统计学原理第12章统计相关与回归分析

第12章 统计相关与回归分析
事物之间的联系
事物之间联系的广泛性
函数关系 相关关系 因果关系
函数关系
函数关系指的是变量之间存在着的严格的依
存关系，它们之间的关系值是固定的，对于某
一变量的每一个值，都有另一个变量的完全确
定的值与之相对应。 例如，圆的面积等于圆周率乘以半径的平方。
相关关系
二、相关关系的种类 相关关系从不同的角度可以划分成不同的类型。 (一) 正相关与负相关 从相关的方向看，相关关系可以分为正相 关和负相关。
正相关是指相关变量之间的变化趋势相同， 即当自变量的值增加，因变量的值也随之增加； 当自变量的值减少，因变量的值也随之减少。 例如，汽车的使用年限与汽车的修理费用 之间的关系。 负相关是指相关变量之间的变化趋势相反， 即当自变量的值增加，因变量的值随之减少； 当自变量的值减少，因变量的值随之增加。 例如，产品产量与单位产品成本之间的 关系。
因果关系
在相关关系中，通常，在相互联系的现象之
间存在着一定的因果关系，这时就把其中的起着
影响作用的现象具体化，通过一定的变量反映出
来，这样的变量称为自变量。
由于受到自变量变动的影响而发生变动的变 量称为因变量。
例如，在粮食亩产量与施肥量之间，施肥量这一变量 是自变量，亩产量这一变量是因变量。 当研究的是两个变量之间的关系时，通常以符号X 表示自变量，以符号Y表示因变量。 在相关关系中，有时两个变量之间只存在相互联 系而并不存在明显的因果关系。确定哪一个是自变量， 哪一个是因变量，主要决定于研究的目的。
55.01 2.01 212.67 935.34 1566.84 1987.67 2979.34
37.01 24.17 98.34 47.84 396.67 222.51 620.84
45.12 -6.79 144.62 211.54 788.37 665.04 1360.04
合 计
1025
1921
关图，可以直观地、大致地判断现象变量之间是 否存在相关关系以及关系的类型。
相关表 相关表是表现现象变量之间相关关系的 表格。 例如，为研究商店人均月销售额和利润 率的关系，调查10家商店取得10对数据，以人
均销售额为自变量，利润率为因变量，编制简
单相关表如下表。
人均销售额与和利润率相关表 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人均月销售额(千元) 1 3 3 4 5 6 6 7 7 8 利润率(％) 3.0 6.2 6.6 8.1 10.4 12.6 12.3 16.3 16.8 18.5
2
0.9202
相关系数的计算
根据公式3计算
r=
SPSS操作
SPSS操作
斯皮尔曼spearman 等级相关系数
r 1
式中:
n( n 1)
2
6 D
2
r 表示等级相关系数 D 表示两个变量等级之差 N 表示成对数据的个数
②斯皮尔曼spearman 等级相关系数 式中: r 表示等级相关系数 D 表示两个变量等级之差 N 表示成对数据的个数
销售收入 （万元）
[例12.1]
y 165 170 167 180 175
6
78
154
12
140
185
根据表12.1中的数据绘成散点图 12.2。
190
180
170
160
150
140
130
120 20
40
60
80
100
120
140
160
从散点图可以看出，销售费用随着 广告费用的增加而提高，而且它们 之间大致成一种线性相关关系。 通过散点图可以判断两个变量之间 有无相关关系，并对变量间的相关 形态作出大致的描述，但散点图不 能准确反映变量之间的关系密切程 度。因此，为准确度量两个变量之 间的关系密切程度，需要计算相关 系数。
( y y) 2
905.00 101.67
( x x ) ( y y)
1366.28 437.78
150
3 4
50 55
155 140
-35.42 -30.42
-5.08 -20.08
1254.34 925.18
25.84 403.34
180.03 610.87
5
65
150
-20.42
-10.08
(a)正线性相关 (b)负线性相关 (c)正曲线关系
(d)负曲线关系 (e)负直线关系
(f )没有线性关系
x与y的一些可能关系的散点图
上图说明了相关图中的一些可能关系。图 (a)和(b)表示的是正的和负直线关系，即正线性
相关和负线性相关。图(c)和(d)分别表示的是正
的和反的曲线关系，即正非线性相关和负非线 性相关。图(e)中是散布域很宽的负直线关系。 散布域越宽，则表明变量之间的联系程度越弱。 图( f )中的图象表明两个变量之间没有什么关系。
2
2
（ 公式2）
为了根据原始数据计算r，可推导出下面的简化计算公式：
r
r
n xi2 ( xi ) 2 n yi2 ( yi ) 2
n xy x y
（公式3）
根据表7.1中数据，计算广告费用与销售收入之间的简单相关系数。 解：计算过程见表11.2和11.3 表11.2 广告费用与销售收入相关系数计算表
2．相关关系的种类及表现形态
（1）按变量的多少划分： ①单 相 关 （2）按表现形态划分： （3）从变动的方向划分： ①直线相关 ①正 相 关
②复 相 关 ②曲线相关 ②负 相 关 ②统计相关
（4）按相关的程度不同分：①完全相关 ③完全无关
二、相关关系的描述与测度 1 .散点图 散点图是描述变量之间相关关系的一种直观方法。我们用横坐标 中代表自变量x,纵坐标代表因变量y，每组数据（x,y）在坐标系中 用一个点表示，n组数据在坐标系形成的点称为散点，这样的图称 为散点图。散点图描述了两个变量之间的大致关系，从中可以直观 地看出变量间的关系形态及关系强度。图7.1就是不同形态的散点图。
（2）例如父母的身高偏高，其子女的身高也较高，英国著名统计学家
K.Pearson等人搜集了上千个家庭成员的身高数据，分析出儿子的身高y与父亲 的身高x大致可归结为以下关系y=0.516x+85.6742(厘米)。通过大量统计数据， 我们还可以得到标准体重（y）与身高(x)的回归方程y=(x-105) ×0.9;锻炼强度 心跳=170-年龄;相关与回归分析正是描述与探索不确定性变量之间关系及其规 律的统计方法。
(三) 单相关和复相关 从相关变量的个数来看，相关关系可分为单 相关和复相关。 单相关是指两个变量之间的相关关系。
复相关是三个或三个以上变量之间的相关关系。
例如，仅仅考虑施肥量对产量的影响，这就 是一种单相关；如果除了施肥量之外，再考虑降 雨量及深耕程度对产量的影响，则这种相关关系 就是一种复相关。
例如，前述人均月销售额与利润率的关系， 可用相关图表示如下：
利润率(%) 20
15 10 5



