Unified QCD Evolution Equations and the Dominant Behaviour of Structure Functions at Low X
美籍华人崔琦获诺贝尔物理学奖
美籍华人崔琦获诺贝尔物理学奖1998年华裔美籍科学家崔琦获诺贝尔物理学奖，他是获此殊荣的第六位华人1998年10月13日，华裔美籍科学家崔琦因发现逊电子在强磁场、超低温条件下互相作用，能形成某种特异性质的量子流体，获得1998年诺贝尔物理学奖，他是继1997年朱棣文之后登上诺贝尔殿堂的第六位华人。
崔琦，1939年生于河南，已入美国籍。
1967年获美国芝加哥大学物理学博士，1982年起任普林斯顿大学教授。
他于1984年获得了美国物理学会颁发的奥列佛·伯克利奖，1998年还获得了世界著名的本杰明·富兰克林物理奖。
1998年12月，他对采访他的记者谈了治学为人之道：崔琦认为，“获得成功，要有一定的运气和时机，但勤奋是基础。
”他说，他每年都要带二三十个研究生，他们都很刻苦，往往把别人花在舞会上的时间花在了实验室，周末不休息，一天工作10至12小时是常有的事。
一般人看来，学物理非常枯燥，不容易出成果，与学法律与商业的人相比，也挣不到大钱。
但崔教授有自己的见解。
他认为，搞物理研究只要投入，就会趣味盎然，每当有新的发现，哪怕是很微小的发现，也会享受到无穷的乐趣。
崔琦还说，要想成功，千万不要受周围环境的影响，“要相信自己，相信自己的能力”，“我常常鼓励学生们往前看，相信自己从事的是对人类有用的事业。
”他说，“如果只为一日三餐，并不需要去做研究，从事简单的体力劳动，便可达到目的。
做学问可不是为了钱，而是为了能对别人有用。
”崔琦指出，在相信自己的同时，还要相信别人。
只有向别人敞开你的胸怀，才会赢得别人的信任和帮助。
做到这一点对于远离故土到异国他乡求学的中国人来说尤为重要，因为他们要承受比别人更大的压力，如果不能与周围的人接近，很容易陷入孤立。
崔琦谈到他的那些来自中国名牌大学的一流学生时说，“他们的考试成绩非常好，但我告诉他们，做学问可不是做作业，那只是重复前人做过的事。
”他打了一个比喻，就像在旷野或森林中寻找回家的路一样，需要有开创性的探索精神。
《2024年非线性耦合方程组的高阶无振荡有限体积方法》范文
《非线性耦合方程组的高阶无振荡有限体积方法》篇一一、引言在科学与工程领域，非线性耦合方程组的求解是一项关键技术。
其精确性与稳定性对多种问题，如流体动力学、电路模拟和材料科学等具有重要意义。
为了更好地处理这些问题，研究者们提出了一种高阶无振荡有限体积方法。
本文将探讨此方法在非线性耦合方程组中的应用。
二、非线性耦合方程组的基本概念非线性耦合方程组由多个非线性偏微分方程组成，它们在空间和时间上相互依赖和影响。
这种复杂性使得求解过程变得复杂且计算量大。
为了解决这一问题，我们需要寻找一种有效的数值求解方法。
三、高阶无振荡有限体积方法高阶无振荡有限体积方法是一种求解偏微分方程的有效数值方法。
它利用有限体积的概念将求解空间离散化，通过求解离散化后的方程来逼近原方程的解。
此方法具有高精度、无振荡的特性，特别适合于求解非线性耦合方程组。
四、高阶无振荡有限体积方法的实施步骤高阶无振荡有限体积方法的实施步骤主要包括以下几步：1. 空间离散化：将求解空间划分为一系列的有限体积单元，每个单元代表一个离散点或一组离散点。
2. 建立离散化方程：基于高阶导数的空间分布特性，在每个有限体积单元上建立离散化后的偏微分方程。
3. 时间推进：采用合适的时间推进策略（如Runge-Kutta方法）求解离散化后的方程。
4. 迭代与收敛：通过迭代过程逐步逼近原方程的解，同时需要确保解的稳定性和收敛性。
五、高阶无振荡有限体积方法在非线性耦合方程组中的应用将高阶无振荡有限体积方法应用于非线性耦合方程组时，需要考虑以下几点：1. 适当的离散化策略：根据问题的特性选择合适的空间离散化策略，以确保解的准确性和稳定性。
2. 耦合项的处理：对于非线性耦合方程组中的耦合项，需要采用适当的方法进行处理，以保持解的准确性。
3. 时间推进策略的选择：根据问题的特性和需求选择合适的时间推进策略，如显式或隐式时间积分方法等。
六、实验与结果分析我们采用了几种典型的非线性耦合方程组进行实验，并比较了高阶无振荡有限体积方法与其他方法的性能。
定量电子显微学方法与氧化钛纳米结构研究获国家自然科学二等奖
个 国家 和地 区都有 各 自明确 的纳 米 科技 发展 战略 ，投入 巨 成果 成功 应用 到纳米 结构 的研究 领域 。 在 科 学 家 眼 中 ，食 盐 不 是 食 盐 ， 而 是 一 种 典 型 的 离 子 资 、抢 占战略制 高点 。美 国国家 纳米讨‘ （ 划 ＮＮ Ｉ）２ １ ０１ 晶体 。 么一种 最最普 通的东 西 ， 电子显微 镜去观 察它 的 这 用 年 财 政 预 算 ｌ 美 元 ，历 年 投 入 稳 定 增 长 。 日本 尤 其 重 视 ８亿 结构 时 ，也 没有 好的理 论去 描述 电子在 这种 离子 晶体 表面 纳 米技术在信 息 、金 属 、环境 、能源 、生命 科学 以及基础 技 的衍 射现 象 。彭 练矛 团 队给 出了描 述诸 如离 子 晶体表 面衍
仿 生智 能纳 米界 面材料 、碳纳 米管 宏观 薄膜 及纤 维结 构 的 贝 尔 物 理 学 奖 就 颁 发 给 了 成 功 地 分 离 出 单 层 石 墨 烯 材 料 的
制备与 性 能研究 、纳 米结 构金 属材 料达 到高 性 能极 限等诸 两 名 英 国 物 理 学 家 。
多 方面取得 突破 。
像 科 技 研 发 和 产 业 化 的 整 体 协 调 。同 时 ， 入 并 持 续 开 展 纳 米 重 ，多 数 情 况 下 我 们 在 电 子 显 微 镜 中所 看 到 的 ‘ ’不 能 直 深 接反 映物体 的真正结 构 。 练矛 说 ， 用量 子力学 的原理 ， ”彭 利 科技领 域战 略研 究 ，提高 决策 能力 ；整合资 源 ，形成在纳 米
陈运泰院士荣获美国地球物理联合会国际奖
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陈 运 泰 院 士 荣 获 美 国地 球 物理 联合 会 国际奖
颁 奖 词
鉴于 陈运 泰数十 年来杰 出的科 学研 究成就 ，鉴于他 为 中国地 震学 与大地构造 学研 究
１８ ９ ０年代 。后 来 陈运 泰返 回 中 国并 成 为 中 国地震局 的教授 ，现在 他仍是 名誉教授 。
