中考数学压轴精品--动态几何5

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中考复习动态几何型压轴题

1、解决这类问题时，要、解决这类问题时，理解图形运动的过程，理解图形运动的过程，探索运动的特点和规律，探索运动的特点和规律，掌握好动静的切换---“动掌握好动静的切换动中求静” 中求静”。 2、多作出几个符合要求、多作出几个符合要求草图。的草图。
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例题：中考回放例题：09中考回放
（1）当t = 2时，AP = ）时，点Q到AC的距离是到的距离是；运动的过程中，的面积S与的（2）在点从C向A运动的过程中，求△APQ的面积与t的）在点P从向运动的过程中的面积函数关系式；（不必写出t的取值范围；（不必写出的取值范围）函数关系式；（不必写出的取值范围）运动的过程中，（3）在点从B向C运动的过程中，四边形）在点E从向运动的过程中四边形QBED能否成为能否成为直角梯形？若能，的值若不能，请说明理由；的值．直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；经过点C 请直接写出t的值的值．（4）当DE经过点时，请直接写出的值．）经过点
解：②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC，如图， ∥ 时 ⊥ ，四边形QBED是直角梯形．是直角梯形． ∴四边形是直角梯形此时∠ 此时∠APQ =90°． ° 由△AQP ∽△ABC，得 AQ = AP ， AB AC Q 即 t = 3-t ，解得t= 15 解得 3 5 8 D
A P B
解：（3）能．：（） ①当DE∥QB时，如图．∵DE⊥PQ， ∥ 时如图4． ⊥ ，是直角梯形． ∴PQ⊥QB，四边形 ⊥ ，四边形QBED是直角梯形．是直角梯形此时∠ 此时∠AQP=90° ° AQ = AP 由△APQ ∽△ABC，得 AC AB ， 9 t 即 3 = 3-t ，解得，t= 8 5

中考数学压轴题策略之动态几何问题

中考数学压轴题策略之动态几何问题
面对中考，考生对待考试需保持平常心态，复习时仍要按知识点、题型、易混易错的问题进行梳理，不断总结，不断反思，从中提炼最正确的解题方法，进一步提高解题能力。

下文准备了动态几何问题的解题策略的内容。

解这类问题的基本策略是：
1.动中觅静：这里的〝静〞就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性.
2.动静互化：〝静〞只是〝动〞的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住〝静〞的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到〝动〞与〝静〞的关系.
3.以动制动：以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点来研究变动元素的关系.
总之，解决动态几何问题的关键是要善于运用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住变化中的不变，以不变应万变。

具体做法是：
①全面阅读题目，了解运动的方式与形式，全方位考察运动中的变与变的量及其位置关系;
②应用分类讨论思想，将在运动过程中导致图形本质发生变化的各种时刻的图形分类画出，变〝动〞为〝静〞;
③在各类〝静态图形〞中运用相关的知识和方法(如方程、相似等)
进行探索，寻找各个相关几何量之间的关系，建立相应的数学模型进行求解。

另外，需要强调的是此类题型一般起点低，第一步往往是一个非常简单的问题，考生一般都能拿分，但恰恰是这一步问题的解题思想和方法是此题基本的做题思想和方法，是特殊到一般数学思想和方法的具体应用，所以考生在解决第一步时不仅要准确计算出【答案】，更重要的是明确此题的方法和思路。

