有限体积法2
二维 有限体积法
二维有限体积法
二维有限体积法是一种数值解法，用于求解二维空间中的流体力学问题。
它将流体力学方程离散化为差分方程，通过对网格中有限体积进行积分，求解各个网格单元的平均物理量。
在二维有限体积法中，计算域被划分为有限个网格单元，每个网格单元都包含一个小体积，称为控制体。
对于每个控制体，通过应用质量守恒、动量守恒和能量守恒方程，在控制体内对物理量进行积分，得到差分方程。
对于质量守恒方程，可以使用面积分来近似积分，得到流量的离散形式。
对于动量守恒方程，可以使用体积分或面积分来近似积分，得到速度或压力的离散形式。
对于能量守恒方程，可以使用体积分或面积分来近似积分，得到温度或能量的离散形式。
在得到离散形式的方程后，可以通过迭代求解这些差分方程，从而求解出各个网格单元的物理量。
通常使用迭代方法，如追赶法或Jacobi迭代法来求解差分方程。
二维有限体积法在模拟流体流动、热传导和传质等问题中具有广泛应用。
它可以处理复杂的几何形状和边界条件，并且能够较准确地模拟流体力学现象。
【计算流体力学】第8讲-有限体积法2
方法2： Van Leer 分裂 （不单独处理压力）
u
f
u
2
p
(E p)u
p c2 /
E p H 1 u2 p 1 u2 1 c2
2
1 2
1
M
f
c
uM
c
/
uM / 2 c / ( 1)
验证 f f f
M 1 f f,f 0 M 1 f 0, f f
1 0
f
cM
u
p
f
c
f
p
H 0
M M M M 0; M 0
p p p
5
M 当 M 1 M (M 1)2 / 4 当
0 当 M 1
M 1
0 M 1 M (M 1)2 / 4
M M 1
M M M p p p
M 1
特点： 连续、光滑、无可调参数
u 0 t x
被动标量方程
分裂形成简单
f u u u
1. 流通矢量分裂(FVS)
1) Steger-Warming分裂
f f f
f AU S1ΛSU
k
k
(2k 2 )1/ 2 2
1维：
f%(λ%)
2
(
2( 1)%1 %2 %3 2( 1)%1u %2 (u c) %3(u c)
区域物理量的近似值
f hll
fZLRfL
if ZL 0 ZLfR ZRZL (UR
ZR ZL
UL)
if
fR if ZR 0
ZL 0 ZR
Ref.： E. F. Toro: Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, Springer, 2009 (Third Edition)
有限体积法 中科大
有限体积法（Finite Volume Method，FVM）是一种数值计算方法，广泛应用于解决流体动力学、热传导等物理现象的偏微分方程。
它将求解域划分为有限数量的控制体积，然后通过对控制体积应用质量、动量、能量守恒等物理原理，将偏微分方程转化为代数方程组，最终用数值方法求解。
有限体积法的基本思想包括以下几个步骤：
1.离散化：将求解域划分为有限数量的控制体积，这些体积通常是规则的立方体或六
面体。
2.建立守恒方程：对每个控制体积应用守恒方程，例如质量守恒、动量守恒、能量守
恒等。
这通常涉及将偏微分方程转化为积分形式。
3.积分：对守恒方程进行积分，将守恒方程应用于控制体积的表面，得到在体积上的
积分方程。
4.离散化方程：将积分方程离散化，将连续域上的方程转化为离散的代数方程。
5.求解代数方程组：利用数值方法求解得到的代数方程组，通常采用迭代方法或直接
求解方法。
6.结果后处理：根据求解得到的数值解进行后处理，如可视化、数据分析等。
有限体积法的优势在于其能够自然地处理复杂的几何形状、多相流体、非结构网格等问题。
它在计算流体动力学、热传导、固体力学等领域有着广泛的应用。
2有限体积法及其网格简介
ρφdV t V
dV
用文字表述的特征变量在控制体积内的 守恒关系为：
φ 随 时 间 的 变 化 量 φ由 于 边 界 对 流 引 起 的 净 减 少 量 φ由 边 界 扩 散 引 起 的 净 增 加 量 φ由 内 源 引 起 的 净 产 生 量
A A V φ
dV
对瞬态，还需对时间积分，以表明从时刻t到 （t+△t)的时间段内未知量仍保持其守恒性
ρφdV dt t V
Δt
n φ ρ u d A d t
Δt A
n Γ g r a d φ d A d t S
2.2有限体积法及其网格介绍
1
2.2.1 有限体积法思想
有限体积法是在有限差分法基础上发展起来的，同时 它又吸收了有限元法的一些优点。 基本思路：将计算区域划分为网格，并使每个网格点 周围有一个互不重复的控制体积，将待解微分方程 （控制方程）对每一个控制体积分，从而得出一组离 散方程。其中的未知量是网格点上的因变量 。 有限体积法获得的离散方程，物理上表示的是控制容 积的通量平衡，方程中各项有明确的物理意义。这也 是有限体积法与有限差分法和有限元法相比更具有优 势的地方。
d iv ( u ) d iv ( g r a d ) S
10
有限体积法的关键步骤：
将控制方程在控制体积内积分
V
ρφ t
dV
d iv (ρ φ u ) d V
V
d iv ( Γ g r a d φ )d V S
V V
有限元法与有限体积法
C1h2 ≤ SQ ≤ h2,
∀Q ∈ Ω∗h
(15)
C2h2 ≤ SP∗0 ≤ C3h2,
∀P0 ∈ Ω¯ h.
