曲面的切平面与法线

空间曲面的切平面与法线方程

空间曲面的切平面与法线方程空间曲面的切平面与法线方程是三维几何中的重要概念，它们能够帮助我们更好地理解和描述图形。

本文将从生动、全面、有指导意义的角度介绍这一主题。

首先，我们来探讨空间曲面的切平面。

切平面可以理解为平面与曲面相切于某一点，并且与曲面在该点处具有共同的切线。

切平面通常用一个方程来表示。

设曲面的方程为F(x, y, z) = 0，切平面经过某一点(x0, y0, z0)。

为了求解切平面方程，我们首先需要计算曲面在该点处的法向量，记为N。

曲面的法向量垂直于曲面，因此可以通过求函数F(x, y, z)关于x、y和z的偏导数来得到该点处的切向量。

对于曲面上的一点P(x0, y0, z0)，切向量可以表示为(Tx, Ty, Tz)。

然后，我们可以通过向量的点积来求解法向量N与切向量的关系，即N·T = 0。

得到法向量后，我们可以利用一般式方程来表示切平面的方程，即Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C和D分别为切平面的系数。

其次，我们来了解空间曲面的法线方程。

法线是与曲面垂直的一条直线或向量，用来表示曲面的外法线方向。

对于曲面上的一点P(x0, y0, z0)，法线可以从曲面的切平面求得。

通过切平面的法向量N(x0, y0, z0)，我们可以得到法线的方向向量为(-Nx, -Ny, -Nz)。

然后，我们可以使用一般向量方程来表示法线方程，即(x - x0)/(-Nx) = (y - y0)/(-Ny) = (z - z0)/(-Nz)。

理解了切平面的方程和法线的方程后，我们就能够更好地分析和描述空间曲面了。

切平面能够帮助我们理解曲面在某一点处的切线情况，从而推断出曲面在该点附近的几何性质。

而法线能够告诉我们曲面在该点的外法线方向，这对于求解曲面的切线、法线以及其他的几何性质等问题非常有用。

最后，通过举一些具体的例子，我们可以更好地理解和应用切平面和法线方程。

以球面为例，球面的一般方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 - r^2 = 0，其中(a, b, c)为球心坐标，r为球的半径。

曲面的切平面方程和法线方程公式

曲面的切平面方程和法线方程公式曲面是三维空间中的一类特殊图形，它是由一个或多个曲线旋转、平移、拉伸、变形等操作形成的。

在数学中，曲面是非常重要的研究对象，它不仅在几何学、拓扑学、微积分等数学领域中有广泛应用，还在物理学、工程学、计算机图形学等应用领域中得到了广泛的应用。

对于曲面的研究，其中一个重要的问题是如何确定曲面上任意一点的切平面和法线方程。

本文将介绍曲面的切平面方程和法线方程公式，以及如何应用这些公式解决实际问题。

一、曲面的切平面方程曲面的切平面是指与曲面在某一点相切的平面。

在数学上，我们可以通过求出曲面在该点的切向量来确定该点的切平面。

切向量是指曲面在该点的切线方向的向量，它与曲面在该点的法向量垂直。

设曲面的方程为F(x,y,z)=0，其中F(x,y,z)是曲面上任意一点(x,y,z)的函数，点P(x0,y0,z0)是曲面上的一个点，它的切向量为：grad F(x0,y0,z0) =(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))其中Fx、Fy、Fz分别表示F对x、y、z的偏导数。

因为切向量与切平面垂直，所以曲面在点P的切平面的法向量为：n = (Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)) 假设切平面的方程为Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C是切平面的法向量的三个分量，D是一个常数。

由于点P在切平面上，所以有：Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0将切平面的法向量代入上式得：Fx(x0,y0,z0)x0 + Fy(x0,y0,z0)y0 + Fz(x0,y0,z0)z0 + D = 0因此，切平面的方程为：Fx(x0,y0,z0)x + Fy(x0,y0,z0)y + Fz(x0,y0,z0)z + D = 0 其中D=-Fx(x0,y0,z0)x0 - Fy(x0,y0,z0)y0 -Fz(x0,y0,z0)z0。

曲面的切平面与法线方程

曲面的切平面与法线方程设中曲面Σ的方程为F (x , y , z) = 0，函数F (x , y , z)在曲面Σ上点处可微，且，过点任意引一条位于曲面Σ上的曲线Γ。

设其方程为，且对应于点；不全为零。

由于曲线Γ在Σ上，则有及。

该方程表示了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点处的切平面. 点称为切点. 向量称为曲面Σ在点处的一个法向量。

