量子力学2.2
量子力学导论习题答案
第一章 量子力学的诞生1.1设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动， îíì<<><¥=ax ax x x V 0,0,0,)(试用de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。
解：据驻波条件，有 ),3,2,1(2L =×=n n a ln a /2=\l （1）又据de Broglie 关系 l /h p = （2） 而能量()L h h ,3,2,12422/2/2222222222==×===n ma n a m n h m m p E p l （3）1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。
解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。
假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。
动量大小不改变，仅方向反向。
选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。
利用量子化条件，对于x 方向，有()ò==×L ,3,2,1,x x xn h n dx p即 h n a p x x =×2 （a 2：一来一回为一个周期）a h n p x x 2/=\,同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=,L ,3,2,1,,=z y x n n n粒子能量 ÷÷øöççèæ++=++=222222222222)(21c n b n a n mp p p m E z y x z y x n n n zy x h pL ,3,2,1,,=z y x n n n1.3设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V w =中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。
量子力学导论作业答案-第02章
[
] ]
=−
d r [∇ ⋅ ( ψ 2m ∫
2 3
2
∇ψ 1* − ψ 1*∇ψ 2 ) − (∇ψ 2 ) ⋅ (∇ψ 1* ) + (∇ψ 1* ) ⋅ (∇ψ 2 ) ∇ψ 1* − ψ 1*∇ψ 2 )
=−
d r [∇ ⋅ ( ψ 2m ∫
2 3
2
]
=−
即
2m ∫
2
(ψ
2
∇ψ 1* − ψ 1*∇ψ 2 ) ⋅ dS = 0 ， （无穷远边界面上，ψ 1 ,ψ 2 → 0 ）
（1）
（2）
取（1）之复共轭：
−i
（3）
4
似水骄阳
ψ 2 × （3） − ψ 1* × （2）,得
对全空间积分：
−i
2 ∂ * ( ψ 1ψ 2 ) = − ( ψ 2 ∇ 2ψ 1* − ψ 1*∇ 2ψ 2 ) ∂t 2m
−i
2 d 3 * ( ) ( ) d r ψ r t ψ r t = − d 3 r ψ 2 ∇ 2ψ 1* − ψ 1*∇ 2ψ 2 , , 1 2 ∫ ∫ dt 2m
T=
2m ∫
2
d 3 r∇ψ * ⋅ ∇ψ
2
（3）
结合式（1） 、 （2）和（3） ，可知能量密度
ω=
2m
∇ψ * ⋅∇ψ + ψ *Vψ ,
（4）
且能量平均值
E = ∫ d 3r ⋅ω 。
（b）由（4）式，得
⎤ 2 ⎡ ∂ω ⎢∇ ∂ψ ∗⋅∇ψ + ∇ψ * ⋅∇ ∂ψ ⎥ + ∂ψ ∗ Vψ + ψ *V ∂ψ = ∂t 2m ⎢ ∂t ∂t ⎥ ∂t ∂t ⎣ ⎦ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ 2 ⎡ ∂ψ ∗ ∂ψ ∂ψ 2 * ⎟ ⎥ ∂ψ ∗ ∂ψ * ⎟ ⎜ ∂ψ ∗ 2 ⎢ ⎜ Vψ + ψ *V = ∇⋅ ∇ψ + ∇ψ − ∇ψ + ∇ψ + ⎟ ⎜ ∂t ⎟⎥ 2m ⎢ ⎜ ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎝
量子力学理论研究报告Word版
量子力学理论研究报告Word版量子力学理论研究报告1. 引言量子力学是现代物理学中一门重要的学科，它描述了微观世界的行为规律。
自20世纪初爱因斯坦等科学家提出量子理论以来，量子力学的研究一直处于物理学的前沿领域。
本报告旨在总结和介绍量子力学的基本理论和研究进展。
2. 量子力学基础理论量子力学的基础理论包括以下几个主要方面：2.1 波粒二象性量子力学最重要的特点之一是波粒二象性，即微观粒子既可以表现出波动性质，又可以表现出粒子性质。
这个概念是通过实验证据得出的，例如杨氏实验和光电效应。
2.2 不确定性原理不确定性原理是量子力学的另一个重要原理，由海森堡提出。
它指出，对某个粒子的位置和动量无法同时确定得非常精确，存在着一定的不确定性。
2.3 波函数与薛定谔方程薛定谔方程是量子力学的基本方程，描述了量子态的演化过程。
而波函数则是薛定谔方程的解，它描述了粒子的状态或概率分布。
3. 量子力学研究进展随着科学技术的发展，量子力学研究在许多领域取得了重要进展，以下是部分研究领域的介绍：3.1 量子计算量子计算是近年来研究的热点之一，其基本思想是利用量子力学的特性进行计算，可以实现更快速、更安全的计算方式。
3.2 量子通信量子通信是通过利用量子力学的纠缠态等特性来实现更安全、更远距离的通信方式。
量子密钥分发和量子隐形传态是典型的量子通信应用。
3.3 量子力学在材料科学中的应用量子力学在材料科学中起着重要的作用，例如在材料的电子结构计算和量子力学的调控下合成新材料等方面。
4. 结论量子力学作为一门重要的学科，对现代科学和技术发展起着巨大的推动作用。
通过对基础理论的研究和应用的拓展，我们可以进一步理解和探索微观世界的奥秘。
以上是一份关于量子力学理论研究的报告，通过介绍量子力学的基本理论和研究进展，希望能够为读者提供一定的了解和启发。
2.2 态叠加原理
电子穿过狭缝 １出现在Ｐ点 的几率密度
电子穿过狭缝 ２出现在Ｐ点 的几率密度
相干项 正是由于相干项的 出现，才产生了衍 是体系的可能状态，那 末它们的线性叠加Ψ = C1Ψ 1 + C2Ψ 2 (2.2-1) 也是该体系的一个可能状态.
