高数。。。空间解析几何习题课选讲,

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高教社2024高等数学第五版教学课件-7.1 空间解析几何

(, 0,0) ,y轴上点的坐标为 (0, , 0) ,z轴上点的坐标为 (0,0, ) ；
平面上点的坐标为(, , 0),平面上点的坐标为
(0, , ),平面上点的坐标为(, 0, ).
2.两点间距离公式
类似于平面上任意两点的距离,对于空间直角坐标系中任意
点1 (1 , 1 , 1 ),2 (2 , 2 , 2 )可以推出1 、2 的距离公式为：
→
→
→
→
→
→
( ) = ()
( + ) = +
( + ) →
= →
+→

其中、都是实数.
∘
→
→
→
设是一个非零向量,常把与同方向的单位向量记 ,
∘
→
则 =
→

→

,且±
→

→

均是与→
平行的单位向量（同向或反向
的两向量称为平行向量）.
→
= {1 , 1 , 1 }.
例2
→
→ → →
→
→
已知 = {2, −1,3}, = {1,2, −2},求 + , − ,
→
→
3 + 2 .
→
→
解 + = {2 + 1, −1 + 2,3 + (−2)} = {3,1,1},
→
→
− = {2 − 1, −1 − 2,3 − (−2)} = {1, −3,5},
定义2
设→
是一个非零向量,是一个非零实数,则→
与的
乘积仍是一个向量,记作 →

高等数学Ⅰ第一章课件：空间解析几何

练习题答案
一、1、Ⅳ,Ⅴ,Ⅷ,Ⅲ；
2、(-3,2,1),(3,2,-1),(-3,-2,-1),
(-3,-2,1),(3,2,1),(3,-2,-1)；
3、(-4,3,0),(0,3,5),(-4,0,5),
(-4,0,0),(0,3,0),(0,0,5)；
4、(a, a,a), (a, a, a),(a,a, a),(a,a, a) ；
(2) 空间直角坐标系（轴、面、卦限）
（注意它与平面直角坐标系的区别）
空间两点间距离公式
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
思考题
1. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？
A(1,2,3), B(2,3,4), C(2,3,4), D(2,3,1) .
b
3a
2
5
解
a
b
5
1
b
b
3a
2
5
(1
3)a
1
5 2
1 5
5
b
2a
5
b.
2
例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的
四边形必是平行四边形.
证 AM MC BM MD
D b
A
a
C
M
B
AD AM MD MC BM BC
AD 与 BC 平行且相等, 结论得证.
1.2 空间直角坐标系
3、点 A ( 4 , 3 , 5 )在xoy 平面上的射影点为_____ ______,在 yoz 面上的射影点为__________，在 zox轴上的射影点为_________，在x 轴上的射影点为________，在x 轴上的射影点为______，在 z 轴上的射影点为_______ ;

