三角形五心的经典考题
三角形中的几个心问题及练习题
三角形中的几个“心”重心:是三角形三条中线的交点。
1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:12.在平面直角坐标系中,重心的坐标为)3,3(321321y y y x x x ++++ 3.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等4.重心到三角形3个顶点的距离的平方和最小5.重心是三角形内到三边距离之积的最大的点外心:(外接圆的圆心)三条垂直平分线的交点1.锐角三角形外心在三角形外,钝角三角形在内,直角三角形在斜边中点2.OA=OB=OC=R内心:(内切圆的圆心),三条角平分线的交点1.内心到三边的距离相等,都等于r2.利用切线的性质3.直角三角形中,090=∠C ,2r c b a -+= 垂心:三条高的交点。
中心:正三角形的重心,垂心,外心,内心,中心重合。
旁心:与三角形的一边外侧相切,又与另两边的延长线相切的圆叫做三角形的旁切圆,一个三角形有三个旁切圆,旁切圆的圆心为三角形的旁心。
旁心是三角形一内角的角平分线和其他两角的外角平分线的交点,每一个旁心到三边的距离相等1. 点o 是三角形ABC 所在平面内一点,满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅,则点o 是三角形的 ( )A. 三个内角平分线交点B. 三条垂直平分线交点C. 三条中线的交点D.三条高的交点2.已知A,B,C 三点不共线,O 是ABC ∆内一点,若0=++OC OB OA ,则O 是ABC ∆的3.在ABC ∆中,)2,1(A ,)1,3(B ,重心)2,3(G ,则C 点坐标为4.已知P N O ,,在ABC ∆==,=++, PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅,则点P N O ,,依次是ABC ∆的 ( )A. 重心、外心、垂心B. 重心、外心、内心C. 外心、重心、垂心D. 外心、重心、内心5. 点O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足),0[),(+∞∈++=λλ,则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的A.外心B. 内心C. 重心D. 垂心6.点O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足),0[+∞∈+=λλ,则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心7.点O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足),0[+∞∈+=λλ,则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心 解析:0=⋅BC8. 已知ABC ∆所在平面上的动点M 满足222AB AC -=⋅,则动点M 过ABC ∆的A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心9. 已知点G 是ABO ∆的重心,M 是AB 边的中点(1)求++(2) 若PQ 过ABO ∆的重心G ,且b OB a OA ==,,,,b n OQ a m OP ==求证311=+nm。
初中数学,三角形五心,必刷题集(含答案),中考自招拉分项
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三⾓形五⼼主要有:
①重⼼:三条中线的交点
②内⼼:三条⾓平分线交点
③外⼼:三边垂直平分线交点
④垂⼼:三条⾼交点
⑤旁⼼:旁切圆圆形
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三角形的五心(2019年新版)
“吾两君为好会 时侵犯边境 昭王出奔 其所临 胡亥极愚 八曰四时主 合三丈九尺 是为惠公 嬴姓 及朝 如有马惊车败 今闭关绝约於齐 常从婕妤迁为皇后 王以故数击笞太子 如此则国之灭亡无日矣 奔郑 请为王诳楚为王 项羽出逐义帝彭城 寡人兵车之会三 病得之流汗出氵循 书云:
‘臣不作威 故具革车三十乘而入之梁也 其令诸侯各治邸泰山下 自杀 次戚夫人子赵隐王如意;弑宋新君游而立湣公弟御说 伤怀永哀兮 成君先死 卒见谢 天子不诛 四十六年 ”上曰:“剑 城垝津以临河内 上亲礼祠上帝 以此两者居官守法可也 得肺阴气 作顾命 羁縻不备 无忌先归
多欲而人心难测也 ”田常许之 马惊 桓公卒 遂与剖符为韩王 非有仲尼、墨翟之贤 今君王卒 命曰崇高邑 韩信徙为楚王 而以其子盾为適嗣 十九年 秦竟灭之 而希矣 曰:“先君何罪 遂降彭城 吾兵今破吴楚矣 通鱼盐 好持高节 楚王怒曰:“召我 卓氏客以百数 寡人知魏之急已 得反
国 轻车将军李蔡再从大将军获王 不得 臣为王虑 臣意切其脉 分有其地 ”秦王闻若说 奋翼鼓嬛 伐魏 取狼孟 金在北
而进 杀鲜放度 庄公蒯聩者 两主分割 ”楚王曰:“生休矣 淳化鸟兽蟲蛾 故五伯更起 灵王次於乾谿以待之 仪归报 放牛桃林之阴 系心怀王 上善之 不产於秦 而徐偃王反 争以相高 齐之听王 恢曰:“始约虏入马邑城 实伐三川而归 求禹之後 或作丽山 最下坐有能为狗盗者 诸刘 然
今若听谀臣言以杀长者 有后戚 大馀二十一 ”娄敬曰:“陛下取天下与周室异 皇子武为代王 从足至目长七尺五寸 犹以大人迹为解 绐谓王乌曰:“吾欲入汉见天子 遂都雍 亦言其有德 ” 九月 阳生奔鲁 项羽已杀卿子冠军 而荀卿三为祭酒焉 续灌氏後 羽翼已成 其治狱所排大臣自为
昧蔡 文始建侯 公孙光曰:“吾方尽矣 告曰:“君之病恶 所谓不通时变者也 二子亦归保其城 知此三者 穷蝉父曰帝颛顼 赵王闻之 安王立二十六年 大臣彊谏 东渐於海 ”无忌曰:;各就国 封章弟兴居为东牟侯 摄提无纪 而曰“城阳景王有义 复召求之 生男蚡、胜 冠带战国七 意忽
数学初中竞赛《三角形的五心》专题训练(包含答案)
数学初中竞赛《三角形的五心》专题训练一.选择题1.如图,已知直线MN∥AB,把△ABC剪成三部分,点C在直线AB上,点O在直线MN上,则点O是△ABC的()A.垂心B.重心C.内心D.外心2.课本第5页有这样一个定义“三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心”.现在我们继续定义:①三角形三边上的高线的交点叫做三角形的垂心;②三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心;③三角形三边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心.在三角形的这四“心”中,到三角形三边距离相等的是()A.重心B.垂心C.内心D.外心3.如图为4×4的网格图,A,B,C,D,O均在格点上,则点O是()A.△ACD的重心B.△ABC的外心C.△ACD的内心D.△ABC的垂心4.如图,O是△ABC的外心,OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,则OD:OE:OF等于()A.a:b:c B.::C.sin A:sin B:sin C D.cos A:cos B:cos C5.在△ABC中,两中线AD与CF相交于点G,若∠AFC=45°,∠AGC=60°,则∠ACF的度数为()A.30°B.45°C.60°D.75°6.如图,已知△ABC的三个顶点分别在反比例函数y=(k>0)的图象上,那么△ABC的()也一定在该函数图象上.A.重心B.内心C.外心D.垂心7.如图,已知H是△ABC的垂心,△ABC的外接圆半径为R,△BHC的外接圆半径为r,则R 与r的大小关系是()A.R=r B.R>r C.R<r D.无法确定8.以Rt△ABC的两条直角边AB、BC为边,在三角形ABC的外部作等边三角形ABE和等边三角形BCF,EA和FC的延长线相交于点M,则点B一定是三角形EMF的()A.垂心B.重心C.内心D.外心9.如图,锐角△ABC的垂心为H,三条高的垂足分为D、E、F,则H是△DEF的()A.垂心B.重心C.内心D.外心10.三个等圆O 1,O 2,O 3有公共点H ,点A 、B 、C 是其他交点,则H 是三角形ABC 的( )A .外心B .内心C .垂心D .重心二.填空题11.在半径为1的⊙O 中内接有锐角△ABC ,H 是△ABC 的垂心,角平分线AL 垂直于OH ,则BC = .12.如图,ADCFBE 是某工厂车间的一种剩余残料,且∠ACB =90°,现需要利用这块残料在△ABC 的外部制作3个等边△ADC 、△CBF 、△ABE 的内切圆⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3,若其中最大圆⊙O 3的半径为0.5米,可使生产成本节约3元(节约成本与圆面积成正比),照此计算,则10块这样的残料可使生产成本节约 元.13.如图,在△ABC 中M 为垂心,O 为外心,∠BAC =60°,且△ABC 外接圆直径为10,则AM = .14.如图,锐角三角形ABC 内接于半径为R 的⊙O ,H 是三角形ABC 的垂心,AO 的延长线与BC 交于点M ,若OH ⊥AO ,BC =10,OA =6,则OM 的长= .15.设凸四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O ,△OAB ,△OBC ,△OCD ,△ODA 的重心分别为E ,F ,G ,H ,则S EFGH :S ABCD = .16.如图,I 是Rt △ABC (∠C =90°)的内心,过I 作直线EF ∥AB ,分别交CA 、CB 于E 、F .已知EI=m,IF=n,则用m、n表示S△ABC=.17.已知点I是锐角三角形ABC的内心,A1、B1、C1分别是点I关于边BC,CA,AB的对称点,若点B在△A1B1C1的外接圆上,则∠ABC等于.三.解答题18.如图所示,已知锐角△ABC的外接圆半径R=1,∠BAC=60°,△ABC的垂心和外心分别为H、O,连接OH、BC交于点P(1)求凹四边形ABHC的面积;(2)求PO•OH的值.19.如图,AD,BE,CF是△ABC的高,K,M,N分别为△AEF,△BFD,△CDE的垂心,求证:△DEF≌△KMN.20.如图,点H为△ABC的垂心,以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2相交于点D,延长AD交CH于点P,求证:点P为CH的中点.21.如图,△ABC的三边满足关系BC=(AB+AC),O、I分别为△ABC的外心、内心,∠BAC 的外角平分线交⊙O于E,AI的延长线交⊙O于D,DE交BC于H,求证:(1)AI=BD;(2)OI=AE.22.如图,H是锐角△ABC的垂心,O为△ABC的外心,过O作OD⊥BC,垂足为D.(1)求证:AH=2OD;(2)若AO=AH,求∠BAC的度数.23.如图,D ,E ,F 分别是△ABC 的边BC ,CA ,AB 上的点,且∠FDE =∠A ,∠DEF =∠B .又设△AFE ,△BDF ,△CED 均为锐角三角形,它们的垂心依次为H 1,H 2,H 3,求证:1.∠H 2DH 3=∠FH 1E ;2.△H 1H 2H 3≌△DEF .24.如图,△ABC 为锐角三角形,CF ⊥AB 于F ,H 为△ABC 的垂心.M 为AH 的中点,点G 在线段CM 上,且CG ⊥GB .(1)求证:∠MFG =∠GCF ;(2)求证:∠MCA =∠HAG .25.如图,已知H 为锐角△ABC 的垂心,D 是使四边形AHCD 为平行四边形的一点,过BC 的中点M 作AB 的垂线,垂足为N ,K 为MN 的中点,过点A 作BD 的平行线交MN 于点G ,若A ,K ,M ,C 四点共圆.求证:直线BK 平分线段CG .参考答案一.选择题1.解:如图1,过点O作OD⊥BC于D,OE⊥AC于E,OF⊥AB于F∵MN∥AB,OD=OE=OF(夹在平行线间的距离处处相等)如图2,过点O作OD'⊥BC于D',作OE'⊥AC于E',作OF'⊥AB于F',由裁剪知,OD=OD',OE=OE',OF=OF',∴OD'=OE'=OF',∴图2中的点O是三角形三个内角的平分线的交点,∴点O是△ABC的内心,故选:C.2.解:内心是三角形的三条内角平分线的交点,而角平分线上的点到角的两边的距离相等,所以在三角形的四“心”中,到三角形三边距离相等的是内心;到三个顶点的距离相等的是外心.故选:C.3.解:如图,连接OA、OB、OC、OD,设每一个小方格的边长为1,由勾股定理可求得OA=OB=OC=,OD=2,∴O点在AB、AC、BC的垂直平分线上,∴点O为△ABC的外心,∵OA=OC≠OD,∴点O即不是△ACD的重心,也不是△ACD的内心,故选:B.4.