《管理运筹学》第7章 运输问题

A1 A2 销量 B1 6 6 150 B2 4 5 150 B3 6 5 200 产量 200 300
解： 产销平衡问题： 总产量 = 总销量 设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列运输量表：
A1 A2 销量 B1 x11 x21 150 B2 x12 x22 150 B3 x13 x23 200 产量 200 300
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xij ≥ 0 (i = 1,2,…,m ; j = 1,2,…,n)
§2 运输问题的计算机求解
例2、某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、 、 B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每 件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费 用最小？ 解：增加一个 虚设的销地 运输费用为0
销地 产地 A1 A2 A3 销量 B1 3 1 7 3 B2 11 9 4 6 B3 3 2 10 5 B4 10 8 5 6 产量 7 4 9 20 20
最低要求必须满足，因此把相应的虚设产地运费取为 M ，而最高要求与最低 要求的差允许按需要安排，因此把相应的虚设产地运费取为 0 。对应 4”的销量 50 是考虑问题本身适当取的数据，根据产销平衡要求确定 D的产量为 50。
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§3 运输问题的应用
二、生产与储存问题 例6、某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供10、15、 、 25、20台同一规格的柴油机。已知该厂各季度的生产能力 及生产每台柴油机的成本如右表。如果生产出来的柴油机 当季不交货，每台每积压一个季度需储存、维护等费用0.15 万元。试求在完成合同的情况下，使该厂全年生产总费用 为最小的决策方案。
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§3 运输问题的应用 用“管理运筹学”软件求得结果： 管理运筹学”软件求得结果：
x13 x23 x35 x45
= = = = 550 0 200 0
x14 x24 x36 x46
=50 = 100 = 0 = 150
；
x28 = 300 ； x37 = 350 x38 = 0 ； x47 = 0 x48 = 0 。
山西盂县 河北临城 需要量 一区 1.80 1.60 3000 二区 1.70 1.50 1000 三区 1.55 1.75 2000 产量 4000 1500
由于需大于供，经院研究决定一区供应量可减少0--300吨，二区必须满 足需求量，三区供应量不少于1500吨，试求总费用为最低的调运方案。 解： 根据题意，作出产销平衡与运价表：
最小运输费用为： 最小运输费用为：4600百元 百元
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§4* 运输问题的表上作业法
• 表上作业法是一种求解运输问题的特殊方法，其实质是单 纯形法。 • 运输问题都存在最优解。 运输问题都存在最优解。 • 计算过程（假设产销平衡）：
– 1.找出初始基本可行解。对于有m个产地n个销地的产销平衡问题， 找出初始基本可行解。 找出初始基本可行解 则有m个关于产量的约束方程和n个关于销量的约束方程。由于产销 平衡，其模型最多只有m+n-1个独立的约束方程，即运输问题有 m+n-1个基变量。在m×n的产销平衡表上给出m+n-1个数字格，其 相对应的调运量的值即为基变量的值。 – 2.求各非基变量的检验数，即检验除了上述m+n-1个基变量以外的 求各非基变量的检验数， 求各非基变量的检验数 空格的检验数判别是否达到最优解，如果已是最优，停止计算，否 则转到下一步。 – 3.确定入基变量和出基变量，找出新的基本可行解。在表上用闭回 确定入基变量和出基变量， 确定入基变量和出基变量 找出新的基本可行解。 路法调整。 – 4.重复2、3直到得到最优解。
第七章 运 输 问 题
• • • • §1 §2 §3 § 4* 运 输 模 型 运输问题的计算机求解 运输问题的应用 运输问题的表上作业法
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§1 运 输 模 型
例1、某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地 、 的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所 示，问：应如何调运可使总运输费用最小？
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§3 运输问题的应用
三、转运问题： 转运问题： 在原运输问题上增加若干转运站。运输方式有：产地 → 转运站、转 运站 → 销地、产地 → 产地、产地 → 销地、销地 → 转运站、销地 → 产 地等。 例8、腾飞电子仪器公司在大连和广州 有两个分厂生产同一种仪器，大连分厂 每月生产400台，广州分厂每月生产600 台。该公司在上海和天津有两个销售公 司负责对南京、济南、南昌、青岛四个 城市的仪器供应。另外因为大连距离青 岛较近，公司同意大连分厂向青岛直接 供货，运输费用如图，单位是百元。问应该如何调运仪器， 可使总运输费用最低？图中 1- 广州、2 - 大连、 3 - 上海、4 - 天津、5 - 南京、6 - 济南、7 - 南昌、8 - 青岛
Min f = 6x11+ 4x12+ 6x13+ 6x21+ 5x22+ 5x23 s.t. x11+ x12 + x13 = 200 x21 + x22+ x23 = 300 x11 + x21 = 150 x12 + x22 = 150 x13 + x23 = 200 xij ≥ 0 ( i = 1、2；j = 1、2、3）
山西盂县 河北临城 假想生产点 需要量 一区 1.80 1.60 M 2700 一区 1.80 1.60 0 300 二区 1.70 1.50 M 1000 三区 1.55 1.75 M 1500 三区 1.55 1.75 0 500 产量 4000 1500 500 6000 6000
这里 M 代表一个很大的正数，其作用是强迫相应的 x31、 x33、 x34取值为0。
A1 A2 销量 B1 6 6 150 B2 4 5 150 B3 6 5 200 500 产量 300 300 600
A1 A2 销量
B1 6 6 150
B2 4 5 150
B3 6 5 200
B4 0 0 100 600
产量 300 300 600
