曾谨言《量子力学教程》课件讲义
量子力学讲义1
量⼦⼒学讲义1第⼀章绪论前⾔⼀、量⼦⼒学的研究对象量⼦⼒学是现代物理学的理论基础之⼀，是研究微观粒⼦运动规律的科学。
量⼦⼒学的建⽴使⼈们对物质世界的认识从宏观层次跨进了微观层次。
综观量⼦⼒学发展史可谓是群星璀璨、光彩纷呈。
它不仅极⼤地推动了原⼦物理、原⼦核物理、光学、固体材料、化学等科学理论的发展，还引发了⼈们在哲学意义上的思考。
⼆、量⼦⼒学在物理学中的地位按照研究对象的尺⼨，物理学可分为宏观物理、微观物理和介观物理三⼤领域。
量⼦理论不仅可以正确解释微观、介观领域的物理现象，⽽且也可以正确解释宏观领域的物理现象，因为经典物理是量⼦理论在宏观下的近似。
因此，量⼦理论揭⽰了各种尺度下物理世界的运动规律。
三、量⼦⼒学产⽣的基础旧量⼦论诞⽣于1900年，量⼦⼒学诞⽣于1925年。
1．经典理论⼗九世纪末、⼆⼗世纪初，经典物理学已经发展到了相当完善的阶段，但在⼀些问题上经典物理学遇到了许多克服不了的困难，如⿊体辐射等。
2．旧量⼦论旧量⼦论= 经典理论+ 特殊假设（与经典理论⽭盾）旧量⼦论没有摆脱经典的束缚，⽆法从本质上揭露微观世界的规律，有很⼤局限性。
但旧量⼦论为量⼦⼒学理论的建⽴提供了线索，促进了量⼦⼒学的快速诞⽣。
四、量⼦⼒学的研究内容1．三个重要概念：波函数，算符，薛定格⽅程。
2．五个基本假设：波函数假设，算符假设，展开假定，薛定格⽅程，全同性原理。
五、量⼦⼒学的特征1．抛弃了经典的决定论思想，引⼊了概率波。
⼒学量可以不连续地取值，且不确定。
2．只有改变观念，才能真正认识到量⼦⼒学的本质。
它是⼈们的认识从决定论到概率论的⼀次巨⼤的飞跃。
六、量⼦⼒学的应⽤前景1．深⼊到诸多领域：本世纪的三⼤热门科学（⽣命科学、信息科学和材料科学）的深⼊发展都离不开它。
2．派⽣出了许多新的学科：量⼦场论、量⼦电动⼒学、量⼦电⼦学、量⼦光学、量⼦通信、量⼦化学等。
3．前沿应⽤：研制量⼦计算机已成为科学⼯作者的⽬标之⼀，⼈们期望它可以实现⼤规模的并⾏计算，并具有经典计算机⽆法⽐拟的处理信息的功能。
(完整版)中科大量子力学课件1
1 光的波粒二象性的实验事实及其解释
2 原子结构的玻尔理论和索末菲的量子化条件
3 德布罗意关于微观粒子的波粒二象性的假设
4 德布罗意波的实验验证：戴维孙-革末实验
从戴维孙-革末的电子衍射实验和电子的单缝、双 缝衍射实验认识物质粒子（如电子和分子）在具有粒 子性一面外，还具有波动性的一面，即粒子具有波粒 二象性。
11
§1.1 经典物理学的困难(续1)
二.经典物理学遇到的困难
Chap.1.绪论 The birth of quantum mechanism
但是这些信念，在进入20世纪以后，受到了 冲击。经典理论在解释一些新的试验结果上遇到 了严重的困难。
（1）黑体辐射问题
（2）光电效应
（3）原子光谱的线状结构
1.2 光的波粒二象性
The duality of light between wave and particle
1.3 微粒的波粒二象性
The duality of small particles between wave and particle
小结
Review
6
学习提要
Chap.1.绪论 The birth of quantum mechanism
Ch3. The Dynamical variable in Quantum Mechanism
第四章 态和力学量的表象
Ch4. The representation of the states and operators
第五章 微扰理论
Ch5. Perturbation theory
第六章 散射
Ch6. The general theory of scattering
量子力学课件(完整版)
Light beam
metal
electric current
11
能量量子化的假设
造成以上难题的原因是经典物理学认为 能量永远是连续的。
如果能量是量子化的，即原子吸收或发 射电磁波，只能以“量子”的方式进行， 那末上述问题都能得到很好的解释。
12
能量量子化概念对难题的解释
原子寿命 ①原子中的电子只能处于一系列分立的能级之中。
18
当 kT hc（高频区）
