1989年全国高考数学文科
1989年普通高等学校招生全国统一考试.理科数学试题
1989年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案 考生注意：这份试题共三道大题（24个小题），满分120分.一．选择题（本题满分36分，共12个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题选对得3分，不选或选错一律得0分）1．如果I={a,b,c,d,e},M={a,c,d},N={b,d,e},其中I 是全集，那么N M ⋂等于 （ ）（A ）φ （B ）{d} （C ）{a,c} （D ）{b,e}2．与函数y=x 有相同图象的一个函数是 （ ）（A ）2x y = （B ）x x y 2= （C ）.1a ,0a .a y x a log ≠>=其中 （D ）.1a ,0a .a log y x a ≠>=其中3．如果圆锥的底面半径为2，高为2，那么它的侧面积是（ ）（A ）π34 （B ）π22 （C ）π32 （D ）π24 4．)]53arccos()54(cos[arcsin ---的值等于 （ ）（A ）-1 （B ）257- （C ）257 （D ）510- 5．已知}a {n 是等比数列，如果,9a a a ,18a a a 432321-=++=++ 且n n n 21n S lim ,a a a S ∞→+++=那么 的值等于 （ ） （A ）8 （B ）16 （C ）32 （D ）486．如果2sin ,325,51|cos |θπ<θ<π=θ那么的值等于 （ ）（A ）510-（B ）510 （C ）515- （D ）5157．设复数z 满足关系式i 2|z |z +=+，那么z 等于 （）（A ）i 43+- （B ）i 43- （C ）i 43-- （D ）i 43+8．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是 （）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）59．已知椭圆的极坐标方程是,cos 235θ-=ρ那么它的短轴长是（ ） （A ）310 （B ）5 （C ）52 （D ）32 10．如果双曲线136y 64x 22=-上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的右准线的距离是 （ ）（A ）10 （B ）7732 （C ）72 （D ）532 11．已知,x x 28)x (f 2-+=如果),x 2(f )x (g 2-=那么)x (g （ ）（A ）在区间（-1，0）上是减函数（B ）在区间（0，1）上是减函数（C ）在区间（-2，0）上是增函数（D ）在区间（0，2）上是增函数12．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 （ ）（A ）60个 （B ）48个 （C ）36个 （D ）24个二．填空题（本题满分24分，共6个小题，每一个小题满分4分要求直接写出结果.）13．方程2x cos 3x sin =-的解集是_________________14．不等式4|x 3x |2>-的解集是____________________15．函数1e 1e y x x +-=的反函数的定义域是_____________ 16．已知,x a x a x a a )x 21(7722107++++=- 那么=+++721a a a ____17．已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么B 是A 的_______条件;B A 是的______条件18．如图，已知圆柱的底面半径是3，高是4，A 、B 两点分别在两底面的圆周上，并且AB=5，那么直线AB 与轴O O '之间的距离等于________________三．解答题（本题满分60分，共6个小题.）19．（本小题满分8分） 证明：x 2cos x cos x sin 22x tg 2x 3tg+=-20．（本小题满分10分）如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=.3π（Ⅰ）求证：顶点A 1在底面ABCD的射影O 在∠BAD 的平分线上; （Ⅱ）求这个平行六面体的体积21．（本小题满分10分）自点A （-3，3）发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2-4x-4y+7=0相切，求光线L 所在直线的方程22．（本小题满分12分）已知,1a ,0a ≠>试求使方程)a x (log )ak x (log 222a a -=-有解的k 的取值范围23．（本小题满分10分）是否存在常数a,b,c 使得等式)c bn an (12)1n (n )1n (n 32212222+++=++⋅+⋅ 对一切自然数n 都成立？并证明你的结论24．（本小题满分10分）设f(x)是定义在区间),(+∞-∞上以2为周期的函数，对Z k ∈,用k I 表示区间],1k 2,1k 2(+-已知当0I x ∈时，f(x)=x 2.（1）求f(x)在k I 上的解析表达式;（2）对自然数k,求集合上有两个在使方程k k I ax )x (f |a {M ==不等的实根}。
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D 48 ．
5．（3 分）如果（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，那么 a1+a2+…+a7 的值等于（ ）
A ．
﹣2
B ．
﹣1
C0 ．
D2 ．
6．（3 分）如果
的值等于（ ）
A
B
C
D
．
．
．
．
7．（3 分）直线 2x+3y﹣6=0 关于点（1，﹣1）对称的直线是（ ）
们的交点为顶点的四边形面积最大，并求相应的四边形的顶点坐标．
1989 年全国统一高考数学试卷（文科）
22．（10 分）用数学归纳法证明（1•22﹣2•32）+（3•42﹣4•52）+…+[（2n﹣1）（2n）2﹣2n（2n+1）2]
=﹣n（n+1）（4n+3）． 23．（12 分）已知 a＞0，a≠1，试求使方程
围．
有解的 k 的取值范
24．（12 分）给定椭圆方程
，求与这个椭圆有公共焦点的双曲线，使得以它
A ．
3x﹣2y+2=0
B 2x+3y+7=0 ．
C ．
3x﹣2y﹣12=0
D 2x+3y+8=0 ．
8．（3 分）已知球的两个平行截面的面积分别为 5π 和 8π，它们位于球心的同一侧，且相距为 1，那
么这个球的半径是（ ）
A 4
B3
C2
D5
．
．
．
．
9．（3 分）由数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（ ）
AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD= ．
高考数学普通高等学校招生全国统一考试89
高考数学普通高等学校招生全国统一考试89高考数学普通高等学校招生全国统一考试89本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至4页.全卷满分150分,考试时间120分钟.考生注意事项:1.答题前,务必在试题卷.答题卡规定的地方填写自己的座位号.姓名,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中〝座位号.姓名.科类〞与本人座位号.姓名.科类是否一致.2．答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.3．答第Ⅱ卷时,必须用0.5毫米墨水签字笔在答题卡上书写.在试题卷上作答无效.4．考试结束,监考人员将试题卷和答题卡一并收回.参考公式:如果时间A.B互斥,那么如果时间A.B相互独立,那么如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率球的表面积公式,其中R表示球的半径球的体积公式,其中R表示球的半径第Ⅰ卷(选择题共60分)一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M＝｛_｝,N＝｛yy＝3_2＋1,__Icirc;R｝,则M_Ccedil;N＝( C )A．_AElig; B. {___sup3;1} C.｛___gt;1｝ D. {_ __sup3;1或__lt;0}解:M＝｛___gt;1或__pound;0｝,N＝｛yy_sup3;1｝故选C2.已知复数z满足(＋3i)z＝3i,则z＝( D )A． B. C. D.解:故选D3.若a_gt;0,b_gt;0,则不等式－b_lt;_lt;a等价于( D )A．_lt;__lt;0或0_lt;__lt; B.－_lt;__lt; C.__lt;-或__gt; D.__lt;或__gt;解:故选D4.设O为坐标原点,F为抛物线y2＝4_的焦点,A是抛物线上一点,若＝－4则点A的坐标是(B )A．(2,±2) B. (1,±2) C.(1,2)D.(2,2)解:F(1,0)设A(,y0)则＝( ,y0),＝(1－,－y0),由· ＝－4_THORN;y0＝±2,故选B5.对于R上可导的任意函数f(_),若满足(_－1)_sup3;0,则必有( C )A．f(0)＋f(2)_lt;2f(1) B. f(0)＋f(2)_pound;2f(1)C.f(0)＋f(2)_sup3;2f(1) D. f(0)＋f(2)_gt;2f(1)解:依题意,当__sup3;1时,f_cent;(_)_sup3;0,函数f(_)在(1,＋_yen;)上是增函数;当__lt;1时,f_cent;(_)_pound;0,f(_)在(－_yen;,1)上是减函数,故f(_)当_＝1时取得最小值,即有f(0)_sup3;f(1),f(2)_sup3;f(1),故选C6.若不等式_2＋a_＋1_sup3;0对于一切__Icirc;(0,)成立,则a的最小值是( C )A．0 B. –2 C.- D.-3解:设f(_)＝_2＋a_＋1,则对称轴为_＝若_sup3;,即a_pound;－1时,则f(_)在〔0,〕上是减函数,应有f()_sup3;0_THORN;－_pound;__pound;－1若_pound;0,即a_sup3;0时,则f(_)在〔0,〕上是增函数,应有f(0)＝1_gt;0恒成立,故a_sup3;0若0_pound;_pound;,即－1_pound;a_pound;0,则应有f()＝恒成立,故－1_pound;a_pound;0综上,有－_pound;a故选C7.已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn,若,且A.B.C三点共线(该直线不过原点O),则S200＝( A )A．100 B. 101 C.200 D.201解:依题意,a1＋a200＝1,故选A8.在(_－)_ 的二项展开式中,含_的奇次幂的项之和为S,当_＝时,S等于(B )A.23008B.-23008C.23009D.-23009解:设(_－)_＝a0__＋a1__＋…＋a__＋a_则当_＝时,有a0()_＋a1()_＋…＋a_()＋a_＝0 (1)当_＝－时,有a0()_－a1()_＋…－a_()＋a_＝23009 (2)(1)－(2)有a1()_＋…＋a_()＝－23009_cedil;2＝－23008故选B9.P是双曲线的右支上一点,M.N分别是圆(_＋5)2＋y2＝4和(_－5)2＋y2＝1上的点,则PM－PN的最大值为( D )A. 6B.7C.8D.9解:设双曲线的两个焦点分别是F1(－5,0)与F2(5,0),则这两点正好是两圆的圆心,当且仅当点P与M.F1三点共线以及P与N.F2三点共线时所求的值最大,此时PM－PN＝(PF1－2)－(PF2－1)＝10－1＝9故选B10.将7个人(含甲.乙)分成三个组,一组3人,另两组2 人,不同的分组数为a,甲.乙分到同一组的概率为p,则a.p的值分别为( A )A．a=105 p= B.a=105 p= C.a=210 p= D.a=210 p=解:a＝＝105甲.乙分在同一组的方法种数有(1)若甲.乙分在3人组,有＝15种(2)若甲.乙分在2人组,有＝10种,故共有25种,所以P＝故选A11.如图,在四面体ABCD中,截面AEF经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)球心O,且与BC,DC分别截于E.F,如果截面将四面体分成体积相等的两部分,设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S1,S2,则必有( )A.S1_lt;S2B.S1_gt;S2C.S1=S2D.S1,S2的大小关系不能确定解:连OA.OB.OC.OD则VA－BEFD＝VO－ABD＋VO－ABE＋VO－BEFDVA－EFC＝VO－ADC＋VO－AEC＋VO－EFC又VA－BEFD＝VA－EFC而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径,故SABD＋SABE＋SBEFD＝SADC＋SAEC＋SEFC又面AEF公共,故选C12.某地一年的气温Q(t)(单位:_ordm;c)与时间t(月份)之间的关系如图(1)所示,已知该年的平均气温为10_ordm;c,令G(t)表示时间段〔0,t〕的平均气温,G(t)与t之间的函数关系用下列图象表示,则正确的应该是( A )10_ordm;c10_ordm;ctO612OO图(1)B AD10_ordm;cG(t)O612tCG(t)10_ordm;c 612 t O解:结合平均数的定义用排除法求解理科数学第Ⅱ卷(非选择题共90分)注意事项:请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上书写作答无效.二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填写在答题卡的相应位置.13.数列｛｝的前n项和为Sn,则Sn＝解:故14.设f(_)＝log3(_＋6)的反函数为f－1(_),若〔f－1(m)＋6〕〔f－1(n)＋6〕＝27则f(m＋n)＝___________________解:f－1(_)＝3_－6故〔f－1(m)＋6〕·〔f－1(_)＋6〕＝3m·3n＝3m ＋n＝27\m＋n＝3\f(m＋n)＝log3(3＋6)＝215.如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中,底面为直角三角形,_ETH;ACB＝90°,AC＝6,BC＝CC1＝,P是BC1上一动点,则CP＋PA1的最小值是___________解:连A1B,沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内,如图所示,A1C1BC连A1C,则A1C的长度就是所求的最小值.通过计算可得_ETH;A1C1C＝90°又_ETH;BC1C＝45°\_ETH;A1C1C＝135° 由余弦定理可求得A1C＝16.已知圆M:(_＋cosq)2＋(y－sinq)2＝1,直线l:y＝k_,下面四个命题:(A)对任意实数k与q,直线l和圆M相切;(B)对任意实数k与q,直线l和圆M有公共点;(C)对任意实数q,必存在实数k,使得直线l与和圆M相切(D)对任意实数k,必存在实数q,使得直线l与和圆M相切其中真命题的代号是______________(写出所有真命题的代号)解:圆心坐标为(－cosq,sinq)d＝故选(B)(D)三.解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤17.(本小题满分12分)已知函数f(_)＝_3＋a_2＋b_＋c在_＝－与_＝1时都取得极值(1)求a.b的值与函数f(_)的单调区间(2)若对__Icirc;〔－1,2〕,不等式f(_)_lt;c2恒成立,求c的取值范围.解:(1)f(_)＝_3＋a_2＋b_＋c,f_cent;(_)＝3_2＋2a_＋b由f_cent;()＝,f_cent;(1)＝3＋2a＋b＝0得a＝,b＝－2f_cent;(_)＝3_2－_－2＝(3_＋2)(_－1),函数f(_)的单调区间如下表:_(－_yen;,－)－(－,1)1(1,＋_yen;)f_cent;(_)＋－＋f(_)_shy;极大值_macr;极小值_shy;所以函数f(_)的递增区间是(－_yen;,－)与(1,＋_yen;)递减区间是(－,1)(2)f(_)＝_3－_2－2_＋c,__Icirc;〔－1,2〕,当_＝－时,f(_)＝＋c为极大值,而f(2)＝2＋c,则f(2)＝2＋c为最大值.要使f(_)_lt;c2(__Icirc;〔－1,2〕)恒成立,只需c2_gt;f(2)＝2＋c解得c_lt;－1或c_gt;218.(本小题满分12分)某商场举行抽奖促销活动,抽奖规则是:从装有9个白球,1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球,记下颜色后放回,摸出一个红球可获得奖金10元;摸出2个红球可获得奖金50元,现有甲,乙两位顾客,规定:甲摸一次,乙摸两次,令_表示甲,乙摸球后获得的奖金总额.求:(1)_的分布列 (2)_的的数学期望解:(1)_的所有可能的取值为0,10,20,50,60分布列为_10205060P(2)E_＝3.319.(本小题满分12分)如图,已知△ABC是边长为1的正三角形,M.N分别是边AB.AC上的点,线段MN经过△ABC的中心G,设_ETH;MGA＝a()(1)试将△AGM.△AGN的面积(分别记为S1与S2)表示为a的函数(2)求y＝的最大值与最小值解:(1)因为G是边长为1的正三角形ABC的中心, 所以 AG＝,_ETH;MAG＝,由正弦定理,得则S1＝GM·GA·sina＝,同理可求得S2＝.(2)y＝＝＝72(3＋cot2a)因为,所以当a＝或a＝时,y取得最大值yma_＝240当a＝时,y取得最小值ymin＝21620.(本小题满分12分)如图,在三棱锥A－BCD中,侧面ABD.ACD用空间向量求解,解答略21.(本大题满分12分)如图,椭圆Q:(a_gt;b_gt;0)的右焦点F(c,0),过点F的一动直线m绕点F转动,并且交椭圆于A.B两点,P是线段AB的中点(1)求点P的轨迹H的方程(2) 在Q的方程中,令a2＝1＋cosq＋sinq,b2＝sinq(0_lt;q_pound; ),确定q的值,使原点距椭圆的右准线l最远,此时,设l与_轴交点为D,当直线m绕点F转动到什么位置时,三角形ABD的面积最大?21.解:如图,(1)设椭圆Q:(a_gt;b_gt;0)上的点A(_1,y1).B(_2,y2),又设P点坐标为P(_,y),则1°当AB不垂直_轴时,_1_sup1;_2,由(1)－(2)得b2(_1－_2)2_＋a2(y1－y2)2y＝0\b2_2＋a2y2－b2c_＝0 (3)2°当AB垂直于_轴时,点P即为点F,满足方程(3)故所求点P的轨迹方程为:b2_2＋a2y2－b2c_＝0(2)因为,椭圆Q右准线l方程是_＝,原点距l的距离为,由于c2＝a2－b2,a2＝1＋cosq＋sinq,b2＝sinq(0_lt;q_pound;) 则＝＝2sin(＋)当q＝时,上式达到最大值.此时a2＝2,b2＝1,c＝1,D(2,0),DF＝1 设椭圆Q:上的点 A(_1,y1).B(_2,y2),三角形ABD的面积S＝y1＋y2＝y1－y2设直线m的方程为_＝ky＋1,代入中,得(2＋k2)y2＋2ky－1＝0由韦达定理得y1＋y2＝,y1y2＝,4S2＝(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4 y1y2＝令t＝k2＋1_sup3;1,得4S2＝,当t＝1,k＝0时取等号.因此,当直线m绕点F转到垂直_轴位置时,三角形ABD的面积最大.22.(本大题满分14分)已知数列｛an｝满足:a1＝,且an＝(1)求数列｛an｝的通项公式;(2)证明:对于一切正整数n,不等式a1·a2·……an_lt;2·n!22.解:(1)将条件变为:1－＝,因此｛1－｝为一个等比数列,其首项为1－＝,公比,从而1－＝,据此得an＝(n_sup3;1)…………1°(2)证:据1°得,a1·a2·…an＝为证a1·a2·……an_lt;2·n!只要证n_Icirc;N_时有_gt;…………2°显然,左端每个因式都是正数,先证明,对每个n_Icirc;N_,有_sup3;1－()…………3°用数学归纳法证明3°式:(i)n＝1时,3°式显然成立,(ii)设n＝k时,3°式成立,即_sup3;1－()则当n＝k＋1时,_sup3;〔1－()〕·()＝1－()－＋()_sup3;1－(＋)即当n＝k＋1时,3°式也成立. 故对一切n_Icirc;N_,3°式都成立.利用3°得,_sup3;1－()＝1－＝1－_gt;故2°式成立,从而结论成立.。
1989年全国统一高考数学试卷(文科)
1989年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分） 1．（3分）（2000•北京）如果I={a ，b ，c ，d ，e}，M={a ，c ，d}，N={b ，d ，e}，其中I 是全集，那么（C I M ）∩（C I N ）等于（ ） A ． φ B ． {d} C ． {a ，c} D ． {b ，e} 2．（3分）与函数y=x 有相同图象的一个函数是（ ） A ． B ． C ． y =a log a x ．其中a ＞0，a≠1 D ． y =log a a x ．其中a ＞0，a≠1 3．（3分）如果圆锥的底面半径为，高为2，那么它的侧面积是（ ） A ． B ． C ． D ．4．（3分）已知{an}是等比数列，如果a 1+a 2+a 3=18，a 2+a 3+a 4=﹣9，S n =a 1+a 2+…+an ，那么S n 的值等于（ ） A ． 8 B ． 16 C ． 32 D ． 48 5．（3分）如果（1﹣2x ）7=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 7x 7，那么a 1+a 2+…+a 7的值等于（ ） A ． ﹣2 B ． ﹣1 C ． 0 D ． 26．（3分）如果的值等于（ ） A ．B ．C ．D ．7．（3分）直线2x+3y ﹣6=0关于点（1，﹣1）对称的直线是（ ） A ． 3x ﹣2y+2=0 B ． 2x+3y+7=0 C ． 3x ﹣2y ﹣12=0D ． 2x+3y+8=08．（3分）已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是（ ） A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 5 9．（3分）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（ ） A ． 60个 B ． 48个 C ． 36个 D ． 24个10．（3分）如果双曲线上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的右准线的距离是（ ） A ．10 B ．C ．D ．11．（3分）如果最小值是（ ）A ．B ．C ．﹣1 D ．12．（3分）已知f （x ）=8+2x ﹣x 2，如果g （x ）=f （2﹣x 2），那么g （x ）（ ） A ． 在区间（﹣1，0）上是减函数 B ． 在区间（0，1）上是减函数 C ． 在区间（﹣2，0）上是增函数 D ． 在区间（0，2）上是增函数二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分） 13．（4分）给定三点A （1，0），B （﹣1，0），C （1，2），那么通过点A 并且与直线BC 垂直的直线方程 _________ ． 14．（4分）（2010•焦作二模）不等式|x 2﹣3x|＞4的解集是 _________ ．15．（4分）函数的反函数的定义域是 _________ ．16．（4分）已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么B 是A 的 _________ 条件17．（4分）已知0＜a ＜1，0＜b ＜1，如果＜1，那么x 的取值范围为 _________ ．18．（4分）如图，P 是二面角α﹣AB ﹣β棱AB 上的一点，分别在α，β上引射线PM ，PN ，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，那么二面角α﹣AB ﹣β的大小是 _________ ．