解:如图,连接OA、OB、OC;∵∠BOC=2∠BAC=2∠BOD,∴∠BAC=∠BOD;同理可得:∠BOF=∠BCA,∠AOE=∠ABC;设⊙O的半径为R,则:OD=R•cos∠BOD=R•cos∠A,OE=R•cos∠AOE=R•cos∠B,OF=R•cos∠BOF=R•cos∠C,故OD:OE:OF=cos∠A:cos∠B:cos∠C,故选:D.5.解:∵点G是△ABC的重心,∴=2,作CE⊥AG于点E,连接EF,∴△CEG是直角三角形,∵∠EGC=60°,∴∠ECG=30°,那么EG=CG=GF,∴GE=GF,∠FGE=120°,∴∠GFE=∠FEG=30°,而∠ECG=30°,∴EF=EC,∵∠EFA=45°﹣30°=15°,∠FAD=∠AGC﹣∠AFC=15°,∴∠FAD=∠EFA,∴EF=AE,∴AE=EC,∵△AEC是等腰直角三角形,∴∠ACE=45°,∴∠ACF=∠ACE+∠ECF=30°+45°=75°,故选:D.6.解:结论:△ABC的垂心也一定在该函数图象上;理由:∵A、B、C都在y=上,∴可设A、B、C的坐标依次是:(a,)、(b,)、(c,).令H的坐标为(x,y).容易得出:AB的斜率==﹣,BC的斜率==﹣,AH的斜率=,CH的斜率=,∵AH⊥BC,CH⊥AB,∴=,=,∴a•=c•,∴(k﹣ay)(c﹣x)=(k﹣cy)(a﹣x),∴ck﹣kx﹣acy+axy=ak﹣kx﹣acy+cxy,∴(a﹣c)xy=(a﹣c)k.显然,a﹣c≠0,∴xy=k,即:y=.∴点H(x,y)在反比例函数y=的图象上.故选:D.7.解:如图,延长AD交△ABC的外接圆于G,连接BG,CG,∴△ABC的外接圆的半径等于△BGC的外接圆的半径,∵△ABC的外接圆半径为R,∴△BGC的外接圆半径为R,∵点H是△ABC的垂心,∴AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠ADC=∠BEC=90°,∴∠CAD+∠ACB=90°,∠CBE+∠ACB=90°,∴∠CAD=∠CBE,∵∠CBG=∠CAD,∴∠CBE=∠CBG,同理:∠BCF=∠BCG,在△BCH和△BCG中,,∴△BCH≌△BCG(ASA),∴△BHC的外接圆的半径等于△BGC的外接圆的半径,∵△BHC的外接圆半径为r,∴△BGC的外接圆的半径为r,∴R=r,故选:A.8.解:如图,连接CE,AF,延长EB交MF于G,延长FB交ME于H,∵以Rt△ABC的两条直角边AB,BC为边作等边△ABE和等边△BCF,∴∠CBE=90°+60°=150°,∠FBE=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°,在△CBE与△FBE中,,∴△CBE≌△FBE(SAS);∴CE=FE,∠FEB=∠CEB,∴BE⊥CF于G,∴EG是△MEF的边FM上的高,同理:FH是△MEF的边EM上的高,∴点B是△MEF的三边的高,即:点B是△MEF的垂心.故选:A.9.解:∵BE丄AC,CF丄AB,∴四点B、C、E、F共圆(以BC为直径),∴∠EBF=∠FCE,∵HD丄BD,HF丄BF,∴四点B、D、H、F共圆(以BH为直径),∴∠HBF=∠FDH,同理,四点C、D、H、E共圆,(以CH为直径),∠HDE=∠HCE,∴∠HDE=∠HDF,∴DA平分∠EDF即可.同理可证EB平分∠DEF,FC平分∠EFD,∴H是△DEF的角平分线的交点,∴H是△DEF的内心.故选:C.10.解:延长AH交BC于E点,延长CH交AB于F点,如图,∵三个等圆O1,O2,O3有公共点H,∴∠1所对的弧BH与∠4所对的弧BH为等弧;∠2所对的弧CH与∠5所对的弧CH为同弧;∠3所对的弧AH与∠6所对的弧AH为同弧,∴∠1=∠4,∠2=∠5,∠3=∠6,∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180°,∴2∠2+2∠3+2∠4=180°,2∠1+2∠3+2∠2=180°,∴∠2+∠3+∠4=90°,∠1+∠3+∠2=90°,∴AE⊥BC,CF⊥AB,∴点H为△ABC的垂心.故选:C.二.填空题(共7小题)11.解:设AL与⊙O交于点D,与OH交于点N,连接OD,交BC于点M,连接CO并延长交⊙O于点G,连接GA、GB、AO,如图所示,∵CG是⊙O的直径,∴∠CBG=∠CAG=90°,∴BG⊥BC,AG⊥AC.∵H为△ABC的垂心,∴AE⊥BC,BF⊥AC,∴AE∥BG,AG∥BF,∴四边形AGBH是平行四边形,∴BG=AH.∵AL平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∴=,根据垂径定理的推论可得:OD⊥BC.∵AE⊥BC,∴OD∥AE,∴∠ODA=∠EAD.∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD,∴∠OAD=∠EAD.∵AL垂直于OH,∴∠ANO=∠ANH=90°.在△ANO和△ANH中,,∴△ANO≌△ANH(ASA),∴AO=AH,∴BG=AH=AO=1.在Rt△GBC中,∵BG=1,GC=2,∴BC==.故答案为:.12.解:由勾股定理和相似图形的性质可知,⊙O1的面积+⊙O2的面积=⊙O3的面积,∵⊙O3可使生产成本节约3元,∴1块这样的残料可使生产成本节约6元.则10块这样的残料可使生产成本节约6×10=60元.故答案为:60.13.解:延长AM交BC于D,延长CM交AB于E,作直径BF,连结AF,如图,∵BF为⊙的直径,∴∠BAF=90°,∴sin F==,∴AB=10•sin F=10•sin∠ACB,又∵点M为△ABC的垂心,∴AD⊥BC,CE⊥AB,∴∠ADB=∠AEC=90°,∴△AEM∽△ADB,∴=,即AM=,在Rt△AEC中,∠EAC=60°,AC=2AE,即AE=AC,在Rt△ADC中,sin∠ACD=,即AD=AC•sin∠ACD,∴AM==5.故答案为5.14.解:如图,连接BO并延长交圆于F,连接CF,AH,连接AF,CH,过点O作ON⊥BC于N,∵BF是⊙O的直径,∴∠BCF=∠BAF=90°,∴ON∥FC,∵OB=OF,∴ON是△BCF的中位线,∴CF=2ON.∴BN=CN=BC=5,在Rt△OBN中,OB=OA=6,BN=5,∴ON==,∴CF=2ON=2,∵H是△ABC的垂心,∴AH⊥BC,∵CF⊥BC,∴AH∥CF,同理可得:CH∥AF,∴四边形AHCF是平行四边形,∴AH=CF=2∵H是△ABC的垂心,∴AH⊥BC,∵ON⊥BC,∴AH∥ON,∴∠OAH=∠NOM,∵OH⊥AM,∴∠AOH=∠ONM=90°,∴△AOH∽△ONM,∴,∴,∴OM=.故答案为.15.解:如图:∵E、F分别是△OAB与△OBC的重心,∴,∴EF∥AC,同理:FG∥BD,HG∥AC,HE∥BD,∴ERUQ,RUSF,USGT,THQU,EFGH是平行四边形,∵,∴,同理:,∴,∴,同理:,,.∴.16.解:如图,过I分别作三边的垂线,垂足为D、F、G,设AB=c,BC=a,AC=b,ID=IH=IG=r,由△ABC∽△EIG∽△IFH,得=,=,解得a=,b=,由勾股定理,得c2=a2+b2,得1=+,解得r=,又ab=2S△ABC=r(a+b+c),∴=r(++c),解得c=m+n+=m+n+,∴S△ABC=ab==()2(m+n+)2=.故答案为:.17.解:∵I是锐角三角形ABC的内心,∴∠DBI=∠ABC,∵A1、B1、C1分别是点I关于边BC,CA,AB的对称点,∴ID=A1D=IA1,∠BDI=90°,∵点B在△A1B1C1的外接圆上,∴IB=IA1,∴ID=IB,∴∠IBD=30°,∴∠ABC=60°.故答案为:60°.三.解答题(共8小题)18.解:(1)如图:连接BO并延长交⊙O于点G,连接AG、CG、CO,延长CH交AB于F,延长BH交AC于E,延长AH交BC于N,作OM⊥BC于M.∵BG是直径,∴GA⊥AB,GC⊥BC,∵H为垂心,∴BE⊥AC,CF⊥AB,AN⊥BC,∴GA∥CH,GC∥AH,∴AGCH是平行四边形,∴AG=GC,∵∠BA C=60°,OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=30°,∴OM=OB=,BM=,∴BC=,又∵OM=CG,∴AH=2OM=1,设凹四边形的面积为S,则S=S△AHB+S△AHC=×AH×BN+×AH×CN=×AH×BC=,(2)∵BE⊥AC,CF⊥AB,AN⊥BC,∠BAC=60°,∴∠ACF=30°,∴∠CHE=60°,∴∠BHC=120°,∴B、C、H、O四点共圆,∵∠OBC=∠OCB=30°,∴∠CHP=∠OBC=30°,∴∠OHC=∠OCP=150°,∴△OHC∽△OCP,∴OH•OP=OC2=1.19.证明:如图:∵OD⊥BC,FM⊥BC,∴OD∥FM,∵OF⊥AB,DM⊥AB,∴OF∥DM,∵DMFO是平行四边形,同理OFKE,ODNE均为平行四边形,∴MD∥KE,MD=KE,∴MDEK也是平行四边形,∴DE=MK,同理DF=KN,EF=MN∴△DEF≌△KMN(SSS).于点Q,20.证明:如图,延长AP交⊙O2连接AH,BD,QB,QC,QH.因为AB为⊙O的直径,1所以∠ADB=∠BDQ=90°.(5分)故BQ为⊙O的直径.2于是CQ⊥BC,BH⊥HQ.(10分)又因为点H为△ABC的垂心,所以AH⊥BC,BH⊥AC.所以AH∥CQ,AC∥HQ,四边形ACQH为平行四边形.(15分)所以点P为CH的中点.(20分)21.证明:(1)作IG⊥AB于G点,连BI,BD,如图,∴AG=(AB+AC﹣BC),而BC=(AB+AC),∴AG=BC,又∵AD平分∠BAC,AE平分∠BAC的外角,∴∠EAD=90°,∴O点在DE上,即ED为⊙O的直径,而BD弧=DC弧,∴ED垂直平分BC,即BH=BC,∴AG=BH,而∠BAD=∠DAC=∠DBC,∴Rt△AGI≌Rt△BHD,∴AI=BD;(2)∵∠BID=∠BAI+∠ABI,而∠BAI=∠DBC,∠ABI=∠CBI,∴∠DBI=∠BID,∴ID=DB,而AI=BD,∴AI=ID,∴OI为三角形AED的中位线,∴OI=AE.22.(1)证明:如图1,连接BH并延长交AC于E,∴BE⊥AC,过O作OF⊥AC于F,则F为AC的中点,连接CH,取CH中点N,连接FN,DN,则FN∥AM,AH=2FN,DN∥BE,∵AM⊥BC,OD⊥BC,∴OD∥AM,∴FN∥OD,∵BE⊥AC,OF⊥AC,∴BE∥OF,∵OD⊥BC,∴D为BC中点,∵N为CH中点,∴DN∥BE,∴DN∥OF,∴四边形ODNF是平行四边形,∴OD=FN,∵AH=2FN,∴AH=2OD.(2)解:如图2,连接OB,OC,∴OA=OB,∵OA=AH,∴OB=AH,由(1)知,AH=2OD,∴OB=2OD,在Rt△ODB中,cos∠BOD==,∴∠BOM=60°,∵OD⊥BC,∴∠BOC=2∠BOD=120°,∴∠BAC=∠BOC=60°.23.证明:(1)∵H2是△BDF的垂心,⊥BF,∴DH2DB=90°﹣∠B,∴∠H2同理:∠H 3DC =90°﹣∠C ,∴∠H 2DH 3=180°﹣∠H 2DB ﹣∠H 3DC =∠B +∠C , ∵H 1是△AEF 的垂心,∴∠H 1EF =90°﹣∠AFE ,∠H 1FE =90°﹣∠AEF , ∴∠EH 1F =180°﹣∠H 1EF ﹣∠H 1FE =180°﹣(90°﹣∠AFE )﹣(90°﹣∠AEF ) =180°﹣∠A =∠B +∠C ,∴∠H 2DH 3=∠FH 1E ;(2)如图,由(1)知,∠FH 1E =∠B +∠C , ∵∠FDE =∠A ,∠A +∠B +∠C =180°,∴∠FH 1E +∠EDF =180°,∴H 1在△DEF 的外接圆上,同理:H 2,H 3也在△DEF 的外接圆上,∴D ,H 2,F ,H 1,E ,H 3六点共圆,由(1)知,∠EH 1F =∠H 2DH 3,∴EF =H 2H 3,同理:DF =H 1H 3,DE =H 1H 2,∴△DEF ≌△H 1H 2H 3(SSS ).24.证明:(1)如图延长AH 交BC 于T .∵H 是△ABC 的垂心,∴∠THC =∠HFA =90°,∵∠THC =∠AHF ,∴∠HCT =∠FAH ,在Rt △AFH 中,∵AM =MH ,∴FM=AM=MH,∴∠FAH=∠MFA,∴∠MFA=∠HCT,∵BG⊥CM,∴∠BFC=∠BGC=90°,∴B、C、G、F四点共圆,∴∠AFG=∠BCG,∴∠AFM+∠MFG=∠HCT+∠MCF,∴∠MFG=∠GCF.(2)∵∠FMG=∠FMC,∠MFG=∠MCF,∴△MFG∽△MCF,∴=,∴MF2=MG•MC,∵MA=MF,∴MA2=MG•MC,∴=,∵∠AMG=∠AMC,∴△MAG∽△MCA,∴∠MCA=∠HAG.25.证明:如图,设BK交CG于E,连接AG,AK,∵A,K,M,C四点共圆,∴∠AC B=∠AKG(外角等于内对角),∵H是△ABC的垂心,∴AH⊥BC,CH⊥AB,∵四边形AHCD是平行四边形,∴CH∥AD,AH∥CD,∴CD⊥BC,AD⊥AB,∴∠BCD=∠BAD=90°,∴∠BAD+∠BCD=180°,∴点A,B,C,D四点共圆,∴∠5=∠ACB=∠AKG,∵AH⊥BC,MN⊥AB,AD⊥AB,∴∠1=∠2=∠4,∵AG∥BD,∴∠3=∠4=∠2,在△ANG和△ANK中,,∴△ANG≌△ANK,∴GN=KN=MK,∴MK=KG,∵直线BKE截得△GMC,由梅涅劳斯定理得:,∵点M是CB中点,∴CB=2BM,∴GE=EC,∴直线BK平分线段CG.。
