几何计数
小学数学 奥数讲义计数专题几何计数
小学数学奥数讲义计数专题几何计数小学数学奥数讲义计数专题几何计数在小学数学的教学中，奥数讲义是一本非常重要的学习资料。
其中计数专题是数学学习的基础，也是几何计数的重要内容之一。
本文将对小学数学奥数讲义中的几何计数进行详细介绍。
一、几何计数的概念几何计数是指通过观察几何形状，根据一定的规律和方法进行计数的过程。
它主要包括图形的边数、顶点数和对称性等方面的计数。
二、图形的边数的计数计算图形的边数是几何计数的重要内容之一。
对于任何一条直线，它没有边，因为它是无限长的。
对于一个封闭的图形，它的边数等于它的边界线的线段数。
例如，一个三角形有三条边，一个正方形有四条边。
三、图形的顶点数的计数计算图形的顶点数也是几何计数的重要内容之一。
顶点是指图形的两条边交汇的点。
对于一个封闭图形，它的顶点数等于它的边界线上的交点数加上中心点（如果存在的话）。
例如，一个三角形有三个顶点，一个正方形有四个顶点。
四、图形的对称性的计数计算图形的对称性也是几何计数中的重要内容。
对称性是指图形的某一部分与另一部分关于某个轴线对称，这个轴线称为对称轴。
对称轴的数量可以通过观察图形的特点来确定。
例如，一个正方形有四条对称轴，分别是两条对角线和两条垂直于边的中垂线。
五、实例演示为了更好地理解几何计数的概念和方法，我们举一个实例来演示。
假设有一个五角星形的图形，我们来计算它的边数、顶点数和对称性。
首先，观察图形，我们可以看到它有五条边，所以边数为5。
接下来，我们继续观察图形，可以看到它有五个顶点，所以顶点数为5。
最后，我们观察图形的对称性。
五角星形图形有五条对称轴，分别是五条连结顶点的线段。
六、总结通过以上的介绍和实例演示，我们了解了几何计数在小学数学奥数讲义中的重要性。
几何计数包括图形的边数、顶点数和对称性等内容，通过观察和计数，我们可以更深入地理解图形的特点和性质。
在小学数学教学中，几何计数是培养学生观察、分析和计算能力的一种重要方法。
几何中的计数问题公式
几何中的计数问题公式几何中计数问题是许多研究者和学生们持续关注的一个重要领域。
这种类型的问题不仅困难，而且提供了令人兴奋的机会来解决一些基本的几何问题。
几何中计数问题的解决方法往往会涉及到一些公式，这些公式可以帮助我们解决特定的几何问题。
其中一种最经典的公式就是欧几里得的算数公式。
欧几里得的算数公式非常简单而实用，是一个通项公式，可以应用于任何正整数的数学问题。
该公式通过涉及到四个项目“n+1”，“n-1”，“n+2”和“n-2”，可以表达一个数字连续增加或减少的量。
公式如下：F(n)=F(n-1) + [2F(n-2)-F(n+1)]欧几里得的算数公式可以被用来解决几何中的计数问题。
例如，在一个二维平面上，欧几里得的算数公式可以用来计算边缘图形的内角总角度的总和。
另外，欧几里得的算数公式还可以用来解决几何中复杂情况的计数问题。
比如，假如存在一个多维地理位置的空间，欧几里得的算数公式可以用来计算该空间位置上任何点到其他离散点的距离平均值。
此外，几何中的计数问题还可以用另一个通项公式来解决，这就是帕累托的领数公式。
该公式用于解决具有两个参数的几何计数问题，其中，一个参数表示位置，另一个参数表示指数。
公式如下：F(k,n)= 2^(k-1)*(n-1)!帕累托的领数公式可以用来解决几何中的多项式计数问题。
例如，可以用它来计算一个多面体所有面的总数，或者找到一个多面体的体积。
此外，几何中的计数问题也可以用另一种非常常见的公式来解决，即伽马函数。
伽马函数可以用来表示一个几何形状内任意两点之间的距离。
其公式如下：F(n,m)= 2^(-n/2)*sqrt(n)*sqrt(m)伽马函数可以用来计算一个几何体内部任何两点之间的距离，它还可以用来计算该几何体的表面积。
因此，可以看出，几何中的计数问题是可以通过使用不同的公式来解决的。
欧几里得的算数公式、帕累托的领数公式和伽马函数都可以为我们提供帮助，在解决一些几何中的计数问题时可以使用它们。
小学奥数经典专题点拨：几何图形计数
几何图形的计数【点与线的计数】例1如图5.45，每相邻的三个圆点组成一个小三角形，问：图中是这样的小三解形个数多还是圆点的个数多？（全国第二届“华杯赛”决赛试题）讲析：可用“分组对应法”来计数。
将每一排三角形个数与它的下行线进行对应比较。
第一排三角形有1个，其下行线有2点；第二排三角形有3个，其下行线有3点；第三排三角形有5个，其下行线有4点；以后每排三角形个数都比它的下行线上的点多。
所以是小三角形个数多。
例2直线m上有4个点，直线n上有5个点。
以这些点为顶点可以组成多少个三角形？（如图5.46）（哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题）讲析：本题只要数出各直线上有多少条线段，问题就好解决了。
直线n 上有5个点，这5点共可以组成4＋3＋3++2＋1＋1==10（条）线段。
以这些线段分别为底边，m 上的点为顶点，共可以组成4×1×100=40（个）三角形。
同理，m 上4个点可以组成6条线段。
以它们为底边，以n 上的点为顶点可以组成6×5×5==30（个）三角形。
所以，一共可以组成70个三角形。