这就是量子力学的态叠加原理。 其中C1和C2是复常数,
考虑电子双缝衍射
Ψ1
P
Ψ
S1
一个电子有Ψ 1和Ψ 2两 种可能的状态,Ψ 是这两 种状态的叠加。
电子源
S2
Ψ2
感 光 屏
Ψ = C1Ψ 1 + C2Ψ 2 也是电子的可能状态。空间找到电子的几率则是： |Ψ |2 = |C1Ψ 1+ C2Ψ 2|2 = (C1*Ψ 1*+ C2*Ψ 2*) (C1Ψ 1+ C2Ψ 2) = |C1 Ψ 1|2+ |C2Ψ 2|2 + [C1*C2Ψ 1*Ψ 2 + C1C2*Ψ 1Ψ 2*]
态叠加原理一般表述： 若Ψ 1,Ψ 2 ,...,Ψ n ,...是体系的一系列可能的状态 ，则这些态的线性叠加 Ψ = C1Ψ 1 + C2Ψ 2 + ...+ CnΨ n + ... 也是体系的一个可能状态。
§2.2.、态的迭加原理
态迭加原理是量子力学中一个很重要的原理，这一 节先作一些初步介绍.随着学习量子力学内容的不 断深入，会不断加深对态迭加原理的理解。
微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和衍射 的本质在于波的叠加性，因此，同光学中波的叠加原理 一样，量子力学中也存在波叠加原理。因为量子力学中 的波，即波函数决定体系的状态，称波函数为状态波函 数，所以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理。
量子力学概论第2章 定态薛定谔方程
子的基态)，从而我们可以反复应用升阶算 符生成激发态,20 每升一步增加能量ћω ψn(x)=An(a+)nψ0(x)，和En=n+12ћω， (2.61)
例题2.4 求出谐振子的第一激发态。 解：利用式2.61
ψ1(x)=A1a+ψ0=A12ћmω-ћddx+mωxmωπћ1/4emω2ћx2=A1mωπћ1/42mωћxe-mω2ћx2.(2.62)
我们可以直接用“手算”对它进行归一化：
∫ψ12dx=A12mωπћ2mωћ∫+∞-∞x2e-mωћx2dx=A12, 恰好，A1=1。 我们不想用这种方法去计算ψ50(那需要应用升阶算符
(式２.５)称为定态(time-independent)薛定谔方程； 如果不指定V(x)我们将无法继续求它的解。
Ψ(x，t)=∑∞n=1cnψn(x)e-iEnt/ћ=∑∞n=1cnΨn(x， t).(2.17)
尽管分离解自身是定态解，
Ψn(x,t)=ψn(x)e-iEnt/ћ,(2.18)
即，概率和期望值都不依赖时间，但是需要强调的 是，一般解(式2.17)并不具备这个性质；因为不同 的定态具有不同的能量，在计算Ψ2的时候，含时指 数因子不能相互抵消
f(x)=∑∞n=1cnψn(x)=2a∑∞n=1cnsinnπax.(2.32)
例题2.2 在一维无限深方势阱中运动的粒子，其初始波函数 是Ψ(x,0)=Ax(a-x), (0≤x≤a),A是常数(如图2.3)。设在势阱外 Ψ=0。求Ψ(x,t)。
解：首先需要归一化波函数Ψ(x,0)求出A 1=∫a0Ψ(x,0)2dx=A2∫a0x2(a-x)2dx=A2a530， 所以A=30a5. 第n项的系数(式2.37)是 cn=2a∫a0sinnπax30a5x(a-x)dx
量子力学五大基本假设
量子力学五大基本假设1. 波粒二象性假设1.1 光的波动性和粒子性在经典力学中，物体通常被视为具有明确定义的位置和动量，而光被认为只具有波动性质。
然而，量子力学的第一个基本假设是波粒二象性假设，它指出任何一种微观粒子都可以同时表现出波动性和粒子性。
这意味着光既可以被视为一个粒子，即光子，也可以被视为一个电磁波。
1.2 德布罗意假设根据德布罗意假设，所有物质都具有波动性，这包括微观粒子如电子和中子，以及宏观物体如人类和行星。
德布罗意假设指出，物质波的波长与相应粒子的动量成反比，这与光的波长与光子的能量成反比的关系类似。
2. 不确定性原理2.1 测量的不可避免扰动不确定性原理是量子力学的核心概念之一，它指出在进行某个物理量的测量时，无法同时准确确定该物理量的位置和动量。
换句话说，测量的不可避免扰动导致了我们无法同时知道一个粒子的精确位置和精确动量。
2.2 测量不确定性关系根据不确定性原理，位置和动量的不确定度之积不能小于或等于普朗克常数的一半。
这意味着我们越准确地测量一个粒子的位置，就越无法确定其动量，反之亦然。
不确定性原理限制了我们对微观世界的认识，它揭示了自然界存在的本质随机性。
3. 波函数和量子态3.1 波函数描述粒子的状态在量子力学中，波函数是描述微观粒子状态的数学函数。
波函数的模的平方给出了找到粒子处于某个状态的概率分布。
波函数的演化由薛定谔方程描述，它可以预测粒子在时间上的演化。
3.2 量子态和叠加原理量子态是描述整个量子力学系统的状态。
一个量子态可以由多个基态的线性组合表示，这被称为叠加。
根据叠加原理，一个粒子可以处于多个不同状态的叠加态中，直到被测量出一个确定的状态。
4. 简并假设4.1 能级简并简并假设指出，某些物理系统中存在多个不同状态具有相同能量的情况，这被称为能级简并。
例如，原子核的不同核态可能具有相同的能量。
这种简并性在量子力学中具有重要的意义，影响了粒子的行为和相互作用。
量子力学基本对易关系
量子力学基本对易关系量子力学基本对易关系量子力学是描述微观世界的一种物理学理论，它与经典物理学有很大的不同，其中最重要的一个方面就是基本对易关系。
本文将会详细介绍量子力学中的基本对易关系。
一、量子力学基础1.1 量子力学概述量子力学是描述微观粒子运动和相互作用的物理学理论，它与经典物理学有着很大的不同。
在经典物理中，粒子被视为具有确定位置和速度的点状物体，在任何时刻都可以准确地测量它们的位置和速度。
但在量子力学中，粒子被视为波粒二象性体现出来的波函数。
