初中数学阿氏圆最值模型归纳
中考数学常见几何模型专题11 最值模型-阿氏圆问题(解析版)
专题11 最值模型-阿氏圆问题最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。
本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型背景】已知平面上两点A、B，则所有满足PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
【模型解读】如图 1 所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB，连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。
如图3所示：注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·P A+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。
例1．（2022·安徽·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作△C，P为△C上一动点，连接AP、BP，则13AP＋BP的最小值为（）A．7B．C．4D．PC CM例2．（2020·广西中考真题）如图，在Rt中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P 是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是_____．．【分析】在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，P A，CT．证明，推出＝＝，推出PT＝PB，推出PB+CP＝CP+PT，根据PC+PT≥TC，求出CT即可解决问题．【详解】解：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，P A，CT．ABCEF12PAT BAP∽PTPBAPAB12 1212∵P A ＝2．AT ＝1，AB ＝4，∵P A 2＝AT •AB ，∵＝， ∵∵P AT ＝∵P AB ，∵，∵＝＝，∵PT ＝PB ，∵PB +CP ＝CP +PT ，∵PC +PT ≥TC ，在Rt 中，∵∵CAT ＝90°，AT ＝1，AC ＝4， ∵CT，∵PB +PC，∵PB +PC．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系，圆的基本性质，掌握以上知识是解题的关键．例3．（2022·四川成都·模拟预测）如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC -的最大值为_______．23BM BP =4=PA ATABPA PAT BAP ∽PT PB AP AB 121212ACT 1212PBM ∠=2PC BP 22四边形Rt CDM 中，【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造例4．（2022·浙江·舟山九年级期末）如图，矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，以B 为圆心，以BC 为半径画圆交边AB 于点E ，点P 是弧CE 上的一个动点，连结,PD PA ，则12AP DP +的最小值为（ ）A B C D ，通过两组对应边成比例且夹角相等，证明BPG BAP ，得的长得到最小值．△BPG BAP ，△DP ，当P 、D 、G 4913=+=．故选：1例5．（2022·广东·广州市第二中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A (2，0)，B (0，2)，C (4，0)，D (5，3)，点P 是第一象限内一动点，且135APB ∠=︒，则4PD +2PC 的最小值为_______．为半径作O ，在优弧135APB =︒OP OA =，△2OP OC OT =，△OP OC1PT OP1例6．（2021·浙江金华·一模）问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝9，△C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+13BP的最小值(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将13BP转化为某一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整)如图2，连结CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有13== CD CP CP CB又△△PCD＝△△△△△13=PDBP△PD＝13BP△AP+13BP＝AP+PD△当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+13BP的最小值为．(2)自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则12AP+PC的最小值为．(请在图3中添加相应的辅助线)(3)拓展延伸：如图4，在扇形COD中，O为圆心，△COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P是CD上一点，求2P A+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，△A的半径为2，点P是△A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，△A=60°，△A的半径为2，点P是△A上的一个动点，求2PC−PB的最大值．例8．（2022·江苏·苏州九年级阶段练习）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.已知平面上两点AB 、，则所有符合0(PAk k PB=>且1)k ≠的点P 会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆.阿氏圆基本解法：构造三角形相似.【问题】如图1，在平面直角坐标中，在x 轴，y 轴上分别有点()(),0,0,C m D n ，点P 是平面内一动点，且OP r =，设OPk OD=，求PC kPD +的最小值.阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD 上取点M ，使得::OM OP OP OD k ==；第二步：证明kPD PM =；第三步：连接CM ，此时CM 即为所求的最小值. 下面是该题的解答过程(部分)：解：在OD 上取点M ，使得::OM OP OP OD k ==， 又,POD MOP POMDOP ∠=∠∴.任务：()1将以上解答过程补充完整.()2如图2，在Rt ABC 中，90,4,3,ACB AC BC D ∠=︒==为ABC 内一动点，满足2CD=，利用()1中的结论，请直接写出23AD BD+的最小值.提示：AC m=【点睛】此题主要考查了新定义的理解与应用，快速准确的掌握新定义并能举一反三是解题的关键课后专项训练1．（2022·福建南平九年级期中）如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作△C，P为△C上一动点，连接AP、BP，则13AP+BP的最小值为（）A．B．C．D．△PCE△△BP，当B1=△EB=2．（2022·江苏·无锡市九年级期中）如图，△O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，△O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接P A，PB，则3P A+PB的最小值为___．3．（2022·陕西·三模）如图，在四边形ABCD 中， AB =260AC BAC ACD =∠=∠=︒，，设•AD k BD =，则k 的最小值为 ___________．1##1-【分析】如图，过点C 作CJ AB ⊥于点J ，过点B 作BM DC ⊥交DC 的延长线于点M ，在AB 的上方构造Rt ABE △，使得ABE MBD ∽，取BE 的中点F ，连接AF DF ，．由ABE MBD ∽，推出，使得ABE MBD ∽，取Rt ACJ 中，BM CD CJ ⊥，△ABE MBD ∽，△BE DB EF FB =，△12AF =4．（2022·湖北武汉·模拟预测）【新知探究】新定义：平面内两定点A, B ，所有满足PAPB=k ( k 为定值)的P点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”，【问题解决】如图，在△ABC 中，CB = 4 ，AB= 2AC ，则△ABC 面积的最大值为_____．3333【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质、确定点的运动轨迹和求三角形的面积，掌握相似三角形的判定及性质、圆的定义和三角形的面积公式是解决此题的关键．5．（2022·浙江·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接P A，PB，则P A+PB的最小值为．【解答】解：如图，在CB上取一点F，使得CF＝，连接PF，AF．