【长方形与三角形的计数】例1图5.47中的正方形被分成9个相同的小正方形，个相同的小正方形，它们一共有它们一共有16个顶点，个顶点，以其中不在一条直线上的以其中不在一条直线上的3点为顶点，点为顶点，可以构成三角形。
可以构成三角形。
可以构成三角形。
在这些在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？（全国第三届“华杯赛”复赛试题）为3的三角形，或者高为2，底为3的三角形，都符合要求。
①底边长为2，高为3的三角形有2×4×4×4×4×4==32（个）； ②高为2，底边长为3的三角形有8×2×2==16（个）。
所以，包括图中阴影部分三角形共有48个。
例2 图5.48中共有_中共有_______个三角形。
几何计数知识点总结
几何计数知识点总结几何计数是离散数学中的一个重要分支，主要研究平面或空间中的点、线、面、体等几何体的组合、排列和计数方法。
在解决实际问题和进行数学证明时，往往需要运用几何计数的方法。
本文将就几何计数的基本概念、常用方法和应用领域进行总结，以便读者更好地理解和运用几何计数知识。
一、基本概念1.1 点、线、面和体在几何计数中，点、线、面和体是最基本的几何构件。
点是没有长度、宽度和高度的，线是由一系列相邻的点组成的，面是由一系列相邻的线组成的，而体则是由一系列相邻的面组成的。
这些几何构件在计数问题中经常出现，需要根据其特性进行排列和组合的计算。
1.2 排列和组合排列和组合是解决几何计数问题的基本方法。
排列是指从给定的元素中取出若干个不同的元素进行排列，计算排列的种类数；组合是指从给定的元素中取出若干个不同的元素进行组合，计算组合的种类数。
根据排列和组合的公式和性质，可以准确地解决各种几何计数问题。
1.3 简单计数原理简单计数原理是指根据事件的性质和求解目标，将复杂的事件分解成若干个简单事件，然后根据简单事件的计数规律，求解复杂事件的计数问题。
简单计数原理在几何计数中经常被使用，尤其是在求解复杂的几何排列和组合问题时，可以大大简化计算。
1.4 对称性对称性是几何计数中广泛存在的重要性质。
在计算几何排列和组合时，通常可以利用几何体的对称性质，简化计算或得出结论。
对称性可以分为点对称、轴对称和面对称等不同类型，每种对称性质都有其特定的计数规律。
二、常用方法2.1 放回和不放回放回和不放回是几何计数中常用的计数方法。
放回是指在一定条件下，将选取的元素放回原处，继续进行下一次选取；不放回是指在一定条件下，将选取的元素不放回原处，继续进行下一次选取。
这两种方法在计算排列和组合时有不同的计数规律，需要根据具体的问题选择合适的方法。
2.2 递推关系递推关系是指根据已知的计数结果和规律，求解未知的计数问题。
在几何计数中，经常可以通过观察已知的排列和组合规律，得出递推公式或递推关系，从而求解更复杂的计数问题。
第六讲几何图形的计数问题
第六讲几何图形的计数趣谈一、常用的几个简单几何图形的计数公式1．数线段、三角形、（锐）角的公式数出图6－1中各条线段上线段的总条数。
图6－1(a)中只有两个点A、B、只有一条线段。
图6－1(b)中有A、B、C三个点，这三个点将线段AC分割成AB、BC两条小线段，这两条小线段连起来组成一条新线段AC，所以图6－1(b)中有三条线段算式为2＋1＝3。
图6－1(c)中有A、B、C、D四个点，这四个点将线段AD分割成AB、BC、CD三条小线段；把相邻的两条小线段连起来组成两条新线段AC、BD，然后相邻的三条小线段连起来组成一条新线段AD，所以图6－1(c)中共有6条线段，算式为3＋2＋1＝6。
图6－1(d)中在有A、B、C、D、E五个点，这五个点将线段AE分割成AB、BC、CD、DE四条小线段；把相邻的两条小线段连起来组成三条新线段AC、BD、CE；再将相邻的三条小线段连起来又组成两条新线段AD、BE；最后相邻的四条小线段连起来又组成一条新线段AE。
所以图6－1(d)中共有10条线段。
算式为4＋3＋2＋1＝10。
图6－1(e)中有A、B、C、D、E、F六个点，这六个点将线段分割成AB、BC、CD、DE、EF五条小线段；这五条小线段中的任意相邻两条小线段连起来又组成四条新线段AC、BD、CE、DF；然后将相邻三条小线段连在一起又组成三条新线段AD、BE、CF；再将相邻四条小线段连起来又组成两条新线段AE、BF；最后五条相邻小线段连起来又组成一条新线段AF。
所以图6－1（e）中共有15条线段。
算式为5＋4＋3＋2＋1＝15。
将上述几种情况一般化，如果某条线段上共有n个点（包括两个端点），那么这n个点将线段分割成n－1条小线段，这n－1条小线段中，任意相邻两条小线段连起来又都可以组成一条新线段，这样的新线段共有n－2条。
另外，这n－1条小线段中，任意三条相邻小线段连起来又都可以组成一条新线段，这样的新线段共有n－3条。
几何图形的计数问题