精向量---三角形五心试题
向量三角形的四心:(1)重心——中线的交点:重心将中线长度分成2:1; (2)垂心——高线的交点:高线与对应边垂直;(3)内心——角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的距离相等;(4)外心——中垂线的交点(外接圆的圆心):外心到三角形各顶点的距离相等。
1.O 是ABC ∆所在平面上一点,若0=++OC OB OA ,则O 是ABC ∆的( )A .外心B .内心C .重心D .垂心2.O 是ABC ∆所在平面上一点,若OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅,则O 为ABC ∆的( )A .外心B .内心C .重心D .垂心3.O 是ABC ∆所在平面上一点,且a ,b ,c 是三角形的三条边长,0=++OC c OB b OA a ,则0为ABC ∆的( )A .外心B .内心C .重心D .垂心4.O 是ABC ∆==,则O 是ABC ∆的( )A .外心B .内心C .重心D .垂心5.O 是平面上一定点,C B A 、、是平面上不共线的三个点,动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ,[)+∞∈,0λ ,则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( ) A .外心 B .内心 C .重心 D .垂心6.(03全国理4)O 是平面上一定点,C B A 、、是平面上不共线的三个点,动点P满足AC AB OA OP ++=λ,[)+∞∈,0λ ,则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A .外心B .内心C .重心D .垂心7.O 是平面上一定点,C B A 、、是平面上不共线的三个点,动点P 满足AC AB OA OP ++=λ,[)+∞∈,0λ ,则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A .外心B .内心C .重心D .垂心8. 已知O 是平面上的一定点,A B C ,,是平面上不共线的三个点,动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++ ⎪⎝⎭,(0)λ∈+∞,,则动点P 的轨迹一定通过ABC △的( )A .外心B .内心C .重心D .垂心 9. P 是ABC △所在平面上一点,若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅,则P 是ABC △的( )A .外心B .内心C.重心D .垂心10.若H 为△ABC =则点H 是△ABC 的( )A .外心B .内心C .重心D .垂心11.O 是ABC ∆所在平面上一点,|CB |CB |CA |CA OC |BC |BC |BA |BA OB ACAC |AB |AB (OA =⋅=⋅=⋅则点O 的是ABC ∆的( )A .外心B .内心C .重心D .垂心12.设△ABC 的外心为O ,若)(31OC OB OA OG ++=,则点G 为△ABC 的( ) A .外心 B .内心 C .重心 D .垂心13.设△ABC 的外心为O ,若OC OB OA OH ++=,则点H 为△ABC 的( )A .外心B .内心C .重心D .垂心 14. 已知O 是平面上的一定点,A B C ,,是平面上不共线的三个点,若2211,22AO AB AB AO AC AC ==;则O 为ABC 的( ) A .外心 B .内心 C .重心 D .垂心练习:1.已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ,满足0=++PC PB PA ,若实数λ满足:AP AC AB λ=+,则λ的值为( )A .2B .23C .3D .6 2.若ABC ∆的外接圆的圆心为O ,半径为1,0=++OC OB OA ,则=⋅OB OA ( )A .21 B .0 C .1 D .21- 3.点O 在ABC ∆内部且满足022=++OC OB OA ,则ABC ∆面积与凹四边形ABOC 面积之比是( )A .0B .23 C .45 D .344.ABC ∆的外接圆的圆心为O ,若OC OB OA OH ++=,则H 是ABC ∆的( ) A .外心 B .内心 C .重心 D .垂心 5.O 是平面上一定点,C B A 、、是平面上不共线的三个点,若222OB BC OA =+222AB OC CA +=+,则O 是ABC ∆的( )A .外心B .内心C .重心D .垂心6.(06陕西)已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 ,则△ABC 为( )A .三边均不相等的三角形B .直角三角形C .等腰非等边三角形D .等边三角形7.已知ABC ∆三个顶点C B A 、、,若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2,则ABC ∆为( )A .等腰三角形B .等腰直角三角形C .直角三角形D .既非等腰又非直角三角形8.ABC ∆的外接圆的圆心为O ,两条边上的高的交点为H ,)(OC OB OA m OH ++=,则实数m =9.已知a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, a ·b=0,则|x|+|y|=__________.10.设s, t 为非零实数,a, b 为单位向量,若|sa+tb|=|ta-sb|,则a 和b 的夹角为__________.11.在△ABC 中,M 是AC 中点,N 是AB 的三等分点,且NA BN 2=,BM 与CN 交于D ,若BM BD λ=,则λ=__________.12.已知OB OA ,不共线,点C 分AB 所成的比为2,OB OA OC μλ+=,则=-μλ__________.13.已知OB a OA ,==b, a ·b=|a-b|=2,当△AOB 面积最大时,a 与b 的夹角为______. 14.把函数y=2x 2-4x+5的图象按向量a 平移后得到y=2x 2的图象,c =(1, -1), 若b a ⊥,c ·b=4,则b 的坐标为__________.15.将向量a =(2, 1)绕原点按逆时针方向旋转4π得到向量b ,则b 的坐标为__________.16.在Rt △BAC 中,已知BC=a ,若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点,试问PQ 与BC 的夹角θ取何值时CQ BP ⋅的值最大?并求出这个最大值。
三角形的五心(邦德讲义)
三角形的“五心”一、选择题(每题5分,共30分)1锐角ABC ∆的三边分别是c b a ,,,它的外心到三边的距离分别为p n m ,,,则p n m ::等于( ) A .c b a ::B .cb a 1:1:1 C .C B A cos ::cos :cos D .C B a sin ::sin :sin2.如图1,D 是ABC ∆的内心,E 是ABD ∆的内心,F 是BDE ∆的内心,若BFE ∠的度数为整数,则BFE ∠至少是( ) A .︒111B .︒112C .︒113D .︒1143.已知ABC ∆的三条高相交于点H ,若AH=BC ,则BAC ∠的度数是( ) A .︒45B ,︒60C .︒30或︒150D .︒45或︒1354.在ABC ∆中,H 是ABC ∆的垂心,O 为ABC ∆的外心,AO=AH ,则BAC ∠的度数是( ) A .︒60B .︒60或︒120C .︒45D .︒45或︒1355.一条直线平分三角形的周长和面积,那么该直线必须通过三角形的( ) A .重心B .垂心C .外心D .内心6.已知H 、O 分别为ABC ∆的垂心和外心,OE ⊥BC 于E ,则OEAH的值为( ) A .31B .21 C .2D .3二.填空题(每题5分,共30分)7.如图2所示,D 是ABC ∆的边BC 上的一点,E 、F 分别是ABD ∆和ACD ∆的重心,连EF 交AD 于G ,则AG DG= .8.设ABC ∆的重心为G ,GA=32,GB=22,GC=2,则ABC ∆的面积为 . 9.设ABC ∆的外接圆半径为R ,内切圆半径为r ,内心为I ,延长AI 交外接圆于D ,则A I ·ID= .10.已知Rt ABC ∆斜边上的高CH=h ,则ABC ∆,HCA ∆,HCB ∆的内切圆半径之和=++321r r r .C图2图3图111.若z y x ,,表示锐角ABC ∆的外心O 到三边的距离,R 、r 分别表示ABC ∆外接圆和内切圆的半径,试用R 和r 表示z y x ++= .12.如图3中所示,ABC ∆的外接圆为⊙O,︒=∠60C ,N 为 中点,H为垂心,由CN 与OH 的位置关系是 .三.解答题:(每题10分,共40分)13.已知AD 是ABC ∆的角平分线,I 是线段AD 上的一点,且,2190BAC BIC ∠+︒=∠求证:I 是ABC ∆的内心.14.如图,设O 是锐角ABC ∆的外心,BE 、DF 是两条高,M 、N 分别为BC 、EF 中点.求证:OA ∥MN .AB15.如图,等腰ABC ∆中,P 为底边BC 上任意一点,过P 作两腰的平分线分别与AB 、AC 相交于Q 、R 两点,又P '是P 关于直线RQ 的对称点,证明:QB P '∆∽RC P '∆.16.如图,已知点P 在半径为6,圆心角为︒90的扇形OAB 的 (不含端点)上运动.PH ⊥OA ,垂足为H ,OPH∆的重心为G .(1)当点P 在 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中有无长度保持不变的线段?如果有,请指出并求其相应的长度;(2)设PH=x ,GP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出自变量x 的取值范围;(3)如果PGH ∆是等腰三角形,试求出线段PH 的线.AB BAPG EH OAB。
几何三角形的五心练习及解答