∵∠DCE＝90°，DE＝4，DP＝PE，∴PC＝DE＝2，∵＝，＝，∴＝，∵∠PCF＝∠BCP，∴△PCF∽△BCP，∴＝＝，∴PF＝PB，∴P A+PB＝P A+PF，∵P A+PF≥AF，AF＝＝＝，∴P A+PB≥，∴P A+PB的最小值为，故答案为．6．（2022·江苏·苏州九年级阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在CG的最小值为_____．边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+127．（2022·山西·九年级专题练习）如图，在ABC 中，90,2B AB CB ∠=︒==，以点B 为圆心作圆B 与AC 相切，点P 为圆B 上任一动点，则PA 的最小值是___________．28．（2022·湖北·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，△B的半径为2，点P是△B上的一个PC的最大值为_____．动点，则PD﹣12BC PB BC2PB49．（2022·北京·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为△O，P是△O A ＋PB的最小值为________．10．（2022·山东·九年级专题练习）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4CB =，6CA =，圆C 半径为2，P为圆上一动点，连接,2,1A A P P P P B B +最小值__________．13BP AP +最小值__________．CP CD121CP CD111．（2022·重庆·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，那么PD ＋23PC 的最小值为__，PD ﹣23PC 的最大值为__．（2）如图2，已知菱形ABCD 的边长为4，△B ＝60°，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，那么PD＋12PC 的最小值为__，PD ﹣12PC 的最大值为__．，先证明PBGCBP ，得到共线时取等号），从而计算出（当且仅当G 、P 、交于点F ，解法同（64PB BG =PBGCBP ∴，∴23PG PC ∴=，PD ∴PD PG DG +≥（当且仅当32PD PC +，32PD PC -23PD PC ∴-，故答案为：（2）如图上取一点G ，使得21PB BG =4BC PBG CBP ∴，∴PD PG DG +≥（当且仅当PD PG ∴+的最小值为在Rt CDF 中，DCF ∠在Rt GDF 中，DG 12PD PC -=【点睛】本题考查圆的综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是学会构建相似三角形解决问题．12．（2022·江苏淮安·九年级期中）问题提出：如图1，在等边△ABC 中，AB =12，△C 半径为6，P 为圆上一动点，连结AP ，BP ，求AP +12BP 的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD =3，则有CDCP=CPCB=12，又△△PCD=△BCP，△△PCD△△BCP，△PDBP=12，△PD=12BP，△AP+12BP=AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+12BP的最小值为．（2）自主探索：如图1，矩形ABCD中，BC=7，AB=9，P为矩形内部一点，且PB=3，13AP+PC的最小值为．（3）拓展延伸：如图2，扇形COD中，O为圆心，△COD=120°，OC=4，OA=2，OB=3，点P是CD上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．13．（2022·湖北·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +4PC +的最小值，12PD PC -的最大值．（2）如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，求23PD PC +的最小值，23PD PC -的最大值，PC 的最小值．（3）如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，=60B ∠︒，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC+的最小值和12PD PC -的最大值．PC 的最小值241PB BC BG =PB BC PBG ∠=PG BG PC PB ∴=△DP+PG≥DG 12PD PC -当点P 在2,PBF ∠=三点共线时会有33694PB BC BG =PB BC ，PBG ∠=PG BG PC PB ∴=PC DP =+△DP+PG≥DG 23PD PC +的值最小，最小值为23PD PC -DG 的延长线上时，（3）如图，使得BG=1，作241PB BC BG =PB BC ，PBG ∠=PG BG PC PB ∴=12PC DP =△DP+PG≥DG 12PD PC+的值最小，最小值为在Rt△CDF △DF=CD•sin60°=14．（2022·山东聊城·二模）如图，抛物线2y x bx c =-++经过点()4,4A --，()0,4B ，直线AC 的解析式为162y x =--，且与y 轴相交于点C ，若点E 是直线AB 上的一个动点，过点E 作EF x ⊥轴交AC 于点F ．（1）求抛物线2y x bx c =-++的解析式；（2）点H 是y 轴上一动点，连结EH ，HF ，当点E 运动到什么位置时，四边形EAFH 是矩形?求出此时点E ，H 的坐标；（3）在（2）的前提下，以点E 为圆心，EH 长为半径作圆，点M 为E 上以动点，求12AM CM +的最小值．交E 于点G ),24k +，E 或32k =-)6△PC =交E 于点M 51225=△12ME AE =△PM 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，矩形的性式，利用中点坐标公式构建方程，以及构造相似三角形．15．（2022·江苏泰州·一模）如图，已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，9AB =，E 是AB 上的一点，5BE =，点D 是线段BC 上的一个动点，沿AD 折叠ACD ∆，点C 与C '重合，连接BC '．(1)求证：AEC AC B ''∆∆∽；(2)若点F 是BC 上的一点，且BF =，①若BC F '∆与BC E '∆请用无刻度的直尺和圆规在图（2）中作出折叠后的AC D '∆（保留作图痕迹，不写作法）；②求32BC FC ''+的最小值．BC F BC ES S''=△ABC ，连接【点睛】本题考查折叠问题，尺规作图：作角平分线，相似三角形的判定与性质，勾股定理，最短距离问题，本题综合性强，难度较大．16．（2022·广东·九年级专题练习）如图1，已知正方形ABCD ，AB ＝4，以顶点B 为直角顶点的等腰Rt△BEF 绕点B 旋转，BE ＝BFAE ，CF ．(1)求证：△ABE △△CBF ．(2)如图2，连接DE ，当DE ＝BE 时，求S △BCF 的值．（S △BCF 表示△BCF 的面积）(3)如图3，当Rt△BEF 旋转到正方形ABCD 外部，且线段AE 与线段CF 存在交点G 时，若M 是CD 的中点，P 是线段DGMP +PG 的值最小时，求MP 的值． 【答案】(1)见解析(2)2或【分析】（1）由“SAS ”可证△ABE △△CBF ；（2）由“SSS ”可证△ADE △△ABE ，可得△DAE ＝△BAE ＝45°，可证AH ＝EH ，由勾股定理可求BE 的长，即可求解；（3）先确定点P 的位置，过点B 作BQ △CF 于Q ，由勾股定理可求CE 的长，由平行线分线段成比例可求解．(1)证明：△四边形ABCD 是正方形，△AB ＝BC ，△ABC ＝90°， △△EBF ＝90°＝△ABC ，△△ABE ＝△CBF ， 又△BE ＝BF ，AB ＝BC ，在△ABE 和△CBF 中，AB CB ABE CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABE △△CBF （SAS ）； (2)解：如图2，过点E 作EH △AB 于H ，17．（2022·河北·九年级专题练习）如图1，在RT△ABC中，△ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：①12AP BP+，②2AP BP+，③13AP BP+，④3AP BP+的最小值．．根据作图结合题意易证DCP PCB~，即可PD+最小，最小值即Rt ACD中，利用勾股定理求出1)2AP BP+，使23CE=，根据作图结合题意易证ECP PCA~，即可得出13EP AP=，EP BP+，说明当最小，最小值即为BE长．中，利用勾股定理求出BE的长即可；AD．1CD CP △DCP PCB ~， BP ，△12AP BP AP +=三点共线时，AP PD +最小，最小值即为Rt ACD 中，2226AC CD +=1)2AP BP BP +=+，△2AP BP +如图，在CA 321CE CP △ECP PCA ~，△EP AP 三点共线时，EP BP +最小，最小值即为224BC CE =+=)AP BP +，△3AP BP +【点睛】本题考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．正确的作出辅助线，并且理解三点共线时线段最短是解答本题的关键．。
最值系列之阿氏圆问题