第十九讲几何图形的计数问题在几何中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．例1如图1－65所示，数一数图中有多少条不同的线段？解对于两条线段，只要有一个端点不同，就是不同的线段，我们以左端点为标准，将线段分5类分别计数：(1)以A为左端点的线段有AB，AC，AD，AE，AF共5条；(2)以B为左端点的线段有BC，BD，BE，BF共4条；(3)以C为左端点的线段有CD，CE，CF共3条；(4)以D为左端点的线段有DE，DF共2条；(5)以E为左端点的线段只有EF一条．所以，不同的线段一共有5+4+3+2+1=15(条)．一般地，如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)，那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)/2例2图1－66中有多少个三角形？解以OA为一边的三角形有△OAB，△OAC，△OAD，△OAE，△OAF 共5个；以OB为一边的三角形还有4个(前面已计数过的不再数，下同)，它们是△OBC，△OBD，△OBE，△OBF；以OC为一边的三角形有△OCD，△OCE，△OCF共3个；以OD为一边的三角形有△ODE，△ODF共2个；以OE 为一边的三角形有△OEF一个．所以，共有三角形5+4+3+2+1=15(个)．说明其实，不同的三角形数目等于线段AF中不同线段的条数．一般地，当原三角形的一条边上有n+1个点(包括两端点)时，它们与另一顶点的连线所构成的三角形总数为n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)/2.例3(1)图1－67中一共有多少个长方形？(2)所有这些长方形的面积和是多少？解(1)图中长的一边有5个分点(包括端点)，所以，长的一边上不同的线段共有1+2+3+4=10(条)．同样，宽的一边上不同的线段也有10条．所以，共有长方形10×10=100(个)．(2)因为长的一边上的10条线段长分别为5，17，25，26，12，20，21，8，9，1，宽的一边上的10条线段长分别为2，6，13，16，4，11，14，7，10，3．所以，所有长方形面积和为(5×2+5×6+…+5×3)+(17×2+17×6+…+17×3)+…+(1×2+1×6+…+1×3)=(5+17+...+1)×(2+6+ (3)= 144×86=12384．例4图1－68中共有多少个三角形？解显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数相等．尖向上的三角形又可分为6类：最大的三角形1个(即△ABC)，第二大的三角形有1+2=3(个)，第三大的三角形有1+2+3=6(个)，第四大的三角形有1+2+3+4=10(个)，第五大的三角形有1+2+3+4+5=15(个)，最小的三角形有1+2+3+4+5+6+3=24(个)．我们的计数是有规律的．当然，要注意在△ABC外面还有三个最小的尖向上的三角形(左、右、下各一个)，所以最小的三角形不是21个而是24个．于是尖向上的三角形共1+3+6+10+15+24=59(个)．图中共有三角形59×2=118(个)．例5图1－69中有多少个等腰直角三角形？解图1－69中有5×5+4×4=41个点．在每点标一个数，它等于以这点为直角顶点的等腰直角三角形的个数．因此，共有等腰直角三角形4×8+5×16+6×4+10×4+8×4+11×4+16×1=268(个)．例6(1)图1－70(a)中有多少个三角形？(2)图1－70(b)中又有多少个三角形？解(1)图1－70(a)中有6条直线．一般来说，每3条直线能围成一个三角形，但是这3条直线如果相交于同一点，那么，它们就不能围成三角形了．从6条直线中选3条，有种选法(见说明)，每次选出的3条直线围成一个三角形，但是在图1－70(a)中，每个顶点处有3条直线通过，它们不能围成三角形，因此，共有20-3=17个三角形．(2)图1－70(b)中有7条直线，从7条直线中选3条，有7×6×5/6=35种选法．每不过同一点的3条直线构成一个三角形．图1－70(b)中，有2个顶点处有3条直线通过，它们不能构成三角形，还有一个顶点有4条直线通过，因为4条直线中选3条有4种选法，即能构成4个三角形，现在这4个三角形没有了，所以，图1－70(b)中的三角形个数是35-2-4=29(个)．说明从6条直线中选2条，第一条有6种选法，第二条有5种选法，共有6l2与l2l1实际上是同一种，×5种选法．但是每一种被重复算了一次，例如l1所以，不同的选法是6×5÷2=15种．从6条直线中选3条，第一条有6种选法，第二条有5种选法，第三条有41213，种选法，共有6×5×4种选法．但是每一种被重复计算了6次，例如，11 111312，121113，121311，131112，131211实际上是同一种，所以，不同的选法应为6×5×4/6=20种．下面我们利用递推的方法来计算一些图形区域问题．例7问8条直线最多能把平面分成多少部分？解1条直线最多将平面分成2个部分；2条直线最多将平面分成4个部分；3条直线最多将平面分成7个部分；现在添上第4条直线．它与前面的3条直线最多有3个交点，这3个交点将第4条直线分成4段，其中每一段将原来所在平面部分一分为二，如图1－71，所以4条直线最多将平面分成7+4=11个部分．完全类似地，5条直线最多将平面分成11+5=16个部分；6条直线最多将平面分成16+6=22个部分；7条直线最多将平面分成22+7=29个部分；8条直线最多将平面分成29+8=37个部分．