惠州市2014届高三第二次调研考试试题(文科数学)

惠州市2014届高三第二次调研考试试题数 学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1. 已知集合{}0,1S =，集合{}0T =，∅表示空集，那么S T = （ ） A ．∅ B ．{0} C ．{0,1} D ．{0,1,0}2. 命题“存在实数x ，使210x x +-<”的否定为（ ）A ．对任意实数x ，都有210x x +-≥ B ．不存在实数x ，使210x x +-≥ C ．对任意实数x ，都有210x x +-< D ．存在实数x ，使210x x +-≥3. 双曲线221169x y -=的离心率为（ ） A ．53 B ．54 C ．35 D ． 454. 直线40y +=与圆22(2)(1)9x y -++=的位置关系是（ ）A ．相切B ．相交且直线不经过圆心C ．相离D ．相交且直线经过圆心5. 已知(a = ，(1,)b x =，若a b ⊥ ，则x 等于（ ）A ．2B ．3 D 6. 函数()()2log 31xf x =-的定义域为（ ）A ．[)1,+∞B ．()1,+∞C ．[)0,+∞D ． ()0,+∞7. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若125a a +=，349a a +=，则10S 为（ ） A ．55 B ．60 C ．65 D ．708. 已知函数sin()(0,||)2y x πωϕωϕ=+><的部分图像如图所示，则,ωϕ的值分别为（ ） A ．2,3π- B ．2,6π-C ．4,6π- D ．4,3π9．已知,m n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，给出下列4个命题：①若,//,//m n m n αα⊂则 ②若,//,m n m n αα⊥⊥则 ③若,,//m m αβαβ⊥⊥则 ④若//,//,//m n m n αα则 其中真命题的序号为（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 10. 设D 是正123PP P ∆及其内部的点构成的集合，点0P 是123PP P ∆的中心，若集合0{|,||||,1,2,3}i S P P D PP PP i =∈≤=.则集合S 表示的平面区域是（ ）A ．三角形区域B ．四边形区域C ．五边形区域D ．六边形区域二、填空题：（本大题共5小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分20分） （一）必做题：第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 11.复数2(1)i -的虚部为__________．12.如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果为_________.13.设变量,x y 满足约束条件01030y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值为_________.（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。

14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系下，圆2ρ=的圆心到直线sin 2cos 1ρθρθ+=的距离为 ．15.（几何证明选讲选做题）如图，圆O 是ABC ∆的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，且CD =3AB =，则BD 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数x x x f 2cos 2sin 3(-=）. （1）求函数)(x f 的最小正周期和最值； （2）求函数)(x f 的单调递减区间．17．（本小题满分12分）对某校高一年级学生参加社区服务次数统计，随机抽去了M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表如下： （1）求出表中,,,M r m n 的值；（2）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至少一人参加社区服务次数在区间[)25,30内的概率．18.（本小题满分14分）如图，在三棱锥V ABC -中，VC ⊥底面ABC , ,AC BC D ⊥为AB 的中点,AC BC VC a ===.（1）求证：AB ⊥平面VCD ；（2）求点C 到平面VAB 的距离。

