初中数学九年级专题复习专题03 根的检测器

专题3 根的检测器阅读与思考一元二次方程的根的判别式是揭示根的性质与系数间联系的一个重要定理，是解直接或间接与一元二次方程相关问题的有力工具，其主要应用于以下几个方面：1、判断方程实根的情况；2．求方程中字母系数的值与字母间的关系、字母的取值范围；3．证明等式或不等式；4．利用一元二次方程必定有解的代数模型，证明几何存在性问题．许多表面与一元二次方程无关的数学问题，可以通过构造一元二次方程，把原问题转化为讨论方程的根的性质，然后用判别式来解，这是运用判别式解题的技巧策略．例题与求解【例1】 如果方程4322269320x x x px p ++-+=有且仅有一个实数根（相等的两个实数根算作一个），则p 的值为 ．【例2】 已知三个关于x 的方程：20x x m -+=，2(1)210m x x -++=和2(2)210m x x -+-=，若其中至少有两个方程有实根，则实数m 的取值范围是（ ）．A ．2m ≤B ．1124m m ≤≤≤或 C ．1m ≥ D ．114m ≤≤【例3】已知(2,3)P 是反比例函数k y x =图象上的点． （1）求过点P 且与双曲线k y x =只有一个公共点的直线解析式； （2）Q 是双曲线k y x =在第三象限这一分支上的动点，过点Q 作直线，使其与双曲线k y x=只有一个公共点，且与x 轴，y 轴分别交于C ，D 两点，设（1）中求得的一直线与x 轴，y 轴分别交与A ，B 两点，试判断AD ，BC 的位置关系．【例4】已知,,a b c 满足0,8,0a b c abc c ++==>且，求证c ≥【例5】 已知关于x 的方程22(31)220x k x k k -+++=.（1）求证：无论k 取何实数值，该方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC 的一边长6a =，另两边长,b c 恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC 的周长.【例6】已知XYZ ∆是直角边长为1的等腰直角三角形（∠Z ＝90°），它的三个顶点分别在等腰直角三角形ABC （∠C ＝90°）的三边上．求ABC ∆直角边长的最大可能值．能力训练A 级1．若关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个实数根，则m 的取值范围是 ．2．关于x 的方程2(2)20ax a x -++=只有一解（相同的解算一解），则a 的值为 ．3．设,,a b c 是ABC ∆三边，且关于x 的方程22()()0(0)c x n b x n n ++--=>有两个相等的实数根，则ABC ∆是 三角形．4．方程223330x xy y x y ++--+=的实数解为 ．5．关于x 的一元二次方程2(21)10x k x k +++-=的根的情况是 （ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个实数根D ．没有实数根6．如果关于x 的方程22(2)50mx m x m -+++=没有实数根，那么关于x 的方程2(5)2(2)0m x m x m --++=的实数根的个数为 （ ）A ．2个B ．1个C ．0个D ．不确定7．关于x 的方程2(6)860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．98．已知一直角三角形的三边为,,a b c ，∠B ＝90°，那么关于x 的方程22(1)2()(1)0a x x b x --++=的根为（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定9．在等腰三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是,,a b c ．已知3a =，b 和c 是关于x 的方程21202x mx m ++-=的两个实数根，求ABC ∆的周长．10．已知,m n 为整数，关于x 的三个方程：2(7)30x m x n +-++=有两个不相等的实数根；2(4)60x m x n ++++=有两个相等的实数根；2(4)10x m x n --++=没有实数根．求m n ，的值．11．若,,,0a b c d >，证明：在方程2102x +=①；2102x +=②；2102x +=③；2102x ++=④中，至少有两个方程有两个不相等的实数根．12．若实数,x y 满足2245x x y --=，求2x y -的最大值．B 级1．当a = ，b = 时，方程2222(1)(3442)0x a x a ab b ++++++=有实数根．2．已知二次方程2(2)2()20a b b x b a x a a b -+-+-=有两个相等的实数根，那么11a b+= ． 3．如果方程325(4)0x x k x k -++-=的三个根可以作为一个等腰三角形的三边长，则实数k 的值为 ．4．已知实数,,a b c 满足0a b c ++=，2abc =，那么a b c ++的最小值是 ． 5．已知实数,,a b c 是不全为零的三个数，那么关于x 的方程 2222()0x a b c x a b c ++++++=的根的情况是（ ）A ．有两个负根B ．有两个正根C ．有两个异号的实根D ．无实根6．关于x 的两个方程2244230x mx m m ++++=，22(21)0x m x m +++=中至少有一个方程有实根，则m 的取值范围是（ ）A ．