的平面区域，如图所示，由目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，得y ＝x －z ，及当z ＝－1时，函数y ＝x ＋1，此时对应的平面区域在直线y ＝x ＋1的下方，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1y ＝2x －1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即A (2，3)，同时A 也在直线x ＋y ＝m 上，所以m ＝5.8.在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，y ≤k (x －1)－1表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是( ) A.(－∞，－1) B.(1，＋∞)C.(－1，1)D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 A解析易知直线y ＝k (x －1)－1过定点(1，－1)，画出不等式组表示的可行域示意图，如图所示.当直线y ＝k (x －1)－1位于y ＝－x 和x ＝1两条虚线之间时，表示的是一个三角形区域，所以直线y ＝k (x －1)－1的斜率的范围为(－∞，－1)，即实数k 的取值范围是(－∞，－1). 9.已知实数x ∈[－1，1]，y ∈[0，2]，则点P (x ，y )落在区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内的概率为( )A.34B.14C.18D.38 答案 D解析不等式组表示的区域如图所示，阴影部分的面积为12×(2－12)×(1＋1)＝32，则所求的概率为38，故选D.10.函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n 的最小值为________.答案 8解析由已知可得定点A (－2，－1)，代入直线方程可得2m ＋n ＝1，从而1m ＋2n ＝(1m ＋2n )(2m ＋n )＝n m ＋4mn＋4≥2n m ·4mn＋4＝8. 当且仅当n ＝2m 时取等号.11.已知ab ＝14，a ，b ∈(0，1)，则11－a ＋21－b 的最小值为________.答案 4＋423解析因为ab ＝14，所以b ＝14a ，则11－a ＋21－b ＝11－a＋21－14a＝11－a ＋8a 4a －1 ＝11－a ＋2(4a －1)＋24a －1 ＝11－a ＋24a －1＋2 ＝2(14a －1＋24－4a)＋2＝23(14a －1＋24－4a )[(4a －1)＋(4－4a )]＋2 ＝23[3＋4－4a 4a －1＋2(4a －1)4－4a]＋2 ≥23(3＋22)＋2＝4＋423(当且仅当4－4a 4a －1＝2(4a －1)4－4a ，即a ＝32－24时，取等号). 12.变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0，若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m ＝______.答案 1解析由可行域知，直线2x －y ＝2必过直线x －2y ＋2＝0与mx －y ＝0的交点，即直线mx －y ＝0必过直线x －2y ＋2＝0与2x －y ＝2的交点(2，2)，所以m ＝1. 13.(2016·上海)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，y ≥x ＋1，则x －2y 的最大值为________.答案－2解析令z ＝x －2y ，则y ＝12x －z2.当在y 轴上截距最小时，z 最大.即过点(0，1)时，z 取最大值，z ＝0－2×1＝－2.14.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ≥0，则y －6x －5的取值范围是________. 答案 [－1，92]解析作出可行域，如图△ABC 内部(含边界)，y －6x －5表示可行域内点(x ，y )与P (5，6)连线斜率，k P A ＝8－63－5＝－1，k PC ＝－3－63－5＝92，所以－1≤y －6x －5≤92.。

考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)考前抢分必做考前回扣回扣9

回扣9 概率与统计1.牢记概念与公式 (1)概率的计算公式 ①古典概型的概率计算公式 P (A )＝事件A 包含的基本事件数m 基本事件总数n ；②互斥事件的概率计算公式 P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )； ③对立事件的概率计算公式 P (A )＝1－P (A )； ④几何概型的概率计算公式 P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).(2)抽样方法简单随机抽样、分层抽样、系统抽样.①从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，则每个个体被抽到的概率都为nN；②分层抽样实际上就是按比例抽样，即按各层个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量. (3)统计中四个数据特征①众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据.②中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据.如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数. ③平均数：样本数据的算术平均数，即x ＝1n (x 1＋x 2＋…x n ).④方差与标准差方差：s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2].标准差： s ＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]. (4)八组公式①离散型随机变量的分布列的两个性质Ⅰ.p i ≥0(i ＝1，2，…，n )；Ⅱ.p 1＋p 2＋…＋p n ＝1. ②均值公式E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n . ③均值的性质Ⅰ.E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ； Ⅱ.若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ； Ⅲ.若X 服从两点分布，则E (X )＝p . ④方差公式D (X )＝[x 1－E (X )]2·p 1＋[x 2－E (X )]2·p 2＋…＋[x n －E (X )]2·p n ，标准差D X . ⑤方差的性质Ⅰ.D (aX ＋b )＝a 2D (X )；Ⅱ.若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )； Ⅲ.若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p ). ⑥独立事件同时发生的概率计算公式 P (AB )＝P (A )P (B ).⑦独立重复试验的概率计算公式P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k . ⑧条件概率公式 P (B |A )＝P (AB )P (A ). 2.活用定理与结论 (1)直方图的三个结论 ①小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率. ②各小长方形的面积之和等于1.③小长方形的高＝频率组距，所有小长方形高的和为1组距.(2)线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^一定过样本点的中心(x ，y ). (3)利用随机变量K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验.如果K 2的观测值k 越大，说明“两个分类变量有关系”的可能性越大.(4)如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ～N (μ，σ2).满足正态分布的三个基本概率的值是：①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6；②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ2)＝0.954 4；③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.1.应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和.2.正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.3.混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错.4.要注意概率P (A |B )与P (AB )的区别(1)在P (A |B )中，事件A ，B 发生有时间上的差异，B 先A 后；在P (AB )中，事件A ，B 同时发生.(2)样本空间不同，在P (A |B )中，事件B 成为样本空间；在P (AB )中，样本空间仍为Ω，因而有P (A |B )≥P (AB ).5.