陈运 泰于 １９ ９ １年 被 选 为 中 国科 学 院 院
并无 私奉献地 组织 或者共 同组织 了许多 次 国
际 学 术 研 讨 会 ，并 在 多 处 举 办 培 训 班 ，极 大
（ ＡＧＵ） 会 。 大
士 ，于 １ ９ ９ ９年 被 选 为 发 展 中 国家 科 学 院
（ ＡＳ 院 士 。 从 ２ ０ Ｔｗ ） ０ １至 ２ ０ ０ ８年 ，他 在 北
京大学地球 与空 间科学学 院任 院长 。 陈运 泰在 中国现代地 震学 的发展 以及推
第 ５期
陈运 泰 院 士 荣 获美 国地 球 物 理联 合会 国 际 奖
州大 学 （ Ｌ ＵＣ Ａ） 李 昂 ・诺 波 夫 （ ｅ ｎ 与 Ｌ ｏ
Ｋｎ ｐ ｆ 一 同 研 究 地 震 破 裂 力 学 。 尽 管 我 ｏ ｏｆ ）
害 、地 震危 险性 和 强地 面 运 动 委员 会 委员 ， 并且 已为这些 委员会 服务 多年 。他 坚持不 懈
【省级联考】陕西省2023届高三第一次模拟联考理科综合试卷(全真演练物理部分)
【省级联考】陕西省2023届高三第一次模拟联考理科综合试卷（全真演练物理部分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的答案中，只有一个符合题目要求。
(共8题)第(1)题随着“第十四届全国冬季运动会”的开展，各类冰雪运动绽放出冬日激情，下列说法正确的是（ ）A．评委给花样滑冰选手评分时可以将运动员看作质点B．滑雪比赛中运动员做空中技巧时，处于失重状态C．冰壶比赛中刷冰不会影响压力大小，则滑动摩擦力不变D．短道速滑转弯时是运动员重力的分力充当向心力第(2)题如图所示，A、B、C是位于匀强电场中某直角三角形的三个顶点，，。
现将电荷量的电荷P从A移动到B，电场力做功；将P从C移动到A，电场力做功，已知B点的电势，则（ ）A．将电荷P从B移动到C，电场力做的功为B．C点的电势为C．电场强度大小为，方向由C指向AD．电荷P在A点的电势能为第(3)题2022年诺贝尔物理学奖授予法国学者阿兰·阿斯佩（AlainAspect），美国学者约翰·克劳泽（JohnClauser）和奥地利学者安东·蔡林格（AntonZeilinger），既是因为他们的先驱研究为量子信息学奠定了基础，也是对量子力学和量子纠缠理论的承认，下列关于量子力学发展史说法正确的是（ ）A．普朗克通过对黑体辐射的研究，第一次提出了光子的概念，提出“光由光子构成”B．丹麦物理学家玻尔提出了自己的原子结构假说，该理论的成功之处是它保留了经典粒子的概念C．爱因斯坦的光电效应理论揭示了光的粒子性D．卢瑟福的原子核式结构模型说明核外电子的轨道是量子化的第(4)题下图为自动控制货品运动的智能传送带，其奥秘在于面板上蜂窝状的小正六边形部件，每个部件上有三个导向轮A、B、C，在单个方向轮子的作用下，货品可获得与导向轮同向的速度v，若此时仅控制A、C两个方向的轮子同时按图示箭头方向等速转动，则货品获得的速度大小为（ ）A．v B．C．D．2v第(5)题如图甲所示，质量分别为、的A、B两物体用轻弹簧连接构成一个系统，外力F作用在A上，系统静止在光滑水平面上（B靠墙面），此时弹簧形变量为x，撤去外力并开始计时，A、B两物体运动的图像如图乙所示，表示0到时间内图线与坐标轴所围面积大小，、分别表示到时间内A、B的图线与坐标轴所围面积大小，A在时刻的速度。
11月25日国家科技部下发《关于批准北京凝聚态物理等5个
邀请报告（境外11次），担任三个国际刊物的编委和
一系列国际会议的程序委员会委员，获中科院自然科
学奖一等奖、华人物理学会亚洲成就奖和求是青年学
者奖等学术奖励。主要学术成绩如下：
1.首次利用低温STM获得能够分辨碳-碳单键和双键
本着“公开、平等、竞争、择优”的原则，谨向国 内外公开招聘合肥微尺度物质科学国家实验室主任1 人，研究部主任若干人。
1．国家实验室主任 （招聘人数1人）
应聘资格：应聘人员应是微尺度物质科学研究或
相关领域国际知名学者，能够在学术方向、国内外合 作与交流等方面为国家实验室的发展做出重要贡献。
提交材料：（1）基本信息表（网上下载）； （2）论文等学术成果清单；（3）代表性论文抽印本 5篇；（4）研究成果简介（限2000字）；（5）工作 计划或建议（限2000字）。
化、化学反应动力学等领域的重要基础问题。利用
STM和STS相结合，发展了确定单分子在固体表面特
定位置吸附取向的方法，并首次确定了C60分子在Si表 面的吸附取向与局域电子态，被PRL审稿人认为是一
项“精致的实验”（第一作者），美国物理学会新闻网
也专门加以介绍。并被评为99年中国基础科学研究十
大新闻。
国家科技部、教育部、安徽省政府和中国科学院 关注“合肥微尺度物质科学国家实验室”的筹建
♦ 2003年5月28日，全国人大常委会副委员长、中国科学院院长路甬祥视察了合肥 微尺度物质科学国家实验室（筹），充分肯定了实验室和部分学科带头人的工作 成绩，并就有关工作给予了明确的指示。安徽省委副书记、常务副省长张平和省 人大常委会副主任黄岳忠、副省长田维谦等有关领导陪同路甬祥院长视察。 ♦ 2003年9月3日上午，科技部副部长程津培、科技部基础司司长张先恩、基础建 设处处长叶玉江等一行考察了合肥微尺度物质科学国家实验室（筹）。程津培副 部长对我校在筹备国家实验室期间所取得的成果表示赞赏，认为科大有实力、有 能力做得更好，他希望实验室继续保持科研团队的活力，争取有一些学科率先在 国际上达到并保持一流。 ♦ 2003年9月19日，中国科学院综合计划局李志刚局长一行考察了我校合肥微尺度 物质科学国家实验室（筹）建设运行情况。李志刚局长表示中科院将积极支持该 实验室的建设和试运行，希望该实验室能够加快建设进程，早日通过论证。 ♦ 2003年10月28 日，教育部科技司雷朝滋副司长对合肥微尺度物质科学国家实验 室（筹）的建设情况进行了考察和指导，听取了关于国家实验室建设及试运行情 况的汇报。雷副司长表示教育部非常重视科大的发展，教育部已经考虑在高校试 点建设国家实验室，对于科大正在建设的国家实验室，教育部将会非常坚决地表 示支持。
凸多边形的闵可夫斯基和分解及其最优估计
凸多边形的闵可夫斯基和分解及其最优估计
张松海;吴奕
【期刊名称】《中国科技论文》
【年(卷),期】2006(001)003
【摘要】本文讨论了闵可夫斯基和的逆问题(称为闵可夫斯基和分解),即将一个凸多边形分解为两个更为简单的凸多边形的问题,首先通过三角分解的方法证明了凸多边形阂可夫斯基和分解的存在性.在此基础上研究了在边个数和面积之和的意义下的最优分解.