所以，8条直线最多将平面分成37个部分．说明一般地，n条直线最多将平面分成个部分．例8平面上5个圆最多能把平面分成多少个部分？解1个圆最多能把平面分成2个部分；2个圆最多能把平面分成4个部分；3个圆最多能把平面分成8个部分；现在加入第4个圆，为了使分成的部分最多，第4个圆必须与前面3个圆都有两个交点．如图1－72所示．因此得6个交点，这6个交点将第4个圆的圆周分成6段圆弧，而每一段圆弧将原来的部分一分为二，即增加了一个部分，于是，4个圆最多将平面分成8+6=14个部分．同样道理，5个圆最多将平面分成14+8=22个部分．所以，5个圆最多将平面分成22个部分．说明用上面类似的方法，我们可以计算出n个圆最多分平面的部分数为2+1×2+2×2+…+(n-1)×2=2+2［1+2+…+(n-1)］=n2-n+2．例9平面上5个圆和一条直线，最多能把平面分成多少个部分？解首先，由上题可知，平面上5个圆最多能把平面分成22个部分．现在加入一条直线．由于一条直线最多与一个圆有两个交点，所以，一条直线与5个圆最多有10个交点．10个点把这条直线分成了11段，其中9段在圆内，2条射线在圆外．9条在圆内的线段把原来的部分一分为二，这样就增加了9个部分；两条射线把圆外的平面一分为二，圆外只增加了一个部分．所以，总共增加了10个部分．因此，5个圆和1条直线，最多将平面分成22+10=32个部分．例10平面上5条直线和一个圆，最多能把平面分成多少个部分？解首先，由例7知，5条直线最多将平面分成16个部分．现在加入一个圆，它最多与每条直线有两个交点，所以，与5条直线最多有10个交点．这10个交点将圆周分成10段圆弧，每一段圆弧将原来的部分一分为二，所以，10段圆弧又把原来的部分增加了10个部分．因此，5条直线和一个圆，最多能把平面分成16+10=26个部分．例11三角形ABC内部有1999个点，以顶点A，B，C和这1999个点为顶点能把原三角形分割成多少个小三角形？个小三角形，我们解设△ABC内部的n-1个点能把原三角形分割成an-1之后的情况：考虑新增加一个点Pn(1)若点P n在某个小三角形的内部，如图1－73(a)，则原小三角形的三个将这个小三角形一分为三，即增加了两个小三角形；顶点连同Pn(2)若点P n在某两个小三角形公共边上，如图1－73(b)．则这两个小三角形的顶点连同点P将这两个小三角形分别一分为二，即也增加了两个小三角n形．所以，△ABC内部的n个点把原三角形分割成的小三角形个数为a n=a n-1+2．易知a=1，于是a1=a0+2，a2=a1+2，…，a n＝a n-1+2．将上面这些式子相加，得a n=2n+1．所以，当n=1999时，三个顶点A，B，C和这1999个内点能把原三角形分割成2×1999+1=3999个小三角形．练习十九1．填空：(1)在圆周上有7个点A，B，C，D，E，F和G，连接每两个点的线段共可作出______条．(2)已知5条线段的长分别是3，5，7，9，11，若每次以其中3条线段为边组成三角形，则最多可构成互不全等的三角形_____个．(3)三角形的三边长都是正整数，其中有一边长为4，但它不是最短边，这样不同的三角形共有_____个．(4)以正七边形的7个顶点中的任意3个为顶点的三角形中，锐角三角形的个数是_______．(5)平面上10条直线最多能把平面分成_____个部分．(6)平面上10个圆最多能把平面分成_____个区域．2．有一批长度分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11厘米的细木条，它们的数量足够多，从中适当选取3根木条作为三条边，可围成一个三角形，如果规定底边是11厘米长，你能围成多少个不同的三角形？3．图1－74中有多少个三角形？4．图1－75中有多少个梯形？5．在等边△ABC所在平面上找到这样一点P，使△PAB，△PBC，△PAC 都是等腰三角形，具有这样性质的点的个数有多少？6．平面上有10条直线，其中4条直线交于一点，另有4条直线互相平行，这10条直线最多有几个交点？它们最多能把平面分成多少个部分？。
小升初数学高频考点——计数专题(九)几何计数
小升初数学高频考点——计数专题（九）几何计数
一、高频考点：1、分类数图形2、方块图计数3、点阵计数4、直线分区域5、图形分区域★高频考题
例一：（分类数图形）
（1）分别计算下列各图中线段、角、三角形的数量
线段数量为角的数量为三角形的数量为
（2）分别计算下列各图中长方形、正方形、三角形的数量
长方形个数为含有五角星的长方形个数为长方形个数为
正方形个数为正方形个数为含有五角星的正方形个数为
正方形个数为三角形个数为三角形个数为
例二：（方块图计数：①“L”形基本单元“田”；②“凹”字形基本单元“”）（1）在7×7的方格中，你能数出几个如图所示的由3个小方格组成的“L”形？
（2）在8×5的方格中，一共可以数出多少个如图所示的由5个单位小正方形组成的“凹”字形？
例三：（点阵中的线段和三角形计数：利用组合计数）
（1）平面上有99个点，以它们为端点，可以画出多少条线段？
（2）以圆上11个点为顶点，可以连出多少个三角形？
（3）半圆的边界上有10个点，其中5个点在直径上。
以它们为顶点，可以连出多少个三角形？
数加1）
该平面上
最多会增
？
点个数）
分?
