曲面的切平面和法线方程

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曲面的切平面方程和法线方程公式

曲面的切平面方程和法线方程公式曲面是三维空间中的一类特殊图形，它是由一个或多个曲线旋转、平移、拉伸、变形等操作形成的。

在数学中，曲面是非常重要的研究对象，它不仅在几何学、拓扑学、微积分等数学领域中有广泛应用，还在物理学、工程学、计算机图形学等应用领域中得到了广泛的应用。

对于曲面的研究，其中一个重要的问题是如何确定曲面上任意一点的切平面和法线方程。

本文将介绍曲面的切平面方程和法线方程公式，以及如何应用这些公式解决实际问题。

一、曲面的切平面方程曲面的切平面是指与曲面在某一点相切的平面。

在数学上，我们可以通过求出曲面在该点的切向量来确定该点的切平面。

切向量是指曲面在该点的切线方向的向量，它与曲面在该点的法向量垂直。

设曲面的方程为F(x,y,z)=0，其中F(x,y,z)是曲面上任意一点(x,y,z)的函数，点P(x0,y0,z0)是曲面上的一个点，它的切向量为：grad F(x0,y0,z0) =(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))其中Fx、Fy、Fz分别表示F对x、y、z的偏导数。

因为切向量与切平面垂直，所以曲面在点P的切平面的法向量为：n = (Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)) 假设切平面的方程为Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C是切平面的法向量的三个分量，D是一个常数。

由于点P在切平面上，所以有：Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0将切平面的法向量代入上式得：Fx(x0,y0,z0)x0 + Fy(x0,y0,z0)y0 + Fz(x0,y0,z0)z0 + D = 0因此，切平面的方程为：Fx(x0,y0,z0)x + Fy(x0,y0,z0)y + Fz(x0,y0,z0)z + D = 0 其中D=-Fx(x0,y0,z0)x0 - Fy(x0,y0,z0)y0 -Fz(x0,y0,z0)z0。

曲面的切平面与法线方程

曲面的切平面与法线方程设中曲面Σ的方程为F (x , y , z) = 0，函数F (x , y , z)在曲面Σ上点处可微，且，过点任意引一条位于曲面Σ上的曲线Γ。

设其方程为，且对应于点；不全为零。

由于曲线Γ在Σ上，则有及。

该方程表示了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点处的切平面. 点称为切点. 向量称为曲面Σ在点处的一个法向量。

记为。

基本方法：1、设点在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, z)在点处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点处的切平面方程为.法线方程为.2、设点在曲面z = f (x, y)上，且z = f (x, y) 在点M0 (x0, y0) 处存在连续偏导数，则该曲面在点处的切平面方程为.过X0的法线方程为.注：方法2实际上是方法1中取的情形.3、若曲面∑由参数方程x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v)给出，∑上的点与uv平面上的点（u0 , v0）对应，而x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在（u0 , v0）处可微.曲面∑在点X0处的切平面方程及法线方程分别为和三、答疑解惑问题：曲面∑的参数方程为x = x(u , v) , y = y(u , v) , z = z(u , v)，∑上的点与u , v平面上的点（u0 , v0）对应，怎样确定∑在点X0处的法向量？注释：设x(u , v) , y(u , v) , z(u , v) 在（u0 , v0）处可微，考虑在∑上过点X0的两条曲线.Γ1：x = x(u , v0) , y = y(u , v0) , z = z(u , v0);Γ2：x = x(u0, v) , y = y(u0 , v) , z = z(u0 , v).它们在点X0处的切向量分别为当时，得∑在点X0处的法向量为则∑在点X0处的法向量为.四、典型例题例1 求椭球面x2+2y2+3z2 = 6在（1, 1, 1）处的切平面方程与法线方程.解设F(x, y, z) = x2+2y2+3z2－6，由于在全平面上处处连续，在（1, 1, 1）处，椭球面在点(1, 1, 1)处的法向量为(2, 4, 6). 则所求切平面方程为，即x + 2y + 3z = 6.所求法线方程为，即.例2求曲面平行于z = 2x+2y的切平面方程.解设切点为. 曲面，因此.则曲面在处的法向量为.曲面在点X0处的切平面方程为又切平面与已知平面z = 2x+2y平行，因此解得切点坐标为，所求切平面方程为，即.例3求曲面在点处的切平面方程和法线方程.解点对应曲面上的点其中.则曲面在点处的法向量为.所求曲面在点X0处的切平面方程为即.所求的法线方程为即.例4求过直线，且与曲面相切之切平面方程.解过直线的平面方程可设为，即，其法向量为.记，则设所求的切平面的切点为，则曲面上处的法向量为.且有由(1)、(3)解得,代入(2)得.解得t1 = 1, t2 = 3，故λ1 = 3 , λ2=7.则所求切平面方程为，或.即6x + y + 2z = 5 或10x + 5y + 6z = 5.例5试证曲面上任一点处的切平面都过原点，其中f(x)为可微函数.证明，.故曲面上点处的法向量为.则过曲面上点的切平面方程为，整理后得. 注意到，从上述方程得切平面方程为.可知其必定过原点.。

曲面的切平面与法线方程

曲面的切平面与法线方程设上中曲面Σ的方程为F (X , y , Z) = 0 ,函数F (X , y , Z)在曲面Σ上点'一J∣.∙.'一'.∣处可微，W t) =且1加卽龛丿，过点血任意引一条位于曲面Σ上的曲线Γ°设其∖=Λ(∕)y=y⅛)方程为A邛,且对应于点不全为零。

由于曲线Γ在Σ上，则有⅛ g(x吨)+卩(血吨)+叭(⅜F(⅛)及朮LF 。

该方程表示了曲面上任意一条过点「厂的曲线在该点的切线都与向量WO) 垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点：处的切平面.点.称为切点.向量二心 2 -l称为曲面Σ在点-处的一个法向量。

