曲面的切平面与法线方程

曲面的切平面方程和法线方程公式

曲面的切平面方程和法线方程公式曲面是三维空间中的一类特殊图形，它是由一个或多个曲线旋转、平移、拉伸、变形等操作形成的。

在数学中，曲面是非常重要的研究对象，它不仅在几何学、拓扑学、微积分等数学领域中有广泛应用，还在物理学、工程学、计算机图形学等应用领域中得到了广泛的应用。

对于曲面的研究，其中一个重要的问题是如何确定曲面上任意一点的切平面和法线方程。

本文将介绍曲面的切平面方程和法线方程公式，以及如何应用这些公式解决实际问题。

一、曲面的切平面方程曲面的切平面是指与曲面在某一点相切的平面。

在数学上，我们可以通过求出曲面在该点的切向量来确定该点的切平面。

切向量是指曲面在该点的切线方向的向量，它与曲面在该点的法向量垂直。

设曲面的方程为F(x,y,z)=0，其中F(x,y,z)是曲面上任意一点(x,y,z)的函数，点P(x0,y0,z0)是曲面上的一个点，它的切向量为：grad F(x0,y0,z0) =(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))其中Fx、Fy、Fz分别表示F对x、y、z的偏导数。

因为切向量与切平面垂直，所以曲面在点P的切平面的法向量为：n = (Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)) 假设切平面的方程为Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C是切平面的法向量的三个分量，D是一个常数。

由于点P在切平面上，所以有：Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0将切平面的法向量代入上式得：Fx(x0,y0,z0)x0 + Fy(x0,y0,z0)y0 + Fz(x0,y0,z0)z0 + D = 0因此，切平面的方程为：Fx(x0,y0,z0)x + Fy(x0,y0,z0)y + Fz(x0,y0,z0)z + D = 0 其中D=-Fx(x0,y0,z0)x0 - Fy(x0,y0,z0)y0 -Fz(x0,y0,z0)z0。

曲面的切平面与法线方程

曲面的切平面与法线方程设中曲面Σ的方程为F (x , y , z) = 0，函数F (x , y , z)在曲面Σ上点处可微，且，过点任意引一条位于曲面Σ上的曲线Γ。

设其方程为，且对应于点；不全为零。

由于曲线Γ在Σ上，则有及。

该方程表示了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点处的切平面. 点称为切点. 向量称为曲面Σ在点处的一个法向量。

记为。

基本方法：1、设点在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, z)在点处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点处的切平面方程为.法线方程为.2、设点在曲面z = f (x, y)上，且z = f (x, y) 在点M0 (x0, y0) 处存在连续偏导数，则该曲面在点处的切平面方程为.过X0的法线方程为.注：方法2实际上是方法1中取的情形.3、若曲面∑由参数方程x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v)给出，∑上的点与uv平面上的点（u0 , v0）对应，而x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在（u0 , v0）处可微.曲面∑在点X0处的切平面方程及法线方程分别为和三、答疑解惑问题：曲面∑的参数方程为x = x(u , v) , y = y(u , v) , z = z(u , v)，∑上的点与u , v平面上的点（u0 , v0）对应，怎样确定∑在点X0处的法向量？注释：设x(u , v) , y(u , v) , z(u , v) 在（u0 , v0）处可微，考虑在∑上过点X0的两条曲线.Γ1：x = x(u , v0) , y = y(u , v0) , z = z(u , v0);Γ2：x = x(u0, v) , y = y(u0 , v) , z = z(u0 , v).它们在点X0处的切向量分别为当时，得∑在点X0处的法向量为则∑在点X0处的法向量为.四、典型例题例1 求椭球面x2+2y2+3z2 = 6在（1, 1, 1）处的切平面方程与法线方程.解设F(x, y, z) = x2+2y2+3z2－6，由于在全平面上处处连续，在（1, 1, 1）处，椭球面在点(1, 1, 1)处的法向量为(2, 4, 6). 则所求切平面方程为，即x + 2y + 3z = 6.所求法线方程为，即.例2求曲面平行于z = 2x+2y的切平面方程.解设切点为. 曲面，因此.则曲面在处的法向量为.曲面在点X0处的切平面方程为又切平面与已知平面z = 2x+2y平行，因此解得切点坐标为，所求切平面方程为，即.例3求曲面在点处的切平面方程和法线方程.解点对应曲面上的点其中.则曲面在点处的法向量为.所求曲面在点X0处的切平面方程为即.所求的法线方程为即.例4求过直线，且与曲面相切之切平面方程.解过直线的平面方程可设为，即，其法向量为.记，则设所求的切平面的切点为，则曲面上处的法向量为.且有由(1)、(3)解得,代入(2)得.解得t1 = 1, t2 = 3，故λ1 = 3 , λ2=7.则所求切平面方程为，或.即6x + y + 2z = 5 或10x + 5y + 6z = 5.例5试证曲面上任一点处的切平面都过原点，其中f(x)为可微函数.证明，.故曲面上点处的法向量为.则过曲面上点的切平面方程为，整理后得. 注意到，从上述方程得切平面方程为.可知其必定过原点.。

曲面的切平面与法线方程

曲面的切平面与法线方程设上中曲面Σ的方程为F (X , y , Z) = 0 ,函数F (X , y , Z)在曲面Σ上点'一J∣.∙.'一'.∣处可微，W t) =且1加卽龛丿，过点血任意引一条位于曲面Σ上的曲线Γ°设其∖=Λ(∕)y=y⅛)方程为A邛,且对应于点不全为零。