易忘判定随机变量是否服从二项分布，盲目使用二项分布的均值和方差公式计算致误.1.某学校有男学生400名，女学生600名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取男学生40名，女学生60名进行调查，则这种抽样方法是( )A.抽签法B.随机数法C.系统抽样法D.分层抽样法答案 D解析总体由男生和女生组成，比例为400∶600＝2∶3，所抽取的比例也是2∶3，故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，采用的抽样方法是分层抽样法，故选D.2.投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)为实数的概率是( ) A.13 B.14 C.16 D.112 答案 C解析投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，记作(m ，n )，共有6×6＝36(种)结果.(m ＋n i)(n －m i)＝2mn ＋(n 2－m 2)i 为实数，应满足m ＝n ，有6种情况，所以所求概率为636＝16，故选C.3.一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为( ) A.35 B.310 C.12 D.625 答案 B解析设3个白球分别为a 1，a 2，a 3，2个黑球分别为b 1，b 2，则先后从中取出2个球的所有可能结果为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)，(a 2，a 1)，(a 3，a 1)，(b 1，a 1)，(b 2，a 1)，(a 3，a 2)，(b 1，a 2)，(b 2，a 2)，(b 1，a 3)，(b 2，a 3)，(b 2，b 1)，共20种.其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，共6种，故所求概率为620＝310.4.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝0.76，a ^＝y －b ^x .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元答案 B解析由题意知，x ＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y ＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴a ^＝8－0.76×10＝0.4， ∴当x ＝15时，y ^＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元).5.设X ～N (1，σ2)，其正态分布密度曲线如图所示，且P (X ≥3)＝0.022 8，那么向正方形OABC 中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为( )附：(随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，则P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95.44%)( )A.6 038B.6 587C.7 028D.7 539 答案 B解析由题意知，P (0<X ≤1)＝1－12×0.682 6＝0.658 7，则落入阴影部分的点的个数的估计值为10 000×0.658 7＝6 587.故选B.6.从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( ) A.9 B.10 C.18 D.20 答案 C解析由于lg a －lg b ＝lg a b (a >0，b >0)，从1，3，5，7，9中任取两个作为a b 有A 25＝20种，又13与39相同，31与93相同，∴lg a －lg b 的不同值的个数有A 25－2＝20－2＝18，选C. 7.甲、乙两同学用茎叶图记录高三前5次数学测试的成绩，如图所示，他们在分析对比成绩变化时，发现乙同学成绩的一个数字看不清楚了，若已知乙的平均成绩低于甲的平均成绩，则看不清楚的数字为( )A.0B.3C.6D.9 答案 A解析设看不清的数字为x ，甲的平均成绩为99＋100＋101＋102＋1035＝101，所以93＋94＋97＋110＋(110＋x )5<101，x <1，所以x ＝0.故选A.8.在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )都在直线y ＝－13x ＋2上，则这组样本数据的样本的相关系数为( )A.－1B.0C.－13 D.1答案 A解析数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，样本点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )都在直线y ＝－13x ＋2上，说明这组数据点完全负相关，其相关系数为－1，故选A.9.在区间[1，5]和[2，4]内分别取一个数，记为a ，b ，则方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为________. 答案1532解析当方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆时，有⎩⎪⎨⎪⎧a 2>b 2，e ＝c a ＝a 2－b 2a <32，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2>b 2，a 2<4b 2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a >b ，a <2b . 又a ∈[1，5]，b ∈[2，4]，画出满足不等式的平面区域，如图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为154，故P ＝S 阴影2×4＝1532.10.将某班参加社会实践编号为1，2，3，…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知5号，21号，29号，37号，45号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是________. 答案 13解析系统抽样法取出的样本编号成等差数列，因此还有一个编号为5＋8＝21－8＝13. 11.某班有学生60人，现将所有学生按1，2，3，…，60随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本(等距抽样)，已知编号为4，a ，28，b ，52号学生在样本中，则a ＋b ＝________. 答案 56解析 ∵样本容量为5，∴样本间隔为60÷5＝12， ∵编号为4，a ，28，b ，52号学生在样本中， ∴a ＝16，b ＝40， ∴a ＋b ＝56.12.给出如下四对事件：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”； ③从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“至少一个黑球”与“都是红球”； ④从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”. 其中属于互斥事件的是________.(把你认为正确的事件的序号都填上). 答案 ①③④解析 ①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”两个事件不会同时发生，故为互斥事件；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”，前者包含后者，故②不是互斥事件；③“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，所以这两个事件是对立事件，故是互斥事件；④“没有黑球”与“恰有一个红球”，不可能同时发生，故他们属于互斥事件.13.国内某知名大学有男生14 000人，女生10 000人.该校体育学院想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人，统计他们平均每天运动的时间，如下表：(平均每天运动的时间单位：小时，该校学生平均每天运动的时间范围是[0，3])男生平均每天运动的时间分布情况：女生平均每天运动的时间分布情况：(1)请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间(结果精确到0.1)；(2)若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”.①根据样本估算该校“运动达人”的数量；②请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为‘运动达人’与性别有关？”参考公式：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(a＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d参考数据：解(1)由分层抽样得：男生抽取的人数为120×14 00014 000＋10 000＝70，女生抽取的人数为120－70＝50，故x＝5，y＝2，则该校男生平均每天运动的时间为0.25×2＋0.75×12＋1.25×23＋1.75×18＋2.25×10＋2.75×570≈1.5.