【总页数】6页(P191-196)
【作者】张松海;吴奕
【作者单位】清华大学计算机科学与技术系,北京,100084;清华大学计算机科学与技术系,北京,100084
【正文语种】中文
【中图分类】TP391
【相关文献】
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5.直观与同情——闵可夫斯基现象学精神病学的方法论反思 [J], 黄旺
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Hilfer_分数阶脉冲随机发展方程的平均原理
第 63 卷第 1 期2024 年 1 月Vol.63 No.1Jan.2024中山大学学报（自然科学版）（中英文）ACTA SCIENTIARUM NATURALIUM UNIVERSITATIS SUNYATSENIHilfer分数阶脉冲随机发展方程的平均原理*吕婷1，杨敏1，王其如21. 太原理工大学数学学院，山西太原 0300242. 中山大学数学学院，广东广州 510275摘要：利用分数阶微积分理论、半群性质、不等式技巧和随机分析理论，建立了分数布朗运动驱动的Hilfer 分数阶脉冲随机发展方程的平均原理，证明了原方程的适度解均方收敛于无脉冲平均方程的适度解，并通过实例说明了所得理论结果的适用性.关键词：平均原理；Hilfer分数阶导数；脉冲随机发展方程；分数布朗运动中图分类号：O211.63 文献标志码：A 文章编号：2097 - 0137（2024）01 - 0145 - 09Averaging principle for Hilfer fractional impulsivestochastic evolution equationsLÜ Ting1， YANG Min1， WANG Qiru21. School of Mathematics， Taiyuan University of Technology， Taiyuan 030024， China2. School of Mathematics， Sun Yat-sen University， Guangzhou 510275， ChinaAbstract：By using fractional calculus，semigroup theories，inequality techniques and stochastic analysis theories， an averaging principle for Hilfer fractional impulsive stochastic evolution equations driven by fractional Brownian motion is established. The mild solution of the original equations converges to the mild solution of the reduced averaged equations without impulses in the mean square sense is proved. And an example is presented to illustrate the applicability of our obtained theoretical results.Key words：averaging principle； Hilfer fractional derivative； impulsive stochastic evolution equations；fractional Brownian motion在实际生活中，系统常受外力影响或内部产生的“噪声”干扰，所以，随机微分方程可以更加准确的刻画系统的变化特征，因而研究随机微分方程是很有必要的且存在实际的应用价值. 另外，现实生活中的许多现象都有长期后效作用，Mandelbrot et al.（1968）研究表明分数布朗运动可以较好的描述长期后效现象，这推动了更多学者们对分数布朗运动驱动的随机微分方程的广泛关注. 分数布朗运动（fBm）最早是由Kolmogorov（1940）提出的一个依赖于Hurst参数H∈(0，1)的高斯随机过程，当H=1/2时，分数布朗运动简化为标准布朗运动；当H≠1/2时，分数布朗运动既不是半鞅也不是Markov过程；当H >1/2 时，分数布朗运动具有自相似性、长时记忆性等特征，这些性质使分数布朗运动可以引入到数理金融（Bollerslev et al.，1996）、网络通信（Leland et al.，1994）、生物医学工程（de la Fuente et al.，2006；Boudrahem et al.，2009）等随机模型中作为随机噪声项，得以更好的描述系统特征和保证模型性能. 除此之外，具有脉冲干扰的微分方程能准确的呈现出系统的瞬时变化规律，因此，脉冲随机微分方程吸引了很多学者的关注，详见文DOI：10.13471/ki.acta.snus.2023A006*收稿日期：2023 − 01 − 16 录用日期：2023 − 03 − 22 网络首发日期：2023 − 11 − 15基金项目：国家自然科学基金（12001393，12071491）；山西省自然科学基金（201901D211103）作者简介：吕婷（1999年生），女；研究方向：分数阶随机微分方程；E-mail：********************通信作者：杨敏（1986年生），男；研究方向：泛函微分方程理论及其应用；E-mail：******************第 63 卷中山大学学报（自然科学版）（中英文）献（Sakthivel et al.，2013；Ren et al.，2014；Liu et al.，2020）.另一方面，平均原理作为一种高效、准确的近似分析方法，在非线性动力系统的研究中发挥着重要作用. 它的主要思想是对原始动力系统进行简化得到一个平均系统，并且这个简化后的平均系统可以反映原系统的动力学行为. 目前为止，随机微分系统的平均原理理论已经获得了极大的发展. 例如，Cerrai et al.（2009）研究了一类随机反应扩散模型的平均原理；Ma et al.（2019）研究了Lévy 噪声驱动的脉冲随机微分方程的周期平均原理；Cui et al.（2020）在非Lipschitz 系数条件下，考虑了脉冲中立型随机微分方程的平均原理；Ahmed et al.（2021）探索出含泊松跳和时滞的Hilfer 分数阶随机微分方程的平均原理；Liu et al.（2022a ）在非Lipschitz 系数条件和无周期条件下，考虑了由分数布朗运动驱动的脉冲随机微分方程的平均原理.但现有研究存在两方面不足：一是大多数平均原理建立在有限维空间上，很少考虑空间是无穷维的情形（Xu et al.，2020；Liu et al.，2022b ），二是Caputo 分数阶脉冲随机微分方程已有相应的平均原理研究（Wang et al.，2020；Xu et al.，2011；刘健康等，2023），但Hilfer 分数阶脉冲随机发展方程的平均原理尚未见到研究结果. 基于上述讨论，本文在Hilbert 空间上考虑如下Hilfer 分数阶脉冲随机发展方程的平均原理ìíîïïïïïïD γ，β0+x (t )=Ax (t )+f (t ，x t )+h (t ，x t )d B H Q (t )d t ， t ≠t k ， t ∈J =(0，b ]，Δx (t k )=I k (x (t k ))=x (t +k )-x (t -k )， t =t k ，k =1，2，⋯，m ，x (t )=φ(t )， -λ≤t <0，I (1-β)(1-γ)0+x (0)=φ0，（1）其中D γ，β是Hilfer 分数阶导数，γ∈[]0，1，β∈()12，1，x (⋅)取值于实可分Hilbert 空间X . 