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八年级数学上册 综合训练 三角形全等之截长补短(一)天天练(新版)新人教版

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人教版初二数学全全等三角形截长补短同步练习试卷

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人教版初二数学全全等三角形截长补短同步练习试卷一、全等三角形截长补短1．如图，ABC 是边长为1的等边三角形，BD CD =，120BDC ∠=︒，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且60EDF ∠=︒，求AEF 的周长．2．已知，90POQ ∠=，分别在边OP ，OQ 上取点A ，B ，使OA OB =，过点A 平行于OQ 的直线与过点B 平行于OP 的直线相交于点C ．点E ，F 分别是射线OP ，OQ 上动点，连接CE ，CF ，EF ．（1）求证：OA OB AC BC ===；（2）如图1，当点E ，F 分别在线段AO ，BO 上，且45ECF ∠=时，请求出线段EF ，AE ，BF 之间的等量关系式；（3）如图2，当点E ，F 分别在AO ，BO 的延长线上，且135ECF ∠=时，延长AC 交EF 于点M ，延长BC 交EF 于点N ．请猜想线段EN ，NM ，FM 之间的等量关系，并证明你的结论．3．在四边形ABDE 中，C 是BD 边的中点．（1）如图（1），若AC 平分BAE ∠，90ACE ∠=︒，则线段AE 、AB 、DE 的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案）（2）如图（2），AC 平分BAE ∠，EC 平分AED ∠，若120ACE ∠=︒，则线段AB 、BD 、DE 、AE 的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．4．已知等边三角形ABC ，D 为△ABC 外一点，BDC 120∠=︒，BD=DC ，MDN 60∠=︒，射线DM 与直线AB 相交于点M ，射线DN 与直线AC 相交于点N ． （1）当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM=DN 时，直接写出BM 、NC 、MN 之间的数量关系；（2）当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM ≠DN 时，猜想①中的结论还成立吗？若成立，请证明；（3）当点M 、N 在边AB 、CA 的延长线上时，请画出图形，并求出BM 、NC 、MN 之间的数量关系．5．如图1，在四边形ABCD 中，,,AB AD BC CD AB BC ⊥⊥=，2ABC EBF ∠=∠，它的两边分别交AD DC 、点,E F ．且AE CF ≠．()1求证：.EF AE CF =+()2如图2，当MBN ∠的两边分别交,AD DC 的延长线于点,E F ，其余条件均不变时，()1中的结论是否成立？如果成立，请证明．如果不成立，线段,,AE CF EF 又有怎样的数量关系？并证明你的结论．6．如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，E 为菱形ABCD 内对角线BD 左侧一点，连接BE 、CE 、DE ．（1）若AB ＝6，求菱形ABCD 的面积；（2）若∠BED ＝2∠A ，求证：CE ＝BE+DE ．7．（1）如图①，Rt ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 为BC 边上的一点，将ABD △绕点A 逆时针旋转90°至ACF ，作AE 平分DAF ∠交BC 于点E ，易证明：222BD CE DE +=．若2DE BD =，则以BD 、DE 、EC 为边的三角形的形状是______；（2）如图②，四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，AB AD =，若四边形ABCD 的面积是32，2CD =，求BC 的长度；（3）ABC 是以BC 为底的等腰直角三角形，点D 是ABC 所在平面内一点，且满足4=AD ，6BD =，2CD =，请画草图并求ADC ∠的度数．8．已知等腰△ABC 中，AB=AC ，点D 在直线AB 上， DE ∥BC ，交直线AC 与点E ，且BD=BC ，CH ⊥AB ，垂足为H ．（1）当点D 在线段AB 上时，如图1，求证DH=BH+DE ；（2）当点D 在线段BA 延长线上时，如图2，当点D 在线段AB 延长线上时，如图3，直接写出DH ，BH ，DE 之间的数量关系，不需要证明．9．在平行四边形ABCD 中，DE 平分ADC ∠交BC 于点E ，连接AE ．点O 是DE 的中点，连接CO 并延长交AD 于点F ，在CF 上取点G ，连接AG ．（1）若4tan 3B =，5AB =，6BC =，求ABE △的周长．（2）若60B EAG ∠=∠=︒，求证：AF CG =．10．阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题数学课上，老师出示了这样一道题：如图，四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB =AD ，E 为对角线AC 上一点，∠BEC =∠BAD =2∠DEC ，探究AB 与BC 的数量关系．某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法：小柏：“通过观察和度量，发现∠ACB =∠ABE ”；小源：“通过观察和度量，AE 和BE 存在一定的数量关系”；小亮：“通过构造三角形全等，再经过进一步推理，就可以得到线段AB 与BC 的数量关系”．……老师：“保留原题条件，如图2， AC 上存在点F ，使DF =CF =k AE ，连接DF 并延长交BC 于点G ，求AB FG的值”． （1）求证：∠ACB =∠ABE ；（2）探究线段AB 与BC 的数量关系，并证明；（3）若DF =CF =k AE ，求AB FG的值（用含k 的代数式表示）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．2【分析】延长AC 至点P ，使CP BE =，连接PD ，证明()BDE CDP SAS △△推出DE DP =，BDE CDP ∠=∠，进而得到60EDF PDF ∠=∠=︒，从而证明()DEF DPF SAS ≌△△，推出EF=CP ，由此求出AEF 的周长=AB+AC 得到答案.【详解】解：如图，延长AC 至点P ，使CP BE =，连接PD ．∵ABC 是等边三角形， ∴60ABC ACB ∠=∠=︒． ∵BD CD =，120BDC ∠=︒， ∴30DBC DCB ∠=∠=︒， ∴90EBD DCF ∠=∠=︒， ∴90DCP DBE ∠=∠=︒．在BDE 和CDP 中，BD CD DBE DCP BE CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()BDE CDP SAS △△，∴DE DP =，BDE CDP ∠=∠．∵120BDC ∠=︒，60EDF ∠=︒，∴60BDE CDF ∠+∠=︒，∴60CDP CDF ∠+∠=︒，∴60EDF PDF ∠=∠=︒．在DEF 和DPF 中，DE DP EDF PDF DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DEF DPF SAS ≌△△， ∴EF FP =，∴EF FC BE =+，∴AEF 的周长2AE EF AF AB AC =++=+=.【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，等腰三角形等边对等角的性质，题中辅助线的引出是解题的关键.2．（1）见解析；（2）EFAE BF =+；（3）222MN EN FM =+，见解析 【分析】（1）连接AB ,通过90POQ ∠=，OA OB =得到AOB 为等腰直角三角形，进而得到45OAB OBA ∠=∠=，根据过点A 平行于OQ 的直线与过点B 平行于OP 的直线相交于点C ，可推出45CBA ∠=，45BAC ∠=，最后通过证明AOB ≌ACB △，可以得出结论；（2）在射线AP 上取点D ，使AD BF =，连接CD ，通过证明CAD ≌CBF ，得到CD CF =，ACD BCF ∠=∠，再结合45ECF ∠=，90ACB ∠=推导证明ECD ≌ECF △，得到ED EF =，最后等量代换线段即可求解；（3）延长AO 到点D ，使得AD BF =，连接CD ，通过证明CAD ≌CBF ，得到CD CF =，ACD BCF ∠=∠，再结合135ECF ∠=，推导证明ECD ≌ECF △，得到D CFM ∠=∠，根据D CFB ∠=∠，等量代换可知CFM CFB ∠=∠，又因为//AC OQ ，推出MCF CFB ∠=∠，进而得到MC MF =，同理可证CN EN =，最后根据勾股定理即可求解．【详解】解：（1）证明：连接AB ．90POQ ∠=，OA OB =，∴AOB 为等腰直角三角形，∴45OAB OBA ∠=∠=，又//BC OP ，且90POQ ∠=，∴BC OQ ⊥，∴90CBF ∠=，∴45CBA ∠=，同理，45BAC ∠=，在AOB 与ACB △中OAB CAB AB ABOBA CBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴AOB ≌ACB △()ASA ，∴90AOB ACB ∠=∠=，OA OB AC BC ===；（2）如图1，在射线AP 上取点D ，使AD BF =，连接CD ．在CAD 与CBF 中CA CB CAD CBF AD BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴CAD ≌CBF ()SAS ，∴CD CF =，ACD BCF ∠=∠，45ECF ∠=，90ACB ∠=，∴45ACE BCF ∠+∠=，∴45ACE ACD ECD ∠+∠=∠=，∴ECD ECF ∠=∠，在ECD 与ECF △中CD CF ECD ECF CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ECD ≌ECF △()SAS ，∴ED EF =，又ED AD AE BF AE =+=+，∴EF AE BF =+． （3）222MN EN FM =+．证明如下：如图2，延长AO 到点D ，使得AD BF =，连接CD ．∴90CAD CBF ∠=∠=，在CAD 与CBF 中CA CB CAD CBF AD BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴CAD ≌CBF ()SAS ，∴CD CF =，ACD BCF ∠=∠，90ACD DCB ∠+∠=，∴90BCF DCB DCF ∠+∠==∠，∴90FCD BCA ∠=∠=，135ECF ∠=，∴36090135135ECD ∠=--=，∴ECF ECD ∠=∠，在ECD 与ECF △中EC EC ECD ECF CD CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ECD ≌ECF △()SAS ，∴D CFM ∠=∠，CAD ≌CBF ，∴D CFB ∠=∠，∴CFM CFB ∠=∠，//AC OQ ，∴MCF CFB ∠=∠，∴CFM MCF ∠=∠，∴MC MF =，同理可证：CN EN =，∴在Rt MCN △中，由勾股定理得：22222MN CN CM EN FM =+=+．【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定,勾股定理以及正方形的有关知识，通过添加辅助线构造全等三角形，通过证明全等三角形得到线段之间的关系是解题的关键． 3．（1）AE ＝AB ＋DE ；（2）AE ＝AB ＋DE ＋12BD ，证明见解析． 【分析】（1）在AE 上取一点F ，使AF ＝AB ，由三角形全等的判定可证得△ACB ≌△ACF ，根据全等三角形的性质可得BC ＝FC ，∠ACB ＝∠ACF ，根据三角形全等的判定证得△CEF ≌△CED ，得到EF ＝ED ，再由线段的和差可以得出结论；（2）在AE 上取点F ，使AF ＝AB ，连结CF ，在AE 上取点G ，使EG ＝ED ，连结CG ，根据全等三角形的判定证得△ACB ≌△ACF 和△ECD ≌△ECG ，由全等三角形的性质证得CF ＝CG ，进而证得△CFG 是等边三角形，就有FG ＝CG ＝12BD ，从而可证得结论． 【详解】 解：（1）如图（1），在AE 上取一点F ，使AF ＝AB ．∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC ＝∠FAC ．在△ACB 和△ACF 中，AB AF BAC FAC AC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ACB ≌△ACF （SAS ）．∴BC ＝FC ，∠ACB ＝∠ACF ．∵C 是BD 边的中点，∴BC ＝CD ．∴CF ＝CD ．∵∠ACE ＝90°，∴∠ACB ＋∠DCE ＝90°，∠ACF ＋∠ECF ＝90°．∴∠ECF ＝∠ECD ．在△CEF 和△CED 中，CF CD ECF ECD CE CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△CEF ≌△CED （SAS ）．∴EF ＝ED ．∵AE ＝AF ＋EF ，∴AE ＝AB ＋DE ．故答案为：AE ＝AB ＋DE ；（2）AE ＝AB ＋DE ＋12BD ． 证明：如图（2），在AE 上取点F ，使AF ＝AB ，连结CF ，在AE 上取点G ，使EG ＝ED ，连结CG ．∵C 是BD 边的中点，∴CB ＝CD ＝12BD ． ∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC ＝∠FAC ．在△ACB 和△ACF 中，AB AF BAC FAC AC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ACB ≌△ACF （SAS ）．∴CF ＝CB ，∠BCA ＝∠FCA ．同理可证：△ECD ≌△ECG∴CD ＝CG ，∠DCE ＝∠GCE ．∵CB ＝CD ，∴CG ＝CF ．∵∠ACE ＝120°，∴∠BCA ＋∠DCE ＝180°−120°＝60°．∴∠FCA ＋∠GCE ＝60°．∴∠FCG ＝60°．∴△FGC 是等边三角形．∴FG ＝FC ＝12BD ． ∵AE ＝AF ＋EG ＋FG ， ∴AE ＝AB ＋DE ＋12BD ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键．4．（1）BM+NC=MN ，证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）NC-BM=MN ，证明见解析．【分析】（1）由DM=DN ，∠MDN=60°，可证得△MDN 是等边三角形，又由△ABC 是等边三角形，CD=BD ，易证得Rt △BDM ≌Rt △CDN ，然后由直角三角形的性质，即可求得BM 、NC 、MN 之间的数量关系 BM+NC=MN ；（2）在CN 的延长线上截取CM 1=BM ，连接DM 1．可证△DBM ≌△DCM 1，即可得DM=DM 1，易证得∠CDN=∠MDN=60°，则可证得△MDN ≌△M 1DN ，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立；（3）首先在CN 上截取CM 1=BM ，连接DM 1，可证△DBM ≌△DCM 1，即可得DM=DM 1，然后证得∠CDN=∠MDN=60°，易证得△MDN ≌△M 1DN ，则可得NC-BM=MN ．【详解】解（1）BM 、NC 、MN 之间的数量关系：BM+NC=MN ．证明如下：∵BD=DC ，DM=DN ，MDN 60∠=︒∴∠BDC=∠DCB=180302BDC ，△MDN 为等边三角形， ∴MN=MD=DN ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠ACD=90°，∴Rt △BDM ≌Rt △CDN （HL ），∴∠BDM =∠CDN=302BDC MDN ， ∴11,22BM DM NC DN , ∴BM+NC=MN ． （2）猜想：结论仍然成立．证明：在CN 的反向延长线上截取CM 1=BM ，连接DM 1．∵∠MBD=∠M 1CD=90°，BD=CD ，∴△DBM ≌△DCM 1，∴DM=DM 1，∠MBD=∠M 1CD ，∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠M 1DN=∠MDN=60°，∴△MDN ≌△M 1DN ，∴MN=M1N=M 1C+NC=BM+NC ，（3）证明：在CN 上截取CM 1=BM ，连接DM 1．与（2）同理可证△DBM ≌△DCM 1，∴DM=DM 1，与（2）同理可证∠CDN=∠MDN=60°，∴△MDN ≌△M 1DN ，∴MN=M 1N ，∴NC-BM=MN ．【点睛】本题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．5．（1）证明见解析；（2）不成立，AE=CF+EF ，理由见详解【分析】（1）延长FC 到H ，使CH AE =，连接BH ，由题意易证BCH BAE ∆∆≌，则有HBF EBF ∠=∠，进而可证HBF EBF ∆∆≌，然后根据线段的等量关系可求解； （2）在AE 上截取AH=CF ，连接BH ，然后根据题意易证△ABH ≌△CBF ，则有BH=BF ，∠ABH=∠CBF ，进而可得△EBF ≌△EBH ，最后根据线段的等量关系可求解．【详解】()1证明：延长FC 到H ，使CH AE =，连接BH ，如图所示：,AB AD BC CD ⊥⊥，90A BCH ∴∠=∠=︒，在BCH ∆和BAE ∆中BC BA BCH A CH AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCH BAE SAS ∴∆∆≌，,BH BE CBH ABE ∴=∠=∠，2ABC EBF =∠∠，ABE CBF EBF ∴∠+∠=∠，HBC CBF EBF ∴∠+∠=∠，HBF EBF ∴∠=∠在HBF ∆和EBF ∆中BH BE HBF EBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()HBF EBF SAS ∴∆∆≌HF EF ∴=，HF HC CF AE CF =+=+EF AE CF ∴=+；（2）不成立，AE=CF+EF ，理由如下：在AE 上截取AH=CF ，连接BH ，如图所示：,AB AD BC CD ⊥⊥，90A BCF ∴∠=∠=︒，∵AB=CB ，∴△ABH ≌△CBF （SAS ），∴BH=BF ，∠ABH=∠CBF ，∵2ABC EBF ∠=∠，∠EBF=∠CBF+∠CBE ，∠ABC=∠CBE+∠EBH+∠ABH ，∴∠EBF=∠EBH，∵EB=EB，∴△EBF≌△EBH（SAS），∴CF=AH，EF=EH，∵AE=AH+HE，∴AE=CF+EF．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．6．（1）183；（2）见解析【分析】（1）过点B作BH⊥AD于H，由直角三角形的性质可求BH的长，由菱形的面积公式可求解；（2）延长DE至M，使ME＝BE，连接MB，由题意可证△ABD是等边三角形，△BCD是等边三角形，△BEM是等边三角形，可得∠CBD＝∠ABD＝60°＝∠MBE，AB＝BD＝BC，BM ＝BE，由“SAS”可证∴△MBD≌△EBC，可得MD＝EC，即可得结论．【详解】解：（1）如图，过点B作BH⊥AD于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝6，∵∠A＝60°，BH⊥AD，∴∠ABH＝30°，∴AH＝1AB＝3，BH＝3AH＝33，2∴菱形ABCD的面积＝AD×BH＝6×33＝183；（2）如图，延长DE至M，ME＝BE，连接MB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD＝BC，∠A＝60°＝∠BCD，∴△ABD是等边三角形，△BCD是等边三角形，∴∠CBD ＝∠ABD ＝60°，AB ＝BD ＝BC ，∵∠BED ＝2∠A ＝120°，∴∠BEM ＝60°，又∵BE ＝ME ，∴△BEM 是等边三角形，∴BM ＝BE ，∠MBE ＝∠DBC ＝60°，∴∠MBD ＝∠EBC ，∴△MBD ≌△EBC （SAS ），∴MD ＝EC ，∴CE ＝BE+DE ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质应用，结合等边三角形的性质是解题的关键．7．（1）等腰直角三角形；（2）3）图见解析，135°或45°【分析】（1）要判断以BD 、DE 、EC 为边的三角形形状，根据题干中所给条件，只需证明BD EC =即可；（2）先构造出ABE ADC △≌△，进而判断出CAE 是等腰直角三角形，四边形的面积等于ACE △的面积，由此求出AC ，CE 即可；（3）分情况讨论：①当点D 在ABC 内时，作AE AD ⊥，使AE AD =，连接CE ，DE ，利用全等三角形的性质以及勾股定理的逆定理解决问题；②当点D 在ABC 外时，作AE AD ⊥，使AE AD =，连接CE ，DE ，利用全等三角形的性质以及勾股定理的逆定理解决问题．【详解】解：（1）222BD CE DE +=，∴以BD 、DE 、EC 为边的三角形是直角三角形，2DE =，设BD a =，则DE =，2222a EC a ∴+=，EC a ∴=，BD EC ∴=，∴以BD 、DE 、EC 为边的三角形的形状是等腰直角三角形．故答案：等腰直角三角形．（2）如图①，延长CB 至E ，使BE CD =，连接AE ，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，180ABC ADC ∴∠+∠=︒，180ABC ABE ∠+∠=︒，ABE ADC ∴∠=∠，在ABE △和ADC 中，,,,AB AD ABE ADC BE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE ADC SAS ∴△≌△，AE AC ∴=，BAE DAC ∠=∠，90CAE BAE BAC DAC BAC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，212ACE S AC ∴=△， 四边形ABCD 的面积为32，ACE ABCD S S =△四边形， 21322AC ∴=， 8AC ∴=（负值已舍），282EC AC ∴==，82272BC EC BE ∴=-=-=．图①（3）①画图如图②，③．当点D 在ABC 内时，如图②，过点A 作AE AD ⊥，使AE AD =，连接CE ，DE ， 90BAC DAE ∠=∠=︒，BAD CAE ∴∠=∠， 在BAD 和CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAD CAE SAS ∴≌，6BD CE ∴==，242DE ==2CD =，222EC ED CD ∴=+，90EDC ∴∠=︒，45ADE ∠=︒，4590135ADC ∴∠=︒+︒=︒；②当点D 在ABC 外时，如图③，过点A 作AE AD ⊥，使AE AD =，连接CE ，DE ，90BAC DAE ∠=∠=︒，BAD CAE ∴∠=∠，在BAD 和CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAD CAE SAS ∴≌，6BD CE ∴==， 242DE AD ==，2CD =，222EC ED CD ∴=+，90EDC ∴∠=︒，45ADE ∠=︒，45ADC ∴∠=︒．综上所述，ADC ∠的度数为135°或45°．图② 图③【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．8．（1）见详解；（2）图2：=DH BH DE -，图3：+DE DH BH =【分析】（1）在线段AH 上截取HM BH =，连接CM ，CD ，证明DMC DEC △≌△，可得到DE DM =，即可求解．（2）当点D 在线段BA 延长线上时，在BA 的延长线上截取MH BH =，连接CM ，DC ，由题意可证BHC CHM △≌△，可得B CMB ∠=∠，由题意可得=B AED ∠∠，即可证DMC DEC △≌△，可得DE DM =，则可得DH BH DE =-；当点D 在线段AB 延长线上时，在线段AB 上截取BH HM =，连接CM ，CD ，由题意可证BHC CHM △≌△，可得B CMB ∠=∠，由题意可得B AED ∠=∠，即可证DMC DEC △≌△，可得DE DM =，则可得DE DH BH =+．【详解】解：（1）证明：在线段AH 上截取HM BH =，连接CM ，CD∵CH AB ⊥，HM BH =∴CM BC =∴B CMB ∠=∠∵AB AC =∴B ACB ∠=∠∵//DE BC∴ADE B AED ACB ∠=∠=∠=∠，CDE BCD ∠=∠∴AED BMC ∠=∠∴DEC DMC ∠=∠∵BD BC =∴BDC BCD EDC ∠=∠=∠∵CD CD =∴CDM CDE △≌△∴=DM DE∴+BH DE DM HM DH =+=（2）当点D 在线段BA 延长线上时，DH BH DE =-如图2：在BA 的延长线上截取MH BH =，连接CM ，DC∵AB AC =∴A ABC CB =∠∠∵BD BC =∴BDC DCB =∠∠∵//DE BC∴E ACB B EDB ===∠∠∠∠∵=CH CH ，BH MH =，BHC CHM =∠∠∴BHC CHM △≌△∴=B M ∠∠∴E M =∠∠∵+MDC B DCB =∠∠∠，EDC BDC EDB =+∠∠∠∴MDC EDC =∠∠又∵E M =∠∠，DC CD =∴DEC DMC △≌△∴DE DM =∵=DH MH DM -∴DH BH DE =-当点D 在线段AB 延长线上时，DE DH BH =+如图3：当点D 在线段AB 延长线上时，在线段AB 上截取BH HM =，连接CM ，CD∵BH HM =，CH CH =，90CHB MHC ==︒∠∠∴MHC BHC △≌△∴ABC BMC =∠∠∵AB AC =∴A ABC CB =∠∠∵BD BC =∴BDC BCD ∠=∠∵//BC DE∴BCD CDE ∠=∠，ACB AED ∠=∠∴BDC CDE ∠=∠，BMC AED =∠∠，且CD CD =∴CDM CDE △≌△∴DE DM =∵DM DH HM =+∴DE DH BH =+【点睛】本题主要考查了三角形综合题，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，合理添加辅助线证全等是解题的关键．9．（1）256+；（2）见解析【分析】（1）构建直角三角形，得出AH 、BH ，然后利用角平分线的性质以及平行四边形的性质，进行等量互换，即可得解；（2）首先在AB 上截取BQ BE =，然后判定DOF EOC ≌△△和AEQ GAF ≌△△，进行等量转换，即可得证.【详解】（1）过点A 作AH BC ⊥于点H ，如图所示：4tan 3B ∠=，5AB =， 4AH ∴=，3BH =DE 平分ADC ∠，12∠∠∴=，AD BC ∵∥，13∠∠∴=23∴∠=∠，5DC EC ∴==，1BE ∴=，2EH ∴=，25AE ∴=256ABE C ∴=+△；（2）在AB 上截取BQ BE =，连接EQ ，如图所示：CD CE =，CO DE ⊥，OD DE ∴=①AD BC ∵∥，DFO ECO ∴∠=∠，ADE CED ∠=∠②③由①②③得：DOF EOC ≌△△，DF CE ∴=，又AD BC =，AD DF BC CE ∴-=-，即AF BE =60EAG ∠=︒，60BAE FAG ∴∠+∠=︒，60DFC ∠=︒，60FGA FAG ∴∠+∠=︒，CD=CFBAE FGA ∴∠=∠④又120FAG AQE ∠=∠=︒，EQ AF =⑤⑥由④⑤⑥得：AEQ GAF ≌△△，AQ FG ∴=，又AB CF =，AB AQ CF FG ∴-=-，即BQ CG =，AF CG ∴=．【点睛】此题主要考查利用三角函数值构建直角三角形以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握，即可解题.10．（1）见解析；（2）CB=2AB ；（3）AB FG = 【分析】（1）利用平行线的性质以及角的等量代换求证即可；（2）在BE 边上取点H ，使BH=AE ，可证明△ABH ≌△DAE ，△ABE ∽△ACB ，利用相似三角形的性质从而得出结论；（3）连接BD 交AC 于点Q ，过点A 作AK ⊥BD 于点K ，得出12AD DK CB DB ==，通过证明△ADK ∽△DBC 得出∠BDC=∠AKD=90°，再证DF=FQ ，设AD=a ，因此有DF=FC=QF=ka ，再利用相似三角形的性质得出AC=3ka ，AB =，1122FG DF ka ==，从而得出答案．【详解】解：（1）∵∠BAD=∠BEC∠BAD=∠BAE+∠EAD∠BEC=∠ABE+BAE∴∠EAD=∠ABE∵AD ∥BC∴∠EAD=∠ACB∴∠ACB=∠ABE（2）在BE 边上取点H ，使BH=AE∵AB=AD∴△ABH ≌△DAE∴∠AHB=∠AED∵∠AHB+∠AHE=180°∠AED+∠DEC=180°∴∠AHE=∠DEC∵∠BEC=2∠DEC∠BEC=∠HAE+∠AHE∴∠AHE=∠HAE∴AE=EH∴BE=2AE∵∠ABE=∠ACB∠BAE=∠CAB∴△ABE ∽△ACB ∴EB AE CB AB= ∴CB=2AB ； （3）连接BD 交AC 于点Q ，过点A 作AK ⊥BD 于点K∵AD=AB∴12DK BD =∠AKD=90°∵12AB AD BC ==∴12AD DK CB DB == ∵AD ∥BC∴∠ADK=∠DBC∴△ADK ∽△DBC ∴∠BDC=∠AKD=90°∵DF=FC∴∠FDC=∠DFC∵∠BDC=90°∴∠FDC+∠QDF=90°∠DQF+∠DCF=90°∴DF=FQ设AD=a∴DF=FC=QF=ka∵AD ∥BC∴∠DAQ=∠QCB∠ADQ=∠QBC∴△AQD ∽△CQB ∴12AD QA BC CQ== ∴AQ=ka=QF=CF∴AC=3ka∵△ABE ∽△ACB ∴AE AB AB AC= ∴AB =同理△AFD ∽△CFG12DF AF FG FC == ∴1122FG DF ka ==AB FG = 【点睛】本题是一道关于相似的综合题目，难度较大，根据题目作出合适的辅助线是解此题的关键，解决此题还需要较强的数形结合的能力以及较强的计算能力．。

