8_泛化与函数逼近
泛化误差证明公式
泛化误差证明公式
泛化误差是指机器学习算法在新样本上的误差，它是训练样本和真实样本之间差异的度量。
泛化误差的大小可以反映模型的泛化能力，即对未知样本的预测能力。
泛化误差越小，说明模型对未知样本的预测能力越强。
泛化误差的计算公式如下：
泛化误差 = 预测误差 + 近似误差 + 估计误差
预测误差是模型在训练集上的误差，它衡量的是模型在已知样本上的拟合程度。
如果模型在训练集上表现良好，但在测试集上表现较差，说明模型过拟合，预测误差较大。
近似误差是模型选择的假设空间与真实模型之间的差距。
模型的假设空间越接近真实模型，近似误差越小。
估计误差是由于样本有限而引入的误差。
当样本数量较少时，估计误差较大。
随着样本数量的增加，估计误差逐渐减小。
为了降低泛化误差，可以采取以下方法：
1. 增加训练样本数量：通过增加训练样本数量，可以减小估计误差，提高模型的泛化能力。
2. 选择合适的模型复杂度：模型的复杂度越低，近似误差越小。
选择合适的模型复杂度可以降低泛化误差。
3. 使用正则化方法：正则化方法可以通过限制模型参数的大小，减
小模型的复杂度，从而降低泛化误差。
4. 交叉验证：交叉验证可以评估模型在不同数据集上的表现，选择最优的模型参数，从而降低泛化误差。
泛化误差是衡量模型泛化能力的重要指标。
通过合理选择模型复杂度、增加训练样本数量和使用正则化方法等手段，可以降低泛化误差，提高模型的预测能力。
什么是函数逼近及其应用
函数逼近是数学中一个重要的概念，它在各个领域的应用非常广泛。
在数学中，函数逼近是指用一个已知函数来近似描述另一个未知函数的过程。
这个过程的目的是找到一个函数来尽可能地接近给定的函数，以便进行各种计算和分析。
函数逼近的应用非常广泛，下面我将以几个典型的应用来阐述函数逼近的重要性。
首先，函数逼近在数学分析和数值计算中起着重要的作用。
在复杂的数学问题中，我们往往无法直接求得解析解，这时就需要使用函数逼近的方法来得到近似解。
例如在微积分中，我们常常需要使用泰勒级数对一个函数进行逼近，以便在不同点上进行计算。
这种逼近方法在数值计算中广泛应用，可以大大简化计算的复杂性。
其次，函数逼近在机器学习和数据分析中也起着关键作用。
在数据分析中，我们经常需要对一组离散的数据进行拟合，以便得到一个可以用来预测未知数据的模型。
函数逼近提供了一种有效的方法来构建这样的模型。
通常情况下，我们会选择一个适当的函数形式，并通过优化算法来确定函数的参数，使得函数与数据的拟合误差最小。
这种方法可以帮助我们从数据中提取有用的信息，进行各种预测和分析。
另外，函数逼近广泛应用于图像处理和信号处理中。
在这些领域中，我们通常需要对图像或信号进行压缩和去噪处理。
函数逼近提供了一种有效的方法来近似和表示这些复杂的图像和信号。
例如，在图像压缩中，我们可以使用小波变换来将图像分解成具有不同频率和分辨率的小波系数，然后根据一定的阈值选择保留哪些系数，从而实现图像的压缩。
在语音信号处理中，我们可以使用线性预测编码来对信号进行压缩和重构，从而提高通信的效率。
最后，函数逼近在工程领域中也有重要的应用。
例如，在控制系统设计中，我们需要建立一个数学模型来描述控制对象的动态特性。
函数逼近提供了一种有效的方法来近似这个系统的传递函数，以便进行系统的分析和控制设计。
同时，在电路设计中，我们也经常需要使用函数逼近来近似和建模电路的特性，以便对电路进行分析和仿真。
总结起来，函数逼近是数学中一个重要的概念，它在各个领域的应用非常广泛。
泛化与函数逼近
第八章泛化与函数逼近翻译：金海东到目前为止，值函数的估计都是用表格来表示，每个状态或状态-动作对对应到表格中一项。
这是一种特别清晰并且有意义的做法，但是这种做法只能用于状态和动作数量不多的任务，原因不仅在于大的表格会占用很多存储空间，还在于精确填满这张表格需要的计算时间和数据。
换句话说，关键问题在于泛化（generalization ），如何把有限状态子集上的学习经验，泛化到很大的状态子集上并且逼近得很好呢？这是一个非常重要的问题。
在用到强化学习的许多任务中，大多数当前遇到的状态，以后可能再也不会遇到。
在具有连续变量或者复杂感知的状态动作空间中，这种情况常常会出现。
对于这种类型的任务，唯一的学习方法就是将前面经历过的状态，泛化到那些从未经历过的状态。
幸运的是，人们已经大量研究过如何根据样例泛化，没有必要发明完全新的方法用于强化学习，只需将现存的泛化方法与强化学习结合起来。
这种泛化通常称为函数逼近（functionapproximation ），因为它从目标函数（如值函数）提取样本，并试着从样本泛化从而构造出整体的函数逼近。
函数逼近是监督学习（supervisedlearning ）的手段之一，监督学习是机器学习、人工神经网络、模式识别以及统计学中曲线拟合等领域的研究主题。
正如本章所述，从原理上讲，这些领域研究出的任何方法，都可用于强化学习。
8.1使用函数逼近的值预测与前面一样，这里也从预测问题着手研究。
预测问题是指根据策略π生成的经历来估计状态值函数V π。
本章的不同之处在于，t 时刻逼近的值函数t V 不是表示成一个表格，而是表示成一个带有参数向量t θr 的函数。
这意味着值函数t V 完全取决于t θr ，在不同的时间步，只有t θr 改变t V 才会跟着改变。
例如，t V 可能是人工神经网络计算的函数，向量t θr 表示神经网络连接权重，通过调整权重，任意函数t V 都能由这个网络来实现。
函数逼近的几种算法及其应用汇总
函数逼近的几种算法及其应用汇总函数逼近是数值计算中非常重要的技术之一，它主要用于用已知函数逼近未知函数，从而得到未知函数的一些近似值。
在实际应用中，函数逼近广泛用于数据拟合、插值、信号处理、图像处理等领域。
下面将介绍几种常用的函数逼近算法及其应用。
1. 最小二乘法（Least Square Method）最小二乘法将函数逼近问题转化为最小化离散数据与拟合函数之间的残差平方和的问题。
它在数据拟合和插值中应用广泛。