1.2 波函数波函数是用来描述微观粒子运动状态和相互作用的数学函数。
在经典物理中，我们可以通过测量一个粒子的位置和速度来确定其状态。
但在量子力学中，我们只能通过测量某些物理量（例如能量、动量、自旋等）来确定其状态。
二、基本对易关系2.1 基本概念在量子力学中，我们需要用算符来描述物理系统中各个可观测量的取值。
算符是一种数学对象，它可以作用于波函数上，得到一个新的波函数。
基本对易关系指的是两个算符之间的对易关系。
2.2 基本对易关系的定义在量子力学中，我们定义两个算符A和B之间的对易子为[A,B]=AB-BA。
如果[A,B]=0，则称A和B是可对易的。
否则，它们是不可对易的。
2.3 基本对易关系的例子最常见的基本对易关系就是位置算符x和动量算符p之间的关系。
它们之间的基本对易关系为：[x,p]=xp-px=iℏ其中，ℏ为普朗克常数。
三、应用举例3.1 不确定性原理基本对易关系还可以用来推导出不确定性原理。
根据不确定性原理，我们无法同时准确地测量一个粒子的位置和动量。
这是因为在测量位置时，我们会干扰粒子的动量；而在测量动量时，我们会干扰粒子的位置。
3.2 能级分裂基本对易关系还可以用来解释能级分裂现象。
当一个系统中存在多个可观测量时，这些可观测量之间可能存在相互作用。
这种相互作用会导致能级分裂现象，即原本相同的能级被分成多个不同的能级。
四、总结量子力学中的基本对易关系是描述微观粒子运动和相互作用的重要概念。
量子力学第二章
ν , λ 一定
Ψ(x, t) = Ψ e 0
i − ( Et− px ⋅x) ℏ
推广 ：三维自由粒子波函数
二、波函数的物理意义 波函数的物理意义
Ψ(r , t ) = Ψ0e
i − ( Et− p⋅r ) ℏ
如何理解波函数和粒子之间的关系？ 如何理解波函数和粒子之间的关系？ 1 物质波就是粒子的实际结构？即三维空间连续分 物质波就是粒子的实际结构？ 布的物质波包，那就会扩散，粒子将会越来越胖。 布的物质波包，那就会扩散，粒子将会越来越胖。再 衍射时，电子就会被分开。夸大了波动性， 者，衍射时，电子就会被分开。夸大了波动性，抹煞 了粒子性。 了粒子性。 2 大量粒子空间形成的疏密波？电子衍射实验， 大量粒子空间形成的疏密波？电子衍射实验， 电子流很弱时，时间足够长，仍会出现干涉图样。 电子流很弱时，时间足够长，仍会出现干涉图样。单 个电子就具有波动性。 个电子就具有波动性。 3 波函数的统计解释（Born 1926）:波函数在空间 波函数的统计解释（ ） 波函数在空间 某点的强度（振幅绝对值的二次方） 某点的强度（振幅绝对值的二次方）和该点找到粒子 的几（ 率成比例。即物质波是几率波。 的几（概）率成比例。即物质波是几率波。
2 2 x 2
2 2
i ( p⋅r − Et ) ℏ
2 px = − 2Ψ ℏ
pz2 ∂ 2Ψ = − 2Ψ 2 ∂z ℏ
2
p ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ 2 + 2 + 2 = ∇ ψ = − 2Ψ 2 ℏ ∂x ∂y ∂z
由
p2 E= 2µ
(2.3-3)
得
i i p2 i − ℏ2 2 ∂Ψ Ψ =− = − EΨ = − ∇Ψ ℏ ℏ 2µ ℏ 2µ ∂t
量子力学教程(第三版)周世勋课后答案详解
1量子力学课后习题详解第一章量子理论基础1．1由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λT=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解根据普朗克的黑体辐射公式dv ec hvd kThv vv 11833−⋅=πρ，（1）以及c v =λ，（2）λρρd dv v v −=，（3）有,118)()(5−⋅=⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=kT hcv v e hc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：201151186'=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⋅+−−⋅=−kThc kThce kT hc ehc λλλλλπρ⇒115=−⋅+−−kThc ekThc λλ⇒kThc ekThc λλ=−−)1(5如果令x=kThcλ，则上述方程为xe x =−−)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知Km T m ⋅×=−3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e µ<<动），那么ep E µ22=如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0×，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λ3nmm mE c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=×=××××===−−µµ在这里，利用了meV hc ⋅×=−61024.1以及eVc e 621051.0×=µ最后，对Ec hc e 22µλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
量子力学中的自旋角动量和轨道角动量的叠加-概述说明以及解释
量子力学中的自旋角动量和轨道角动量的叠加-概述说明以及解释1.引言1.1 概述量子力学是描述微观领域的物理学理论，它在20世纪初由一些杰出的科学家如普朗克、爱因斯坦等人奠定了基础。
在量子力学中，自旋角动量和轨道角动量是两个重要的概念。