DB DC 05最值系列之阿氏圆问题在前面的“胡不归〃问题中，我们见识Y“kPA+PB〃最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆〃问题.所谓“阿氏圆〞，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值〔不为1〕的点的集合叫做圆．如下列图，A、B两点，点P满足PA：PB=k〔七1〕，那么满足条件的所有的点P构成的图形为圆．下给出证明法一：首先了解两个定理〔1〕角平分线定理：如图，在4ABC中，AD是N BAC的角平分线，那么AB = DB .AC DCS.BD S A AB x DE AB AB DB证明：----- A BD-一, ----- A BD-一, 即——S CD S AC x DF AC AC DCACD ACD〔2〕外角平分线定理：如图，在4ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点证明：在BA延长线上取点E使得AE=AC,连接BD,那么△ACD/^AED〔SAS〕,ED那么ABCD =ED 且AD 平分.归那么DE = AE ，即AC = DC 接下来开始证明步骤：如图，PA ： PB=k ,作N APB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，3=PA = k , MB PB 故M 点为定点，即N APB 的角平分线交AB 于定点；作N APB 外角平分线交直线AB 于N 点，根据外角平分线定理，NA = PA = k ，故N 点为 NB PB定点，即N APB 外角平分线交直线AB 于定点； 又N MPN=90°,定边对定角，故P 点轨迹是以MN 为直径的圆.法二：建系不妨将点A 、B 两点置于x 轴上且关于原点对称，设A 〔-m , 0〕，那么B 〔m , 0〕，设P 〔x ,y 〕，PA=kPB ,即:+ y 2 = k %(% — m(% + m >+ y 2 = k 2 (% - m '+ k 2 y 2(k 2 -1)42 + y 2)- (2m + 2k 2m )% + (k 2 -1)m 2 = 02m + 2k 2m % 2 + y 2 --------- % + m 2 = 0 k 2 -1解析式满足圆的一般方程，故P 点所构成的图形是圆，且圆心与AB 共线.那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：如图，在Rt^ABC中，N C=90°, AC=4, BC=3,以点C为圆心，2为半径作圆C,分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，那么1PA + PB的最小值为.2【分析】这个问题最大的难点在于转化1PA，此处P点轨迹是圆，故转化方法与之前有所2不同，如下，提供两种思路．法一：构造相似三角形注意到圆C半径为2，CA=4，连接CP，构造包含线段AP的4CPA，在CA边上取点M使得CM=2,连接PM,可得^CPA s^CMP,故PA：PM=2:1,即PM=1 PA .2问题转化为PM+PB最小值，直接连BM即可.【问题剖析】〔1〕这里为什么是1PA ?2答：因为圆C半径为2, CA=4,比值是1:2,所以构造的是1PA，也只能构造1PA .22〔2〕如果问题设计为PA+kPB最小值，k应为多少？答：根据圆C半径与CB之比为2:3, k应为2.3【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例,构造相似转化线段即可解决.法二：阿氏圆模型比照一下这个题目的条件，P点轨迹是圆，A是定点，我们需要找出另一个定点M使得PM:PA=1:2,这不就是把“阿氏圆〃的条件与结论互换了一下嘛！已知PA、PB之比确定圆而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的! P点轨迹圆的圆心C点和A点在直线AC上，故所求M点在AC边上，考虑到PM：PA=1:2, 不妨让P点与D点重合，此时DM=1 DA =1,即可确定M点位置.2如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下列图，此时PM=3,PA=6, 亦满足PM:PA=1:2.【小结】法二其实是开了上帝视角，在其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M点位置,虽不够严谨,却很实用.【练习1】如图，在A ABC中，N ACB=90°, BC=12, AC=9,以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD,那么2AD+3BD的最小值是..... ........................ ........ ..... （2、…，、2 ___ ___【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=3 —AD + BD，故求—AD + BD最小值即可.13 ） 32 考虑到D点轨迹是圆，A是定点，且要求构造三AD，条件已经足够明显.当D点运动到AC边时，DA=3,此时在线段CD上取点M使得DM=2,那么在点D运动过2程中，始终存在DM = -DA .3问题转化为DM+DB的最小值，直接连接BM, BM长度的3倍即为此题答案.A【练习2】如图，正方ABCD的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点，那么PD -1PC的最大值为.2【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=2,根据题意要求构造1PC,在BC上取M 2使得此时PM=1,那么在点P运动的任意时刻，均有PM=1 PC ,从而将问题转化为求PD-PM2的最大值．连接PD,对于△PDM, PD-PM V DM,故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值.P。
中考数学最值—阿氏圆问题(解析+例题)
中考数学最值——阿氏圆问题（点在圆上运动）（PA+k·PB型最值）【问题背景】与两个定点距离之比为一个不为0的常数的点的轨迹是一个圆，这个圆为阿氏圆。
这个定理叫阿波罗尼斯定理。
【知识储备】①三角形三边关系：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。
②两点之间线段最短。
③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
【模型分析】①条件：已知A、B为定点，P为 O上一动点，OPOB=k（0＜k＜1）。
②问题：P在何处时，PA+k·PB的值最小。
③方法：连接OP，OB，在OB上取点C，使OCOP =k，可得△POC∽△BOP，所以CPPB=OPOB=k，所以得CP=k·PB。
所以PA+k·PB=PA+CP≥AC，当P为AC与 O的交点时，PA+k·PB的最小值为AC。
总结：构造母子三角形相似若能直接构造△相似计算的，直接计算，不能直接构造△相似计算的，先把k提到括号外边，将其中一条线段的系数化成，再构造△相似进行计算。
【经典例题】已知∠ACB=90°，CB=4,CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点.（1）求12AP BP+的最小值为。
（2）求13AP BP+的最小值为。
【巩固训练】练习1：如图，点A、B在⊙O 上，且OA=OB=6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB 上，且OD=4，动点P在⊙O 上，则2PC+PD的最小值为；练习2：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AC的中点，M为BD的中点，将线段AD绕A点任意旋转（旋转过程中始终保持点M为BD的中点），若AC=4，BC=3，那么在旋转过程中，线段CM长度的取值范围是__________。
练习3：Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 为△ABC 内一动点，满足CD=2，则AD+32BD 的最小值为_______.练习4：如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60°，⊙A 与BC 相切于点E ，在⊙A 上任取一点P ，则PB+23PD 的最小值为________.练习5：如图，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，圆B 的半径为2，P 为圆B 上一动点，则PD+21PC 的最小值为_________.练习6：如图，等边△ABC 的边长为6，内切圆记为⊙O ，P 是圆上动点，求2PB+PC 的最小值.值。
专题5 几何最值之阿氏圆模型
