Chapter 6 图的遍历
北邮数据结构第六章答案详解 图(1)
1
5
1
54 3
42
5 66
图 6-8 图 G 答案：根据不同算法构造的最小生成树如图 6-9 所示的图(a)和(b)
2
④
⑤ 5
1
①
4 3
②
③
6
2
⑤
③ 5
1
①
4 3
④
②
6
(a) Prim 生成树
(b) Kruskal 生成树
图 6-9 最小生成树
5、算法设计
（1）以邻接表为存储结构，设计实现深度优先遍历的非递归算法。
int top = -1; cout<<v<<’\t’; bVisited[v] = true; stack[++top] = v;
//访问结点 v //设置访问标记 //结点 v 入栈
while (top!=-1)
{
v=stack[top];
ArcNode<T> *p = adjlist[v]. firstarc; ①
)
A.1
B. n/2
C.n-1
D.n
解析：若超过 n-1，则路径中必存在重复的顶点
答案：C
(5) 若一个图中包含有 k 个连通分量，若按照深度优先搜索的方法访问所有顶点，则必
须调用(
)次深度优先搜索遍历的算法。
A.k
B.1
C.k-1
D.k+1
解析：一次深度优先搜索可以访问一个连通分量中的所有结点，因此 k 个连通分量需要 调用 k 次深度优先遍历算法。
④
} if (p==NULL) top--;
⑤//若是找不到未访问的结点，出栈
图的遍历及生成树
• •邻接表的DFS算法
void DFS(ALGraph G, int v) { ArcNode *p;
visited[v] = 1; /*置已访问标记*/ printf("%d ", v); /*输出被访问顶点的编号*/ p = G.vertices[v].firstarc; /*p指向顶点v的第一个邻接点*/ while (p!=NULL) {
•v11
•v1,
•v2
•v3
•v2,
•v4,
•v5
•v8,
•v4
•v6
•v7
•v5,
•v3,
•v8
•v6,
•v7
•
•图的DFS算法一般描述
•int visited[MAXVEX]; //访问标志数组
•void DFSTraverse(Graph G)
•{ //对图G作深度优先遍历
• for( v=0; v<G.vexnum; ++v ) visited[v]=FALSE;
•} // DFS1
•G.arcs[v][j] ＝1
•有邻接点
•visited [n]=0
•未访问过
•
分析：
在遍历图时，对图中每个顶点至多调用一次DFS函数 ，因为一旦某个顶点被标志成已被访问，就不再从它出发 进行搜索。
因此，遍历图的过程实质上是对每个顶点查找其邻接 点的过程。其耗费的时间则取决于所采用的存储结构。 如果用邻接矩阵来表示图，遍历图中每一个顶点都要从 头扫描该顶点所在行，因此遍历全部顶点所需的时间为 O(n2)。 如果用邻接表来表示图，虽然有 2e 个表结点，但只需扫 描 e 个结点即可完成遍历，加上访问 n个头结点的时间， 因此遍历图的时间复杂度为O(n+e)。
图的遍历问题
HUNAN UNIVERSITY数据结构实验报告题目：图的遍历问题学生姓名梁天学生学号************专业班级计科1403指导老师夏艳日期2016.05.14背景网络蜘蛛即Web Spider，是一个很形象的名字。
把互联网比喻成一个蜘蛛网，那么Spider 就是在网上爬来爬去的蜘蛛。
网络蜘蛛是通过网页的链接地址来寻找网页，从网站某一个页面（通常是首页）开始，读取网页的内容，找到在网页中的其它链接地址，然后通过这些链接地址寻找下一个网页，这样一直循环下去，直到把这个网站所有的网页都抓取完为止。
如果把整个互联网当成一个网站，那么网络蜘蛛就可以用这个原理把互联网上所有的网页都抓取下来。
这样看来，网络蜘蛛就是一个爬行程序，一个抓取网页的程序。
在抓取网页的时候，网络蜘蛛一般有两种策略：广度优先和深度优先（如下面这张简单化的网页连接模型图所示，其中A为起点也就是蜘蛛索引的起点）。
深度优先顾名思义就是让网络蜘蛛尽量的在抓取网页时往网页更深层次的挖掘进去讲究的是深度!也泛指: 网络蜘蛛将会从起始页开始，一个链接一个链接跟踪下去，处理完这条线路之后再转入下一个起始页，继续跟踪链接! 则访问的节点顺序为==> A --> B --> E --> H --> I --> C --> D --> F --> K --> L --> G。
深度爬行的优点是:网络蜘蛛程序在设计的时候相对比较容易些；缺点是每次爬行一层总要向"蜘蛛老家" 数据库访问一下。
问问老总有必要还要爬下一层吗! 爬一层问一次.... 如果一个蜘蛛不管3721不断往下爬很可能迷路更有可能爬到国外的网站去，不仅增加了系统数据的复杂度更是增加的服务器的负担。
广度优先在这里的定义就是层爬行，即一层一层的爬行，按照层的分布与布局去索引处理与抓取网页。
则访问的节点顺序为==> A --> B --> C --> D --> E --> F --> G --> H --> I--> K --> L。
