高等数学专科复习题及答案

高等数学期末试卷

一、填空题（每题2分，共30分）

1．函数1

1

42-+

-=

x x y 的定义域是 . 解. ),2[]2,(∞+--∞Y 。

2．若函数52)1(2

-+=+x x x f ，则=)(x f ．

解. 62

-x 3．________________sin lim =-∞→x

x

x x

答案：1

正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim

=-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x

x

x x x x x x x x x

4.已知22

lim 2

22=--++→x x b

ax x x ，则=a _____, =b _____。 由所给极限存在知, 024=++b a , 得42--=a b , 又由23

4

12lim 2lim 22

22=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a

5.已知∞=---→)

1)((lim

0x a x b

e x x ，则=a _____, =b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x Θ, 即01)1)((lim 0=-=---→b a

b

e x a x x x , 1,0≠=∴b a 6．函数⎪⎩⎪⎨⎧

≥+<=0

1

01sin

)(x x x x

x x f 的间断点是x = 。

解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。 因为 1)0(1)1(lim 01

sin

lim 00

==+=+-→→f x x

x x x

所以函数)(x f 在0=x 处是间断的，

又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。

7. 设()()()n x x x x y -⋅⋅--=Λ21, 则()

=+1n y

(1)!n +

8．2

)(x x f =，则__________)1)((=+'x f f 。

答案：2)12(+x 或1442

++x x

9．函数)

1ln(4222

y x y x z ---=的定义域为 。

解：函数z 的定义域为满足下列不等式的点集。

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧<+<≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠+<+≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-->--≥-1040141101042222222222222y x x y y x y x x y y x y x y x z ⇒ 的定义域为：{

10|),(22<+

10．已知2

2),(xy y x y x y x f +=-+,则=),(y x f . 解 令x y u +=，x y v -=，则,22

u v u v

x y +-=

=，()()()f x y x y xy x y +-=+ )(4

222),(22v u u u v u v u v u f -=-+=

，22(,)()4x

f x y x y =-

11．设22),(y

x x

xy y x f ++

=,则=')1,0(x f 。=')1,0(y f ∵ (0,1)000f =+=

20

00(,1)(0,1)

1(0,1)lim

lim 2x x x x

x f x f x f x

x

∆→∆→∆∆+

-∆-∆+'===∆∆ 0

0(0,1)(0,1)00

(0,1)lim

lim 0y y y f y f f y

y ∆→∆→∆+--'===∆∆。 12． 设,,cos ,sin 32t y t x y x z ==+=则

t

z

d d ＝ 。 解 22sin 3cos dz

x t t y dt

=-+ 13.

=⎰⎰

dx x f d d dx d

)( . 解：由导数与积分互为逆运算得，)()(x f dx x f d d dx

d

=⎰⎰. 14.设)(x f 是连续函数，且

x dt t f x =⎰

-1

3)(，则=)7(f .

解：两边对x 求导得1)1(332=-x f x ，令713

=-x ，得2=x ，所以12

131

)7(2

2

=

=

=x x f . 15．若

21

d e 0

=

⎰∞

+-x kx ，则_________=k 。 答案：∵)d(e 1lim d e 210

0kx k x b kx b kx

--==⎰⎰-+∞→∞+-

k

k k k kb b b kx b 1

e 1lim 1e 1lim 0=-=-=-+∞→-+∞→ ∴2=k

二、单项选择题（每题2分，共30分）

1．函数)1,0(1

1

)(≠>+-=a a a a x x f x

x （ ） A.是奇函数； B. 是偶函数；

C.既奇函数又是偶函数；

D.是非奇非偶函数。 解：利用奇偶函数的定义进行验证。

)(1

1

)1()1(11)()(x f a a x a a a a x a a x x f x x x

x x x x x =+-=+--=+--=----- 所以B 正确。 2．若函数2

2

1

)1(x x x

x f +

=+，则=)(x f （ ） A.2

x ； B. 22

-x ； C.2

)1(-x ； D. 12

-x 。 解：因为2)1(212122

2

22

-+=-++=+

x x x

x x x ，所以2)1()1(2-+=+x x x x f 则2)(2

-=x x f ，故选项B 正确。

3．设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f =（ ）．

A ． x

B ．x + 1

C ．x + 2

D ．x + 3 解 由于1)(+=x x f ，得 )1)((+x f f 1)1)((++=x f ＝2)(+x f 将1)(+=x x f 代入，得)1)((+x f f =32)1(+=++x x 正确答案：D

4．已知0)1

(

lim 2

=--+∞→b ax x x x ，其中a ,b 是常数，则（ ） (A) 1,1==b a , (B) 1,1=-=b a (C) 1,1-==b a (D) 1,1-=-=b a

解. ()()01

1lim )1(

lim 22=+-+--=--+∞→∞→x b

x b a x a b ax x x x x Θ, 1,1,0,01-==∴=+=-∴b a b a a 答案：C

5．下列函数在指定的变化过程中，（ ）是无穷小量。 A.e 1x

x ,

()→∞； B.

sin ,()x

x

x →∞； C. ln(),()11+→x x ； D.

x x x +-→11

0,()

解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以

0sin lim

=∞→x

x

x

而A, C, D 三个选项中的极限都不为0，故选项B 正确。

6．下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（ ）