有限体积法2

(ρu r )n (δr )n Γn (r∆θ)n = / = P F D (δr )n ， n n n Γn
21
Fs = (ρru r )s ∆θ ， D s =
Γs (r∆θ)s (ρur )s (δr )s ， Ps = Fs / D s = 。 (δr )s Γs
22
4. 三维问题离散格式 三维问题的通用形式对流扩散方程为
24
离散化方程的推导与二维问题时完全类似，得 aP φP = aE φE + aW φW + aN φN + aS φS + aT φT +aB φB + b 其中 a E = D e A ( Pe ) + max(− Fe ,0) ， aW = D w A ( Pw ) + max(Fw ,0)
∂ρφ ∂ (ρuφ ) ∂ (ρvφ ) ∂ (ρwφ ) + + + ∂t ∂x ∂y ∂z = ∂ ∂φ ∂ ∂φ ∂ ∂φ Γ Γ + + ∂z Γ ∂z + S y ∂ ∂x ∂x ∂y
或 其中
∂ρφ ∂J x ∂J y ∂J z + =S + + ∂x ∂z ∂t ∂y
(ρv )n (δy )n Γn ∆x∆z ，Pn = Fn D n = ； (δy )n Γn
(ρv )s (δy )s Γs ∆x∆z ， Ps = Fs D s = ； (δy )s Γs
(ρw )t (δz )t Γt ∆x∆y P = F D = ； (δz )t ， t t t Γt
Γb ∆x∆y (δz )b
7
8
虚假扩散的扩散系数约为
Γf =
ρU∆x∆y sin 2θ 4 ∆y sin 3 θ + ∆x cos 3 θ
(
)
U、θ为来流速度及其与 x 轴的夹角。θ=45°时虚假扩散为 最大。 原因：没有考虑来自角点的“斜迎风”效应。 解决办法：取较小的空间步长； 格式的改进（如特征 FVM） ； 网格划分时应尽可能使网格线与流动方向一致。
(ρu )e (δx )e Γe ∆y∆z P = F D = ； (δx )e ， e e e Γe
25
Dw = Fw = (ρu)wΔyΔz，
(ρu )w (δx )w Γw ∆y∆z Pw = Fw D w = ， (δx )w Γw
Fn = (ρv)nΔxΔz，D n = Fs = (ρv)sΔxΔz， D s = Ft= (ρw)tΔxΔy， D t =
a N = Dn A ( Pn ) + max(− Fn ,0) ， a S = D s A ( Ps ) + max(Fs ,0)
aP =aE + aW + aN + aS + aP0 －SPΔxΔy b = aP0φP0+ SCΔxΔy， aP0 = ρP0ΔxΔy/Δt
6
※ 存在的问题：对通量的离散化是在 x、y 方向上分别按一维 格式处理，但当流动方向与网格线成一夹角时，计算结果 会呈现垂直于流动方向的横向虚假扩散。
(ρu )w (δx )w
Pn = Fn D n =
5
(ρv )n (δy )n
Γn
Ds =
Γs ∆x (δy )s ，
Ps = Fs D s =
(ρv )s (δy )s
Γs
将通量离散式代入方程(c)，得结点 P 上的离散化代数方程 aPφP=aEφE+aWφW+ aNφN+aSφS+ b 其中 a E = De A ( Pe ) + max(− Fe ,0) , aW = D w A ( Pw ) + max(Fw ,0)
* *
15
如果离散化的代数方程组是非线性的（系数含未知量） ，需 要进行迭代求解――两个嵌套的迭代过程： （1） 非线性方程组的迭代求解过程： 可以上一个时间步的 结果为初值，每一步迭代都利用上一步的迭代计算结果将方 程线性化得到一线性方程组（简单迭代法，等） ，求解该线性 方程组得到新的迭代结果，直至收敛。 （2） 线性化的方程组的迭代求解过程： 交替方向隐式迭代 法（可以非线性方程组迭代过程的上一步迭代值为初始值） ， 但迭代精度不必太高（中间结果） 。
13
二维问题结点 P 的方程只与四个相邻的结点有关，代数方 程组的矩阵是稀疏矩阵，常用交替方向隐式迭代法，收敛速 度较快，其迭代步骤是： （1）假设各结点上的初始值。 （2）横向扫描，对每一竖向网格线取隐格式方程，即 aPφP= aNφN+aSφS+ aEφ*E+aWφ*W + b ——y 方向的三对角方程，可以用追赶法求解。 （φ 为前面迭代过程计算出的最新迭代值） 扫描的方向（从左到右或从右至左）可以交替改变以便尽