【中考压轴题专项练习】最新中考数学压轴大题冲刺专项训练：《动态几何》含答案与解析

中考数学压轴大题冲刺专项训练动态几何1．在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＞BC ，BC ＝6cm ，P 、Q 分别从A 、C 同时出发，P 以1cm/s 的速度由A 向D 运动，Q 以2cm/s 的速度由C 出发向B 运动，几秒后四边形ABQP 是平行四边形？2．如图，点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，BCE 沿BE 折叠为BFE △，点F 落在AD 上．（1）求证：ABF DFE ∽△△；（2）若1sin 3DFE ∠=，求tan EBC ∠的值；（3）设AB k BC=，是否存在k 的值，使ABF 与BFE △相似？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系xoy 中，顶点为M 的抛物线1C ：2y ax bx =-(0a ＜)经过点A 和x 轴上的点B ，2AO OB ==，120AOB ∠=︒．（1）求该抛物线的表达式；（2）联结AM ，求AOM S ；（3）将抛物线1C 向上平移得到抛物线2C ，抛物线2C 与x 轴分别交于点E F 、(点E 在点F 的左侧)，如果MBF 与AOM 相似，求所有符合条件的抛物线2C 的表达式．4．定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在Rt ABC ∆中，90A ∠=，AB AC =，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连接DE 、DC ，点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，且连接PM 、PN ．观察猜想（1）线段PM 与PN “等垂线段”（填“是”或“不是”）猜想论证（2）ADE ∆绕点A 按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接BD ，CE ，试判断PM 与PN 是否为“等垂线段”，并说明理由．拓展延伸（3）把ADE ∆绕点A 在平面内自由旋转，若4=AD ，10AB =，请直接写出PM 与PN 的积的最大值．5．数轴上点A 表示的有理数为20，点B 表示的有理数为-10，点P 从点A 出发以每秒5个单位长度的速度在数轴上往左运动，到达点B 后立即返回，返回过程中的速度是每秒2个单位长度，运动至点A 停止，设运动时间为t （单位：秒）．（1）当t =5时，点P 表示的有理数为．（2）在点P 往左运动的过程中，点P 表示的有理数为（用含t 的代数式表示）．（3）当点P 与原点距离5个单位长度时，t 的值为．6．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AB=10cm ，BC=8cm ，若点P 从点A 出发，以每秒2cm 的速度沿折线A-B-C-A 运动，设运动时间为t （t ＞0）秒．（1）AC= cm ；（2）若点P 恰好在∠ABC 的角平分线上，求此时t 的值；（3）在运动过程中，当t 为何值时，△ACP 为等腰三角形．7．已知，在平面直角坐标系中，AB ⊥x 轴于点B ，A(a ，b)满足64a b -+-＝0，平移线段AB 使点A 与原点重合，点B 的对应点为点C ．OA ∥CB ．（1）填空：a ＝_______，b ＝_______，点C 的坐标为_______；（2）如图1，点P(x ，y)在线段BC 上，求x ，y 满足的关系式；（3）如图2，点E 是OB 一动点，以OB 为边作∠BOG ＝∠AOB 交BC 于点G ，连CE 交OG 于点F ，当点E 在OB 上运动时，OFC FCG OEC∠+∠∠的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．8．综合实践初步探究：如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．(1)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系为；解决问题：(2)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；(3)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间的数量关系为；拓展应用：(4)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时，请猜想四边形CDOE的周长与OC的数量关系，并说明理由；==．9．ABC是等边三角形，点D在BC上，点E，F分别在射线AB，AC上，且DA DE DF∠=________︒；（1）如图1，当点D是BC的中点时，则EDF（2）如图2，点D在BC上运动（不与点B，C重合）．∠的大小是否发生改变，并说明理由；①判断EDF②点D关于射线AC的对称点为点G，连接BG，CG，CE．依题意补全图形，判断四边形BECG的形状，并证明你的结论．10．如图，数轴上，点A表示的数为7-，点B表示的数为1-，点C表示的数为9，点D表示的数为13，在点B和点C处各折一下，得到条“折线数轴”，我们称点A和点D在数上相距20个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线BA和射线CD上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问：（1）动点P从点A运动至D点需要时间为________秒；（2）P、Q两点到原点O的距离相同时，求出动点P在数轴上所对应的数；（3）当Q点到达终点A后，立即调头加速去追P，“水平路线”和“上坡路段”的速度均提高了1个单位/秒，当点Q追上点P时，直接写出它们在数轴上对应的数．11．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，点O 为对角线BD 的中点，点P 从点A 出发，沿折线AD DO OC --以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动，当点P 与点A 不重合时，过点P 作PQ AB ⊥于点Q ，以PQ 为边向右作正方形PQMN ，设正方形PQMN 与ABD ∆重叠部分图形的面积为S （平方单位），点P 运动的时间为t （秒）．（1）求点N 落在BD 上时t 的值．（2）直接写出点O 在正方形PQMN 内部时t 的取值范围．（3）当点P 在折线AD DO -上运动时，求S 与t 之间的函数关系式．（4）直接写出直线DN 平分BCD ∆面积时t 的值．12．在Rt ABC ∆中，90CAB ∠=︒，6AC =，8AB =，点P 是射线AB 上的动点，连接CP ，将ACP ∆沿着CP 翻折得到A CP '∆，设AP x =()0x >，（1）如图1，当点A '在BC 上时，求x 的值．（2）如图2，连接AA '，BA '，当90AA B '∠=时，求PA B '∆的面积．（3）在点P 的运动过程中，当AA B '∆是等腰三角形时，求x 的值．参考答案与试题解析1．在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC＝6cm，P、Q分别从A、C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C出发向B运动，几秒后四边形ABQP是平行四边形？【解析】解：设t秒后，四边形APQB为平行四边形，则AP＝t，QC＝2t，BQ＝6﹣2t，∵AD∥BC所以AP∥BQ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，知：AP＝BQ即可，即：t＝6﹣2t，∴t＝2，当t＝2时，AP＝BQ＝2＜BC＜AD，符合，综上所述，2秒后四边形ABQP是平行四边形．△，点F落在AD上．2．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，BCE沿BE折叠为BFE（1）求证：ABF DFE ∽△△；（2）若1sin 3DFE ∠=，求tan EBC ∠的值；（3）设AB k BC=，是否存在k 的值，使ABF 与BFE △相似？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴90A D C ∠=∠=∠=︒，∵BCE 沿BE 折叠为BFE △，∴90BFE C ∠=∠=︒，∴90AFB DFE ∠+∠=︒，又∵90AFB ABF ∠+∠=︒，∴ABF DFE =∠∠．∴ABF DFE ∽△△；（2）解：在Rt DEF △中，1sin 3DE DFE EF ∠==， ∴设DE a =，3EF a =，2222DF EF DE a =+=，∵BCE 沿BE 折叠为BFE △， ∴3CE EF a ==，4CD DE CE a =+=，4AB a =，EBC EBF ∠=∠，又∵ABF DFE ∽△△，∴22EF DF BF AB ==， ∴2tan 2EF EBF BF ∠==， 2tan tan EBC EBF ∠=∠=；（3）存在，32k =时，ABF 与BFE △相似理由：当ABF FBE △∽△时，24∠∠=．∵45∠=∠，24590∠+∠+∠=︒，∴24530∠=∠=∠=︒，∴3cos302AB BF =︒=， ∵BC BF =，∴32AB k BC ==；②当ABF FEB ∽△△时，26∠=∠，∵4690∠+∠=︒，∴2490∠+∠=︒，这与24590∠+∠+∠=︒相矛盾，∴ABF FEB ∽△△不成立．综上所述，3k =时，ABF 与BFE △相似．3．如图，在平面直角坐标系xoy 中，顶点为M 的抛物线1C ：2y ax bx =-(0a ＜)经过点A 和x 轴上的点B ，2AO OB ==，120AOB ∠=︒．（1）求该抛物线的表达式；（2）联结AM ，求AOM S ；（3）将抛物线1C 向上平移得到抛物线2C ，抛物线2C 与x 轴分别交于点E F 、(点E 在点F 的左侧)，如果MBF 与AOM 相似，求所有符合条件的抛物线2C 的表达式．【解析】解：（1）过A 作AH x ⊥轴，垂足为H ，∵2OB =，∴0(2)B ，∵120AOB ∠=︒∴60AOH ∠=︒，30HAO ∠=︒．∵2OA =， ∴112OH OA ==．在Rt AHO 中，222OH AH OA +=， ∴22213AH - ∴()13A --，∵抛物线1C ：2y ax bx =+经过点A B 、，∴可得：4203 a ba b-=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得：33233ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴这条抛物线的表达式为232333y x x=-+；（2）过M作MG x⊥轴，垂足为G，∵23333y x x=-+=233(1)33x--+∴顶点M是31,3⎛⎝⎭，得3MG=设直线AM为y=kx+b，把(3A-，31,3M⎛⎫⎪⎪⎝⎭代入得33k bk b=-+=+，解得2333kb⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴直线AM为233y x=令y=0，解得x=12∴直线AM 与x 轴的交点N 为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭∴111111××222222AOM S ON MG ON AH =⋅-⋅=+（3）∵0(2)B ，、M ⎛ ⎝⎭，∴在Rt BGM中，tan MG MBG BG ∠==， ∴30MBG ∠=︒．∴150MBF ∠=︒．由抛物线的轴对称性得：MO MB =，∴150MBO MOB ∠=∠=︒．∵120AOB ∠=︒，∴150AOM ∠=︒∴AOM MBF ∠=∠．∴当MBF 与AOM 相似时，有：=OM BM OA BF 或=OM BF OA BM即332BF =或32= ∴2BF =或23BF =． ∴0(4)F ，或803⎛⎫ ⎪⎝⎭，设向上平移后的抛物线2C 为：2y x k =++，当0(4)F ，时，3k =，∴抛物线2C 为：2y =+当803F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，27k =，∴抛物线2C 为：2y x =+综上：抛物线2C 为：2y x x 333=-++或23327y x x =-++ 4．定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在Rt ABC ∆中，90A ∠=，AB AC =，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连接DE 、DC ，点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，且连接PM 、PN ．观察猜想（1）线段PM 与PN “等垂线段”（填“是”或“不是”）猜想论证（2）ADE ∆绕点A 按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接BD ，CE ，试判断PM 与PN 是否为“等垂线段”，并说明理由．拓展延伸（3）把ADE ∆绕点A 在平面内自由旋转，若4=AD ，10AB =，请直接写出PM 与PN 的积的最大值．【解析】（1）是；∵AB AC =，AD AE =∴DB=EC ，∠ADE=∠AED=∠B=∠ACB∴DE ∥BC∴∠EDC=∠DCB∵点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点∴PM ∥EC ，PN ∥BD ，11,22PM EC PN BD == ∴PM PN =，∠DPM=∠DCE ，∠PNC=∠DBC∵∠DPN=∠PNC+∠DCB∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠ACD+∠DCB+∠B=180°-90°=90°∴线段PM 与PN 是“等垂线段”；（2）由旋转知BAD CAE ∠=∠∵AB AC =，AD AE =∴ABD ∆≌ACE ∆（SAS ）∴ABD ACE ∠=∠，BD CE = 利用三角形的中位线得12PN BD =，12PM CE =，由中位线定理可得//PM CE ，//PN BD∴DPM DCE ∠=∠，PNC DBC ∠=∠∵DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠∴MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠∵90BAC ∠=∴90ACB ABC ∠+∠=∴90MPN ∠=∴PM 与PN 为“等垂线段”；（3）PM 与PN 的积的最大值为49；由（1）（2）知，12PM PN BD == ∴BD 最大时，PM 与PN 的积最大∴点D 在BA 的延长线上，如图所示：∴14BD AB AD =+=∴249PM PN PM •==.6．数轴上点A 表示的有理数为20，点B 表示的有理数为-10，点P 从点A 出发以每秒5个单位长度的速度在数轴上往左运动，到达点B 后立即返回，返回过程中的速度是每秒2个单位长度，运动至点A 停止，设运动时间为t （单位：秒）．（1）当t =5时，点P 表示的有理数为．（2）在点P 往左运动的过程中，点P 表示的有理数为（用含t 的代数式表示）．（3）当点P 与原点距离5个单位长度时，t 的值为．【解析】（1）由题意得：()201030AB =--=，点P 从点A 运动到点B 所需时间为30655AB ==（秒），点P 从点B 返回，运动到点A 所需时间为301522AB ==（秒），则当56t =<时，5525PA =⨯=，因此，点P 表示的有理数为20255-=-，故答案为：5-；（2）在点P 往左运动的过程中，5PA t =，则点P 表示的有理数为205t -，故答案为：205t -；（3）由题意，分以下两种情况：①当点P 从点A 运动到点B ，即06t ≤≤时，由（2）可知，点P 表示的有理数为205t -，则2055t -=，即2055t -=或2055t -=-，解得3t =或5t =，均符合题设；②当点P 从点B 返回，运动到点A ，即615t <≤时，()26PB t =-，点P 表示的有理数为()2610222t t --=-，则2225t -=，即2225t -=或2225t -=-，解得13.5t =或8.5t =，均符合题设；综上，当点P 与原点距离5个单位长度时，t 的值为3或5或8.5或13.5时，故答案为：3或5或8.5或13.5．6．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AB=10cm ，BC=8cm ，若点P 从点A 出发，以每秒2cm 的速度沿折线A-B-C-A 运动，设运动时间为t （t ＞0）秒．（1）AC= cm ；（2）若点P 恰好在∠ABC 的角平分线上，求此时t 的值；（3）在运动过程中，当t 为何值时，△ACP 为等腰三角形．【解析】（1）由题意根据勾股定理可得：22221086AC AB BC =--=（cm ），故答案为6；（2）如图，点P 恰好在∠ABC 的角平分线上，过P 作PD ⊥AB 于点D ，则可设PC=xcm ，此时BP=（8-x ）cm ，DP=PC=xcm ，AD=AC=6cm,BD=10-6=4cm ，∴在RT △BDP 中，222BD PD BP +=，即 ()22248x x +=-，解之可得：x=3，∴BP=8-3=5cm ，∴P 运动的路程为：AB+BP=10+5=15cm ， ∴t=157.52=s ；（3）可以对△ACP 的腰作出讨论得到三种情况如下：①如图，AP=AC=6cm ，此时t=632=s ；②如图，PA=PC ，此时过P 作PD ⊥AC 于点D ，则AD=3，PD=4，∴AP=5，此时t=5 2.52=s ； ③如图，PC=AC=6cm ，则BP=8-6=2cm ，则P 运动的路程为AB+BP=10+2=12cm ，此时t=1262=s ，综上所述，在运动过程中，当t 为2.5s 或3s 或6s 时，△ACP 为等腰三角形．7．已知，在平面直角坐标系中，AB ⊥x 轴于点B ，A(a ，b)满足64a b -+-＝0，平移线段AB 使点A 与原点重合，点B 的对应点为点C ．OA ∥CB ．（1）填空：a ＝_______，b ＝_______，点C 的坐标为_______；（2）如图1，点P(x ，y)在线段BC 上，求x ，y 满足的关系式；（3）如图2，点E 是OB 一动点，以OB 为边作∠BOG ＝∠AOB 交BC 于点G ，连CE 交OG 于点F ，当点E 在OB 上运动时，OFC FCG OEC∠+∠∠的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．【解析】解：（1）∵ 640a b --=，∴60,40a b -=⎧⎨-=⎩∴6,4a b =⎧⎨=⎩ 4,6,AB OB ∴==由平移得：4,OC =且C 在y 轴负半轴上， ()0,4,C ∴-故答案为：()6,4,0,4-；（2）如图，过点P 分别作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，连接OP ． ∵AB ⊥x 轴于点B ，且点A ，P ，C 三点的坐标分别为：()()()6,4,,,0,4,x y - ∴OB=6，OC=4，,,PM y PN x =-= ∴()1111462222BOC POC POB S S S OC PN OB PM x y =+=•+•=⨯+⨯⨯- 23x y =-，而116412,22BOC S OB OC =•=⨯⨯= 2312,x y ∴-=∴,x y 满足的关系式为：2312,x y -=（3）OFC FCGOEC∠+∠∠的值不变，值为2．理由如下：∵线段OC是由线段AB平移得到，∴//,OA CB，∴∠AOB=∠OBC，又∵∠BOG=∠AOB，∴∠BOG=∠OBC，根据三角形外角性质，可得∠OGC=2∠OBC，∠OFC=∠FCG+∠OGC，,OEC FCG OBC∠=∠+∠∴∠OFC+∠FCG=2∠FCG+2∠OBC =2（∠FCG+∠OBC）=2∠OEC，∴22 OFC FCG OECOEC OEC∠+∠∠==∠∠；所以：OFC FCGOEC∠+∠∠的值不变，值为2．8．综合实践初步探究：如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．(1)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系为；解决问题：(2)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；(3)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间的数量关系为；拓展应用：(4)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时，请猜想四边形CDOE的周长与OC的数量关系，并说明理由；【解析】：（1）∵OM是∠AOB的角平分线，∴∠AOC=∠BOC=12∠AOB=30°，∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°，∴∠OCD=60°，∴∠OCE=∠DCE-∠OCD=60°，在Rt△OCD中，OD=OC•cos30°=2OC，同理：，∴；（2）（1）中结论仍然成立，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=60°，∴∠FCG=120°，同（1）的方法得，OF=，，∴，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG，∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE-EG，∴OF+OG=OD+EG+OE-EG=OD+OE，∴OD+OE=3OC；（3）（1）中结论不成立，结论为：3OC，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=60°，∴∠FCG=120°，同（1）的方法得，OF=3，3，∴3，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG，∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=DF-OD=EG-OD，OG=OE-EG，∴OF+OG=EG-OD+OE-EG=OE-OD，∴3．（4）由（1）可得3，CD+CE=OC∴3+1)OC，故四边形CDOE的周长为(3+1)OC．9．ABC是等边三角形，点D在BC上，点E，F分别在射线AB，AC上，且DA DE DF==．（1）如图1，当点D是BC的中点时，则EDF∠=________︒；（2）如图2，点D在BC上运动（不与点B，C重合）．①判断EDF∠的大小是否发生改变，并说明理由；②点D关于射线AC的对称点为点G，连接BG，CG，CE．依题意补全图形，判断四边形BECG的形状，并证明你的结论．【解析】（1）∵点D是等边△ABC的边BC的中点，∴∠DAB＝∠DAC＝12∠BAC＝30°，∵DA＝DE，∴∠AED＝∠BAD＝30°，∴∠ADE＝180°−∠BAD−∠AED＝120°，同理：∠ADF＝120°，∴∠EDF＝360°−∠ADE−∠ADF＝120°，故答案为：120；（2）①不发生改变，理由如下：∵ABC 是等边三角形，∴60BAC ∠=︒．∵DA DE DF ==．∴点A ，E ，F 在以D 为圆，DA 长为半径的圆上，∴2120EDF BAC ∠=∠=︒．②补全图形如下：四边形BECG 为平行四边形，证明如下：由①知，120EDF ∠=︒，∵60BDE BED ∠+∠=︒，60BDE CDF ∠+∠=︒，∴BED CDF ∠=∠．在CDF 和BED 中，DCF EBD CDF DEA DF ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()CDF BED AAS ≅△△．∴CD BE =．∵点D 和点G 关于射线AC 对称，∴CD CG =，2120DCG ACD EBD ∠=∠=︒=∠．∴BE CG =，且//BE CG ．∴四边形BECG 为平行四边形．10．如图，数轴上，点A 表示的数为7-，点B 表示的数为1-，点C 表示的数为9，点D 表示的数为13，在点B 和点C 处各折一下，得到条“折线数轴”，我们称点A 和点D 在数上相距20个长度单位，动点P 从点A 出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q 从点D 出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线BA 和射线CD 上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B 到C 速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C 到B 速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t 秒，问：（1）动点P 从点A 运动至D 点需要时间为________秒；（2）P 、Q 两点到原点O 的距离相同时，求出动点P 在数轴上所对应的数；（3）当Q 点到达终点A 后，立即调头加速去追P ，“水平路线”和“上坡路段”的速度均提高了1个单位/秒，当点Q 追上点P 时，直接写出它们在数轴上对应的数．【解析】（1）点A 表示的数为7-，点B 表示的数为1-，点C 表示的数为9，点D 表示的数为13， 6,10,4AB BC CD ∴===，∴动点P 从点A 运动到点D 所需时间为6104310215212++=++=（秒），故答案为：15；（2）由题意，分以下六种情况：①当点P 在AB ，点Q 在CD 时，点P 表示的数为72t -+，点Q 表示的数为132t -，点P 、Q 到原点的距离相同，()721320t t ∴-++-=，此方程无解；②当点P 在AB ，点Q 在CO 时，点P 表示的数为72t -+，点Q 表示的数为4941742t t ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，点P 、Q 到原点的距离相同，()721740t t ∴-++-=，解得5t =，此时点P 表示的数为3，不在AB 上，不符题设，舍去；③当点P 在BO ，点Q 在CO 时，点P 表示的数为6142t t ⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，点Q 表示的数为4941742t t ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，点P 、Q 到原点的距离相同，()41740t t ∴-+-=，解得133t =，此时点P 表示的数为13，不在BO 上，不符题设，舍去； ④当点P 、Q 相遇时，点P 、Q 均在BC 上，点P 表示的数为6142t t ⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，点Q 表示的数为4941742t t ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，点P 、Q 到原点的距离相同，4174t t ∴-=-，解得215t =，此时点P 表示的数为15，点Q 表示的数为15，均符合题设； ⑤当点P 在OC ，点Q 在OB 时，点P 表示的数为6142t t ⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，点Q 表示的数为4941742t t ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，点P 、Q 到原点的距离相同，()41740t t ∴-+-=，解得133t =，此时点P 表示的数为13，点Q 表示的数为13-，均符合题设； ⑥当点P 在OC ，点Q 在BA 时，点P 表示的数为6142t t ⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，点Q 表示的数为410128224t t ⎛⎫----=- ⎪⎝⎭，点P 、Q 到原点的距离相同，()4820t t ∴-+-=，解得4t =，此时点Q 表示的数为0，不在BA 上，不符题设，舍去；综上，点P 表示的数为15或13；（3）点Q 到达点A 所需时间为41067.5242++=（秒），此时点P 到达的点是()7327.531 3.5-+⨯+-⨯=，点P 到达点C 所需时间为6101321+=（秒），此时点Q 到达的点是()7232137.526-+⨯+⨯--=， ∴点Q 在CD 上追上点P ，此时点P 表示的数为()9213217t t +-=-，点Q 表示的数为()761037.525334.5t t -+++---=-，217334.5t t ∴-=-，解得17.5t =，此时点P 表示的数为18，点Q 表示的数为18．11．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，点O 为对角线BD 的中点，点P 从点A 出发，沿折线AD DO OC --以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动，当点P 与点A 不重合时，过点P 作PQ AB ⊥于点Q ，以PQ 为边向右作正方形PQMN ，设正方形PQMN 与ABD ∆重叠部分图形的面积为S （平方单位），点P 运动的时间为t （秒）．（1）求点N 落在BD 上时t 的值．（2）直接写出点O 在正方形PQMN 内部时t 的取值范围．（3）当点P 在折线AD DO -上运动时，求S 与t 之间的函数关系式．（4）直接写出直线DN 平分BCD ∆面积时t 的值．【解析】（1）如图1所示，由题意可知，当点N 落在BD 上时，因为四边形PQMN 是正方形，所以AP PN t ==，又因为在矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，所以3DP t =-，在DPN ∆和DAB ∆中，因为PDN ADB ∠=∠，90DPN DAB ∠=∠=︒，所以DPN DAB ∆∆∽，则DP PN DA AB =，所以334t t -=，解得127t =，所以当点N 落在BD 上时t 的值为127．故答案为：127t =．（2）①如图2，点O 刚落在正方形PQMN 上．因为点O 是矩形ABCD 对角线BD 的中点，所以MN 在矩形ABCD 的一条对称轴上，所以AM MB =，所以4t t =-，解得2t =．②如图3，点O 和点P 重合，此时P 点运动的距离为AD DO +，因为3AD =，4AB =，所以2222345BD AD AB =+=+=，所以1522DO BD ==，所以此时511322t AD DO =+=+=．综上所述，当点O 在正方形PQMN 内部时，t 的取值位于上述两个临界位置之间，即t 的取值范围为1127t <<．故答案为：1127t <<．（3）①由（1）可知，当1207t <≤时，正方形PQMN 和ABD ∆的重叠部分即为正方形PQMN ，所以此时2S t =．②当1237t <≤时，点P 在AD 上，设PN 与BD 交于点G ，MN 与BD 交于点F ，此时正方形PQMN 和ABD ∆的重叠部分为五边形PGFMQ ，此时PQMN GNF S S S ∆=-．同（1），可知DPG DAB ∆∆∽，FMB DAB ∆∆∽，因为AP AM t ==，3AD =，4AB =，所以3DP t =-，4BM t =-，所以DP PG DA AB =，FM BM DA BA=，所以334t PG -=，434FM t -=，所以443PG t =-，334FM t =-，所以474433GN PN PG t t t ⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭， 373344NF MN FM t t t ⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭，所以1177432234GNF S GN NF t t ∆⎛⎫⎛⎫=⋅=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以217743234PQMN GNF S S S t t t ∆⎛⎫⎛⎫=-=--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得2257624S t t =-+-．③当1132t <≤时，点P 在DO 上，设MN 与BD 交于点F ，则PFMQ PQB FMB S S S S ∆∆==-．因为3AD =，5BD =，所以3PD t =-，所以8PB t =-，同（1），PQB DAB ∆∆∽，所以PB QB PQ DA AB DA==，所以8543t QB PQ -==，所以()485QB t =-，()385PQ t =-，所以431(8)(8)(8)555MB QB QM t t t =-=---=-，又因为FMB DAB ∆∆∽，所以FM BM DA BA =，所以()18534t FM -=，所以()3820FM t =-，所以11134131(8)(8)(8)(8)222552205PQB FMB S S S PQ QB FM MB t t t t ∆∆=-=⋅-⋅=⋅-⋅--⋅-⋅-，整理得()29840S t =-．综上所述，当1207t <≤时，2S t =；当1237t <≤时，2257624S t t =-+-；当1132t <≤时，()29840S t =-．故答案为：22212725127632479187211340552t tS t t tt t t⎧⎛⎫<⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+-<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-+<⎪ ⎪⎝⎭⎩（4）设直线DN与BC交于点E，因为直线DN平分BCD∆的面积，∴32BE CE==．①如图7，点P在AD上，过点E作EH AD⊥于点H，则DPN DHE∆∆∽，所以DP PNDH HE=，因为AP PN t==，3DP t=-，4EH BA==，所以3324tt-=，解得2411t=．②如图8，点P在DO上，连接OE．因为E 、O 分别是BC 、BD 的中点，所以EO 是BCD ∆的一条中位线，所以//OE CD ，所以122OE CD ==，又因为//PN CD ，所以//PN OE ，所以DPN DOE ∆∆∽，所以DP PN DO OE=，因为3DP t =-，52DO =，()385PN PQ t ==- （由（3）②知），2OE =，所以3(8)35522t t --=，解得367t =． ③如图9，P 在OC 上，设DE 与OC 交于点S ，连接OE ，交PQ 于R ．同②，//OE CD ，且122OE CD ==，所以SCD SOE ∆∆∽，所以12OS OE CS CD ==，又因为52OC OD ==，所以15126OS OC ==+，所以53SC =，又因为//PN OE （同②），所以SPN SOE ∆∆∽，所以SP PN SO OE=，因为112OP t AD OD t =--=-，所以193SP OS OP t =-=-，所以193526t PN -=，所以761255PN t =-，又因为//PQ BC ，所以ORP OEC ∆∆∽，所以OP PR OC CE =，所以1125322t PR -=，所以333510PQ t =-，所以333339510255PQ PR RQ PR BE t t =+=+=-+=-，又因为PQ PN =，所以7612395555t t -=-，解得173t =．综上所述，当直线DN 平分BCD ∆的面积时，t 的值为2411或367或173．故答案为：2411或367或173． 12．在Rt ABC ∆中，90CAB ∠=︒，6AC =，8AB =，点P 是射线AB 上的动点，连接CP ，将ACP ∆沿着CP 翻折得到A CP '∆，设AP x =()0x >，（1）如图1，当点A '在BC 上时，求x 的值．（2）如图2，连接AA '，BA '，当90AA B '∠=时，求PA B '∆的面积．（3）在点P 的运动过程中，当AA B '∆是等腰三角形时，求x 的值．【解析】(1)在Rt ABC ∆中，90CAB ∠=︒，6AC =，8AB =，∴由勾股定理得：BC=10，由折叠性质得：A 'P=AP=x ， C A '=AC=6，则PB=8-x ，A 'B=4，在RtΔA 'BP 中，由勾股定理得：42+x 2=(8-x)2，解得：3x =；（2）当90AA B '∠=︒时，由折叠性质得：AC=A 'C=4，∠CAB=∠C A 'P=90º，∴CAA '∠=CA A '∠，∵A AB CAA ''∠+∠=90º，A AB A BA ''∠+∠=90º，∴CAA A BA ''∠=∠，∵CA A AA P ''∠+∠=90º，AA P PA B ''∠+∠=90º，∴CA A PA B ''∠=∠，∴A BA PA B ''∠=∠，∴A P PB '==4，则4PA PA PB '===，且PAA S '∆=PA B S '∆，由6AC =，∠CAB=90º，可求得213CP =，121313AQ A Q '∴==，81313PQ ∴=， 9613PAA S '∆∴=，9613PA B S '∆∴=；（3）①当AA A B ''=时，若P 在线段AB 上，如图1，过A '作A 'H ⊥AB 于H ，过C 作CD ⊥H A '延长线于D ，则四边形ACDH 是矩形，又AA B '∆是等腰三角形，∴4CD AH ==，6A C AC DH '===，25A D '∴=，625A H '=-，∵CA D PA H ''∠+∠=90º，CA D A CD ''∠+∠=90º, ∴A CD PA H ''∠=∠，又PHA CDA ''∠=∠=90º,∴A PH CA D ''∆~∆，∴CD A C A H A P '=''，得6625x=-，解得935x =-，若P 在AB 延长线上时，如图2，过A '作AB 的平行线，交AC 延长线与D ，过P 作PH 垂直平行线于H ，则四边形APHD 是矩形，同上方法，易求得A 'D=4，25CD =， ∴PH=AD=625+，同理可证得A PH CA D ''∆~∆，∴C AD A PH A P '''=，得6625x=+，解得935x =+，②当8AA AB '==时，如图3，由折叠性质得： CP 垂直平分A A '，则4AQ A Q '==，∠AQP=90º，又AC=6,25CQ ∴=，∵∠ AQP=∠CAB=90º，∴由同角的余角相等得：∠ACQ=∠QAP ， ∴ACQ PAQ ∆∆，∴AC CQ AP AQ =，即625x =，解得：1255x =；③当AB A B '=时，如图4，则P 、B 重合，8x ∴=，综上所述935x =-935x =+或1255x =或8x =.。