记为。

基本方法：1、设点在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, z)在点处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点处的切平面方程为.法线方程为.2、设点在曲面z = f (x, y)上，且z = f (x, y) 在点M0 (x0, y0) 处存在连续偏导数，则该曲面在点处的切平面方程为.过X0的法线方程为.注：方法2实际上是方法1中取的情形.3、若曲面∑由参数方程x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v)给出，∑上的点与uv平面上的点（u0 , v0）对应，而x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在（u0 , v0）处可微.曲面∑在点X0处的切平面方程及法线方程分别为和三、答疑解惑问题：曲面∑的参数方程为x = x(u , v) , y = y(u , v) , z = z(u , v)，∑上的点与u , v平面上的点（u0 , v0）对应，怎样确定∑在点X0处的法向量？注释：设x(u , v) , y(u , v) , z(u , v) 在（u0 , v0）处可微，考虑在∑上过点X0的两条曲线.Γ1：x = x(u , v0) , y = y(u , v0) , z = z(u , v0);Γ2：x = x(u0, v) , y = y(u0 , v) , z = z(u0 , v).它们在点X0处的切向量分别为当时，得∑在点X0处的法向量为则∑在点X0处的法向量为.四、典型例题例1 求椭球面x2+2y2+3z2 = 6在（1, 1, 1）处的切平面方程与法线方程.解设F(x, y, z) = x2+2y2+3z2－6，由于在全平面上处处连续，在（1, 1, 1）处，椭球面在点(1, 1, 1)处的法向量为(2, 4, 6). 则所求切平面方程为，即x + 2y + 3z = 6.所求法线方程为，即.例2求曲面平行于z = 2x+2y的切平面方程.解设切点为. 曲面，因此.则曲面在处的法向量为.曲面在点X0处的切平面方程为又切平面与已知平面z = 2x+2y平行，因此解得切点坐标为，所求切平面方程为，即.例3求曲面在点处的切平面方程和法线方程.解点对应曲面上的点其中.则曲面在点处的法向量为.所求曲面在点X0处的切平面方程为即.所求的法线方程为即.例4求过直线，且与曲面相切之切平面方程.解过直线的平面方程可设为，即，其法向量为.记，则设所求的切平面的切点为，则曲面上处的法向量为.且有由(1)、(3)解得,代入(2)得.解得t1 = 1, t2 = 3，故λ1 = 3 , λ2=7.则所求切平面方程为，或.即6x + y + 2z = 5 或10x + 5y + 6z = 5.例5试证曲面上任一点处的切平面都过原点，其中f(x)为可微函数.证明，.故曲面上点处的法向量为.则过曲面上点的切平面方程为，整理后得. 注意到，从上述方程得切平面方程为.可知其必定过原点.。

曲面的切平面与法线方程

曲面的切平面与法线方程设上中曲面Σ的方程为F (X , y , Z) = 0 ,函数F (X , y , Z)在曲面Σ上点'一J∣.∙.'一'.∣处可微，W t) =且1加卽龛丿，过点血任意引一条位于曲面Σ上的曲线Γ°设其∖=Λ(∕)y=y⅛)方程为A邛,且对应于点不全为零。

由于曲线Γ在Σ上，则有⅛ g(x吨)+卩(血吨)+叭(⅜F(⅛)及朮LF 。

该方程表示了曲面上任意一条过点「厂的曲线在该点的切线都与向量WO) 垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点：处的切平面.点.称为切点.向量二心 2 -l称为曲面Σ在点-处的一个法向量。

记为G。

基本方法：1、设点l l- ■' ■" 1■■在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, Z)在点一∣处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点处的切平面方程为F：g )(r-r,>+ 兀厲XJ-Λ)÷Eg(H-^) = D法线方程为⅞ _ y~y ti_X(Jf O)=X^) =2、设点''■' ' l∙' ' ■'在曲面Z = f (x, y)上，且Z = f (x, y)在点M o (χo, y o)处存在连续偏导数，则该曲面在点Al∙, "-" - -■处的切平面方程为-f E j Ja-心)-力(心小Xy-几)2-齢MDX = x(u, V) , y = y(u, V) , Z = z(u, V)给出，∑上的点禺臨片九与UV平面上的点(U o , V0)对应，而X(U , V) , y(u , V) , Z(U , V)在( u o , v o)处可微.曲面∑在点X o处的切平面方程及法线方程分别为三、答疑解惑问题：曲面∑的参数方程为X = X(U , V) , y = y(u , V) , Z = Z(U , V)，∑±的点：'I- ■ -,'ι■ •与u , V平面上的点(U o , VO)对应，怎样确定∑在点X o处的法向量？注释：设X(U , V) , y(U , V) , Z(U , V)在(U o , VO)处可微，考虑在∑上过点X o的两条曲线.Γ i: X = X(U , V o) , y = y(U , V o) , Z = Z(U , V o);Γ 2 : X = X(U o , V) , y = y(U o , V) , Z = Z(UO, V).它们在点X o处的切向量分别为ξ=C⅛冲"⅛(⅜, ⅛(¾,⅛))E■(兀(知岭h H(M e Mh 久(％%))过X o的法线方程为注：方法2实际上是方法1 中取..'l--λ.'<-的情形3、若曲面∑由参数方程当＜ 'I -时，得∑在点Xo 处的法向量为则∑在点Xo 处的法向量为<‰v)r ^f V),页陽叭四、典型例题例1求椭球面x 2+2y 2+3z 2 = 6在（1, 1, 1 ）处的切平面方程与法线方程解设F （x, y, Z ） = x 2+2y 2+3z 2 - 6,由于「八 FJ- •二在全平面上处处连续，在（1,1,1 ）处'一儿一「'■ 一"，椭球面在点（1,1,1）处的法向量为（2, 4, 6）.则所求切平面方程为2(z-l) + 4(y-1) ÷6(z-l) ■ 0即 X + 2y + 3z = 6.Λ- 1 _ y- I _1所求法线方程为---X-1 y-L Z-1 即 I-J ^ -.* i Z=—卡 y例2求曲面- 平行于Z = 2x+2y 的切平面方程则曲面在一1'^l 处的法向量为 'l ,' 曲面在点X 0处的切平面方程为解设切点为兀馆％殆.曲面"J 」 j2,因此舐瀚(Λ-心)十 2⅛O- M)- (Z -2o)-0又切平面与已知平面 Z = 2x+2y 平行，因此解得切点坐标为- ■■■■'■',所求切平面方程为2(^-3)+2(y-l)-(z-3)-0例 3 求曲面■ ^ 11■： 1.∙ ^ ■ ■ - ■ ：.「「’「 -^- - ^ 在点1 >. ^.：处的切平面方程和法线方程.解点^∙l ∙,'^∙厂…对应曲面上的点11 1■■ 1 '其中Λ⅛ =^Sin⅞¾ COE ⅛J I y o sm⅛r ¾ = L 7COS ⅞⅞^^COS ⅛=^5m¼.os⅛u<A. j-i SC0SξK⅛ cos⅛ 5⅛≤9∣4 QCOS⅞⅛si∩¾则曲面在点"-处的法向量为 V’ 4,亠」5 所求曲面在点X o 处的切平面方程为‰⅛I JS αcos⅝⅞ GOS ⅞Sm ς⅛ sin ⅛ ^Sill 2 ≠¾ sin ⅛-<jsifl ⅛ sin ⅛ -*2sιn sm ⅞2 」2≡t? Sm 处 c□≡φ¾护 tin 贏 COS ⅛(X ^ΛSIH ‰ cos¾) + asm J ⅞¾ sm¾ sm ξ≡⅛ s πι ¾) + O lSln 砂 CaS3^ DiJS 妬)■ 0,即 Q .一 -i ∣ J ■: , ； J I ς, • ■ I ■] _ _ ∙fΛ- asuι⅞⅛ cos6⅛ _ y- ^Sin⅛⅛ sin 6⅛所求的法线方程为「一一 .,J -IJ - -J . L - -I - .'■ J -■-■.Λ- sm⅛ J -ΛCCS ⅞¾SIn ⅞J ¾COS ⅛SHl ⅞¾ sin ⅛cos⅛¾解过直线的平面方程可设为即］:"：l "1'''其法向量为-■ 一且有J3Λ -2y-Z ~ 5例4求过直线',且与曲面L相切之切平面方程Q i Fm 2 ⅞⅛ cosg⅛3χ-2y- ∑ - 5^ Λ(Λ + y+ z) - QFgFQ =加- 2y 2 + 2z -设所求的切平面的切点为■ ■,则曲面上；=2处的法向量为（％γ用②.8,则(3 + Λχ÷(Λ-2)j b ÷(Z-l¼-5 = 03 + ∕⅛ 2-2 Λ-l由⑴、(3)解得代入(2)得e -⅛÷3-o则所求切平面方程为3x - 2I y-Z- 5 + 3(j ÷ιy +z) ■ O或…'--,.■-- I -即 6x + y + 2 Z = 5 或 10x + 5y + 6 Z = 5.例5试证曲面IT 丿上任一点处的切平面都过原点，其中 f(x)为可微函数(1)2÷⅛ 2t -1 15解得 t ι = 1, t 2 = 3 ,故λ 2=7.1 1■- ,''∙ 处的法向量为故曲面上点则过曲面上点--'-.' - ,.∙-的切平面方程为f-⅛∕∙卜fy-⅞∕"ι"^o ∕f -注意到<r <> ,从上述方程得切平面方程为■/ X ( ∖^∣( \f 西-—f 地也 y-^-Ok⅞∕ Jf O ∖λ(]√^J∖⅞∕可知其必定过原点.(X-X o )4 ∕{⅛-Λ)整理后得。