高等数学(经济类)课后习题及答案第八章空间解析几何答案

习题8-1（A ）1．求空间两点(1,2,2)A 与(1,0,1)B -之间的距离．解：3AB ==．2．写出点()456A -，，的对称点坐标：（1）分别关于xOy 、yOz 、xOz 平面的对称点坐标；（2）分别关于x 轴、y 轴、z 轴的对称点坐标；（3）关于原点的对称点坐标．答案：（1）(4,5,6)--；(4,5,6)--；(4,5,6)．（2）(4,5,6)-；(4,5,6)---；(4,5,6)-．（3）(4,5,6)--．3．判断由()123A ，，，()315B ，，，()243C ，，三点构成的三角形的形状．解：因为3AB ==，AC ==BC ==，进一步，计算可得222AB AC BC +=，所以ABC ∆为直角三角形．4．求点(,,)M x y z 到各个坐标轴之间的距离．答案：M 点到x 轴的距离x d =M 点到y 轴的距离y d =，M 点到z 轴的距离z d =5．在x 轴上求一点M ，使它到点()321A -，，和()314B ，，的距离相等．解：由题意设点(,0,0)M x ，且满足MA MB ==，解得1x =，所以(1,0,0)M ．6．一动点(,,)M x y z 与定点0000(,,)M x y z 的距离为R (0)R >，求动点(,,)M x y z 所满足的方程．解：由题意0MM R =R =，即2222000()()()x x y y z z R -+-+-=． 7．一动点(,,)M x y z 与两定点(1,2,3)A 与(2,1,4)B -距离相等，求动点(,,)M x y z 所满足的方程．解：由题意MA MB == 整理得26270x y z -+-=．习题8-2（A ）1．设向量23u a b c =+-，32v a b c =-+，求2v u -．解：2(61)(22)(43)547v u a b c a b c -=-+--++=-+．2．已知点C 是线段AB 的中点，O 是线段AB 外一点，若OA a =，OB b =，求OC ．解：由题意知AB b a =-，122b a AC AB -==，因此，22b a a b OC OA AC a -+=+=+=． 3．设点N M ,分别是四边形ABCD 两对角线BD 与AC 之中点，若AB a =， CDc =，求MN ．解：设BC 中点为E ，中位线1122EM CD c ==，中位线1122NE AB a ==，所以在MNE ∆中，1()2MN ME EN a c =+=-+． 4．已知向量(1,2,3)a =-，求2a -以及与a 平行的单位向量e ．解：22(1,2,3)(2,4,6)a -=--=--，与a 平行的单位向量1e 2,3)14a a =±=±-． 5．若2a =，1b =，且向量a 与b 的夹角为π6，求：（1）a b ⋅；（2）(2)(3)a b ⋅-；（3）()(2)a b a b +⋅-；（4）a b ⨯；（5）(2)(3)a b ⨯-；（6）()(2)a b a b +⨯-．解：（1）cos 212a b a b θ⋅==⋅⋅= （2）(2)(3)663a b a b ⋅-=-⋅=-；（3）222222()(2)222212a b a b a ab b a ab b +⋅-=--=--=⋅=-；（4）1sin 2112a b a b θ⨯==⋅⋅=；（5）(2)(3)66a b a b ⨯-=⨯=；（6）()(2)22333a b a b a a a b b a b b a b a b +⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯=⨯=．6．已知向量(2,2,1)a =-、(1,2,3)b =，求a b ⋅ 、a b ⨯及Pr j a b ．解：21(2)2131a b ⋅=⋅+-⋅+⋅=； 221856(8,5,6)123i j ka b i j k ⨯=-=--+=--；3a =，14b =，由a b ⋅1=可知cos θ=，所以1Pr j cos 3a b b θ==． 7．设()1,2,3M ，(2,1,3N ，求向量MN 的方向角和方向余弦．解：(1,MN =-，2MN =，方向余弦 1cos 2α=，1cos 2β=-，cos γ= 方向角 3πα=， 23πβ=，4πγ=． 8．一向量的终点为)7,1,2(-B 且它在x 轴、y 轴、z 轴上的投影依次为4，4-和7，求这个向量的起点A 的坐标．解：由题意可知(4,4,7)AB =-，设A 点坐标为000(,,)x y z ，则024x -=，014y --=-，077z -=，解得02x =-，03y =，00z =，所有A 点坐标为(2,3,0)-．9．若向量(,2,1)a k =-与向量(,2,3)b k k =-垂直，求k 值．解：2430a b k k ⋅=--=，解得1k =-或4k =．10．求与向量(2,2,1)a =、(4,5,3)b =都垂直的单位向量．解：由题意22122(1,2,2)453i j kc a b i j k =⨯==-+=-，且3c =，故所求单位向量为1(1,2,2)3±-．11.已知点()1,1,1M ，()2,2,1A ，()2,1,2B ，求AMB ∠．解：因为()1,1,0MA =，()1,0,1MB =，所以111cos2MA MBAMB MA MB ⋅⋅∠===⋅，因此3AMB π∠=． 12．若a 与b 垂直且都是单位向量，求以u a b =+，v a b =-为邻边的平行四边形面积．答案：2．解析：由题意1a b ==，由向量积的几何意义可知该平行四边形的面积为： ()()22S u v a b a b a a a b b a b b a b a b =⨯=+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯=⨯2sin 21112a b θ==⋅⋅⋅=．习题8-2（B ）1．证明向量()()b c a a c b ⋅-⋅与向量c 垂直．证：()()()()()()()()b c a a c b c b c a c a c b c b c a c a c b c ⎡⎤⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅⎣⎦，因为()()()()b c a c a c b c ⋅⋅=⋅⋅，故，所以()()b c a a c b c ⎡⎤⋅-⋅⊥⎣⎦． 2．用向量证明三角不等式+AC BC AB <．证：设AB c =，AC b =，BC a =，则a c b +=，两边平方得22()a c b +=，即2222a c ac b ++=．又因22a a =，22c c =，22b b =，又2222cos b a c a c B =++，所以即2222b a c a c <++，故+AC BC AB <．3．已知向量,a b 满足5a =，6b =，15a b ⨯=，求a b ⋅．解：sin 30sin 15a b a b θθ⨯===，1sin 2θ=，cos 2θ=±，所以cos a b a b θ⋅==±． 4．已知向量,a b 满足a b ⊥，且3a =，4b =，求()()a b a b +⨯-．解：()()a b a b a a a b b a b b +⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯，因为0a a ⨯=，0b b ⨯=，a b b a ⨯=-⨯，则()()222sin a b a b a b a b a b θ+⨯-=-⨯=⨯=，又因a b ⊥，sin 1θ=，所以()()2sin 24a b a b a b θ+⨯-==． 5．已知向量a 、b 、c 两两垂直，且1a =、2b =、3c =，设s a b c =++，求s 以及s 与a 的夹角．解：22222()22214914s a b c a b c ab bc ac =++=+++++=++=，所以14s =.又因2()1s a a b c a a ⋅=++⋅==，所以=cos 1s a s a θθ⋅==，故 s 与a 的夹角θ=． 6．两个非零向量a 和b 满足如下条件：向量3a b +与75a b -垂直，并且向量4a b -与72a b -垂直，求向量a ，b 的夹角．解：设向量a 与b 的夹角为θ，由(3)(75)a b a b +⊥-，有 220(3)(75)7151671516cos a b a b a a b b a b a b a b θ=+⋅-=⋅-⋅+⋅=-+；由(4)(72)a b a b -⊥-，有 220(4)(72)78307830cos a b a b a a b b a b a b a b θ=-⋅-=⋅+⋅-⋅=+-，上述两个方程联立，解得 21cos =θ，得π3θ=，所以向量a 与b 的夹角为π3．习题8-3（A ）1．分别求满足下列各条件的平面方程：（1）过点(3,2,4)M --且垂直于x 轴；（2）过点(2,0,1)M -且平行于平面3753x y z -+=；（3）过点(2,9,6)M 且与线段OM 垂直，其中O 为坐标原点；（4）过三点(2,1,4)A -，(1,3,2)B --，(0,2,3)C ；（5）线段AB 的垂直平分面，其中(0,3,6)A ，(2,1,4)B -；（6）平行于xOz 平面且过点(2,4,3)M -；（7）过y 轴和点(1,4,1)M --；（8）过x 轴且垂直于平面03245=+-+z y x ；（9）过原点及点(6,3,2)M 且垂直平面8345=-+z y x ；（10）过点(2,1,1)M -且在x 轴和y 轴上的截距分别为2和1．解：（1）由于所求平面垂直于x 轴，故所求平面平行于yOz 平面，所以所求平面的方程为3x =；（2）设所求平面为375x y z k -+=，又因为其过点(2,0,1)M -，代入得1k =，所以所求平面方程为3751x y z -+=；（3）向量(2,9,6)OM =即为所求平面的法向量，又平面过点(2,9,6)M ，所以所求平面方程为2(2)9(9)6(6)0x y z -+-+-=，即296121x y z ++=；（4）所求平面的法向量为(3,4,6)(2,3,1)(14,9,1)n AB AC =⨯=--⨯--=-，代入点(2,1,4)A -，得到所求平面方程为14(2)9(1)(4)0x y z -++--=，即14915x y z +-=；（5）(2,4,2)AB =--即为所求平面的法向量，且过线段AB 的中点(1,1,5)，所以所求平面方程为2(1)4(1)2(5)0x y z -----=，即260x y z --+=；（6）由题意所求平面垂直于y 轴，且过点(2,4,3)M -，所以所求平面方程为4y =-；（7）设所求平面方程为0Ax Cz +=，代入点(1,4,1)M --得A C =，所以所求平面方程为0x z +=；（8）所求平面的法向量为1(1,0,0)(5,4,2)(0,2,4)n i n =⨯=⨯-=，且过原点，所以所求平面方程为20y z +=；（9）所求平面的法向量为1(6,3,2)(5,4,3)(17,28,9)n OM n =⨯=⨯-=-，所以所求平面方程为172890x y z -++=；（10）由题意设所求平面的截距式方程为121x y z c++=，其中c 为平面在z 轴上的截距，代入点(2,1,1)M -，解得1c =，所以所求平面为1211x y z ++=． 2．指出下列各平面的特殊位置，并作平面的草图：（1）0=z ；（2）012=-x ；（3）1=+y x ；（4）02=-z x ；（5）0=++z y x ；（6）1432=+-z y x ．答案：（1）xOy 平面；（2）垂直于x 轴的平面；（3）平行于z 轴的平面；（4）平行于y 轴的平面；（5）在x 轴、y 轴和z 轴上截距全为1的平面；（6）在x 轴、y 轴和z 轴上截距分别为2、3-和4的平面；3．求平面072=-+-z y x 与平面0112=-++z y x 的夹角．解：1(2,1,1)n =-，2(1,1,2)n =， 11111cos 24n n n n θ⋅===，所以两平面夹角π3θ=． 4．一平面过点(5,4,3)M 且在各坐标轴上的截距相等，求该平面方程．解：由题意设所求平面方程为1()1x y z a++=，代入(5,4,3)M 得12a =，所以所求平面为12x y z ++=．5．一平面过点(3,1,5)M --，且与平面3227x y z -+=-和5431x y z -+=-都垂直，求该平面方程．解：由题意知所求平面的法向12(3,2,2)(5,4,3)(2,1,2)n n n =⨯=-⨯-=-，又知其过点(3,1,5)M --，所以得到所求平面方程为2(3)(1)2(5)0x y z -++-+=，即2215x y z +-=．6．求点(4,2,3)M -到平面25x y z +-=的距离．解：由点到平面的距离公式可得d ===习题8-3（B ）1．一平面过两点)3,4,0(-A ，)3,4,6(-B ,且在三个坐标轴上的截距之和为零，求该平面方程．解：设所求平面方程为1x y z a b c++=，且0a b c ++=，将点)3,4,0(-A ，)3,4,6(-B 代入平面方程中，联立方程组解得3,6,9a b c ===-，或3,2,1a b c ==-=-，所以所求平面方程为1369x y z ++=-或1321x y z ++=--． 2．一动点(,,)M x y z 与平面1=+y x 的距离等于它到z 轴的距离，求动点M 的轨迹．解：由题意点M 到z轴的距离为，点M 到平面1=+y x，所以=，解得2222210x y xy x y +-++-=，即为动点M 的轨迹． 3．设平面π位于平面0221=-+-z y x ：π与平面0622=-+-z y x ：π之间，且将此两平面的距离分为1︰3，求平面π的方程．解：平面1π与2π之间的距离为641)2(126222=+-++-．