2020年中考数学压轴题突破之动态问题(几何)(含详解)

2020年中考数学压轴题突破之动态问题(几何)1.如图，点O是等边ABC内一点，AOB 110 , BOC .以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD .(1)若120 ,判断OB OD BD (填“，或”)(2)当150 ,试判断AOD的形状，并说明理由；(3)探究：当时，AOD是等腰三角形.(请直接写出答案)【答案】(1) 二; (2) ADO是直角三角形，证明见详解；(3) 125、110、140 .【分析】(1)根据等边三角形性质得出COD 60 ,利用？BOC a = 120。

求出BOD 180 ,所以B, 0, D三点共线，即有OB+ OD = BD ；(2)首先根据已知条件可以证明BOC ADC ,然后利用全等三角形的性质可以求出ADO的度数，由此即可判定AOD的形状；(3)分三种情况讨论，利用已知条件及等腰三角形的性质即可求解.2 .如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点O与坐标原点重合，顶点A C在坐标轴上，B(18,6),将矩形沿EF折叠，使点A与点C重合.图3 G(1)求点E的坐标;(2)P O O A E2E时停止运动，设P的运动时间为t, VPCE的面积为S,求S与t的关系式，直接写出t 的取值范围;3(3)在(2)的条件下，当PA=]PE 时，在平面直角坐标系中是否存在点Q,使得以点P 、E 、G Q 为顶点的四边形为平行四边形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点Q 的坐标.【答案】(1) E (10, 6); (2) S= -8t+54 (0<t<3)或 S=-6t+48 (3vtW8)； (3)存在，Q (14.4 , -4.8 )或(18.4 , -4.8 ). 【详解】解：(1)如图 1,矩形 ABO, B (18, 6),• .AB=18 BC=6,设 AE=x,贝U EC=x BE=18-x,Rt^EBC 中，由勾股定理得： EB"+BC 2=EC 2,(18-x) 2+62=x 2, x=10,即 AE=10,①当P 在OA 上时，0WtW3,如图 2,=18X 6-1X10(62) — - X8X6 - 1X 18X2t , 2 2 2=-8t+54 ,②当P 在AE 上时，3<t<8,如图3,S = S 矩形 OABC S △ PAE -S △ BEC -S △OPCj• •E ( 10, 6);(2)分两种情况：S=1PE?BC=1 X 6X(16-2t)=3 (16-2t ) =-6t+48 ;2 2(3)存在，由PA=3PE可知：P在AE上，如图4,过G作GHLOC于H,2•.AP+PE=10.•.AP=6 PE=4,设OF=y,则FG=y, FC=18-y,由折叠得：/ CGFW AOF=90 ,由勾股定理得：FC2=FC+CG,•. ( 18-y) 2=y2+62,y=8,•.FG=8 FC=18-8=10,1FC?GH= 1FG?CG221X10XGH= 1 X6X8,22GH=4.8,由勾股定理得：FH=J82 4 82 =6.4 ,• .OH=8+6.4=14.4,.•.G ( 14.4 , -4.8 ),•・•点P、E G Q为顶点的四边形为平行四边形，且PE=4,.•.Q ( 14.4 , -4.8 )或(18.4 , -4.8 ). k ,3.如图1,平面直角坐标系xoy中，A(-4, 3),反比例函数y —(k 0)的图象分别x交矩形ABOC勺两边AC, BC于E, F (E, F不与A重合)，沿着EF将矩形ABO所叠使A, D重合.②若折叠后点 D 落在矩形ABOCrt （不包括边界），求线段CE 长度的取值范围.（2）若折叠后，△ ABD 是等腰三角形，请直接写出此时点 D 的坐标.7 . 23 3. 11 3.【答案】（1）①EC= 2;②3 CE 4；（2）点D 的坐标为（一,一）或（一，一）88 2 5 5【详解】,k k解：(1)①由题意得E(k,3) , F( 4,-), 3 4k kk 0 ,则 EC — , FB 一, 3 4AF 3 一， 417(12 k) 4 3 1 3 4(12 k) 3..由 A(-4, 3)得：AC 4, AB 3,,AC 4一 --- 一,AB 3 AE AC AF AB '又A=Z A,・ .△AE% AACB ・ •/AEF4 ACB ・ •.EF// CB如图2,连接AD 交EF 于点H ,••• AE.AE （1）①如图2,当点D 恰好在矩形 ABOC 勺对角线BC 上时，求CE 的长；②由折叠得EF 垂直平分AD,••• /AHE 90 ,则 EAH AEF又• BAD EAH BAC 90 ,BAD AEF ，・ .△AE% ABAQAE AF 口"AB AE 4--- ----- ,则 ----- ------ -，AB BD BD AF 34 3 9 BDAB - 3 - 3 4 4设 AF=x,贝U FB=3— x, FD=AF=x 在Rt^BDF 中，由勾股定理得：FB 2 BD 2 FD 2，r i图2由折叠的性质得： •••D 在 BC 上， ,AE AHEC DH 1 EC AC 2AH=DH 1,则 AE EC 2;即(3 x)2x 2 ,解得:如图，当D 落在BO 上时，: EAF ABD 90 ,B力。