第6章 图习题参考答案
习题六参考答案一、选择题1.在一个有个顶点的有向图中，若所有顶点的出度之和为，则所有顶点的入度之和为（A）。
A. B. C. D.2.一个有向图有个顶点，则每个顶点的度可能的最大值是（B）。
A. B. C. D.3.具有6个顶点的无向图至少应有（A）条边才能确保是一个连通图。
A.5B.6C.7D.84.一个有n个顶点的无向图最多有（C）条边。
A. B. C. D.5.对某个无向图的邻接矩阵来说，下列叙述正确的是（A）。
A.第行上的非零元素个数和第列上的非零元素个数一定相等B.矩阵中的非零元素个数等于图中的边数C.第行与第列上的非零元素的总数等于顶点的度数D.矩阵中非全零行的行数等于图中的顶点数6.已知一个有向图的邻接矩阵，要删除所有以第个顶点为孤尾的边，应该（B）。
A.将邻接矩阵的第行删除B.将邻接矩阵的第行元素全部置为0C.将邻接矩阵的第列删除D.将邻接矩阵的第列元素全部置为07.下面关于图的存储的叙述中，哪一个是正确的？……（A）A．用邻接矩阵存储图，占用的存储空间只与图中顶点数有关，而与边数无关B．用邻接矩阵存储图，占用的存储空间只与图中边数有关，而与顶点数无关C．用邻接表存储图，占用的存储空间只与图中顶点数有关，而与边数无关D．用邻接表存储图，占用的存储空间只与图中边数有关，而与顶点数无关8.对图的深度优先遍历，类似于对树的哪种遍历？……（A）A.先根遍历B.中根遍历C．后根遍历D．层次遍历9.任何一个无向连通图的最小生成树（B）。
A.只有一棵B.有一棵或多棵C.一定有多棵D.可能不存在10.下面是三个关于有向图运算的叙述：（1）求两个指向结点间的最短路径，其结果必定是唯一的（2）求有向图结点的拓扑序列，其结果必定是唯一的（3）求AOE网的关键路径，其结果必定是唯一的其中哪个（些）是正确的？……（D ）A.只有（1）B.（1）和（2）C.都正确D.都不正确二、填空题1.若用表示图中顶点数，则有条边的无向图称为完全图。
图的各种算法(深度、广度等)
vex next 4 p
3
2 ^
2
^
5
5 5 4 3 2 1 0 ^
^
4 ^
top
4
输出序列：6 1
1 2 3 4 5 6
in link 0 2 ^ 1 0 2 0
vex next 4 p
3
2 ^
2
^
5
5 5 4 3 2 1 0 ^
^
4 ^
top 4
输出序列：6 1
1 2 3 4 5 6
in link 0 2 ^ 1 0 2 0
c a g b h f d e
a
b h c d g f
e
在算法中需要用定量的描述替代定性的概念
没有前驱的顶点 入度为零的顶点 删除顶点及以它为尾的弧 弧头顶点的入度减1
算法实现
以邻接表作存储结构 把邻接表中所有入度为0的顶点进栈 栈非空时，输出栈顶元素Vj并退栈；在邻接表中查找 Vj的直接后继Vk，把Vk的入度减1；若Vk的入度为0 则进栈 重复上述操作直至栈空为止。若栈空时输出的顶点个 数不是n，则有向图有环；否则，拓扑排序完毕
^
4
^
top
输出序列：6 1 3 2 4
1 2 3 4 5 6
in link 0 0 ^ 0 0 0 0
vex next 4
3
2 ^
2
^
5
5 5 4 3 2 1 0 ^ p
^
4
^topBiblioteka 5输出序列：6 1 3 2 4
1 2 3 4 5 6
in link 0 0 ^ 0 0 0 0
vex next 4
w2 w1 V w7 w6 w3
实验六 图及其应用
实验六图及其应用数据结构实验六图及其应用1、实验目的? 熟练掌握图的两种存储结构(邻接矩阵和邻接表)的表示方法 ? 掌握图的基本运算及应用? 加深对图的理解，逐步培养解决实际问题的编程能力2、实验内容：采用邻接表或邻接矩阵方式存储图，实现图的深度遍历和广度遍历；用广度优先搜索方法找出从一顶点到另一顶点边数最少的路径。
1．问题描述：利用邻接表存储结构，设计一种图（有向或无向），并能够对其进行如下操作：1) 创建一个可以随机确定结点数和弧（有向或无向）数的图; 2) 根据图结点的序号，得到该结点的值；3) 根据图结点的位置的第一个邻接顶点的序号，以及下一个邻接顶点的序号;4) 实现从第v 个顶点出发对图进行深度优先递归遍历; 5) 实现对图作深度优先遍历;6) 实现对图进行广度优先非递归遍历; 编写主程序，实现对各不同的算法调用。
2．实现要求：（以邻接表存储形式为例）编写图的基本操作函数:：对图的各项操作一定要编写成为C（C++）语言函数，组合成模块化的形式，每个算法的实现要从时间复杂度和空间复杂度上进行评价。
1)“建立图的邻接表算法”：CreateGraph(ALGraph *G) 操作结果：采用邻接表存储结构,构造没有相关信息的图G2)“邻接表表示的图的递归深度优先遍历算法”：DFSTraverse(ALGraphG,void(*Visit)(char*)) 初始条件：图G 已经存在；操作结果：返回图的按深度遍历的结果。