三、解答题（共6小题，满分60分） 19．（8分）设复数，求z 的模和辐角的主值．20．（8分）证明：．21．（10分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=．（Ⅰ）求证：顶点A 1在底面ABCD 的射影O 在∠BAD 的平分线上； （Ⅱ）求这个平行六面体的体积．22．（10分）用数学归纳法证明（1•22﹣2•32）+（3•42﹣4•52）+…+[（2n﹣1）（2n）2﹣2n（2n+1）2]=﹣n（n+1）（4n+3）．23．（12分）已知a＞0，a≠1，试求使方程有解的k的取值范围．24．（12分）给定椭圆方程，求与这个椭圆有公共焦点的双曲线，使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大，并求相应的四边形的顶点坐标．1989年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分） 1．（3分）（2000•北京）如果I={a ，b ，c ，d ，e}，M={a ，c ，d}，N={b ，d ，e}，其中I 是全集，那么（C I M ）∩（C I N ）等于（ ） A ． φ B ． {d} C ． {a ，c} D ． {b ，e}考点： 交、并、补集的混合运算． 分析： 根据交集、补集的意义直接求解．或者根据（C I M ）∩（C I N ）=C I （M ∪N ）求解． 解答： 解：C I M={b ，e}，C I N={a ，c}，∴（C I M ）∩（C I N ）=∅，故选A点评： 本题考查集合的基本运算，较容易． 2．（3分）与函数y=x 有相同图象的一个函数是（ ） A ． B ． C ． y =a log a x ．其中a ＞0，a≠1 D ． y =log a a x ．其中a ＞0，a≠1考点： 反函数． 分析： 欲寻找与函数y=x 有相同图象的一个函数，只须考虑它们与y=x 是不是定义域与解析式都相同即可．解答： 解：对于A ，它的定义域为R ，但是它的解析式为y=|x|与y=x 不同，故错；对于B ，它的定义域为x≠0，与y=x 不同，故错； 对于C ，它的定义域为x ＞0，与y=x 不同，故错；对于D ，它的定义域为R ，解析式可化为y=x 与y=x 同，故正确； 故选D ．点评： 本题主要考查了函数的概念、函数的定义域等，属于基础题． 3．（3分）如果圆锥的底面半径为，高为2，那么它的侧面积是（ ） A ． B ． C ． D ．考点： 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 专题： 计算题． 分析： 根据圆锥的侧面积公式直接解答即可． 解答： 解：圆锥的底面半径为，高为2，母线长为：，那么它的侧面积：故选C ．点评： 本题考查圆锥的侧面积和表面积，是基础题、必会题．4．（3分）已知{an}是等比数列，如果a 1+a 2+a 3=18，a 2+a 3+a 4=﹣9，S n =a 1+a 2+…+an ，那么S n 的值等于（ ） A ． 8 B ． 16 C ． 32 D ． 48考点： 极限及其运算；等比数列的前n 项和；等比数列的性质．专题：计算题．分析：由题意知，所以，S n=．解答：解：∵a1+a1q+a1q2=18，a1q+a1q2+a1q3=﹣9，∴．∴，∴S n=．故选B．点评：本题考查等比数列的计算和极限，解题时要正确选取公式，注意公式的灵活运用．5．（3分）如果（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，那么a1+a2+…+a7的值等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．0D．2考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：本题由于是求二项式展开式的系数之和，故可以令二项式中的x=1，又由于所求之和不含a0，令x=0，可求出a0的值，代入即求答案．解答：解：令x=1代入二项式（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7得，（1﹣2）7=a0+a1+…+a7=﹣1，令x=0得a0=1∴1+a1+a2+…+a7=﹣1∴a1+a2+…+a7=﹣2故选择A点评：本题主要考查二项式定理的应用，一般再求解有二项式关系数的和等问题时通常会将二项式展开式中的未知数x赋值为1或0或者是﹣1进行求解．本题属于基础题型．6．（3分）如果的值等于（）A．B．C．D．考点：二倍角的余弦．分析：由题目中给出的角θ的范围，确定余弦值，用余弦表示sin，求出结果，容易出错的地方是，要求结果的正负，要用角的范围帮助分析解答：解：∵，∴，∵∴或，∵，∴，故选C点评：已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的其他三角函数式的值，一般需用三个基本关系式及其变式，通过恒等变形或解方程求解．已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的半角或二倍角的三角函数值，要用到二倍角公式．7．（3分）直线2x+3y﹣6=0关于点（1，﹣1）对称的直线是（）D．2x+3y+8=0A．3x﹣2y+2=0 B．2x+3y+7=0 C．3x﹣2y﹣12=0考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．分析：直线2x+3y﹣6=0关于点（1，﹣1）对称的直线，和直线2x+3y﹣6=0平行，排除A、C，在直线2x+3y﹣6=0选特殊点，关于点（1，﹣1）对称点求出，验证B即可得到答案．解答：解：直线2x+3y﹣6=0关于点（1，﹣1）对称的直线，和直线2x+3y﹣6=0平行，排除A、C，在直线2x+3y﹣6=0选特殊点（0，2），它关于点（1，﹣1）对称点（2，﹣4），显然（2，﹣4）不在2x+3y+7=0上．故选D．点评：选择题的解法，灵活多样，本题用排除、特值、验证的方法解答．本题是基础题．8．（3分）已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是（）A．4B．3C．2D．5考点：球面距离及相关计算．专题：计算题．分析：画出图形，求出两个截面圆的半径，即可解答本题．解答：解：由题意画轴截面图，截面的面积为5π，半径为，截面的面积为8π的圆的半径是，设球心到大截面圆的距离为d，球的半径为r，则5+（d+1）2=8+d2，∴d=1，∴r=3故选B．点评：本题考查球的截面圆的半径，球的半径，球心到截面圆心的距离的关系，是基础题．9．（3分）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（）A．60个B．48个C．36个D．24个考点：分步乘法计数原理．分析：偶数即个位数字只能是2或4解答：解：偶数即个位数字只能是2或4，其它位置任意排放共有C21•A44=2×4×3×2×1=48个故选B点评： 分步乘法计数原理的理解，偶数怎样选，注意没有0；当然也可以用概率解答．10．（3分）如果双曲线上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的右准线的距离是（ ） A ． 10 B ．C ．D ．考点： 双曲线的简单性质． 专题： 计算题．分析：由双曲线的第二定义可知点P 到双曲线右焦点的距离和点P 到它的右准线的距离之比等于离心率，由此可以求出点P 到它的右准线的距离．解答：解：设点P 到它的右准线的距离是x ，∵， ∴，解得．故点P 到它的右准线的距离是．故选D ．点评： 本题考查双曲线的第二定义，解题时注意认真审题．11．（3分）如果最小值是（ ）A ．B ．C ．﹣1 D ．考点： 函数的值域；同角三角函数基本关系的运用． 专题： 压轴题． 分析：由|x|，可进一步得到sinx 的范围，借助二次函数求最值的配方法，就可以确定出函数的最小值．解答：解：函数f （x ）=cos 2x+sinx=1﹣sin 2x+sinx=∵|x|≤，∴∴∴时，故选D ．点评：本题有两点值得注意： （1）sin 2x+cos 2x=1（2）求函数最值的有效方法之一是函数思想，即求最值建函数．12．（3分）已知f （x ）=8+2x ﹣x 2，如果g （x ）=f （2﹣x 2），那么g （x ）（ ） A ． 在区间（﹣1，0）上是减函数 B ． 在区间（0，1）上是减函数 C ． 在区间（﹣2，D ． 在区间（0，2）0）上是增函数上是增函数考点：复合函数的单调性．专题：计算题；综合题；压轴题．分析：先求出g（x）的表达式，然后确定它的区间的单调性，即可确定选项．解答：解：因为f（x）=8+2x﹣x2，则g（x）=f（2﹣x2）=8+2x2﹣x4=﹣（x2﹣1）2+9，因为g′（x）=﹣4x3+4x，x∈（﹣1，0），g′（x）＜0，g（x）在区间（﹣1，0）上是减函数．故选A．点评：本题考查复合函数的单调性，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．（4分）给定三点A（1，0），B（﹣1，0），C（1，2），那么通过点A并且与直线BC垂直的直线方程x+y﹣1=0．考点：直线的点斜式方程．分析：先求得斜率，再用点斜式求得方程．解答：解：k=﹣∴过点A的直线方程：y=﹣（x﹣1）即：x+y﹣1=0故答案是x+y﹣1=0点评：本题主要考查如何求解直线方程．14．（4分）（2010•焦作二模）不等式|x2﹣3x|＞4的解集是{x|x＜﹣1，或x＞4}．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：用绝对值的意义将绝对值不等式转化为一般不等式求解．解答：解：∵|x2﹣3x|＞4∴x2﹣3x＞4 或x2﹣3x＜﹣4由x2﹣3x＞4解得x＜﹣1或x＞4，x2﹣3x＜﹣4无解∴不等式|x2﹣3x|＞4的解集是{x|x＜﹣1或x＞4}故应填{x|x＜﹣1或x＞4}点评：考查绝对值不等式的解法，用绝对值的几何意义来进行转化．15．（4分）函数的反函数的定义域是（﹣1，1）．考点：反函数．专题：计算题．分析：欲求反函数的定义域，可以通过求在函数的值域获得，所以只要求出函数的值域即可．解答：解：由得，e x=．∵ex＞0，∴．＞0，∴﹣1＜y＜1，∴反函数的定义域是（﹣1，1）．故填：（﹣1，1）点评：本题主要考查反函数的性质，考查了互为反函数的两个函数的定义域和值域正好相反．属于基础题．16．（4分）已知A和B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么B是A的必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：压轴题；阅读型．分析：本题考查的知识点是充要条件的定义，如果A是B的充分条件，那么B是A的必要条件．解答：解：由充要条件的定义，如果A是B的充分条件，那么B是A的必要条件．故答案为：必要点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．17．（4分）已知0＜a＜1，0＜b＜1，如果＜1，那么x的取值范围为（3，4）．考点：指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题；压轴题；转化思想．分析：根据条件0＜a＜1，0＜b＜1，以及指数函数、对数函数的单调性和特殊点，把不等式进行等价转化，从而得到x的取值范围．解答：解：∵0＜a＜1，0＜b＜1，如果＜1，∴log b（x﹣3）＞0，∴0＜x﹣3＜1，∴3＜x＜4，故答案为：（3，4）．点评：本题考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点，体现了等价转化的数学思想．18．（4分）如图，P是二面角α﹣AB﹣β棱AB上的一点，分别在α，β上引射线PM，PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，那么二面角α﹣AB﹣β的大小是90°．考点：与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题；压轴题．分析：本题考查的知识点是二面角及其度量，我们要根据二面角的定义，在两个平面的交线上取一点Q，然后向两个平面引垂线，构造出二面角的平面角，然后根据平面几何的性质，求出含二面角的平面角的三角形中相关的边长，解三角形即可得到答案．解答：解：过AB上一点Q分别在α，β内做AB的垂线，交PM，PN于M点和N点则∠MQN即为二面角α﹣AB﹣β的平面角，如下图所示：设PQ=a，则∵∠BPM=∠BPN=45°∴QM=QN=aPM=PN= a又由∠MPN=60°，易得△PMN为等边三角形则MN= a解三角形QMN易得∠MQN=90°故答案为：90°点评：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠MQN 为二面角α﹣AB﹣β的平面角，通过解∠MQN所在的三角形求得∠MQN．其解题过程为：作∠MQN→证∠MQN是二面角的平面角→计算∠MQN，简记为“作、证、算”．三、解答题（共6小题，满分60分）19．（8分）设复数，求z的模和辐角的主值．考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：首先把复数提出系数，变化为复数的三角形式，根据三角形式的乘方运算法则，写出5次方的结果，从复数的三角形式上看出模长和幅角的主值．解答：解：∵=∴复数z的模为32，的模和辐角的主值为点评：本题考查复数的代数形式转化为三角形式，复数的代数形式和三角形式是复数运算中常用的两种形式，注意两种形式的标准形式，不要在简单问题上犯错误．20．（8分）证明：．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数恒等式的证明；弦切互化．分析：等式左边是两个正切值，右边是余弦、正弦的分式，左边是半角与，右边是单角x和倍角2x．若从右向左证，需进行单角变半角，而分母可进行和化积，关键是分子的变化，仍从角入手，将x写成﹣，再用两角差公式，而从左向右证，需进行切变弦，同时还要考虑变半角为单角．解答：证明：=点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系和两角差的正弦公式．属中档题．三角函数部分公式比较多要强化记忆．21．（10分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=．（Ⅰ）求证：顶点A1在底面ABCD的射影O在∠BAD的平分线上；（Ⅱ）求这个平行六面体的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题；综合题．分析：（Ⅰ）如图利用Rt△A1NA≌Rt△A1MA证明A1M=A1N，OM=ON，即证明顶点A1在底面ABCD 的射影O在∠BAD的平分线上；（Ⅱ）求出底面ABCD的面积，和高A1O，然后可求几何体的体积．解答：解：（Ⅰ）证：连接A1O，则A1O⊥底面ABCD．作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，连接A1M，A1N由三垂线定理得A1M⊥AB，A1N⊥AD∵∠A1AM=∠A1AN，∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA∴A1M=A1N∴OM=ON．∴点O 在∠BAD的平分线上（Ⅱ）∵AM=AA1，∴AO=AM．又在职Rt△AOA1中，A1O2=AA12﹣AO2=，∴A 1O=．∴平行六面体的体积V=．点评：本题考查棱柱的体积，以及射影问题，考查学生逻辑思维能力，是基础题．22．（10分）用数学归纳法证明（1•22﹣2•32）+（3•42﹣4•52）+…+[（2n﹣1）（2n）2﹣2n（2n+1）2]=﹣n（n+1）（4n+3）．考点：数学归纳法．专题：证明题．分析：用数学归纳法证明问题的步骤是：第一步，验证当n=n0时命题成立，第二步假设当n=k时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立．关键是第二步中要充分用上归纳假设的结论，否则会导致错误．解答：证明：当n=1时，左边=﹣14，右边=﹣1•2•7=﹣14，等式成立假设当n=k时等式成立，即有（1•22﹣2•32）+（3•42﹣4•52）++[（2k﹣1）（2k）2﹣2k（2k+1）2]=﹣k（k+1）（4k+3）那么当n=k+1时，（1•22﹣2•32）+（3•42﹣4•52）++[（2k﹣1）（2k）2﹣2k（2k+1）2]+[（2k+1）（2k+2）2﹣（2k+2）（2k+3）2]=﹣k（k+1）（4k+3）﹣2（k+1）[4k2+12k+9﹣4k2﹣6k﹣2]=﹣（k+1）[4k2+3k+2（6k+7）]=﹣（k+1）[4k2+15k+14]=﹣（k+1）（k+2）（4k+7）=﹣（k+1）[（k+1）+1][4（k+1）+3]．这就是说，当n=k+1时等式也成立．根据以上论证可知等式对任何n∈N都成立．点评：本题考查数学归纳法的思想，应用中要注意的是要用上归纳假设．23．（12分）已知a＞0，a≠1，试求使方程有解的k的取值范围．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题；压轴题．分析：由题设条件可知，原方程的解x应满足，当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解，再根据这个不等式组的解集并结合对数函数的性质可以求出k的取值范围．解答：解：由对数函数的性质可知，原方程的解x应满足当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解由（1）得2kx=a（1+k2）（4）当k=0时，由a＞0知（4）无解，因而原方程无解．当k≠0时，（4）的解是把（5）代入（2），得．解得：﹣∞＜k＜﹣1或0＜k＜1．综合得，当k在集合（﹣∞，﹣1）∪（0，1）内取值时，原方程有解．点评：解题时要注意分类讨论思想的灵活运用．24．（12分）给定椭圆方程，求与这个椭圆有公共焦点的双曲线，使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大，并求相应的四边形的顶点坐标．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；压轴题．分析：设所求双曲线的方程是，由题设知c2=α2+β2=a2﹣b2．由方程组，解得交点的坐标满足．由此可推出相应的四边形顶点坐标．解答：解：设所求双曲线的方程是由题设知c2=α2+β2=a2﹣b2．由方程组解得交点的坐标满足．由椭圆和双曲线关于坐标轴的对称性知，以它们的交点为顶点的四边形是长方形，其面积因为S与同时达到最大值，所以当时达到最大值2ab这时，因此，满足题设的双曲线方程是．相应的四边形顶点坐标是．点评：本题考查圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答．。
1989年全国高考数学试题及答案
1989年全国高考数学试题(理工农医类)一、选择题:每一个小题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中只有一个是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的括号内.【】[Key] 一、本题考查基本概念和基本运算.(1)A(2)与函数y=x有相同图象的一个函数是【】[Key] (2)D【】[Key] (3)C【】[Key] (4)A(A)8 (B)16(C)32 (D)48【】[Key] (5)B【】[Key] (6)C【】[Key] (7)D(8)已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且相距为1,那么这个球的半径是(A)4 (B)3(C)2 (D)5【】[Key] (8)B【】[Key] (9)C【】[Key] (10)D(11)已知f(x)=8+2x-x2,如果g(x)=f(2-x2),那么g(x)(A)在区间(-1,0)上是减函数(B)在区间(0,1)上是减函数(C)在区间(-2,0)上是增函数(D)在区间(0,2)上是增函数【】[Key] (11)A(12)由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有(A)60个(B)48个(C)36个(D)24个【】[Key] (12)C二、填空题:只要求直接填写结果.[Key] 二、本题考查基本概念和基本运算,只需要写出结果.(14)不等式│x2-3x│>4的解集是 .[Key][Key] (15)(-1,1)(16)已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,那么a1+a2+…+a7= .[Key] (16)-2[Key] (17)必要,必要(18)如图,已知圆柱的底面半径是3,高是4,A、B两点分别在两底面的圆周上,并且AB=5,那么直线AB与轴OO＇之间的距离等于 .[Key] (18)三、解答题.[Key] 三、解答题.(19)本题主要考查:运用三角公式进行恒等变形的能力.证法一:证法二:(Ⅰ)求证:顶点A1在底面ABCD的射影O在∠BAD的平分线上;(Ⅱ)求这个平行六面体的体积.[Key] (20)本题主要考查:线面关系,三垂线定理以及空间想象能力.(Ⅰ)证明:如图,连结A1O,则A1O⊥底面ABCD.作OM⊥AB交AB于M,作ON⊥AD交AD于N,连结A1M,A1N.由三垂线定理得A1M⊥AB,A1N⊥AD.∵∠A1AM=∠A1AN,∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA.∴A1M=A1N.∴OM=ON.∴点O在∠BAD的平分线上.(Ⅱ)解:∴平行六面体的体积(21)自点A(-3,3)发出的光线L射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线L所在直线的方程.[Key] (21)本题主要考查:直线和圆的方程以及灵活应用有关知识解决问题的能力.解法一:已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1,它关于x轴的对称圆的方程是(x-2)2+(y+2)2=1.设光线L所在直线的方程是y-3=k(x+3)(其中斜率k待定).由题设知对称圆的圆心C到这条直线的距离等于1,即整理得12k2+25k+12=0,故所求的直线方程是即3x+4y-3=0,或4x+3y+3=0.解法二:已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1.设光线L所在直线的方程是y-3=k(x+3)(其中斜率k待定).由题意知k≠0,于是L的反射点的坐标是因为光线的入射角等于反射角,所以反射光线L＇所在直线的方程是即y+kx+3(1+k)=0.这条直线应与已知圆相切,故圆心C到它的距离等于1,以下同解法一.(22)已知a>0,a≠1,试求使方程log a(x-ak)=log a2(x2-a2有解的k的取值范围.[Key] (22)本题主要考查:对数函数的性质以及解不等式的能力.解:由对数函数的性质可知,原方程的解x应满足当①,②同时成立时,③显然成立,因此只需解由①得 2kx=a(2+k2). ④当k=0时,由a>0知④无解,因而原方程无解.把⑤代入②,得当k<0时得k2>1,即-∞<k<-1.当k>0时得k2<1,即0<k<1.综合得,当k在集合(-∞,-1)∪(0,1)内取值时,原方程有解.(23)是否存在常数a,b,c使得等式对一切自然数n都成立？并证明你的结论.[Key] (23)本题主要考查:综合运用待定系数法、数学归纳法解决问题的能力.解法一:假设存在a,b,c使题设的等式成立,这时,令n=3 得70=9a+3b+c,经整理得解得a=3,b=11,c=10.于是,对n=1,2,3下面等式成立:记S n=1·22+2·32+…+n(n+1)2.设n=k时上式成立,即那么S k+1=S k+(k+1)(k+2)2也就是说,等式对n=k+1也成立.综上所述,当a=3,b=11,c=10时,题设的等式对一切自然数n成立.解法二:因为n(n+1)2=n3+2n2+n,所以S n=1·22+2·32+…+n(n+1)2=(13+2·12+1)+(23+2·22+2)+…+(n3+2n2+n)=(13+23+…+n3)+2(12+22+…+n2)+(1+2+…+n).由于下列等式对一切自然数n成立:由此可知综上所述,当a=3,b=11,c=10时,题设的等式对一切自然数n成立.(24)设f(x)是定义在区间(-∞,+∞)上以2为周期的函数,对k∈Z,用I k表示区间(2k-1,2k+1],已知当x∈I0时f(x)=x2.(Ⅰ)求f(x)在I k上的解析表达式;(Ⅱ)对自然数k,求集合M k={a│使方程f(x)=ax在I k上有两个不相等的实根}.[Key] (24)本题主要考查:周期函数的概念,解不等式的能力.(Ⅰ)解:∵f(x)是以2为周期的函数,∴当k∈Z时,2k是f(x)的周期.又∵当x∈I k时,(x-2k)∈I0,∴f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.即对k∈Z,当x∈I k时,f(x)=(x-2k)2.(Ⅱ)解:当k∈N且x∈I k时,利用(Ⅰ)的结论可得方程(x-2k)2=ax,整理得 x2-(4k+a)x+4k2=0.它的判别式是△=(4k+a)2-16k2=a(a+8k).上述方程在区间I k上恰有两个不相等的实根的充要条件是a满足化简得由①知a>0,或a<-8k. 当a>0时:当a<-8k时:故所求集合。