设所求平面方程为02=++-D z y x ：π，则π与1π的距离应为611=d ，π与2π的距离应为632=d ，而666221+=+=D d D d 、，于是3612=+=+D D 、，得3-=D ，所以所求平面方程为032=-+-z y x ：π．4．一平面与平面632120x y z +++=平行，若点(0,2,1)M -到两平面的距离相等，求该平面的方程．解：依题意设所求平面方程为6320x y z D +++=，又点(0,2,1)M -到两平面的距离相等，则=，即164D =+，得20D =-，12D =（舍），所以所求平面方程为632200x y z ++-=．5．求过x 轴且与点)5,0,2(M 的距离为5的平面方程．解：由π过x 轴，设所求平面方程为0=+Cz By ，由点)5,0,2(M 到π的距离为，有5522=+C B C，即2225C B C +=，得C B 2±= ，所求方程为02=+±Cz Cy ，即02=±z y ． 6．求平行于平面2250x y z +++=且与三坐标平面所构成的四面体的体积为1个单位的平面的方程．解：设所求平面的方程为220x y z D +++=，即122x y z D D D ++=---，由题意 11622D D V D =-⋅-⋅-=，解得D =±220x y z ++±=．习题8-4（A ）1．分别求满足下列各条件的直线方程：（1）过点)1,2,1(-M 且与直线43121zy x =--=+平行；（2）过原点垂直于平面03=-++z y x ；（3）过两点)1,2,3(-A ，)2,0,1(-B ；（4）过点)4,2,0(M 且与两平面12=+z x 及23=-z y 都平行；（5）过点)1,2,1(-M 且与直线210210x y z x y z +--=⎧⎨+-+=⎩，平行．答案：（1）121234x y z --+==-；（2）x y z ==；（3）321421x y z -+-==-（或12421x y z +-==-）；（4）24231x y z --==-；（5）121311x y z +--==-． 2．分别求满足下列各条件的平面方程：（1）过点)1,1,2(M 且垂直于直线20210x y z x y z +-=⎧⎨+-+=⎩，；（2）过点)2,1,3(-M 及直线12354zy x =+=-；（3）过z 轴，且平行于直线L ：102340x y z x y z +++=⎧⎨-++=⎩，；（4）过两平行直线13121-=+=-z y x 与 11322--=-=z y x ．答案：（1）36x y z ++=；（2）892259x y z --=；（3）40x y +=；（4）697x y z -+=．3．用对称式方程及参数方程表示直线123 4.x y z x y z -+=-⎧⎨-+=-⎩，解：先在直线上找一点，令1x =，解方程组236z y y z -=-⎧⎨-=⎩，得0,2y z ==-.故点(1,0,2)-在直线上．再求直线的方向向量s ，由题意可知12(2,1,1)s n n =⨯=--，所以对称式方程为12211x y z -+==--，从而参数式方程为122.x t y t z t =-⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩，， 4．求两直线113:141x y z L -+==-与220:20x y L x z ++=⎧⎨+=⎩ 的夹角．解：由已知，有直线2L 的方向向量为(1,4,1)-，直线2L 的方向向量为(2,2,1)--，由夹角公式可得cos 2θ==，所以π4θ=． 5．求直线313x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩与平面02=+-z y x 的夹角ϕ．解：直线313x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩的方向向量113(242)2(121)111ijks ==-=---，，，，，平面02=+-z y x 的法线向量(112)n =-，，，由直线与平面的夹角公式，有1πarcsinarcsin26s n s nϕ⋅====⋅． 6．试确定下列各组中的直线与平面的位置关系：（1）37423zy x =-+=-+和3224=--z y x ；（2）723z y x =-=和8723=+-z y x ；（3）431232--=+=-z y x 和3x y z ++=；（4）310220x y z x y +-+=⎧⎨--=⎩和253x y z ++=．答案：（1）平行；（2）垂直；（3）平行；（4）垂直．7．求直线11321x y z+-==- 与平面010=-+-z y x 的交点．解：将直线11321x y z+-==-改写为参数方程t z t y t x =+-=-=、、1213，将其代入到平面方程010=-+-z y x 之中，有0101213=-+-+-t t t ，即0126=-t ，得2=t ，再将2=t 代到直线的参数方程之中，得235=-==z y x 、、，所以直线与平面的交点为(532)-，，．8．设直线1:112y L x z -==+，222:102x z L y +-=-=-，求同时平行于12,L L 且与它们等距的平面方程．解：所求平面的法向量12(5,2,1)n l l =⨯=---，则其方程为520x y z D +++=，下面求D ．在1L 上取点1(1,0,1)M -，在2L 上取点2(2,1,2)M -，利用点到平面距离相等可得：=，解得1D =.因此，所求平面为5210x y z +++=． 9．求点(1,2,0)M -在平面点012=+-+z y x 上的投影．解：做过点(1,2,0)M -且垂直于平面012=+-+z y x 的直线方程为12121x y z+-==-，该直线与平面的交点522,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭即为所求的投影点．习题8-4（B ）1．求点(2,1,3)A 关于直线11:321x y zL +-==-的对称点M 的坐标．解：设000(,,)M x y z ，过(2,1,3)A 做平面L ∏⊥，则的方程为∏325x y z +-=，求得直线L 与平面∏的交点为2133,,777B ⎛⎫-⎪⎝⎭，则点B 是线段AM 的中点，因此由中点公式得101927,,777M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．2．求原点关于平面6291210x y z +--=的对称点.解：过原点做该平面的垂线629x ty t z t =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，代入平面方程解得1t =，得直线与平面的交点为(6,2,9)-．设所求对称点为(,,)x y z ，则有0006,2,9222x y z +++===-，所以(,,)(12,4,18)x y z =-． 3．求点()1,1,4M 到直线234112x y z ---==的距离．解：过点()1,1,4M 作一个垂直于直线234112x y z ---==的平面，方程为(1)(1)2(4)0x y z -+-+-=，即2100x y z ++-=将直线234112x y z ---==的参数方程2324x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩代入到平面方程中，得12t =- 所以直线与平面的交点坐标为35,,322⎛⎫⎪⎝⎭，所以点()1,1,4M 到直线234112x y z ---==的距离为点()1,1,4M 与交点35,,322⎛⎫⎪⎝⎭的距离，即所求4．设直线L 在yOz 平面上的投影方程为231y z x -=⎧⎨=⎩，在zOx 平面上的投影方程为20x z y +=⎧⎨=⎩，求直线L 在xOy 平面上的投影方程．解：设过直线L 的平面束方程为231(2)0y z x z λ--++-=，即2(3)120x y z λλλ++---=，若该平面与z 轴平行，则有3λ=，所以L 在xOy 平面上的投影方程为327x y z +=⎧⎨=⎩．5．若直线131:23x y z L m --==-与2243:340x y z L +--==-相交，求m 的值及其交点的坐标．解：两直线相交即共面，有12120s s M M ⨯⋅=，12(12,9,83)s s m ⨯=----，12(5,3,3)M M =-，所以1m =．下面求交点：将直线方程改写为参数方程123:13x t L y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=-⎩，232:443x k L y k z =-⎧⎪=-+⎨⎪=⎩，1L 与2L 相交时，下列方程组应有解：233214433t k t k t +=-⎧⎪+=-+⎨⎪-=⎩，解得1,1t k =-=，代入参数方程得到交点坐标为(1,0,3)．6．求过直线2821705810x y z x y z +-+=⎧⎨+-+=⎩且与球面2221x y z ++=相切的平面方程．解：所求平面为28217(581)0x y z x y z λ+-+++-+=，即 (15)(288)(2)170x y z λλλλ+++-+++=，球心为原点，到平面的距离等于半径1，所以1d ==，分子分母平方相等化简得2894285000λλ++=，即(2)(89250)0λλ++=，解得25089λ=-或2λ=-，代入方程，得所求平面为38716424421x y z --=或345x y -=． 7．求过原点，且经过点(1,1,0)P -到直线3:24x z L y x =-⎧⎨=-⎩的垂线的平面方程．解：由已知得L 的方向向量(1,2,1)s =，过点P 做直线L 的垂直平面，其方程为(1)2(1)0x y z -+++=，即210x y z +++=. 设交点0000(,,)P x y z 为直线L 与此平面的交点，解得0002811,,333x y z ==-=. 由于所求平面过原点，可设其方程为0Ax By Cz ++=,将P 、0P 坐标代入平面方程得：028110333A B A B C -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，，解得116A B C ==. 故所求平面方程为111160x y z ++=．习题8-5（A ）1．分别写出满足下列各条件的曲面方程：（1）以点0(1,2,3)M -为球心，2R =为半径的球面方程；（2）以点(1,1,2)M -为球心，且过原点的球面方程；（3）与两定点(1,2,1)A -和(3,1,4)B 等距的动点轨迹；（4）与原点O 及定点)4,3,2(A 的距离之比为1﹕2的动点轨迹．答案：（1）222(1)(2)(3)4x y z -+-++=；（2）6)2()1()1(222=-+++-z y x ；（3）2510x y z -+=；（4）22224116(1)339x y z ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．2．求出下列球面方程的球心坐标及半径：（1）222230x y z z ++--=；（2）2222420x y z x y z ++-++=．答案：（1）球心(0,0,1)，半径2；（2）球心(1,2,1)--． 3．写出满足下列条件的旋转曲面方程：（1）yOz 面上抛物线2y z =绕z 轴旋转一周；（2）yOz 面上直线z y 2=绕y 轴旋转一周；（3）xOy 面上椭圆1322=+y x 分别绕x 及y 轴旋转一周；（4）xOy 面上双曲线1222=-y x 分别绕x 及y 轴旋转一周．答案：（1）22z x y =+；（2）y =± （3）绕x 轴：2223()1x y z ++=，绕y 轴：22231x z y ++=；（4）绕x 轴：2222()1x y z -+=；绕y 轴：22221x z y +-=．4．分别在平面直角坐标系和空间直角坐标系下，指出下列方程所表示的图形名称：（1）3x =；（2）221x y -=；（3）2222=+y x .答案：（1）在平面直角坐标系下表示一条直线，在空间直角坐标系下表示一个平面；（2）在平面直角坐标系下表示一条双曲线，在空间直角坐标系下表示一个双曲柱面；（3）在平面直角坐标系下表示一个椭圆，在空间直角坐标系下表示一个椭圆柱面；． 5．画出下列各方程所表示的曲面：（1）22(1)1x y -+=；（2）22194y x -= （3）22194x y +=；（4）22x z +=．答案：略．习题8-5（B ）1．一球面过原点和)0,0,4(A 、)0,3,1(B 和)4,0,0(-C ，求该球面的方程．解：设球面方程为222z 0x y z Dx Ey F +++++=，由于它过)0,0,4(A 、)0,3,1(B 和)4,0,0(-C ，因此164019301640D D E F +=⎧⎪+++=⎨⎪-=⎩，，解得424.D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，，因此，该球面的方程为2224240x y z x y z ++--+=． 2．画出下列各曲面所围立体的图形:（1）0z =，3z =，x y =，x =，221x y +=（在第一卦限内）；（2）0x =，0y =，0z =，222x y R +=，222y z R +=（在第一卦限内）．答案：略．习题8-6（A ）1．说出下列曲线的名称，指出曲线的特点并作出曲线的草图.（1）12x y =⎧⎨=⎩，；（2）221z x y z ⎧=+⎨=⎩，；（3）2228x y z z ⎧-=⎨=⎩，；（4）22282.x y z y ⎧-=⎨=-⎩，答案：（1）直线；（2）圆；（3）双曲线；（4）抛物线．2．分别在平面直角坐标系和空间直角坐标系下，指出下列方程所表示的图形名称．（1）5232;y x y x =+⎧⎨=-⎩，（2）22211.2x y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，答案：（1）在平面直角坐标系下表示一个点，在空间直角坐标系下表示一条直线；（2）在平面直角坐标系下表示两个点，在空间直角坐标系下表示两条直线.3．