新人教版九年级上册初三数学 22.1.2二次函数的图像和性质 课件PPT

2
，解得k=2 .
探究新知
素养考点 2 二次函数y=ax2与不等式的综合运用
例2 已知正方形的周长为C cm，面积为S cm2，
（1）求S与C之间的二次函数关系式； 即：S= c2 （c＞0）
面积


周长 4
2

16
（2）画出它的图象；注意自变量的范围
（3）根据图象，求出当S=1cm2时，正方形的周长；
y 2x2 的图象开口大小与a
的大小有什么关系？
y x2
y 2x2
8
6
4
y 1 x2
2
2
-4 -2
24
当a>0时，a越大，开口越小.
探究新知
【练一练】在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2, y 2x2
2
的图象．
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
y 9 6 3
-4 -2 o 2 4 x
探究新知
当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：
y
9
6
对称轴与抛物线的交
这条抛物线关于y轴对称,
3
点叫做抛物线的顶点.
y轴就是它的对称轴.
-3 o
3
x
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过 的路线,我们把它叫做抛物线.
探究新知
画出函数y=-x2的图象.
y y=x2
o
x
探究新知 说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
1.y＝-x2的图象是一条 抛物线; 2.图象开口向下; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最高点．
y
o
x
y=-x2
探究新知
二次函数y=ax2的图象性质
1. 顶点都在原点（0,0）; 2. 图像关于y轴对称; 3. 当a>0时，开口向上；
y轴 （0,0） y轴 （0,0） y轴 （0,0）
课堂检测
能力提升题
已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实
数m的取值范围．
解：在二次函数y=x2中，a=1＞0 因此当x=0时，y有最小值. ∵当x≥m时，y最小值=0， ∴m≤0．
课堂检测
拓广探索题
已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两 点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．
在对称轴的右侧, y随x的增大而 减小 .
课堂检测
y
3.如右图，观察函数y=（ k-1）x2的图象,则k
的取值范围是 k>1.
O
x
4.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
开口方向 对称轴 顶点
y 3x 2 向上 y轴 （0,0）
y 3x 2
y 1 x2 3
y 1 x2 3
向下 向上 向下
点的横坐标值的绝对值1；在△ACO中，OC边上的高就是A点的横坐
标值的绝对值4.因此S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝
1×4×1+
2
1 2
×4×4＝10.
课堂小结
画法
描点法
以对称轴为中 心对称取点
二次函数 y=ax2的图象 及性质
图象 性质
抛物线 轴 对 称 图 形
重点关 注4个方
面
开口方向及大小 对称轴 顶点坐标 增减性
探究新知
填一填 （1）函数y=4x2的图象的开口 向上 ,对称轴是 y轴 ,顶点 是 (0,0) ; （2）函数y=－3x2的图象的开口 向下 ,对称轴是 y轴 ,顶点
是 (0,0) 顶点是抛物线的最 高 点. （3）函数y= 3x2的图象的开口向上 ,对称轴是 y轴 , 顶点是 (0,0) ;顶点是抛物线的最 低 点 （4）函数y= －0.2x2的图象的开口 向下,对称轴是 y轴 , 顶点是 (0,0) .
y 1 x2, y x2 , 2
y 2x2 的图象开口
大小与a的大小有什么关系？
当a<0时，a越小（即a的绝对 值越大），开口越小.
－4 －2 －2
24
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小．
画出二次函数y=x2的图象.
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列 表表示几组对应值：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
探究新知
2.描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y） 3.连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得 到y = x2 的图象．
巩固练习
连接中考
连接中考
（2017•江苏连云港）已知抛物线y=ax2(a＞0)过点A（-2 ，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是 （ ）． C A.y1＞0＞y2 B.y2＞0＞y1 C.y1＞y2＞0 D.y2＞y1＞0
解析 ∵抛物线y=ax2(a＞0)，∴A（-2，y1）关于y轴的 对称点的坐标为（2，y1），又∵a＞0，∴ 当x＞0时， y随x的增大而增大，又∵0＜1＜2， ∴ 0＜y2＜y1.
y 1 x2 2
···
-8
-4.5 -2
-0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8
···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· y 2x2 ··· -8 -4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8 ···
探究新知
【思考】二次函数
S 1 at 2 2
物体做匀加速运动 时，行驶路程与时 间的关系（a代表 加速度，为定值）
探究新知 素养考点 1 利用函数y=ax2的定义确定字母的值
例1 已知 y =(m+1)x m2+m 是二次函数,且其图象开口向上,
求m的值和函数解析式 解: 依题意有: m+1>0 ①
m2+m=2 ②
解②得:m1=－2, m2=1 由①得:m>－1 因此 m=1 此时,二次函数为: y=2x2.
（4）根据图象，求出C取何值时，S ≥4cm2.
探究新知
解：（1）∵正方形的周长为Ccm，
∴正方形的边长为 C cm，
4
∴S与C之间的关系式为S
=
C2
；
16
（2）作图如右：
（3）当S = 1cm2时，C2 =16，即C =4cm .
C2
（4）若S ≥ 4cm2，即 16 ≥4，解得C ≥ 8 ，或c≤-8(舍去）. 因此C ≥ 8cm.
探究新知
归纳
y＝ax2 图象
位置开 口方向
对称性
顶点最值
增减性
a>0 y
O x
开口向上,在x轴上方
a<0 yx
O
开口向下,在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
解：由题意得
y 3x 4,
Leabharlann yx2,解得
x

y

4, 16,
或
x

y

1, 1,
因此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．
∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.两交点与原点所围
成的三角形面积S△ABO＝S△ACO＋S△BOC.在△BOC中，OC边上的高就是B
课堂检测
基础巩固题
1.函数y=2x2的图象的开口 向上, 对称轴 y轴 ,顶点
y
是 (0,0); 在对称轴的左侧，y随x的增大而 减小 ,
在对称轴的右侧, y随x的增大而 增大 .
O
x
2.函数y=-3x2的图象的开口 向下 ,对称轴 y轴 , y
顶点是 (0,0) ;
x O
在对称轴的左侧, y随x的增大而 增大 ,
探究新知 知识点 4 二次函数y = ax2的实际应用
二次函数y=ax2是刻画客观世界许多现象的一种重要模型.
h 1 gt 2 2
E 1 mv2 2
物体自由下落的高 度h与下落时间t之 间的关系（g代表重 力加速度，为定值）
质量为m的物体运 动时的能量E与其 运动速度v之间的 关系（m为定值）
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
y -4 -2 0 2 4 x
-3 -6 -9
探究新知 知识点 2 二次函数y=ax2的图象性质
问题2 根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数
y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
1.y＝x2的图象是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点．
(-1,1)
(1,1)
y x2
y ax2
探究新知
二次函数y=ax2的性质
对于抛物线 y = ax 2 （a＞0） 当x＞0时，y随x取值的增大而增大； 当x<0时，y随x取值的增大而减小.
探究新知 2.观察图形，y随x的变化如何变化？
y x2
y ax2
(-1,-1) (-2,-4)
y 1 x2 ···
2
8
4.5
2 0.5
0 0.5 2 4.5