有向最短路的“原始-对偶”算法

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含参数的最短路问题及其原始—对偶算法

含参数的最短路问题及其原始—对偶算法
一、含参数的最短路问题
含参数的最短路问题（Parametrized Shortest Path Problem, PSP）是最短路径问题（Shortest Path Problem, SPP）的扩展，是的待求解的网络拓扑结构依赖于一组实参构成的参数，它主要用在那些路径选择依赖于实参因素的场合。

与传统SPP相比，在含参数SPP中任务不在于仅求出只依赖于路径上边/弧权值的最短路径，而是求出优化另外一组实数参数的最优路径，这给出的解决方案不再是路径，而是一组相关的参数值，通常这组参数值都是路径上一个或多个节点的权值值。

二、原始——对偶算法
含参数SPP的计算机解决方案一般有两种：原始——对偶算法和隐式唯一性解法。

原—对偶算法是一种割点问题求解方法，由原始算法和对偶算法组成。

原始算法通过改变权值算出最优路径及其关联参数；而对偶算法则采用贪心算法来进行搜索最优路径，当采用原始-对
偶算法解决SPP时，先利用原始算法找出最优的路径及参数，然后再用对偶算法进行简化和精确，以此来减少搜索范围，加快收敛速度。

原始算法首先先利用贪心算法找出满足要求的路径，确定出路径上所有节点的参数值。

然后利用搜索策略对得到的路径进行优化，其方法有：一是贪心优化，二是贪心轮换，三是贪心随机优化，等等。

贪心优化主要是按贪婪算法边/弧及其所有变量依次改变其参数值，找出更优的路径；贪心轮换的思路主要是尝试若干次通过不同参数设置对路径上某些节点变换使得路径达到最佳状态；而贪心随机优化则是改变每个变量以优化整个路径。

最短路问题的求解方法

最短路问题的求解方法最短路问题是图论中的一个经典问题，它在很多实际应用中都有着重要的作用。

在现实生活中，我们经常需要求解最短路径，比如在地图导航、网络通信、交通运输等领域。

因此，研究最短路问题的求解方法具有重要的理论意义和实际应用价值。

在图论中，最短路问题的求解方法有很多种，其中比较经典的有Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法等。

