最优化方法四种类型题目
运筹学与最优化方法习题集
一．单纯性法1.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）122121212max 25156224..5,0z x x x x x s t x x x x =+≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩ 2.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）12121212max 2322..2210,0z x x x x s t x x x x =+-≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩ 3.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）1234123412341234max 24564282..2341,,,z x x x x x x x x s t x x x x x x x x =-+-+-+≤⎧⎪-+++≤⎨⎪≥⎩4.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）123123123123123max 2360210..20,,0z x x x x x x x x x s t x x x x x x =-+++≤⎧⎪-+≤⎪⎨+-≤⎪⎪≥⎩ 5.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）12312312123max 224..26,,0z x x x x x x s t x x x x x =-++++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩6.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）121212max 105349..528z x x x x s t x x =++≤⎧⎪+≤⎨7.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 16 分）12121212max 254212..3218,0z x x x x s t x x x x =+≤⎧⎪≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩二．对偶单纯性法1.灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共 15 分） 12121212max 62..33,0z x x x x s t x x x x =++≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩ 2.灵活利用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）121212212max 3510501..4,0z x x x x x x s t x x x =++≤⎧⎪+≥⎪⎨≤⎪⎪≥⎩ 3.用对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）1212121212min 232330210..050z x x x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪+≥⎪⎪-≥⎨⎪≥⎪⎪≥⎩4.灵活运用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）124123412341234min 26..2335,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x x =+-+++≤⎧⎪-+-≥⎨⎪≥⎩5.运用对偶单纯形法解下列问题（共 16 分）12121212max 24..77,0z x x x x s t x x x x =++≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩ 6.灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共 15 分）12121212max 62..33,0z x x x x s t x x x x =++≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩三．0-1整数规划1.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共 10 分）12345123451234512345123345max 567893223220..32,,,,,01z x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x or =++++-++-≥⎧⎪+--+≥⎪⎨--+++≥⎪⎪=⎩2.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共 10 分）12312312323123min 4322534433..1,,01z x x x x x x x x x s t x x x x x or =++-+≤⎧⎪++≥⎪⎨+≥⎪⎪=⎩ 3.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共 10 分）1234512345123451234512345max 20402015305437825794625..81021025,,,,01z x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =++++++++≤⎧⎪++++≤⎪⎨++++≤⎪⎪=⎩或4.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共 10 分）12345123451234512345max 2534327546..2420,,,,01z x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =-+-+-+-+≤⎧⎪-+-+≤⎨⎪=⎩或 5.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共 10 分）12341234123412341234min 25344024244..1,,,01z x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x =+++-+++≥⎧⎪-+++≥⎪⎨+-+≥⎪⎪=⎩或6.7.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共 10 分）123451234513451245max 325232473438..116333z x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x =+--+++++≤⎧⎪+-+≤⎪⎨-+-≥⎪⎪ 1231231231223max 3252244..346z x x x x x x x x x s t x x x x =-++-≤⎧⎪++≤⎪⎪+≤⎨⎪+≤⎪1.利用库恩-塔克（K -T ）条件求解以下问题（共 15 分）22121122121212max ()104446..418,0f X x x x x x x x x s t x x x x =+-+-+≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩2.利用库恩-塔克（K -T ）条件求解以下非线性规划问题。