中考数学重难点专题讲座动态几何含答案

中考数学重难点专题讲座第三讲动态几何问题【前言】从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。

动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。

另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。

所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。

在这一讲，我们着重研究一下动态几何问题的解法，第一部分真题精讲【例1】（2010，密云，一模）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）．（1）当MN AB ∥时，求t 的值；（2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。

但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。

对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M ，N 是在动，意味着BM,MC 以及DN,NC 都是变化的。

但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。

所以当题中设定MN M N t D DE AB ∥BC E ABEDABMCNED AB DE ∥AB MN ∥DE MN∥MC NC EC CD =1021035t t -=-5017t =MN NC =NF BC ⊥BC F 2MC FC =4sin 5DF C CD ∠==3cos 5C ∠=310225tt -=⨯258t =ABMCNFD MN MC =M MH CD ⊥2CN CH =()321025t t =-⨯6017t =A B MCN HD MC CN =102t t -=103t =258t =6017103MNC △423=BC x x （3）过点A 作AQ ⊥BC 交CB 的延长线于点Q ，①点D 在线段BC 上运动时，∵∠BCA=45o ，可求出AQ= CQ=4．∴ DQ=4-x ，易证△AQD ∽△DCP ，∴CP CD DQ AQ = ， ∴44CP x x =-， 24x CP x ∴=-+．②点D 在线段BC 延长线上运动时，∵∠BCA=45o ，可求出AQ= CQ=4，∴ DQ=4+x ．过A 作AC AG ⊥交CB 延长线于点G ，则ACF AGD ∆≅∆．∴ CF ⊥BD ，∴△AQD ∽△DCP ，∴CP CD DQ AQ = ， ∴44CP x x =+， 24x CP x ∴=+．【例3】（2010，怀柔，一模）已知如图，在梯形ABCD 中，24AD BC AD BC ==∥，，，点M 是AD 的中点，MBC △是等边三角形．（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；（2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且60MPQ =︒∠保持不变．设PC x MQ y ==，，求y 与x 的函数关系式；（3）在（2）中，当y 取最小值时，判断PQC △的形状，并说明理由．GA BCDE F ADM【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。

中考数学专题——动态问题(非常全面)

（中考数学专题3）动态几何问题【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）．D NCM B A（1）当MN AB ∥时，求t 的值；（2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．【例3】在△ABC 中，∠ACB=45º．点D （与点B 、C 不重合）为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．（1）如果AB=AC ．如图①，且点D 在线段BC 上运动．试判断线段CF 与BD 之间的位置关系，并证明你的结论．（2）如果AB ≠AC ，如图②，且点D 在线段BC 上运动．（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF 的边DE 所在直线与线段CF 所在直线相交于点P ，设AC ＝42，3=BC ，CD=x ，求线段CP 的长．（用含x 的式子表示）【例4】已知如图，在梯形ABCD 中，24AD BC AD BC ==∥，，，点M 是AD 的中点，MBC △是等边三角形．（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；（2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且60MPQ =︒∠保持不变．设PC x MQ y ==，，求y与x 的函数关系式；（3）在（2）中，当y 取最小值时，判断PQC △的形状，并说明理由．【例5】已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF BD ⊥交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG CG ，．（1）直接写出线段EG 与CG 的数量关系；（2）将图1中BEF ∆绕B 点逆时针旋转45︒，如图2所示，取DF 中点G ，连接EG CG ，，．你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）将图1中BEF ∆绕B 点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）A DC B P M Q 60图3图2图1FEABCDABC DEFGGFED C BA【总结】通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这么几种可能的方式。

【全国通用】2021中考数学满分冲刺 (五)——动态几何专题

第05讲中考数学满分冲刺（五）➢典例分析一、单动点形成的最值问题：动态几何问题从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。

动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。

另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。

所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。

在这一讲，我们着重研究一下动态几何问题的解法，由于有些题目比较难和繁琐，建议大家静下心来慢慢研究，在这些题上花越多时间，中考中遇到类似题目就会省下越多的时间。

冲刺技巧满分点拨例1、如图，抛物线()21y x312=--与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D.（1）求点A，B，D的坐标；（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD.求证：∠AEO=∠ADC；（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙O的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标.例2、如图，已知抛物线21y x bx c 2=-++图象经过A （﹣1，0），B （4，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若C （m ，m ﹣1）是抛物线上位于第一象限内的点，D 是线段AB 上的一个动点（不与A 、B 重合），过点D 分别作DE∥BC 交AC 于E ，DF∥AC 交BC 于F ．①求证：四边形DECF 是矩形；②连结EF ，线段EF 的长是否存在最小值？若存在，求出EF 的最小值；若不存在，请说明理由．二、动点形成等腰三角形存在性问题：例1、如图，抛物线21y x mx n 2=-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知A （﹣1，0），C （0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E 时线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标．例2、如图，二次函数的图象与x 轴交于A （3，0），B （﹣1，0），与y 轴交于点C ．若点P ，Q 同时从A 点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB ，AC 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．（1）求该二次函数的解析式及点C 的坐标；24y x bx c 3=++（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．（3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标．三、动点形成全等、相似三角形存在性问题：例1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的一个交点为A（﹣2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x轴交于点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）经过B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标；（3）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．例2、已知抛物线C 1：()2y a x 12=+-的顶点为A ，且经过点B （﹣2，﹣1）．（1）求A 点的坐标和抛物线C 1的解析式；（2）如图1，将抛物线C 1向下平移2个单位后得到抛物线C 2，且抛物线C 2与直线AB 相交于C ，D 两点，求S △OAC ：S △OAD 的值；（3）如图2，若过P （﹣4，0），Q （0，2）的直线为l ，点E 在（2）中抛物线C 2对称轴右侧部分（含顶点）运动，直线m 过点C 和点E ．问：是否存在直线m ，使直线l ，m 与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式；若不存在，说明理由．1、如图为反比例函数在第一象限的图象，点A 为此图象上的一动点，过点A 分别作AB⊥x轴和AC⊥y轴，垂足分别为B，C．则四边形OBAC周长的最小值为（）A．4B．3C．2D．12、如图，已知直线334y x=-与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结P A、PB．则△P AB面积的最大值是（）A．8 B．12C．212D．1721y=x基础夯实3、如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线C－D－E上移动，若点C、D、E的坐标分别为（－1，4）、（3，4）、（3，1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为（）A.1B.2C.3D.44、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是．5、在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（1，0），B（2，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为．6、如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是．1、如图，抛物线21y x mx n2=-++与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．满分冲刺2、已知抛物线经过A （﹣2，0），B （0，2），C （32，0）三点，一动点P 从原点出发以1个单位/秒的速度沿x 轴正方向运动，连接BP ，过点A 作直线BP 的垂线交y 轴于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）求抛物线的解析式；（2）当BQ=12AP 时，求t 的值；（3）随着点P 的运动，抛物线上是否存在一点M ，使△MPQ 为等边三角形？若存在，请直接写t 的值及相应点M 的坐标；若不存在，请说明理由．3、如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm ，AD 是斜边BC 上的高，垂足为D ，BE=1cm ．点M 从点B 出发沿BC 方向以1cm/s 的速度运动，点N 从点E出发，与点M同时同方向以相同的速度运动，以MN为边在BC的上方作正方形MNGH．点M 到达点D时停止运动，点N到达点C时停止运动．设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S，当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围．（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连接DP，当t为何值时，△CPD是等腰三角形？。

2024届中考数学压轴题冲刺满分(含答案)