故该校男生平均每天运动的时间约为1.5小时.(2)①样本中“运动达人”所占比例是20120＝16，故估计该校“运动达人”有16×(14 000＋10 000)＝4 000(人). ②由表格可知：故K 2的观测值k ＝120×(15×45－5×55)220×100×50×70＝9635≈2.743<3.841，故在犯错误的概率不超过0.05的前提下不能认为“是否为‘运动达人’与性别有关”. 14.某公司通过初试和复试两轮考试确定最终合格人选，当第一轮初试合格后方可进入第二轮复试，两次考核过程相互独立.根据甲、乙、丙三人现有的水平，第一轮考核甲、乙、丙三人合格的概率分别为0.4、0.6、0.5.第二轮考核，甲、乙、丙三人合格的概率分别为0.5、0.5、0.4.(1)求第一轮考核后甲、乙两人中只有乙合格的概率；(2)设甲、乙、丙三人经过前后两轮考核后合格入选的人数为X ，求X 的分布列和均值. 解 (1)设甲、乙经第一次考核后合格为事件A 1、B 1，设事件E 表示第一轮考核后甲不合格、乙合格，则P (E )＝P (A 1·B 1)＝0.6×0.6＝0.36.即第一轮考核后甲、乙两人中只有乙合格的概率为0.36.(2)分别设甲、乙、丙三人经过前后两次考核后合格入选为事件A 、B 、C ，则P (A )＝0.4×0.5＝0.2， P (B )＝0.6×0.5＝0.3， P (C )＝0.4×0.5＝0.2，经过前后两轮考核后合格入选的人数为X ，则X 可能取0，1，2，3. P (X ＝0)＝0.8×0.7×0.8＝0.448，P (X ＝1)＝0.2×0.7×0.8＋0.8×0.3×0.8＋0.8×0.7×0.2＝0.416， P (X ＝3)＝0.2×0.3×0.2＝0.012， P (X ＝2)＝1－0.448－0.416－0.012＝0.124. X 的分布列为均值为E(X)＝0×0.448＋1×0.416＋2×0.124＋3×0.012＝0.7.。

2017版考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识方法篇专题11 数学方法第49练 Word版含答案

第49练配凑法与构造法[题型分析·高考展望] 配凑法是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同，解决有关不等式恒成立、不等式存在(有)解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知.构造法解题有时虽然经历了一条曲折迂回的道路，并且往往经历了更多的巧思，联想，挖掘，但是它往往能独辟蹊径，顺利解决问题.这有利于让学生形成挖掘题目隐含条件的良好习惯，有利于提高学生的创造性思维品质，从而提高创新意识，也有利于培养学生的研究能力.高考必会题型题型一配凑法例1 已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1的导函数为f ′(x )，g (x )＝f ′(x )－ax －3.(1)若x ·g ′(x )＋6>0对一切x ≥2恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若对满足0≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，求实数x 的取值范围.解 (1)∵f ′(x )＝3x 2＋3a ，∴g (x )＝3x 2＋3a －ax －3，∴g ′(x )＝6x －a ，即6x 2－ax ＋6>0对一切x ≥2恒成立⇒a <6x ＋6x 对一切x ≥2恒成立，记h (x )＝6x ＋6x，则在x ≥2上a <h (x )恒成立，∵h ′(x )＝6－6x 2在x ≥2上恒大于0， ∴h (x )＝6x ＋6x在x ≥2上单调递增， ∴h (x )min ＝h (2)＝15，∴a <15.(2)g (x )＝3x 2＋3a －ax －3＜0对一切0≤a ≤1恒成立，若x ＝3，则g (x )＝3x 2＋3a －ax －3＝24＞0不满足，∴x ∈∅，若x <3，则a <3－3x 23－x 对一切0≤a ≤1恒成立⇒3－3x 23－x>1 ⇒0<x <13，若x >3，则a >3－3x 23－x 对一切0≤a ≤1恒成立⇒3－3x 23－x<0 ⇒3－3x 2>0⇒－1<x <1，∴x ∈∅，综上所述，0<x <13. 点评高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系，其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目，相当一部分题目都可以避开二次函数，使用分离变量，使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用，越来越多的压轴题都需要使用该思想方法.变式训练1 设非零复数a ，b 满足a 2＋ab ＋b 2＝0，求(a a ＋b )1 998＋(b a ＋b)1 998. 解由a 2＋ab ＋b 2＝0变形得，(a b )2＋a b＋1＝0，设ω＝a b，则ω2＋ω＋1＝0，可知ω为1的立方虚根，所以1ω＝b a，ω3＝ω3＝1. 又由a 2＋ab ＋b 2＝0变形得(a ＋b )2＝ab ，所以(a a ＋b )1 998＋(b a ＋b)1 998 ＝(a 2ab )999＋(b 2ab)999 ＝(a b )999＋(b a)999 ＝ω999＋ω999＝2.题型二构造法例2 求证：ln(1＋n )<1＋12＋13＋14＋ (1). 证明构造函数f (x )＝ln(1＋x )－x (x >0)，f ′(x )＝11＋x －1＝－x 1＋x<0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以当x >0时，有f (x )<f (0)＝0，即有ln(1＋x )<x (x >0)，因而有ln(1＋11)<1，ln(1＋12)<12， ln(1＋13)<13，…，ln(1＋1n )<1n. 故ln(1＋11)＋ln(1＋12)＋ln(1＋13)＋…＋ln(1＋1n) <1＋12＋13＋14＋ (1)，即ln(1＋n )<1＋12＋13＋14＋ (1). 点评构造法在高中数学中已有了比较广泛的应用，它是数学方法的有机组成部分.是历年高考的重点和热点，主要依据题意，构造恰当的函数解决问题.首先解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，用函数的观点加以分析，常可使问题变得明了，从而易于找到一种科学的解题途径.其次数量关系是数学中的一种基本关系，现实世界的复杂性决定了数量关系的多元性.因此，如何从多变元的数量关系中选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系，有时便成了数学问题能否“明朗化”的关键所在.变式训练2 求证：ln 2<1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n <ln 3. 证明构造函数f (x )＝ln x －x －1x (x >0)， f ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2，函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减.所以有f (x )＝ln x －x －1x≥f (1)＝0，即ln x >x －1x (x >0)，令x ＝k k ＋1，因而有ln k k ＋1>－1k ，即1k >ln(k ＋1)－ln k ，所以有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >ln(3n ＋1)－ln(n ＋1) ＝ln 3n ＋1n ＋1≥ln 2.同理有lnk ＋1k >1k ＋1，即1k ＋1<ln(k ＋1)－ln k ，所以有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n <ln(3n )－ln n ＝ln 3，故有ln 2<1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n <ln 3. 高考题型精练1.当x ＝3＋1时，求y ＝12x 3－x 2－x ＋1的值. 解由条件得x ＝3＋1，所以x －1＝3，构造x －1的因式，y ＝12x 3－x 2－x ＋1 ＝12(x 3－2x 2－2x ＋2) ＝12[x (x －1)2－3x ＋2] ＝12(3x －3x ＋2)＝1. 2.已知a ，b ，c 为正数，求函数y ＝x 2＋a 2＋(c －x )2＋b 2的最小值.解构造向量a ＝(x ，a )，b ＝(c －x ，b )，则原函数就可化为y ＝|a |＋|b |≥|a ＋b | ＝(x ＋c －x )2＋(a ＋b )2＝c 2＋(a ＋b )2，∴y min ＝c 2＋(a ＋b )2.3.求证：－43≤4－9x 2－2x ≤2133. 证明令y ＝4－9x 2(y ≥0)，则其图象是椭圆x 249＋y 24＝1的上半部分，设y －2x ＝m ，于是只需证－43≤m ≤2133，因m 为直线y ＝2x ＋m 在y 轴上的截距，由图可知：当直线y ＝2x ＋m 过点(23，0)时， m 有最小值m ＝－43，当直线y ＝2x ＋m 与椭圆上半部分相切时，m 有最大值.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，9x 2＋y 2＝4，得13x 2＋4mx ＋m 2－4＝0. 令Δ＝4(52－9m 2)＝0，得m ＝2133或m ＝－2133(舍)，即m 的最大值为2133，故－43≤m ≤2133，即－43≤4－9x 2－2x ≤2133. 