平面分成（4）在一个平面上画出2个长方形和1条直线，最多可以把平面分成多少部分？
（5）在一个平面上画出3个正方形、2个圆和1条直线，最多能把这个平面分成几个部分？。
小学奥数- 几何计数(一)
7-8-1几何计数（一）教学目标1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．知识要点一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成212232)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．例题精讲模块一、简单的几何计数【例1】七个同样的圆如右图放置，它有_______条对称轴．【例2】下面的表情图片中：，没有对称轴的个数为（）（A ）3(B )4(C )5(D )6【巩固】中心对称图形是：绕某一点旋转180°后能和原来的图形重合的图形，轴对称图形是：沿着一条直线对折后两部分完全重合的图形，图的4个图形中，既是中心对称图形又是的轴对称图形的有个。
小学思维数学讲义：几何计数(一)-带答案解析
几何计数（一）1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n条直线最多将平面分成21223(2)2n n n++++=++……个部分；n个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2；n个三角形将平面最多分成3n(n-1)+2部分；n个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个．模块一、简单的几何计数【例1】七个同样的圆如右图放置，它有_______条对称轴．【考点】简单的几何计数【难度】1星【题型】填空【关键词】迎春杯，六年级，初赛，试题教学目标例题精讲知识要点【解析】如图：6条．【答案】6条【例2】下面的表情图片中：，没有对称轴的个数为（）（A） 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6【考点】简单的几何计数【难度】2星【题型】选择【关键词】华杯赛，初赛，第1题【解析】通过观察可知，第1，2，5这三张图片是有对称轴的，其他的5张图片都没有对称轴，所以没有对称轴的个数为5，正确答案是C。
几何计数知识点
几何计数知识点几何计数是数学中一个重要的分支，用于解决与几何形状和图形有关的计数问题。
在本文中，我们将介绍一些常见的几何计数知识点，包括排列组合、排列、组合、二项式定理等。
一、排列组合排列组合是几何计数中最基础的概念之一。
它们是用于计算从一组对象中选取若干个对象进行排列或组合的方法。
1.排列排列是指从一组对象中选取若干个对象进行排列的方法。
排列的顺序很重要，即选取的对象的顺序不同，排列的结果也不同。
排列的计算公式为P(n, r) = n! /(n-r)!，其中n表示总的对象数，r表示选取的对象数。
2.组合组合是指从一组对象中选取若干个对象进行组合的方法。
组合的顺序不重要，即选取的对象的顺序不同，组合的结果相同。
组合的计算公式为C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)，其中n表示总的对象数，r表示选取的对象数。
二、二项式定理二项式定理是几何计数中一个重要的定理，它用于展开二项式的幂。
二项式定理的公式为(a + b)^n = C(n, 0)a nb^0 + C(n, 1)a(n-1)b^1 + C(n, 2)a(n-2)b^2 + … + C(n, n)a0b^n，其中C(n, r)表示从n个对象中选取r个对象的组合数。
三、应用示例下面通过一个实际的应用示例来说明几何计数的应用。
假设有一个班级，其中有10个男生和8个女生。
班主任要从班级中选出一组学生参加一个学术竞赛。
要求选出的学生中至少包括2个男生和1个女生。
首先，我们计算选出的学生中包含2个男生和1个女生的情况。
根据排列组合的知识，男生有10个，我们从中选出2个，有C(10, 2)种情况；女生有8个，我们从中选出1个，有C(8, 1)种情况。
根据乘法原理，总共有C(10, 2) * C(8, 1)种情况。
其次，我们计算选出的学生中包含3个男生和1个女生的情况。
男生有10个，我们从中选出3个，有C(10, 3)种情况；女生有8个，我们从中选出1个，有C(8, 1)种情况。
三年级几何计数
几何计数知识结构一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成 21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步 求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类（1） 数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条（2） 数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．（3） 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．（4） 数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．重难点（1） 重点：三角形、长方形、正方形的计数方法. （2） 难点:复杂正方的计数技巧例题精讲ED CBA【例 1】 数一数，共有________条线段.【考点】简单几何计数【难度】1星【题型】计算【解析】 一共有：12345621+++++=（条）。