第五讲 三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心. 一、外心.三角形外接圆的圆心,简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理. 例1. 过等腰△底边上一点引∥交于;引∥交于.作点关于的对称点′.试证:′点在△外接圆上.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)例.在△的边,,上分别取点,,.证明以△,△,△的外心为顶点的三角形与△相似.(·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》) 二、重心A BCPP MN'A BCQK P O O O ....S123三角形三条中线的交点,叫做三角形的重心.掌握重心将每条中线都分成定比及中线长度公式,便于解题.例.,,是△的三条中线,是任意一点.证明:在△,△,△中,其中一个面积等于另外两个面积的和.(第届莫斯科数学奥林匹克)例.如果三角形三边的平方成等差数列,那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真. 三、垂心三角形三条高的交战,称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角AA 'F F 'GEE 'D 'C 'PCBD.OA A A A 1234H H 12形,给我们解题提供了极大的便利.例.设1A 2A 3A 为⊙内接四边形,,,,依次为△2A 3A ,△3A 4A ,△4A 1A ,△1A 2A 的垂心.求证:,,,四点共圆,并确定出该圆的圆心位置.例.为△的垂心,,,分别是,,的中心.一个以为圆心的⊙交直线,,于,,,,,.求证:.四、内心三角形内切圆的圆心,简称为内心.对于内心,要掌握张角公式,还要记住下面一个极为有用的等量关系:H H H MA B B A A B C CC F12111222D E设为△的内心,射线交△外接圆于′,则有′′′.换言之,点′必是△之外心(内心的等量关系之逆同样有用).例.已知⊙内接△,⊙切,于,且与⊙内切.试证:中点是△之内心. 五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点,是旁切圆的圆心,称为旁心.旁心常常与内心联系在一起,旁心还与三角形的半周长关系密切. 例.在直角三角形中,求证:.式中,,,分别表示内切圆半径及与,,相切的旁切圆半径,表示半周. 分析:设△中,为斜边,先来证明一个特性:()()(). ∵()21()·21() 41[()] 21; ()()21()·21()41[()]21.∴()()().① 观察图形,可得,,.而21(). ∴()()()().由①及图形易证.例.是△边上的任意一点,,分别是△,△,△内切圆的半径,,,分别是上述三角形在∠内部的旁切圆半径.证明:11q r ·22q r qr.()分析:对任意△′′′,由正弦定理可知′·2'sinA AααMBC NE R OQFr P A ...'B 'C 'O O 'ED′′·'''sin 2'sin B O A B ∠·2'sin A ′′·2''sin 2'sin2'sin B A B A +⋅,′ ′′·2''sin 2'cos2'cos B A B A +.∴2'2''B tg A tg E O OD =.亦即有11q r ·22q r 2222B tg CNB tg CMA tg A tg ∠∠22B tg A tg qr.六、众心共圆这有两种情况:()同一点却是不同三角形的不同的心;()同一图形出现了同一三角形的几个心.例.设在圆内接凸六边形中,,,.试证:(),,三条对角线交于一点;()≥.(,国家教委数学试验班招生试题)分析:连接,,,由已知可证,,是△的三条内角平分线,为△的内心.从而有,, .再由△,易证,,是它的三条高,是它的垂心,利用不等式有: ≥·(). 不难证明,,. ∴≥. ∴ ()≥()() 就是一点两心.例.△的外心为,,是中点,是△的重心. 证明丄.分析:设为高亦为中线,取中点,必在上且.设 交于,必为△重心.连,,交于.易证:31).∴⇒∥. ∵丄,∥,∴丄⇒丄.但丄⇒又是△之垂心.易证丄.例.△中∠°,是外心,是内心,边上的点与边上的点使得.求证:丄,. 分析:辅助线如图所示,作∠平分线交于.I PABCDEFQ SABCDE FOKG O ABCDEF I K30°易证△≌△≌△,∠∠∠. 利用内心张角公式,有∠°21∠°, ∴∠°°×°. ∵∠°21∠°21(∠∠)°21(∠°)21∠∠∠.∴∥. 由等腰△可知丄,∴丄,即是△的一条高. 同理是△之垂心,丄.由∠∠,易知.。
第6讲 五心问题(奔驰定理)(解析版)
第6讲 五心问题(奔驰定理)一.选择题(共11小题)1.已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,O 为ABC ∆内一点,若分别 满足下列四个条件:①0aOA bOB cOC ++=②tan tan tan 0A OA B OB C OC ++=③sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ++= ④则点O 分别为ABC ∆的( ) A .外心、内心、垂心、重心 B .内心、外心、垂心、重心 C .垂心、内心、重心、外心D .内心、垂心、外心、重心【解析】解:先考虑直角三角形ABC ,可令3a =,4b =,5c =, 可得(0,4)A ,(3,0)B ,(0,0)C ,设(,)O m n ,①0aOA bOB cOC ++=,即为3(m -,4)4(3n m -+-,,)(0n -=,0), 即有12120m -+=,12120n -+=,解得1m n ==,即有O 到x ,y 轴的距离为1,O 在角BCA 的平分线上,且到AB 的距离也为1, 则O 为ABC ∆的内心;③sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ++=, 即为24(25m -,244)(325n m -+-,,)(0n -=,0), 可得320m -=,420n -=,解得32m =,2n =, 由5||||||2OA OB OC ===,故O 为ABC ∆的外心; ④,可得(m -,,)(n m -+-,)(0n -=,0), 即为330m -=,430n -=,解得1m =,43n =,由AC 的中点D 为(0,2),||DB ,||OB =,即O 分中线DB 比为2:3, 故O 为ABC ∆的重心;考虑等腰三角形ABC ,底角为30︒,设(C -,(2,0)B ,(0,0)A ,(,)O x y , ②tan tan tan 0A OA B OB C OC ++=,即为x -,)y x -+-,)1y x -+--)(0y =,0),0=10y +=,解得1x =-,y =,即(1,O -,由OC AB ⊥,33()13OA BC k k =-=-,即有OA BC ⊥, 故O 为ABC ∆的垂心. 故选:D .2.已知O ,N ,P 在所在ABC ∆的平面内,且,且PA PB PB PC PA PC ==,则O ,N ,P 分别是ABC ∆的( )A .重心 外心 垂心B .重心 外心 内心C .外心 重心 垂心D .外心 重心 内心【解析】解:因为且||||||OA OB OC ==,所以0到顶点A ,B ,C 的距离相等,所以O 为ABC ∆的外心. 由PA PB PB PC PA PC ==得()0PA PC PB -=,即AC PB ,所以AC PB ⊥. 同理可证AB PC ⊥,所以P 为ABC ∆的垂心. 若,则,取AB 的中点E ,则,所以2||||NE CN =, 所以N 是ABC ∆的重心. 故选:C .3.著名数学家欧拉提出了如下定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.此直线被称为三角形的欧拉线,该定理则被称为欧拉线定理.设点O ,H 分别是ABC ∆的外心、垂心,且M 为BC 中点,则( ) A .33AB AC HM MO +=+ B .33AB AC HM MO +=- C .24AB AC HM MO +=+D .24AB AC HM MO +=-【解析】解:如图所示的Rt ABC ∆,其中角B 为直角,则垂心H 与B 重合,O 为ABC ∆的外心,OA OC ∴=,即O 为斜边AC 的中点,又M 为BC 中点,,M 为BC 中点,22()2(2)4224AB AC AM AH HM OM HM OM HM HM MO +==+=+=+=-.故选:D .4.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知ABC ∆的顶点(4,0)A ,(0,2)B ,且AC BC =,则ABC ∆的欧拉线方程为( ) A .230x y --=B .230x y +-=C .230x y -+=D .230x y --=【解析】解:线段AB 的中点为(2,1),12AB k =-,线段AB 的垂直平分线为:,即230x y --=,AC BC =,三角形的外心、重心、垂心依次位于AB 的垂直平分线上, 因此ABC ∆的欧拉线方程为230x y --=, 故选:D .5.在四面体P ABC -中,PA BC ⊥,PC AB ⊥,点P 在面ABC 上的射影为点H ,则点H 为ABC ∆的( )A .重心B .外心C .内心D .垂心【解析】解:作出P 在底面的射影H ,连结AH ,CH ,AH ∴,CH ,分别为PA ,PC 在平面ABC 内的射影,PA BC ⊥,PC AB ⊥,由三垂线逆定理得:HA BC ⊥,HC AB ⊥,H ∴为三角形ABC 的垂心.故选:D .6.若点P 在平面ABC 内射影为O ,且PA BC ⊥,PB AC ⊥,则点O 为ABC ∆的( ) A .重心B .外心C .内心D .垂心【解析】解:点P 在平面ABC 内射影为O ,连结AO ,BO , 则PO AO ⊥,0PO B ⊥,PO BC ⊥,PO BC ⊥PA BC ⊥,PO BC ⊥, BC ∴⊥面PAO ,AO ⊂面PAO , AO BC ∴⊥.PB AC ⊥,PO AC ⊥,PB PO P =AC ∴⊥面PBO , BO ⊂面PBO ,0B AC ∴⊥,则O 为三角形ABC 的垂心. 故选:D .7.设ABC ∆的角A 、B 、C 的对边长分别为a ,b ,c ,P 是ABC ∆所在平面上的一点,,则点P 是ABC ∆的( ) A .重心 B .外心 C .内心 D .垂心【解析】解:因为,所以2()c PA PB PA PA PC PA b -=-,2()cPA PB PB PB PC PB a-=-,所以c PA AB PA AC b =,cBA PB PB BC a=,所以||cos ||cos c PA c PAB PA b PAC b ∠=∠,||cos ||cos cPB c PBA PB a PBC a∠=∠所以PAB PAC ∠=∠,,所以AP 是BAC ∠的平分线,BP 是ABC ∠的平分线, 所以点P 是ABC ∆的内心, 故选:C .8.已知ABC ∆所在的平面上的动点M 满足,则直线AP 一定经过ABC ∆的( ) A .重心B .外心C .内心D .垂心【解析】解:||||AP AB AC AC AB =+ 11||||()||||AP AB AC AC AB AC AB =+, 根据平行四边形法则知表示的向量在三角形角A 的平分线上,而向量AP 与共线,P ∴点的轨迹过ABC ∆的内心,故选:C .9.在ABC ∆中,3AB =,2AC =,1324AD AB AC =+,则直线AD 通过ABC ∆的( ) A .垂心 B .外心C .内心D .重心【解析】解:3AB =,2AC =13||22AB ∴=,. 即 设12AE AB =,34AF AC =, 则, 1324AD AB AC AE AF =+=+. 由向量加法的平行四边形法则可知,四边形AEDF 为菱形.AD ∴为菱形的对角线, AD ∴平分EAF ∠.直线AD 通过ABC ∆的内心. 故选:C .10.已知在四面体P ABC -中,对棱相互垂直,则点P 在平面ABC 上的射影为ABC ∆的( ) A .重心B .外心C .垂心D .内心【解析】解:作出P 在底面的射影O ,连结AO ,BO ,CO ,AO ∴,BO ,CO ,分别为PA ,PB ,PC 在平面ABC 内的射影, PA BC ⊥,PB AC ⊥,PC AB ⊥由三垂线逆定理得: OA BC ⊥,OB AC ⊥,OC AB ⊥,O ∴为三角形ABC 的垂心.故选C .11.已知点P 在ABC ∆所在平面内,且,则点P 是ABC ∆的( )A .重心B .外心C .垂心D .内心【解析】解:PA PB PB PC =, ,即0PB CA =,PB CA ∴⊥,同理可得PA BC ⊥,PC AB ⊥,P ∴是ABC ∆的垂心.故选:C .二.填空题(共10小题)12.P 点在则ABC ∆所在的平面外,O 点是P 点在平面ABC 内的射影,PA 、PB 、PC 两两垂直,则D 点是则ABC ∆的 垂心 .(填外心,内心,垂心,重心)【解析】解:P 点在则ABC ∆所在的平面外,O 点是P 点在平面ABC 内的射影,PA 、PB 、PC 两两垂直, PA ∴⊥平面PBC ,PA BC ∴⊥,又PO ⊥底面ABC ,PO BC ∴⊥,BC ∴⊥平面PAO ,AO BC ∴⊥,同理可证BO AC ⊥,CO AB ⊥,O ∴是ABC ∆的垂心.故答案为:垂心.13.O 是平面上一定点,ABC ∆中AB AC =,一动点P 满足:()OP OA AB AC λ=++,(0,)λ∈+∞,则直线AP 通过ABC ∆的 ①②③④ (请在横线上填入正确的编号)①外心 ②内心 ③重心 ④垂心.【解析】解:设BC 中点为D ,则AD 为ABC ∆中BC 边上的中线, 由向量的运算法则可得2AB AC AD +=,可得()2OP OA AB AC AD λλ-=+=,可得A 、P 、D 三点共线, 又AB AC =,所以点P 一定过ABC ∆的重心、外心、内心、垂心, 答案为:①②③④.14.已知P 为三角形ABC ∆所在平面上一点,满足PA PB PC PB PA PC ==,则P 点是ABC ∆的 垂心 (填:“外心”、“内心”、“重心”或“垂心” ).【解析】解:由PA PB PC PB PA PC ==得,()0PB PA PC PB CA -==;PB CA ∴⊥;同理,PC BA ⊥,PA BC ⊥;如图所示,点P 为ABC ∆三边的高线交点;P ∴为三角形ABC 的垂心.