高中解析几何教学策略——数学史的视角

第16卷第2期 数 学 教 育 学 报Vol.16, No.22007年5月JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATIONMay, 2007收稿日期：2007–04–02作者简介：李铁安（1966—），男，满族，辽宁锦州人，博士生，主要从事数学课程与教学论、数学史研究．高中解析几何教学策略——数学史的视角李铁安1，宋乃庆2（西南大学 数学与统计学院，重庆 400715）摘要：充分发挥数学史对数学教育的作用和功效，应全面深入挖掘数学史中对数学课程具有启发意义和教育价值的科学与文化要素，并应用于具体的数学教学．笛卡尔解析几何思想是一个整体文化系统．以笛卡尔数学思想的文化内涵为素材，制订高中解析几何教学策略，可以有效地促进高中解析几何教学，从而更好地实现课程目标．基于笛卡尔数学思想，可制订如下具体的教学策略：（1）整体文化驱动；（2）核心概念统领；（3）思想结构分拆整合；（4）双向模式转化．关键词：数学史；笛卡尔；解析几何；教学中图分类号：G632.0 文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2007）02–0090–051 导 言立足于数学史的视角审思数学，对认识、理解数学教育具有启发意义．数学史有机地融入到数学教育中也是数学新课程的基本理念之一．要充分发挥数学史对数学教育的作用和功效，应全面深入挖掘数学史中对数学课程具有启发意义和教育价值的科学与文化要素，并应用于具体的数学教学．本文通过分析挖掘笛卡尔解析几何思想的科学与文化内涵，并基于笛卡尔数学思想，提出高中解析几何教学的若干策略．2 高中解析几何课程与教学现状概述高中解析几何课程是一门以解析几何学的基本内容和思想为背景材料，用代数方法研究平面几何问题的学科．课程内容主要包括空间坐标系、直线与圆的方程、圆锥曲线、参数方程与极坐标等．这些内容是初中平面几何学习的继续、内容的扩充、方法的提升，是初等代数演绎的载体、应用的平台，是学生升入大学继续学习空间解析几何、线性代数和微积分的基础．高中解析几何课程在整个初等数学中占据非常重要的地位．高中解析几何既是一种重要的数学思想，也是一种重要的数学方法，其核心是数形结合的思想方法，这一思想方法在初等数学的其它领域也有广泛的应用．同时，在解决解析几何问题过程中，还要用初等数学中许多其它的思想方法，如映射、化归、方程、函数、分类、变换、参数等思想方法，高中解析几何可谓数学思想的“战场”．所以，高中解析几何课程具有培养学生数学综合能力的功效．而且，解析几何学是17世纪数学发展的重大成果之一，对数学的发展产生了重要影响，它的创立在数学发展史上具有划时代意义．也蕴涵着笛卡尔独树一帜的数学精神、思想和方法，个性品质以及发明创造的思维线索和心理历程．因此，高中解析几何课程更具有丰富的文化价值和教育价值，是提高学生科学素养和整体文化认知水平的一个典型范例．然而，目前高中解析几何课程在实施过程中没有全面、完整、准确、有效地实现课程目标．调查结果表明，高中解析几何教学还存在诸多问题．主要表现在如下几个方面： （1）教师对解析几何课程的本质及其教学宗旨存在一定的偏颇或欠缺；（2）课程目标和教学内容偏窄； （3）课程目标与教学实际背离；（4）教学方式单一，课堂缺乏探究与交流； （5）学生对解析几何课程的理解肤浅，学习兴趣初浓 渐淡；（6）高考评价导向存在一定的偏颇或欠缺．具体地，绝大多数教师往往认为解析几何的学科性质是偏重于代数的，学生学习解析几何的宗旨就是要学会代数计算和代数方法；课程目标就是让学生学会列方程，熟练解方程，即使注重数形结合这一核心思想，也侧重于几何问题代数化这单一的方面；教学上偏重于列方程和解方程，以训练算法为主，靠做大量习题提高代数技巧，忽视对代数结果的几何含义分析，忽视几何方法的简洁性和有效性，甚至有去几何化的倾向，很少介绍解析几何产生的背景，笛卡尔创立解析几何的思想方法，它在数学史中的独特地位，以及这一学科的巨大威力．