4.求函数y ＝x ＋1－x 的最大值.解由根号下的式子看出x ＋1－x ＝1且0≤x ≤1，故可联想到三角函数关系并构造x ＝sin 2θ(0≤θ≤π2)，所以y ＝sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋π4)，当θ＝π4，即x ＝12时，y max ＝ 2. 5.(2015·福建)已知函数f (x )＝ln x －(x －1)22. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)证明：当x ＞1时，f (x )＜x －1；(3)确定实数k 的所有可能取值，使得存在x 0＞1，当x ∈(1，x 0)时，恒有f (x )＞k (x －1).(1)解 f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞). 由f ′(x )＞0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x 2＋x ＋1＞0，解得0＜x ＜1＋52. 故f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋52.(2)证明令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)，则有F ′(x )＝1－x 2x. 当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )＜0，所以F (x )在(1，＋∞)上单调递减，故当x ＞1时，F (x )＜F (1)＝0，即当x ＞1时，f (x )＜x －1.(3)解由(2)知，当k ＝1时，不存在x 0＞1满足题意.当k ＞1时，对于x ＞1，有f (x )＜x －1＜k (x －1)，则f (x )＜k (x －1)，从而不存在x 0＞1满足题意.当k ＜1时，令G (x )＝f (x )－k (x －1)，x ∈(0，＋∞)，则有G ′(x )＝1x －x ＋1－k ＝－x 2＋(1－k )x ＋1x. 由G ′(x )＝0得，－x 2＋(1－k )x ＋1＝0，解得x 1＝1－k －(1－k )2＋42＜0， x 2＝1－k ＋(1－k )2＋42＞1. 当x ∈(1，x 2)时，G ′(x )＞0，故G (x )在(1，x 2)内单调递增.从而当x ∈(1，x 2)时，G (x )＞G (1)＝0，即f (x )＞k (x －1).综上，k 的取值范围是(－∞，1).6.设a 为实数，证明以4a 2＋3，a 2－a ＋1，a 2＋a ＋1为边长可以构成一个三角形，且三角形的面积为定值.解由于4a 2＋3＝(2a )2＋(3)2，a 2－a ＋1＝a 2＋12－2×a ×1×cos 60°，a 2＋a ＋1＝a 2＋12－2×a ×1×cos 120°.构造合乎要求的几何图形如图所示：AD ＝DF ＝BC ＝a ，AB ＝BE ＝CD ＝1，∠DAB ＝60°，∠CBE ＝120°，于是AF ＝2a ，AE ＝3，EF ＝(2a )2＋(3)2＝4a 2＋3，AD ＝a ，AB ＝1，FC ＝DB ＝a 2＋12－2×a ×1×cos 60°＝a 2－a ＋1，BC ＝a ，BE ＝1，CE ＝a 2＋12－2×a ×1×cos 120°＝a 2＋a ＋1. 所以以4a 2＋3，a 2－a ＋1，a 2＋a ＋1为边长可以构成一个三角形，即△ECF . 则S △ECF ＝S AECF －S △AEF＝3S △ABD ＋S △ABE ＋S △BCE －S △AEF＝3×12×a ×1×sin 60°＋12×1×1×sin 120°＋12×a ×1×sin 120°－12×2a × 3 ＝34. 7.椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，1)的距离为10. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左，右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.解 (1)∵左焦点(－c ，0)到点P (2，1)的距离为10，∴(2＋c )2＋1＝10，解得c ＝1. 又e ＝c a ＝12，解得a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3，∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0，整理得3＋4k 2>m 2.∴x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2， y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3(m 2－4k 2)3＋4k 2. ∵以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D (2，0)，k AD ·k BD ＝－1，∴y 1x 1－2·y 2x 2－2＝－1， ∴y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，∴3(m 2－4k 2)3＋4k 2＋4(m 2－3)3＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0. 整理得7m 2＋16mk ＋4k 2＝0，解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k 7. 且满足3＋4k 2－m 2>0.当m ＝－2k 时，l ：y ＝k (x －2)，直线过定点(2，0)与已知矛盾；当m ＝－2k 7时，l ：y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －27，直线过定点⎝⎛⎭⎫27，0. 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为⎝⎛⎭⎫27，0.8.已知函数f (x )＝ln x －a (x －1)，a ∈R .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当x ≥1时，f (x )≤ln x x ＋1恒成立，求a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax x. 若a ≤0，则f ′(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，若a ＞0，则由f ′(x )＝0，得x ＝1a，当x ∈(0，1a)时，f ′(x )＞0，当x ∈(1a，＋∞)时，f ′(x )＜0. ∴f (x )在(0，1a )上单调递增，在(1a，＋∞)上单调递减. 综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，f (x )在(0，1a )上单调递增，在(1a，＋∞)上单调递减. (2)方法一 f (x )－ln x x ＋1＝x ln x －a (x 2－1)x ＋1，令g (x )＝x ln x －a (x 2－1)(x ≥1)，则g ′(x )＝ln x ＋1－2ax ，令F (x )＝g ′(x )＝ln x ＋1－2ax ，则F ′(x )＝1－2ax x， ①若a ≤0，F ′(x )>0，g ′(x )在[1，＋∞)上递增，g ′(x )≥g ′(1)＝1－2a >0，∴g (x )在[1，＋∞)上递增，g (x )≥g (1)＝0，从而f (x )－ln x x ＋1≥0，不符合题意.②若0<a <12，当x ∈(1，12a)时，F ′(x )>0， ∴g ′(x )在(1，12a)上递增，从而g ′(x )>g ′(1)＝1－2a ＞0，∴g (x )在[1，＋∞)上递增，g (x )≥g (1)＝0，从而f (x )－ln x x ＋1≥0，不符合题意. ③若a ≥12，F ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立， ∴g ′(x )在[1，＋∞)上递减，g ′(x )≤g ′(1)＝1－2a ≤0. 从而g (x )≤g (1)＝0，f (x )－ln x x ＋1≤0，综上所述：a 的取值范围是[12，＋∞). 方法二当x ≥1时，f (x )≤ln x x ＋1恒成立等价于ln x －ln x x ＋1≤a (x －1)，令h (x )＝ln x －ln x x ＋1＝x ln x x ＋1，g (x )＝a (x －1)， h ′(x )＝x ＋1＋ln x (x ＋1)2， ∵x ≥1，∴h ′(x )>0，即h (x )在[1，＋∞)上是增函数，g ′(x )＝a ， ∵当a >0时，g (x )在[1，＋∞)上是增函数. 又∵h (1)＝g (1)＝0，h (x )≤g (x )(x ≥1)恒成立，只需h ′(1)≤g ′(1)，即12≤a . 故a 的取值范围是[12，＋∞).。

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ln x (2)当 x≥1 时，f(x)≤ 恒成立，求 a 的取值范围. x＋1
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1＋ 5 . 故 f(x)的单调递增区间是0， 2
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(2)证明：当x＞1时，f(x)＜x－1；证明令F(x)＝f(x)－(x－1)，x∈(0，＋∞)，
1－x2 则有 F′(x)＝ x .