最优化方法(试题+答案)
一、 填空题1.若()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212121312112)(x x x x x x x f ，则=∇)(x f ，=∇)(2x f .2.设f 连续可微且0)(≠∇x f ，若向量d 满足 ，则它是f 在x 处的一个下降方向。
3.向量T)3,2,1(关于3阶单位方阵的所有线性无关的共轭向量有 . 4. 设R R f n →:二次可微，则f 在x 处的牛顿方向为 . 5.举出一个具有二次终止性的无约束二次规划算法： .6.以下约束优化问题：)(01)(..)(min 212121≥-==+-==x x x g x x x h t s x x f的K-K-T 条件为：. 7.以下约束优化问题：1..)(min 212221=++=x x t s x x x f的外点罚函数为（取罚参数为μ） .二、证明题（7分+8分）1.设1,2,1,:m i R R g n i =→和m m i R R h ni ,1,:1+=→都是线性函数，证明下面的约束问题：},,1{,0)(},1{,0)(..)(min 1112m m E j x h m I i x g t s x x f j i nk k+=∈==∈≥=∑=是凸规划问题。
2.设R R f →2:连续可微，n i R a ∈，R h i ∈，m i ,2,1=，考察如下的约束条件问题：},1{,0}2,1{,0..)(min 11m m E i b x a m I i b x a t s x f i T i i Ti +=∈=-=∈≥-设d 是问题1||||,0,0..)(min ≤∈=∈≥∇d E i d a Ii d a t s d x f Ti Ti T的解，求证：d 是f 在x 处的一个可行方向。
三、计算题（每小题12分）1.取初始点T x )1,1()0(=.采用精确线性搜索的最速下降法求解下面的无约束优化问题（迭代2步）：22212)(m in x x x f +=2.采用精确搜索的BFGS 算法求解下面的无约束问题：21222121)(min x x x x x f -+=3.用有效集法求解下面的二次规划问题：.0,001..42)(min 2121212221≥≥≥+----+=x x x x t s x x x x x f4.用可行方向算法（Zoutendijk 算法或Frank Wolfe 算法）求解下面的问题（初值设为)0,0()0(=x,计算到)2(x 即可)：.0,033..221)(min 21211222121≥≥≤+-+-=x x x x t s x x x x x x f参考答案一、填空题 1. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++3421242121x x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛4224 2. 0)(<∇d x f T3. T)0,1,2(-，T)1,0,3(-（答案不唯一）。
最优化方法习题答案
s.t.3x1 2x2 6 x1, x2 , x3 0
解：引入剩余变量 x 4 , x5 和人工变量 x6 , x7 ,利用两阶段法得到辅助线性规划 max w x6 x7 max z' 2x1 3x2 x3
400 件，售货 600 件，五月份进货 500 件，售货 600 件，六月份进货 600 件售货 600 件时， 最大利润为 6100 元。
1.6 设市场上可买到 n 种不同的食品，第 j 种食品的单位售价为 c j ，每种食品含有 m 种基本 营养成分，第 j 种食品每一个单位含第 i 种营养成分为 aij ，每人每天对第 i 种营养成分的需 要量不少于 bi ，试确定在保持营养成分要求条件下的最经济食谱。
⑤因为 p2 , p4 线性相关， x 2 , x 4 不能构成基变量；
⑥因为 p3, p4 线性无关，可得基解 x(6) (0,0,1,1) ， z6 3 ；
所以 x(2) , x(4) , x(6) 是原问题的基可行解， x(6) 是最优解，最优值是 z 3 。
（2） max z x1 x2 2x3 x4 x5
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
z'
5
0
1
4
2
w
5
0
-1
2
x2
1 4
1
1 2
x7
5 2
0
-1
3
0
4
3
0
4
1
-1
3
0
2
2
-1
0
1
0
2
4
最优化方法习题答案
最优化方法习题答案最优化方法习题答案最优化方法是数学中一门重要的学科，它研究如何找到使函数取得最大值或最小值的方法。
在实际问题中，最优化方法被广泛应用于经济学、工程学、管理学等领域。
本文将为读者提供一些最优化方法习题的答案，希望能够帮助读者更好地理解和应用这一学科。
一、单变量函数的最优化问题1. 求函数f(x) = x^2 - 2x + 1在区间[0, 3]上的最小值。
解：首先，我们需要找到函数f(x)的驻点。
计算f'(x) = 2x - 2，并令其等于零，得到x = 1。
然后，我们计算f''(x) = 2，发现在x = 1处，f''(x)大于零，说明该点是函数的极小值点。
接下来，我们需要检查区间的端点和驻点，找到函数f(x)在这些点的函数值。
f(0) = 1，f(1) = 0，f(3) = 4。
由于f(1)是最小的函数值，因此函数f(x)在区间[0, 3]上的最小值为0。
2. 求函数f(x) = e^x - 2x在整个实数轴上的最小值。
解：首先，我们计算f'(x) = e^x - 2，并令其等于零，得到x = ln(2)。
然后，我们计算f''(x) = e^x，发现在x = ln(2)处，f''(x)大于零，说明该点是函数的极小值点。
接下来，我们需要检查整个实数轴上的函数值。
由于函数f(x)在x趋近负无穷大时趋于负无穷大，而在x趋近正无穷大时趋于正无穷大，因此函数f(x)在整个实数轴上没有最小值。
二、多变量函数的最优化问题1. 求函数f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y在闭区域D={(x, y)|0≤x≤2, 0≤y≤3}上的最小值。
解：首先，我们需要找到函数f(x, y)的驻点。
计算f_x(x, y) = 2x - 2和f_y(x, y) = 2y - 4，并令它们同时等于零，得到x = 1和y = 2。
最优化方法(试题+答案)
1.若 ，则 ， .
2.设 连续可微且 ，若向量 满足，则它是 在 处的一个下降方向。
3.向量 关于3阶单位方阵的所有线性无关的共轭向量有.
4.设 二次可微，则 在 处的牛顿方向为.
5.举出一个具有二次终止性的无约束二次规划算法：.
6.以下约束优化问题：
的K-K-T条件为：
.
7.以下约束优化.证明：要证凸规划，即要证明目标函数是凸函数且可行域是凸集。
一方面，由于 二次连续可微， 正定，根据凸函数等价条件可知目标函数是凸函数。
另一方面，约束条件均为线性函数，若任意 可行域，则
故 ，从而可行域是凸集。
2.证明：要证 是 在 处的一个可行方向，即证当 ， 时， ，使得 ，
解此线性规划（作图法）得 ，于是 .由线性搜索
得 .因此， .重复以上计算过程得下表：
0
1
1
2
（注：范文素材和资料部分来自网络，供参考。请预览后才下载，期待你的好评与关注。）
2.采用精确搜索的BFGS算法求解下面的无约束问题：
3.用有效集法求解下面的二次规划问题：
4.用可行方向算法（Zoutendijk算法或Frank Wolfe算法）求解下面的问题（初值设为 ,计算到 即可)：
参考答案
一、填空题
1. 2. 3. ， （答案不唯一）。4.