自旋角动量是粒子固有的属性，类似于物体的自转。
它与粒子的旋转对称性有关，可以用半整数来表示。
经过实验证明，自旋角动量在微观领域中起着非常重要的作用，并且与一些基本粒子的特性紧密相关。
自旋角动量的量子化使得粒子的行为在某些情况下表现出了奇特的性质，例如自旋相互作用和贝尔不等式等。
轨道角动量是粒子的运动轨道引起的角动量，与粒子的运动速度和轨道形状有关。
它可以用整数来表示。
轨道角动量在描述粒子围绕某一点或某一轴旋转的过程中的动力学性质时非常有用。
例如，在原子物理学中，轨道角动量可以解释电子在原子轨道中的分布和运动方式。
在量子力学中，自旋角动量和轨道角动量可以进行叠加，形成新的总角动量。
这种叠加有一些独特的规则和性质，例如自旋角动量和轨道角动量相互作用会导致总角动量的取值范围发生变化。
这种角动量的叠加在理论和实验研究中非常常见，对于理解粒子行为和物理现象具有重要意义。
本文将通过介绍自旋角动量和轨道角动量的定义和性质，探讨它们在量子力学中的叠加规律和重要性。
此外，我们还将讨论量子力学中自旋角动量和轨道角动量的一些应用，并对文章进行总结和结论。
这样的研究不仅有助于深入理解量子力学的基本概念和原理，还为未来的量子技术和量子计算领域的发展提供了理论基础和实验指导。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章的结构是为了让读者更好地理解和组织文章内容，使其逻辑清晰、层次分明。
本文将按照以下结构展开讨论：2.正文：本部分将详细介绍自旋角动量和轨道角动量的定义和性质，并探讨它们的叠加效应。
具体包括以下几个方面的内容：2.1 自旋角动量的定义和性质：介绍自旋角动量的概念和定义，包括自旋角动量的量子化、自旋的本质和自旋之间的相关性质等内容。
研究生物理课题——量子力学解析
研究生物理课题——量子力学解析1. 研究背景生物物理是研究生物体系中物理过程的科学，涵盖了从生物大分子到细胞、组织、器官等多个层次。
近年来，随着科学技术的不断发展，量子力学在生物物理领域的应用日益广泛。
本研究旨在运用量子力学方法，深入探讨生物体系中的物理过程，为生物物理学研究提供新的理论依据。
2. 研究内容2.1 量子力学基本原理量子力学是研究微观粒子运动规律的学科，主要涉及波粒二象性、不确定性原理、能量量子化等基本概念。
在本研究中，我们将运用量子力学的基本原理来分析生物体系中的物理过程。
2.2 量子力学在生物物理中的应用2.2.1 分子轨道理论分子轨道理论是量子力学在化学领域的应用之一，可用于解释分子结构和化学键的形成。
在生物物理研究中，分子轨道理论有助于我们理解生物大分子的结构及其功能。
2.2.2 量子相干态量子相干态是一种特殊的量子态，具有概率幅叠加的特点。
在生物物理系统中，量子相干态可能与生物体系的非线性响应、能量传递等过程密切相关。
2.2.3 量子纠缠量子纠缠是量子力学中的一种特殊现象，两个或多个粒子之间存在一种相互依赖的关系。
在生物物理系统中，量子纠缠可能与生物分子的协同作用、生物膜的传输过程等有关。
2.3 研究方法2.3.1 数学建模本研究将基于量子力学的基本原理，建立适用于生物体系的数学模型，用以描述生物体系中的物理过程。
2.3.2 计算模拟利用计算机编程和量子力学软件，对所建立的数学模型进行计算模拟，分析生物体系中的物理过程。
2.3.3 实验验证结合实验数据，对计算模拟结果进行验证，进一步优化数学模型，提高其在生物物理研究中的应用价值。
3. 预期成果本研究将通过对生物体系中的物理过程进行量子力学解析，揭示生物体系的微观机制，为生物物理学研究提供新的理论依据。
具体预期成果如下：1. 建立适用于生物体系的量子力学数学模型；2. 揭示生物体系中的物理过程及其量子力学机制；3. 发表高水平的学术论文，提升我国在生物物理领域的国际影响力。
2.2本征值和本征函数的计算
⎛1⎞ ⎛ 0⎞ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0⎟ 1⎟ 0 ⎜ ⎜ 0 = ，1 = ， 2 = ⎜ ⎟ ,...... 。 ⎜0⎟ ⎜ 0⎟ ⎜1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝M⎠ ⎝M⎠ ⎝M⎠
Q
x=i
mhω h b − b+ ) ， p = b + b+ ) ， ( ( 2mω 2
1 0 − 2 0 ... 0 2 0 − 3 ... 0 0 3 0 ... ... ⎞ ⎟ 1 ... ⎟ ， ⎡ m hω ⎤ 2 ⎟ p=⎢ ... ⎟ ⎣ 2 ⎥ ⎦ ⎟ ... ⎟ ... ⎟ ⎠
1
其中 ξ = α x ， α =
mω 。解 b 0 = 0 ，所以 h
3
高等量子力学讲义（研究生用）
§2.2 本征函数和本征值的计算
河北师范大学 刘建军
−
4
⎞ i ⎛ d + ξ ⎟ψ 0 (ξ ) = 0 ， ⎜ 2 ⎝ dξ ⎠
解得：ψ 0 (ξ ) =
ξ2 mω − 1 e 2 ， πh
再由 b + n = n + 1 n + 1 ，可逐项求出ψ n (ξ ) ，最后得
相邻本征值相差 hω ， 于是对 x和p 的矩阵元只有当行标和列标相差 ±1 时矩阵元才 不为零。
∴
pij = pij (δ j ,i +1 + δ j ,i −1 ) ，
xij = xij (δ j ,i +1 + δ j ,i −1 ) ，
将 mω 2 xij = −
H ij = Eiδ ij = =
b + b + b λ = b + ( bb + − 1) λ = ( b + b − 1) b + λ = λ b + λ ，
量子力学作业答案
量子力学课后习题答案2.1证明在定态中，概率流密度与时间无关。