人教版八年级上册数学第十二章全等三角形 专题——全等三角形辅助线之截长补短训练(含答案)

人教版八年级上册数学第十二章全等三角形 专题——全等三角形辅助线之截长补短训练(含答案)

专题——全等三角形辅助线之截长补短1.如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC，垂足为D，判断AB、CD和BD这三条线段的数量关系（用等式表示），并证明．2.已知：在△ABC中，∠CAB=42∘，AP平分∠CAB，∠B=32∘，且AP交BC于点P，试探究线段AB、AC与PB之间的数量关系，并证明．3.如图，在△ABC中，∠BAC=108∘，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于D，求证：BC=CD+AB．4.如图所示，在△ABC中，AH⊥BC于点H，∠C=35∘，且AB+BH=HC，求∠B的度数．5.如图，在△ABC中，∠BAC=90∘，AD⊥BC于D，且AC+CD=BD，若BD=6，则CD=．6.五边形ABCDE中，AB=CD=AE=BC+DE=5，∠ABC=∠AED=90∘，求五边形ABCED的面积．7.如图，点P是△ABC三个内角的角平分线的交点，连接AP、BP、CP，∠ACB=60∘，且CA+ AP=BC，则∠CAB的度数为．8.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=α，∠BCD=180∘−a，BD平分∠ABC．(1)如图①，若α=90∘，则DA DC，（填写“>”“<”或“=”）．(2)问题解决：如图①，求证：AD=CD．(3)问题拓展：如图①，在等腰△ABC中，∠BAC=100∘，BD平分∠ABC，求证：BD+AD=BC．9.在△ABC中，AD为△ABC的角平分线．(1)如图1，∠C=90∘，∠B=45∘，点E在边AB上，AE=AC，请直接写出图中所有与BE相等的线段．(2)如图2，∠C≠90∘，如果∠C=2∠B，求证：AB=AC+CD．10.阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC=2∠C．求证：AC=AB+BD．小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：方法1：如图2，在AC上截取AE，使得AE=AB，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决问题．方法二：如图3，延长AB到点E，使得BE=BD，连接DE，可以得到等腰三角形，进而解决问题．(1)根据阅读材料，任选一种方法证明AC=AB+BD．(2)根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题如图4，四边形ABCD中，E是BC上一点，EA=ED，∠DCB=2∠B，∠DAE+∠B=90∘，探究DC、CE、BE之间的数量关系，并证明．11.在△ABC中，∠ACB=2∠B．(1)如图①，当∠C=90∘，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证：CD=DE=，AC+CD=．（请直接写出结论，不用证明．）(2)如图①，当∠C≠90∘，AD为∠BAC的角平分线时，模仿题（1）的思路，求证：AB=AC+CD．(3)如图①，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．`12.课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且AB+BD=AC．求证：∠ABC=2∠ACB．小明的方法是：如图2，在AC上截取AE，使AE=AB，连接DE，构造全等三角形来证明结论．(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段AB构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长AB至F，使BF=，连接DF．请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线．(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：如图3，点D在△ABC的内部，AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，且AB+BD=AC．求证：∠ABC=2∠ACB．请你解答小芸提出的这个问题．(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：如果在△ABC中，∠ABC=2∠ACB，点D在边BC上，AB+BD=AC，那么AD平分∠BAC．小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．答案与解析1.AB=CD−BD，证明见解析．解析: 在BC上取一点E，使BD=DE，连接AE，如图，①AD⊥BC，①∠ADB=∠ADE，在△ABD和△AED中，BD=DE，AD=AD，①△ABD①△AED(SAS)，①AB=AE，∠B=∠AED，又①∠B=2∠C=∠AED=∠C+∠EAC，①∠C=∠EAC，①AE=EC，①AB=AE=EC=CD−DE=CD−BD．2.AB=AC+PB，证明见解析．解析: 证明：如图，在AB上截取AD，使AD=AC，连接PD，①AP平分∠CAD，①∠PAC=∠PAD=12∠CAB=21∘，在△PAC和△PAD中，{AC=AD∠PAC=∠PAD AP=AP，①△PAC①△PAD（SAS），①∠C=∠ADP，①∠C+∠CAB+∠B=180∘，①∠C=180∘−42∘−32∘=106∘，①∠ADP=106∘，①∠PDB=180∘−106∘=74∘，①∠PDB+∠B+∠DPB=180∘，①∠DPB=180∘−32∘−74∘=74∘，①∠DPB=∠PDB，①PB=DB，①AB=AD+DB，AC=AD，①AB=AC+PB．3.证明见解析．解析: （截长法）在BC上取点E使BE=BA，连接DE，①BD平分∠ABC，①∠ABD=∠EBD，在△ABD和△EBD中，{AB=EB∠ABD=∠EBD BD=BD，①△ABD①△EBD(SAS)，①∠BAC=∠BED=108∘，AB=EB，①∠DEC=72∘，①AB=AC，①∠C=∠ABC=36∘，①∠CDE=72∘，①∠CDE=∠CED=72∘，①CD=CE，则BC=BE+EC=AB+CD．（补短法）延长BA至E，使BE=BC，连接DE，①BD平分∠ABC，①∠ABD=∠CBD，在△EBD和△CBD中，{EB=CB∠ABD=∠CBD BD=BD，①△EBD①△CBD(SAS)，①DE=DC，∠E=∠C=12(180∘−∠BAC)=36∘，①∠EAD=180∘−∠BAC=72∘，①∠EDA=∠EAD=72∘，①EA=ED，①CD=DE=AE，则BC=BE=AB+AE=AB+CD．4.∠B=70∘．解析: 在HC上取HD=BH．①AH垂直BC于H，①AH是BD的垂直平分线，①AB=AD，①∠B=∠ADB．①AB+BH=HC=HD+DC，①AB=DC．①AD=DC．①∠DAC=∠C=35∘．①∠B=∠ADB=∠DAC+∠C=70∘．5.2解析: 在DB上取一点E使得DE=DC，连接AE，①AD⊥BC，①AE=AC，①AC+CD=BD，BD=BE+ED，①AC=BE=AE，①∠B=∠BAE，①∠BAC=90∘，①∠B+∠C=90∘，∠BAE+∠EAC=90∘，①∠EAC=∠C，①EA=EC，设CD=DE=x，①AC=AE=EC=BE=2CD=2x，①BD=BE+ED=3x=6，①x=2，①CD=2．6.25解析: 延长DE至F，使EF=BC，连AC，AD，AF，①AB=CD=AE=BC+DE，∠ABC=∠AED=90∘，由题中条件可得Rt△ABC①Rt△AEF，△ACD①△AFD，①S ABCDE=2S△ADF=2×12⋅DF⋅AE=2×12×5×5=25．7.80∘解析: 如图，在BC上截取CE=AC，连接PE，①∠ACB=60∘，①∠CAB+∠ABC=120∘，①点P是△ABC三个内角的角平分线的交点，①∠CAP=∠BAP=12∠CAB，∠ABP=∠CBP=12∠ABC，∠ACP=∠BCP，①∠ABP+∠BAP=60∘，①CA=CE，∠ACP=∠BCP，CP=CP，①△ACP①△ECP（SAS），①AP=PE，∠CAP=∠CEP，①CA+AP=BC，且CB=CE+BE，①AP=BE，①BE=PE，①∠EPB=∠EBP，①∠PEC=∠EBP+∠EPB=2∠PBE=∠CAP，①∠PAB=2∠PBA，且∠ABP+∠BAP=60∘，①∠PAB=40∘，①∠CAB=80∘．故答案为：80∘．8.(1)=解析: 由角分线上的点到角的两边距离相等可得：DA=DC．(2)证明见解析．解析: 如图2中，作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F．①BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，①DE=DF，①∠BAD+∠C=180∘，∠BAD+∠EAD=180∘，①∠EAD=∠C，①∠E=∠DFC=90∘，①△DEA①△DFC，①DA=DC．(3)证明见解析．解析: 如图，在BC上截取BK=BD，BT=BA，连接DK．①AB=AC，∠A=100∘，①∠ABC=∠C=40∘，①BD平分∠ABC，①∠DBK=12∠ABC=20∘，①BD=BK，①∠BKD=∠BDK=80∘，即∠A+∠BKD=180∘，由（2）的结论得AD=DK，①∠BKD=∠C+∠KDC，①∠KDC=∠C=40∘，①DK=CK，①AD=DK=CK，①BD+AD=BK+CK=BC．9.(1)ED、CD．解析: 在△ABC中，AD为△ABC的角分平线，①∠EAD=∠CAD在△AED与△ACD中，{AE=AC∠EAD=∠CAD AD=AD①△AED①△ACD(SAS)①ED=CD．①∠C=90∘①∠AED=∠C=90∘①∠B=45∘①∠BDE=90∘−45∘=45∘①BE=ED．①BE=ED=CD．故答案为：ED、CD．(2)证明见解析．解析: 在AB上截取AE=AC，如图所示：连接ED，由（1）可知∠EAD=∠CAD，在△AED与△ACD中，{AE=AC∠EAD=∠CAD AD=AD①△AED①△ACD(SAS)．①ED=DC，∠C=∠AED．①∠C=2∠B，①∠AED=2∠B．又①∠AED=∠B+∠EDB，①∠B=∠EDE．①BE=ED．①AB=AE+BE，①AB=AC+CD．10.(1)证明见解析．解析: 选用方法一证明：①AB=AE，∠BAD=∠EAD，AD=AD，①△ABD①△AED，①BD=ED，∠AED=∠B=2∠C，①∠AED=∠C+∠EDC，①∠EDC=∠C，①ED=EC，①BD=EC，①AC=AB+BD．(2)BE=DC+CE．证明见解析．解析: 在EB上截取EF，使得EF=DC，连接AF，①EA=ED，①∠EAD=∠EDA，①2∠DAE+∠AED=180∘，①∠DAE+∠B=90∘，①2∠DAE+2∠B=180∘，①∠AED=2∠B=∠C，①∠BED=∠CDE+∠DAE，①∠AEB=∠CDE，①△AEF①△EDC，①EC=AF，∠AFE=∠C=2∠B，①∠AFE=∠B+∠BAF，①∠ABF=∠BAF，①BF=AF，①BF=CE，①BE=DC+CE．11.(1)EB，AB解析: ①AD平分∠CAB，①∠CAD=∠EAD，又AC=AE，AD=AD，①△ACD①△AED(SAS)，①DE=CD，∠AED=∠C=90∘，又∠ACB=2∠B，∠ACB=45∘，①∠B=12①△DEB是等腰直角三角形，①CD=DE=EB，①AC+CD=AE+EB=AB，故答案为：EB，AB．(2)证明见解析．解析: 如图①，在AB上截取AE=AC，连接DE，①AD为∠BAC的角平分线时，①∠BAD=∠CAD，①AD=AD，①△ADE①△ADC(SAS)，①∠AED=∠C，ED=CD，①∠ACB=2∠B，①∠AED=2∠B，①∠AED=∠B+∠EDB，①∠B=∠EDB，①EB=ED，①EB=CD，①AB=AE+DE=AC+CD．(3)AC+AB=CD，证明见解析．解析: 在BA的延长线截取AE=AC，连接ED，①AD平分∠FAC，①∠EAD=∠CAD，在△EAD与△CAD中，AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，①△EAD①△CAD(SAS)，①ED=CD，∠AED=∠ACD，①∠FED=∠ACB，又①∠ACB=2∠B，①∠FED=2∠B，∠FED=∠B+∠EDB，①∠EDB=∠B，①EB=ED，①EA+AB=EB=ED=CD，①AC+AB=CD．12.(1)BD；画图见解析．解析: 如图1所示，辅助线的画法是：延长AB至点F，使得BF=BD，连接DF．(2)证明见解析．解析: 如图2所示，延长AB至点F，使得BF=BD，连接DF．则∠AFD=∠BDF，∠ABD=2∠AFD．①BF=BD，AC=AB+BD，①AF=AB+BF=AB+BD=AC．①BD，CD平分∠ABC，∠ACB，①∠ACB=2∠ACD，∠ABC=2∠ABD=4∠AFD，又AD平分∠BAC，①∠FAD=∠CAD．在△DAF和△DAC中，{AD=AD∠FAD=∠CAD AF=AC，①△DAF≌△DAC(ASA)，①∠AFD=∠ACD，①∠ACB=2∠ACD=2∠AFD，①∠ABC=2∠ACB．(3)证明见解析．解析: 如图3所示，延长AB至点F，使得BF=BD，连接DF，CF，则∠AFD=∠BDF，∠ABC=2∠AFD，又∠ABC=2∠ACB，①∠AFD=∠ACD．①BF=BD，AC=AB+BD，①AF=AB+BF=AB+BD=AC，①∠AFC=∠ACF，即∠AFD+∠DFC=∠ACD+∠DCF，①∠DFC=∠DCF，①DF=DC．在△DAF和△DAC中，{AD=AD DF=DC AF=AC，①△DAF≌△DAC(SSS)，①∠DAF=∠DAC，①AD平分∠BAC．。

八年级数学上册综合训练三角形全等之截长补短(二)天天练(无答案)新人教版(2021年整理)

八年级数学上册综合训练三角形全等之截长补短(二)天天练(无答案)新人教版(2021年整理)

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三角形全等之截长补短（二）一、单选题(共2道，每道50分）1。

已知，如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，AD平分∠CDE，∠BAE=2∠CAD，求证:BC+DE=CD．（截长法）证明：如图，________________________∵AD平分∠CDE∴∠1=∠2在△AFD和△AED中∴△AFD≌△AED（SAS）∴________________________________________________在△ABC和△AFC中∴△ABC≌△AFC（SAS）∴BC=CF∴BC+DE=CF+DF=CD请你仔细观察下列序号所代表的内容：①在CD上截取CF=CB，连接AF；②在DC上截取DF=DE，连接AF；③在DC上截取DF=DE；④AE=AF；⑤AF=AE，∠4=∠3;⑥∠4=∠3；⑦；⑧；⑨．以上空缺处依次所填最恰当的是( ）A.①④⑨ B。