例如，最小二乘法可以用于拟合数据点，找出最佳拟合曲线；也可以用于信号处理中的滤波器设计。
2. 插值法（Interpolation）插值法旨在通过已知数据点之间的连线或曲线，来逼近未知函数在这些数据点上的取值。
常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值和分段线性插值等。
插值法在图像处理中广泛应用，例如可以通过已知的像素点来重构图像，提高图像的质量和分辨率。
3. 最小二乘曲线拟合（Least Square Curve Fitting）最小二乘曲线拟合是一种将渐近函数与离散数据拟合的方法，常见的函数包括多项式、指数函数、对数函数等。
最小二乘曲线拟合可以在一定程度上逼近原始数据，从而得到曲线的一些参数。
这种方法在数据分析和统计学中经常使用，在实际应用中可以拟合出模型参数，从而做出预测。
4. 正交多项式逼近（Orthogonal Polynomial Approximation）正交多项式逼近是一种通过正交多项式来逼近未知函数的方法。
正交多项式具有良好的性质，例如正交性和递推关系，因此可以用于高效地逼近函数。
常见的正交多项式包括勒让德多项式、拉盖尔多项式和切比雪夫多项式等。
正交多项式逼近广泛应用于数值计算和信号处理中，例如用于图像压缩和数据压缩。
5. 插值样条曲线（Interpolating Spline）插值样条曲线是将多个局部的多项式插值片段拼接在一起，从而逼近未知函数的方法。
插值样条曲线在实现光滑拟合的同时，还能逼近离散数据点。
函数逼近理论
函数逼近理论函数逼近是数学中研究近似计算方法的重要分支，它通过寻找一个接近所需函数的近似函数来简化复杂的计算问题。
函数逼近理论涵盖了多项式逼近、三角函数逼近、最小二乘逼近等各种方法。
本文将从数学背景、函数逼近的原理和应用领域三个方面进行讨论。
一、数学背景在了解函数逼近理论之前，我们需要回顾一些数学背景知识。
首先，我们要了解函数及其性质的概念。
函数是一种将一个集合中的元素映射到另一个集合中元素的规则，常用来描述数学、物理和工程问题。
其次，我们要熟悉多项式的性质。
多项式是由常数和变量的乘积相加而成的表达式，其具有高度的可控性和计算性能。
最后，我们需要了解一些数学分析工具，如泰勒级数展开和傅里叶级数展开等。
二、函数逼近的原理函数逼近的核心思想是通过构造一个近似函数，在一定范围内保持与所需函数的接近程度。
常用的函数逼近方法包括最小二乘逼近、插值逼近和曲线拟合等。
最小二乘逼近是一种基于最小化残差平方和的方法。
其基本思想是通过寻找一个多项式函数，使得所需函数与多项式函数的差异最小化。
这种逼近方法在实际问题中应用广泛，如信号处理、数据拟合等领域。
插值逼近是一种通过在给定数据点上构造插值多项式来逼近函数的方法。
插值多项式与原函数在数据点处相等，通过连接这些数据点构造出一个逼近函数。
插值逼近在图像处理、数值计算和计算机图形学等领域具有重要应用。
曲线拟合是一种寻找一条曲线与给定数据集最匹配的方法。
常用的曲线拟合方法包括多项式拟合、指数拟合和对数拟合等。
曲线拟合方法在统计学、经济学和物理学等领域具有广泛应用。
三、函数逼近的应用领域函数逼近理论在数学和工程领域中有着广泛的应用。
在数学领域，函数逼近可用于求解复杂的数学问题，如微积分、方程求解等。
在工程领域，函数逼近可用于优化算法、信号处理、图像处理等领域。
在优化算法中，函数逼近可用于近似解决无法求得精确解的优化问题。
通过构造一个逼近函数，可以减少计算量和提高计算效率，从而更好地解决实际问题。
如何在强化学习算法中处理连续动作空间问题(Ⅱ)
强化学习算法是一种通过试错来学习和改进决策的机器学习方法。
在强化学习中，智能体通过与环境的交互，根据不同的状态和行为来获得奖励或惩罚，从而逐步学习如何做出最优的决策。
在传统的强化学习算法中，通常处理的是离散动作空间，即智能体可以选择的行为是有限的。
然而，在许多实际问题中，行为的选择是连续的，这就给强化学习算法带来了挑战。
如何在强化学习算法中处理连续动作空间问题成为了一个热门的研究方向。
在处理连续动作空间问题时，一个常见的方法是使用函数逼近器来近似值函数或策略函数。
函数逼近器可以将状态和行为的组合映射到一个连续的值域中，从而可以更好地处理连续动作空间问题。
常见的函数逼近器包括线性函数、神经网络和高斯过程等。
其中，神经网络由于其强大的表达能力和良好的泛化能力，在处理连续动作空间问题时得到了广泛的应用。
另一个处理连续动作空间问题的方法是使用策略梯度方法。
策略梯度方法是一类直接学习策略函数的强化学习方法，它通过最大化累积奖励来更新策略函数的参数。
在处理连续动作空间问题时，策略梯度方法可以直接对策略函数进行参数化，从而可以更好地处理连续动作空间问题。
常见的策略梯度方法包括REINFORCE算法、TRPO算法和PPO算法等。
这些算法在处理连续动作空间问题时都取得了一定的成效。
除了以上提到的方法外，还有一些其他的技术可以用于处理连续动作空间问题。
例如，可以将连续动作空间离散化为有限的动作空间，然后使用传统的强化学习算法来处理。
这种方法虽然简单，但在一些情况下也可以取得不错的效果。
另外，还可以使用演员-评论家（Actor-Critic）框架来处理连续动作空间问题。
演员-评论家框架将策略函数和值函数结合起来训练，可以更好地处理连续动作空间问题。
在处理连续动作空间问题时，还需要考虑探索与利用的平衡。
在连续动作空间中，由于行为的选择是连续的，因此需要采取一些特殊的方法来保证智能体能够充分地探索环境。
一种常见的方法是使用探索噪声来引入随机性，从而使智能体能够更好地探索环境。
函数逼近论
函数逼近论函数逼近论是函数论的一个重要组成部分，涉及的基本问题是函数的近似表示问题。
在数学的理论研究和实际应用中经常遇到下类问题：在选定的一类函数中寻找某个函数g，使它是已知函数ƒ在一定意义下的近似表示，并求出用g近似表示ƒ而产生的误差。
这就是函数逼近问题。
在函数逼近问题中，用来逼近已知函数ƒ的函数类可以有不同的选择；即使函数类选定了，在该类函数中用作ƒ的近似表示的函数g的确定方式仍然是各式各样的；g对ƒ的近似程度（误差）也可以有各种不同的含义。