证：对于定态，可令)]r ()r ()r ()r ([m2i ]e )r (e )r (e )r (e )r ([m2i )(m 2i J e)r ( )t (f )r ()t r (**Et iEt i **Et i Et i **Etiψψψψψψψψψψψψψψψ∇-∇=∇-∇=∇-∇===-----）（）（，可见t J 与无关。
2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：ikr ikr e re r -==1)2( 1)1(21ψψ 从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向内(即向原点) 传播的球面波。
解：分量只有和r J J 21在球坐标中 ϕθθϕθ∂∂+∂∂+∂∂=∇s i n r 1e r 1e r r 0 r m r k r m r k r r ik r r r ik r r m i r e rr e r e r r e r m i mi J ikr ikr ikr ikr30202201*1*111 )]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2 )(2 )1(==+----=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψ r J 1与同向。
表示向外传播的球面波。
rm r k r m r k r r ik r r r ik r r m i r e r r e r e r r e r m i mi J ikr ikr ikr ikr3020220*2*222 )]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2 )(2 )2(-=-=---+-=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψ可见，r J与2反向。
表示向内(即向原点) 传播的球面波。
2.3 一粒子在一维势场⎪⎩⎪⎨⎧>∞≤≤<∞=a x a x x x U ，，，0 00)( 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
解：t x U 与)(无关，是定态问题。
其定态S —方程)()()()(2222x E x x U x dx d m ψψψ=+-在各区域的具体形式为Ⅰ： )()()()(2 0111222x E x x U x dx d m x ψψψ=+-< ① Ⅱ： )()(2 0 22222x E x dx d m a x ψψ=-≤≤ ② Ⅲ： )()()()(2 333222x E x x U x dxd m a x ψψψ=+-> ③ 由于(1)、(3)方程中，由于∞=)(x U ，要等式成立，必须0)(1=x ψ 0)(2=x ψ即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
量子力学中的宇称守恒定律
量子力学中的宇称守恒定律1.引言1.1 概述量子力学是描述微观世界的理论框架，它在物理学领域发挥着重要的作用。
宇称守恒是其中一个重要的概念，它在量子力学的研究中扮演着关键角色。
宇称守恒定律是指在物理系统中，宇称变换下的对称性是保持不变的。
简单来说，宇称指的是对于空间的左右镜像对称性，通过镜子观察物体，其反射出的像与实物相似。
量子力学中的宇称守恒定律探讨了系统在宇称变换下的性质是否保持不变。
量子力学基础知识是理解宇称守恒定律的前提。
我们需要了解量子力学中的波函数、哈密顿量、态矢量等概念。
通过对这些概念的理解，我们可以更好地探索宇称守恒定律在物理系统中的应用。
本文将介绍宇称操作符在量子力学中的重要性。
宇称操作符是指对量子态进行宇称变换的操作符，它可以描述系统在宇称变换下的变化规律。
我们将探讨宇称操作符的定义、性质以及在量子力学中的应用。
通过深入研究量子力学中的宇称守恒定律，我们可以更好地理解物理系统在宇称变换下的行为。
宇称守恒定律为我们研究物质的性质和相互作用提供了重要的理论依据。
进一步研究宇称守恒定律对于推动量子力学的发展具有重要的意义。
在接下来的文章中，我们将详细介绍量子力学的基础知识以及宇称操作符的相关内容。
通过分析现有的实验证据和理论推导，我们将探讨量子力学中宇称守恒定律的具体应用和意义。
最后，我们将总结宇称守恒定律在量子力学中的重要性，并展望未来在这一领域的研究方向。
希望通过本文的撰写，读者们能够对量子力学中的宇称守恒定律有更深入的理解，并进一步探索这一领域的前沿问题。
文章结构部分应该包括作者对整篇文章的大体安排和组织的描述。
下面是文章1.2文章结构部分的一个可能的内容：1.2 文章结构本文总共分为三个主要部分：引言、正文和结论。
每个部分都有具体的目的和内容，旨在全面介绍量子力学中的宇称守恒定律。
在引言部分，我们将提供对宇称守恒定律的概述，介绍宇称操作符的基本概念，并阐明本文的目的。
我们将解释为什么宇称守恒定律是量子力学中一个重要的问题，并简要概括本文的主要内容。
量子力学教学大纲
量子力学教学大纲量子力学教学大纲引言量子力学是现代物理学中的一门重要学科，它研究微观世界的粒子行为和能量转移规律。
量子力学的发展为我们理解原子、分子、固体和光学等领域提供了重要的理论基础。
为了更好地教授量子力学，制定一份合理的教学大纲是必要的。
本文将探讨量子力学教学大纲的内容和结构。