求曲线1z z ⎧=⎪⎨=⎪⎩在xOy 面上的投影．解：由1z z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，有221x y +=.因此，曲线1z z ⎧=⎪⎨=⎪⎩在xOy 面上的投影为2210.x y z ⎧+=⎨=⎩，4．求曲线2222222160x y z x y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，在xOz 面上的投影．解：由2222222160x y z x y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，，有223216x z +=. 因此，曲线2222222160x y z x y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，在xOz 面上的投影为2232160.x z y ⎧+=⎨=⎩， 5．画出下列空间区域Ω的草图．（1）Ω由平面1=++z y x 及三个坐标面围成；（2）Ω由圆锥面22y x z +=及上半球面222y x z --=围成；（3）Ω由抛物面z x -=12，平面0=y ，0=z 及1=+y x 围成；（4）Ω是由不等式222R z x ≤+及222R z y ≤+确定的第一卦限的部分．答案：略．6．作出下列空间区域在xOy 面及xOz 面上的投影区域．（1）介于球面22224a z y x =++内的圆柱体222)(a y a x ≤+-；（2）Ω由圆锥面22y x z +=及抛物柱面x z 22=围成．答案：略．习题8-6（B ）1．分别求母线平行于x 轴与y 轴且都通过曲线2222222160x y z x y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩的柱面方程．答案：平行于x 轴：22316y z -=；平行于y 轴：223216x z +=．2．求曲线22229x y z y z⎧++=⎨=⎩的参数方程．答案：3cos ,(02π)x y z θθθθ=⎧⎪=≤<⎨⎪=⎩．总习题八一、填空题1．设向量a m n =+，2b m n =-，且2m =，1n =，m 与n 的夹角π3θ=，则向量a 与b 的数量积a b ⋅= ；答案：1．解析：2222()(2)2cos 2a b m n m n m mn n m m n n θ⋅=+-=--=--142212=-⋅-=． 2．同时垂直于()1,2,1a =和()3,4,5b =的单位向量为；答案：)6,2,2--．解析：c a b =⨯=()1216,2,2345i j k=--，211c =所以)016,2,2211c c c==±--，即为所求单位向量． 3．设单位向量0a 的两个方向余弦为1cos 3α=，2cos 3β=，则向量0a 的坐标为；答案：0122,,333a ⎛⎫=±⎪⎝⎭．解析：设第三个方向角为γ，由222cos cos cos 1αβγ++=，得2cos 3γ=± 所以0122,,333a ⎛⎫=±⎪⎝⎭． 4．过点(3,1,2)M -且平行于直线121:2329x y z L x y z ++=⎧⎨++=⎩，和直线223:34x y z L x y z --=-⎧⎨++=⎩，的平面方程是；答案：32x y z ++=．解析：由题意可求得两直线的方向向量分别为1(1,2,1)(2,3,2)(1,0,1)s =⨯=-，2(2,1,1)(1,3,1)(2,3,7)s =--⨯=-，所以所求平面的法向量为12(3,9,3)n s s =⨯=---，又因为所求平面过点(3,1,2)M -，由点法式得平面方程为3(3)9(1)3(2)0x y z ---+--=，化简得32x y z ++=．5．过点()0,2,3M -且与平面23x z +=垂直的直线方程为；答案：2302y z x -+==．解析：因为所求直线与所给平面垂直，所以方向向量为()1,0,2n =由对称式得所求直线方程为2302y z x -+==． 6．过点)3,1,3(-且通过直线211132-=+=-z y x 的平面方程是；答案：247x y z -++=-．解析：点)3,1,3(-与题中的直线共面，所以点)3,1,3(-和直线通过的点(2,1,1)-所形成的向量1(1,0,2)s =--，直线的方向向量为2(3,1,2)s =，所求平面的法向量为12n s s =⨯(2,4,1)=-，所求平面方程为247x y z -++=-．7．xOz 平面上的抛物线22x z =+绕x 轴旋转所形成的旋转曲面方程是，绕z 轴旋转所形成的旋转曲面方程是；答案：绕x 轴的旋转曲面方程是222()x y z =++，绕z 轴的旋转曲面方程是2222(2)x y z +=+．8．曲线2221x y z y x⎧+-=⎨=⎩在xOz 平面上的投影是；答案：22210x z y ⎧-=⎨=⎩．解析：曲线在xOz 坐标平面上的投影是xOz 坐标平面上的柱面与xOz 坐标平面的交线，xOz 坐标平面上的柱面方程是2221x z -=，xOz 坐标平面的0y =，故投影方程是2221x z y ⎧-=⎨=⎩．二、选择题：1．设向量a 与b 满足a b a b +=-，则a 与b 一定（）； (A) 平行 (B) 同向 (C) 反向 (D) 垂直答案：C ．解析：当a 与b 反向时，a b a b +=-，故选C ． 2．设向量()()u b c a a c b =⋅-⋅，则有（）；.(A) u 与a 垂直 (B) u 与b 垂直 (C) u 与c 垂直 (D) u 与c 平行答案：C ．解析：()()u b c a a c b =⋅-⋅两边乘以c ，则()()()()0u c b c a c a c b c ⋅=⋅⋅-⋅⋅=，故u 与c 垂直.3. 已知向量a 的方向平行于向量(2,1,2)b =--和(7,4,4)c =--之间的角平分线，且56a =，则a =（）；(A) 5(1,7,2)3- (B) 2(1,7,2)3- (C) 5(1,7,2)2- (D) 2(1,7,2)3答案：A ．解析：由题意可知3,9b c ==，则01(2,1,2)3b =--，01(7,4,4)9c =--，于是可设0()(1,7,2)9a b c λλ=+=-，又因56a =，故=15λ=，所以a =5(1,7,2)3-，选A ． 4．设空间直线的方程为043x y z==-，则该直线必定（）；(A) 过原点且垂直于X 轴(B) 不过原点但垂直于X 轴(C) 过原点且垂直于Y 轴 (D) 不过原点但垂直于Y 轴答案：A ．解析：直线通过原点，且直线的方向向量为(0,4,3)s =-，X 轴的单位向量为(1,0,0)i =，所以0s i ⋅=，s i ⊥，选A ．5．已知平面π通过点(1,0,1)-，且垂直于直线30:240x y z L x y --+=⎧⎨-+=⎩，则平面π的方程是（）；(A) 21x y z -+= (B) 21x y z ++= (C) 22x y z -+= (D) 22x y z +-= 答案：B ．解析：由题意所求平面的法向量就是所给直线的方向向量，即(1,1,1)(1,2,0)(2,1,1)n s ==--⨯-=---，所以平面π的方程为210x y z ++-=，选B ．6．若直线121:110x y z L λ--==与直线2210:50x y L x z λ++=⎧⎨-+=⎩垂直，则=λ（）； (A) 4 (B) 2 (C) 2- (D) 2± 答案：2λ=±.解析：直线1L 的方向向量1(1,10,)s λ=，直线2L 的方向向量2(1,2,0)(,0,1)(2,1,2)s λλ=⨯-=--，由题意知12s s ⊥，故120s s ⋅=，所以2λ=±.7．下列结论中错误的是（）；(A) 2230z x y ++=表示椭圆抛物面 (B) 222312x y z +=+表示双叶双曲面(C) 22220x y z +-=表示圆锥面 (D) 24y x =表示抛物柱面答案：B.解析：双叶双曲面的方程为2222221x y z a b c--=，故选择B.8．曲线22z z x y⎧=⎪⎨=+⎪⎩xOy 坐标平面上的投影是（）；(A) 122=+y x (B) 222=+y x(C) 2210x y z ⎧+=⎨=⎩ (D) 222x y z ⎧+=⎨=⎩答案：C ．解析：联立两个曲面z =和22z x y =+，消去z 得到在xOy 坐标平面上的柱面方程为221x y +=，该柱面与xOy 坐标平面0z =的交线即为所求投影，故选C ．三、解答题.1．一单位向量e 与x 轴y 、轴的夹角相等，与z 轴夹角是前者的2倍，求向量e .解：设)2cos ,cos ,(cos ααα=e，由12cos cos cos 222=++ααα，有02sin cos 222=-αα，即0)sin 21(cos 22=-αα，所以2πα=或4πα=（43πα=舍去），于是)1,0,0(-=e 或)0,22,22(=e . 2．设非零向量,a b 满足Pr j 1a b =，计算极限0limx a xb ax→+-．解：原式222()()limlimlim()()x x x a xb aa xb aa xb a xb axx a xb a x a xb a →→→+-+-+⋅+-==++++22022limlimlimPr 1()a x x x a a xab x b b aa b xb b a b j b x a xb a a xb aa→→→⋅+⋅+⋅-⋅+⋅⋅=====++++．3．求平面3546x y z +-=与42x y z -+=的等分角平面方程．解：设所求平面为3546(42)0x y z x y z λ+--+-+-=，即 (3)(5)(44)620x y z λλλλ++-+---=，依题意有 =解得53λ=±，代入所设方程有75414x y z ++=和582x y z +-=． 4．过点)3,2,1(M ，求垂直于直线z y x ==且与z 轴相交的直线方程.解：设所求直线方程为p z n y m x 321-=-=-，由与已知直线垂直，有0=++p n m ①；又设与z 轴交点为),0,0(0z ，有pz n m 3210-=-=-②，由①、②两式得m p m n 32-==、，所求直线方程是332211--=-=-z y x . 5．求与已知直线135:23x y L z +-==及2107:54x y L z -+==相交，且平行于直线321:387x y L z +-==-的直线方程．解：由题意可知所求直线L 的方向向量3(8,7,1)s s ==，以参数形式表示直线1L 和2L ，则L 与1L 和2L 的交点分别为1(23,35,)M t t t -+和2(510,47,)M λλλ+-，显然只需确定1M 和2M 之中的一点即可，因123//M M s ，故5213431287t t t λλλ-+--==-，即52138()43127()t t t t λλλλ-+=-⎧⎨--=-⎩，解得252t =-，从而知16525(28,,)22M ---，所以所求直线方程经整理得282652258142x y z +++==． 6．指出下列方程所表示的曲面的名称，若是旋转面，指出它是什么曲线绕什么轴旋转而成的．（1）2221499x y z ++=；（2）22214y x z -+=；（3）2221x y z --=；（4）222099x y z +-=；（5）224x y z -=；（6）0z =．答案：（1）旋转椭球面．可看成椭圆221490x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，绕x 轴旋转而成，或者椭圆221490x z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，绕x 轴旋转而成．（2）单叶旋转双曲面．可看成双曲线22140y x z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，绕y 轴旋转而成，或者双曲线221,40y z x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩绕y 轴旋转而成．（3）双叶旋转双曲面．可看成双曲线2210x y z ⎧-=⎨=⎩，绕x 轴旋转而成，或者双曲线221,x z y ⎧-=⎨=⎩绕x轴旋转而成．（4）旋转抛物面．可看成抛物线20,90x z y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩绕z 轴旋转而成，或者抛物线20,90y z x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩绕z 轴旋转而成．（5）双曲抛物面．（6）旋转锥面．可看成射线,0z x y ==绕z 轴旋转而成，或者射线,0z y x ==绕z 轴旋转而成．7．指出曲面22219254x y z -+=在下列各平面上的截痕是什么曲线，并写出其方程：（1）2x =；（2）5y =；（3）2z =；（4）1z =．答案：（1）双曲线，方程为22542592z y x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，；（2）椭圆，方程为222945x z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，；（3）两条直线，方程为352x yz ⎧=⎪⎨⎪=⎩，和352x y z ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，；（4）双曲线，方程为22392541.x y z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，。