3)“邻接表表示的图的广度优先遍历算法”： BFSTraverse(ALGraphG,void(*Visit)(char*)) 初始条件：图G 已经存在；操作结果：返回图的按广度遍历的结果。
4)“邻接表从某个结点开始的广度优先遍历算法”：BFS(ALGraph G, int v)初始条件：图G 已经存在；操作结果：返回图从某个结点开始的按广度遍历的结果。
分析: 修改输入数据，预期输出并验证输出的结果，加深对有关算法的理解。
数据结构第六章图理解练习知识题及答案解析详细解析(精华版)
图1. 填空题⑴设无向图G中顶点数为n，则图G至少有（）条边，至多有（）条边；若G为有向图，则至少有（）条边，至多有（）条边。
【解答】0，n(n-1)/2，0，n(n-1)【分析】图的顶点集合是有穷非空的，而边集可以是空集；边数达到最多的图称为完全图，在完全图中，任意两个顶点之间都存在边。
⑵任何连通图的连通分量只有一个，即是（）。
【解答】其自身⑶图的存储结构主要有两种，分别是（）和（）。
【解答】邻接矩阵，邻接表【分析】这是最常用的两种存储结构，此外，还有十字链表、邻接多重表、边集数组等。
⑷已知无向图G的顶点数为n，边数为e，其邻接表表示的空间复杂度为（）。
【解答】Ｏ(n+e)【分析】在无向图的邻接表中，顶点表有n个结点，边表有2e个结点，共有n+2e个结点，其空间复杂度为Ｏ(n+2e)=Ｏ(n+e)。
⑸已知一个有向图的邻接矩阵表示，计算第j个顶点的入度的方法是（）。
【解答】求第j列的所有元素之和⑹有向图G用邻接矩阵A[n][n]存储，其第i行的所有元素之和等于顶点i的（）。
【解答】出度⑺图的深度优先遍历类似于树的（）遍历，它所用到的数据结构是（）；图的广度优先遍历类似于树的（）遍历，它所用到的数据结构是（）。
【解答】前序，栈，层序，队列⑻对于含有n个顶点e条边的连通图，利用Prim算法求最小生成树的时间复杂度为（），利用Kruskal 算法求最小生成树的时间复杂度为（）。
【解答】Ｏ(n2)，Ｏ(elog2e)【分析】Prim算法采用邻接矩阵做存储结构，适合于求稠密图的最小生成树；Kruskal算法采用边集数组做存储结构，适合于求稀疏图的最小生成树。
⑼如果一个有向图不存在（），则该图的全部顶点可以排列成一个拓扑序列。
【解答】回路⑽在一个有向图中，若存在弧、、，则在其拓扑序列中，顶点vi, vj, vk的相对次序为（）。
【解答】vi, vj, vk【分析】对由顶点vi, vj, vk组成的图进行拓扑排序。
第6章 图习题解析
第六章图习题解析1一、选择题1、设无向图的顶点个数为n，则该无向图最多有 B 条边。
A、n-1B、n（n-1）/2C、n（n+1）/2D、0E、n22、在下列两种求图的最小生成树的算法中，B 算法适合于求边稀疏的网的最小生成树。
A、PrimB、Kruskal3、下面的叙述中不正确的是 B 。
A、关键活动不按期完成就会影响整个工程的完成时间B、任何一个关键活动提前完成，将使整个工程提前完成C、所有关键活动都提前完成，则整个工程将提前完成D、某些关键活动若提前完成，将使整个工程提前完成4、采用邻接表存储的图，其深度优先遍历类似于二叉树的 B 。
A、中序遍历B、先序遍历C、后序遍历D、按层次遍历5、采用邻接表存储的图，其广度优先遍历类似于二叉树的 A 。
A、按层次遍历B、中序遍历C、后序遍历D、先序遍历6、具有n个顶点的有向图最多有 B 条边。
A、nB、n（n-1）C、n（n+1）D、n27、一个n个顶点的连通无向图，其边的个数至少为 A 。
A、n-1B、nC、n+1D、nlog2n8、下列说法中，正确的有 C 。
A、最小生成树也是哈夫曼树B、最小生成树唯一C、普里姆最小生成树算法时间复杂度为O（n2）D、克鲁斯卡尔最小生成树算法普里姆算法更适合与边稠密的网。
10、判定一个有向图是否存在回路，除了可以利用拓扑排序的方法外，还可以利用 C 。
A、求关键路径的方法B、求最短路径的Dijkstra方法C、深度优先遍历算法D、广度优先遍历算法11、在一个具有n个顶点的有向图中，若所有顶点的出度之和为s，则所有顶点的入度之和为 A 。
A、sB、s-1C、s+1D、n12、在一个无向图中，若两个顶点之间的路径长度为k，则该路径上的顶点数为 B 。
A、kB、k+1C、k+2D、2k13、一个有n个顶点的无向连通图，它所包含的连通分量个数为 B 。
A、0B、1C、nD、n+114、对于一个有向图，若一个顶点的入度为k1、出度k2，则对应邻接表中该顶点单链表中的结点数为 B 。
图的遍历(深度优先遍历和广度优先遍历)
遍历规则 从图中某结点v0出发，深度优先遍历（DFS: Depth First Search）图的规则为： 访问v0； 对v0的各个出点v01，v02，…，v0m，每次从它们中按一定方式（也可任选）选取一个未被访问过的结点，从该结点出发按深度优先遍历方式遍历。 然，因为我们没有规定对出点的遍历次序，所以，图的深度优先遍历结果一般不唯一。