一、量子力学基础1.1 量子力学的起源和发展- 描述量子力学的历史背景和重要里程碑- 介绍量子力学的基本概念和原理1.2 波粒二象性- 解释波粒二象性的概念和实验观测- 探讨波函数和粒子性质的关系1.3 不确定性原理- 阐述不确定性原理的基本思想和数学表达- 解释不确定性原理对测量和观测的影响二、量子力学的数学基础2.1 波函数和薛定谔方程- 介绍波函数的定义和性质- 推导薛定谔方程及其解的物理意义2.2 算符和测量- 解释算符的概念和作用- 讨论测量在量子力学中的意义和方法2.3 变换和对称性- 探讨变换和对称性在量子力学中的重要性- 介绍旋转、平移和时间平移等变换的量子力学描述三、量子力学的应用领域3.1 原子物理学- 讨论量子力学在描述原子结构和光谱学中的应用 - 介绍原子核和电子的量子力学模型3.2 分子物理学- 探讨量子力学在分子结构和化学反应中的应用- 介绍分子振动、转动和电子结构等的量子力学描述3.3 固体物理学- 解释量子力学在固体材料中的应用和理解- 介绍晶格、能带和电子输运等的量子力学模型四、实验方法和技术4.1 量子力学实验基础- 介绍量子力学实验的基本原理和装置- 探讨实验技术在验证量子力学理论中的作用4.2 量子计算和量子通信- 介绍量子计算和量子通信的基本原理- 探讨量子技术在信息科学中的前沿应用结论量子力学教学大纲的制定需要综合考虑学生的背景知识和学习能力，以及量子力学的核心概念和应用领域。
通过合理的教学大纲，可以帮助学生系统地学习和理解量子力学的基本原理和数学工具，培养学生的物理思维和实验技能。
量子力学导论Chap2-2
在抽象线性矢量空间中矢量无长度，矢量间无角度。
描述
这是关于量子态的原理的基本内容，
是“粒子有波动性”这一事实的数学表
§2.3 Schrö dinger方程
1、Schrö dinger 方程的引进 经典力学认为质点同时具有精确位置和精确动量， 两种描述质点运动的方程： 1）牛顿力学框架下描述质点的动力学方程为 F＝m a 2）分析力学框架下描述质点的运动方程是拉格朗日 方程（从能量角度出发的方程，动能和势能）
有一集合S，满足如下条件： 设 a 1 和 a 2 均属于S， 则 b 1 a 1 2 a 2 也属于 S， 即：如果集合 S 中两元素的线性叠加仍然属于 S， 则 S 为一个 线性矢量空间。
如果 1 和 2 都是一个微观系统可能存在的状态，则
= 1 1 +2 2 也是这一系统的一个可能的状态。
( r , 0 )e
d r
3
(r , t )
1 ( 2 )
3
d r ' d pe
3
3
i [ p ( r r ' ) / Et / ]
( r ' ,0 )
可见， 初始时刻的 (r，0) 完全决定了以后任何时刻 的(r，t)。
j
j dS
s
定义为几率流密度矢量
定域几率守恒或粒子数守恒
平方可积，则当 r , ～ r -(3/2+s)，s > 0。
于是
i
t
*
{2 r
2
( ) d S
量子力学第二章波函数和方程.
（三） 自由粒子满足的方程
描写自由粒子波函数:
A
exp
i
(
p
•
r
Et )
应是所要建立的方程的解。
将上式对 t 微商，得：
i E
第二章 波函数 和 Schrodinger 方
程
§2.1 波函数的统计解释
子弹
光波
波：I≠I1+I2
光栅衍射
I Eo2
I Nh N
I大处 I小处 I=0
到达光子数多 到达光子数少 无光子到达
电子衍射
I | |2
IN
电子到达该处概率大 电子到达该处概率小 电子到达该处概率为零
= |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*]
电子穿过狭缝 １出现在Ｐ点
的几率密度
电子穿过狭缝 ２出现在Ｐ点
的几率密度
相干项 正是由于相干项的 出现，才产生了衍
射花纹。
一般情况下，如果Ψ1和Ψ2 是体系的可能状态，那 末它们的线性叠加 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是该体系的一个可能状态.
量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波
描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：
(r, t )
描写粒子状态的 波函数，它通常 是一个复函数。
经典概念中 粒子意味着
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。
高等量子力学田光善讲义
高等量子力学田光善讲义1. 量子力学简介量子力学是描述微观粒子行为的理论，也是现代物理学的基石之一。
它通过波函数描述粒子的状态，并通过算符描述物理量的测量。
量子力学的发展为我们认识微观世界提供了全新的视角。
2. 量子力学的基本原理2.1 波粒二象性根据量子力学的波粒二象性，微观粒子既可以表现为粒子，也可以表现为波动。
这种双重性质使得我们无法准确地确定粒子的位置和动量，而只能得到一定的概率分布。
2.2 波函数和波函数演化波函数是量子力学中描述粒子状态的数学工具，它可以通过薛定谔方程来演化。
波函数的模的平方给出了测量粒子处于某个状态的概率。
2.3 算符和物理量测量算符是量子力学中描述物理量的数学工具，它对波函数进行操作，得到物理量的期望值。
物理量的测量结果是随机的，符合一定的概率分布。
2.4 不确定性原理不确定性原理是量子力学的重要基本原理之一，它指出了我们无法同时准确测量粒子的位置和动量，或者能量和时间。
不确定性原理限制了我们对微观世界的认识。
3. 量子力学的数学形式3.1 希尔伯特空间希尔伯特空间是量子力学中描述波函数的数学空间，它是一个完备的内积空间。
在希尔伯特空间中，我们可以定义态矢量、算符和内积等概念。
3.2 算符和本征值问题算符在希尔伯特空间中是线性算符，它可以对态矢量进行操作。
本征值问题是求解算符的特征值和特征向量，它可以得到物理量的本征值和本征态。
3.3 规范化和正交归一化波函数的规范化是保证概率守恒的重要条件，它要求波函数的模的平方在整个空间上积分为1。
正交归一化是希尔伯特空间中的一组正交基的要求，它使得不同态矢量之间的内积为0或1。
4. 量子力学的应用4.1 原子物理学量子力学在原子物理学中有着广泛的应用，可以解释原子的能级结构、光谱现象等。