记为G。

基本方法：1、设点l l- ■' ■" 1■■在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, Z)在点一∣处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点处的切平面方程为F：g )(r-r,>+ 兀厲XJ-Λ)÷Eg(H-^) = D法线方程为⅞ _ y~y ti_X(Jf O)=X^) =2、设点''■' ' l∙' ' ■'在曲面Z = f (x, y)上，且Z = f (x, y)在点M o (χo, y o)处存在连续偏导数，则该曲面在点Al∙, "-" - -■处的切平面方程为-f E j Ja-心)-力(心小Xy-几)2-齢MDX = x(u, V) , y = y(u, V) , Z = z(u, V)给出，∑上的点禺臨片九与UV平面上的点(U o , V0)对应，而X(U , V) , y(u , V) , Z(U , V)在( u o , v o)处可微.曲面∑在点X o处的切平面方程及法线方程分别为三、答疑解惑问题：曲面∑的参数方程为X = X(U , V) , y = y(u , V) , Z = Z(U , V)，∑±的点：'I- ■ -,'ι■ •与u , V平面上的点(U o , VO)对应，怎样确定∑在点X o处的法向量？注释：设X(U , V) , y(U , V) , Z(U , V)在(U o , VO)处可微，考虑在∑上过点X o的两条曲线.Γ i: X = X(U , V o) , y = y(U , V o) , Z = Z(U , V o);Γ 2 : X = X(U o , V) , y = y(U o , V) , Z = Z(UO, V).它们在点X o处的切向量分别为ξ=C⅛冲"⅛(⅜, ⅛(¾,⅛))E■(兀(知岭h H(M e Mh 久(％%))过X o的法线方程为注：方法2实际上是方法1 中取..'l--λ.'<-的情形3、若曲面∑由参数方程当＜ 'I -时，得∑在点Xo 处的法向量为则∑在点Xo 处的法向量为<‰v)r ^f V),页陽叭四、典型例题例1求椭球面x 2+2y 2+3z 2 = 6在（1, 1, 1 ）处的切平面方程与法线方程解设F （x, y, Z ） = x 2+2y 2+3z 2 - 6,由于「八 FJ- •二在全平面上处处连续，在（1,1,1 ）处'一儿一「'■ 一"，椭球面在点（1,1,1）处的法向量为（2, 4, 6）.则所求切平面方程为2(z-l) + 4(y-1) ÷6(z-l) ■ 0即 X + 2y + 3z = 6.Λ- 1 _ y- I _1所求法线方程为---X-1 y-L Z-1 即 I-J ^ -.* i Z=—卡 y例2求曲面- 平行于Z = 2x+2y 的切平面方程则曲面在一1'^l 处的法向量为 'l ,' 曲面在点X 0处的切平面方程为解设切点为兀馆％殆.曲面"J 」 j2,因此舐瀚(Λ-心)十 2⅛O- M)- (Z -2o)-0又切平面与已知平面 Z = 2x+2y 平行，因此解得切点坐标为- ■■■■'■',所求切平面方程为2(^-3)+2(y-l)-(z-3)-0例 3 求曲面■ ^ 11■： 1.∙ ^ ■ ■ - ■ ：.「「’「 -^- - ^ 在点1 >. ^.：处的切平面方程和法线方程.解点^∙l ∙,'^∙厂…对应曲面上的点11 1■■ 1 '其中Λ⅛ =^Sin⅞¾ COE ⅛J I y o sm⅛r ¾ = L 7COS ⅞⅞^^COS ⅛=^5m¼.os⅛u<A. j-i SC0SξK⅛ cos⅛ 5⅛≤9∣4 QCOS⅞⅛si∩¾则曲面在点"-处的法向量为 V’ 4,亠」5 所求曲面在点X o 处的切平面方程为‰⅛I JS αcos⅝⅞ GOS ⅞Sm ς⅛ sin ⅛ ^Sill 2 ≠¾ sin ⅛-<jsifl ⅛ sin ⅛ -*2sιn sm ⅞2 」2≡t? Sm 处 c□≡φ¾护 tin 贏 COS ⅛(X ^ΛSIH ‰ cos¾) + asm J ⅞¾ sm¾ sm ξ≡⅛ s πι ¾) + O lSln 砂 CaS3^ DiJS 妬)■ 0,即 Q .一 -i ∣ J ■: , ； J I ς, • ■ I ■] _ _ ∙fΛ- asuι⅞⅛ cos6⅛ _ y- ^Sin⅛⅛ sin 6⅛所求的法线方程为「一一 .,J -IJ - -J . L - -I - .'■ J -■-■.Λ- sm⅛ J -ΛCCS ⅞¾SIn ⅞J ¾COS ⅛SHl ⅞¾ sin ⅛cos⅛¾解过直线的平面方程可设为即］:"：l "1'''其法向量为-■ 一且有J3Λ -2y-Z ~ 5例4求过直线',且与曲面L相切之切平面方程Q i Fm 2 ⅞⅛ cosg⅛3χ-2y- ∑ - 5^ Λ(Λ + y+ z) - QFgFQ =加- 2y 2 + 2z -设所求的切平面的切点为■ ■,则曲面上；=2处的法向量为（％γ用②.8,则(3 + Λχ÷(Λ-2)j b ÷(Z-l¼-5 = 03 + ∕⅛ 2-2 Λ-l由⑴、(3)解得代入(2)得e -⅛÷3-o则所求切平面方程为3x - 2I y-Z- 5 + 3(j ÷ιy +z) ■ O或…'--,.■-- I -即 6x + y + 2 Z = 5 或 10x + 5y + 6 Z = 5.例5试证曲面IT 丿上任一点处的切平面都过原点，其中 f(x)为可微函数(1)2÷⅛ 2t -1 15解得 t ι = 1, t 2 = 3 ,故λ 2=7.1 1■- ,''∙ 处的法向量为故曲面上点则过曲面上点--'-.' - ,.∙-的切平面方程为f-⅛∕∙卜fy-⅞∕"ι"^o ∕f -注意到<r <> ,从上述方程得切平面方程为■/ X ( ∖^∣( \f 西-—f 地也 y-^-Ok⅞∕ Jf O ∖λ(]√^J∖⅞∕可知其必定过原点.(X-X o )4 ∕{⅛-Λ)整理后得。