所以函数逼近问题的提法具有多样的形式，其内容十分丰富。
从18世纪到19世纪初期，在L.欧拉、P.-S.拉普拉斯、J.-B.-J.傅里叶、J.-V.彭赛列等数学家的研究工作中已涉及一些个别的具体函数的最佳逼近问题。
这些问题是从诸如绘图学、测地学、机械设计等方面的实际需要中提出的。
在当时没有可能形成深刻的概念和统一的方法。
切比雪夫提出了最佳逼近概念,研究了逼近函数类是n次多项式时最佳逼近元的性质，建立了能够据以判断多项式为最佳逼近元的特征定理。
他和他的学生们研究了与零的偏差最小的多项式的问题，得到了许多重要结果。
已知[α,b]区间上的连续函数ƒ(x)，(n≥0)，叫做ƒ(x)的n阶最佳一致逼近值，简称为最佳逼近值，简记为En(ƒ)。
能使极小值实现的多项叫做ƒ(x)的n阶最佳逼近多项式。
切比雪夫证明了，在区间[-1,1]上函数xn+1的n阶最佳逼近多项式必满足关系式。
多项式就是著名的切比雪夫多项式。
切比雪夫还证明了ƒ(x)在[α,b]上的n 阶最佳逼近多项式的充分必要条件是：在[α，b]上存在着n+2个点：α≤x1<x2<…xn+2≤b，在这些点上依照i=1,2,…,n+2的次序交错变号，像这样的点组{x1,x2,…,xn+2} 便是著名的切比雪夫交错组。
1885年德国数学家K.（T.W.）外尔斯特拉斯在研究用多项式来一致逼近连续函数的问题时证明了一条定理，这条定理在原则上肯定了任何连续函数都可以用多项式以任何预先指定的精确度在函数的定义区间上一致地近似表示，但是没有指出应该如何选择多项式才能逼近得最好。
泛函分析在神经网络优化中的独特优势是什么
泛函分析在神经网络优化中的独特优势是什么在当今科技飞速发展的时代，神经网络已经成为了人工智能领域的核心技术之一，广泛应用于图像识别、语音处理、自然语言处理等众多领域。
而要使神经网络能够更高效、更准确地工作，优化是至关重要的环节。
在众多用于神经网络优化的数学工具中，泛函分析展现出了其独特的优势。
泛函分析是数学的一个重要分支，它研究的是无限维向量空间上的函数、算子和泛函的性质。
那么，它到底为神经网络优化带来了哪些独特的优势呢？首先，泛函分析为理解神经网络的结构和功能提供了深刻的理论基础。
神经网络可以看作是一个从输入空间到输出空间的映射，而这个映射可以用泛函的形式来描述。
通过泛函分析的工具，我们可以研究神经网络的连续性、可微性等性质，从而更好地理解神经网络的行为。
比如说，在研究神经网络的收敛性时，泛函分析中的不动点定理就发挥了重要作用。
不动点定理可以帮助我们确定在什么条件下，神经网络的训练过程能够收敛到一个稳定的解。
这对于确保神经网络的训练效果和可靠性具有重要意义。
其次，泛函分析中的优化理论为神经网络的训练提供了强大的方法。
在神经网络的训练中，我们的目标是找到一组最优的参数，使得网络的损失函数最小化。
这本质上是一个优化问题，而泛函分析中的凸分析、变分法等理论为解决这类优化问题提供了有力的工具。
例如，凸优化理论保证了在一定条件下，优化问题存在唯一的最优解，并且可以通过有效的算法来求解。
利用这些理论，我们可以对神经网络的损失函数进行分析，判断其是否为凸函数，从而选择合适的优化算法来提高训练效率。
再者，泛函分析有助于分析神经网络的泛化能力。
泛化能力是指神经网络在处理未曾见过的数据时的表现能力。
通过泛函分析中的函数逼近理论，我们可以研究神经网络如何逼近复杂的函数，以及在什么条件下能够具有良好的泛化性能。
另外，泛函分析中的算子理论可以用于分析神经网络中的卷积运算等操作。
卷积神经网络是目前在图像识别等领域取得巨大成功的一种神经网络结构，而卷积运算可以看作是一种特殊的算子。
化学反应动力学拟合方法的优化
化学反应动力学拟合方法的优化化学反应动力学的研究是化学学科中的重要分支，通过化学反应动力学的研究，可以深入了解化学反应的本质，从而有助于提高化学反应的效率，降低化学反应的成本，同时也有助于加速新化学物质的研究与合成，推动化学学科的进一步发展。
因此，化学反应动力学的研究一直受到化学学科的广泛关注。
化学反应动力学的研究主要包括动力学方程的建立和参数拟合两个方面。
在动力学方程建立方面，已经有很多研究成果，例如Arrhenius方程、Erying方程、Michaelis-Menten方程等。
而在参数拟合方面，一直是化学反应动力学研究的瓶颈之一。
目前，常用的化学反应动力学参数拟合方法主要有线性拟合方法、非线性最小二乘拟合方法、贝叶斯统计拟合方法、遗传算法拟合方法等。
其中，非线性最小二乘拟合方法是目前应用最广泛的方法之一。
但是，这种方法在拟合复杂的动力学方程时具有计算复杂度高、易陷入局部最优解等缺点，影响了拟合效果和计算效率。
为了解决这些问题，近年来，研究人员提出了一些新的化学反应动力学拟合方法，下面将介绍其中几种方法。
1.基于神经网络的化学反应动力学拟合方法神经网络具有良好的非线性逼近能力和较强的泛化能力，在数学非线性建模、函数逼近、模式识别和数据挖掘等领域广泛应用。
基于神经网络的化学反应动力学拟合方法，将神经网络应用于化学反应动力学参数的拟合，该方法将动力学参数拟合问题转化为神经网络的训练问题，通过反复迭代修改神经网络的权重和偏置参数，以最小化预测值与实际值之间的误差，从而得到最优的动力学参数。
该方法的优点是可以提高拟合的精度和准确度，适用于各种复杂的化学反应动力学参数拟合问题。
2.基于多项式曲线拟合的化学反应动力学拟合方法多项式曲线拟合方法是一种常用的参数拟合方法。
该方法通过选择最佳的多项式次数来拟合化学反应动力学参数的曲线，从而得到最优的参数。
该方法的优点是精度较高，计算快速，但是对于非线性问题适用性较差。
强化学习算法中的非线性函数逼近方法详解(八)
强化学习算法中的非线性函数逼近方法详解强化学习是一种机器学习方法，旨在让智能体通过与环境的交互学习如何最大化累积奖励。
在强化学习中，智能体需要学习一个策略，以便在面对不同的环境状态时做出正确的决策。
一个重要的问题是如何表示和逼近值函数和策略函数，以便在复杂的环境中进行学习。