这些算法各有特点，适用于不同的场景和要求。

下面我们就逐一介绍这些算法的原理和求解方法。

Dijkstra算法是一种用于求解单源最短路径的算法，它采用贪心策略，每次找到当前距离最短的节点进行松弛操作，直到所有节点都被遍历。

Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为节点的个数。

这种算法适用于边权值为正的图，可以求解从单个源点到其他所有点的最短路径。

Bellman-Ford算法是一种用于求解单源最短路径的算法，它可以处理边权值为负的图，并且可以检测负权回路。

Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，其中V为节点的个数，E为边的个数。

这种算法适用于一般情况下的最短路径求解，但是由于其时间复杂度较高，不适用于大规模图的求解。

Floyd-Warshall算法是一种用于求解所有点对最短路径的算法，它可以处理边权值为正或负的图，但是不能检测负权回路。

Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(V^3)，其中V为节点的个数。

这种算法适用于求解图中所有点对之间的最短路径，可以同时求解多个源点到多个目标点的最短路径。

除了上述几种经典的最短路求解算法外，还有一些其他的方法，比如A算法、SPFA算法等。

这些算法在不同的场景和要求下有着各自的优势和局限性，需要根据具体情况进行选择和应用。

在实际应用中，最短路问题的求解方法需要根据具体的场景和要求进行选择，需要综合考虑图的规模、边权值的情况、时间效率等因素。

同时，对于大规模图的求解，还需要考虑算法的优化和并行化问题，以提高求解效率。

第四章组合优化问题的原始-对偶算法-1

作为优化问题，它的可行集为：
F = { 序列 P = {e j1, e j2 ,L, e jk }: P 为中从 s 到 t 的有向路}
k
∑ 其费用函数为： c(P) = c ji 。 i =1
最短路问题可以描述为一个线性规划如下：
定义图 G 的点—弧关联矩阵 A = (aij )m×n ，其中：M =| V | 为|顶点数，n =| E | 为边数，
短路问题，或用最短路的算法作为子程序求解。例如：通信网络的路由问题；最大期望容量问题；背包问题等。可以说，最短路问题的用途远远超出了其直观意义。
定义：给定一个有向图 G=(V,E)和每一条弧 e j ∈ E 上的一个非负权 cij ≥ 0 。最短路问
题(SP)，就是求从一个特殊的起始点 s 到另一个特殊的终点 t 的一条有向路，使得路上的总权和最小。
(RP)
(DRP)
因为 ys ≤ 1，并且极大化 ys ，因此(DRP)是很容易求解的。
我们可以试验 ys = 1的情况：
(1) 如果存在仅利用 J 中的弧自 s 到 t 的路，则由 yt = 0 可以推出 ys = 0 。
下面是仅利用 J 中的弧自 s 到 t 的路，则由 yt = 0 且 y j − yt ≤ 0, (i,t) ∈ J 知 y j = 0 ，
=
(i,
j) ∈ E ，对应的弧不在最短路
上，即 f j * = 0 。
三、最短路问题原始－对偶算法
由于 yt = 0 总成立，所以(SP)的对偶问题等价于下述规划问题
max ys
s.t. yi − y j ≤cij (i, j) ∈ E
(D)
yi无限制，i ∈V
yt= 0
允许弧集合定义为：

用原始_对偶算法求解过指定顶点的最短路

西北纺织工学院学报
Jo ur nal o f Nort hw est Insti tut e of T ex ti le Science and T echno logy
第 10卷第 3期 (总 39期 )
1996年 9月
Vo l. 10, No. 3( Sum No. 39)
用原始 -对偶算法求解过指定顶点的最短路
图1
如图 1,求 vs到 vt 经 v1 , v3 点的最短路 . 解 c= ( ys , y1 , y2 , y3 , y4 , z1 , z3 ) , y1 , z1 与 v1 对应 , y3 , z3 与 v3 对应 ,其余 yi 与 vi 对应 , i = s, 2, 4, 将各变量取值分别写在对应的顶点旁 .
的最优解 .而 J 中由 vs到 vt 经 v 1 , v 2 ,…… , vk
的任何路均为最优 ,或问题 ( P) 无可行解 .
实际应用时 ,由问题 ( D)及 ( DRP)中变
量的意义 ,可将解写在对应的顶点上 ,即对
应于指定顶点 ,有两个变量与之对应 ,其它
顶点 ,有一个变量与之对应 .
4 应用举例
作为一个优化问题 ,此问题的可行解集 F = { P = ( ej 1 , ej 2 ,… , ejl )|P 为一个弧序列 ,且
∑ 为 vs 到 vt 过指定顶点 v1 , v2 ,… , vk 的有向路 } ,价值函数为 C ( P ) = C ( eji ) .
ej
∈ i
P
1 线性规划模型的建立
mi n CT f
1
0
Af = 0 m行
, f ≥ 0.
( P)
1
1
其中 A =

原始-对偶算法

18.433 组合最优化原始－对偶算法October 28 授课教师：Santosh Vempala 在这一讲中，我们介绍互补松弛性条件并利用它们得到求解线性规划的原始－对偶方法。

1 互补松弛性由前面的强对偶定理我们已经知道，下面两个线性规划都有可行解时其最优值是相等的，即利用上面的结论，我们可以验证原始和/或其对偶问提解的最优性。

定理1. 设和分别是(P)和(D)的可行解，那么和是最优解当且仅当下面的条件成立：证明：首先，由于和是可行解，故且对下标和做加和，可得把上面两式相加并利用强对偶定理，可得，因此，不等式(1)和(2)一定为等式。

故结论得证。

□2 原始－对偶算法定理1主要蕴含的结论是：如果和是可行解且满足互补松弛性条件，则他们是最优解。

这个结论产生了原始－对偶算法和出发，使之越来越满足互补松弛性条件。

方便起见，我们考虑如下原始和对偶规划：在这种形式下，互补松弛性条件可简化为：原始－对偶算法步骤如下：1、从(D)的一个可行解开始。

在多数情况下得到这样的一个可行解要比求解线性规划简单得多。

令现在我们需要利用(3)得到(P)的一个可行解满足问题是有没有一个满足这种性质的可行解。

2、写出限定原始规划(RP)如下：事实上，(RP)的可行解即满足上述提到的性质(3)。

这里，变量为人工变量。

如果为0，那么即为(P)的最优解。

3、如果，那么和是最优的。

否则，这时我们写出(RP)的对偶形式，称为(DRP)，并求其解4、令来改进（D）的解，其中的取值需满足是可行的，而且由可行性可知，对有又因为任意均有所以当时可取任意正数。