高等数学：9-3空间曲面的切平面与法线

Fz ( x0 , y0 , z0 ) (t0 ) 0
令 T ( (t0 ) , (t0 ) , (t0 ))
n ( Fx ( x0 , y0 , z0 ) , Fy ( x0 , y0 , z0 ) , Fz ( x0 , y0 , z0 ))
切向量 T n 由于曲线的任意性 , 表明这些切线都在以为法向量
T
点 M 的切向量为

M T ( (t0 ) , (t0 ) , (t0 )) x x0 y y0 z z0 切线方程为 (t0 ) (t0 ) (t0 ) 下面证明: 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上. 此平面称为在该点的切平面.
的平面上 , 从而切平面存在 .
曲面在点 M 的法向量:
n ( Fx ( x0 , y0 , z0 ) , Fy ( x0 , y0 , z0 ) , Fz ( x0 , y0 , z0 ))
切平面方程
Fx ( x0 , y0 , z0 ) ( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) ( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0
n
(1, 2, 3 )
(2 , 4 , 6)
所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有: 切平面方程 2( x 1) 4( y 2) 6( z 3) 0 即
法线方程
x 1 y 2 z 3 2 1 3
(0,0,0)在法线上，可见法线经过原点，即球心。
例2 求曲面z = f ( x, y) = x 2 + y 2 + 1在点（1, 2, 6）处的切平面及法线方程．

曲面的切平面与法线方程

曲面的切平面与法线方程设*「中曲面工的方程为F（x ,z) = 0，函数F ( x , y , Z）在曲面工上点益-氐丹，环）Wo）= 处可微，且酬（血）前（血）萌（血）# o，过点」任意引一条位于曲面工上的曲线r。

设其方程为X ■戎\* y = XOmW），且f ■冷对应于点-'■ 不全为零。

由于曲线『在工上，则有＜ -「及□化（孟）确,）+匚僦）HG+胃（兀玄如。

该方程表示了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上, 这个平面就称为曲面工在点■'处的切平面.点1 .称为切点.向量」丁 J _1称为曲面工在点］.处的一个法向量。

记为厂：基本方法:1、设点?-1'■•"在曲面F（x, y, z）=0上，而F（x, y, z）在点‘丨处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F（x, y, z）=0在点丄1处的切平面方程为忙（局）（“忌）4 兀（EXF -刃）+ £（兀-x,）-o法线方程为尺％，厂£3■厂£（兀）2、设点f-' 1' -1'■-在曲面z = f （x, y）上，且z = f （x, y）在点M（x。

，y。

）处存在连续偏导数,则该曲面在点上处的切平面方程为过X的法线方程为-工外片)-工知片)】注：方法2实际上是方法1中取■'■ ■1■ ' '■'- ■■' I的情形.3、若曲面刀由参数方程x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v)给出，刀上的点''''■'-与uv平面上的点(LP, v。

)对应，而x(u , v) , y( u , v) , z( u , v)在(u。

, v o)处可微.曲面刀在点X)处的切平面方程及法线方程分别为三、答疑解惑问题：曲面刀的参数方程为x = x(u , v) , y = y( u , v) , z = z( u , v)，刀上的点'：_i 1与u , v平面上的点(u o, v o)对应，怎样确定刀在点X)处的法向量?注释: :设x( u ,v),y(u , v),z(u ,v)在(s, v o)处可微，考虑在刀上过点X o的两条曲线『1: x = x(u ,v o),y = y(u ,v o),z = z( u , v o)；『2：x = x(u o,v),y = y(u o ,v),z = z( u o , v).它们在点X。

多元微分学应用曲面的切平面与法线

则 n T , 由 M 于曲线是曲面上通过的任意一条 M n 曲线，它们在的切线都与同一向量垂直，故 M M 曲面上通过的一切曲线在点的切线都在同一 M 平面上，这个平面称为曲面在点的切平面 .
小结
曲面的切平面与法线
（求法向量的方向余弦时注意符号）
思考题
3 x y z 16 相切，求 .
2 2 2
3 x y 3 z 16 0 如果平面与椭球面
思考题解答
x ,y ,z ), 设切点 ( 0 0 0
n { 6 x , 2 y , 2 z }, 0 0 0
{ F ( x , y , z ), F ( x , y , z ), F ( x , y , z ) 令n x 0 0 0 y 0 0 0 z 0 0 0
切平面方程为
F ( x , y , z )( x x ) F ( x , y , z )( y y ) x 0 0 0 0 y 0 0 0 0 F ( x , y , z )( z z ) 0 z 0 0 0 0
1 f f 1 cos . 2 2 1 fx fy
2 x 2 y
cos
fy
,
其中
f f ( x , y ) x x 0 0
f f ( x ,y ) y y 0 0
2 2 ( 2 , 1 , 4 ) z x y 1 例 3求旋转抛物面在点
处的切平面及法线方程 .
1、曲线 x
线平行于平面 x 2 y z 4. 三、求球面 x 2 y2 z2 6与抛物面 z x2 y2 的交线在 ( 1 ,1 , 2 ) 处的切线方程 .