对解析几何这种简单的处理，使许多学生在解析几何课程学习中没有感受到它的科学价值、文化价值和教育价值；学生学习方法单调，思维方式单一，沉湎于机械训练，直觉思维和创造力受阻，学习兴趣初浓渐淡，终因难而厌．不容忽视的是，高考数学试题中解析几何的内容也多以列方程、解方程的题材为主，学生在高考中，涉及解析几何内容的题目的得分从总体上看并不低，这也在客观上影第2期李铁安等：高中解析几何教学策略——数学史的视角91响了目前高中解析几何教学的导向．改变目前高中解析几何课程与教学的现实境况，探索如何在数学新课程理念下科学、有效地实施解析几何课程，就显得十分必要而迫切．一种可行的策略是充分借助数学史的力量．通过分析挖掘笛卡尔创立解析几何过程中体现的数学思想，并基于笛卡尔数学思想制订教学若干策略，可以有效地促进高中解析几何教学，从而更好地实现课程目标．3笛卡尔解析几何思想的内涵——数学文化学的视角数学文化学是指从文化这样一个特殊的视角认识、理解、分析数学．由于影响数学发展的文化因素是多方面的，数学也具有广泛的文化特征与文化价值，所以，数学文化学就从更为广泛的角度指明了影响数学历史发展的各个因素，而且也直接涉及了对于数学本质及其价值的认识[1]．数学文化学是数学史研究的一个重要范式．通过数学文化学分析数学，既可以厘清影响数学发展的各个因素，也可以充分解析出数学的文化价值．以数学文化学为分析框架分析笛卡尔创立的解析几何，本文认为，笛卡尔解析几何思想是一个整体文化系统．具体从以下6个方面体现：（1）历史渊源：文化全面复兴；生产高度发展；科学和数学本身提出了大量问题；数学观和数学方法论发生了重大变化．（2）数学结构：笛卡尔解析几何思想的数学结构由核心概念，基本方法，数学原理3个层次构成．核心概念是曲线与方程，基本方法是几何问题代数化和代数问题几何化，数学原理是映射原理（或化归原则）．笛卡尔解析几何思想的数学结构是其整体文化系统的核心．（3）科学价值：将变量和坐标观念引入了数学，开创了近现代数学的先河；提出了一切问题都可以归结为解方程问题的“通用数学”方案，开创了机械化的数学计算方法；提出了将数学作为一种方法科学的直观—演绎法的方法论，使科学方法论实现了革命性的突破．（4）哲学表现：反映了客观世界的3方面特征——运动变化性，普遍联系性，永恒统一性；呈3个方法层次——具体化的数学方法，一般化的科学方法，普适化的哲学方法．（5）认识模式：问题解决的思维线索依直觉思维→抽象思维→演绎思维→归纳思维而进行；创造的心理历程按照观念选择→审美直觉→有用提取→有效组合的心理逻辑展开．（6）个性品质：理性化的哲学素养和统一化的数学信念；怀疑、批判的创新精神和合理继承前人成果的包容精神；对数学简约美、和谐美和统一美的审美追求．作为一个整体文化系统的笛卡尔解析几何思想，其中的每一个子系统之间是互相关联的（见图1）．图1笛卡尔数学思想的内涵4高中解析几何教学策略——基于笛卡尔数学思想的视角4.1策略一——整体文化驱动文化驱动的概念可以界定为：以文化所固有的力量推动人的发展．这里的整体“文化驱动”策略就是指在高中解析几何课程教学的启动环节，以笛卡尔数学思想的文化内涵为素材驱动教学．4.1.1 文化驱动数学教学的意义与功能（1）文化驱动教学可以内化学生精神空间的开豁度．教育的主题是唤醒人的超越性，超越需要开阔的精神空间．崇高的信念、理性的素质、高尚的情感是课程内容中的文化精髓，对于学生，这些因素的相互渗透、化通，可以拓展精神空间的高度，支撑精神空间的结构，涵育精神空间的厚度，并最终整合成一个有力的精神性存在．精神空间的开豁度是科学创造的重要因素，牛顿、爱因斯坦，包括本文所涉及的笛卡尔等科学史上诸多具有非凡创造力的科学家，他们之所以能够创造出划时代的科学成就，其中一个很重要的因素就是具有比常人更崇高的信念，更深邃的洞察力和更辽远的视野．所以，文化驱动教学可以内化学生精神空间的开豁度，更好地实现精神超越．