由于曲线Γ在Σ上，则有⅛ g(x吨)+卩(血吨)+叭(⅜F(⅛)及朮LF 。

该方程表示了曲面上任意一条过点「厂的曲线在该点的切线都与向量WO) 垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点：处的切平面.点.称为切点.向量二心 2 -l称为曲面Σ在点-处的一个法向量。

记为G。

基本方法：1、设点l l- ■' ■" 1■■在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, Z)在点一∣处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点处的切平面方程为F：g )(r-r,>+ 兀厲XJ-Λ)÷Eg(H-^) = D法线方程为⅞ _ y~y ti_X(Jf O)=X^) =2、设点''■' ' l∙' ' ■'在曲面Z = f (x, y)上，且Z = f (x, y)在点M o (χo, y o)处存在连续偏导数，则该曲面在点Al∙, "-" - -■处的切平面方程为-f E j Ja-心)-力(心小Xy-几)2-齢MDX = x(u, V) , y = y(u, V) , Z = z(u, V)给出，∑上的点禺臨片九与UV平面上的点(U o , V0)对应，而X(U , V) , y(u , V) , Z(U , V)在( u o , v o)处可微.曲面∑在点X o处的切平面方程及法线方程分别为三、答疑解惑问题：曲面∑的参数方程为X = X(U , V) , y = y(u , V) , Z = Z(U , V)，∑±的点：'I- ■ -,'ι■ •与u , V平面上的点(U o , VO)对应，怎样确定∑在点X o处的法向量？注释：设X(U , V) , y(U , V) , Z(U , V)在(U o , VO)处可微，考虑在∑上过点X o的两条曲线.Γ i: X = X(U , V o) , y = y(U , V o) , Z = Z(U , V o);Γ 2 : X = X(U o , V) , y = y(U o , V) , Z = Z(UO, V).它们在点X o处的切向量分别为ξ=C⅛冲"⅛(⅜, ⅛(¾,⅛))E■(兀(知岭h H(M e Mh 久(％%))过X o的法线方程为注：方法2实际上是方法1 中取..'l--λ.'<-的情形3、若曲面∑由参数方程当＜ 'I -时，得∑在点Xo 处的法向量为则∑在点Xo 处的法向量为<‰v)r ^f V),页陽叭四、典型例题例1求椭球面x 2+2y 2+3z 2 = 6在（1, 1, 1 ）处的切平面方程与法线方程解设F （x, y, Z ） = x 2+2y 2+3z 2 - 6,由于「八 FJ- •二在全平面上处处连续，在（1,1,1 ）处'一儿一「'■ 一"，椭球面在点（1,1,1）处的法向量为（2, 4, 6）.则所求切平面方程为2(z-l) + 4(y-1) ÷6(z-l) ■ 0即 X + 2y + 3z = 6.Λ- 1 _ y- I _1所求法线方程为---X-1 y-L Z-1 即 I-J ^ -.* i Z=—卡 y例2求曲面- 平行于Z = 2x+2y 的切平面方程则曲面在一1'^l 处的法向量为 'l ,' 曲面在点X 0处的切平面方程为解设切点为兀馆％殆.曲面"J 」 j2,因此舐瀚(Λ-心)十 2⅛O- M)- (Z -2o)-0又切平面与已知平面 Z = 2x+2y 平行，因此解得切点坐标为- ■■■■'■',所求切平面方程为2(^-3)+2(y-l)-(z-3)-0例 3 求曲面■ ^ 11■： 1.∙ ^ ■ ■ - ■ ：.「「’「 -^- - ^ 在点1 >. ^.：处的切平面方程和法线方程.解点^∙l ∙,'^∙厂…对应曲面上的点11 1■■ 1 '其中Λ⅛ =^Sin⅞¾ COE ⅛J I y o sm⅛r ¾ = L 7COS ⅞⅞^^COS ⅛=^5m¼.os⅛u<A. j-i SC0SξK⅛ cos⅛ 5⅛≤9∣4 QCOS⅞⅛si∩¾则曲面在点"-处的法向量为 V’ 4,亠」5 所求曲面在点X o 处的切平面方程为‰⅛I JS αcos⅝⅞ GOS ⅞Sm ς⅛ sin ⅛ ^Sill 2 ≠¾ sin ⅛-<jsifl ⅛ sin ⅛ -*2sιn sm ⅞2 」2≡t? Sm 处 c□≡φ¾护 tin 贏 COS ⅛(X ^ΛSIH ‰ cos¾) + asm J ⅞¾ sm¾ sm ξ≡⅛ s πι ¾) + O lSln 砂 CaS3^ DiJS 妬)■ 0,即 Q .一 -i ∣ J ■: , ； J I ς, • ■ I ■] _ _ ∙fΛ- asuι⅞⅛ cos6⅛ _ y- ^Sin⅛⅛ sin 6⅛所求的法线方程为「一一 .,J -IJ - -J . L - -I - .'■ J -■-■.Λ- sm⅛ J -ΛCCS ⅞¾SIn ⅞J ¾COS ⅛SHl ⅞¾ sin ⅛cos⅛¾解过直线的平面方程可设为即］:"：l "1'''其法向量为-■ 一且有J3Λ -2y-Z ~ 5例4求过直线',且与曲面L相切之切平面方程Q i Fm 2 ⅞⅛ cosg⅛3χ-2y- ∑ - 5^ Λ(Λ + y+ z) - QFgFQ =加- 2y 2 + 2z -设所求的切平面的切点为■ ■,则曲面上；=2处的法向量为（％γ用②.8,则(3 + Λχ÷(Λ-2)j b ÷(Z-l¼-5 = 03 + ∕⅛ 2-2 Λ-l由⑴、(3)解得代入(2)得e -⅛÷3-o则所求切平面方程为3x - 2I y-Z- 5 + 3(j ÷ιy +z) ■ O或…'--,.■-- I -即 6x + y + 2 Z = 5 或 10x + 5y + 6 Z = 5.例5试证曲面IT 丿上任一点处的切平面都过原点，其中 f(x)为可微函数(1)2÷⅛ 2t -1 15解得 t ι = 1, t 2 = 3 ,故λ 2=7.1 1■- ,''∙ 处的法向量为故曲面上点则过曲面上点--'-.' - ,.∙-的切平面方程为f-⅛∕∙卜fy-⅞∕"ι"^o ∕f -注意到<r <> ,从上述方程得切平面方程为■/ X ( ∖^∣( \f 西-—f 地也 y-^-Ok⅞∕ Jf O ∖λ(]√^J∖⅞∕可知其必定过原点.(X-X o )4 ∕{⅛-Λ)整理后得。