20.2 深度优先遍历
例如，对图 20‑1给出的有向图与无向图，一些遍历结果（结点访问次序）为： 左图：从1出发：1，2，4，5；或1，5，2，4 从2出发：2，1，5，4；或2，4，1，5 右图：从a出发：a，b，c，d；或a，b，d，c; … …
A 如果不想让visited或top做为函数参数，也可以在函数中将其定义为static型量。但是，这样的程序是不可再入的，即函数再次被调用时，static型的量也不重新初始化，造成错误！
上面函数中的参数visited和top实质上是中间变量，只是为了避免在递归调用时重新初始化而放在参数表中，造成使用的不方便，为此，做个包装程序： long DFS1(int g[][CNST_NumNodes], long n, long v0, long *resu ) { char *visited; long top=0; visited = new char[n]; for (long i=0; i<n; i++) visited[i]=0; long num=DFS1( g, n, v0, visited, resu, top ); delete visited; return num; }
深度优先遍历非递归算法的一般性描述。
long DFS_NR(图g，结点v0)
单击此处可添加副标题
数据结构与算法-第6章
如果 e=(u, v) 是 E(G) 中的一条边，则称 u 与 v
互为邻接点或相邻点;称边e与顶点u,v关联;
如果 a=<u, v> 是 E(G) 中的一条弧，则称u邻接到v
或v邻接于u,也称弧a与顶点u,v关联.
9
6.1 图的基本概念
顶点的度（与树中结点的度不同）: –无向图中，顶点的度是与每个顶点关联的边数, 记作TD(v) –有向图中，顶点的度分成入度与出度 •入度：以该顶点为终头的弧的数目,记为ID(v) •出度：以该顶点为始点的弧的数目,记为OD(v) 一个顶点的度等于该顶点的入度与出度之和,即 TD(v)=OD(v)+ID(v)
20
带权图的邻接矩阵
wij 若(vi，vj)∈E或<vi，vj>∈E
A[i][j]= ∞ 其它 0 i=j
21
用邻接矩阵表示的图的类的定义
class AdjMatrix { int n； int matrix[MaxSize][ MaxSize]； public: AdjMatrix(int m) { n=m； } }; // AdjMatrix class AdjMatrix { const int INFINITE=∞； int n； float matrix[MaxSize][MaxSize]； public: AdjMatrix(int m) { n=m；} }; // AdjMatrix // 非带权图 // 顶点的个数 // 邻接矩阵
回路——第一个顶点和最后一个顶点相同的路径。
简单回路——除了第一个顶点和最后一个顶点外，其
余顶点不重复出现的回路。
11
6.1 图的基本概念
V0V1V3V2
V0V1V3V0V1V2
DS第6章 图
无 向 图 ： 若 〈v,w〉∈VR 必 有〈w,v〉∈VR，即VR是对 称的，则以无序对(v,w) 代 替这两个有序对，表示v和w 之间的一条边(Edge)，此时 的 图 称 为 无 向 图 (Undirected graph)。 无向图表示：G=(V, {E})
B 由顶点集和边集构 成的图称为无向图
稀疏图：有很少条边或弧(如<nlogn)的图称为 稀疏图(Sparse graph)。
稠密图：反之称为稠密图(Dense graph)。
名词和术语
2 1 4 完全图 3
2
1
3
4 有向完全图
邻接、依附
邻 接 ： 对 于 无 向 图 G=(V,{E}) ， 如 果 边 (v,v’)∈E ， 则 称 顶 点 v 和 v' 互 为 邻 接 点 (Adjacent)，即v和v'相邻接。 关联：边(v,v’)依附(Incident)于顶点v和 v’或者说(v,v’)和顶点v和v'相关联。 对 于 有 向 图 G=(V,{A})) ， 如 果 弧 <v,v’>∈A，则称顶点v邻接到顶点v’， 顶点v’邻接自顶点v，弧<v,v’>和顶点 v,v’相关联。
V (G' ) V (G), E (G' ) E (G)
则称G’为G的子图
v3 v3
v3 v2 v4
v4
v4
v2
v1
v4
v2
v2
v1
图G
图G的子图
连通图、连通分量
连通性：在无向图G中，如果从顶点v到顶点v'有路 径，则称v和v'是连通的。 连通图：如果对于图中任意两个顶点vi和vj都是连通 的，则称G是连通图(Connected Graph) 连通分量：所谓连通分量(Connected Component) 是指无向图中的极大连通子图。 极大的含义是指包括所有
第六章 树状结构
6.24
2006
线索二叉树的优点
搜寻线索二叉树节点的中序后继的C语言程序。 搜寻线索二叉树节点的中序后继的C语言程序。