从而，提升人的创新素养和创造能力．（2）文化驱动教学可以促进学生整体认知结构的形成与发展．现代认知心理学认为，兴趣、性格、动机、情感、意志等基本心理因素相互作用，构成个体学习过程的心理环境和认知驱力，它是影响意识指向的直接环境和内在动力．那么，如何让这种内在动力启动起来呢？就是充分利用课程本身的诱因（incentive）价值．所谓诱因，即一切能引起机体产生动机性行为的外部刺激[2]．课程本身的诱因价值可以驱动学生的学习[3]．利用课程中广泛的文化要素，可以为学生提供一个庞大的信息资源，直接刺激学生学习过程的心理环境，对学生学习兴趣、动机，品质等非智力因素和学生的感知、注意、思维、想象等智力因素的形成与发展都会产生积极影响．因此，文化驱动教学可以促进学生整体认知结构的92数学教育学报第16卷形成与发展．（3）文化驱动数学教学可以全面提升学生的数学素养．文化是数学的基本特征．高度抽象性、逻辑严谨性、应用广泛性、不断累积性、永恒竞智性、审美驱动性、和谐统一性及它们之间的交互作用构成了庞大的数学文化系统．以文化驱动数学教学可以全面提升学生的数学素养．思维的抽象性可以牢固信念并挑战智力；推理的严谨性可以培养良好的思维习惯和品质；知识的系统性以及问题的复杂性，可以涵育坚强的意志和学习态度；数学累积性可以激发创新意识、开阔历史视野；审美驱动性与和谐统一性可以完善数学观和对数学美的情感体验．4.1.2 文化驱动解析几何教学的意义与功能数学教学是数学思想的教学．但数学创造中，数学家的信念品质、价值判断、审美追求等文化因素的暗流总是涌动在知识和真理成分的背后．数学思想教学的哲学意义在于，让学生透过数学知识和真理的“冰冷的美丽”背后，了解是什么样的一种深层文化预先存在于数学家的预设中，使他能够形成这样的思想和创造，并进入学生自己的心灵．笛卡尔数学思想具有广泛而深刻的文化内涵，是一个整体文化系统．所以，高中解析几何课程教学应尤其突出解析几何思想的教学．以笛卡尔数学思想的文化内涵为素材，在课程教学的启动环节驱动解析几何教学，可以让学生对解析几何产生的文化和历史背景、基本思想和学科特点以及笛卡尔创立解析几何时的数学信念、数学思维、心理模式、个性品质等有一个整体性认识，为学生营造一个渴望认知、理解和掌握知识的、深富吸引力的学习情境，从而激发学生学习的原动力，使学生形成立体的认知结构，也为解析几何基本思想的全面展开奠定基础．奥苏伯尔（Ausubel）曾提出先行组织者（advance organize）概念，即：组织者是先于学习材料呈现之前而呈现的一个引导性材料．它在概括与包容的水平上高于要学习的材料，但以学习者通俗易懂的语言呈现，故它是新旧知识发生联系的桥梁．文化驱动解析几何教学正可以作为课程教学的先行组织者．4.1.3 整体文化驱动策略实施具体方案设置一个导言课，安排在解析几何课程开始之初．教学主题：追寻笛卡尔数学思想的踪迹——解析几何课程内容及学科思想介绍教学内容：（1）笛卡尔生平简介（2）历史背景简介（3）笛卡尔创立解析几何构思过程（4）解析几何的创新与意义（5）笛卡尔信念、精神与品质（6）解析几何中的哲学思想教学方式：讲座，师生交流，学生课后作文课时安排：以2学时为宜4.2策略二——核心概念统领所谓核心概念统领策略，就是以曲线与方程概念为核心，总体统领解析几何知识结构，开展教学．4.2.1 核心概念统领的意义与功能曲线与方程概念是数形结合思想方法的内核，也是直线方程、圆方程、椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程的上位概念，解析几何知识结构直接依曲线与方程概念而展开．因此，曲线与方程概念在解析几何知识结构中居统领地位．核心概念统领解析几何教学，可以让学生更好地了解和理解解析几何中基本概念（曲线与方程概念）、基本原理（映射原理）、基本思想方法（数形结合思想方法）和研究对象（直线和各种二次曲线）之间的逻辑关联，加深对解析几何课程的深入理解和整体把握，使学生获得普遍的认知迁移，使学科基本观念在记忆中得到巩固，为学生深刻理解解析几何的基本思想搭建平台．