5. 牛顿法、修正牛顿法等（写出一个即可）
0
1/2
1
2
2
3.解：取初始可行点 求解等式约束子问题
得解和相应的Lagrange乘子
转入第二次迭代。求解等式约束子问题
得解
令
转入第三次迭代。求解等式约束子问题
得解和相应的Lagrange乘子
最优化问题
最优化问题最优化问题(一)例1：一只平底锅上只能剪两只饼。
用它剪1只饼需要2分钟（正面、反面各1分钟）。
问剪3只饼需要几分钟？怎样剪？例2：6个人各拿一只水桶到水龙头接水。
水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟。
现在只有这一个水龙头可用，问怎样安排这6个人的打水次序，可使他们总的等候最短？这个最短时间是多少？例3：小红放学回家，想让爸爸、妈妈下班后就能吃上晚饭。
她准备做大米饭和炒鸡蛋。
小红家有两个炉灶。
估计一下，洗锅要用1分钟，淘米要用5分钟，做大米饭要用30分钟，打蛋要用1分钟，洗炒勺要用1分钟，烧油要1分钟，炒鸡蛋要3分钟。
你认为最合理的安排要几分钟能做好饭菜？例4：在公路上，每隔100千米有一个仓库，共有5个仓库。
1号仓库里有10吨货物，2号仓库里有20吨货物，5号仓库里有40吨货物，其余两个仓库都是空的。
现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，若每吨货物运输一千米要0.5元运输费，那么至少要花费多少元运费才行？例5：沿铁路有5个工厂，A，B，C，D，E（如图），各厂每天都有10吨货物要外运。
现在想建一座车站，使这5个工厂的货物运到车站的行程总和越小越好。
车站应建在何处？如果在E的右侧增加一个工厂，车站建在何处总行程最小呢？例6：在公路干线的附近，有5个工厂A，B，C，D，E（如图），各厂每天都有10吨货物要存库。
现在想在公路干线上建一座库房，使这5个工厂的货物运到库房的行程总和越小越好，库房应建在何处？例7：工地上有手推车20辆,其中10辆从A1到B1运垃圾,要60车次运完。
另外10辆从A2到B2运砖头，要40车次运完。
工地上的可行道路及路程如图（单位：米）所示。
有人说上面的安排不合理，因为跑空车的路程还可以更少些。
那么，怎样安排才算合理呢？【练习题】1、有7个满杯水、7个半杯水和7个空杯。
不许倒水，你能把这些东西平均分给3个人，使得每人有7只杯子和3杯半水吗？2、有8个人在交通事故中受伤，救援人员1人可以救护2人，而1辆救护车只可以坐4个人。
最优化方法试卷及答案5套
《最优化方法》1一、填空题：1．最优化问题的数学模型一般为：____________________________，其中___________称为目标函数，___________称为约束函数，可行域D 可以表示为_____________________________，若______________________________，称*x 为问题的局部最优解，若_____________________________________，称*x 为问题的全局最优解。
2．设f(x)= 212121522x x x x x +-+，则其梯度为___________，海色矩阵___________,令,)0,1(,)2,1(T T d x ==则f(x)在x 处沿方向d 的一阶方向导数为___________，几何意义为___________________________________,二阶方向导数为___________________，几何意义为____________________________________________________________。
3．设严格凸二次规划形式为：012..222)(min 2121212221≥≥≤+--+=x x x x t s x x x x x f则其对偶规划为___________________________________________。
24．求解无约束最优化问题：n R x x f ∈),(min ，设k x 是不满足最优性条件的第k 步迭代点，则：用最速下降法求解时，搜索方向k d =___________ 用Newton 法求解时，搜索方向k d =___________ 用共轭梯度法求解时，搜索方向k d =___________________________________________________________________________。
最优化问题的经典例题
最优化问题的经典例题经典优化问题：1. 函数最大值求解：该优化问题的目的是求解一个实变量函数的极大值。
设f(x)是定义在n 维上的实变量函数，x=(x1,x2,...xn)∈Rn，目标是求解f(x)取得极大值时，变量x的取值，即求解最优化问题：max f(x), x=(x1,x2,...xn)∈Rn2.函数最小值求解：定义有实变量函数f(x)，x=(x1,x2,...xn)∈Rn，目标是求解f(x)取得极小值时，变量x的取值，即求解最优化问题：min f(x), x=(x1,x2,...xn)∈Rn3.目标函数有约束条件的最小值求解：定义有实变量函数f(x)，x∈Rn，但是该最优化问题受到一些约束条件的限制，其中大多数为等式约束条件或不等式约束条件，由于这些约束条件，有效的搜索空间会降低，使得我们要求解的最优化问题：min f(x), x∈Rn s.t. gi(x)≤0 i=1,2,...m4. 多目标优化问题：多目标优化问题比单目标优化问题多了一层挑战，即优化多个不同的目标函数同时得到满足的最优解。