空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线

对应于 t t0 t.
x
(1)
z • M
•M
o
y
割线 M的M方程为
z
• M
x x0 y y0 z z0 x y z
x
考察割线趋近于极限位置——切线的过程
上式分母同除以
t ,
x x0 y y0 z z0 ,
x
y
z
t
t
t
•M
o
y
当M M ,即t 0时 ,
曲线在M处的切线方程
曲面的切平面与法线
（求法向量的方向余弦时注意符号）
思考题
如果平面3x y 3z 16 0与椭球面 3 x2 y2 z 2 16相切，求 .
思考题解答
设切点 ( x0 , y0 , z0 ),
依题意知切向量为
n {6 x0 , 2 y0 , 2z0 },
{3, ,3}
6x0 2 y0 2z0
3 3

y0 x0 , z0 3 x0 ,
切点满足曲面和平面方程
3 3
x0 x02
2 2
x0 x02
9 x0 9 x02
16 16
0 ,
0
2.
练习题
一、填空题:
1、曲线 x t , y 1 t , z t 2 再对应于t 1 的点
1 t
t
处切线方程为________________；
处的切平面及法线方程.
解 f ( x, y) x2 y2 1,
n ( 2,1, 4 )
{2x,
2 y, 1}(2,1,4)
{4,
2,1},
切平面方程为
4( x 2) 2( y 1) (z 4) 0,

曲面的切平面与法线方程

曲面的切平面与法线方程设*「中曲面工的方程为F（x ,z) = 0，函数F ( x , y , Z）在曲面工上点益-氐丹，环）Wo）= 处可微，且酬（血）前（血）萌（血）# o，过点」任意引一条位于曲面工上的曲线r。

设其方程为X ■戎\* y = XOmW），且f ■冷对应于点-'■ 不全为零。

由于曲线『在工上，则有＜ -「及□化（孟）确,）+匚僦）HG+胃（兀玄如。

该方程表示了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上, 这个平面就称为曲面工在点■'处的切平面.点1 .称为切点.向量」丁 J _1称为曲面工在点］.处的一个法向量。

记为厂：基本方法:1、设点?-1'■•"在曲面F（x, y, z）=0上，而F（x, y, z）在点‘丨处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F（x, y, z）=0在点丄1处的切平面方程为忙（局）（“忌）4 兀（EXF -刃）+ £（兀-x,）-o法线方程为尺％，厂£3■厂£（兀）2、设点f-' 1' -1'■-在曲面z = f （x, y）上，且z = f （x, y）在点M（x。

，y。

）处存在连续偏导数,则该曲面在点上处的切平面方程为过X的法线方程为-工外片)-工知片)】注：方法2实际上是方法1中取■'■ ■1■ ' '■'- ■■' I的情形.3、若曲面刀由参数方程x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v)给出，刀上的点''''■'-与uv平面上的点(LP, v。

)对应，而x(u , v) , y( u , v) , z( u , v)在(u。

, v o)处可微.曲面刀在点X)处的切平面方程及法线方程分别为三、答疑解惑问题：曲面刀的参数方程为x = x(u , v) , y = y( u , v) , z = z( u , v)，刀上的点'：_i 1与u , v平面上的点(u o, v o)对应，怎样确定刀在点X)处的法向量?注释: :设x( u ,v),y(u , v),z(u ,v)在(s, v o)处可微，考虑在刀上过点X o的两条曲线『1: x = x(u ,v o),y = y(u ,v o),z = z( u , v o)；『2：x = x(u o,v),y = y(u o ,v),z = z( u o , v).它们在点X。

多元微分学应用曲面的切平面与法线

则 n T , 由 M 于曲线是曲面上通过的任意一条 M n 曲线，它们在的切线都与同一向量垂直，故 M M 曲面上通过的一切曲线在点的切线都在同一 M 平面上，这个平面称为曲面在点的切平面 .
小结
曲面的切平面与法线
（求法向量的方向余弦时注意符号）
思考题
3 x y z 16 相切，求 .
2 2 2
3 x y 3 z 16 0 如果平面与椭球面
思考题解答
x ,y ,z ), 设切点 ( 0 0 0
n { 6 x , 2 y , 2 z }, 0 0 0
{ F ( x , y , z ), F ( x , y , z ), F ( x , y , z ) 令n x 0 0 0 y 0 0 0 z 0 0 0
切平面方程为
F ( x , y , z )( x x ) F ( x , y , z )( y y ) x 0 0 0 0 y 0 0 0 0 F ( x , y , z )( z z ) 0 z 0 0 0 0
1 f f 1 cos . 2 2 1 fx fy
2 x 2 y
cos
fy
,
其中
f f ( x , y ) x x 0 0
f f ( x ,y ) y y 0 0
2 2 ( 2 , 1 , 4 ) z x y 1 例 3求旋转抛物面在点
处的切平面及法线方程 .
1、曲线 x
线平行于平面 x 2 y z 4. 三、求球面 x 2 y2 z2 6与抛物面 z x2 y2 的交线在 ( 1 ,1 , 2 ) 处的切线方程 .