专题5 几何最值之阿氏圆模型一、知识讲解【问题分析】在圆上找一点P 使得PA k PB +的值最小解决步骤具体如下： ①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP ，OB①计算出这两条线段的长度比OP k OB= ①在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造①POM①①BOP ，则PC k PB=，PC k PB = ①则=PA k PB PA PC AC ++≥，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值【技巧总结】计算PA k PB +的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形二、例题讲解例1．在①ABC 中，①ACB ＝90°，BC ＝8，AC ＝6，以点C 为圆心，4为半径的圆上有一动点D ，连接AD ，BD ，CD ，则12BD +AD 的最小值是_____．例2．如图，在直角梯形ABCD 中，①ABC ＝①DAB ＝90°，AB ＝BC ＝4，AD ＝2，点P 是以AB 为直径的半圆O 上一点，连接PC 、PD ，则PC 2的最小值为____．例3．如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC -的最大值为_______．例4．如图，在①ABC 中，①ACB =90°，BC =12，AC =9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D .连接AD 、BD 、CD ，则2AD +3BD 的最小值是________.三、巩固练习【变式1】如图，在Rt ABC 中，AB ＝AC ＝4，点E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 是扇形AEF 的EF 上任意一点，连接BP ，CP ，则12BP +CP 的最小值是_____．【变式2】如图，O 210,2,90PO MO POM ==∠=︒，Q 为O 上一动点，则2PQ 的最小值____________．5MQ 的最小值_______【变式3】如图，边长为4的正方形，内切圆记为①O ，P 是①O 2P A ＋PB 的最小值为________．【变式4】如图，在ABC 中，90,2B AB CB ∠=︒==，以点B 为圆心作圆B 与AC 相切，点P 为圆B 上任一动点，则2PA PC 的最小值是___________．。
初中数学最值一阿氏圆模型
初中数学最值一阿氏圆模型初中数学中的最值问题是数学中的重要问题之一。
数学教学中经常涉及到最大值和最小值的求解，而阿氏圆模型是解决这类问题的一种方法。
阿氏圆模型是一种简便的方法，可以用来解决初中数学中的最值问题。
它可以帮助我们更好地理解和解决这类问题。
下面我将通过详细的论述来介绍阿氏圆模型的原理和应用。
首先，我们来看最大值问题。
最大值是一组数中的最大数，我们要找出这个最大值。
在阿氏圆模型中，我们可以通过绘制一个圆形来表示一组数。
圆的半径表示这组数中的最大值。
圆心表示这组数的平均值。
通过观察圆的大小和位置，我们可以快速确定最大值。
例如，给定一组数{3，5，7，9}，我们可以计算它们的平均值为6。
然后，我们绘制一个以6为圆心的圆，然后找到圆上的最大值。
在这种情况下，最大值为9。
我们可以通过阿氏圆模型很容易地找到最大值。
接下来我们来看最小值问题。
最小值是一组数中的最小数，我们要找出这个最小值。
阿氏圆模型同样可以用来解决这类问题。
与最大值问题类似，我们也是通过绘制一个圆形来表示一组数。
圆的半径表示这组数中的最小值。
圆心代表平均值。
通过观察圆的大小和位置，我们可以迅速确定最小值。
例如，给定一组数{2，4，6，8}，我们计算它们的平均值为5。
然后，我们可以绘制以5为圆心的圆，并找到圆上的最小值。
在这种情况下，最小值为2。
阿氏圆模型同样帮助我们很容易地找到最小值。
阿氏圆模型不仅可以用来解决最大值和最小值问题，还可以扩展到其他数学问题中。
例如，我们可以用阿氏圆模型来求一组数的平均值。
通过将这组数放在一个圆的周围，我们可以找到圆心的位置，这个位置就是这组数的平均值。
这使得求平均值变得非常简单。
此外，阿氏圆模型还可以用来解决其他问题，如中位数、众数等统计问题。
阿氏圆模型在初中数学中的应用非常广泛，通过它我们可以更好地理解和解决各种数学问题。
总结起来，阿氏圆模型是一种在初中数学中解决最值问题的简便方法。
它通过绘制一个圆形来表示一组数，圆心代表平均值，圆的半径代表最大值或最小值。
中考数学几何最值之阿氏圆问题
C，使得
OC OP
k
，即构造△POM∽△BOP，则
PC PB
k
，
PC
k
PB
④ 则 PA k PB=PA PC AC ，当 A、P、C 三点共线时可得最小值
题型精讲
【例 1】如图，已知正方 ABCD 的边长为 4，圆 B 的半径为 2，点 P 是圆 B 上的一个
动点，则
PD
1 2
PC
的最大值为___5____．
A
M
B
O
N
模型最值技巧： 计算 PA k PB 的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形
问题：在圆上找一点 P 使得 PA k PB 的值最小，解决步骤具体如下：
① 如图，将系数不为 1 的线段两端点与圆心相连即 OP，OB
② 计算出这两条线段的长度比 OP k
OB
③
在
OB
上取一点
12 10
C
D
A
B
本部分内容讲解结束
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的最小值为（
C
）
A． 10 B． 11 C． 13 D． 14
2．如图，已知菱形 ABCD的边长为 4，B 60 ， B的半径为 2，P 为 B 上一动点，则
37 PD
1 2
PC
的最小值_______．
PC
3 PD 的最小值___1_1_1__
6
3
3．如图，在 ABC 中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点 C 为圆心，6 为半径的圆 上有一个动点 D．连接 AD、BD、CD，则 2AD+3BD 的最小值是 ．
第七部分 几何图形综合
专题39 几何最值之阿氏圆问题
最值问题——阿氏圆
阿波罗尼斯圆
阿氏圆
• 一动点P到两定点A、B的距 离之比等于定比m:n,则P点的 轨迹是以定比m:n内分和外分 定线段AB的两个分点的连线 为直径的圆，称为阿波罗尼 斯圆,简称阿氏圆
• 专门解决（AP+mBP，m≠1）最小值问题
• 与胡不归模型区别： 胡不归（动点在直线上）；阿氏圆（动点在圆上)
内分点：当点P在线段AB上时，P就是AB的内分点 外分点：当点P在线段AB的延长线上时，P就是AB的外 分点
阿氏圆结论与证明
当P在在圆上运动时,PA、PB的的比值始终保持不变 构造子母型相似
P
O
P2
A
P1
B
模型使P1
B
确定模型五步骤：
①圆心
②圆上动点 ③圆外固定点
④以圆心所在角为公共角
2 37 3
∵AC = 4，CD = 3,在CB上取一点M，使得CM = 2 CD = 4
BC
3
3
AD + 2 BD的最小值 42 4 2 4 10
3
3
3
过关检测
学习从来无捷径，循序渐进登高峰
⑤子交点（位置需要自己找）在圆心与圆外固定点连线上
• 确定动点的运动轨迹,以及轨迹的圆心和半径 • 找到比例为k的边,构成母三角形,标出两边的夹角 • 利用标出两边的夹角,构造一个线段,长度比半径成比例k,构造出子三角形，母子
三角形相似 • 得到去除系数k的线段,结合两点之间线段最短进行求解
解析： 连接CP，在CB上取点D使CD=1 则△PCD∽△BCP AP+½BP=AP+PD 当A、P、D三点共线时,AP+PD的值最小 最小值= AC2 CD2 37
中考数学复习之——“阿氏圆”专题
中考数学复习之——“阿氏圆”专题一、【模型背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
当 k 值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“将军饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。
而当k 取任意不为1时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P 所在图形不同来分类，一般分为两类研究。
即点P 在直线上运动和点P 在圆上运动，其中点P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
二、【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A 、B ，则所有满足 PA=k·PB 或PA ∶PB ＝k （k≠1）的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆 ”。
三、【轨迹证明】简单证明一下此轨迹为什么是圆。
1.首先了解三角形的内外角平分线定理：①内角平分线定理：如图所示，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则AB AC =DBDC 。
证明：∵S △ABD S △ACD=DB DC ，且S △ABD S △ACD=AB·DE AC·DF =AB AC ，∴AB AC =DB DC②外角平分线定理：如图所示，在△ABC 中，AD 平分∠CAE 交BC 延长线于点D ，则AB AC=DB DC。
证明：在BA 延长线上取点E ，使AE=AC ，连接BD ，则△ACD ≌△AED ， ∴CD=CE ，且DA 平分∠BDE 由内角平分线定理可得：DB DE=AB AE∴AB AC=DB DC2.证明轨迹为什么是圆。
如图，PA ：PB=k ，则点P 的轨迹是一个圆。
（阿波罗尼斯圆） 证明：作PM 、PN 分别平分∠APB 、∠BPC由内外角平分线定理得：MA MB =PA PB =k ，NA NB =PAPB =k ，且M 、N 为定点又∵∠MPN=90°∴点P 的轨迹是以MN 为直径的圆。
中考数学几何复习---最值系列之阿氏圆问题