空间曲线与曲面的切平面与法线方程

空间曲线与曲面的切平面与法线方程在几何学中，空间曲线与曲面的切平面与法线方程是研究曲线与曲面性质的重要工具。

通过求解切平面与法线方程，我们可以揭示曲线曲面的性质，进而应用于实际问题的求解与分析。

本文将介绍空间曲线与曲面的切平面与法线方程的推导过程和应用案例。

一、空间曲线的切平面与法线方程1. 切线与切平面在空间几何中，曲线上的点处，切线是通过该点且与曲线相切的直线。

曲线上每一点都有唯一的切线。

通过求解切线，我们可以得到曲线的切平面与法线方程。

2. 切线方程的求解设曲线的参数方程为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)对曲线参数方程求导，得到切线向量T：T = (dx/dt, dy/dt, dz/dt)切线方程可表示为：(x - x0) / (dx/dt) = (y - y0) / (dy/dt) = (z - z0) / (dz/dt)3. 切平面方程的求解切平面是通过曲线上一点与切线方向垂直的平面。

设切平面方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中(A, B, C)为切平面的法向量。

由于切线向量T与切平面法向量垂直，所以有：A(dx/dt) + B(dy/dt) + C(dz/dt) = 0根据切线方程求解得到的切线方程，将其代入上述方程中，即可得到切平面方程。

4. 法线方程的求解法线是切平面上与切线垂直的直线。

切平面方程的法向量为(A, B, C)，法线方程可表示为：(x - x0) / A = (y - y0) / B = (z - z0) / C二、曲面的切平面与法线方程1. 切平面方程的求解曲面的切平面与曲面上一点处的切向量垂直。

设曲面方程为F(x, y, z) = 0，求曲面某点的切平面方程，需要求解该点处的梯度向量∇F。

切平面方程可表示为：∇F · (x - x0, y - y0, z - z0) = 02. 法线方程的求解法线是曲面上与切平面垂直的直线。

求曲面的切平面方程和法线方程

求曲面的切平面方程和法线方程大家好，今天我们来聊聊一个听起来有点儿复杂，但其实只要理清思路就会发现它也挺简单有趣的数学概念，那就是曲面的切平面和法线方程。

听起来是不是有点儿高深莫测？别担心，让我们一起来揭开这个神秘的面纱，顺便加点儿幽默感，轻松一下！1. 什么是曲面？首先，咱们得搞清楚什么是曲面。

你可以想象一下，曲面就像是一块柔软的橡皮泥，随便捏捏就能变出各种形状。

数学上，曲面可以用一个方程来表示，比如说z = f(x, y)。

这里的 f(x, y) 就像是你在烘焙时的配方，决定了曲面的“口味”。

有些曲面像球体那样光滑，有些则像马鞍一样凹凸不平。

1.1 曲面的切平面好，曲面搞清楚了，接下来我们来聊聊切平面。

简单来说，切平面就是在某一点“切”到这个曲面，像是在一块蛋糕上切出一片。

想象一下，你在生日聚会上切蛋糕，那一刀下去的瞬间，你就得到了一个平面，这就是你的切平面。

数学上，切平面的方程可以用来描述这一瞬间。

要找切平面，首先你得找到那个点的坐标，比如(x₀, y₀, z₀)。

1.2 如何求切平面方程那么，如何求这个切平面方程呢？其实很简单！我们可以用到偏导数的知识。

对了，你没听错，就是那个在微积分中出现的偏导数。

咱们得先计算出在点 (x₀, y₀) 处的偏导数，分别是 fx(x₀, y₀) 和 fy(x₀, y₀)。

接下来，根据切平面的公式 z z₀ = fx(x₀,y₀)(x x₀) + fy(x₀, y₀)(y y₀)，就能轻松得到切平面的方程啦！是不是觉得像是打开了新世界的大门？2. 法线方程接下来，我们再来聊聊法线。

法线是什么呢？简单说，它就像是一个“直立”的小杆子，垂直于切平面。

想象一下，如果你在切蛋糕的时候，切刀和桌面的角度就是法线的方向。

法线方程则是描述这根“小杆子”的方程。

2.1 如何求法线方程求法线的步骤其实和求切平面有些相似。

我们仍然需要用到那两个偏导数。

法线的方向就是这两个偏导数的反方向，具体来说就是 (fx(x₀, y₀), fy(x₀, y₀), 1)。

曲面的切平面方程和法线方程公式

曲面的切平面方程和法线方程公式曲面是三维空间中的一个二维对象，它可以用数学公式来表示。

在研究曲面的性质时，我们需要了解曲面的切平面方程和法线方程。

本文将详细介绍这两个公式的含义和应用。

一、曲面的切平面方程曲面的切平面方程是指曲面上某一点处的切平面的方程。

切平面是指与曲面在该点处相切的平面。

在三维空间中，一个平面可以用一个法向量来表示。

因此，曲面的切平面方程可以表示为：Ax + By + Cz + D = 0其中，A、B、C是平面的法向量的三个分量，D是平面的截距。

为了求出切平面的方程，我们需要先求出曲面在该点处的法向量。

曲面的法向量可以通过求取曲面的梯度来得到。

梯度是一个向量，它指向函数在某一点处的最大增加方向。

对于曲面f(x,y,z)，它的梯度可以表示为：grad f = (fx, fy, fz)其中，fx、fy、fz分别表示曲面在x、y、z三个方向上的偏导数。

因此，曲面在某一点处的法向量可以表示为：n = (fx, fy, fz)然后，我们可以将该向量作为平面的法向量，求出切平面的方程。

例如，对于曲面f(x,y,z) = x^2 + y^2 - z^2，在点(1,1,0)处的切平面方程可以表示为：2x(x-1) + 2y(y-1) - 2z = 0二、曲面的法线方程曲面的法线方程是指曲面上某一点处的法线的方程。

法线是指与曲面在该点处垂直的向量。

在三维空间中，一个向量可以用一个点和一个方向来表示。

因此，曲面的法线方程可以表示为：r = r0 + tn其中，r0是曲面上的一点，n是曲面在该点处的法向量，t是一个实数，r是曲面上的一条直线。

曲面的法线方程可以用于求取曲面上的切线。

通过将t取为0，我们可以得到曲面上与该点处切平面相切的一条直线。

例如，对于曲面f(x,y,z) = x^2 + y^2 - z^2，在点(1,1,0)处的法线方程可以表示为：r = (1,1,0) + t(2,2,0)通过令t=0，我们可以得到曲面在该点处的切线方程：x = 1 + 2ty = 1 + 2tz = 0三、曲面的应用曲面的切平面方程和法线方程在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

