MATLAB 线性规划
用MATLAB优化工具箱解线性规划

用MATLAB优化工具箱解线性规划线性规划是运筹学中的一个研究对象,它通常是以线性方程组的形式来描述数学模型,极大(或极小)化线性函数,同时满足一定的线性限制条件。
而MATLAB是一种十分流行的数学计算软件,其优化工具箱提供了一些功能强大的优化算法,可以用来解决一些复杂的优化问题,包括线性规划问题。
一、线性规划问题的定义线性规划问题的一般形式可以描述为:$min/max$ $c^Tx$$subject$ $to$:$Ax \le b$$x \ge 0$其中,$c^Tx$是一个线性函数,称为线性目标函数,$A$是一个$m\times n$的系数矩阵,$b$是一个$m\times1$的列向量,$x$是一个$n\times1$的列向量,是待求解的变量,我们称之为决策变量。
$x_j$表示变量$x$的第$j$个分量,$m$和$n$分别是限制条件数目和变量数目。
$Ax \le b$是一个线性等式系统,约束了$x$的取值范围,$x \ge0$要求$x$的分量非负,这被称为非负约束条件。
二、使用MATLAB函数求解线性规划问题MATLAB中的优化工具箱提供了一些函数,可以用来求解线性规划问题,其中最常用的函数是“linprog”。
linprog函数是求解线性规划问题的标准函数,在使用之前需要做一些准备工作:(1)确定目标函数和约束条件:目标函数和约束条件应该以线性方程组的形式表达。
(2)将方程组转换为标准形式:标准形式是指将约束条件转换为$Ax \le b$的形式,且决策变量的非负约束被包含在这个矩阵中。
(3)定义参数:包括目标函数和约束条件中的系数矩阵和向量。
(4)运行函数:使用linprog函数求解。
下面是linprog函数的语法格式:[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x 0,options)linprog函数的参数解释如下:(1)f:目标函数的系数向量。
Matlab求解线性规划和整数规划问题

Matlab求解线性规划和整数规划问题Matlab是一种强大的数值计算和科学计算软件,可以用于求解各种数学问题,包括线性规划和整数规划问题。
本文将详细介绍如何使用Matlab来求解线性规划和整数规划问题。
一、线性规划问题的求解线性规划是一种优化问题,旨在找到一组变量的最佳值,以使线性目标函数在一组线性约束条件下最大或者最小化。
下面以一个简单的线性规划问题为例来说明如何使用Matlab求解。
假设有以下线性规划问题:最大化目标函数:Z = 3x + 5y约束条件:2x + y ≤ 10x + 3y ≤ 15x, y ≥ 01. 创建线性规划模型在Matlab中,可以使用linprog函数来创建线性规划模型。
首先,定义目标函数的系数向量c和不等式约束条件的系数矩阵A以及不等式约束条件的右侧常数向量b。
c = [-3; -5];A = [2, 1; 1, 3];b = [10; 15];2. 求解线性规划问题然后,使用linprog函数求解线性规划问题。
该函数的输入参数为目标函数的系数向量c、不等式约束条件的系数矩阵A、不等式约束条件的右侧常数向量b以及变量的下界和上界。
lb = [0; 0];ub = [];[x, fval, exitflag] = linprog(c, A, b, [], [], lb, ub);其中,x是最优解向量,fval是最优解对应的目标函数值,exitflag是求解器的退出标志。
3. 结果分析最后,打印出最优解向量x和最优解对应的目标函数值fval。
disp('最优解向量x:');disp(x);disp('最优解对应的目标函数值fval:');disp(fval);二、整数规划问题的求解整数规划是一种优化问题,与线性规划类似,但是变量的取值限制为整数。
Matlab提供了intlinprog函数来求解整数规划问题。
下面以一个简单的整数规划问题为例来说明如何使用Matlab求解。
Matlab求解线性规划和整数规划问题

Matlab求解线性规划和整数规划问题线性规划是一种数学优化问题,通过线性函数的最大化或者最小化来实现目标函数的优化。
整数规划是线性规划的一种特殊情况,其中变量被限制为整数值。
在Matlab中,我们可以使用优化工具箱中的函数来求解线性规划和整数规划问题。
下面将详细介绍如何使用Matlab来求解这些问题。
1. 线性规划问题的求解首先,我们需要定义线性规划问题的目标函数、约束条件和变量范围。
然后,我们可以使用linprog函数来求解线性规划问题。
例如,考虑以下线性规划问题:目标函数:最大化 2x1 + 3x2约束条件:x1 + x2 <= 10x1 - x2 >= 2x1, x2 >= 0在Matlab中,可以按照以下步骤求解该线性规划问题:1. 定义目标函数的系数向量c和约束矩阵A,以及约束条件的右侧向量b。
c = [2; 3];A = [1, 1; -1, 1];b = [10; -2];2. 定义变量的上下界向量lb和ub。
lb = [0; 0];ub = [];3. 使用linprog函数求解线性规划问题。
[x, fval] = linprog(-c, A, b, [], [], lb, ub);运行以上代码后,可以得到最优解x和目标函数的最优值fval。
2. 整数规划问题的求解对于整数规划问题,我们可以使用intlinprog函数来求解。
与线性规划问题类似,我们需要定义整数规划问题的目标函数、约束条件和变量范围。
然后,使用intlinprog函数求解整数规划问题。
例如,考虑以下整数规划问题:目标函数:最小化 3x1 + 4x2约束条件:2x1 + 5x2 >= 10x1, x2为非负整数在Matlab中,可以按照以下步骤求解该整数规划问题:1. 定义目标函数的系数向量f和约束矩阵A,以及约束条件的右侧向量b。
f = [3; 4];A = [-2, -5];b = [-10];2. 定义变量的整数约束向量intcon。
MATLAB优化工具箱--线性规划-非线性规划