Node_type *insuc(Node_type *ptr) { Node_type *this_n; *this_n; this_n = ptr->rlink; ptr->rlink; if(ptrif(ptr->rbit == 1) while(this_nwhile(this_n->lbit == 1) this_n=this_n->llink; this_n=this_n->llink; return this_n; this_n; }
6.18
2006
中序遍历的非递归的程序段
void inorder(struct node *T) { int i = -1; for(; for(; ;) { while(T != NULL) { i = i +1; if(i > n) printf("The stack is full"); ull"); else { STACK[i] = T; t= t->llink; >llink;
终端节点（ 终端节点 （ terminal node） 或叶节点 （ leaf node）： node）或叶节点（ node）
- 没有子节点的节点称为终端节点. 没有子节点的节点称为终端节点. - 图6-1中，J、K、L、G、M、N、I皆为叶节点。 皆为叶节点。
6.5
2006
树状结构的一些专有名词4 树状结构的一些专有名词4
- 树中某节点的高度表示此节点至叶节点的最长路径（Path） 树中某节点的高度表示此节点至叶节点的最长路径（Path） 长度。 长度。 - 如图6-1的A节点高度为3，C节点的高度为1。 如图6 节点高度为3 节点的高度为1
图的建立及输出(图的遍历)
数据结构课程设计题目图的建立及输出学生姓名学号院系专业指导教师二Ｏ一Ｏ年12 月16 日目录一、设计题目 (2)二、运行环境（软、硬件环境） (2)三、算法设计的思想 (2)3.1邻接矩阵表示法 (2)3.2图的遍历 (4)3.3邻接矩阵的输出 (5)四、算法的流程图 (6)五、算法设计分析 (7)5.1无向网邻接矩阵的建立算法 (7)5.2无向图邻接矩阵的建立算法 (7)5.3图的深度优先遍历 (7)5.4图的广度优先遍历 (8)六、源代码 (8)七、运行结果分析 (14)八、收获及体会 (15)一、设计题目：图的建立及输出*问题描述：建立图的存储结构（图的类型可以是有向图、无向图、有向网、无向网，学生可以任选两种类型），能够输入图的顶点和边的信息，并存储到相应存储结构中，而后输出图的邻接矩阵。
二、运行环境（软、硬件环境）*软件环境：Windows7、 Windows Vista、 Windows Xp等*硬件环境：处理器：Pentium4以上内存容量： 256M以上硬盘容量：40GB 以上三、算法设计的思想1、邻接矩阵表示法:设G=(V,E)是一个图，其中V={V1,V2,V3…,Vn}。
G的邻接矩阵是一个他有下述性质的n阶方阵：1，若(Vi,Vj)∈E 或<Vi,Vj>∈E；A[i,j]={0，反之图5-2中有向图G1和无向图G2的邻接矩阵分别为M1和M2:M1=┌0 1 0 1 ┐│ 1 0 1 0 ││ 1 0 0 1 │└0 0 0 0 ┘M2=┌0 1 1 1 ┐│ 1 0 1 0 ││ 1 1 0 1 │└ 1 0 1 0 ┘注意无向图的邻接是一个对称矩阵，例如M2。
用邻接矩阵表示法来表示一个具有n个顶点的图时，除了用邻接矩阵中的n*n个元素存储顶点间相邻关系外，往往还需要另设一个向量存储n个顶点的信息。
因此其类型定义如下：VertexType vertex[MAX_VERTEX_NUM]; // 顶点向量AdjMatrix arcs; // 邻接矩阵int vexnum, arcnum; // 图的当前顶点数和弧(边)数GraphKind kind; // 图的种类标志若图中每个顶点只含一个编号i(1≤i≤vnum)，则只需一个二维数组表示图的邻接矩阵。
第6章分支限界法
堆的定义： 若n个元素的序列{a1 a2 … an} 满足 ai ≤ a2i ai ≤ a2i+1 或 ai ≥ a2i ai ≥ a2i+1
则分别称该序列{a1 a2 … an}为小根堆 和大根堆。 从堆的定义可以看出，堆实质是满足如下性质的完 全二叉树： 二叉树中任一非叶子结点均小于(大于)它的孩子结点
问题定义：在n×n的国际象棋棋盘上摆下n个皇后，使所有 的皇后都不能攻击到对方，找出所有符合要求的情况。 分析： n后问题的解空间树是一棵排列树，解与解之间不存在优 劣的分别。直到搜索到叶结点时才能确定出一组解。 采用回溯法可以系统地搜索问题的全部解。
分支限界法的基本思想
既可以采用回溯法也可以采用分支限界法解决
4
B G H I H I E J C D
(0,0)
0
D
0
E
0
(5,15)
F
0
1
G M
(0,0)
1
1
1
0
H
10 0
I
J
15 10 5
K
0
L
N
15 0
O
15 10 20 5
B C D E F G I K L M N O
20 0 35 20 15 0 35 20 40 15 25 0 当前最优解 当前最优解