3曲面的切平面与法线

有： T ⊥ n
曲面 ∑ 在点M的法向量
n = {Fx (x0 , y0 , z0 ), Fy (x0 , y0 , z0 ), Fz (x0 , y0 , z0 )}
切平面方程：
Fx (x0 , y0 , z0 )(x − x0 )+ Fy (x0 , y0 , z0 )(y − y0 )+ Fz (x0 , y0 , z0 )(z − z0 ) = 0
F (x(t), y(t), z(t)) = 0
两边在 t = t0 处求导,得
Fx (x0 , y0 , z0 )x′(t0 )+ Fy (x0 , y0 , z0 )y′(t0 )+ Fz (x0 , y0 , z0 )z′(t0 ) = 0
令：
T = {x′(t0 ), y′(t0 ), z′(t0 )}, n = {Fx (x0 , y0 , z0 ), Fy (x0 , y0 , z0 ), Fz (x0 , y0 , z0 )}
过M点且垂直于切平面的称为曲面 ∑ 在点 M 的法线.
法线方程：
x − x0
Fx (x0 , y0 ,
z0 )
=
y − y0
Fy (x0 , y0 ,
z0 )
=
z − z0
Fz (x0 , y0 ,
z0 )
例.求球面 x2 + y2 + z2 =14 在点(1,2,3)处的切平面
及法线方程.
解:令
曲面的切平面与法线
设有光滑曲面 Σ : F(x, y, z) = 0
通过其上定点 M (x0, y0, z0 ) 任意引一条光滑曲线 Γ : x = x(t), y = y(t), z = z(t),t ∈[α , β ] 设 t = t0 对应点 M,

高等数学：9-3空间曲面的切平面与法线

Fz ( x0 , y0 , z0 ) (t0 ) 0
令 T ( (t0 ) , (t0 ) , (t0 ))
n ( Fx ( x0 , y0 , z0 ) , Fy ( x0 , y0 , z0 ) , Fz ( x0 , y0 , z0 ))
切向量 T n 由于曲线的任意性 , 表明这些切线都在以为法向量
T
点 M 的切向量为

M T ( (t0 ) , (t0 ) , (t0 )) x x0 y y0 z z0 切线方程为 (t0 ) (t0 ) (t0 ) 下面证明: 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上. 此平面称为在该点的切平面.
的平面上 , 从而切平面存在 .
曲面在点 M 的法向量:
n ( Fx ( x0 , y0 , z0 ) , Fy ( x0 , y0 , z0 ) , Fz ( x0 , y0 , z0 ))
切平面方程
Fx ( x0 , y0 , z0 ) ( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) ( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0
n
(1, 2, 3 )
(2 , 4 , 6)
所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有: 切平面方程 2( x 1) 4( y 2) 6( z 3) 0 即
法线方程
x 1 y 2 z 3 2 1 3
(0,0,0)在法线上，可见法线经过原点，即球心。
例2 求曲面z = f ( x, y) = x 2 + y 2 + 1在点（1, 2, 6）处的切平面及法线方程．