故取则满足且是可行的。

又因为且，注意，在上面的原始－对偶算法中，求解(DRP)通常要比求解(P)或(D)简单。

实际上，在这种方法中，(P)和(RP)都是临时规划，我们真正想解的是(D)。

为此，我们先解出(DRP)再用这个解来反复改进。

2.1 实例考虑下面形式的最大流问题：值得一提的是，在初始的最大流问题中，前三组约束为等式。

最短路问题的三种算法模板

最短路问题的三种算法模板最短路算法&模板最短路问题是图论的基础问题。

本篇随笔就图论中最短路问题进⾏剖析，讲解常⽤的三种最短路算法：Floyd算法、Dijkstra算法及SPFA算法，并给出三种算法的模板。

流畅阅读本篇博客需要有图论的基础知识，了解什么是图，什么是最短路，以及⼀些基本语法知识和算法基础。

1、Floyd算法我个⼈认为，Floyd算法是三种最短路算法中最简单、最好理解的算法。

它的适⽤范围是任意两点之间的最短路。

这⼀点是其他两种算法（单源最短路）⽆法⽐拟的。

它的实现思路也很简单：⽤三重循环，枚举断点、起始点和终点（注意：顺序千万不能反！！），如果起始点到断点，断点到终点的距离和⼩于起始点到终点当前状态下的最短路（也就是说找到了⼀个⽐它还短的），那么就更新最短路。

它的优点就是简洁明了，易于理解，但是缺点也显⽽易见，通过它的实现途径，我们可以发现，使⽤Floyd算法的题⼀定要⽤邻接矩阵存图，这样的⼀个⼆维数组显然对空间有着要求，⼀般来讲，只能⽀持不超过500个点的图，假如更多，便⽆法⽀持。

同时，Floyd算法还对时间有着要求，因为是三重循环，所以它的时间复杂度是O(n3)的，这样的复杂度如果出现在⼀个复杂程序中，极其容易TLE，所以，请⼤家使⽤的时候，⼀定要读题读题，慎重慎重！模板：void Floyd(){memset(map,0x3f,sizeof(map));for(int i=1;i<=n;i++)map[i][i]=0;for(int k=1;k<=n;k++)//顺序不要反for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)map[i][j]=min(map[i][k]+map[k][j],map[i][j]);}2、Dijkstra算法Dijkstra算法，中⽂名是迪杰斯特拉算法，简写是DIJ算法。