空间曲面的切平面与法线学习计算空间曲面的切平面与法线的方法

空间曲面的切平面与法线学习计算空间曲面的切平面与法线的方法空间曲面是三维空间中的曲面，它由平面或非平面的曲线组成。

对于一个给定的空间曲面，计算其切平面与法线是非常重要的。

切平面是曲面上某点处与曲面相切的平面，而法线是切平面上的垂直于曲面的线段或矢量。

本文将介绍如何计算空间曲面的切平面与法线的方法。

1. 曲面的方程要计算曲面的切平面与法线，首先需要知道曲面的方程。

根据曲面的类型，可以使用不同的方程表示。

例如，对于二次曲面，可以使用二次方程表示；对于参数曲面，可以使用参数方程表示。

在此文章中，我们将以二次曲面为例进行讨论。

2. 二次曲面的切平面对于二次曲面，其方程通常可以表示为：F(x, y, z) = Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0其中，A、B、C、D、E、F、G、H、I和J为常数。

为了计算曲面上某一点处的切平面，我们需要找到该点的切线方向。

切线方向可以通过计算曲面方程的偏导数得到。

对于曲面方程F(x, y, z) = 0，设该点为P(x0, y0, z0)，则切线方向为向量：∇F(x0, y0, z0) = (∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z) |(x0, y0, z0)其中∂F/∂x，∂F/∂y和∂F/∂z分别表示对于x、y和z的偏导数。

有了切线方向后，我们可以得到切平面的法向量。

切平面的法向量与切线方向垂直，因此可以取切线方向的相反数作为法向量。

3. 二次曲面的法线与切平面类似，曲面的法线也可以通过计算曲面方程的偏导数得到。

对于曲面方程F(x, y, z) = 0，设该点为P(x0, y0, z0)，则法线方向为向量：N = (∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z) |(x0, y0, z0)法线方向是垂直于曲面的方向，因此可以通过对法线向量进行单位化（即将其长度归一化为1）得到单位法线。

4. 示例计算为了更好地理解如何计算切平面与法线，我们将通过一个示例进行演示。

2-25 空间曲面的切平面与法线

空间曲面的切平面与法线设曲面方程为),,(=z y x F 一、曲面的切平面与法线n τM M.θ),cos(lim 00=∑∈→n MM M M MnM .C),(),(),(:t z z t y y t x x C ===的参数方程设曲线))(),(),((000t z t y t x '''=→τ0)](),(),([≡t z t y t x F 0)(),,()(),,()(),,(000000000000='+'+'t z z y x F t y z y x F t x z y x F z y x )},,(),,,(),,,({000000000z y x F z y x F z y x F n z y x =记0=⋅τ n 则板书上，在曲面曲线∑C ，对应的参数上任一点曲线0t M C 点处的切向量0M τ)},,(),,,(),,,({000000000z y x F z y x F z y x F n z y x =令则,T n⊥ 由于曲线是曲面上通过0M 的任意一条曲线，它们在0M 的切线都与同一向量n垂直，故曲面上通过0M 的一切曲线在点0M 的切线都在同一平面上，这个平面称为曲面在点0M 的切平面.切平面方程为))(,,())(,,())(,,(000000000000=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x通过点),,(0000z y x M 而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线.法线方程为),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-)},,(),,,(),,,({000000000z y x F z y x F z y x F n z y x =曲面在M 0处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.特殊地：空间曲面方程形为),(y x f z =曲面在M 0处的切平面方程为,))(,())(,(0000000z z y y y x f x x y x f y x -=-+-曲面在M 0处的法线方程为.1),(),(0000000--=-=-z z y x f y y y x f x x y x ,),(),,(z y x f z y x F -=令}),,(),,({0000-1y x f y x f n y x =特殊地：空间曲面方程形为),(x z f y =曲面在M 0处的切平面方程为,))(,())(,(0000000y y z z x z f x x x z f z x -=-+-曲面在M 0处的法线方程为.),(1),(0000000x z f z z y y x z f x x z x -=--=-,),(),,(y x z f z y x F -=令)},(,1),,({0000x z f x z f n z x -=特殊地：空间曲面方程形为),(z y f x =曲面在M 0处的切平面方程为,))(,())(,(0000000x x z z z y f y y z y f z y -=-+-曲面在M 0处的法线方程为.),(),(10000000z y f z z z y f y y x x z y -=-=--,),(),,(x z y f z y x F -=令)},(),,(,1{0000z y f z y f n z y -=))(,())(,(0000000y y y x f x x y x f z z y x -+-=-切平面上点的竖坐标的增量的全微分在点函数),(),(00y x y x f z =因为曲面在M 0处的切平面方程为),(y x f z =在),(00y x 的全微分，表示曲面),(y x f z =在点),,(000z y x 处的切平面上的点的竖坐标的增量.二、全微分的几何意义若α、β、γ表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与z 轴的正向所成的角γ是锐角，则法向量的方向余弦为,1cos 22yx xf f f ++-=α,1cos 22yxyf f f ++-=β.11cos 22yx f f ++=γ),(00y x f f x x =),(00y x f f y y =其中例求曲面2132222=++z y x 平行于平面064=++z y x 的各切平面方程. 解设为曲面上的切点,),,(000z y x 切平面方程为0)(6)(4)(2000000=-+-+-z z z y y y x x x 依题意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000z y x ==.2000z y x ==⇒因为是曲面上的切点，),,(000z y x ,10±=∴x 所求切点为满足方程),2,2,1(),2,2,1(---0)2(12)2(8)1(2=-+-+-z y x 2164=++⇒z y x 0)2(12)2(8)1(2=+-+-+-z y x 2164-=++⇒z y x 切平面方程(1)切平面方程(2)三、小结曲面的切平面与法线（求法向量的方向余弦时注意符号）。

曲面的切平面和法线方程

曲面的切平面与法线方程设二中曲面工的方程为F (x , y , z ) = 0，函数F (x , y , z )在曲面工上点_ 1. . ■ 一处可微，且x=瑚Q£=胡，且f 叫对应于点肌；疋(订)』(讥*(耐)不全为零。