高数习题选解(第7章)

第七章向量代数与空间解析几何习题7.13. 设M 是平行四边形ABCD 的中点, O 是任一点, 证明 4OA OB OC OD OM +++= 解: 由平面几何知识我们知道M 既是AC 的中点,又是BD 的中点．下面先证2OA OC OM +=.由三角形法则, 我们有12OM OA AM OA AC =+=+（因M 是AC 的中点）, 而AC OC OA =-, 故11()()22OM OA OC OA OC OA =+-=+, 从而得到2OA OC OM +=.同理可以得到 2OB OD OM +=,故4OA OB OC OD OM +++=.8. 证明以A(4,1,9), B(10,-1,6), C(2,4,3) 为顶点的三角形是等腰直角三角形. 解:由两点间的距离公式得7AB ==,2BC ==,7CA ==. 所以 AB CA =222AB CA BC += 故 ABC 为等腰直角三角形9. 求点A(1,2,3), B(3,-4,6) 所确定的向量AB 的坐标, 模, 方向余弦和方向角. 解: (31,42,63)(2,6,3)AB =----=- 227AB ==,263cos ,cos ,cos 777==-=αβγ,2arccos 7=α,6arccos 7β-=,3arccos 7γ=. 习题7.25. 设a =(3,5,-2), b =(2,1,4), 试确定,λμ的关系, 使λμ+a b 与z 轴垂直. 解 a =(3,5,-2), b =(2,1,4),(32,5,24)λμλμλμλμ+=++-+a b取z 轴方向向量c =(0,0,1).要使λμ+a b 与z 轴垂直只需()0λμ+=a b c .而 ()(32)0(5)1(24)1240λμλμλμλμλμ+=+⨯++⨯+-+⨯=-+=a b c即2λμ=.9. 设a,b 是向量, 证明:()()2()+⨯-=⨯a b a b a b .证明: 由向量的性质可得 ()()()()()()=-()()=-2()+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯a b a b a a a b b a b b a b a b a b 可得:()()2()+⨯-=⨯a b a b a b习题7.32. 求平面2x -3y -4z -12=0 与三个坐标轴的交点.解: 因为2x -3y -4z -12=0可化为:1643x y z ++=-- 所以, 平面与x 轴交点坐标为:(6, 0, 0), 平面与Y 轴交点坐标为:(0, -4, 0), 平面与Z 轴交点坐标为:(0, 0, -3).3. 求过点(1,-1,2) 且平行于平面3x -y +2z +6=0的平面方程.解: 设所求平面的法向量为n因为所求平面与平面3x -y +2z +6=0平行,所以 n =(3, -1, 2),所以, 据平面的点法式方程，所求的平面的方程为:3(x -1)-(y +1)+2(z -2)=0.即 3x -y +2z -8=0.4. 求过点(1,1,1)且垂直于两平面x -2y +z =0, 0y =的平面方程.解: 平面x -2y +z =0的法向量()11,2,1n =- 平面0y =的法向量()20,1,0n = 取12n n n =⨯作为所求平面的法向量。