linprog输入参数说明: f, A, b, Aeq, beq lb,ub 边界设置 说明: 如果x(i)无边界,则 lb(i) = -inf, ub(i) = inf
6
linprog 输出参数说明: x 决策变量取值 fval 目标函数最优值
exitflag > 0 成功找到最优解 0 达到最大迭代次数也没有找到最优解 < 0 该线性规划问题不可行或者linprog计
10
fmincon函数求解形如下面的有约束非线性规 划模型
一般形式:
min f ( X ) s.t. AX b
Aeq X beq l X u c(X ) 0 ceq ( X ) 0
Matlab求解有约束非线性最小化 1.约束中可以有等式约束 2.可以含线性、非线性约束均可
数学实验
输入参数语法:
例子:某农场种植两种作物A、B,需要甲、乙两种化肥。种植 每亩作物A和作物B分别需用的化肥数,可得利润及农场现有化
肥数量如下表所示:
问在现有条件下,如何安排种植,才能使利润最大?
作物
每亩所需化肥 (百公斤)
现有化肥
AB (百公斤)
化肥
甲
23
100) 6 4
数学实验
例题建模
[x,fval,exitflag,output,lambda]=fmincon(fun,x0,...)
数学实验
输入参数的几点说明
模型中如果没有A,b,Aeq,beq,lb,ub的限制,则以空矩阵[ ]作为 参数传入; nonlcon:如果包含非线性等式或不等式约束,则将这些函数
编写为一个Matlab函数, nonlcon就是定义这些函数的程序文件名;
3
运用Matlab进行线性规划求解

线性规划线性规划是处理线性目标函数和线性约束的一种较为成熟的方法,目前已经广泛应用于军事、经济、工业、农业、教育、商业和社会科学等许多方面。
8.2.1 基本数学原理线性规划问题的标准形式是:⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥=+++=+++=++++++=0,,,min 21221122222121112121112211n m n mn m m n n n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a x c x c x c z ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥===∑∑==n j x m i b x a x c z j n j i j ij n j jj ,,2,1,0,,2,1,min 11ΛΛ写成矩阵形式为:⎪⎩⎪⎨⎧≥==O X b AX CX z min线性规划的标准形式要求使目标函数最小化,约束条件取等式,变量b 非负。
不符合这几个条件的线性模型可以转化成标准形式。
MATLAB 采用投影法求解线性规划问题,该方法是单纯形法的变种。
8.2.2 有关函数介绍在MATLAB 工具箱中,可用linprog 函数求解线性规划问题。
linprog 函数的调用格式如下:●x=linprog(f,A,b):求解问题minf'*x ,约束条件为A*x<=b 。
●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq):求解上面的问题,但增加等式约束,即Aeq*x=beq 。
若没有不等式约束,则令A=[ ],b=[ ]。
●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub):定义设计x 的下界lb 和上界ub ,使得x 始终在该范围内。
若没有等式约束,令Aeq=[ ],beq=[ ]。
●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0):设置初值为x0。
该选项只适用于中型问题,默认时大型算法将忽略初值。
matlab线性规划

matlab线性规划线性规划(Linear Programming)是运筹学中的一种优化问题,指的是在一定的约束条件下,寻找一个线性函数的最优值。
该方法被广泛运用于经济学、管理学、工程学等各个领域。
在MATLAB中,我们可以使用线性规划工具箱来进行线性规划问题的求解。
在MATLAB中,线性规划问题可以通过函数linprog来求解。
linprog函数的一般形式如下:x = linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub)其中f是目标函数的系数矩阵,A和b是约束条件Ax ≤ b的系数矩阵和右侧向量,Aeq和beq是等式约束条件Aeqx = beq的系数矩阵和右侧向量,lb和ub是变量的下界和上界向量。
解x是一个n维向量,即最优解。
下面举一个简单的例子来说明如何使用MATLAB求解线性规划问题:假设我们有如下线性规划问题:最大化目标函数 f = [3, 4] * x约束条件为:A = [1, 1; 2, 1; -1, 2]b = [5; 8; 2]lb = [0; 0]ub = []我们可以使用linprog函数来求解:f = [-3, -4]; % 目标函数系数矩阵A = [1, 1; 2, 1; -1, 2]; % 不等式约束条件系数矩阵b = [5; 8; 2]; % 不等式约束条件右侧向量lb = [0; 0]; % 变量的下界向量ub = []; % 变量的上界向量x = linprog(f, A, b, [], [], lb, ub)最终得到的解x为[2; 3],即最优解为x1 = 2,x2 = 3,最优值为f(x) = 17。
通过MATLAB的线性规划工具箱,我们可以方便地求解各种线性规划问题。
无论是简单的二维问题还是更加复杂的高维问题,都可以通过MATLAB轻松求解。
matlab求解线性规划