小学奥数模块教程几何计数(ABC级)
几何计数知识框架一、公式计算法几何计数内容很广，包括数线段的条数，角的个数，长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等图形的个数，也包括数立体图形的个数。
图形的计数一般有两种思考方法：公式计算法和分类计数法。
三年级学习的线段、长方形和正方形的计数就属于公式计算法。
（1）一条线段有两个端点，若这条线段上有n个点，那么线段总数是（n－1）＋（n＋2）＋…＋3＋2＋1（2）如果一个长方形的长边上有n个小格，宽边上有m个小格，那么长方形的总数是（1＋2＋3＋…＋n）×（1＋2＋…＋m）（3）如果把正方形各边都n等分，那么正方形的总数是n2＋（n－1）2＋（n－2）2＋…＋32＋22＋12上面计算线数的方法也可用于计算角的个数，而且，根据这些计数方法在以后还可以类推出立体图形的计算方法。
二、对应法将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事物在数量上是相同的．事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式．重难点（1）分类数图形。
（2）对应法数图形。
一、 分类数图形【例 1】 下图的两个图形（实线）是分别用10根和16根单位长的小棍围成的．如果按此规律（每一层比上面一层多摆出两个小正方形）围成的图形共用了60多根小棍，那么围成的图形有几层，共用了多少根小棍？【巩固】 如图所示，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?【例 2】 图中有______个正方形．例题精讲【巩固】 数一数：图中共有________ 个正方形。
【例 3】 右图中三角形共有 个．【巩固】 数一数图中有_______个三角形．【例 4】 图中共有多少个三角形？【巩固】 下图是由边长为1的小三角形拼成，其中边长为4的三角形有_____个。
CBA【例 5】如图，每个小正方形的面积都是l平方厘米。
则在此图中最多可以画出__________个面积是4平方厘米的格点正方形(顶点都在图中交叉点上的正方形)。
几何计数法的原理和应用
几何计数法的原理和应用1. 原理几何计数法是一种数学方法，用于计算组合问题中的可能性数量。
它基于几何形状和排列组合的原理，通过计算空间中的点、线、面等几何元素的数量，来确定组合问题的可能解答数目。
几何计数法的基本原理如下：1.1 排列排列是从给定的n个元素中，按照一定的顺序选择r个元素的方式，共有多少种可能性。
排列的计算公式为：P(n,r) = n! / (n - r)!其中，n表示总元素数量，r表示选择的元素数量，!表示阶乘运算。
1.2 组合组合是从给定的n个元素中，按照一定的顺序选择r个元素的方式，共有多少种可能性。
组合的计算公式为：C(n,r) = n! / (r! * (n - r)!)其中，n表示总元素数量，r表示选择的元素数量，!表示阶乘运算。
1.3 重复排列重复排列是从给定的n个元素中，按照一定的顺序选择r个元素的方式，可以重复选择同一个元素，共有多少种可能性。
重复排列的计算公式为：P(n,r) = n^r其中，n表示总元素数量，r表示选择的元素数量。
2. 应用几何计数法在许多领域都有广泛的应用，特别是在组合数学、概率论、计算机科学等方面被广泛运用。
2.1 组合问题几何计数法可以用来解决组合问题，例如从一组元素中选取几个元素进行组合的情况。
通过计算组合的可能性数量，可以得出解决问题的方法数目。
2.2 选择问题几何计数法可以用来解决选择问题，例如从一组元素中选择特定数量的元素，或者选择不同的元素进行组合的情况。
通过计算排列的可能性数量，可以确定选择问题的解决方法数量。
2.3 排列问题几何计数法可以用来解决排列问题，例如将一组元素按照一定的顺序进行排列的情况。
通过计算排列的可能性数量，可以确定排列问题的解决方法数量。
2.4 概率计算几何计数法可以用来计算概率，特别是在离散型随机变量的概率计算中。
通过计算排列或组合的可能性数量，可以确定事件的发生概率。
2.5 数据分析几何计数法可以用来进行数据分析，例如在数据集中统计满足特定条件的数据组合数目。
小学奥数：几何计数一.专项练习及答案解析
7-8-1几何计数（一）教课目的掌握数常用方法；熟一些数公式及其推方法；依据不一样目灵巧运用数方法行数．本主要介了数的常用方法枚法、数法、形法、插板法、法等，并渗透分数和用容斥原理的数思想．知识重点一、几何计数在几何形中，有多风趣的数，如算段的条数，足某种条件的三角形的个数，若干个分平面所成的地区数等等．看起来仿佛没有什么律可循，可是通真分析，是能够找到一些理方法的．常用的方法有枚法、加法原理和乘法原理法以及推法等．n条直最多将平面分红223⋯⋯n(n2n2)个部分；n个2最多分平面的部分数n(n-1)+2；n个三角形将平面最多分红3n(n-1)+2部分；n个四形将平面最多分红4n(n-1)+2部分⋯⋯在其余数中，也常用到枚法、加法原理和乘法原理法以及推法等．解需要仔、合所学知点逐渐求解．摆列不与参加摆列的事物相关，并且与各事物所在的先后序相关；合与各事物所在的先后序没关，只与两个合中的元素相关．