③⑤⑧C.①⑥⑦ D。

②⑤⑨2.已知，如图，在五边形ABCDE中,AB=AE，∠BAE=2∠CAD，∠ABC+∠AED=180°，求证：BC+DE=CD．（补短法）证明：如图，________________________________________________在△ABC和△AEF中∴△ABC≌△AEF(SAS）∴∠2=∠3,AC=AF________________________在△CAD和△FAD中∴△CAD≌△FAD（SAS）________________________请你仔细观察下列序号所代表的内容：①延长DE到F,使EF=BC,连接AF；②延长DE到F，使BC=EF；③延长DE到F,连接AF;④；⑤；⑥；⑦;⑧；⑨．以上空缺处依次所填最恰当的是（）A。

初二数学全全等三角形截长补短达标综合模拟测评学能测试(1)

初二数学全全等三角形截长补短达标综合模拟测评学能测试(1)

初二数学全全等三角形截长补短达标综合模拟测评学能测试(1)一、全等三角形截长补短1．问题提出，如图1所示，等边△ABC 内接于⊙O ，点P 是AB 上的任意一点，连结PA ，PB ，PC ．线段PA 、PB 、PC 满足怎样的数量关系?（尝试解决）为了解决这个问题，小明给出这样种解题思路：发现存在条件CA=CB ，∠ACB=60°，从而将CP 绕点逆时针旋转60°交PB 延长线于点M ，从而证明△PAC ≌△MBC ，请你完成余下思考，并直接写出答案：PA 、PB 、PC 的数量关系是 ； （自主探索）如图2所示，把原问题中的“等边△ABC”改成“正方形ABCD”，其余条件不变，①PC 与PA ，PB 有怎样的数量关系?请说明理由：②PC+PD 与PA ，PB 的数量关系是 ．（直接写出结果）（灵活应用）把原问题中的“等边△ABC”改成“正五边形ABCDE”，其余条件不变，则PC+PD+PE 与PA+PB 的数量关系是 ．（直接写出结果）2．如图所示，已知AC 平分∠BAD ，180B D ∠+∠=︒，CE AB ⊥于点E ，判断AB 、AD 与BE 之间有怎样的等量关系，并证明．3．如图，在正方形ABCD 中，点E 迕射线BC 上，连接AE ，作EF AE ⊥，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ．（1）若点E 在边BC 的中点处时，AE ________EF （填“＞”“＜”或“=”）（2）若点E 为边BC 上的任意一点（不含点B ，C ），探究此时AE 与EF 的数量关系，并说明理由．（3）若点E 是边BC 延长线上的一点，探究此时AE 与EF 的数量关系，并说明理由． 4．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD ，以D 为顶点作MDN ∠，交边AC ，BC 于点M ，N ．（1）如图（1），若30ACD ∠=︒，60MDN ∠=︒，当MDN ∠绕点D 旋转时，AM ，MN ，BN 三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）如图（2），当90ACD MDN ∠+∠=︒时，AM ，MN ，BN 三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图（3），在（2）的条件下，若将M ，N 分别改在CA ，BC 的延长线上，完成图（3），其余条件不变，则AM ，MN ，BN 之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）．5．如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，E 为菱形ABCD 内对角线BD 左侧一点，连接BE 、CE 、DE ．（1）若AB ＝6，求菱形ABCD 的面积；（2）若∠BED ＝2∠A ，求证：CE ＝BE+DE ．6．在菱形ABCD 中，射线BM 从对角线BD 所在的位置开始绕着点B 逆时针旋转，旋转角为()0180αα︒<<︒，点E 在射线BM 上，DEB DAB ∠=∠．（1）当60DAB ∠=︒时，BM 旋转到图①的位置，线段BE ，DE ，AE 之间的数量关系是______；（2）在（1）的基础上，当BM 旋转到图②的位置时，探究线段BE ，DE ，AE 之间的数量关系，并证明；（3）将图②中的60DAB ∠=︒改为90DAB ∠=︒，如图③，其他条件不变，请直接写出线段BE ，DE ，AE 之间的数量关系．7．如图，ABC 是边长为2的等边三角形，BDC 是顶角为120°的等腰三角形，以点D 为顶点作60MDN ∠=︒，点M 、N 分别在AB 、AC 上．（1）如图①，当//MN BC 时，则AMN 的周长为______；（2）如图②，求证：BM NC MN +=．8．已知等腰ABC ∆中，AB AC =，点D 在直线AB 上，//DE BC ，交直线AC 于点E ，且BD BC =，CH AB ⊥，垂足为H ．（1）当点D 在线段AB 上时，如图1，求证BH DE DH +=；（2）当点D 在线段BA 的延长线上时，如图2；当点D 在线段AB 延长线时，如图3，线段BH ，DE ，DH 又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要证明． 9．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE 平分∠BAD ，BE 平分∠ABC ，且AE 、BE 交CD 于点E ．试说明AD ＝AB ﹣BC 的理由．10．已知平行四边形ABCD 中，N 是边BC 上一点，延长DN 、AB 交于点Q ，过A 作AM ⊥DN 于点M ，连接AN ，则AD ⊥AN ．（1）如图①，若tan ∠ADM ＝34，MN ＝3，求BC 的长； （2）如图②，过点B 作BH ∥DQ 交AN 于点H ，若AM ＝CN ，求证：DM ＝BH +NH ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．【尝试解决】PA+PB=PC ；【自主探索】①2PC PA PB =；理由见解析；②21)()PC PD PA PB +=+；【灵活应用】(52)()PC PD PE PA PB ++=+．【分析】尝试解决：利用旋转性质证明△PAC ≌△MBC ，得到PA=BM ，得到PM 等于PB 与PA 的和，再证明△PCM 是等边三角形，得到PM 等于PC ，即可得到结果；自主探索：①在PC 上截取QC=PA ，证出△CBQ 全等于△ABP ，得到△PBQ 是等腰直角三角形，PQ 等于PB 2倍，即可得到结果；②同①方法，即可得到PD 与PA 和PB 的关系，即可求出PC+PD 与PA 和PB 的关系； 灵活应用：类比（自主探索）中的方法证明PC 与PA 和PB 的关系，再用同样的方法证明PE 与PA 和PB 的关系，构造△CDM 全等于△CBP ，得到PD 与PC 的关系，进一步得到PD 与PA 和PB 的关系，最终求出PD+PE+PC 的和即可得到与PA 和PB 的关系．【详解】尝试解决：PA+PB=PC ；证明：因为∠ACP+∠PCB=60°，∠MCB+∠PCB=60°，∴∠ACP=∠MCB ，又∵CP=CM ，AC=MC ，∴△ACP ≌△BCM ，所以PA=BM ，∠CBM=∠CAP ，∵四边形APBC 内接于圆O ，∴∠CAP+∠CBP=180°，∴∠CBM+∠CBP=180° ，∴P 、B 、M 三点共线，∴△PCM 是等边三角形，∴PM=PC ，∴PC=PM=PB+BM=PB+PA ；自主探索：①PC 与PA 、PB 的数量关系为2PC PA PB =+；理由：截取CQ=PA ，，如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴BC=AB ，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，∵PA=CQ ，∠BCQ=BAP ，BC=AB∴△BCQ ≌△BAP ，∴∠CBQ=∠ABP ，BQ=BP ， ∵∠CBQ+∠ABQ=90°，∴90ABP ABQ ∠+∠=︒，∴△PBQ 是等腰直角三角形，∴2PB ，∴2PC CQ PQ PA PB =+=+；②21)()PC PD PA PB +=+证明：在PD 上截取DH=PB ，∵DH=PB ，∠ADH=∠ABP ，AD=AB∴△ADH ≌△ABP∴∠DAH=∠BAP ，AH=AP ，∵∠DAH+∠HAP=90°，∴∠BAP+∠HAP=90°，∴△HAP 是等腰直角三角形，∴2，∴PD=DH+PH=PB+2PA ，∴(21)()PC PD PA PB +=++．灵活应用：(52)()PC PD PE PA PB ++=++．证明：在PC 上截取FC=PA ，∵五边形ABCDE 是正五边形，∴BC=AB=CD=DE=AE ，∠ABC=∠EAB=108°，∵PA=CF ，AB=BC ，∠FCB=∠BAP ，∴△BAP ≌△BCF ，∴BF=PB ，∠CBF=∠ABP ，∵∠CBF+∠FBA=108°，∴∠ABP+∠FBA=108°，∴△FBP 是顶角为108°的等腰三角形，∴15+PB ， ∴PC=PF+FC=152PB+PA ， 同理可证15+PA+PB ， 延长PD 至点M 使DM=PB ，∵∠MDC+∠CDP=180°，∠CDP+∠PBC=180°，∴∠CDM=∠CBP又∵CD=BC ，∴△CDM ≌△CBP∴CM=CP ，∠MCD=∠BCP ，又∵∠PCB+∠PCD=108°，∴∠MCD+∠PCD=108°，∴△MCP 是顶角108°的等腰三角形，∴15+PC ，∴PD=PM-DM=152+PC-PB ， ∴PC+PD+PE =PC+152+PC-PB+152+PA+PB=352+（152+PB+PA ）+152+PA=()()2525PA PB +++=()()25PA PB ++ 【点睛】本题考查旋转性质、圆的有关性质、圆内接四边形、正五边形有关性质、三角形全等的相关性质和判定，综合性强，难度较大是一道好题，属中考压轴题型．2．2AB AD BE =+，证明见解析【分析】在AB 上截取EF ，使EF=BE ，联结CF ．证明()BCE ECF SAS ≌，得到 B BFC ∠=∠，又证明 AFC ADC ≌，得到 AF AD =，最后结论可证了．【详解】证明:在AB 上截取EF ，使EF=BE ，联结CF ．CE AB ⊥90BEC FEC ∴∠=∠=︒在BCE 和ECF △BE EF BEC FEC CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BCE ECF SAS ∴≌ B BFC ∴∠=∠180B D ∠+∠=︒180BFC AFC ∠+∠=︒又D AFC ∴∠=∠AC 平分∠BADFAC DAC ∴∠=∠在AFC △ 和ADC 中AFC D FAC DAC AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩() AFC ADC AAS ∴≌AF AD ∴=AB AF BE EF =++2AB AD BE ∴=+【点睛】本题考查三角形全等知识的综合应用，关键在于寻找全等的条件，作适当的辅助线加以证明．3．（1）=；（2）AE EF =，见解析；（3）AE EF =，见解析【分析】（1）作辅助线，AH=EC ，∠1=∠2，∠AHE=∠ECF=180°-45°=135°，则△AHE ≌△ECF ； （2）作辅助线，仍然证明△AME ≌△ECF 得出结论；（3）做辅助线，仍然证明ANE ECF △≌△得出结论．【详解】解：（1）证明：取AB 的中点H ，连接EH ；∵ABCD 是正方形，AE ⊥EF ；∴∠1+∠AEB=90°，∠2+∠AEB=90°∴∠1=∠2，∵BH=BE ，∠BHE=45°，且∠FCG=45°，∴∠AHE=∠ECF=135°，AH=CE ，∴△AHE ≌△ECF ，∴AE=EF ；（2）在AB 上取一点M ，使得AM EC =，连接ME∴BM BE =∴45BME ∠=︒∴135AME ∠=︒∵CF 是正方形外角平分线∴45DCF ∠=︒∴135ECF ∠=︒∴AME ECF ∠=∠∵90AEB BAE ∠+∠=︒，90AEB CEF ∠+∠=︒∴BAE CEF ∠=∠∴AME ECF △≌△∴AE EF =（3）在BA 的延长线上取一点N ，使AN CE =，连接NE∴BN NE =∴45N NEC ∠=∠=︒∵CF 是正方形外角平分线∴45FEC ∠=︒∴N FEC ∠=∠∵四边形ABCD 是正方形 ∴AD BE∴DAE BEA ∠=∠ 即9090DAE BEA ∴NAE CEF ∠=∠∴ANE ECF △≌△∴AE EF =【点睛】本题是四边形的综合题，综合考查了正方形、全等三角形的性质和判定，解决此类题的思路为：构造两个三角形全等；熟练掌握正方形的性质是本题的关键．4．（1）AM BN MN +=；证明见解析；（2）AM BN MN +=；证明见解析；（3）补图见解析；BN AM MN -=；证明见解析．【分析】（1）延长CB 到E ，使BE=AM ，证△DAM ≌△DBE ，推出∠BDE=∠MDA ，DM=DE ，证△MDN ≌△EDN ，推出MN=NE 即可；（2）延长CB 到E ，使BE=AM ，证△DAM ≌△DBE ，推出∠BDE=∠MDA ，DM=DE ，证△MDN ≌△EDN ，推出MN=NE 即可；（3）在CB 截取BE=AM ，连接DE ，证△DAM ≌△DBE ，推出∠BDE=∠MDA ，DM=DE ，证△MDN ≌△EDN ，推出MN=NE 即可．【详解】（1）AM BN MN +=．证明如下：如图，延长CB 到E ，使BE AM =，连接DE ．90A CBD ∠=∠=︒，90A EBD ∴∠=∠=︒．ADC BDC ≌，AD BD ∴=．在DAM △和DBE 中，AM BE A DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAM DBE SAS ∴≌，BDE MDA ∴∠=∠，DM DE =．MDN ADC BDC ∠=∠=∠，ADM NDC BDE ∴∠=∠=∠，MDC NDB ∠=∠，MDN NDE ∴∠=∠．在MDN △和EDN △中，DM DE MDN EDN DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MDN EDN SAS ∴△≌△，MN NE ∴=．NE BE BN AM BN =+=+，AM BN MN ∴+=；（2）AM BN MN +=．证明如下：如图，延长CB 到E ，使BE AM =，连接DE ．90A CBD ∠=∠=︒，90A DBE ∴∠=∠=︒．ADC BDC ≌，AD BD ∴=，ADC CDB ∠=∠．在DAM △和DBE 中，AM BE A DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAM DBE SAS ∴≌，BDE MDA ∴∠=∠，DM DE =．90MDN ACD ∠+∠=︒，90ACD ADC ∠+∠=︒，ADC CDB ∠=∠，NDM ADC CDB ∴∠=∠=∠，ADM CDN BDE ∴∠=∠=∠，CDM NDB ∠=∠，MDN NDE ∴∠=∠．在MDN △和EDN △中，DM DE MDN EDN DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MDN EDN SAS ∴△≌△，MN NE ∴=．NE BE BN AM BN =+=+，AM BN MN ∴+=；（3）补充完成题图，如图所示．BN AM MN -=．证明如下：如上图，在CB 上截取BE=AM ，连接DE ．90CDA ACD ∠+∠=︒，90MDN ACD ∠+∠=︒，MDN CDA ∴∠=∠，MDA CDN ∴∠=∠．90B CAD ∠=∠=︒，90B DAM ∴∠=∠=︒．在DAM △和DBE 中，AM BE DAM DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAM DBE SAS ∴≌，BDE ADM CDN ∴∠=∠=∠，DM DE =．ADC BDC MDN ∠=∠=∠，ADN CDE ∴∠=∠，MDN EDN ∴∠=∠．在MDN △和EDN △中，DM DE MDN EDN DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MDN EDN SAS ∴△≌△，MN NE ∴=．NE BN BE BN AM =-=-，BN AM MN ∴-=．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 5．（1）；（2）见解析【分析】（1）过点B 作BH ⊥AD 于H ，由直角三角形的性质可求BH 的长，由菱形的面积公式可求解；（2）延长DE 至M ，使ME ＝BE ，连接MB ，由题意可证△ABD 是等边三角形，△BCD 是等边三角形，△BEM 是等边三角形，可得∠CBD ＝∠ABD ＝60°＝∠MBE ，AB ＝BD ＝BC ，BM ＝BE ，由“SAS”可证∴△MBD ≌△EBC ，可得MD ＝EC ，即可得结论．【详解】解：（1）如图，过点B 作BH ⊥AD 于H ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ＝6，∵∠A ＝60°，BH ⊥AD ，∴∠ABH ＝30°，∴AH ＝12AB ＝3，BH ＝3AH ＝33， ∴菱形ABCD 的面积＝AD×BH ＝6×33＝183；（2）如图，延长DE 至M ，ME ＝BE ，连接MB ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ＝CD ＝BC ，∠A ＝60°＝∠BCD ，∴△ABD 是等边三角形，△BCD 是等边三角形，∴∠CBD ＝∠ABD ＝60°，AB ＝BD ＝BC ，∵∠BED ＝2∠A ＝120°，∴∠BEM ＝60°，又∵BE ＝ME ，∴△BEM 是等边三角形，∴BM ＝BE ，∠MBE ＝∠DBC ＝60°，∴∠MBD ＝∠EBC ，∴△MBD ≌△EBC （SAS ），∴MD ＝EC ，∴CE ＝BE+DE ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质应用，结合等边三角形的性质是解题的关键．6．（1）BE DE AE =+；（2）BE DE AE =-，证明见解析；（3）2BE DE =【分析】（1）在射线BM 上截取BF DE =，连接AF ，首先利用菱形的性质证明ADE ABF ≌，然后利用全等三角形的性质及等边三角形的性质得出EF AE =，从而可得出结论BE DE AE =+；（2）在DE 上截取DG BE =，连接AG ，首先利用菱形的性质证明ADG ABE ≌，然后利用全等三角形的性质及等边三角形的性质得出EG AE =，从而可得出结论BE DE AE =-；（3）在DE 上截取DH BE =，连接AH ，首先利用正方形的性质证明ADH ABE △≌，然后利用全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质得出2EH AE =，从而可得出结论2BE DE AE =-．【详解】（1）解：BE DE AE =+；如图①，在射线BM 上截取BF DE =，连接AF ，60DEB DAB ∠=∠=︒，EDA ABE ∴∠=∠．四边形ABCD 是菱形，AB AD ∴=．()ADE ABF SAS ∴△≌△，AE AF ∴=，EAD BAF ∠=∠．60DAB DAF BAF DAF EAD EAF ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒．AEF ∴是等边三角形，EF AE ∴=．BE BF EF =+，BE DE AE ∴=+．图①（2）BE DE AE =-．证明：如图②，在DE 上截取DG BE =，连接AG ，60DEB DAB ∠=∠=︒，EDA ABE ∴∠=∠．四边形ABCD 是菱形，AB AD ∴=．()ADG SAS ∴△≌△ABE ．AE AG ∴=，DAG BAE ∠∠=．60DAB DAG BAG BAE BAG EAG ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒．∴AEG 是等边三角形．EG AE∴=．DG DE EG=-，BE DE AE∴=-；图②（3）2BE DE AE=-．如图③，在DE上截取DH BE=，连接AH，90DEB DAB∠=∠=︒，EDA ABE∴∠=∠．四边形ABCD是正方形，AB AD∴=．()ADH ABE SAS∴△≌△．AE AH∴=，HAD BAE∠=∠．90DAB DAH BAH BAE BAH EAH∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒．AEH∴是等腰直角三角形．2EH AE∴=．DH DE EH=-，2BE DE AE∴=-．图③【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形和等边三角形的性质，正方形和菱形的性质，合理的作出辅助线是解题的关键．7．（1）4；（2）见解析【分析】（1）首先证明△BDM≌△CDN，进而得出△DMN是等边三角形，∠BDM=∠CDN=30°，NC=BM=12DM=12MN，即可解决问题；（2）延长AC 至点E ，使得CE BM =，连接DE ，首先证明BDM CDE △≌△，再证明MDN EDN △≌△，得出MN NE =，进而得出结果即可．【详解】解：（1）∵ABC 是等边三角形，//MN BC ，60AMN ABC ∴∠=∠=︒，60ANM ACB ∠=∠=︒∴AMN 是等边三角形，AM AN ∴=，则BM NC =，∵BDC 是顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，30DBC DCB ∴∠=∠=︒，90DBM DCN ∴∠=∠=︒，在BDM 和CDN △中， ,,,BM CN MBD DCN BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BDM CDN SAS ∴△≌△，DM DN ∴=，BDM CDN ∠=∠，∵60MDN ∠=︒，∴DMN 是等边三角形，30BDM CDN ∠=∠=︒，1122NC BM DM MN ∴===，MN MB NC ∴=+， ∴AMN 的周长4AB AC =+=．（2）如图，延长AC 至点E ，使得CE BM =，连接DE ，∵ABC 是等边三角形，BDC 是顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，60ABC ACB ∴∠=∠=︒，30DBC DCB ∠=∠=︒，90ABD ACD ∠∴∠==︒，90DCE ∴∠=︒，在BDM 和CDE △中，,,,BD CD MBD ECD BM CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BDM CDE SAS ∴△≌△，MD ED ∴=，MDB EDC ∠=∠，120120MDE MDB EDC ∴∠=︒-∠+∠=︒，∵60MDN ∠=︒，60NDE ∴∠=︒，在MDN △和EDN △中，,60,,MD ED MDN NDE DN DN =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()MDN EDN SAS ∴△≌△．MN NE ∴=，又∵NE NC CE NC BM =+=+，BM NC MN ∴+=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的性质与判定，等边三角形及等腰三角形的性质是解题的关键．8．（1）见解析；（2）图2：BH DE DH -=；图3：DE BH DH -=【分析】（1）在线段AH 上截取HM=BH ，连接CM ，CD ，证明△DMC ≌△DEC ，即可可得DE=DM 则结论可得；（2）当点D 在线段BA 延长线上时，在BA 的延长线上截取MH=BH ，连接CM ，DC ，由题意可证△BHC ≌△CHM ，可得∠B=∠CMB ，由题意可得∠B=∠AED ，即可证△DMC ≌△DEC ，可得DE=DM ，则可得DH=BH-DE ；当点D 在线段AB 延长线上时，在线段AB 上截取BH=HM ，连接CM ，CD ，由题意可证△BHC ≌△CHM ，可得∠B=∠CMB ，由题意可得∠B=∠AED ，即可证△DMC ≌△DEC ，可得DE=DM ，则可得DE=DH+BH ．．【详解】解：（1）证明：在AH 上截取HM BH =，连接CM ，CD ．∵CH AB ⊥，HM BH =∴CM BC =．∴B CMB ∠=∠．∵AB AC =∴B ACB ∠=∠．∵//DE BC ，∴ADE B AED ACB ∠=∠=∠=∠，CDE BCD ∠=∠．∴AED BMC ∠=∠．∴DEC DMC ∠=∠．∵BD BC =，∴BDC BCD EDC ∠=∠=∠．∵CD CD =，∴ΔΔCDM CDE ≅．∴DM DE =．∴DE BH DM HM DH +=+=．（2）当点D 在线段BA 延长线上时，DH=BH-DE如图：在BA 的延长线上截取MH=BH ，连接CM ，DC∵AB=AC∠ABC=∠ACB ，∵BD=BC ，∴∠BDC=∠DCB∵DE ∥BC∠E=∠ACB=∠B=∠EDB∵CH=CH ，BH=MH ，∠BHC=∠CHM∴△BHC ≌△CHM∴∠B=∠M∴∠E=∠M∵∠MDC=∠B+∠DCB ，∠EDC=∠BDC+∠EDB∴∠MDC=∠EDC又∵∠E=∠M，DC=CD∴△DEC≌△DMC∴DE=DM∵DH=MH-DM∴DH=BH-DE当点D在线段AB延长线上时，DE=BH+DH如图在线段AB上截取BH=HM，连接CM，CDBH=HM，CH=CH，∠CHB=∠MHC=90°∴△MHC≌△BHC∴∠ABC=∠BMC∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB，∵BD=BC∴∠BDC=∠BCD∵BC∥DE∴∠BCD=∠CDE，∠ACB=∠AED∴∠BDC=∠CDE，∠BMC=∠AED，且CD=CD∴△CDM≌△CDE∴DE=DM∵DM=DH+HM∴DE=DH+BH．【点睛】本题考查了三角形综合题，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定．添加恰当的辅助线证全等是本题的关键．9．见解析【分析】在AB上找到F使得AF＝AD，易证△AEF≌△AED，可得AF＝AD，∠AFE＝∠D，根据平行线性质可证∠C＝∠BFE，即可证明△BEC≌△BEF，可得BF＝BC，即可解题．【详解】证明：在AB上找到F使得AF＝AD，∵AE 平分∠BAD ，∴∠EAD ＝∠EAF ，∵在△AEF 和△AED 中，AD AF EAD EAF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△AED ，（SAS ）∴AF ＝AD ，∠AFE ＝∠D ，∵AD ∥BC ，∴∠D ＋∠C ＝180°，∵∠AFE ＋∠BFE ＝180°∴∠C ＝∠BFE ，∵BE 平分∠BAD ，∴∠FBE ＝∠C ，∵在△BEC 和△BEF 中，BFE C FBE CBE BE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEC ≌△BEF ，（AAS ）∴BF ＝BC ，∵AB ＝AF ＋BF ，∴AB ＝AD ＋BC ，即AD ＝AB ﹣BC ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△AEF ≌△AED 和△BEC ≌△BEF 是解题的关键．10．（1）BC ＝203；（2）见解析. 【分析】（1）如图①中，设AM ＝3k ，DM ＝4k ，则AD ＝5k ，由△ADM ∽△NDA ，可得AD 2＝DM •AN ，由此构建方程即可解决问题．（2）如图②中，连接CH ，在DM 上取一点K ，使得DK ＝BH ．证明△ADK ≌△CBH（SAS），推出AK＝CH，再证明Rt△AMK≌Rt△CNH（HL），推出MK＝HN即可解决问题．【详解】（1）解：如图①中，∵AM⊥DN，∴∠AMD＝90°，∵tan∠ADM＝AIIDN＝34，∴可以假设AM＝3k，DM＝4k，则AD＝5k，∵AD⊥AN，∴∠DAN＝90°＝∠AMD，∵∠ADM＝∠ADN，∴△ADM∽△NDA，∴AD2＝DM•AN，∴（5k）2＝4k（4k+3），解得k＝43，∴AD＝203，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝203．（2）证明：如图②中，连接CH，在DM上取一点K，使得DK＝BH．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADK＝∠BNQ，∵BH∥DQ，∴∠CBH＝∠BNQ，∴∠ADK＝∠CBH，∵DK＝BH，DA＝BC，∴△ADK≌△CBH（SAS），∴AK＝CH，∵AM⊥DQ，AN⊥AD，AD∥BC，∴AN⊥BC，∴∠AMK＝∠CNH＝90°，∵AM＝CN，∴Rt△AMK≌Rt△CNH（HL），∴MK＝NH，∴DM＝DK+MK＝BH+HN．【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握解直角三角形、相似三角形的性质以及判定定理、全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键．。