matlab求解线性规划MATLAB是一个强大的工具,可以用于求解线性规划问题。
线性规划是一种最优化问题,目标是在满足一系列线性约束条件下,找到一个使目标函数取得最大或最小值的解。
在MATLAB中,可以使用线性规划工具箱来求解线性规划问题。
线性规划工具箱提供了一些函数,如linprog,intlinprog和quadprog,这些函数可以用于求解线性规划问题。
解线性规划问题的一般步骤如下:1. 定义目标函数。
目标函数是要优化的函数,可以是线性函数。
例如,如果我们要最小化一个函数f(x)=c1x1+c2x2+...+cnxn,则可以将目标函数表示为向量c=[c1,c2,...,cn]的内积与向量x=[x1,x2,...,xn]。
2. 定义约束条件。
约束条件是对决策变量的限制条件。
一般情况下,约束条件可以表示为Ax<=b,其中A是一个矩阵,x是决策变量向量,b是一个向量。
例如,如果我们有两个约束条件2x1+x2<=10和x1+3x2<=12,则可以将约束条件表示为矩阵A=[2,1;1,3]和向量b=[10;12]。
3. 调用线性规划函数。
在MATLAB中,可以使用linprog函数来求解线性规划问题。
linprog函数有几个输入参数,包括目标函数系数向量c,约束条件矩阵A和向量b,以及可选参数lb和ub。
参数lb和ub是可选参数,用于指定决策变量的下界和上界。
例如,要求解上述线性规划问题,可以调用linprog函数如下:x = linprog(c, A, b)函数linprog返回一个向量x,其中包含目标函数取得最小值时的决策变量的取值。
4. 分析结果。
一旦线性规划问题被求解,我们可以通过检查目标函数的值和决策变量的取值来分析结果。
例如,目标函数的值就是目标函数取得最小值时的值,其中决策变量的取值可以用x变量表示。
总结而言,MATLAB是一个功能强大的工具,可以用于求解线性规划问题。
matlab学习笔记之求解线性规划问题和二次型问题

matlab学习笔记之求解线性规划问题和⼆次型问题⼀、线性规划问题 已知⽬标函数和约束条件均为线性函数,求⽬标函数的最⼩值(最优值)问题。
1.求解⽅式:⽤linprog函数求解2.linprog函数使⽤形式: x=linprog(f,A,b) x=linprog(f,A,b,Aeq,beq) x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) [x,fval]=linprog(…) [x, fval, exitflag]=linprog(…) [x, fval, exitflag, output]=linprog(…) [x, fval, exitflag, output, lambda]=linprog(…)3.介绍⼀种最常⽤的: [x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,Aep,beq,lb,ub);其中,f是⽬标函数系数矩阵;A和b是不等式约束条件的参数;Aeq和beq是等式约束条件的参数;lb和ub为x取值的取值范围。
lambda.ineqlin—不等式约束A,b lambda.eqlin—等式约束Aep,bep lambda.upper—上界条件ub lambda.lower—下界条件lb4.实例:⽬标函数:f(x) = –5x1 – 4x2 –6x3,约束条件: x1 – x2 + x3 ≤ 20 3x1 + 2x2 + 4x3 ≤ 42 3x1 + 2x2 ≤ 30 0 ≤ x1, 0 ≤ x2, 0 ≤ x3Matlab程序:>> f = [-5; -4; -6]; A = [1 -11; 324; 320]; b = [20; 42; 30]; lb = zeros(3,1);>> [x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,[],[],lb);>> xx =0.000015.00003.0000>> fvalfval =-78.0000⼆、⼆次型规划问题 理解完线性规划问题再来学习⼆次型规划问题就简单得多了,可以相似类⽐。
Matlab求解线性规划和整数规划问题

Matlab求解线性规划和整数规划问题线性规划(Linear Programming)是一种优化问题的数学建模方法,用于求解线性约束条件下的最优解。
整数规划(Integer Programming)是线性规划的一种扩展形式,要求变量取整数值。
在Matlab中,可以使用优化工具箱中的函数来求解线性规划和整数规划问题。
以下将详细介绍如何使用Matlab进行线性规划和整数规划的求解。
1. 线性规划问题的求解步骤:a. 定义目标函数:首先,需要定义线性规划问题的目标函数。
目标函数可以是最小化或者最大化某个线性表达式。
b. 定义约束条件:其次,需要定义线性规划问题的约束条件。
约束条件可以是等式或者不等式形式的线性表达式。
c. 构建模型:将目标函数和约束条件组合成一个线性规划模型。
d. 求解模型:使用Matlab中的优化工具箱函数,如linprog,对线性规划模型进行求解。
e. 分析结果:分析求解结果,包括最优解和对应的目标函数值。
2. 整数规划问题的求解步骤:a. 定义目标函数和约束条件:与线性规划问题类似,首先需要定义整数规划问题的目标函数和约束条件。
b. 构建模型:将目标函数和约束条件组合成一个整数规划模型。
c. 求解模型:使用Matlab中的优化工具箱函数,如intlinprog,对整数规划模型进行求解。
d. 分析结果:分析求解结果,包括最优解和对应的目标函数值。
下面以一个具体的例子来说明如何使用Matlab求解线性规划和整数规划问题。
例子:假设有一家工厂生产两种产品A和B,每天的生产时间为8小时。
产品A每单位利润为100元,产品B每单位利润为200元。
生产一个单位的产品A需要2小时,生产一个单位的产品B需要4小时。
工厂的生产能力限制为每天最多生产10个单位的产品A和8个单位的产品B。
求解如何安排生产,使得利润最大化。
1. 定义目标函数和约束条件:目标函数:maximize 100A + 200B约束条件:2A + 4B <= 8A <= 10B <= 8A, B >= 02. 构建模型:目标函数可以表示为:f = [-100; -200],即最大化-f的线性表达式。
Matlab求解线性规划和整数规划问题