1989年普通高等学校招生全国统一考试(文科)
1．【理 1】如果 I = {a,b, c, d , e} ， M = {a, c, d} ， N = {b, d , e} ，其中 I 是全集，那么 I M I N =
() A．
B． {d }
C．{a, c}
D．{b, e}
【答案】A
【解析】法 1： I M = {b, e} ， I N = {a, c} ， I M I N = {b, e}{a, c} = ．
A1AM = A1AN ， RtA1NA RtA1MA ， A1M = A1N ， OM = ON ． 点 O 在 BAD 的平分线上．
(2)
AM
=
AA1 cos 3
=
3 1 2
=
3 2
，
AO
=
AM
csc 4
=
3 2
2．
又在
RtAOA1 中，
A1O 2
=
AA12
−
AO 2
=
9−
9 2
=
9 2
,
1− x
1− x
16．【理 17】已知 A 和 B 是两个命题，如果 A 是 B 的充分条件，那么 B 是 A 的_______条件， A 是
B 的____________条件．
【答案】必要，必要(注：仅答对一个结果的，只给 2 分)
【解析】 A 是 B 的充分条件，则 A B 等价于 B A ．
代入 2x0 + 3y0 − 6 = 0 ，得 2(2 − x) + 3(−2 − y) − 6 = 0 ，化简得 2x + 3y + 8 = 0 ．
8．【理 8】已知球的两个平行截面的面积分别为 5 和 8 ，它们位于球心的同一侧，且相距为 1，
1989年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案
1989年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案考生注意：这份试题共三道大题（24个小题），满分120分. 一．选择题（本题满分36分，共12个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题选对得3分，不选或选错一律得0分）1．如果I={a,b,c,d,e},M={a,c,d},N={b,d,e},其中I 是全集，那么N M ⋂等于 （ A ）（A ）φ （B ）{d} （C ）{a,c} （D ）{b,e}2．与函数y=x 有相同图象的一个函数是 （ D ）（A ）2x y = （B ）xx y 2=（C ）.1a ,0a .a y x a log ≠>=其中 （D ）.1a ,0a .a log y x a ≠>=其中3．如果圆锥的底面半径为2，高为2，那么它的侧面积是（ C ） （A ）π34 （B ）π22 （C ）π32 （D ）π244．)]53arccos()54(cos[arcsin ---的值等于 （ A ） （A ）-1 （B ）257-（C ）257 （D ）510- 5．已知}a {n 是等比数列，如果,9a a a ,18a a a 432321-=++=++ 且n n n 21n S lim ,a a a S ∞→+++=那么 的值等于 （ B ）（A ）8 （B ）16 （C ）32 （D ）486．如果2sin ,325,51|cos |θπ<θ<π=θ那么的值等于 （ C ） （A ）510-（B ）510 （C ）515- （D ）5157．设复数z 满足关系式i 2|z |z +=+，那么z 等于 （ D ） （A ）i 43+- （B ）i 43- （C ）i 43-- （D ）i 43+8．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是 （ B ） （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）5 9．已知椭圆的极坐标方程是,cos 235θ-=ρ那么它的短轴长是（C ）（A ）310（B ）5 （C ）52 （D ）32 10．如果双曲线136y 64x 22=-上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的右准线的距离是 （ D ） （A ）10 （B ）7732 （C ）72 （D ）53211．已知,x x 28)x (f 2-+=如果),x 2(f )x (g 2-=那么)x (g （ A ） （A ）在区间（-1，0）上是减函数 （B ）在区间（0，1）上是减函数 （C ）在区间（-2，0）上是增函数 （D ）在区间（0，2）上是增函数12．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 （ C ） （A ）60个 （B ）48个 （C ）36个 （D ）24个二．填空题（本题满分24分，共6个小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果.）13．方程2x cos 3x sin =-的解集是_________________答案：}Z k ,12)1k 2(x ,127k 2x |x {∈π+π+=π+π=或 或}Z k ,34)1(k x |x {k ∈π+π-+π=14．不等式4|x 3x |2>-的解集是____________________ 答案：}4x ,1x |x {>-<或15．函数1e 1e y x x +-=的反函数的定义域是_____________答案：（-1，1）16．已知,x a x a x a a )x 21(7722107++++=- 那么=+++721a a a ____答案：-217．已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么B 是A 的_______条件;B A 是的______条件答案：必要，必要（注：仅答对一个结果的，只给2分）18．如图，已知圆柱的底面半径是3，高是4，A 、B 两点分别在两底面的圆周上，并且AB=5，那么直线AB 与轴O O '之间的距离等于________________ 答案：233 三．解答题（本题满分60分，共6个小题.）19．（本小题满分8分）证明：x2cos x cos xsin 22x tg 2x 3tg+=- 证：2x cos2x 3cos x sin 2x cos 2x 3cos 2x sin2x 3cos 2x cos 2x 3sin 2x cos 2x sin 2x 3cos 2x 3sin 2x tg 2x 3tg =-=-=-Bx2cos x cos xsin 2+=20．（本小题满分10分）如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=.3π（Ⅰ）求证：顶点A 1在底面ABCD 的射影O 在∠BAD 的平分线上; （Ⅱ）求这个平行六面体的体积（Ⅰ）证：连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD 作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N由三垂线定理得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD ∵∠A 1AM=∠A 1AN ， ∴Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA ∴A 1M= A 1N ∴OM=ON ∴点O 在∠BAD 的平分线上（Ⅱ）∵AM=AA 1,232133cos=⋅=π∴AO=AM .2234csc =π 又在职Rt △AOA 1中，A 1O 2=AA 12-AO 2=,29299=-∴A 1O=.223∴平行六面体的体积V=.23022345=⋅⋅21．（本小题满分10分）自点A （-3，3）发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2-4x-4y+7=0相切，求光线L 所在直线的方程 解：已知圆的标准方程是 （x-2)2+(y-2)2=1,D 1 C 1A 1B 1A YC它关于x 轴的对称圆的方程是 （x-2)2+(y+2)2=1, 设光线L 所在直线的方程是 y-3=k(x+3)(其中斜率k 待定）由题设知对称圆的圆心C '（2，-2）到这条直线的距离等于1，即.34k ,43k :,012k 25k 12:.k 1|5k 5|d 22-=-==++++=或解得整理得故所求的直线方程是),3x (343y ),3x (433y +-=-+-=-或 即3x+4y-3=0,或4x+3y+3=0. 22．（本小题满分12分）已知,1a ,0a ≠>试求使方程)a x (log )ak x (log 222a a -=-有解的k 的取值范围解：由对数函数的性质可知，原方程的解x 应满足⎪⎩⎪⎨⎧>->--=-)3(.0a x )2(,0ak x )1(,a x )ak x (22222 当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解⎩⎨⎧>--=-)2(,0ak x )1(,a x )ak x (222 由（1）得)4()k 1(a kx 22+=当k=0时，由a>0知（4）无解，因而原方程无解 当k ≠0时，（4）的解是)5(.k2)k 1(1x 2+=把（5）代入（2），得.k k2k 12>+解得：.1k 01k <<-<<∞-或综合得，当k 在集合)1,0()1,(⋃--∞内取值时，原方程有解 23．（本小题满分10分）是否存在常数a,b,c 使得等式)c bn an (12)1n (n )1n (n 32212222+++=++⋅+⋅ 对一切自然数n 都成立？并证明你的结论解：假设存在a,b,c 使题设的等式成立，这时，n=1,2,3得.10c ,11b ,3a :.10c b 3a 9,44c b 3a 4,24c b a ===⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++解得 于是，对n=1,2,3下面等式成立：).10n 11n 3(12)1n (n )1n (n 32212222+++=++⋅+⋅ 记.)1n (n 3221S 222n ++⋅+⋅=设n=k 时上式成立，即),10k 11k 3(12)1k (k S 2k +++=那么222k 1k )2k )(1k ()10k 11k 3(12)1k (k )2k )(1k (S S ++++++=+++=+ 2)2k )(1k ()5k 3)(2k (12)1k (k ++++++=]10)1k (11)1k (3[12)2k )(1k ()24k 12k 5k 3(12)2k )(1k (22++++++=+++++=也就是说，等式对n=k+1也成立综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设的等式对一切自然数n 成立 24．（本小题满分10分）设f(x)是定义在区间),(+∞-∞上以2为周期的函数，对Z k ∈,用kI 表示区间],1k 2,1k 2(+-已知当0I x ∈时，f(x)=x 2.（1）求f(x)在k I 上的解析表达式;（2）对自然数k,求集合上有两个在使方程k k I ax )x (f |a {M ==不等的实根}解：（1）∵f(x)是以2为周期的函数， ∴当Z k ∈时，2k 也是f(x)的周期 又∵当k I x ∈时，0I )k 2x (∈-， ∴.)k 2x ()k 2x (f )x (f 2-=-=即对Z k ∈，当k I x ∈时，.)k 2x ()x (f 2-=（2）当Z k ∈且k I x ∈时，利用（1）的结论可得方程).k 8a (a k 16)a k 4(.0k 4)a k 4(x :,ax )k 2x (22222+=-+=∆=++-=-它的判别式是整理得上述方程在区间k I 上恰有两个不相等的实根的充要条件是a 满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++≥++-+<->+].)k 8a (a a k 4[211k 2],)k 8a (a a k 4[211k 2,0)k 8a (a ⎪⎩⎪⎨⎧-≤++<+>+).3(,a 2)k 8a (a )2(,a 2)k 8a (a )1(,0)k 8a (a 化简得由（1）知a>0，或a<-8k.当a>0时：因2+a>2-a ，故从（2），（3） 可得,a 2)k 8a (a -≤+即1k 21a 0.2a ,1)1k 2(.0a 2,)a 2()k 8a (a 2+≤<⎩⎨⎧<≤+⎩⎨⎧>--≤+即即 当a ＜-8k 时：,0k 82a 2<-<+ 易知a 2)k 8a (a +<+无解， 综上所述，a 应满足1k 21a 0+≤<故所求集合}1k 21a 0|a {M k +≤<=。
1989数学三真题答案解析(试卷四)
于是
X
(E
A)1
B
1
2/3
1/
3
2
0
2
0
.
0 1/ 3 1/ 35 3 1 1
„„ 5 分
八、（本题满分 6 分）
设1 1, 1, 1 ， 2 1, 2, 3 ， 3 1, 3, t ，
(1) 问当 t 为何值时，向量组1,2 ,3 线性无关？（3 分）
(2) 问当 t 为何值时，向量组1,2 ,3 线性相关？（1 分）
(4)设.A 和 B 均为 n n 矩阵 , 则必有
(C)
(A) A B A B
( B) AB BA
(C) AB BA
(D) (A B)1 A1 B1
(5) 以 A 表示事件 “甲种产品畅销，乙种产品滞销”， 则其对立事件 A 为
(D)
(A)“甲种产品滞销，乙种产品畅销” (B)“甲，乙产品均畅销”
(2) 令 t x 2 ，则 S1
4 f (x 2)exdx
2
2 0
f
(t )et 2 dt
S0e2
.
(3) 令 t x 2n ，则 Sn
2 0
f
(t )et 2 n dt
S0e2n
.
(4) S Sn S0e2n S0 (e2 )n
n0
n0
n0
S0 1 e2
e 1
.
„„ 2 分 „„ 3 分 „„ 4 分
从而，所给微分方程的通解为 y(x) C1e2x C2e3x ex .
„„ 5 分
四、（本题满分 9 分）
设某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品的需求函数为
x
p p(x) 10e 2 且最大需求量为 6，其中 x 表示需求量，p 表示价格.
1989年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试题
1989年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试题
马积祥
【期刊名称】《数学教学研究》
【年(卷),期】1989(000)005
【总页数】5页(P10-14)
【作者】马积祥
【作者单位】上海市四平中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.2000年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试题（理工农医类） [J],
2.1992年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试题及解答 [J],
3.1995年全国普通高等学校招生统一考试——上海数学试题(理工农医类) [J],
4.1994年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试题 [J],
5.1994年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试题(供使用试点教材(理)的考生用) [J],
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
1989年高考数学试题(文理科)
一九八九年（理科）考生注意：这份试题共三道大题（24个小题），满分120分. 一．选择题（本题满分36分，共12个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内。
每一个小题选对得3分，不选或选错一律得0分。
）1．如果I={a,b,c,d,e},M={a,c,d},N={b,d,e},其中I 是全集，那么N M ⋂等于 （ A ） （A ）φ （B ）{d} （C ）{a,c} （D ）{b,e}2．与函数y=x 有相同图象的一个函数是 （ D ）（A ）2x y = （B ）xx y 2=（C ）.1a ,0a .a y x a log ≠>=其中 （D ）.1a ,0a .a log y x a ≠>=其中3．如果圆锥的底面半径为2，高为2，那么它的侧面积是（ C ） （A ）π34 （B ）π22 （C ）π32 （D ）π24 4．)]53arccos()54(cos[arcsin ---的值等于 （ A ）（A ）-1 （B ）257-（C ）257 （D ）510- 5．已知}a {n 是等比数列，如果,9a a a ,18a a a 432321-=++=++且n n n 21n S lim ,a a a S ∞→+++=那么 的值等于 （ B ）（A ）8 （B ）16 （C ）32 （D ）486．如果2sin ,325,51|cos |θπ<θ<π=θ那么的值等于 （ C ）（A ）510-（B ）510 （C ）515- （D ）5157．设复数z 满足关系式i 2|z |z +=+，那么z 等于 （ D ）（A ）i 43+- （B ）i 43- （C ）i 43-- （D ）i 43+8．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是 （ B ） （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）59．已知椭圆的极坐标方程是,cos 235θ-=ρ那么它的短轴长是（C ）（A ）310（B ）5 （C ）52 （D ）32 10．如果双曲线136y 64x 22=-上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的右准线的距离是 （ D ）（A ）10 （B ）7732 （C ）72 （D ）53211．已知,x x 28)x (f 2-+=如果),x 2(f )x (g 2-=那么)x (g （ A ）（A ）在区间（-1，0）上是减函数 （B ）在区间（0，1）上是减函数 （C ）在区间（-2，0）上是增函数 （D ）在区间（0，2）上是增函数12．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 （ C ） （A ）60个 （B ）48个 （C ）36个 （D ）24个 二．填空题（本题满分24分，共6个小题，每一个小题满分4分。
1989高考数学试题全国卷
1989年试题( 理工农医类 )一、选择题 : 每一个小题都给出代号为 A、B、C、D的四个结论 , 此中只有一个是正确的 , 把你以为正确的结论的代号写在题后的括号内 .【】(2)与函数 y=x有同样图象的一个函数是【】【】【】(A)8(B)16(C)32 (D)48【】【】【】(8)已知球的两个平行截面的面积分别为 5π和 8π , 它们位于球心的同一侧 , 且相距为 1, 那么这个球的半径是(A)4(B)3(C)2(D)5【】【】【】(11) 已知 f(x)=8+2x-x2,假如g(x)=f(2-x2),那么g(x)(A)在区间 (-1,0) 上是减函数(B)在区间 (0,1) 上是减函数(C)在区间 (-2,0) 上是增函数(D) 在区间 (0,2) 上是增函数【】(12)由数字 1,2,3,4,5 构成没有重复数字的五位数 , 此中小于 50000的偶数共有(A)60 个(B)48 个(C)36 个(D)24 个【】二、填空题 : 只需求直接填写结果 .(14) 不等式│ x -3x │ >4的解集是.2(16) 已知 (1-2x) 7=a0+a1x+a2x2+ +a7x7, 那么 a1+a2+ +a7=.(18)如图 , 已知圆柱的底面半径是 3, 高是 4,A 、B两点分别在两底面的圆周上 , 而且 AB=5,那么直线 AB与轴 OO＇之间的距离等于.三、解答题 .( Ⅰ) 求证 : 极点 A1在底面 ABCD的射影 O在∠ BAD的均分线上 ;( Ⅱ) 求这个平行六面体的体积.(21)自点 A(-3,3) 发出的光芒 L射到 x 轴上 , 被 x轴反射 , 其反射光芒所在直线与圆 x2+y2-4x-4y+7=0 相切 , 求光芒 L所在直线的方程 .(22) 已知 a>0,a ≠1, 试求使方程 log (x-ak)=log 2(x2 -a 有解的 k的取值范围 .a a 2(23) 能否存在常数 a,b,c 使得等式对全部自然数 n都成立？并证明你的结论.(24)设 f(x) 是定义在区间 (- ∞ ,+ ∞ ) 上以 2为周期的函数 , 对 k∈ Z, 用 I k表示区间 (2k-1,2k+1], 已知当 x∈I 0时 f(x)=x 2.( Ⅰ) 求f(x) 在I k上的分析表达式 ;( Ⅱ) 对自然数 k, 求会合 M k={a│使方程 f(x)=ax 在 I k上有两个不相等的实根 }.1989年试题 ( 理工农医类 ) 答案一、此题考察基本观点和基本运算.(1)A(2)D(3)C (4)A (5)B (6)C(7)D(8)B(9)C (10)D (11)A (12)C二、此题考察基本观点和基本运算, 只需要写出结果 .(15)(-1,1)(16)-2(17)必需 , 必需(18)三、解答题 .(19)此题主要考察 : 运用三角公式进行恒等变形的能力 . 证法一 :证法二 :(20)此题主要考察 : 线面关系 , 三垂线定理以及空间想象能力 .( Ⅰ) 证明 :如图 , 连接 A1O,则 A1O⊥底面 ABCD作. OM⊥ AB交 AB于 M,作 ON⊥ AD交AD于 N, 连接 A1M,A1N.由三垂线定理得A1M⊥AB,A1N⊥AD.∵∠A1AM=∠A1AN,∴Rt△A1NA≌Rt△ A1MA.∴A1M=A1N.∴OM=ON.∴点O在∠ BAD的均分线上 . ( Ⅱ) 解:∴平行六面体的体积(21)此题主要考察 : 直线和圆的方程以及灵巧应用相关知识解决问题的能力.解法一 :已知圆的标准方程是(x-2) 2+(y-2) 2=1,它对于 x轴的对称圆的方程是(x-2) 2+(y+2) 2=1.设光芒 L所在直线的方程是y-3=k(x+3)(此中斜率k待定).由题设知对称圆的圆心 C (2,-2)到这条直线的距离等于1,即整理得12k2+25k+12=0,故所求的直线方程是即3x+4y-3=0, 或4x+3y+3=0.解法二 :已知圆的标准方程是(x-2) 2+(y-2) 2=1.设光芒 L所在直线的方程是y-3=k(x+3)(此中斜率k待定).由题意知 k≠ 0, 于是 L的反射点的坐标是因为光芒的入射角等于反射角, 所以反射光芒 L＇所在直线的方程是即y+kx+3(1+k)=0.这条直线应与已知圆相切, 故圆心 C到它的距离等于 1,以下同解法一 .(22)此题主要考察 : 对数函数的性质以及解不等式的能力 .解 :由对数函数的性质可知 , 原方程的解 x应知足当① , ②同时成即刻 , ③明显成立 , 所以只需解由①得 2kx=a(2+k 2).④当k=0时, 由a>0知④无解 , 因此原方程无解 .把⑤代入② , 得当k<0时得 k2>1, 即 - ∞ <k<-1.当k>0时得 k2<1, 即 0<k<1.综合得 , 当k在会合 (- ∞,-1) ∪(0,1) 内取值时 , 原方程有解 .(23)此题主要考察 : 综合运用待定系数法、数学概括法解决问题的能力 . 解法一 :假定存在 a,b,c 使题设的等式成立 , 这时 ,令n=3 得 70=9a+3b+c,经整理得解得a=3,b=11,c=10.