故答案为:垂心.15.O 是平面上一定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足,且1λ≠,则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的 重心 (填重心,垂心,外心或内心) 【解析】解:设BC 的中点为M .由已知原式可化为2PA OB OP OC OP λ=-+-. 即22PA PB PC PM λ=+=, 所以,所以P ,A ,M 三点共线. 所以P 点在边BC 的中线AM 上. 故P 点的轨迹一定过ABC ∆的重心. 故答案为:重心.16.在ABC ∆中,动点P 满足,则动点P 轨迹一定通过三角形ABC 的 外心 ( “外心”、“内心”、“重心”或“垂心” ) 【解析】解:;222CB CA AB CP -=; ;取AB 中点为M ,则:2CB CA CM +=,; ;()0AB CM CP AB PM -==; ;即AB PM ⊥; 又M 是AB 中点;P ∴在边AB 的中垂线上;P ∴点轨迹一定通过三角形ABC 的外心.故答案为:外心.17.在ABC ∆中,若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅,那么点O 是ABC ∆的 垂心 .(填:外心、内心、重心、垂心) 【解析】解:若即()0OB OC OA OB AC ⋅-=⋅= 即OB AC ⊥同理可证:OA BC ⊥,OC AB ⊥ 故点O 是ABC ∆的三条高的交点, 故点O 是ABC ∆的垂心 故答案为:垂心18.O 是ABC ∆所在平面上的一定点,动点P 满足,[0λ∈,)+∞,则点P 形成的图形一定通过ABC ∆ 的 垂心 .(填外心或内心或重心或垂心) 【解析】解:(BC BC 与(λ垂直点P 在BC 的高线上,即P 的轨迹过ABC ∆的垂心 故答案为:垂心.19.(1)已知O 是平面上的一定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个动点,若动点P 满足()OP OA AB AC λ=++,(0,)λ∈+∞,则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的 重心 (填“内心”“外心”“重心”或“垂心” ).(2)已知O 是平面上的一定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个动点,若动点P 满足,(0,)λ∈+∞,则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的 .(填“内心”“外心”“重心”或“垂心” ) 【解析】解:(1)由已知,,根据平行四边形法则,设ABC ∆中BC 边的中点为D ,知2AB AC AD +=, 2AP AD λ=,,则A ,P ,D 三点共线,点P 的轨迹必过ABC ∆的重心; (2)由已知,()||||AB AC AP AB AC λ=+,而表示与AB 共线的单位向量,||ACAC 表示与AC 共线的单位向量, AP 在BAC ∠的角平分线上,点P 的轨迹一定通过ABC ∆的内心. 故答案为:重心,内心.20.点O 是平面上一定点,A 、B 、C 是平面上ABC ∆的三个顶点,B ∠、C ∠分别是边AC 、AB 的对角,以下命题正确的是 ①②③④⑤ (把你认为正确的序号全部写上). ①动点P 满足,则ABC ∆的重心一定在满足条件的P 点集合中; ②动点P 满足,则ABC ∆的内心一定在满足条件的P 点集合中; ③动点P 满足,则ABC ∆的重心一定在满足条件的P 点集合中; ④动点P 满足,则ABC ∆的垂心一定在满足条件的P 点集合中; ⑤动点P 满足,则ABC ∆的外心一定在满足条件的P 点集合中. 【解析】解:对于①,动点P 满足, AP PB PC =+,则点P 是ABC ∆的重心,故①正确; 对于②,动点P 满足, ,又在BAC ∠的平分线上,AP 与BAC ∠的平分线所在向量共线,ABC ∴∆的内心在满足条件的P 点集合中,②正确;对于③,动点P 满足, ()||sin ||sin AB AC AP AB B AC Cλ=+,,过点A 作AD BC ⊥,垂足为D ,则||sin ||sin AB B AC C AD ==, ()AP AB AC ADλ=+,向量与BC 边的中线共线,因此ABC ∆的重心一定在满足条件的P 点集合中,③正确; 对于④,动点P 满足,, ()(||||)0||cos ||cos AB ACAP BC BC BC BC AB B AC Cλλ=+=-=,,ABC ∴∆的垂心一定在满足条件的P 点集合中,④正确;对于⑤,动点P 满足, 设, 则()||cos ||cos AB ACEP AB B AC Cλ=+,由④知, 0EP BC =,,P ∴点的轨迹为过E 的BC 的垂线,即BC 的中垂线;ABC ∴∆的外心一定在满足条件的P 点集合,⑤正确.故正确的命题是①②③④⑤. 故答案为:①②③④⑤. 21.下列叙述正确的是 ①② .①1()3PG PA PB PC G =++⇔为ABC ∆的重心,.②为ABC ∆的垂心; ③为ABC ∆的外心; ④为ABC ∆的内心.【解析】解:①G 为ABC ∆的重心⇔⇔⇔1()3PG PA PB PC =++,①正确;②由PA PB PB PC =⇔()0PA PC PB -=⇔0CA PB AC PB =⇔⊥,同理AB PC ⊥,BC PA ⊥,②正确;③⇔||||()||()0AB PC BC PC CA CA PC CB ++++=(||||||)||||0AB BC CA PC BC CA CA CB ⇔++++=.,与角C 的平分线平行,P ∴必然落在角C 的角平分线上,③错误; ④为ABC ∆的外心,④错误.正确的叙述是①②.故答案为:①②.。
三角形的五心问题(le)
三角形的五心问题三角形的“五心”指的是三角形的外心,内心,重心,垂心和旁心.一、重心(G):三角形三条中线交点. 性质:1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
即::2:1AG GD =2.重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
即:ABC GACGAB GBC S S S S ∆∆∆∆===313.以重心为起点,以三角形三定点为终点的三条向量之和等于零向量。
即:0=++GC GB GA4.在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数. 即:重心坐标为)3y ,3(C B A c B A y y x x x ++++5.中线与三边的关系式:2222412121BC AC AB AD -+=推广:(1)2222221()3GA GB GC AB AC BC ++=++(2)2222222222333()3BC GA CA GB AB GC AB AC BC +=+=+=++6.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
即: 222GA GB GC ++最小。
性质证明:1.过点G 做GD 的延长线DH,使得DH=GD,连接BH=CHG DF EABCAGGD GHGD GHAG AH G AC E CH GE BGCH CDBD 2121//=∴==∴∴∴= 又中点。
即为中点为又为平行四边形四边形又2.ABC AGC AGC CGD AGC ABC ACD CGD AGC S S S S S S S S S DG AG ∆∆∆∆∆∆∆∆∆=∴=+===∴=31232122 3.()()()031313132),(21=++∴+=+=+=∴=+=C G B G A G BC A C G C CB A B G B CA B A G A DA AG C AB A D A同理:由 4.)3,3(0=------∴=++c B A G c B A G y y y y x x x x C G B G A G∴)3y ,3CB A G c B A G y y y x x x x ++=++=5.()()22222222222222412121)21((241)))((2(4124121CB C A B A D A C B D A C A B A B D D A C D D A C A B A B A C A C A B A C A B A D A-+=∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=++++=∙++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 2222412121BC AC AB AD -+=∴推广:.222222222222222222222222222222223911142242219992219992219991()32333()3GA AD AG AB AC BC AG AB AC BC AB BC AC CG AC BC AB AG BG CG AB BC CA BC GA CA GB AB GC AB BC CA =∴=+-∴=+-=+-=+-∴++=++∴+=+=+=++同理BG6.设三角形三个顶点为112233(,),(,),(,)x y x y x y 平面上任意一点为(),x y 则该点到三顶点距离平方和为:()()()()()()()()()()22222211223322222222123123123123222222221231231231232212312332()32()1133331133x x y y x x y y x x y y x x x x x y y y y y x x x y y y x x x x y y y y x x x y y y x x x y y y -+-+-+-+-+-=-+++-++++++++⎛⎫⎛⎫=-+++-++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-++-++显然当123123y ,)33x x x y y x y ++++==重心坐标)时上式取得最小值。
三角形的五心:内心、外心、重心、垂心、旁心
重心、外心、内心、垂心、旁心统称为三角形的"五心",由于三角形的五心处在特殊的位置上,因而它们具有丰富而独特的性质,这些性质是解与五心相关问题的基础.一.重心三角形的三条中线的交点叫三角形的重心.如图,设O为三角形的重心,则有1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3.在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空间直角坐标系——横坐标:(X1+X2+X3)/3 纵坐标:(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标:(Z1+Z2+Z3)/34.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。
5.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
7.重心在向量中的重要结论:外心二.外心三角形三边的垂直平分线的交点叫三角形的外心.(外接圆的圆心)1.三角形的外接圆有且只有一个,即对于给定的三角形,其外心是唯一的,但一个圆的内接三角形却有无数个,这些三角形的外心重合。
2.锐角三角形的外心在三角形内;钝角三角形的外心在三角形外;直角三角形的外心与斜边的中点重合4.OA=OB=OC=R5.∠BOC=2∠BAC,∠AOB=2∠ACB,∠COA=2∠CBA6.S△ABC=abc/4R三.内心三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。
三角形的内心的性质1.三角形的三条角平分线交于一点,该点即为三角形的内心2.三角形的内心到三边的距离相等,都等于内切圆半径r3.r=2S/(a+b+c)4.在Rt△ABC中,∠C=90°,r=(a+b-c)/2.5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/26.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)四.旁心1 三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点,该点即为三角形的旁心。
与三角形相关的“五心”——1.7周测部分习题解析