(16)
取试探函数空间 Uh 为相应于 Th 的一次有限元空间,即 Uh = {uh | uh ∈ C(Ω), uh |K∈ P1(K), ∀K ∈ Th, uh |∂Ω= 0} ⊂ H01(Ω). (17)
P0 ∈ Ω˙ h.
(34)
7
据定理2.1和上式有
uh − Πhu
2 1
=
1 C
a(uh
−
Πhu, Π∗h(uh
−
Πhu))
=
1 C
a(u
−
Πhu, Π∗h(uh
−
Πhu)),
从而
uh − Πhu 1
≤
1 C
sup
u¯h∈Uh
|
a(u
−
Πhu, Π∗hu¯h) u¯h 1
|
(35)
其中
| a(u − Πhu, Π∗hu¯h) |≤ Ch | u |2 u¯h 1 .
(26) (27)
(28)
=
f dxdy
KP∗ij
(29)
5
三、误差估计
命题 2.1 对于求解问题(1)-(2)的有限体积法的双线性形式 a(·, ·) 有:
a(uh, Π∗hu¯h) =
∇uh · ∇u¯hdxdy = a(uh, u¯h), ∀uh ∈ Uh. (30)
K∈Th K
其中 a(uh, u¯h) 表示有限元法中的双线性形式 a(·, ·).
求解Poisson方程的有限体积法定义为:求 uh ∈ Uh,使得
a(uh, vh) = (f, vh), ∀vh ∈ Vh,
《有限体积—有限元方法在油藏数值模拟中的原理和应用》范文
《有限体积—有限元方法在油藏数值模拟中的原理和应用》篇一一、引言油藏数值模拟作为石油工程和地球物理研究的关键工具，是利用复杂的数值方法和计算机技术来模拟地下油藏的流体流动行为。
其中，有限体积法和有限元法是两种常用的数值方法。
本文将详细探讨这两种方法在油藏数值模拟中的原理和应用。
二、有限体积法的原理及应用1. 原理有限体积法是一种基于流体控制体积的离散化数值模拟方法。
它将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，通过积分守恒形式的流体流动方程（如质量守恒方程和动量守恒方程），从而得出离散化方程组。
这些方程组在每一步的时间和空间离散中均能满足质量、能量和动量的守恒性。
2. 应用在油藏数值模拟中，有限体积法主要用于模拟流体在多孔介质中的流动过程。
其优势在于能够很好地处理复杂的几何形状和边界条件，同时能够有效地处理流体流动过程中的非线性问题。
此外，由于该方法在空间上具有明确的物理意义，因此能够更好地反映流体的实际流动情况。
三、有限元法的原理及应用1. 原理有限元法是一种基于变分原理和分片插值为基础的数值方法。
它将求解域划分为一系列小区域（即有限元），每个有限元内假设一个近似解，然后根据极值原理将问题转化为求解泛函极值问题。
通过这种方法，可以得到一系列线性方程组，从而求得问题的解。
2. 应用在油藏数值模拟中，有限元法主要用于解决复杂的工程问题和物理问题。
例如，它可以用于模拟复杂的地下结构、地应力分布以及多相流体的流动等。
其优点在于能够灵活地处理复杂的几何形状和材料属性，同时也能够处理多相流体的复杂相互作用。
四、有限体积与有限元方法的结合应用在油藏数值模拟中，有限体积法和有限元法常常被结合使用。
例如，在处理复杂的流体流动问题时，可以先用有限体积法进行初步的流体流动模拟，然后再用有限元法进行更精细的物理分析和工程计算。
这种结合使用的方法可以充分发挥两种方法的优势，提高模拟的准确性和效率。
五、结论综上所述，有限体积法和有限元法是油藏数值模拟中常用的两种数值方法。
二阶椭圆型方程有限体积法的若干研究
二阶椭圆型方程有限体积法的若干研究一、概述二阶椭圆型方程有限体积法是一种数值解法，用于求解二维或三维的椭圆型偏微分方程。
该方法的基本思想是将求解区域划分为有限个小区域，然后在每个小区域内进行数值计算，最终得到整个求解区域的近似解。
本文将对二阶椭圆型方程有限体积法进行详细研究。
二、数学模型二阶椭圆型方程的一般形式为：$$\nabla \cdot (a(x,y) \nabla u(x,y)) + b(x,y)u(x,y) = f(x,y)$$其中，$a(x,y)$和$b(x,y)$是已知函数，$f(x,y)$是给定的源项函数，$u(x,y)$是待求解函数。
三、离散化方法有限体积法将求解区域划分为若干个小区域，称为网格单元。
对于每个网格单元，可以通过对方程进行积分来得到一个离散化的形式：$$\frac{1}{|V_i|}\int_{V_i} a\nabla u \cdot \nabla \phi dxdy + \frac{1}{|V_i|}\int_{V_i} b u \phi dxdy = \frac{1}{|V_i|}\int_{V_i} f\phi dxdy$$其中，$V_i$表示第$i$个网格单元，$\phi$是一个测试函数，可以任意选取，$|V_i|$表示网格单元的面积或体积。
为了得到离散化的方程组，需要对上式进行进一步处理。