于是 , 对n=1,2,3 下边等式成立 :记S n=1·22+2·32+ +n(n+1) 2.设 n=k时上式成立 , 即那么S k+1=S k+(k+1)(k+2) 2也就是说 , 等式对 n=k+1也成立 .综上所述 , 当 a=3,b=11,c=10 时, 题设的等式对全部自然数n成立 . 解法二 :因为n(n+1) 2=n3+2n2+n, 所以S n=1·22+2·32++n(n+1) 2=(1 3+2·12+1)+(2 3+2· 22+2)++(n 3+2n2+n)=(1 3+23+ +n3)+2(1 2+22+ +n2)+(1+2+ +n).因为以下等式对全部自然数n成立 :由此可知综上所述 , 当 a=3,b=11,c=10 时,题设的等式对全部自然数n成立 .(24)此题主要考察 : 周期函数的观点 , 解不等式的能力 .( Ⅰ) 解: ∵ f(x) 是以 2为周期的函数 ,∴当k∈Z时,2k 是f(x) 的周期 .又∵当x∈I k时 ,(x-2k)∈I0,∴f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.即对k∈Z, 当 x∈I k时,f(x)=(x-2k)2.( Ⅱ) 解: 当k∈N且x∈I k时 , 利用 ( Ⅰ ) 的结论可得方程 (x-2k)2=ax, 整理得 x 2-(4k+a)x+4k 2=0.它的鉴别式是△=(4k+a) 2-16k 2=a(a+8k).上述方程在区间 I k上恰有两个不相等的实根的充要条件是a知足化简得由①知 a>0, 或a<-8k.当a>0时:当a<-8k 时:故所求会合1990年试题（理工农医类）一、选择题 :在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项切合题目要求的 ,把所选项前的字母填在题后括号内 .【】(3)假如轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于【】(4)方程 sin2x=sinx在区间 (0,2π )内的解的个数是(A)1(B)2(C)3(D)4【】(5)【】(A){-2,4}(B){-2,0,4}(C){-2,0,2,4}(D){-4,-2,0,4}【】(7)假如直线 y=ax＋2与直线 y=3x－ b对于直线 y＝x对称 ,那么(C)a=3,b=-2(D)a=3,b=6 【】(A) 圆(B) 椭圆(C)双曲线的一支(D) 抛物线【】(B){(2,3)}(C)(2,3) (D){(x,y) │ y=x+1}【】【】(11)如图 ,正三棱锥 S- ABC 的侧棱与底面边长相等 ,假如 E、F分别为 SC、AB 的中点 ,那么异面直线 EF与 SA所成的角等于(A)90° (B)60° (C)45° (D)30°【】(12)已知 h>0.设命题甲为 :两个实数 a,b知足│ a－ b│<2h;命题乙为 :两个实数a,b 知足│ a－1│<h且│ b-1│<h.那么(A)甲是乙的充分条件 ,但不是乙的必需条件(B)甲是乙的必需条件 ,但不是乙的充分条件(C)甲是乙的充分条件(D)甲不是乙的充分条件 ,也不是乙的必需条件【】(13)A,B,C,D,E 五人并排站成一排 ,假如 B一定站在 A 的右侧（ A,B 能够不相邻） , 那么不一样的排法共有(A)24种 (B)60种 (C)90种 (D)120种【】(14)以一个正方体的极点为极点的四周体共有(A)70个 (B)64个 (C)58个 (D)52个【】(15)设函数 y=arctgx的图象沿 x轴正方向平移 2个单位所获得的图象为 C.又设图象 C＇与 C对于原点对称 ,那么 C＇所对应的函数是(A)y=-arctg(x-2)(B)y=arctg(x-2)(C)y=-arctg(x+2) (D)y=arctg(x+2) 【】二、填空题 :把答案填在题中横线上 .(17)(x-1)-(x-1)2 +(x-1) -(x-1) +(x-1)5的睁开式中 ,x 的系数等于.3 4 2(18)已知 { a n} 是公差不为零的等差数列 , 假如 S n是 { a n} 的前 n 项的和 , 那(19)函数 y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是.(20)如图 ,三棱柱 ABC －A 1B1C1中,若E、 F分别为 AB 、AC :V ＝. 的中点 ,平面 EB C F将三棱柱分红体积为 V 、V 的两部分 ,那么 V1 1 12 1 2三、解答题 .7(21)有四个数 ,此中前三个数成等差数列 ,后三个数成等比数列 ,而且第一个数与第四个数的和是 16,第二个数与第三个数的和是 12.求这四个数 .(23)如图 ,在三棱锥 S- ABC 中,SA⊥底面 ABC,AB ⊥BC．DE垂直均分 SC,且分别交AC、 SC于 D、E.又 SA＝AB,SB ＝ BC.求以 BD 为棱 ,以BDE 与BDC 为面的二面角的度数 .(24)设 a≥ 0,在复数集 C中解方程 z2+2│ z│＝ a.n≥2.(Ⅰ)假如 f(x) 当x ∈(-∞ ,1]时存心义 ,求a的取值范围 ;(Ⅱ)假如 a∈(0,1],证明 2f(x)<f(2x) 当 x≠ 0时成立 .1990年试题（理工农医类）答案一、选择题 :此题考察基本知识和基本运算.(1)A (2)B (3)D (4)C (5)C (6)B(7)A(8)D(9)B(10)D (11)C (12)B (13)B (14)C (15)D二、填空题 :此题考察基本知识和基本运算.三、解答题 .(21)本小题考察等差数列、等比数列的观点和运用方程（组）解决问题的能力. 解法一 :①由②式得d=12-2a.③整理得a2-13a+36=0解得a1=4,a2=9.代入③式得 d1=4,d2=-6.进而得所求四个数为 0,4,8,16或 15,9,3,1.解法二 :设四个数挨次为 x,y,12-y,16-x ①由①式得x=3y-12.③将③式代入②式得y(16-3y+12)=(12-y) 2,整理得y2-13y+36=0.解得y1=4,y2=9.代入③式得 x1=0,x2=15.进而得所求四个数为 0,4,8,16或 15,9,3,1.(22)本小题考察三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力.解法一 :由已知得解法二 :如图 ,不如设 0≤α≤β＜ 2π ,且点 A 的坐标是（ cosα,sin α） , 点 B 的坐标是（ cosβ ,sin β） , 则点 A,B 在单位圆 x2+y2=1 上 . 连接连接 OC,于是 OC⊥AB, 若设点 D的坐标是（ 1,0）,再连接 OA,OB,则有解法三 :由题设得4(sinα +sinβ)=3(cosα +cosβ).将②式代入①式 ,可得sin(α-)=sin(-β ).于是α－＝ (2k+1)π -(-β)(k ∈Z),或α-=2kπ +(-β )(k∈Z).若α-=(2k+1)π-(-β )(k∈Z),则α ＝β＋(2k+1)π(k∈Z).于是sinα =-sinβ ,即sinα+sinβ =0.由此可知α-=2kπ+(-β)(k ∈Z),即α＋β ＝2+2kπ(k∈Z).所以(23)本小题考察直线和平面 ,直线和直线的地点关系,二面角等基本知识 ,以及逻辑推理能力和空间想象能力.解法一 :因为 SB＝BC,且 E是 SC的中点 ,所以 BE 是等腰三角形 SBC的底边 SC的中线,所以 SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE ∩DE＝E,∴SC⊥面 BDE,∴SC⊥ BD.又∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上,∴SA⊥BD.而SC∩ SA＝ S,∴BD ⊥面 SAC.∵DE＝面 SAC∩面 BDE,DC ＝面 SAC∩面 BDC,∴BD ⊥DE,BD ⊥DC.∴∠ EDC是所求的二面角的平面角.∵SA⊥底面 ABC, ∴SA⊥AB,SA ⊥AC.设SA＝ a,又因为 AB ⊥ BC,∴∠ ACS＝30° .又已知 DE⊥SC,所以∠ EDC＝60° ,即所求的二面角等于 60°.解法二 :因为 SB＝BC,且 E是 SC的中点 ,所以 BE 是等腰三角形 SBC的底边 SC的中线,所以 SC⊥BE.又已知 SC⊥DE,BE∩DE＝E∴SC⊥面 BDE,∴SC⊥ BD.因为 SA⊥底面 ABC, 且A 是垂足 ,所以 AC 是SC在平面 ABC 上的射影 .由三垂线定理的逆定理得 BD ⊥AC; 又因 E∈SC,AC是SC在平面 ABC 上的射影 ,所以 E在平面 ABC 上的射影在 AC上 ,因为 D∈AC, 所以 DE在平面 ABC 上的射影也在 AC 上,根据三垂线定理又得 BD ⊥DE.∵DE 面 BDE,DC 面BDC,∴∠ EDC是所求的二面角的平面角.以下同解法一 .(24)本小题考察复数与解方程等基本知识以及综合剖析能力.解法一 :设z＝x+yi, 代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得 y=0或x=0.因而可知 ,若原方程有解 ,则其解或为实数 ,或为纯虚数 .下边分别加以议论 .情况 1.若y=0,即求原方程的实数解 z=x.此时 ,①式化为x2+2│x│=a.③(Ⅰ)令 x>0,方程③变为 x2＋2x=a. ④.由此可知 :当a=0时 ,方程④无正根 ;(Ⅱ)令 x<0,方程③变为 x2-2x=a.⑤.由此可知 :当a=0时 ,方程⑤无负根 ;当a>0时,方程⑤有负根x=1-.(Ⅲ)令 x=0,方程③变为 0=a.由此可知 :当a=0时 ,方程⑥有零解 x=0;当a>0时,方程⑥无零解 .所以 ,原方程的实数解是 :当a=0时,z=0;.情况 2.若x=0,因为 y=0的情况前已议论 ,此刻只需考察 y≠ 0的情况 ,即求原方程的纯虚数解 z=yi(y ≠0).此时 ,①式化为-y2+2│ y│ =a.⑦(Ⅰ)令 y>0,方程⑦变为 -y2+2y=a,即(y-1) 2=1-a.⑧由此可知 :当a>1时 ,方程⑧无实根 .当a≤ 1时解方程⑧得y=1±,y=2;进而 ,当a=0时,方程⑧有正根y=1±.当0<a≤1时,方程⑧有正根(Ⅱ)令 y<0,方程⑦变为 -y2-2y=a,即(y+1)2=1-a. ⑨由此可知:当a>1时 ,方程⑨无实根.当a≤ 1时解方程⑨得进而 ,当 a=0时,方程⑨有负根y=-1±y=-2;,当 0<a≤1时,方程⑨有负根y=-1±所以 ,原方程的纯虚数解是当 a=0时,z=±2i;:当 0<a≤1时, z=±(1+ )i,z= ±(1- )i.而当 a>1时,原方程无纯虚数解.解法二 :设z=x+yi 代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得 y=0或x=0.因而可知 ,若原方程有解 ,则其解或为实数 ,或为纯虚数 .下边分别加以议论 .情况 1.若y=0,即求原方程的实数解 z=x.此时 ,①式化为 x2+2│x│=a.即| x |2+2│ x│ =a. ③解方程③得,所以 ,原方程的实数解是.情况 2.若x=0,因为 y=0的情况前已议论 ,此刻只需考察 y≠ 0的情况 ,即求原方程的纯虚数解 z=yi(y ≠0).此时 ,①式化为-y2+2│y│=a.即-│y│2 +2│ y│=a.④当a=0时,因 y≠0,解方程④得│ y│=2,即当 a=0时,原方程的纯虚数解是 z=±2i.当0<a≤1时,解方程④得,即当 0<a≤1时,原方程的纯虚数解是.而当 a>1时,方程④无实根 ,所以这时原方程无纯虚数解.解法三 :因为 z2=-2│z│+a是实数 ,所以若原方程有解 ,则其解或为实数 ,或为纯虚数 ,即z=x或 z=yi(y ≠0).情况 1.若z=x.以下同解法一或解法二中的情况 1.情况 2.若z=yi(y ≠0).以下同解法一或解法二中的情况 2.解法四 :设z=r(cosθ+isinθ),此中 r≥0,0≤θ<2π.代入原方程得r2cos2θ＋ 2r+ir2sin2θ＝a.于是原方程等价于方程组情况 1.若r=0.①式变为0=a.③由此可知 :当a=0时 ,r=0是方程③的解 .当a>0时,方程③无解 .所以 ,当a=0时,原方程有解z=0;当a>0时,原方程无零解 .考察 r>0的情况 .(Ⅰ)当 k=0,2时,对应的复数是 z=±r.因cos2θ =1,故①式化为 r2+2r=a.④.由此可知 :当a=0时 ,方程④无正根 ;当 a>0时,方程④有正根.所以 ,当 a>0时,原方程有解.(Ⅱ)当 k=1,3时,对应的复数是 z=±ri.因cos2θ=-1,故①式化为-r2+2r=a,即 (r-1)2=1-a,⑤由此可知 :当a>1时 ,方程⑤无实根 ,进而无正根 ;.进而 ,当a=0时,方程⑤有正根r=2;.所以 ,当a=0时,原方程有解z=±2i;当0<a≤1时,原方程有解当a>1时,原方程无纯虚数解 .(25)本小题考察椭圆的性质,距离公式 ,最大值知识以及剖析问题的能力. 解法一 :依据题设条件,可取椭圆的参数方程是此中 a>b>0待定 ,0≤θ<2π.设椭圆上的点 (x,y) 到点 P的距离为 d,则大值 ,由题设得,所以必有,由此可得b=1,a=2.所求椭圆的参数方程是.解法二 :设所求椭圆的直角坐标方程是此中 a>b>0待定 .,设椭圆上的点 (x,y) 到点 P的距离为 d,则此中-byb.由此得,由此可得b=1,a=2.所求椭圆的直角坐标方程是(26)此题考察对数函数 ,指数函数 ,数学概括法 ,不等式的知识以及综合运用相关知识解决问题的能力 .(Ⅰ)解:f(x) 当 x∈ (-∞ ,1]时存心义的条件是1+2x+ (n-1)x+n x a>0x∈(-∞,1],n≥2,上都是增函数 ,在 (-∞ ,1]上也是增函数 ,进而它在 x=1时获得最大值也就是 a的取值范围为(Ⅱ)证法一:2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x ≠ 0.即[1+2x + +(n-1)x+n x a]2<n[1+22x++(n-1)2x+n2x a]a∈(0,1],x ≠0.②现用数学概括法证明②式.（A）先证明当 n=2时②式成立 .若是 0<a<1,x≠ 0,则(1+2x a)2=1+2·2x a+22x a2≤ 2(1+22x)<2(1+22x a).若是 a=1,x≠0,因 1≠ 2x,所以因此当 n=2②式成立 .（ B）若是当 n=k(k≥2)②式成立 ,即有[1+2x +⋯ +(k-1)x+k x a]2<k[1+2 2x+⋯ +(k-1)2x a] a∈(0,1],x ≠0, 那么 ,当 a∈(0,1],x ≠0[(1+2x +⋯+k x )+(k+1) xa]2=(1+2x+⋯+k x)2+2(1+2x +⋯ +k x)(k+1) x a+(k+1)2x a2<k(1+22x+⋯ +k2x)+2(1+2x +⋯ +k x )(k+1)x a+(k+1) 2x a2=k(1+22x+⋯ +k2x)+[2·1·(k+1)x a+2·2x(k+1)x a+⋯+2k x(k+1)x a]+(k+1) 2x a2<k(1+22x+⋯+k2x)+{[1+(k+1) 2x a2]+[2 2x+(k+1)2x a2]+⋯+[k2x+(k+1)2x a2]}+(k+1) 2x a2]=(k+1)[1+2 2x+⋯ +k2x+(k+1) 2x a2]≤(k+1)[1+2 2x+⋯+k2x+(k+1)2x a],就是 ,当n=k+1②式也成立 .依据 (A),(B) 可知 ,②式任何 n≥2(n∈N) 都成立 .即有2f(x)<f(2x) a∈(0,1],x ≠0.法二 :只需明 n≥2因此中等号当且当 a1=a2=⋯ =a n成立 .利用上边果知 ,当a=1,x≠0,因1≠2x,所以有 [1+2x+⋯ +(n-1)x+n x] 2<n[1+22x+⋯+(n-1)2x+n2x].当0<a<1,x≠0 ,因a2<a,所以有[1+2x+⋯+(n-1) x+n x a]2≤n[1+22x+⋯ +(n-1)2x+n2x a2]<n[1+2 2x+⋯+(n-1)2x+n2x a].即有 2f(x)<f(2x) a∈ (0,1),x≠0.1991 年试题(理工农医类 )一、选择题 :在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项切合题目要求的 .把所选项前的字母填在题后括号内 .【】(2)焦点在 (-1,0), 极点在 (1,0) 的抛物线方程是(A)y 2=8(x+1)(B)y2=-8(x+1)(C)y 2=8(x-1)(D)y2=-8(x-1)【】(3)函数 y=cos 4 x-sin 4x的最小正周期是【】(4)假如把两条异面直线当作“一对”,那么六棱锥的棱所在的 12条直线中 ,异面直线共有(A)12 对 (B)24 对 (C)36 对(D)48 对【】【】(6)假如三棱锥 S-ABC 的底面是不等边三角形 ,侧面与底面所成的二面角都相等 ,且极点 S在底面的射影 O在△ ABC 内,那么 O是△ ABC的(A)垂心 (B)重心 (C)外心 (D)心里【】 a +a a =25, 那么 a +a 的值等于(7)已知 {a } ,且a >0,a a +2an n 2 4 3 5 4 6 3 5(A)5(B)10 (C)15 (D)20 【】(A)(0,0),(6, π)(B)(-3,0),(3,0)(C)(0,0),(3,0)(D)(0,0),(6,0)【】(9)从4台甲型和 5台乙型电视机中随意拿出 3 台,此中起码要有甲型与乙型电视机各 1台,则不一样的取法共有(A)140 种(B)84 种 (C)70 种(D)35 种【】(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限【】(11)设甲、乙、丙是三个命题 .假如甲是乙的必需条件 ;丙是乙的充分条件但不是乙的必需条件 ,那么(A)丙是甲的充分条件 ,但不是甲的必需条件(B)丙是甲的必需条件 ,但不是甲的充分条件(C)丙是甲的充要条件(D)丙不是甲的充分条件 ,也不是甲的必需条件【】(A)0(B)1(C)2(D)3【】(13) 假如奇函数 f(x) 在区间 [3,7] 上是增函数且最小值为 5, 那么 f(x) 在区间 [-7,-3] 上是(A)增函数且最小值为－(C)减函数且最小值为－55(B) 增函数且最大值为－(D) 减函数且最大值为－55 【】(A)1 个 (B)2 个(C)3个 (D)4 个【(15) 设全集为 R,f(x)=sinx,g(x)=cosx,M={x 】│f(x) ≠0},N={x │g(x) ≠ 0}, 那么会合{x│ f(x)g(x)=0} 等于【】二、填空题:把答案填在题中横线上.(18)已知正三棱台上底面边长为 2,下底面边长为 4,且侧棱与底面所成的角是45 °,那么这个正三棱台的体积等于.(19)在(ax+1) 7的睁开式中 ,x3的系数是 x2的系数与 x4的系数的等差中项 ,若实数a>1, 那么 a=.(20)在球面上有四个点 P、A、 B、C,假如 PA、PB 、PC 两两相互垂直 ,且 PA＝PB ＝PC ＝ a.那么这个球面的面积是.三、解答题 .(21)求函数 y=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2 x的最小值 ,并写出使函数 y 取最小值的 x 的会合 .(23)已知 ABCD 是边长为 4 的正方形 ,E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点 ,GC 垂直于 ABCD 所在的平面 ,且GC＝2. 求点 B到平面 EFG 的距离 .(24)依据函数单一性的定义 ,证明函数 f(x)=-x 3 +1在(-∞ ,+∞)上是减函数 .(25)已知 n为自然数 ,实数 a>1, 解对于 x的不等式1991 年试题（理工农医类）答案一、选择题 :此题考察基本知识和基本运算.惯例卷和 A型卷答案(1)A (2)D (3)B (4)B (5)A(6)D (7)A (8)D (9)C (10)C(11)A (12)C (13)B (14)C (15)D二、填空题 :此题考察基本知识和基本运算.三、解答题 .(21) 本小题考察三角形函数式的恒等变形及三角函数的性质.解:y=sin 2 x+2sinxcosx+3cos 2 x=(sin 2 x+cos 2 x)+2sinxcosx+2cos 2 x=1+sin2x+(1+cos2x)=2+sin2x+cos2x(22)本小题考察复数基本观点和运算能力 .(23)本小题考察直线与直线 , 直线与平面 ,平面与平面的地点关系 ,以及逻辑推理和空间想象能力 .解 :如图 ,连接 EG 、FG 、EF 、BD 、AC.EF 、BD 分别交 AC 于H、O. 因为 ABCD是正方形 ,E、F分别为 AB 和AD 的中点 ,故EF ∥BD,H 为 AO 的中点 .BD 不在平面 EFG 上.不然 ,平面 EFG 和平面 ABCD 重合 ,进而点 G在平面的ABCD 上 ,与题设矛盾 .由直线和平面平行的判断定理知BD∥平面 EFG,所以 BD 和平面 EFG 的距离就是点 B到平面 EFG 的距离 .∵BD⊥AC,∴ EF⊥ HC.∵GC ⊥平面 ABCD,∴ EF⊥ GC,∴ EF⊥平面 HCG.∴平面 EFG ⊥平面 HCG,HG 是这两个垂直平面的交线.作 OK ⊥ HG 交HG 于点 K,由两平面垂直的性质定理知 OK ⊥平面 EFG, 所以线段 OK 的长就是点 B到平面 EFG 的距离 .注 :未证明“ BD 不在平面 EFG 上”不扣分 .(24)本小题考察函数单一性的观点 ,不等式的证明 ,以及逻辑推理能力 .证法一 : 在(-∞,+∞ )上任取 x1,x2,且x1 <x2 ,∵x1 <x2 ,∴ x1 -x2<0.所以 ,函数 f(x)=-x 3+1在(-∞,+∞ )上是减函数 .证法二 : 在(-∞,+∞ )上任取 x1,x2,且x1 <x2 ,∵x1<x2,∴ x1-x2<0.∵x1,x2不一样时为零 ,即f(x2 )<f(x1).所以 ,函数 f(x)=-x 3+1 在(-∞,+∞ )上是减函数 .(25)本小题考察对数、数列、解不等式等基本知识 ,以及剖析问题的能力 .解 :利用对数换底公式 ,原不等式左端化为因为 a>1,②式等价于log a x<log a (x 2-a). 因为 a>1,②式等价于(26) 本小题考察双曲线性质 , 两点距离公式 ,两直线垂直条件 ,代数二次方程等基本知识 ,以及综合剖析能力 .依题意知 ,点P,Q 的坐标知足方程组将②式代入①式 ,整理得(5b 2 -3a 2 )x 2 +6a 2 cx-(3a2 c 2 +5a2b )=0. ③2依据根与系数的关系 ,有整理得 3c(x 1+x2)-8x 1 x2-3c 2 =0.⑥将④ ,⑤式及 c2=a 2+b 2代入⑥式 ,并整理得3a 4+8a 2b2-3b 4=0,(a2+3b 2)(3a 2 -b2)=0.因为a2+3b 2≠0,解得 b2=3a2 ,整理得 (x1 +x2 )2-4x 1x2-10=0. ⑦将④ ,⑤式及 b2=3a 2,c=2a 代入⑦式 ,解得 a2=1.将a2 =1代入 b 2=3a 2得 b2=3.解法二 : ④式以上同解法一 .将④式及 c2=a2+b2代入⑤式并整理得3a 4+8a 2b2-3b 4=0, 即(a2+3b 2)(3a 2 -b2)=0.因a2+3b 2≠0,解得 b2 =3a2 .即(x2-x1 )2=10. ⑥将④式代入⑥式并整理得(5b 2-3a 2)2-16a 2b4=0.将b2=3a 2代入上式 ,得 a2 =1,将a2=1代入 b2=3a 2得b2 =3.故所求双曲线方程为1992 年试题(理工农医类 )一、选择题 :在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项切合题目要求的 .把所选项前的字母填在题后的括号内 .【】(2)假如函数 y=sin( ωx)cos( ωx)的最小正周期是 4π,那么常数ω为【】(3)极坐标方程分别是ρ =cosθ和ρ=sin θ的两个圆的圆心距是【】(4)方程 sin4xcos5x=-cos4xsin5x的一个解是(A)10 °.(B)20 ° .(C)50 ° .(D)70 °(5) 已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等【】,则圆柱的全面积与球的表面积的比是(A)6:5. (B)5:4. (C)4:3. (D)3:2 【】个值 ,则相应于曲线 c1、 c2、c3、 c4的n挨次为【】(7)若log a2<log b2<0, 则(A)0<a<b<1(B)0<b<a<1(C)a>b>1 (D)b>a>1【】(A)20 °. (B)70 ° . (C)110 °. (D)160 °【】(9)在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有(A)1 个. (B)2 个 . (C)3 个. (D)4 个. 