大学生数学竞赛高等代数与空间解析几何部分选讲习题选讲ppt课件

§11 曲面与曲线
法向量是(1,2,3), 即是这个平面与垂线
因此旋转曲面的方程为
即
证毕
§4 矩阵
证毕
证毕证毕
移项，得
A 1
§5 线性空间
§6 线性变换
那么
§7 λ-矩阵
§8 欧氏空间
是正交变换.
§9 双线性函数与二次型
记为 T
B=
那么
令
根据正交化做法, 存在上三角矩阵性函数与二次型双线性函数与二次型根据正交化做法存在上三角矩阵这时1010矢量及其线性运算矢量及其线性运算1111曲面与曲线曲面与曲线法向量是123即是这个平面与垂线因此旋转曲面的方程为
§1 多项式
两边除以(f(x),g(x))
§2 行列式
证毕
证毕
§3 线性方程组
证毕
证毕

高数空间解析几何学空间直角坐标系

1. 定义
实例一物体在常力 F 作用下沿直线从点 M 移动 1 到点 M 2 ，以 s 表示位移，则力F 所作的功为 (其中为 F 与 s 的夹角 ) W | F || s | cos
定义向量 a 与 b 的数量积为 a b a b | a || b | cos b
坐标面上的点 A , B , C ,
z
R ( 0 ,0 , z )
O ( 0 ,0 ,0 )
B (0, y , z )

C ( x,o, z)
M ( x, y, z)
o
Q ( 0 , y ,0 )
y
x
P ( x ,0 ,0 )
A ( x , y ,0 )
3
二、空间两点间的距离
设 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、 M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 )为空间两点
x1
P1 P 2

x1 2

1 2
x 2,
cos cos
y0
P1 P 2

y0 2 z3 2

2 2
y
2,
z3
P1 P 2

(2,
1 2
z 4, z 2,
2 , 2 ).
21
P2 的坐标为 ( 2 , 2 , 4 ),
四、两向量的数量积
注. 减法 a b a ( b )
b
a
ab ab
b
b
c
a
b c a ( b ) a b