首先，在每个网格单元上使用高斯公式将第一项中的梯度项转化为面积分：$$\frac{1}{|V_i|}\int_{\partial V_i} a\nabla u \cdot n \phi ds -\frac{1}{|V_i|}\int_{V_i} a\nabla \phi \cdot \nabla u dxdy +\frac{1}{|V_i|}\int_{V_i} b u \phi dxdy = \frac{1}{|V_i|}\int_{V_i} f\phi dxdy$$然后，对于相邻两个网格单元之间的界面，需要加入一个通量项来保证数值解在界面处的连续性。
有限容积法和有限体积法
有限容积法和有限体积法有限容积法和有限体积法是计算流体力学中常用的两种数值方法，它们在流体动力学的数值计算中占有非常重要的地位。
本文将从概念、原理、特点、应用等方面，对这两种方法进行详细介绍。
一、有限容积法1.概念有限容积法（Finite Volume Method，FVM）是一种离散化的数值方法，它将连续的物理量离散化为有限个体积元，在每个体积元内计算其平均值，进而求解整个流体系统的物理量。
FVM方法的核心是质量守恒原理，即物质的进出必须平衡，这种保证了物理量在每个体积元内的守恒关系，从而保证了数值计算的准确性。
2.原理FVM方法的数值计算是基于网格的，它将流体动力学问题离散化为一个由有限体积元组成的系统，将原问题转化为流量守恒方程的求解，即$$\frac{\Delta m}{\Delta t}=\Sigma_{faces}\rho uA$$其中，$\Delta m$是在$\Delta t$时间内通过一个表面的质量变化量，$\rho$是介质的密度，$u$是速度，$A$是面积。
对于每个有限体积元，上式可以写为其中，$F_{ij}^p$和$F_{ij}^n$分别是流向有限体积元内部和外部的通量，$i,j$是有限体积元的编号。
3.特点（1）FVM方法基于质量守恒原理，具有非常强的数值稳定性和保真性；（2）FVM方法的计算结果具有局部守恒性，能够准确反映流场内部的物理现象；（3）FVM方法可以处理非结构化网格，适用范围广泛；（4）FVM方法求解的是面积分，所需的时间和空间存储相对较少。
4.应用（1）流体力学领域，如空气动力学、水力学、燃烧问题等；（2）材料科学领域，如薄膜生长、材料变形等。
有限体积法（Finite Element Method，FEM）是一种离散化的数值方法，它将求解的物理场离散化为有限个单元，然后在每个单元内进行近似计算。
相比于FVM方法，FEM方法更加精确，适用于需要高精度计算的问题。
有限体积法偏微分方程
有限体积法偏微分方程摘要：1.有限体积法简介2.偏微分方程概述3.有限体积法求解偏微分方程4.有限体积法的优缺点5.结论正文：1.有限体积法简介有限体积法是一种广泛应用于求解偏微分方程的数值方法。
该方法将求解域进行离散化，通过计算离散点上的值来逼近连续空间上的解。
这种方法可以有效地降低问题的复杂度，使得求解偏微分方程变得更加简便。
2.偏微分方程概述偏微分方程是描述物理现象的重要数学工具，广泛应用于物理、工程和生物学等领域。
偏微分方程的求解对于理解现象的内在规律具有重要意义。
然而，许多偏微分方程难以解析求解，因此需要借助数值方法来进行求解。
3.有限体积法求解偏微分方程有限体积法求解偏微分方程的基本思想是将求解域进行网格划分，然后将偏微分方程转化为离散形式的代数方程组。
通过求解这个代数方程组，可以得到离散点上的解，进而得到整个求解域上的近似解。
这种方法具有较强的适应性，可以应用于各种类型的偏微分方程。
4.有限体积法的优缺点有限体积法具有以下优点：（1）适用性强：可以应用于各种类型的偏微分方程；（2）求解精度高：通过调整网格划分和时间步长，可以获得较高的求解精度；（3）稳定性好：采用有限体积法求解偏微分方程时，不容易出现数值不稳定现象。
当然，有限体积法也存在一些缺点，例如：（1）计算量较大：由于需要计算离散点上的值，因此计算量相对较大；（2）对初始条件和边界条件要求较高：若初始条件和边界条件设置不合理，可能导致求解结果的误差。
5.结论有限体积法作为一种求解偏微分方程的数值方法，具有较强的适用性和较高的求解精度。
在实际应用中，通过合理地选择网格划分、时间步长等参数，可以获得较为准确的结果。
计算流体力学 有限体积法基础及其应用
一、计算流体力学简介1.1 计算流体力学的定义1.2 计算流体力学的研究对象1.3 计算流体力学的发展历史二、有限体积法基础2.1 有限体积法的理论基础2.1.1 有限体积法的基本原理2.1.2 有限体积法的数学模型2.2 有限体积法的数值求解2.2.1 离散化2.2.2 迭代求解三、有限体积法在计算流体力学中的应用3.1 有限体积法在流体流动模拟中的应用 3.1.1 管道流动模拟3.1.2 自由表面流动模拟3.2 有限体积法在传热问题中的应用3.2.1 对流传热3.2.2 辐射传热四、有限体积法在工程领域中的应用4.1 有限体积法在航空航天领域中的应用 4.2 有限体积法在汽车工程中的应用4.3 有限体积法在建筑工程中的应用五、有限体积法的发展趋势5.1 高性能计算技术对有限体积法的影响5.2 多物理场耦合对有限体积法的挑战5.3 人工智能在有限体积法中的应用六、结论一、计算流体力学简介1.1 计算流体力学的定义计算流体力学（Computational Fluid Dynamics, CFD）是利用计算机模拟流体力学问题的一门学科。