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§2 运输问题的计算机求解
例3、某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、 、 B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每 件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费 用最小？ 解：增加一个 虚设的产地 运输费用为0
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§3 运输问题的应用
一、产销不平衡的运输问题 例5、设有A、B、C三个化肥厂供应1、2、3、4四个地区的农用化肥。假设效果相 、 同，有关数据如下表：
A B C 最低需要量 最高需要量 1 16 14 19 30 50 2 13 13 20 70 70 3 22 19 23 0 30 4 17 15 --10 不限 产量 50 60 50
第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 销量 第一季度 10.80 M M M 10 第二季度 10.95 11.10 M M 15 第三季度 11.10 11.25 11.00 M 25 第四季度 11.25 11.40 11.15 11.30 20 D 0 0 0 0 30 产量 25 35 30 10 100 100
一季度 二季度 三季度 四季度 生产能力（台） 单位成本（万元） 25 10.8 35 11.1 30 11.0 10 11.3
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§3 运输问题的应用
解： 设 xij为第 i 季度生产的第 j 季度交货的柴油机数目，那么应满足： = 10 生产：x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 25 交货：x11 x12 + x22 = 15 x22 + x23 + x24 ≤ 35 x13 + x23 + x33 = 25 x33 + x34 ≤ 30 x44 ≤ 10 x14 + x24 + x34 + x44 = 20 把第 i 季度生产的柴油机数目看作第 i 个生产厂的产量；把第 j 季度交 货的柴油机数目看作第 j 个销售点的销量；成本加储存、维护等费用看作 运费。可构造下列产销平衡问题： 目标函数： 目标函数：Min f = 10.8 x11 +10.95 x12 +11.1 x13 +11.25 x14 +11.1 x22 +11.25 x23 +11.4 x24 +11.0 x33 +11.15 x34 +11.3 x44
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§1 运 输 模 型
• 一般运输模型： 一般运输模型：产销平衡 A1、 A2、…、 Am 表示某物资的m个产地； B1、B2、…、Bn 表示某物质的 n个销地；si 表示产地Ai的产量； dj 表示销地Bj 的销量； cij 表示把物资从产地 Ai运往销地Bj的单位运价。 设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列一般运输量问题的模型：
A1 A2 销量 B1 6 6 250 B2 4 5 200 B3 6 5 200 650 产量 200 300 500
A1 A2 A3 销量
B1 6 6 0 250
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B2 4 5 0 200
B3 6 5 0 200
产量 200 300 150 650 650
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§3 运输问题的应用
一、产销不平衡的运输问题 例4、石家庄北方研究院有一、二、三三个区。每年分别需要用煤3000、1000、 、 2000吨，由河北临城、山西盂县两处煤矿负责供应，价格、质量相同。供 应能力分别为1500、4000吨，运价为：
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§4* 运输问题的表上作业法
• 例10.喜庆食品公司有三个生产面包的分厂A1，A2，A3，有四个销售公 司B1，B2，B3，B4，其各分厂每日的产量、各销售公司每日的销量以 及各分厂到各销售公司的单位运价如表所示，在表中产量与销量的单 位为吨，运价的单位为百元/吨。问该公司应如何调运产品在满足各销 点的需求量的前提下总运费最少？
m n
•
Min
f = ∑ ∑ cij xij
i=1 n j=1
s.t.
∑ xij = si i = 1,2,…,m
j=1 m
∑ xij = dj j = 1,2,…,n
i=1
• 变化： 变化： 1）有时目标函数求最大。如求利润最大或营业额最大等； 2）当某些运输线路上的能力有限制时，在模型中直接加入约束条件 （等式或不等式约束)； 3）产销不平衡时，可加入假想的产地（销大于产时）或销地（产大于 销时）。
试求总费用为最低的化肥调拨方案。 解： 根据题意，作出产销平衡与运价表：
A B C D 销量 1’ 16 14 19 M 30 1” 16 14 19 0 20 2 13 13 20 M 70 3 22 19 23 0 30 4’ 17 15 M M 10 4” 17 15 M 0 50 210 产量 50 60 50 50 210
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§3 运输问题的应用
解：设 xij 为从 i 到 j 的运输量，可得到有下列特点的线性规划模型： 目标函数：Min f = 所有可能的运输费用（运输单价与运输量乘积之和） 约束条件： 对产地（发点） i ：输出量 - 输入量 = 产量 对转运站（中转点）：输入量 - 输出量 = 0 对销地（收点） j ：输入量 - 输出量 = 销量 例8．（续） 目标函数： Min f = 2x13+ 3x14+ 3x23+ x24+ 4x28 + 2x35+ 6x36+ 3x37+ 6x38+ 4x45+ 4x46+ 6x47+ 5x48 约束条件： s.t. x13+ x14 ≤ 600 (广州分厂供应量限制） x23+ x24+ x28 ≤ 400 (大连分厂供应量限制） -x13- x23 + x35 + x36+ x37 + x38 = 0 （上海销售公司，转运站） -x14- x24 + x45 + x46+ x47 + x48 = 0 （天津销售公司，转运站） x35+ x45 = 200 （南京的销量） x36+ x46 = 150 （济南的销量） x37+ x47 = 350 （南昌的销量） x38+ x48 + x28 = 300 （青岛的销量） xij ≥ 0 , i,j = 1,2,3,4,5,6,7,8