曲面的切平面方程和法线方程公式

曲面的切平面方程和法线方程公式曲面是三维空间中的一个二维曲面，可以用函数方程或参数方程表示。

在三维空间中，曲面与平面不同，它具有曲率和法线方向。

曲面的切平面和法线方程是研究曲面性质的重要工具，在许多领域都有广泛的应用。

一、曲面的切平面方程曲面的切平面是曲面在某一点处与该点切线平行的平面。

在二维平面上，我们可以通过直线的斜率来确定该直线的切线方向。

在三维空间中，曲面的切线方向可以通过曲面的偏导数来确定。

假设曲面的函数方程为z=f(x,y)，则其在点(x0,y0,z0)处的切平面方程为：z-z0=fx(x0,y0)(x-x0)+fy(x0,y0)(y-y0)其中fx和fy分别表示函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导数。

如果曲面的参数方程为：x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)则其在点(P0)处的切平面方程可以表示为：r(u,v)=r(u0,v0)+r/u|P0(u-u0)+r/v|P0(v-v0)其中r表示曲面的参数方程，r/u和r/v分别表示曲面在点P0处的偏导数。

二、曲面的法线方程曲面的法线方向垂直于曲面的切平面，是曲面的一个重要性质。

对于一个点P(x0,y0,z0)，曲面的法线方程可以表示为：n=f(x0,y0,z0)其中f表示函数f(x,y,z)的梯度，也就是函数在点(x0,y0,z0)处的偏导数向量。

由于曲面的法线方向垂直于曲面的切平面，因此曲面的法线方程也可以表示为：n(r-r0)=0其中r表示曲面上的任意一点，r0表示曲面上的某一点。

三、曲面的切线和法线方向曲面的切线和法线方向在曲面上的任意一点处是唯一的。

曲面的切线方向垂直于曲面的法线方向，因此我们可以通过曲面的法线方程来确定曲面的切线方向。

对于一个点P(x0,y0,z0)，曲面的法线方程可以表示为：n=f(x0,y0,z0)其中f表示函数f(x,y,z)的梯度，也就是函数在点(x0,y0,z0)处的偏导数向量。

曲面的切平面与法线方程

曲面的切平面与法线方程设中曲面Σ的方程为F (x , y , z) = 0，函数F (x , y , z)在曲面Σ上点处可微，且，过点任意引一条位于曲面Σ上的曲线Γ。

设其方程为，且对应于点；不全为零。

由于曲线Γ在Σ上，则有及。

该方程表示了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点处的切平面. 点称为切点. 向量称为曲面Σ在点处的一个法向量。

记为。

基本方法：1、设点在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, z)在点处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点处的切平面方程为.法线方程为.2、设点在曲面z = f (x, y)上，且z = f (x, y) 在点M0 (x0, y0) 处存在连续偏导数，则该曲面在点处的切平面方程为.过X0的法线方程为.注：方法2实际上是方法1中取的情形.3、若曲面∑由参数方程x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v)给出，∑上的点与uv平面上的点（u0 , v0）对应，而x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在（u0 , v0）处可微.曲面∑在点X0处的切平面方程及法线方程分别为和三、答疑解惑问题：曲面∑的参数方程为x = x(u , v) , y = y(u , v) , z = z(u , v)，∑上的点与u , v平面上的点（u0 , v0）对应，怎样确定∑在点X0处的法向量？注释：设x(u , v) , y(u , v) , z(u , v) 在（u0 , v0）处可微，考虑在∑上过点X0的两条曲线.Γ1：x = x(u , v0) , y = y(u , v0) , z = z(u , v0);Γ2：x = x(u0, v) , y = y(u0 , v) , z = z(u0 , v).它们在点X0处的切向量分别为当时，得∑在点X0处的法向量为则∑在点X0处的法向量为.四、典型例题例1 求椭球面x2+2y2+3z2 = 6在（1, 1, 1）处的切平面方程与法线方程.解设F(x, y, z) = x2+2y2+3z2－6，由于在全平面上处处连续，在（1, 1, 1）处，椭球面在点(1, 1, 1)处的法向量为(2, 4, 6). 则所求切平面方程为，即x + 2y + 3z = 6.所求法线方程为，即.例2求曲面平行于z = 2x+2y的切平面方程.解设切点为. 曲面，因此.则曲面在处的法向量为.曲面在点X0处的切平面方程为又切平面与已知平面z = 2x+2y平行，因此解得切点坐标为，所求切平面方程为，即.例3求曲面在点处的切平面方程和法线方程.解点对应曲面上的点其中.则曲面在点处的法向量为.所求曲面在点X0处的切平面方程为即.所求的法线方程为即.例4求过直线，且与曲面相切之切平面方程.解过直线的平面方程可设为，即，其法向量为.记，则设所求的切平面的切点为，则曲面上处的法向量为.且有由(1)、(3)解得,代入(2)得.解得t1 = 1, t2 = 3，故λ1 = 3 , λ2=7.则所求切平面方程为，或.即6x + y + 2z = 5 或10x + 5y + 6z = 5.例5试证曲面上任一点处的切平面都过原点，其中f(x)为可微函数.证明，.故曲面上点处的法向量为.则过曲面上点的切平面方程为，整理后得. 注意到，从上述方程得切平面方程为.可知其必定过原点.。

曲面的切平面与法线方程

曲面的切平面与法线方程设*「中曲面工的方程为F（x ,z) = 0，函数F ( x , y , Z）在曲面工上点益-氐丹，环）Wo）= 处可微，且酬（血）前（血）萌（血）# o，过点」任意引一条位于曲面工上的曲线r。