闭线性算子A ：D (A )⊂X →X 是强连续算子半群{S (t )}t ≥0的无穷小生成元. B H Q (t )是定义在实可分Hilbert 空间Y 上的分数布朗运动，其中Hurst 参数H ∈()12，1. P C ()[]-λ，0；X 指从[]-λ，0到X 上所有具有càdlàg 路径的连续函数φ构成的空间，其范数 φP C =sup-λ≤t ≤0φ(t )<+∞，x t =x (t +τ)(τ∈[-λ，0])是P C -值的随机过程. x (t -k )和x (t +k )分别表示x (t )在t =t k 时的左极限和右极限，I k 表示x (t )在t =t k 时刻的脉冲扰动，脉冲时间序列{t k }满足0<t 1<⋯<t m <t m +1=b . 系数函数 f ：J ×P C →X ，h ：J ×P C →L 02(Y ，X ). 1 预备知识假设(Ω，F ，{F t }t ≥0，P )是一个带流的完备概率空间，其中{F t }t ≥0满足通常条件，即{F t }t ≥0是右连续的且F 0包含所有零测集. {B H (t )}t ∈R 是带有Hurst 参数H ∈()12，1的一维分数布朗运动，即B H (t )是一个中心高斯过程且具有以下协方差函数R H (t ，s )=E (B H (t )B H (s ))=12()t 2H +s 2H -|t -s |2H， t ，s ∈R =(-∞，+∞).记X 和Y 是两个实可分Hilbert 空间，L (Y ，X )是从Y 映射到X 上所有有界线性算子构成的空间. Q ∈L (Y )是一个非负自伴算子，满足Qe n =λn e n ，有限迹tr Q =∑n =1∞λn <+∞，其中{λn }≥0，(n =1，2，⋯)是一个非负有界实数序列，{e n }(n =1，2，⋯)是空间Y 上一组标准正交基. {B H n (t )}n ∈N +是独立于完备概率空间(Ω，F ，P )的一维标准分数布朗运动序列，现在我们在空间Y 上定义无穷维分数布朗运动如下：B HQ(t )=∑n =1∞B H n(t )Q 12e n =∑n =1∞B H n (t )λn e n ， t ≥0，则B H Q (t )∈L 2(Ω，Y )且在空间Y 中收敛，其中L 2(Ω，Y )表示所有强可测，平方可积的Y -值随机过程组成的146第 1 期吕婷，等：Hilfer 分数阶脉冲随机发展方程的平均原理空间.若ψ∈L (Y ，X )并且使得ψQ 12是Hilbert-Schmidt 算子，满足范数 ψ2L 02=∑n =1∞λn ψe n 2<+∞，则ψ被称为从Y 映射到X 的Q -Hilbert-Schmidt 算子. 记L 02≔L 02(Y ，X )是所有Q -Hilbert-Schmidt 算子ψ∈L (Y ，X )构成的空间，定义空间L 02的内积为ψ1，ψ2L 02=∑n =1∞ψ1e n ，ψ2e n ，则L 02(Y ，X )是一个可分Hilbert 空间. 引理1（Abouagwa et al.，2021） 对任意ϕ：J →L 02(Y ，X )，∫0bϕ(s )2L 02d s <+∞成立， 当t ∈J ，∑n =1∞ϕ(t )Q 12e n 一致收敛，则对任意t 1，t 2∈J 且t 2>t 1，有E∫t 1t 2ϕ(s )d B H Q(s )2≤2H (t 2-t 1)2H -1∫t 1t 2ϕ(s )2L 02d s .定义1（Yang et al.，2017a ） 函数f ：[a ，+∞)→R 是一个Lebesgue 可积函数，对任意β∈(0，1)，函数f 的β阶Riemann-Liouville 积分定义为I βa +f (t )=1Γ(β)∫a t (t -s )β-1f (s )d s ， t >a ，β>0，其中Γ(⋅)是Gamma 函数.定义2（Yang et al.，2017a ） 函数f ：[a ，+∞)→R 的β阶Riemann-Liouville 分数阶导数定义为LD βa +f (t )=1Γ(n -β)d nd t n∫at (t -s )n -1-βf (s )d s ， t >a ， n -1<β<n ，其中n ∈N +. 定义3（Yang et al.，2017a ） 函数f ：[a ，+∞)→R 且f ∈C n [a ，+∞)，f 的β阶Caputo 分数阶导数定义为CD βa +f (t )=1Γ(n -β)∫at (t -s )n -1-βf (n )(s )d s ， t >a ， n -1<β<n ，其中C n [a ，+∞)表示在区间[a ，+∞)上n 次连续可微的函数构成的空间，n ∈N +.定义4（Sheng et al.，2022） 函数f ：[a ，+∞)→R 的Hilfer 分数阶导数定义为D γ，βa+f (t )=I γ(1-β)a +d d t I (1-γ)(1-β)a+f (t )， 0≤γ≤1，0<β<1.注1（Sheng et al.，2022） 当γ=0，0<β<1，a =0，则Hilfer 分数阶导数对应经典的Riemann-Liou ‐ville 分数阶导数D 0，β+f (t )=d d tI 1-β0+f (t )=L D β0+f (t ).当γ=1，0<β<1，a =0，则Hilfer 分数阶导数对应经典的Caputo 分数阶导数D 1，β0+f (t )=I 1-β0+dd tf (t )=C D β0+f (t ).引理2 方程（1）等价于如下的积分方程x (t ) = φ0t (γ-1)(1-β)Γ(γ(1-β)+β)+1Γ(β)∫0t (t -s )β-1(Ax (s )+f (s ，x s ))d s+1Γ(β)∫0t (t -s )β-1h (s ，x s )d B H Q(s )+t (γ-1)(1-β)Γ(γ(1-β)+β)∑0<t k <tIk(x t k). (2)证明 可参考文献（Yang et al.，2017a ；Ahmed et al.，2018）. 为了给出方程（1）的适度解，引入以下Wright-type 函数M β(θ)=∑n =1∞(-θ)n -1(n -1)Γ(1-βn )， 0<β<1，θ∈C .147第 63 卷中山大学学报（自然科学版）（中英文）引理3（Yang et al.，2017a ） 若积分等式（2）成立，其等价于如下的等式：x (t )=S γ，β(t )φ0+∫0t Tβ(t -s )f (s ，x s )d s +∫0t Tβ(t -s )h (s ，x s )d B H Q (s )+∑0<t k <tSγ，β(t -t k )I k (x t k)=S γ，β(t )φ0+∫0t (t -s )β-1P β(t -s )f (s ，x s )d s +∫0t (t -s )β-1P β(t -s )h (s ，x s )d B H Q (s )+∑0<t k <tSγ，β(t -t k )I k (x t k)，(3)其中P β(t )=∫∞βθM β(θ)S (t βθ)d θ，T β(t )=t β-1P β(t )，S γ，β(t )=I γ(1-β)0+T β(t ).定义5 若一个P C -值的随机过程x ：[-λ，b ]→X 满足以下条件，则称x (t )是方程（1）的适度解.