当x∈(1，＋∞)时，F′(x)＜0，
所以F(x)在(1，＋∞)上单调递减，
解析答案
题型二
构造法
例2
1 1 1 1 求证：ln(1＋n)<1＋2＋3＋4＋…＋n.
点评
解析答案
变式训练 2
1 1 1 求证：ln 2< ＋＋…＋3n<ln 3. n＋1 n＋2
解析答案
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1 3 2 1.当 x＝ 3＋1 时，求 y＝2x －x －x＋1 的值.
故当x＞1时，F(x)＜F(1)＝0，
即当x＞1时，f(x)＜x－1.
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(3)确定实数k的所有可能取值，使得存在x0＞1，当x∈(1，x0)时，恒有 f(x)＞k(x－1).
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6.设 a 为实数，证明以 4a ＋3， a －a＋1， a ＋a＋1为边长可以构成一个三角形，且三角形的面积为定值.

考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识方法篇专题11 数学方法第50练

第50练关于计算过程的再优化[题型分析·高考展望] 中学数学的运算包括数的计算，式的恒等变形，方程和不等式同解变形，初等函数的运算和求值，各种几何量的测量与计算，求数列和函数、定积分、概率、统计的初步计算等.《高中数学新课程标准》所要求的数学能力中运算求解能力更为基本，运算求解能力指的是要求学生会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算.运算求解能力是思维能力和运算技能的结合.运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等.数学运算，都是依据相应的概念、法则、性质、公式等基础知识进行的，尤其是概念，它是思维的形式，只有概念明确、理解透彻，才能作出正确的判断及合乎逻辑的推理.计算法则是计算方法的程序化和规则化，对法则的理解是计算技能形成的前提.高考命题对运算求解能力的考查主要是针对算法、推理及以代数运算为主的考查.因此在高中数学中，对于运算求解能力的培养至关重要.提高数学解题能力，首先是提高数学的运算求解能力，可以从以下几个方面入手： 1.培养良好的审题习惯. 2.培养认真计算的习惯.3.培养一些常用结论的记忆的能力，记住一些常用的结论，比如数列求和的公式12＋22＋32＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)，三角函数中的辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ)等等.4.加强运算练习是提高基本运算技能的有效途径，任何能力都是有计划、有目的地训练出来的，提高基本运算技能也必须加强练习、严格训练.5.提高运算基本技能，必须要提高学生在运算中的推理能力，这就首先要清楚运算的定理及相关理论.6.增强自信是解题的关键，自信才能自强，在数学解题中，自信心是相当重要的.高考必会题型题型一化繁为简，优化计算过程例1 过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )A.33 B.－33 C.±33D.－3 答案 B解析由y ＝1－x 2得，x 2＋y 2＝1(y ≥0)，设直线方程为x ＝my ＋2，m <0(m ≥0不合题意)，代入x 2＋y 2＝1(y ≥0)，整理得， (1＋m 2)y 2＋22my ＋1＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－22m 1＋m 2，y 1y 2＝11＋m 2，则△AOB 的面积为12×2|y 1－y 2|＝22|y 1－y 2|，因为|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝(－22m 1＋m 2)2－41＋m 2＝2m 2－11＋m 2＝2m 2－12＋m 2－1＝22m 2－1＋m 2－1≤222m 2－1×m2－1＝22，当且仅当2m 2－1＝m 2－1，即m 2－1＝2，m ＝－3时取等号. 此时直线方程为x ＝－3y ＋2，即y ＝－33x ＋63，所以直线的斜率为－33. 点评本题考查直线与圆的位置关系以及三角形的面积公式，先设出直线方程x ＝my ＋2，表示出△AOB 的面积，然后探讨面积最大时m 的取值，得到直线的斜率. 题型二运用概念、性质等优化计算过程例2 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________.答案 57解析如图，设|BF |＝m ，由题意知，m 2＋100－2×10m cos ∠ABF ＝36，解得m ＝8，所以△ABF 为直角三角形，所以|OF |＝5，即c ＝5，由椭圆的对称性知|AF ′|＝|BF |＝8(F ′为右焦点)，所以a ＝7，所以离心率e ＝57.点评熟练掌握有关的概念和性质是快速准确解决此类题目的关键. 题型三代数运算中加强“形”的应用，优化计算过程例3 设b >0，数列{a n }满足a 1＝b ，a n ＝nba n －1a n －1＋2n －2(n ≥2).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n ，a n ≤b n ＋12n ＋1＋1.(1)解由a 1＝b >0，知a n ＝nba n －1a n －1＋2n －2>0，n a n ＝1b ＋2b ·n －1a n －1. 令A n ＝n a n ，A 1＝1b ，当n ≥2时，A n ＝1b ＋2b A n －1＝1b ＋2b 2＋…＋2n －2b n －1＋2n －1b n －1A 1 ＝1b ＋2b 2＋…＋2n －2b n －1＋2n －1b n . ①当b ≠2时，A n ＝1b [1－(2b )n ]1－2b ＝b n －2n b n (b －2)；②当b ＝2时，A n ＝n2.综上，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧nb n(b －2)b n －2n ，b ≠2，2， b ＝2.(2)证明当b ≠2时，(2n ＋1＋bn ＋1)b n －2nb －2＝(2n ＋1＋b n ＋1)(b n －1＋2b n －2＋…＋2n －1)＝2n ＋1b n －1＋2n ＋2b n －2＋…＋22n ＋b 2n ＋2b 2n －1＋…＋2n －1b n ＋1 ＝2n b n(2b ＋22b 2＋…＋2n b n ＋b n 2n ＋b n －12n －1＋…＋b 2)>2n b n (2＋2＋…＋2)，＝2n ·2n b n ＝n ·2n ＋1b n ， ∴a n ＝nb n (b －2)b n －2n <b n ＋12n ＋1＋1.当b ＝2时，a n ＝2＝b n ＋12n ＋1＋1.综上所述，对于一切正整数n ，a n ≤b n ＋12n ＋1＋1.点评结合题目中a n 的表达式可知，需要构造a n 新的形式n a n ＝1b ＋2b ·n －1a n －1，得到新的数列，根据新数列的形式求和；不等式的证明借用放缩完成.高考题型精练1.已知函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域是一切实数，则m 的取值范围是( ) A.0<m ≤4 B.0≤m ≤1 C.m ≥4 D.0≤m ≤4 答案 D解析根据题意mx 2＋mx ＋1≥0(x ∈R )恒成立，当m ＝0时，满足不等式；当m ≠0时，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4，综上0≤m ≤4.2.已知函数f (x －1x )＝x 2＋1x 2，则f (3)的值为( )A.8B.9C.11D.10 答案 C解析 ∵f (x －1x )＝(x －1x)2＋2，∴f (3)＝9＋2＝11.3.