852 曲面的切平面与法线讲解

8.5.2曲面的切平面与法线

过曲面Σ上一点M，在曲面Σ上的曲线

有无数多条，每一条曲线点M处都有一条

切线，在下面的讨论中将会发现，在一定

的条件下，这些切线位于同一平面，我们

称这个平面为曲面Σ在点M处的切平面。

设曲面Σ的方程为F(x，y，z)=0，M(x0，

y0，z0)是曲面上一点，函数F(x，y，z)在

点M处有连续的偏导数，且三个偏导数不

全为零，另设曲线Γ是过点M且在曲面Σ

上的任意一条曲线，它的方程为

t=t0是点M0所对应的参数

，

不全为零。

由于曲线Γ在曲面Σ上，于是曲线Γ上

任意一

点的坐标满足曲面Σ的

方程，即有恒等式

图8-22

又由于函数F(x，y，z)在点M处有连续的偏导数，函

数

在t=t0处可导，所以复合函

数在t=t0

处可导，且全导数为

恒等式=0两边在t0处对t求全导数，有

上式说明向量

与向量

垂直。向量是曲线Γ在点M处的切向量，故曲线Γ在点M处

的切线与向量垂直，由曲线Γ的任意性知，所有过点M，且在曲

面Σ上的曲线在M处的切线都与向量垂直，也就是这些切线都在

以向量为法向量，并通过点M的平面上。所以，曲面Σ在点M处的切平面方程为

过点M(x0，y0，z0)且垂直于该点处的切平面的直线称为曲面Σ在点M处的法线，显然，切平面的法向量就是法线的方向向量，所以曲面Σ在点M处的法线方程为

如果曲面Σ的方程为z=f(x，y),则只需设

那么曲面Σ的方程就可化成F(x，y，z)=0的形式，而且

,

此时曲面Σ在点M0(x0，y0，z0)处的切平面方程为

法线方程为

例1：求曲面在点M(3，1，1)处的切平面方程和法线方程。

解：

例2：求圆锥面在点M(1，0，1)处的切平面方程和法线方程。

解：

例3：在椭圆抛物面上求一点，使它的切平面与平

面平行，并求该点的切平面及法线方程。

解：