它通过对流动流体的数值解，来研究流体在各种情况下的运动规律和性质。
1.2 计算流体力学的研究对象计算流体力学的研究对象包括流体的流动、传热、传质、振动等现象，以及与流体相关的各种工程问题，如飞机、汽车、建筑等的气动特性分析与设计。
1.3 计算流体力学的发展历史计算流体力学的发展可以追溯到20世纪50年代，当时计算机技术的进步为流体力学问题的数值模拟提供了可能。
随着计算机硬件和软件的不断发展，CFD的应用领域不断扩大，成为现代工程领域不可或缺的工具之一。
二、有限体积法基础2.1 有限体积法的理论基础2.1.1 有限体积法的基本原理有限体积法是求解流体动力学问题的数值方法之一，它基于质量、动量和能量守恒的控制方程，将求解域离散化为有限数量的体积单元，通过对控制方程进行积分，将方程转化为代数方程组。
计算流体力学(中科院力学所)第10讲有限体积法2精品PPT课件
5
u f (u) 0 t x
uj fˆj1/2fˆj1/2
x
x
uj fj1/2fj1/2
x
x
概念：MUSCL与 非MUSC类方法
差分 有限体积
fˆ j 1 / 2
切线 u j
uj
j-1
fˆ j 1 / 2
f j1/ 2
如何计算 fˆ j 1 / 2 或 f j 1 / 2 ？
方法1 （非MUSCL类）： 直接利用周围几个点的函数
利用积分关系计算接触间断的速度及其左右 的物理量
ZL U *L
Z* ZR U *R
根据积分关系，可知
红色区域积分可得 f* L fL Z L (U * L U L )
蓝色区域积分可得 f* R fR Z R (U * R U R )
TZ L
x TZ R
R-H关系式； 弱解定义式 含义： 控制体内质量的增加等于
求解方程组：
riemannsolversnumericalmethodsfluiddynamicsspringer2009thirdedition控制体内质量动量能量的减少等于流出控制面的通量lixinliang若控制体空间足够大或时间跨度足够小扰动波未达到控制体的边界如图未扰动把积分域分成三段
计算流体力学讲义
[ U ( x ,T ) U ( x ,0 )d ] x [ f( x L ,U t) ) f(( x U R ,t)d ) 0 ] t
x L
0
Ref.： E. F. Toro: Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, Springer, 2009 (Third Edition)
有限体积法第二类边界条件(一)
有限体积法第二类边界条件(一)有限体积法第二类边界条件什么是有限体积法？•有限体积法是一种数值计算方法，用于求解偏微分方程。
它将物理空间分割为离散网格单元，并在每个网格单元中对一些基本方程进行数值离散求解。
有限体积法的边界条件分类•有限体积法中，边界条件用于描述物理量在边界上的变化规律。
根据边界上已知的条件，可以将边界条件分为两类：第一类和第二类。
第一类边界条件•第一类边界条件，也称为Dirichlet边界条件，是指在边界上给定物理量的精确值。
•当使用有限体积法求解偏微分方程时，对于边界上已知物理量的情况，可以直接将其用作边界条件。
例如，在热传导问题中，如果已知边界上的温度分布，就可以将这些温度值直接作为第一类边界条件。
•第一类边界条件可以进一步细分为固定法、最小值法和最大值法，即根据已知量是否为固定值、最小值或最大值来选择相应的边界条件。
第二类边界条件•第二类边界条件，也称为Neumann边界条件，是指在边界上给定物理量梯度的精确值。
•在有限体积法中，对于边界上已知的物理量梯度，可以将其作为第二类边界条件。
例如，在流体力学中，如果已知边界上的速度梯度，就可以将这些梯度值直接作为第二类边界条件。
•第二类边界条件还可以进一步细分为固定法、对流法和非粘性壁法，即根据已知梯度的性质来选择相应的边界条件。
如何应用第二类边界条件？•在有限体积法中，应用第二类边界条件需要在计算中使用差分格式来逼近物理量梯度。
常见的差分格式有中心差分、向前差分和向后差分。
•通过适当选择差分格式，可以将第二类边界条件转化为已知物理量值的表达式，进而应用到数值计算中。
•值得注意的是，由于第二类边界条件是关于物理量的梯度的，需要在边界单元上增加一个外扩的虚拟单元，以确保梯度的计算能够正确进行。
总结•有限体积法是一种数值计算方法，用于求解偏微分方程。
•有限体积法的边界条件分为第一类和第二类，分别对应边界上已知物理量的精确值和梯度的情况。
计算流体力学中的有限体积法
计算流体力学中的有限体积法
有限体积法（FVM）是一种数值计算方法，用于模拟流体力学问题。
它是通过把流场分成很多个离散化的小体积来描述流体的运动的。
有限体
积法的基本思想是在每一个小体积中应用质量、动量和能量守恒方程，然
后将它们组合成一个离散化的形式，以便于数值计算。
其中，质量守恒方
程描述了流体的连续性，动量守恒方程描述了流体的运动，能量守恒方程
则描述了流体的温度和压力等性质随时间的变化。
有限体积法的计算流程一般包括以下步骤：
1.网格划分：将流场划分成若干个小体积，每个小体积称为一个网格
单元。