压轴题【题型精讲】题型一：动态几何1(2021·江苏苏州·一模)如图，△ABC 内接于⊙O ，BC =12，∠A =60°，点D 为弧BC 上一动点，BE ⊥直线OD 于点E ．当点D 从点B 沿弧BC 运动到点C 时，点E 经过的路径长为()A.833π B.83π C.433π D.43π2(2021·山东威海·中考真题)如图，在菱形ABCD 中，AB =2cm ，∠D =60°，点P ，Q 同时从点A 出发，点P 以1cm/s 的速度沿A -C -D 的方向运动，点Q 以2cm/s 的速度沿A -B -C -D 的方向运动，当其中一点到达D 点时，两点停止运动．设运动时间为x (s )，△APQ 的面积为y (cm 2)，则下列图象中能大致反映y 与x 之间函数关系的是()A. B.C. D.3(2021·山东济南·三模)如图1，在Rt △ABC 中，∠A =90°，BC =10cm ，点P ，点Q 同时从点B 出发，点P 以2cm/s 的速度沿B →A →C 运动，终点为C ，点Q 出发t 秒时，△BPQ 的面积为ycm 2，已知y 与t 的函数关系的图象如图2(曲线OM 和MN 均为抛物线的一部分)，给出以下结论：①AC =6cm ；②曲线MN 的解析式为y=-45t2+285t(4≤t≤7)；③线段PQ的长度的最大值为6510cm；④若△PQC与△ABC相似，则t=407秒，其中正确的说法是()A.①②④B.②③④C.①③④D.①②③题型二：新定义问题4(2023·重庆·中考真题)在多项式x-y-z-m-n(其中x>y>z>m>n)中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x-y-|z-m|-n=x-y-z+m-n，x-y-z-m-n=x-y-z-m+n，⋯．下列说法：①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.35(2021·广西贺州·中考真题)如M=1,2,x，我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性(如x必然存在)，互异性(如x≠1，x≠2)，无序性(即改变元素的顺序，集合不变)．若集合N=x,1,2，我们说M=N．已知集合A=1,0,a，集合B=1a,a ,ba，若A=B，则b-a的值是()A.-1B.0C.1D.26(2021·湖北荆州·中考真题)定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有m,p※q,n=mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：2,3※4,5=2×5+3×4=22．若关于x的方程x2+1,x※5-2k,k=0有两个实数根，则k的取值范围是()A.k<54且k≠0 B.k≤54C.k≤54且k≠0 D.k≥54题型三：猜想和证明7(2023·四川巴中·中考真题)综合与实践．(1)提出问题．如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，且AB=AC，AD=AE，连接BD，连接CE交BD的延长线于点O．①∠BOC的度数是．②BD:CE=．(2)类比探究．如图2，在△ABC和△DEC中，∠BAC=∠EDC=90°，且AB=AC，DE=DC，连接AD、BE并延长交于点O．①∠AOB的度数是．②AD:BE=．(3)问题解决．如图3，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在线段AD上(不与A重合)，以AE为边在AD的左侧构造等边△AEF，将△AEF绕着点A在平面内顺时针旋转任意角度．如图4，M为EF的中点，N 为BE的中点．①试说明△MND为等腰三角形．②求∠MND的度数．8(2020·河南驻马店·模拟预测)在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，点D是直线AB上的一动点(不与点A,B重合)，连接CD，在CD的右侧以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，点H是BD的中点，连接EH．【问题发现】(1)如图(1)，当点D是AB的中点时，线段EH与AD的数量关系是，位置关系是．【猜想证明】(2)如图(2)，当点D在边AB上且不是AB的中点时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图(2)中的情况给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展应用】(3)若AC=BC=22，其他条件不变，连接AE，BE．当△BCE是等边三角形时，直接写出△ADE的面积．题型四：阅读理解9(2023·江西新余·一模)定义：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c a≠0与y轴的交点坐标为0,c，那么我们把经过点0,c且平行于x轴的直线称为这条抛物线的极限分割线．【特例感知】(1)抛物线y=x2+2x+1的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为．【深入探究】(2)经过点A-2,0和B x,0(x>-2)的抛物线y=-14x2+12mx+n与y轴交于点C，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为D，请用含m的代数式表示点D的坐标．【拓展运用】(3)在(2)的条件下，设抛物线y =-14x 2+12mx +n 的顶点为P ，直线EF 垂直平分OC ，垂足为E ，交该抛物线的对称轴于点F ．①当∠CDF =45°时，求点P 的坐标．②若直线EF 与直线MN 关于极限分割线对称，是否存在使点P 到直线MN 的距离与点B 到直线EF 的距离相等的m 的值？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．10(2023·山东青岛·二模)如图1，AD 是△ABC 的高，点E ，F 分别在边AB 和AC 上，且EF ∥BC ．由“相似三角形对应高的比等于对应边的比”可以得到以下结论：AG AD=EFBC ．(1)如图2，在△ABC 中，BC =6，BC 边上的高为8，在△ABC 内放一个正方形MNGH ，使其一边GH 在BC 上，点M ，N 分别在AB ，AC 上，则正方形MNGH 的边长=；(2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm ，底边长为120cm 的等腰三角形展台．现需将展台用平行于底边的隔板，每间隔10cm 分隔出一层，再将每一层尽可能多的分隔成若干个开口为正方形的长方体格子，要求每个格子内放置一瓶葡萄酒，平面设计图如图3所示，将底边BC 的长度看作是第0层隔板的长度；①在分隔的过程中发现，当隔板厚度忽略不计时，每层平行于底边的隔板长度(单位：cm )随着层数(单位：层)的变化而变化．请完成下表：层数/层0123⋯隔板长度/cm120__________________⋯②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？题型五：开放探究11(2022·安徽滁州·二模)【证明体验】(1)如图1，AD 为△ABC 的角平分线，∠ADC =60°，点E 在线段AB 上，AE =AC ，求证：DE 平分∠ADB ；【思考探究】(2)如图2，在(1)的条件下，F 为AB 上一点，连接FC 交AD 于点G ．若FB =FC ，求证：DE 2=BD ⋅DG ；【拓展延伸】(3)如图3，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ，∠BCA =2∠DCA ，点E 在AC 上，∠EDC =∠ABC ，若BC =5，CD =25，AD =2AE ，求AC 的长．12(2022·浙江杭州·二模)如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(-4，0)，(0，8)，动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造▱PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t秒．(1)当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；(2)当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；(3)在线段PE上取点F，使PF=3，过点F作MN⊥PE，截取FM=3，FN=1，且点M，N分别在第一、四象限，在运动过程中，当点M，N中，有一点落在四边形ADEC的边上时，直接写出所有满足条件的t的值．题型六：综合应用13(2024·河北邢台·三模)如图1至图3，▱ABCD中，AB=20，BC=15，点P在折线BA-AD上，连接PC，将▱ABCD沿PC向右上方折叠，折叠后得到△PCE或四边形PCEF．探究如图1，若∠A=90°，点P在BA上①当射线PE经过点D时，求证：△PDA≌△DCE；②当点E，A的距离最小时，求BP的长．尝试如图2，若∠A=90°，点P在AD上，当点F在CD的延长线上时，求tan∠PCE的值．延伸如图3，若∠A<90°，tan A=43，EF恰好经过点D时，直接写出AP的长．14(2024·福建宁德·二模)蹦床是一项运动员利用蹦床的反弹在空中表现杂技技巧的竞技运动，有“空中芭蕾”之美称．甲、乙两位蹦床运动员在某次训练过程中同时起跳，甲运动员着落蹦床后便停止运动，乙运动员着落蹦床后继续做放松运动，每次蹦床运动间隔停留时间忽略不计．图1是甲、乙两位运动员的运动高度S(m )与运动时间t (s )的二次函数图象，点A 的坐标为(2,0)，点B 的坐标为52,0 ，点D 的坐标为(1,5)，且所有二次函数图象开口大小相同．(1)求甲运动员在这次训练中运动的最大高度；(2)图2是教练员观测到乙运动员在这次训练中，每次运动的最高点都在同一视线DE 上，教练员的视线与水平线的夹角为α．①若甲、乙运动员在2.4s 时运动高度相同，求直线DE 的表达式；②当α≤33.5°时，求乙在第二次蹦床运动中最大运动高度的取值范围．sin33.5°≈1120，cos33.5°≈2125，tan33.5°≈2315(2024·山东淄博·二模)如图1，抛物线y =ax 2+bx +3a ≠0 与x 轴交于点A -1,0 ，B 3,0 与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．(1)求该抛物线及直线BC的函数表达式；(2)如图2，在BC上方的抛物线上有一动点P(不与B，C重合)，过点P作PD∥AC，交BC于点D，过点P作PE∥y轴，交BC于点E．在点P运动的过程中，请求出△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；(3)如图3，若点P是该抛物线上一动点，问在点P运动的过程中，坐标平面内是否存在点Q使以B，C，P，Q 为顶点BC为对角线的四边形是矩形，若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．16(2024·江苏淮安·模拟预测)如图1，二次函数y=-14x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．点B坐标为(6,0)，点C坐标为(0,3)，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m．(1)求该二次函数的表达式；(2)如图2，过点P作PF⊥BC，垂足为F，当m为何值时，PF最大？最大值是多少？(3)如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O 恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．【专题精练】一、单选题1(2023·四川宜宾·三模)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC=6，点D、E分别是AB、AC的中点．将△ADE绕点A顺时针旋转60°，射线BD与射线CE交于点P，在这个旋转过程中有下列结论：①△AEC≌△ADB；②CP存在最大值为3+33；③BP存在最小值为33-3；④点P运动的路径长为22π．其中，正确的是()A.①③④B.①②④C.①②③D.②③④2(2023·湖北十堰·三模)若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，若在二次函数y=x2 +2mx-m(m为常数)的图象上存在两个二倍点M x1，y1，N x2,y2，且x1<1<x2，则m的取值范围是()A.m<2B.m<1C.m<0D.m>03(2023·黑龙江大庆·一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y=34x-3与x轴、y轴分别交于点D、E，则点C到直线DE的最小距离为()A.1B.35C.45D.344(2022·浙江宁波·二模)如图，正六边形ABCDEF中，点P是边AF上的点，记图中各三角形的面积依次为S1,S2,S3,S4,S5，则下列判断正确的是()A.S1+S2=2S3B.S1+S4=S3C.S2+S4=2S3D.S1+S5=S35(2022·山东东营·中考真题)如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，点M，N分别是边BC、CD上的动点，∠BAC=∠MAN=60°，连接MN、OM.以下四个结论正确的是()①△AMN是等边三角形；②MN的最小值是3；③当MN最小时S△CMN=18S菱形ABCD；④当OM⊥BC时，OA2=DN⋅AB.A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④6(2022·辽宁抚顺·模拟预测)如图，点E、F分别在正方形ABCD的边CD、AD上，且AB=2CE=3AF，过F作FG⊥BE于P交BC于G，连接DP交BC于H，连BF、EF．下列结论：①△PBF为等腰直角三角形；②H为BC的中点；③∠DEF=2∠PFE；④SΔPHGSΔPDE=23．其中正确的结论()A.只有①②③B.只有①②④C.只有③④D.①②③④7(2020·浙江金华·一模)如图，在等边三角形ABC中，点P，Q分别是AC，BC边上的动点(都不与线段端点重合)，且AP=CQ，AQ、BP相交于点O．下列四个结论：①若PC=2AP，则BO=6OP；②若BC=8，BP=7，则PC=5；③AP2=OP⋅AQ；④若AB=3，则OC的最小值为3，其中正确的是()A.①③④B.①②④C.②③④D.①②③8(21-22九年级上·广东深圳·期中)如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE=1，∠DAM =45°，点F在射线AM上，且AF=2，过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H，CF与AD相交于点G，连接EC、EG、EF．下列结论：①CG=3434；②△AEG的周长为8；③△EGF的面积为1710．其中正确的是()A.①②③B.①③C.①②D.②③9(2021·广东深圳·二模)如图，在矩形ABCD中，BC=2AB，E为BC中点，连接AE交BD于点F，连CF，下列结论：①AE⊥BD；②S矩形ABCD=10S△CEF；③DC2=2DO⋅DF；④FCAE=63正确的有( )个．A.1B.2C.3D.410(2020·安徽滁州·模拟预测)在△EFG中，∠G=90°，EG=FG=22，正方形ABCD的边长为1，AD 与EF在一条直线上，点A与点E重合．现将正方形ABCD沿EF方向以每秒1个单位的速度匀速运动，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是()A. B.C. D.二、填空题11(2024·陕西西安·二模)如图，菱形ABCD中，AB=8，∠B=60°，E为AB的中点，F为BC上一点，连接EF，作∠GEF=60°且△GEF面积为33，则DG的最小值为．12(2023·陕西咸阳·一模)如图，矩形ABCO的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(-8,6)，⊙M是△AOC的内切圆，点N，点P分别是⊙M，x轴上的动点，则PB+PN的最小值是．13(2023·天津河西·一模)如图，正方形ABCD的边长为4，E是边CD上一点，DE=3CE，连接BE，与AC 相交于点M ，过点M 作MN ⊥BE ，交AD 于点N ，连接BN ，则点E 到BN 的距离为．14(2021·浙江湖州·二模)对某一个函数给出如下定义：若存在实数m >0，对于任意的函数值y ，都满足-m ≤y ≤m ，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的m 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数y =-x 2+1-2≤x ≤t ,t ≥0 的图象向上平移t 个单位，得到的函数的边界值n 满足是94≤n ≤52时，则t 的取值范围是．15(2023·湖北武汉·模拟预测)如图，△ABC 是边长为3的等边三角形，延长AC 至点P ，使得CP =1．点E 在线段AB 上，且AE <12AB ，连接PE ，以PE 为边向右作等边△PEF ，过点E 作EM ∥AP 交FA 的延长线于点M ，点N 是MF 的中点，则四边形AEPN 的面积为．16(2023·浙江宁波·二模)如图，y =-2x +b 与y =k 1x (k 1>0,x >0)交于A 、B 两点，过B 作y 轴的垂线，垂足为C ，交y =k 2x (k 2>0,x >0)于点D ，点D 关于直线AB 的对称点E 恰好落在x 轴上，且AE ⊥x 轴，连接BE ，则k 1k 2=；若△ABE 的面积为15，则k 1的值为．三、解答题17(2024·陕西西安·模拟预测)如图，已知抛物线W 1：y =ax 2+bx -2与x 轴交于A ，D 两点，AD =5，点A 在直线l ：y =12x +12上．(1)求抛物线W 1的解析式；(2)将抛物线W 1沿x 轴翻折后得到抛物线W 2，W 2与直线l 交于A ，B 两点，点P 是抛物线W 2上A ，B 之间的一个动点(不与点A 、B 重合)，PM ⊥AB 于M ，PN ∥y 轴交AB 于N ，求MN 的最大值．18(2024·福建龙岩·模拟预测)在锐角∠MON 内部取一点A ，过点A 分别作AB ⊥OM 于点B ，作AC ⊥ON 于点C ，以AB 为直径作⊙P ，CA 的延长线与⊙P 交于点D ．(1)求证：∠MON +∠ABD =90°；(2)若OB =BD ，点D 在OP 的延长线上，求证：ON 是⊙P 的切线；(3)当tan ∠MON =1时，连接OA ，若CP ⊥OA 于点F ，求PFCF的值．19(2024·广东佛山·模拟预测)四边形ABCD 是⊙O 的内接矩形，点E 是AD上的一动点，连接AE ，BE ，DE ，其中BE 交AD 于点F ．(1)如1图，当AB =ED 时，①求证：△AEB ≌△EAD ；②若∠EAD =30°，连接BO ，EO ．求证：四边形ABOE 是菱形．(2)如2图，若BC =2AB =2，EFFB=k ，请用含k 的式子表示EA ⋅ED 的值．20(2024·黑龙江哈尔滨·一模)如图，抛物线y =-12x 2+bx 交x 轴正半轴于点A ，过顶点C 作CD ⊥x 轴于点D ,OA =CD ．(1)求抛物线的解析式；(2)若-2≤x ≤6时，则函数y 的取值范围是；(3)点P 为CD 右侧第一象限抛物线上一点，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，点Q 为y 轴正半轴上一点，连接AQ 、HQ ，tan ∠OHQ =23，PQ 延长线交x 轴于点B ，点N 在y 轴负半轴上，连接BN 、AN ，若∠BQA =135°，∠ANB =45°求直线AN 的解析式．21(2024·吉林长春·一模)如图，在菱形ABCD 中，BC =10，tan B =43．点E 为线段BA 延长线上一点，且BE =15，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿BE 向终点E 匀速运动．连结PC 、PD ，将△PCD 绕点P 按逆时针方向旋转90°得到△PC D ，设点P 运动的时间是t 秒(t >0)．(1)菱形ABCD 的面积是；(2)用含t 的代数式表示线段PA PA >0 的长；(3)当C 、A 、C 三点共线时，求t 的值；(4)当△EC D 是直角三角形时，直接写出t 的值．22(2024·吉林长春·一模)如图，在正方形ABCD 中，动点P 从点A 出发，沿A -B -C 运动到点C 停止．过点C 作DP 的垂线，垂足为点G ，延长CG 到点E ，使EG =CG ，连结DE ，AE ，直线EA 与DP 交于点F ．设∠ADP 为α，且0°<α<90°．(1)当α=10°时，∠ADE=°，∠DAE=°；(2)当点P在AB上时，①求sin F的值；②当△DEF为轴对称图形时，求α的大小；(3)若正方形ABCD的面积为4，直接写出△DAF面积的最大值．23(2024·黑龙江哈尔滨·一模)综合实践菱形ABCD中，点E在对角线BD上，点M在直线AB上，将线段ME绕点M顺时针旋转得到线段MF，旋转角∠EMF=∠BAD，连接BF．【问题发现】(1)如图1，当点M与点A重合时，线段BE、BF、BD之间的数量关系为．【类比探究】(2)如图2，当点M在AB边上时，∠EMF=60°时，求证：BM+BF=BE；【拓展延伸】(3)如图3，点M在BA延长线上，H为AD中点，当MH⊥BM，AM=74，BD=20时，设BE=x，BF=y，求y与x之间的数量关系．24(2023·吉林白城·模拟预测)下面是小明同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，已知正方形ABCD中，E，F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°．求证：EF=AE+ CF．证明：如图，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM，则DE=DM,∠A=∠DCM,∠ADE=∠MDC．∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠ADC=∠DCB=90°，∴∠EDM=∠EDC+∠MDC=∠EDC+∠ADE=∠ADC=90°．∵∠EDF=45°,∴∠MDF=∠EDF=45°．又∵∠A=∠DCM=∠DCB=90°，∴点B，F，C，M在一条直线上．∵DF=DF,∴△EDF≌，∴EF=MF=CM+CF=+CF．【探究】(1)在图①中，若正方形ABCD的边长为3，AE=1，其他条件不变，求EF的长．压轴题【题型精讲】题型一：动态几何1(2021·江苏苏州·一模)如图，△ABC内接于⊙O，BC=12，∠A=60°，点D为弧BC上一动点，BE⊥直线OD于点E．当点D从点B沿弧BC运动到点C时，点E经过的路径长为()A.833π B.83π C.433π D.43π【答案】A【分析】连接OB，设OB的中点为M，连接ME．作OH⊥BC于H．首先判断出点E在以OB为直径的圆上运动，求出点D与C重合时∠EMB的度数，利用弧长公式计算即可．【详解】解：如图，连接OB，设OB的中点为M，连接ME．作OH⊥BC于H．∵OD⊥BE，∴∠OEB=90°，∴点E在以OB为直径的圆上运动，当点D与C重合时，∵∠BOC=2∠A=120°，∴∠BOE=60°，∴∠EMB=2∠BOE=120°，∵BC=12，OH⊥BC，∴BH=CH=6，∠BOH=∠COH=60°，∴OB=BHsin60°=43，∴点E的运动轨迹的长=240∙π×23180=833π，故选：A．【点睛】本题考查轨迹、弧长公式、三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找轨迹，属于中考常考题型．2(2021·山东威海·中考真题)如图，在菱形ABCD中，AB=2cm，∠D=60°，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A-C-D的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿A-B-C-D的方向运动，当其中一点到达D点时，两点停止运动．设运动时间为x(s)，△APQ的面积为y(cm2)，则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是()A. B.C. D.【答案】A【分析】先证明∠CAB=∠ACB=∠ACD=60°，再分0≤x≤1、1<x≤2、2<x≤3三种情况画出图形，求出函数解析式，根据二次函数、一次函数图象与性质逐项排除即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，∴△ABC，ACD都是等边三角形，∴∠CAB=∠ACB=∠ACD=60°．如图1，当0≤x≤1时，AQ=2x，AP=x，作PE⊥AB于E，∴PE=AP∙sin∠PAE=32x，∴y=12×2x∙32x=32x2，故D选项不正确；如图2，当1<x≤2时，CP=2-x，CQ=4-2x，BQ=2x-2，作PF⊥BC与F，作QH⊥AB于H，∴PF=CP·sin∠PCF=322-x，QH=BQ∙sin∠B=322x-2=3x-1，∴y=34×22-12×2×3x-1-12×4-2x∙322-x=-32x2+3x，故B选项不正确；当2<x≤3时，CP=x-2，CQ=2x-4，∴PQ=x-2，作AG ⊥CD 于G ，∴AG =AC ∙sin ∠ACD =32×2=3，∴y =12×x -2 ∙3=32x -3，故C 不正确．故选：A【点睛】本题考查了菱形性质，等边三角形性质，二次函数、一次函数图象与性质，利用三角函数解三角形等知识，根据题意分类讨论列出函数解析式是解题关键．3(2021·山东济南·三模)如图1，在Rt △ABC 中，∠A =90°，BC =10cm ，点P ，点Q 同时从点B 出发，点P 以2cm/s 的速度沿B →A →C 运动，终点为C ，点Q 出发t 秒时，△BPQ 的面积为ycm 2，已知y 与t 的函数关系的图象如图2(曲线OM 和MN 均为抛物线的一部分)，给出以下结论：①AC =6cm ；②曲线MN 的解析式为y =-45t 2+285t (4≤t ≤7)；③线段PQ 的长度的最大值为6510cm ；④若△PQC 与△ABC 相似，则t =407秒，其中正确的说法是()A.①②④B.②③④C.①③④D.①②③【答案】A【分析】①根据图2可知：P 走完AB 用了4秒，得AB =2×4=8cm ，利用勾股定理得AC 的长；②当P 在AC 上时，4≤t ≤7，利用同角的三角函数表示高PD 的长，利用三角形面积公式可得y 与t 的关系式；③当P 与A 重合时，PQ 最大，如图4，此时t =4，求出PQ 的长；④当P 在AC 上时，ΔPQC 与ΔABC ，列比例式可得t 的值．【详解】解：①由图2可知：t =4时，y =485，∴AB =2×4=8cm ，∵∠A =90°，BC =10cm ，∴AC =6cm ，故①正确；②当P 在AC 上时，如图3，过P 作PD ⊥BC 于D ，此时：6+82=7，∴4≤t ≤7，由题意得：AB +AP =2t ，BQ =t ，∴PC =14-2t ，sin ∠C =PD PC =ABBC，∴PD =4(14-2t )5，∴y =S ΔBPQ =12BQ ∙PD =12t ∙4(14-2t )5=-45t 2+285t ，故②正确；③当P 与A 重合时，PQ 最大，如图4，此时t =4，∴BQ =4，过Q 作GH ⊥AB 于H ，sin ∠B =QH BQ =ACBC，∴QH 4=610，∴QH =125，同理：BH =165，∴AH =8-165=245，∴PQ =AH 2+QH 2=245 2+125 2=1255；∴线段PQ 的长度的最大值为1255，故③不正确；④若ΔPQC 与ΔABC 相似，点P 只有在线段AC 上，分两种情况：PC =14-2t ，QC =10-t ，i )当ΔCPQ ∽ΔCBA ，如图5，则PCCB =CQ AC，∴14-2t 10=10-t6，解得t =-8不合题意．ii )当ΔPQC ∽ΔABC 时，如图6，∴PCAC=QC BC ，t =407；∴若ΔPQC 与ΔABC 相似，则t =407秒，故④正确；其中正确的有：①②④，故选：A ．【点睛】本题是动点问题的图象问题，此类问题比较复杂，考查了二次函数的关系式、三角形相似的性质和判定、勾股定理、三角函数，解题的关键是学会读懂函数图象信息，并构建直角三角形，利用三角形相似或三角函数列方程解决问题．题型二：新定义问题4(2023·重庆·中考真题)在多项式x -y -z -m -n (其中x >y >z >m >n )中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x -y -|z -m |-n =x -y -z +m -n ，x -y -z -m -n =x -y -z -m +n ，⋯．下列说法：①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是()A.0 B.1C.2D.3【答案】C【分析】根据给定的定义，举出符合条件的说法①和②．说法③需要对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案．【详解】解：x -y -z -m -n =x -y -z -m -n ，故说法①正确．若使其运算结果与原多项式之和为0，必须出现-x ，显然无论怎么添加绝对值，都无法使x 的符号为负，故说法②正确．当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是x -y -z -m -n =x -y -z -m -n ；x -y -z -m -n =x -y +z -m -n ；x -y -|z -m |-n =x -y -z +m -n ；x -y -z -m -n =x -y -z -m +n ．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是x -y -z -m -n =x -y -z +m -n ；x -y -z -m -n =x -y -z -m +n ；x -y -z -m -n =x -y +z -m +n ．共有7种情况；有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查新定义题型，根据多给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论；需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较．主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用．5(2021·广西贺州·中考真题)如M =1,2,x ，我们叫集合M ，其中1，2，x 叫做集合M 的元素．集合中的元素具有确定性(如x 必然存在)，互异性(如x ≠1，x ≠2)，无序性(即改变元素的顺序，集合不变)．若集合N=x ,1,2 ，我们说M =N ．已知集合A =1,0,a ，集合B =1a ,a ,b a ，若A =B ，则b -a 的值是()A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】C【分析】根据集合的确定性、互异性、无序性，对于集合B 的元素通过分析，与A 的元素对应分类讨论即可．【详解】解：∵集合B 的元素1a ,ba，a ，可得，∴a ≠0，∴1a ≠0，ba =0，∴b =0，当1a =1时，a =1，A =1,0,1 ，B =1,1,0 ，不满足互异性，情况不存在，当1a =a 时，a =±1，a =1(舍)，a =-1时，A =1,0,-1 ，B =-1,1,0 ，满足题意，此时，b -a =1．故选：C【点睛】本题考查集合的互异性、确定性、无序性。