与三角形相关的“五心”——1.7周测部分习题解析本周周测部分习题考察了三角形的外心和内心,一些同学在概念上出现了问题。
下面对与三角形相关的“五心”——重心、垂心、内心、旁心、外心,的概念及相关性质进行简要的归纳,对部分周测试题给予一定的解析。
1、重心——三角形三条中线的交点重心定理:三角形的重心把三角形的中线分为1:2的两部分(同学们可自行证明)2、垂心——三角形三条高所在的直线的交点注:①三角形的高是线段,不一定相交,故而垂心是三角形三条高所在直线的交点。
锐角三角形的垂心在三角形内部,直角三角形的垂心是直角顶点,钝角三角形的垂心在三角形外部。
②上图给出了垂心的另一种定义方式,即三角形三个垂足构成的三角形内切圆的圆心,有兴趣的同学可以研究下。
3、内心——三角形内角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)三角形的内心到三角形三边的距离相等。
4、旁心——三角形两外角平分线的交点注:①三角形的旁心有三个,到三角形三边的距离都相等;②三角形的旁心同时也在剩余的三角形内角的角平分线上;③如上图所示,与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆,旁切圆的圆心也就是三角形的旁心。
5、外心——三角形三边垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等。
特别地,正三角形(等边三角形)的四心(重心、垂心、内心、外心)共点(同一个点),五心共线(与旁心在同一条直线上),我们称共点的四心为其中心。
中心的概念仅在正多边形中提起。
复习完三角形的“五心”,我们来看这周周测的两道小题。
明确了概念其实很容易求解。
7、△ABC的外心为O,∠BOC=80°,则∠BAC=()A、40°B、100°C、40°或140°D、40°或100°分析:既然涉及到外心,就与三角形的外接圆结合起来,运用圆周角定理。
此题由于点A位置的不确定性,其实就是解决一条弦所对的圆周角的问题,度数上有两个,且为互补的关系,如图。
三角形的五心
三角形的五心例1. 已知A B C ∆内一点P ,设D 、E 、F分别为点P 在边B C ,C A ,A B 上的投影,且222222AP PD BP PE CP PF +=+=+,A B C ∆的三个旁心分别为A I 、B I 、C I ,证明:P 是A B C I I I ∆的外心例2. 在A B C ∆的边A B 、B C 、C A 上分别取点P 、Q 、S,证明:以A P S ∆,BQP ∆,CSQ ∆的外心为顶点的三角形与A B C ∆相似例3. H为A B C ∆的垂心,D 、E 、F 分别是B C ,C A ,A B 的中点,一个以H 为圆心的H 交直线E F 、F D 、D E 于点1A 、2A 、1B 、2B 、1C 、2C , 求证: 121212AA AA BB BB C C C C =====例4. M是A B C ∆边A B 上任意一点,1r 、2r 、r 分别是A M C ∆、B M C ∆、A B C ∆的内切圆半径,1q 、2q 、q 是上述三角形在A C B ∠内部的旁切圆半径, 证明:1212r r r q q q⋅=例5. 已知O 内接A B C ∆,Q 切A B 、C A 与E 、F,且与O 内切,求证:E F 的中点P 是A B C ∆的内心例6.A B C ∆的外心为O ,A B A C =,D 是A B 的中点,E 是A C D ∆的重心,证明:O E C D ⊥例7. 在任意三角形中,其外接圆及内切圆半径分别为R 、r ,则其外心与内心的距离d满足222d R rR =-例8. 设A B C ∆的垂心为H,P 是其外接圆上任意一点,则A B C ∆关于点P 的西姆松线过线段P H 的中点例9. 设I 是A B C ∆的内心,并设A B C ∆的内切圆与B C ,C A ,A B 分别切于K、L 、M ,过点B 平行于M K 的直线分别交直线LM 及LK 与点R 、S ,证明:R IS ∠为锐角例10. 已知A B C ∆的三个顶点A 、B 、C 分别在111A B C ∆的边11B C ,11C A ,11A B 上,使得111ABC A B C ∠=∠,111BCA B C A ∠=∠,111C AB C A B ∠=∠, 证明:A B C ∆和111A B C ∆的垂心与A B C ∆的外心一样远例11.(1)在A B C ∆中,120ACB ∠= ,O 是A B C ∆的外心,R 是A B C ∆的外接圆半径,如果H 是A B C ∆的垂心,求证:A 、B 、O 、H 四点共圆,且该圆的圆心是 ACB 的中点1O(2)在上述条件下,如果A B C 的重心是G ,I 是A B C ∆的欧拉圆的圆心, 求证:O 、G 、I 、H 四点共线例12. 一个锐角A B C ∆,60BAC∠=,三点H 、O 、I 分别是A B C ∆的垂心、外心、和内心,如果B H O I =,求:A B C ∠和A C B ∠。
三角形的五心及相关习题
三角形的五心及相关习题三角形中有许多重要的特殊点,特别是三角形的“五心”,在解题时有很多应用,在本节中将分别给予介绍. 三角形的“五心”指的是三角形的外心,内心,重心,垂心和旁心. 1、三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心).三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等. 都等于三角形的外接圆半径. 锐角三角形的外心在三角形内; 直角三角形的外心在斜边中点; 钝角三角形的外心在三角形外. 2、三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心). 三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径. 内切圆半径r 的计算:设三角形面积为S ,并记p =12(a +b +c ),则r =Sp.特别的,在直角三角形中,有 r =12(a +b -c ).3、三角形的重心三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心.上面的证明中,我们也得到了以下结论:三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2. 4、三角形的垂心三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心.斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中,任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点.所以把这样的四个点称为一个“垂心组”.5、三角形的旁心三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心). 每个三角形都有三个旁切圆. A 类例题 例1 证明重心定理。
证法1 如图,D 、E 、F 为三边中点,设BE 、CF 交于G ,连接EF ,显然EF ∥=12BC ,由三角形相似可得GB =2GE ,GC =2GF .又设AD 、BE 交于G ',同理可证G 'B =2G 'E ,G 'A =2G 'D ,即G 、G '都是BE 上从B 到E 的三分之二处的点,故G '、G 重合.即三条中线AD 、BE 、CF 相交于一点G .证法2 设BE 、CF 交于G ,BG 、CG 中点为H 、I .连EF 、FH 、HI 、IE ,AB COABCDEFG AB CDEFI aIK HE FABCMABCDEFGC因为EF ∥=12BC ,HI ∥=12BC , 所以 EFHI 为平行四边形.所以 HG =GE 、IG=GF ,GB =2GE ,GC =2GF .同证法1可知AG =2GD ,AD 、BE 、CF 共点. 即定理证毕.情景再现1.设G 为△ABC 的重心,M 、N 分别为AB 、CA 的中点,求证:四边形GMAN 和△GBCC的面积相等.2.三角形的任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的二倍.B 类例题例3 过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ;引PN ∥BA 交AC 于N . 作点P 关于MN 的对称点P '.试证:P '点在△ABC 外接圆上.(杭州大学《中学数学竞赛习题》) 分析 分析点M 和N 的性质,即能得到解题思路。
平面几何:有关三角形五心的经典试题及证明
平面几何:有关三角形五心的经典试题及证明部门: xxx时间: xxx整理范文,仅供参考,可下载自行编辑平面几何:有关三角形五心的经典试卷三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心. 一、外心.三角形外接圆的圆心,简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例1.过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM∥CA 交AB 于M ;引PN∥BA 交AC 于N.作点P 关于MN 的对称点P′.试证:P′点在△ABC 外接圆上.b5E2RGbCAP (杭州大学《中学数学竞赛习题》>分析:由已知可得MP′=MP=MB,NP′=NP=NC ,故点M 是△P′BP 的外心,点N 是△P′PC 的外心.有∠BP′P=∠BMP=∠BAC, ∠PP′C=∠PNC=∠BAC.∴∠BP′C=∠BP′P+∠P′PC=∠BAC.从而,P′点与A ,B ,C 共圆、即P′在△ABC 外接圆上. 由于P′P 平分∠BP′C,显然还有 P′B:P′C=BP:PC.例2.在△ABC 的边AB ,BC ,CA 上分别取点P ,Q ,S.证明以△APS,△BQP,△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似.p1EanqFDPw A BCP P MN'(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》> 分析:设O1,O2,O3是△APS,△BQP, △CSQ 的外心,作出六边形 O1PO2QO3S 后再由外 心性质可知∠PO1S=2∠A, ∠QO2P=2∠B, ∠SO3Q=2∠C.∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360°.从而又知∠O1PO2+∠O2QO3+∠O3SO1=360°将△O2QO3绕着O3点旋转到△KSO3,易判断△KSO1≌△O2PO1,同时可得△O1O2O3≌△O1KO3.DXDiTa9E3d ∴∠O2O1O3=∠KO1O3=∠O2O1K =(∠O2O1S+∠SO1K> =(∠O2O1S+∠PO1O2> =∠PO1S=∠A;同理有∠O1O2O3=∠B.故△O1O2O3∽△ABC. 二、重心三角形三条中线的交点,叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式,便于解题.A BCQ K PO O O ....S123例3.AD ,BE ,CF 是△ABC 的三条中线,P 是任意一点.证明:在△PAD,△PBE,△PCF 中,其中一个面积等于另外两个面积的和.RTCrpUDGiT (第26届莫斯科数学奥林匹克> 分析:设G 为△ABC 重心,直线PG 与AB,BC 相交.从A ,C ,D ,E ,F 分别作该直线的垂线,垂足为A′,C′, D′,E′,F′.易证AA′=2DD′,CC′=2FF′,2EE′=AA′+CC′, ∴EE′=DD′+FF′.有S△PGE=S△PGD+S△PGF.两边各扩大3倍,有S△PBE=S△PAD+S△PCF.例4.如果三角形三边的平方成等差数列,那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析:将△ABC 简记为△,由三中线AD ,BE ,CF 围成的三角形简记为△′.G 为重心,连DE 到H ,使EH=DE ,连HC ,HF ,则△′就是△HCF.5PCzVD7HxA (1>a2,b2,c2成等差数列△∽△′.若△ABC 为正三角形,易证△∽△′. 不妨设a≥b≥c,有 CF=, BE=,A A 'F F 'GEE 'D 'C 'PCB DAD=.将a2+c2=2b2,分别代入以上三式,得CF=,BE=,AD=.∴CF:BE:AD =::=a:b:c.故有△∽△′.(2>△∽△′a2,b2,c2成等差数列.当△中a≥b≥c时,△′中CF≥BE≥AD.∵△∽△′,∴=(>2.