(b)
其中界面质量流量
Fe = (ρu)eΔy，Fw = (ρu)wΔy， Fn = (ρv)nΔx，Fs = (ρv)sΔx
3
类似于一维问题的处理方法， （a）－（b）×φP 得到
0 ρP 0 φP − φP ∆x∆y + (J e − Fe φ P ) − (J w − Fw φ P ) ∆t + (J n − Fn φ P ) − (J s − Fs φ P ) = (S C + Sφ P )∆x∆y
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N n (δr)n W ∆r s (δr)s ∆θ (δθ)w S (δθ)e w P e E
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直角坐标系 Orθ下,控制体为矩形
N (δr)n W (δr)s ∆r w n P s ∆θ (δθ)w S (δθ)w e E
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~ ~ ~ φ ∂J ∂J θ ~ ∂ρ r + + =S 控制方程改写为 ∂t ∂r ∂θ ~ ~ ρ = ρr ， S = rS ， 其中
Dw = Fw = (ρu θ )w ∆r ，
Fn = (ρru r )n ∆θ ， Dn =
aP0 = ρP0 ∆V/∆t
(ρu θ )w (rδθ)w Γw ∆r = / = P F D (rδθ)w ， w w w Γw
(ρu θ )e (rδθ)e Γe ∆r ， Pe = Fe / D e = Γe (rδθ)e
1
其中
J x = ρu φ − Γ
∂φ ， ∂x
J y = ρv φ − Γ
N
∂φ ∂y
(δy)n W (δy)s ∆x ∆y w
n P s S (δx)w (δx)e e E
划分矩形网格，围绕结点 P 取控制体，大小为 1×Δx×Δy，
2
四个界面分别为 e、w、n、s，控制体上对方程积分，并且对 源项线性化处理，得
∂φ ~ ~ Γ ∂φ J r = ρru r φ − rΓ ， J θ = J θ = ρu θ φ − ∂r r ∂θ
在矩形控制体上对方程积分，并采用类似直角坐标系下的 通量、源项等离散格式，得 aP φP = aE φE + aW φW + aN φN + aS φS + b 其中 a E = De A ( Pe ) + max(− Fe ,0) ，
0 0 ρP φP − ρ P φP ∆x∆y + J e − J w + J n − J s = (SC + S P φP )∆x∆y ∆t
(a)
其中 Je =(Jx)eΔy，Jw =(Jx)wΔy，Jn =(Jy)nΔx， Js =(Jy)sΔx 连续性方程
0 ρP − ρP ∆x∆y + Fe − Fw + Fn − Fs = 0 ∆t
J x = ρu φ − Γ
∂φ ∂φ ∂φ ，J y = ρvφ − Γ ，J z = ρபைடு நூலகம்φ − Γ ∂y ∂x ∂z
23
结点 P 周围所取的控制体大小为Δx×Δy×Δz， 在 z 方向上的两个相邻结点为 T 和 B （ “ Top ”和 “Bottom” ） ，界面为 t 和 b。
T t ∆z P b B (δz)b (δz)t
9
2．边界条件处理与方程组求解 矩形网格时，二维对流扩散问题的边界条件的离散化方法 基本与前面介绍的一维问题类似。 水域边界尽量远离 回流， 否则不便确定边 界条件。
10
二维区域不规则边界形状的处理： （1） 矩形网格所形成的阶梯状边界来逼近实际边界， 空间 步长足够小时，计算结果常常可以令人满意（边界条件的处 理较为麻烦） ；
4
所以 类似可得
J e − Fe φ P = [D e A ( Pe ) + max(− Fe ,0)] (φ P − φ E )
J w − Fw φ P = [D w A ( Pw ) + max(Fw ,0)] (φW − φ P )