通过量子力学的计算，我们可以预测和解释实验结果。
4.2 分子物理学量子力学在分子物理学中的应用也非常丰富。
它可以描述分子的振动、转动和电子结构等性质，为化学反应的理解和控制提供了重要的理论基础。
量子力学四大方程
量子力学四大方程引言量子力学是物理学中的一个重要分支，用于描述微观世界中微粒的行为。
在量子力学中，有四个基本的方程，被称为量子力学四大方程。
这四大方程是：薛定谔方程、海森堡方程、狄拉克方程和密度矩阵方程。
本文将详细讨论这四个方程的含义、应用和重要性。
薛定谔方程（Schrödinger Equation）1.1 定义与形式薛定谔方程是量子力学的核心方程之一，描述了系统波函数的时间演化。
它由奥地利物理学家爱尔温·薛定谔于1925年提出，成为量子力学的基石。
薛定谔方程的一般形式为：iℏ∂∂tΨ(r,t)=Ĥ(r,t)Ψ(r,t)其中，i是虚数单位，ℏ是约化普朗克常数，r是位置矢量，t是时间，Ψ(r,t)是波函数（描述了系统在不同位置和时间的状态），Ĥ(r,t)是哈密顿算符（描述了系统的能量和相互作用）。
1.2 物理意义与应用薛定谔方程揭示了微观粒子（如电子、光子等）的波粒二象性和量子跃迁行为。
它允许我们计算粒子的能谱、波函数的空间分布以及系统在不同时间的演化情况。
薛定谔方程在固体物理、原子物理、量子力学和化学等领域具有广泛应用，例如帮助解释原子的光谱、电子行为以及材料的电子结构等。
海森堡方程（Heisenberg Equation）2.1 定义与形式海森堡方程是量子力学的另一个基本方程，由德国物理学家维尔纳·海森堡于1925年提出。
海森堡方程的一般形式为：∂∂t Â(t)=iℏ[Ĥ(t),Â(t)]+∂∂tÂ(t)其中，Â(t)是算符（描述了物理量的测量），Ĥ(t)是哈密顿算符。
2.2 物理意义与应用海森堡方程描述了算符随时间的演化规律。
与薛定谔方程不同，海森堡方程着重于物理量的演化，而不是波函数的演化。
海森堡方程在量子力学中具有重要的实用性，特别在与实验测量结果相联系的物理量的变化关系中发挥关键作用。
它为计算和解释物理量的测量结果提供了理论基础。
狄拉克方程（Dirac Equation）3.1 定义与形式狄拉克方程由英国物理学家保罗·狄拉克于1928年提出，描述了自旋为1/2的粒子，如电子的运动。
量子力学第二章
i ( r , t ) A exp ( p r Et )
•不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归一化问 题，以后再予以讨论。
（3）归一化波函数
Ψ(r,t )和CΨ(r,t)所描写状态的相对几率是 相同的，这里的C是常数。因为在 t 时刻，空 间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的相对几率之 2 2 比是： C ( r1 , t ) ( r1 , t )
波包形状随时间的改变：设(k)是一个很窄的波包,波 数集中在k0附近一个不大范围中.在k0附近对(k) 作泰 勒级数展开 1 d 2 d 2 k k0 k k0 2 k k0 dk k 2 dk k
电子衍射实验
1、戴维逊-革末实验 戴维逊和革末的实验是用电子束垂直投射到镍单晶，电子 束被散射。其强度分布可用德布罗意关系和衍射理论给以解释， 从而验证了物质波的存在。1937年他们与G. P.汤姆孙一起获 得Nobel物理学奖。
实验装置：
入射电子注
θ
法拉第园 筒
镍单晶
实验现象：实验发现，单
( r , t )
描写粒子状态的 波函数，它通常 是一个复函数。
• 3个问题？
(1) (2) 是怎样描述粒子的状态呢？ 如何体现波粒二象性的？
(3)
描写的是什么样的波呢？
经典概念中
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
粒子意味着
2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。
1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化; 2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。
经典概念中 波意味着
我们再看一下电子的衍射实验
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p (r , t ) Ae
描写，其中 A
i ( p r E t )
1
2
3/ 2
e
i ( p r E t )
2
1
3/ 2
是归一化因子。
由态迭加原理可知，在晶体表面反射后，粒子 的状态 ( r , t ) 可以表示为 p 取各种可能值的平面波 的线性迭加，即：
2. 因 c 与 表示同一态，故所有迭加系数 c n 同乘
以 C（复数）迭加态不变；而经典场，如电场：
CE Cc n E n 与 E c n E n 表示的是强度不同的场。
n
n
3. 经典场有的 E 0 态，而量子力学的波函数不能
处处为零，因讨论的粒子总在空间中存在。
c 过缝2的态， c1 , c2 表示二态在迭加态中占的权重， 1
2
与 c 2 之比表示通过缝1的粒子数与通过缝2的粒子 数之比。对一个粒子来说，表示粒子通过缝1的几率 与通过缝2的几率之比，或说粒子通过缝1的几率与 c1 成正比，粒子通过缝2的几率与 c 2 成正比。
2
2
2
在例2中， (r , t ) C( p, t ) p (r ) 就表示粒子处于 p
( r ') dp ( r r ') ( r ) p
p
由此我们也可以看出把平面波归一化为
函数的目的。
c( p, t ) 与 (r , t ) 具有类似的物理含义：