这样的最优化问题表示为：min f1(x), f2(x), ... fn(x) s.t. gi(x)≤0 i=1,2,...m5. 无约束优化问题：无约束优化问题即没有限制搜索空间的约束条件的最优化问题，它的典型形式为：min f(x) x∈Rn6. 非凸优化问题：非凸优化是传统最优化理论中最重要的部分，也是最具挑战性的部分，它指的是该函数在有效搜索区域中非全局凸函数，即函数有局部极小值或者极大值，所以常规解法在求解迭代过程中会陷入局部最优解，因而难以求解出真正的全局最优解。
一般的非凸优化问题表达如下：min f(x), x∈Rn。
最优化方法试题及答案
最优化方法试题及答案一、选择题1. 下列哪项不是最优化方法的特点？A. 目标性B. 可行性C. 多样性D. 随机性答案：D2. 在最优化问题中，约束条件的作用是什么？A. 限制解的可行性B. 增加问题的复杂性C. 提供额外的信息D. 以上都是答案：A3. 线性规划问题中，目标函数与约束条件之间的关系是什么？A. 无关B. 相等C. 线性D. 非线性答案：C二、简答题1. 简述最优化问题的基本构成要素。
答案：最优化问题的基本构成要素包括目标函数、决策变量、约束条件和解的可行性。
目标函数是衡量最优化问题解的质量的函数，决策变量是问题中需要确定的参数，约束条件是对决策变量的限制，解的可行性是指解必须满足所有约束条件。
2. 什么是局部最优解和全局最优解？请举例说明。
答案：局部最优解是指在问题的邻域内没有其他解比当前解更优的解，而全局最优解是指在整个解空间中最优的解。
例如，在山峰攀登问题中，局部最优解可能是到达了一个小山丘的顶部，而全局最优解是到达了最高峰的顶部。
三、计算题1. 假设一个农民有一块矩形土地，长为100米，宽为80米，他想在这块土地上建一个矩形的养鸡场，但只能沿着土地的长边布置。
如果养鸡场的一边必须靠在土地的长边上，另一边与土地的宽边平行，求养鸡场的最大面积。
答案：为了使养鸡场的面积最大，养鸡场的一边应该靠在土地的宽边上，另一边与土地的长边平行。
这样，养鸡场的长将是80米，宽将是100米，所以最大面积为80米 * 100米 = 8000平方米。
2. 一个工厂需要生产三种产品A、B和C，每种产品都需要使用机器X 和机器Y。
生产一个单位的产品A需要机器X工作2小时和机器Y工作1小时；产品B需要机器X工作3小时和机器Y工作2小时；产品C需要机器X工作1小时和机器Y工作3小时。
工厂每天有机器X总共300小时和机器Y总共200小时的使用时间。
如果工厂每天需要生产至少100单位的产品A，50单位的产品B和20单位的产品C，请问工厂应该如何安排生产以最大化产品的总产量？答案：设生产产品A的单位数为x，产品B的单位数为y，产品C的单位数为z。
最优化方法试卷及答案5套.docx
《最优化方法》1一、填空题:1. _______________________________________________________ 最优化问题的数学模型一般为：_____________________________________________ ,其中___________ 称为目标函数，___________ 称为约束函数，可行域D可以表示为_______________________________ ，若 ________________________________ ，称/为问题的局部最优解，若为问题的全局最优解。
2.设f(x)= 2斤+2“2-兀|+5花，则其梯度为__________ ^x = (l,2)r?6/ = (l,0)r,则f(x)在壬处沿方向d的一阶方向导数为___________ ，几何意义为_____________________________________ ，二阶方向导数为____________________ ,几何意义为_____________________________3.设严格凸二次规划形式为：min /(%) = 2兀］2 + 2x； - 2兀］-x2s.t. 2%! 4- x2 < 1> 0x2 > 0则其对偶规划为_______________________________________________min%（d ） = f （x k +ad k ）的最优步长为务=—叫）F.d kT Gd k2. （10分）证明凸规划min/（x ）,x G D （其中子（兀）为严格凸函数，D 是凸集）的最优解是唯一的3. （13分）考虑不等式约束问题min /（x ）s.t. c i （x ） < 0, Z G / = {1,2,…，加}其中/（x ）,6 （兀）a e /）具有连续的偏导数，设X 是约束问题的可行点，若在元处 d 满足巧（计<0,VC,（元）（可则d 是元处的可行下降方向。
最优化方法练习题问题详解
练习题一1、建立优化模型应考虑哪些要素? 答：决策变量、目标函数和约束条件。
2、讨论优化模型最优解的存在性、迭代算法的收敛性与停止准如此。
答：针对一般优化模型()()min ()..0,1,2, 0,1,,i j f x s t g x i m h x j p≥===，讨论解的可行域D ，假如存在一点*X D ∈，对于X D ∀∈均有*()()f X f X ≤如此称*X 为优化模型最优解，最优解存在；迭代算法的收敛性是指迭代所得到的序列(1)(2)(),,,K X X X ，满足(1)()()()K K f X f X +≤，如此迭代法收敛；收敛的停止准如此有(1)()k k x x ε+-<，(1)()()k k k x x xε+-<，()()(1)()k k f x f x ε+-<，()()()(1)()()k k k f x f x f x ε+-<，()()k f x ε∇<等等。