曲面的切平面与法线方程及曲线与方程优秀教案

曲面的切平面与法线方程设中曲面Σ的方程为F (x , y , z) = 0，函数F (x , y , z)在曲面Σ上点处可微，且，过点任意引一条位于曲面Σ上的曲线Γ。

设其方程为，且对应于点；不全为零。

由于曲线Γ在Σ上，则有及。

该方程表示了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点处的切平面. 点称为切点. 向量称为曲面Σ在点处的一个法向量。

记为。

基本方法：1、设点在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, z)在点处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点处的切平面方程为.法线方程为.2、设点在曲面z = f (x, y)上，且z = f (x, y) 在点M0 (x0, y0) 处存在连续偏导数，则该曲面在点处的切平面方程为.过X0的法线方程为.注：方法2实际上是方法1中取的情形.3、若曲面∑由参数方程x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v)给出，∑上的点与uv平面上的点（u0 , v0）对应，而x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在（u0 , v0）处可微.曲面∑在点X0处的切平面方程及法线方程分别为和三、答疑解惑问题：曲面∑的参数方程为x = x(u , v) , y = y(u , v) , z = z(u , v)，∑上的点与u , v平面上的点（u0 , v0）对应，怎样确定∑在点X0处的法向量？注释：设x(u , v) , y(u , v) , z(u , v) 在（u0 , v0）处可微，考虑在∑上过点X0的两条曲线.Γ1：x = x(u , v0) , y = y(u , v0) , z = z(u , v0);Γ2：x = x(u0, v) , y = y(u0 , v) , z = z(u0 , v).它们在点X0处的切向量分别为当时，得∑在点X0处的法向量为则∑在点X0处的法向量为.四、典型例题例1 求椭球面x2+2y2+3z2 = 6在（1, 1, 1）处的切平面方程与法线方程.解设F(x, y, z) = x2+2y2+3z2－6，由于在全平面上处处连续，在（1, 1, 1）处，椭球面在点(1, 1, 1)处的法向量为(2, 4, 6). 则所求切平面方程为，即x + 2y + 3z = 6.所求法线方程为，即.例2求曲面平行于z = 2x+2y的切平面方程.解设切点为. 曲面，因此.则曲面在处的法向量为.曲面在点X0处的切平面方程为又切平面与已知平面z = 2x+2y平行，因此解得切点坐标为，所求切平面方程为，即.例3求曲面在点处的切平面方程和法线方程.解点对应曲面上的点其中.则曲面在点处的法向量为.所求曲面在点X0处的切平面方程为即.所求的法线方程为即.例4求过直线，且与曲面相切之切平面方程.解过直线的平面方程可设为，即，其法向量为.记，则设所求的切平面的切点为，则曲面上处的法向量为.且有由(1)、(3)解得,代入(2)得.解得t1 = 1, t2 = 3，故λ1 = 3 , λ2=7.则所求切平面方程为，或.即6x + y + 2z = 5 或10x + 5y + 6z = 5.例5试证曲面上任一点处的切平面都过原点，其中f(x)为可微函数.证明，.故曲面上点处的法向量为.则过曲面上点的切平面方程为，整理后得. 注意到，从上述方程得切平面方程为.可知其必定过原点.2.1.2曲线与方程安徽师范大学附属外国语学校二0 年十二月二十四日2.1.2 曲线与方程一教学目标1、知识目标：（1）理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；（2）初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；（3）学会根据已有的资料找规律，进而分析、判断、归纳结论；（4）强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。

曲面的切平面方程和法线方程公式

曲面的切平面方程和法线方程公式曲面是三维空间中的一个二维对象，它可以用数学公式来表示。

在研究曲面的性质时，我们需要了解曲面的切平面方程和法线方程。

本文将详细介绍这两个公式的含义和应用。

一、曲面的切平面方程曲面的切平面方程是指曲面上某一点处的切平面的方程。

切平面是指与曲面在该点处相切的平面。

在三维空间中，一个平面可以用一个法向量来表示。

因此，曲面的切平面方程可以表示为：Ax + By + Cz + D = 0其中，A、B、C是平面的法向量的三个分量，D是平面的截距。

为了求出切平面的方程，我们需要先求出曲面在该点处的法向量。

曲面的法向量可以通过求取曲面的梯度来得到。

梯度是一个向量，它指向函数在某一点处的最大增加方向。

对于曲面f(x,y,z)，它的梯度可以表示为：grad f = (fx, fy, fz)其中，fx、fy、fz分别表示曲面在x、y、z三个方向上的偏导数。

因此，曲面在某一点处的法向量可以表示为：n = (fx, fy, fz)然后，我们可以将该向量作为平面的法向量，求出切平面的方程。

例如，对于曲面f(x,y,z) = x^2 + y^2 - z^2，在点(1,1,0)处的切平面方程可以表示为：2x(x-1) + 2y(y-1) - 2z = 0二、曲面的法线方程曲面的法线方程是指曲面上某一点处的法线的方程。

法线是指与曲面在该点处垂直的向量。

在三维空间中，一个向量可以用一个点和一个方向来表示。

因此，曲面的法线方程可以表示为：r = r0 + tn其中，r0是曲面上的一点，n是曲面在该点处的法向量，t是一个实数，r是曲面上的一条直线。

曲面的法线方程可以用于求取曲面上的切线。

通过将t取为0，我们可以得到曲面上与该点处切平面相切的一条直线。

例如，对于曲面f(x,y,z) = x^2 + y^2 - z^2，在点(1,1,0)处的法线方程可以表示为：r = (1,1,0) + t(2,2,0)通过令t=0，我们可以得到曲面在该点处的切线方程：x = 1 + 2ty = 1 + 2tz = 0三、曲面的应用曲面的切平面方程和法线方程在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