Matlab求解线性规划和整数规划问题引言概述:Matlab是一种功能强大的数学软件,可以用于求解各种数学问题,包括线性规划和整数规划问题。
本文将介绍如何使用Matlab求解这两类问题,并分析其优点和适用范围。
正文内容:1. 线性规划问题1.1 线性规划问题的定义线性规划问题是指在一定的约束条件下,通过线性目标函数求解最优解的问题。
其数学模型可以表示为:max/min f(x) = c^T * xs.t. Ax <= bx >= 0其中,c是目标函数的系数向量,x是决策变量向量,A是约束条件的系数矩阵,b是约束条件的右侧向量。
1.2 Matlab中的线性规划求解函数Matlab提供了linprog函数来求解线性规划问题。
该函数可以通过设定目标函数系数向量c、约束条件的系数矩阵A和右侧向量b,以及决策变量的上下界,来求解线性规划问题的最优解。
1.3 线性规划问题的应用线性规划问题在实际应用中非常广泛,例如生产计划、资源分配、运输问题等。
通过Matlab求解线性规划问题,可以高效地得到最优解,为实际问题的决策提供科学依据。
2. 整数规划问题2.1 整数规划问题的定义整数规划问题是指在线性规划问题的基础上,决策变量的取值限制为整数。
其数学模型可以表示为:max/min f(x) = c^T * xs.t. Ax <= bx >= 0x为整数其中,c、A、b的定义与线性规划问题相同,x为整数。
2.2 Matlab中的整数规划求解函数Matlab提供了intlinprog函数来求解整数规划问题。
该函数可以通过设定目标函数系数向量c、约束条件的系数矩阵A和右侧向量b,以及决策变量的上下界和整数约束条件,来求解整数规划问题的最优解。
2.3 整数规划问题的应用整数规划问题在实际应用中常见,例如生产调度、投资决策、路径规划等。
通过Matlab求解整数规划问题,可以考虑到决策变量的整数性质,得到更为实际可行的解决方案。
Matlab求解线性规划和整数规划问题

Matlab求解线性规划和整数规划问题标题:Matlab求解线性规划和整数规划问题引言概述:线性规划和整数规划是数学中常见的优化问题,通过Matlab可以方便地求解这些问题。
本文将介绍如何使用Matlab求解线性规划和整数规划问题,包括问题的建模、求解方法和实际操作步骤。
一、线性规划问题的建模和求解1.1 确定优化目标:线性规划问题的目标是最大化或者最小化一个线性函数,通常表示为目标函数。
1.2 约束条件建模:线性规划问题还需要满足一系列线性约束条件,这些约束条件可以通过不等式或者等式表示。
1.3 使用Matlab求解:在Matlab中,可以使用linprog函数来求解线性规划问题,将目标函数和约束条件输入函数即可得到最优解。
二、整数规划问题的建模和求解2.1 确定整数规划问题:整数规划是线性规划的一个扩展,其中变量需要取整数值。
2.2 整数规划建模:整数规划问题可以通过将变量限制为整数来建模,通常使用0-1整数变量表示。
2.3 使用Matlab求解:Matlab中提供了intlinprog函数来求解整数规划问题,输入目标函数、约束条件和整数变量的取值范围即可得到最优解。
三、线性规划和整数规划问题的实际操作步骤3.1 准备数据:首先需要准备问题的数据,包括目标函数系数、约束条件系数和整数变量范围。
3.2 建立模型:将数据输入Matlab中的相应函数,建立线性规划或者整数规划模型。
3.3 求解问题:调用Matlab函数求解问题,得到最优解和最优值。
四、Matlab求解线性规划和整数规划问题的优势4.1 高效性:Matlab提供了高效的优化算法,能够快速求解复杂的线性规划和整数规划问题。
4.2 灵便性:Matlab支持多种约束条件和整数变量类型,可以灵便应对不同类型的优化问题。
4.3 可视化:Matlab还可以将优化结果可视化展示,匡助用户更直观地理解问题和解决方案。
五、总结通过本文的介绍,我们了解了如何使用Matlab求解线性规划和整数规划问题,包括建模方法、求解步骤和优势。
Matlab求解线性规划和整数规划问题

Matlab求解线性规划和整数规划问题Matlab是一种强大的数值计算软件,可以用于求解线性规划和整数规划问题。
在本文中,我将详细介绍如何使用Matlab来解决这两类问题。
1. 线性规划问题的求解步骤:(1) 定义决策变量:根据实际问题,定义需要求解的决策变量,并给出变量的取值范围。
(2) 建立目标函数:根据问题的要求,建立线性规划的目标函数,并确定是最大化还是最小化。
(3) 设置约束条件:根据问题的约束条件,建立线性规划的约束条件,并将其转化为线性等式或者不等式。
(4) 求解线性规划问题:使用Matlab中的线性规划求解函数linprog来求解线性规划问题。
该函数的基本用法为:[x, fval, exitflag, output] = linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub)其中,f为目标函数的系数向量,A和b分别为不等式约束条件的系数矩阵和右侧向量,Aeq和beq分别为等式约束条件的系数矩阵和右侧向量,lb和ub分别为决策变量的下界和上界。
(5) 分析结果:根据求解结果,分析最优解的取值以及对应的目标函数值,判断是否满足问题的要求。
2. 整数规划问题的求解步骤:(1) 定义决策变量:根据实际问题,定义需要求解的整数决策变量,并给出变量的取值范围。
(2) 建立目标函数:根据问题的要求,建立整数规划的目标函数,并确定是最大化还是最小化。
(3) 设置约束条件:根据问题的约束条件,建立整数规划的约束条件,并将其转化为线性等式或者不等式。
(4) 求解整数规划问题:使用Matlab中的整数规划求解函数intlinprog来求解整数规划问题。
该函数的基本用法为:[x, fval, exitflag, output] = intlinprog(f, intcon, A, b, Aeq, beq, lb, ub)其中,f为目标函数的系数向量,intcon为整数决策变量的索引向量,A和b分别为不等式约束条件的系数矩阵和右侧向量,Aeq和beq分别为等式约束条件的系数矩阵和右侧向量,lb和ub分别为决策变量的下界和上界。
MATLAB求解线性规划(含整数规划和01规划)问题