二、几何计数分类数段：假如一条段上有n+1个点(包含两个端点)（或含有n个“基本段”），那么n+1个点把条段一共分红的段数n+(n-1)+⋯+2+1条数角：数角与数段相像，段形中的点似于角形中的．数三角形：可用数段的方法数如右所示的三角形（法），因DE上有15条段，每条段的两头点与点A相，可构成一个三角形，共有15个三角形，同一在BC上的三角形也有15个，所以中共有30个三角形．数方形、平行四形和正方形：一般的，于随意方形（平行四形），若其横上共有n 条段，上共有条段，中共有方形（平行四形）个．m mn例题精讲模块一、简单的几何计数【例1】七个同的如右搁置，它有_______条称．7-8-1.几何计数（一）.题库题库版page1of10【考点】简单的几何计数【难度】1星【题型】填空【重点词】迎春杯，六年级，初赛，试题【分析】如图：6条．【答案】6条【例2】下边的表情图片中：，没有对称轴的个数为（）（A）3(B)4(C)5(D)6【考点】简单的几何计数【难度】2星【题型】选择【重点词】华杯赛，初赛，第1题【分析】经过观察可知，第1，2，5这三张图片是有对称轴的，其余的5张图片都没有对称轴，所以没有对称轴的个数为5，正确答案是C。
四年级几何几何计数学生版
知识要点几何计数图形计数 1、图形规律问题分三步考虑：1）图形的基本组成的确定；2）图形变化规律确定；3）缺失图形确定。
2、图形基本组成的确定需注意的要点：图形的形状、颜色、位置、大小、数量等。
3、图形计数的关键在于找出常见的计数依据，通常把复杂的计数问题转化成简单的线段计数最为常用。
4、图形计数基本公式：①一条线段被分成n 个互不重叠的小线段，那么这条线段共包含的线段数为： ()1122n n n ++++=L L 条。
②两条共端点的射线确定一个角（大于0︒、小于180︒），假设由某点引出n 条射线（任意两条射线均不在同一直线上），那么这n 条射线可以确定的角（大于0︒、小于180︒）的个数为(1)2n n -条。
③网格状图形中，长方形（包含正方形）的个数，等于相邻两条边上线段数的乘积。
④一般的，一个长方形的长被分成n 份，宽被分成m 份（n ≥m ，每小格均为相等的正方形），那么这个长方形中正方形的总数为：()()()()()112211mn n m n m n m +--+--++-+⨯L L 。
四、五、六年级（三、四、五、六年级）（四、五年级）图形剪拼（一、二年级）（一、二年级）几何求值组合问题数学计算图形变幻认识图形平面几何图形计数图形规律数线段【例 1】 数一数：图中线段的总条数。
FEDCBA【例 2】 如图，线段AB 、BC 、CD 、DE 的长度都是3厘米。
请问：图中一共有多少条线段？这些线段的长度之和是多少厘米？3厘米3厘米3厘米3厘米【例 3】 数一数，图中有多少条线段？【例 4】 （2007年天津“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛四年级第11题）在图所示的线段中，至少包含“☆”和“△”中的一个的线段有_______条。
△☆数量变化规律图形组合规律图形规律数正方形数长方形数三角形数线段图形计数数角【例 5】 数一数，图中共有多少个角?你能用两种方法解答这个问题么？F ED C BAO【例 6】 在图中，所有角的和为150o ，且αβγ∠=∠=∠，求α∠的度数。
第六讲几何计数
……
f(n)=1+(1+2)+(1+2+3)+……+（1+2+3+……n）
=1×2÷2+2×3÷2+3×4÷2+……+n×(n+1)÷2
= ×(1×2+2×3+3×4+……+n×(n+1))参考附录一。
分析：
因为只连接各个圆的圆心，我们可以把各枚棋子的圆心标出，这些圆心正好构成一个4行4列的钉子板，如图：
以点 为顶点的正方形如下图所示：
共有三个，由对称性知道，以 、 、 为顶点的正方形也各有三个（可以试一试，画一画），所以共有12个正方形。
以 为顶点的正方形如下图所示：
有5个，由对称性知道，以 、 、 、 、 、 、 分别为顶点的正方形也各有5个，所以共有8×5=40个；
个。这个计算是根据组合数的性质：
得到。
3.图中共有多少个正方形？
答案：4×11的方格共有正方形个数：4×11+3×10+2×9+1×8=100个；
6×5的方格中有正方形个数：6×5+5×4+4×3+3×2+2×1=70个；
二者重叠部分是4×5方格：共有正方形个数：4×5+3×4+2×3+1×2=40个；
以 为顶点的正方形如下图所示：共有7个，由对称性以 为顶点的正方形也各有7个，所以共有4×7=28个。
几何计数的四种常用方法
几何计数的四种常用方法嘿，朋友们！今天咱来聊聊几何计数的四种常用方法。
你看啊，几何计数就像是在一个奇妙的图形世界里数星星，得有窍门才行。
第一种方法呢，就像按图索骥，我们直接去数那些明显的图形。
这多直接呀，就好比你在一堆糖果里找红色的那颗，一眼就能瞧见。
可别小瞧这方法，有时候简单直接最管用呢！再来说说第二种方法，就像是顺藤摸瓜。
我们找到一些规律，顺着这些规律去计数。
比如说一个图形是按规律排列的，那我们就跟着这个规律走，一个一个地数清楚。
这就好像你知道每天上学的路上会经过几个红绿灯，心里有数得很呐！第三种方法呢，有点像拼图游戏。
我们把复杂的图形拆分成几个简单的部分，分别去计数，然后再合起来。
哎呀呀，这就像把一个大拼图分成小块，数完了再拼回去，多有意思！还有第四种方法，像是走迷宫找出口。
我们通过一些巧妙的计算或者推理，找到计数的方法。