设其方程为X ■戎\* y = XOmW），且f ■冷对应于点-'■ 不全为零。

由于曲线『在工上，则有＜ -「及□化（孟）确,）+匚僦）HG+胃（兀玄如。

该方程表示了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上, 这个平面就称为曲面工在点■'处的切平面.点1 .称为切点.向量」丁 J _1称为曲面工在点］.处的一个法向量。

记为厂：基本方法:1、设点?-1'■•"在曲面F（x, y, z）=0上，而F（x, y, z）在点‘丨处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F（x, y, z）=0在点丄1处的切平面方程为忙（局）（“忌）4 兀（EXF -刃）+ £（兀-x,）-o法线方程为尺％，厂£3■厂£（兀）2、设点f-' 1' -1'■-在曲面z = f （x, y）上，且z = f （x, y）在点M（x。

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）处存在连续偏导数,则该曲面在点上处的切平面方程为过X的法线方程为-工外片)-工知片)】注：方法2实际上是方法1中取■'■ ■1■ ' '■'- ■■' I的情形.3、若曲面刀由参数方程x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v)给出，刀上的点''''■'-与uv平面上的点(LP, v。

)对应，而x(u , v) , y( u , v) , z( u , v)在(u。

, v o)处可微.曲面刀在点X)处的切平面方程及法线方程分别为三、答疑解惑问题：曲面刀的参数方程为x = x(u , v) , y = y( u , v) , z = z( u , v)，刀上的点'：_i 1与u , v平面上的点(u o, v o)对应，怎样确定刀在点X)处的法向量?注释: :设x( u ,v),y(u , v),z(u ,v)在(s, v o)处可微，考虑在刀上过点X o的两条曲线『1: x = x(u ,v o),y = y(u ,v o),z = z( u , v o)；『2：x = x(u o,v),y = y(u o ,v),z = z( u o , v).它们在点X。

第14章第5节曲面的切平面与法线ppt课件

代入方程 z=u)
,得习
于是可以将看成x,y 的函数，从而可以将问题化为刚才已经讨论过的情形。
因此需分别计算对 xy 的偏导数。
§14.5. 曲面的切平面与法线
将
分别对求导，注意到为
的函数按隐函数求导法则有
解方程组，得 9
§14.5. 曲面的切平面与法线于是曲面在点的切平面方程为
例 2 证明对任意常数
，球面
面
是正交的。
与锥
12
证明球面锥面
§14.5. 曲面的切平面与法线
的法线方向数为即
的法线方向数为
在两曲面交线上的任一点
处，两法向量的内积
因
面正交。
在曲面上，上式右端等于 0 ，所以曲面与锥 13
§14.5. 曲面的切平面与法线
解
椭球面在给定点的切平面法向量为
切平面方程为法线方程为
§14.5. 曲面的切平面与法线
1.若曲面方程为
过曲面上点
任意作一条在曲面上的
曲线，(如图) 设其方程为
显然有
ห้องสมุดไป่ตู้
在上式两端对求导，得
1
§14.5. 曲面的切平面与法线 2
§14.5. 曲面的切平面与法线
在点（设点对应于参数
）有
由于的任意性，可见曲面上过的任一条曲线在该点的切线都与正交，因此这些切线应在同一平面上，这个平面称为曲面在点的切平面，而就是切平面的法向量。
间的夹角，那末在
点的法线与
轴正向之
点的法线方向余弦为
6
§14.5.曲面的切平面与法线
2.若曲面方程为 ()
容易把它化成刚才讨论过的情形：于是曲面在( ) ( 这里人 ? ) 点的切平面方程为

几何练习计算曲面的切平面和法线

几何练习计算曲面的切平面和法线计算曲面的切平面和法线曲面是几何学中重要的概念之一，它在许多数学、物理学和工程学领域中都有广泛应用。

对于曲面上的点，我们可以通过计算其切平面和法线来描述其性质。

本文将介绍如何计算曲面的切平面和法线，以及其在实际问题中的应用。

一、切平面切平面是曲面上某一点的切线所在的平面。

在几何学中，切线是曲线上某一点处切线与曲线相切的直线。

类比地，曲面上某一点的切线与曲面相切的平面就是切平面。

计算曲面的切平面的一种常用方法是使用偏导数。

对于一个曲面，可以用一个方程来表示，例如 z = f(x, y)。

对于这个曲面上的一点 (x0,y0, z0)，切平面可以通过计算该点处的偏导数来确定。

偏导数描述了函数在某一点处的变化率，对于函数 z = f(x, y)，它的偏导数可以表示为∂z/∂x 和∂z/∂y。

对于曲面上的一点 (x0, y0, z0)，其切线的斜率就是∂z/∂x 和∂z/∂y。

因此，切线的方向向量为(∂z/∂x, ∂z/∂y, 1)。

通过这个方向向量，我们可以确定切平面的法向量。

由于切平面上的点与切线垂直，所以切平面的法向量与切线的方向向量垂直。

因此，切平面的法向量为 (-∂z/∂x, -∂z/∂y, 1)。

曲面上的法线是与切平面垂直的直线。

对于一个给定点，我们可以通过计算切平面的法向量来确定其法线。

法线与切平面的法向量方向相同，因此曲面上一点的法线方向向量为 (-∂z/∂x, -∂z/∂y, 1)。

法线的长度可以通过对法向量进行单位化来得到，单位化后的法向量为：n = (-∂z/∂x, -∂z/∂y, 1) / √( (∂z/∂x)^2 + (∂z/∂y)^2 + 1 )三、应用举例计算曲面的切平面和法线在许多实际问题中都有广泛应用。