八年级数学上册综合训练三角形全等之截长补短(一)天天练(无答案)新人教版(2021年整理)

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三角形全等之类比探究学生做题前请先回答以下问题问题1:垂直平分线（性质）定理是什么?问题2:角平分线（性质）定理是什么？问题3：等腰三角形的两个底角________,简称______________；如果一个三角形有两个角相等,那么它们所对的边也______，简称____________．问题4：当见到线段的______________考虑截长补短，构造全等或等腰转移____、转移____，然后和_________重新组合解决问题．三角形全等之截长补短（一）（人教版）一、单选题(共2道，每道50分）1.已知，如图，BM平分∠ABC,P为BM上一点，PD⊥BC于点D，BD=AB+CD．求证：∠BAP+∠BCP=180°．（截长法）证明：如图，在BC上截取BE=BA，连接PE．___________________________在△ABP和△EBP中∴△ABP≌△EBP（SAS)∴______________________________________________________∴CD=ED∵PD⊥BC∴PE=PC___________________________请你仔细观察下列序号所代表的内容：①;②∵∠1=∠2；③∠A=∠BEP；④AP=PE；⑤；⑥;⑦；⑧．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A。

八年级数学上册三角形全等作辅助线模型截长补短(人教版)(1)

八年级数学上册三角形全等作辅助线模型截长补短(人教版)(1)