【】(10)圆心在抛物线 y2 =2x 上,且与 x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是【】(11)在(x +3x+2) 的睁开式中 x的系数为2 5(A)160. (B)240. (C)360. (D)800. 【】(12)若0<a<1, 在[0,2 π]上知足 sinx ≥ a的x的范围是 (A)[0,arcsina]. (B)[arcsina, π -arcsina].【】(13)已知直线 l1和l2夹角的均分线为 y=x,假如 l1的方程是ax+by+c=0 (ab>0), 那么 l2的方程是(A)bx+ay+c=0. (B)ax-by+c=0.(C)bx+ay-c=0. (D)bx-ay+c=0.【】(14)在棱长为 1 的正方体 ABCD-A 1B1C1D1中 ,M 和N 分别为 A1B1和 BB1的中点 , 那么直线 AM 与CN所成角的余弦值是【】(15)已知复数 z的模为 2, 则│ z-i│的最大值为【】(A)是奇函数 , 它在 (0,+ ∞)上是减函数 .(B)是偶函数 , 它在 (0,+ ∞)上是减函数 .(C)是奇函数 ,它在 (0,+ ∞)上是增函数 .(D)是偶函数 ,它在 (0,+ ∞)上是增函数 . 【】(17) 假如函数 f(x)=x 2 +bx+c 对随意实数 t都有 f(2+t)=f(2-t), 那么(A)f(2)<f(1)<f(4). (B)f(1)<f(2)<f(4).(C)f(2)<f(4)<f(1). (D)f(4)<f(2)<f(1). 【】(18)长方体的全面积为 11,十二条棱长度之和为 24, 则这个长方体的一条对角线长为(C)5.(D)6.【】二、填空题 :把答案填在题中横线上.(20)sin15 °sin75 °的值是.(21)设含有 10个元素的会合的所有子集数为 S,此中由 3个元素构成的(22)焦点为 F1(-2,0) 和F2 (6,0), 离心率为 2的双曲线的方程是 .(23)已知等差数列 {a n}的公差 d≠ 0,且a1,a3,a9成等比数列 ,则三、解答题 :解答应写出文字说明、演算步骤.(26)已知 :两条异面直线 a、b所成的角为θ ,它们的公垂线段 AA 1的长度为 d.在直线 a、 b上分别取点 E、F,设A1E=m,AF=n.(27)设等差数列 {a n}的前 n项和为 S n .已知 a3=12,S 12 >0,S 13<0. (Ⅰ)求公差 d的取值范围 .(Ⅱ)指出 S1 ,S2, ,S12中哪一个值最大 ,并说明原因 .1992 年试题 (理工农医类 )答案一、选择题 :此题考察基本知识和基本运算.(1)A (2)D (3)D (4)B (5)D (6)B(7)B (8)C (9)D (10)D (11)B (12)B(13)A(14)D (15)D (16)C (17)A(18)C二、填空题 :此题考察基本知识和基本运算.三、解答案(24)本小题考察复数相等的条件及解方程的知识 .解 :设z=x+yi(x,y ∈ R).将 z=x+yi 代入原方程 ,得(x+yi)(x-yi)-3i(x-yi)=1+3i,整理得x2+y2-3y-3xi=1+3i.依据复数相等的定义 ,得由①得x=-1.将x=-1代入②式解得 y=0,y=3.∴z1 =-1,z 2=-1+3i.(25) 本小题主要考察三角函数和角公式等基础知识及运算能力.解 :由题设知α -β为第一象限的角 ,由题设知α+β为第三象限的角 ,∴sin2 α=sin[( α-β )+(α +β )]=sin( α-β)cos( α+β )+cos( α -β)sin( α+β)(26)本小题考察空间图形的线面关系 ,空间想象能力和逻辑思想能力 .解法一 : 设经过 b与a 平行的平面为α ,经过 a 和AA 1的平面为β,α∩β=c, 则c∥ a.因此 b,c 所成的角等于θ,且 AA1⊥c(如图 ).∵AA1⊥b,∴ AA1⊥α .依据两个平面垂直的判断定理 ,β⊥α .在平面β内作 EG ⊥ c, 垂足为 G,则 EG=AA 1.而且依据两个平面垂直的性质定理,EG ⊥α .连接 FG,则EG ⊥FG.在Rt △EFG 中,EF 2=EG 2+FG 2.∵AG=m,∴在△ AFG 中,FG 2=m 2+n 2-2mncos θ.∵EG2 =d2,∴EF2 =d2 +m2+n2-2mncos θ .假如点 F(或 E)在点 A(或A 1)的另一侧 ,则EF 2=d2+m2+n2+2mncos θ .解法二 : 经过点 A作直线 c∥a,则 c、 b所成的角等于θ ,且AA 1⊥c.依据直线和平面垂直的判断定理,AA 1垂直于 b、c所确立的平面.在两平行直线 a、c所确立的平面内 ,作 EG ⊥c,垂足为 G,则EG 平行且等于 AA 1, 进而 EG ⊥α.连接 FG,则依据直线和平面垂直的定义,EG ⊥ FG.在Rt△EFG 中,EF 2=EG 2+FG 2.(以下同解法一 )(27) 本小题考察数列、不等式及综合运用相关知识解决问题的能力.(Ⅰ )解:依题意 ,有由a3=12, 得a1 =12-2d.③将③式分别代①、②入 ,得(Ⅱ )解法一 : 由d<0可知a1>a2>a3>>a12 >a 13 .所以 ,若 1≤ n≤ 12在中存在自然数 n,使得 a n>0,a n+1 <0,则S n就是 S1,S2, ,S12中的最大值 .因为S12 =6(a 6+a7)>0,S13 =13a 7 <0,即a6 +a7 >0,a7<0.由此得a6>-a 7>0.因为a6>0,a 7<0,故在 S1,S 2, ,S12中S6的值最大 .(Ⅱ )解法二 :∵d<0,∴S6最大 .(Ⅱ )解法三 :由d<0可知 a1>a2 >a3 > >a12 >a13 .所以 ,若在 1≤n≤12中存在自然数 n,使得 a n>0,a n+1 <0,则S n就是 S1,S2, ,S12中的最大值 .故在 S1,S 2, ,S12中S6的值最大 .(28)本小题考察椭圆性质、直线方程等知识 ,以及综合剖析能力 .证法一 : 设A、 B的坐标分别为 (x1,y1)和(x2 ,y2). 因线段 AB 的垂直均分线与 x轴相交,故AB 不平行于 y轴,即x1≠x2 .又交点为 P(x0 ,0),故│ PA│ =│ PB│ ,即∵A、 B在椭圆上 ,将上式代入① ,得∵x1≠ x2,可得∵-a≤x1≤ a,-a ≤x2≤ a,且x1≠ x2 ,∴-2a<x 1+x2<2a,证法二 : 设A 、B 的坐标分别为 (x1 ,y1) 和(x2,y2). 因 P(x 0,0) 在AB 的垂直均分线上 , 以点 P为圆心 ,│PA│ =r为半径的圆 P过A、B两点 ,圆 P的方程为(x-x0 )2+y2=r2,与椭圆方程联立 ,消去 y得因A、B是椭圆与圆 P的交点 ,故 x1 ,x2为方程①的两个根 .由韦达定理得因-a≤x1≤ a,-a ≤x2≤ a, 且x1≠ x2 ,故1993 年试题(理工农医类 )一、选择题 :在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项切合题目要求的 .把所选项前的字母填在题后括号内 .(1)假如双曲线的实半轴长为2,焦距为 6,那么该双曲线的离心率为【】【】(A)45 ° (B)60 ° (C)90 °(D)120 °【】(A)1(B)-1(C)i (D)-i(5)直线 bx+ay=ab(a<0,b<0)【】的倾斜角是【】(6)在直角三角形中两锐角为A和 B,则sinAsinB(C)既无最大值也无最小值(D)有最大值 1,但无最小值【】 a =9, 则 log a +log a + +log a =(7)在各项均为正数的等比数列 {a }中,若 an 5 6 3 1 3 2 3 10 (A)12 (B)10 (C)8(D)2+log 3 5 【】(A)是奇函数(B)是偶函数(C)可能是奇函数也可能是偶函数(D)不是奇函数也不是偶函数【】(A)线段 (B)双曲线的一支(C)圆弧 (D)射线【】(10)若a、b是随意实数 ,且a>b, 则【】(11)已知会合 E={ θ│ cos θ <sin θ,0 ≤θ≤ 2π },F={ θ│ tgθ <sin θ}, 那么 E∩ F 为区间【】(12)一动圆与两圆 :x2 +y 2=1 和x2+y2-8x+12=0 都外切 ,则动圆圆心的轨迹为(A)抛物线(B) 圆(C)双曲线的一支(D) 椭圆【】(A)三棱锥(B) 四棱锥(C)五棱锥(D) 六棱锥【】(14)假如圆柱轴截面的周长 l为定值 ,那么圆柱体积的最大值是【】(A)50 项 (B)17 项(C)16 项(D)15 项【】(16)设a,b,c 都是正数 ,且 3a=4b=6 c,那么【】(17)同室四人各写一张拜年卡 , 先集中起来 , 而后每人从中拿一张他人送出的拜年卡 ,则四张拜年卡不一样的分派方式有(A)6 种 (B)9 种(C)11种 (D)23 种【】(18)已知异面直线 a与 b所成的角为 50 °,P为空间必定点 ,则过点 P且与 a,b 所成的角都是 30 °的直线有且仅有(A)1 条(B)2 条(C)3 条(D)4 条【】二、填空题 :把答案填在题中横线上.(20)在半径为 30m 的圆形广场中央上空 ,设置一个照明光源 ,射向地面的光呈圆锥形 ,且其轴截面顶角为 120 °.若要光源恰巧照亮整个广场 ,则其高度应为m( 精准到 0.1m).(21)在 50 件产品中有 4 件是次品 ,从中随意抽出 5 件 , 起码有 3 件是次品的抽法共种 (用数字作答 ).(22)建筑一个容积为 8m 3,深为 2m 的长方体无盖水池 .假如池底和池壁的造价每平方米分别为 120 元和 80元,那么水池的最低总造价为元.(23) 设f(x)=4 x -2x+1 ,则f-1 (0)=.三、解答题 :解答应写出文字说明、演算步骤.(26)如图 ,A 1B1C1-ABC 是直三棱柱 ,过点 A1、B、C1的平面和平面 ABC 的交线记作l .(Ⅰ)判断直线 A1C1和l的地点关系 ,并加以证明 ;(Ⅱ)若 A1A=1,AB=4,BC=3, ∠ ABC=90 ° ,求极点到直线 l的距离 .出以 M,N为焦点且过点 P的椭圆方程 .(29)已知对于 x的实系数二次方程 x2+ax+b=0 有两个实数根α ,β.证明 :(Ⅰ)假如│α│<2, │β│<2, 那么 2│α│<4+b 且│ b│ <4;(Ⅱ)假如 2│α│ <4+b 且│ b│<4,那么│α│ <2, │β│ <2.1993 年试题 (理工农医类 )答案一、选择题 :此题考察基本知识和基本运算.(1)C (2)B (3)C (4)D (5)C (6)B(7)B (8)A (9)A (10)D (11)A (12)C(13)D (14)A (15)B (16)B (17)B (18)B二、填空题 :此题考察基本知识和基本运算 .(19)2 (20)17.3 (21)4186三、解答题 .(25)本小题考察对数函数的观点及性质 ,不等式的解法 .(26)本小题主要考察空间图形的线面关系、三棱柱的性质、空间想象能力和逻辑推理能力 .解 :(Ⅰ)l ∥A1C1 .证明以下 :依据棱柱的定义知平面 A1B1C1和平面 ABC 平行 .由题设知直线 A1C1=平面 A1 B1C1∩平面 A1BC 1 ,直线 l=平面 A1 BC 1∩平面 ABC. 依据两平面平行的性质定理有 l ∥A1C1 .(Ⅱ)解法一 :过点 A1作 A1E⊥l 于E,则 A1E的长为点 A1到 l的距离 .连接 AE. 由直棱柱的定义知 A1A⊥平面 ABC.∴直线 AE是直线 A1E在平面 ABC 上的射影 .又l在平面 ABC 上,依据三垂线定理的逆定理有AE ⊥l .由棱柱的定义知 A1C1∥ AC, 又l ∥A1C1 ,∵l∥ AC.作BD⊥ AC 于D,则 BD是 Rt△ABC 斜边 AC上的高 ,且BD=AE,在Rt△A1AE中 ,∵A1A=1, ∠A1AE=90 °,解法二 :同解法一得 l∥ AC.由平行直线的性质定理知∠ CAB= ∠ ABE, 从而有 Rt △ ABC ∽ Rt △BEA,AE:BC=AB:AC,以下同解法一 .(27)本小题主要考察坐标系、椭圆的观点和性质、直线方程以及综合应用的能力 . 解法一: 成立直角坐标系如图:以MN 所在直线为x轴,线段MN 的垂直均分线为y 轴.(c,0) 和(x0 ,y0).∵tgα=tg( π-∠ N)=2,∴ 由题设知解法二 :(28) 本小题考察复数的基本观点和运算,三角函数式的恒等变形及综合解题能力.(29)本小题考察一元二次方程根与系数的关系 ,绝对值不等式的性质和证明 ;逻辑推理能力和剖析问题、解决问题的能力 .证法一 :依题设 ,二次方程有两个实根α ,β,所以鉴别式△=a2-4b ≥0.平方得a2-4b<16-8a+a 2,a2-4b<16+8a+a 2,由此得-4(4+b)<8a<4(4+b),∴2│ a│ <4+b.(Ⅱ)∵ 2│ a │<4+b, │ b│ <4,4±a>0;且△=a2-4b<a2-4(2│ a│ -4)。
1988-1998年高考文科数学试题参考答案
SA BCD1988年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案 满分120分，120分钟一、（本题满分45分）BCDBA BDDAC ACBAC二、（本题满分20分）本题共5小题，每1个小题满分4分只要求直接写出结果1.2;π611． 2.2x =- ． 3.-3． 4.3cm 548π． 5.3． 三、（本题满分10分）证明：∵cos3cos(2)ααα=+cos cos 2sin sin 2αααα=-22cos (2cos 1)2sin cos αααα=--322cos cos 2(1cos )cos αααα=---34cos 3cos αα=-，∴结论成立． 四．（本题满分10分）解：∵SB ⊥底面ABCD ，∴斜线段SA 在底面上的射影为AB ． ∵AD ⊥AB ，∴AD ⊥SA ．连接BD ，则BD =2． ∵SB ⊥BD ，∴SD ==，∴sin 5AD SD α===． 五、（本题满分11分）解：由题意知，点P 的坐标(,)a b 是方程组221,(1)(2)a b ⎧-=⎪=的解，且0a >．由（1）得||a b =>， ∴a b >，∴（2）式可变形为2a b -=． （3） 由（1），（3）可得12a b +=，（4） 由（3），（4）解得53,44a b ==-， ∴所求的点P 的坐标为53(,)44-．六、（本题满分12分）解：原不等式等价于不等式组2210, 1112x xx x ⎧->⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩（）. （），即 由不等式（1）解得1x >或10x -<<．（3）由不等式（2）解得x <0x <<（4） 由（3），（4）得112x -<<或112x +<<， ∴原不等式解集为151,⎛⎛+- ⎝⎭⎝⎭． 七、（本题满分12分）解：由已知条件知2121k k a a +--[5(21)1][5(21)1]10k k =++--+=， ∴135,,a a a ，…，21m a -是以16a =为首项，10为公差的等差数列．又由已知条件知22222222222k k k ka a ++==， ∴246,,a a a ，…，2m a 是以22a =为首项，2为公比的等比数列．∴数列{}n a 的前2m 项和为2135(m S a a a =+++…21)m a -++ 246(a a a +++…2)m a +[65(21)1]2(12)212m m m +-+-=+-21522m m m +=++-．D 1C 1B 1A 1N MO D C B A 1989年普通高等学校招生全国统一考试文科数学答案 满分120分，120分钟一、选择题（本题满分36分，共12个小题，内每一个小题选对得3分） 1-12 ADCBA CDBBD DC二、填空题本题满分24分，共6个小题，每一个小题满分4分果.13.10x y +-= 14.(,1)(4,)-∞-+∞15.(1,1)- 16.必要，必要17.(3,4) 18.900三、解答题本题满分60分，共6个小题. 19.（本小题满分8分）解：5551(1)2()2=55532(cos sin )33i ππ=+252532(cos sin )33i ππ=+32(cos sin )33i ππ=+，∴复数z 的模为32，的模和辐角的主值为.3π 20．（本小题满分8分）证明：3sinsin32222cos cos 22x xx x tg tg -=- 33sin cos cos sin2222cos cos22x x x x -=sin 3cos cos22xx x =2sin cos cos 2x x x =+. 21．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）连接1AO ，则1AO ⊥底面ABCD .作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ．连接1A M ，1A N ，则由三垂线定理得1A M ⊥AB ，1A N ⊥AD .∵∠1A AM =∠1A AN ，∴Rt △1A NA ≌Rt △1A MA ， ∴1A M =1A N ，∴OM ON =.∴点O 在∠BAD 的平分线上. （Ⅱ）由条件及（Ⅰ）知AM =1AA 13cos3322π=⋅=，∴AO =AM csc4AM AO π==.又在Rt △1AOA 中，2221199922AO AA AO =-=-=.∴1A O =∴平行六面体的体积54V =⋅22．（本小题满分10分）证：令2222(1223)(3445)n S =⋅-⋅+⋅-⋅22[(21)(2)2(21)]n n n n ++--+.下面用数学归纳法证明. (1)(43)n S n n n =-++. ①当1n =时，221122314S =⋅-⋅=-,-1·2·7=-14， ∴当1n =时，(1)(43)n S n n n =-++. ②假设当(1)n k k =≥时等式成立，即 (1)(43)k S k k k =-++ 那么，当1n k =+时， 1(1)(43)k S k k k +=-+++y (0,1)内22)cα，即时，).1990年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）参考答案 满分120分，120分钟一、选择题:本题考查基本知识和基本运算. 1-15 ACDBD CABAC BDACB二、填空题:本题考查基本知识和基本运算. 16．3 17．20- 18．219．7:5 20三、解答题.21.本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程组.解决问题的能力.解一:设四个数依次为,,a d a a d -+，2()a d a +,则由已知条件得 2()16,12.a d a d a a a d ⎧+-+=⎪⎨⎪++=⎩消去d ，整理得213360a a -+=， 解得 124,9a a ==.代入③式得 124,6d d ==-.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 解二:设四个数依次为,,12,16x y y x --，则由已知条件得2122, (1)(16)(12).(2)x y y y x y +-=⎧⎨-=-⎩ 由1.式得312x y =-. (3) 将(3)式代入2.式得2(16312)(12)y y y -+=-, 整理得 213360y y -+=. 解得 124,9y y ==. 代入3.式得120,15x x == .从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 22.本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力. 解：由已知得sin sin 3cos cos 4αβαβ+=+，即2sincos32242cos cos22αβαβαβαβ+-=+-， ∴3tan 24αβ+=， ∴22tan2tan()1tan 2αβαβαβ++=+- 2322447314⨯==⎛⎫- ⎪⎝⎭． 23.本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力.解一: ∵SB ＝BC ,且E 是SC 的中点,∴BE 是等腰三角形SBC 的边SC 的中线, ∴SC ⊥BE ．又已知SC ⊥DE ,BE ∩DE ＝E , ∴SC ⊥面BDE , ∴SC ⊥BD .又∵SA ⊥底面ABC ，BD 在底面ABC 内， ∴SA ⊥BD .而SC ∩SA ＝S ,∴BD ⊥面SAC . ∵DE ＝面SAC ∩面BDE , DC ＝面SAC ∩面BDC , ∴BD ⊥DE ，BD ⊥DC .∴∠EDC 是所求的二面角的平面角. ∵SA ⊥底面ABC ,∴SA ⊥AB ,SA ⊥AC ． 设SA ＝a ，则AB = a ，BC =SB． 又∵AB ⊥BC，∴AC =． 在R t SAC ∆中SA tg ACS AC ∠==， ∴∠ACS ＝30°.又已知DE ⊥SC ,所以∠EDC ＝60°， 即所求的二面角等于60°．解二: ∵SB ＝BC,且E 是SC 的中点,∴BE 是等腰三角形SBC 的边SC 的中线, ∴SC ⊥BE ．又已知SC ⊥DE ,BE ∩DE ＝E ， ∴SC ⊥面BDE , ∴SC ⊥BD ．∵SA ⊥底面ABC ,且A 是垂足, ∴AC 是SC 在平面ABC 上的射影. 由三垂线定理的逆定理得BD ⊥AC ;又∵E ∈SC ,AC 是SC 在平面ABC 上的射影, ∴E 在平面ABC 上的射影在AC 上, ∵D ∈AC ,∴DE 在平面 ABC 上的射影也在AC 上, 根据三垂线定理又得BD ⊥DE. ∵DE ⊂面BDE ,DC ⊂面BDC ,∴∠EDC 是所求的二面角的平面角． 以下同解法一.24. 本小题考查对数,不等式的基本知识及运算能力.解:原不等式可化为2log (43)log (42)a a x x x +->-. ① 当01a <<时,①式等价于22420,430,4342x x x x x x ->⎧⎪+->⎨⎪+-<-⎩，即1,214,32x x x x ⎧>⎪⎪-<<⎨⎪<->⎪⎩或， ∴24x <<,即当01a <<时,原不等式的解集是()2,4.当1a >时,①式等价于22420,430,4342x x x x x x ->⎧⎪+->⎨⎪+->-⎩，即1,214,32x x x ⎧>⎪⎪-<<⎨⎪-<⎪⎩<， ∴142x <<，即 当1a >时,原不等式的解集是1,22⎛⎫⎪⎝⎭.综上可得，当01a <<时,原不等式的解集是()2,4；当1a >时,原不等式的解集是1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 25.本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力.解：设(,R)z x yi x y =+∈,代入原方程得222x y xyi a -+=，即22,(1)0. (2)x y a xy ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩ 由(2)式得0x =或0y =. ① 若0x =，则方程(1)为2y a -+=，即220(0)y y a y ++=<， (3)或220(0)y y a y -+=≥．(4).由(3)得2(1)1(0)y a y +=-<，当01a ≤≤时，1y =-1y =-，当1a >时无解．由(4)得2(1)1(0)y a y -=-≥，当01a ≤≤时，1y =，或1y = 当1a >时无解．综上可得，当01a ≤≤时，(1z i =±+，或(1z i =±-当1a >时无解．②若0y =，则方程（1）为2x a +=，即2(1)1(0)x a x +=+≥， (5)或2(1)1(0)x a x -=+<． (6) ∵0a ≥，∴解(5)得1x =-； 解(6)得1x =综上可得，1z =±．③若0x =且0y =，则方程（1）为0a =，当0a =时，0x =，0y =是其解；当0a ≠时无解．当0a =时，0z =是其解；当0a ≠时无解．显然，当0a =时，0z =包含在上述两种情况之中．综上可得，实数解为(1z =±； 当01a ≤≤时，(1z i =±，或(1z i =±，当1a >时无纯虚数解．26.本小题考查椭圆的性质,距离公式,最大值知识以及分析问题的能力.解：设所求椭圆的直角坐标方程是22221(0)x y a b a b +=>>，则 222222314c a b b e a a a -⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即 2a b =，∴椭圆的方程可变形为222214x y b b+=．