据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的”,有=.∴=3a2=4CF2=2a2+b2-c2a2+c2=2b2.三、垂心三角形三条高的交战,称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接>圆三角形,给我们解题提供了极大的便利.jLBHrnAILg例5.设A1A2A3A4为⊙O内接四边形,H1,H2,H3,H4依次为△A2A3A4,△A3A4A1,△A4A1A2,△A1A2A3的垂心.求证:H1,H2,H3,H4四点共圆,并确定出该圆的圆心位置.xHAQX74J0X (1992,全国高中联赛>分析:连接A2H1,A1H2,H1H2,记圆半径 为R.由△A2A3A4知=2RA2H1=2Rcos∠A3A2A4;由△A1A3A4得 A1H2=2Rcos∠A3A1A4.但∠A3A2A4=∠A3A1A4,故A2H1=A1H2.易证A2H1∥A1A2,于是,A2H1A1H2,故得H1H2A2A1.设H1A1与H2A2的交点为M ,故H1H2与A1A2关于M 点成中心对称.同理,H2H3与A2A3,H3H4与A3A4,H4H1与A4A1都关于M点成中心对称.故四边形H1H2H3H4与四边形A1A2A3A4关于M 点成中心对称,两者是全等四边形,H1,H2,H3,H4在同一个圆上.后者的圆心设为Q ,Q 与O 也关于M 成中心对称.由O ,M 两点,Q 点就不难确定了.LDAYtRyKfE 例6.H 为△ABC 的垂心,D ,E ,F 分别是BC ,CA ,AB 的中心.一个以H 为圆心的⊙H 交直线EF ,FD ,DE 于A1,A2,B1,B2,C1,C2.Zzz6ZB2Ltk 求证:AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2. ∥=∥=.OA A A A 1234H H 12H H H MA B BA A C CF121122D E(1989,加拿大数学奥林匹克训练题>分析:只须证明AA1=BB1=CC1即可.设BC=a, CA=b,AB=c,△ABC外接圆半径为R,⊙H的半径为r.连HA1,AH交EF于M.A=AM2+A1M2=AM2+r2-MH2=r2+(AM2-MH2>,①又AM2-HM2=(AH1>2-(AH-AH1>2=AH·AH1-AH2=AH2·AB-AH2=cosA·bc-AH2,②而=2R AH2=4R2cos2A,=2R a2=4R2sin2A.∴AH2+a2=4R2,AH2=4R2-a2. ③由①、②、③有A=r2+·bc-(4R2-a2>=(a2+b2+c2>-4R2+r2.同理,=(a2+b2+c2>-4R2+r2,=(a2+b2+c2>-4R2+r2.故有AA1=BB1=CC1.四、内心三角形内切圆的圆心,简称为内心.对于内心,要掌握张角公式,还要记住下面一个极为有用的等量关系:设I 为△ABC 的内心,射线AI 交△ABC 外接圆于A′,则有A′I=A′B=A′C.换言之,点A′必是△IBC 之外心(内心的等量关系之逆同样有用>.dvzfvkwMI1例7.ABCD 为圆内接凸四边形,取△DAB,△ABC,△BCD, △CDA 的内心O1, O2,O3, O4.求证:O1O2O3O4为矩形.(1986,中国数学奥林匹克集训题> 证明见《中等数学》1992;4例8.已知⊙O 内接△ABC,⊙Q 切AB ,AC 于E ,F 且与⊙O 内切.试证:EF 中点P 是△ABC 之内心.(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》>分析:在第20届IMO 中,美国提供的一道题实际上是例8的一种特例,但它增加了条件AB=AC.当AB≠AC ,怎样证明呢?rqyn14ZNXI 如图,显然EF 中点P 、圆心Q ,BC 中点K 都在∠BAC 平分线上.易知AQ=.∵QK·AQ=MQ·QN,∴QK===.由Rt△EPQ 知PQ=. ∴PK=PQ+QK=+=.ABCDO O O 234O 1AααMBCKNE R OQF r P∴PK=BK.利用内心等量关系之逆定理,即知P 是△ABC 这内心. 五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点,是旁切圆的圆心,称为旁心.旁心常常与内心联系在一起, 旁心还与三角形的半周长关系密切.例9.在直角三角形中,求证:r+ra+rb+rc=2p.式中r ,ra ,rb ,rc 分别表示内切圆半径及与a ,b ,c 相切的旁切圆半径,p 表示半周.(杭州大学《中学数学竞赛习题》>分析:设Rt△ABC 中,c 为斜边,先来证明一个特性:p(p-c>=(p-a>(p-b>.∵p(p -c>=(a+b+c>·(a+b-c> =[(a+b>2-c2]=ab ;(p-a>(p-b>=(-a+b+c>·(a-b+c> =[c2-(a-b>2]=ab.∴p(p -c>=(p-a>(p-b>. ① 观察图形,可得 ra=AF-AC=p-b , rb=BG-BC=p-a , rc=CK=p.Kr r r r O O O 213AOE CBabc而r=(a+b-c>=p-c.∴r+ra+rb+rc=(p-c>+(p-b>+(p-a>+p=4p-(a+b+c>=2p.由①及图形易证.例10.M是△ABC边AB上的任意一点.r1,r2,r分别是△AMC,△BMC,△ABC内切圆的半径,q1,q2,q分别是上述三角形在∠ACB内部的旁切圆半径.证明:·=.EmxvxOtOco(IMO-12>分析:对任意△A′B′C′,由正弦定理可知OD=OA′·=A′B′··=A′B′·,O ′E= A′B′·.∴.亦即有·=A...'B'C'OO'E D==.六、众心共圆这有两种情况:(1>同一点却是不同三角形的不同的心;(2>同一图形出现了同一三角形的几个心.例11.设在圆内接凸六边形ABCDFE 中,AB=BC ,CD=DE ,EF=FA.试证:(1>AD ,BE ,CF 三条对角线交于一点;SixE2yXPq5 (2>AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF. (1991,国家教委数学实验班招生试卷>分析:连接AC ,CE ,EA ,由已知可证AD ,CF ,EB 是△ACE 的三条内角平分线,I 为△ACE 的内心.从而有ID=CD=DE ,6ewMyirQFL IF=EF=FA , IB=AB=BC.再由△BDF,易证BP ,DQ ,FS 是它的三条高,I 是它的垂心,利用 不等式有:BI+DI+FI≥2·(IP+IQ+IS>.不难证明IE=2IP ,IA=2IQ ,IC=2IS.∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC. ∴AB+BC+CD+DE+EF+FA =2(BI+DI+FI> ≥(IA+IE+IC>+(BI+DI+FI> =AD+BE+CF. I 就是一点两心.Erdos..I PABC DEFQ S例12.△ABC 的外心为O ,AB=AC ,D 是AB 中点,E 是△ACD 的重心.证明OE 丄CD.(加拿大数学奥林匹克训练题> 分析:设AM 为高亦为中线,取AC 中点F ,E 必在DF 上且DE:EF=2:1.设 CD 交AM 于G ,G 必为△ABC 重心. 连GE ,MF ,MF 交DC 于K.易证: DG:GK=DC:(>DC=2:1.∴DG:GK=DE:EFGE∥MF.∵OD 丄AB ,MF∥AB, ∴OD 丄MFOD 丄GE.但OG 丄DEG 又是△ODE 之垂心.易证OE 丄CD.例13.△ABC 中∠C=30°,O 是外心,I 是内心,边AC 上的D 点与边BC 上的E 点使得AD=BE=AB.求证:OI 丄DE ,OI=DE.kavU42VRUs (1988,中国数学奥林匹克集训题>分析:辅助线如图所示,作∠DAO 平分线交BC 于K. 易证△AID≌△AIB≌△EIB,∠AID=∠AIB=∠EIB.利用内心张角公式,有 ∠AIB=90°+∠C=105°, ∴∠DIE=360°-105°×3=45°.AB CDE FOKG O ABCDEF I K30°∵∠AKB=30°+∠DAO=30°+(∠BAC -∠BAO> =30°+(∠BAC -60°> =∠BAC=∠BAI=∠BEI. ∴AK∥IE.由等腰△AOD 可知DO 丄AK , ∴DO 丄IE ,即DF 是△DIE 的一条高. 同理EO 是△DIE 之垂心,OI 丄DE. 由∠DIE=∠IDO,易知OI=DE.例14.锐角△ABC 中,O ,G ,H 分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d 外,重心到三边距 离和为d 重,垂心到三边距离和为d 垂. 求证:1·d 垂+2·d 外=3·d 重.分析:这里用三角法.设△ABC 外接圆半径为1,三个内角记为A ,B , C. 易知d 外=OO1+OO2+OO3=cosA+cosB+cosC ,∴2d 外=2(cosA+cosB+cosC>. ① ∵AH1=sinB·AB=sinB·(2sinC>=2sinB·sinC, 同样可得BH2·CH3. ∴3d 重=△ABC 三条高的和=2·(sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB> ②BCO IAO G H O G H G O G H 123112233∴=2,∴HH1=cosC·BH=2·cosB·cosC.同样可得HH2,HH3.∴d垂=HH1+HH2+HH3=2(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB>③欲证结论,观察①、②、③,须证(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB>+( cosA+ cosB+ cosC>=sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB.即可.y6v3ALoS89练习题1.I为△ABC之内心,射线AI,BI,CI交△ABC外接圆于A′,B′,C′.则AA′+BB′+CC′>△ABC周长.(1982,澳大利亚数学奥林匹克>2.△T′的三边分别等于△T的三条中线,且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.(1989,捷克数学奥林匹克>M2ub6vSTnP3.I为△ABC的内心.取△IBC,△ICA,△IAB的外心O1,O2,O3.求证:△O1O2O3与△ABC有公共的外心.(1988,美国数学奥林匹克>0YujCfmUCw4.AD为△ABC内角平分线.取△ABC,△ABD,△ADC的外心O,O1,O2.则△OO1O2是等腰三角形.eUts8ZQVRd5.△ABC中∠C<90°,从AB上M点作CA,CB的垂线MP,MQ.H是△CPQ的垂心.当M是AB上动点时,求H的轨迹.(IMO-7>sQsAEJkW5T6.△ABC的边BC=(AB+AC>,取AB,AC中点M,N,G为重心,I为内心.试证:过A,M,N三点的圆与直线GI相切.(第27届莫斯科数学奥林匹克>GMsIasNXkA7.锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1,H2,H3.已知:H1,H2,H3,求作△ABC.(第7届莫斯科数学奥林匹克>TIrRGchYzg8.已知△ABC的三个旁心为I1,I2,I3.求证:△I1I2I3是锐角三角形.9.AB,AC切⊙O于B,C,过OA与BC的交点M任作⊙O的弦EF.求证:(1>△AEF与△ABC有公共的内心;(2>△AEF与△ABC有一个旁心重合.7EqZcWLZNX申明:所有资料为本人收集整理,仅限个人学习使用,勿做商业用途。
第13讲 三角形的五心(六)
第十三讲三角形的五心(六)
【例1】(1)如图所示,已知△ABC的重心G与内心I的连线GI∥BC.
求证:AB+AC=2BC.
(2)如图,△ABC的外心与内心分别为O、I,外接圆与内切圆半径分别为R、r,求证:IO2=R2-2Rr(欧拉公式)
【例2】(1)△ABC的外心为O,AB=AC.D是AB的中点,E是△ACD的重心.
证明:OC⊥CD.
(2)点A在∠KMN内部,点B在KM上,如果∠CBM=∠ABK,∠BCM=∠CAN.求证:△BCM的外心在AM上.
【例3】(1)如图,△ABC中,∠A的平分线与外接圆交于点D,I是内心,M是BC的中点,P为I关于M的对称点,延长DP与外接圆相交于N.
求证:线段AN、BN、CN中有两个的和等于第三个.
(2)已知AD是Rt△ABC斜边BC上的高(AB<AC),I1,I2分别是△ABD、△ACD的内心,△AI1I2的外接圆O分别交AB、AC于点E、F,直线EF、BC交于点M.
