全等三角形之截长补短法

例题1如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，AD平分∠BAC交BC于D，求证：AB=AC+CD．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：利用已知条件，求得∠B=∠E，∠2=∠1，AD=AD，得出△ABD≌△AED（AAS），∴AE=AB．∵AE=AC+CE=AC+CD，∴AB=AC+CD．解答：证法一：如答图所示，延长AC，到E使CE=CD，连接DE．∵∠ACB=90°，AC=BC，CE=CD，∴∠B=∠CAB=45°，∠E=∠CDE=45°，∴∠B=∠E．∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2在△ABD和△AED中，∠B=∠E，∠2=∠1，AD=AD，∴△ABD≌△AED（AAS）．∴AE=AB．∵AE=AC+CE=AC+CD，∴AB=AC+CD．证法二：如答图所示，在AB上截取AE=AC，连接DE，∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2．在△ACD和△AED中，AC=AE，∠1=∠2，AD=AD，∴△ACD≌△AED（SAS）．∴∠AED=∠C=90，CD=ED，又∵AC=BC，∴∠B=45°．∴∠EDB=∠B=45°．∴DE=BE，∴CD=BE．∵AB=AE+BE，∴AB=AC+CD．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；通过SAS的条件证明三角形全等，利用三角形全等得出的结论来求得三角形各边之间的关系．例题2图，AD是△ABC中BC边上的中线，求证：AD＜（AB+AC）．考点：全等三角形的判定与性质；三角形三边关系．专题：计算题．分析：可延长AD到E，使AD=DE，连BE，则△ACD≌△EBD得BE=AC，进而在△ABE中利用三角形三边关系，证之．解答：证明：如图延长AD至E，使AD=DE，连接BE．∵BD=DC，AD=DE，∠ADC=∠EDB∴△ACD≌△EBD∴AC=BE在△ABE中，AE＜AB+BE，即2AD＜AB+AC∴AD＜（AB+AC）点评：本题主要考查全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，能够熟练掌握．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：证明题．分析：（1）由已知AC=BC，∠ADC=∠CEB=90°，利用互余关系可证∠DAC=∠ECB，可证△ACD≌△CBE，得AD=CE，CD=BE，故AD+BE=CE+CD=DE；（2）此时，仍有△ACD≌△CBE，AD=CE，CD=BE，利用线段的和差关系得DE=AD-BE．解答：证明：（1）∵∠DAC+∠ACD=90°，∠ACD+∠ECB=90°，∴∠DAC=∠ECB，又∵AC=BC，∠ADC=∠CEB=90°，∴△ACD≌△CBE，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CE+CD=AD+BE；（2）DE=BE-AD．仿照（1）可证△ACD≌△CBE，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD-CE=BE-AD．点评：本题考查了用旋转法寻找证明三角形全等的条件，关键是利用全等三角形对应线段相等，将有关线段进如图，点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于点E、F，若△PEF的周长是20cm，则线段MN的长是20cm．考点：轴对称的性质．分析：根据轴对称的性质可知：EP=EM，PF=FN，所以线段MN的长=△PEF的周长．解答：解：根据题意，EP=EM，PF=FN，∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=△PEF的周长，∴MN=20cm．点评：主要考查了轴对称的性质：对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等．（1）如图所示，已知△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O．试说明∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A；（2）如图所示，在△ABC中，BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线．试说明∠D=90°-$\frac{1}{2}$∠A；（3）如图所示，已知BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，且与BD交于点D，试说考点：三角形的外角性质；角平分线的定义；三角形内角和定理．分析：（1）根据三角形角平分线的性质可得，∠BOC+∠OCB=90°-$\frac{1}{2}$∠A，根据三角形内角和定理可得∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A；（2）根据三角形外角平分线的性质可得∠BCD=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）、∠DBC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB）；根据三角形内角和定理可得∠BDC=90°-$\frac{1}{2}$∠A；（3）根据BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，可知，∠A=180°-∠1-∠3，∠D=180°-∠4=∠5=180°-∠3-$\frac{1}{2}$（∠A+2∠1），两式联立可得2∠D=∠A．