设椭圆上的点(,)x y 到点P 的距离为d ，则22232d x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭22234()2b y y ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭2213432y b ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭，其中b y b -≤≤.若102b <<，则当y b =-时，2d 有最大值，且2372b ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解之得3122b =>，与102b <<相矛盾，舍去． 若12b ≥，则当12y =-时，2d 有最大值，且2437b +=，解之得1b =， ∴2,1a b ==,∴所求椭圆的直角坐标方程是2214x y +=． 当12y =-时，x =∴所求的点的坐标是12⎛⎫- ⎪⎝⎭．B 1C 1A B C DA 11991年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)参考解答试卷共三道大题26个小题.．满分120分，考试时间120分钟．一、选择题．本题考查基本知识和基本运算．每小题3分，满分45分．1-15 ADBCB ADABC ACCBC二．填空题．本题考查基本知识基本运算．每小题3分，满分15分． 16.(2,2)- 17.2－5 18.(4,2)- 19.1+51020.2 三．解答题 21.（满分8分）解：22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++212sin cos 2cos x x x =++ sin 2cos 22x x =++224x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．当sin 2=14x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭时，函数y 有最大值，且最大值为2+2．说明：①没有说明“当sin 2=14x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭时，函数y 有最大值”而得出正确答案，不扣分．②本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质 22.（满分8分） 解：∵ 1z i =+，∴ 2236(1)3(1)6111z z i i z i -++-++=+++312i i i-==-+， ∴1i -的模为22)1(1-+=2，辐角的主值74π，∴所给复数的模为2，辐角的主值74π．说明：本小题考查复数基本概念和运算能力了．23.（满分10分）解：∵ A 1A ⊥底面ABC ，∴ A 1A ⊥BC ． 又∵BC ⊥BB 1，且棱AA 1和BB 1的延长线交于一点，∴ BC ⊥侧面A 1ABB 1，∴ BC ⊥AB ．∴ △ABC 是直角三角形，∠ABC =90º．并且∠ABB 1就是BB 1和底面ABC 所成的角，且 ∠ABB 1=45º．作B 1D ⊥AB 交AB 于D ，则B 1D ∥A 1A ， ∴B 1D ⊥底面ABC ．∵在Rt △B 1DB 中，∠DBB 1=45º， ∴DB =DB 1=AA 1=a ，∴AB =2a ． ∵由于棱台的两个底面相似， ∴Rt △ABC ∽Rt △A 1B 1C 1．∵B 1C 1=A 1B 1=a ，AB =2a ，∴ BC =2a ．∴12S =上A 1B 1×B 1C 1=22a ，12S =下AB ×BC =2a 2．13V =·A 1A ·()下下上上S S S S +⋅+=31·a ·.67222232222a a a a a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+ 说明：本小题考查直线与直线，直线与平面的位置关系，以及逻辑推理和空间想象能力．24.（满分10分）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，∴ ()1112a n dn b +-⎛⎫= ⎪⎝⎭．∴()111222132111==222aa da db b b ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭·由12318b b b =，得3218b =，即212b =． 代入已知条件得12312318218b b b b b b ⎧=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=.817413131b b b b ， 解得1312,8b b ==或131,28b b ==，∴11,2a d =-=或13,2a d ==-．当11,2a d =-=时，23n a n =-； 当13,2a d ==-时，52n a n =-． 说明：本小题考查等差数列，等比数列的概念及运用方程组.解决问题的能力． 25.（满分12分）解： 原不等式可变形为4222xx a a a -->． ①（1）.当01a <<时，由①式得42220x x a -+<，即()22211x a -<- ．∵ 01a <<，∴2011x <<<x <<x <<． ∴当01a <<时，原不等式的解集为⎛ ⎝． （2） 当1a >时，由①式得42220x x a -+>， 即()22211x a ->-．∵1a >，∴210a -<，∴不等式()22211x a ->-对任意实数x恒成立，即得原不等式的解集为R ．综上可得：当01a <<时，原不等式的解集为⎛ ⎝； 当1a >时，原不等式的解集为R ．说明：本小题考查指数函数性质、解不等式及综合分析能力． 26.（满分12分）解：设所求椭圆方程为22221x y a b+=．由方程组22221,1x y a b y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得2222(1)1x x a b++=，即 2222222()20a b x a x a a b +++-=． ① 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则12,x x 方程①的两个根，且2122222212222,.a x x a b a a b x x a b ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩∵OP OQ ⊥，∴1212OP OQ y yk k x x ⋅=⋅1212(1)(1)1x x x x ++=⋅=-，即12122()10x x x x +++=，∴222222222()210a a b a a b a b --+=++，即 22222a b a b =+．∴12221221,1.2x x b b x x b ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩∵PQ =，∴252PQ =，∴221212()()x x y y -+-222121212()()2()x x x x x x =-+-=-212122()4x x x x ⎡⎤=+-⎣⎦222222222224a a a b a b a b ⎡⎤⎛⎫-=--⋅⎢⎥⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦421252(2)2b b =-+=， 解得22b =或223b =，从而223a =或22a =．∴223a =，22b =或22a =，223b =，∴所求椭圆的方程为132222=+y x ，或.123222=+y x 说明：本小题考查椭圆的性质、两点的距离公式、两条直线垂直条件、二次方程根与系数的关系及分析问题的能力．KH G B 1D 1C 1F A B C ED A 11992年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)参考答案这份试卷共三道大题28个小题..满分120 分.考试时间120分钟一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．1-18 ADDCD BBDDD BACDD CAC 二、填空题.本题考查基本知识和基本运算.每小题3分，满分15分.19.41 20.55- 21..x =－1 22.12815 23.1124)2(22=--y x . 三、解答题24.本小题主要考查三角函数恒等变形知识和运算能力（满分9分）.解：sin 220º+cos 280º＋3sin20ºcos80º=1cos 401cos16022-++sin 60)︒-︒13=1(cos160cos40)224+︒-︒+︒-=41－21·2sin100ºsin60º＋23sin100º =41－23sin100º＋23sin100º14=． 25.本小题主要考查复数相等的条件及解方程的知识（满分9分）.解：设 (,R)z x yi x y =+∈，则由已知条件得74x yi i +-=-+，由复数相等的定义，得7,4,x y ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩ 解得1254,3,3y x x ===，∴34z i =+或543z i =+．26.本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及空间想象能力和逻辑推理能力（满分10分）. 解一：∵ EB =BF =FD 1=D 1E=22)2(a a +=25a ， ∴四棱锥11A EBFD -的底面是菱形．连接A 1C 1，EF ，BD 1， 则A 1C 1∥EF ，∴A 1C 1∥平面1EBFD ，∴A 1C 1到底面EBFD 1的距离就是11A EBFD -的高．设G ，H 分别是A 1C 1，EF 的中点，连接D 1G ，GH ，则FH ⊥HG ， FH ⊥HD 1， ∴FH ⊥平面HGD 1． ∵FH ⊂平面1EBFD ， ∴面1EBFD ⊥平面1HGD ．作GK ⊥HD 1于K ，则GK ⊥面1EBFD ． ∵正方体的对角面AA 1CC 1垂直于底面A 1B 1C 1D 1,∴∠HGD 1=90º． 在Rt △HGD 1内，GD 1=22a ，HG =21a ，HD 1=21BD =23a ， ∴23a ·GK =21a ·22a ，从而GK =66a ．∴11EBFD A V -=311EBFD S 菱形·GK=31·21·EF ·BD 1·GK =61·2a ·3a ·66a 31=6a ． 解二 ∵ EB =BF =FD 1=D 1EB 1D 1C 1F AB C E DA1=22)2(a a +=25a ，∴ 四菱锥A 1－EBFD 1的底面是菱形．连接EF ，则△EFB ≌△EFD 1．∵三棱锥A 1－EFB 与三棱锥A 1－EFD 1等底同高，∴111EFD A EFB A V V --=，. ∴EFB A EBFD A V V --=1112．又11EBA F EFB A V V --=， ∴1112EBA F EBFD A V V --=．∵CC 1∥平面ABB 1A 1，∴三棱锥F －EBA 1的高就是CC 1到平面ABB 1A 1的距离，即棱长a ． 又△EBA 1边EA 1上的高为a ， ∴11EBFD A V -=2·31·1EBA S ∆·a =61a 3． 27.本小题主要考查有关直线方程的知识及综合运用知识的能力（满分10分）. 解：由已知条件知顶点A 为直线 210x y -+=与直线0y =的交点，∴由210,0x y y -+=⎧⎨=⎩解得顶点(1,0)A -．∴AB 的斜率2011(1)AB k -==--，∵x 轴是A ∠的平分线，∴1AC k =-，且直线AC 所在直线的方程为(1)y x =-+． ① ∵边BC 上的高所在直线的方程为 210x y -+=，∴2BC k =-，且BC 所在的直线方程为 22(1)y x -=--，即 24y x =-+． ② 由①，②联立解得顶点C 的坐标为(5,6)-． ∴点A 和点C 的坐标分别为(1,0)A -，(5,6)C -，28.本小题考查数列、不等式及综合运用有关知识解决问题的能力（满分12分）. 解：（Ⅰ）由已知条件得()()31121131212,12121120,213131130,2a a d S a d S a d ⎧=+=⎪⎪⨯-⎪=+⋅>⎨⎪⎪⨯-=+⋅<⎪⎩即 111122,2110,60,a d a d a d =-⎧⎪+>⎨⎪+<⎩ ∴ 2470,30,d d +>⎧⎨+<⎩解得 2437d -<<-． （Ⅱ）解一：由（Ⅰ）知0d <， ∴{}n a 单调递减．由已知条件得11313713()1302a a S a +==<，即70a <；112126712()6()02a a S a a +==+>，即670a a +>，∴60a >． ∴在1212,,,S S S 中6S 的值最大．（Ⅱ）解二：()d n n na S n 211-+=()()d n n d n 121212-+-=22124124=552222d d n d d ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦． ∵0d <，∴ 224521⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--d n 最小时，n S 最大．当2437d -<<-时， 124136522d ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，∵正整数6n =时224521⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--d n 最小，∴6S 最大．（Ⅱ）.解三：由（Ⅰ）.知0d <， ∴{}n a 单调递减．∵ 12130,0,S S >⎧⎨<⎩∴111211120,21312130.2a d a d ⨯⎧+>⎪⎪⎨⨯⎪+<⎪⎩∴1150,260,d a d a d ⎧+>->⎪⎨⎪+<⎩即670,0.a a >⎧⎨<⎩ ∴在12,S S ，…，12S 中6S 的值最大．1993年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答本试卷分第Ⅰ卷(选择题.和第Ⅱ卷(非选择题.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共68分.一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分68分．1-17 ACBBA DCABD CADDA CB第Ⅱ卷(非选择题共82分).二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分24分. 18.－a 2 19.{k ||k |>31} 20.100 21..1 22.1760 23.30 三、解答题24.本小题考查三角函数式的恒等变形及运算能力（满分10分） 解. tg20º+4sin20º︒︒︒+︒=20cos 20cos 20sin 420sin ︒︒+︒=20cos 40sin 220sin()︒︒+︒+︒=20cos 40sin 40sin 20sin ︒︒+︒︒=20cos 40sin 10cos 30sin 2︒︒+︒=20cos 40sin 80sin ︒︒︒=20cos 20cos 60sin 2︒=60sin 23=. 25.本小题考查函数的奇偶性、对数函数的性质、不等式的性质和解法等基本知识及运算能力（满分12分） 解：(Ⅰ)由已知函数知011>-+xx， 解得－1<x <1；∴()f x 的定义域为(1,1)-． (Ⅱ) ∵ ()1log 1axf x x--=+ ()1log 1axf x x+=-=--， ∴ f (x .为奇函数．(Ⅲ.由(Ⅰ.知，()f x 的定义域为(1,1)-，∴当1a >时，由1log 01axx+>-得 111>-+xx，解得01x <<； 当01a <<时，由1log 01axx+>-得 1011x x+<<-，解得10x -<<．综上所述，当1a >时，()0f x >的x 取值范围(0,1)；当01a <<时，()0f x >的x 取值范围(1,0)-．26.本小题考查观察、分析、归纳的能力和数学归纳法（满分12分） 解：由12382448,92549S S S ===,， 48081S =… ，猜想 ()()()N n n n S n ∈+-+=2212112．下面用数学归纳法证明如下：①当1n =时，98313221=-=S ，等式成立．②设当n k =时等式成立，即()().1211222+-+=k k S k 则()()()221321218++++=+k k k S S k k ()()()()()222232121812112+++++-+=k k k k k ()()()()()222232121832]112[+++++-+=k k k k k ()()()()()()22222321218323212+++++-++=k k k k k k ()()()()()222223212123212+++-++=k k k k k ()()2232132+-+=k k ()()22]112[1]112[++-++=k k ，a /d c b a P βαy N a 2a 1Q b a A BCP βMαy由此可知，当1n k =+时等式也成立． 根据①②可知，等式对任何n N ∈都成立． 27.本小题考查直线与平面的平行、垂直和两平面垂直的基础知识，及空间想象能力和逻辑思维能力（满分12分） 证法一：(Ⅰ)设α∩γ=AB ，β∩γ=AC ．在γ内任取一点P ，并在γ内作直线PM ⊥AB ，PN ⊥AC 交AB ，AC 于点,M N ．∵γ⊥α，∴PM ⊥α． 而 a ⊂α，∴PM ⊥a ． 同理PN ⊥a ．又PM ⊂γ，PN ⊂γ，∴ a ⊥γ．(Ⅱ)在直线a 上任取点Q ，过b 与Q 作一平面交α于直线1a ，交β于直线2a ． ∵b ∥α，∴b ∥1a ． 同理b ∥2a ． ∴ 1a ∥2a ． ∵12a a Q =，∴1a 与2a 重合． 又1a ⊂α，2a ⊂β，∴1a ，2a 都是α，β的交线，即都重合于a ．∵b ∥1a ，∴ b ∥a ． 而a ⊥γ，∴b ⊥γ．证法二：(Ⅰ.在a 上任取一点P ，过P 作直线a '⊥γ．∵α⊥γ，P ∈α，∴a '⊂α． 同理a '⊂β．∴ a '是α，β的交线，即a '重合于a ．又a '⊥γ，∴ a ⊥γ．(Ⅱ.于α内任取不在a 上的一点，过b 和该点作平面与α交于直线c ．同理过b 作平面与β交于直线d ．∵b ∥α，b ∥β．∴b ∥c ，b ∥d ． 又c ⊄β，d ⊂β，∴c 与d 不重合，且c ∥d ． ∴c ∥β．∵c ∥β，c ⊂α，α∩β=a ， ∴c ∥a ．∵b ∥c ，a ∥c ，b 与a 不重合(b ⊄α，a ⊂α.， ∴b ∥a ．而a ⊥γ，∴b ⊥γ．28.本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力（满分12分）解法一：如图，以MN 所在直线为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，设以,M N 为焦点且过点P 的椭圆方程为12222=+by a x ，且焦点为(,0),(,0)(0)M c N c c ->．由tan ,tan 22PMN MNP ∠=∠=-知，直线PM 和直线PN 的斜率分别为1,22，直线方程分别为1(),2()2y x c y x c =+=-．由1(),22()y x c y x c ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩解得54,33x c y c ==，即54,33P c c ⎛⎫⎪⎝⎭． 在PMN ∆中，|MN |=2c ，MN 上的高为点P 的纵坐标，∴214421233MNP S c c c ∆=⋅⋅==，∴c =P 点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332635，． 由椭圆过点P 得2a PM PN =+=，∴a =． ∴222153344b a c =-=-=， ∴所求椭圆方程为1315422=+y x ． 解法二：同解法一得23=c ，P 点的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛332635，．∵ 点P 在椭圆上，且222a b c =+，∴ 13322363522222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b b ，即 423830b b --=，解得23b =，或213b =- (舍去.．∴222154a b c =+=，∴所求椭圆方程为1315422=+y x ． 说明：本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力．本题也可用正弦定理求解．1994年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共65分)一、选择题(本题考查基本知识和基本运算第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分)1-15 CDBAB DBAAC CBDDC第Ⅱ卷(非选择题共85分)二、填空题(本题考查基本知识和基本运算.每空格4分，共24分)16．－189 17．223,(2)1x x y =-+= 18．43- 19．322π 20．121(a a n++…)n a + 三、解答题21.本小题考查利用有关三角公式并借助辅助角求三角函数最小值的方法及运算能力，满分11分.解：332sin3sin cos3cos sin 2cos 2x x x xy x x+=+ 222sin3sin sin cos3cos cos sin 2cos 2x x x x x x x x+=+ 222(cos2cos4)sin (cos2cos4)cos 2cos 2x x x x x x x-++=sin 2x +2cos 2(1cos 4)sin 22cos 2x x x x +=+ 222cos 2cos 2sin 22cos 2x x x x=+cos 2sin 2x x =+)4x π=+．当sin(2)14x π+=-，即3()8x k k Z ππ=-∈时，函数y 取得最小值22.本小题考查对数函数性质、平均值不等式等知识及推理论证的能力.满分12分.解：∵+12,R x x ∈，∴212122x x x x +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(当且仅当12x x =时取“=”号) ．当1a >时，21212log ()log 2a a x x x x +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴12121log ()log 22a a x x x x +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即 []12121()()()22x x f x f x f ++≤ (当且仅当12x x =时取“=”号) ． 当01a <<时，21212log ()log 2a a x x x x +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，∴12121(log log )log 22a a a x x x x ++>， 即[]12121()()()22x x f x f x f ++≥ (当且仅当12x x =时取“=”号) ．23.本小题考查空间线面关系，正棱柱的性质，空间想象能力和逻辑推理能力.满分12分.(1)证明：∵A 1B 1C 1－ABC 是正三棱柱， ∴四边形B 1BCC 1是矩形.连接B 1C ，交BC 1于E ，则B 1E =EC . 连结DE .在△AB 1C 中，∵AD =DC ， ∴DE ∥AB 1．又AB 1⊄平面DBC 1，DE ⊂平面DBC 1 ∴AB 1∥DBC 1．(2)解：作AF ⊥BC ，垂足为F . ∵面ABC ⊥面B 1BCC 1， ∴AF ⊥B 1BCC 1平面.连接B 1F ，则B 1F 是AB 1在平面B 1BCC 1内的射影．