练习题二1、某公司看中了例中厂家所拥有的3种资源R 1、R2、和R 3，欲出价收购〔可能用于生产附加值更高的产品〕。
如果你是该公司的决策者，对这3种资源的收购报价是多少？〔该问题称为例的对偶问题〕。
解：确定决策变量对3种资源报价123,,y y y 作为本问题的决策变量。
确定目标函数问题的目标很清楚——“收购价最小〞。
确定约束条件资源的报价至少应该高于原生产产品的利润，这样原厂家才可能卖。
因此有如下线性规划问题：123min 170100150w y y y =++1231231235210..23518,,0y y y s t y y y y y y ++≥⎧⎪++≥⎨⎪≥⎩ *2、研究线性规划的对偶理论和方法〔包括对偶规划模型形式、对偶理论和对偶单纯形法〕。
答：略。
3、用单纯形法求解如下线性规划问题：〔1〕⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤++≤-++-=0,,43222..min32131321321321x x x x x x x x x x x t s x x x z ；〔2〕⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=+-=+-+-=)5,,2,1(052222..4min 53243232132 i x x x x x x x x x x t s x x z i解：〔1〕引入松弛变量x 4，x 5，x 6123456min 0*0*0*z x x x x x x =-++++12341232 =22 5 =3..13 6=41,2,3,4,5,60x x x x x x x x s t x x x x x x x x x +-+⎧⎪+++⎪⎨-++⎪⎪≥⎩因检验数σ2<0，故确定x 2为换入非基变量，以x 2的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x 4作为换出的基变量。
最优化方法习题答案
习题一1.1利用图解法求下列线性规划问题： （1）21x x z max +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≥+0x ,x 5x 2x 2x x 3.t .s 212121 解：根据条件，可行域为下面图形中的阴影部分，，有图形可知，原问题在A 点取得最优值，最优值z=5（2）21x 6x z min -=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤+0x ,x 7x x 1x x 2.t .s 212121 解：图中阴影部分表示可行域，由图可知原问题在点A 处取得最优值，最优值z=-6.（3）21x 2x 3z max +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-≤+-0x ,x 4x 2x 1x x .t .s 212121 解：如图所示，可行域为图中阴影部分，易得原线性规划问题为无界解。
（4）21x 5x 2z min -=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≥+0x ,x 2x x 6x 2x .t .s 212121 解：由图可知该线性规划可行域为空，则原问题无可行解。
1.2 对下列线性规划问题，找出所有的基解，基可行解，并求出最优解和最优值。
（1）4321x 6x 3x 2x 5z min -+-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+++=+++0x ,x ,x ,x 3x 2x x x 27x 4x 3x 2x .t .s 432143214321 解：易知1x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21p 1，2x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12p 2，3x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=13p 3，4x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=24p 4。
①因为21p ,p 线性无关，故有⎪⎩⎪⎨⎧--=+--=+43214321x 2x 3x x 2x 4x 37x 2x ，令非基变量为0x x 43==，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=311x 31x 21，所以得到一个基解)0,0,311,31(x )1(-=是非基可行解； ②因为31p ,p 线性无关，可得基解)0,511,0,52(x)2(=，543z 2=；③因为41p ,p 线性无关，可得基解611,0,0,31(x )3(-=，是非基可行解；④因为32p ,p 线性无关，可得基解)0,1,2,0(x )4(=，1z 4-=；⑤因为42p ,p 线性相关，42x ,x 不能构成基变量； ⑥因为43p ,p 线性无关，可得基解)1,1,0,0(x )6(=，3z 6-=；所以)6()4()2(x ,x ,x是原问题的基可行解，)6(x 是最优解，最优值是3z -=。
最优化方法试题