MATLAB 求解线性规划(含整数规划和0-1规划)问题线性规划是数学规划中的一类最简单规划问题,常见的线性规划是一个有约束的,变量范围为有理数的线性规划。
如:max 712z x y =+9430045200s.t 310300,0x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩对于这类线性规划问题,数学理论已经较为完善,可以有多种方法求解此类问题。
但写这篇文章的目的并不是为了介绍数学理论,我们这里主要讲解如果利用工具求解这一类线性规划问题。
最著名,同时也是最强大的数学最优化软件是LINGO/LINDO 软件包,它能够求解多种的数学规划问题,同时还提供了多种的分析能力。
但LINGO 软件并不容易上手,同时,应用LINGO 的场合一般是大规模的线性规划问题,小小的线性规划完全可以不使用它。
一个更受科研人员欢迎的数学软件是MATLAB ,它以功能强大而称著,并有数学软件中的“航空母舰”之称。
我们这里就是要学习使用MATLAB 软件求解线性规划(含整数规划和0-1规划)问题。
为了使得不熟悉MATLAB 的人员也能够使用MATLAB 进行线性规划问题求解,本文将对MATALB 中使用到的函数和过程以及结果进行详细的分析,最后会对每一个问题都给出一个可以完全“套用”的MATLAB 程序。
我们首先从上面的线性规划问题开始,为了便于表达,将上面的式子写成矩阵形式:max 712z x y =+9430045200s.t 310300,0x y x y ⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪∙≤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪≥⎩于是约束就表达为了一个Ax b ≤不等式。
求解MATLAB 线性规划时,最常用的函数是linprog 函数,下面来介绍一下这个函数的使用。
打开MATLAB 帮助文档(PS:帮助文档的内容是最全的,只要你的英文过了专业8级),可以看到linprog 函数求解的是具有如下标准形式的线性规划:min .Tx f x A X b s t Aeq X beq lb x ub ≤⎧⎪=⎨⎪≤≤⎩公式中各符号的意义是自明的,在这里简单介绍下,首先MATLAB 中求解的是目标函数是最小值的问题,但如果我们的目标函数是求最大值,可以通过对目标函数中每一项中乘以-1,将求最大值问题转化为求最小值问题;A ,b 分别为不等式约束中的系数矩阵。
Matlab求解线性规划和整数规划问题
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Matlab求解线性规划和整数规划问题线性规划和整数规划是数学规划中的两个重要分支,广泛应用于运筹学、经济学、工程学等领域。
Matlab作为一种功能强大的数值计算软件,提供了丰富的工具箱和函数,可以方便地求解线性规划和整数规划问题。
一、线性规划问题的求解线性规划问题是在一组线性约束条件下,求解线性目标函数的最优值的问题。
通常可以表示为如下形式的标准线性规划问题:Maximize (or Minimize) Z = c'xSubject to: Ax ≤ bx ≥ 0其中,c是长度为n的目标函数系数向量,x是长度为n的决策变量向量,A是m×n的系数矩阵,b是长度为m的约束条件向量。
在Matlab中,可以使用线性规划工具箱(Linear Programming Toolbox)中的函数linprog来求解线性规划问题。
linprog函数的基本语法如下:[x, fval, exitflag, output, lambda] = linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0, options)其中,c是目标函数系数向量,A和b是不等式约束条件的系数矩阵和约束条件向量,Aeq和beq是等式约束条件的系数矩阵和约束条件向量,lb和ub是决策变量的下界和上界,x0是初始解向量,options是求解选项。
linprog函数的输出结果包括最优解x、最优目标函数值fval、退出标志exitflag、输出信息output和拉格朗日乘子lambda。
二、整数规划问题的求解整数规划问题是在线性规划问题的基础上,要求决策变量取整数值的问题。
通常可以表示为如下形式的标准整数规划问题:Maximize (or Minimize) Z = c'xSubjec t to: Ax ≤ bx ≥ 0x为整数在Matlab中,可以使用整数规划工具箱(Integer Programming Toolbox)中的函数intlinprog来求解整数规划问题。
线性规划matlab