以下是一些应用举例：1. 切平面和法线在计算机图形学中被用于生成逼真的曲面渲染效果。

通过计算曲面上每个点处的切平面和法线，可以确定光线与曲面的相交关系，从而实现曲面的光照效果。

空间曲线与曲面的切平面与法线方程

空间曲线与曲面的切平面与法线方程在几何学中，空间曲线与曲面的切平面与法线方程是研究曲线与曲面性质的重要工具。

通过求解切平面与法线方程，我们可以揭示曲线曲面的性质，进而应用于实际问题的求解与分析。

本文将介绍空间曲线与曲面的切平面与法线方程的推导过程和应用案例。

一、空间曲线的切平面与法线方程1. 切线与切平面在空间几何中，曲线上的点处，切线是通过该点且与曲线相切的直线。

曲线上每一点都有唯一的切线。

通过求解切线，我们可以得到曲线的切平面与法线方程。

2. 切线方程的求解设曲线的参数方程为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)对曲线参数方程求导，得到切线向量T：T = (dx/dt, dy/dt, dz/dt)切线方程可表示为：(x - x0) / (dx/dt) = (y - y0) / (dy/dt) = (z - z0) / (dz/dt)3. 切平面方程的求解切平面是通过曲线上一点与切线方向垂直的平面。

设切平面方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中(A, B, C)为切平面的法向量。

由于切线向量T与切平面法向量垂直，所以有：A(dx/dt) + B(dy/dt) + C(dz/dt) = 0根据切线方程求解得到的切线方程，将其代入上述方程中，即可得到切平面方程。

4. 法线方程的求解法线是切平面上与切线垂直的直线。

切平面方程的法向量为(A, B, C)，法线方程可表示为：(x - x0) / A = (y - y0) / B = (z - z0) / C二、曲面的切平面与法线方程1. 切平面方程的求解曲面的切平面与曲面上一点处的切向量垂直。

设曲面方程为F(x, y, z) = 0，求曲面某点的切平面方程，需要求解该点处的梯度向量∇F。

切平面方程可表示为：∇F · (x - x0, y - y0, z - z0) = 02. 法线方程的求解法线是曲面上与切平面垂直的直线。

求曲面的切平面方程和法线方程

求曲面的切平面方程和法线方程大家好，今天我们来聊聊一个听起来有点儿复杂，但其实只要理清思路就会发现它也挺简单有趣的数学概念，那就是曲面的切平面和法线方程。

听起来是不是有点儿高深莫测？别担心，让我们一起来揭开这个神秘的面纱，顺便加点儿幽默感，轻松一下！1. 什么是曲面？首先，咱们得搞清楚什么是曲面。

你可以想象一下，曲面就像是一块柔软的橡皮泥，随便捏捏就能变出各种形状。

数学上，曲面可以用一个方程来表示，比如说z = f(x, y)。

这里的 f(x, y) 就像是你在烘焙时的配方，决定了曲面的“口味”。

有些曲面像球体那样光滑，有些则像马鞍一样凹凸不平。

1.1 曲面的切平面好，曲面搞清楚了，接下来我们来聊聊切平面。

简单来说，切平面就是在某一点“切”到这个曲面，像是在一块蛋糕上切出一片。

想象一下，你在生日聚会上切蛋糕，那一刀下去的瞬间，你就得到了一个平面，这就是你的切平面。

数学上，切平面的方程可以用来描述这一瞬间。

要找切平面，首先你得找到那个点的坐标，比如(x₀, y₀, z₀)。

1.2 如何求切平面方程那么，如何求这个切平面方程呢？其实很简单！我们可以用到偏导数的知识。

对了，你没听错，就是那个在微积分中出现的偏导数。

咱们得先计算出在点 (x₀, y₀) 处的偏导数，分别是 fx(x₀, y₀) 和 fy(x₀, y₀)。

接下来，根据切平面的公式 z z₀ = fx(x₀,y₀)(x x₀) + fy(x₀, y₀)(y y₀)，就能轻松得到切平面的方程啦！是不是觉得像是打开了新世界的大门？2. 法线方程接下来，我们再来聊聊法线。

法线是什么呢？简单说，它就像是一个“直立”的小杆子，垂直于切平面。

想象一下，如果你在切蛋糕的时候，切刀和桌面的角度就是法线的方向。

法线方程则是描述这根“小杆子”的方程。

2.1 如何求法线方程求法线的步骤其实和求切平面有些相似。

我们仍然需要用到那两个偏导数。

法线的方向就是这两个偏导数的反方向，具体来说就是 (fx(x₀, y₀), fy(x₀, y₀), 1)。

第14章第5节曲面的切平面与法线

2

§14.5. 曲面的切平面与法线在 M 0 点（设 M 0 点对应于参数 t t0 ）有
(Fx )M0 x(t0 ) (Fy )M0 y(t0 ) ( Fz )M0 z(t0 ) 0
上式说明法向量 n (( Fx ) M0 ,( Fy ) M0 ,( Fz ) M0 )与切向量
法线方程
x 1 y 2 z 3 2 4 6
11
§14.5. 曲面的切平面与法线
4.曲面的夹角
两个曲面在交线上某点处的两个法线的夹角称为这两个曲面在该点的夹角。
如果两个曲面在该点的夹角等于 90 度，则称这两个曲面在该点正交。若两曲面在交线的每一点都正交，则称这两曲面为正交曲面。
法线方程为
X x0 Y y0 Z z0 ( x0 , y0 ) ( x0 , y0 ) fx fy 1
7
§14.5. 曲面的切平面与法线
3.若曲面方程为参数形式：
x x( u, v ), y y( u, v ), z z(u, v )
如果由方程组 x x( u, v ), y y( u, v ) 可以确定两个函数： u u( x, y), v v( x, y)
2 x,
2 y, 2z
即
x,
y, z
锥面 G( x, y, z ) x 2 y 2 tg2 z 2 0 的法线方向数为
x,
y , z tg 2