由于曲线I 在工上，则有任意一条过点‘‘-的曲线在该点的切线都与向量一」'-L| -垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面工在点 ' -处的切平面.点］称为切点.向量'■ '-1--称为曲面工在点’-处的一个法向量。

记为顶丽化gF, QO)基本方法:1、设点? ljl ' L 在曲面F (x , y , z )=0上，而F (x , y , z )在点「■'处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面 F (x , y , z )=0在点’「处的切平面方程为法线方程为L % _ F_ 片_ £_矶£(兀厂叮兀厂外匕)2、设点在曲面z = f (x , y )上,且z = f (x , y )在点M o (x o , y o )处存在连续偏导数，则该曲面在点•处的切平面方程为过X o 的法线方程为齐_ 爲 ______ _g~g» -£(心片)-刀仇」)1注：方法2实际上是方法1中取埶兀”巧■”/(“)・0［加(血)朗(血)鹽他))n (滋如龛丿,过点-任意引一条位于曲面工上的曲线r 设其方程为该方程表示了曲面上的情形.3、若曲面刀由参数方程x = X(u, v), y = y(u, v) , z = z(u, v)给岀，刀上的点「「..'与uv 平面上的点(u o , v o)对应，而x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在(u o , v o)处可微.曲面刀在点X o处的切平面方程及法线方程分别为三、答疑解惑问题：曲面刀的参数方程为x = x(u , v) , y = y(u , v) , z = z(u , v),E上的点1与u , v平面上的点(u o , v o)对应，怎样确定刀在点X o处的法向量？注释：设x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在(u o , v o)处可微，考虑在刀上过点X o的两条曲线.r ：x = x(u , v o) , y = y(u , v o) , z = z(u , v o);ir：x = x(u o, v) , y = y(u o , v) , z = z(u o , v).它们在点X o处的切向量分别为i*=a：糾冲,y：（埠冲吗必））£・（兀（如％）,中阳心细畀J）当-i ' '-时，得刀在点X o处的法向量为%%)g.)则刀在点X o处的法向量为四、典型例题例1求椭球面X2+2 y2+3 z2= 6在（1,1,1 ）处的切平面方程与法线方程.解设F（x, y, z） = X2+2 y2+3 Z2 -6，由于' ' " 在全平面上处处连续，在（1, 1, 1 ）p1' = 2 J?1- 4 F -fi处 ''- -' ，椭球面在点（1,1,1）处的法向量为（2, 4, 6）.则所求切平面方程为2(J-1)+ 4(y- l) + d(z-l) = 0 即X + 2 y + 3 Z = 6.A-1_ y-1 _ z-1所求法线方程为】- -，g=可-+y例2求曲面- 平行于Z = 2 X+2 y的切平面方程左亡心隔亡as^j 口ccis 冏sin^ -<7sm厲曹in给_#sm sin2- 2MO sin cos®%x 号=一+y £=工*£ = 2了解设切点为L J' ■.曲面-'，因此」-.■- .则曲面在上” —」处的法向量为■> ■^■■，|■■■.曲面在点Xo处的切平面方程为心仗・心）+ 2"®■幷）■（"习）,又切平面与已知平面z = 2 x+2 y平行，因此况—认三TT解得切点坐标为 '-■'■■■ -1 - ■ ■ ■'，所求切平面方程为J.. -■ I --.I 1 亠二：II即益+即-3-0.例 3 求曲面'_ 1 : 1 1■.：■ 1■ ■ - ■ 1 1' ■ . ■- _'■在点匚〔处的切平面方程和法线方程.解点'-'■■■宀对应曲面上的点L U ''■■■■■ ■' ■'其中，一! I ■：二| 一「：] I | - :::win 绻^cas 恤CDS给二，sill 2 轴CO56J-t/sm 轴sin 第sin2 sin^则曲面在点■■■-丨•处的法向量为■' 1 . 1 A 1. 1所求曲面在点X o处的切平面方程为& sin 职ccs^fx-ijsin % cos5(j) + asm1伽处sin 気)+ 应‘ sin 軌 cos 6^ (z - tf2cos - 0,即xstn cos^ + ysrn sin 4-zcos^ = ax- asincsb cosft p-应册)sin晞z-acos^n Hi - ~ ■ □ - «)- _ ~ Q q所求的法线方程为'■■-flsin^Gos^ _ y-CFSin^ siii^)驰即 _ ^ ^(3^-2j/-z -5 5f + 十=门2” - 2y +2^ =-例4求过直线，且与曲面^ -相切之切平面方程.解过直线的平面方程可设为-J' - : '..'J. 「I —.即壮丄二，其法向量为理忑”勿=2”处_|记-,则F；5,沪* ^>2设所求的切平面的切点为*"■" - '■ ■ ■''，则曲面上小汁"-门处的法向量为T I二■''.且有（34刃可+ 以・2）兀^（Z-1K-5 = O3 + /t 2-2由⑴、(3)解得152/ -1代入(2)得解得t i = 1, t2 = 3，故入 1 = 3 ,卮=7.则所求切平面方程为3x - - z - 5 + 3（J+ 丿+z）■ 0 3x- Ry -云一5 + 7（工十j十左）-0即6x + y + 2 z = 5 或10x + 5 y + 6 z = 5.r= vf-例5试证曲面•-上任一点处的切平面都过原点，其中f(x)为可微函数.证明故曲面上点L '■■■ ■■- '■-处的法向量为 .十' 丄则过曲面上点 s 「 ' J '■的切平面方程为整理后得可知其必定过原点从上述方程得切平面方程为。

9.2空间曲面的切平面与法线

n { fx ( x0, y0 ), f y ( x0, y0 ),1}, 曲面在M处的切平面方程为:
fx ( x0 , y0 )(x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) z z0 ,
曲面在M处的法线方程为: x x0 y y0 z z0 .
即 n {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )}
则
n