已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－1或x >12}，则f (10x )>0的解集为( )A.{x |x <－1或x >lg 2}B.{x |－1<x <lg 2}C.{x |x >－lg 2}D.{x |x <－lg 2}答案 D解析由题意知，一元二次不等式f (x )>0的解集为(－1，12)，即－1<10x <12⇒x <－lg 2.4.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －1x )6，x <0，－x ，x ≥0.则当x >0时，f (f (x ))表达式的展开式中常数项为( )A.－20B.20C.－15D.15 答案 A解析当x >0时，f [f (x )]＝(－x ＋1x )6＝(1x －x )6的展开式中，常数项为C 36(1x)3(－x )3＝－20.5.在△ABC 中，若AC AB ＝cos Bcos C ，则( )A.A ＝CB.A ＝BC.B ＝CD.以上都不正确答案 C解析 ∵AC AB ＝sin B sin C ＝cos Bcos C ，∴sin B cos C －cos B sin C ＝0. ∴sin(B －C )＝0. 又∵－π<B －C <π， ∴B －C ＝0，即B ＝C .6.已知直线l 与抛物线y 2＝4x 交于A 、B 两点，若P (2，2)为AB 的中点，则直线AB 的方程为________. 答案 x －y ＝0解析 ∵点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线y 2＝4x 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，∴y 22－y 21＝4x 2－4x 1，即y 2－y 1x 2－x 1＝4y 2＋y 1.∵P (2，2)为AB 的中点，所以y 2＋y 1＝4， ∴直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝44＝1，∴直线AB 的方程为x －y ＝0.7.抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部与边界).若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是________. 答案 [－2，12]解析易知切线方程为：y ＝2x －1，所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为A (0，0)，B (12，0)，C (0，－1).易知过C 点时有最小值－2，过B 点时有最大值12. 8.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin(π4＋C )－c sin(π4＋B )＝a .(1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积.(1)证明由b sin(π4＋C )－c sin(π4＋B )＝a ，应用正弦定理，得sin B sin(π4＋C )－sin C sin(π4＋B )＝sin A ，sin B (22sin C ＋22cos C )－sin C (22sin B ＋22cos B )＝22，整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1，即sin(B －C )＝1. 由于0<B ，C <34π，从而B －C ＝π2.(2)解由(1)知，B －C ＝π2，又B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8.由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝12.9.在如图所示的多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，且AC ＝AD ＝CD ＝DE ＝2，AB ＝1.(1)请在线段CE 上找到点F 的位置，使得恰有直线BF ∥平面ACD ，并证明； (2)求平面BCE 与平面ACD 所成锐二面角θ的大小.解以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得x 轴和z 轴的正半轴分别经过点A 和点E ，则各点的坐标为D (0，0，0)，A (2，0，0)，E (0，0，2)，B (2，0，1)，C (1，3，0). (1)点F 应是线段CE 的中点，证明如下：设F 是线段CE 的中点，则点F 的坐标为(12，32，1)，DE →＝(0，0，2)，BF →＝⎝⎛⎭⎫－32，32，0，∴BF →·DE →＝0，∴BF →⊥DE →. 而DE →是平面ACD 的一个法向量. 此即证得BF ∥平面ACD .(2)设平面BCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥CB →，且n ⊥CE →，由CB →＝(1，－3，1)，CE →＝(－1，－3，2)，得⎩⎨⎧x －3y ＋z ＝0，－x －3y ＋2z ＝0，不妨设y ＝3，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，z ＝2，即n ＝(1，3，2)， ∴所求角θ满足cos θ＝n ·DE →|n |·|DE →|＝422×2＝22，∴θ＝π4.10.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，O 为坐标原点，离心率e ＝2，点M (5，3)在双曲线上.(1)求双曲线方程；(2)若直线l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP →·OQ →＝0，求1|OP |2＋1|OQ |2的值.解 (1)∵e ＝2，∴c ＝2a ，b 2＝c 2－a 2＝3a 2， ∴双曲线方程为x 2a 2－y 23a 2＝1，即3x 2－y 2＝3a 2，∵点M (5，3)在双曲线上， ∴15－3＝3a 2，∴a 2＝4， ∴所求双曲线方程为x 24－y 212＝1.(2)设直线OP 的方程为y ＝kx (k ≠0)，联立x 24－y212＝1得⎩⎨⎧x 2＝123－k 2，y 2＝12k23－k 2，∴|OP |2＝x 2＋y 2＝12(k 2＋1)3－k 2.∵OP →·OQ →＝0，∴直线OQ 的方程为y ＝－1k x ，同理可得|OQ |2＝12(k 2＋1)3k 2－1，∴1|OP |2＋1|OQ |2＝3－k 2＋(3k 2－1)12(k 2＋1)＝2＋2k 212(k 2＋1)＝16. 11.已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0).(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围. 解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N *). 结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1＞a 1＞a 2＞a 3＞a 4， a 5＞a 6＞a 7＞…＞a n ＞1(n ∈N *).∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0. (2)a n ＝1＋1a ＋2(n －1)＝1＋12n －2－a2，已知对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，可知5＜2－a2＜6，即－10＜a ＜－8.12.若正数x ，y 满足x ＋2y ＋4＝4xy ，且不等式(x ＋2y )a 2＋2a ＋2xy －34≥0恒成立，求实数a 的取值范围.解 ∵正实数x ，y 满足x ＋2y ＋4＝4xy ，即x ＋2y ＝4xy －4.不等式(x ＋2y )a 2＋2a ＋2xy －34≥0恒成立，即(4xy －4)a 2＋2a ＋2xy －34≥0恒成立，变形得2xy (2a 2＋1)≥4a 2－2a ＋34恒成立，即xy ≥2a 2－a ＋172a 2＋1恒成立.又∵x >0，y >0，∴x ＋2y ≥22xy ， ∴4xy ＝x ＋2y ＋4≥4＋22xy ，即2(xy )2－2xy －2≥0， ∴xy ≥2或xy ≤－22(舍去)，可得xy ≥2. 要使xy ≥2a 2－a ＋172a 2＋1恒成立，只需2≥2a 2－a ＋172a 2＋1恒成立，化简得2a 2＋a －15≥0，解得a ≤－3或a ≥52.故a 的取值范围是(－∞，－3]∪[52，＋∞).。