一、填空题1．如图，已知 ABC 中，∠A =60︒，D 为AB 上一点，且AC =2AD +BD ,∠B =4∠ACD ，则∠DCB 的度数是_________八年级数学上册三角形全等作辅助线模型截长补短（人教版）．2．如图，△ABC 中，E 在BC 上，D 在BA 上，过E 作EF ⊥AB 于F ，∠B ＝∠1+∠2，AB ＝CD ，BF ＝43，则AD 的长为________．二、解答题3．思维探索：在正方形ABCD 中，AB ＝4，∠EAF 的两边分别交射线CB ，DC 于点E ，F ，∠EAF ＝45°．（1）如图1，当点E ，F 分别在线段BC ，CD 上时，△CEF 的周长是；（2）如图2，当点E ，F 分别在CB ，DC 的延长线上，CF ＝2时，求△CEF 的周长；拓展提升：如图3，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，过点B 作BD ⊥BC ，连接AD ，在BC 的延长线上取一点E ，使∠EDA ＝30°，连接AE ，当BD ＝2，∠EAD ＝45°时，请直接写出线段CE 的长度．4．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．（1）求证：AE=EF；（2）如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？；（填“成立”或“不成立”）；（3）如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请证明，若不成立说明理由．5．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题:如图一，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC数量关系.小明发现可以用下面方法解决问题:作DE⊥BC交BC于点E：(1)根据阅读材料可得AD与DC的数量关系为__________.(2)如图二，△ABC中，∠A=120°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC的数量关系，并证明你的猜想.(3)如图三，△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与BD、BC的数量关系，并证明你的猜想.6．已知等边ABC ∆中，点O 是边AC ，BC 的垂直平分线的交点，M ，N 分别在直线AC ，BC 上且60MON ∠=°，（1）如图所示，点M ，N 分别在边AC ，BC 上，求证：AM CN MN =+；（2）如图所示，点M 在边AC 上，点N 在BC 的延长线上，求AM CN MN+的值.7．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD ，以D 为顶点作MDN ∠，交边AC ，BC 于点M ，N ．（1）如图（1），若30ACD ∠=︒，60MDN ∠=︒，当MDN ∠绕点D 旋转时，AM ，MN ，BN 三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）如图（2），当90ACD MDN ∠+∠=︒时，AM ，MN ，BN 三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图（3），在（2）的条件下，若将M ，N 分别改在CA ，BC 的延长线上，完成图（3），其余条件不变，则AM ，MN ，BN 之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）．8．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD ，若AC=2cm ，求四边形ABCD 的面积．解：延长线段CB 到E ，使得BE=CD ，连接AE ，我们可以证明△BAE ≌△DAC ，根据全等三角形的性质得AE=AC=2，∠EAB=∠CAD ，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC =S △ABC +S △ABE =S △AEC ，这样，四边形ABCD 的面积就转化为等腰直角三角形EAC 面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD 的面积为cm 2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN 的面积．9．如图1，在ABC ∆中，ACB ∠是直角，60B ∠=︒，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线，AD 、CE 相交于点F ．（1）求出AFC ∠的度数；（2）判断FE 与FD 之间的数量关系并说明理由．（提示：在AC 上截取CG CD =，连接FG ．）（3）如图2，在△ABC ∆中，如果ACB ∠不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段AE 、CD 与AC 之间的数量关系并说明理由．10．数学课上，小白遇到这样一个问题：如图1，在等腰Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD AE =，求证ABE ACD ∠=∠；在此问题的基础上，老师补充：过点A 作AF BE ⊥于点G 交BC 于点F ，过F 作FP CD ⊥交BE 于点P ，交CD 于点H ，试探究线段BP ，FP ，AF 之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，AFB ∠与HFC ∠有某种数量关系；小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即“截长补短”，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：（1）求证ABE ACD ∠=∠；（2）猜想AFB ∠与HFC ∠的数量关系，并证明；（3）探究线段BP ，FP ，AF 之间的数量关系，并证明．11．在数学活动课上，数学老师出示了如下题目：如图①，在四边形ABCD 中，E 是边CD 的中点，AE 是BAD ∠的平分线，AD BC ∥．求证：AB AD BC =+．小聪同学发现以下两种方法：方法1：如图②，延长AE 、BC 交于点F ．方法2：如图③，在AB 上取一点G ，使AG AD =，连接EG 、CG ．（1）请你任选一种方法写出这道题的完整的证明过程；（2）如图④，在四边形ABCD 中，AE 是BAD ∠的平分线，E 是边CD 的中点，60BAD ∠=︒，11802D BCD ∠+∠=︒，求证：CB CE =．12．阅读下面材料，完成(1)-(3)题．数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，以AB为边向AB左侧作等边△ABE，直线CE与直线AD交于点F．请探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠DFC的度数可以求出来．”小强：“通过观察和度量，发现线段DF和CF之间存在某种数量关系．”小伟：“通过做辅助线构造全等三角形，就可以将问题解决．”......老师：“若以AB为边向AB右侧作等边△ABE，其它条件均不改变，请在图2中补全图形,探究线段EF、AF、DF三者的数量关系，并证明你的结论．”（1）求∠DFC的度数；（2）在图1中探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明；（3）在图2中补全图形，探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系，并证明．13．如图1，在ABC 中，AB AC =，AC 平分BCD ∠，连接BD ，2ABD CBD ∠=∠，BDC ABD ACD ∠=∠+∠．（1）求A ∠的度数：（2）如图2，连接AD ，AE AD ⊥交BC 于E ，连接DE ，求证：DEC BAE ∠=∠；（3）如图3，在（2）的条件下，点G 为CE 的中点，连接AG 交BD 于点F ，若32ABC S =△，求线段AF 的长．14．如图所示，已知AC 平分∠BAD ，180B D ∠+∠=︒，CE AB ⊥于点E ，判断AB 、AD 与BE 之间有怎样的等量关系，并证明．15．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠EAF=12∠BAC ，BF ⊥AE 于E 交AF 于点F ，连结CF ．（1）如图1所示，当∠EAF 在∠BAC 内部时，求证：EF ＝BE +CF ．（2）如图2所示，当∠EAF 的边AE 、AF 分别在∠BAC 外部、内部时，求证：CF ＝BF +2BE ．16．如图，在ABC 中，AC BC =，AD 平分CAB ∠．（1）如图1，若90ACB =︒，求证：AB AC CD =+；（2）如图2，若AB AC BD =+，求ACB ∠的度数；（3）如图3，若100ACB ∠=︒，求证：AB AD CD =+．17．如图所示，//AB DC AB AD BE ⊥，，平分ABC CE ∠，平分BCD ∠；（1）求AB CD 、与BC 的数里关系，并说明你的理由．、与BC的数里关系还成立吗?并说明你（2）若把AB AD⊥条件去掉，则（1）中AB CD的理由．18．已知在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，∠BAD＋∠BCD＝180°，AB＝BC （1）如图1，连接BD，若∠BAD＝90°，AD＝7，求DC的长度．（2）如图2，点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQ＝AP＋CQ，求证：∠PBQ＝∠ABP ＋∠QBC（3）若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ＝AP ＋CQ，请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并给出证明过程．⊥，且EF交正19．如图，在正方形ABCD中，点E迕射线BC上，连接AE，作EF AE方形外角的平分线CF于点F．（1）若点E 在边BC 的中点处时，AE ________EF （填“＞”“＜”或“=”）（2）若点E 为边BC 上的任意一点（不含点B ，C ），探究此时AE 与EF 的数量关系，并说明理由．（3）若点E 是边BC 延长线上的一点，探究此时AE 与EF 的数量关系，并说明理由．20．如图，ABC 是边长为1的等边三角形，BD CD =，120BDC ∠=︒，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且60EDF ∠=︒，求AEF 的周长．21．已知等腰△ABC 中，AB=AC ，点D 在直线AB 上，DE ∥BC ，交直线AC 与点E ，且BD=BC ，CH ⊥AB ，垂足为H ．（1）当点D 在线段AB 上时，如图1，求证DH=BH+DE ；（2）当点D在线段BA延长线上时，如图2，当点D在线段AB延长线上时，如图3，直接写出DH，BH，DE之间的数量关系，不需要证明．参考答案1．20°【分析】通过作辅助线构造直角三角形，利用等边三角形的性质，得到角相等，边相等，根据三角形全等，得到角相等，利用外角的性质列方程求解；【详解】解：如图，延长AB 至点E 使BE AD =，连接CE ．∴2=++=+AE AD DB BE AD BD ．∵2=+AC AD BD ，∴AE AC =．∵60A ∠=︒，∴AEC 是等边三角形，∴60∠=∠=︒E ACE ．∵4∠=∠ABC ACD ，∴设ACD x ∠=，则4∠=ABC x ．在ADC 与EBC 中，∵,,,AD BE A E AC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ≌ADC EBC ，∴∠=∠=ACD ECB x ．∵∠=∠+∠ABC E BCE ，∴460=︒+x x ，∴20x =︒，∴60202020∠=︒-︒-︒=︒BCD．【点拨】本题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质，准确分析是解题的关键．2．8 3【分析】在FA上取一点T，使得FT=BF，连接ET，在CB上取一点K，使得CK=ET，连接DK．想办法证明AT=DK，DK=BD，推出BD=AT，推出BT=AD即可解决问题．【详解】在FA上取一点T，使得FT=BF，连接ET，在CB上取一点K，使得CK=ET，连接DK．∵EB=ET，∴∠B=∠ETB，∵∠ETB=∠1+∠AET，∠B=∠1+∠2，∴∠AET=∠2，∵AE=CD，ET=CK，∴△AET≌△DCK(SAS)，∴DK=AT，∠ATE=∠DKC，∴∠ETB=∠DKB，∴∠B=∠DKB，∴DB=DK，∴BD=AT，∴AD=BT，∵BT=2BF=8 3，∴AD=8 3，故答案为：8 3．【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造出全等三角形．3．思维探索：（1）8；（2）12；拓展提升：CE＝﹣1．【分析】思维探索：（1）利用旋转的性质，证明△AGE≌△AFE即可；（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°到AD，交CD于点G，证明△AEF≌△AGF即可求得EF＝DF﹣BE；拓展提升：如图3，过A作AG⊥BD交BD的延长线于G，推出四边形ACBG是矩形，得到矩形ACBG是正方形，根据正方形的性质得到AC＝AG，∠CAG＝90°，在BG上截取GF＝CE，根据全等三角形的性质得到AE＝AF，∠EAC＝∠FAG，∠ADF＝∠ADE＝30°，解直角三角形得到DE＝DF＝4，BE＝CE＝x，则GF＝CE＝x，BC＝BG＝﹣x，根据线段的和差即可得到结论．【详解】思维探索：（1）如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，∴GB＝DF，AF＝AG，∠BAG＝∠DAF，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠BAG+∠BAE＝45°＝∠EAF，在△AGE和△AFE中AG AF GAE EAF AE AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AGE≌△AFE（SAS），∴GE＝EF，∵GE＝GB+BE＝BE+DF，∴EF＝BE+DF，∴△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+BE+DF+CF＝BC+CD＝8，故答案为：8；（2）如，2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°到AD，交CD于点G，同（1）可证得△AEF≌△AGF，∴EF＝GF，且DG＝BE，∴EF＝DF﹣DG＝DF﹣BE，∴△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+CF+DF﹣BE＝BC+DF+CF＝4+4+2+2＝12；拓展提升：如图3，过A作AG⊥BD交BD的延长线于G，∵BD⊥BC，∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CBG＝∠G＝90°，∴四边形ACBG是矩形，∵AC＝BC，∴矩形ACBG是正方形，∴AC＝AG，∠CAG＝90°，在BG上截取GF＝CE，∴△AEC≌△AGF（SAS），∴AE＝AF，∠EAC＝∠FAG，∵∠EAD＝∠BAC＝∠GAB＝45°，∴∠DAF＝∠DAE＝45°，∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF（SAS），∴∠ADF＝∠ADE＝30°，∴∠BDE＝60°，∵∠DBE＝90°，BD＝2，∴DE＝DF＝4，BE＝设CE＝x，则GF＝CE＝x，BC＝BG＝x，∴DG＝x，∴DG﹣FG＝DF，即﹣x﹣x＝4，∴x﹣1，∴CE1．【点拨】本题以正方形为背景，结合旋转，三角形全等，解直角三角形进行综合性考查，熟知常见的全等模型，旋转性质，三角形的判定及性质，正方形，矩形的性质是解题的关键．4．（1）证明见解析；（2）成立；（3）成立，证明见解析.【解析】试题分析：（1）取AB中点M，连接EM，求出BM=BE，得出∠BME=45°，求出∠AME=∠ECF=135°，求出∠MAE=∠FEC，根据ASA推出△AME和△ECF全等即可；（2）截取BE=BM，连接EM，求出AM=EC，得出∠BME=45°，求出∠AME=∠ECF=135°，求出∠MAE=∠FEC，根据ASA推出△AME和△ECF全等即可；（3）在BA的延长线上取一点N，使AN=CE，连接NE，根据已知利用ASA判定△ANE≌△ECF，因为全等三角形的对应边相等，所以AE=EF．试题解析：（1）证明：取AB中点M，连接EM，∵AB=BC，E为BC中点，M为AB中点，∴AM=CE=BE，∴∠BME=∠BME=45°，∴∠AME=135°=∠ECF，∵∠B=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∵∠AEF=90°，∴∠AEB+∠FEC=90°，在△AME和△ECF中，MAE CEF AM EC AME ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE=EF；（2）成立，理由是：如图，在AB上截取BM=BE，连接ME，∵∠B=90°，∴∠BME=∠BEM=45°，∴∠AME=135°=∠ECF，∵AB=BC，BM=BE，∴AM=EC，在△AME和△ECF中，MAE CEF AM EC AME ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE=EF；（3）成立．证明：如图，在BA的延长线上取一点N．使AN=CE，连接NE，∴BN=BE，∴∠N=∠NEC=45°，∵CF平分∠DCG，∴∠FCE=45°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BE，∴∠DAE=∠BEA，即∠DAE+90°=∠BEA+90°，∴∠NAE=∠CEF，∴△ANE≌△ECF（ASA），∴AE=EF．点睛：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，阅读材料，理清解题的关键是去AM=EC，然后构造出△AME和△ECF全等是解题的关键.5．（1）CD=2AD；（2）CD=3AD；（3）BC=AD+BD.【解析】【分析】（1）由角平分线的性质可得AD=DE，根据∠A=90°，AB=AC，可得∠C=45°，由DE⊥BC可得△DEC是等腰直角三角形，可得CD=2DE，进而可得答案；（2）在BC上截取BE=AB，连接DE，利用SAS可证明△ABD≌△EBD，可得AD=DE，∠BED=∠A=120°，由等腰三角形的性质可得∠C=30°，利用三角形外角性质可得∠CDE=90°，利用含30°角的直角三角形的性质即可得答案；（3）在BC上取一点E，使BE=BD，作DF⊥BA于F，DG⊥BC 于G，由角平分线的性质就可以得出DF=DG，利用AAS可证明△DAF≌△DEG，可得DA=DE，利用外角性质可求出∠EDC=40°，进而可得DE=CE，即可得出结论．【详解】（1）∵∠A=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，∴DE=AD，∵∠A=90°，AB=AC，∴∠C=45°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD=2DE=2AD，故答案为：CD=2AD（2）如图，在BC上截取BE=AB，连接DE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBE，在△ABD 和△EBD 中，AB =BE ∠ABD =∠DBE BD =BD，∴△ABD ≌△EBD ，∴DE=AD ，∠BED=∠A=120°，∵AB=AC ，∴∠C=∠ABC=30°，∴∠CDE=∠BED-∠C=90°，∴CD=3DE=3AD.（3）如图，在BC 上取一点E ，是BE=BD ，作DF ⊥BA 于F ，DG ⊥BC 于G ，∴∠DFA=∠DGE=90°．∵BD 平分∠ABC ，DF ⊥BA ，DG ⊥BC ，∴DF=DG ．∵∠BAC=100°，AB=AC ，∴∠FAD=80°，∠ABC=∠C=40°，∴∠DBC=20°，∵BE=BD ，∴∠BED=∠BDE=80°，∴∠FAD=∠BED ．在△DAF 和△DEG 中，∠DFA =∠DGE ∠FAD =∠BED DF=DG，∴△DAF ≌△DEG （AAS ），∴AD=ED ．∵∠BED=∠C+∠EDC ，∴80°=40+∠EDC ，∴∠EDC=40°，∴∠EDC=∠C ，∴DE=CE ，∴AD=CE ．∵BC=BE+CE ，∴BC=BD+AD ．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时合理添加辅助线是解答本题的关键．6．（1）见解析，（2）1AM CN MN+=【解析】【分析】（1）在AM 上截取AN′=CN ，连接ON′，OC ，OA ，根据等边三角形的性质和线段垂直平分线得出∠OCN=∠OAN′，OC=OA ，证△OCN ≌△OAN′推出ON=ON′，∠CON=∠AON′，求出∠NOM=∠MON′，根据SAS 证△MON ≌△MON′，推出MN=MN′，即可求出答案；（2）延长CA 到N′，使AN′=CN ，连接OC ，OA ，ON′，证△OCN ≌△OAN′推出ON=ON′，∠CON=∠AON′，求出∠NOM=∠MON′，根据SAS 证△MON ≌△MON′，推出MN=MN′，即可求出答案.【详解】（1）在AM 上截取AN′=CN ，连接ON′，OC ，OA ，∵O 是边AC 和BC 垂直平分线的交点，△ABC 是等边三角形，∴OC=OA ，由三线合一定理得：∠OCB=∠OCA=∠OAC=30°，∠AOC=180°-30°-30°=120°，∴∠OCN=∠OAN′=30°，∵在△OCN 和△OAN′中OC OA NCO OAN AN CN ⎧⎪∠∠'⎨⎪'⎩＝＝＝，∴△OCN ≌△OAN′（SAS ），∴ON=ON′，∠CON=∠AON′∴∠N′ON=∠COA=120°，又∵∠MON=60°，∴∠MON=∠MON′=60°∵在△NOM 和△N′OM 中ON ON NOM N OM OM OM '⎧⎪∠∠'⎨⎪⎩＝＝＝，∴△NOM ≌△N′OM ，∴MN=MN′，∵MN′=AM-AN′=AM-CN ，∴MN=AM-CN ．即AM CN MN =+；（2）延长CA 到N′，使AN′=CN ，连接OC ，OA ，ON′，∵O 是边AC 和BC 垂直平分线的交点，△ABC 是等边三角形，∴OC=OA ，由三线合一定理得：∠OCA=∠OAB=30°，∠AOC=180°-30°-30°=120°，∴∠OCN=∠OAN′，∵在△OCN 和△OAN′中OA OC OCN OAN CN AN ⎧⎪∠∠'⎨⎪'⎩＝＝＝，∴△OCN ≌△OAN′（SAS ），∴ON′=ON ，∠CON=∠AON′，∵∠COA=120°，∠NOM=60°，∴∠CON+∠AOM=60°，∴∠AON′+∠AOM=60°，即∠NOM=∠N′OM ，∵在△NOM 和△N′OM 中ON ON NOM N OM OM OM '⎧⎪∠∠'⎨⎪⎩＝＝＝，∴△NOM ≌△N′OM ，∴MN=MN′，∵MN′=AM+AN′=AM+CN ，∴MN=AM+CN ．【点拨】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的性质和判定，主要考查学生的推理能力和猜想能力，题目具有一定的代表性，证明过程类似．7．（1）AM BN MN +=；证明见解析；（2）AM BN MN +=；证明见解析；（3）补图见解析；BN AM MN -=；证明见解析．【分析】（1）延长CB 到E ，使BE=AM ，证△DAM ≌△DBE ，推出∠BDE=∠MDA ，DM=DE ，证△MDN ≌△EDN ，推出MN=NE 即可；（2）延长CB 到E ，使BE=AM ，证△DAM ≌△DBE ，推出∠BDE=∠MDA ，DM=DE ，证△MDN ≌△EDN ，推出MN=NE 即可；（3）在CB 截取BE=AM ，连接DE ，证△DAM ≌△DBE ，推出∠BDE=∠MDA ，DM=DE ，证△MDN ≌△EDN ，推出MN=NE 即可．【详解】（1）AM BN MN +=．证明如下：如图，延长CB 到E ，使BE AM =，连接DE ．90A CBD ∠=∠=︒ ，90A EBD ∴∠=∠=︒．ADC BDC ≌，AD BD ∴=．在DAM △和DBE 中，AM BE A DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAM DBE SAS ∴ ≌，BDE MDA ∴∠=∠，DM DE =．MDN ADC BDC ∠=∠=∠ ，ADM NDC BDE ∴∠=∠=∠，MDC NDB ∠=∠，MDN NDE ∴∠=∠．在MDN △和EDN △中，DM DE MDN EDN DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MDN EDN SAS ∴△≌△，MN NE ∴=．NE BE BN AM BN =+=+ ，AM BN MN ∴+=；（2）AM BN MN +=．证明如下：如图，延长CB 到E ，使BE AM =，连接DE ．90A CBD ∠=∠=︒ ，90A DBE ∴∠=∠=︒．ADC BDC ≌，AD BD ∴=，ADC CDB ∠=∠．在DAM △和DBE 中，AM BEA DBE AD BD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAM DBE SAS ∴ ≌，BDE MDA ∴∠=∠，DM DE =．