2 dW(r , t ) | (r , t ) | dr
t 时刻粒子出现在 r 点附近 dr 体积元内的几率；
2 dW( p, t ) | C( p, t ) | dp
t 时刻粒子出现在 p 点附近 dp 体积元内的几率；
b. 对于 p 连续变化的一维情况，以上公式可表述为：
( x, t )
C ( p , t )e 2
(r , t )
与
1
2
1
3/ 2
C ( p, t )e
i p r
dpx dp y dpz
C ( p, t )
2
3/ 2
(r , t )e
i p r
dxdydz
互为Fourier变换式。
若 (r , t )已归一化，则 C ( p, t ) 也是归一化的。
(r , t )e
i p ' r
dxdydz
i ( p p ')r
2
3
1
C ( p, t )e
dpx dp y dpz dxdydz
1
2
3/ 2
i p 'r (r , t )e dxdydz
个相加波的干涉的结果产生衍射。因此，同光学中
波的迭加原理一样，量子力学中也存在波迭加原理。
因为量子力学中的波，即波函数决定体系的状态，
称波函数为状态波函数，所以量子力学的波迭加原
理称为态迭加原理。
波函数的统计解释是波粒二象性的一个表现。
微观粒子的波粒二象性还可以通过量子力学的一
个基本原理：态迭加原理表现。 态迭加原理
i
i i [ pr Et ] Et p (r , t ) Ae p (r )e
p (r )
i [ p r ] 1 e [2 ]3/ 2
1 推导： (2)3
在
e
i ' ( p p )r
态的几率（即粒子动量取值为 p 的几率）正比
p
2 于 C ( p, t ) 。
说明： (r , t ) 给定后，C ( p, t )由傅立叶变换完全确定，
同样，C ( p, t ) 给定后， (r , t ) 也可完全确定。由此可见，
和 (r , t是同一状态的两种不同描述，一个是以坐标 ) C ( p, t )
' dxdydz ( p p )
i p r
(r , t )
1
2
1
3/ 2
C ( p, t )e
dpx dp y dpz
两边同乘以
2
3/ 2
e
i p ' r
，并对空间坐标积分，有：
1
2
3/ 2
1
2
2 C( p, t ) ( p p ')dp 3
3
C ( p, t )
即：
C ( p, t )
1
2
Байду номын сангаас
3/ 2
(r , t )e
i p r
dxdydz
说明：a. 上述二式：
(r , t ) C( p) p (r , t )
p
由于 p 连续变化，则该状态可表述为：
(r , t )dp dp dp (r , t ) C( p) p x y z
1
2
3/ 2
p r C ( p, t )e dpx dp y dpz
n
2. 例子： (1)粒子束的双狭缝衍射：
经缝1的粒子用 1 描写，经缝
2的粒子用 2 描写。缝后区域
的态由 c11 c 2 2
( c1、c 2 一般为复数）描写。
(2)电子在晶体表面衍射的实验中，粒子被晶体表面
p 反射后，可能以各种不同的动量 运动，以一个确定 p 的动量 运动的粒子状态用波函数
i
C ( p, t ) 是 (r , t ) 的傅立叶变换式，即： 其中迭加系数
* C ( p, t ) (r , t ) p ( r ) d
1
2
3/ 2
p r ( r , t )e dxdydz
迭加原理是一切波动所服从的一个基本原理， 经典物理中水波、声波、光波迭加产生干涉现象， 都是迭加原理的体现。几个波相迭加形成的仍是波 动，一般来说是更复杂的波动。 在量子力学中，实物粒子的波也遵从这个基本 原理——迭加原理。
微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干
涉和衍射的本质在于波的迭加性，即可相加性，两
证明： 2 |c( p, t ) | dp c ( p, t )c( p, t )dp
c( p, t ) (r , t ) p (r )dr
[
( r ) dr ][ ( r ') dr ']dp ( r , t ) p (r ', t ) p
为自变量的函数，另一个是以动量为自变量的函数。 和
描写的是同一状态。 (r , t ) C ( p, t )
三、量子迭加原理与经典迭加原理的区别
1. 经典波场的迭加是真实的场相加，波振幅有直接
的物理意义，代表场；量子力学中波函数 不具
有直接的物理意义，是几率波函数相加（非几率函
数迭加）。
(r , t ) (r ', t ) p (r ) p (r ')dpdrdr '
(r , t ) (r ', t ) (r r ')drdr '
(r , t ) (r , t )dr 1
一、原理的表述 1.内容： ①若 1 和 2 是体系的可能状态，那么它们的线性迭 加 c11 c 2 2 （ c1、c 2 一般为复常数）也是体系的 一个可能状态。 ②推广：若 1 , 2 ,n 是体系的可能状态，它们 的线性迭加 c n n（ c n 一般是复常数）也是体 系的一个可能状态。 也可以说，当体系处于态 时，体系部分的 （几率分布）处于态 1 , 2 , n ... 中。
1/ 2 x
1
i px x
dpx
C ( px , t )
( x, t )e 2
1/ 2
1
i px x
dx
3. 态迭加原理说的是波函数 的迭加，而不是几率
密度函数 w 的迭加。
cn n
n
正是由于干涉项的 出现，才产生了衍 射花纹。
m n m
* * 2 * cn * cm m cncm* m n n n
* cn n cncm* m n 2 2 n nm
其中 n 表示各态的几率密度，n m 的项是干涉项。
2
二、迭加系数的意义
在例1中， 1 表示经缝1粒子的态， 2 表示经缝2粒子 的态，迭加态表示有些粒子通过缝1，且有些粒子通