这可得动点小脑筋啦，就像你在迷宫里找路，得仔细琢磨琢磨呢！比如说那个三角形，一个大三角形里又有好多小三角形，你要是没点方法，那不得数得眼花缭乱呀！可要是用对了方法，就像找到了打开宝库的钥匙，一下子就清楚啦。
几何计数可不只是在纸上随便画画数数，它就像生活中的小智慧。
你想想，你收拾房间的时候，是不是得知道有多少东西要放呀；或者你去超市买东西，得清楚自己买了几种不同的商品吧。
几何计数也是一样，让我们更清楚地了解图形的奥秘。
所以啊，大家可别小看这几何计数的四种常用方法，它们就像是我们探索图形世界的秘密武器。
只要我们用心去学，去用，就能在这个图形的海洋里畅游无阻。
好好掌握它们吧，朋友们！让我们一起在几何的世界里玩得开心，数得精彩！。
第一讲几何中的计数问题
第一讲几何中的计数问题
我们先从最基本的线段开始数，线段与其它图形有密切的联系。
1、线段总数=基本线段数×（基本线段数+1）÷2
2、角的总数=基本角的个数×（基本角的个数+1）÷2
3、三角形的总数=基本三角形个数×（基本三角形个数+1）÷2
4、长方形的总数=长方向让的线段总数×宽方向上的线段总数
5、正方形的总数=M×M+（M－1）×（M－1）+（M－2）×（M－2）+…1×1 练习
1、数一数在图1中有多少条线段？
2、数一数在图2中共有多少条线段？有多少个三角形？
3、数一数在图3中有多少个锐角？
4、数一数在图4中有多少个锐角？
5、数一数在图5中有多少个三角形？
6、、数一数在图6中共有多少条线段？有多少个三角形？
7、数一数在图7中有多少个长方形？
8、数一数在图8中有多少个平行四边形？
9、数一数在图9中有多少个正方形？
10、数一数在图10中有多少个正方形？
11、数一数在图11中共有多少个正方形？
12、数一数在图12中共有多少条线段？有多少个三角形？
13、数一数在图13中共有多少条线段？有多少个三角形
14、数一数在图14中共有多少三角形？。
七年级数学竞赛 第28讲 几何计数
么完成这件事共有 m1m2…mn 种不同的方法。
问题解决：
例 1．如果依次用 a1，a2，a3，a4 分别表示图①，②，③，④中的三角形个数，那么 a1=3，a2=8，a3=15，
例 7．平面上有若干个点，其中任意三点都不在同一直线上，将这些点分成三组，并按下面的规则用线段连 接：
①在同组的任意两点都没有线段连接； ②不在同一组的任意两点间一定有线段连接。 （1）若平面上恰好有 9 个点，且平均分成三组，那么平面上有多少条线段? （2）若平而上恰好有 9 个点，且点数分成二、三、四组，那么平面上有多少条线段? （3）若平面上共有 192 条线段，那么平面上至少有多少个点?
以拼接成一个正方形，则这样的线段组的组数为
。
(全国初中数学联赛题)
6．如图的象棋盘中“卒”从 A 点走到 B 点，最短路径共有
条。
(河南省竞赛题)
B
A卒
7．如图所示的图形中共能数出（
A．64
B．63
C．60
）个长方形(正方形也算作长方形)。 D．48 (“五羊杯”竞赛题)
8．如图，连接边长为 1 的正方形各边的中点，连正方形的对角线，则图中共有（ ）
下面按斜边长分四类来进行计数：
2，2，2 2 ；
5 ， 5 ， 10 ；
（1）当斜边长为 2 时，斜边一定是小正方形的对角线，这样的线段有 12 条，每条这样的线段对应着
两个等腰直角三角形，共有 2×12=24(个)； （2）当斜边长为 2 时，图形中长为 2 的线段有 10 条，其中有 6 条在 2×3 矩形的四周上，每条这样的
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小学数学思维训练——几何图形计数（1）
一、线段计数
1、
（1）
A B C
（2）
A B C D E F
2、正方形边长是a,六个叠在一起组成的图形，周长是多少？如果100个这样的正方形叠在一起，周长是多少？
二、角的计数
1、下图中有多少个角？
2、下图中有多少个角？
A C
1 C
2
……
C
9
O B 3、下图中有多少个角？
三、三角形的计数
1、下图有多少个三角形？
2、下图有多少个三角形？
3、下图有多少线段？有多少三角形？
小学数学思维训练——几何图形计数（2）４、下图有多少线段，多少个三角形？（1）
５、下图有多少线段？有多少三角形？
６、下图有多少个三角形？
７、下图中有多少三角形？
８、下图中有多少三角形？
小学数学思维训练——几何图形计数（3）
四、长方形的计数
1、下图中有多少个长方形？
2
3、下图中有多少个长方形？
A
C
1
……
C
n-1
B D
1……D
m-1
C
4、下图中有多少长方形中含有长方形a?
5、下图中有多少个长方形？
6、下图中有多少个长方形？
7、下图中有多少个长方形？
小学数学思维训练——几何图形计数（4）
五、平行四边形的计数
1、下图中有多少平行四边形？
2、下图中有多少平行四边形？
３、下图中有多少平行四边形？
六、梯形的计数
1、下图中有多少梯形？
解答:60
2、下图中有多少梯形？
3、下图中有多少梯形？
解答：60
4
小学数学思维训练——几何图形计数（5）
七、正方形
1、数正方形
2、长6，宽5的网格里，有多少个正方形？
3、下图中有多少正方形？
4、下图中有多少个正方形？
5、下图中有多少个正方形？
6、 下图中有多少个正方形？
7、下图有多少个正方形？
8、下图中有多少正方形？解答：每个正方形中：42+32+22+12=30（个）30×5-5×4=130（个）
9、下图中有多少正方形？解答：
小学数学思维训练——几何图形计数 （6）
综合练习
１、下图中有多少三角形？
２、下图中有多少个三角形？。