2012年高考数学30道压轴题

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2012年高考数学30道压轴题

2012年高考数学30道压轴题训习1．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点（）的准线与x轴相交于点，，过点的直线与椭圆相交于、两点。

（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线的方程；（3）设（），过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明. (14分)2．已知函数对任意实数x都有，且当时，。

（1）时，求的表达式。

（2）证明是偶函数。

（3）试问方程是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。

当3．（本题满分12分）如图，已知点F（0，1），直线L：y=-2，及圆C：。

（1）若动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1，求动点M的轨迹E的方程；（2）过点F的直线g交轨迹E于G（x1，y1）、H（x2，y2）两点，求证：x1x2为定值；（3）过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为A、B，要使四边形PACB的面积S最小，求点P的坐标及S的最小值。

4.以椭圆＝1（a＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形.5 已知，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c及一次函数g（x）＝－bx，其中a、b、c∈R，a＞b＞c，a＋b＋c＝0.（Ⅰ）求证：f（x）及g（x）两函数图象相交于相异两点；（Ⅱ）设f（x）、g（x）两图象交于A、B两点，当AB线段在x轴上射影为A1B1时，试求|A1B1|的取值范围.6 已知过函数f（x）=的图象上一点B（1，b）的切线的斜率为－3。

（1）求a、b的值；（2）求A的取值范围，使不等式f（x）≤A－1987对于x∈[－1，4]恒成立；（3）令。

是否存在一个实数t，使得当时，g（x）有最大值1？7 已知两点M（－2，0），N（2，0），动点P在y轴上的射影为H，︱︱是2和的等比中项。

（1）求动点P的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；（2）若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，求实轴最长的双曲线C的方程。

2012年高考数学压轴题19套

数学压轴题集1. 已知函数()ln ,()(0)af x xg x a x==>，设()()()F x f x g x =+ （1）求()F x 的单调区间；（2）若以()((0,3]y F x x =∈）图像上任意一点00(,)P x y 为切点的切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的最小值；（3）若对所有的[,)x e ∈+∞都有()xfx ax a ≥-成立，求实数a 的取值范围.解：（1）()()()ln (0),aF x f x g x x x x =+=+>'221()(0)a x a F x x x x x-=-=>.………2分因为0a>由'()0(,)F x x a >⇒∈+∞，所以()F x 在上单调递增；由'()0(0,)F x x a <⇒∈，所以()F x 在(0,)a 上单调递减. ………………………………………………………………5分（2）''0002201()(03),()(03)2x a x a F x x k F x x x x --=<≤==≤<≤恒成立，………7分即200max 1(),2ax x ≥-+当01x =时取得最大值12。

所以，12a≥，所以min 12a =.……10分（3）因为xe ≥，所以ln ln 1x x x x ax a a x ≥-⇔≤-，令ln (),[,)1x x h x x e x =∈+∞-，则'2ln 1()(1)x x h x x --=-.………………………………………………………………12分因为当xe ≥时，'1(ln 1)10x x x--=->，所以ln 1ln 120x x e e e --≥--=->，所以'()0h x >，所以min()()1e h x h e e ==-，所以 1ea e ≤-.………………………16分 2.已知数列{}na 中,11=a, a a a a ,1(12≠-=为实常数）,前n 项和n S 恒为正值，且当2≥n 时,1111+-=n n n a a S .（1）求证:数列{}nS 是等比数列；（2）设n a 与2+n a 的等差中项为A ,比较A 与1+n a 的大小；（3）设m 是给定的正整数，2=a.现按如下方法构造项数为m 2有穷数列{}n b ：当m m m k2,,2,1 ++=时，1+⋅=k k k a a b ；当m k ,,2,1 =时，12+-=k m k b b .求数列{}nb 的前n 项和为),2(*∈≤N n m n T n .解：（1）当3≥n时, Nn n n n nnS S S S a a S ---=-=+-+11111111,化简得112+-=n n n S S S )3(≥n ,又由11=a ,12-=a a 得31111a a a--=, 解得)1(3-=a a a ,∴2321,,1a S a S S ===，也满足112+-=n n n S S S ,而n S 恒为正值,∴数列{}nS 是等比数列. 4 分（2）{}nS 的首项为1，公比为a ，1-=n na S.当2≥n 时,21)1(---=-=n n n n a a S S a ,∴⎩⎨⎧≥-==-2,)1(1,12n a a n a n n . 当1=n 时,221312331333[()]222248n a a aa A a a a ++-+-=-==-+≥,此时1+>n a A .…6分当2≥n时, 12121)1(2)1()1(2--+++---+-=-+=-n nn n n n n a a a a a a a a a a A2)1(2)12()1(2322---=+--=n n a a a a a a .∵nS 恒为正值 ∴0>a 且1≠a ,若10<<a ,则01<-+n a A ,若1.>a ,则01>-+n a A .综上可得,当1=n 时, 1+>n a A ；当2≥n时，若10<<a ，则1+<n a A ，若1.>a ,则1+>n a A . 10 分（3）∵2=a∴⎩⎨⎧≥==-2,21,12n n a n n ,当m k m 21≤≤+时, 3212-+=⋅=k k k k a a b .若*∈≤N n m n ,,则由题设得1212221,,,+--===n m n m m b b b b b b=+++=+++=+--1212221n m m m n n b b b b b b T3)21(241)41(22222141341245434n m n m n m m m ----------=--=+++ .13 分若*∈≤≤+N n m n m ,21,则n m m m n b b b T T ++++=++ 213212122142223)21(2-+---++++-=n m m m m 41)41(23)21(212214--+-=----m n m m m 3)12(2212-=-m m . 综上得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤≤-=---m n m m n T m m n m n21,3)12(21,3)21(2212214. 16 分 3.A 是定义在[2,4]上且满足如下两个条件的函数()x Φ组成的集合：①对任意的[1,2]x ∈，都有(2)(1,2)x Φ∈； ②存在常数L (01)L <<，使得对任意的12,[1,2]x x ∈，都有1212(2)(2)x x L x x Φ-Φ≤-（1）设3()1,[2,4]x x x Φ=+∈，证明：()x A Φ∈；（2）设()x A Φ∈，如果存在0(1,2)x ∈，使得00(2)x x =Φ，那么，这样的0x 是唯一的；（3）设()x A Φ∈，任取1(1,2),x ∈令1(2),1,2,,n n x x n +=Φ=证明：给定正整数k ，对任意的正整数p ，不等式1211k k p k L x x x x L-+-≤--成立.证明：（1）对任意3[1,2],(2)12,[1,2],x x x x ϕ∈=+∈于是333(2)5x ϕ≤≤，…………2分又331352<<<，所以(2)(1,2)x ϕ∈。

2012高考数学压轴题精炼一

2012高考数学压轴题精炼一1．已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.（Ⅰ）求这三条曲线的方程；（Ⅱ）已知动直线过点()3,0P ，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在说明理由. 解：（Ⅰ）设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =24y x ∴= 抛物线方程为: …（1分）由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1…………………（2分）对于椭圆，1222a MF MF =+=+(222222211321a ab ac ∴=+=+=+∴=-=++= 椭圆方程为：………………………………（4分）对于双曲线，1222a MF MF '=-=2222221321a abc a '''''∴=∴=-=-=∴= 双曲线方程为：………………………………（6分）（Ⅱ）设AP 的中点为C ，l '的方程为：x a =，以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点，DE 中点为H令()11113,,,22x y A x y +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ C ………………………………………………（7分）()1131123222x DC AP CH a x a +∴===-=-+ ()()()22222221111211323-2344246222DH DC CH x y x a a x a a a DH DE DH l x ⎡⎤⎡⎤∴=-=-+--+=-+⎣⎦⎣⎦'==-+=∴=== 当时,为定值; 的方程为： …………（12分）2．（14分）已知正项数列{}n a 中，16a =，点(n n A a 在抛物线21y x =+上；数列{}nb 中，点(),n n B n b 在过点()0,1，以方向向量为()1,2的直线上.（Ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（Ⅱ）若()()()n n a f n b ⎧⎪=⎨⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数，问是否存在k N ∈，使()()274f k f k +=成立，若存在，求出k 值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）对任意正整数n，不等式1120111111n n n a b b b +≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立，求正数a 的取值范围.解：（Ⅰ）将点(n n A a 代入21y x =+中得()11111115:21,21n n n n n n a a a a d a a n n l y x b n ++=+∴-==∴=+-⋅=+=+∴=+ 直线 …………………………………………（4分）（Ⅱ）()()()521n f n n ⎧+⎪=⎨+⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数………………………………（5分） ()()()()()()27274275421,43527227145,24k k f k f k k k k k k k k k k ++=∴++=+∴=+∴++=+∴== 当为偶数时，为奇数，当为奇数时，为偶数，舍去综上，存在唯一的符合条件。

2012年高考数学最新压轴题汇编

2012数学最新压轴题集汇编1. 已知函数()ln ,()(0)af x xg x a x==>，设()()()F x f x g x =+ （1）求()F x 的单调区间；（2）若以()((0,3]y F x x =∈）图像上任意一点00(,)P x y 为切点的切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的最小值；（3）若对所有的[,)x e ∈+∞都有()xfx ax a ≥-成立，求实数a 的取值范围.解：（1）()()()ln (0),aF x f x g x x x x =+=+>'221()(0)a x a F x x x x x-=-=>.………2分因为0a>由'()0(,)F x x a >⇒∈+∞，所以()F x 在上单调递增；由'()0(0,)F x x a <⇒∈，所以()F x 在(0,)a 上单调递减. ………………………………………………………………5分（2）''0002201()(03),()(03)2x a x a F x x k F x x x x --=<≤==≤<≤恒成立，………7分即200max 1(),2ax x ≥-+当01x =时取得最大值12。