90MDN ACD ∠+∠=︒ ，90ACD ADC ∠+∠=︒，ADC CDB ∠=∠，NDM ADC CDB ∴∠=∠=∠，ADM CDN BDE ∴∠=∠=∠，CDM NDB ∠=∠，MDN NDE ∴∠=∠．在MDN △和EDN △中，DM DEMDN EDN DN DN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MDN EDN SAS ∴△≌△，MN NE ∴=．NE BE BN AM BN =+=+ ，AM BN MN ∴+=；（3）补充完成题图，如图所示．BN AM MN -=．证明如下：如上图，在CB 上截取BE=AM ，连接DE ．90CDA ACD ∠+∠=︒ ，90MDN ACD ∠+∠=︒，MDN CDA ∴∠=∠，MDA CDN ∴∠=∠．90B CAD ∠=∠=︒ ，90B DAM ∴∠=∠=︒．在DAM △和DBE 中，AM BE DAM DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAM DBE SAS ∴ ≌，BDE ADM CDN ∴∠=∠=∠，DM DE =．ADC BDC MDN ∠=∠=∠ ，ADN CDE ∴∠=∠，MDN EDN ∴∠=∠．在MDN △和EDN △中，DM DE MDN EDN DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MDN EDN SAS ∴△≌△，MN NE ∴=．NE BN BE BN AM =-=- ，BN AM MN ∴-=．【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．8．（1）2；（2）4【分析】（1）根据题意可直接求等腰直角三角形EAC 的面积即可；（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，由（1）易证FGH FNK ≌，则有FK=FH ，因为HM=GH+MN 易证FMK FMH ≌，故可求解．【详解】（1）由题意知21=22ABC ADC ABC ABE AEC ABCD AC S S S S S S =+=+== 四边形，故答案为2；（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，如图所示：FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，∴∠FNK=∠FGH=90°，∴FGH FNK ≌，∴FH=FK ，又 FM=FM ，HM=KM=MN+GH=MN+NK ，∴FMK FMH ≌，∴MK=FN=2cm ，∴12=242FGH HFM MFN FMK FGHMN S S S S S MK FN =++=⨯⋅= 五边形．【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定，关键是根据截长补短法及割补法求面积的运用．9．（1）∠AFC ＝120°；（2）FE 与FD 之间的数量关系为：DF ＝EF ．理由见解析；（3）AC ＝AE+CD ．理由见解析．【分析】（1）根据三角形的内角和性质只要求出∠FAC ，∠ACF 即可解决问题;（2）根据在图2的AC 上截取CG=CD ，证得△CFG ≌△CFD (SAS),得出DF=GF ；再根据ASA 证明△AFG ≌△AFE ，得EF=FG ，故得出EF=FD ；（3）根据(2)的证明方法，在图3的AC 上截取AG=AE ，证得△EAF ≌△GAF (SAS)得出∠EFA=∠GFA ；再根据ASA 证明△FDC ≌△FGC ，得CD=CG 即可解决问题．【详解】（1）解：∵∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，∴∠BAC ＝90°﹣60°＝30°，∵AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，∴∠FAC ＝15°，∠FCA ＝45°，∴∠AFC ＝180°﹣（∠FAC+∠ACF ）＝120°（2）解：FE 与FD 之间的数量关系为：DF ＝EF ．理由：如图2，在AC 上截取CG ＝CD，∵CE 是∠BCA 的平分线，∴∠DCF ＝∠GCF ，在△CFG 和△CFD 中，CG CD DCF GCF CF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CFG ≌△CFD （SAS ），∴DF ＝GF ．∠CFD ＝∠CFG由（1）∠AFC ＝120°得，∴∠CFD ＝∠CFG ＝∠AFE ＝60°，∴∠AFG ＝60°，又∵∠AFE ＝∠CFD ＝60°，∴∠AFE ＝∠AFG ，在△AFG 和△AFE 中，AFE AFG AF AF EAF GAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AFG ≌△AFE （ASA ），∴EF ＝GF ，∴DF ＝EF ；（3）结论：AC ＝AE+CD ．理由：如图3，在AC 上截取AG ＝AE ，同（2）可得，△EAF ≌△GAF （SAS ），∴∠EFA ＝∠GFA ，AG ＝AE∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°∴∠AFC ＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-12(∠BAC+∠BCA)=180°-12×120°=120°，∴∠EFA ＝∠GFA ＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC ，∴∠CFG ＝∠CFD ＝60°，同（2）可得，△FDC ≌△FGC （ASA ），∴CD ＝CG ，∴AC ＝AG+CG ＝AE+CD ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定和性质是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形．10．（1）见解析；（2）HFC BFA ∠=∠，证明见解析；（3）BP AF PF =+，证明见解析【分析】（1）利用SAS 证明ABE ACD ≅ 可得结论；（2）设ABE ACD x ∠=∠=，推出=45BFA x ∠︒+，=45HFC x ∠︒+，即可证明HFC BFA ∠=∠；（3）过点C 作CM AC ⊥交AF 延长线于点M ，延长FP 交AC 于点N ，证明△ABE ≌△CAM ，得出BE AM =和M BEA ∠=∠，从而证明△NFC ≌△MFC ，得到FM FN =和M FNC ∠=∠，可得PN=PE ，从而得出BP=AF+PF.【详解】解：（1）∵在△ABE 和△ACD 中，==AB AC A A AE AD ⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩，ABE ACD ∴∆≅∆（SAS ），ABE ACD ∴∠=∠；（2）设ABE ACD x ∠=∠=，AF BE ⊥ ，90BAF x ∴∠=︒-，()=9045=45BFA x x ∴∠︒-︒-︒+，ACD x ∠= ，45HCF x ∴∠=︒-，FP CD ⊥ ，()9045=45HFC x x ∴∠=︒-︒-︒+，HFC BFA ∴∠=∠；（3）过点C 作CM AC ⊥交AF 延长线于点M ，延长FP 交AC 于点N ，90BAF FAC ∠+∠=︒ ，90BAF ABG ∠+∠=︒，FAC ABG ∴∠=∠，在△ABE 和△CAM 中，===BAE ACM AB AC ABE CAM ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩，ABE CAM ∴∆≅∆（ASA ），BE AM ∴=，M BEA ∠=∠，BFA MFC NFC ∠=∠=∠ ，FC FC =，45ACB BCM ∠=∠=︒，NFC MFC ∴∆≅∆（ASA ），FM FN ∴=，M FNC ∠=∠，FNC BEA ∴∠=∠，PN PE ∴=，∴BP BE PE AM PE AF FM PE =-=-=+-AF FN PN AF PF =+-=+.【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及等角对等边等知识点，解题的关键是根据截长补短法添加适当的辅助线，构造全等三角形证明结论，有一定难度.11．（1）方法1：证明见解析；方法2：证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）方法1：先根据角平分线的定义、平行线的性质得出BAF DAE F ∠=∠=∠，再根据等腰三角形的性质可得AB BF =，根据三角形全等的判定定理与性质得出AD FC =，然后根据线段的和差即可得证；方法2：先根据角平分线的定义得出DAE GAE ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质可得,DE GE D AGE =∠=∠，然后根据线段中点的定义、等腰三角形的性质可得ECG EGC ∠=∠，最后根据平行线的性质、平角的定义可得BCG BGC ∠=∠，由等腰三角形的定义可得BG BC =，由此根据线段的和差即可得证；（2）如图（见解析），参照方法1构造辅助线，先根据等腰三角形的性质得出EF 平分AFG ∠，从而有12EFC AFG ∠=∠，再根据平行线的性质、角的和差得出60EFC BFC ∠=∠=︒，ECF BCF ∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证．【详解】（1）方法1：如图②，延长AE 、BC 交于点FAE ∵是BAD ∠的平分线BAF DAE∴∠=∠//AD BCDAE F∴∠=∠BAF F∴∠=∠AB BF FC BC ∴==+E 是边CD 的中点DE CE∴=在ADE 和FCE △中，DAE F AED FEC DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE FCE AAS ∴≅ AD FC∴=AB FC BC AD BC ∴=+=+；方法2：如图③，在AB 上取一点G ，使AG AD =，连接EG 、CGAE ∵是BAD ∠的平分线DAE GAE∴∠=∠在ADE 和AGE 中，AD AG DAE GAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE AGE SAS ∴≅ ,DE GE D AGE∴=∠=∠ E 是边CD 的中点DE CE∴=CE GE∴=ECG EGC∴∠=∠//AD BC180D BCD ︒∴∠+∠=，即180D ECG BCG ∠+∠+∠=︒180AGE EGC BCG ∴∠+∠+∠=︒，即180AGC BCG ∠+∠=︒又180AGC BGC ∠+∠=︒BCG BGC∴∠=∠BG BC∴=AB AG BG AD BC ∴=+=+；（2）如图，过点C 作//CG AD ，交AE 延长线于点G ，延长GC 交AB 于点F ，连接EF 由方法1可知：,AF GF AE GE==AFG ∴ 是等腰三角形EF ∴平分AFG ∠12EFC AFG ∴∠=∠//CG AD ，60BAD ∠=︒60,180120BFC BAD AFG BAD ∴∠=∠=︒∠=︒-∠=︒60EFC ∴∠=︒//CG AD180D ECF ∴∠+∠=︒11802D BCD ︒∠+∠= ，即1()1802D ECF BCF ∠+∠+∠=︒1()2ECF ECF BCF ∴∠=∠+∠ECF BCF∴∠=∠在ECF △和BCF △中，60EFC BFC CF CF ECF BCF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ECF BCF ASA ∴≅ CB CE ∴=．【点拨】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2），参照方法1，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．12．（1）60°；（2）EF=AF+FC ，证明见解析；（3）AF=EF+2DF ，证明见解析．【分析】（1）可设∠BAD ＝∠CAD ＝α，∠AEC ＝∠ACE ＝β，在△ACE 中，根据三角形内角和可得2α＋60＋2β＝180°，从而有α＋β＝60°，即可得出∠DFC 的度数；（2）在EC 上截取EG ＝CF ，连接AG ，证明△AEG ≌△ACF ，然后再证明△AFG 为等边三角形，从而可得出EF ＝EG ＋GF ＝AF ＋FC ；（3）在AF 上截取AG ＝EF ，连接BG ，BF ，证明方法类似（2），先证明△ABG ≌△EBF ，再证明△BFG为等边三角形，最后可得出结论．【详解】解：（1）∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴可设∠BAD＝∠CAD＝α，又△ABE为等边三角形，∴AE=AB=AC，∠EAB=60°，∴可设∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，2α＋60°＋2β＝180°，∴α＋β＝60°，∴∠DFC=α＋β＝60°；（2）EF=AF+FC，证明如下：∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠FDC=90°，∵∠CFD＝60°，则∠DCF=30°，∴CF＝2DF，在EC上截取EG＝CF，连接AG，又AE=AC，∴∠AEG=∠ACF，∴△AEG≌△ACF（SAS）,∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF，又∠CAF=∠BAD，∴∠EAG=∠BAD，∴∠GAF＝∠BAD+∠BAG=∠EAG+∠BAG=∠60°，∴△AFG为等边三角形，∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC，即EF=AF+FC；（3）补全图形如图所示，结论：AF=EF+2DF ．证明如下：同（1）可设∠BAD ＝∠CAD ＝α，∠ACE ＝∠AEC ＝β，∴∠CAE ＝180°－2β，∴∠BAE ＝2α＋180°－2β＝60°，∴β－α＝60°，∴∠AFC=β－α＝60°，又△ABE 为等边三角形，∴∠ABE=∠AFC=60°，∴由8字图可得：∠BAD ＝∠BEF ，在AF 上截取AG ＝EF ，连接BG ，BF ，又AB=BE ，∴△ABG ≌△EBF （SAS ），∴BG ＝BF ，又AF 垂直平分BC ，∴BF=CF ，∴∠BFA=∠AFC=60°，∴△BFG 为等边三角形，∴BG=BF ，又BC ⊥FG ，∴FG=BF=2DF ，∴AF ＝AG ＋GF ＝BF ＋EF ＝2DF ＋EF ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是常用辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．13．（1）90A ∠=︒；（2）见解析；（3）4【分析】（1）设.DBC x ∠=推出2ABC x ∠=，3ABC ACB ACD x ∠=∠=∠=，5D x ∠=，利用三角形内角和定理构建方程求出x 即可；（2）先依据ASA 证明BEA CDA △≌△，再依据全等三角形的性质得到AE AD =，结合AE AD ⊥，依据三角形内角和求出45AED ∠=︒,再依据三角形外角的性质及等式的基本性质即可求证；（3）根据直角三角形的面积公式求出AB ，延长AG 至K ，使GK AG =，连接CK ，先依据SAS 证明AEG KCG △≌△，结合等量代换得到AE KC AD ==，ACK BAD ∠=∠，再依据SAS 证明AKC BDA △≌△，依据全等的性质求得CAG ABD ∠=∠215=⨯︒30=︒，从而得到60BAF ∠=︒，继而得到90AFB ∠=︒，最后依据直角三角形30度角的性质解决问题．【详解】()1解：如图1中，设DBC x ∠=．2ABD DBC ∠=∠ ，AB AC =，2ABD x ∴∠=，3ABD ACB x ∠=∠=，AC 平分BCD ∠，3ACD ACB x ∴∠=∠=，26DCB ACB x ∠=∠=,5D ABD ACD x ∠=+∠= ，又∵在BCD ∆中，180D DBC DCB ∠+∠+∠=︒，56180x x x ∴++=︒，15x ∴=︒，45ABC ACB ∴∠=∠=︒，30ABD ∠=︒，180454590A ∴∠=︒-︒-︒=︒；（2）AE AD ⊥ ,90EAD ∴∠=︒,90BAC EAD ∠=∠=︒ ,BAC EAC EAD EAC ∴∠-∠=∠-∠,BAE CAD ∴∠=∠,=345ABE x ACD ∠=︒=∠ ，AB AC=()BEA CDA ASA ∴△≌△AE AD ∴=，又∵90EAD ∠=︒,∴45AED ADE ∠=∠=︒又AEC ABE BAE AED DEC ∠=∠+∠=∠+∠ ，DEC BAE ∴∠=∠；（3）延长AG 至K ，使GK AG =，连接CK点G 为CE 的中点，EG CG ∴=，AGE KGC ∠=∠ ，()AEG KCG SAS ∴△≌△，AE KC ∴=，AEG KCG ∠=∠，AE KC AD ∴==，45ACK ACB KCG AEC∠=∠+∠=︒+∠4590ABE BAE BAE BAD=︒+∠+∠=︒+∠=∠AB AC= ()AKC BDA SAS ∴△≌△21530CAG ABD ∠=∠=⨯︒=︒60BAF ∴∠=︒90AFB ∴∠=︒32ABC S = 211=3222AB AC AB ∴⨯=8AB ∴=142AF AB ∴==．【点拨】本题属于三角形综合题，考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的判定和性质，含30度的直角三角形的性质，第（1）问的关键在于设未知数，列方程；第（2）问的关键得到了等腰直角三角形和利用三角形的外角性质建立起了两个待证量之间的等式；第（3）问的关键在于作辅助线证明了30CAG ∠=︒.14．2AB AD BE =+，证明见解析【分析】在AB 上截取EF ，使EF=BE ，联结CF ．证明()BCE ECF SAS ≌，得到 B BFC ∠=∠，又证明 AFC ADC ≌，得到 AF AD =，最后结论可证了．【详解】证明:在AB 上截取EF ，使EF=BE ，联结CF．CE AB⊥ 90BEC FEC ∴∠=∠=︒在BCE 和ECF△BE EFBEC FEC CE CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BCE ECF SAS ∴ ≌ B BFC∴∠=∠180B D ∠+∠=︒180BFC AFC ∠+∠=︒又D AFC∴∠=∠ AC 平分∠BADFAC DAC∴∠=∠在AFC △和ADC 中AFC D FAC DAC AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AFC ADC AAS ∴ ≌ AF AD∴= AB AF BE EF=++ 2AB AD BE∴=+【点拨】本题考查三角形全等知识的综合应用，关键在于寻找全等的条件，作适当的辅助线加以证明．15．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）在EF 上截取EH BE =，由“SAS ”可证ACF AHF ∆≅∆，可得CF HF =，可得结论；（2）在BE 的延长线上截取EN BE =，连接AN ，由“SAS ”可证ACF ANF ∆≅∆，可得CF NF =，可得结论．【详解】解：证明：（1）如图，在EF 上截取EH BE =，连接AH，EB EH = ，AE BF ⊥，AB AH ∴=，AB AH = ，AE BH ⊥，BAE EAH ∴∠=∠，AB AC = ，AC AH ∴=，12EAF BAC ∠==∠ BAE CAF EAF ∴∠+∠=∠，BAE CAF EAH FAH ∴∠+∠=∠+∠，CAF HAF ∴∠=∠，在ACF ∆和AHF ∆中，AC AH CAF HAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACF AHF SAS ∴∆≅∆，CF HF ∴=，EF EH HF BE CF ∴=+=+；（2）如图，在BE 的延长线上截取EN BE =，连接AN，AE BF ⊥ ，BE EN =，AB AC =，AN AB AC ∴==，AN AB = ，AE BN ⊥，BAE NAE ∴∠=∠，12EAF BAC ∠==∠ 1(2)2EAF NAE BAC NAE ∴∠+∠=∠+∠12FAN CAN ∴∠=∠，FAN CAF ∴∠=∠，在ACF ∆和ANF ∆中，AC AN CAF NAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACF ANF SAS ∴∆≅∆，CF NF ∴=，2CF BF BE ∴=+．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．16．（1）见详解；（2）108°；（3）见详解【分析】（1）如图1，过D 作DM ⊥AB 于M ，由CA ＝CB ，90ACB =︒，得ABC 是等腰直角三角形，根据角平分线的性质得到CD ＝MD ，∠ABC ＝45°，根据全等三角形的性质得到AC ＝AM ，于是得到结论；（2）如图2，设∠ACB ＝α，则∠CAB ＝∠CBA ＝90°−12α，在AB 上截取AK ＝AC ，连结DK ，根据角平分线的定义得到∠CAD ＝∠KAD ，根据全等三角形的性质得到∠ACD ＝∠AKD ＝α，根据三角形的内角和即可得到结论；（3）如图3，在AB 上截取AH ＝AD ，连接DH ，根据等腰三角形的性质得到∠CAB ＝∠CBA ＝40°，根据角平分线的定义得到∠HAD ＝∠CAD ＝20°，求得∠ADH ＝∠AHD ＝80°，在AB 上截取AK ＝AC ，连接DK ，根据全等三角形的性质得到∠ACB ＝∠AKD ＝100°，CD ＝DK ，根据等腰三角形的性质得到DH ＝BH ，于是得到结论．【详解】（1）如图1，过D 作DM ⊥AB 于M，∴在ABC 中，AC BC =，∴∠ABC ＝45°，∵∠ACB ＝90°，AD 是角平分线，∴CD ＝MD ，∴∠BDM ＝∠ABC ＝45°，∴BM ＝DM ，∴BM ＝CD ，在RT △ADC 和RT △ADM 中，CD MD AD AD ⎧⎨⎩＝＝，∴RT △ADC ≌RT △ADM （HL ），∴AC ＝AM ，∴AB ＝AM ＋BM ＝AC ＋CD ，即AB ＝AC ＋CD ；（2）设∠ACB ＝α，则∠CAB ＝∠CBA ＝90°−12α，在AB 上截取AK ＝AC ，连结DK ，如图2，∵AB ＝AC ＋BD ，AB=AK+BK∴BK ＝BD ，∵AD 是角平分线，∴∠CAD ＝∠KAD ，在△CAD 和△KAD 中，AC AK CAD KAD AD AD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△CAD ≌△KAD （SAS ），∴∠ACD ＝∠AKD ＝α，∴∠BKD ＝180°−α，∵BK ＝BD ，∴∠BDK ＝180°−α，∴在△BDK 中，180°−α＋180°−α＋90°−12α＝180°，∴α＝108°，∴∠ACB ＝108°；（3）如图3，在AB 上截取AH ＝AD ，连接DH ，∵∠ACB ＝100°，AC ＝BC ，∴∠CAB ＝∠CBA ＝40°，∵AD 是角平分线，∴∠HAD ＝∠CAD ＝20°，∴∠ADH ＝∠AHD ＝80°，在AB 上截取AK ＝AC ，连接DK ，由（1）得，△CAD ≌△KAD ，∴∠ACB ＝∠AKD ＝100°，CD ＝DK ，∴∠DKH ＝80°＝∠DHK ，∴DK ＝DH ＝CD ，∵∠CBA ＝40°，∴∠BDH ＝∠DHK -∠CBA =40°，∴DH ＝BH ，∴BH ＝CD ，∵AB ＝AH ＋BH ，∴AB ＝AD ＋CD ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键．17．（1）AB CD BC +=，见解析；（2）成立，见解析【分析】（1）先写出数量关系，过E 作EF BC ⊥于F ，然后证明CDE CFE ∆≅∆和ABE FBE ≅∆∆，便可得结论了．（2）成立,在BC 上截取CF CD =证明CDE CFE ∆≅∆和ABE FBE ≅∆∆，便可得到结论．【详解】()1AB CD BC+=理由是：过E 作EF BC ⊥于FCE 为角平分线DCE FCE∴∠=∠//AB DC AB AD⊥ ，90D ∴∠=EF BC⊥ D CFE∴∠=∠CE CE= ()CDE CFE AAS ∆≅∆CD CF∴=同理可证()ABE FBE AAS ∆≅∆AB BF∴=CF BF AB+=AB CD BC∴+=()2成立理由：在BC 上截取CF CD=CE 为角平分线DCE FCE∴∠=∠CE CE= ()CDE CFE SAS ∆≅∆CD CF∴=D CFE∠=∠ //AB DC 180D A ∴∠+∠=又180CFE EFB ∠+=A EFB∴∠=∠又BE 是角平分线ABE FBE∴∠=∠BE BE= ()BAE BFE AAS ∆≅∆AB FB∴=∴CF BF AB+=AB CD BC∴+=18．（1）7DC =；（2）见解析；（3）1902PBQ ADC ∠=︒+∠，证明见解析【分析】（1）根据已知条件得出BDC 为直角三角形，再根据HL 证出△≌△Rt BAD Rt BCD ，从而证出AD CD =即可得出结论；（2）如图2，延长DC 到K ，使得CK=AP ，连接BK ，通过证△BPA ≌△BCK （SAS ）得到：∠1=∠2，BP=BK ．然后根据SSS 证明得≌PBQ BKQ ，从而得出21PBQ CBQ CBQ ∠=∠+∠=∠+∠，然后得出结论；。