2.定义控制体：在每个网格单元内，定义一个控制体。
控制体是一个
虚拟的小体积，它可以是任意形状，但通常为正交体。
3.求解守恒方程：对于每个控制体，应用守恒方程，得到一个自由度
方程组。
4.数值求解：利用数值方法求解自由度方程组，得到解。
5.更新场变量：根据求解得到的解，更新场变量（如速度、压力等）。
6.考虑边界条件：在每个边界上，根据物理条件定义边界条件，用于
修正解。
7.重复以上步骤：对于每个时间步长，重复以上步骤，直到计算结束。
需要注意的是，有限体积法是一种局域方法，只考虑每个网格单元内
部的守恒方程，没有直接考虑两个网格单元之间的相互作用。
因此，在计
算边界处或流场中存在复杂流动结构的区域时，需要采用一些特殊的技术（如插值方法、外推方法等）来处理。
有限体积法双通量模型
有限体积法双通量模型
有限体积法（Finite Volume Method，FVM）是一种数值求解偏微分方程的方法，常用于流体力学和热传导等领域。
双通量模型是有限体积法的一种变体，用于处理流体流动中的混合、扩散、反应等复杂过程。
在双通量模型中，流体流动区域被划分为有限数量的控制体积单元（control volumes），每个单元内都有一定量的物质质量、动量和能量。
双通量模型在每个单元内考虑两种流量：通量（flux）和扩散通量（diffusion flux）。
1. 通量（flux）：通量是流体通过控制体积表面的质量、动量或能量流量。
它通常由守恒方程中的对流项给出，表示流体在空间中的流动速度和流向。
2. 扩散通量（diffusion flux）：扩散通量表示由于浓度或温度梯度而引起的质量、动量或能量的传递。
它通常由守恒方程中的扩散项给出，表示流体中由于浓度或温度差异而产生的物质扩散。
在双通量模型中，通过对控制体积单元内的质量、动量和能量进行守恒方程的离散化，可以得到离散方程组。
然后利用数值求解方法，如迭代法、有限差分法或有限元法等，对离散方程组进行求解，从而得到流体流动的数值解。
通过调整通量和扩散通量的参数，可以模拟不同的流动过程，如对流主导的流动、扩散主导的扩散、反应主导的反应等。
总的来说，双通量模型是一种用于处理流体流动中复杂传输过程的数值模型，通过考虑通量和扩散通量的影响，可以更准确地描
述流体流动的行为。
计算流体力学有限体积法
计算流体力学有限体积法【中英文版】Title: Calculation of Fluid Mechanics using Finite Volume MethodTitle: 计算流体力学有限体积法Section 1: Introduction to Finite Volume MethodThe Finite Volume Method (FVM) is a numerical technique used to solve partial differential equations which describe fluid flow and other physical phenomena.In FVM, the domain of interest is discretized into a finite number of control volumes or cells.第一部分：有限体积法简介有限体积法（FVM）是一种用于求解描述流体流动和其他物理现象的偏微分方程的数值技术。
在FVM中，感兴趣的域被离散化为有限数量的控制体积或单元。
Section 2: Discretization ProcessThe discretization process involves dividing the domain into smaller sub-domains known as control volumes.The governing equations are then applied to each control volume, leading to a set of algebraic equations which can be solved to obtain the solution at each node.第二部分：离散化过程离散化过程涉及将域划分为称为控制体积的小子域。
光滑粒子法 有限体积法 区别
光滑粒子法和有限体积法是流体力学中常用的两种数值解法，它们分别适用于不同的问题和场景。
本文将对光滑粒子法和有限体积法进行详细介绍，并对它们的区别进行分析。
一、光滑粒子法光滑粒子法是一种以流体微粒为处理对象的数值计算方法，适用于处理连续介质流动问题。
光滑粒子法的基本思想是将流体的连续介质视为无穷小的微粒，并通过微粒的运动来近似描述流体流动的过程。
这种方法通过对流体微粒的速度、密度等物理量的离散化来求解流动问题，因此能够较好地模拟复杂流动现象。
光滑粒子法的优点是能够处理大变形、瞬态、自由表面、多相流和多相流等流体问题，且求解过程中不需要网格。
它还能够很好地考虑流体微粒之间的相互作用和碰撞，因此在处理流体-固体相互作用、流体-结构相互作用等问题时有一定的优势。
然而，光滑粒子法也存在一些缺点，例如在处理高雷诺数流动时数值稳定性差，需要通过引入稳定性改进方法来解决。