所以，12a≥，所以min 12a =.……10分（3）因为xe ≥，所以ln ln 1x x x x ax a a x ≥-⇔≤-，令ln (),[,)1x x h x x e x =∈+∞-，则'2ln 1()(1)x x h x x --=-.………………………………………………………………12分因为当xe ≥时，'1(ln 1)10x x x--=->，所以ln 1ln 120x x e e e --≥--=->，所以'()0h x >，所以min()()1e h x h e e ==-，所以 1ea e ≤-.………………………16分 2.已知数列{}na 中,11=a, a a a a ,1(12≠-=为实常数）,前n 项和n S 恒为正值，且当2≥n 时,1111+-=n n n a a S .（1）求证:数列{}nS 是等比数列；（2）设n a 与2+n a 的等差中项为A ,比较A 与1+n a 的大小；（3）设m 是给定的正整数，2=a.现按如下方法构造项数为m 2有穷数列{}n b ：当m m m k2,,2,1 ++=时，1+⋅=k k k a a b ；当m k ,,2,1 =时，12+-=k m k b b .求数列{}nb 的前n 项和为),2(*∈≤N n m n T n .解：（1）当3≥n时, Nn n n n nnS S S S a a S ---=-=+-+11111111, 化简得112+-=n n n S S S )3(≥n ,又由11=a ,12-=a a 得31111a a a --=,解得)1(3-=a a a ,∴2321,,1a S a S S ===，也满足112+-=n n n S S S ,而n S 恒为正值,∴数列{}nS 是等比数列. 4 分（2）{}nS 的首项为1，公比为a ，1-=n na S.当2≥n 时,21)1(---=-=n n n n a a S S a ,∴⎩⎨⎧≥-==-2,)1(1,12n a a n a n n . 当1=n 时,221312331333[()]222248n a a aa A a a a ++-+-=-==-+≥,此时1+>n a A .…6分当2≥n时, 12121)1(2)1()1(2--+++---+-=-+=-n nn n n n n a a a a a a a a a a A2)1(2)12()1(2322---=+--=n n a a a a a a .∵nS 恒为正值 ∴0>a 且1≠a , 若10<<a ,则01<-+n a A ,若1.>a ,则01>-+n a A .综上可得,当1=n 时, 1+>n a A ；当2≥n时，若10<<a ，则1+<n a A ，若1.>a ,则1+>n a A . 10 分（3）∵2=a∴⎩⎨⎧≥==-2,21,12n n a n n ,当m k m 21≤≤+时, 3212-+=⋅=k k k k a a b .若*∈≤N n m n ,,则由题设得1212221,,,+--===n m n m m b b b b b b=+++=+++=+--1212221n m m m n n b b b b b b T3)21(241)41(22222141341245434n m n m n m m m ----------=--=+++ .13 分若*∈≤≤+N n m n m ,21,则n m m m n b b b T T ++++=++ 213212122142223)21(2-+---++++-=n m m m m 41)41(23)21(212214--+-=----m n m m m 3)12(2212-=-m m . 综上得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤≤-=---m n m m n T m m n m n21,3)12(21,3)21(2212214. 16 分 3.A 是定义在[2,4]上且满足如下两个条件的函数()x Φ组成的集合：①对任意的[1,2]x ∈，都有(2)(1,2)x Φ∈； ②存在常数L (01)L <<，使得对任意的12,[1,2]x x ∈，都有1212(2)(2)x x L x x Φ-Φ≤-（1）设3()1,[2,4]x x x Φ=+∈，证明：()x A Φ∈；（2）设()x A Φ∈，如果存在0(1,2)x ∈，使得00(2)x x =Φ，那么，这样的0x 是唯一的；（3）设()x A Φ∈，任取1(1,2),x ∈令1(2),1,2,,n n x x n +=Φ=证明：给定正整数k ，对任意的正整数p ，不等式1211k k p k L x x x x L-+-≤--成立.证明：（1）对任意3[1,2],(2)12,[1,2],x x x x ϕ∈=+∈于是333(2)5x ϕ≤≤，…………2分又331352<<<，所以(2x ϕ∈。

湖北省2012高考数学压轴题 15 抛物线

15 抛物线例1．已知抛物线C ：22y x=，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB的中点,过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．（Ⅰ)证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行;(Ⅱ）是否存在实数k 使0=⋅NB NA ，若存在，求k 的值；若不存在,说明理由．解:(Ⅰ）如图，设211(2)A x x ，，222(2)B x x ，，把2y kx =+代入22y x =得2220x kx --=，由韦达定理得122kx x +=，121x x =-， ∴1224N M x x k x x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．设抛物线在点N 处的切线l 的方程为284k k y m x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，将22y x =代入上式得222048mk k x mx -+-=，直线l 与抛物线C 相切，2222282()048mk k m m mk k m k ⎛⎫∴∆=--=-+=-= ⎪⎝⎭,m k ∴=．即l AB ∥．（Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =，则NA NB ⊥，又M是AB 的中点，1||||2MN AB ∴=．由（Ⅰ)知121212111()(22)[()4]222M y y y kx kx k x x =+=+++=++22142224k k ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．MN ⊥x 轴，22216||||2488M N k k k MN y y +∴=-=+-=．又22212121||||1()4AB x x k x x x x =-=++-222214(1)11622k k k ⎛⎫=-⨯-=++ ⎪⎝⎭．22161168k k +∴=+，解得2k =±．即存在2k =±，使0=⋅NB NA ．例2。

如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点(0)C c ，任作一直线，与抛物线2y x =相交于A B ，两点．一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c =-交于点P Q ，．（1）若2OA OB =，求c 的值；（2）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线；（3)试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．解：(1）设直线AB 的方程为y kx c =+，将该方程代入2y x =得20x kx c --=．令2()A a a ，，2()B b b ，，则ab c =-．因为2222OA OB ab a bc c =+=-+=，解得2c =，或1c =-（舍去）．故2c =．(2)由题意知2a b Q c +⎛⎫- ⎪⎝⎭，,直线AQ 的斜率为22222AQa c a abk aa b a b a +-===+--．又2y x =的导数为2y x '=，所以点A 处切线的斜率为2a ,因此,AQ 为该抛物线的切线．（3)（2）的逆命题成立，证明如下：设0()Q x c -，．若AQ 为该抛物线的切线，则2AQk a=，又直线AQ 的斜率为2200AQa c a ab k a x a x +-==--，所以202a ab a a x -=-，得22axa ab =+，因0a ≠，有02a bx +=．故点P 的横坐标为2a b+,即P 点是线段AB 的中点．。

2012年广东省高考压轴卷数学理试卷

2012年广东省高考压轴卷数学理一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1、已知i 是虚数单位，m 、n ∈R ，且i 1i m n +=+，则iim n m n +=- ( ) （A ）1- （B ）1（C ）i -（D ）i2、已知ABCD 中，(3,7)AD = ，(2,3)AB =-，对角线AC 与BD 交于点O ，则的坐标为 ( ) A.1,52⎛⎫-⎪⎝⎭ B. 1,52⎛⎫⎪⎝⎭ C. 1,52⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D. 1,52⎛⎫- ⎪⎝⎭3、给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；②命题“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-”； ③“2,11x x ∀∈+≥R ”的否定是“2,11x x ∃∈+≤R ”；④在△ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件.其中不正确．．．的命题的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1 4、阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间11[,]42内，则输入的实数x 的取值范围是（）（A ）(,2]-∞- （B ）[2,1]-- （C ）[1,2]- （D ）[2,)+∞ 5、已知函数32()(6)1f x x ax a x =++++同时有极大值和极小值、则实数a 的取值范围是( ) .(1,2).(,3][6,).(3,6)(,3)(6,)A B C D ---∞-⋃+∞---∞-⋃+∞6、椭圆()012222>>=+b a b y a x 和圆2222⎪⎭⎫⎝⎛+=+b c y x （其中c 为椭圆半焦距)有四个不同的交点，则椭圆离心率的范围是：3)5A ⋅ (5B ⋅ 3()55C ⋅ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅55,0D 7、口袋中有红球2个，黑球3个，白球5个，他们只有颜色不同，从中取出4个，取出的球中同色的两个为一组，若红色一组得5分，黑色—组得3分，白色一组得1分，则得分总数取得最大值的概率为（）701.A 352.B 501.C 73.D 8、一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域(阴影部分)的周率从左到右依次记为4321,,,ττττ则下列关系中正确的为( ）341.ττ>>x A 213.τττ>>B 324.τττ>>C 143.τττ>>D二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. (一)必做题(11～13题)9．集合B A x x B x x x A ⋃<-=≥+-=},3|2||{},043|{= . 10．在等差数列{a n }中，若a 9=6则3731a a -= .11．()()51x x a ++的展开式中2x 项的系数是15，则展开式的所有项系数的和是_______12. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为_______ 13．已知抛物线24y x =的弦AB 的中点的横坐标为2，则AB 的最大值为(二)选做题(14、15题，考生只能从中选做一题). 14、在极坐标系中，过点)22(π，且平行于极轴的直线的极坐标方程为____________15、如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，过点A 作⊙O 1的切线交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交⊙O 1、⊙O 2于点D 、E ，DE 与AC 相交于点P ．若AD 是⊙O 2的切线，且PA=6，PC =2，BD =9，则AD 的长为________。

2012年数学压轴题八道

x2+bx−2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A(－1，0)．1、如图，抛物线y=12（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标。