空间曲线与曲面的切平面与法平面

空间曲线与曲面的切平面与法平面在数学中，空间曲线和曲面是重要的研究对象。

曲线是一个一维的对象，可以用参数方程或者隐式方程表示。

曲面则是一个二维的对象，可以用参数方程、隐式方程或者参数化方程表示。

在研究空间曲线和曲面时，我们常常需要了解曲线和曲面上某点的切线或者法线，这对于进一步研究曲线和曲面的性质和变化非常重要。

本文将介绍空间曲线和曲面的切平面与法平面的概念以及求解方法。

一、空间曲线的切线与切平面空间曲线是三维空间中的一条曲线，我们可以通过曲线上某一点的导数来求解该点处的切线。

设曲线的参数方程为：x = x(t),y = y(t),z = z(t).在曲线上取一点P(x0, y0, z0)，该点的切向量T可以由参数t求导得到：T = (dx/dt, dy/dt, dz/dt)|t=t0.切向量T是曲线上该点的切线方向，我们可以通过该向量来确定切线的方向。

此外，曲线上任意一点的切向量均与曲线在该点的切线方向相同。

在曲线上取一点P(x0, y0, z0)，切线方程可以表示为：(x - x0)/dx/dt = (y - y0)/dy/dt = (z - z0)/dz/dt.切线方程表示了曲线上点P处切线上所有点的坐标与点P坐标的关系，通过该方程我们可以求解切线上的点的坐标。

与切线相对应的是切平面，切平面与曲线上某一点处的切线垂直，并且包含该切线。

我们可以通过点法式方程来表示切平面，设曲线上一点为P(x0, y0, z0)，其切平面方程为：A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0.其中A、B、C为切平面的法向量的坐标，可以通过切线的方向向量T求解：A = dx/dt,B = dy/dt,C = dz/dt.切平面方程表示了切平面上所有点的坐标与点P坐标的关系。

二、空间曲面的法线与法平面空间曲面是三维空间中的一个二维对象，我们可以通过曲面上某一点的偏导数来求解该点处的法线。

曲面的切平面和法线方程

曲面的切平面与法线方程设二中曲面工的方程为F (x , y , z ) = 0，函数F (x , y , z )在曲面工上点_ 1. . ■ 一处可微，且x=瑚Q£=胡，且f 叫对应于点肌；疋(订)』(讥*(耐)不全为零。

由于曲线I 在工上，则有任意一条过点‘‘-的曲线在该点的切线都与向量一」'-L| -垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面工在点 ' -处的切平面.点］称为切点.向量'■ '-1--称为曲面工在点’-处的一个法向量。

记为顶丽化gF, QO)基本方法:1、设点? ljl ' L 在曲面F (x , y , z )=0上，而F (x , y , z )在点「■'处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面 F (x , y , z )=0在点’「处的切平面方程为法线方程为L % _ F_ 片_ £_矶£(兀厂叮兀厂外匕)2、设点在曲面z = f (x , y )上,且z = f (x , y )在点M o (x o , y o )处存在连续偏导数，则该曲面在点•处的切平面方程为过X o 的法线方程为齐_ 爲 ______ _g~g» -£(心片)-刀仇」)1注：方法2实际上是方法1中取埶兀”巧■”/(“)・0［加(血)朗(血)鹽他))n (滋如龛丿,过点-任意引一条位于曲面工上的曲线r 设其方程为该方程表示了曲面上的情形.3、若曲面刀由参数方程x = X(u, v), y = y(u, v) , z = z(u, v)给岀，刀上的点「「..'与uv 平面上的点(u o , v o)对应，而x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在(u o , v o)处可微.曲面刀在点X o处的切平面方程及法线方程分别为三、答疑解惑问题：曲面刀的参数方程为x = x(u , v) , y = y(u , v) , z = z(u , v),E上的点1与u , v平面上的点(u o , v o)对应，怎样确定刀在点X o处的法向量？注释：设x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在(u o , v o)处可微，考虑在刀上过点X o的两条曲线.r ：x = x(u , v o) , y = y(u , v o) , z = z(u , v o);ir：x = x(u o, v) , y = y(u o , v) , z = z(u o , v).它们在点X o处的切向量分别为i*=a：糾冲,y：（埠冲吗必））£・（兀（如％）,中阳心细畀J）当-i ' '-时，得刀在点X o处的法向量为%%)g.)则刀在点X o处的法向量为四、典型例题例1求椭球面X2+2 y2+3 z2= 6在（1,1,1 ）处的切平面方程与法线方程.解设F（x, y, z） = X2+2 y2+3 Z2 -6，由于' ' " 在全平面上处处连续，在（1, 1, 1 ）p1' = 2 J?1- 4 F -fi处 ''- -' ，椭球面在点（1,1,1）处的法向量为（2, 4, 6）.则所求切平面方程为2(J-1)+ 4(y- l) + d(z-l) = 0 即X + 2 y + 3 Z = 6.A-1_ y-1 _ z-1所求法线方程为】- -，g=可-+y例2求曲面- 平行于Z = 2 X+2 y的切平面方程左亡心隔亡as^j 口ccis 冏sin^ -<7sm厲曹in给_#sm sin2- 2MO sin cos®%x 号=一+y £=工*£ = 2了解设切点为L J' ■.曲面-'，因此」-.■- .则曲面在上” —」处的法向量为■> ■^■■，|■■■.曲面在点Xo处的切平面方程为心仗・心）+ 2"®■幷）■（"习）,又切平面与已知平面z = 2 x+2 y平行，因此况—认三TT解得切点坐标为 '-■'■■■ -1 - ■ ■ ■'，所求切平面方程为J.. -■ I --.I 1 亠二：II即益+即-3-0.例 3 求曲面'_ 1 : 1 1■.：■ 1■ ■ - ■ 1 1' ■ . ■- _'■在点匚〔处的切平面方程和法线方程.解点'-'■■■宀对应曲面上的点L U ''■■■■■ ■' ■'其中，一! I ■：二| 一「：] I | - :::win 绻^cas 恤CDS给二，sill 2 轴CO56J-t/sm 轴sin 第sin2 sin^则曲面在点■■■-丨•处的法向量为■' 1 . 1 A 1. 1所求曲面在点X o处的切平面方程为& sin 职ccs^fx-ijsin % cos5(j) + asm1伽处sin 気)+ 应‘ sin 軌 cos 6^ (z - tf2cos - 0,即xstn cos^ + ysrn sin 4-zcos^ = ax- asincsb cosft p-应册)sin晞z-acos^n Hi - ~ ■ □ - «)- _ ~ Q q所求的法线方程为'■■-flsin^Gos^ _ y-CFSin^ siii^)驰即 _ ^ ^(3^-2j/-z -5 5f + 十=门2” - 2y +2^ =-例4求过直线，且与曲面^ -相切之切平面方程.解过直线的平面方程可设为-J' - : '..'J. 「I —.即壮丄二，其法向量为理忑”勿=2”处_|记-,则F；5,沪* ^>2设所求的切平面的切点为*"■" - '■ ■ ■''，则曲面上小汁"-门处的法向量为T I二■''.且有（34刃可+ 以・2）兀^（Z-1K-5 = O3 + /t 2-2由⑴、(3)解得152/ -1代入(2)得解得t i = 1, t2 = 3，故入 1 = 3 ,卮=7.则所求切平面方程为3x - - z - 5 + 3（J+ 丿+z）■ 0 3x- Ry -云一5 + 7（工十j十左）-0即6x + y + 2 z = 5 或10x + 5 y + 6 z = 5.r= vf-例5试证曲面•-上任一点处的切平面都过原点，其中f(x)为可微函数.证明故曲面上点L '■■■ ■■- '■-处的法向量为 .十' 丄则过曲面上点 s 「 ' J '■的切平面方程为整理后得可知其必定过原点从上述方程得切平面方程为。

