流体计算理论基础讲解

流体计算理论基础

1 三大基本方程

连续性方程

连续性方程也称质量守恒方程，任何流动问题都必须满足质量守恒定律，该定律可表示为：单位时间内流体微元中质量的增加等于同一时间间隔内流入该微元体的净质量，其形式如下：

()()()0u v w t x y z

ρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂ 可以写成：

()0div u t

ρρ∂+=∂ 其中ρ密度，t 为时间，u 为速度矢量，u ，v 和w 为速度矢量在x ，y 和z 方向上的分量。 若流体不可压缩，密度为常数，于是：

0u v w x y z

∂∂∂++=∂∂∂ 若流体处于稳态，则密度不随时间变化，可得出：

()()()0u v w x y z

ρρρ∂∂∂++=∂∂∂ 动量守恒定律

该定律可以表述为：微元体中流体的动量对时间的变化率等于外界作用在该微元体上的各种力之和，该定律实际是牛顿第二定律，按照这一定律，可导出x ，y 和z 三个方向上的动量守恒方程：

()()()()()()yx xx zx x xy yy zy y yz xz zz z u p div uu F t x x y z u p div uv F t y x y z u p div uw F t z x y z τττρρτττρρτττρρ∂⎧∂∂∂∂+=-++++⎪∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂⎪+=-++++⎨∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂+=-++++⎪∂∂∂∂∂⎪⎩

式中，p 为微元体上的压力，xx τ，xy τ和xz τ等是因分子粘性作用而产生的作用在微元体表

面上的粘性应力τ的分量。x F ，y F 和z F 是微元体上的体力，若体力只有重力，且z 轴竖直向上，则：0,0x y F F ==，z F g ρ=-。

对于牛顿流体，粘性应力τ与流体的变形率成比率，有：

x yy x 2();==()2();==()2();==()xx xy y xz z zz yz zy u u v div u x y x v u w div u x z x w v w div u x z y τμλττμτμλττμτμλττμ∂∂∂⎧=++⎪∂∂∂⎪∂∂∂⎪=++⎨∂∂∂⎪∂∂∂⎪=++⎪∂∂∂⎩

其中，μ为动力粘度，λ为第二粘度，一般可取23

λ=-，将上式代入前式中为： ()()()()()()()()()u v w u p div uu div gradu S t x v p div uv div gradv S t

y w p div uw div gradw S t

z ρρμρρμρρμ⎧∂∂+=-+⎪∂∂⎪∂∂⎪+=-+⎨∂∂⎪⎪∂∂+=-+⎪∂∂⎩ 其中：

()()/()/()/grad x y z =∂∂+∂∂+∂∂

μ为动力粘度(dynamic viscosity)，λ为第二粘度(second viscosity),一般可取：

2

3

λ=-(参考文献：,Boundary Layer Theory,8th ed,McGraw Hill, New York,1979)。u S ,v S 和w S 为动量守恒方程中的广义源项，u x x S F S =+，v y y S F S =+，w z z S F S =+，而其中x S ，y S 和z S 表达式为：

()()()(())()()()(())()()()(())x y z u v w S div u x x y x x x x u v w S div u x x y y x y y u v w S div u x z y z x z z μμμλμμμλμμμλ⎧∂∂∂∂∂∂∂=+++⎪∂∂∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂∂∂=+++⎨∂∂∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂∂∂=+++⎪∂∂∂∂∂∂∂⎩

一般来讲，x F ，y F 和z F 是体积力在x ，y ，z 方向上的分量。x S ，y S 和z S 是小量，对于粘性为常数的不可压缩流体，0x y z S S S ===，动量守恒，简称动量方程，也称N-S 方程。 关于牛顿体与非牛顿体的定义如下：

流体的内摩擦剪切力τ由牛顿内摩擦定律决定：

0lim u u u n n

τμμ∆→∆∂==∆∂ 其中，n ∆为沿法线方向的距离增量，u ∆对应于n ∆的流体速度的增量，

u n ∆∆为法向距离上的速度变化率，所以，牛顿内摩擦定律表示：流体的内摩擦应力和单位距离上的两层流体间的相对速度成比例，比例系数μ称为流体的动力粘度，常称为粘度，单位为：2/N s m ⋅ 若μ为常数，则该类流体为牛顿流体，否则为非牛顿体，空气，水等均为牛顿体；聚合物溶液，含有悬浮粒杂质或纤维的流体为非牛顿体。

对于牛顿流体，通常用μ和[质量]密度ρ的比值ν代替动力粘度μ

μνρ

= ν称为运动粘度，单位2/m s 。

能量守恒方程

该方程可以描述为：微元体中能量的增加率等于进入微元体的净热流量加上体力与面力对微元体所做的功，实际为热力学第一定律。

()()()T p T k div uT div gradT s t c ρρ∂+=+∂

k 为流体传热系数，p c 为比热容，T 为温度，T S 为流体内热源及由于粘性作用流体机械能转换为热能的部分，有时简称T S 为粘性耗散项。

以上三大基本方程参考：

《计算流体动力学分析：CFD 软件原理与应用》_王福军

2 通用控制方程

上面的基本方程可以写成下面的通用形式：

()()(grad )div u div S t ρφρφφ∂+=Γ+∂ 展开为：

()()()()()()()u v w t x y z S x x y y z z

ρφρφρφρφφφφ∂∂∂∂+++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=Γ+Γ+Γ+∂∂∂∂∂∂ 其中φ为通用变量，可以代表u ，v 和w 以及T 等求解变量，Γ为广义扩散系数，S 为广义源项。