高数空间解析几何学平面与空间直线的方程讲解

z z(t)
空间曲线在坐标面上的投影．
H ( x, y) 0 R( y, z) 0 T ( x, z) 0
z 0

x

0

y

0
35
练习题
一、填空题：
1、与Z 轴和点 A(1 , 3 ,1) 等距离的点的轨迹方程是
_____________；
2、以点O(2 ,2 , 1)为球心，且通过坐标原点的球面
M 构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．
解
z
取时间t为参数，动点从A点出
发，经过t时间，运动到M点
M 在xoy面的投影M ( x, y,0)
t
o
M

x A M y
x acost y a sint
z vt
螺旋线的参数方程
22
螺旋线的参数方程还可以写为
x a cos
特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
6
2、柱面
定义平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫
柱面的母线.
观察柱面的形
成过程:
播放
7
柱面举例
z
z
y2 2x
o
y
o
x
x
抛物柱面
平面
y
y x
8
从柱面方程看柱面的特征：

y

a
sin
z b
( t,
b v)

23
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线的一般方程：GF((xx,,

高数A(2)习题课空间解析几何20页文档

41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育；而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
高数A(2)习题课空间解析几何
1、合法而稳定的权力在使用得当时很少遇到美德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感；权力不易确定之处始终存在着危险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金子可以拉着它的鼻子走。— —莎士比
45、自己的饭量自己知道。——苏联

空间解析几何习题课选讲(练习题参考答案)

练习题选参考答案1．两非零向量→a 、→b 垂直，则有0=⋅→→b a 或0Pr =→→a j b；平行则有0=⨯→→b a 或→→=ba λ或两向量对应坐标成比例。

2．若→→→→++=k j i a 863，2=→b ，则与→a ，x 轴均垂直的向量⎭⎬⎫⎩⎨⎧±=→56580 ，，b 。

3．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+4)2(4)2(2222y x z x 在yoz 面上的投影曲线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=+-±=+±044422x y z ，投影柱面方程为：44422+-±=+±y z 。

4．xoz 面上的曲线19422=-z x 分别绕x 轴和z 轴旋转所成旋转曲面方程为：1994222=--z y x ，1944222=-+z y x 。

5．已知{}4,0,3-=→a ，{}14,2,5--=→b ，则两向量所成夹角的角平分线上的单位向量为0000a bc a b →→→→→+⎧==-⎨⎩+。

6．以点A )0,0,2(，B )0,3,0(，C )6,0,0(，D )8,3,2(为顶点的四面体的体积V=14830602032)61=--=⋅⨯→→→AD AC AB （。

二计算1．求点P )2,6,3(-关于直线L:⎩⎨⎧=+--=-+042201z y x z y 的对称点坐标。

解：直线L 的方向向量k j i kj i n n s 2212211021-+=--=⨯=→→→，取直线上的定点），，011(-，将其化为参数式：⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+-=t z t y t x 2211 过点P 与直线L 垂直的平面为：0)2(2)6(2)3(=+--+-z y x ，01922=--+z y x ，将直线的参数式代入垂面方程有2=t ，从而点P 在直线L 上的投影坐标（直线与垂面的交点）为），，451(-，设点P 关于直线L 的对称点坐标为)z y x ，，（，则有：422526123-=+-=+=+zy x ，，，解之:641-==-=z y x ，， 2．设直线L 过点M )1,3,2(-且其与y 轴相交，与直线01121:1zy x L =-=+垂直，求该直线方程。

高考数学中的空间几何问题详解

高考数学中的空间几何问题详解一、立体的基本概念在数学中，空间几何是研究三维空间中的图形和其性质的学科。

在高考数学中，空间几何问题是考察学生对于立体空间图形的理解和运用能力，下面我们将详解一些常见的空间几何问题。

1. 点、线、面与体在空间几何中，点、线、面与体是最基本的概念。

点是空间中没有长度、宽度和高度的对象，用一个大写字母表示，如A、B、C等。

线是由无数个点连在一起形成的对象，用一个小写字母表示，如a、b、c 等。

面是由无数个点和连在一起的线形成的平面对象，用大写字母加一个字母下标表示，如平面α、平面β等。

体是由无数个点、线和面连在一起形成的立体对象，用大写字母加一个脚标表示，如立体A1、立体B2等。

2. 空间中的相对位置关系在解决空间几何问题时，了解和掌握空间中的相对位置关系是非常重要的。

常见的相对位置关系有平行、垂直和相交。

平行：当两个线、线段或平面在同一平面内，且它们之间没有交点时，我们称它们为平行关系。

垂直：当两个线、线段或平面相交时，如果相交处的角为直角（即90°），我们称它们之间存在垂直关系。

相交：当两个线、线段或平面在同一平面内，且它们之间有交点时，我们称它们为相交关系。

3. 空间几何中的重要公式解决空间几何问题时，运用一些重要的公式可以帮助我们更快地找到答案。

下面列举一些常见的空间几何公式：(1) 球的体积公式：V = 4/3 × π × r³，其中V表示球的体积，r表示球的半径。

(2) 正方体的面积公式：A = 6 × a²，其中A表示正方体的表面积，a表示正方体的边长。

(3) 圆柱体的体积公式：V = π × r² × h，其中V表示圆柱体的体积，r表示圆柱体的底面半径，h表示圆柱体的高度。

二、空间几何问题的解题思路解空间几何问题的关键在于理解题目，并找出合适的数学方法进行求解。

下面我们从几何题型常见的角度出发，介绍解题的思路。

高等数学第一节、向量及其线性运算

o
a
A
记作(a, b) 或 (b, a),即(a, b) .
如果向量 a 与 b 中有一个是零向量 ,规定它们的
夹角可以在 0 与 π 之间任意取值 .
8、向量平行
如果(a, b) 0或，就称向量a 与b 平行，记作a// b .
a
c
b
零向量与任何向量都平行.
9、向量垂直
如果
( a,
b)
，就称向量a
因为向量 a 与 a 平行,所以常用向量与数的乘
积来说明两个向量的平行关系.
定理 1 设向量 a 0,那么向量b 平行于 a 的充分
必要条件是: 存在唯一的实数,使得 b a .
6、数轴与向量
数轴可由一个点、一个方向及单位长度确定，故
给定一个点及一个单位向量即可确定一条数轴.
6、零向量：模等于零的向量叫做零向量,记作 0 或 0 .
零向量的起点与终点重合，它的方向可以看做是任意的.
7、向量的夹角设有两个非零向量 a, b, 任取空间一点 O,
作 OA a, OB b,
规定不超过 π 的 AOB
B
b
(设 AOB, 0 π)
称为向量a 与 b的夹角,
A
D
二、向量的线性运算
1. 向量的加法
三角形法则
ab
C
A
a
b
B
或平行四边形法则
b
A
D
ab
a
B
C
b (ab)c
a (b c)
c bc
运算规律 :
ab b
交换律结合律
a b b a (a b) c
a
(b
c)

高等数学专题讲座--空间解析几何与向量代数(张晓强)