举例：0-1背包问题
n=3时0-1背包问题的一个实例：w=[16, 15, 15]，p=[45, 25, 25]，
的问题 — 0-1背包问题
问题定义：给定若干物品的重量和价值，以及 一个背包的容量上限。求出一种方案使得背包 中存放物品的价值最高。
分析：0-1背包问题的解空间树是一棵子集树， 所要求的解具有最优性质。
王道数据结构 第六章 图思维导图
ve(源点)=0
ve(k)
=
Ma
x{ve(j)+Weight(vj
v, k )}，vj
v 为
k
的任意前驱
1.求所有事件的最早发生时间ve()
按逆拓扑排序序列，依次求各个顶点的vl(k):
vl(汇点)=ve(汇点)
vl(k)
=
Min{vl(j)-W
eight(vj
v, k )}，vj
常见考点：
对于n个顶点的无向图G，
若G是连通图，则最少有n
-1条边，
若G是非连通图，则最多可能有Cn2−
1
条边
对于n个顶点的有向图G，
若G是强连通图，则最少有
n条边
子图/生成子图（子图包括所有顶点）
强连通分量：有向图中的极大强连通子图（必须强连通且保留尽可能多的边）
连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图（边尽可能的少但要保 持连通）
n个顶点对应2Cn2
条边
几种特殊的图
稀疏图/稠密图 树：不存在回路，且连通的无向图
n个顶点的树必有n-1条边 常见考点：n个顶点的图，若|E|>n-1，则图中一定存在回路
有向树：一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1的有向图
有向树不是强连通图
常见考点
邻接矩阵
图的存储
无向图
第i个结点的度 = 第i行（或第i列）的非零元素个数
每一轮时间复杂度：O(2n)
时间复杂度
最短路径问题
Dijkstra算法不适用于有负权值的带权图 算法思想：动态规划
Floyd算法（带权图，无权图）
各顶点间的最短路径
第6章 图习题参考答案
习题六参考答案一、选择题1.在一个有个顶点的有向图中，若所有顶点的出度之和为，则所有顶点的入度之和为（A）。
A. B. C. D.2.一个有向图有个顶点，则每个顶点的度可能的最大值是（B）。
A. B. C. D.3.具有6个顶点的无向图至少应有（A）条边才能确保是一个连通图。
A.5B.6C.7D.84.一个有n个顶点的无向图最多有（C）条边。
A. B. C. D.5.对某个无向图的邻接矩阵来说，下列叙述正确的是（A）。
A.第行上的非零元素个数和第列上的非零元素个数一定相等B.矩阵中的非零元素个数等于图中的边数C.第行与第列上的非零元素的总数等于顶点的度数D.矩阵中非全零行的行数等于图中的顶点数6.已知一个有向图的邻接矩阵，要删除所有以第个顶点为孤尾的边，应该（B）。
A.将邻接矩阵的第行删除B.将邻接矩阵的第行元素全部置为0C.将邻接矩阵的第列删除D.将邻接矩阵的第列元素全部置为07.下面关于图的存储的叙述中，哪一个是正确的？……（A）A．用邻接矩阵存储图，占用的存储空间只与图中顶点数有关，而与边数无关B．用邻接矩阵存储图，占用的存储空间只与图中边数有关，而与顶点数无关C．用邻接表存储图，占用的存储空间只与图中顶点数有关，而与边数无关D．用邻接表存储图，占用的存储空间只与图中边数有关，而与顶点数无关8.对图的深度优先遍历，类似于对树的哪种遍历？……（A）A.先根遍历B.中根遍历C．后根遍历D．层次遍历9.任何一个无向连通图的最小生成树（B）。
A.只有一棵B.有一棵或多棵C.一定有多棵D.可能不存在10.下面是三个关于有向图运算的叙述：（1）求两个指向结点间的最短路径，其结果必定是唯一的（2）求有向图结点的拓扑序列，其结果必定是唯一的（3）求AOE网的关键路径，其结果必定是唯一的其中哪个（些）是正确的？……（D）A.只有（1）B.（1）和（2）C.都正确D.都不正确二、填空题1.若用表示图中顶点数，则有条边的无向图称为完全图。
《图的遍历》练习
写一个程序统计出共有多少颗珍珠肯定不会有中间重量。 【输入格式】
输入文件第 1 行包含两个用空格隔开的整数 N(1<=N<=99)和 M，且 N 为奇数，M 表示 对珍珠进行的比较次数，接下来的 M 行每行包含两个用空格隔开的整数 x 和 y，表示珍珠 x 比珍珠 y 重。 【输出格式】
输出文件仅一行，包含一个整数，表示不可能是中间重量的珍珠的总数 【样例输入】 54
《图的遍历》练习
【问题描述】
1、珍珠（bead）
有 n 颗形状和大小都一致的珍珠，它们的重量都不相同。n 为整数，所有的珍珠从 1 到 n 编号。你的任务是发现哪颗珍珠的重量刚好处于正中间。即在所有珍珠的重量重，该 珍珠的重量列(n+1)/2 位。下面给出将一对珍珠进行比较的办法：
给你一架天平用来比较珍珠的重量，我们可以比出两个珍珠哪个更重一些，在作出一 系列的比较后，我们可以将某些肯定不具备中间重量的珍珠拿走。