9.2空间曲面的切平面与法线

n { fx ( x0, y0 ), f y ( x0, y0 ),1}, 曲面在M处的切平面方程为:
fx ( x0 , y0 )(x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) z z0 ,
曲面在M处的法线方程为: x x0 y y0 z z0 .
即 n {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )}
则
n

T,
切平面方程为:
Fx (M )( x x0 ) Fy (M )( y y0 ) Fz (M )(z z0 ) 0
法线方程为: x x0 y y0 z z0 . Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
切平面的法向量为
F(x, y,z) 0 3. G( x, y, z) 0 , T {J , J1, J2};
n {Fx , Fy , Fz } M .
Thank you!
切平面方程为:
( x 1 ) ( y 1 ) (z 1 ) 0,
3
3
3

即 x y z 3;
法线方程为: x y z.
◆全微分的几何意义: 曲面: z = f ( x, y ) 在M处的切平面方程为
z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 )
n(2,1,4) {2x, 2 y, 1}(2,1,4) {4, 2,1},
切平面方程为 4( x 2) 2( y 1) (z 4) 0;

曲面的切平面与法线方程

曲面的切平面与法线方程仙(血)酥(览)巩坷叩、负，卽，鬼丿过点广.任意引一条位于曲面工上的曲线r 。

设其该曲面在点曲面的切平面与法线方程设上中曲面工的方程为F (x , y , z) = 0，函数F (x , y , z)在曲面工上点?u _ 1.■ J i ■■处可微,x-戎0 F=刃)方程为 m ,且对应于点不全为零。

由于曲线r 在工上，则有呀尹厲感)+卩(兀吨)+罠区池)T： ■ ■■.'： ■ ■' ■ '：■：：'-「及'任意一条过点一的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面工在点丁.处的切平面.点、•称为切点.向量「" 称为曲面工在点、■处的一个法向量。