DIJ算法是求解单源最短路，即从某⼀个源点到达其他所有点的最短路的⼀个经典算法。

最短路算法题

最短路算法题最短路算法是用于解决图论中一类重要问题的算法，即寻找图中从一个顶点到另一个顶点的最短路径。

这里的最短路径可以是路径的长度（边的数量）或路径的权重之和（边的权重）。

以下是一些常见的最短路算法题目类型及其解法：1.单源最短路问题：给定一个图和一个起点，找到从起点到图中所有其他点的最短路径。

2.Dijkstra算法：适用于带权重的图，且权重非负。

该算法每次迭代都会选取当前距离起点最近的一个顶点，并更新该顶点与起点的最短距离。

所有顶点都被访问后，算法结束。

3.Bellman-Ford算法：适用于带权重的图，权重可以为负。

该算法通过对图中的所有边进行迭代松弛操作来找到最短路径。

此外，它还可以检测并处理负权重环。

4.Floyd-Warshall算法：适用于所有顶点对之间的最短路径问题。

它使用动态规划的思想，逐步构建中间点集合，并利用中间点来更新最短路径。

5.多源最短路问题：给定一个图和多个起点，找到从这些起点到图中所有其他点的最短路径。

一种常见的解决方法是对每个起点分别运行单源最短路算法。

但这种方法可能不够高效，特别是当起点数量较大时。

另一种方法是使用更高级的数据结构或算法，如优先队列优化的Dijkstra算法或基于矩阵乘法的Floyd-Warshall算法变种。

5.特定条件下的最短路问题：除了基本的最短路问题外，还有一些特定条件下的最短路问题，如有向无环图（DAG）中的最短路径、边权重受限制的最短路径等。

这些问题通常需要结合特定的图论知识和技巧来解决。

6.在解决最短路问题时，需要注意以下几点：确保理解问题的具体要求，如路径的长度是按边的数量还是按边的权重计算。

根据问题的特点选择合适的算法和数据结构。

例如，对于稠密图，邻接矩阵可能是更好的选择；而对于稀疏图，邻接表可能更合适。

注意处理特殊情况，如负权重环、不连通图等。

这些情况可能导致最短路径不存在或无穷大。

在实现算法时，注意优化性能和减少不必要的计算。

最短路的dijkstra算法基本过程

最短路的dijkstra算法基本过程
最短路的Dijkstra算法基本过程
Dijkstra算法是用来解决最短路径问题的一种算法，它是由荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra在1959年发明的，是目前最常用的最短路径算法。

它是以贪心策略为基础的，主要是利用局部最优求全局最优。

基本过程如下：
1. 从起点出发，设计出一个距离变量dist[],初始值为无穷大。

2. 将dist[起点]设置为0。

3. 找出当前最近的顶点u，计算出从起点到u的中间点v的最短路径，并更新dist[v]的值，即dist[v] = min(dist[v], dist[u] + w(u,v))，其中w(u,v)表示从u到v的边的权重。

4. 重复步骤3，直到所有的顶点都被处理完为止。

5. 返回dist[]，表示从起点到其他所有点的最短路径。

旋转轴的密封装置填料问题研究

ＳＨＡａｘａＹｕｎ－ｉ
（ｔｅｔｓｅａｍｅｔａｉｇｏｍｌｎｅｓｙＭａｍａｃｐｒｎ。ＤｑｒａＵｉｒｉ，Ｈｉｎｉｎａｉｇ１３１，ＣｉａｈｉＤｔｎＮｖｔｅｏｇａｇｑｎ７２ｈｎ）ｌｉＤ６
旋转轴的密封装置填料问题研究
在化工企业中尽管填料是最普通的密封装置，但在生产过程中，操作和维护的人员对机械填料的基本作用和原理了解得不是很多，一旦出现泄漏，不管填料的状态如何，一般总是要拧紧填料压盖。实际上，填料可能会被压得过紧而加速损坏。这样的操作常会给工厂造成不必要的损害。网此，通过多年来的生产实践，总结了用于旋转轴的密封装置填料的几个问题。１填料箱中的填料圈数对填料效果的影响般地．表面来看，尽可能多的填料环装入填料箱中似乎是对的，但是实际生产实践证明并不是这样的。在填料箱从将喉部的最后一圈填料，可能得不到压紧密封所需的任何接触力，也不会挤出对轴进行润滑所需的任何润滑剂，而第一圈填料
维普资讯
第２期
有向最短路的 “ 原始一对偶”算法
・７・８
ｆ１谢政，戴丽．３组合图论ｆ１Ｍ．长沙：国防科技大学出版社，２０：７ — ００３１８．
Ｐｒｉｌｄａｌｌｏｉｍｓｆｒｈｒｓａｈｍａ－ｕｇｒｈｏｏｔｔｐｔ－ａｔｓｅ
ｔｎａｄｒｃｇａｈｉｉｔｒｐＤ＝Ａｅ，，Ｔｅｍａｔｅｒｏｌｎａ－ｌｃｎｓａｔｅｒｍａｄｐｉｌｄａ）．ｈｉｍｏｄａｅｃｍｐｅｔｙｓｋｅｓｈｏｅｎｒ — ｕｌｎｈｍｅｒａｍａ