∵BC 1⊥AB 1， ∴BC 1⊥B 1F . ∵四边形B 1BCC 1是矩形， ∴∠B 1BF =∠BCC 1=90º；∠FB 1B =∠C 1BC ，∴△B 1BF ∽△BCC 1， ∴BB BFC C BF BC B B 111==． 又F 为正三角形ABC 的BC 边中点， ∴B 1B 2=BF ·BC =1×2=2， ∴B 1F 2= B 1B 2+ BF 2=3，∴B 1F =3，即线段1AB 在平面11BCC B 内射影长为3．24.本小题考查曲线与方程的关系，轨迹的概念等解析几何的基本思想以及综合运用知识的能力.满分12分.解：如图，设MN 切圆于N ，动点M 的坐标为(,)x y ，则由已知条件得22222(1)()4(14)0x y x λλλ-+-++=． ∴动点M 的轨迹方程是22222(1)()4(14)0x y x λλλ-+-++=．当1λ=时，动点M 的轨迹方程是54x =，它表示一条直线；当1λ≠时，动点M 的轨迹方程是()222222221311x y λλλλ⎛⎫+-+= ⎪-⎝⎭-，它表示以点222,01λλ⎛⎫⎪-⎝⎭为圆心，13122-+λλ为半径的圆．25.本小题考查等差数列的基础知识，数学归纳法及推理论证能力.满分14分. 证法一：令21d a a =-．下面用数学归纳法证明．1(1)()n a a n d n N =+-∈．(1)当1n =时，上述等式为恒等式11a a =； 当2n =时，1121(21)()a d a a a +-=+-2a =，等式成立.(2)假设当(2)n k k =≥时命题成立，即1(1)k a a k d =+-．由已知条件有()12k k k a a S +=， ()()11112k k k a a S ++++=， ∴11k k k a S S ++=-()()111(1)22k k k a a k a a ++++=-，整理得11(1)(1)(1)k k a k a k k d +-=-+-． ∵2k ≥，∴11k a a kd +=+，即 当1n k =+时等式成立． 由(1)和(2)，等式对所有的自然数n 成立，从而{}n a 是等差数列．证法二：当n ≥2时，由已知条件()()21111--+-=n n a a n S ，()21n n a a n S +=， ∴1n n n a S S -=- ()()111(1)22n n n a a n a a -+-+=-；同理可得11n n n a S S ++=-()()111(1)22n n n a a n a a ++++=-，∴()()11111()2n n n nn a a a a n a a ++++-=-+()()1112n n a a --++，整理得 11n n n n a a a a +--=-， ∴{}n a 是等差数列．1995年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)一、选择题(本题考查基本知识和基本运算第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分)1-15 BDCBD CACAA BDDCA第Ⅱ卷(非选择题共85分)二、填空题(本题考查基本知识和基本运算，本大题共5小题，每小题4分，共20分) 16．3 17．3237 18．3 19．4 20．144三、解答题（本大题共6小题，共65分） 21．本小题主要考查指数方程的解法及运算能力，本小题满分7分.解：设30x y =>，则原方程可化为098092=--y y ，解得：91=y ，912-=y （舍去）由93=x得2=x ， ∴原方程的解为2=x ．22．本小题主要考查复数的有关概念，三角公式及运算能力，本小题满分12分． 解：由已知条件得)sin (cos )sin (cos 22θθθθi i z z +++=+θθθθs i n c o s 2s i n 2c o s i i +++= )2c o s 23(s i n 2c o s 23c o s 2θθθθi +=)23s i n 23(c o s 2c o s 2θθθi +=)23sin()23[cos(2cos 2θπθπθ+-++--=i ∵)2,(ππθ∈，∴(,)22θππ∈，∴0)2cos(2>-θ．∵复数z z +2的模为2cos 2θ-，辐角)(23)12(z k k ∈+-θπ． 23.本小题主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识以及逻辑推理能力，本小题满分10分.证：设}{n a 的公比为q ，由题设知01>a ，0>q ，(1)当1=q 时，1na S n =，从而22111(2)n n n S S S na n a ++⋅-=+22211(1)0n a a -+=-<.(2) )当1≠q 时，()qq a S nn --=111，从而221n n n S S S ++⋅-()()()()()22221112211111n n n a q q a q q q ++---=---021<-=n q a ．由(1)和(2)得212++<⋅n n n S S S ．根据对数函数的单调性，得215.025.0log )(log ++>⋅n n n S S S ，即 15.025.05.0log 2log log ++>+n n n S S S ．24．本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力，本小题满分12分．解：(1)根据圆柱性质，DA ⊥平面ABE ． ∵EB ⊂平面ABE ，∴DA ⊥EB ．∵AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上， ∴AE ⊥EB ． 又AE ∩AD =A ， ∴EB ⊥平面DAE ． ∵AF ⊂平面DAE ， ∴EB ⊥AF ． 又AF ⊥DE ，且 EB ∩DE =E ，∴AF ⊥平面DEB ．∵DB ⊂平面DEB ，∴AF ⊥DB ．(2)设点E 到平面ABCD 的距离为d ，记AD =h ．∵圆柱轴截面ABCD 是矩形，∴AD ⊥AB ．∴221ahAD AB S ABD =⋅=∆，∴dah S d V V ABD ABD E ABE D 613===∆--．又h a AD AB V 2242ππ=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=圆柱， 由题设知ππ36142=dah ha ，即2a d =． 25．本小题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力，以及函数的概念、方程和不等式的解法等基础知识和方法，本小题满分12分． 解：解：(1)由 Q P =有()2840500)8(1000--=-+x t x ，即0)280644)808(522=+-+-+t t x t x （．当判别式0168002≥-=∆t，即 0t ≤≤25052548t t x -±-=．由0≥∆，0≥t ，148≤≤x ，得不等式组：①0488145t t ⎧≤≤⎪⎨≤-+⎪⎩或 ②048814.5t t ⎧≤≤⎪⎨≤-≤⎪⎩解不等式组①，得100≤≤t ，不等式组②无解．∴所求的函数关系式为25052548t t x -+-=．函数的定义域为]10,0[． (2)为使10≤x ，应有8105052542≤-+-t t ，即 0542≥-+t t ．解得1≥t 或5-≤t ，由0≥t 知1≥t ． 从而政府补贴至少为每千克1元．26．本小题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法，利用方程判定曲线的性质等解析几何的基本思想和综合运用知识的能力，本小题满分12分．解：设点P 、Q 、R 的坐标分别为),12(P y ，),(y x ，),(R R y x ，由题设知0>R x ，0>x ，由点R 在椭圆上及点O 、Q 、R 共线，得方程组221,2416,R RR R x y y y x x⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得2222222248, (1)2348. (2)23R R x x x y y y x y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩由点O ，Q ，P 共线，得xyy P =12，即xy y P 12=．（3）由题设|OQ |·|OP |=|OR |2得()222222212RRpyxy y x +=+⋅+将（1），（2），（3）式代入上式，整理得点Q 的轨迹方程132)1(22=+-y x )0(>x ． 所以点Q 的轨迹是以(1，0)为中心，长、短半轴长分别为1和36，且长轴在x 轴上的椭圆，去掉坐标圆点．1996年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答 第Ⅰ卷(选择题共65分)一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第1－10题每小题4分，第11－15题每小题5分．满分65分．1-15 CADBC DADAC BDCAB第Ⅱ卷(非选择题共85分)二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 16．4 17．32 18．3 19．42 三、解答题20．本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力． 解：（Ⅰ）当1>a 时，原不等式等价于不等式组：⎩⎨⎧>-+>-+.1,01a a x a x 解得12->a x ． (Ⅱ)当10<<a 时，原不等式等价于不等式组10,1.x a x a a +->⎧⎨+-<⎩ 解得 121-<<-a x a ．综上，当1>a 时，不等式的解集为 }12|{->a x x ;当10<<a 时，不等式的解集为 }121|{-<<-a x a x ．21．本小题主要考查等比数列的基础知识，逻辑推理能力和运算能力．解：若1=q ，则有133a S =，166a S =，199a S =．由9632S S S =+得1113618a a a +=，解得 10a =，与01≠a 相矛盾， ∴1≠q ．由9632S S S =+得qq a q q a q q a --=--+--1)1(21)1(1)1(916131 整理得 0)12(363=--q q q ．由0≠q 得方程 01236=--q q ．0)1)(12(33=-+q q ，∵1≠q ，013≠-q ， ∴0123=+q ，∴243-=q ． 22．本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算能力．满分12分．解：由题设条件知B =60°，A +C =120°．∴11cos cos cos60A C +==-，即 C A C A cos cos 22cos cos -=+，2coscos 22A C A C +-)cos()]A C A C =++-，2cos 60cos 2A C-︒cos()]A C =︒+-，1cos cos()]22A C A C -=-+-，023)2cos(2)2(cos 242=--+-CA C A ，,0)32cos 22)(22cos 2(=+---C A C A∵,032cos 22≠+-CA ∴.022cos 2=--CA 从而得.222cos =-C A 23．本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力运算能力．满分12分． (Ⅰ)②∵BE :CF =1:2， ∴ DC =2BD ， ∴ DB =BC ，③∵△ABD 是等腰三角形， 且∠ABD =120º，∴∠BAD =30º，∴∠CAD =90º， ④∵FC ⊥面ACD ，∴CA 是F A 在面ACD 上射影， 且DA ⊥AC ，GB 1C 1F AB C E DA 1⑤∵F A ∩AC =A ，DA ⊥面ACF ， DA ⊂面ADF ．(Ⅱ)解：∵ F AA E AEF A V V 11--=． 在面A 1B 1C 1内作B 1G ⊥A 1C 1，垂足为G ，则231aG B =．∵面A 1B 1C 1⊥面A 1 C ，B 1G ⊥A 1C 1， ∴B 1G ⊥面A 1 C ．∵ E ∈B B 1，而B B 1∥面A 1 C ， ∴ 三棱柱E －AA 1F 的高为23a ， ∴ 1211322AA F a S AA AC ∆=⋅=，∴43311a V V F AA E AEF A ==--．24．本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．满分10分．解：设耕地平均每年至多只能减少x 公顷，又设该地区现有人口为P 人，粮食单产为M 吨/公顷．依题意得不等式4410(10.22)(1010)10(10.1)(10.01)M x Mp p+-≥++，化简得]22.1)01.01(1.11[10103+⨯-⨯≤x ． ∵]22.1)01.01(1.11[10103+⨯-⨯ 3122101011010[1(10.010.01122C C =-+⋅+⋅+…)]]1045.122.11.11[103⨯-⨯≈ 1.4≈，∴4≤x （公顷）．答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷．25．本小题主要考查直线与双曲线的性质，解析几何的基本思想，以及综合运用知识的能力．满分12分．解：（I ）依题设，直线12,l l 的斜率都存在，且设直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，，则121k k =-，且直线12,l l 的方程分别为11(0)y k x k =≠， ①22(0)y k x k =≠． ②将①代入双曲线方程得221(1k x x ⎡⎤-=⎣⎦，即 01222)1(2121221=-++-k x k x k ．③由题设条件知0121≠-k ，且22221111)4(1)(21)k k ∆=--- 214(31)0k =->．将②代入双曲线方程得222(1k x x ⎡⎤-=⎣⎦，即 01222)1(2222222=-++-k x k x k ．④由题设条件知2210k -≠，且2224(31)0k ∆=->，即21110k -≠，且22134(1)0k ∆=->． ∴1l ，2l 与双曲线各有两个交点，等价于21211310,310,1.k k k ⎧->⎪⎪->⎨⎪⎪≠⎩解得⎪⎩⎪⎨⎧≠<<.1,33311k k ∴)3,1()1,33()33,1()1,3(1 ----∈k ． (Ⅱ)双曲线122=-x y 的顶点(0,1),(0,1)-．取1(0,1)A 时，有1)20(1=+k ，解得221=k ． 从而2112-=-=k k ． 将22-=k 代入方程④得03242=++x x ． ⑤令2l 与双曲线的两交点为),(112y x A ，),(222y x B ，则12,x x 是方程⑤的两个根，且12123x x x x +=-=， ∴222221212||()()A B x x y y =-+-221212123()3[()4]x x x x x x =-=+-，∴ 60||222=B A ， 152||22=B A ． 当取1(0,1)A -时，由双曲线221y x -=关于x 轴的对称性，知152||22=B A ， ∴1l 过双曲线的一个顶点时，152||22=B A ．1997年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答 第Ⅰ卷（选择题共65分）一、选择题：本大题共15小题；第(1)—(10)题每小题4分，第(11)—(15)题每小题5分，共65分．1-12 BBACB CDCAB ADCCB第Ⅱ卷(非选择题 共85分)二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．16．4 17．(4，2) 18．32- 19．①，④ 三、解答题：本大题共6小题；共69分． 20．(本小题满分10分)本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算等基础知识，考查利用三角公式进行变形的技能和运算能力． 解一：∵3sin 3cos 2321ππi i z +=+=，i 2222+=ω4sin 4cos ππi +=．由题意得377(cossin )1212zw zw i ππ+=+ 1313(cos sin )1212i ππ++)1213sin 127(sin )1213cos 127(cosππππ+++=i55sin )66i ππ=+，∴复数3zw zw +的模为2，辐角主值为65π． 解二：3zw zw +)1(2w zw += )1)(2222)(2321(i i i +++= )2123(2i i +-=55sin )66i ππ=+，， ∴复数3zw zw +的模为2，辐角主值为65π． 21．(本小题满分11分)本小题主要考查等差数列、等比数列、方程组等基础知识，考查运算能力．解：设等差数列}{n a 的公差为d ，则3133S a d =+，4146S a d =+， 51510S a d =+．由已知条件得234534111,345112,34S S S S S ⎧⎛⎫⋅=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩其中05≠S ，即 2111113()()(2),23()()2,2a d a d a d a d a d ⎧++=+⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎩ 整理得211350,52 2.2a d d a d ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得11,0a d ==，或1124,5a d ==-，∴1n a =，或1232124(1)555n a n n =--=-．当1n a =时，55=S ；当321255n a n =-时，54S =-． ∴等差数列}{n a 的通项为1=n a ，或n a n 512532-=．22．(本小题满分12分)本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力． 解：（Ⅰ）由题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为vS ， 全程运输成本为)(2bv vaS v S bv v S a y +=⋅+⋅=， ∴所求函数及其定义域为],0(),(c v bv vaS y ∈+=．(Ⅱ)由题意知S ，a ，b ，v 都为正数，∴ab S bv vaS 2)(≥+，当且仅当a bv v =．即bav =时上式中等号成立． 若c b a≤，则当bav =时，全程运输成本y 最小；若c b a>，则当],0(c v ∈时，有 )()(bc c aS bv v a S +-+ )]()[(bc bv c av a S -+-==))((bcv a v c vcS-- ∵0≥-v c ，且2a bc >，∵02>-≥-bc a bcv a ，∴)()(bc caS bv v a S +≥+，且仅当cv =时等号成立，也即当c v =时，全程运输成本y 最小． 综上知，为使全程运输成本y 最小，当c b ab ≤时行驶速度应为b abv =；当c bab>时行驶速度应为c v =． 说明：当c ba>时，可用函数单调性、导数方法求最小值．23．(本小题满分12分)本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，考查逻辑推理和空间想象能力． 解:(Ⅰ)∵AC 1是正方体， ∴AD ⊥面DC 1．又D 1F ⊂面DC 1，∴F D AD 1⊥．(Ⅱ)取AB 中点G ，连接A 1G ，FG ． ∵F 是CD 的中点，∴GF ，AD 平行且相等． 又∵A 1D 1，AD 平行且相等， ∴GF ，A 1D 1平行且相等，∴GFD 1A 1是平行四边形，A 1G ∥D 1F ． 设A 1G 与AE 相交于点H ，则∠AHA 1是AE 与D 1F 所成的角，∵E 是BB 1的中点，∴Rt △A 1AG ≌Rt △ABE ，∠GA 1A =∠GAH ， ∴∠AHA 1=90°，即直线AE 与D 1F 所成角为直角．(Ⅲ)由(Ⅰ)知AD ⊥D 1F ，由(Ⅱ)知AE ⊥D 1F ，又AD ∩AE =A ，∴D 1F ⊥面AED ．又因为D 1F ⊂面A 1FD 1， ∴面AED ⊥面A 1FD 1． (Ⅳ)∵体积E AA F F AA E V V 11--=，又FG ⊥面ABB 1A 1，三棱锥F －AA 1E 的高21==AA FG ， 面积2221212111=⨯==∆A ABB E AA S S 矩形． ∴ 3422313111=⨯⨯=⨯⨯=∆-FG S V E AA FAA E ． 24．(本小题满分12分)本小题主要考查对数函数图像、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查运算能力和分析问题的能力． 解：(Ⅰ)设点A ，B 的横坐标分别为1x ，2x ，。
1989年高考数学试题(文理科)
一九八九年（理科）考生注意：这份试题共三道大题（24个小题），满分120分. 一．选择题（本题满分36分，共12个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内。
每一个小题选对得3分，不选或选错一律得0分。
）1．如果I={a,b,c,d,e},M={a,c,d},N={b,d,e},其中I 是全集，那么N M ⋂等于 （ A ）（A ）φ （B ）{d} （C ）{a,c} （D ）{b,e} 2．与函数y=x 有相同图象的一个函数是 （ D ）（A ）2x y = （B ）xx y 2=（C ）.1a ,0a .a y x a log ≠>=其中 （D ）.1a ,0a .a log y x a ≠>=其中3．如果圆锥的底面半径为2，高为2，那么它的侧面积是（ C ）（A ）π34 （B ）π22 （C ）π32 （D ）π24 4．)]53arccos()54(cos[arcsin ---的值等于 （ A ）（A ）-1 （B ）257-（C ）257（D ）510-5．已知}a {n 是等比数列，如果,9a a a ,18a a a 432321-=++=++且n n n 21n S lim ,a a a S ∞→+++=那么 的值等于（ B ）（A ）8 （B ）16 （C ）32 （D ）48 6．如果2sin ,325,51|cos |θπ<θ<π=θ那么的值等于 （ C ）（A ）510-（B ）510 （C ）515- （D ）5157．设复数z 满足关系式i 2|z |z +=+，那么z 等于（ D ）（A ）i 43+- （B ）i 43- （C ）i 43-- （D ）i 43+ 8．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是 （ B ）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）5 9．已知椭圆的极坐标方程是,cos 235θ-=ρ那么它的短轴长是（C ）（A ）310（B ）5 （C ）52 （D ）32 10．如果双曲线136y 64x 22=-上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的右准线的距离是 （ D ）（A ）10 （B ）7732 （C ）72 （D ）53211．已知,x x 28)x (f 2-+=如果),x 2(f )x (g 2-=那么)x (g（ A ）（A ）在区间（-1，0）上是减函数 （B ）在区间（0，1）上是减函数 （C ）在区间（-2，0）上是增函数 （D ）在区间（0，2）上是增函数12．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 （ C ）（A ）60个 （B ）48个 （C ）36个 （D ）24个 二．填空题（本题满分24分，共6个小题，每一个小题满分4分。
1989年全国高考数学文科
1989年全国高考数学(文科)试题及其解析考生注意：本试题共三道大题(24个小题)，满分120分.一•选择题(本题满分 36分，共12个小题，每小题都给出代号为 A ，B ，C , D 的四个结 论，其中只有一个结论是正确的， 把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内。
每一个小题选对得3分，不选或选错一律得 0分。