中考数学几何复习---最值系列之阿氏圆问题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．下给出证明法一：首先了解两个定理（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则AB DBAC DC=． FEDCBA证明：ABD ACDS BD SCD =，ABD ACDS AB DE AB SAC DF AC ⨯==⨯，即AB DBAC DC=（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则AB DBAC DC=． ABCDE证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BD ，则△ACD ≌△AED （SAS ），CD=ED 且AD 平分∠BDE ，则DB AB DE AE =，即AB DBAC DC=．接下来开始证明步骤：如图，PA：PB=k，作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，MA PAkMB PB==，故M点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点；作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，NA PAkNB PB==，故N点为定点，即∠APB外角平分线交直线AB于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆．法二：建系不妨将点A、B两点置于x轴上且关于原点对称，设A（-m，0），则B（m，0），设P（x，y），PA=kPB，即：()()()()()()2222222222222222212210221x m y k x m k yk x y m k m x k mm k mx y x mk++=-+-+-++-=++-+=-解析式满足圆的一般方程，故P点所构成的图形是圆，且圆心与AB共线．那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则12PA PB的最小值为__________．EABCDP【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA，此处P点轨迹是圆，故转化方法与之前有所不同，如下，提供两种思路．法一：构造相似三角形注意到圆C半径为2，CA=4，连接CP，构造包含线段AP的△CPA，在CA边上取点M使得CM=2，连接PM，可得△CPA∽△CMP，故PA：PM=2:1，即PM=12 PA．问题转化为PM+PB最小值，直接连BM即可．【问题剖析】（1）这里为什么是12 PA？答：因为圆C半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是12PA，也只能构造12PA．（2）如果问题设计为PA+kPB最小值，k应为多少？答：根据圆C半径与CB之比为2:3，k应为23．【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．法二：阿氏圆模型对比一下这个题目的条件，P 点轨迹是圆，A 是定点，我们需要找出另一个定点M 使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！已知PA 、圆确定PB已知PA 、PB 之比确定圆而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A 的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！P 点轨迹圆的圆心C 点和A 点在直线AC 上，故所求M 点在AC 边上，考虑到PM ：PA=1:2，不妨让P点与D 点重合，此时DM=12DA =1，即可确定M 点位置．如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦满足PM:PA=1:2．【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M 点位置，虽不够严谨，却很实用．【练习1】如图，在ABC ∆中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是 ．ABCD【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故求23AD BD +最小值即可．考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23AD ，条件已经足够明显．当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在23DM DA =．问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，BM 长度的3倍即为本题答案．【练习2】如图，已知正方ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC的最大值为_______．AB CDP【分析】当P 点运动到BC 边上时，此时PC=2，根据题意要求构造12PC ，在BC 上取M 使得此时PM=1，则在点P 运动的任意时刻，均有PM=12PC ，从而将问题转化为求PD-PM 的最大值．连接PD ，对于△PDM ，PD-PM ＜DM ，故当D 、M 、P 共线时，PD-PM=DM 为最大值．。
最值系列之阿氏圆问题
最值系列之阿氏圆问题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．下给出证明法一：首先了解两个定理（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则AB DB AC DC =．证明：ABD ACD S BD S CD = ，ABD ACD S AB DE AB S AC DF AC⨯==⨯ ，即AB DB AC DC =（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则AB DB AC DC=．证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BD ，则△ACD ≌△AED （SAS ），CD=ED 且AD 平分∠BDE ，则DB AB DE AE =，即AB DB AC DC=．接下来开始证明步骤：如图，PA ：PB=k ，作∠APB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，MA PA k MB PB ==，故M 点为定点，即∠APB 的角平分线交AB 于定点；作∠APB 外角平分线交直线AB 于N 点，根据外角平分线定理，NA PA k NB PB==，故N 点为定点，即∠APB 外角平分线交直线AB 于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以MN为直径的圆．法二：建系不妨将点A 、B 两点置于x 轴上且关于原点对称，设A （-m ，0），则B （m ，0），设P （x ，y ），PA=kPB ，即：()()()()()()22222222222222222122102201x m y k x m k y kx y m k m x k m m k m x y x m k ++=-+-+-++-=++-+=-解析式满足圆的一般方程，故P 点所构成的图形是圆，且圆心与AB 共线．那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB 的最小值为__________．【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ，此处P 点轨迹是圆，故转化方法与之前有所不同，如下，提供两种思路．法一：构造相似三角形注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB 最小值，直接连BM 即可．【问题剖析】（1）这里为什么是12PA ？答：因为圆C 半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是12PA ，也只能构造12PA ．（2）如果问题设计为PA+kPB 最小值，k 应为多少？答：根据圆C 半径与CB 之比为2:3，k 应为23．【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．法二：阿氏圆模型对比一下这个题目的条件，P 点轨迹是圆，A 是定点，我们需要找出另一个定点M 使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A 的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！P 点轨迹圆的圆心C 点和A 点在直线AC 上，故所求M 点在AC 边上，考虑到PM ：PA=1:2，不妨让P 点与D 点重合，此时DM=12DA =1，即可确定M 点位置．如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦满足PM:PA=1:2．【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M 点位置，虽不够严谨，却很实用．【练习1】如图，在ABC ∆中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是．【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故求23AD BD +最小值即可．考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23AD ，条件已经足够明显．当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在23DM DA =．问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，BM 长度的3倍即为本题答案．【练习2】如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，则12PD PC的最大值为_______．【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=2，根据题意要求构造12PC，在BC上取M使得此时PM=1，则在点P运动的任意时刻，均有PM=12PC，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值．。