记为基本方法:1、设点 1 丿在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, z)在点「处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点’•处的切平面方程为麻不Xr-r.)+ 押;-片)亠 Eea -心)■ 0法线方程为xr _ y —旳 _ %2、设点'' ■'在曲面z = f (x, y)上，且z = f (x, y)在点M Q (x o , y o )处存在连续偏导数，则处的切平面方程为过X o的法线方程为注：方法2实际上是方法〔昭儿)("心)-力(心小X?-几)2-齢齐_ %__________ _石_石-饷矶)-/(兀必)11 中取’1■-?■-■'- ..■ .-.L 的情形3、若曲面刀由参数方程x = x(u, v) , y = y(u , v) , z = z(u, v)给出，刀上的点劣臨沧知与uv平面上的点(u o , v o)对应，而x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在( u o , v o)处可微.曲面刀在点X o处的切平面方程及法线方程分别为y-n畑)d(u,v)三、答疑解惑问题：曲面刀的参数方程为x = x(u , v) , y = y(u , v) , z = z(u , v),E上的点•'1与u , v平面上的点(u o , v o)对应，怎样确定刀在点X o处的法向量？注释：设x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在(u o , v o)处可微，考虑在刀上过点X o的两条曲线.r 1 : x= x(u , v o) , y = y (u , v o) , z = z(u , v o)；r2: x = x(u o , v) , y = y(u o , v) , z = z(u o , v).它们在点X o处的切向量分别为当■■■时，得刀在点X o处的法向量为昭卩）Jt3J则刀在点X o处的法向量为四、典型例题1 求椭球面x2+2y2+3z2= 6 （1,1,1 ）处的切平面方程与法线方程设F(x, y , z) = x2+2y 2 2+3z -6,由于?■■ ■■■'…’…亠在全平面上处处连续，在（1, 1, 1 ）-行，椭球面在点（1,1,1）处的法向量为（2, 4, 6）.则所求切平面方程为2(z-l) + 4(y-1)■x + 2y + 3z = 6.A-1所求法线方程为- y-1 z-\ 4A-1 y-1 Z'1E=a血評我和出诞皿））£ ■（才（如卩j 认心分包止））2求曲面- 平行于z = 2x+2y的切平面方程.设切点为一L, T' ■■■■ 一 .曲面”牛2 舟=匚善=2 丁2 ，因此无谢[acos^ cos^j-t?sm g sin 第u\A. j- i tSCOS^ COS^j ◎(牯叭L acos^sin^-<7sm sin-^sm sin2- 2MLJ sin 处cos^则曲面在丄I…处的法向量为-I曲面在点Xo处的切平面方程为奄仗一冏）十2加（/-并）-（広-^）-0又切平面与已知平面z = 2x+2y平行，因此解得切点坐标为■ ■■■ _1；■'：，所求切平面方程为2(j-3) = 0例3 求曲面■■- 11 / 1- ' :. 1 1■ J ' ■'二•—在点■. 1：■. ^.：处的切平面方程和法线方程.解点'，，1- .对应曲面上的点禺三£?sin関cosi%, y0•处in犁睛mg「迓口匚则曲面在点岛（向局）处的法向量为(a2sin7刑cosS^.a2sir?仰血务/ sin2轨cossin^cos^ sui sin CuS^j例4求过直线3A- 2jr -z - 5A+J+ z = 02/- 2/a+ 2^ =-，且与曲面^ ;-相切之切平面方程解过直线的平面方程可设为3x-2y - 1 - 5+几(X + y + z) - 0即匚.：.」二L八1- ：■■其法向量为 _' *…一… ■-.记=2兀？_ 十2z ~ —S，则所求曲面在点Xo处的切平面方程为/ sin 职% cos^) -b a sin1伽sm^ (y- <7sin 处sui 境)+ a1sin 0(j cos ^(z-a1cos 伽)■ □即xsin cos+ .ysui sin + 7cos恥"jr- tisincosft y- asm sin z-a匚皿仙所求的法线方程为'+■. 1订■ '' ■'. :"■-. '■ 一i，；,y-^sui^ sm6()设所求的切平面的切点为偏皿知，则曲面上氐弘久）处的法向量为（如-4用Q .且有15解得 t i = 1, t 2 = 3，故入=7.3 + /t 2-2由⑴、(3)解得2t -1代入(2)得则所求切平面方程为3x-2y -z-5-^3(J +丿 +z) ■03TL -2y-z-5 +7(A : + y + Z )-06x + y + 2z = 5 或 10x + 5y + 6z = 5.(3—)可 + 以-2)兀 K^-lkq-5-O(1)试证曲面上任一点处的切平面都过原点，其中 f(x)为可微函数.证明f—■=/--rI K\ J ：咼地］(厂儿)整理后得则过曲面上点-的切平面方程为卜f y-^ff1窃^0 "^0 /f—注意到<r<>，从上述方程得切平面方程为■/ X( \~| ( \f西-—f地e f 也y-^-o% 丿」x^o /可知其必定过原点.。

切平面方程和法平面方程公式

切平面方程和法平面方程公式平面是三维空间中的二维图形，可以通过平面方程来描述。

一般而言，平面方程包括切平面方程和法平面方程。

1.切平面方程：切平面是指平面与曲面在其中一点相切的平面。

给定曲面的方程和曲面上一点的坐标，可以通过求曲面在该点处的切线，从而确定切平面的方程。

切平面方程的形式可以通过两种方式表示：-点法式：切平面通过曲面上一点P(x0,y0,z0)，且与法线方向n⟂平面，切平面方程可以表示为：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0，其中(A,B,C)是法线方向的向量。

-法向量式：切平面通过曲面上一点P(x0,y0,z0)，且与法向量方向n⟂平面，切平面方程可以表示为：n·(x-x0,y-y0,z-z0)=0，其中n是法向量的向量，而·表示点乘运算。

2.法平面方程：法平面是指与曲面的法向量平行且通过曲面上一点的平面。

与切平面方程不同，法平面方程是描述法向量方向的平面方程。

给定曲面的方程和曲面上一点的坐标，可以通过求曲面在该点处的法向量，从而确定法平面的方程。

法平面方程的形式可以通过两种方式表示：-点法式：法平面通过曲面上一点P(x0,y0,z0)，且平行于法线方向n的平面方程可以表示为：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0，其中(A,B,C)是法线方向的向量。

-法向量式：法平面通过曲面上一点P(x0,y0,z0)，且平行于法向量方向n的平面方程可以表示为：n·(x-x0,y-y0,z-z0)=0，其中n是法向量的向量，而·表示点乘运算。

