有限体积法

第4章 有限体积法

1.1 积分方程

守恒方程的形式为积分方程。

⎰⎰⎰+⋅=⋅Ω

S

S

Ωq S ΓS d d grad d φφρφn n v （ 4-1 ）

4.1 控制体积

求解区域用网格分割有限个控制体积（Control V olumes, CVs ）。同有限差分不同的是，网格为控制体积的边界，而不是计算节点。为了保证守恒，CVs 必须是不重叠的，且表面同相邻CVs 是同一个。 i.

节点为中心

CVs 的节点在控制体积的中心。先定义网格，任何找出中心点。优点：节点值代表CVs 的平均值，可达二阶精度。 ii.

界面为中心

CVs 的边界线在节点间中心线上。先定义节点，再划分网格。优点：CV 表面上的CDS 差分精度比上面方法高。

两个方法基本一样，但在积分时要考虑到位置。但第一个方法用得比较多。

节点为中心 界面为中心

∑⎰⎰

=k

S S

k

fdS fdS （ 4-2 ）

- 对流：n v ⋅=ρφf 在垂直于界面的方向 - 扩散：n ⋅=φgrad Γf 在垂直于界面的方向 如果速度也是未知的，则要结合其它方程一起求解。 考虑界面e ，通过表面的总通量为： 1. 基于界面中心值

中间点定理：(midpoint rule) 表面积分为格子表面上的中心点的值和表面积的乘积。

e

e e S e e S

f S f fdS F e

≈==⎰ （ 4-3 ）

此近似为2阶精度。

由于f 在格子界面没有定义值，它必须通过插值来得到。为了保证原有的2阶精度，插值方法也须采用2阶精度的方法。 2. 基于界面顶角值

当已定义角上的值时，2阶精度的方法还有：

()⎰+=

=e

S se ne e

e f f S fdS F 2 （ 4-4 ）

3. 高阶精度近似

()⎰++=

=e

S se e ne e

e f f f S fdS F 46

（ 4-5 ） 4阶精度Simpson 法。

4.3 体积积分近似

⎰∆≈∆==Ω

P P Ωq Ωq qd ΩQ （ 4-6 ）

q p 为CV 中心节点值。高阶精度要求为节点的插值或形状函数来表示。如

),(),(y x f y x q =。然后对体积积分。

4.4 插值方法

4.4.1 上风插值格式（UDS ）

φe 用e 上游（upstream ）上的值，通过1阶向前差分或向后差分来表示。

⎩⎨⎧<⋅>⋅=0

)(;0)(e w

e P

P n v if

n v if φφφ （ 4-7 ）

此方法为唯一的无条件满足边界准则的近似，即不产生振荡解。但它的数值扩散效应很大。从Taylor 展开：

()()H x x x x x x P

P e

P

P e P e +⎪⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂-+⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂-+=222

2φφφφ （ 4-8 ） 它取得的是第一项，因此，精度是1阶的。它的截断误差为扩散项。即

e

e d e x

f ⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂Γ=φ （ 4-9 ）

此系数为数值的，人工的，伪的。。。

()2/x u e num e ∆=Γρ （ 4-10 ）

此扩散产生在垂直于流动方向或在流线方向。为特别严重的误差。尤其对于有峰值或有较大变化的变量，会使值光滑，要得到精确的解，需要很精细的网格。 4.4.2

线性插值格式（CDS ）

()e P e E e λφλφφ-+=1 （ 4-11 ）

λ 为线性插值因子。定义为：

,P

E P

e e x x x x --=

λ （ 4-12 ）

用Tayler 展开可得到此方法的截断误差：

()()()H x x x x x P

e E P e e P e E e +⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂----+=222

1φλφλφφ （ 4-13 ）

为2阶精度。和其它所有高精度一样，会发生数值振荡。

假定线性分布，则在e 点的导数可以表示成：

P

E P E

e x x x --≈⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂φφφ （ 4-14 ） 如e 在两点的中央时，为2阶精度。 4.4.3

二次迎风插值（QUICK ）格式

Quadratic Upwind Interpolation for Convective Kinematics

用抛物线（2次）分布代替线性（1次）分布。抛物线需要3点。这第3点取在上风点上。对于E 点，当u>0，取W ，当u<0时取EE 点。

()()⎩⎨

⎧<+-+->+-+-=;

01;0143432121x E EE P x P W E e u for g g g g u for g g g g φφφφφφφ （ 4-15 ）

其中，g 可以表示成用插值系数来表示：

()()()()()

;

1;111;

111;12,,2

,,4,,2,,3,,2

,,2

,,2,,1

P

e E e E

e P e P

e E e P

e W

e W

e P e W

e P

e W

e P e P

e W e g g g g λλλ

λλλλλλλλλλλλλ-+=

-+-+=

-+--=

-+-=

（ 4-16 ）

对于均匀网格：

∙ 3/8: 下游值 ∙ 6/8: 上游值

∙ -1/8：第2个上游点

此方法为3阶精度截断误差。因均匀网格的Taylor 展开可以表示成：

()()w p E P E P

W E P e H x x φφφφφφφφφφ+--+=+⎪⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂∆--+=28

1

2;483818386333

（ 4-17 ）

此方法的缺点是多了一个点，且非均匀网格的系数复杂。

但是，当此方法用于中间点法则近似时，面积分仍是2阶精度。虽然此时QUICK 方法比CDS 方法稍微精确一点，但二个方法都在2阶方法上渐近收敛，相差不大。 4.4.4

高精度格式

用高阶代数式表示：如