E(, T)
2hc2 5
e hc
kT
Wein公式
当 kT hc（低频区）
E(, T)
2c 4
kT
Rayleigh–Jeans公式
19
能量量子化概念对难题的解释
对光电效应的解释
如果电子处于分立能级且入射光的能 量也是量子化的，那么只有当光子的能 量（E =hυ）大于电子的能级差，即E =hυ > En－Em时，光电子才会产生。如 果入射光的强度足够强，但频率υ足够 小，光电子是无法产生的。
2 , k 2 / ,
得到 d 2 0,所以，t x(t)
dk 2 m
物质波包的观点夸大了波动性的一面，抹杀 了粒子性的一面，与实际不符。
45
（2）第二种解释：认为粒子的衍射行为是大 量粒子相互作用或疏密分布而产生的行为。 然而，电子衍射实验表明，就衍射效果 而言， 弱电子密度＋长时间＝强电子密度＋短时间 由此表明，对实物粒子而言，波动性体 现在粒子在空间的位置是不确定的，它是以 一定的概率存在于空间的某个位置。
2
这面临着两个问题：
1、信号电磁波所覆盖的区域包括大量的 元件，每个元件的工作状态有随机性，但 器件的响应具有统计性；
量子力学讲稿chapter1-1
１量 子 力 学 讲 稿(Lecture Notes of Quantum Mechanics)重点参考书目:1.《量子力学》周世勋 1961；2.《量子力学》曾谨言 19823.《量子力学导论》曾谨言 19944.《量子力学》卷I 曾谨言 2000选择参考书目:1.《量子力学》郎道,栗弗席茨 上册 19802.《量子力学》蔡建华 上册 19803.《量子力学》沈仲钧,冯茂仁 19874.《A first course in quantum mechanics》 H. Clark5.《The Principles of Quantum Mechanics》 P. A. M. Dirac (有中译本)第一章 绪 论§1.1经典物理学的困难； §1.2光的波粒二象性§1.3原子结构的玻尔理论；§1.4微粒的波粒二象性第一章 绪 论一、量子力学的研究对象量子力学（Quantum Mechanics）是研究微观实物粒子（静止质量00≠m ）运动变化规律的科学。
二、量子力学在物理学中的地位量子力学在理论理论中占有一个很不平常的地位；它把经典力学作为一种极限形式而包含之，但在它自身表述中，同时又需要这一极限形式。
用方框图表示如下：２三、量子力学的诞生及产生基础1.量子力学的诞生量子力学是1925年诞生的，很快发展成为完整体系，若把旧量子论包括在内，应该说量子力学是1900年12月17日诞生的。
在这一天，德国物理学家Planck 在柏林科学院物理学会的一次会议上，作了有关尝试克服热辐射理论中困难的报告。
2.量子力学产生的基础它产生的基础是光和实物粒子的波粒二象性。
19世纪末、二十世纪初，经典物理学已经发展到了相当完善的阶段。
a.一切物体的低速机械运动规律，准确地遵循Newton 力学规律；b.电磁现象的规律被总结为Maxwell 方程；c.光现象有关的波动理论，最后也被归结为Maxwell 方程；d.热现象有完整的热力学及Boltzman、Gibbs 等人建立的统计力学。
量子力学曾谨言第五版第二章讲课稿(知识点)讲解
第一章 波函数与Schr ödinger 方程§1、波函数及其统计解释(Wave-function and its statistical interpretation)一、德布罗意的“物质波”假说1、德布罗意的“物质波”假说(De Broglie matter-waves in 1923） 先回忆普朗克的“光量子”假说：E h p h νλ=⎧⎨=⎩, 重新换写一下：E ω= 2ωπν=是圆频率p k = k 是波矢量，2k πλ=是由波动性决定粒子性。
德布罗意假说：微观粒子也有波动性，满足关系式： , E p k ω==， 称之为德布罗意关系，是由粒子性决定波动性。
对于具有确定的能量E 和动量p 的自由粒子，其对应的物质波是一个单色的平面波： 平面波是()(),exp r t A i k r t ψω⎡⎤=⋅-⎣⎦，将德布罗意关系E p kω=⎧⎪⎨=⎪⎩代入得：()(),exp r t A i p r Et ψ=⋅-⎡⎤⎣⎦，称为德布罗意波（是复数波）。