人教版初二数学全全等三角形截长补短专项训练检测

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人教版初二数学全全等三角形截长补短专项训练检测一、全等三角形截长补短1．数学课上，小白遇到这样一个问题：如图1，在等腰Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD AE =，求证ABE ACD ∠=∠；在此问题的基础上，老师补充：过点A 作AF BE ⊥于点G 交BC 于点F ，过F 作FP CD ⊥交BE 于点P ，交CD 于点H ，试探究线段BP ，FP ，AF 之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，AFB ∠与HFC ∠有某种数量关系；小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即“截长补短”，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：（1）求证ABE ACD ∠=∠；（2）猜想AFB ∠与HFC ∠的数量关系，并证明；（3）探究线段BP ，FP ，AF 之间的数量关系，并证明．2．如图1，在ABC 中，AB AC =，AC 平分BCD ∠，连接BD ，2ABD CBD ∠=∠，BDC ABD ACD ∠=∠+∠．（1）求A ∠的度数：（2）如图2，连接AD ，AE AD ⊥交BC 于E ，连接DE ，求证：DEC BAE ∠=∠； （3）如图3，在（2）的条件下，点G 为CE 的中点，连接AG 交BD 于点F ，若32ABC S =△，求线段AF 的长．3．阅读题：如图1，OM 平分AOB ∠，以O 为圆心任意长为半径画弧，交射线OA ，OB 于C ，D 两点，在射线OM 上任取一点E （点O 除外），连接CE ，DE ，可证OCE ODE △△≌，请你参考这个作全等的方法，解答下列问题：（1）如图2，在ABC 中，2A B ∠=∠，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，试判断BC 与AC 、AD 之间的数量关系；（2）如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，20AB =，8AD =，求ABC 的面积．4．已知，90POQ ∠=，分别在边OP ，OQ 上取点A ，B ，使OA OB =，过点A 平行于OQ 的直线与过点B 平行于OP 的直线相交于点C ．点E ，F 分别是射线OP ，OQ 上动点，连接CE ，CF ，EF ．（1）求证：OA OB AC BC ===；（2）如图1，当点E ，F 分别在线段AO ，BO 上，且45ECF ∠=时，请求出线段EF ，AE ，BF 之间的等量关系式；（3）如图2，当点E ，F 分别在AO ，BO 的延长线上，且135ECF ∠=时，延长AC 交EF 于点M ，延长BC 交EF 于点N ．请猜想线段EN ，NM ，FM 之间的等量关系，并证明你的结论．5．在ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，点E 在直线BC 上(,B C 除外)，分别经过点E 和点B 作AE 和AB 的垂线，两条垂线交于点F ，研究AE 和EF 的数量关系． （1）某数学兴趣小组在探究,AE EF 的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点E 是BC 的中点时，只需要取AC 边的中点G (如图1)，通过推理证明就可以得到AE 和EF 的数量关系，请你按照这种思路直接写出AE 和EF 的数量关系；（2）那么当点E 是直线BC 上(,B C 除外)(其它条件不变)，上面得到的结论是否仍然成立呢？请你从“点E 在线段BC 上”，“点E 在线段BC 的延长线”，“点E 在线段BC 的反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论；（3）当点E 在线段CB 的延长线上时，若BE nBC =(01n <<)，请直接写出:ABC AEF S S △△的值．6．如图，四边形ABCD 为矩形，F 为对角线BD 上一点，过点F 作FE BD ⊥交AD 于点H ，交BA 的延长线于点E ，连接AF ，当FD FE =时，求证：2AH AB AF +=．7．已知等腰ABC ∆中，AB AC =，点D 在直线AB 上，//DE BC ，交直线AC 于点E ，且BD BC =，CH AB ⊥，垂足为H ．（1）当点D 在线段AB 上时，如图1，求证BH DE DH +=；（2）当点D 在线段BA 的延长线上时，如图2；当点D 在线段AB 延长线时，如图3，线段BH ，DE ，DH 又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要证明． 8．如图，在等边△ABC 中，BD ＝CE ，连接AD 、BE 交于点F ．（1）求∠AFE 的度数；（2）求证：AC•DF ＝BD•BF ；（3）连接FC ，若CF ⊥AD 时，求证：BD ＝12DC ．9．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ．点E 是线段DO 上一点，连接CE ．点F 是∠OCE 的平分线上一点，且BF ⊥CF 与CO 相交于点M ，点G 是线段CE 上一点，且CO=CG ．（1）若OF=4，求FG 的长；（2）求证：BF=OG+CF ．10．已知平行四边形ABCD 中，N 是边BC 上一点，延长DN 、AB 交于点Q ，过A 作AM ⊥DN 于点M ，连接AN ，则AD ⊥AN ．（1）如图①，若tan ∠ADM ＝34，MN ＝3，求BC 的长； （2）如图②，过点B 作BH ∥DQ 交AN 于点H ，若AM ＝CN ，求证：DM ＝BH +NH ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）见解析；（2）HFC BFA ∠=∠，证明见解析；（3）BP AF PF =+，证明见解析【分析】（1）利用SAS 证明ABE ACD ≅可得结论；（2）设ABE ACD x ∠=∠=，推出=45BFA x ∠︒+，=45HFC x ∠︒+，即可证明HFC BFA ∠=∠；（3）过点C 作CM AC ⊥交AF 延长线于点M ，延长FP 交AC 于点N ，证明△ABE ≌△CAM ，得出BE AM =和M BEA ∠=∠，从而证明△NFC ≌△MFC ，得到FM FN =和M FNC ∠=∠，可得PN=PE ，从而得出BP=AF+PF.【详解】解：（1）∵在△ABE 和△ACD 中，==AB AC A A AE AD ⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩，ABE ACD ∴∆≅∆（SAS ），ABE ACD ∴∠=∠；（2）设ABE ACD x ∠=∠=，AF BE ⊥，90BAF x ∴∠=︒-，()=9045=45BFA x x ∴∠︒-︒-︒+，ACD x ∠=，45HCF x ∴∠=︒-，FP CD ⊥，()9045=45HFC x x ∴∠=︒-︒-︒+，HFC BFA ∴∠=∠；（3）过点C 作CM AC ⊥交AF 延长线于点M ，延长FP 交AC 于点N ，90BAF FAC ∠+∠=︒，90BAF ABG ∠+∠=︒，FAC ABG ∴∠=∠，在△ABE 和△CAM 中，===BAE ACM AB AC ABE CAM ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩， ABE CAM ∴∆≅∆（ASA ），BE AM ∴=，M BEA ∠=∠，BFA MFC NFC ∠=∠=∠，FC FC =，45ACB BCM ∠=∠=︒，NFC MFC ∴∆≅∆（ASA ），FM FN ∴=，M FNC ∠=∠，FNC BEA ∴∠=∠，PN PE ∴=，∴BP BE PE AM PE AF FM PE =-=-=+-AF FN PN AF PF =+-=+.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及等角对等边等知识点，解题的关键是根据截长补短法添加适当的辅助线，构造全等三角形证明结论，有一定难度. 2．（1）90A ∠=︒；（2）见解析；（3）4【分析】（1）设.DBC x ∠=推出2ABC x ∠=，3ABC ACB ACD x ∠=∠=∠=，5D x ∠=，利用三角形内角和定理构建方程求出x 即可；（2）先依据ASA 证明BEA CDA △≌△，再依据全等三角形的性质得到AE AD =，结合AE AD ⊥，依据三角形内角和求出45AED ∠=︒,再依据三角形外角的性质及等式的基本性质即可求证；（3）根据直角三角形的面积公式求出AB ，延长AG 至K ，使GK AG =，连接CK ，先依据SAS 证明AEG KCG △≌△，结合等量代换得到AE KC AD ==，ACK BAD ∠=∠，再依据SAS 证明AKC BDA △≌△，依据全等的性质求得CAG ABD ∠=∠215=⨯︒30=︒，从而得到60BAF ∠=︒，继而得到90AFB ∠=︒，最后依据直角三角形30度角的性质解决问题．【详解】()1解：如图1中，设DBC x ∠=．2ABD DBC ∠=∠，AB AC =，2ABD x ∴∠=，3ABD ACB x ∠=∠=， AC 平分BCD ∠，3ACD ACB x ∴∠=∠=，26DCB ACB x ∠=∠=,5D ABD ACD x ∠=+∠=，又∵在BCD ∆中，180D DBC DCB ∠+∠+∠=︒，56180x x x ∴++=︒，15x ∴=︒，45ABC ACB ∴∠=∠=︒，30ABD ∠=︒，180454590A ∴∠=︒-︒-︒=︒；（2）AE AD ⊥,90EAD ∴∠=︒,90BAC EAD ∠=∠=︒,BAC EAC EAD EAC ∴∠-∠=∠-∠,BAE CAD ∴∠=∠,=345ABE x ACD ∠=︒=∠，AB AC =()BEA CDA ASA ∴△≌△AE AD ∴=，又∵90EAD ∠=︒,∴45AED ADE ∠=∠=︒又AEC ABE BAE AED DEC ∠=∠+∠=∠+∠，DEC BAE ∴∠=∠；（3）延长AG 至K ，使GK AG =，连接CK点G 为CE 的中点，EG CG ∴=，AGE KGC ∠=∠，()AEG KCG SAS ∴△≌△，AE KC ∴=，AEG KCG ∠=∠，AE KC AD ∴==，45ACK ACB KCG AEC ∠=∠+∠=︒+∠4590ABE BAE BAE BAD =︒+∠+∠=︒+∠=∠AB AC =()AKC BDA SAS ∴△≌△21530CAG ABD ∠=∠=⨯︒=︒60BAF ∴∠=︒90AFB ∴∠=︒32ABC S =211=3222AB AC AB ∴⨯= 8AB ∴=142AF AB ∴==． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的判定和性质，含30度的直角三角形的性质，第（1）问的关键在于设未知数，列方程；第（2）问的关键得到了等腰直角三角形和利用三角形的外角性质建立起了两个待证量之间的等式；第（3）问的关键在于作辅助线证明了30CAG ∠=︒.3．（1）BC=AC+AD ；（2）△ABC 的面积为80．【分析】（1）在CB 上截取CE=CA ，则由题意可得AD=DE ，∠CED=∠A ，再结合∠A=2∠B 可得DE=BE ，从而得到BC=AD+AC ；（2）在AB 上截取AE=AD ，连结CE ，过C 作CF ⊥AB 于F 点，由题意可得EC=BC ，从而得到EF 的长度，再由勾股定理根据EC 、EF 的长度求得CF 的长度，最后根据面积公式可以得到解答 ．【详解】解：（1）如图，在CB 上截取CE=CA ，则由题意得：△CAD ≌△CED ，∴AD=DE ，∠CED=∠A ，∵∠A=2∠B ，∴∠CED=2∠B ，又∠CED=∠B+∠EDB ，∴∠B+∠EDB=2∠B ，∴∠EDB=∠B ，∴DE=BE ，∴BC=BE+CE=DE+CE=AD+AC ；（2）如图，在AB 上截取AE=AD ，连结CE ，过C 作CF ⊥AB 于F 点，∴由题意可得：△CDA ≌△CEA ，∴EC=CD=BC=10，AE=AD=8，∵CF ⊥AB ，∴EF=FB=208622AB AE --==，∴8CF ==， ∴112088022ABC S AB CF =⨯=⨯⨯=． 【点睛】本题考查三角形全等的综合运用，熟练掌握三角形全等的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理是解题关键．4．（1）见解析；（2）EFAE BF =+；（3）222MN EN FM =+，见解析 【分析】（1）连接AB ,通过90POQ ∠=，OA OB =得到AOB 为等腰直角三角形，进而得到45OAB OBA ∠=∠=，根据过点A 平行于OQ 的直线与过点B 平行于OP 的直线相交于点C ，可推出45CBA ∠=，45BAC ∠=，最后通过证明AOB ≌ACB △，可以得出结论；（2）在射线AP 上取点D ，使AD BF =，连接CD ，通过证明CAD ≌CBF ，得到CD CF =，ACD BCF ∠=∠，再结合45ECF ∠=，90ACB ∠=推导证明ECD ≌ECF △，得到ED EF =，最后等量代换线段即可求解；（3）延长AO 到点D ，使得AD BF =，连接CD ，通过证明CAD ≌CBF ，得到CD CF =，ACD BCF ∠=∠，再结合135ECF ∠=，推导证明ECD ≌ECF △，得到D CFM ∠=∠，根据D CFB ∠=∠，等量代换可知CFM CFB ∠=∠，又因为//AC OQ ，推出MCF CFB ∠=∠，进而得到MC MF =，同理可证CN EN =，最后根据勾股定理即可求解．【详解】解：（1）证明：连接AB ．90POQ ∠=，OA OB =，∴AOB 为等腰直角三角形，∴45OAB OBA ∠=∠=，又//BC OP ，且90POQ ∠=，∴BC OQ ⊥，∴90CBF ∠=，∴45CBA ∠=，同理，45BAC ∠=，在AOB 与ACB △中OAB CAB AB ABOBA CBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴AOB ≌ACB △()ASA ，∴90AOB ACB ∠=∠=，OA OB AC BC ===；（2）如图1，在射线AP 上取点D ，使AD BF =，连接CD ．在CAD 与CBF 中CA CB CAD CBF AD BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴CAD ≌CBF ()SAS ，∴CD CF =，ACD BCF ∠=∠，45ECF ∠=，90ACB ∠=，∴45ACE BCF ∠+∠=，∴45ACE ACD ECD ∠+∠=∠=，∴ECD ECF ∠=∠，在ECD 与ECF △中CD CF ECD ECF CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ECD ≌ECF △()SAS ，∴ED EF =，又ED AD AE BF AE =+=+，∴EF AE BF =+． （3）222MN EN FM =+．证明如下：如图2，延长AO 到点D ，使得AD BF =，连接CD ．∴90CAD CBF ∠=∠=，在CAD 与CBF 中CA CB CAD CBF AD BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴CAD ≌CBF ()SAS ，∴CD CF =，ACD BCF ∠=∠，90ACD DCB ∠+∠=，∴90BCF DCB DCF ∠+∠==∠，∴90FCD BCA ∠=∠=，135ECF ∠=，∴36090135135ECD ∠=--=，∴ECF ECD ∠=∠，在ECD 与ECF △中EC EC ECD ECF CD CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ECD ≌ECF △()SAS ，∴D CFM ∠=∠，CAD ≌CBF ，∴D CFB ∠=∠，∴CFM CFB ∠=∠，//AC OQ ，∴MCF CFB ∠=∠，∴CFM MCF ∠=∠，∴MC MF =，同理可证：CN EN =，∴在Rt MCN △中，由勾股定理得：22222MN CN CM EN FM =+=+．【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定,勾股定理以及正方形的有关知识，通过添加辅助线构造全等三角形，通过证明全等三角形得到线段之间的关系是解题的关键． 5．（1）AE EF =；（2）仍然成立．证明见解析；（3）()2:1:22ABC AEF S S n n =++△△．【分析】（1）连接GE ，根据等腰直角三角形的性质可得45CGE CEG ∠=∠=︒，45CBA CAB ∠=∠=︒，然后利用ASA 即可证出AGE EBF △≌△，从而得出结论； （2）在AC 上截取CG CE =，连接GE ，根据等腰直角三角形的性质可得45CGE CEG ∠=∠=︒，45CBA CAB ∠=∠=︒，然后利用ASA 即可证出AGE EBF △≌△，从而得出结论；（3）在AC 的延长线上截取CG CE =，连接GE ，AF ，利用ASA 证出AGE EBF △≌△，可得AEF 为等腰直角三角形，设CA=CB=a ，则BE nBC na ==，利用勾股定理求出AE ，根据三角形的面积公式即可求出结论．【详解】解：（1）AE EF =，连接GE∵AC BC =，点E 是BC 的中点，点G 为AC 的中点∴AG=CG=CE=EB ，因为90ACB ∠=︒，所以45CGE CEG ∠=∠=︒，45CBA CAB ∠=∠=︒．所以135AGE EBF ∠=∠=︒．因为AE EF ⊥，AB BF ⊥，所以90AEF ABF ACB ∠=∠=∠=︒，所以FEB AEF AEB EAC ACB ∠+∠=∠=∠+∠．所以FEB EAC ∠=∠．在AGE 与EBF △中，,,,AGE EBF AG BE GAE FEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩所以()ASA AGE EBF △≌△． 所以AE EF =（2）仍然成立．在AC 上截取CG CE =，连接GE ．因为90ACB ∠=︒，所以45CGE CEG ∠=∠=︒．因为AE EF ⊥，AB BF ⊥，所以90AEF ABF ACB ∠=∠=∠=︒，所以FEB AEF AEB EAC ACB ∠+∠=∠=∠+∠．所以FEB EAC ∠=∠．因为CA CB =，所以AG BE =，45CBA CAB ∠=∠=︒．所以135AGE EBF ∠=∠=︒．在AGE 与EBF △中，,,,AGE EBF AG BE GAE FEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩所以()ASA AGE EBF △≌△． 所以AE EF =．（3）如下图所示，在AC 的延长线上截取CG CE =，连接GE ，AF因为90ACB ∠=︒，所以45CGE CEG ∠=∠=︒．因为AE EF ⊥，AB BF ⊥，所以90AEF ABF ACB ∠=∠=∠=︒，所以FEB AEF AEB EAC ACB ∠-∠=∠=∠-∠．所以FEB EAG ∠=∠．因为CA CB =，所以AG BE =，45CBA CAB ∠=∠=︒∴∠EBF=180°－∠ABF －∠ABC=45°．所以45AGE EBF ∠=∠=︒．在AGE 与EBF △中，,,,AGE EBF AG BE GAE FEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩所以()ASA AGE EBF △≌△． 所以AE EF =．∴AEF 为等腰直角三角形设CA=CB=a ，则BE nBC na ==∴CE=a ＋na由勾股定理可得∴212ABC S a =，222221122AEF S a na n a ==++△ ∴()2:1:22ABC AEF S S n n =++△△．【点睛】此题考查的是等腰直角三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理，掌握构造全等三角形的方法是解决此题的关键．6．见解析【分析】过点F 作FN AF ⊥交AB 的延长线于点N ，先证明()EFN DFA ASA △≌△，可得N DAF ∠=∠，FN AF =，从而可以证明()AHF NBF ASA △≌△，可证得AH BN =，即可得证AH AB +=．【详解】证明：如图，过点F 作FN AF ⊥交AB 的延长线于点N ，EF DF ⊥，EA AD ⊥，90E ABD ∴∠+∠=︒，90ADF ABD ∠+∠=︒，E ADF ∴∠=∠，90AFN EFD ∠=∠=︒，AFD EFN ∴∠=∠，在EFN 和DFA 中，,,,EFN DFA EF DF E ADF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()EFN DFA ASA ∴△≌△，N DAF ∴∠=∠，FN AF =，又90AFN ∠=︒，AN ∴=，90AFN EFB ∠=∠=︒，AFH BFN ∴∠=∠，在AHF △和NBF 中，,,,AFH NFB AF NF HAF N ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()AHF NBF ASA ∴△≌△，AH BN ∴=， 2AH AB BN AB AN AF ∴+=+==．【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键． 7．（1）见解析；（2）图2：BH DE DH -=；图3：DE BH DH -=【分析】（1）在线段AH 上截取HM=BH ，连接CM ，CD ，证明△DMC ≌△DEC ，即可可得DE=DM 则结论可得；（2）当点D 在线段BA 延长线上时，在BA 的延长线上截取MH=BH ，连接CM ，DC ，由题意可证△BHC ≌△CHM ，可得∠B=∠CMB ，由题意可得∠B=∠AED ，即可证△DMC ≌△DEC ，可得DE=DM ，则可得DH=BH-DE ；当点D 在线段AB 延长线上时，在线段AB 上截取BH=HM ，连接CM ，CD ，由题意可证△BHC ≌△CHM ，可得∠B=∠CMB ，由题意可得∠B=∠AED ，即可证△DMC ≌△DEC ，可得DE=DM ，则可得DE=DH+BH ．．【详解】解：（1）证明：在AH 上截取HM BH =，连接CM ，CD ．∵CH AB ⊥，HM BH =∴CM BC =．∴B CMB ∠=∠．∵AB AC =∴B ACB ∠=∠．∵//DE BC ，∴ADE B AED ACB ∠=∠=∠=∠，CDE BCD ∠=∠．∴AED BMC ∠=∠．∴DEC DMC ∠=∠．∵BD BC =，∴BDC BCD EDC ∠=∠=∠．∵CD CD =，∴ΔΔCDM CDE ≅．∴DM DE =．∴DE BH DM HM DH +=+=．（2）当点D 在线段BA 延长线上时，DH=BH-DE如图：在BA 的延长线上截取MH=BH ，连接CM ，DC∵AB=AC∠ABC=∠ACB ，∵BD=BC ，∴∠BDC=∠DCB∵DE ∥BC∠E=∠ACB=∠B=∠EDB∵CH=CH ，BH=MH ，∠BHC=∠CHM∴△BHC ≌△CHM∴∠B=∠M∴∠E=∠M∵∠MDC=∠B+∠DCB ，∠EDC=∠BDC+∠EDB∴∠MDC=∠EDC又∵∠E=∠M ，DC=CD∴△DEC ≌△DMC∴DE=DM∵DH=MH-DM∴DH=BH-DE当点D 在线段AB 延长线上时，DE=BH+DH如图在线段AB 上截取BH=HM ，连接CM ，CDBH=HM ，CH=CH ，∠CHB=∠MHC=90°∴△MHC ≌△BHC∴∠ABC=∠BMC∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB ，∵BD=BC∴∠BDC=∠BCD∵BC ∥DE∴∠BCD=∠CDE ，∠ACB=∠AED∴∠BDC=∠CDE ，∠BMC=∠AED ，且CD=CD∴△CDM ≌△CDE∴DE=DM∵DM=DH+HM∴DE=DH+BH ．【点睛】本题考查了三角形综合题，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定．添加恰当的辅助线证全等是本题的关键．8．（1）60°；（2）证明见解析；（3）证明见解析【分析】（1）证明△ABD ≌△BCE （SAS ），得出∠BAD ＝∠CBE ，则∠BFD ＝∠AFE ＝∠ABC ＝60°； （2）证明△ADB ∽△BDF ，得出=AB BD BF DF，由AB ＝AC 可得出结论； （3）延长BE 至H ，使FH ＝AF ，连接AH ，CH ，证明△BAF ≌△CAH （SAS ），得出∠ABF ＝∠ACH ，CH ＝BF ，可证明AF ∥CH ，得出1=2BF BD FH CD ，进而即可得出答案． 【详解】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ，∠ABD ＝∠BCE ＝60°，在△ABD 和△BCE 中，ABD BC AB BC BD CE E =⎧=∠∠⎪⎨⎪⎩＝，∴△ABD ≌△BCE （SAS ），∴∠BAD ＝∠CBE ，∵∠ADC ＝∠CBE+∠BFD ＝∠BAD+∠ABC ，∴∠BFD ＝∠AFE ＝∠ABC ＝60°；（2）证明：由（1）知∠BAD ＝∠DBF ，又∵∠ADB ＝∠BDF ，∴△ADB ∽△BDF ， ∴=AB BD BF DF， 又AB ＝AC ， ∴=AC BD BF DF， ∴AC•DF ＝BD•BF ；（3）证明：延长BE 至H ，使FH ＝AF ，连接AH ，CH ，由（1）知∠AFE ＝60°，∠BAD ＝∠CBE ，∴△AFH 是等边三角形，∴∠FAH ＝60°，AF ＝AH ，∴∠BAC ＝∠FAH ＝60°，∴∠BAC ﹣∠CAD ＝∠FAH ﹣∠CAD ，即∠BAF ＝∠CAH ，在△BAF 和△CAH 中，BAF CA AB AC AF AH H =⎧=∠∠⎪⎨⎪⎩＝,∴△BAF ≌△CAH （SAS ），∴∠ABF ＝∠ACH ，CH ＝BF ，又∵∠ABC ＝∠BAC ，∠BAD ＝∠CBE ，∴∠ABC ﹣∠CBE ＝∠BAC ﹣∠BAD ，即∠ABF ＝∠CAF ，∴∠ACH ＝∠CAF ，∴AF ∥CH ，∵∠AFC ＝90°，∠AFE ＝60°，∴CF ⊥CH ，∠CFH ＝30°，∴FH ＝2CH ，∴FH ＝2BF ，∵FD ∥CH ， ∴1=2BF BD FH CD =， ∴BD ＝12DC ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定及其性质、相似三角形的判定及其性质，解题的关键熟练掌握全等三角形的判定方法和相似三角形的判定方法．9．（1）4；（2）见解析【分析】（1）根据条件证明△OCF ≌△GCF ，由全等的性质就可以得出OF=GF 而得出结论； （2）在BF 上截取BH=CF ，连接OH ，通过条件可以得出△OBH ≌△OCF ，可以得出OH=OF ，从而得出OG ∥FH ，OH ∥FG ，进而可以得出四边形OHFG 是平行四边形，就可以得出结论．【详解】解：（1）∵CF 平分∠OCE ，∴∠OCF=∠ECF ．∵OC=CG ，CF=CF ，∵在△OCF 和△GCF 中，OC GC OCF ECF CF CF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△OCF ≌△GCF （SAS ），∴FG=OF=4即FG 的长为4．（2）证明：在BF 上截取BH=CF ，连接OH ．∵四边形ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD ，∠DBC=45°，∴∠BOC=90°，∴∠OCB=180°-∠BOC-∠DBC=45°．∴∠OCB=∠DBC ．∴OB=OC ．∵BF ⊥CF ，∴∠BFC=90°．∵∠OBH=180°-∠BOC-∠OMB=90°-∠OMB ，∠OCF=180°-∠BFC-∠FMC=90°-∠FMC ，且∠OMB=∠FMC ，∴∠OBH=∠OCF ．∵在△OBH 和△OCF 中OB OC OBH OCF BH CF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△OBH ≌△OCF （SAS ）．∴OH=OF ，∠BOH=∠COF ．∵∠BOH+∠HOM=∠BOC=90°，∴∠COF+∠HOM=90°，即∠HOF=90°． ∴1180452OHF OFH HOF ∠=∠=︒-∠=︒（） ∴∠OFC=∠OFH+∠BFC=135°．∵△OCF ≌△GCF ，∴∠GFC=∠OFC=135°，∴∠OFG=360°-∠GFC-∠OFC=90°． ∴1180452FGO FOG OFG ∠=∠=︒-∠=︒（） ， ∴∠GOF=∠OFH ，∠HOF=∠OFG ．∴OG ∥FH ，OH ∥FG ，∴四边形OHFG 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）． ∴OG=FH ．∵BF=FH+BH ，∴BF=OG+CF【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，解答时采用截取法作辅助线是关键．10．（1）BC ＝203；（2）见解析. 【分析】（1）如图①中，设AM ＝3k ，DM ＝4k ，则AD ＝5k ，由△ADM ∽△NDA ，可得AD 2＝DM •AN ，由此构建方程即可解决问题．（2）如图②中，连接CH ，在DM 上取一点K ，使得DK ＝BH ．证明△ADK ≌△CBH （SAS ），推出AK ＝CH ，再证明Rt △AMK ≌Rt △CNH （HL ），推出MK ＝HN 即可解决问题．【详解】（1）解：如图①中，∵AM⊥DN，∴∠AMD＝90°，∵tan∠ADM＝AIIDN＝34，∴可以假设AM＝3k，DM＝4k，则AD＝5k，∵AD⊥AN，∴∠DAN＝90°＝∠AMD，∵∠ADM＝∠ADN，∴△ADM∽△NDA，∴AD2＝DM•AN，∴（5k）2＝4k（4k+3），解得k＝43，∴AD＝203，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝203．（2）证明：如图②中，连接CH，在DM上取一点K，使得DK＝BH．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADK＝∠BNQ，∵BH∥DQ，∴∠CBH＝∠BNQ，∴∠ADK＝∠CBH，∵DK＝BH，DA＝BC，∴△ADK≌△CBH（SAS），∴AK＝CH，∵AM⊥DQ，AN⊥AD，AD∥BC，∴AN⊥BC，∴∠AMK＝∠CNH＝90°，∵AM＝CN，∴Rt△AMK≌Rt△CNH（HL），∴MK＝NH，∴DM＝DK+MK＝BH+HN．【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握解直角三角形、相似三角形的性质以及判定定理、全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键．。

人教版初二数学全全等三角形截长补短专项训练学能测试(1)

人教版初二数学全全等三角形截长补短专项训练学能测试(1)