)3.如果圆锥的底面半径为 2，高为2，那么它的侧面积是()(A ) 4,3( B ) 2、、2(C ) 2 3(D ) 4.24.已知｛a n ｝是等比数列，如果 a 1 a 2 12,a 2 a 3 S n a 1 a 2a n ,那么lim S n 的值等于n(A) 8 ( B ) 16 (C ) 32&已知球的两个平行截面的面积分别为5和8 ，它们位于球心的同一侧，且相距为1,那么这个球的半径是 ()(A ) 4( B ) 3( C ) 2( D ) 53, 4, 5组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有(A )(B ) {d}(C ) {a,c}(D ) {b,e}2.与函数 y=x 有相同图象的一个函数是()(A ) yx 2(B ) y2 xx(C ) ya logax .其中 a 0, a 1.(D )y log a a x .其中 a 0,a1.)其中I 是全集，那么M N 等于 (1 .如果 l={a,b,c,d,e},M={a,c,d},N={b,d,e},6,且(D ) 485.如果(1 2x)7a 。
a 〔x a ?xa 7的值等于()(A ) -2 (B ) -1(C ) 0(D ) 26.如果 | cos |1 5 J3 ,那么sin -的值等于5 2210.15(A )(B ) ■(C )(D )5555(A ) 3x-2y+2=0(B) 2x+3y+7=0(C) 3x-2y-12=0 (D) 2x+3y+8=09.由数字1, 2, a ?x 了,那么 a 1 a 27.直线2x+3y-6=0关于点(1, -1 )对称的直线是(A) 60 个(B) 48 个(C) 36 个(D) 24 个距离是10.如果双曲线x 2 642y 361上一点 P 到它的右焦点的距离是 8,那么点P 到它的右准线的 (A ) 10(B )32 7 7(C ) 2.7(D )3211.如果 |x|那么函数f(x)cos sin x 最小值是(A )(B)匕(C ) -1 (D )12.已知 f (x)8 2x 2x ,如果g(x)2f(2 x 2),那么 g(x)上是增函数 上是减函数 二•填空题(本题满分 24分，共6个小题，每一个小题满分 4分。
(详细解析)1989年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案
1989年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案考生注意：这份试题共三道大题（24个小题），满分120分.一．选择题（本题满分36分，共12个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题选对得3分，不选或选错一律得0分）1．如果{}{}{},,,,,,,,,,I a b c d e M a c d N b d e ===，其中I 是全集，那么M N 等于A ．∅B ．{}dC ．{},a cD ．{},b e 【答案】A 【解析】{}{},,MN b e a c ==∅．2．与函数y x =有相同图象的一个函数是A ．y =B ．2x y x=C ．log a xy a =，其中0,1a a >≠ D ．log x a y a =，其中0,1a a >≠【答案】D【解析】表示相同图象函数满足定义域和值域相同．A 中0y ≥；B 中0x ≠；C 中0x ≥，其中0,1a a >≠只有D 正确．3．如果圆锥的底面半径为2，高为2，那么它的侧面积是A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】母线长l =S rl ππ===侧．4．已知{}n a 是等比数列，如果122312,6a a a a +=+=-且12n n S a a a =+++，那么lim n n S →∞的值等于A ．8B ．16C ．32D ．48 【答案】B【解析】两式相除得12q =-，则124a =，所以124[1()]2lim lim 1611()2nn n n S →∞→∞--==--．5．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，那么127a a a +++的值等于A ．2-B ．1-C ．0D ．2 【答案】A【解析】令1x =得70127(121)a a a a -⨯=++++，即01271a a a a ++++=-，又令0x =得70(120)a -⨯=，即01a =，所以1272a a a +++=-．6．如果15|cos |,352πθθπ=<<，那么sin 2θ的值等于 A ．510- B ．510 C ．515- D ．515 【答案】C【解析】由题设531,cos 4225πθπθ<<=-，∴sin 2θ===7．直线2360x y +-=关于点(1,1)-对称的直线是 A ．3220x y -+= B ．2370x y ++= C ．32120x y --= D ．2380x y ++= 【答案】D【解析】设所求直线方程为230(6)x y m m ++=≠-=，解得8m =，所以所求直线方程为2380x y ++=．8．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是A ．4B ．3C ．2D ．5 【答案】B【解析】设求的半径为r 1=，解得3r =．9．由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有 A ．60个 B ．48个 C ．36个 D ．24个 【答案】B【解析】个位数为2,4时五位数为偶数，共有142448C A =个．10．如果双曲线2216436x y -=上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的右准线的距离是A ．10B ．7732 C ．72 D ．532【答案】D【解析】由已知得8,6,10a b c ===，离心率54e =，点P 到它的右准线的距离d ，则854d =，得325d =．11．如果||4x π≤，那么函数2()cos sin f x x x =+最小值是 A ．212- B ．221+- C ．1- D ．221- 【答案】D【解析】2215()1sin sin (sin )24f x x x x =-+=--+，又sin 22x -≤≤，所以当sin 2x =-时函数有最小值221-．12．已知2()82f x x x =+-，如果2()(2)g x f x =-，那么()g x A ．在区间(2,0)-上是增函数 B ．在区间(0,2)上是增函数C ．在区间(1,0)-上是减函数D ．在区间(0,1)上是减函数 【答案】A【解析】22()82(1)9f x x x x =+-=--+，其单调增区间为(,1)-∞，单调减区间为(1,)+∞；而222()(2)(1)9g x f x x =-=--+，令221,t x u t =-=，所以2()9g x t =-+，两函数单调性相同，故A 正确．二．填空题（本题满分24分，共6个小题，每一个小题满分4分.）13．给定三点(1,0),(1,0),(1,2)A B C -，那么通过点A 并且与直线BC 垂直的直线方程 ． 【答案】10x y +-=【解析】2011(1)BC k -==--，所求垂线斜率为1-，所求直线方程为10x y +-=．14．不等式2|3|4x x ->的解集是 ． 【答案】{|1x x <-或4}x >【解析】22|3|434x x x x ->⇒->或234x x -<-，解得{|1x x <-或4}x >，而234x x -<-无解．15．函数11x x e y e -=+的反函数的定义域是 ．【答案】(1,1)-【解析11x x e y e -=+的反函数为1ln 1x y x +=-，所以101x x +>-，解得(1,1)x ∈-．16．已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么B 是A 的 条 件；A 是B 的 条件． 【答案】2-【解析】令1x =得70127(121)a a a a -⨯=++++，即01271a a a a ++++=-，又令0x =得70(120)a -⨯=，即01a =，所以1272a a a +++=-．17．已知01,01a b <<<<，如果log (3)1b x a -<，那么x 的取值范围是 ．【答案】(3,4)【解析】由已知得log (3)0b x ->，又01b <<，所以0(3)1x <-<，得(3,4)x ∈．18．如图，P 是二面角AB αβ--棱AB 上的一点，分别在,αβ上引射线,PM PN ，如果45,60BPM BPN MPN ∠=∠=︒∠=︒，那么二面角AB αβ--的大小是 ． 【答案】900 【解析】略．三．解答题（本题满分60分，共6个小题.） 19．（本小题满分8分）设复数5(1)z =，求z 的模和辐角的主值．【解】55551552525(13)2()32(cos sin )32(cos sin )23333i i i ππππ-==+=+32(cossin )33i ππ=+∴复数z 的模为32，的模和辐角的主值为3π．20．（本小题满分8分）证明：32sin tantan 22cos cos 2x x x x x-=+．α M P B A β N【证明】方法一：333sinsin sin cos cos sin3222222tan tan 22cos cos cos cos2222x x x x x xx x --=-= 3sin()sin 2sin 2233cos cos 2cos cos cos cos2222x x x x x x x x x x -===+． 方法二：333sin()sin cos cos sin2sin sin 222222333cos cos 2cos cos cos cos cos cos222222x x x x x x x x x x x x x x x x --===+ 3sin sin322tan tan 322cos cos 22x x x x x x =-=-．21．（本小题满分10分）如图，在平行六面体1111ABCD A BC D -中，已知15,4,3,AB AD AA AB AD ===⊥，113A AB A AD π∠=∠=．（Ⅰ）求证：顶点1A 在底面ABCD 的射影O 在BAD ∠的平分线上；（Ⅱ）求这个平行六面体的体积．（Ⅰ）证明：连结1AO ，则1AO ⊥底面ABCD ．作OM AB ⊥交AB 于M ，作O N A D ⊥交AD 于N ，连结11,A M A N ．由三垂线定理得11,A M AB A N AD ⊥⊥． ∵11AAM AA N ∠=∠，∴11RtA NA RtAMA ≅． ∴11A M A N =．∴OM ON =． ∴点O 在BAD ∠的平分线上．（Ⅱ）∵113cos3322AM AA π==⋅=，∴csc 4AO AM π==又在职1Rt AOA ∆中，2221199922AO AA AO =-=-=，∴1A O =∴平行六面体的体积54V =⋅22．（本小题满分10分）用数学归纳法证明222222(1223)(3445)[(21)(2)2(21)]n n n n ⋅-⋅+⋅-⋅++--+(1)(43)n n n =-++．证：当n=1时，左边=-14,右边=-1·2·7=-14，等式成立 假设当n=k 时等式成立，即有).3k 4)(1k (k ])1k 2(k 2)k 2)(1k 2[()5443()3221(222222++-=+--++⋅-⋅+⋅-⋅那么 当n=k+1时，].3)1k (4][1)1k )[(1k ()7k 4)(2k )(1k (]14k 15k 4)[1k ()]7k 6(2k 3k 4)[1k (]2k 6k 49k 12k 4)[1k (2)3k 4)(1k (k ])3k 2)(2k 2()2k 2)(1k 2[(])1k 2(k 2)k 2)(1k 2[()5443()3221(222222222222+++++-=+++-=+++-=++++-=---+++-++-=++-++++--++⋅-⋅+⋅-⋅这就是说，当n=k+1时等式也成立根据以上论证可知等式对任何N n ∈都成立 23．（本小题满分12分）已知0,1a a >≠，试求使方程222log ()log ()a a x ak x a -=-有解的k 的取值范围．【解】由对数函数的性质可知，原方程的解x 应满足22222(),0,0.x ak x a x ak x a ⎧-=-⎪->⎨⎪->⎩当①，②同时成立时，③显然成立，因此只需解222(),0,x ak x a x ak ⎧-=-⎨->⎩由①得22(1)kx a k =+． ④ 当0k =时，由0a >知④无解，因而原方程无解．当0k ≠时，④的解是2(1)2a k x k+=． ⑤把⑤代入②，得212k k k+>．当0k <时得21k <，解得1k -∞<<-．当0k >时得21k <，解得01k <<．综合得，当k 在集合(,1)(0,1)-∞-内取值时，原方程有解．24．（本小题满分12分）给定椭圆方程22221(0)x y a b b a+=>>，求与这个椭圆有公共焦点的双曲线，使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大，并求相应的四边形的顶点坐标解：设所求双曲线的方程是22221x y αβ-=-由题设知22222c a b αβ=+=-由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=α--α=+1,1222222222c y x a y b x 解得交点的坐标满足22222222,(1)b x y a c c αα==-，即||,||b x y c α==． 由椭圆和双曲线关于坐标轴的对称性知，以它们的交点为顶点的四边形是长方形，其面积4||4S xy ab ==因为S 与2222(1)c cαα-同时达到最大值，所以当21(2a c =时达到最大值2ab ． 这时222222221111(),()2222c a b c a b αβ==-==-， 因此，满足题设的双曲线方程是222222111()()22x y a b a b -=---．相应的四边形顶点坐标是(,),(,),(,,)22222222b a a ---．。
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1989年全国高考数学（文科 ）试题及其解析考生注意：本试题共三道大题（24个小题），满分120分.一．选择题（本题满分36分，共12个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内。
每一个小题选对得3分，不选或选错一律得0分。
）1．如果I={a,b,c,d,e},M={a,c,d},N={b,d,e},其中I 是全集，那么N M ⋂等于 （ ）（A ）φ （B ）{d} （C ）{a,c} （D ）{b,e}2．与函数y=x 有相同图象的一个函数是 （ ）（A ）2x y = （B ）x x y 2= （C ）.1a ,0a .a y x a log ≠>=其中 （D ）.1a ,0a .a log y x a ≠>=其中3．如果圆锥的底面半径为2，高为2，那么它的侧面积是 （ ）（A ）π34 （B ）π22 （C ）π32 （D ）π244．已知}a {n 是等比数列，如果,6a a ,12a a 3221-=+=+且n n n 21n S lim ,a a a S ∞→+++=那么 的值等于 （ ） （A ）8 （B ）16 （C ）32 （D ）485．如果,x a x a x a a )x 21(7722107++++=- 那么721a a a +++ 的值等于（ ）（A ）-2 （B ）-1 （C ）0 （D ）26．如果2sin ,325,51|cos |θπ<θ<π=θ那么的值等于 （ ） （A ）510- （B ）510 （C ）515- （D ）515 7．直线2x+3y-6=0关于点（1，-1）对称的直线是 （ ）（A ）3x-2y+2=0 (B)2x+3y+7=0 (C)3x-2y-12=0 (D)2x+3y+8=08．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1， 那么这个球的半径是 （ ）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）59．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有 （ ）（A ）60个 （B ）48个 （C ）36个 （D ）24个10．如果双曲线136y 64x 22=-上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的右准线的 距离是 （ ）（A ）10 （B ）7732 （C ）72 （D ）532 11．如果x sin x cos )x (f ,4|x |2+=π≤那么函数最小值是 （ ） （A ）212- （B ）221+- （C ）-1 （D ）221- 12．已知,x x 28)x (f 2-+=如果),x 2(f )x (g 2-=那么)x (g （ ）（A ）在区间（-2，0）上是增函数 （B ）在区间（0，2）上是增函数（C ）在区间（-1，0）上是减函数 （D ）在区间（0，1）上是减函数二．填空题（本题满分24分，共6个小题，每一个小题满分4分。
只要求直接写出结果.）13．给定三点A （1，0），B （-1，0），C （1，2），那么通过点A 并且与直线BC 垂直的直线方程_________________14．不等式4|x 3x |2>-的解集是_________________15．函数1e 1e y x x +-=的反函数的定义域是__________ 16．已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么B 是A 的_______条件;B A 是的______条件。
17．已知,1a ,1b 0,1a 0)3x (b log <<<<<-如果那么x 的取值范围是______18．如图，P 是二面角α—AB —β棱AB 上的一点，分别在α，β上引射线PM ，PN ，如果∠BPM=∠BPN=450，∠MPN=600，那么二面角α—AB —β的大小是____________三．解答题（本题满分60分，共6个小题.）19．（本小题满分8分） 设复数5)i 31(z -=，求z 的模和辐角的主值。
20．（本小题满分8分） 证明：xx x x x 2cos cos sin 22tan 23tan+=-21．（本小题满分10分）如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=.3π （Ⅰ）求证：顶点A 1在底面ABCD 的射影O 在∠BAD 的平分线上;（Ⅱ）求这个平行六面体的体积。
22．（本小题满分10分）用数学归纳法证明).3n 4)(1n (n ])1n 2(n 2)n 2)(1n 2[()5443()3221(222222++-=+--++⋅-⋅+⋅-⋅23．（本小题满分12分）已知,1a ,0a ≠>试求使方程)a x (log)ak x (log 222a a -=-有解的k 的取值范围。
24．（本小题满分12分） 给定椭圆方程)0b a (1ay b x 2222>>=+，求与这个椭圆有公共焦点的双曲线，使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大，并求相应的四边形的顶点坐标。
参考答案及其解析一、本题考查基本概念和基本运算.(1)A (2)D (3)C (4)B (5)A (6)C(7)D (8)B (9)B (10)D (11)D (12)C二、本题考查基本概念和基本运算,只需要写出结果.（13）x+y-1=0(14) }4x ,1x |x {>-<或(15) （-1，1）(16) 必要，必要（注：仅答对一个结果的，只给2分）(17) (3,4)(18) 900三、解答题.(19) 本题主要考查:复数模与辐角的主值的概念及复数运算等变形的能力. 解：)3sin i 3(cos 32)325sin i 325(cos 32)35sin i 35(cos 32)i 2321(2)i 31(5555π+π=π+π=π+π=-=- ∴复数z 的模为32，的模和辐角的主值为.3π (20)本题主要考查:运用三角公式进行恒等变形的能力. 证：2cos 23cos sin 2cos 23cos 2sin 23cos 2cos 23sin 2cos 2sin 23cos 23sin 2tan 23tan x x x x x x x x x x x x x x x =-=-=- x2cos x cos x sin 2+=(21)本题主要考查:线面关系,三垂线定理以及空间想象能力. （Ⅰ）证：连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD 。
作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N 由三垂线定理得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD ∵∠A 1AM=∠A 1AN ，∴Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA ∴A 1M= A 1N ∴OM=ON 。
∴点O 在∠BAD 的平分线上（Ⅱ）∵AM=AA 1,232133cos=⋅=π∴AO=AM .2234csc =π 又在职Rt △AOA 1中，A 1O 2=AA 12-AO 2=,29299=- ∴A 1O=.223∴平行六面体的体积V=.23022345=⋅⋅（22）本题主要考查:综合运用数学归纳法解决问题的能力.证：当n=1时，左边=-14,右边=-1·2·7=-14，等式成立假设当n=k 时等式成立，即有).3k 4)(1k (k ])1k 2(k 2)k 2)(1k 2[()5443()3221(222222++-=+--++⋅-⋅+⋅-⋅那么 当n=k+1时， ].3)1k (4][1)1k )[(1k ()7k 4)(2k )(1k (]14k 15k 4)[1k ()]7k 6(2k 3k 4)[1k (]2k 6k 49k 12k 4)[1k (2)3k 4)(1k (k ])3k 2)(2k 2()2k 2)(1k 2[(])1k 2(k 2)k 2)(1k 2[()5443()3221(222222222222+++++-=+++-=+++-=++++-=---+++-++-=++-++++--++⋅-⋅+⋅-⋅这就是说，当n=k+1时等式也成立。
根据以上论证可知等式对任何N n ∈都成立。
（23）本题主要考查:对数函数的性质以及解不等式的能力.解：由对数函数的性质可知，原方程的解x 应满足⎪⎩⎪⎨⎧>->--=-)3(.0a x )2(,0ak x )1(,a x )ak x (22222 当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解⎩⎨⎧>--=-)2(,0ak x )1(,a x )ak x (222 由（1）得)4()k 1(a kx 22+=当k=0时，由a>0知（4）无解，因而原方程无解。
当k ≠0时，（4）的解是)5(.k 2)k 1(1x 2+=把（5）代入（2），得.k k2k 12>+ 解得：.1k 01k <<-<<∞-或综合得，当k 在集合)1,0()1,(⋃--∞内取值时，原方程有解。
（24）本题主要考查:椭圆和双曲线的方程以及灵活应用有关知识解决问题的能力.解：设所求双曲线的方程是1y x 2222-=β-α 由题设知.b a c 22222-=β+α= 由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=α--α=+1,1222222222c y x a y b x 解得交点的坐标满足.c 1|y |,c b |x |),c 1(a y ,c b x 2222222222α-α=α=α-=α=即 由椭圆和双曲线关于坐标轴的对称性知，以它们的交点为顶点的四边形是长方形，其面积22c1c ab 4|xy |4S α-α⋅== 因为S 与)c1(c 2222α-α同时达到最大值， 所以当21)ca (2=时达到最大值2ab 这时),b a (21c 21),b a (21c 2122222222-==β-==α 因此，满足题设的双曲线方程是.1)b a (21y )b a (21x 222222-=---相应的四边形顶点坐标是).a 22,b 22(),a 22,b 22(),a 22,b 22(),a 22,b 22(----。