在两曲面交线上的任一点 ( x0 , y0 , z0 ) 处，两法向量的内积
2 2 2 ( x0 , y0 , z0 ) ( x0 , y0 , z0 tg2 ) x0 y0 z0 tg2

空间曲面的切平面与法线学习计算空间曲面的切平面与法线的方法

空间曲面的切平面与法线学习计算空间曲面的切平面与法线的方法空间曲面是三维空间中的曲面，它由平面或非平面的曲线组成。

对于一个给定的空间曲面，计算其切平面与法线是非常重要的。

切平面是曲面上某点处与曲面相切的平面，而法线是切平面上的垂直于曲面的线段或矢量。

本文将介绍如何计算空间曲面的切平面与法线的方法。

1. 曲面的方程要计算曲面的切平面与法线，首先需要知道曲面的方程。

根据曲面的类型，可以使用不同的方程表示。

例如，对于二次曲面，可以使用二次方程表示；对于参数曲面，可以使用参数方程表示。

在此文章中，我们将以二次曲面为例进行讨论。

2. 二次曲面的切平面对于二次曲面，其方程通常可以表示为：F(x, y, z) = Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0其中，A、B、C、D、E、F、G、H、I和J为常数。

为了计算曲面上某一点处的切平面，我们需要找到该点的切线方向。

切线方向可以通过计算曲面方程的偏导数得到。

对于曲面方程F(x, y, z) = 0，设该点为P(x0, y0, z0)，则切线方向为向量：∇F(x0, y0, z0) = (∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z) |(x0, y0, z0)其中∂F/∂x，∂F/∂y和∂F/∂z分别表示对于x、y和z的偏导数。

有了切线方向后，我们可以得到切平面的法向量。

切平面的法向量与切线方向垂直，因此可以取切线方向的相反数作为法向量。

3. 二次曲面的法线与切平面类似，曲面的法线也可以通过计算曲面方程的偏导数得到。

对于曲面方程F(x, y, z) = 0，设该点为P(x0, y0, z0)，则法线方向为向量：N = (∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z) |(x0, y0, z0)法线方向是垂直于曲面的方向，因此可以通过对法线向量进行单位化（即将其长度归一化为1）得到单位法线。

4. 示例计算为了更好地理解如何计算切平面与法线，我们将通过一个示例进行演示。

9.2空间曲面的切平面与法线

9.2空间曲面的切平面与法线空间曲面的切平面与法线是微积分中的基本概念，它们的应用十分广泛，例如在物理、几何、计算机图形学等领域中常常会用到。

本文将介绍空间曲面的切平面与法线相关的概念和性质。

一、曲面的定义空间曲面是指一个具有二维性质的三维空间图形的数学表示。

它可以用参数方程形式表示为：$$\bold{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$$二、曲面的切平面曲面的切平面是指与曲面相切于某一点的一个平面。

在点$\bold{r}(u_0,v_0)$处，曲面上的任何一条曲线都可以用下列方式来表达：$$\bold{\gamma}(t)=\bold{r}(u_0+at,v_0+bt)$$其中，$a,b$是常数，$t$是参数。

因为$\bold{\gamma}(0)=\bold{r}(u_0,v_0)$，所以曲线过点$\bold{r}(u_0,v_0)$。

同时，曲线在点$\bold{r}(u_0,v_0)$处的切线方向应该与曲面在该点的切平面相同。

这个想法可以通过如下方式来表示。

先用$\bold{r}_u=\frac{\partial\bold{r}}{\partial u}$和$\bold{r}_v=\frac{\partial \bold{r}}{\partial v}$来表示曲面在点$\bold{r}(u_0,v_0)$处的两个方向向量，则曲面在该点处的法向量$N$为：而曲线在该点处的切向量$\bold{\gamma}'(0)$为：因此，曲线在该点处的切线方向可以用切平面的法向量来表示：即，这个方程可以看成是一个二元一次方程，因此很容易解决。

从而得到一个点$(x,y,z)$处的切平面方程为：$$(\bold{r}_u(x,y,z) \cdot N(x,y,z))(x-x_0)+(\bold{r}_v(x,y,z) \cdotN(x,y,z))(y-y_0)+(N(x,y,z) \cdot (x_0,y_0,z_0))=0$$其中，$(x_0,y_0,z_0)$是曲面上的某一点。