在本文中，我们将详细介绍强化学习算法中的非线性函数逼近方法。
1. 线性函数逼近在传统的强化学习算法中，值函数和策略函数通常使用线性函数逼近来表示。
线性函数逼近的优点是简单易于理解和实现，但其局限性也很明显。
例如，在面对复杂的状态空间时，线性函数逼近可能无法准确地表示值函数和策略函数，从而导致学习性能的下降。
2. 非线性函数逼近为了解决线性函数逼近的局限性，研究者们提出了多种非线性函数逼近方法。
其中最常用的方法之一是基于神经网络的函数逼近。
神经网络具有强大的拟合能力，可以学习复杂的非线性关系，因此被广泛应用于强化学习算法中。
3. 深度强化学习深度强化学习是将深度学习和强化学习相结合的一种方法。
在深度强化学习中，值函数和策略函数通常使用深度神经网络来进行非线性函数逼近。
深度神经网络具有多层隐藏层，能够学习更加复杂的特征表示，从而提高值函数和策略函数的逼近能力。
4. 非线性函数逼近的挑战虽然非线性函数逼近方法在强化学习中取得了很大的成功，但也面临着一些挑战。
首先，非线性函数逼近方法通常需要大量的数据来训练模型，这对于一些复杂的环境来说可能不够高效。
其次，非线性函数逼近方法的训练过程可能不够稳定，需要仔细的调参和技巧。
5. 改进方法为了克服非线性函数逼近方法的挑战，研究者们提出了多种改进方法。
例如，可以结合传统的强化学习算法和非线性函数逼近方法，提高算法的稳定性和效率。
另外，也可以通过引入更加复杂的模型结构和训练技巧来提高非线性函数逼近方法的性能。
总结强化学习算法中的非线性函数逼近方法是一个复杂而又重要的研究领域。
通过本文的介绍，读者可以对非线性函数逼近方法有一个更加全面的了解。
第三章 1 逼近论
( x)dx
2mn1m!n!11
dm dxm
[(x2
1)m
]
dn dxn
[(x2
1)n
]dx
1
dm
2mn m!n!dxm
[( x 2
1)m
]ddxnn11 [( x2
1)n
1
]
1
2m
1 n m!
n!
11
dm1 dx m 1
[(
x
2
i 1
1
||
x
||2
n
xi2
2
，
i1
称为2 范数.
类似地，对C[a,b]上的f ( x)，可定义三种常用范数：
|| f || max | f ( x) |， 称为 范数，
a xb
|| f ||1 ab| f ( x) | dx， 称为1 范数,
i 1
定义4 设( x)是区间[a,b]上的非负函数, 如果满足条件
(1)
ab xk ( x)dx存在,
k
0,1,2,; 可以有限或
无限区间
(2) 对于[a,b]上的非负连续函数g( x),若abg( x)( x)dx 0,
则在[a,b]上g( x) 0；
就称( x)为[a,b]上的权函数.
f
,
x)
n
k0
f
k n
Pk
(
x),
(1.3)
其中Pk
(
x)
n k
xk
函数逼近的几种算法及其应用汇总
函数逼近的几种算法及其应用汇总
一、函数逼近的几种算法
1、最小二乘法
最小二乘法是一种基于线性模型的函数逼近算法，它的基本假设是拟合函数的形状可以用线性模型表示，且被拟合数据存在一定的噪声存在，最小二乘法的核心思想就是最小化残差（拟合数据与模型之间的偏差）的平方和来寻找最佳拟合参数。
2、Kriging
Kriging（克里金插值）是一种基于空间相关数据的空间插值算法，它会根据空间相关性分析，通过构建模型，拟合、估计和预测空间数据之间的关系，从而实现函数逼近。
3、K近邻算法
K近邻（K Nearest Neighbors Algorithm）是一种基于实例学习的分类算法，它通过计算测试实例与训练实例之间的距离，来决定其所属的类别。
K近邻算法也可以用于函数逼近，这种方法无需训练阶段，可以快速的拟合不同的函数，而且拟合函数的过程中也不需要优化参数。
4、神经网络
神经网络是一类用于函数逼近的算法，它通过模拟人脑神经网络的连接模式，在一系列训练数据的基础上，得到一些函数的参数，从而实现函数的拟合和预测。
二、函数逼近算法的应用
1、多元线性回归
多元线性回归利用最小二乘法，可以对多元关系进行拟合。
深度神经网络函数近似能力证明
深度神经网络函数近似能力证明深度神经网络在近年来取得了令人瞩目的成果，成为了机器学习和人工智能领域的热门研究方向之一。
其中一个重要的问题是深度神经网络的函数近似能力究竟如何，即它们能否有效地拟合任意复杂的函数。
在神经网络的早期发展阶段，只有浅层网络被广泛研究和应用。
然而，随着深度学习的兴起，深层神经网络展现出了强大的表达能力和泛化能力。
但是，对于深层数目和节点数目较大的神经网络，其函数拟合能力的证明仍然是一个具有挑战性的问题。
要证明深度神经网络的函数近似能力，一个常用的方法是利用万能逼近定理。
万能逼近定理表明，一个拥有足够多节点的神经网络可以以任意精度近似任意连续函数。
具体来说，给定一个定义在有限空间上的连续函数，只要神经网络具有足够多的节点，它就能以任意精度逼近这个函数。
然而，万能逼近定理并不能直接用于深度神经网络。
因为在深层网络中，节点数目呈指数级增长，从而导致计算复杂度的急剧上升。
为了解决这个问题，研究者们提出了一系列的改进算法和网络结构，如卷积神经网络和循环神经网络，以提高深层神经网络的函数拟合能力，并降低计算复杂度。
另一个证明深度神经网络函数近似能力的方法是通过实际的实验和应用。
近年来，深度神经网络在许多领域中取得了显著的应用成果，包括图像识别、自然语言处理、语音识别等。
这些成功案例表明，深度神经网络具有强大的函数近似能力，能够有效地解决复杂的现实问题。
尽管深度神经网络在实践中证明了其函数近似能力，但在理论上的证明仍然是一个开放性问题。
理论证明通常需要严格的数学推导和复杂的分析。
研究者们正在努力寻找新的方法和技巧，以解决这个问题。
其中一些研究方向包括对深度神经网络的结构和参数优化进行分析，对网络的鲁棒性和可解释性进行研究等。
深度神经网络的函数近似能力证明不仅对于了解神经网络的内在机制和性能特点具有重要意义，也对于指导深度学习的实践具有指导意义。
通过深入研究深度神经网络的函数近似能力，我们可以更好地理解神经网络的工作原理，并提出更有效的算法和模型来解决实际问题。