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第48练整体策略与换元法[题型分析·高考展望] 整体思想是指把研究对象的某一部分(或全部)看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径.换元法又称辅助元素法、变量代换法，通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来；或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化.高考必会题型题型一整体策略例1 (1)计算(1－12－13－14－…－12 014)×(12＋13＋14＋15＋…＋12 015)－(1－12－13－14－15－…－12 014－12 015)×(12＋13＋14＋…＋12 014)； (2)解方程(x 2＋5x ＋1)(x 2＋5x ＋7)＝7. 解 (1)设12＋13＋14＋…＋12 014＝t ，则原式＝(1－t )(t ＋12 015)－(1－t －12 015)t ＝t ＋12 015－t 2－12 015t －t ＋t 2＋12 015t ＝12 015.(2)设x 2＋5x ＝t ，则原方程化为(t ＋1)(t ＋7)＝7， ∴t 2＋8t ＝0，解得t ＝0或t ＝－8，当t ＝0时，x 2＋5x ＝0，x (x ＋5)＝0，x 1＝0，x 2＝－5；当t ＝－8时，x 2＋5x ＝－8，x 2＋5x ＋8＝0， Δ＝b 2－4ac ＝25－4×1×8<0，此时方程无解；即原方程的解为x 1＝0，x 2＝－5.点评整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个(或多个)未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决. 变式训练1 计算：(1－12－13－14)×(12＋13＋14＋15)－(1－12－13－14－15)×(12＋13＋14).解令12＋13＋14＝t ，则原式＝(1－t )(t ＋15)－(1－t －15)t ＝t ＋15－t 2－15t －45t ＋t 2＝15.题型二换元法例2 (1)已知函数f (x )＝4x －2x t ＋t ＋1在区间(0，＋∞)上的图象恒在x 轴上方，则实数t 的取值范围是________________.(2)已知点A 是椭圆x 225＋y 29＝1上的一个动点，点P 在线段OA 的延长线上，且OA →·OP →＝48，则点P 的横坐标的最大值为________. 答案 (1)(－∞，2＋22) (2)10解析 (1)令m ＝2x (m >1)，则问题转化为函数f (m )＝m 2－mt ＋t ＋1在区间(1，＋∞)上的图象恒在x 轴上方，即Δ＝t 2－4(t ＋1)<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，t2<1，1－t ＋t ＋1>0，解得t <2＋22，即实数t 的取值范围是(－∞，2＋22). (2)当点P 的横坐标最大时，射线OA 的斜率k >0，设OA ：y ＝kx ，k >0，与椭圆x 225＋y 29＝1联立解得x ＝159＋25k 2，又OA →·OP →＝x A x P ＋k 2x A x P ＝48，解得x P ＝48(1＋k 2)x A ＝1659＋25k 21＋k 2＝1659＋25k 2(1＋k 2)2，令9＋25k 2＝t >9，即k 2＝t －925，则x P ＝165t (t ＋1625)2＝165×25tt 2＋162＋32t＝801t ＋162t＋32≤80×164＝10，当且仅当t ＝16，即k 2＝725时取等号，所以点P 的横坐标的最大值为10.(3)已知函数f (x )＝ax －ln(1＋x 2).①当a ＝45时，求函数f (x )在(0，＋∞)上的极值；②证明：当x >0时，ln(1＋x 2)<x ；③证明(1＋124)(1＋134)…(1＋1n 4)<e(n ∈N *，n ≥2，e 为自然对数的底数).①解当a ＝45时，f (x )＝45x －ln(1＋x 2)，f ′(x )＝45－2x1＋x 2＝4x 2－10x ＋45(1＋x 2)＝0，x ＝2或x ＝12.f (x )和f ′(x )随x 的变化情况如下表：f (x )极大值＝f (12)＝25－ln 54，f (x )极小值＝f (2)＝85－ln 5.②证明令g (x )＝x －ln(1＋x 2)，则g ′(x )＝1－2x1＋x 2≥0，∴g (x )在(0，＋∞)上为增函数，g (x )>g (0)＝0， ∴ln(1＋x 2)<x .③证明由②知，ln(1＋x 2)<x ，令x 2＝1n 4得，ln(1＋1n 4)<1n 2<1n (n －1)＝1n －1－1n ，∴ln(1＋124)＋ln(1＋134)＋…＋ln(1＋1n 4)<1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝1－1n <1，∴(1＋124)(1＋134)…(1＋1n4)<e.点评换元法是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，使问题得到简化，变得容易处理，换元法的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是通过换元变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来；或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化.主要考查运用换元法处理以函数、三角函数、不等式、数列、解析几何为背景的最值、值域或范围问题，通过换元法把不熟悉、不规范、复杂的典型问题转化为熟悉、规范、简单的典型问题，起到化隐形为显性、化繁为简、化难为易的作用，以优化解题过程. 变式训练2 (1)已知函数f (x )＝1x －1＋2x (x >1)，则f (x )的最小值为________. 答案 2＋22解析 f (x )＝1x －1＋2(x －1)＋2，令x －1＝t ，则f (t )＝1t ＋2t ＋2(t >0)，∴f (t )≥21t×2t ＋2＝2＋2 2. 当且仅当1t ＝2t 时等号成立，故f (x )的最小值为2＋22，当且仅当1x －1＝2(x －1)，即x ＝22＋1时等号成立. (2)已知在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n⎝⎛⎭⎫S n －12. ①求S n 的表达式；②设b n ＝S n 2n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明T n <12.