（2）判断△ABC的形状，证明你的结论。

（3）点M(m,0)是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，求m的值。

2、已知：抛物线经过点A（-1，0），B（0，3），C（2，3）三点，顶点为D，且与x轴的另一个交点为E。

（1）求抛物线的解析式。

（2）求△BDE的面积。

（3）作∠BDE的平分线交线段BE于点F，求BF：FE的值。

x+c(a≠0) 3、如图，在平面直角坐标系中，直线y=−√3x−√3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2−2√33经过A、B、C三点。

（1）求过A、B、C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标。

（2）在抛物线上是否存在点P，使△ABP为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由。

（3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得△MBF的周长最小，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由。

4、如图，抛物线经过A(1,0)、B(4,0)、C(0,-2)三点。

（1）求出抛物线的解析式。

（2）P是（1）中抛物线AB段上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以B，P，M为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

（3）在直线BC上方的抛物线上有一点D，使得△DCB的面积最大，求出点D的坐标。

5、如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB。

（1）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式。

（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由。

（3）如果点P是（1）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△P AB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△P AB的最大面积；若没有，请说明理由。

湖北省2012高考数学压轴题7函数与数列综合

7 函数与数列综合1. 已知函数()x f 与函数()()01>-=a x a y 的图像关于直线x y =对称．（1）试用含a 的代数式表示函数()x f 的解析式，并指出它的定义域；（2）数列{}n a 中，11=a ，当2≥n 时，1a a n>．数列{}n b 中，21=b ，n n b b b S ++=21．点(),3,2,1,=⎪⎭⎫ ⎝⎛n n S a P n n n 在函数()x f 的图像上，求a 的值；（3）在（2）的条件下，过点n P作倾斜角为4π的直线n l ，则n l 在ｙ轴上的截距为()131+n b () ,3,2,1=n ，求数列{}n a 的通项公式．分析：本小题主要考查反函数的概念、性质、直线、数列等基本知识，考查运用数学归纳法证明问题的方法，考查分析问题和解决问题的能力。

转化（化归）思想，解：（1）由题可知：()x f 与函数()()01>-=a x a y 互为反函数，所以，()12+=a x x f ，()0≥x（2）因为点() ,3,2,1,=⎪⎭⎫ ⎝⎛n n S a P n n n 在函数()x f 的图像上，所以，12+=a a n S nn() ,3,2,1=n (*)在上式中令1=n 可得：1211+=a aS ，又因为：11=a ，211==b S ，代入可解得：1=a ．所以，()12+=x x f ，(*)式可化为：12+=n n a n S () ,3,2,1=n ① （3）直线n l的方程为：n na x n S y -=-，() ,3,2,1=n ，在其中令0=x ，得nn a n S y -=，又因为n l 在ｙ轴上的截距为()131+n b ，所以，nn a n S -=()131+n b ，结合①式可得：2332+-=n n na ab ② 由①可知：当自然数2≥n 时，n na S n n +=2，()11211-+-=--n a n S n n ，两式作差得：()11212+--=-n n n a n na b ．结合②式得：()()1133212+-=+--n n n a n a a n ()N n n ∈≥,2 ③ 在③中，令2=n ，结合11=a ，可解得：212或=a ，又因为：当2≥n 时，1a a n >，所以，舍去12=a ，得22=a ．同上，在③中，依次令4,3==n n ，可解得：33=a ，44=a ．猜想：n a n =()N n ∈．下用数学归纳法证明．（1）3,2,1=n 时，由已知条件及上述求解过程知显然成立．（2）假设k n =时命题成立，即k a k =()3,≥∈k N k 且，则由③式可得：()1322121+=+-++k k k ka a a k把ka k =代入上式并解方程得：12121+-+--=+k k k k a k 或由于3≥k ，所以，021)1(212<-+-=-+--k k k k k k ，所以，2121-+--=+k k k a k 符合题意，应舍去，故只有11+=+k a k ．所以，1+=k n 时命题也成立．综上可知：数列{}n a 的通项公式为n a n=()N n ∈2、已知函数()()R x x f x ∈+=241，点()111,y x P ，()222,y x P 是函数()x f 图像上的两个点，且线段21P P 的中点P 的横坐标为21．⑴求证：点P 的纵坐标是定值；⑵若数列{}n a 的通项公式为()m n N m m n f a n ,,2,1, =∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=，求数列{}n a 的前m 项的和mS ；⑶若N m ∈时，不等式11++<m m m m S a S a 恒成立，求实数a 的取值范围．解：⑴由题可知：121221=⨯=+x x ，所以，()()()()()()21444244444424444242444424124121212121212121212121=++++=+++++=++++=+++=+=++x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f y y 点P 的纵坐标41221=+=y y y P 是定值，问题得证．⑵由⑴可知：对任意自然数n m ,，21=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛m n m f m n f 恒成立．由于⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=m m f m m f m m f m f m f S m 1221 ，故可考虑利用倒写求和的方法．即由于：⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=m f m f m m f m m f m m f m m f m m f m m f m f m f S m 12211221所以，()()1361)1(212121122112-=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=m f m m m f m f m m f m m f m f m m f m f S m 所以，()13121-=m S m⑵∵()13121-=m S m ， ∴()231211+=+m S m∴11++<m m m m S a S a 等价于02313112<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--m a m a m ①依题意，①式应对任意N m ∈恒成立．显然0>a ，因为0>ma （N m ∈），所以，需且只需023131<+--m am 对任意Nm ∈恒成立．即：1323-+>m m a 对N m ∈恒成立．记()1323-+=m m m g （Nm ∈）．∵()()()()013239132323531<-+-=-+-++=-+m m m m m m m g m g ，∴()m g （N m ∈）的最大值为()251=g ，∴25>a ．3 已知函数()l n (1f x x x =+-，数列{}n a 满足：112a =，111ln 2ln ()n n n n n a a a f a a ++++=+（1）求证：ln(1)x x +≤；（2）求证数列1{}1n a -是等差数列；（3）求证不等式：12ln 2ln(2)n a a a n n +++<+-+分析：本小题主要考查反函数的概念、单调性、导函数、数列、不等式等基本知识，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力。

2012年高考数学压轴题精炼一

2012高考数学压轴题精炼一1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.（Ⅰ）求这三条曲线的方程；（Ⅱ）已知动直线l 过点()3,0P ，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在，说明理由.[来源:学|科|网]解：（Ⅰ）设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =24y x ∴= 抛物线方程为: ………………………………………………（1分）由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1…………………（2分）对于椭圆，1222a MF MF =+=+(222222211321a ab ac ∴=+∴=+=+∴=-=+∴= 椭圆方程为：………………………………（4分）对于双曲线，1222a MF MF '=-=2222221321a abc a '∴'∴=-'''∴=-=∴= 双曲线方程为：………………………………（6分）（Ⅱ）设AP 的中点为C ，l '的方程为：x a =，以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点，DE 中点为H令()11113,,,22x y A x y +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ C ………………………………………………（7分）[来源:学科网ZXXK]()1112312322DC AP x CH a x a ∴=+=-=-+()()()2222221112121132344-23246222DH DC CH x y x a a x a aa DH DE DH l x ⎡⎤⎡⎤∴=-=-+--+⎣⎦⎣⎦=-+==-+=∴=='= 当时,为定值; 此时的方程为： …………（12分）2．（14分）已知正项数列{}n a 中，16a =，点(n n A a 在抛物线21y x =+上；数列{}nb 中，点(),n n B n b 在过点()0,1，以方向向量为()1,2的直线上.（Ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（Ⅱ）若()()()n na f nb ⎧⎪=⎨⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数，问是否存在k N ∈，使()()274f k f k +=成立，若存在，求出k 值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）对任意正整数n ，不等式1120111111n n n a b b b +-≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立，求正数a 的取值范围.解：（Ⅰ）将点(n n A a 代入21y x =+中得()11111115:21,21n n n n n n a a a a d a a n n l y x b n ++=+∴-==∴=+-⋅=+=+∴=+ 直线 …………………………………………（4分）（Ⅱ）()()()521n f n n ⎧+⎪=⎨+⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数………………………………（5分）()()()()()()27274275421,42735227145,24k k f k f k k k k k k k k k k ++=∴++=+∴=+∴++=+∴== 当为偶数时，为奇数，当为奇数时，为偶数，舍去综上，存在唯一的符合条件。

2012高考数学压轴题(文科)及答案

2012高考数学压轴题(文科)及答案2012年江西省高考压轴卷数学文一、选择题 1、命题：若函数是幂函数，则函数的图像不经过第四象限．那么命题的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中假命题的个数是（） 0 1 2 3 2．已知数据是江西普通职工个人的年收入,设这个数据的中位数为，平均数为，方差为，如果再加上世界首富的年收入，则这个数据中，下列说法正确的是（） A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变 B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大 C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变。