光滑粒子法在处理粘性流体问题时，需要考虑较多的参数和模型调节，因此在工程实际中的应用较为有限。
二、有限体积法有限体积法是一种以控制体积为基本单元的离散方法，适用于处理流体动力学方程的求解。
有限体积法将流体领域划分为有限个控制体积，利用控制体积内的平均物理量来逼近偏微分方程的解。
有限体积法通过对流体物理量在空间上的离散化和时间上的积分来求解流动问题，因此适用于各种流动问题的数值模拟。
有限体积法的优点是适用范围广泛，能够较好地处理各种流动问题，且数值稳定性较好。
另外，由于有限体积法对连续方程的离散是以控制体积为基础的，因此在计算过程中流动量守恒较好，通常能够准确地保持物理定律的守恒形式。
然而，有限体积法也存在一些缺点，例如在处理多相流、自由表面流动和非结构网格上的复杂流动问题时计算困难较大。
由于有限体积法需要建立网格，因此对计算区域的几何形状和网格质量要求较高。
三、光滑粒子法与有限体积法的区别1. 离散形式不同：光滑粒子法离散形式是以微粒为基本对象，通过微粒之间的相互作用来求解流动问题；而有限体积法离散形式是以控制体积为基本单元，通过对控制体积内的平均物理量来逼近偏微分方程的解。
有限体积法偏微分方程
有限体积法偏微分方程【实用版】目录1.有限体积法偏微分方程的概述2.有限体积法的基本原理3.有限体积法偏微分方程的求解步骤4.有限体积法偏微分方程的应用案例5.有限体积法偏微分方程的优缺点分析正文【1.有限体积法偏微分方程的概述】有限体积法偏微分方程是一种求解偏微分方程的数值方法，该方法通过将求解域进行网格划分，将偏微分方程转化为求解离散点上的值，从而实现对偏微分方程的数值解。
这种方法具有较高的计算效率和较好的适用性，广泛应用于物理、工程和金融等领域。
【2.有限体积法的基本原理】有限体积法偏微分方程的基本原理是将连续的求解域离散化为有限个网格点，通过对每个网格点上的物理量进行积分，将偏微分方程转化为一组代数方程。
这些代数方程可以利用数值方法求解，从而得到偏微分方程的数值解。
【3.有限体积法偏微分方程的求解步骤】求解有限体积法偏微分方程的基本步骤如下：(1) 对求解域进行网格划分，将连续的空间转化为离散的网格点；(2) 确定每个网格点上的物理量，如速度、压力等；(3) 利用有限体积法的基本原理，将偏微分方程转化为代数方程；(4) 求解代数方程，得到偏微分方程的数值解；(5) 对数值解进行后处理，如绘制流线图等，以便于观察和分析。
【4.有限体积法偏微分方程的应用案例】有限体积法偏微分方程在许多领域都有广泛应用，如在流体力学中求解 Navier-Stokes 方程，用于研究流体的运动规律；在热传导问题中求解热传导方程，用于研究物体的温度分布等。
【5.有限体积法偏微分方程的优缺点分析】有限体积法偏微分方程具有以下优点：(1) 适用性广泛，可以求解多种类型的偏微分方程；(2) 计算效率较高，适用于大规模并行计算；(3) 求解结果较为稳定，误差易于控制。
第七讲有限体积法简介
第七讲 有限体积法简介（a ）圆形管流的结构网格（b ）圆形管流的非结构网格123459876HKGFEDCBA(,)i j (1,)i j +(1,)i j -(,1)i j -(,1)i j +A BA By ∆A Bx ∆ABC DEFGHK(,)i j (,1)i j +(,1)i j -(1,)i j +(1,1)i j ++(1,1)i j -+(1,)i j -(1,1)i j --(1,1)i j +-JΩIJΩ12345二维有限体积网格中心单元结构网格中心结点结构网格中心单元非结构网格中心结点非结构网格AB CDE FGHD C G HSA B C DSA D H ESE F G H SAB CD PABCDEFGHABCDFE HG六面体划分成四面体或棱锥的方法应用于势流计算的飞机有限面元三角网格计算域的常规有限元划分二．有限体积方法（Finite V olume Method ）（一）积分形式的Euler 方程 二维非定常Euler 方程U F G txy∂∂∂++=∂∂∂ （12-1）uU v e ρρρ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦()2u u pF u v e p u ρρρ⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦()2v u vG v p e p v ρρρ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦补充 ()22112pe u vργ=++-在区域ABCD 内对Euler 方程进行积分：0A B C D U F G d x d y t x y ⎛⎫∂∂∂++= ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰（12-2）整理上式，得0A B C DA B C D F G U d x d y d x d y tx y ⎛⎫∂∂∂++= ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰（12-3）1j -1j +j1i +1i -i12j S+(),i j RTSPABCDQ12i S +格林定理：设C 为逐段光滑的简单（无自交点）闭曲线围成的单连域S ，这围线的方向使区域S 保持在左边。