《最优化方法》试题一、 填空题1.设()f x 是凸集n S R ⊂上的一阶可微函数，则()f x 是S 上的凸函数的一阶充要条件是（ ），当n=2时，该充要条件的几何意义是（ ）；2.设()f x 是凸集n R 上的二阶可微函数，则()f x 是n R 上的严格凸函数（ ）（填‘当’或‘当且仅当’）对任意n x R ∈，2()f x ∇是（ ）矩阵；3.已知规划问题22211212121212min 23..255,0z x x x x x x s t x x x x x x ⎧=+---⎪--≥-⎨⎪--≥-≥⎩，则在点55(,)66T x =处的可行方向集为（ ），下降方向集为（ ）。
二、选择题1.给定问题222121212min (2)..00f x x s t x x x x ⎧=-+⎪⎪-+≤⎨⎪-≤⎪⎩，则下列各点属于K-T 点的是（ ）A) (0,0)T B) (1,1)TC) 1(,22T D) 11(,)22T 2.下列函数中属于严格凸函数的是（ ）A) 211212()2105f x x x x x x =+-+ B) 23122()(0)f x x x x =-<C) 2222112313()226f x x x x x x x x =+++- D) 123()346f x x x x =+- 三、求下列问题()22121212121211min 51022..2330420,0f x x x x x s t x x x x x x =+---≤+≤≥取初始点()0,5T。
四、考虑约束优化问题()221212min 4..3413f x x x s t x x =++≥用两种惩罚函数法求解。
五．用牛顿法求解二次函数222123123123()()()()f x x x x x x x x x x =-++-++++- 的极小值。
初始点011,1,22Tx ⎛⎫= ⎪⎝⎭。
《最优化方法》参考答案及评分标准
《最优化方法》参考答案及评分标准1. 某文教用品厂用原材料白坯纸生产原稿纸、日记本和练习本三种产品。
该厂现有工人100人，每月白坯纸供应量为30 000 kg.已知工人的劳动生产率为：每人每月可生产原稿纸30捆，或生产日记本30打，或练习本30箱。
已知原材料消耗为：每捆原稿纸用白坯纸133kg,每打日记本用白坯纸1133kg,每箱练习本用白坯纸2263kg.又知每生产一捆原稿纸可获利2元，生产一打日记本获利3元，生产一箱练习本获利1元。
试确定：(a)现有生产条件下获利最大的方案；(b)如白坯纸的供应数量不变，当工人数不足时可招收临时工，临时工工资支出为每人每月40元，则该厂要不要招收临时工，招多少临时工最合适？ 解：（a ）分别用123,,x x x 代表原稿纸、日记本和练习本的每月生产量。
(2分) 建立线性规划模型(4分)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++≤++++0,3000038034031010030/30/30/32max 32,1321321321x x x x x x x x x x x x （b ）临时工影子价格高于市场价格，故应招收。
用参数规划计算确定招200人为最适宜。
（5分）2. 求解下列产销平衡的运输问题，表中列出的为产地到销地之间的运价。
(1)用左上角法、最小元素法、沃格尔法求初始基本可行解。
(2)由上面所得的初始方案出发，应用表上作业法求最优方案，并比较初始方案需要的迭代次解：3. 用动态规划求解下面的问题解：（1）建立动态规划模型：①阶段变量k=1,2,3。
(1分) ②状态变量s k 表示第k 阶段初各决策变量之积，则s 3=27。
(1分) ③决策变量x k 分别表示第k 阶段的x 的值 (1分) ④状态转移方程s k+1=s k /x k 。
(1分) ⑤指标函数v k (s k ,x k )表示第k 阶段的总成本，即x 1+x 2+…+x k (1分)由已知可得k k k k x x s v =),((1分)⑥基本方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=++≤≤0)()}(),({max )(441160s f s f x s v s f k k k k k x k k k (2分) （2）用动态规划的正向或反向推理算法求解可得：（12分）()()9)(min 333321==x f x x x评分标准：以上的推理过程，每一阶段的计算正确得3分（共3个阶段），其中，列写出s 或x 的范围得1分，列写出决策表得1分，列写出最优决策表得1分，每出现一处错误，扣0.5分，至扣完本项分值为止。
最优化方法-习题
( x2 x1) f ( x 2) f ( x2) f ( x1)
三 、 设 f(x)=
2 1
“充分性” 由 则
x ，x
1
2
的任意性取
x = x 时，f( x )>f( x )
1
T 1 T T Qx b x c, Q Q 0 试 证 ： 共 轭 梯 度 法 的 线 性 搜 索 中 2x
3
*
T
f ( x)
x
2
1
2 x 2 2 x1 x2 4 x1 , x R
T
1、 给定问题
x
(1)
(1,1)
解：1）DFC 法 取初始对称矩阵
1 0 H1 0 1
第一次迭代：
x x x 2 x 6 x 14 x x x x 2 s.t. x 2 x 3 x 0, x 0, x 0 取初始点 x (1 ,1,0) ，用简约梯度法求其最优解
T
2) 因为 Q=
2 2 2 2 ,所以 |Q|= 2 6 =8>0 即可知 Q 是非奇异的 2 6 2 2 2 6