法平面方程的求解也需要借助曲面的方程和给定点的坐标，利用点法式或法向量式来获得具体的法平面方程。

总结：切平面方程和法平面方程是描述平面与曲面相交情况的数学工具。

切平面方程用于描述平面与曲面在其中一点相切的情况，而法平面方程用于描述平面与曲面的法向量平行的情况。

两种方程都可以通过点法式或法向量式获得，通过给定曲面的方程和曲面上其中一点的坐标来求解。

曲面的切平面与法线方程

曲面的切平面与法线方程处可微，且z)在曲面Σ上点(x , y , , 设中曲面Σ的方程为F (xy , z) = 0，函数FΓ。

设其方程为任意引一条位于曲面Σ上的曲线，过点Γ则有由于曲线不全为零。

在Σ上，，且对应于点；的曲线在该点的切。

该方程表示了曲面上任意一条过点及点线都与向量处的切平面垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点. 称处的一个法向量。

记为。

称为曲面Σ在点. 为切点向量基本方法：且三个偏导数不同时为零，, ()=0, 在曲面F(x1、设点y, z上，而Fx, yz)在点处存在连续偏导数，处的切平面方程为x(, 在点zy, )=0F则曲面.法线方程为.处存在连续偏导数，则该曲面在点(= 上，且yxf z 在曲面、2设点= (, )z f x) x () y, 在点M, y 0 00处的切平面方程为.的法线方程为过X0．..的情形2实际上是方法1中取注：方法若曲面∑由参数方程3、)vz(u, y(u, v) , z = x = x(u, v) , y =曲面∑在v）处可微. , v)在（u, ) , x(u , v) , y(u , vz(u, 给出，∑上的点与uv平面上的点（uv）对应，而0 0 0 0处的切平面方程及法线方程分别为X点0和三、答疑解惑）v平面上的点（u, vu = z( , v)，∑上的点与u , uu 问题：曲面∑的参数方程为x = x(, v) , y = y( , v) , z00处的法向量？对应，怎样确定∑在点X0.的两条曲线）处可微，考虑在∑上过点, v) 在（u, vXux注释：设(u , v) , y( , v) , z(u000Γ);z(uv , v) , u , vy = y(u , ) , z = (：x = x0001Γ). , ) , z = z(uv , yvux ：= x( , ) , y = (uv0200处的切向量分别为它们在点X0处的法向量为当时，得∑在点X0处的法向量为X则∑在点0.四、典型例题222.）处的切平面方程与法线方程1, 1, 1在（= 6z+3y+2x求椭球面1 例222）处在全平面上处处连续，在（1, 1, 1－) = x6+2y，由于+3z, 解设F(xy, z则所求切平面方程为(1, 1, 1)处的法向量为(2, 4, 6). ，椭球面在点，= 6.z + 2即x y + 3，所求法线方程为. 即.的切平面方程y 例2求曲面平行于z = 2x+2.，因此. 解设切点为曲面.则曲面在处的法向量为处的切平面方程为曲面在点X0平行，因此x+2y = 2又切平面与已知平面z，解得切点坐标为所求切平面方程为，.即在点求曲面例3处的切平面方.程和法线方程其中点解对应曲面上的点..则曲面在点处的法向量为处的切平面方程为所求曲面在点X0. 即所求的法线方程为. 即.，且与曲面例4求过直线相切之切平面方程过直线的平面方程可设为解，，即.其法向量为，则记.设所求的切平面的切点为，则曲面上处的法向量为且有．解得(3)、由(1),得代入(2).=7. = 3t，故λλ= 3 , 解得t = 1, 2112则所求切平面方程为，. 或= 5.+ 5 10x y + 6z或y 即6x + + 2z = 5.)为可微函数f 例5试证曲面上任一点处的切平面都过原点，其中(x，证明..处的法向量为故曲面上点的切平面方程为则过曲面上点，整理后得．.，从上述方程得切平面方程为注意到..可知其必定过原点．。

求曲面在某点的切平面和法线方程

求曲面在某点的切平面和法线方程曲面在某点的切平面和法线方程是微积分和线性代数中的重要概念。

它们用于研究曲面在特定点的性质和方向，并在物理学、工程学、计算机图形学等领域具有广泛的应用。

在本文中，我们将深入探讨求曲面在某点的切平面和法线方程的基本原理和方法，并通过实例帮助读者更好地理解。

首先，让我们澄清一下什么是切平面和法线。

在三维几何中，曲面是空间中的一个二维对象，通常由一个方程定义。

切平面是与曲面在某点相切且与曲面相切于该点的一个平面。

它在该点的切线与曲面的切点重合。

另一方面，法线是与曲面在该点垂直的一条线，垂直于切平面。

接下来，我们将介绍求曲面在某点的切平面和法线方程的方法。

首先，我们需要找到曲面在该点的切向量。

切向量与曲面在该点的切线方向相同。

我们可以通过对曲面方程进行偏导数来求得切向量。

对于一般的曲面方程 $F(x, y, z) = 0$，其切向量可以用下式表示：$$\boldsymbol{V} = \left(\frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z}\right)$$接着，我们可以使用切向量来构造切平面的方程。

对于曲面上的点$(x_0, y_0, z_0)$，切平面的方程可以表示为：$$\frac{\partial F}{\partial x}(x_0, y_0, z_0)(x - x_0) + \frac{\partial F}{\partial y}(x_0, y_0, z_0)(y - y_0) + \frac{\partial F}{\partialz}(x_0, y_0, z_0)(z - z_0) = 0$$最后，我们来求解曲面在该点的法线方程。

由于法线垂直于切平面，所以法线的方向向量与切向量相垂直。

我们可以使用点法式来表示法线方程。

对于切向量 $\boldsymbol{V} = (a, b, c)$，法线方程可以表示为：$$a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$$现在，让我们通过一个具体的例子来说明这些概念和方法。