①解 ∵S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12， a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)， ∴S 2n ＝(S n －S n －1)⎝⎛⎭⎫S n －12，即2S n －1S n ＝S n －1－S n ， (*)由题意得S n －1·S n ≠0，(*)式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列.∴1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1， ∴S n ＝12n －1.②证明 ∵b n ＝S n 2n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1<12，∴T n <12.高考题型精练1.已知长方体的表面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为( )A.2 3B.14C.5D.6 答案 C解析设长方体长，宽，高分别为x ，y ，z ，由已知“长方体的表面积为11，其12条棱的长度之和为24”，得⎩⎪⎨⎪⎧2(xy ＋yz ＋xz )＝11，4(x ＋y ＋z )＝24，长方体所求对角线长为x 2＋y 2＋z 2＝(x ＋y ＋z )2－2(xy ＋yz ＋xz )＝62－11＝5，故选C.2.设实数x ，y ，m ，n 满足x 2＋y 2＝1，m 2＋n 2＝3，那么mx ＋ny 的最大值是______. 答案3解析设x ＝sin α，y ＝cos α，m ＝3sin β，n ＝3cos β，其中α，β∈(0°，180°)，∴mx ＋ny ＝3sin βsin α＋3cos βcos α＝3cos(α－β)，故最大值为 3.3.函数y ＝3x ＋2－42－x 的最小值为________. 答案－8解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，2－x ≥0，解得－2≤x ≤2，所以函数的定义域为[－2，2]. 因为(x ＋2)2＋(2－x )2＝4，故可设⎩⎨⎧x ＋2＝2sin θ，2－x ＝2cos θ(θ∈[0，π2])，则y ＝3×2sin θ－4×2cos θ＝6sin θ－8cos θ ＝10sin(θ－φ)(φ∈(0，π2)，cos φ＝35，sin φ＝45)，因为θ∈[0，π2]，所以θ－φ∈[－φ，π2－φ]，所以当θ＝0时，函数取得最小值 10sin(－φ)＝10×(－45)＝－8.4.已知不等式x >ax ＋32的解集是(4，b )，则a ＝______，b ＝________.答案 1836解析令x ＝t ，则t >at 2＋32，即at 2－t ＋32<0，其解集为(2，b )，故⎩⎨⎧2＋b ＝1a，2·b ＝32a，解得a ＝18，b ＝36.5.已知y ＝f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝－x 2＋2x ，则满足f (f (a ))＝12的实数a 的个数为________. 答案 8解析由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0，其图象如图所示，令t ＝f (a )，则t ≤1，令f (t )＝12，解得t ＝1－22或t ＝－1±22，即f (a )＝1－22或f (a )＝－1±22，由数形结合得，共有8个交点.6.设f (x 2＋1)＝log a (4－x 4)(a >1)，则f (x )的值域是________. 答案 (－∞，log a 4] 解析设x 2＋1＝t (t ≥1)， ∴f (t )＝log a [－(t －1)2＋4]， ∴值域为(－∞，log a 4].7.已知m ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x ＋1|，x <1，log 2(x －1)，x >1，g (x )＝x 2－2x ＋2m －1，若函数y ＝f (g (x ))－m有6个零点，则实数m 的取值范围是________. 答案 (0，35)解析函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x ＋1|，x ＜1，log 2(x －1)，x >1的图象如图所示，令g (x )＝t ，y ＝f (t )与y ＝m 的图象最多有3个交点，当有3个交点时，0<m <3，从左到右交点的横坐标依次t 1<t 2<t 3，由于函数有6个零点，t ＝x 2－2x ＋2m －1，则每一个t 的值对应2个x 的值，则t 的值不能为最小值，函数t ＝x 2－2x ＋2m －1的对称轴为x ＝1，则最小值1－2＋2m －1＝2m －2，由图可知，2t 1＋1＝－m ，则t 1＝－m －12，由于t 1是交点横坐标中最小的，满足－m －12>2m －2，①又0<m <3，② 联立①②得0<m <35.8.已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. (1)求y －x 的最大值和最小值； (2)求x 2＋y 2的最大值和最小值解方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0变形为(x －2)2＋y 2＝3，表示的图形是圆. (1)设x －2＝3cos θ，则y ＝3sin θ，故x ＝2＋3cos θ， y ＝3sin θ，则y －x ＝3sin θ－3cos θ－2 ＝6sin(θ－π4)－2，∴当θ－π4＝2k π－π2(k ∈Z )时，y －x 有最小值－6－2，当θ－π4＝2k π＋π2(k ∈Z )时，y －x 有最大值6－2.(2)由(1)知x 2＋y 2＝(2＋3cos θ)2＋(3sin θ)2＝7＋43cos θ. ∴当θ＝2k π(k ∈Z )时，x 2＋y 2有最大值7＋43，当θ＝2k π＋π(k ∈Z )时， x 2＋y 2有最小值7－4 3.9.平面内动点P 与两定点A (－2，0)，B (2，0)连线的斜率之积等于－14，若点P 的轨迹为曲线E ，直线l 过点Q (－65，0)交曲线E 于M ，N 两点.(1)求曲线E 的方程，并证明：∠MAN 是一定值； (2)若四边形AMBN 的面积为S ，求S 的最大值. 解 (1)设动点P 坐标为(x ，y )，当x ≠±2时，由条件得：y x －2·y x ＋2＝－14，化简得x 24＋y 2＝1(x ≠±2)，曲线E 的方程为x 24＋y 2＝1(x ≠±2)，由题意可设直线l 的方程为x ＝ky －65，联立方程组可得⎩⎨⎧x ＝ky －65，x24＋y 2＝1，化简得(k 2＋4)y 2－125ky －6425＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1y 2＝－6425(k 2＋4)，y 1＋y 2＝12k5(k 2＋4). 又A (－2，0)，则AM →·AN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2)＝(k 2＋1)y 1y 2＋45k (y 1＋y 2)＋1625＝0，所以∠MAN ＝90°，所以∠MAN 的大小为定值.(2)S ＝12|AB |·|y 1－y 2|＝12·|2＋2|·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2⎣⎡⎦⎤12k 5(k 2＋4)2＋4×6425(k 2＋4)＝8525k 2＋64(k 2＋4)2，令k 2＋4＝t (t ≥4)， ∴k 2＝t －4，∴S ＝8525t －36t 2. 设f (t )＝25t －36t 2，∴f ′(t )＝25t 2－2t (25t －36)t 4＝－25t ＋72t 3，∵t ≥4，∴f ′(t )<0，∴y ＝f (t )在[4，＋∞)上单调递减. ∴f (t )≤f (4)＝100－3616＝4，由t ＝4，得k ＝0，此时S 有最大值165.。

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