3．设函数，对于任意不相等的实数，代数式的值等于（） A． B． C．、中较小的数 D．、中较大的数 4.有下面四个判断：①命题：“设、，若，则”是一个假命题；②若“p或q”为真命题，则p、q均为真命题；③命题“ 、”的否定是：“ 、”；④若函数的图象关于原点对称，则其中正确的个数共有（）A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5．数列的前n项和；（n∈N*）；则数列的前50项和为（）A．49 B．50 C．99 D．100 6．已知m＞0，且mcosα－sinα＝ sin （α＋），则tan ＝( ) A．－2 B．－ C． D．2 7．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为( ) A． B． C． D． 8.若直线mx+ny=16和圆x2+y2=64没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆的交点个数为( ) A. 0 B.2个 C.1个 D.不确定 9．设变量满足约束条件：的最大值为( ) A．10 B．8 C．6 D．4 10．等比数列{ }中，a1＝2，a8＝4，f（x）＝x（x－a1）（x－a2）…（x－a8），为函数f（x）的导函数，则＝( ) A．0 B． C． D．二、填空题 11.某市有三所学校共有高三文科学生1500人，且三所学校的高三文科学生人数成等差数列，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从校学生中抽取________人. 12.已知如图所示的程序框图(未完成)，设当箭头a指向①时，输出的结果为S＝m，当箭头a指向②时，输出的结果为S＝n，则m＋n的值为． 13．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据（单位：百万元）． x 2 4 56 8 y 30 40[来 60 t 70 根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为y^＝6.5x＋17.5，则表中t的值为． 14．已知△ABC 及其平面内一点P满足＋＋＝0，若实数λ满足＋＝λ．则λ＝__________． 15. AB是半径为1的圆的直径，M为直径AB上任意一点，过点M作垂直于直径AB的弦，则弦长大于的概率是＿＿＿＿＿三、解答题 16 已知关于的一元二次函数（Ⅰ）设集合和，分别从集合和中随机取一个数作为和，求函数在区间[ 上是增函数的概率；（Ⅱ）设点是区域内的随机点，记有两个零点,其中一个大于，另一个小于 ,求事件发生的概率。

湖北省2012高考数学压轴题 10 创新型数列

10 创新型数列1.对于数列{}nu 若存在常数M ＞0,对任意的n N '∈，恒有1121...n n n n u u u u u u M+--+-++-≤则称数列{}nu 为B —数列首项为1，公比为(1)q q <的等比数列是否为B —数列？请说明理由；请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题判断所给命题的真假，并证明你的结论；设nS 是数列{}nx 的前n 项和，给出下列两组论断；A 组:①数列{}nx 是B-数列 ②数列{}nx 不是B —数列B 组：③数列{}nS 是B-数列 ④数列{}nS 不是B-数列请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。

判断所给命题的真假，并证明你的结论；(3) 若数列{}{},nna b 都是B -数列，证明：数列{}n na b 也是B -数列.分析:本题主要考查数列的概念和性质、不等式的性质，综合运送知识分析问题和解决问题、探索问题的综合能力。

转化思想解：（1)设满足题设的等比数列为{}n a ，则1n n a q -=，于是21211,2n n n n n a a q q qq n -----=-=-≥因此｜1n a +-n a |+｜n a —1n a -|+…+｜2a —1a |=211(1...).n q q q q--++++因为1,q <所以21111 (11)n q q q qq q--++++=<--即11211...1n n n n q a a a a a a q+--+-++-<-故首项为1，公比为q (1)q <的等比数列是B-数列。

（2）命题1:若数列{}nx 是B-数列,则数列{}nS 是B-数列次命题为假命题。

事实上，设1,n x n N •=∈，易知数列{}n x 是B —数列，但nSn =1121...n n n n S S S S S S n-+-+-++-=由n 的任意性知，数列{}nS 是B —数列此命题为。

2012年高考函数压轴题精选

1．已知函数f (x ) =3x ，g (x )=x（Ⅰ）求函数h (x )=f (x )-g (x )的零点个数，并说明理由；（Ⅱ）设数列*{}()n a n N ∈满足1(0)a a a =>，1()()n n f a g a +=，证明：存在常数M,使得对于任意的*n N ∈，都有n a ≤ M .2．设函数()f x 定义在(0,)+∞上，(1)0f =，导函数1()f x x'=，()()()g x f x f x '=+．（1）求()g x 的单调区间和最小值；（2）讨论()g x 与1()g x 的大小关系；（3）是否存在00x >，使得01|()()|g x g x x-<对任意0x >成立？若存在，求出0x 的取值范围；若不存在，请说明理由． 3．已知函数()exf x x -=()x ∈R ．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称．证明当1x >时，()()fx g x >．（Ⅲ）如果12x x ≠，且()()12f x f x =，证明122x x +>．4．已知函数21()32f x x =+，()h x =．（Ⅰ）设函数F (x )＝f (x )－h (x )，求F (x )的单调区间与极值；（Ⅱ）设a ∈R ，解关于x 的方程42233log [(1)]log ()log (4)24f x h a x h x --=---；（Ⅲ）试比较1001(100)(100)()k f h h k =-∑与16的大小．5．已知函数21()32f x x =+，()h x =．（Ⅰ）设函数F (x )＝18f (x )－x 2[h (x )]2，求F (x )的单调区间与极值；（Ⅱ）设a ∈R ，解关于x 的方程33lg[(1)]2lg ()2lg (4)24f x h a x h x --=---；（Ⅲ）设*n ∈N ，证明：1()()[(1)(2)()]6f n h n h h h n -+++≥．6．已知函数()2ln(1)(0)f x a x x a =+->. （Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）求证：(1)lg lg lg 4lg lg (1)23nnn ne e e e en n++++⋅⋅⋅+>+*()n N ∈.7．设函数()21fx x =-．对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()()()2414x f m f x fx f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是．1．解析：（I ）由3()h x x x =--[0,)x ∈+∞，而(0)0h =，且(1)10,(2)62h h =-<=->，则0x =为()h x 的一个零点，且()h x 在12（，）内有零点，因此()h x 至少有两个零点解法1：1221'()312h x x x-=--，记1221()312x x xϕ-=--，则321'()64x x xϕ-=+。