（i ） x (t )是F t -适应的且∫0bE x (s )2d s <+∞几乎必然成立；（ii ） x (t )=φ(t )，-λ≤t ≤0；（iii ） 当t ∈J 时，x (t )具有càdlàg 路径且对任意t ∈J 有x (t )=S γ，β(t )φ0+∫0t (t -s )β-1P β(t -s )f (s ，x s )d s+ ∫t(t -s )β-1P β(t -s )h (s ，x s )d B H Q (s )+∑0<t k <tSγ，β(t -t k )I k (x t k). (4)本文中，我们假设如下条件成立：（H0）当t ≥0时，S (t )是一致算子拓扑连续的，且S (t )是一致有界的，即存在M >1，使得supt ∈[0，+∞)S (t )<M .引理4（Yang et al.，2017b ） 在条件（H0）下，对任意t >0，{P β(t )}t >0和{S γ，β(t )}t >0是线性算子，且对任意x ∈X 有P β(t )x ≤M Γ(β) x ， S γ，β(t )x ≤Mt (γ-1)(1-β)Γ(γ(1-β)+β) x .定义6（Liu ，2007） 设X n (n ≥1)，X 是同一概率空间(Ω，F ，P )上的随机变量，若E (|X n |2)<+∞，且lim n →∞E (|X n -X |2)=0成立，则称X n 均方收敛于X .2 平均原理接下来，我们建立Hilfer 分数阶脉冲随机发展方程的平均原理.首先，定义方程（1）的扰动形式为ìíîïïïïïïD γ，β0+x ε(t )=Ax ε(t )+εf (t ，x ε，t )+εHh (t ，x ε，t )d B H Q (t )d t ， t ≠t k ，t ∈J =(0，b ]，Δx ε(t k)=x ε(t +k )-x ε(t -k )=εI k (x ε(t k ))， t =t k ，k =1，2，⋯，m ，x ε(t )=φ(t )， -λ≤t <0，I (1-β)(1-γ)0+x ε(0)=φ0.（5）然后根据方程（1）适度解的定义，可以得到方程（5）的适度解为：x ε(t )=S γ，β(t )φ0+ε∫0t (t -s )β-1P β(t -s )f (s ，x ε，s )d s+ εH∫0t (t -s )β-1P β(t -s )h (s ，x ε，s )d B HQ (s )+ε∑0<t k <tSγ，β(t -t k )I k (x ε，t k)， (6)其中ε∈(0，ε0]是一个很小的正参数，ε0是一个固定的常数.为了得出本文的主要结果，假设系数函数f ，h 具有周期T ，则存在正整数m ∈N +，使得0<t 1<…<t m <T ，那么对整数k >m ，有t k =t k -m +T ，I k =I k -m . 现引入可测的系数函数f ˉ：P C →X ，h ˉ：148第 1 期吕婷，等：Hilfer 分数阶脉冲随机发展方程的平均原理P C →L 02(Y ，X )，-I k ：P C →X ，其中f ˉ(x )=1T∫T f (s ，x )d s ，hˉ(x )=1T∫Th (s ，x )d s ，-I (x )=1T ∑k =1m I k (x ). 另外，我们做如下假设：（H1） 对任意x ，y ∈P C ，t ∈J ，存在正常数M 1使得f (t ，x )-f (t ，y )2∨ h (t ，x )-h (t ，y )2L 02≤M 21 x -y 2.（H2） 对任意的x ，y ∈P C ，存在正常数c k 和d k ，使脉冲函数I k 满足I k (x )2≤c k ， I k (x )-I k (y )2≤d k x -y 2.（H3） 对所有T ∈J ，x ∈P C ，存在有界函数ρi (T )>0(i =1，2)使得1T ∫0T f (s ，x )-f ˉ(x )2d s ≤ρ1(T )()1+ x 2，1T∫0T h (s ，x )-h ˉ(x )2d s ≤ρ2(T )()1+ x 2，其中lim T →∞ρi (T )=0(i =1，2).则方程（5）对应如下无脉冲项平均系统：ìíîïïïïD γ，β0+z ε(t )=Az ε(t )+εf ˉ(z ε，t )+ε-I (z ε，t )+εH h ˉ(z ε，t)d B H Q (t )d t ， t ∈J =(0，b ]，I (1-β)(1-γ)0+z ε(0)=φ0，z ε(t )=φ(t )，-λ≤t <0.（7）参考文献（Gu et al.，2015）中引理2.12的证明，可以得到方程（7）的适度解z ε(t )为z ε(t )=S γ，β(t )φ0+ε∫0t (t -s )β-1P β(t -s )f ˉ(z ε，s )d s+ εH∫t (t -s )β-1P β(t -s )h ˉ(z ε，s )d B H Q (s )+ε∫t (t -s )β-1P β(t -s )-I (z ε，s )d s . (8)定理1 假设条件（H0）~（H3）成立，则当ε趋于零时，方程（5）的适度解x ε(t )均方收敛于平均方程（7）的适度解z ε(t ). 即任意给定一个很小的数δ>0，存在M 0>0，α∈(0，1)以及ε1∈(0，ε0]，使得当ε∈(0，ε1]时有E()sup t ∈[-λ，M 0ε-α]x ε(t )-z ε(t )2≤δ.证明 由式（6）和式（8），有x ε(t )-z ε(t )=ε∫0t(t -s )β-1P β(t -s )[f (s ，x ε，s)-f ˉ(z ε，s)]d s + εH∫0t(t -s )β-1P β(t -s )[]h (s ，x ε，s )-hˉ(z ε，s)d B HQ(s )+ ε()∑0<t k <tSγ，β(t -t k )I k (x ε，t k)-∫0t (t -s )β-1P β(t -s )-I (z ε，s )d s ，(9)从而对任意ν∈(0，b ]，利用基本不等式得到E ()sup 0<t ≤νx ε(t )-z ε(t )2≤3ε2E ()sup 0<t ≤ν∫0t (t -s )β-1P β(t -s )[]f (s ，x ε，s )-f ˉ(z ε，s )d s 2+ 3ε2HE ()sup 0<t ≤ν∫0t (t -s )β-1P β(t -s )[h (s ，x ε，s )-h ˉ(z ε，s )]d B H Q(s )2+ 3ε2E ()sup 0<t ≤ν ∑0<t k<tS γ，β(t -t k )I k (x ε，t k)-∫0t(t -s )β-1P β(t -s )-I (z ε，s )d s 2≤N 1+N 2+N 3. (10)对于第1项，由引理4可得149第 63 卷中山大学学报（自然科学版）（中英文）N 1≤6M 2Γ2(β)ε2E ()sup 0<t ≤ν∫0t(t -s )β-1[]f (s ，x ε，s )-f (s ，z ε，s )d s 2 +6M 2Γ2(β)ε2E ()sup 0<t ≤ν∫0t(t -s )β-1[]f (s ，z ε，s )-f ˉ(z ε，s )d s 2≔N 11+N 12 . ()11利用假设条件（H1）和Cauchy-Schwarz 不等式得到N 11≤6M 2M 21ε2ν2β-1(2β-1)Γ2(β)∫νE()sup 0<s 1≤sx ε，s 1-z ε，s12d s =Λ11ε2ν2β-1∫νE()sup0<s 1≤sx ε，s 1-z ε，s12d s ，（12）其中Λ11=6M 2M 21(2β-1)Γ2(β).由假设条件（H3）得到N 12≤6M 2ε2ν2β-1(2β-1)Γ2(β)E ()sup 0<t ≤νt ⋅1t ∫0t f (s ，z ε，s )-f ˉ(z ε，s )2d s ≤Λ12ε2ν2β，（13）其中Λ12=6M 2(2β-1)Γ2(β)sup 0<t ≤νρ1(t )()1+E ()sup 0<t ≤νz ε，t2. 