泛化造句精选
泛化造句精选1、由此观之,当代“审美泛化”的全息图景,便在历史整体性上被呈现了出来.2、大多数组件都已就绪，可以泛化这个脚本，处理其他设备类型。
3、有时，复制粘贴某些代码要比将该行为泛化到另一个类更简单。
4、高校图书馆编目工作中刚性管理一度泛化，引入柔性管理可增加人本性、感应性和渗透性。
5、通过核来泛化的判别分析代码，MATLAB写的。
6、审美泛化“已成为一个不争的事实，但颇可争议的论题。
7、在自然美育过程中，自然美育存在着悦乐忘身、爱心泛化、哲理领悟等三个层次的功能境界。
8、湘妃泣染斑竹的仙话传说，将男性文人的气节，泛化为女性对爱情的坚贞不渝。
9、仿真结果表明该方法泛化能力强，是一种有效的概念学习方法。
10、它可用来逼近任何连续函数,且逼近精度高,泛化能力强,学习速度快.11、但是,决不能把“经济人”假说泛化到全部经济领域特别是政治、社会甚至意识形态等各个领域,这样必然带来“贿赂公行,卖官鬻爵,奸恶诈伪,上下相蒙”。
12、泛化则会淆乱视听,直接后果是真正的弱势得不到关照。
13、坚持走社会治安防范机制社会化的道路，就要坚持党委和政府的领导，坚持防范主体多元化、建设形式多样化、防范内容宽泛化、责权利的市场化。
14、本文采用贝叶斯规则化的训练方法，训练好的BP网络较常用的训练方法具有更好的精度和泛化能力。
15、强力型司法执行面临着现实困境，表现为不利于社会和谐，强制执行内容泛化，不利于树立司法权威，得不到社会认同，兼容型司法执行应时而生。
16、详细考察唐代处士称谓使用情况，可以看出唐代官制的复杂和处士概念的泛化，同时可窥见唐人价值观的转变轨迹。
17、分配方面体现为分红与不分红均损害小股东利益。
最后，论文研究了“国有股权泛化”及“异股同权”条件下我国上市公司内外部控制机制的效率问题。
18、以往的BP算法调节神经元网络的权值，其网络的隐层结点数、网络学习快慢程度及网络的泛化能力都与网络的激励函数有关的。
函数逼近法python
函数逼近法python
函数逼近法是一种常见的数学方法，它可以将一个复杂的函数逼近成一个简单的函数。
在Python中，有许多方法可以进行函数逼近，比如最小二乘法、样条函数法、高斯过程法等等。
下面我们将介绍一些常见的函数逼近方法及其Python实现。
1.最小二乘法
最小二乘法是一种基于平方误差最小化的函数逼近方法。
它通过求解最小二乘问题来确定逼近函数的系数，从而使得逼近函数与原函数在给定区间内的平方误差最小。
在Python中，可以使用numpy库的polyfit函数来进行最小二乘逼近。
2.样条函数法
样条函数法是一种基于分段多项式的函数逼近方法。
它将函数划分为若干个小区间，并在每个小区间内拟合一个多项式函数，以达到逼近的目的。
在Python中，可以使用scipy库的interpolate模块来进行样条函数逼近。
3.高斯过程法
高斯过程法是一种基于贝叶斯定理的函数逼近方法。
它通过利用已有数据的信息，对未知函数进行概率分布的建模，并在后验概率分布中选取一个最优函数作为逼近函数。
在Python中，可以使用scikit-learn库的GaussianProcessRegressor类来进行高斯过程逼近。
以上是一些常见的函数逼近方法及其Python实现。
在实际应用
中，可以根据具体问题的特点选择适合的函数逼近方法，并通过Python的强大功能快速高效地实现。
解决高维连续动作空间问题的强化学习方法
解决高维连续动作空间问题的强化学习方法强化学习是一种通过试错学习来优化决策的机器学习方法，在许多领域都有广泛的应用。
然而，传统的强化学习方法在处理高维连续动作空间问题时面临着挑战。
这是因为在高维连续动作空间中，动作空间巨大，对策略进行搜索和优化变得非常困难。
为了解决这个问题，研究人员提出了许多创新的方法和技术。
一种常用的解决高维连续动作空间问题的方法是使用函数逼近器来近似策略或值函数。
函数逼近器可以将连续动作空间映射到一个更小且更易处理的状态空间中。
其中一个广泛使用的函数逼近器是人工神经网络（Artificial Neural Network, ANN）。
ANN可以通过训练来估计策略或值函数，并且可以处理大规模和高度非线性的数据。
另一种常用的方法是使用基于梯度下降法（Gradient Descent, GD）或变分法（Variational Method）进行优化。
这些方法通过迭代地更新策略参数或值函数参数来寻找最优解。
梯度下降法是一种基于局部信息的优化方法，它通过计算目标函数的梯度来更新参数。
变分法是一种基于泛函分析的优化方法，它通过最小化目标函数的变分来更新参数。
这些方法在处理高维连续动作空间问题时具有较好的性能。
除了函数逼近器和优化算法，还有一些其他的技术可以用于解决高维连续动作空间问题。
其中一个是采用分层策略（Hierarchical Policy）。
分层策略可以将决策问题划分为多个层次，并在每个层次上学习一个局部策略。
这样可以将复杂的决策问题转化为多个简单的子问题，并且能够处理高维连续动作空间。
另一个技术是采用深度强化学习（Deep Reinforcement Learning, DRL）。
DRL结合了深度学习和强化学习，在处理高维连续动作空间问题时具有很大潜力。
深度强化学习使用深度神经网络来逼近策略或值函数，并且通过大规模数据和端到端训练来提高性能。
这种方法在许多任务中取得了很好的结果，例如在玩电子游戏和自动驾驶等领域。
函数逼近方法
函数逼近方法一、概述函数逼近方法是一种数学工具，用于通过已知数据点的集合来估计或近似出一条连续函数的近似函数。
它在各个领域都有广泛的应用，比如数值计算、统计学、机器学习和信号处理等。
通过函数逼近方法，我们可以在缺少完整数据的情况下对函数的行为进行研究和预测。
二、插值法插值法是函数逼近方法中最常见的一种方法，它基于已知点的函数值，构造出一个多项式函数来逼近原函数。
插值法的基本思想是通过已知点之间的连线或曲线来构造一个连续的函数。