常见错解分析
向量是学习这一章的基础，同学们经常因为不理解概念、解题方法不当、思维定势等原因而错解题目。下面就解题中出现的问题进行分类解析，希望大家避免此类错误。
常见错误原因
6666
概念不清主观臆断考虑不周
22 高等数学专题讲座：空间解析几何与向量代数主讲：张晓强
September 14, 2019
z 1
3 0
0,
且与平面：x 2 y z 0垂直的平面方程。
正解：设所求平面方程为1：

x

y

z

1
+
6666
x
2
y

z

3
=0
由1 ，有：
1+ 21 2 1 0
解得： =0
所以所求平面为：x y z 1 0
bx by bz
两向量的夹角：
cos a b
axbx ayby azbz
ab
ax2

a
2 y

az2
bx2 by2 bz2
5 高等数学专题讲座：空间解析几何与向量代数主讲：张晓强
September 14, 2019
学习重点难点
向量
向量关系 :
a ∥b bx by bz a b =0
常见错解分析
概念不清
例2 将xoz坐标面上的抛物线 z2 5x绕 z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面方程。
错解：
z2 5
x2
+y
。 2 6666
正解：
z2 5 x2+y2

第三章高等数学基础知识-空间解析几何题库1-1-8

第三章高等数学基础知识-空间解析几何题
库1-1-8
问题：
[单选]方程表示（）。

A.锥面
B.单叶双曲面
C.双叶双曲面
D.椭圆抛物线
问题：
[单选]曲面x2-y2=z在xOz平面上的截痕是（）。

A.A
B.B
C.C
D.D
xOz平面y=0。

问题：
[单选]方程表示（）。

A.椭球面
B.平面上椭圆
C.椭圆柱面
D.椭圆柱面在平面上的投影曲线
题干中的方程表示平面y=1上的椭圆. (安徽11选5 https://)
问题：
[单选]设空间直线的对称式方程为，则该直线必（）。

A.过原点且垂直于x轴
B.过原点且垂直于y轴
C.过原点且垂直于z轴
D.过原点且平行于x轴
问题：
[单选]在空间直角坐标系中表示（）。

A.一个点
B.两条直线
C.两个平面的交线，即直线
D.两个点
问题：
[问答题]设，且a≠b，记｜a-b｜=m，求a-b与x轴正方向的夹角的余弦值。

问题：
[问答题]已知空间三点A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5）。

（1）求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；
（2）若向量a分别与向量垂直，且，求向量a的坐标。

习题解答

高等数学课件与自学复习讲义第七章空间解析几何向量代数§1 空间直角坐标系一、空间直角坐标系问在yz 平面上的点有什么特点？答：x 坐标为0 二、两点间的距离公式1. 求P 1(1, -1, 0), P 2(-1, 2, 3)之间的距离解：22)03())1(2()11(P P 22221=-+--+--=2. 在xy 上找一点，使它的x 坐标为1，且与点(1, -2, 2)和点(2, -1, -4)等距解：由题意设此点的坐标为（1, y, 0）得方程z ,5y 18y 2y 8y 4y )z 4()y 1()12()z 2()y 2()11(22222222==++=++--+--+-=-+--+-所以此点坐标为（1， 5， 0）§2 曲面曲线的方程一、坐标面的方程，与坐标面平行的平面方程 1. 下面方程各代表什么曲面？（1）x=b: 过点（b, 0, 0）且平行于yz 平面的方程（2）y=0: xz 平面（3）y=c: 过点（0, c, 0）且平行于xz 平面的方程二、球心在点P 0(x 0, y 0, z 0)，半径为R 的圆 1. 方程x 2+y 2+z 2-2x+2y-z+3=0是否表示球面？解：方程配方得43)21z ()1y ()1x (222-=-+++-无实数解，因而不表示球面。

2. 若方程x 2+y 2+z 2-4x+y=0是球面，求球心与半径解：方程配方得2222)217(417z )21y ()2x (==+++-，所以方程球心为（2, 21, 0）, 半径为2173. 求出下列方程所表示的球面的球心坐标与半径，x 2+y 2+z 2+4x-2y+z+45=0解：配方得222224)21z ()1y ()2x (==++-++，所以方程球心为（-2, 1, -21），半径为2三、柱面方程 1. 做方程y=x 2的图形解：此题为抛物柱面，缺z2. 方程14z y 22=+表示什么曲面？（测验题）解：平行于x 轴椭圆柱面3. 下列方程表示什么曲面，并作图. x 2+y 2=2x 解：配方得 (x-1)2+y 2=1即圆心在（1, 0, 0）点上的圆柱面4. y 2=1解：y=±1,相互平行的平面5. x 2+y 2+z 2=0 解：原点O 四、空间曲线的方程1. 问⎩⎨⎧==+az R y x 222表示什么曲线？解：x 2+y 2=R 2表示圆柱面，它的母线平行于z 轴，而z=a 表示平行于xy 坐标面的平面，因而它们的交线是圆。

8-8 空间解析几何习题课ppt课件

(二) 平面与直线
1．求平面方程 2．求直线方程 3．点及直线和平面的关系 4．综合题
x yz10 例10 求点 (3,1,2)到直线 2x y z 4 0 的距离.
例11 设 l1 :
x1 1
y 2
z1, 1
l2
:
x2 2
y1 0
z 1
(1) 求 l1 和 l2 的公垂线方程;
(2) 求 l1 和 l2 的距离.
二、题型练习
(一) 平面与直线 (二) 曲面与曲线
(二) 平面与直线
1．求平面方程 2．求直线方程 3．点及直线和平面的关系 4．综合题
(二) 平面与直线
1．求平面方程 2．求直线方程 3．点及直线和平面的关系 4．综合题
例1 求满足下列条件的平面方程
(1) 过原点及点(6,3,2), 且与平面4x y 2z 8垂直;
(二) 平面与直线
1．求平面方程 2．求直线方程 3．点及直线和平面的关系 4．综合题
(二) 平面与直线
1．求平面方程 2．求直线方程 3．点及直线和平面的关系 4．综合题
例7 求下列点的坐标 (1) 点 (1,2,0)在平面 x 2 y z 1 0上的投影点;
(2) 点(2,3,1)在直线 x 7 y 2 z 2 上的投影点; 1 23
(2) 过点(1,2,1)及直线L: x 1 y z 2 与平面 1 0 2
2 y z 4 0的交点.
x yz10
例5 求过点(3,1,2)且与直线
垂直相交的
2x y z4 0
直线方程.
例6 求过点(1,2,3)且平行于平面6x 2 y 3z 1 0
又与直线 x 1 y 1 z 3 相交的直线方程. 3 2 5

天津大学-高数-第七章-空间解析几何-课件(ppt文档)

平面 : Ax B y C z D 0, n (A, B ,C )
直线 L : x x y y z z , s (m, n, p) mn p
例：已知 (a b) c 2，求 [(a b) (b c)] (c a)
解：
[(a b ) (b c)] (c a)
(a b a c b b b c) (c a) (a b a c b c) (c a) (a b) c (b c) a
数乘: a (ax ,ay ,az )
点积: a b axbx ayby azbz
叉积:
i jk
ab ax ay az
bx by bz
混合积:
ax ay az
( a b ) c bx by bz
cx cy cz
2. 向量关系:
a 与 b 垂直 a b=0 axbx ayby azbz 0
解：
| a || b || c | | b || c || a |
| a || b || c | 1
| c || b || a |
| a | | b | | c | 3
二. 平面的方程
1. 平面方程的求法
•点法式方程: 已知平面上的一点和法矢量
A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0.

y y1 n1

z z1 , p1
直线
L2：x
x2 m2

y y2 n2

z z2 , p2
L1 L2
s1 s2 0
L1 // L2