中考数学经典总复习专题动线、动形问题完美全文

的取值范围；
学（2）点P 、 Q在运动的过程中，△PCQ面积S有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由。
动点与函数相结合
抛与物y轴线交y于= 点 x122C+，m抛x+n物与线x轴的交对于称A轴、交Bx两轴点于，
合点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．作（1）求抛物线的表达式；
学存在，请说明理由；
y
解析：
C
AO
DB
x
动点与函数相结合
抛与物y轴线交y于= 点 x122C+，m抛x+n物与线x轴的交对于称A轴、交Bx两轴点于，
合点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
作互
（ 3）点E 是线段 BC上的一个动点，过点E 作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF的面积
8
1 2
3
x2+ 2
；
x+2；
∴抛物线的对称轴是x= ∴OD= ．3
32．
∵C（0，2 2），
∴OC=2．
5
在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD= ．2
∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，
∴CP1=CP2=CP3=CD．作CH⊥x轴于H，
∴HP1=HD=2，
∴∴DP1P（1=4．，32 4），P2（
中考数学---动线、动形问题
• 数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是中考中必考的内容。
• 本节课重点来探究动态几何中的动线、动形问题。
• 一、关于动线、动形问题的解题方法：
• 1.“以静制动”，把动态问题转化成静态问题；
• 2.图形的运动主要有翻折、平移、旋转，在运动过程中，分清哪些量不变，哪些量发生了变化，以不变的量作为解题基础，以变化中的规律和特点作为解题的关键。