解答：解：（1）∵在△ABC中，OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∠A为x°∴∠BOC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=$\frac{1}{2}$×（180°-x°）=90°-$\frac{1}{2}$∠A 故∠BOC=180°-（90°-$\frac{1}{2}$∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A；（2）∵BD、CD为△ABC两外角∠DBC、∠BCE的平分线∠A为x°∴∠BCD=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）、∠DBC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB）由三角形内角和定理得，∠BDC=180°-∠BCD-∠DBC=180°-$\frac{1}{2}$[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]=180°-$\frac{1}{2}$（∠A+180°）=90°-$\frac{1}{2}$∠A；（3）如图：∵BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线∴∠1=∠2，∠5=$\frac{1}{2}$（∠A+2∠1），∠3=∠4，在△ABE中，∠A=180°-∠1-∠3----①在△CDE中，∠D=180°-∠4-∠5=180°-∠3-$\frac{1}{2}$（∠A+2∠1），即2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠把①代入②得2∠D=∠A．点评：此类题目比较简单，考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学阶段的常规题．如图，直线a、b、c表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站．要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有4处．考点：三角形的内切圆与内心；直线与圆的位置关系．专题：应用题．分析：依题意可作四个圆分别与三条直线相切，其中三个在三角形外部，一个在三角形内部，其圆心就是可供选择的地址．解答：解：可作四个圆分别与三条直线相切，其中三个在三角形外部，一个在三角形内部．故填4．点评：本题涉及圆的相关知识，难度中等．如图甲所示，在△ABC中，AB=AC，在底边BC上有任意一点P，则P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD+PE=CF，若P点在BC的延长线上，那么请你猜想PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明．考点：等腰三角形的性质；三角形的面积．专题：证明题．分析：猜想：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF．根据∵S△PAB= AB•PD，S△PAC= AC•PE，S△CAB= AB•CF，S△PAC= AB•PE，AB•PD= AB•CF+ AB•PE，即可求证．解答：猜想：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF．证明：连接AP，则S△PAC+S△CAB=S△PAB，∵S△PAB= AB•PD，S△PAC= AC•PE，S△CAB= AB•CF，又∵AB=AC，∴S△PAC= AB•PE，∴AB•PD= AB•CF+ AB•PE，即AB（PE+CF）= AB•PD，∴PD=PE+PF．点评：本题考查了等腰三角形的性质及三角形的面积，难度适中，关键是先猜想出PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF再证明．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的中线，延长BC到E使CE=CD，试判断△BDE的形状．考点：等腰三角形的判定；等边三角形的性质．分析：因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°，BD是AC边上的中线，则∠DBC=30°，再由题中条件求出∠E=30°，即可判断△BDE的形状．解答：证明：∵△ABC是等边三角形∴∠ABC=∠ACB=60°∵AD=CD∴∠DBC= ∠ABC=30°∵CE=CD∴∠CDE=∠E∵∠ACB=∠CDE+∠E∴∠E=30°∴∠DBE=∠E∴BD=DE∴△BDE是等腰三角形．点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质及等边三角形的性质；此题把等边三角形的性质和等腰三角形的判定结合求解．考查了学生综合运用数学知识的能力，得到∠E=30°是正确解答本题的关键．（2007•吉林）某家电商场经销A，B，C三种品牌的彩电，五月份共获利48 000元．已知A种品牌彩电每台可获利100元，B种品牌彩电每台可获利144元，C种品牌彩电每台可获利360元．请你根据相关信息，补全彩电销售台数的条形图和所获利润的百分数的扇形图．考点：扇形统计图；条形统计图．专题：图表型．分析：根据获利总数与扇形图，可计算出B型彩电的获利，进而求出B型彩电的数目；接着可求出C型彩电的获利和台数；利用A、C型的获利和获利总数分别求出它们所获利润的百分数，进而补全彩电销售台数的条形图和所获利润的百分数的扇形图即可．解答：解：根据题意可得：五月份共获利48000元，B种品牌彩电获利占30%，即获利48000×30%=14400元，故B种品牌彩电的台数为14400÷144=100台，则C种品牌彩的台数为（48000-120×100-14400）÷360=60台；据此可补全条形图．