=8>0 ,所以 Q 是正定的,故 f(x)是正定的
f ( x1) (2,4,5)
3) 因为|2|>0,
2 d f ( x1) =(1,0,-1) 4 = -3<0 5
2 2
2
一、设 f(x)为定义在区间[a,b]上的实值函数，
2) f(x)=ln(
x1 + x x x 2 )
x1 x2 9 x3 , x1 6 x2 x3 2 , 9 x1 x2 )
最优化方法试卷
华东理工大学研究生《最优化方法》考试卷专业 ________ 班级 ________ 学号 ________ 姓名 ________ 成绩 ________2014年12月11日 一、简答题（40分，每小题4分）1．请写出最优化问题的一般模型形式。
2．试叙述局部最优解和全局最优解的定义。
3．请给出优化算法收敛速度的定义。
4．请给出优化算法的终止准则。
5．给出下降方向的定义和判别方法？ 6．简述下降迭代法的基本步骤。
7．何谓共轭方向？你知道由线性无关向量组构造共轭向量组的方法吗？ 8．最速下降法是最好的优化算法吗？为什么？ 9．何谓可行方向及如何判别？10．优化问题的最优解与可行下降方向有什么关系？二、（10分）试用最速下降法（梯度法）求解如下问题，初始点⎪⎪⎭⎫⎝⎛=110x ，只迭代一次，并判断迭代结果是否为最优解。
21222122)(min 2x x x x x f Rx -+=∈三、（10分）试叙述Powell 基本算法步骤或单纯形替换法的步骤，并简述其特点。
四、（10分）试用惩罚函数求解如下的优化问题8 ..)3()(min 2≥--=x t s x x f五、（10分）考虑下述线性规划问题1223 1832 ..233)(max 321321321321≥=++=+++-=x x x x x x x x x t s x x x x f ，，1．求出该问题的所有基本解，并指出哪些是基本可行解； 2．该问题是否有最优解？若有，请求出其最优解。
六、（10分）考虑问题010)3( 010)3( ..)(max 211323212≥≤---≤+-+=x x x x x x t s x x f ，1．写出上述问题的Kuhn —Tucker 条件。
2．这个问题的最优解满足Kuhn —Tucker 条件吗？为什么？七、（10分）已知某化工反应y 与因数x 和时间t 之间的依赖关系为xa t a ta x a y 43211+++=其中4321,,,a a a a 是待定参数，为确定这三个参数，实验测得有关y x t ,,的五组数据如下：1．试用最小二乘法建立确定参数4321,,,a a a a 的数学模型；2．对于列出的非线性最小二乘问题，你知道有哪些优化算法可求解该问题，并请给出求解该问题的修正Gauss-Newton 算法的迭代公式。
最优化方法考试试题
最优化方法考试试题一、选择题（每题2分，共20分）1、下列哪个选项不是最优化方法的常见应用场景？A.生产计划优化B.金融投资组合优化C.图像处理优化D.自然语言处理优化正确答案：D.自然语言处理优化。
2、下列哪个算法不是求解线性规划问题的常用算法？A.单纯形法B.内点法C.外点法D.牛顿法正确答案：D.牛顿法。
3、下列哪个选项不是整数规划问题的特点？A.变量取值必须是整数B.问题复杂度较高，通常需要特殊算法求解C.在实际应用中比线性规划更为广泛D.可以使用与线性规划相同的方法求解正确答案：D.可以使用与线性规划相同的方法求解。
4、下列哪个选项不是梯度下降法的优点？A.简单易行，易于实现B.能较快地收敛到局部最优解C.对初值不敏感，易于找到全局最优解D.对于大规模数据处理效率较高正确答案：C.对初值不敏感，易于找到全局最优解。
5、下列哪个选项不是模拟退火算法的特点？A.基于概率的搜索方法，有一定的随机性B.在解空间内随机搜索，可以跳出局部最优解的陷阱C.可以找到全局最优解，但需要设置退火温度等参数D.对于组合优化问题通常比暴力搜索算法更快找到最优解正确答案：D.对于组合优化问题通常比暴力搜索算法更快找到最优解。
二、填空题（每空2分，共20分）6.最优化方法中，通常使用__________来衡量一个解的好坏。
正确答案：目标函数。
7.在使用单纯形法求解线性规划问题时，__________是算法终止的条件。
正确答案：迭代次数达到预设的上限。
8.整数规划问题中，如果所有变量都有上限和下限的约束，则称为__________规划问题。
正确答案：背包。
9.在使用模拟退火算法求解组合优化问题时，__________是算法终止的条件。
正确答案：达到预定的迭代次数或者解的变化小于某个给定的阈值。
10.最优化方法中，__________是一种启发式搜索方法，通常用于解决组合优化问题。
正确答案：遗传算法。
最优化问题在现实世界中随处可见，从解决日常生活中的最佳路线问题，到企业寻求最大化利润和最小化成本，最优化方法都发挥着至关重要的作用。
最优化方法测验及答案套
《最优化方法》1一、填空题：1．最优化问题的数学模型一般为：____________________________，其中 ___________称为目标函数，___________称为约束函数，可行域D 可以表示 为_____________________________，若______________________________， 称*x 为问题的局部最优解，若_____________________________________，称*x 为问题的全局最优解。