因此，由德布罗意假设知，微观粒子的运动状态可用波函数表示。
物质波(matter wave)：与粒子运动相联系的平面波称为物质波或德布罗意波。
而一般可计算得到： 物质微粒的波长1010-<Å，氧原子0.4≈Å、DNA 分子410-≈Å、电子波长1≈Å。
只有当物质波的波长大于或等于光学仪器的特征尺度时，才会观察到干涉或衍射现象。
通常物质微粒的质量和动量较大，因而德布罗意波长非常短超出了可测的范围而不显示波动性，仅在原子尺度下才能显示出波动性。
德布罗意波长(De Broglie wave-length)的计算： [例1] 求做热运动的气体分子的德布罗意波长。
[解] 温度为T 的气体分子热运动动能为32B E k T =，当o 300K T =（室温）时，分子的动能约为0.039eV ，相应的物质波波长为22 0.039(eV)h p m c λ==⨯分子 对于氧分子（2O ），282o p 32329.3810eV m m ≈=⨯⨯，波长0.026nm λ≈，远小于分子的平均自由程，所以分子的热运动可作经典力学处理。
曾谨言量子力学第1章
即自由粒子的物质波包必然要扩散。 结论： 物质波包的观点夸大了波动性的一面，而抹杀了粒子性的 一面。
2.波由粒子组成的疏密波
P
电子源
P
O Q
感 光 屏
O Q
就如水波，声波，由分子数密度疏密变化而形成的一种分布 一样，物质波也是一种疏密波。这种看法是与实验矛盾的， 它不能解释长时间单个电子衍射实验。电子一个一个的通过 小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。这 说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有 的现象，单个电子就具有波动性。 事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原 子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子 化这样一些量子现象。波由粒子组成的看法夸大了粒子性 的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，也具有片面性。
λ h / p,
ν E/h
(1)
这就称为de. Broglie关系。
h ( E, p) (, )
这组de Broglie关系是物质世界的普遍规律。其中将两种图象 联系起来的Planck常数数值很小，是波粒二象性可以显现出来 的标度。假如在所研究问题中能够认为h→0，波和粒子便截然 分开，波粒二象性的现象便可以忽略。比如，由原先粒子的(E,p)， 利用(1)第一式便得到λ→0，与此粒子相联系的波动性便可以忽略。 于是可以说， 经典力学是量子力学当时h→0的极限情况。 当然，这里是相对而言，并非真要(本就是常数的)变小，而是 要求研究对象的动量足够大(从而波长足够短)，以及运动涉及 的空间尺度足够大，使得
全
在空间各点的相对概率分布
2 2 Cψ ( r1 ) ψ ( r1 ) Cψ ( r2 ) ψ ( r2 )
显然，Ψ与CΨ所描述的相对概率分布式相同的，这点与经典波不同。 2 3 )0 波函数的归一化： 全 ψ ( r ) d r A( real num ber
量子力学曾谨言第五版第三章讲课稿(知识点)
[解]哈密顿量 的本征值 是二度简并的，对应两个独立的定态波函数：
，
它们不是实函数，也不具有确定的宇称。但总能组合成一组实的定态波函数
它们具有确定宇称 。
除了波函数的自然条件外，有时还要用到波函数一阶导数 的连接条件。
(iv)、①.在某处 点，若 连续或发生阶梯形跃变，则波函数的一阶导数 连续；
（ 是简并度）
空间反射得： （ ），所以，集合 也是与 对应的定态波函数。
只要 中有一个无确定宇称的波函数，例如 ，就可用有确定宇称的组合
来取代，而 ,最后总能组合成一组具有确定宇称的解。
总之，若 空间反射不变，则无简并的定态波函数必有确定的宇称。对于简并的能级，总可以组合成有确定宇称的一组简并波函数。
推论（Corollary）：当 具有空间反射不变性时，则
(1)、对于无简并的能级，定态波函数必有确定的宇称。