2012年新课标高考压轴卷理科数学试题

绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试压轴题理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2320A x x x =-+=，{}log 42x B x ==，则A B = （）A ．{}2,1,2-B ．{}1,2C ．{}2,2-D ．{}22．若复数i a a a z )3()32(2++-+=为纯虚数（i 为虚数单位），则实数a 的值是（）A ．3-B ．3-或1C ．3 或1- D ．13．下面的茎叶图表示的是某城市一台自动售货机的销售额情况（单位：元），图中的数字7表示的意义是这台自动售货机的销售额为（）A ．7元B ．37元C ．27元D ．2337元1 23 4 028 02337 12448 2384．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2a 、4a 是方程022=--x x 的两个实数根，则5S 的值是（） A ．25B ．5C ． 25-D ．5- 5．函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象如图所示，其中0>A ,0>ω，2πϕ<．则下列关于函数()f x 的说法中正确的是（）A ．对称轴方程是2()3x k k ππ=+∈ZB ．6πϕ-=C ．最小正周期是πD ．在区间35,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减 6．设,a b 是平面α内两条不同的直线，l 是平面α外的一条直线，则“l a ⊥，l b ⊥”是“l α⊥”的（）A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件7．若函数321(02)3x y x x =-+<<的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值是（）A ．4π B ．6πC ．56π D ．34π8．已知1F 、2F 分别为椭圆C ：22143x y +=的左、右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则12PF F △ 的重心G 的轨迹方程为（）A ．221(0)3627x y y +=≠ B ．2241(0)9x y y +=≠C ．22931(0)4x y y +=≠ D ．2241(0)3y x y +=≠9．已知某程序框图如图所示，则该程序运行后，输出的结果为（） A ．0．6 B ．0．8 C ．0．5 D ．0．210．设集合{}2),(≤+=y x y x A ，{}2(,)B x y A y x =∈≤，从集合A 中随机地取出一个元素(,)P x y ，则(,)P x y B ∈的概率是（）A ．121B ．2417 C ．32 D ．65 11．过双曲线)0(152222>=--a a y a x 右焦点F 作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围为（）A ． )5,2(B ．C ．)2,1(D ．12．在平行四边形ABCD 中，O=∠60BAD ，AD =2AB ，若P 是平面ABCD 内一点，且满足0=++PA AD y AB x （,x y ∈R ），则当点P 在以A 为半径的圆上时，实数y x ,应满足关系式为（）A ．12422=++xy y xB ．12422=-+xy y xC ．12422=-+xy y xD ．12422=++xy y x第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．若nx a x )(2-展开式中二项式系数之和是1024，常数项为45，则实数a 的值是． 14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知数列{}n S 是首项和公比都是3的等比数列，则{}n a 的通项公式n a =______________．一个口袋内有n （3n >）个大小相同的球，其中有3个红球和(3)n -个白球．已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是p ．（I ）当35p =时，不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数ξ的期望E ξ；（II ）若6p ∈N ，有放回地从口袋中连续地取四次球（每次只取一个球），在四次摸球中恰好取到两次红球的概率大于827，求p 和n ． 18．（本小题满分12分）已知A B C 、、是ABC △的三个内角，且满足2sin sin sin B A C =+，设B 的最大值为0B ．（Ⅰ）求0B 的大小；（Ⅱ）当034B B =时，求cos cos A C -的值． 19．（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，点O 、E 分别是11C A 、1AA 的中点，⊥AO 平面111C B A ．已知90=∠BCA ，21===BC AC AA ．（Ⅰ）证明：//OE 平面11C AB ；（Ⅱ）求异面直线1AB 与C A 1所成的角；（Ⅲ）求11C A 与平面11B AA 所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）如图，已知抛物线C ：px y 22=和⊙M ：1)4(22=+-y x ，过抛物线C 上一点)1)(,(000≥y y x H 作两条直线与⊙M 相切于A 、B 两点，分别交抛物线为E 、F 两点，圆心点M 到抛物线准线的距离为417．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时，求直线EF 的斜率；（Ⅲ）若直线AB 在y 轴上的截距为t ，求t 的最小值．21．（本小题满分12分）已知函数x ax x f ln 1)(--=()a ∈R ．（Ⅰ）讨论函数)(x f 在定义域内的极值点的个数；（Ⅱ）若函数)(x f 在1=x 处取得极值，对x ∀∈),0(+∞,2)(-≥bx x f 恒成立，ABO1A 1C 1B EB求实数b 的取值范围；（Ⅲ）当20e y x <<<且e x ≠时，试比较xy x y ln 1ln 1--与的大小．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲已知AB 为半圆O 的直径，4AB =，C 为半圆上一点，过点C 作半圆的切线CD ，过点A 作AD CD ⊥于D 交圆于点E ，1DE =．（Ⅰ）求证：AC 平分BAD ∠；（Ⅱ）求BC 的长．23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l 的极坐标方程为：)4sin(210πθρ-=,点(2cos ,2sin 2)P αα+，参数[]0,2απ∈．（Ⅰ）求点P 轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）求点P 到直线l 距离的最大值． 24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数a a x x f +-=2)(．（Ⅰ）若不等式6)(≤x f 的解集为{}32≤≤-x x ，求实数a 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数n 使)()(n f m n f --≤成立，求实数m 的取值范围．参考答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题1．B ； 2．D ；3．C ；4．A ；5．D ；6．C ；7．D ；8．C ；9．A ；10．B ；11．B ； 12．D ．二、填空题13． 1±；14．13,(1)23.(2)n n n -=⎧⎨∙≥⎩；15．29π ；16．(0,)e ．三、解答题17．解：（I ）法一：333555p n n =⇒=⇒=，所以5个球中有2个白球白球的个数ξ可取0，1，2． ························································································· 1分3211233232333555133(0),(1),(2)10510C C C C C p p p C C C ξξξ=========． ······················· 4分 1336012105105E ξ=⨯+⨯+⨯=． ·················································································· 6分法二：白球个数ξ服从参数为5,2,3N M n ===的超几何分布，则236()55nM E N ξ⨯=== ……………………6分（II ）由题设知，22248(1)27C p p ->， ··········································································· 8分因为(1)0p p ->所以不等式可化为2(1)9p p ->，解不等式得，1233p <<，即264p <<． ································································ 10分又因为6p N ∈，所以63p =，即12p =，所以12p =，所以312n =，所以6n =． ···································································· 12分 18．解：（Ⅰ）由题设及正弦定理知，2b a c =+，即2a cb +=．由余弦定理知，2222222cos 22a c a c a c b B ac ac +⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭== ········································ 2分223()23(2)21882a c ac ac ac ac ac +--=≥=． ··································································· 4分因为cos y x =在(0,)π上单调递减，所以B 的最大值为03B π=． ····························· 6分（Ⅱ）解：设cos cos A C x -=， ······················································································ ① ············································································································································· 8分由（Ⅰ）及题设知sin sin A C += ············································································· ② 由①2+②2得，222cos()2A C x -+=+． ···································································· 10分又因为4A CB πππ+=-=-，所以x =cos cos A C -=． ···································································· 12分 19．解法一：（Ⅰ）证明：∵点O 、E 分别是11C A 、1AA 的中点， ∴1//AC OE ，又∵⊄EO 平面11C AB ，⊂1AC 平面11C AB ，∴//OE 平面11C AB ． ········································································································· 4分（Ⅱ）∵⊥AO 平面111C B A ，∴11C B AO ⊥，又∵1111C B C A ⊥，且O AO C A = 11，∴⊥11C B 平面11AC CA ,∴111C B C A ⊥． ······································································ 6分又∵AC AA =1， ∴四边形11AC CA 为菱形，∴11AC C A ⊥，且1111B C AC C = ∴⊥C A 1平面11C AB ,∴C A AB 11⊥，即异面直线1AB 与C A1所成的角为90． ········································ 8分(Ⅲ) 设点1C 到平面11B AA 的距离为d ，∵111111B AA C C B A A V V --=，即⋅=⋅⋅⋅⋅3121311111AO C B C A S △11B AA d ⋅． ······························································ 10分又∵在△11B AA 中，22111==AB B A ,∴S △11BAA 7=．∴7212=d ，∴11C A 与平面11B AA 所成角的正弦值721． ····································· 12分解法二：如图建系xyz O -，A ，11(0,1,0),(0,22A E --，1(0,1,0)C ， 1(2,1,0)B ，(0,3)C ．………………2分（Ⅰ）∵=)23,21,0(-，)3,1,0(1-=AC ，∴，即1//AC OE ，又∵⊄EO 平面11C AB ，⊂1AC 平面11C AB ，∴//OE 平面11C AB ． ························ 6分（Ⅱ）∵)3,1,2(1-=AB ，)3,3,0(1=C A ，∴⋅1AB 01=C A ，即∴C A AB 11⊥， ∴异面直线1AB 与C A 1所成的角为90． ······································································ 8分 (Ⅲ)设11C A 与平面11B AA 所成角为θ，∵)0,2,0(11=C A ，设平面11B AA 的一个法向量是(,,)x y z =n不妨令1x =，可得(1,=-n ， ········································································· 10分A 1∴11sin cos,7ACθ=<>==n∴11CA与平面11BAA所成角的正弦值721． ····························································12分20．解：（Ⅰ）∵点M到抛物线准线的距离为=+24p417，∴21=p，即抛物线C的方程为xy=2． ·································································2分（Ⅱ）法一：∵当AHB∠的角平分线垂直x轴时，点)2,4(H，∴HE HFk k=-，设11(,)E x y，22(,)F x y，∴1212H HH Hy y y yx x x x--=---，∴12222212H HH Hy y y yy y y y--=---，∴1224Hy y y+=-=-. ···························································································5分212122212121114EFy y y ykx x y y y y--====---+．··································································7分法二：∵当AHB∠的角平分线垂直x轴时，点)2,4(H，∴60=∠AHB，可得3=H Ak，3-=H Bk，∴直线HA的方程为2343+-=xy，联立方程组⎩⎨⎧=+-=xyxy22343，得023432=+--yy，∵23Ey+=∴363-=Ey，33413-=Ex．···········································································5分同理可得363--=Fy，33413+=Fx，∴41-=EFk． ··································7分（Ⅲ）法一：设),(),,(2211y x B y x A ，∵411-=x y k MA ，∴114y x k HA -=，可得，直线HA 的方程为0154)4(111=-+--x y y x x ，同理，直线HB 的方程为0154)4(222=-+--x y y x x ，∴0154)4(101201=-+--x y y y x ，0154)4(202202=-+--x y y y x ， ······································································· 9分 ∴直线AB 的方程为02200(4)4150y x y y y --+-=，令0=x ，可得)1(154000≥-=y y y t ， ∵t 关于0y 的函数在[1,)+∞单调递增，∴11min -=t ． ·········································································································· 12分法二：设点2(,)(1)H m m m ≥，242716HM m m =-+，242715HA m m =-+．以H 为圆心，HA 为半径的圆方程为22242()()715x m y m m m -+-=-+， ········ ① ⊙M 方程：1)4(22=+-y x ．···················································································· ② ①-②得：直线AB 的方程为2242(24)(4)(2)714x m m y m m m m -----=-+． ················ 9分当0x =时，直线AB 在y 轴上的截距154t m m =-(1)m ≥， ∵t 关于m 的函数在[1,)+∞单调递增，∴11min -=t ················································································································· 12分21．解：（Ⅰ）xax x a x f 11)(-=-='，当0≤a 时，()0f x '<在),0(+∞上恒成立，函数)(x f 在),0(+∞单调递减，∴)(x f 在),0(+∞上没有极值点；当0>a 时，()0f x '<得10x a <<，()0f x '>得1x a>， ∴)(x f 在(10,)a 上递减，在(1),a+∞上递增，即)(x f 在a x 1=处有极小值．∴当0≤a 时)(x f 在),0(+∞上没有极值点，当0>a 时，)(x f 在),0(+∞上有一个极值点． ······························································ 3分（Ⅱ）∵函数)(x f 在1=x 处取得极值，∴1=a ， ∴b x x x bx x f ≥-+⇔-≥ln 112)(， ··············································································· 5分令x x x x g ln 11)(-+=，可得)(x g 在(]2,0e 上递减，在[)+∞,2e 上递增， ∴22min 11)()(e e g x g -==，即211b e≤-． ···································································· 7分（Ⅲ）证明：)1ln()1ln()1ln()1ln(+>+⇔++>-y e x e y x e yx y x ， ··········································· 8分令)1ln()(+=x e x g x，则只要证明)(x g 在),1(+∞-e 上单调递增，又∵)1(ln 11)1ln()(2+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+='x x x e x g x ，显然函数11)1ln()(+-+=x x x h 在),1(+∞-e 上单调递增． ··································· 10分 ∴011)(>->ex h ，即0)(>'x g ， ∴)(x g 在),1(+∞-e 上单调递增，即)1ln()1ln(+>+y e x e yx ， ∴当1->>e y x 时，有)1ln()1ln(++>-y x e y x ． ······························································ 12分 22．解：（Ⅰ）连结AC ，因为OA OC =，所以OAC OCA ∠=∠， 2分因为CD 为半圆的切线，所以OC CD ⊥，又因为AD CD ⊥，所以OC ∥AD ，所以OCA CAD ∠=∠，OAC CAD ∠=∠，所以AC 平分BAD ∠． ····················· 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知BC CE =， ······················································································ 6分连结CE ，因为ABCE 四点共圆，B CED ∠=∠，所以cos cos B CED =∠， ····· 8分所以DE CB CE AB=，所以2BC =． ·············································································· 10分 23．解：(Ⅰ)2cos ,2sin 2.x y αα=⎧⎨=+⎩且参数[]0,2απ∈，所以点P 的轨迹方程为22(2)4x y +-=． ···························································· 3分 (Ⅱ)因为)4sin(210πθρ-=，所以)104πθ-=，所以sin cos 10ρθρθ-=，所以直线l 的直角坐标方程为100x y -+=． ········ 6分法一：由(Ⅰ) 点P 的轨迹方程为22(2)4x y +-=，圆心为(0,2)，半径为2. d ==，所以点P 到直线l距离的最大值2. ············· 10分法二：)44d πα==++，当74πα=，max 2d =，即点P 到直线l距离的最大值2. ···································· 10分 24．解：（Ⅰ）由26x a a -+≤得26x a a -≤-，∴626a x a a -≤-≤-，即33a x -≤≤，∴32a -=-，∴1a =． ································································· 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()211f x x =-+,令()()()n f n f n ϕ=+-，则()124, 211212124, 22124, n 2n n n n n n n ϕ⎧-≤-⎪⎪⎪=-+++=-<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩∴()n ϕ的最小值为4，故实数m 的取值范围是[)4,+∞． ······································· 10分。