证明:I1、I2分别是△ODM的内心、旁心.。
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有关三角形五心的经典试题三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心. 一、外心.三角形外接圆的圆心,简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理. 例1.过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ;引PN ∥BA 交AC 于N .作点P 关于MN 的对称点P ′.试证:P ′点在△ABC 外接圆上. (杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析:由已知可得MP ′=MP =MB ,NP ′=NP=NC ,故点M 是△P ′BP 的外心,点N 是△P ′PC 的外心.有∠BP ′P =21∠BMP =21∠BAC ,∠PP ′C =21∠PNC =21∠BAC . ∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC .从而,P ′点与A ,B ,C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上. 由于P ′P 平分∠BP ′C ,显然还有 P ′B :P ′C =BP :PC .例2.在△ABC 的边AB ,BC ,CA 上分别取点P ,Q ,S .证明以△APS ,△BQP ,△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似.(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析:设O 1,O 2,O 3是△APS ,△BQP ,△CSQ 的外心,作出六边形O 1PO 2QO 3S 后再由外心性质可知 ∠PO 1S =2∠A , ∠QO 2P =2∠B , ∠SO 3Q =2∠C .∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°.从而又知∠O 1PO 2+∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360°将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3,易判断△KSO 1≌△O 2PO 1,同时可得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3. ∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=21∠O 2O 1K =21(∠O 2O 1S +∠SO 1K ) =21(∠O 2O 1S +∠PO 1O 2) A B C PP M N 'A B C QK P O O O ....S 123=21∠PO 1S =∠A ; 同理有∠O 1O 2O 3=∠B .故△O 1O 2O 3∽△ABC . 二、重心三角形三条中线的交点,叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式,便于解题.例3.AD ,BE ,CF 是△ABC 的三条中线,P 是任意一点.证明:在△PAD ,△PBE ,△PCF 中,其中一个面积等于另外两个面积的和. (第26届莫斯科数学奥林匹克)分析:设G 为△ABC 重心,直线PG 与AB,BC 相交.从A ,C ,D ,E ,F 分别 作该直线的垂线,垂足为A ′,C ′, D ′,E ′,F ′. 易证AA ′=2DD ′,CC ′=2FF ′,2EE ′=AA ′+CC ′,∴EE ′=DD ′+FF ′. 有S △PGE =S △PGD +S △PGF .两边各扩大3倍,有S △PBE =S △PAD +S △PCF .例4.如果三角形三边的平方成等差数列,那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析:将△ABC 简记为△,由三中线AD ,BE ,CF 围成的三角形简记为△′.G 为重心,连DE到H ,使EH =DE ,连HC ,HF ,则△′就是△HCF .(1)a 2,b 2,c 2成等差数列⇒△∽△′. 若△ABC 为正三角形,易证△∽△′. 不妨设a ≥b ≥c ,有 CF =2222221c b a -+, BE =2222221b ac -+, AD =2222221a cb -+. 将a 2+c 2=2b 2,分别代入以上三式,得 CF =a 23,BE =b 23,AD =c 23. ∴CF :BE :AD =a 23:b 23:c 23=a :b :c .故有△∽△′.(2)△∽△′⇒a 2,b 2,c 2成等差数列.AA 'F F 'GE E 'D 'C 'P C B D当△中a ≥b ≥c 时, △′中CF ≥BE ≥AD . ∵△∽△′, ∴∆∆S S '=(aCF )2. 据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的43”,有∆∆S S '=43.∴22aCF =43⇒3a 2=4CF 2=2a 2+b 2-c2⇒a 2+c 2=2b 2.三、垂心三角形三条高的交战,称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形,给我们解题提供了极大的便利.例5.设A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形,H 1,H 2,H 3,H 4依次为△A 2A 3A 4,△A 3A 4A 1,△A 4A 1A 2,△A 1A 2A 3的垂心.求证:H 1,H 2,H 3,H 4四点共圆,并确定出该圆的圆心位置.(1992,全国高中联赛) 分析:连接A 2H 1,A 1H 2,H 1H 2,记圆半径为R .由△A 2A 3A 4知13212sin H A A H A ∠=2R ⇒A 2H 1=2R cos ∠A 3A 2A 4; 由△A 1A 3A 4得A 1H 2=2R cos ∠A 3A 1A 4.但∠A 3A 2A 4=∠A 3A 1A 4,故A 2H 1=A 1H 2. 易证A 2H 1∥A 1A 2,于是,A 2H 1 A 1H 2, 故得H 1H 2 A 2A 1.设H 1A 1与H 2A 2的交点为M ,故H 1H 2与A 1A 2关于M 点成中心对称. 同理,H 2H 3与A 2A 3,H 3H 4与A 3A 4,H 4H 1与A 4A 1都关于M 点成中心对称.故四边形H 1H 2H 3H 4与四边形A 1A 2A 3A 4关于M 点成中心对称,两者是全等四边形,H 1,H 2,H 3,H 4在同一个圆上.后者的圆心设为Q ,Q 与O 也关于M 成中心对称.由O ,M 两点,Q 点就不难确定了.例6.H 为△ABC 的垂心,D ,E ,F 分别是BC ,CA ,AB 的中心.一个以H 为圆心的⊙H 交直线EF ,FD ,DE 于A 1,A 2,B 1,B 2,C 1,C 2. 求证:AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2.(1989,加拿大数学奥林匹克训练题) 分析:只须证明AA 1=BB 1=CC 1即可.设 BC =a , CA =b ,AB =c ,△ABC 外接圆半径为R ,⊙H 的半径为r . 连HA 1,AH 交EF 于M . A 21A =AM 2+A 1M 2=AM 2+r 2-MH2∥=∥=.OA A A A 1234H H 12H H HM AB BA ABC CC F12111222D E=r 2+(AM 2-MH 2), ①又AM 2-HM 2=(21AH 1)2-(AH -21AH 1)2 =AH ·AH 1-AH 2=AH 2·AB -AH 2=cos A ·bc -AH 2, ② 而ABHAH ∠sin =2R ⇒AH 2=4R 2cos 2A ,Aa sin =2R ⇒a 2=4R 2sin 2A . ∴AH 2+a 2=4R 2,AH 2=4R 2-a 2. ③ 由①、②、③有A 21A =r 2+bca cb 2222-+·bc -(4R 2-a 2)=21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2. 同理,21BB =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2, 21CC =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2. 故有AA 1=BB 1=CC 1.四、内心三角形内切圆的圆心,简称为内心.对于内心,要掌握张角公式,还要记住下面一个极为有用的等量关系:设I 为△ABC 的内心,射线AI 交△ABC 外接圆于A ′,则有A ′I =A ′B =A ′C .换言之,点A ′必是△IBC 之外心(内心的等量关系之逆同样有用).例7.ABCD 为圆内接凸四边形,取△DAB ,△ABC ,△BCD , △CDA 的内心O 1, O 2,O 3, O 4.求证:O 1O 2O 3O 4为矩形.(1986,中国数学奥林匹克集训题)证明见《中等数学》1992;4例8.已知⊙O 内接△ABC ,⊙Q 切AB ,AC 于E ,F 且与⊙O 内切.试证:EF 中点P 是△ABC之内心.(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析:在第20届IMO 中,美国提供的一道题实际上是例8的一种特例,但它增加了条件AB =AC .当AB ≠AC ,怎样证明呢?A B C D O O O 234O 1如图,显然EF 中点P 、圆心Q ,BC 中点K 都在∠BAC 平分线上.易知AQ =αsin r . ∵QK ·AQ =MQ ·QN ,∴QK =AQQNMQ ⋅=αsin /)2(r rr R ⋅-=)2(sin r R -⋅α.由Rt △EPQ 知PQ =r ⋅αsin .∴PK =PQ +QK =r ⋅αsin +)2(sin r R -⋅α=R 2sin ⋅α. ∴PK =BK .α利用内心等量关系之逆定理,即知P 是△ABC 这内心. 五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点,是旁切圆的圆心,称为旁心.旁心常常与内心联系在一起, 旁心还与三角形的半周长关系密切.例9.在直角三角形中,求证:r +r a +r b +r c =2p .式中r ,r a ,r b ,r c 分别表示内切圆半径及与a ,b ,c 相切的旁切圆半径,p 表示半周. (杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析:设Rt △ABC 中,c 为斜边,先来证明一个特性:p (p -c )=(p -a )(p -b ).∵p (p -c )=21(a +b +c )·21(a +b -c ) =41[(a +b )2-c 2]=21ab ; (p -a )(p -b )=21(-a +b +c )·21(a -b +c ) =41[c 2-(a -b )2]=21ab . ∴p (p -c )=(p -a )(p -b ). ①观察图形,可得 r a =AF -AC =p -b , r b =BG -BC =p -a ,AααMBCK NE R OQFrP Kr r r r O O O 213AOE CBabcr c =CK =p .而r =21(a +b -c ) =p -c . ∴r +r a +r b +r c=(p -c )+(p -b )+(p -a )+p =4p -(a +b +c )=2p . 由①及图形易证.例10.M 是△ABC 边AB 上的任意一点.r 1,r 2,r 分别是△AMC ,△BMC ,△ABC 内切圆的半径,q 1,q 2,q 分别是上述三角形在∠ACB 内部的旁切圆半径.证明:11q r ·22q r =qr . (IMO -12)分析:对任意△A ′B ′C ′,由正弦定理可知OD =OA ′·2'sinA =A ′B ′·'''sin 2'sinB O A B ∠·2'sin A =A ′B ′·2''sin2'sin2'sin B A B A +⋅, O ′E = A ′B ′·2''sin2'cos2'cos B A B A +. ∴2'2''B tg A tg E O OD =. 亦即有11q r ·22q r =2222Btg CNB tg CMA tgA tg ∠∠ =22B tg A tg=qr. 六、众心共圆这有两种情况:(1)同一点却是不同三角形的不同的心;(2)同一图形出现了同一三角形的几个心.例11.设在圆内接凸六边形ABCDFE 中,AB =BC ,CD =DE ,EF =FA .试证:(1)AD ,BE ,CF 三条对角线交于一点;A ...'B 'C 'O O 'ED(2)AB +BC +CD +DE +EF +FA ≥AK +BE +CF . (1991,国家教委数学试验班招生试题)分析:连接AC ,CE ,EA ,由已知可证AD ,CF ,EB 是△ACE 的三条内角平分线,I 为△ACE的内心.从而有ID =CD =DE , IF =EF =FA , IB =AB =BC .再由△BDF ,易证BP ,DQ ,FS 是它的三条高,I 是它的垂心,利用 不等式有:BI +DI +FI ≥2·(IP +IQ +IS ).不难证明IE =2IP ,IA =2IQ ,IC =2IS .∴BI +DI +FI ≥IA +IE +IC . ∴AB +BC +CD +DE +EF +FA=2(BI +DI +FI ) ≥(IA +IE +IC )+(BI +DI +FI )=AD +BE +CF .I 就是一点两心.例12.△ABC 的外心为O ,AB =AC ,D 是AB 中点,E 是△ACD 的重心.证明OE 丄CD . (加拿大数学奥林匹克训练题)分析:设AM 为高亦为中线,取AC 中点F ,E 必在DF 上且DE :EF =2:1.设CD 交AM 于G ,G 必为△ABC 重心. 连GE ,MF ,MF 交DC 于K .易证: DG :GK =31DC :(3121-)DC =2:1. ∴DG :GK =DE :EF ⇒GE ∥MF . ∵OD 丄AB ,MF ∥AB ,∴OD 丄MF ⇒OD 丄GE .但OG 丄DE ⇒G 又是△ODE 之垂心. 易证OE 丄CD . 例13.△ABC 中∠C =30°,O 是外心,I 是内心,边AC 上的D 点与边BC 上的E 点使得AD =BE =AB .求证:OI 丄DE ,OI =DE .(1988,中国数学奥林匹克集训题)分析:辅助线如图所示,作∠DAO 平分线交BC 于K . 易证△AID ≌△AIB ≌△EIB ,∠AID =∠AIB =∠EIB . 利用内心张角公式,有∠AIB =90°+21∠C =105°,∴∠DIE =360°-105°×3=45°. ∵∠AKB =30°+21∠DAO =30°+21(∠BAC -∠BAO ) Erdos ..I P AB CD E FQ SA B CD E F OKGO A BC DEFI K30°=30°+21(∠BAC -60°) =21∠BAC =∠BAI =∠BEI . ∴AK ∥IE .由等腰△AOD 可知DO 丄AK ,∴DO 丄IE ,即DF 是△DIE 的一条高. 同理EO 是△DIE 之垂心,OI 丄DE . 由∠DIE =∠IDO ,易知OI =DE .例14.锐角△ABC 中,O ,G ,H 分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d 外,重心到三边距离和为d 重,垂心到三边距离和为d 垂.求证:1·d 垂+2·d 外=3·d 重. 分析:这里用三角法.设△ABC 外接圆半径为1,三个内角记为A ,B , C . 易知d 外=OO 1+OO 2+OO 3 =cos A +co sB +cos C ,∴2d 外=2(cos A +cos B +cos C ). ① ∵AH 1=sin B ·AB =sin B ·(2sin C )=2sin B ·sin C , 同样可得BH 2·CH 3.∴3d 重=△ABC 三条高的和=2·(sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B ) ② ∴BCHBHsin =2,∴HH 1=cos C ·BH =2·cos B ·cos C . 同样可得HH 2,HH 3. ∴d 垂=HH 1+HH 2+HH 3=2(cos B ·cos C +cos C ·cos A +cos A ·cos B ) ③ 欲证结论,观察①、②、③,须证(cos B ·cos C +cos C ·cos A +cos A ·cos B )+( cos A + cos B + cos C )=sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B .即可.练 习 题1.I 为△ABC 之内心,射线AI ,BI ,CI 交△ABC 外接圆于A ′, B ′,C ′.则AA ′+BB ′+CC ′>△ABC 周长.(1982,澳大利 亚数学奥林匹克)2.△T ′的三边分别等于△T 的三条中线,且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.(1989,捷克数学奥林匹克)3.I 为△ABC 的内心.取△IBC ,△ICA ,△IAB 的外心O 1,O 2,O 3.求证:△O 1O 2O 3与△ABC 有公共的外心.(1988,美国数学奥林匹克)4.AD 为△ABC 内角平分线.取△ABC ,△ABD ,△ADC 的外心O ,O 1,O 2.则△OO 1O 2是等腰三角B C O IA O G H O G H GO G H 123112233。