每一个栅栏连接两个顶点，顶点用 1 到 500 标号(虽然有的农场并没有 500 个顶点)。一 个顶点上可连接任意多(>=1)个栅栏。所有栅栏都是连通的(也就是你可以从任意一个栅栏到 达另外的所有栅栏)。
你的程序必须输出骑马的路径(用路上依次经过的顶点号码表示)。我们如果把输出的路 径看出是一个 500 进制的数，那么当存在多组解的情况下，输出 500 进制表示法中最小的一 个(也就是输出第一个数较小的，如果还有多组解，输出第二个数较小的...)。输入数据保证 至少有一个解。 【输入格式】
第 1 行：一个整数 F(1<=F<=1024)，表示栅栏的数目。 第 2 到 F+1 行：每行两个整数 i,j(1<=i,j<=500)，表示这条栅栏连接 i 与 j 号顶点。 【输出格式】 对于每组数据输出应当有 F+1 行，每行一个整数，依次表示路径经过的顶点号。注意数 据可能有多组解，但是只有上面题目要求的第一组解是认为正确的。 【样例输入】 9 12 23
常用的遍历方式
常用的遍历方式
遍历是指对某一个数据结构中的每一个元素都进行一次访问的
过程。
在编程中，遍历是一种非常常见的操作，常用于查找、排序、统计等需要遍历数据结构中所有元素的场景。
常用的遍历方式包括： 1.线性遍历：线性遍历是指按照数据结构中元素的顺序依次访问每一个元素的方式。
常见的线性遍历方式有顺序遍历和倒序遍历。
顺序遍历是从数据结构的头部开始访问元素，依次向后遍历，而倒序遍历则是从数据结构的尾部开始访问元素，依次向前遍历。
2.层次遍历：层次遍历是指按照数据结构中元素的层次结构依次访问每一个元素的方式。
常见的层次遍历方式有广度优先遍历和深度优先遍历。
广度优先遍历是从数据结构的根节点开始，依次访问每一层节点的方式，而深度优先遍历则是从数据结构的根节点开始，依次访问每一个子树的方式。
3.递归遍历：递归遍历是指通过递归调用实现遍历数据结构的方式。
常见的递归遍历方式有前序遍历、中序遍历和后序遍历。
前序遍历是先访问根节点，再访问左子树和右子树；中序遍历是先访问左子树，再访问根节点和右子树；后序遍历是先访问左子树和右子树，再访问根节点。
以上是常用的遍历方式，不同的遍历方式适用于不同的数据结构和操作场景，选择合适的遍历方式可以大大提高编程效率。
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前向边
回边
Case 2: 从顶点a开始， 依次访问a,f,e,b; c,d
横跨边
1,4 a
5,6
2,3 b
c
e 3,1
1,4 a
5,6
2,2 f
c
b 4,3
4,2 f
d
3,1 e
d
6,5
6,5
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时间复杂度分析
• 假设图有n个顶点，m条边。 • (m+n)
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DFS 时间复杂度分析（有向图）
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6 图遍历 Graph Traversal
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• 图的遍历是求解图问题的基础。 • 和树的遍历类似，图的遍历希望从图中某一顶点出发，
对其余各个顶点都访问一次，但比树的遍历要复杂得 多。
• 图的任一顶点都有可能和其余顶点相邻接，因此在访 问了某顶点后，可能沿着某条路径搜索以后，又回到 该顶点。
• 树边(Tree edges)－ 深度优先搜索生成树中的边：探测边(v,w)时，w是 “unvisited”状态，则边(v,w)是树边。
• 回边(Back edges)－在迄今为止所构建的深度优先搜索生成树中，w是 v的祖先，并且在探测(v,w)时，w已经被标记为”visited”,则(v,w)为回边。
1,10 a
2,9 b
f
6,8
3,3 c
d
a
i
g 7,7
c
b
g
h
e
f
j
d 4,2
h 8,6
e
5,1 树边
i 9,5
回边
j 10,4
postdfn=1: 该顶点是第一个不能继续向深度前进的顶点； 或是称为第一个完成深度搜索的顶点。
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有向图情形
• 有向图G= (V,E)，深度优先遍历后，会生成一个或是多个(有向)深度 优先搜索生成树，树的多少取决于起始点的选择。G中的边可以分为 如下4种类型：
2
3/
4/
1. visited[v] ←true 2. predfn←predfn+1
n
1
2
3/
3. for (v,w)∈E //每条边检测一次，即 v→w 时
4. if visited[w]=false then dfs(w) 5. end for 6. postdfn←postdfn+1