19.（本小题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和是n S ，且)(121*N n a S n n ∈=+． （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设*31log (1)()nn b S n N +=-∈，求适合方程512511113221=+⋅⋅⋅+++n n b b b b b b 的正整数n 的值．20.（本小题满分14分）已知椭圆的一个顶点为()0,1A -，焦点在x 轴上，若右焦点到直线0x y -+=的距离为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线()0y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点M 、N ，当AM AN =时，求m 的取值范围.21．（本小题满分14分）已知函数()31(),3f x x bx c b c R =-+∈ （1）若函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，求,b c 的值； （2）若1b =，函数()f x 在区间()0,2内有唯一零点，求c 的取值范围； （3）若对任意的[]12,1,1x x ∈-，均有()()1243f x f x -≤，求b 的取值范围．惠州市2014届高三第二次调研考试试题答案数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2．【解析】特称命题的否定为：对任意实数x ，都有210x x +-≥，选A ；3．【解析】由221169x y -=可知2216,9a b ==，22216925c a b =+=+= 所以5,4c a ==，离心率54c e a ==，选B 4．【解析】圆心()2,1-到直线4y =-的距离为()413---= ，而圆的半径为3， 距离等于半径，所以直线与圆相切，选A ；5．【解析】由a b ⊥ 得110x +⋅=，解得x =， 选D ；6．【解析】要使解析式有意义，必须满足310x->，解得0x >，选D ；7．【解析】()()341295a a a a +-+=-，即44,1d d ==，得12a =，据等差数列前n 项和公式()112n n n S a n d -=+得()1010101210652S ⨯-=⨯+=，选C8．【解析】据五点法可得5122113122ππωϕππωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2ω=，3πϕ=-，选A ；9．【解析】若,//,m n αα⊂则m 与n 的位置关系不能确定，所以命题①错误，若,//,m n m n αα⊥⊥则，命题②正确，若两平面垂直于同一条直线，则这两平面平行，所以命题③正确，两直线同时平行于一个平面，这两条直线的位置关系不能确定，所以命题④正确，综上所述，选B ； 10．【解析】因为正三角形中心为正三角形的重心，重心为中线 的一个三等分点，如图所示，图中六边形A B C D E F P P P P P P 区域为集合S 所表示的平面区域，选D 。

二、填空题（本大题共5小题，第14、15小题任选一道作答，共20分）11．2- 12．111213．6 14 15．4 11．【解析】由()212i i -=-，可得虚部为2-； 12．【解析】第一次循环：1,42s n ==； 第二次循环：3,64s n ==；；第三次循环：1112s =，8n =；跳出循环，输出1112s =；13．【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，当目标函数对应的直线过点()3,0时；2z x y =+的值最大，即max 6z =；14．【解析】2ρ=化为普通方程为2222x y +=，可知圆心坐标为()0,0，sin 2cos 1ρθρθ+=化为普通方程为210x y +-=，5d ==；15．【解析】据切割线定理可得()23BD BD CD +=，即()(23BD BD +=，解得4BD =或7-，舍去7-，所以4BD =。