T,
切平面方程为:
Fx (M )( x x0 ) Fy (M )( y y0 ) Fz (M )(z z0 ) 0
法线方程为: x x0 y y0 z z0 . Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
切平面的法向量为
F(x, y,z) 0 3. G( x, y, z) 0 , T {J , J1, J2};
n {Fx , Fy , Fz } M .
Thank you!
切平面方程为:
( x 1 ) ( y 1 ) (z 1 ) 0,
3
3
3

即 x y z 3;
法线方程为: x y z.
◆全微分的几何意义: 曲面: z = f ( x, y ) 在M处的切平面方程为
z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 )
n(2,1,4) {2x, 2 y, 1}(2,1,4) {4, 2,1},
切平面方程为 4( x 2) 2( y 1) (z 4) 0;

曲面的切平面与法线方程

曲面的切平面与法线方程仙(血)酥(览)巩坷叩、负，卽，鬼丿过点广.任意引一条位于曲面工上的曲线r 。

设其该曲面在点曲面的切平面与法线方程设上中曲面工的方程为F (x , y , z) = 0，函数F (x , y , z)在曲面工上点?u _ 1.■ J i ■■处可微,x-戎0 F=刃)方程为 m ,且对应于点不全为零。

由于曲线r 在工上，则有呀尹厲感)+卩(兀吨)+罠区池)T： ■ ■■.'： ■ ■' ■ '：■：：'-「及'任意一条过点一的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面工在点丁.处的切平面.点、•称为切点.向量「" 称为曲面工在点、■处的一个法向量。

记为基本方法:1、设点 1 丿在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, z)在点「处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点’•处的切平面方程为麻不Xr-r.)+ 押;-片)亠 Eea -心)■ 0法线方程为xr _ y —旳 _ %2、设点'' ■'在曲面z = f (x, y)上，且z = f (x, y)在点M Q (x o , y o )处存在连续偏导数，则处的切平面方程为过X o的法线方程为注：方法2实际上是方法〔昭儿)("心)-力(心小X?-几)2-齢齐_ %__________ _石_石-饷矶)-/(兀必)11 中取’1■-?■-■'- ..■ .-.L 的情形3、若曲面刀由参数方程x = x(u, v) , y = y(u , v) , z = z(u, v)给出，刀上的点劣臨沧知与uv平面上的点(u o , v o)对应，而x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在( u o , v o)处可微.曲面刀在点X o处的切平面方程及法线方程分别为y-n畑)d(u,v)三、答疑解惑问题：曲面刀的参数方程为x = x(u , v) , y = y(u , v) , z = z(u , v),E上的点•'1与u , v平面上的点(u o , v o)对应，怎样确定刀在点X o处的法向量？注释：设x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在(u o , v o)处可微，考虑在刀上过点X o的两条曲线.r 1 : x= x(u , v o) , y = y (u , v o) , z = z(u , v o)；r2: x = x(u o , v) , y = y(u o , v) , z = z(u o , v).它们在点X o处的切向量分别为当■■■时，得刀在点X o处的法向量为昭卩）Jt3J则刀在点X o处的法向量为四、典型例题1 求椭球面x2+2y2+3z2= 6 （1,1,1 ）处的切平面方程与法线方程设F(x, y , z) = x2+2y 2 2+3z -6,由于?■■ ■■■'…’…亠在全平面上处处连续，在（1, 1, 1 ）-行，椭球面在点（1,1,1）处的法向量为（2, 4, 6）.则所求切平面方程为2(z-l) + 4(y-1)■x + 2y + 3z = 6.A-1所求法线方程为- y-1 z-\ 4A-1 y-1 Z'1E=a血評我和出诞皿））£ ■（才（如卩j 认心分包止））2求曲面- 平行于z = 2x+2y的切平面方程.设切点为一L, T' ■■■■ 一 .曲面”牛2 舟=匚善=2 丁2 ，因此无谢[acos^ cos^j-t?sm g sin 第u\A. j- i tSCOS^ COS^j ◎(牯叭L acos^sin^-<7sm sin-^sm sin2- 2MLJ sin 处cos^则曲面在丄I…处的法向量为-I曲面在点Xo处的切平面方程为奄仗一冏）十2加（/-并）-（広-^）-0又切平面与已知平面z = 2x+2y平行，因此解得切点坐标为■ ■■■ _1；■'：，所求切平面方程为2(j-3) = 0例3 求曲面■■- 11 / 1- ' :. 1 1■ J ' ■'二•—在点■. 1：■. ^.：处的切平面方程和法线方程.解点'，，1- .对应曲面上的点禺三£?sin関cosi%, y0•处in犁睛mg「迓口匚则曲面在点岛（向局）处的法向量为(a2sin7刑cosS^.a2sir?仰血务/ sin2轨cossin^cos^ sui sin CuS^j例4求过直线3A- 2jr -z - 5A+J+ z = 02/- 2/a+ 2^ =-，且与曲面^ ;-相切之切平面方程解过直线的平面方程可设为3x-2y - 1 - 5+几(X + y + z) - 0即匚.：.」二L八1- ：■■其法向量为 _' *…一… ■-.记=2兀？_ 十2z ~ —S，则所求曲面在点Xo处的切平面方程为/ sin 职% cos^) -b a sin1伽sm^ (y- <7sin 处sui 境)+ a1sin 0(j cos ^(z-a1cos 伽)■ □即xsin cos+ .ysui sin + 7cos恥"jr- tisincosft y- asm sin z-a匚皿仙所求的法线方程为'+■. 1订■ '' ■'. :"■-. '■ 一i，；,y-^sui^ sm6()设所求的切平面的切点为偏皿知，则曲面上氐弘久）处的法向量为（如-4用Q .且有15解得 t i = 1, t 2 = 3，故入=7.3 + /t 2-2由⑴、(3)解得2t -1代入(2)得则所求切平面方程为3x-2y -z-5-^3(J +丿 +z) ■03TL -2y-z-5 +7(A : + y + Z )-06x + y + 2z = 5 或 10x + 5y + 6z = 5.(3—)可 + 以-2)兀 K^-lkq-5-O(1)试证曲面上任一点处的切平面都过原点，其中 f(x)为可微函数.证明f—■=/--rI K\ J ：咼地］(厂儿)整理后得则过曲面上点-的切平面方程为卜f y-^ff1窃^0 "^0 /f—注意到<r<>，从上述方程得切平面方程为■/ X( \~| ( \f西-—f地e f 也y-^-o% 丿」x^o /可知其必定过原点.。