2012年各地高中统招考试数学试题压轴题精选

2012年各地高中统招考试数学试题压轴题精选2012年各地高中统招考试数学试题压轴题精选【21.2012上海】 24．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（�1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE= ，EF⊥OD，垂足为F．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；（3）当∠ECA=∠OAC时，求t的值．考点：相似三角形的判定与性质；待定系数法求二次函数解析式；全等三角形的判定与性质；勾股定理。

解答：解：（1）二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（�1，0），∴ ，解得，∴这个二次函数的解析式为：y=�2x2+6x+8；（2）∵∠EFD=∠EDA=90°h ∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°，∴∠DEF=∠ODA ∴△EDF∽△DAO ∴ ．∵ ，∴ = ，∴ ，∴EF= t．同理，∴DF=2，∴OF=t�2．（3）∵抛物线的解析式为：y=�2x2+6x+8，∴C（0，8），OC=8．如图，连接EC、AC，过A作EC的垂线交CE于G点．∵∠ ECA=∠OAC，∴∠OAC=∠GCA（等角的余角相等）；在△CAG 与△OCA中，，∴△CAG≌△OCA，∴CG=4，AG=OC=8．如图，过E 点作EM⊥x轴于点M，则在Rt△AEM中，∴EM=OF=t�2，AM=OA+AM=OA+EF=4+ t，由勾股定理得：∵AE2=AM2+EM2= ；在Rt△AEG中，由勾股定理得：∴EG= = = ∵在Rt△ECF中，EF= t，CF=OC�OF=10�t，CE=CG+EG= +4 由勾股定理得：EF2+CF2=CE2，即，解得t1=10（不合题意，舍去），t2=6，∴t=6．【22. 2012广东】 22．如图，抛物线y= x2� x�9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）． (21世版考点：二次函数综合题。