对于第2项，由引理4可以推出N 2≤6M 2Γ2(β)ε2HE ()sup 0<t ≤ν∫0t (t -s )β-1[]h (s ，x ε，s )-h (s ，z ε，s )d B HQ (s )2+ 6M 2Γ2(β)ε2HE ()sup 0<t ≤ν∫0t (t -s )β-1[]h (s ，z ε，s )-h ˉ(z ε，s )d B H Q(s )2≔N 21+N 22 . (14)由引理1、假设条件（H1）和Cauchy-Schwarz 不等式得到N 21≤12M 2H Γ2(β)ε2H ν2H -1E ()sup0<t ≤ν∫t (t -s )2(β-1) h (s ，x ε，s )-h (s ，z ε，s )2d s≤Λ21ε2H ν2(H +β-1)∫0νE()sup0<s 1≤sxε，s 1-z ε，s12d s ，（15）其中Λ21=12M 2M 21H(2β-1)Γ2(β).由引理1、假设条件（H1）和假设条件（H3）得到N 22≤12M 2H (2β-1)Γ2(β)ε2H ν2(H +β-1)E ()sup 0<t ≤νt ⋅1t ∫0th (s ，z ε，s)-h ˉ(z ε，s )2d s ≤Λ22ε2H ν2H +2β-1，（16）其中Λ22=12M 2H(2β-1)Γ2(β)sup 0<t ≤νρ2(t )()1+E ()sup 0<t ≤νz ε，t 2. 对于第3项，由基本不等式得到N 3≤6ε2E ()sup 0<t ≤ν∑0<t k<t S γ，β(t -t k )I k (x ε，t k)2+ 6ε2E ()sup 0<t ≤ν∫0t (t -s )β-1P β(t -s )-I (z ε，s )d s 2≔N 31+N 32， (17)由引理4、假设条件（H2）和Cauchy-Schwarz 不等式得到N 31≤6ε2M 2ν2(γ-1)(1-β)Γ2(γ(1-β)+β)E ()sup 0<t ≤ν∑0<t k<t I k (x ε，tk)2≤6ε2M 2mν2(γ-1)(1-β)Γ2(γ(1-β)+β)E ()sup 0<t ≤ν∑k =1m I k (x ε，t k)2≤6ε2M 2m 2c k ν2(γ-1)(1-β)Γ2(γ(1-β)+β)=Λ31ε2ν2(γ-1)(1-β)， (18)其中Λ31=6m 2M 2c kΓ2(γ(1-β)+β).150第 1 期吕婷，等：Hilfer 分数阶脉冲随机发展方程的平均原理N 32≤6M 2ε2Γ2(β)E ()sup 0<t ≤ν∫0t(t -s )β-1I ˉ(z ε，s )d s 2≤6M 2ε2ν2β-1(2β-1)Γ2(β)E ()sup 0<t ≤ν∫0tI ˉ(z ε，s)2d s≤6M 2mε2ν2β-1(2β-1)T 2Γ2(β)E ()sup 0<t ≤ν∑k =1m∫0tI k(zε，s)2d s ≤6M 2m 2c k ε2ν2β-2(2β-1)Γ2(β)=Λ32ε2ν2(β-1)， (19)其中Λ32=6M 2m 2c k(2β-1)Γ2(β).将估计式（11）~（19）代入式（10），则对任意ν∈(0，b ]，得到不等式E ()sup 0<t ≤νx ε(t )-z ε(t )2≤Λ12ε2ν2β+Λ22ε2H ν2H +2β-1+Λ31ε2ν2(γ-1)(1-β)+Λ32ε2ν2(β-1)+ (Λ11ε2ν2β-1+Λ21ε2Hν2(H +β-1))∫0νE()sup0<s 1≤sxε，s 1-z ε，s12d s . (20)令Ξ(ν)=E ()sup 0<t ≤νx ε(t )-z ε(t )2，由于E()sup -λ≤t <0x ε(t )-z ε(t )2=0，则Ξ(s +τ)=E()sup0<s 1≤sx ε，s 1-z ε，s12=E()sup 0<s 1≤sx ε(s 1+τ)-z ε(s 1+τ)2， τ∈[-λ，0)，因此，Ξ(ν)≤Λ12ε2ν2β+Λ22ε2H ν2H +2β-1+Λ31ε2ν2(γ-1)(1-β)+Λ32ε2ν2(β-1) + (Λ11ε2ν2β-1+Λ21ε2Hν2(H +β-1))∫0νΞ(s +τ)d s . (21)对任意ν∈(0，b ]，令Θ(ν)=sup -λ≤t ≤νΞ(t )，则Ξ(t )≤Θ(t )，Ξ(t +τ)≤Θ(t )，τ∈[-λ，0). 从而得到Θ(ν)=sup -λ≤t ≤νΞ(t )≤max{}sup -λ≤t ≤0Ξ(t )+sup 0<t ≤νΞ(t )≤Λ12ε2ν2β+Λ22ε2H ν2H +2β-1+ Λ31ε2ν2(γ-1)(1-β)+Λ32ε2ν2(β-1)+()Λ11ε2ν2β-1+Λ21ε2Hν2(H +β-1)∫0νΘ(s )d s . (22)由Gronwall 不等式，可推出Θ(ν)≤()Λ12ε2ν2β+Λ22ε2H ν2H +2β-1+Λ31ε2ν2(γ-1)(1-β)+Λ32ε2ν2(β-1)exp ()Λ11ε2ν2β+Λ21ε2H ν2H +2β-1， （23）即有E()sup -λ<t ≤νx ε(t )-z ε(t )2≤()Λ12ε2ν2β+Λ22ε2H ν2H +2β-1+Λ31ε2ν2(γ-1)(1-β)+Λ32ε2ν2(β-1)× exp ()Λ11ε2ν2β+Λ21ε2H ν2H +2β-1. (24)即存在M 0>0和α∈(0，1)，使得对所有t ∈(0，M 0ε-α]⊂(0，b ]满足E()sup 0<t ≤M 0ε-αx ε(t )-z ε(t )2≤με1-α，其中常数μ=(Λ12M 2β0ε1+α-2αβ+Λ22M 2H +2β-10ε2α(1-H -β)+2H -1+Λ31M 2(γ-1)(1-β)0ε2α(1-γ)(1-β)+α+1)+Λ32M 2(β-1)0ε3α-2αβ+1exp ()Λ11M 2β0ε2-2αβ+Λ21M 2H +2β-10ε2H -α(2H +2β-1) . (25)所以对任意给定的数δ>0，存在ε1∈(0，ε0]，使得对任意ε∈(0，ε1]和t ∈[-λ，M 0ε-α]⊂ [-λ，b ]，有E()supt ∈[-λ，M 0ε-α]x ε(t )-z ε(t )2≤δ.定理1证毕.注2 现有文献考虑的是有限维空间上含泊松跳以及Wiener 过程的无脉冲扰动的Hilfer 分数阶随机微分方程的平均原理（Ahmed et al.，2021；Luo et al.，2021），与之相比，本文考虑了分数布朗运动驱动的含脉冲项的Hilfer 分数阶随机微分方程. 更为重要的是，我们在Hilbert 空间上建立了具有算子的Hilfer 分数阶151第 63 卷中山大学学报（自然科学版）（中英文）脉冲随机发展方程的平均原理，一定程度上丰富了Hilfer 分数阶随机微分方程的平均原理的相关理论.3 实例为了说明所得结果的适用性，我们考虑以下含脉冲的Hilfer 分数阶随机发展方程ìíîïïïïïïïïïïD γ，23x ε(t ，z )=∂2∂z2x ε(t ，z )+εsin 2(t )x ε，t (z )+2εH cos 2(t )x ε，t(z )d B H Q (t )d t ， I 13(1-γ)x ε(0，z )=φ0，Δx ε(t k ，z )=εx ε(t k ，z )(4+k )(5+k )， z ∈[0，π]，k ∈1，2，⋯，m ，x ε(θ，z )=φ(θ，z )， θ∈[-λ，0]，z ∈[0，π]，x ε(t ，0)=x ε(t ，π)=0， t ∈(0，m π].