阿氏圆最值模型
阿氏圆最值模型阿氏圆最值模型的提出和发展，是对一系列极值问题进行形式化、抽象化的产物。
在这个模型中，我们希望找到一些变量的取值，使得某个函数取得最大值或最小值。
然而，由于一些约束条件的存在，这些极值问题通常会变得非常复杂，难以直接求解。
阿氏圆最值模型的出现，为这类问题的求解提供了一种新的途径。
阿氏圆最值模型的核心思想是将原始的极值问题，通过适当的变量替换和转化，转化为阿氏圆最值问题。
这样一来，原始的问题就可以转化为阿氏圆上的问题。
由于阿氏圆具有一些独特的性质，比如对称性、直径定理等，因此可以利用这些性质来简化问题，进而求解。
阿氏圆最值模型的求解思路是比较清晰的。
首先，我们需要将原始的极值问题转化为阿氏圆上的问题，即找到一种变换，将原始问题转化为阿氏圆的问题。
其次，我们需要利用阿氏圆的性质来简化问题，比如利用对称性或直径定理等。
最后，我们需要重新转化回原始问题，找到变量的取值，使得原函数取得最大值或最小值。
要成功应用阿氏圆最值模型，需要具备一定的数学功底和分析能力。
首先，我们需要对阿氏圆的性质有一定的了解，比如对称性、直径定理等。
其次，我们需要具备将原始问题转化为阿氏圆问题的能力，这需要一定的数学技巧和灵活性。
最后，我们需要有足够的耐心和毅力去解决复杂的阿氏圆最值问题。
阿氏圆最值模型广泛应用于各个领域。
在经济学中，它常被用来解决一些最优化问题，如最大利润、最低成本等。
在管理学中，它可以帮助管理者做出最优决策，比如最大化市场份额、最小化生产成本等。
在医学中，它可以帮助医生做出最优治疗方案，最大化治疗效果，最小化副作用等。
在实际应用中，阿氏圆最值模型通常都需要借助计算机软件进行求解，比如MATLAB、Python等。
这些软件提供了强大的数学求解能力，可以帮助我们迅速求解复杂的阿氏圆最值问题。
因此，对于应用阿氏圆最值模型的人来说，熟练运用这些软件也是非常重要的。
总的来说，阿氏圆最值模型是一种重要的数学模型，它为一些复杂的最值问题的求解提供了一种新的途径。
最值系列之阿氏圆问题
最值系列之阿氏圆问题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．下给出证明法一：首先了解两个定理（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则AB DB AC DC =．证明：ABD ACD S BD S CD = ，ABD ACD S AB DE AB S AC DF AC⨯==⨯ ，即AB DB AC DC =（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则AB DB AC DC=．证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BD ，则△ACD ≌△AED （SAS ），CD=ED 且AD 平分∠BDE ，则DB AB DE AE =，即AB DB AC DC=．接下来开始证明步骤：如图，PA ：PB=k ，作∠APB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，MA PA k MB PB ==，故M 点为定点，即∠APB 的角平分线交AB 于定点；作∠APB 外角平分线交直线AB 于N 点，根据外角平分线定理，NA PA k NB PB==，故N 点为定点，即∠APB 外角平分线交直线AB 于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以MN为直径的圆．法二：建系不妨将点A 、B 两点置于x 轴上且关于原点对称，设A （-m ，0），则B （m ，0），设P （x ，y ），PA=kPB ，即：()()()()()()22222222222222222122102201x m y k x m k y kx y m k m x k m m k m x y x m k ++=-+-+-++-=++-+=-解析式满足圆的一般方程，故P 点所构成的图形是圆，且圆心与AB 共线．那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB 的最小值为__________．【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ，此处P 点轨迹是圆，故转化方法与之前有所不同，如下，提供两种思路．法一：构造相似三角形注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB 最小值，直接连BM 即可．【问题剖析】（1）这里为什么是12PA ？答：因为圆C 半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是12PA ，也只能构造12PA ．（2）如果问题设计为PA+kPB 最小值，k 应为多少？答：根据圆C 半径与CB 之比为2:3，k 应为23．【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．法二：阿氏圆模型对比一下这个题目的条件，P 点轨迹是圆，A 是定点，我们需要找出另一个定点M 使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A 的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！P 点轨迹圆的圆心C 点和A 点在直线AC 上，故所求M 点在AC 边上，考虑到PM ：PA=1:2，不妨让P 点与D 点重合，此时DM=12DA =1，即可确定M 点位置．如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦满足PM:PA=1:2．【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M 点位置，虽不够严谨，却很实用．【练习1】如图，在ABC ∆中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是．【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故求23AD BD +最小值即可．考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23AD ，条件已经足够明显．当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在23DM DA =．问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，BM 长度的3倍即为本题答案．【练习2】如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，则12PD PC的最大值为_______．【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=2，根据题意要求构造12PC，在BC上取M使得此时PM=1，则在点P运动的任意时刻，均有PM=12PC，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值．。
初中数学最值系列之阿氏圆问题
最值系列之阿氏圆问题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB ”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k ≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．下给出证明法一：首先了解两个定理（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则AB DBAC DC=． FEDCBA证明：ABD ACDS BD SCD =，ABD ACDS AB DE AB SAC DF AC ⨯==⨯，即AB DBAC DC=（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则AB DBAC DC=． ABCDE证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BD ，则△ACD ≌△AED （SAS ），CD=ED 且AD 平分∠BDE ，则DB AB DE AE =，即AB DBAC DC=．接下来开始证明步骤：如图，PA ：PB=k ，作∠APB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，MA PAk MB PB==，故M 点为定点，即∠APB 的角平分线交AB 于定点；作∠APB 外角平分线交直线AB 于N 点，根据外角平分线定理，NA PAk NB PB==，故N 点为定点，即∠APB 外角平分线交直线AB 于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以MN 为直径的圆．