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关于有向图 DFS 遍历时“每条边检测一次”的图释
b
X e
a
a
b/
b
e/
e
a/
假如将本图变成无向图，则(b,e)和(e,b)各被检测一次。 因此，有向图 DFS 遍历时，每条边只检测一次。
dfs(v) 1. visited[v] ←true 2. predfn←predfn+1 3. for (v,w)∈E 4. if visited[w]=false then dfs(w) 5. end for 6. postdfn←postdfn+1.
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• 深度优先搜索生成树(depth-first search spanning tree) • 深度优先搜索生成森林(depth-first search spanning forest) • predfn：在图的深度优先搜索生成树(森林)中顶点的先序号。所谓先序
号，是指按照先序方式访问该生成树，该顶点的序号。 • postdfn：在图的深度优先搜索生成树(森林)中顶点的后序号。所谓后
序号，是指按照后序方式访问该生成树，该顶点的序号。 • 边(v,w)已被探测，含义是：在调用dfs(v)的过程中，检查(v,w)以测试
w是否已经被访问过(”visited”)。
继续选择与x相邻且未被访问的顶点。 5. 此过程一直进行，直到发现一个顶点y，邻接于y的所有顶点都已经被
标记为”visited”。此时，返回到最近访问的顶点，不妨称之为z，然后 访问和z相邻且标记为”unvisited”的顶点。 6. 上述过程一直进行，直到返回到起始顶点v。
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输入：无向图或有向图G= (V,E) 输出：深度优先搜索树(森林)中每个顶点的先序号、后序号 1. predfn←0; postdfn←0 //计数器，在使用DFS解决某些实际问题时用到 2. for v∈V 3. visited[v] ← false 4. end for 5. for v∈V //从一个顶点v出发，可能无法遍历全部顶点 6. if visited[v] = false then dfs(v) 7. end for
• 通常有两种遍历图的方法：深度优先搜索、广度优先 搜索。他们都适合于无向图和有向图。
• 本章重点内容是图遍历算法的复杂度分析，并学习图 遍历算法的一些应用。
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图的两种遍历方法
• 深度优先搜索(Depth-First Search, DFS) • 宽度优先搜索(Breadth-First Search, BFS)
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深度优先搜索(Depth-First Search, DFS)
给定有向或是无向图G＝(V,E)，DFS工作过程如下： 1. 将所有的顶点标记为”unvisited”。 2. 选择一个起始顶点,不妨称为v ∈V,并将之标记为”visited”。 3. 选择与v相邻的任一顶点，不妨称之为w，将w标记为”visited”。 4. 继续选择一个与w相邻且未被访问的顶点作为x；将x标记为”visited”。
1. predfn←0; postdfn←0
2. for v∈V
// (n), 因|V|=n
3. visited[v] ← false 4. end for
5. for v∈V
//调用 n 次
6. if visited[v] = false then dfs(v)
7. end for
1
2
dfs(v)过程
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无向图情形
• 无向图G= (V,E)，深度优先遍历后，G中的边可以分为如下类型： • 树边(Tree edges)－ 深度优先搜索生成树中的边：探测边(v,w)时，
w是“unvisited”状态，则边(v,w)是树边。 • 回边(Back edges)－G中除却树边的所有其它边。
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• 前向边(Forward edges)－在迄今为止所构建的深度优先搜索生成树中， w是v的后裔，并且在探测(v,w)时，w已经被标记为”visited”,则(v,w)为 前向边。
• 横跨边(Cross edges)－所有其他的边。
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c
b
a
d
e
f
பைடு நூலகம்树边
Case 1: 从顶点a开始， 依次访问a,b,e,f; c,d