人教版初二数学全全等三角形截长补短专项训练学能测试(1)一、全等三角形截长补短1．（1）问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点且∠EAF＝60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，先证明ABE≌ADG，再证明AEF≌AGF，可得出结论，他的结论应是______________；（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF12=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．2．在△ABC中，AB=AC，点D与点E分别在AB、AC边上，DE//BC，且DE=DB，点F与点G分别在BC、AC边上，∠FDG12=∠BDE．（1）如图1，若∠BDE=120°，DF⊥BC，点G与点C重合，BF=1，直接写出BC= ；（2）如图2，当G在线段EC上时，探究线段BF、EG、FG的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当G在线段AE上时，直接写出线段BF、EG、FG的数量关系：_____________．3．在四边形ABDE中，C是BD边的中点．（1）如图（1），若AC 平分BAE ∠，90ACE ∠=︒，则线段AE 、AB 、DE 的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案）（2）如图（2），AC 平分BAE ∠，EC 平分AED ∠，若120ACE ∠=︒，则线段AB 、BD 、DE 、AE 的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．4．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠EAF=12∠BAC ，BF ⊥AE 于E 交AF 于点F ，连结 CF ．（1）如图 1 所示，当∠EAF 在∠BAC 内部时，求证：EF ＝BE +CF ．（2）如图 2 所示，当∠EAF 的边 AE 、AF 分别在∠BAC 外部、内部时，求证：CF ＝BF +2BE ．5．如图，四边形ABCD 为矩形，F 为对角线BD 上一点，过点F 作FE BD ⊥交AD 于点H ，交BA 的延长线于点E ，连接AF ，当FD FE =时，求证：2AH AB AF +=．6．如图，//AD BC ，点E 在线段AB 上，DE 、CE 分别是ADC ∠、BCD ∠的角平分线，若3AD =，2BC =，求CD 的长．7．如图，在正方形ABCD 中，点F 是CD 的中点，点E 是BC 边上的一点，且AF 平分DAE ∠，求证：AE EC CD =+．8．已知等腰ABC ∆中，AB AC =，点D 在直线AB 上，//DE BC ，交直线AC 于点E ，且BD BC =，CH AB ⊥，垂足为H ．（1）当点D 在线段AB 上时，如图1，求证BH DE DH +=；（2）当点D 在线段BA 的延长线上时，如图2；当点D 在线段AB 延长线时，如图3，线段BH ，DE ，DH 又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要证明． 9．思维探索：在正方形ABCD 中，AB ＝4，∠EAF 的两边分别交射线CB ，DC 于点E ，F ，∠EAF ＝45°． （1）如图1，当点E ，F 分别在线段BC ，CD 上时，△CEF 的周长是 ；（2）如图2，当点E ，F 分别在CB ，DC 的延长线上，CF ＝2时，求△CEF 的周长； 拓展提升：如图3，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，过点B 作BD ⊥BC ，连接AD ，在BC 的延长线上取一点E ，使∠EDA ＝30°，连接AE ，当BD ＝2，∠EAD ＝45°时，请直接写出线段CE 的长度．10．阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题数学课上，老师出示了这样一道题：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=AD，E为对角线AC上一点，∠BEC=∠BAD=2∠DEC，探究AB与BC的数量关系．某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法：小柏：“通过观察和度量，发现∠ACB=∠ABE”；小源：“通过观察和度量，AE和BE存在一定的数量关系”；小亮：“通过构造三角形全等，再经过进一步推理，就可以得到线段AB与BC的数量关系”．……老师：“保留原题条件，如图2， AC上存在点F，使DF=CF=k AE，连接DF并延长交BC于点G，求ABFG的值”．（1）求证：∠ACB=∠ABE；（2）探究线段AB与BC的数量关系，并证明；（3）若DF=CF=k AE，求ABFG的值（用含k的代数式表示）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）EF＝BE+DF；（2）结论EF＝BE+DF仍然成立；（3）此时两舰艇之间的距离是210海里【分析】（1）延长FD到点G，使DG=BE．连结AG，即可证明ABE≌ADG，可得AE=AG，再证明AEF ≌AGF ，可得EF=FG ，即可解题； （2）延长FD 到点G ，使DG=BE ．连结AG ，即可证明ABE≌ADG ，可得AE=AG ，再证明AEF ≌AGF ，可得EF=FG ，即可解题； （3）连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ，然后与（2）同理可证．【详解】 解：（1）EF ＝BE +DF ，证明如下： 在ABE 和ADG 中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABE ≌ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF 12=∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ，在AEF 和GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AEF ≌AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ；故答案为 EF ＝BE +DF ．（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；理由：延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，如图2，在ABE 和ADG 中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABE ≌ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF 12=∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ，在AEF 和GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AEF ≌AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ；（3）如图3，连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ，∵∠AOB ＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF ＝70°，∴∠EOF 12=∠AOB ， 又∵OA ＝OB ，∠OAC +∠OBC ＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF ＝AE +BF 成立，即EF ＝2×（45+60）＝210（海里）．答：此时两舰艇之间的距离是210海里．【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF ≌△AGF 是解题的关键．2．（1）4；（2）FG=BF+EG ，见解析；（3）FG=BF-EG【分析】（1）解直角三角形分别求出DF ，CF 即可解决问题．（2）如图2中，结论：FG=BF+EG ．在EA 上截取EH ，使得EH=BF ．利用两次全等，证明FG=GH 即可解决问题．（3）如图3中，结论：FG=BF-EG ．在射线EA 上截取EH ，使得EH=BF ．利用两次全等，证明FG=GH 即可解决问题．【详解】（1）∵DE ∥BC ，∴∠BDE+∠ABC=180°，∵∠BDE=120°，∴∠ABC=60°，∵DF ⊥BF ，∴∠BFD=90°，∴DF=BF•tan60°133=⨯=， ∵∠CDF 12=∠BDE=60°，∠DFC=90°， ∴CF=DF•tan60°333=⨯=， ∴BC=BF+CF=1+3=4；（2）如图2中，结论：FG=BF+EG ．理由：在EA 上截取EH ，使得EH=BF ．∵AB=AC ，∠B=∠C ，∵DE ∥BC ，∴∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ，∴∠ADE=∠AED ，∴∠DEH=∠B ，在△DBF 和△DEH 中，BF EH B DEH BD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DBF ≌△DEH （SAS ），∴DF=DH ，∠BDF=∠EDH ，∵∠FDG 12=∠BDE ， ∴∠BDF+∠EDG=∠EDH+∠EDG=∠GDH 12=∠BDE ， ∴∠GDF=∠GDH ，在△DGF 和△DGH 中，DF DH GDF GDH DG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DGF ≌△DGH （SAS ），∴FG=HG ，∵HG=EG+HE=EG+BF ，∴FG=BF+EG ；（3）如图3中，结论：FG=BF-EG ．理由：在射线EA 上截取EH ，使得EH=BF ．∵AB=AC ，∠B=∠C ，∵DE ∥BC ，∴∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ，∴∠ADE=∠AED ，∴∠DEH=∠B ，在△DBF 和△DEH 中，BF EH B DEH BD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DBF ≌△DEH （SAS ），∴DF=DH ，∠BDF=∠EDH ，∴∠BDE=∠FDH ，∵∠FDG 12=∠BDE 12=∠FDH ， ∴∠GDF=∠GDH ，在△DGF 和△DGH 中，DF DH GDF GDH DG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DGF ≌△DGH （SAS ），∴FG=HG ，∵HG=HE-GE=BF-EG ，∴FG=BF=-EG ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．3．（1）AE ＝AB ＋DE ；（2）AE ＝AB ＋DE ＋12BD ，证明见解析． 【分析】（1）在AE 上取一点F ，使AF ＝AB ，由三角形全等的判定可证得△ACB ≌△ACF ，根据全等三角形的性质可得BC ＝FC ，∠ACB ＝∠ACF ，根据三角形全等的判定证得△CEF ≌△CED ，得到EF ＝ED ，再由线段的和差可以得出结论；（2）在AE 上取点F ，使AF ＝AB ，连结CF ，在AE 上取点G ，使EG ＝ED ，连结CG ，根据全等三角形的判定证得△ACB ≌△ACF 和△ECD ≌△ECG ，由全等三角形的性质证得CF ＝CG ，进而证得△CFG 是等边三角形，就有FG ＝CG ＝12BD ，从而可证得结论． 【详解】解：（1）如图（1），在AE 上取一点F ，使AF ＝AB ．∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC ＝∠FAC ．在△ACB 和△ACF 中，AB AF BAC FAC AC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ACB ≌△ACF （SAS ）．∴BC ＝FC ，∠ACB ＝∠ACF ．∵C 是BD 边的中点，∴BC ＝CD ．∴CF ＝CD ．∵∠ACE ＝90°，∴∠ACB ＋∠DCE ＝90°，∠ACF ＋∠ECF ＝90°．∴∠ECF ＝∠ECD ．在△CEF 和△CED 中，CF CD ECF ECD CE CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△CEF ≌△CED （SAS ）．∴EF ＝ED ．∵AE ＝AF ＋EF ，∴AE ＝AB ＋DE ．故答案为：AE ＝AB ＋DE ；（2）AE ＝AB ＋DE ＋12BD ． 证明：如图（2），在AE 上取点F ，使AF ＝AB ，连结CF ，在AE 上取点G ，使EG ＝ED ，连结CG ．∵C 是BD 边的中点，∴CB ＝CD ＝12BD ． ∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC ＝∠FAC ．在△ACB 和△ACF 中，AB AF BAC FAC AC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ACB ≌△ACF （SAS ）．∴CF ＝CB ，∠BCA ＝∠FCA ．同理可证：△ECD ≌△ECG∴CD ＝CG ，∠DCE ＝∠GCE ．∵CB ＝CD ，∴CG ＝CF ．∵∠ACE ＝120°，∴∠BCA ＋∠DCE ＝180°−120°＝60°．∴∠FCA ＋∠GCE ＝60°．∴∠FCG ＝60°．∴△FGC 是等边三角形．∴FG ＝FC ＝12BD ． ∵AE ＝AF ＋EG ＋FG ， ∴AE ＝AB ＋DE ＋12BD ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键．4．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）在EF 上截取EH BE =，由“SAS ”可证ACF AHF ∆≅∆，可得CF HF =，可得结论；（2）在BE 的延长线上截取EN BE =，连接AN ，由“SAS ”可证ACF ANF ∆≅∆，可得CF NF =，可得结论．【详解】解：证明：（1）如图，在EF 上截取EH BE =，连接AH ，EB EH =，AE BF ⊥，AB AH ∴=，AB AH =，AE BH ⊥，BAE EAH ∴∠=∠，AB AC =，AC AH ∴=， 12EAF BAC ∠==∠ BAE CAF EAF ∴∠+∠=∠，BAE CAF EAH FAH ∴∠+∠=∠+∠，CAF HAF ∴∠=∠，在ACF ∆和AHF ∆中，AC AH CAF HAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACF AHF SAS ∴∆≅∆，CF HF ∴=，EF EH HF BE CF ∴=+=+；（2）如图，在BE 的延长线上截取EN BE =，连接AN ，AE BF ⊥，BE EN =，AB AC =，AN AB AC ∴==，AN AB =，AE BN ⊥，BAE NAE ∴∠=∠，12EAF BAC ∠==∠ 1(2)2EAF NAE BAC NAE ∴∠+∠=∠+∠ 12FAN CAN ∴∠=∠， FAN CAF ∴∠=∠，在ACF ∆和ANF ∆中，AC AN CAF NAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACF ANF SAS ∴∆≅∆，CF NF ∴=，2CF BF BE ∴=+．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 5．见解析【分析】过点F 作FN AF ⊥交AB 的延长线于点N ，先证明()EFN DFA ASA △≌△，可得N DAF ∠=∠，FN AF =，从而可以证明()AHF NBF ASA △≌△，可证得AH BN =，即可得证AH AB +=．【详解】证明：如图，过点F 作FN AF ⊥交AB 的延长线于点N ，EF DF ⊥，EA AD ⊥，90E ABD ∴∠+∠=︒，90ADF ABD ∠+∠=︒，E ADF ∴∠=∠，90AFN EFD ∠=∠=︒，AFD EFN ∴∠=∠，在EFN 和DFA 中，,,,EFN DFA EF DF E ADF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()EFN DFA ASA ∴△≌△，N DAF ∴∠=∠，FN AF =，又90AFN ∠=︒，AN ∴=，90AFN EFB ∠=∠=︒，AFH BFN ∴∠=∠，在AHF △和NBF 中，,,,AFH NFB AF NF HAF N ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()AHF NBF ASA ∴△≌△，AH BN ∴=，2AH AB BN AB AN AF ∴+=+==．【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键． 6．5【分析】如图，在DC 上截取DF DA =，连接EF ，先证明ADE FDE △≌△，得到AE EF =，5A ∠=∠，然后证明CEF CEB △≌△，得到CF BC =，即可求出答案． 【详解】解：如图，在DC 上截取DF DA =，连接EF ，DE 是ADC ∠的角平分线，12∠∠∴=，在△ADE 和△FDE 中，,12,,AD DF DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE FDE SAS ∴△≌△， AE EF ∴=，5A ∠=∠，//AD BC ，180A B ∴∠+∠=︒，56180∠+∠=︒，6B ∴∠=∠，CE 是BCD ∠的角平分线，34∴∠=∠，在CEF △和CEB △中，6,34,,B CE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()CEF CEB AAS ∴△≌△，CF BC ∴=，325CD DF CF AD BC ∴=+=+=+=．【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，证明ADE FDE △≌△是解题关键．7．见解析【分析】过F 作FH ⊥AE 于H ，得出FH=FD ，然后证明△FHE ≌△FCE ，再通过等价转换可证得AE=EC+CD ．【详解】证明：过F 作FH ⊥AE 于H ，如图，∵AF 平分∠DAE ，∠D=90°，FH ⊥AE ，∴∠DAF=∠EAF ，FH=FD ，又∵DF=FC=FH ，FE 为公共边，∴△FHE ≌△FCE （HL ）．∴HE=CE ．∵AE=AH+HE ，AH=AD=CD ，HE=CE ，∴AE=EC+CD ．【点睛】本题考查角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等，也考查了等量代换的思想，属于比较典型的题目．8．（1）见解析；（2）图2：BH DE DH -=；图3：DE BH DH -=【分析】（1）在线段AH 上截取HM=BH ，连接CM ，CD ，证明△DMC ≌△DEC ，即可可得DE=DM 则结论可得；（2）当点D 在线段BA 延长线上时，在BA 的延长线上截取MH=BH ，连接CM ，DC ，由题意可证△BHC ≌△CHM ，可得∠B=∠CMB ，由题意可得∠B=∠AED ，即可证△DMC ≌△DEC ，可得DE=DM ，则可得DH=BH-DE ；当点D 在线段AB 延长线上时，在线段AB 上截取BH=HM ，连接CM ，CD ，由题意可证△BHC ≌△CHM ，可得∠B=∠CMB ，由题意可得∠B=∠AED ，即可证△DMC ≌△DEC ，可得DE=DM ，则可得DE=DH+BH ．．【详解】解：（1）证明：在AH 上截取HM BH =，连接CM ，CD ．∵CH AB ⊥，HM BH =∴CM BC =．∴B CMB ∠=∠．∵AB AC =∴B ACB ∠=∠．∵//DE BC ，∴ADE B AED ACB ∠=∠=∠=∠，CDE BCD ∠=∠．∴AED BMC ∠=∠．∴DEC DMC ∠=∠．∵BD BC =，∴BDC BCD EDC ∠=∠=∠．∵CD CD =，∴ΔΔCDM CDE ≅．∴DM DE =．∴DE BH DM HM DH +=+=．（2）当点D 在线段BA 延长线上时，DH=BH-DE如图：在BA 的延长线上截取MH=BH ，连接CM ，DC∵AB=AC∠ABC=∠ACB，∵BD=BC，∴∠BDC=∠DCB∵DE∥BC∠E=∠ACB=∠B=∠EDB∵CH=CH，BH=MH，∠BHC=∠CHM∴△BHC≌△CHM∴∠B=∠M∴∠E=∠M∵∠MDC=∠B+∠DCB，∠EDC=∠BDC+∠EDB ∴∠MDC=∠EDC又∵∠E=∠M，DC=CD∴△DEC≌△DMC∴DE=DM∵DH=MH-DM∴DH=BH-DE当点D在线段AB延长线上时，DE=BH+DH如图在线段AB上截取BH=HM，连接CM，CDBH=HM，CH=CH，∠CHB=∠MHC=90°∴△MHC≌△BHC∴∠ABC=∠BMC∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB，∵BD=BC∴∠BDC=∠BCD∵BC∥DE∴∠BCD=∠CDE，∠ACB=∠AED∴∠BDC=∠CDE，∠BMC=∠AED，且CD=CD∴△CDM≌△CDE∴DE=DM∵DM=DH+HM∴DE=DH+BH．【点睛】本题考查了三角形综合题，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定．添加恰当的辅助线证全等是本题的关键．9．思维探索：（1）8；（2）12；拓展提升：CE1．【分析】思维探索：（1）利用旋转的性质，证明△AGE≌△AFE即可；（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°到AD，交CD于点G，证明△AEF≌△AGF即可求得EF＝DF﹣BE；拓展提升：如图3，过A作AG⊥BD交BD的延长线于G，推出四边形ACBG是矩形，得到矩形ACBG是正方形，根据正方形的性质得到AC＝AG，∠CAG＝90°，在BG上截取GF＝CE，根据全等三角形的性质得到AE＝AF，∠EAC＝∠FAG，∠ADF＝∠ADE＝30°，解直角三角形得到DE＝DF＝4，BE＝CE＝x，则GF＝CE＝x，BC＝BG＝x，根据线段的和差即可得到结论．【详解】思维探索：（1）如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，∴GB＝DF，AF＝AG，∠BAG＝∠DAF，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠BAG+∠BAE＝45°＝∠EAF，在△AGE和△AFE中AG AFGAE EAF AE AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AGE≌△AFE（SAS），∴GE＝EF，∵GE＝GB+BE＝BE+DF，∴EF＝BE+DF，∴△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+BE+DF+CF＝BC+CD＝8，故答案为：8；（2）如，2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°到AD，交CD于点G，同（1）可证得△AEF≌△AGF，∴EF＝GF，且DG＝BE，∴EF＝DF﹣DG＝DF﹣BE，∴△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+CF+DF﹣BE＝BC+DF+CF＝4+4+2+2＝12；拓展提升：如图3，过A作AG⊥BD交BD的延长线于G，∵BD⊥BC，∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CBG＝∠G＝90°，∴四边形ACBG是矩形，∵AC＝BC，∴矩形ACBG是正方形，∴AC＝AG，∠CAG＝90°，在BG上截取GF＝CE，∴△AEC≌△AGF（SAS），∴AE＝AF，∠EAC＝∠FAG，∵∠EAD＝∠BAC＝∠GAB＝45°，∴∠DAF＝∠DAE＝45°，∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF（SAS），∴∠ADF＝∠ADE＝30°，∴∠BDE＝60°，∵∠DBE＝90°，BD＝2，∴DE＝DF＝4，BE＝设CE＝x，则GF＝CE＝x，BC＝BG＝x，∴DG＝x，∴DG﹣FG＝DF，即x﹣x＝4，1，∴x∴CE【点睛】本题以正方形为背景，结合旋转，三角形全等，解直角三角形进行综合性考查，熟知常见的全等模型，旋转性质，三角形的判定及性质，正方形，矩形的性质是解题的关键． 10．（1）见解析；（2）CB=2AB ；（3）23AB k FG k = 【分析】（1）利用平行线的性质以及角的等量代换求证即可；（2）在BE 边上取点H ，使BH=AE ，可证明△ABH ≌△DAE ，△ABE ∽△ACB ，利用相似三角形的性质从而得出结论；（3）连接BD 交AC 于点Q ，过点A 作AK ⊥BD 于点K ，得出12AD DK CB DB ==，通过证明△ADK ∽△DBC 得出∠BDC=∠AKD=90°，再证DF=FQ ，设AD=a ，因此有DF=FC=QF=ka ，再利用相似三角形的性质得出AC=3ka ，3AB ka =，1122FG DF ka ==，从而得出答案．【详解】解：（1）∵∠BAD=∠BEC∠BAD=∠BAE+∠EAD∠BEC=∠ABE+BAE∴∠EAD=∠ABE∵AD ∥BC∴∠EAD=∠ACB∴∠ACB=∠ABE（2）在BE 边上取点H ，使BH=AE∴△ABH ≌△DAE∴∠AHB=∠AED∵∠AHB+∠AHE=180°∠AED+∠DEC=180°∴∠AHE=∠DEC∵∠BEC=2∠DEC∠BEC=∠HAE+∠AHE∴∠AHE=∠HAE∴AE=EH∴BE=2AE∵∠ABE=∠ACB∠BAE=∠CAB∴△ABE ∽△ACB ∴EB AE CB AB= ∴CB=2AB ； （3）连接BD 交AC 于点Q ，过点A 作AK ⊥BD 于点K∵AD=AB∴12DK BD =∠AKD=90°∵12AB AD BC == ∴12AD DK CB DB == ∵AD ∥BC∴∠ADK=∠DBC∴△ADK ∽△DBC∴∠BDC=∠AKD=90°∵DF=FC∴∠FDC=∠DFC∵∠BDC=90°∴∠FDC+∠QDF=90°∠DQF+∠DCF=90°设AD=a∴DF=FC=QF=ka∵AD ∥BC∴∠DAQ=∠QCB∠ADQ=∠QBC∴△AQD ∽△CQB ∴12AD QA BC CQ== ∴AQ=ka=QF=CF∴AC=3ka∵△ABE ∽△ACB ∴AE AB AB AC= ∴AB =同理△AFD ∽△CFG12DF AF FG FC == ∴1122FG DF ka ==AB FG k=． 【点睛】本题是一道关于相似的综合题目，难度较大，根据题目作出合适的辅助线是解此题的关键，解决此题还需要较强的数形结合的能力以及较强的计算能力．。

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三角形全等之类比探究
学生做题前请先回答以下问题
问题1：垂直平分线（性质）定理是什么？
问题2：角平分线（性质）定理是什么？
问题3：等腰三角形的两个底角________，简称______________；
如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也______，简称____________．
问题4：当见到线段的______________考虑截长补短，构造全等或等腰转移____、转移____，然后和_________重新组合解决问题．
三角形全等之截长补短（一）（人教版）
一、单选题(共2道，每道50分)
1.已知，如图，BM平分∠ABC，P为BM上一点，PD⊥BC于点D，BD=AB+CD．
求证：∠BAP+∠BCP=180°．
（截长法）证明：如图，在BC上截取BE=BA，连接PE．
___________________________
在△ABP和△EBP中
∴△ABP≌△EBP（SAS）
∴___________________________
___________________________
∴CD=ED
∵PD⊥BC
∴PE=PC
___________________________
请你仔细观察下列序号所代表的内容：①
；②∵∠1=∠2；③∠A=∠BEP；④AP=PE；
⑤；⑥；⑦；
⑧．
以上空缺处依次所填最恰当的是( )
A.①③⑥⑦
B.①③⑤⑧
C.②③⑥⑦
D.②④⑤⑧
2.已知，如图，BM平分∠ABC，点P为BM上一点，PD⊥BC于点D，BD=AB+DC．求证：∠BAP+∠BCP=180°．
（补短法）证明：如图，___________________________
___________________________
∵BP平分∠ABC
∴∠1=∠2
在△BEP和△BDP中
∴△BEP≌△BDP（SAS）
___________________________
在△PEA和△PDC中
∴△PEA≌△PDC（SAS）
∴∠C=∠PAE
∵∠BAP+∠PAE=180°
∴∠BAP+∠BCP=180°
请你仔细观察下列序号所代表的内容：
①延长BA，过点P作PE⊥BA于点E；②延长BA到E，使AE=DC，连接PE；
③延长BA到E，使DC=AE；
④
；
⑤
；
⑥
；
⑦
．
以上空缺处依次所填最恰当的是( )
A.②④⑦
B.①⑤⑥
C.②④⑥
D.①⑤⑦
如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。

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