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16. （本小题满分12分）解：（1）()f x x x 2cos 2sin 3-=)62sin(2π-=x …………………………3分ππ==∴22T …………………………4分当2262πππ+=-k x 即)(3Z k k x ∈+=ππ时，()f x 取最大值2；…………5分当2262πππ-=-k x 即)(6Z k k x ∈-=ππ时，()f x 取最小值-2…………6分 （2）由≤-≤+6222πππx k )(232z k k ∈+ππ， ………………………8分 得)(653z k k x k ∈+≤≤+ππππ ………………………10分∴单调递减区间为)](65,3[z k k k ∈++ππππ. ………………………12分17．（本小题满分12分） 解：（1）因为90.45M=，所以20M = ……………2分 又因为95220m +++=，所以4m = ……………3分所以50.2520n ==，40.220r == ……………4分（2）设参加社区服务的次数在[)25,30内的学生为12,A A ，参加社区服务的次数在[)20,25内的学生为3456,,,A A A A ； ……………5分 任选2名学生的结果为：()12,,A A ()13,,A A ()14,,A A ()15,,A A ()16,,A A()23,,A A ()24,,A A ()25,,A A ()26,,A A ()34,,A A ()35,,A A ()36,,A A ()45,,A A ()46,,A A ()56,A A 共15种情况 ； ……………8分其中至少一人参加社区服务次数在区间[)25,30内的情况有()12,,A A ()13,,A A()14,,A A ()15,,A A ()16,,A A ()23,,A A ()24,,A A ()25,,A A ()26,A A ，共9种情况…10分每种情况都是等可能出现的，所以其中至少一人参加社区服务次数在区间[)25,30内的概率为93155p == . ……………12分 18.（本小题满分14分）证明：（1）因为VC ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， 所以VC AB ⊥ …………2分又因为在ABC ∆中，AC BC =，D 为AB 的中点， 所以CD AB ⊥ …………4分又VC ⊂平面VCD ，CD ⊂平面VCD ，且VC CD C = ， 所以AB ⊥平面VCD ………6分（2）法一：因为AB ⊥平面VCD 且AB ⊂平面VAB所以平面VCD ⊥平面VAB ， ……………8分 又因为平面VCD 平面VAB VD =，所以点C 到VD 的距离h 即为点C 到平面VAB 的距离， ……………10分 在直角三角形VCD 中，由VD h VC DC ⨯=⨯ ……………11分得3a aVC DCh a VD⨯⨯=== ……………13分所以点C 到平面VAB. ………………………14分法二：设点C 到平面VAB 的距离为h ， 据V V =V-ABC C-VAB ………8分即)2111323a a a h ⨯⋅⋅=，得h =………………………13分 所以点C 到平面VAB的距离为3a . ………………………14分 19．（本小题满分14分）（1） 当1n =时，11a s =，由11112s a +=，得123a = ……………………1分 当2n ≥时，∵ 112n n s a =-， 11112n n s a --=-， …………………2分 ∴()1112n n n n s s a a ---=-，即()112n n n a a a -=- ∴)2(311≥=-n a a n n …………………………………………5分 ∴{}n a 是以23为首项，13为公比的等比数列．…………………………………6分 故1211()2()333n n n a -=⋅=⋅ )(*∈N n …………………………………………7分 （2）111()23n n n s a -==，13131log (1)log ()13n n n b s n ++=-==--……………9分 11111(1)(2)12n n b b n n n n +==-++++ …………………………………………11分 1223111111111111()()()23341222n n b b b b b b n n n +++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-+++ ……13分解方程11252251n -=+，得100n = …………………………………………14分 20.（本小题满分14分）解: （1）依题意可设椭圆方程为2221x y a+=，………………………….2分则右焦点F的坐标为)， ………………………….3分3=，解得23a =，故所求椭圆的标准方程为2213x y +=. ………………………….5分（2）设(),P p P x y 、(),M M M x y 、(),N N N x y ，其中P 为弦MN 的中点，由2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222316310k x mkx m +++-=…………………….7分 因为直线与椭圆相交于不同的两点，所以()()()2226431310mk k m ∆=-+⨯->即2231m k <+ ①， ………………………….8分2631M N mk x x k +=-+，所以23231M N Px x mkx k +==-+， 从而231P P my kx m k =+=+ , ………………………….9分所以21313P APP y m k k x mk+++==-， ………………………….10分又AM AN =，所以AP MN ⊥，因而23113m k mk k++-=-，即2231m k =+ ②， ……………………….11分把②式代入①式得22m m <，解得02m <<， ………………………….12分 由②式得22103m k -=>，解得12m >， ………………………….13分 综上所述，求得m 的取值范围为122m <<. ………………………….14分21．（本小题满分14分） (1) ()'2fx x b =-，所以()'112f b =-=，得1b =-.………………2分又(1)213f =+=，所以133b c -+=，得53c =.………………3分（2） 因为1b =所以()313f x x x c =-+，'2()1f x x =- .………………4分当()0,1x ∈时，'()0f x <，当()1,2x ∈时，'()0f x >所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,2上单调递增 ………………5分又()()2023f c f c =<=+，可知()f x 在区间()0,2内有唯一零点等价于 ()10f =或()()0020f f ≤⎧⎪⎨>⎪⎩， .………………7分得23c =或203c -<≤. .………………8分 (3) 若对任意的[]12,1,1x x ∈-，均有()()1243f x f x -≤，等价于()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值之差43M ≤ ……………10分（ⅰ） 当0b ≤时，在[]1,1-上'()0f x ≥，()f x 在[]1,1-上单调递增，由()()2411233M f f b =--=-≤，得13b ≥-， 所以103b -≤≤ .………………9分（ⅱ）当0b >时，由'()0f x =得x =由()(f x f =得x =x =所以((f f =，同理(f f -= .………………10分1) 1>，即1b >时，()()2411233M f f b =--=->，与题设矛盾； .………………11分2) 1≤≤，即114b ≤≤时，(332442333M f f =-=-+=≤恒成立；……………12分3) 当1<，即104b <<时，()()2411233M f f b =--=-≤恒成立；.………………13分综上所述，b 的取值范围为1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. .………………14分。