原始-对偶算法

对偶问题的可行解为w 时所有的 wp j c j 和函数值f wb
求解每一限定原始问题的过程中除第m+2行外，均作运算但只能是属于限定原始问题的变量才有资格作为进基变量。
20
限定原始问题达到最优时,若要修改对偶问题的可行解，只需把第m+1行倍加到第 m+2行即可
wb (w(0) v(0) )b w(0)b v(0)b w(0)b Z0

x A

y b Z f
y
Im 0
ˆ vA - c wA - c
19
一阶段问题 ˆj ˆj c 的判别数 z 及限定原始问题 ( RP)目标函数值Z . 对于原来变量x j， ˆj 0 z ˆ j vp j ˆj c c
x y A ˆ vA - c wA - c
y Im 0 b Z f
10
wp j c j (w(0) v(0) ) p j c j (w(0) p j c j ) v(0) p j
(2)
j Q
( 0)
这时，根据Q的定义，有 w 如果 v(0) p j 如果 v
( 0)
pj cj 0。
0，则根据(4.3.7)式，有 wp j c j 0 ；
2
原始—对偶算法的基本思想
原始—对偶算法不同于原始的单纯形法，也不同于对偶算法，它的基思思想是，从对偶问题的一个可行解开始，同时计算原问题和对偶问题，试图求出原问题的满足互补松弛条件的可行解，当然，这样的可行解就是最优解。
考虑原问题
min s.t.
cx Ax b x0
（4.3.1）
它的对偶问题
(0) x 这时， j 是限定原始问题中的变量，由于 v 是线性规划

原始-对偶算法

原始-对偶算法
14721472 马韶东
1
互补松弛定理
(0) (0) 设 x和分别是原问题和对偶问题的可 w (0) (0) 行解，那么 x 和都是最优解的充要条件是， w 对于所有j，下列关系成立：
定理1
（1）如果 x
( 0) j
0，就有 w p j c j ；
( 0)
（2）如果 w(0) pj cj ，就有 x (j0) 0
( 0)
x
y b Z f
f wb
zj cj

y
A ˆ vA - c wA - c
Im 0
21
谢谢
22
wb ( w
( 0)
v )b w b v b
( 0) ( 0) ( 0)
w b Z 0
( 0)
14
wb ( w
( 0)
v )b w b v b
( 0) ( 0) ( 0)
w b Z 0
( 0)
其中 Z 0 是限定原始问题最优值。由于 Z 0 >0，θ可取任意大正数，对偶问题目标函数值在可行域上无上界，原问题无可行解。 min eT y
eT y
px
jQ i
j
yb
j Q
x j 0, j Q y0
T
xj 0
（4.3.4）
1) 是分量全为1的m维向量，y是由m个人其中 e (1,..., 工变量组成的m维列向量。我们称线性规划（4.3.4）为限定原始问题。这个问题必存在最优解，求解的结果必是最优值等于零或大于零。
9
( w p j c j.7)
wp j c j (w(0) v(0) ) p j c j (w(0) p j c j ) v(0) p j