2阶muscl格式
2阶MUSCL格式（Monotonic Upstream-Centered Scheme for Conservation Laws）是一种用于求解守恒律方程的数值方法。
它是基于有限体积法的一种高分辨率格式，用于处理守恒律方程中的激波和间断。
MUSCL格式的基本思想是通过在网格单元内使用线性插值来获得更高阶的空间离散化。
具体来说，它使用斜率限制器来限制插值斜率，以确保数值解的单调性。
这样可以减少数值解中的振荡，并提高解的精度。
MUSCL格式的步骤如下：
1. 计算网格单元界面上的守恒量的平均值。
2. 根据平均值计算网格单元内部的斜率。
3. 使用斜率限制器对斜率进行限制，以确保单调性。
4. 使用限制后的斜率进行线性插值，得到网格单元内的守恒量分布。
5. 使用插值值计算网格单元界面上的通量。
6. 使用通量计算守恒量在网格单元内的时间变化率。
7. 更新守恒量。
MUSCL格式具有较高的精度和较好的耗散特性，适用于处理激波和间断等问题。
然而，它也存在一些限制，例如对于高度非线性的问题可能会出现数值振荡。
因此，在实际应用中需要根据具体问题进行调整和改进。
1。
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或 其中
∂ρφ ∂J x ∂J y ∂J z + =S + + ∂x ∂z ∂t ∂y
14
*
快将边界条件信息带到区域内部，有流动时最好从上游扫描 到下游。 （3）竖向扫描，对每一横向网格线取隐格式方程，即 aPφP=aEφE+aWφW+ aNφ N+aSφ S+ b 构成 x 方向的三对角方程，用追赶法求解。 （4）完成步骤（3）后再回到步骤（2）重新开始新的一轮 迭代，直至迭代收敛。
24
离散化方程的推导与二维问题时完全类似，得 aP φP = aE φE + aW φW + aN φN + aS φS + aT φT +aB φB + b 其中 a E = D e A ( Pe ) + max(− Fe ,0) ， aW = D w A ( Pw ) + max(Fw ,0)
17
N n (δr)n W ∆r s (δr)s ∆θ (δθ)w S (δθ)e w P e E
18
直角坐标系 Orθ下,控制体为矩形
N (δr)n W (δr)s ∆r w n P s ∆θ (δθ)w S (δθ)w e E
19
~ ~ ~ φ ∂J ∂J θ ~ ∂ρ r + + =S 控制方程改写为 ∂t ∂r ∂θ ~ ~ ρ = ρr ， S = rS ， 其中
11
12
（2）采用适应边界形状的曲线坐标（贴体坐标） ，Oxy 平 面上的非矩形网格（通常希望取成正交网格）在曲线坐标系 下为矩形网格（原来的微分方程中的流速、扩散系数和源项 均会随之改变） 。 （3）采用非结构网格（如三角 形网格等） ，可以更好的适应边界 的形状，但离散格式和控制体的划 分较为复杂。
1
其中
J x = ρu φ − Γ
∂φ ， ∂x
J y = ρv φ − Γ
N
∂φ ∂y
(δy)n W (δy)s ∆x ∆y w
n P s S (δx)w (δx)e e E
划分矩形网格，围绕结点 P 取控制体，大小为 1×Δx×Δy，
2
四个界面分别为 e、w、n、s，控制体上对方程积分，并且对 源项线性化处理，得
a N = D n A ( Pn ) + max(− Fn ,0) ， aS = D s A ( Ps ) + max(Fs ,0)
a T = Dt A ( Pt ) + max(− Ft ,0) ， a B = Db A ( Pb ) + max(Fb ,0)
aP =aE + aW + aN + aS + aT + aB + aP0 －SPΔxΔyΔz b = aP0φP0+ SCΔxΔyΔz， Fe = (ρu)eΔyΔz， D e = aP0=ρP0ΔxΔyΔz/Δt
9
2．边界条件处理与方程组求解 矩形网格时，二维对流扩散问题的边界条件的离散化方法 基本与前面介绍的一维问题类似。 水域边界尽量远离 回流， 否则不便确定边 界条件。
10
二维区域不规则边界形状的处理： （1） 矩形网格所形成的阶梯状边界来逼近实际边界， 空间 步长足够小时，计算结果常常可以令人满意（边界条件的处 理较为麻烦） ；
(ρu r )n (δr )n Γn (r∆θ)n = / = P F D (δr )n ， n n n Γn
21
Fs = (ρru r )s ∆θ ， D s =
Γs (r∆θ)s (ρur )s (δr )s ， Ps = Fs / D s = 。 (δr )s Γs
22
4. 三维问题离散格式 三维问题的通用形式对流扩散方程为
(ρu )w (δx )w
Pn = Fn D n =
5
(ρv )n (δy )n
Γn
Ds =
Γs ∆x (δy )s ，
Ps = Fs D s =
(ρv )s (δy )s
Γs