法二：建系不妨将点A 、B 两点置于x 轴上且关于原点对称，设A （-m ，0），则B （m ，0），设P （x ，y ），PA=kPB，即：()()()()()()22222222222222222122102201x m y k x m k y kx y m k m x k m m k mx y x m k ++=-+-+-++-=++-+=-解析式满足圆的一般方程，故P 点所构成的图形是圆，且圆心与AB 共线．那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB 的最小值为__________．EABC DP【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ，此处P 点轨迹是圆，故转化方法与之前有所不同，如下，提供两种思路．法一：构造相似三角形注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB 最小值，直接连BM 即可．【问题剖析】（1）这里为什么是12PA答：因为圆C 半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是12PA ，也只能构造12PA ．（2）如果问题设计为PA+kPB 最小值，k 应为多少？ 答：根据圆C 半径与CB 之比为2:3，k 应为23．【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．法二：阿氏圆模型对比一下这个题目的条件，P 点轨迹是圆，A 是定点，我们需要找出另一个定点M 使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！已知PA 、圆确定PB已知PA 、PB 之比确定圆而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A 的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！P 点轨迹圆的圆心C 点和A 点在直线AC 上，故所求M 点在AC 边上，考虑到PM ：PA=1:2，不妨让P 点与D 点重合，此时DM=12DA =1，即可确定M 点位置．如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦满足PM:PA=1:2．【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M 点位置，虽不够严谨，却很实用．【练习1】如图，在ABC ∆中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是 ．ABCD【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故求23AD BD +最小值即可．考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23AD ，条件已经足够明显．当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在23DM DA =．问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，BM 长度的3倍即为本题答案．【练习2】如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，则12PD PC的最大值为_______．AB CDP【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=2，根据题意要求构造12PC，在BC上取M使得此时PM=1，则在点P运动的任意时刻，均有PM=12PC，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值．。
阿氏圆最值模型
中考数学几何模型：阿氏圆最值模型在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．【模型来源】“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图所示，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.A B P O【模型建立】如图1 ，⊙O 的半径为R，点A、B 都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知R=25OB，连接PA、PB，则当“PA+25PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？解决办法：如图2所示，在线段OB 上截取OC使OC=25R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有25PB=PC。
故本题求“PA+25PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。
【技巧总结】计算PA k PB +的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P 使得PA k PB +的值最小，解决步骤具体如下： 1. 如图所示，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP ，OB2. 计算出这两条线段的长度比OPk OB = 3. 在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM ∽△BOP ，则PCk PB=，PC k PB =4. 则=PA k PB PA PC AC ++≥，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值例题1. 如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB +的最小值为__________．EABC DP变式练习>>>1．如图1所示，在RT △ABC 中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C 的半径为2，点P 为圆上一动点，连接AP ,BP ， 求①BP AP 21+，②BP AP +2，③BP AP +31，④BP AP 3+的最小值. EABC DPEABC DP例题2. 如图所示，点C 坐标为(2,5)，点A 的坐标为(7,0)，⊙C 的半径为10,点B 在⊙C 上一动点，AB OB 55+的最小值为________.变式练习>>>2．如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，A(6,-1)，M(4,4)，以M 为圆心，22为半径画圆，O 为原点，PAB CDP是⊙M 上一动点，则PO+2PA 的最小值为________.例题3. 如图所示，半圆的半径为1，AB 为直径，AC 、BD 为切线，AC ＝1，BD ＝2，P 为上一动点，求PC +PD 的最小值．变式练习>>>3．如图所示，四边形ABCD 为边长为4的正方形，⊙B 的半径为2，P 是⊙B 上一动点，则PD +PC 的最小值为 ；PD +4PC 的最小值为 ．例题4. 如图所示，已知正方ABCD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC的最大值为_______．变式练习>>>4．（1）如图1所示，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．图1 图2例题5. 如图所示，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣1 2 x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求12AM+CM它的最小值．变式练习>>>5．如图1所示，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．当堂训练1. 如图所示，在RT △ABC 中，∠B=90°，AB=CB=2，以点B 为圆心作圆与AC 相切，圆C 的半径为2，点P 为圆B 上的一动点，则PC AP 22+的最小值________.2. 如图所示，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O ，P 是⊙O 上一动点，则2PA+PB 的最小值为________.3. 如图所示，等边△ABC 的边长为6，内切圆记为⊙O ，P 是⊙O 上一动点，则2PB+PC 的最小值为________.4. 如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CA=3，CB=4，C 的半径为2，点P 是C 上的一动点，则12AP PB +的最小值为？5. 如图所示，在平面直角坐标系中，()2,0A ，()0,2B ，()4,0C ，()3,2D ，P 是△AOB 外部第一象限内的一动点，且∠BPA=135°，则2PD PC +的最小值是多少？。
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几何模型:阿氏圆最值模型【模型来源】“阿氏圆"又称为“阿波罗尼斯圆”,如下图,已知A、B两点,点P满足PA:PＢ=k(k≠1),则满足条件得所有得点Ｐ得轨迹构成得图形为圆。