曲面的切平面与法线方程

曲面的切平面与法线方程处可微，且z)在曲面Σ上点(x , y , , 设中曲面Σ的方程为F (xy , z) = 0，函数FΓ。

设其方程为任意引一条位于曲面Σ上的曲线，过点Γ则有由于曲线不全为零。

在Σ上，，且对应于点；的曲线在该点的切。

该方程表示了曲面上任意一条过点及点线都与向量处的切平面垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点. 称处的一个法向量。

记为。

称为曲面Σ在点. 为切点向量基本方法：且三个偏导数不同时为零，, ()=0, 在曲面F(x1、设点y, z上，而Fx, yz)在点处存在连续偏导数，处的切平面方程为x(, 在点zy, )=0F则曲面.法线方程为.处存在连续偏导数，则该曲面在点(= 上，且yxf z 在曲面、2设点= (, )z f x) x () y, 在点M, y 0 00处的切平面方程为.的法线方程为过X0．..的情形2实际上是方法1中取注：方法若曲面∑由参数方程3、)vz(u, y(u, v) , z = x = x(u, v) , y =曲面∑在v）处可微. , v)在（u, ) , x(u , v) , y(u , vz(u, 给出，∑上的点与uv平面上的点（uv）对应，而0 0 0 0处的切平面方程及法线方程分别为X点0和三、答疑解惑）v平面上的点（u, vu = z( , v)，∑上的点与u , uu 问题：曲面∑的参数方程为x = x(, v) , y = y( , v) , z00处的法向量？对应，怎样确定∑在点X0.的两条曲线）处可微，考虑在∑上过点, v) 在（u, vXux注释：设(u , v) , y( , v) , z(u000Γ);z(uv , v) , u , vy = y(u , ) , z = (：x = x0001Γ). , ) , z = z(uv , yvux ：= x( , ) , y = (uv0200处的切向量分别为它们在点X0处的法向量为当时，得∑在点X0处的法向量为X则∑在点0.四、典型例题222.）处的切平面方程与法线方程1, 1, 1在（= 6z+3y+2x求椭球面1 例222）处在全平面上处处连续，在（1, 1, 1－) = x6+2y，由于+3z, 解设F(xy, z则所求切平面方程为(1, 1, 1)处的法向量为(2, 4, 6). ，椭球面在点，= 6.z + 2即x y + 3，所求法线方程为. 即.的切平面方程y 例2求曲面平行于z = 2x+2.，因此. 解设切点为曲面.则曲面在处的法向量为处的切平面方程为曲面在点X0平行，因此x+2y = 2又切平面与已知平面z，解得切点坐标为所求切平面方程为，.即在点求曲面例3处的切平面方.程和法线方程其中点解对应曲面上的点..则曲面在点处的法向量为处的切平面方程为所求曲面在点X0. 即所求的法线方程为. 即.，且与曲面例4求过直线相切之切平面方程过直线的平面方程可设为解，，即.其法向量为，则记.设所求的切平面的切点为，则曲面上处的法向量为且有．解得(3)、由(1),得代入(2).=7. = 3t，故λλ= 3 , 解得t = 1, 2112则所求切平面方程为，. 或= 5.+ 5 10x y + 6z或y 即6x + + 2z = 5.)为可微函数f 例5试证曲面上任一点处的切平面都过原点，其中(x，证明..处的法向量为故曲面上点的切平面方程为则过曲面上点，整理后得．.，从上述方程得切平面方程为注意到..可知其必定过原点．。

求曲面在某点的切平面和法线方程

求曲面在某点的切平面和法线方程曲面在某点的切平面和法线方程是微积分和线性代数中的重要概念。

它们用于研究曲面在特定点的性质和方向，并在物理学、工程学、计算机图形学等领域具有广泛的应用。

在本文中，我们将深入探讨求曲面在某点的切平面和法线方程的基本原理和方法，并通过实例帮助读者更好地理解。

首先，让我们澄清一下什么是切平面和法线。

在三维几何中，曲面是空间中的一个二维对象，通常由一个方程定义。

切平面是与曲面在某点相切且与曲面相切于该点的一个平面。

它在该点的切线与曲面的切点重合。

另一方面，法线是与曲面在该点垂直的一条线，垂直于切平面。

接下来，我们将介绍求曲面在某点的切平面和法线方程的方法。

首先，我们需要找到曲面在该点的切向量。

切向量与曲面在该点的切线方向相同。

我们可以通过对曲面方程进行偏导数来求得切向量。

对于一般的曲面方程 $F(x, y, z) = 0$，其切向量可以用下式表示：$$\boldsymbol{V} = \left(\frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z}\right)$$接着，我们可以使用切向量来构造切平面的方程。

对于曲面上的点$(x_0, y_0, z_0)$，切平面的方程可以表示为：$$\frac{\partial F}{\partial x}(x_0, y_0, z_0)(x - x_0) + \frac{\partial F}{\partial y}(x_0, y_0, z_0)(y - y_0) + \frac{\partial F}{\partialz}(x_0, y_0, z_0)(z - z_0) = 0$$最后，我们来求解曲面在该点的法线方程。

由于法线垂直于切平面，所以法线的方向向量与切向量相垂直。

我们可以使用点法式来表示法线方程。

对于切向量 $\boldsymbol{V} = (a, b, c)$，法线方程可以表示为：$$a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$$现在，让我们通过一个具体的例子来说明这些概念和方法。