2．设f(x)= 212121522x x x x x +-+，则其梯度为___________，海色矩阵___________,令,)0,1(,)2,1(T T d x ==则f(x)在x 处沿方向d 的一阶方向导数为___________，几何意义为___________________________________,二阶 方向导数为___________________，几何意义为_________________________ ___________________________________。
3．设严格凸二次规划形式为：012..222)(min 2121212221≥≥≤+--+=x x x x t s x x x x x f则其对偶规划为___________________________________________。
4．求解无约束最优化问题：n R x x f ∈),(min ，设k x 是不满足最优性条件的第k 步迭代点，则：用最速下降法求解时，搜索方向k d =___________ 用Newton 法求解时，搜索方向k d =___________ 用共轭梯度法求解时，搜索方向k d =___________________________________________________________________________。
最优化试题及答案
最优化理论、方法及应用试题一、（30分）1、针对二次函数1()2TT f x x Qx b x c =++,其中Q 是正定矩阵，试写出最速下降算法的详细步骤，并简要说明其优缺点?答：求解目标函数的梯度为()g x Qx b =+，()k k k g g x Qx b ==+，搜索方向：从k x 出发,沿k g -作直线搜索以确定1k x +。
Step1： 选定0x ，计算00,f gStep2: 做一维搜索, ()1min k k k tf f x tg +=-,1k k k x x tg +=-.Step3：判别，若满足精度要求，则停止；否则，置k=k+1，转步2。
优缺点：最速下降法在初始点收敛快，算法简单，在最优点附近有锯齿现象,收敛速度慢。
2、有约束优化问题min ()()0,1,2,,..()0,1,2,,i j f x g x i m s th x j l≥=⎧⎪⎨==⎪⎩最优解的必要条件是什么？答:假设*x 是极小值点。
必要条件是f,g ，h 函数连续可微，而且极小值点的所有起作用约束的梯度(*)(1,2,,)i h x i l ∇=和(*)(1,2,,)j g x j m ∇=线性无关，则存在******1212,,,,,,,,l m αααβββ使得()11******1212**(*)*(*)*(*)0*(*)0,1,2,,,,,,,,,00,0lmi i j j i i j j l m i j f x h x g x g x j mαββαααβββαβ==∇-∇-∇===≠>≥∑∑3、什么是起作用约束？什么是可行方向？什么是下降方向？什么是可行下降方向？针对上述有约束优化问题，如果应用可行方向法,其可行的下降方向怎样确定？ 答：起作用约束：若0()0j g x =，这时点0x 处于该约束条件形成的可行域边界上，它对0x 的摄动起到某种限制作用。
可行方向：0x 是可行点，某方向p,若存在实数00λ>,使得它对任意[]00,λλ∈，均有0x p λ+∈可行点集合,则称方向p 是点0x 的可行方向。
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黄金分割法
1.运用0.618法求
()2min 2+-=x x x f
在区间]3,1[-上的极小点。
要求最终区间长度不大于原区间长度的0.08倍。
（计算结果精确到0.001）
2.在区间[1,1]-上用黄金分割法求函数2()2f x x x =-+的极小点，求出初
始的两个试点及保留区间。
无约束最优化问题
1.（10分）用一阶必要和充分条件求解如下无约束优化问题的最优解：
)1(632)(min 21212131----=x x x x x x x f .
2.用共轭梯度法求解无约束优化问题
22121212min 22x x x x x x ++-+
取初始点0(0,0)T x =，精度为310-。
3.用最速下降法求解无约束问题 ()()()22213423min -+-=x x x f ，取初始点()()T x 3,41=。
有约束（有等式，无等式）
1.考虑不等式约束问题
},,2,1{,0)(..)(min
m I i x c t s x f i =∈≤
其中))((),(I i x c x f i ∈具有连续的偏导数，设x 是约束问题的可行点，若在x 处d 满足
)(,0)(,
0)(x I i d x c d x f T i T ∈<∇<∇
则d 是x 处的可行下降方向。
2.考虑约束优化问题
()2212
12min 4..3413f x x x s t x x =++≥
用两种惩罚函数法求解。
建模问题
某银行有投资资金0x ，投资于A,B 两个项目，计划5年为一个周期。
A,B 两个项目的资金回收率分别为a,b （01,01a b ≤<≤<）。
设第i 年（i ＝1，2，…,4）底根据现有投资资金i x 对A,B 两个项目的投资额做出
决策，以i y 投资于A 项目，一年中可产生经济效益()i g y ，余额（i i x y -）投资于B 项目，一年可产生经济效益()i i h x y -，其中g,h 为两个单调非减函数（显然不投资则效益为0）.问每年底作何投资决策，可使在第5年底的总效益最大？试合理选择问题的特征量，建立特征量之间的定量关系，写出数学模型。