数学- 2012高考数学压轴题集选(江苏)【2012高考复习必备】

2012江苏高考数学压轴题集选1. 设n T 为数列{}n a 的前n 项之积，满足)(1*∈-=N n a Tn n．(1)设nn T b 1=，证明数列{}n b 是等差数列，并求n b 和n a ；(2)设22221n n T T T S +++= 求证：41211-≤<-+n n n a S a ．解：(1)∵)2(,),(11≥=∈-=-*n T T a N n a T n n n n n ，∴数列{}n b 是以2为首项，以1为公差的等差数列， ∴1)1(2+=-+=n n b n ，∴111+==n b T nn ，∴1111+-=-=n T a n n(2)22222221)1(13121++++=+++=n T T T S n n ，∵2121)2)(1(1431321)1(13121222+-=++++⨯+⨯>++++n n n n 211-=+n a∴n n S a <-+211 ，当2≥n 时，)1(132121)1(131212222+++⨯+<++++n n n41112141-=+-+=n a n ，当1=n 时，41411211-===a T S ， ∴41-≤n n a S .2.函数(1)()ln (0,)a x f x x x a R x-=->∈．（1）试求()f x 的单调区间；（2）当0a >时，求证：函数()f x 的图像存在唯一零点的充要条件是1a =；（3）求证：不等式111ln 12xx -<-对于(1,2)x ∈恒成立．解：（1）/221()(0)a x a f x x x xx-=-=>．当0a ≤时，/()0f x >，在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，(0,)x a ∈时，/()0f x <，在上单调递减； (,)x a ∈+∞时，/()0f x >，在(,)a +∞上单调递增．综上所述，当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；当0a >时，()f x 的单调递增区间为(,)a +∞，单调递减区间为(0,)a ．（2）充分性：a =1时，由（1）知，在x =1处有极小值也是最小值，即min ()(1)0f x f ==.而（0，1）在上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，在(0,)+∞上由唯一的一个零点x =1．必要性：()f x =0在(0,)+∞上有唯一解，且a >0, 由（1）知，在x =a 处有极小值也是最小值f (a )， f (a )=0,即ln 10a a -+=．令()ln 1g a a a =-+， /11()1a g a a a-=-=．当01a <<时，/()0g a >，在（0，1）上单调递增；当a >1时，/()0g a <，在(1,)+∞上单调递减.m ax ()(1)0g a g ==，()g a =0只有唯一解a =1．∴(1)ln 2(1)0x x x +-->.∴111(12)ln 12x xx -<<<-．3. 已知数列{}na 的前n 项和为nS，且满足22n n S pa n =-，*n N ∈，其中常数2p >．（1）证明：数列{}1n a +为等比数列；（2）若23a =，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于（2）中数列{}n a ，若数列{}n b 满足2log (1)n n b a =+（*n N ∈），在k b 与1k b +之间插入12k -（*k ∈N ）个2，得到一个新的数列{}n c ，试问：是否存在正整数m ,使得数列{}n c 的前m 项的和2011m T =?如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由.解：（1）∵22n n S pa n =-，∴1122(1)n n S pa n ++=-+，∴1122n n n a pa pa ++=--，∴1222n n p a a p p +=+--，∴11(1)2n n p a a p ++=+-， …………………………………4分 ∵1122a pa =-，∴102p a p =>-，∴110a +>∴11012n n a p a p ++=≠+-，∴数列{}1n a +为等比数列．（2）由（1）知1()2nn pa p +=-，∴()12nn pa p =-- ……………………………8分又∵23a =，∴2()132pp -=-，∴4p =，∴21n n a =- ……………………………10分（3）由（2）得2log 2n n b =，即*,()n b n n N =∈，数列{C }n 中，k b （含k b 项）前的所有项的和是： 0122(1)123)(2222)2222k kk k k -++++++++++⨯=+-（…………………12分当k=10 时，其和是10552210772011+-=<当k=11 时，其和是11662221122011+-=>又因为2011-1077=934=467⨯2，是2的倍数 ………………………………14分所以当2810(1222)467988m =++++++= 时，T 2011m =，所以存在m=988使得T 2011m = ……………………………………16分4.已知函数2()1,()|1|f x xg x a x =-=-．（1）若关于x 的方程|()|()f x g x =只有一个实数解，求实数a 的取值范围；（2）若当x ∈R 时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）求函数()|()|()h x f x g x =+在区间[2,2]-上的最大值（直接写出结果．．．．．．，不需给出演．．．．．算步骤．．．）．解：（1）方程|()|()f x g x =，即2|1||1|x a x -=-，变形得|1|(|1|)0x x a -+-=，显然，1x =已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程|1|x a +=，有且仅有一个等于1的解或无解，结合图形得0a <. ……………………4分（2）不等式()()f x g x ≥对x ∈R 恒成立，即2(1)|1|x a x --≥（*）对x ∈R 恒成立， ①当1x =时，（*）显然成立，此时a ∈R ； ②当1x ≠时，（*）可变形为21|1|x a x -≤-，令21,(1),1()(1),(1).|1|x x x x x x x ϕ+>⎧-==⎨-+<-⎩ 因为当1x >时，()2x ϕ>，当1x <时，()2x ϕ>-，所以()2x ϕ>-，故此时2a -≤.综合①②，得所求实数a 的取值范围是2a -≤. …………………………………8分（3）因为2()|()|()|1||1|h x f x g x x a x =+=-+-=2221,(1),1,(11),1,(1).x ax a x x ax a x x ax a x ⎧+--⎪--++-<⎨⎪-+-<-⎩≤≥…10分① 当1,22aa >>即时，结合图形可知()h x 在[2,1]-上递减，在[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，经比较，此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +.② 当01,22a a 即0≤≤≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2a -上递减，在[1,]2a --，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2()124a ah a -=++，经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +. ③ 当10,02a a -<<即-2≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2a -上递减，在[1,]2a --，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2()124aah a -=++，经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +. ④ 当31,222a a -<-<-即-3≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,]2a -，[1,]2a -上递减，在[,1]2a ，[,2]2a -上递增，且(2)330h a -=+<, (2)30h a =+≥，经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +. 当3,322aa <-<-即时，结合图形可知()h x 在[2,1]-上递减，在[1,2]上递增，故此时()h x 在[2,2]-上的最大值为(1)0h =. 综上所述，当0a ≥时，()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +；当30a -<≤时，()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +；当3a <-时，()h x 在[2,2]-上的最大值为0.…………………………………………16 5.已知函数2()4(0,,)f x ax x b a a b R =++∈且<.设关于x 的不等式()0f x >的解集为12,),x x （且方程()f x x =的两实根为,αβ.（1）若1αβ-=，求,a b 的关系式；（2）若,a b 都是负整数，且1αβ-=，求()f x 的解析式；（3）若12αβ<<<，求证：12(1)(1)7x x ++<.解：（1）由()f xx =，得230ax x b ++=，由已知得940ab ->，3,ba a αβαβ+=-=+ ∴()241αβαβαβ-=+-=，∴2941b aa-=.∴249a ab +=,∴a b 、的关系式为249a ab +=. ……………………………………5分 (2)∵a b 、是负整数，∴1,1a b ≤-≤-.由249a ab +=得：()49a b a +=，且4b a a +<.∴1,2a b =-=-,∴()242f x x x =-+-. ……………………………………10分(3)令()23g x ax x b=++，又0,12a αβ<<<<.∴()10,(2)0,g g >⎧⎪⎨<⎪⎩,即()130,(2)460,g a b g a b =++>⎧⎪⎨=++<⎪⎩ ……………………………………12分又12,x x 是方程240ax x b ++=的两根，∴12124,b x x x x a a +=-=.∴()()()121212111x x x x x x ++=+++=4411b b aa a--+=+由线性约束条件30,460,0.a b a b a ++>⎧⎪++<⎨⎪<⎩，画图可知. 4b a -的取值范围为()4,6-，…………14分∴431617b a--<+<+=.∴()()12117x x ++<.………………………………………………………………………16分6.已知函数)1,0(12)(2<≠++-=b a b ax ax x g ，在区间[]3,2上有最大值4，最小值1，设()()g x f x x=．（Ⅰ）求b a ,的值；（Ⅱ）不等式02)2(≥⋅-xxk f 在]1,1[-∈x 上恒成立，求实数k 的范围；（Ⅲ）方程0)3|12|2(|)12(|=--+-xx k f 有三个不同的实数解，求实数k 的范围．解:（Ⅰ）(1)2()(1)1g x a x b a =-++-当0>a 时，[]()2,3g x 在上为增函数故(3)296251(2)544220g a a b a g a a b b =-++==⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨=-++==⎩⎩⎩当[]0()2,3a g x <时，在上为减函数故(3)296221(2)244253g a a b a g a a b b =-++==-⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨=-++==⎩⎩⎩011==∴<b a b 即2()21g x x x =-+. ()12fx x x=+-.（Ⅱ）方程(2)20x xf k -⋅≥化为12222xxxk +-≥⋅2111()222xxk +-≥，令t x=21，221k t t ≤-+∵]1,1[-∈x ∴]2,21[∈t 记12)(2+-=t t t ϕ∴min ()0t ϕ= ∴0k ≤（Ⅲ）方程0)3|12|2(|)12(|=--+-xx k f 化为0)32(|12|21|12|=+--++-k k xx0)21(|12|)32(|12|2=++-+--k k x x ，0|12|x≠-令t x =-|12|，则方程化为0)21()32(2=+++-k t k t （0t ≠） ∵方程0)32(|12|21|12|=+--++-k k xx 有三个不同的实数解，∴由|12|-=x t 的图像知，0)21()32(2=+++-k t k t 有两个根1t 、2t ，且21t 1t 0<<< 或 101<<t ，1t 2= 记)21()32()(2k t k t t +++-=ϕ则⎩⎨⎧<-=>+=0k )1(0k 21)0(ϕϕ 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<=-=>+=12k3200k )1(0k 21)0(ϕϕ∴0k > 7.设二次函数2()f x ax bx c =++在区间[]2,2-上的最大值、最小值分别是M 、m ，集合{}|()A x f x x ==．（1）若{1,2}A =，且(0)2f =，求M 和m 的值；（2）若{1}A =，且1a ≥，记()g a M m =+，求()g a 的最小值．（1）由(0)22f c ==可知，……………………………1分又{}2A 1212(1)0.ax b x c =+-+=，，故，是方程的两实根 1-b 1+2=a ,c 2=a ⎧⎪⎪∴⎨⎪⎪⎩…………………3分 1,2a b ==-解得…………4分[]22()22(1)1,2,2f x x x x x ∴=-+=-+∈-min 1()(1)1,1x f x f m ====当时，即……………………………5分 max 2()(2)10,10.x f x f M =-=-==当时，即……………………………6分（2）2(1)0ax b x c +-+=由题意知，方程有两相等实根x=2, x=1∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+a ca b 2111，即⎩⎨⎧=-=a c a b 21 ……………………………8分∴f （x ）=ax 2+（1-2a ）x+a, x ∈[-2,2] 其对称轴方程为x==-aa 214-1a21又a≥1，故1-⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,2121a ……………………………9分 ∴M=f （-2）=9a-2 …………………………10分 m=aaa f 411)212(-=- ……………………………11分g （a ）=M+m=9a-a 41-1 ……………………………14分[)m in 63()1,1().4g a a g a +∞∴==又在区间上为单调递增的，当时，=431 ………16分8.已知函数22()242 f x axb b x=-+-⋅，2()1()(,)g x x a a b =---∈R ．（1）当0b =时，若()(,2]f x -∞在上单调递减，求a 的取值范围；（2）求满足下列条件的所有整数对(,)a b ：存在0x ，使得0()()f x f x 是的最大值，0()()g x g x 是的最小值；（3）对满足（II ）中的条件的整数对(,)a b ，试构造一个定义在{|D x x =∈R 且2,}x k k ≠∈Z上的函数()h x ：使(2)()h x h x +=，且当(2,0)x ∈-时，()()h x f x =．解：．1）当0b =时，()24f x ax x =-，…………………………………………………1分若0a =，()4f x x =-，则()f x 在(],2-∞上单调递减，符合题意；………3分若0a ≠，要使()f x 在(],2-∞上单调递减，必须满足0,42,2a a>⎧⎪⎨≥⎪⎩……………………………………………………………………5分∴01a <≤．综上所述，a 的取值范围是[]0,1 …………………………………6分（2）若0a =，()2242f x b b x =-+-，则()f x 无最大值，………………………7分故0a ≠，∴()f x 为二次函数，要使()f x 有最大值，必须满足20,420,a b b <⎧⎨+-≥⎩即0a <且1515b -≤≤+，…8分此时，2042b bx a+-=时，()f x 有最大值．………………………………………分又()g x 取最小值时，0x a =，………………………………………………………分依题意，有242b ba a+-=∈Z ，则()2224251a b b b =+-=--，…………分∵0a <且1515b -≤≤+，∴()205a a <≤∈Z ，得1a =-，………………分此时1b =-或3b =．∴满足条件的整数对(),a b 是()()1,1,1,3---．……………………………12分（3）当整数对是()()1,1,1,3---时，()22f x x x =--(2)()h x h x += ，()h x ∴是以2为周期的周期函数，………………………分又当()2,0x ∈-时，,构造()h x 如下：当()22,2,x k k k ∈-∈Z ，则，()()()()()222222h x h x k fx k x k x k =-=-=----，故()()()()2222,22,2,.h x x k x k x k k k =----∈-∈Z9.已知函数()f x kx m =+，当[]11,x a b ∈时,()f x 的值域为[]22,ab ，当22[,]x a b ∈时,()f x 的值域为33[,]a b ，依次类推，一般地，当[]11,n n x a b --∈时,()f x 的值域为[],n n a b ，其中k 、m 为常数，且110,1a b == .(1)若k =1，求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)若0k >且1k ≠，问是否存在常数m ，使数列{}n b 是公比不为1的等比数列？请说明理由；(3)若0k <，设数列{}{},n n a b 的前n项和分别为,n nS T ，求()()1228122008T T T S S S+++-+++解：(1)因为()f x x m =+，当11[,]n n x a b --∈时，()f x 为单调增函数，所以其值域为11[,]n n a m b m --++，于是*11,(,2)n n n n a a m b b m n n --=+=+∈≥N . ……………… 又a 1=0, b 1=1, 所以(1)n a n m =-，1(1)n b n m =+-. ……………… (2)因为()(0)f x kx m k =+>，当11[,]n n x a b --∈时，()f x 为单调增函数，所以()f x 的值域为11[,]n n ka m kb m --++，所以*1(,2)n n b kb m n n -=+∈≥N .要使数列{b n }为等比数列，11n n n b mk b b --=+必须为与n 无关的常数. 又11,0,1b k k =>≠，故当且仅当0m =时，数列{}n b 是公比不为1的等比数列.(本题考生若先确定m ＝0，再证此时数列{}n b 是公比不为1的等比数列，给全分) (3)因为0k <，当11[,]n n x a b --∈时，()f x 为单调减函数，所以()f x 的值域为11[,]n n kb m ka m --++，于是*11,(,2)n n n n a kb m b ka m n n --=+=+∈≥N .所以211112211()()()()()()n n n n n n n n b a k b a k b a k b a k -------=--=--==--=- .111, 1,()()1(), 0, 1.1iij i i i jj j j i k T S ba k k k k k-===-⎧⎪-=-=-=⎨--<≠-⎪+⎩∑∑()()122008122008T T T S S S +++-+++20082008111()()iii j j i i j TS b a ====-=-∑∑∑200922017036, 1,20082009, 0, 1.(1)k k k k k k =-⎧⎪=+-⎨<≠-⎪+⎩1)因为()f x x m =+，当11[,]n n x a b --∈时，()f x 为单调增函数，所以其值域为11[,]n n a m b m --++，于是*11,(,2)n n n n a a m b b m n n --=+=+∈≥N . 又a 1=0, b 1=1, 所以(1)n a n m =-，1(1)n b n m =+-.10.已知二次函数g （x ）对任意实数x 都满足()()21121g x g x xx -+-=--，且()11g =-令()19()ln (,0)28f x g x m x m x =+++∈>R（1）求 g (x )的表达式；（2）若0x ∃>使()0f x ≤成立，求实数m 的取值范围；（3）设1e m <≤，()()(1)H x f x m x =-+，证明:对12[1]x x m ∀∈，，，恒有12|()()| 1.H x H x -<【解】（1）设()2g x ax bx c =++，于是()()()()2211212212g x g x a x c x -+-=-+=--，所以121.a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，又()11g =-，则12b =-．所以()211122g x x x =--. ……………………4分（2）()2191()ln ln (0).282f xg x m x x m x m x =+++=+∈>R ，当m >0时，由对数函数性质，f （x ）的值域为R ；当m =0时，2()02xf x =>对0x ∀>，()0f x >恒成立； ……………………6分当m <0时，由()0m f x x x m x'=+=⇒=-，列表：[]m in ()()ln .2mf x f m m m =-=-+-这时，[]minln 0()0e<0.20mm m f x m m ⎧-+->⎪>⇔⇒-<⎨⎪<⎩，……………………8分所以若0x ∀>，()0f x >恒成立，则实数m 的取值范围是(e 0]-，.故0x ∃>使()0f x ≤成立，实数m 的取值范围()(,e]0-∞-+∞ ，．……………… 10分（3）因为对[1]x m ∀∈，，(1)()()0x x m H x x --'=≤，所以()H x 在[1,]m 内单调递减.于是21211|()()|(1)()ln .22H x H x H H m m m m -≤-=--2121113|()()|1ln 1ln 0.2222H x H x m m m m m m-<⇐--<⇔--< ………………… 12分记13()ln (1e)22h m m m m m=--<≤，则()221133111()022332h'm m m m =-+=-+>，所以函数13()ln 22h m m m m =--在(1e]，是单调增函数， ………………… 14分所以()()e 3e 1e 3()(e)1022e2eh m h -+≤=--=<，故命题成立. ………………… 16分11.已知二次函数1)(2++=bx ax x f 和函数bx a bx x g 21)(2+-=，（1）若)(x f 为偶函数，试判断)(x g 的奇偶性；（5分）（2）若方程()g x x =有两个不等的实根()2121,x x x x <，则①证明函数)(x f 在（-1，1）上是单调函数；（6分）②若方程0)(=x f 的有两实根为()4343,x x x x <，求使4213x x x x <<<成立的a 的取值范围.（5分）解：（1）∵)(x f 为偶函数，∴()()f x f x -=，∴0bx =，∴0b =∴21()g x a x=-，∴函数()g x 为奇函数；（2）①由x bx a bx x g =+-=21)(2得方程(*)0122=++bx x a 有不等实根x(0)m -，m- ()m -+∞，()f x ' － 0 ＋ ()f x减极小增∴△0422>-=a b 及0≠a 得12>ab 即1122b b aa-<-->或又)(x f 的对称轴()1,12-∉-=ab x故)(x f 在（-1，1）上是单调函数 ②21,x x 是方程(*)的根，∴011212=++bx x a ∴12121--=x a bx ，同理12222--=x a bx∴=)(1x f 222211111ax bx ax a x ++=-=212)(x a a - 同理=)(2x f 222)(x a a -要使4213x x x x <<<，只需⎪⎩⎪⎨⎧<<>0)(0)(021x f x f a 即⎩⎨⎧<->002a a a ，∴1>a 或⎪⎩⎪⎨⎧>><0)(0)(021x f x f a 即⎩⎨⎧>-<002a a a ，解集为φ 故a 的取值范围1>a12.已知函数)()0,1(),0()(x f y P t xt x x f =>+=作曲线过点的两条切线PM 、PN ，切点分别为M 、N . （1）当2=t 时，求函数)(x f 的单调递增区间；（2）设|MN |=)(t g ，试求函数)(t g 的表达式（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间]64,2[n n +内，总存在m ＋1个数,,,,,121+m m a a a a 使得不等式)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g 成立，求m 的最大值.解：（I ）当,2)(,2xx x f t +==时 0221)(222>-=-='xx xx f 1分2,2-<>x x 或解得.则函数)(x f 有单调递增区间为),2(),2,(+∞--∞ 4分（II ）设M 、N 两点的横坐标分别为1x 、2x ，)1(.02).1)(1()(0),0,1().)(1()(:,1)(12112111121112=-+--=+-∴--=+-∴-='t tx x x xt x t x P PM x x xt x t x y PM xt x f 即有过点切线又的方程为切线同理，由切线PN 也过点（1，0），得.02222=-+t tx x （2） 6分由（1）、（2），可得02,221=-+t tx x x x 是方程的两根，(*).22121⎩⎨⎧-=⋅-=+∴t x x tx x 8分])1(1[)()()(||22122122211221x x t x x x t x x t x x x MN -+-=--++-=])1(1][4)[(22121221x x t x x x x -+-+把（*）式代入，得,2020||2t t MN +=因此，函数)0(2020)()(2>+=t t t t g t g 的表达式为 10分（III ）易知]64,2[)(nn t g +在区间上为增函数，12121(2)()(1,2,,1).(2)()()().()()()(),i m m m g g a i m m g g a g a g a g a g a g a g a n +∴≤=+⋅≤++++++< 则对一切正整数成立恒成立对一切的正整数不等式n nn g g m )64()2(+<⋅∴ 13分,)64(20)64(2022022022nn nn m +++<⨯+⨯.3136.3136]1616[61)]64()64[(61,1664)]64()64[(61222<∴=+≥+++∴≥++++<m nn nn nn n nn nn m 恒成立对一切的正整数即由于m 为正整数，6≤∴m . 15分又当.,16,2,6121满足条件对所有的存在时n a a a a m m m ======+因此，m 的最大值为6. 16分13.已知函数x ax x x f ln )(2-+=， .a R ∈（1）若函数)(x f 在[]2,1上是减函数，求实数a 的取值范围；（2）令2)()(x x f x g -=，是否存在实数a ，当∈x ],0(e （e 是自然常数）时，函数)(x g 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由；（3）当∈x ],0(e 时，证明： x x x x e ln )1(2522+>-解：（1）01212)(2'≤-+=-+=xax x xa x x f 在[]2,1上恒成立，令 12)(2-+=ax x x h ，有⎩⎨⎧≤≤0)2(0)1(h h 得,271⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤a a ……………………… 4分得27-≤a (5)分（2）假设存在实数a ，使x ax x g ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值3，xa x g 1)('-=xax 1-=……………………………………………6分当0≤a 时，)(x g 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e g x g ，ea 4=（舍去），②当e a<<10时，)(x g 在)1,0(a上单调递减，在],1(e a上单调递增∴3ln 1)1()(min =+==a ag x g ，2e a =，满足条件.③当e a ≥1时，)(x g 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e g x g ，ea 4=（舍去），综上，存在实数2e a =，使得当],0(e x ∈时)(x g 有最小值3. ……………………10分（3）令x x e x F ln )(2-=，由（2）知，3)(min =x F .令25ln )(+=xx x ϕ，2'ln 1)(xx x -=ϕ，当e x ≤<0时，0)('≥x ϕ，()h x 在],0(e 上单调递增 ∴32521251)()(max =+<+==e e x ϕϕ ,25ln ln 2+>-∴xx x x e 即x x e 2522-x x ln )1(+>.………14分14.设函数322()f x x ax a x m =+-+(0)a >（1）若1a =时函数()f x 有三个互不相同的零点，求m 的范围；（2）若函数()f x 在[]1,1-内没有极值点，求a 的范围；（3）若对任意的[]3,6a ∈，不等式()1f x ≤在[]2,2x ∈-上恒成立，求实数m 的取值范围．解：（1）当1a =时32()f x x x x m =+-+，因为()f x 有三个互不相同的零点，所以32()0f x x x x m =+-+=，即32m x x x =--+有三个互不相同的实数根。