线性规划matlab线性规划(Linear Programming,简称LP)是运筹学中研究有效的优化问题求解方法的一种方法。
它是从三个方向来确定问题的求解结果,即目标函数、约束条件、决策变量。
Matlab是一种高效的数值计算和科学工程软件,非常适用于解决线性规划问题。
在Matlab中,可以使用专门的优化工具箱来解决线性规划问题。
这个工具箱提供了许多优化算法和函数,可以帮助用户快速求解线性规划问题。
使用Matlab解决线性规划问题一般分为以下几个步骤:1. 定义目标函数和约束条件。
首先需要根据具体问题确定一个目标函数,以及一些约束条件。
例如,目标函数可能是最大化或最小化某个线性函数,约束条件可能是一些线性等式或不等式。
2. 构建线性规划模型。
使用Matlab中的优化工具箱,可以使用线性规划函数来构建线性规划模型。
这个函数通常需要传入目标函数和约束条件的相关参数。
3. 求解线性规划问题。
通过调用求解函数,可以得到线性规划问题的求解结果。
这个函数通常返回一个优化器对象,该对象包含求解结果,包括最优解和最优值。
4. 分析和优化。
根据求解结果,可以进行一些分析和优化操作。
例如,可以检查问题是否有可行解,可以对解的特征进行分析,可以尝试调整参数以进一步优化求解结果。
Matlab提供了丰富的功能来支持线性规划问题的求解。
它的优点包括直观的语法和界面,强大的求解能力,以及丰富的可视化和分析工具。
同时,Matlab也有一些限制,例如对大规模问题的处理可能会有一些限制。
在使用Matlab解决线性规划问题时,需要根据具体情况进行权衡和选择。
总之,Matlab是一个很好的工具,可以方便地解决线性规划问题。
通过合理使用Matlab的优化工具箱,可以高效地求解线性规划问题,并得到最优的求解结果。
数学建模讲座之三-用MATLAB求解线性规划linprog函数
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线性规划的求解方法
01
线性规划的求解方法有 多种,包括图解法、单 纯形法、对偶法等。
02
运输问题
总结词
运输问题是一个经典的线性规划应用案例,旨在通过合理安排运输路线和车辆配 置,降低运输成本并提高运输效率。
详细描述
在运输问题中,企业需要考虑货物的运输路线、车辆配置、运输时间等多个因素 ,以最小化运输成本并最大化运输效率。通过建立线性规划模型,可以找到最优 的运输方案,使得企业在满足客户需求的同时获得最大的利润。
02
fval
目标函数的最小值
03
04
exitflag
退出标志,表示求解是否成功 ,0表示成功,其他值表示失
败
output
输出信息,包括迭代次数、最 优解等信息
03
使用linprog函数求解线 性规划问题
建立线性规划问题
确定决策变量
首先需要确定问题的决策 变量,即需要优化的变量。
确定目标函数
根据问题需求,确定目标 函数,即需要最大化或最 小化的函数。
05
总结与展望
线性规划的重要性和应用领域
线性规划是一种优化技术,通 过合理分配有限资源达到最优 目标。它在生产计划、物流管 理、金融投资等领域有广泛应
用。
在生产计划中,线性规划可用 于确定最优的生产组合,以最
小化成本或最大化利润。
在物流管理中,线性规划可用 于货物运输和配送路线优化, 降低运输成本和提高效率。
如何在Matlab中进行线性规划问题求解

如何在Matlab中进行线性规划问题求解线性规划(Linear Programming,LP)是数学规划的一个重要分支,其能够高效地解决许多实际问题。
在工业、运输、金融等领域中,线性规划的应用十分广泛。
而Matlab作为一种功能强大的数学软件,也提供了许多工具和函数用于线性规划问题的求解。
本文将介绍在Matlab中进行线性规划问题求解的基本步骤和常用函数。
一、线性规划概述线性规划是一种寻找线性目标函数在线性约束条件下的最优解的方法。
通常情况下,线性规划问题可以表示为:max/min z = c^T * xsubject to A * x <= bx >=0其中,c和x是n维向量,A是m×n的矩阵,b是m维向量。
目标是求解向量x的取值,使得目标函数c^T * x在满足约束条件A * x <= b和x >=0的前提下,取得最大(或最小)值z。
二、Matlab中线性规划求解函数Matlab中提供了多个函数用于线性规划问题的求解,其中最常用的是“linprog”函数。
linprog函数的基本语法如下所示:[x, fval, exitflag, output] = linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub, options)其中,参数f是目标函数的系数向量,A和b是不等式约束的矩阵和右侧向量,Aeq和beq是等式约束的矩阵和右侧向量,lb和ub分别是变量的下界和上界向量,options是优化选项。
三、解决实际问题的例子假设有一家电子公司,为了提高利润,决定如何分配生产资源。
公司生产三种产品A、B、C,每种产品所需的生产时间分别为5小时、10小时和15小时。
已知公司每周的生产时间为80小时,每单位产品的利润分别为5、8和10。
现在问题是如何分配生产时间,使得总利润最大化。
首先,我们需要确定目标函数和约束条件。
根据题意,我们可以将目标函数设置为z = 5*x(1) + 8*x(2) + 10*x(3),其中x(1)、x(2)和x(3)分别表示产品A、B、C的生产数量。
用MATLAB求解线性规划
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模型 1 固定风险水平,优化收益
目标函数: 约束条件:
n 1
Q=MAX (ri pi )xi
i 1
qi xi ≤a
M
(1 p )x M , ii
xi≥ 0
i=0,1,…n
b.若投资者希望总盈利至少达到水平 k 以上,在风险最小的 情况下寻找相应的投资组合。
模型 2 固定盈利水平,极小化风险
从 a=0 开始,以步长△a=0.001对下列组合投资模型求解, 并绘图表示 a 与目 标函数最优值 Q 的对应关系:
max s.t.
Q = (-0.05, -0.27, -0.19, -0.185, -0.185) (x0,x1,x2,x3,x4) T
x0 + 1.01x1 + 1.02x2 +1.045x3 +1.065x4 =1
目标函数: R= min{max{ qixi}} 约束条件:
n
(r i
p )x
i
i
≥k,
i0
(1 pi )xi M , xi≥ 0
i=0,1,…n
c.投资者在权衡资产风险和预期收益两方面时,希望选择 一个令自己满意的投资组合。
因此对风险、收益赋予权重 s(0<s≤1),s 称为投资偏好 系数.
2.当投资越分散时,投资者承担的风险越小,这与题意一致。即: 冒险的投资者会出现集中投资的情况,保守的投资者则尽量分散投资。
3.曲线上的任一点都表示该风险水平的最大可能收益和该收益要求的最 小风险。对于不同风险的承受能力,选择该风险水平下的最优投资组合。
4.在a=0.006附近有一个转折点,在这一点左边,风险增加很少时,利润增长
符号规定:
Si
10.应用MATLAB软件求解线性规划