（4分）五月份共卖出（120+100+60）=280台，其中A种品牌彩电120台，占获利的25%，B种品牌彩100台占获利的30%，C种品牌彩电60台，占获利的45%，据此可补全扇形图．（6分）说明：条形图中每画对1个条形图得（2分）．扇形图中每填对1个扇形得（1分）．扇形图中若标成表示A，C计算的百分数正确，填图不正确，扣（1）．如另画扇形图正确也得分．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图中各部分占总体的百分比之和为1，能直接反映部分占总体的百分比大小．如图所示，已知EA⊥AB于点A，CD⊥DF于点D，AB∥CD，请判断EA与DF的位置关系，并说明理由．考点：平行线的判定；垂线；平行线的性质．专题：探究型．分析：首先由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，得到∠BAD=∠ADC，再根据垂直的定义得到∠EAB=∠CDF=90°，则∠EAB+∠BAD=∠CDF+∠ADC，即∠EAD=∠ADF，满足关于EA∥DF的条件：内错角相等，两直线平行．解答：解：EA∥DF．理由如下：∵EA⊥AB于点A，CD⊥DF于点D（已知），∴∠EAB=90°，∠CDF=90°（垂直定义）．∵AB∥CD（已知），∴∠BAD=∠ADC（两直线平行，内错角相等），∴∠EAB+∠BAD=∠CDF+∠ADC，即∠EAD=∠ADF，∴EA∥DF（内错角相等，两直线平行）．点评：本题考查了平行线的性质，垂直的定义以及平行线的判定定理．（2002•河南）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F，EG平分∠BEF，若∠1=72°，则∠2= 54度．考点：平行线的性质；角平分线的定义．专题：计算题．分析：两直线平行，同旁内角互补，可求出∠FEB，再根据角平分线的性质，可得到∠BEG，然后用两直线平行，内错角相等求出∠2．解答：解：∵AB∥CD，∴∠BEF=180°-∠1=180°-72°=108°，∠2=∠BEG，又∵EG平分∠BEF，∴∠BEG= ∠BEF= ×108°=54°，故∠2=∠BEG=54°．点评：本题应用的知识点为：两直线平行，内错角相等；同旁内角互补．（2006•大连）在围棋盒中有x颗黑色棋子和y颗白色棋子，从盒中随机地取出一个棋子，如果它是黑色棋子的概率是．（1）试写出y与x的函数关系式．（2）若往盒中再放进10颗黑色棋子，则取得黑色棋子的概率变为，求x和y的值．考点：概率公式；二元一次方程组的应用．分析：（1）根据概率的求法：在围棋盒中有x颗黑色棋子和y颗白色棋子，共x+y颗棋子，如果它是黑色棋子的概率是，有成立．化简可得y与x的函数关系式；（2）若往盒中再放进10颗黑色棋子，在盒中有10+x+y颗棋子，则取得黑色棋子的概率变为，结合（1）的条件，可得，解可得x=15，y=25．．解答：解：（1）根据题意得：，（3分）整理，得8x=3x+3y，（4分）∴5x=3y，∴；（5分）（2）解法一：根据题意，得，（7分）整理，得2x+20=x+y+10，∴y=x+10，（8分）∴5x=3（x+10），∴x=15，y=25．解法二：（2）根据题意，可得，整理得，解得．（8分）点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m 种结果，那么事件A的概率P（A）= ．如图，在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E，连接BP交AC于点F．（1）证明：∠CAE=∠CBF；（2）证明：AE=BF．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．专题：证明题．分析：根据等腰三角形三线合一的性质可得CH平分∠ACB，再证明△ACE和△BCF全等，然后根据全等三角形对应角相等和全等三角形对应边相等即可证明．解答：（1）证明：在等腰△ABC中，∵CH是底边上的高线，∴∠ACH=∠BCH，在△ACE和△BCF中，，∴△ACE≌△BCF（SAS），∴∠CAE=∠CBF（全等三角形对应角相等）；（2）∵△ACE≌△BCF（SAS），∴AE=BF（全等三角形对应边相等）．点评：本题主要考查全等三角形的判定和全等三角形的性质及等腰三角形的性质；熟练掌握定理和性如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD为BC边上的高，过点D作DE∥AB，交AC于点E，图中除△ABC外，还有等腰三角形吗？若有，请指出，并说明理由．考点：等腰三角形的判定；等边三角形的判定．专题：开放型．分析：简单的等腰三角形的判定问题，利用平行以及角之间的关系进行判断．解答：解：△ADE是等边三角形；△DEC为等腰三角形．理由：因为AB=AC，∠BAC=120°，所以∠B=∠C=30°．因为DE∥AB，所以∠EDC=∠B=30°．所以△DEC为等腰三角形．因为AD⊥BC，所以∠DAE= ∠BAC= ×120°=60°．因为∠ADC=90°，所以∠ADE=60°．所以△ADE是等边三角形．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD是BC边上的中线，BD=BE，则∠AED是105度．考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理．分析：由已知条件易得∠B=30°，△BED中根据等腰三角形的性质可得∠BED的度数，求其补角可得答案．解答：解∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°∴∠B=∠C= （180°-∠BAC）= （180°-120°）=30°∵BD=BE∴∠BED=∠BDE= （180°-∠B）= （180°-30°）=75°∴∠AED=180°-75°=105°．故填105．点评：本题考查的是三角形内角和定理及等腰三角形的性质；做题时两次运用了等边对等角的性质及三角形内角和定理，要熟练掌握并能灵活应用这些知识．。