2012高考数学压轴题100

黄冈中学高考数学压轴题精选100题1．设函数()1,121,23x f x x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩，()()[],1,3g x f x ax x =-∈，其中a R ∈，记函数()g x 的最大值与最小值的差为()h a 。

（I ）求函数()h a 的解析式；（II ）画出函数()y h x =的图象并指出()h x 的最小值。

2．已知函数()()ln 1f x x x =-+,数列{}n a 满足101a <<,()1n n a f a +=; 数列{}n b 满足1111,(1)22n n b b n b +=≥+, *n N ∈.求证:（Ⅰ）101;n n a a +<<<（Ⅱ）21;2n n a a +<（Ⅲ）若12,2a =则当n ≥2时,!n nb a n >⋅.3．已知定义在R 上的函数f (x ) 同时满足：（1）21212122()()2()cos24sin f x x f x x f x x a x ++-=+（12,x x ∈R ，a 为常数）；（2）(0)()14f f π==；（3）当0,4x π∈［］时，()f x ≤2 求：（Ⅰ）函数()f x 的解析式；（Ⅱ）常数a 的取值范围．个个4．设)0(1),(),,(22222211>>=+b a bx x y y x B y x A 是椭圆上的两点，满足0),(),(2211=⋅a y b x a y b x ，椭圆的离心率,23=e 短轴长为2，0为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线AB 过椭圆的焦点F （0，c ），（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值；（3）试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.5．已知数列{}n a 中各项为：12、1122、111222、 (111)⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 222n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ …… （1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.（2）求这个数列前n 项之和S n .6、设1F 、2F 分别是椭圆22154x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ⋅的最大值和最小值；（Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.7、已知动圆过定点P （1，0），且与定直线L:x=-1相切，点C 在l 上. (1)求动圆圆心的轨迹M 的方程；.B ,A M 3,P )2(两点相交于的直线与曲线且斜率为设过点-（i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由（ii ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围.8、定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0；（3）证明：f(x)是R 上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。

2012年高考数学30道压轴题