1 1
x1, x2 0
min S x1 x2
(5)
s.t. x1x13xx22
2 1题
max
min
m
ai1xi ,
m
ai2 xi ,L
,
m
ain xi
i 1
i 1
i 1
s.t.
x1 xi
x2 0,
L xm i 1, 2,L
1 ,m
5.如果x(1),x(2), ,x(k)都是线性规划问题(LP):
max S cx, Ax b, x o
的可行解,则它们的任意凸组合也是(LP)的可行解;如果x(1),x(2),
(2)
s.t
x1 2 x1
x2 2 x2
x3 x3
10 20
x1, x2 , x3 0
max S 14x1 13x2 6x3
2x1 4x2 x3 60
应用MATLAB软件求解 线性规划
• MATLAB(MATrix LABoratory)的基本含义是矩阵实验室 ,它是由美国MathWorks公司研制开发的一套高性能的集数 值计算、信息处理、图形显示等于一体的可视化数学工具软 件。它是建立在向量、数组和矩阵基础之上的,除了基本的 数值计算、数据处理、图形显示等功能之外,还包含功能强 大的多个“工具箱”,如优化工具箱(optimization toolbox) 、统计工具箱、样条函数工具箱和数据拟合工具箱等都是优 化计算的有力工具。在这里仅介绍用MATLAB6.5优化工具箱 求解线性规划问题。
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函数,故被称为线性规划问题。
总之,线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下,求一线性目标函数最大或最
小的问题。
在解决实际问题时,把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步,但往往
也是困难的一步,模型建立得是否恰当,直接影响到求解。而选适当的决策变量,是我
xi
| , vi
=
|
xi
| −xi 2
就可以满足上面的条件。
这样,记 u = [u1 L un ]T , v = [v1 L vn ]T ,从而我们可以把上面的问题
变成
n
∑ min (ui + vi ) i =1
⎧A(u − v) ≤ b s. t. ⎩⎨u, v ≥ 0
例5
min{max
xi
yi
|εi
max z = 2x1 + 3x2 − 5x3
s.t. x1 + x2 + x3 = 7
2x1 − 5x2 + x3 ≥ 10
x1 + 3x2 + x3 ≤ 12
x1, x2 , x3 ≥ 0
-3-
解 (i)编写 M 文件 c=[2;3;-5]; a=[-2,5,-1;1,3,1]; b=[-10;12]; aeq=[1,1,1]; beq=7; x=linprog(-c,a,b,aeq,beq,zeros(3,1)) value=c'*x
(1)可行域 R 可能会出现多种情况。R 可能是空集也可能是非空集合,当 R 非空 时,它必定是若干个半平面的交集(除非遇到空间维数的退化)。R 既可能是有界区域,
也可能是无界区域。
(2)在 R 非空时,线性规划既可以存在有限最优解,也可以不存在有限最优解(其
目标函数值无界)。
-2-
(3)若线性规划存在有限最优解,则必可找到具有最优目标函数值的可行域 R 的
(ii)将M文件存盘,并命名为example1.m。 (iii)在Matlab指令窗运行example1即可得所求结果。 例3 求解线性规划问题
min z = 2x1 + 3x2 + x3
⎪⎨⎧3x1x1++42xx2 2+≥26x3 ≥ 8 ⎪⎩x1, x2 , x3 ≥ 0
解 编写Matlab程序如下:
|}
其中 ε i = xi − yi 。
对于这个问题,如果我们取
x0
=
max yi
|εi
| ,这样,上面的问题就变换成
-4-
min x0
s. t. x1 − y1 ≤ x0 ,L, xn − yn ≤ x0
此即我们通常的线性规划问题。
§2 运输问题(产销平衡)
例 6 某商品有 m 个产地、 n 个销地,各产地的产量分别为 a1,L, am ,各销地的 需求量分别为 b1,L, bn 。若该商品由 i 产地运到 j 销地的单位运价为 cij ,问应该如何调
1,其余元素均为 0;可以用1,L, n 中的一个置换表示。
问题中的变量只能取 0 或 1,从而是一个 0-1 规划问题。一般的 0-1 规划问题求解 极为困难。但指派问题并不难解,其约束方程组的系数矩阵十分特殊(被称为全单位模
矩阵,其各阶非零子式均为 ± 1),其非负可行解的分量只能取 0 或 1,故约束 xij = 0或1
十分直观。为此,我们将采用另一途径来定义它。
定义 1 称 n 维空间中的区域 R 为一凸集,若 ∀x1, x2 ∈ R 及 ∀λ ∈ (0,1) ,有
λx1 + (1 − λ)x2 ∈ R 。
定义 2 设 R 为 n 维空间中的一个凸集, R 中的点 x 被称为 R 的一个极点,若不
存在 x1、x2 ∈ R 及 λ ∈ (0,1) ,使得 x = λx1 + (1 − λ)x2 。
问题的系数矩阵。