(2)、若能级有简并，则总能找到一组简并的定态波函数，其中每一个波函数都有确定的宇称。
证明：(1)、能级无简并情况：因能级无简并，则 ，即 具有确定的宇称。
(2)、能级有简并情况：设集合 是与能级 对应的本征波函数
；
由波函数的归一化条件： ，确定归一化系数为 。
因此，能量本征波函数表示为
。
将能级和波函数用图表示如下:
对结果进行物理分析:
1、从能量公式分析
(i)、能级 是量子化的，但经典动能 , 连续取值。
而最低能量 ，这与经典粒子不同，是微观粒子波动性的表现。因为“静止的波”是没有意义的。通常地， 称为零点能(zero-point energy)，对应的这个状态称为基态(ground state)。
量子力学曾谨言第五版第二章讲课稿(知识点)汇总
第一章 波函数与Schr ödinger 方程§1、波函数及其统计解释(Wave-function and its statistical interpretation)一、德布罗意的“物质波”假说1、德布罗意的“物质波”假说(De Broglie matter-waves in 1923） 先回忆普朗克的“光量子”假说：E h p h νλ=⎧⎨=⎩, 重新换写一下：E ω= 2ωπν=是圆频率p k = k 是波矢量，2k πλ=是由波动性决定粒子性。
德布罗意假说：微观粒子也有波动性，满足关系式：称之为德布罗意关系，是由粒子性决定波动性。
对于具有确定的能量E 和动量p 的自由粒子，其对应的物质波是一个单色的平面波： 平面波是()(),exp r t A i k r t ψω⎡⎤=⋅-⎣⎦，将德布罗意关系E p kω=⎧⎪⎨=⎪⎩)。
因此，由德布罗意假设知，微观粒子的运动状态可用波函数表示。
物质波(matter wave)：与粒子运动相联系的平面波称为物质波或德布罗意波。
而一般可计算得到： 物质微粒的波长1010-<Å，氧原子0.4≈Å、DNA 分子410-≈Å、电子波长1≈Å。
只有当物质波的波长大于或等于光学仪器的特征尺度时，才会观察到干涉或衍射现象。
通常物质微粒的质量和动量较大，因而德布罗意波长非常短超出了可测的范围而不显示波动性，仅在原子尺度下才能显示出波动性。
德布罗意波长(De Broglie wave-length)的计算： [例1] 求做热运动的气体分子的德布罗意波长。
[解] 温度为T 的气体分子热运动动能为32B E k T =，当o 300K T =（室温）时，分子的动能约为0.039eV，相应的物质波波长为h p λ==对于氧分子（2O ），282o p 32329.3810eV m m ≈=⨯⨯，波长0.026nm λ≈，远小于分子的平均自由程，所以分子的热运动可作经典力学处理。
量子力学课件(曾谨言)第一章
(
r
)
2
d
3r
1
(r) 是以坐标 r 为自变量的波函数， 坐标空间波函数，坐标表象波函数；
( p) 是以动量 p 为自变量的波函数，
动量空间波函数，动量表象波函数； 二者描写同一量子状态.
八、不确定度关系
Heisenberg不确定度关系（Uncertainty
三、波函数及统计诠释
一般情况，用一个函数来描述粒子的波，并称这个 函数为波函数，它是一个复数，写成
(r,t)
粒子波是时间和位置的函数，其动量和能量不再是常 量，用较复杂的波描写.
是怎样描述粒子的状态呢？ 如何体现波粒二象性的？ 描写的是什么样的波呢？
衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子
由波函数振幅绝对值的平方就可以得到粒子 在空间任意一点出现的概率.
波函数描写了体系的量子状态（简称状态或态）
当粒子处于某一量子态时，它的力学量（如坐标、 动量等）一般有许多各种可能值.这些可能值各自以 一定的几率出现，这些几率都可由波函数得到.
五、波函数的性质
根据波函数的概率解释，波函数有如下性质： （1）归一化
p d 3 p ( p) 2 p d 3 p*( p) p( p)
d 3 pd 3r *(r)
1
(2
)3
eipr
2
p( p)
A
归一化的波函数
没有归一化的函数
1 A 为归一化因子
若
(r ) 2d 3
（全）
,
则
A0
,这是没有意义的.