一阶原始对偶算法

一阶原始对偶算法
一阶原始对偶算法（Primal-dual algorithm）是一种用于解决约
束优化问题的算法，通常用于解决带有线性约束的凸优化问题。

该算法同时更新原始变量和对偶变量，通过迭代的方式逐步逼近最优解。

一阶原始对偶算法的基本思想是通过不断调整原始变量和对偶变量的取值来逐步逼近最优解。

该算法通过两个更新步骤来进行迭代：
1. 原始变量更新步骤：在每次迭代中，通过沿着梯度方向更新原始变量，以使目标函数值减小。

2. 对偶变量更新步骤：在每次迭代中，通过根据约束条件和原始变量的更新值更新对偶变量，以使对偶函数值增大。

通过交替进行原始变量和对偶变量的更新，一阶原始对偶算法能够逐渐减小目标函数值，并满足约束条件。

一阶原始对偶算法在凸优化问题中的应用非常广泛，例如线性规划、二次规划、半正定规划等问题。

它具有收敛速度快、易于实现等优点，并且可以灵活地应用于不同的约束优化问题中。

最短路问题的启发式搜索算法

最短路问题的启发式搜索算法最短路问题是指在带权重的有向图或无向图中，寻找从一个顶点到另一个顶点的最短路径。

启发式搜索算法是一种利用启发信息来指导搜索的方法。

本文将介绍两种常用的启发式搜索算法——Dijkstra算法和A*算法。

一、Dijkstra算法Dijkstra算法是一种经典的最短路算法，它适用于无负权边的有向图或无向图。

下面是Dijkstra算法的伪代码：1. 初始化距离数组dist，将起始顶点的距离初始化为0，其他顶点距离初始化为正无穷。

2. 创建一个空的优先队列Q，并将起始顶点入队。

3. 当队列不为空时，执行以下步骤：- 出队一个顶点u。

- 遍历u的所有邻接顶点v，如果从起始顶点到v的距离dist[u]加上u到v的边权重小于dist[v]，则更新dist[v]的值，将v入队。

4. 当队列为空时，算法结束。

Dijkstra算法的核心思想是通过不断更新起始顶点到其他顶点的距离值，直到找到最短路径。

该算法保证了每次从队列中取出的顶点都是到起始顶点距离最短的顶点，因此可以得到最短路径。

二、A*算法A*算法是一种常用的启发式搜索算法，它适用于带有启发信息的有向图或无向图。

下面是A*算法的伪代码：1. 初始化起始顶点的估计距离值为0。

2. 创建一个空的优先队列Q，并将起始顶点入队，估计距离值作为优先级。

3. 当队列不为空时，执行以下步骤：- 出队一个顶点u。

- 如果u是目标顶点，则算法结束。

- 遍历u的所有邻接顶点v，计算从起始顶点到v的实际距离和估计距离之和f.- 如果f小于v的估计距离值，则更新v的估计距离值为f，并将v入队。

4. 当队列为空时，算法结束。

A*算法的核心思想是通过启发式估计函数，将优先级队列中的顶点按照估计距离值进行排序。

其中，估计距离值等于实际距离值加上启发式函数给出的估计值。

通过这种方式，A*算法可以在保证搜索效率的同时，找到最短路径。

结语最短路问题的启发式搜索算法为解决最短路径提供了有效的方法。

最短路三大算法及其优化算法大总结+模板

最短路三⼤算法及其优化算法⼤总结+模板最短路问题三⼤算法及其优化算法总结+模板前⾔这⾥给了最短路问题中三⼤算法及其优化后的算法总结和模板，总结⼀下，以便后续学习。

Floyd-Warshall多源最短路，即要求求出图中每两个顶点之间的最短路。

虽然Floyed的复杂度是O(n3)，但是4⾏却简单很多，本质上是动态规划算法。

思想：从i号顶点到j号顶点只经过前k号顶点的最短路径。

const int inf=0x3f3f3f3f;int Floyd(){//初始化n个顶点for(i = 1; i <= n; i ++)for(j = 1; j <= n; j ++)if(i == j)e[i][j] = INF;elsee[i][j] = 0;for(k = 1; k <= n; k ++)//Floyd-Warshall算法核⼼语句for(i = 1; i <= n; i ++)for(j = 1; j <= n; j ++)if(e[i][j] > e[i][k]+e[k][j])e[i][j] = e[i][k]+e[k][j];}Bellman-FordBellman-Ford算法能解决存在负权边的单源点最短路径问题。

可以检测⼀个图是否存在负权回路：如果在进⾏了n-1轮松弛后，仍然可以继续成功松弛，说明存在负权边。

const int inf=0x3f3f3f3f;struct node{int from,to,w;};node edge[100];bool Bellman(int s){for(i = 1; i <= n; i ++)dis[i] = inf;dis[s]=0;bool flag;for(i = 1; i <= n; i ++){flag = false;for(j = 1; j <= m; j ++){x = edge[j].from ;y = edge[j].to ;z = edge[j].w ;if(dis[y] > dis[x] + z){dis[y] = dis[x] + z;flag = true;}}if(!flag) //最好加上这句话，很重要break;//如果更新到n遍，还能够继续更新dis数组，说明存在负权环if(flag&&i == n)return false;//返回false表⽰这个图存在负权环}return true;//返回true表⽰求最短路成功}SPFA 使⽤队列优化的Bellman-Ford算法每次实施⼀次松弛操作后，就会有⼀些顶点已经求得其最短路，此后这些顶点的最短路的估计值就会⼀直保持不变，不再受到后⾯松弛的影响，但是每次还要判断是否需要松弛，浪费了时间。