引入变量 xij ,若分配 i 干 j 工作,则取 xij = 1,否则取 xij = 0 。上述指派问题的
数学模型为
nn
∑ ∑ min
cij xij
i =1 j =1
n
∑ s.t.
xij = 1
j =1
-5-
n
∑ xij = 1
i =1
xij = 0 或1
上述指派问题的可行解可以用一个矩阵表示,其每行每列均有且只有一个元素为
一元素都加上或减去同一个数,得到一个新矩阵 B = (bij ) ,则以 C 或 B 为系数矩阵的
指派问题具有相同的最优指派。
例 8 求解指派问题,其系数矩阵为
⎡16 15 19 22⎤ C = ⎢⎢17 21 19 18⎥⎥
定义 1 说明凸集中任意两点的连线必在此凸集中;而定义 2 说明,若 x 是凸集 R 的一个极点,则 x 不能位于 R 中任意两点的连线上。不难证明,多胞形必为凸集。同 样也不难证明,二维空间中可行域 R 的顶点均为 R 的极点( R 也没有其它的极点)。
1.5 求解线性规划的 Matlab 解法 单纯形法是求解线性规划问题的最常用、最有效的算法之一。这里我们就不介绍
一般线性规划问题的(数学)标准型为
n
∑ max z = c j x j
(3)
j =1
∑ ⎧
⎪
n
aij x j = bi
i = 1,2,L, m
s.t. ⎨ j=1
(4)
⎪⎩x j ≥ 0 j = 1,2,L, n
可行解 满足约束条件(4)的解 x = ( x1, x2,L, xn ) ,称为线性规划问题的可行解,
康托洛维奇和希奇柯克两人独立地提出,简称康—希表上作业法)。
§3 指派问题 3.1 指派问题的数学模型
例 7 拟分配 n 人去干 n 项工作,每人干且仅干一项工作,若分配第 i 人去干第 j
项工作,需花费 cij 单位时间,问应如何分配工作才能使工人花费的总时间最少?
容易看出,要给出一个指派问题的实例,只需给出矩阵 C = (cij ) , C 被称为指派
们建立有效模型的关键之一。
1.2 线性规划的 Matlab 标准形式
线性规划的目标函数可以是求最大值,也可以是求最小值,约束条件的不等号可以
是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便,Matlab 中规定线性
规划的标准形式为
min cT x x
⎧Ax ≤ b
s.t.
⎪ ⎨
Aeq
⋅
x
=
beq
⎪⎩lb ≤ x ≤ ub
其中 c 和 x 为 n 维列向量, A 、 Aeq 为适当维数的矩阵, b 、 beq 为适当维数的列向
量。
-1-
例如线性规划
max cT x s.t. Ax ≥ b x
的 Matlab 标准型为
min − cT x s.t. − Ax ≤ −b x
1.3 线性规划问题的解的概念
s. t. Ax ≤ b
其中 x = [x1 L xn ]T , A 和 b 为相应维数的矩阵和向量。
要把上面的问题变换成线性规划问题,只要注意到事实:对任意的 xi ,存在
ui , vi > 0 满足
xi = ui − vi , | xi |= ui + vi
事实上,我们只要取 ui
=
xi + | 2
“顶点”。
上述论断可以推广到一般的线性规划问题,区别只在于空间的维数。在一般的 n 维
n
∑ 空间中,满足一线性等式 ai xi = b 的点集被称为一个超平面,而满足一线性不等式
i =1
n
n
∑ ∑ ai xi ≤ b(或 ai xi ≥ b )的点集被称为一个半空间(其中 (a1,L, an ) 为一 n 维行
单纯形法,有兴趣的读者可以参看其它线性规划书籍。下面我们介绍线性规划的 Matlab 解法。
Matlab 中线性规划的标准型为
min cT x x
⎧Ax ≤ b
s.t.
⎪ ⎨
Aeq
⋅
x
=
beq
⎪⎩lb ≤ x ≤ ub
基本函数形式为 linprog(c,A,b),它的返回值是向量 x为 xij ≥ 0 而不改变其解。此时,指派问题被转化为一个特殊的运输问题,其中
m = n , ai = bj = 1 。
3.2 求解指派问题的匈牙利算法 由于指派问题的特殊性,又存在着由匈牙利数学家 Konig 提出的更为简便的解法
—匈牙利算法。算法主要依据以下事实:如果系数矩阵 C = (cij ) 一行(或一列)中每
几台,才能使总利润最大?
上述问题的数学模型:设该厂生产 x1 台甲机床和 x2 乙机床时总利润最大,则 x1, x2
应满足
(目标函数) max z = 4x1 + 3x2
(1)
⎧2x1 + x2 ≤ 10
s.t.(约束条件)
⎪⎪ ⎨ ⎪
x1 x2
+ ≤
x2 7
≤
8
⎪⎩x1, x2 ≥ 0
(2)
这里变量 x1, x2 称之为决策变量,(1)式被称为问题的目标函数,(2)中的几个不等式
c=[2;3;1];
a=[1,4,2;3,2,0];
b=[8;6];
[x,y]=linprog(c,-a,-b,[],[],zeros(3,1))
1.6 可以转化为线性规划的问题
很多看起来不是线性规划的问题也可以通过变换变成线性规划的问题来解决。如:
例4 规划问题为
min | x1 | + | x2 | +L+ | xn |