4.2.2 核心概念统领策略的原理归结布鲁纳（Bruner）认为，学科的基本概念、基本原理及其相互之间的关联性，知识的整体性和事务的普遍联系是学科的基本结构．不论教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构．这种基本结构是学生必须掌握的科学因素，应该成为教学过程的核心，因为学生如果掌握了学科知识的基本结构，他就可以独立地面对并深入新的知识领域，从而不断地、独立地认识新问题，增多新知识．为此，它强调：学习和掌握每门学科中那些广泛起作用的概念、定义、原理和法则体系是最好的办法．学生学到的观念越是基本，几乎归结为定义，则它对新问题的适用性越宽广．同样的观点也在奥苏伯尔的意义学习理论中体现．奥苏伯尔认为，学生的学习，如果要有价值的话，应该尽可能地有意义，即意义学习．意义学习的先决条件之一就是要尽可能先传授学科中具有包摄性、概括性和最有说服力的概念和原理，以便学生能对学习内容加以组织和综合．曲线与方程概念是对解析几何内容广泛起作用的最基本概念，也是解析几何知识结构中具有包摄性、概括性和最有说服力的概念．显见，以曲线与方程概念为核心的核心概念统领策略，正符合布鲁纳关于学科基本结构的教育原理，也符合奥苏伯尔关于意义学习的原理．4.2.3 核心概念统领策略的具体实施设置一个奠基课，安排在解析几何正课的第一节．教学主题：解析几何核心概念的形成与课程知识结构教学内容：（1）曲线与方程概念形成过程——几何量算术化—构造代数方程—求解轨迹方程—形成核心概念（2）曲线与方程定义——存在性与完备性第2期李铁安等：高中解析几何教学策略——数学史的视角93（3）数形结合基本思想——几何问题代数化—代数问题几何化—代数化与几何化统一（4）解析几何基本原理——映射（化归）（5）解析几何知识结构——概念、思想、原理、研究对象（曲线类型）及其关系教学方式：讲授，师生交流、探索课时安排：以2学时为宜4.3策略三——思想结构分拆所谓思想结构分拆策略，就是在解析几何教学中，将数形结合思想的两个方面——几何问题代数化和代数问题几何化做独立要素分析．4.3.1 思想结构分拆的意义与功能数形结合思想的教学是高中解析几何教学的核心．但数形结合思想在解析几何课程内容中的体现往往并不是显性的，并且，由于几何问题代数化和代数问题几何化本身是融为一体的，这直接导致学生对数形结合思想的理解处于一种模糊状态，不能形成牢固的几何问题代数化和代数问题几何化观念．在解析几何教学中，实施思想结构分拆教学策略，有助于学生形成完整、清晰、稳定、持久、良序的认知结构和认知层次，使学生全面掌握和灵活应用解析几何基本思想．分拆是手段，通过分拆，扩散信息，展示思想结构的逻辑意义，使学生对信息的检索更加容易进行，便于知识的提取，能够清晰识别和领会思想方法；分拆的目的在于整合，整合是目标，在几何问题代数化和代数问题几何化之间建立高强度的联系，使学生牢固观念．所以，思想结构分拆教学策略，重在分拆，旨在整合．4.3.2 思想结构分拆策略的认知原理现代数学学习理论认为：数学学习是一个数学认知过程．因此，要对数学形成过程中的内部认知加以分析．数学思想的学习要经历从感性到理性，从领会到形成，从巩固到应用的发展过程．数形结合思想学习的心理建构过程需要经历以下4个阶段：（1）辨认（identifica-tion）：先通过曲线与方程的概念学习，确认数形结合思想内在统一的两个方面——几何问题代数化和代数问题几何化；（2）分化（differential）：几何问题代数化和代数问题几何化对心理产生不同的刺激反应；（3）交互（reciprocal）：几何问题代数化和代数问题几何化以彼此对立的方式在心理上运行；（4）内化（intenalization）：此时的数形结合思想，以一种综合的心理图式转化为内部观念．