最短路问题的求解方法

最短路问题的求解方法最短路问题是图论中的一个经典问题，它在现实生活中有着广泛的应用。

在很多实际情况下，我们需要找到两个节点之间的最短路径，以便在最短时间内到达目的地或者以最小的成本进行运输。

因此，求解最短路问题具有重要的意义。

在图论中，最短路问题可以分为单源最短路和多源最短路两种情况。

单源最短路指的是从图中的一个固定节点出发，到达其他所有节点的最短路径；而多源最短路则是求解图中任意两个节点之间的最短路径。

针对这两种情况，我们可以采用不同的算法来求解最短路问题。

其中，最著名的算法包括Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。

Dijkstra算法适用于单源最短路问题，它采用贪心策略，逐步确定从源节点到其他节点的最短路径。

而Floyd-Warshall算法则适用于多源最短路问题，它通过动态规划的方式，计算图中任意两个节点之间的最短路径。

除了这两种经典算法外，还有一些其他方法可以用来求解最短路问题，比如Bellman-Ford算法和SPFA算法。

这些算法各有特点，适用于不同的场景，可以根据具体情况选择合适的算法来解决最短路问题。

在实际应用中，最短路问题常常涉及到大规模的图和复杂的网络结构，因此算法的效率和性能也是非常重要的考量因素。

为了提高算法的求解速度，可以采用一些优化手段，比如使用堆优化的Dijkstra算法、矩阵快速幂优化的Floyd-Warshall算法等。

总之，最短路问题是图论中的一个重要问题，它在实际生活中有着广泛的应用。

通过合理选择算法和优化方法，我们可以高效地求解最短路问题，为实际应用提供有力的支持。

希望本文能够为读者对最短路问题的求解方法有所启发，也希望在未来的实际应用中能够发挥一定的作用。

对偶问题——精选推荐

对偶问题对偶理论 - 对偶理论(from 互动百科) 发展简史　在线性规划早期发展中最重要的发现就是对偶问题，即每⼀个线性规划问题(称为原始问题)都有⼀个与它对应的对偶线性规划问题（称为对偶问题）。

1928年美籍匈⽛利数学家在研究对策论时已发现线性规划与之间存在着密切的联系。

两⼈可表达成线性规划的原始问题和对偶问题。

他于1947年提出对偶理论。

1951年引⽤对偶理论求解线性规划的运输问题，研究出确定检验数的位势法原理。

1954年C.莱姆基提出对偶单纯形法，成为管理决策中进⾏的重要⼯具。

对偶理论有许多重要应⽤：在原始的和对偶的两个线性规划中求解任何⼀个规划时，会⾃动地给出另⼀个规划的最优解；当对偶问题⽐原始问题有较少约束时，求解⽐求解原始规划要⽅便得多；对偶规划中的变量就是。

对偶问题　每⼀个线性规划问题都伴随有另⼀个线性规划问题，称为对偶问题。

原来的线性规划问题则称为原始线性规划问题，简称原始问题。

对偶问题有许多重要的特征，它的变量能提供关于原始问题最优解的许多重要资料，有助于原始问题的求解和分析。

对偶问题与原始问题之间存在着下列关系：①⽬标函数对原始问题是极⼤化，对对偶问题则是极⼩化。

②原始问题⽬标函数中的收益系数是对偶问题约束不等式中的右端常数，⽽原始问题约束不等式中的右端常数则是对偶问题中⽬标函数的收益系数。

③原始问题和对偶问题的约束不等式的符号⽅向相反。

④原始问题约束不等式系数矩阵转置后即为对偶问题的约束不等式的系数矩阵。

⑤原始问题的约束⽅程数对应于对偶问题的变量数，⽽原始问题的变量数对应于对偶问题的约束⽅程数。

⑥对偶问题的对偶问题是原始问题，这⼀性质被称为原始和对偶问题的对称性。

基本定理　原始问题和对偶问题的标准形式如下：原始问题对偶问题max z＝c x min ＝ybs.t. Ax≤b s.t. yA≥cx≥0 y≥0式中max表⽰求极⼤值,min表⽰求极⼩值,s.t.表⽰“约束条件为”；z为原始问题的⽬标函数，w为对偶问题的⽬标函数；x为原始问题的决策变量列向量（n×1），y为对偶问题的决策变量⾏向量(1×m);A为原始问题的系数矩阵(m×n),b为原始问题的右端向量（m×1），c为原始问题的⽬标函数系数⾏向量（1×n）。