量子力学课件(曾谨言)第二章
2m，才可能出现最
§2.2.3 束缚态与离散谱
束缚能量本征态（E<V0）的能量是离散的，它是 束缚态边条件下求解能量本征方程的必然结果。
( x)
2m
2
[ E V ( x )] ( x)
在经典允许区（V<E），波函数是振荡函 数，E－V越大的区域，振荡越快；此外，由于 两者符号相反，波函数总向x轴弯曲。
V1 , V ( x) V2 , xa xa ( x)
有限，则能量本征函数 及其导数必定 是连续的（但如果 (V2 V1 ) ，则定理不成立）。
证明
d2 2m ( x) 2 [ E V ( x)] ( x) 2 dx
（11）
在V（x）连续的 区域，
( x) ( x )
d2 [ V ( x)] ( x) E ( x) 2 2m dx
2
（3） （4）
V * ( x) V ( x)
定理1 设 ( x ) 是方程（3）的一个解，对应的 * 能量本征值为E，则 ( x ) 也是方程（3）的一个 解，对应的能量也是E。
证明
2
V * ( x) V ( x)
V ( x)给定,ψ( x)的弯曲取决于粒子能量E.只当E 取某适当值 时,在 x 处ψ( x)才可能趋于0. 这个适当的E 值,即粒子的最低的能量本征值. 只要能量稍微偏离此值,ψ( x)都不会满足束缚态条件. 除 x 之外,在x 有限的区域中基态波函数都无节点.
第一激发态
当粒子能量继续增加时, 在| x | > a/ 2 区域,ψ( x) 的曲率将减小,但在| x| <
( x)
1 2
g ( x ) ( x ) ( x )
量子力学课件曾谨言第十章
k x k
2q
(
x
2 k
1,k
x2k1,k )
2q 2
k+ 2
1
xk
,k 1
k 2
xk ,k1
q 2
即平衡位置偏离了 q 2 。正离子沿电场方向
挪了 q 2 ，而负离子则沿电场反方向挪动 了q 2 。因此，由于外电场而产生的电偶
极矩为 q D 2 2
在一级近似下,能量本征值和本征函数分别为
Ek
E (0) k
E(1)
E (0) k
H kk
(14a)
k
(0) k
(1)
(0) k
n
H nk
E (0) k
E(0) n
(0) n
(14b)
应当注意，这里是讨论非简并能级 Ek(0)及相应
波函数
(0) k
如何受到微扰的影响。
Hnk
(0) n
虑进去，以得出方程(1)的尽可能接近于精 确解的近似解。
微扰论的具体形式是多种多样的，但基本 精神相同，即逐级近似。
假设 Hˆ 0 的本征方程
Hˆ 0
(0) n
E (0) (0)
n
n
1,2, , fn
其本征值
E (0) n
和正交归一化本征态
(0 n
)已解出
En(0)可能是不简并的（ fn 1），也可能是简 并的（ fn 2 ）。
E(0) n
Hˆ Hˆ )
因此，在准确到二级近似下，能量本征值为：
Ek
E(0) k
E (1)
E(2)
E(0) k
Hkk
n
| Hnk |2
曾谨言量子力学课件第五章
边条件为Rl (a) 0
引入无量纲变量 kr
d 2 Rl 2 dRl l (l 1) [1 ]Rl 0 2 2 d d
球Bessel方程，其解可取为球 Bessel函数 jl ( ) 和球Neumann 函数 nl ( )
0时
jl ( ) l ( 2l 1) !! , nl ( ) ( 2l 1)!! ( l 1)
利用边条件考虑质量为的粒子在三维各向同性谐振在r0邻域物理上可接受的径向波函数的渐进行为是其中正号不满足束缚态条件所以以上方程属于合流超几何方程其中参数不可接受邻域对于束缚态必须要求解中断为一个多项式
第五章 中心力场
§5.1 中心力场中粒子运动的一般 性质 §5.2 无限深球方势阱 §5.3 三维各向同性谐振子 §5.4 氢原子
l 1时，Rl (r ) r (l 1)
解必须抛弃。
l 0时，Rl (r ) 1 r
不违反此要求。
r 0, Rl (r ) r l
的解才是物理上可以接受的。或等价地，要求 径向方程的解 l (r ) rRl (r ) 满足 lim l ( r ) 0 r 0