与之相对应，数形结合思想的教学策略应该是首先学习曲线与方程的概念，让学生确认数形结合思想内在统一的两个方面——几何问题代数化和代数问题几何化，显然，这可以在前面核心概念统领策略这一环节中实现；然后，对数形结合思想进行分拆，将其分解为几何问题代数化和代数问题几何化这两种彼此独立的方法；再对这两种方法做独立要素分析，最后，整合为一种统一的思想．事实上，思想结构的分拆，是一种解析的方法．这恰可以从笛卡尔本人的哲学方法论中找到皈依．笛卡尔曾给出了获得正确知识的方法：为了把一个问题简化成便于理性处理的要素，应该把它分解开来，尽量由简入繁．这意味着，解析的方法是最有效的．4.3.3 思想结构分拆策略的具体实施此策略主要是强调几何问题代数化后，要对代数结果做几何意义的分析．通常在建立直线、圆、圆锥曲线等曲线方程和解决具体问题中实施．如对于椭圆概念教学，在推导椭圆标准方程的过程中，通过几何问题代数化，可得到椭圆的第一定义；通过中间代数结果变形，新的代数结果几何化，同时可得到椭圆的第二定义．这样，两种方法的功能可以清晰地体现出来，也可使学生理解两个定义之间的内在统一．4.4 策略四——双向模式转化所谓双向模式转化策略，就是将解析几何中的代数模式与几何模式进行互相转化，它是思想结构分拆的具体操作．4.4.1 双向模式转化策略的意义与功能目前高中解析几何教学更多地侧重于几何问题代数化这单一的方面，忽视或忽略对代数结果的几何含义的分析，因而代数问题几何化方法没有得到充分体现，这也直接导致学生对数形结合思想理解的缺失．笛卡尔通过建立坐标系，使图形的几何关系在其方程的性质中表现出来，将几何问题转化为代数问题来解决，这的确是解析几何的基本方法．但在合适的坐标系下，某些代数问题也同样可以转化为几何问题来处理．事实上，在笛卡尔创立解析几何的过程中，他本人已经敏锐地看到了这一点，利用圆与抛物线的交点求三次和四次代数方程就是代数问题几何化的一个经典实例[4]．解析几何在处理代数问题和几何问题上是一个“双刃工具”[5]．通过代数模式转化为几何结构，可以强化代数直观；借助坐标系并利用几何性质对几何结构做代数解析，可以强化几何直观．因此，在高中解析几何教学中，应强化双向模式的转化，尤其应加强代数问题几何化的教学．这不仅是让学生完整地学习解析几何思想方法的课程目标的需要，也可以培养学生逆向思维、直觉思维和抽象思维等能力，提升学生的模型意识和数学地分析解决问题的能力．4.4.2 双向模式转化的方法论原则解析几何中的数学模式从宏观上看包括代数模式和几何模式，并直接体现在数形结合思想上．几何模式转化为代数模式就是几何问题代数化；代数模式转化为几何模式就是代数问题几何化．具体地，直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线都是具有几何性质的几何模型，而直线方程、圆方程、椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程都是具有代数特征的代数94数学教育学报第16卷模型，认识每一种曲线方程，解决其中的问题的过程就是模式双向转化的过程．所以，模式双向转化是解析几何的主要特征．其方法论原则是：首先，观察代数问题（几何问题）的外部结构是否具有几何特征（代数特征）；然后，根据代数问题（几何问题）的几何特征（代数特征）探索代数模式与几何模式之间的内在联系；最后，根据其内在联系构造解决问题的几何模式或代数模式．这里，最重要的是对代数模式和几何模式的辨认和识别，模式识别是知识迁移的前提[6]．4.4.3 双向模式转化策略的具体实施此策略主要用于解决两类问题：一是对一些代数问题，利用纯粹代数方法很难解决，而其代数结构具有几何特征，则可充分借助几何性质解决；二是对一些几何问题，通过建立坐标系，使图形的几何关系在其代数方程的性质中表现出来，则可将几何问题转化为代数问题来解决．对于这两类问题，前者在目前解析几何教学中普遍重视不够，或者只是零星处理，建议应该作为一个专题系统教学；而对于后者，教学中很少出现这样的例题和习题，建议应该加以充实．