九年级数学中考专题：动态几何综合压轴题

2023年九年级数学中考专题：动态几何综合压轴题1．如图1，在△ABC 中，点P 为BC 边中点，直线a 绕顶点A 旋转．若B 、P 在直线a 的异侧，BM △直线a 于点M ，CN △直线a 于点N ，连接PM 、PN ；（1）延长MP 交CN 于点E （如图2）． △求证：△BPM △△CPE ； △求证：PM ＝PN ；（2）若直线a 烧点A 旋转到图3的位置时，点B 、P 在直线a 的同侧，其它条件不变．此时PM ＝PN 还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）若直线a 绕点A 旋转到与BC 边平行的位置时，其它条件不变．请直接判断四边形MBCN 的形状及此时PM ＝PN 还成立吗？（不必说明理由）2．如图△，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，AB BC =，延长CA 至点E ，作DE CE ⊥交BA 的延长线于点D ，连接CD ，点F 为CD 的中点，连接EF ，BF ．（1）直接写出线段EF 和BF 之间的数量关系为______．（2）将ADE 绕A 顺时针旋转到图△的位置，猜想EF 和BF 之间的数量关系，并加以证明；（3）若AC =:5AD BC =，将ADE 绕点A 顺时针旋转，当A ，E ，B 共线时，请直接写出EF 的长．3．如图，O 是正ABC 内一点，OA ＝3，OB ＝4，OC ＝5，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO ′，连接AO ′、OO ′，（1）OO ′＝．（2）求△AOB 的度数及四边形AOB O '的面积．（3）直接写出AOC AOB S S +△△的值，AOC AOB S S +△△＝．4．如图1，在△ABC 中，△C =90°，△ABC =30°，AC =1，D 为△ABC 内部的一动点（不在边上），连接BD ，将线段BD 绕点D 逆时针旋转60°，使点B 到达点F 的位置；将线段AB 绕点B 顺时针旋转60°，使点A 到达点E 的位置，连接AD ，CD ，AE ，AF ，BF ，EF ．（1）求证：△BDA △△BFE ；（2）△CD +DF +FE 的最小值为； △当CD +DF +FE 取得最小值时，求证：AD △BF ．（3）如图2，M ，N ，P 分别是DF ，AF ，AE 的中点，连接MP ，NP ，在点D 运动的过程中，请判断△MPN 的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．5．已知在ABC 中，O 为BC 边的中点，连接AO ，将AOC 绕点O 顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到EOF ，连接AE ，CF ．（1）如图1，当△BAC ＝90°且AB ＝AC 时，则AE 与CF 满足的数量关系是；（2）如图2，当△BAC ＝90°且AB ≠AC 时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）如图3，延长AO 到点D ，使OD ＝OA ，连接DE ，当AO ＝CF ＝5，BC ＝6时，求DE 的长．6．已知，在ABC 中，AB AC =，D 是平面上一点，连接AD ，把AD 绕点A 逆时针旋转至点E ，使DAE BAC ∠=∠．连接DE 并延长，交AB 于点O ，交BC 于点F ．连接BD 和CE ，CE 的延长线分别交AB ，BD 于点P ，G ．（1）如图1，求证：BGC DAE ∠=∠；（2）如图2，若点F 是BC 的中点，//AD CB ，求证12AE BC =；（3）在（2）的条件下，若G 是BD 的中点，连接,OG FG ．当5,3AB AD ==时，请直接写出OFG △的周长．7．【问题探究】（1）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，△ACB＝△DCE＝90°，点B，D，E 在同一直线上，连接AD，BD．△请探究AD与BD之间的位置关系？并加以证明．△若AC＝BC，DC＝CE AD的长．【拓展延伸】（2）如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，△ACB＝△DCE＝90°，AC BC，CD CE＝1．将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角△BCD为α（0°≤α＜360°），作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD的长．8．如图1和图2，四边形ABCD中，已知AD＝DC，△ADC＝90°，点E、F分别在边AB、BC上，△EDF＝45°．（1）观察猜想：如图1，若△A、△DCB都是直角，把△DAE绕点D逆时针旋转90°至△DCG，使AD与DC重合，易得EF、AE、CF三条线段之间的数量关系，直接写出它们之间的关系式_____；（2）类比探究：如图2，若△A、△C都不是直角，则当△A与△C满足数量关系_____时，EF、AE、CF三条线段仍有（1）中的关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，在△ABC中，△BAC＝90°，AB＝AC＝D、E均在边BC上，且△DAE＝45°，若BD＝1，求AE的长．9．如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC 、BE ，点P 为DC 的中点．（1）观察图1，猜想线段AP 与BE 的数量关系是______，位置关系是______；（2）把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论是否仍然成立，若成立请证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由；（3）把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若6DE =，10BC =，请直接写出线段AP 长的取值范围．10．已知AOB 和△MON 都是等腰直角三角形，△AOB ＝△MON ＝90°．（1）如图1：连AM ，BN ，求证：AOM △BON ；（2）若将Rt MON 绕点O 顺时针旋转，当点A ，M ，N 恰好在同一条直线上时，如图2所示，线段OH //BN ，OH 与AM 交点为H ，若OB ＝4，ON ＝3，求出线段AM 的长；（3）若将MON 绕点O 顺时针旋转，当点N 恰好落在AB 边上时，如图3所示，MN 与AO 交点为P ，求证：MP 2+PN 2＝2PO 2．11．如图1，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是BC 边上一动点，连接AD ，把AD 绕点A 顺时针旋转90°，得到AE ，连接DE ．（1）如图1所示，若4BC =，在D 点运动过程中，当8tan 11BDE ∠=时，求线段CD 的长．（2）如图2所示，点F 是线段DE 的中点，连接BF 并延长交CA 延长线于点M ，连接DM ，交AB 于点N ，连接CF ，AF ，当点N 在线段CF 上时，求证：AD BF CF +=．（3）如图3，若AB =ABC 绕点A 顺时针旋转得AB C ''△，连接CC '，P 为线段CC '上一点，且CC ''=，连接BP ，将BP 绕点B 顺时针旋转60°得到BQ ，连接PQ ，K 为PQ 的中点，连接CK ，请直接写出线段CK 的最大值．12．已知：如图1，将一块45︒角的直角三角板DEF 与正方形ABCD 的一角重合，连结AF 、CE ，点M 是CE 的中点，连结DM ．（1）请你猜想AF 与DM 的数量关系是___________．（2）如图2，把正方形ABCD 绕着点D 逆时针旋转α角（090α︒<<︒）． △AF 与DM 的数量关系是否仍成立，若成立，请证明：若不成立，请说明理由；△若60α=︒，且3FDM MDC ∠=∠，求DEDC的值．13．在等腰直角三角形ABC 中，290AC BC ACB ==∠=︒，，点M 为射线CA 上一个动点．过点M 作ME BM ⊥，交射线BA 于E ，将线段BM 绕点B 逆时针旋转90︒得到线段BN ，过点N 作NF BN ⊥交BC 延长线于点F ，连接EF ．（1）如图1，当点M 在边AC 上时，线段,,EM EF NF 的数量关系为_______；（2）如图2，当点M 在射线CA 上时，判断线段,,EM EF NF 的数量关系并说明理由；（3）当点M 在射线CA 上运动时，能否存在BEF △为等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出CM 的长．14．如图，等腰Rt CEF 绕正方形ABCD 的顶点C 顺时针旋转，且AB CE EF ==，90CEF ∠=︒．连接AF 与射线BE 交于点G ．（1）如图1，当点B 、C 、F 三点共线时，则ABE ∠ FEM ∠（填“＞”、“＝”或“＜”），则AG FG （填“＞”、“＝”或“＜”）；（2）如图2，当点B 、C 、F 三点不共线时，求证：AG GF =；（3）若等腰CEF △从图1的位置绕点C 顺时针旋转α（090α︒<≤︒），当直线AB 与直线EF 相交构成的4个角中最小角为30°时，直接写出α的值．15．在菱形ABCD 中，4AB =，60ABC ∠=︒，E 是对角线AC 上一点，F 是线段BC 延长线上一点，且CF AE =，连接BE 、EF ．（1）如图1，若E 是线段AC 的中点，求EF 的长；（2）如图2，若E 是线段AC 延长线上的任意一点，求证：BE EF =．（3）如图3，若E 是线段AC 延长线上的一点，12CE AC =，将菱形ABCD 绕着点B 顺时针旋转α︒(0360)α≤≤，请直接写出在旋转过程中DE 的最大值．16．如图，等边三角形ABC 中，D 为AB 边上一点（点D 不与点,A B 重合），连接CD ，将CD 平移到BE （其中点B 和C 对应），连接AE ．将BCD △绕着点B 逆时针旋转至BAF △，延长AF 交BE 于点G ．（1）连接DF ，求证：BDF 是等边三角形；（2）求证：,,D F E 三点共线；（3）当2BG EG =时，求tan AEB ∠的值．17．ABC 为等边三角形，CD AB ⊥于点D ，点E 为边BC 上一点，点F 为线段CD 上一点，连接EF ，且CE EF =．（1）如图1，若342AB CE ==,，连接BF ，G 为BF 的中点，连接DG ，求线段DG 的长：（2）如图2，将CEF △绕点C 逆时针方向旋转一定的角度得到CMN ，连接BN ，点H为BN 的中点，连接AH HM ,，求证：AH =：（3）如图3，在（2）问的条件下，线段HM 与线段CN 交于点P ，连接AM ，交线段CN 于点Q ，当2CQ PN a ==时，请直接用含a 的式子表示PQ 的长．18．在ABC 中，90ACB ∠=︒．将ABC 绕点C 逆时针旋转一定角度（旋转角度不大于180︒），得到DEC （点D ，E 分别与点A ，B 对应），连接AD ，BE ．（1）如图1，当点A ，C ，E 在同一条直线上时，直接写出AD 与BE 的位置关系为__________；（2）如图2，当点D 落在AB 上时，（点D 不与点A 重合），请判断AD 与BE 的位置关系，并证明你的结论；（3）如图3，将ABC 绕点C 逆时针旋转60︒时，延长AD 与直线BC ，BE 分别相交于点F ，G ，连接CG ，试探究线段CG 与DE 之间满足的数量关系，并说明理由．19．如图△，在矩形ABCD 中，1AB =，对角线AC ，BD 相交于点O ，60COD ∠=︒，点E 是线段CD 上一点，连接OE ，将线段OE 绕点O 逆时针旋转60︒得到线段OF ，连接DF ．（1）求证：DF CE =；（2）连接EF 交OD 于点P ，求DP 的最大值；（3）如图△，点E 在射线CD 上运动，连接AF ，在点E 的运动过程中，若AF AB =，求OF 的长．20．将等边三角形ABC 如图放置在平面直角坐标系中，8AB =，E 为线段AO 的中点，将线段AE 绕点A 逆时针旋转60°得线段AF ，连接EF ．（△）如图1，求点E 的坐标；（△）在图1中，EF 与AC 交于点G ，连接EC ，N 为EC 的中点，连接NG ，求线段NG 的长．请你补全图形，并完成计算；（△）如图2，将AEF △绕点A 逆时针旋转，M 为线段EF 的中点，N 为线段CE 的中点，连接MN ，请直接写出在旋转过程中MN 的取值范围．参考答案：1．（2）成立（3）四边形MBCN的是矩形，PM=PN．2．（1）EF BF=；（2）FE FB=，（33．（1）4；（2）150°，（3）64．（2）（3）是，△MPN=30°．5．（1）AE CF=；（2）成立，（36．（3）47．（1）△AD BD⊥；△4；（2）8．（1）EF＝AE＋CF；（2）△A＋△C＝180°；（39．（1）12AP BE=，AP BE⊥；（2）12AP BE=，AP BE⊥仍成立；（3AP≤≤．10．（2；11．（1）3219；（3）312．（1）AF＝2DM，（2）△AF＝2DM仍然成立；13．（1）结论：EM+EF=FN；（2）结论：EF=EM=FN；（3）2或2+14．（1）=；=；（3）15°或75°15．（1）（3）16．tan AEB∠=17．（1；（318．（1）AD BE⊥；（2）AD BE⊥，（3）CG DE=19．（2）DP的最大值为14；（3）1OF=20．（△）(0,E；（△；（△）44MN≤≤答案第1页，共1页。

2019中考压轴精品--动态几何5(抛物线中动形存在性)--数学.doc

2019中考压轴精品--动态几何5(抛物线中动形存在性)--数学一、要点分析：抛物线的解析式有以下三种形式：1、一般式：2y ax bx c =++(a ≠0)；2、顶点式：y=a(x —h)2-＋k ；3、交点式：y=a(x —x1)(x —x2)，这里x1、x2是方程ax 2+bx+c=0的两个实根。

解函数与几何的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。

二、题型解析： 1.抛物线中三角形例1.如图、抛物线212y ax ax b =-+经过A 〔－1，0〕，C 〔2，32〕两点，与x 轴交于另一点B 、(1)求此地物线的解析式；(2)假设抛物线的顶点为M ，点P 为线段OB 上一动点(不与点B 重合)，点Q 在线段MB 上移动，且∠MPQ=45°，设线段OP=x ，2y ，求y 2与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；(3)在同一平面直角坐标系中，两条直线x=m ，x=n 分别与抛物线交于点E ，G ，与(2)中的函数图象交于点F ，H 、问四边形EFHG 能否为平行四边形?假设能，求m ，n 之间的数量关系；假设不能，请说明理由、备用图解：(1)∵拋物线y 1=ax 2-2ax +b 经过A (-1，0)，C (0，23)两点，∴⎪⎩⎪⎨⎧==++2302b b a a ，∴a =-21，b =23，∴拋物线的解析式为y 1=-21x 2+x +23。

(2)作MN ⊥AB ，垂足为N 。

由y 1=-21x 2+x +23易得M (1，2)， N (1，0)，A (-1，0)，B (3，0)，∴AB =4，MN =BN =2，MB =22，∠MBN =45︒。