2-25 空间曲面的切平面与法线

空间曲面的切平面与法线设曲面方程为),,(=z y x F 一、曲面的切平面与法线n τM M.θ),cos(lim 00=∑∈→n MM M M MnM .C),(),(),(:t z z t y y t x x C ===的参数方程设曲线))(),(),((000t z t y t x '''=→τ0)](),(),([≡t z t y t x F 0)(),,()(),,()(),,(000000000000='+'+'t z z y x F t y z y x F t x z y x F z y x )},,(),,,(),,,({000000000z y x F z y x F z y x F n z y x =记0=⋅τ n 则板书上，在曲面曲线∑C ，对应的参数上任一点曲线0t M C 点处的切向量0M τ)},,(),,,(),,,({000000000z y x F z y x F z y x F n z y x =令则,T n⊥ 由于曲线是曲面上通过0M 的任意一条曲线，它们在0M 的切线都与同一向量n垂直，故曲面上通过0M 的一切曲线在点0M 的切线都在同一平面上，这个平面称为曲面在点0M 的切平面.切平面方程为))(,,())(,,())(,,(000000000000=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x通过点),,(0000z y x M 而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线.法线方程为),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-)},,(),,,(),,,({000000000z y x F z y x F z y x F n z y x =曲面在M 0处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.特殊地：空间曲面方程形为),(y x f z =曲面在M 0处的切平面方程为,))(,())(,(0000000z z y y y x f x x y x f y x -=-+-曲面在M 0处的法线方程为.1),(),(0000000--=-=-z z y x f y y y x f x x y x ,),(),,(z y x f z y x F -=令}),,(),,({0000-1y x f y x f n y x =特殊地：空间曲面方程形为),(x z f y =曲面在M 0处的切平面方程为,))(,())(,(0000000y y z z x z f x x x z f z x -=-+-曲面在M 0处的法线方程为.),(1),(0000000x z f z z y y x z f x x z x -=--=-,),(),,(y x z f z y x F -=令)},(,1),,({0000x z f x z f n z x -=特殊地：空间曲面方程形为),(z y f x =曲面在M 0处的切平面方程为,))(,())(,(0000000x x z z z y f y y z y f z y -=-+-曲面在M 0处的法线方程为.),(),(10000000z y f z z z y f y y x x z y -=-=--,),(),,(x z y f z y x F -=令)},(),,(,1{0000z y f z y f n z y -=))(,())(,(0000000y y y x f x x y x f z z y x -+-=-切平面上点的竖坐标的增量的全微分在点函数),(),(00y x y x f z =因为曲面在M 0处的切平面方程为),(y x f z =在),(00y x 的全微分，表示曲面),(y x f z =在点),,(000z y x 处的切平面上的点的竖坐标的增量.二、全微分的几何意义若α、β、γ表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与z 轴的正向所成的角γ是锐角，则法向量的方向余弦为,1cos 22yx xf f f ++-=α,1cos 22yxyf f f ++-=β.11cos 22yx f f ++=γ),(00y x f f x x =),(00y x f f y y =其中例求曲面2132222=++z y x 平行于平面064=++z y x 的各切平面方程. 解设为曲面上的切点,),,(000z y x 切平面方程为0)(6)(4)(2000000=-+-+-z z z y y y x x x 依题意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000z y x ==.2000z y x ==⇒因为是曲面上的切点，),,(000z y x ,10±=∴x 所求切点为满足方程),2,2,1(),2,2,1(---0)2(12)2(8)1(2=-+-+-z y x 2164=++⇒z y x 0)2(12)2(8)1(2=+-+-+-z y x 2164-=++⇒z y x 切平面方程(1)切平面方程(2)三、小结曲面的切平面与法线（求法向量的方向余弦时注意符号）。

曲面的切平面与法线

8.5.2曲面的切平面与法线过曲面Σ上一点M，在曲面Σ上的曲线有无数多条，每一条曲线点M处都有一条切线，在下面的讨论中将会发现，在一定的条件下，这些切线位于同一平面，我们称这个平面为曲面Σ在点M处的切平面。

设曲面Σ的方程为F(x，y，z)=0，M(x0，y0，z0)是曲面上一点，函数F(x，y，z)在点M处有连续的偏导数，且三个偏导数不全为零，另设曲线Γ是过点M且在曲面Σ上的任意一条曲线，它的方程为t=t0是点M0所对应的参数，不全为零。

由于曲线Γ在曲面Σ上，于是曲线Γ上任意一点的坐标满足曲面Σ的方程，即有恒等式图8-22又由于函数F(x，y，z)在点M处有连续的偏导数，函数在t=t0处可导，所以复合函数在t=t0处可导，且全导数为恒等式=0两边在t0处对t求全导数，有上式说明向量与向量垂直。

向量是曲线Γ在点M处的切向量，故曲线Γ在点M处的切线与向量垂直，由曲线Γ的任意性知，所有过点M，且在曲面Σ上的曲线在M处的切线都与向量垂直，也就是这些切线都在以向量为法向量，并通过点M的平面上。

所以，曲面Σ在点M处的切平面方程为过点M(x0，y0，z0)且垂直于该点处的切平面的直线称为曲面Σ在点M处的法线，显然，切平面的法向量就是法线的方向向量，所以曲面Σ在点M处的法线方程为如果曲面Σ的方程为z=f(x，y),则只需设那么曲面Σ的方程就可化成F(x，y，z)=0的形式，而且,此时曲面Σ在点M0(x0，y0，z0)处的切平面方程为法线方程为例1：求曲面在点M(3，1，1)处的切平面方程和法线方程。

解：例2：求圆锥面在点M(1，0，1)处的切平面方程和法线方程。

解：例3：在椭圆抛物面上求一点，使它的切平面与平面平行，并求该点的切平面及法线方程。

解：。

9.2空间曲面的切平面与法线

n { fx ( x0, y0 ), f y ( x0, y0 ),1}, 曲面在M处的切平面方程为:
fx ( x0 , y0 )(x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) z z0 ,
曲面在M处的法线方程为: x x0 y y0 z z0 .
即 n {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )}
则
n

T,
切平面方程为:
Fx (M )( x x0 ) Fy (M )( y y0 ) Fz (M )(z z0 ) 0
法线方程为: x x0 y y0 z z0 . Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
切平面的法向量为
F(x, y,z) 0 3. G( x, y, z) 0 , T {J , J1, J2};
n {Fx , Fy , Fz } M .
Thank you!
切平面方程为:
( x 1 ) ( y 1 ) (z 1 ) 0,
3
3
3

即 x y z 3;
法线方程为: x y z.
◆全微分的几何意义: 曲面: z = f ( x, y ) 在M处的切平面方程为
z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 )
n(2,1,4) {2x, 2 y, 1}(2,1,4) {4, 2,1},
切平面方程为 4( x 2) 2( y 1) (z 4) 0;