以上，基于笛卡尔数学思想提出的高中解析几何教学策略，在应用于具体的教学实践中取得了一定的功效，但这仅仅是初步的探讨，还有待进一步深化研究．5结语历史是最好的启发式！数学史对数学教育的意义已耳熟能详，无庸赘言．为此，证明数学史对数学教育的确具有启发意义，这似乎对数学教育实践、对数学史融入数学教育的研究都并无太多启发意义，也不是本文的宗旨．基于数学教育的数学史应把史学形态转化为教育形态，基于数学史的数学教育应到数学史中寻找新生长点．如何挖掘数学史的教育要素，使数学史的价值在数学教育中得以真正体现，是数学史融入数学教育的终极追求．本文也正是基于这样的理念，选择了一个具体的课程内容，做了一点尝试．［参考文献］[1] 郑毓信．数学文化学[M]．成都：四川教育出版社，2004．[2] 黄希庭．简明心理学辞典[M]．合肥：安徽人民出版社，2004．[3] 施良方．学习论[M]．北京：人民教育出版社，2001．[4] 亚历山大洛夫．数学——它的内容、方法和意义[M]．孙小礼译．北京：科学出版社，2001．[5] 王敬庚．关于解析几何是一个双刃工具的思考[J]．数学通报，1993，（6）：5．[6] 喻平．数学教育心理学[M]．南宁：广西教育出版社，2004．High School Analytic Geometry Teaching Strategy——Mathematics Historyangle of ViewLI Tie-an, SONG Nai-qing(School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China)Abstract: The full display mathematics history logarithm study education function and the effect, should in the comprehensive thorough excavation mathematics history the logarithm study curriculum had theinspiration significance and the education value science and the cultural feature, and using to concrete mathematics teaching. Rene Descartes the analytic geometry thought was an overall cultural system. Take Rene Descartes mathematics thought cultural connotation as the source material, the making high school analytic geometry teaching strategy, might effectively promote the high school analytic geometry teaching, thus achieves the curriculum goal well. Based on Rene Descartes mathematics thought, might draw up the following concrete teaching strategy: (1) overall cultural actuation; (2) the core concept commands; (3) the thought structure minute opens the conformity; (4) bi-directional pattern transformation..Key words: mathematics history; rene descartes; analytic geometry; teaching[责任编校：周学智]。