常见的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值等。
2.1 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种通过利用拉格朗日基函数构造插值多项式的方法。
给定一个已知函数的离散采样点集合，拉格朗日插值的目标是构造一个多项式函数，该函数在已知点上的函数值等于已知函数在相应点上的函数值。
拉格朗日插值多项式的形式如下：L(x)=∑y ini=0∏x−x jx i−x j nj=0,j≠i其中，y i表示已知点的函数值，x i表示已知点的横坐标。
2.2 牛顿插值牛顿插值是另一种常见的插值方法，它利用差商的概念构造出一个多项式函数。
牛顿插值的优势在于可以递归地计算插值多项式，而不需要重新计算整个多项式。
牛顿插值多项式的形式如下：N(x)=f(x0)+∑[∏(x−x j)i−1j=0]ni=1f[x0,x1,…,x i]其中，f(x0)表示已知点的函数值，f[x0,x1,…,x i]表示差商。
三、最小二乘法最小二乘法是一种通过最小化误差平方和来逼近函数的方法。
最小二乘法的基本思想是找到一个函数的近似函数，使得所有已知数据点到近似函数的距离的平方和最小。
3.1 线性最小二乘法线性最小二乘法是最简单的一种最小二乘逼近方法，它假设要逼近的函数是一个线性函数。
给定一组已知数据点(x i,y i)，其中x i为自变量，y i为因变量，线性最小二乘法的目标是找到一个形如y=ax+b的线性函数，使得所有已知数据点到该直线的距离的平方和最小。
函数的逼近—拟合
函数的逼近—拟合函数的逼近是数学中一个重要的概念，它是指通过一组已知的数据点来近似描述一个未知函数的过程。
拟合则是指通过选择合适的函数形式和参数，使得拟合函数尽可能地接近已知数据点。
在实际应用中，函数的逼近和拟合在数据分析、信号处理、机器学习等领域中起着重要的作用。
1. 函数的逼近函数的逼近通常包括两个步骤：选择逼近函数的形式和确定逼近函数的参数。
通常，我们将已知数据点表示为(x x,x x)的形式，其中x x是自变量的取值，x x是因变量的取值。
我们的目标是找到一个逼近函数x(x)来近似表示这些已知数据点的关系。
选择逼近函数的形式是一个关键的步骤。
常见的逼近函数包括多项式函数、指数函数、对数函数等。
选择逼近函数的形式通常需要考虑已知数据点和逼近函数的特点。
例如，如果已知数据点呈现线性关系，可以选择线性函数作为逼近函数。
如果已知数据点呈现指数增长或衰减的趋势，可以选择指数函数作为逼近函数。
确定逼近函数的参数是通过最小化逼近函数与已知数据点之间的差距来实现的。
常用的方法有最小二乘法和最大似然法。
最小二乘法是通过最小化逼近函数与已知数据点之间的残差平方和来确定逼近函数的参数。
最大似然法则是选择使得逼近函数生成已知数据点的概率最大的参数。
2. 拟合拟合是函数的逼近的一种具体应用，它通过选择合适的函数形式和参数，使得拟合函数能够在整个自变量的取值范围内都能够较好地逼近已知数据点。
拟合函数的目标是通过适当的调整函数的参数，使得拟合函数能够尽可能地与已知数据点吻合。
在实际应用中，拟合函数的选择通常需要根据已知数据点的特点来进行。
例如，如果已知数据点呈现多项式关系，可以选择多项式拟合。
多项式拟合可以使用最小二乘法来确定多项式的系数。
如果已知数据点呈现指数增长或衰减的趋势，可以选择指数拟合。
指数拟合可以通过对数变换来转化为线性拟合的问题。
拟合函数的参数可以通过优化算法来确定。
常见的优化算法包括梯度下降法、牛顿法等。
人工智能基础知识考试题库300题(含答案)
人工智能基础知识考试题库300题(含答案)一、单选题1.若一个属性可以从其他属性中推演出来，那这个属性就是()A、结构属性B、冗余属性C、模式属性D、集成属性答案：B2.模型训练的目的是确定预测变量与()之间的推理方式。
A、目标值B、结果C、自变量D、因变量答案：A3.2016年5月，在国家发改委发布的《"互联网+"人工智能三年行动实施方案》中明确提出，到2018年国内要形成()的人工智能市场应用规模.A、千万元级B、亿元级C、百亿元级D、千亿元级答案：D4.数据审计是对数据内容和元数据进行审计，发现其中存在的()A、缺失值B、噪声值C、不一致、不完整值D、以上都是答案：D5.下列哪项不是机器学习中基于实例学习的常用方法()A、K近邻方法B、局部加权回归法C、基于案例的推理D、Find-s算法答案：D6.云计算提供的支撑技术，有效解决虚拟化技术、()、海量存储和海量管理等问题A、并行计算B、实际操作C、数据分析D、数据研发答案：A7.利用计算机来模拟人类的某些思维活动，如医疗诊断、定理证明，这些应用属于()A、数值计算B、自动控制C、人工智能D、模拟仿真答案：C8.知识图谱中的边称为?A、连接边B、关系C、属性D、特征答案：B9.人工神经网络在20世纪()年代兴起，一直以来都是人工智能领域的研究热点A、50B、60C、70D、80答案：D10.下面哪一句话是正确的A、人工智能就是机器学习B、机器学习就是深度学习C、人工智能就是深度学习D、深度学习是一种机器学习的方法答案：D11.()是指数据减去一个总括统计量或模型拟合值时的残余部分A、极值B、标准值C、平均值D、残值答案：D12.()是人工智能地核心，是使计算机具有智能地主要方法，其应用遍及人工智能地各个领域。
A、深度学习B、机器学习C、人机交互D、智能芯片答案：B13.贝叶斯学习是一种以贝叶斯法则为基础的，并通过()手段进行学习的方法。
基于BP神经网络算法的函数逼近
基于BP神经网络算法的函数逼近神经网络是一种基于生物神经元工作原理构建的计算模型，可以通过学习和调整权重来逼近非线性函数。
其中，基于误差反向传播算法（BP）的神经网络是最常见和广泛应用的一种，其能够通过反向传播来调整网络的权重，从而实现对函数的近似。
BP神经网络的算法包括了前馈和反向传播两个过程。
前馈过程是指输入信号从输入层经过隐藏层传递到输出层的过程，反向传播过程是指将网络输出与实际值进行比较，并根据误差来调整网络权重的过程。