6 7 8 人均销售额(千元) 人均销售额与利润率相关图 1 2 3 4
5
从图中，我们可以清楚地看出，这两个变 量之间相关的方向(即正相关) 以及相关的具体 形式(直线相关)
0.9202
相关系数为0.9202,说明二者之间存在高度正线性相关.
表11.3 广告费用与销售收入相关系数计算表

n xy x y n x 2 x
2
n y 2 y

12 170094 1025 1921
2 12 101835 10252 12 310505 1921
(a)正线性相关
（b）负线性相关
（c）完全线性相关
（d）非线性相关
（e）完全非线性相关 图7.1 相关关系的表现形态
（f）完全无关
广告费用与销售收入有一定关系，现从某一行业中随机抽取12个企 业，所得广告费用与销售收入数据如表12.1。 表12.1
企业 编号 1 2 3 4 5 广告费 用（千 元）x 40 42 50 55 65 销售收入 （万元） y 130 150 155 140 150 企业编 号 7 8 9 10 11 广告费用 （千元） x 84 100 116 125 130
¹ æ· ã¸ ÑÓÃ
图12.2广告费用与销售收入散点图
úÊÛÊÕÈë Ï
SPSS的应用（绘制散点图.3）
SPSS的应用（绘制散点图.4）
SPSS的应用（绘制饼形图.3）
spss的应用（绘制棒形图.2）
皮尔逊（pearson）相关系数
皮尔逊（pearson）简单相关系数公式
公式1；
n
r x y
2 xy
式中： 2 xy
(x
i 1
n i
i
x )( y i y ) n
称为协方差；
x)2
x
(x
(y
i n
i
称为变量x的标准差Fra bibliotekni
y) 2
y
称为变量y的标准差
n
所以，相关系数也可以写成如下形式：
r=
( x x )( y y ) ( x x ) ( y y)
(二) 线性相关与非线性相关
从相关的形式上来看，相关关系可分为线 性相关和非线性相关。 线性相关也称直线相关，是指相关的两个 变量之间变化的趋势呈线性或近似于线性。即 自变量发生变动，因变量随之发生变动，其增 加或减少量是大致均等的，从图形上看，其观
察点的分布近似表现为直线形式。
非线性相关也称曲线相关，是指相关的两 个变量之间变化的趋势呈非线性。即自变量发 生变动，因变量随之发生变动，但其增加或减 少量不是均等的，从图形上看，其观察点的分 布表现为各种曲线形式。