最短路问题的求解方法

最短路问题的求解方法最短路问题是图论中的经典问题之一，它在实际生活中有着广泛的应用。

在现实生活中，我们经常需要找到两点之间的最短路径，比如在地图导航、网络通信、交通运输等领域。

因此，求解最短路问题具有重要的理论和实际意义。

在图论中，最短路问题可以分为单源最短路和多源最短路两种情况。

单源最短路指的是从图中的一个固定顶点出发，到达图中其他所有顶点的最短路径；而多源最短路则是指图中任意两个顶点之间的最短路径。

在本文中，我们将重点讨论单源最短路问题的求解方法。

求解最短路问题的方法有很多种，其中比较经典的算法包括Dijkstra算法、Bellman-Ford算法和Floyd-Warshall算法。

下面将分别介绍这三种算法的原理和应用。

Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决带权有向图中的单源最短路径问题。

该算法的基本思想是从起始顶点开始，逐步扩展到其他顶点，每次选择距离起始顶点最近的顶点进行扩展，直到扩展到目标顶点为止。

Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V表示图中顶点的个数。

该算法适用于没有负权边的图，且能够快速求解单源最短路的问题。

Bellman-Ford算法是一种动态规划算法，用于解决带权有向图中的单源最短路径问题，该算法允许图中存在负权边。

Bellman-Ford算法的基本思想是通过对图中的所有边进行|V|-1次松弛操作，其中|V|表示图中顶点的个数。

通过多次松弛操作，可以逐步逼近最短路径的结果。

Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，其中V表示图中顶点的个数，E表示图中边的个数。

该算法适用于存在负权边的图，且能够求解单源最短路的问题。

Floyd-Warshall算法是一种动态规划算法，用于解决带权有向图中的多源最短路径问题。

该算法的基本思想是通过对图中的所有顶点进行遍历，逐步更新每对顶点之间的最短路径。

Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(V^3)，其中V表示图中顶点的个数。

最短路问题迪杰斯特拉算法

min {d23,d25,c47,d67}=min {2+6,2+5,1+2,3+4}=min {8,7,3,7}=3
X={1,2,4,6,7}, p7=3
X={1,2,4,6,7}
p1=0
p2=2
2
6
1
2
3
1
10
p4=1
5
9
p5=6
3
4
7
5
6
5
2
3
4
6
7
8
4
8
p6=3
p7=3
min {d23,d25,d75,d78}=min {2+6,2+5,3+3,3+8}=min {8,7,6,11}=6
X={1,4}
p1=0
p2=2
2
6
1
2
3
1
10
p4=1
5
9
3
4
7
5
6
5
2
3
4
6
7
4
8 8
min {d12,d16,d42,d47}=min {0+2,0+3,1+10,1+2}=min {2,3,11,3}=2 X={1,2,4}, p2=2
X={1,2,4}
p1=0
p2=2
2
6
1
2
3
1
10
p4=1
② v j 具有T 标号，即v j s ，s 为T 标号点集.
修改 v j 的T标号为 min{T (v j ), p(v1) l1 j} ，并将结
果仍记为T(vj)。= l1j

参数最短路的原始-对偶算法

参数最短路的原始-对偶算法
向联慧[1];史峰[2]
【期刊名称】《数学理论与应用》
【年(卷),期】1999(000)003
【摘要】本文利用原始－对偶方法，对于含参数λ的网络（Ｖ，Ｅ，ｆ１-λｆ２），给出了某一点至其它各点的参数最短路的求解算法，其时间复杂度为Ｏ（ｎｍ＋ｎ２ｌｏｇｎ）．
【总页数】4页(P120-123)
【作者】向联慧[1];史峰[2]
【作者单位】[1]长沙铁道学院科研所!长沙;[2]410075
【正文语种】中文
【中图分类】O157.5
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