（26）令空间X =Y =L 2[0，π]，系数函数f ()t ，x ε，t =sin 2(t )x ε，t (z )，h ()t ，x ε，t =2cos 2(t )x ε，t (z )，脉冲函数I k =x ε(t k ，z )(4+k )(5+k ).定义算子A ：D (A )→X ，Ax ε(t ，z )=∂2∂z2x ε(t ，z )，其中定义域D (A )={}x ∈X ， x ，x '全连续，x ″∈X ， x (0)=x (π)=0，则A 是强连续算子半群{S (t )}t ≥0的无穷小生成元，且对任意t ≥0，S (t )是紧的、解析且自伴的，由一致有界定理可知存在一个常数M >0，使得 S (t )≤M ，且A 有离散谱，其特征值是-n 2，n ∈N +，对应的标准正交特征向量为ωn (z )=(nz )，n =1，2，⋯，则当x ∈D (A )时，Ax =-∑n =1∞n 2x ，ωn ωn . 为了定义算子Q ：Y →Y ，选择一组非负有界实数序列{λn }n ≥1，并在Y 中选取标准正交基{e n }n ≥1，使得Qe n =λn e n 成立，并且假设tr (Q )=∑n =1∞λn <+∞，从而可以定义随机过程B H Q(t )=∑n =1∞λn B H n (t )e n ，其中H ∈()1/2，1，{B Hn(t )}n ∈N +，是一个独立于完备概率空间(Ω，F ，P )的一维标准分数布朗运动序列.取T =π，则f ˉ(x )=1π∫πf (s ，x )d s =12x ， h ˉ(x )=1π∫0πh (s ，x )d s =x ，I ˉ(x )=1π∑k =1m x (4+k )(5+k )=mx 5(5+m )π，于是方程（26）的平均系统为ìíîïïïïïïïïïïïïD γ，23y ε(t ，z )=Ay ε(t ，z )+ε()m 5(5+m )π+12y ε，t (z )+y ε，t εH (z )d B H Q (t )d t ，I 13(1-γ)y ε(0，z )=φ0，y ε(θ，z )=φ(θ，z )， θ∈[-λ，0]，z ∈[0，π]，y ε(t ，0)=y ε(t ，π)=0.（27）显然，平均系统（27）比原系统（26）简单. 假设条件（H0）~（H3）满足，根据定理1，当ε趋于零时，系统 （26）的适度解均方收敛于平均系统（27）的适度解.参考文献：刘健康，王进斌，徐伟，2023. Caputo 分数阶中立型微分方程的随机平均原理［J ］. 山西大学学报（自然科学版），46（2）：304-308.ABOUAGWA M ，BANTAN R A R ，ALMUTIRY W ，et al ，2021. Mixed Caputo fractional neutral stochastic differential equationswith impulses and variable delay ［J ］. Fractal Fract ，5（4）：239.152153第 1 期吕婷，等：Hilfer分数阶脉冲随机发展方程的平均原理AHMED H M，EL-BORAI M M，EL-OWAIDY H M，et al，2018. Impulsive Hilfer fractional differential equations［J］. Adv Differ Equ，2018（1）：1-20.AHMED H M，ZHU Q，2021. The averaging principle of Hilfer fractional stochastic delay differential equations with Poisson jumps［J］. Appl Math Lett， 112： 106755.BOLLERSLEV T， OLE MIKKELSEN H， 1996. Modeling and pricing long memory in stock market volatility［J］. J Econom， 73（1）： 151-184.BOUDRAHEM S，ROUGIER P R，2009. Relation between postural control assessment with eyes open and centre of pressure visual feedback effects in healthy individuals［J］. Exp Brain Res， 195（1）： 145-152.CERRAI S， FREIDLIN M， 2009. Averaging principle for a class of stochastic reaction-diffusion equations［J］. 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which indicates that the sum of LL1/x and LLQ2 contributions is corrected for doublecounting by substraction of the double-leading-logarithmic terms (DLL). This led the authors[8] to propose a set of explicit equations for the quark-gluon system. However, as we shall see below, we find that the realization of the scheme (1) in terms of an explicit set of evolution equations leads to a solution which differs from that proposed in Ref.[8]. On the one hand, the set of equations obtained there leaves undetermined a regular function related to higher order contributions. On the other hand, the realization of (1) has to obey specific constraints which should be satisfied by the resulting equations, namely i) energy-momentum conservation, and ii) the decoupling of quark loops in the BFKL kernel. These constraints are not satisfied by the system of Ref.[8]. The goal of this paper is to provide an explicit realization of the formal scheme (1), obeying the constraints. We thus provide an explicit solution of the fundamental equation written in Ref.