设Rl (r ) r
s
s( s 1) l (l 1) 0 s l ,(l 1)
l l 1) （
r 0, Rl (r ) r 或Rl (r ) r
（ r 0, Rl (r ) r l 或Rl (r ) r l 1)
根据波函数的统计诠释，在任 何体积元中找到粒子的概率都 应为有限值。当 r 0 时， 则要求s 3 2 。
( 1) 2 F ( , , ) 1 ( 1)2
曾谨言量子力学课件第三章
是任意波函数，
显然二者结果不相等，所以:
ˆ ˆ xp x p x x i
对易 关系
同理可证其它坐标算符 与共轭动量满足 ˆ ˆ yp y p y y i ˆ ˆ zp z p z z i
ˆ ˆ x p p x i ˆ ˆ ˆ ˆ p p p p 0
ˆ ˆ zp x p x z 0 ˆ ˆ zp y p y z 0 ˆ ˆ ˆ ˆ pz p x p x pz 0
若算符满足 ÔÛ = - ÛÔ， 则称 Ô 和 Û 反对易。
注意： 当Ô 与 Û 对易，Û 与 Ê 对易，不能推知 Ô 与 Ê 对易与否。例如：
ˆ ˆ ˆ ˆ ( I ) p x 与p y 对易，p y 与x对易，但是p x 与x不对易； ˆ ˆ ˆ ˆ ( II ) p x 与p y 对易，p y 与z对易，而p x 与z对易。
（1）线性算符
满足如下运算规律的 算符 Ô 称为线性算符
Ô(c1ψ1+c2ψ2)= c1Ôψ1+c2Ôψ2 其中c1, c2是任意复常数， 例如： 单位算符 是线性算符。 ψ1, ψ1是任意两个波函数。
动量算符
ˆ p i ˆ I
开方算符、取复共轭就不是线性算符。 注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符， 这是态叠加原理的反映。
（7）算符函数
F ( x)
n 0 F ( n ) (0) n!
xn
设给定一函数 F(x), 其各阶导数均存在, 其幂级数展开收敛
则可定义算符 Û 的函数 F(Û)为: 例如:
d
ˆ F (U )
n 0
F ( n ) (0) n!
ˆ Un
量子力学曾谨言第五版第二章讲课稿(知识点)
第一章 波函数与Schr ödinger 方程§1、波函数及其统计解释(Wave-function and its statistical interpretation)一、德布罗意的“物质波”假说1、德布罗意的“物质波”假说(De Broglie matter-waves in 1923） 先回忆普朗克的“光量子”假说：E h p h νλ=⎧⎨=⎩, 重新换写一下：E ω= 2ωπν=是圆频率p k = k 是波矢量，2k πλ=是由波动性决定粒子性。
德布罗意假说：微观粒子也有波动性，满足关系式：称之为德布罗意关系，是由粒子性决定波动性。
对于具有确定的能量E 和动量p 的自由粒子，其对应的物质波是一个单色的平面波： 平面波是()(),exp r t A i k r t ψω⎡⎤=⋅-⎣⎦，将德布罗意关系E p kω=⎧⎪⎨=⎪⎩)。
因此，由德布罗意假设知，微观粒子的运动状态可用波函数表示。
物质波(matter wave)：与粒子运动相联系的平面波称为物质波或德布罗意波。
而一般可计算得到： 物质微粒的波长1010-<Å，氧原子0.4≈Å、DNA 分子410-≈Å、电子波长1≈Å。
只有当物质波的波长大于或等于光学仪器的特征尺度时，才会观察到干涉或衍射现象。
通常物质微粒的质量和动量较大，因而德布罗意波长非常短超出了可测的范围而不显示波动性，仅在原子尺度下才能显示出波动性。
德布罗意波长(De Broglie wave-length)的计算： [例1] 求做热运动的气体分子的德布罗意波长。
[解] 温度为T 的气体分子热运动动能为32B E k T =，当o 300K T =（室温）时，分子的动能约为0.039eV，相应的物质波波长为h p λ==对于氧分子（2O ），282o p 32329.3810eV m m ≈=⨯⨯，波长0.026nm λ≈，远小于分子的平均自由程，所以分子的热运动可作经典力学处理。