这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称“阿氏圆"。
A BPO【模型建立】如图1 所示,⊙O 得半径为Ｒ,点A、B 都在⊙O外,P为⊙O上一动点,已知R=OB,连接PA、PＢ,则当“ＰA+PB”得值最小时,P 点得位置如何确定？解决办法:如图2,在线段OB 上截取ＯC使ＯＣ=Ｒ,则可说明△ＢPＯ与△ＰCＯ相似,则有ＰB=PC。
故本题求“PA＋ＰB”得最小值可以转化为“ＰA+ＰC”得最小值,其中与A与C为定点,P为动点,故当A、P、C 三点共线时,“PＡ＋ＰＣ”值最小。
【技巧总结】计算得最小值时,利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题:在圆上找一点P使得得值最小,解决步骤具体如下:1.如图,将系数不为1得线段两端点与圆心相连即OP,OB2.计算出这两条线段得长度比3.在ＯB上取一点C,使得,即构造△POM∽△BOP,则,4.则,当A、P、C三点共线时可得最小值典题探究启迪思维探究重点例题1、如图,在Rｔ△ABC中,∠Ｃ=90°,AＣ=4,BC=3,以点C为圆心,２为半径作圆Ｃ,分别交AC、BＣ于D、Ｅ两点,点P就是圆C上一个动点,则得最小值为________＿＿。
EABCDPMPDC BA【分析】这个问题最大得难点在于转化,此处P点轨迹就是圆,注意到圆Ｃ半径为2,ＣA=4,连接CP,构造包含线段AＰ得△CPA,在ＣＡ边上取点M使得CＭ＝2,连接ＰM,可得△CPＡ∽△CMP,故PA:ＰＭ＝2:1,即PM=.问题转化为PM+ＰＢ≥ＢＭ最小值,故当B,Ｐ,M三点共线时得最小值,直接连BM即可得.变式练习〉＞>1.如图1,在RＴ△AＢＣ中,∠ＡCＢ=９0°,CＢ＝４,CA=6,圆C得半径为2,点Ｐ为圆上一动点,连接AP,BP,求①,②,③,④得最小值。
[答案]:①＝,②=２,③=,④=.例题２。
如图,点C坐标为(2,5),点A得坐标为(７,0),⊙C得半径为,点B在⊙C上一动点,得最小值为_＿_＿_＿_＿、[答案］:５、变式练习>＞＞２。
如图,在平面直角坐标系xoy中,A(６,—1),M(４,４),以M为圆心,为半径画圆,Ｏ为原点,P就是⊙Ｍ上一动点,则ＰO+2PA得最小值为_____＿__、［答案］:10.例题3。
如图,半圆得半径为1,AB为直径,ＡC、ＢD为切线,AC=1,BD＝2,P为上一动点,求PC+PD得最小值.【解答】解:如图当A、P、D共线时,PC+PD最小.理由:连接PB、CＯ,AＤ与ＣO交于点M,∵AB=BD=４,ＢＤ就是切线,∴∠ABD=９0°,∠BAD=∠Ｄ=45°,∵AB就是直径,∴∠AＰB=90°,∴∠P AB=∠PBA＝4５°,∴P A＝PB,PO⊥AB,∵ＡＣ＝PO=２,AC∥PＯ,∴四边形AOPＣ就是平行四边形,∴OA=ＯP,∠AOＰ＝90°,∴四边形AOPC就是正方形,∴PＭ＝PＣ,∴ＰC+PD＝PM+ＰＤ=DM,∵DM⊥CO,∴此时PＣ+DP最小＝AD﹣AM＝2﹣=、变式练习>>>３.如图,四边形AＢＣD为边长为4得正方形,⊙B得半径为2,Ｐ就是⊙Ｂ上一动点,则ＰD＋ＰC得最小值为5;PD+４PＣ得最小值为10.【解答】解:①如图,连接PB、在BＣ上取一点E,使得ＢE＝1.∵PB2=4,BE•BC＝4,∴PB2＝ＢE•ＢＣ,∴＝,∵∠PBE＝∠CBＥ,∴△PBE∽△CＢE,∴=＝,∴PＤ＋PC=PD+PＥ,∵PE+PD≤DE,在Rt△DCE中,DE＝＝5,∴PD+PＣ得最小值为5.②连接DB,PB,在BD上取一点E,使得BE＝,连接EＣ,作ＥF⊥BC于F。
∵PB２=4,BE•ＢD＝×4＝4,∴BP2＝BE•BD,∴＝,∵∠PＢE=∠PBD,∴△PBE∽△DＢP,∴＝＝,∴ＰE=PD,∴ＰD＋4PC=4(PD+PC)=4(PＥ+PＣ),∵PE＋PC≥EC,在Ｒｔ△EＦC中,ＥF=,FC=,∴EＣ=,∴ＰD＋４PC得最小值为10。
故答案为5,１０、例题４. 如图,已知正方AＢCD得边长为6,圆B得半径为３,点P就是圆Ｂ上得一个动点,则得最大值为_＿＿_＿__.【分析】当Ｐ点运动到BC边上时,此时PＣ＝3,根据题意要求构造,在ＢC上取M使得此时PＭ＝,则在点P 运动得任意时刻,均有PM＝,从而将问题转化为求ＰD－PＭ得最大值、连接PD,对于△PDＭ,PD—PM〈DM,故当D、Ｍ、P共线时,PD—PM=DM为最大值.变式练习＞＞>4.(1)如图1,已知正方形AＢCD得边长为9,圆B得半径为6,点P就是圆B上得一个动点,那么PＤ+得最小值为,PD﹣得最大值为。
(２)如图２,已知菱形ABCD得边长为４,∠Ｂ＝６0°,圆B得半径为２,点P就是圆B上得一个动点,那么PD+得最小值为,PＤ﹣得最大值为。
图1 图2【解答】解:(１)如图3中,在ＢC上取一点G,使得BＧ=4。
∵＝＝,＝=,∴＝,∵∠PBG＝∠PBC,∴△PＢＧ∽△CBＰ,∴＝＝,∴ＰG=PC,∴PD+PC＝ＤP+ＰG,∵DP＋ＰG≥DG,∴当D、G、P共线时,ＰD+PC得值最小,最小值为ＤG==.∵PD﹣PC＝PＤ﹣PG≤DG,当点Ｐ在DG得延长线上时,PD﹣PＣ得值最大,最大值为ＤG=.故答案为,(2)如图4中,在BC上取一点G,使得BG=1,作DF⊥BC于F。
∵=＝2,＝＝２,∴=,∵∠ＰBG＝∠PBC,∴△ＰBＧ∽△CBP,∴＝=,∴ＰG=PC,∴PＤ+ＰC=ＤＰ+PG,∵DP+ＰＧ≥DG,∴当D、Ｇ、P共线时,PD+PC得值最小,最小值为DG,在Rｔ△CＤF中,∠DCＦ＝60°,CＤ=４,∴ＤF＝CD•sｉn60°=2,CF=2,在Rt△GDF中,DG==∵PD﹣PＣ＝PD﹣PG≤DＧ,当点P在DG得延长线上时,PＤ﹣PＣ得值最大(如图2中),最大值为ＤG＝。
故答案为,、例题5。
如图,抛物线ｙ=﹣x2+bx＋ｃ与直线AB交于A(﹣４,﹣4),Ｂ(0,４)两点,直线AC:ｙ=﹣x﹣6交ｙ轴于点C.点E就是直线AB上得动点,过点E作EF⊥ｘ轴交AC于点F,交抛物线于点Ｇ.(１)求抛物线ｙ＝﹣x2＋bｘ+c得表达式;(2)连接GB,EO,当四边形GEOＢ就是平行四边形时,求点G得坐标;(3)①在y轴上存在一点Ｈ,连接ＥＨ,HF,当点E运动到什么位置时,以A,E,Ｆ,Ｈ为顶点得四边形就是矩形?求出此时点E,H得坐标;②在①得前提下,以点Ｅ为圆心,EH长为半径作圆,点M为⊙E上一动点,求ＡM+CM它得最小值.【解答】解:(1)∵点A(﹣４,﹣4),B(0,4)在抛物线ｙ=﹣x2+bx+c上,∴,∴,∴抛物线得解析式为y=﹣ｘ２﹣2x+4;(２)设直线AＢ得解析式为y=kx＋ｎ过点A,B,∴,∴,∴直线AＢ得解析式为y=2x+4,设E(m,2m＋4),∴G(ｍ,﹣ｍ２﹣２m+４),∵四边形GEＯB就是平行四边形,∴EG=OＢ=4,∴﹣ｍ2﹣2m+4﹣2ｍ﹣4=4,∴m=﹣2,∴G(﹣２,４);(3)①如图1,由(2)知,直线ＡＢ得解析式为y=2x+4,∴设E(a,２a+４),∵直线ＡC:y=﹣x﹣6,∴F(a,﹣a﹣6),设H(0,p),∵以点A,E,F,H为顶点得四边形就是矩形,∵直线ＡＢ得解析式为y=2x＋４,直线ＡＣ:y=﹣x﹣6,∴AB⊥ＡＣ,∴EF为对角线,∴(﹣4＋０)＝(a＋a),(﹣4+p)=(2a＋4﹣a﹣6),∴a=﹣2,P=﹣1,∴Ｅ(﹣2,０).H(０,﹣1);②如图2,由①知,E(﹣2,0),H(０,﹣1),A(﹣4,﹣4),∴EH=,AE=2,设AE交⊙Ｅ于Ｇ,取EG得中点P,∴ＰＥ=,连接PC交⊙E于M,连接ＥM,∴ＥM=EH=,∴=,∵＝,∴=,∵∠PEM=∠MEA,∴△PEM∽△ＭEＡ,∴=,∴PM=AＭ,∴AM+CＭ得最小值=PＣ,设点Ｐ(p,2p＋4),∵E(﹣２,0),∴PE2=(ｐ＋２)2+(2p+4)２＝5(ｐ＋２)2,∵PE=,∴5(p+2)2=,∴p＝或p＝﹣(由于Ｅ(﹣２,０),所以舍去),∴P(,﹣１),∵C(0,﹣6),∴PC=＝,即:AＭ+CM＝.变式练习＞＞〉5、如图1,抛物线y=ax2＋(ａ＋3)x+３(a≠0)与x轴交于点A(4,0),与ｙ轴交于点B,在x轴上有一动点Ｅ(m,0)(０<m＜4),过点E作ｘ轴得垂线交直线ＡB于点N,交抛物线于点P,过点Ｐ作PM⊥AB于点Ｍ.(１)求ａ得值与直线AＢ得函数表达式;(2)设△PMN得周长为C1,△AＥＮ得周长为C2,若＝,求m得值;(3)如图2,在(２)条件下,将线段OE绕点Ｏ逆时针旋转得到ＯE′,旋转角为α(0°<α〈９0°),连接E′A、Ｅ′B,求Ｅ′A+E′B得最小值.【解答】解:(１)令ｙ＝０,则ax2＋(a＋３)x+３=0,∴(x+１)(ax＋3)＝0,∴x＝﹣1或﹣,∵抛物线y=ax2＋(a+3)x+3(a≠０)与ｘ轴交于点A(4,0),∴﹣=4,∴ａ=﹣。
∵Ａ(4,0),B(0,3),设直线AB解析式为ｙ=kｘ+b,则,解得,∴直线AＢ解析式为y=﹣x＋3.(2)如图１中,∵ＰM⊥AB,ＰＥ⊥OA,∴∠PMN=∠ＡEＮ,∵∠PＮM＝∠ANE,∴△ＰＮM∽△ANＥ,∴＝,∵ＮE∥OＢ,∴=,∴ＡN＝(4﹣ｍ),∵抛物线解析式为ｙ＝﹣x2＋x＋３,∴PN＝﹣ｍ2+m+3﹣(﹣m+3)＝﹣m2+3ｍ,∴=,解得m=２、(3)如图2中,在y轴上取一点M′使得OM′=,连接AM′,在AM′上取一点E′使得ＯＥ′=OE.∵OＥ′=２,OM′•ＯB=×３＝４,∴OE′2=OＭ′•OB,∴=,∵∠BＯE′=∠M′OE′,∴△Ｍ′OE′∽△E′OB,∴＝=,∴M′E′=ＢＥ′,∴AＥ′+BE′=AE′+E′Ｍ′=ＡＭ′,此时AE′+BE′最小(两点间线段最短,A、M′、E′共线时),最小值=ＡＭ′＝=.达标检测领悟提升强化落实1。
如图,在RT△AＢC中,∠B=９0°,ＡB＝CB＝2,以点B为圆心作圆与AC相切,圆C得半径为,点P为圆B上得一动点,求得最小值.[答案］:、2。
如图,边长为4得正方形,内切圆记为⊙O,Ｐ就是⊙O上一动点,则PA+PB得最小值为___＿____、［答案]:、3.如图,等边△ABＣ得边长为6,内切圆记为⊙O,P就是⊙Ｏ上一动点,则2PB＋PＣ得最小值为＿＿______.［答案］:。