[6], while extending it to the quark-gluon system. The generic set of equations we propose following the scheme (1results on quark and gluon structure functions at Hera have paved the way for a reconsideration of QCD predictions. The observed behaviour of the proton structure function F2 x, Q2 and some indications on the gluon structure function FG x, Q2 in the range 10−4 ≤ x ≤ 10−2 , 8 ≤ Q2 ≤ 60 GeV2 are characterized[1] by a rapid rise at small x which is qualitatively compatible with the predictions of the resummation of leading log(1/x) contributions (hereafter denoted LL1/x) of the perturbative expansion, i.e. with the Lipatov singularity[2] (BFKL). There exists quantitative studies of structure functions including the BFKL singularity[3] . On the other hand, new tests of the celebrated Altarelli-Parisi evolution equations[4] (DGLAP) are now possible in a much larger Q2 range . These equations correspond to the resummation of the leading log(Q2 ) terms (denoted LLQ2 ) of the perturbative QCD expansion. Thus, HERA represents a unique apparatus for testing the QCD theoretical tools in kinematical domains where the perturbation expansion has to be resummed. As wellknown, this is due to the appearence of collinear and infrared (in the infinite-momentum frame) singularities in the perturbative theory, implying large logarithms in the effective coupling constant. Hopefully, a precise comparison between experiment and theory will help understanding the yet unknown non-perturbative regime. In this context, a unified description of the LL1/x and LLQ2 evolution equations for quark and gluon structure functions is highly desirable. Two different approaches have already been proposed, each one with its own advantages and inconveniences. First, it was remarked[5] that Feynman diagrams for multi-gluon emission which contribute to FG x, Q2 are characterized by a common angular ordering property in the whole x-range, leading after resummation to the BFKL singularity at small x and to the DGLAP equations elsewhere. This allows one to write a unique equation for the whole x range[6] . This approach leads to fruitful Monte Carlo simulations[7] based on the multi-gluon diagrams but an explicit solution of the evolution equation[6] itself has not yet been found. 2
arXiv:hep-ph/9410376v1 26 Oct 1994
ABSTRACT We consider a system of evolution equations for quark and gluon structure functions satisfying the leading-logarithmic behaviour due to both QCD collinear LLQ2 and infrared (LL1/x) singularities. We show that these equations leave undetermined an arbitrary regular function of j in the Mellin-transformed weights. We consider the constraints resulting from energy-momentum conservation and from the decoupling of quark loops in the leading j -plane singularity. These constraints can be fulfilled without influencing the leading-log terms. As a particular consequence of the second constraint, the location of the leading singularity is determined in terms of the (LL1/x) and LLQ2 kernels. It leads to a value significantly lower than the LL1/x evaluation, while remaining at j > 1, and compatible with the behaviour of structure functions observed at HERA.
Unified QCD evolution equations and the dominant behaviour of structure functions at low x by R. Peschanski and S. Wallon Service de Physique Th´ eorique, CEA-Saclay F-91191 Gif-sur-Yvette Cedex, FRANCE