在函数逼近问题中，我们通常将训练集中的输入值作为网络的输入，将对应的目标值作为网络的输出。
然后通过反复调整网络的权重，使得网络的输出逼近目标值。
首先，我们需要设计一个合适的神经网络结构。
对于函数逼近问题，通常使用的是多层前馈神经网络，其中包括了输入层、隐藏层和输出层。
隐藏层的神经元个数和层数可以根据具体问题进行调整，一般情况下，通过试验和调整来确定最优结构。
然后，我们需要确定误差函数。
对于函数逼近问题，最常用的误差函数是均方误差（Mean Squared Error）。
均方误差是输出值与目标值之间差值的平方和的均值。
接下来，我们进行前馈过程，将输入值通过网络传递到输出层，并计算出网络的输出值。
然后，我们计算出网络的输出与目标值之间的误差，并根据误差来调整网络的权重。
反向传播的过程中，我们使用梯度下降法来最小化误差函数，不断地调整权重以优化网络的性能。
最后，我们通过不断训练网络来达到函数逼近的目标。
训练过程中，我们将训练集中的所有样本都输入到网络中，并根据误差调整网络的权重。
通过反复训练，网络逐渐优化，输出值逼近目标值。
需要注意的是，在进行函数逼近时，我们需要将训练集和测试集分开。
训练集用于训练网络，测试集用于评估网络的性能。
如果训练集和测试集中的样本有重叠，网络可能会出现过拟合现象，导致在测试集上的性能下降。
在神经网络的函数逼近中，还有一些注意事项。
首先是选择适当的激活函数，激活函数能够在网络中引入非线性，使网络能够逼近任意函数。
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第八章 泛化与函数逼近翻译：金海东到目前为止，值函数的估计都是用表格来表示，每个状态或状态-动作对对应到表格中一项。
这是一种特别清晰并且有意义的做法，但是这种做法只能用于状态和动作数量不多的任务，原因不仅在于大的表格会占用很多存储空间，还在于精确填满这张表格需要的计算时间和数据。
换句话说，关键问题在于泛化（generalization ），如何把有限状态子集上的学习经验，泛化到很大的状态子集上并且逼近得很好呢？这是一个非常重要的问题。
在用到强化学习的许多任务中，大多数当前遇到的状态，以后可能再也不会遇到。
在具有连续变量或者复杂感知的状态动作空间中，这种情况常常会出现。
对于这种类型的任务，唯一的学习方法就是将前面经历过的状态，泛化到那些从未经历过的状态。
幸运的是，人们已经大量研究过如何根据样例泛化，没有必要发明完全新的方法用于强化学习，只需将现存的泛化方法与强化学习结合起来。
这种泛化通常称为函数逼近（function approximation ），因为它从目标函数（如值函数）提取样本，并试着从样本泛化从而构造出整体的函数逼近。
函数逼近是监督学习（supervised learning ）的手段之一，监督学习是机器学习、人工神经网络、模式识别以及统计学中曲线拟合等领域的研究主题。
正如本章所述，从原理上讲，这些领域研究出的任何方法，都可用于强化学习。
8.1使用函数逼近的值预测与前面一样，这里也从预测问题着手研究。
预测问题是指根据策略π生成的经历来估计状态值函数V π。
本章的不同之处在于，t 时刻逼近的值函数t V 不是表示成一个表格，而是表示成一个带有参数向量t θr 的函数。
这意味着值函数t V 完全取决于t θr ，在不同的时间步，只有t θr 改变t V 才会跟着改变。
例如，t V 可能是人工神经网络计算的函数，向量t θr 表示神经网络连接权重，通过调整权重，任意函数t V 都能由这个网络来实现。
或者t V 可能是决策树计算的函数，其参数包含在t θr 向量中，这些参数定义了决策树分裂结点和叶子结点的值。
通常情况下，参数的数量（即t θr 分量的个数）比状态的数量要少得多，并且改变一个参数强化学习Reinforcement Learning可以改变很多状态的估计值。
因此，单个状态的值被备份，这个变化就会从该状态泛化出去从而影响到很多其他状态的值。
本书把所有预测方法都描述为备份，也就是说，更新某个估计值函数，即意味着把该函数特定状态的值转换为这些状态的“备份值”。
（译注： 此处为update 和backup 的定义。
更新某个函数，为update ，更新某个状态，为backup 。
本章所有back up 翻译为“备份”，update 翻译为“更新”。
）。
这里用s v a 表示单个备份，其中s 是被备份的状态，v 是备份值或者说s 的估计值要转向的目标。
例如，用于值预测的DP 备份为11{()|}t t t t s E r V s s s πγ+++=a ，蒙特卡罗备份为t t s R a ，(0)TD 备份为11()t t t t s r V s γ+++a ，通用()TD λ备份为t t s R λa 。
DP 实例中，备份的是任意状态s ，而其他实例中，备份的是在经历（可能是模拟的经历）中遇到的状态t s 。
很自然可以这样理解：每次备份相当于指定了估计值函数的一个输入-输出样例。
从某种意义上说， s v a 意味着状态s 的估计值进一步接近v 。
因此，用于实现备份的真正更新已经不重要了：s 估计值对应的表格项只是简单地向v 靠拢了一小步。
我们可以使用任意复杂且成熟的函数逼近方法实现备份。
这些函数逼近方法的常规输入，即是它们试图逼近的函数所期望的输入-输出样例。
把每次备份s v a 简单地看作训练样例，就能使用基于函数逼近的值预测方法。
这样，我们把函数逼近方法产生的近似函数，解释为估计的值函数。
以上述方式把每次备份当成常规训练样本，就能使用现存的诸多函数逼近方法进行值预测。
从原理上讲，可以使用任何基于样例的监督学习方法，包括人工神经网络、决策树以及各种类型的多元回归。
但是并非所有的函数逼近方法都适合在强化学习中使用，大多数高级神经网络和统计学方法都假定存在静态的用于多传递的训练集。
在强化学习中，能够实现在线学习非常重要，此时它与环境或者环境模型交互。
要做到这一点，要求学习方法能够从增量获得的数据中进行有效学习。
此外，强化学习通常要求函数逼近方法能够处理非固定目标函数（即不断改变的目标函数）。