根据勾股定理有BM 2-BN 2=PM 2-PN 2。

∴(22)2-22=PM 2=-(1-x )2… ，又∠MPQ =45︒=∠MBP ，∴△MPQ ~△MBP ，∴PM 2=MQ ⨯MB =22y 2⨯22… 。

最新九年级数学中考复习：动态几何综合压轴题(角度问题)含答案

2023年九年级数学中考复习：动态几何综合压轴题（角度问题）1．如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，四边形EFGH是正方形，EH与BD重合，将图①中的正方形EFGH绕着点D逆时针旋转．(1)旋转至如图①位置，使点G落在BC的延长线上，DE交BC于点L．已知旋转开始时，即图①位置①CDG＝37°，求正方形EFGH从图①位置旋转至图①位置时，旋转角的度数．(2)旋转至如图①位置，DE交BC于点L．延长BC交FG于点M，延长DC交EF于点N．试判断DL、EN、GM之间满足的数量关系，并给予证明．2．如图1，在Rt①ABC中，①ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．D、E分别是AB、AC边的中点，连接DE．现将①ADE绕A点逆时针旋转，连接BD，CE并延长交于点F．(1)如图2，点E正好落在AB边上，CF与AD交于点P．①求证：AE•AB＝AD•AC；①求BF的长；(2)如图3，若AF恰好平分①DAE，直接写出CE的长．3．如图①，在ABC中，①ACB＝90°，①ABC＝30°，AC＝1，D为ABC内部的一动点（不在边上），连接BD ，将线段BD 绕点D 逆时针旋转60°，使点B 到达点F 的位置；将线段AB 绕点B 顺时针旋转60°，使点A 到达点E 的位置，连接AD ，CD ，AE ，AF ，BF ，EF ．(1)求证：BDA ①BFE ；(2)当CD +DF +FE 取得最小值时，求证：AD ∥BF ．(3)如图①，M ，N ，P 分别是DF ，AF ，AE 的中点，连接MP ，NP ，在点D 运动的过程中，请判断①MPN 的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．4．已知ABC 是等腰三角形，AB AC ＝，将ABC 绕点B 逆时针旋转得到''A BC ，(1)感知：如图①，当'BC 落在AB 边上时，'A AB ∠与'C CB ∠之间的数量关系是 _____（不需要证明）；(2)探究：如图①，当'BC 不落在AB 边上时，'A ∠AB 与'C CB ∠是否相等？如果相等；如果不相等，请说明理由；(3)应用：如图①，若90BAC ∠=︒，'AA 、'CC 交于点E ，则'A EC ∠=_____度．5．如图，已知正方形ABCD ，点E 为AB 上的一点，EF AB ⊥，交BD 于点F ．(1)如图1，直按写出DFAE的值_______； (2)将①EBF 绕点B 顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE 、DF ，猜想DF 与AE 的数量关系，并证明你的结论；(3)如图3，当BE =BA 时，其他条件不变，①EBF 绕点B 顺时针旋转，设旋转角为(0360)αα︒<<︒，当α为何值时EA =ED ?请在图3或备用图中画出图形并求出α的值．6．在正方形ABCD 中，AB =4，O 为对角线AC 、BD 的交点．（1）如图1，延长OC ，使CE=OC ，作正方形OEFG ，使点G 落在OD 的延长线上，连接DE 、AG ．求证：DE=AG ；（2）如图2，将问题（1）中的正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转α°（0<α<180），得到正方形OE F G '''，连接AE E G '''、． ①当α=30时，求点A 到E G ''的距离；①在旋转过程中，直接写出AE G ∆''面积的最小值为，并写出此时的旋转角α= ．7．已知在矩形ABCD 中，①ADC 的平分线DE 与BC 交于点E ，点P 是线段DE 上一定点（其中EP ＜PD ）（1）如图1，若点F 在CD 边上（不与C ，D 重合），将①DPF 绕点P 逆时针旋转90°后，角的两边PD ，PF 分别交射线DA 于点H ，G ． ①直接写出PG 与PF 之间的数量关系；①猜想DF ，DG ，DP 的数量关系，并证明你的结论．（2）如图2，若点F 在CD 的延长线上（不与D 重合），将PF 绕点P 逆时针旋转90°，交射线DA 于点G ，判断（1）①中DF ，DG ，DP 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请直接写出它们所满足的数量关系式．8．已知：在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，将ABC 绕点A 顺时针旋转一定的角度α得到AED ，点B 、C 的对应点分别是E 、D ．（1）如图1，若60α=︒时，连接BE ，求证：AB BE =；（2）如图2，当点E 恰好在AC 上时，求CDE ∠的度数；（3）如图3，点B 、C 的坐标分别是()0,0，()0,2，点Q 是线段AC 上的一个动点，点M 是线段AO 上的一个动点，是否存在这样的点Q 、M 使得CQM 为等腰三角形且AQM 为直角三角形？若存在，请求出满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．9．（1）发现：如图1，点B 是线段AD 上的一点，分别以AB BD ，为边向外作等边三角形ABC 和等边三角形BDE ，连接AE ，CD ，相交于点O .①线段AE 与CD 的数量关系为：___________；AOC ∠的度数为__________. ②CBD ∆可看作ABE ∆经过怎样的变换得到的？____________________________. （2）应用：如图2，若点A B D ，，不在一条直线上，（1）的结论①还成立吗？请说明理由；（3）拓展：在四边形ABCD 中，=AB AC ，=90BAC ∠︒，=45ADC ∠︒，若8AD ＝，6CD ＝，请直接写出B ，D 两点之间的距离.10．如图①，①QPN 的顶点P 在正方形ABCD 两条对角线的交点处，①QPN =α，将①QPN 绕点P 旋转，旋转过程中①QPN 的两边分别与正方形ABCD 的边AD 和CD 交于点E 和点F （点F 与点C ，D 不重合）．（1）如图①，当α=90°时，DE ，DF ，AD 之间满足的数量关系是；（2）如图①，将图①中的正方形ABCD 改为①ADC =120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，（1）中的结论变为DE +DF =12AD ，请给出证明；（3）在（2）的条件下，若旋转过程中①QPN 的边PQ 与射线AD 交于点E ，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE ，DF ，AD 之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．11．如图，已知正方形ABCD ，将AD 绕点A 逆时针方向旋转(090)n n ︒<<到AP 的位置，分别过点C D 、作,CE BP DF BP ⊥⊥，垂足分别为点E 、F ．(1)求证：CE EF =； (2)联结CF ，如果13DP CF =，求ABP ∠的正切值；(3)联结AF ，如果AF AB =，求n 的值．12．综合与实践如图1，在综合实践课上，老师让学生用两个等腰直角三角形进行图形的旋转探究．在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，在Rt AMN △中，90MAN ∠=︒，AM AN =，点M ，N 分别在AC ，AB 边行，直角顶点重合在一起，将Rt AMN △绕点A 逆时针旋转，设旋转角MAC α∠=，其中090α︒<<︒．（1）当点M 落在BC 上时，如图2：①请直接写出BMN ∠的度数为______（用含α的式子表示）； ①若3tan 4α=，7AC =，求AM 的长；（2）如图3，连接BN ，CM ，并延长CM 交BN 于点E ，请判断CE 与BN 的位置关系，并加以证明；（3）如图4，当BAC ∠与MAN ∠是两个相等钝角时，其他条件不变，即在ABC 与AMN 中，AB AC =，AM AN =，MAN BAC β∠=∠=，MAC α∠=，则CEN ∠的度数为______（用含α或β的式子表示）．13．定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值叫做这条边所对角的准对（记作qad）．如图1，在①ABC中，AH①BC于点H，则qad①BAC＝AHBC．当qad①BAC＝35时，则称①BAC为这个三角形的“金角”．已知在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，①ACE 的“金角”①EAC所对的边CE在BC边上，将①ACE绕点C按顺时针方向旋转α（0°＜α＜90°）得到①A'CE'，A'C交AD边于点F．（1）如图2，当α＝45°时，求证：①ACF是“金角”．（2）如图3，当点E'落在AD边上时，求qad①AFC的值．14．(1)观察猜想：如图①，在Rt△ABC和Rt△BDE中，①ABC＝①EBD＝90°，AB＝BC，BE＝BD，连接AE，点F是AE的中点，连接CD、BF，当点D、B、C三点共线时，线段CD与线段BF的数量关系是_____，位置关系是_____(2)探究证明：在（1）的条件下，将Rt△BDE绕点B顺时针旋转至图①位置时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请你就图①的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；(3)拓展延伸：如图①，在Rt△ABC和Rt△BDE中，①ABC＝①EBD＝90°，BC＝2AB＝8，BD＝2BE＝4，连接AE，点F是AE的中点，连结CD、BF，将△BDE绕点B在平面内自由旋转，请直接写出BF的取值范围，15．把我们常用的一副三角尺按照如图方式摆放：90︒∠=∠=BAO ODC，45B︒∠=，30∠=．C︒∠的度(1)如图1，两个三角尺的直角边OA、OD摆放在同一直线上，求出此图中BOC数；(2)如图2，如果把图1所示的OAB以O为中心顺时针旋转得到OA B''△，当OB'平分∠为多少度；COD∠时，求AOA'(3)如图3，两个三角尺的直角边OA、OD摆放在同一直线上，另一条直角边OB、OC 也在同一条直线上，如果把OAB以O为中心顺时针旋转一周，当旋转多少度时，两条AB CD，请直接写出答案．斜边//16．如图1，①ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC 边上，此时BD=CF，BD①CF成立．(1)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(2)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．求证：BD①CF；(3)在（2）小题的条件下，AC与BG的交点为M，当AB=4，AD时，求线段CM 的长．17．（1）问题发现如图1，在等边三角形ABC 内部有一点P ，3PA =，4PB =，5PC =，求APB ∠的度数．针对此问题，数学王老师给出了下面的思路：如图2，将APC △绕点A 逆时针旋转60°得到AP B '△，连结PP '，得到等边三角形APP '，在BPP '中，根据三角形三边关系以及勾股定理……请根据王老师的思路提示，完成本题的解答；（2）类比延伸如图3，在正方形ABCD 内部有一点P ，若135APD ∠=︒，试判断线段P A 、PB 、PD 之间的数量关系，并说明理由．18．如图，正方形ABCD 中PAQ ∠分别交BC ，CD 于点E ，F ，连接EF ．(1)如图①，若128∠=︒，273∠=︒，试求3∠的度数；(2)如图①，以点A 为旋转中心，旋转PAQ ∠，旋转时保持45PAQ ∠=︒．当点E ，F 分别在边BC ，CD 上时，AE 和AF 是角平分线吗？如果是，请说出是哪两个角的平分线并给予证明；如果不是，请说明理由；(3)如图①，在①的条件下，当点E ，F 分别在BC ，CD 的延长线上时，①中的结论是否成立？只需回答结论，不需说明理由．19．如图，①AOB 中，OA =OB =6，将①AOB 绕点O 逆时针旋转得到①COD ．OC 与AB交于点G ，CD 分别交OB 、AB 于点E 、F ．(1)①A 与①D 的数量关系是：①A ______①D ； (2)求证：①AOG ①①DOE ；(3)当A ，O ，D 三点共线时，恰好OB ①CD ，求此时CD 的长．20．将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC 和AFE 按如图1所示位置放置，现将Rt AEF 绕A 点按逆时针方向旋转()090αα︒<<︒．如图2，AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点P ．(1)若AMC 是等腰三角形，则旋转角α的度数为______．(2)在旋转过程中，连接AP ，CE ，求证：AP 所在的直线是线段CE 的垂直平分线． (3)在旋转过程中，CPN 是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由．参考答案：1．(1)16°(2)DL ＝EN +GM2．3．①MPN 的值为定值，30°．4．(1)相等；(2)相等；(3)135︒．5．(2)DF =，(3，α的值为30°或150°，6．（2）①点A 到E G ''的距离为①在旋转过程中，直接写出AE G ∆''面积的最小值为16-α=135°．7．（1）①①DG +DF ；（2）不成立，数量关系式应为：DG -DF ，8．（2）15°；（3）存在，M ⎫⎪⎭或()4-9．（1）①AE CD =，60︒；（2）依然成立，（3）10．（1）DE +DF =AD ；（3）①当点E 落在AD 上时，DE +DF =12AD ，①当点E 落在AD 的延长线上时，DE -DF =12AD ．11． (2)23；(3)3012．（1）①α；①5；（2）CE BN ⊥；（3）180β︒- 13． 2314．(1) CD =2BF BF ①CD(2)CD =2BF ， BF ①CD 成立(3)13BF ≤≤15．(1)75︒∠=BOC ；(2)105︒'∠=AOA ；(3)当旋转的角度为105︒或285︒，两条斜边//AB CD ．16． (3)8317．（1）150︒；（2）2222PA PD PB ，18．(1)62°(2)AE 是①FEB 的平分线，AF 是①EFD 的平分线，(3)AE 仍然是①FEB 的平分线，AF 不是①EFD 的平分线19．(1)=(3)20．(1)60°或15°(3)能，30α∠=︒或60︒。

初中数学北师大版九年级下册中考专题动态几何

6
F' 2 2 G
4
2
小结
模型一：动点到定点定长模型
模型二
模型三
课后思考题
同学们再见！
折叠得到△EB’F ，连接B’D，则B’D的最小值是 10 1
.
= 动点到定点的距离定长
DE 12 32 10
A
3
D
1
B'
E
1
B'
B ' D DE B ' E 10 1
BF
3
C
变式3：在平行四边形ABCD 中，∠BCD＝30°，BC＝4， CD＝3 3 ，M 是 AD 边的中点，N 是 AB 边上一动点，将 △AMN 沿 MN 所在直线翻折得到△A'MN，连接 MC，则 A'C 长度的最小值是 5 。
设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S=S1-S2， S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；
若不存在，请说明理由；
6
DH 2 3 DF ' 2 3 2
H
SABF '最小
1 2
AB
DF '
1 2
6 (2
3 2)
6 36
1 S1 2 6 3 3 3
Smax S1 S2 3 3 (6 3 6) 6 3 3
点 C 落在点 P 处。
6
(1)点 P 到边 AB 距离的最小值是 5
。
A
= 动点到定点的距离定长
sin A BC 8 4 AB 10 5
FH 4 4 16 55
P'H FH FP' 16 2 6
5
5
变式： △ABP的面积的最小值是 6

中考数学压轴专题训练——动态(动点)几何问题的解题技巧(含答案)

（1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由；
（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么？
（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．
答案：
1、解：1）PD=PE。以图②为例，连接PC
∵△ABC是等腰直角三角形，P为斜边AB的中点，
∴PC=PB，CP⊥AB，∠DCP=∠B=45°，
(3)如图3，BD是正方形ABCD的对角线,L在BD上，且BL=BC,连结CL，点E是CL上任一点,EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；
3.在中，AC=BC，，点D为AC的中点．
（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连结CF，过点F作，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明．
动态几何问题的解题技巧
解这类问题的基本策略是：
1．动中觅静：这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性．
2．动静互化：“静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静”的关系．
3．以动制动：以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点来研究变动元素的关系．
又∵∠DPC+∠CPE=90°，∠CPE+∠EPB=90°
∴∠DPC=∠EPB
∴△DPC≌△EPB（AAS）
∴PD=PE
2）能，①当EP=EB时，CE= BC=1
②当EP=PB时，点E在BC上，则点E和C重合，CE=0
③当BE=BP时，若点E在BC上，则CE=

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