J n − Fn φ P = [Dn A ( Pn ) + max(− Fn ,0)] (φ P − φ N )
三．二维和三维问题的有限体积法
1．二维问题离散格式（直角坐标） 二维问题的通用对流扩散方程为
∂ρφ ∂ (ρuφ) ∂ (ρvφ) ∂ ∂φ ∂ ∂φ Γ + + = + Γ +S ∂t ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y
方程的通量形式
∂ρφ ∂J x ∂J y + + =S ∂t ∂x ∂y
11
12
（2）采用适应边界形状的曲线坐标（贴体坐标） ，Oxy 平 面上的非矩形网格（通常希望取成正交网格）在曲线坐标系 下为矩形网格（原来的微分方程中的流速、扩散系数和源项 均会随之改变） 。 （3）采用非结构网格（如三角 形网格等） ，可以更好的适应边界 的形状，但离散格式和控制体的划 分较为复杂。
aW = D w A ( Pw ) + max(Fw ,0)
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a N = Dn A ( Pn ) + max(− Fn ,0) ，
a S = D s A ( Ps ) + max(Fs ,0)
aP =aE + aW + aN + aS + aP0 －SP ∆V b = aP0 φP0+ SC ∆V， 且 Fe = (ρu θ )e ∆r ， D e =
14
*
快将边界条件信息带到区域内部，有流动时最好从上游扫描 到下游。 （3）竖向扫描，对每一横向网格线取隐格式方程，即 aPφP=aEφE+aWφW+ aNφ N+aSφ S+ b 构成 x 方向的三对角方程，用追赶法求解。 （4）完成步骤（3）后再回到步骤（2）重新开始新的一轮 迭代，直至迭代收敛。
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3．极坐标系下的二维离散格式 极坐标系下的对流扩散通用形式方程写成通量形式为
∂ρφ 1 ∂ (rJ r ) 1 ∂J θ + =S + r ∂θ ∂t r ∂r
其中
J r = ρu r φ − Γ
∂φ ， ∂r
J θ = ρu θ φ −
Γ ∂φ r ∂θ
划分网格并取控制体，大小为 ∆V =
1 (rn + rs )∆r∆θ ×1 。 2
， Pb
Fb= (ρw)bΔxΔy， Db =
= Fb Db =
(ρw )b (δz )b
Γb
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四．有限体积法求解 Navier-Stokes 方程组
∂ρ ∂ (ρu j ) =0 + ∂x j ∂t
∂ρu i ∂ (ρu j u i ) ∂ 2ui ∂p + = ρg i − +µ 2 ∂t ∂x j ∂x i ∂x j
J s − Fs φP = [D s A ( Ps ) + max(Fs ,0)] (φS − φP )
式中 D e =
Dw =
Dn =
Γe ∆y (δx )e ，
Γw ∆y (δx )w ，
Γn ∆x (δy )n ，
Pe = Fe D e =
(ρu )e (δx )e
Γe
Γw
， , ,
Pw = Fw D w =
（c） 仿照一维问题中的方法 x、y 方向上分别对通量项离散化， 如
Γ (J x ) e = (ρu )e φ P + e A ( Pe ) + max[− (ρu )e ,0] (φ P − φ E ) (δx )e
即
J e = Fe φ P + [D e A ( Pe ) + max(− Fe ,0)] (φ P − φ E )
a N = D n A ( Pn ) + max(− Fn ,0) ， aS = D s A ( Ps ) + max(Fs ,0)
a T = Dt A ( Pt ) + max(− Ft ,0) ， a B = Db A ( Pb ) + max(Fb ,0)
aP =aE + aW + aN + aS + aT + aB + aP0 －SPΔxΔyΔz b = aP0φP0+ SCΔxΔyΔz， Fe = (ρu)eΔyΔz， D e = aP0=ρP0ΔxΔyΔz/Δt