例如在GPI 控制方法中，我们希望π在改变时也能学习到Q π。
如果训练样本的目标值是由自举方法计算的（如DP 和TD 方法），即使策略维持不变，这些目标值也是非固定的。
如果一种学习方法处理不好非固定问题，就不太适合用于强化学习。
如何测定函数逼近的性能呢，大多数监督学习寻求最小化输入分布P 上的均误方差（MSE, mean-squared error ）。
在值预测问题中，输入是状态，目标函数是精确的值函数V π，因此，使用参数向量t θr 的近似函数t V 的均方误差是： ()()()()2t t s SMES P s V s V s πθ∈⎡⎤=-⎣⎦∑r （8.1）泛化和函数逼近Generalization and Function Approximation其中P 是表示不同状态的误差权重的分布。
状态数量要比t θr 分量个数多得多，通常不可能把所有状态的误差都降为0，因此这个分布十分重要。
因此，函数逼近器的灵活性是一个难得的资源，要想得到某些状态好的逼近，必须以其他状态差的逼近为代价。
误差权重分布P 指定了如何在不同状态之间做平衡。
P 通常是抽样得到的训练样本中状态的分布，因此该分布上的状态都已经做了备份。
如果希望状态在特定分布下的误差最小，比较有效的做法是采用相同分布的样本来训练函数逼近器。
例如，要想误差均匀分布在整个状态集合上，有效的做法是，使用在整个状态集合上均匀分布的备份来训练近似函数逼近器，类似于一些DP 方法中的穷举扫描。
今后，假定状态做了备份的分布与误差权重分布P 是一致的。
分布用来描述：agent 根据策略π选择动作与环境交互时，遇到某些状态的频繁程度，我们想要逼近的就是该策略π的值函数。
我们把这种分布称为在-策略分布（on-policy distribution ），部分理由是，这是采用在-策略控制方法的备份分布。
最小化在-策略分布的误差，就是把函数逼近的重点放在那些在该策略下实际出现的状态上，忽略那些没有出现的状态。
在蒙特卡罗或者TD 方法中，使用在-策略分布也是得到训练样本的最简单方法。
这些方法使用策略π从样本经历中生成状态值备份。
因为要对遇到的每个状态进行备份，获得的训练样本的分布很自然与在-策略分布一致。
在-策略分布比我们后面讨论的其他分布的收敛效果更好。
现在还不清楚是否应该最小化MSE 。
值预测有不同的潜在目标，这里最终希望通过值预测来改进策略，要做到这一点，值预测的最优目标未必是最小化MSE 。
由于不清楚值预测更有效的替代目标是什么，我们还是把注意力放在MSE 上。
MSE 的理想目标是找到全局最优解（global optimum ），即对所有可能的θr ，存在一个参数向量*θr 使得*()()MSE MSE θθ≤r r 。
要达到这个目标，有时简单的线性函数逼近器就够用了，复杂的函数逼近器如人工神经网络和决策树却不太可行，反而会收敛到局部最优解（local optimum ），即只在*θr 邻域的所有θr 中，存在一个参数向量*θr 使得*()()MSE MSE θθ≤r r。
收敛到局部最优解虽然让人不够安心，但是就非线性函数逼近器来说，这已经是典型的最好情况了。
在许多用到强化学习的实际问题中，收敛到最优解甚至真正的收敛，根本不会发生。
尽管如此，通过一些方法还是可以获得接近最优解的MSE 。
其他一些逼近方法实际上可能是发散的，其MSE 在极限上趋于无穷。
为了把基于值预测的各种不同强化学习方法和各种不同的函数逼近方法结合到一起，本强化学习Reinforcement Learning节描述了一个框架，该框架把前者的状态值备份作为后者的训练样本。
另外本节还概述了MSE 用于度量函数逼近的性能。
上述各种方法涉及的面实在太广，其中许多方法很少有人做可靠的评价或建议，因此本书只关注其中一小部分，没有面面俱到。
本章后面将关注基于梯度原理的函数逼近方法，特别是线性梯度-下降方法。
部分原因是我们认为梯度方法揭示了关键理论要点，比较有前景，另外的原因是该方法比较简单，而本书的容量有限。
如果本书有更多章节来讨论函数逼近，我们至少会把基于存储的方法和决策树方法包括进来。
8.2梯度-下降方法现在详细讨论一种用于值预测的学习方法，即基于梯度-下降的函数逼近方法。
梯度-下降方法是所有函数逼近方法最广泛使用的，尤其适合于强化学习。
在梯度-下降方法中，参数向量是由固定个数的实数值组成的列向量((1),(2),...,())T t t t t n θθθθ=r （T 表示转置），()t V s （所有s S ∈）是t θr的平滑可微函数。
这里假定在每个时间步t 都观察到一个新样本()t t s V s πa 。
在与环境的交互中，这些状态可能是连续的，但这里假定状态是离散的。
即使样本给出的是每个状态t s 的真实值()t V s π，学习的困难仍然存在，这是因为函数逼近所需的资源有限，解决方法也就有限。
特别是，通常不存在一个θr 使得所有状态甚至所有样本的值都正确。
此外，我们还必须将其泛化到样本中没有出现的其他状态。
假定出现在样本中的状态都有相同的分布P ，我们试图在这些样本上最小化（8.1）式所示的MSE 。
这种情况下，好的对策就是在观察到的样本上最小化误差。
梯度-下降方法在获取每个样本之后稍微调整参数向量，调整方向是能最大程度减少样本误差的方向：211[()()]2t t t t t t V s V s πθθθα+=-∇-r r r[()()]()t t t t t t t V s V s V s πθθα=+-∇r r （8.2） 其中α是正的步长参数，对任意函数f ，()t t f θθ∇r r表示偏导数向量：()()(),,...,(1)(2)()T t t t t t t f f f n θθθθθθ⎛⎫∂∂∂ ⎪∂∂∂⎝⎭r r r 这个导数向量就是f 关于t θr 的梯度（gradient ）。
这种方法称为梯度下降（gradient descent ），因为t θr 每次调整的步长，都与样本误差平方的负梯度有比例关系。
这个方向是误差下降最快的方向。