将通量离散式代入方程(c)，得结点 P 上的离散化代数方程 aPφP=aEφE+aWφW+ aNφN+aSφS+ b 其中 a E = De A ( Pe ) + max(− Fe ,0) , aW = D w A ( Pw ) + max(Fw ,0)
J x = ρu φ − Γ
∂φ ∂φ ∂φ ，J y = ρvφ − Γ ，J z = ρwφ − Γ ∂y ∂x ∂z
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结点 P 周围所取的控制体大小为Δx×Δy×Δz， 在 z 方向上的两个相邻结点为 T 和 B （ “ Top ”和 “Bottom” ） ，界面为 t 和 b。
T t ∆z P b B (δz)b (δz)t
a N = Dn A ( Pn ) + max(− Fn ,0) ， a S = D s A ( Ps ) + max(Fs ,0)
aP =aE + aW + aN + aS + aP0 －SPΔxΔy b = aP0φP0+ SCΔxΔy， aP0 = ρP0ΔxΔy/Δt
6
※ 存在的问题：对通量的离散化是在 x、y 方向上分别按一维 格式处理，但当流动方向与网格线成一夹角时，计算结果 会呈现垂直于流动方向的横向虚假扩散。
13
二维问题结点 P 的方程只与四个相邻的结点有关，代数方 程组的矩阵是稀疏矩阵，常用交替方向隐式迭代法，收敛速 度较快，其迭代步骤是： （1）假设各结点上的初始值。 （2）横向扫描，对每一竖向网格线取隐格式方程，即 aPφP= aNφN+aSφS+ aEφ*E+aWφ*W + b ——y 方向的三对角方程，可以用追赶法求解。 （φ 为前面迭代过程计算出的最新迭代值） 扫描的方向（从左到右或从右至左）可以交替改变以便尽
Dw = Fw = (ρu θ )w ∆r ，
Fn = (ρru r )n ∆θ ， Dn =
aP0 = ρP0 ∆V/∆t
(ρu θ )w (rδθ)w Γw ∆r = / = P F D (rδθ)w ， w w w Γw
(ρu θ )e (rδθ)e Γe ∆r ， Pe = Fe / D e = Γe (rδθ)e
7
8
虚假扩散的扩散系数约为
Γf =
ρU∆x∆y sin 2θ 4 ∆y sin 3 θ + ∆x cos 3 θ
(
)
U、θ为来流速度及其与 x 轴的夹角。θ=45°时虚假扩散为 最大。 原因：没有考虑来自角点的“斜迎风”效应。 解决办法：取较小的空间步长； 格式的改进（如特征 FVM） ； 网格划分时应尽可能使网格线与流动方向一致。
0 0 ρP φP − ρ P φP ∆x∆y + J e − J w + J n − J s = (SC + S P φP )∆x∆y ∆t
(a)
其中 Je =(Jx)eΔy，Jw =(Jx)wΔy，Jn =(Jy)nΔx， Js =(Jy)sΔx 连续性方程
0 ρP − ρP ∆x∆y + Fe − Fw + Fn − Fs = 0 ∆t
， Pb
Fb= (ρw)bΔxΔy， Db =
= Fb Db =
(ρw )b (δz )b
Γb
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四．有限体积法求解 Navier-Stokes 方程组
∂ρ ∂ (ρu j ) =0 + ∂x j ∂t
∂ρu i ∂ (ρu j u i ) ∂ 2ui ∂p + = ρg i − +µ 2 ∂t ∂x j ∂x i ∂x j
（c） 仿照一维问题中的方法 x、y 方向上分别对通量项离散化， 如
Γ (J x ) e = (ρu )e φ P + e A ( Pe ) + max[− (ρu )e ,0] (φ P − φ E ) (δx )e
即
J e = Fe φ P + [D e A ( Pe ) + max(− Fe ,0)] (φ P − φ E )
(b)
其中界面质量流量
Fe = (ρu)eΔy，Fw = (ρu)wΔy， Fn = (ρv)nΔx，Fs = (ρv)sΔx
3
类似于一维问题的处理方法， （a）－（b）×φP 得到
0 ρP 0 φP − φP ∆x∆y + (J e − Fe φ P ) − (J w − Fw φ P ) ∆t + (J n − Fn φ P ) − (J s − Fs φ P ) = (S C + Sφ P )∆x∆y
∂φ ~ ~ Γ ∂φ J r = ρru r φ − rΓ ， J θ = J θ = ρu θ φ − ∂r r ∂θ
在矩形控制体上对方程积分，并采用类似直角坐标系下的 通量、源项等离散格式，得 aP φP = aE φE + aW φW + aN φN + aS φS + b 其中 a E = De A ( Pe ) + max(− Fe ,0) ，
三．二维和三维问题的有限体积法
1．二维问题离散格式（直角坐标） 二维问题的通用对流扩散方程为
∂ρφ ∂ (ρuφ) ∂ (ρvφ) ∂ ∂φ ∂ ∂φ Γ + + = + Γ +S ∂t ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y