3124m -<<- B ．3124m m ≤-≥-或 C ．1142m -<< D ．3122m m ≤-≥或 7．方程(1)0x x k --=有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．104k -<<B ．104k << C ．14k >- D ．14k < 8．关于x 的方程21x a x =-仅有两个不同的实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．0a > B ．4a ≥ C ．24a << D ．04a <<9．当a 在什么范围内取值时，方程25x x a -=有且只有相异二实根．10．求证：对于任意一个矩形A ，总存在一个矩形B ，使矩形B 与矩形A 的周长比和面积比等于(1)k k ≥．11．关于x 的方程2(1)10kx k x --+=有有理根，求整数k 的值．12．已知,a b 为实数且223a ab b ++=，若22a ab b -+的最大值为m ，最小值为n ，求m n +的值．专题 03 根的检测器922另一个无实根.例2. B 提示: 从反面考虑, 即考虑三个方程都无实数根时m 的取值范围.例3.(1) 直线2x =或3y =或362y x =-+ (2) //AD BC例4. 提示: ,a b 是关于280t ct c ++=两实根,2840c c=-⨯≥ 例5.(1) 提示: 2(1)0k =-≥ (2) ① 若b c =,则2(1)0,1,314k k b c k a =-==+=+=<,不合题意, 故这种情况不存在 ② 若,b c 中有一条边与a 相等, 不妨设6a b ==,代入得28150k k -+=,解得123,5k k ==. 当3k =时,3110b c k +=+=, 此时4c =, ,16b c a a b c +>∴++= 当5k =时, 3116b c k +=+=,此时10c =, ,22a b c a b c +>∴++= 例6. ① 如图1, 若顶点Z 在斜边AB 上, 取XY 的中点M ,连结,,,CM ZM CZ 并作边AB 上的高CN ,则1122CN CZ CM MZ XY XY XY ≤≤+=+=, 故2CA =≤ ② 如图2, 若顶点Z 在直角边CA (或CB )上, 由对称性, 不妨设Z 在边CA 上, 过点Y 作YH CA ⊥于 H ,记,CX x CZ y ==,易证ZYH XZC ≅,得,,HZ CX x HY CZ y ====又显然AHY 为等腰直角三角 形, 得AH y =,设0,AC b =≥则2y x b +=,即2.x b y =-在XZC 中, 由勾股定理有222(2)1y b y +-=225410y by b -+-=,由221620(1)0b b =--≥,得b 当b =,y x =综合①②,ABCA 级1. 1m ≤2. 0或23. 直角4. 1,1x y ==5. B7. C 提示: 分60a -=和60a -≠两种情况8. A 9. 375或710. 2m =或3m = 提示: 参见例211. 提示: 12340,0,∆+∆>∆+∆>故1234,,,∆∆∆∆中至少有两个大于012. 设2,x y m -=则原方程可化为24250x x m -+-= ① 方程①有实数根,168200m ∴∆=-+≥, 92m ≤. 当 92m =时,0,∆= 即方程①的解为92,222x y =∴-=,即54y =-, 当52,4x y ==-时,2x y - 有最大 值且最大值为92B 级1. 11,2a b ==-2. 13. 4 提示: 由题目知1x =是方程的根, 则2(1)(4)0x x x k --+=,由条件知1x =是240x x k -+=的根或240x x k -+=有两个相等的根, 解得4k =或3k =(舍去)4. 45. D6. B7. A 8. D 提示: 当0a <时, 无解.; 当0a =时,0x =, 无意义; 当0a >时, 原方程化为21x a x =±-, 即 2200x ax a x ax a ⎧-+=⎨+-=⎩ 220,40,a a a >∴∆=+>故2140,04a a a ∆=-<∴<<9. 0a =或254a > 提示: 当0a =时, 方程有相异两实根; 当0a >时, 250x x a --= ① 或250x x a -+= ② 12254,254a a ∆=+∆=-10. 提示: 设矩形A 的长和宽分别为,a b ,矩形B 的长和宽分别为,x y ,则(),.x y k a b xy kxy +=+= ,x y 可看作关于t 的方程2()0t k a b t kab -++=的两根11. ① 当0k =时,1x =-, 方程有有理根;② 当0k ≠时, 因为方程有有理根, 所以若k 是整数, 则判别式∆必为完全平方数. 即存在非负22222由于3k m -+与3k m --奇偶性相同, 故3432k m k m -+=⎧⎨--=⎩或3234k m k m -+=-⎧⎨--=-⎩,解得6k =或0k =(舍去) 综合①②, 方程2(1)10kx k x --+=有有理根, 整数k 的值为0k =或6k =12. 设2222223,a ab b a ab b k a ab b k ⎧++=-+=∴⎨-+=⎩，得239,()3022k k ab a b ab --=∴+=+=≥， 9.k ∴≤则实数,a b 可看作一元二次方程2302k x -±+=的两个根， 0∴∆≥ 即1k ≥19,k ∴≤≤ 故22a ab b -+的最大值9,m =最小值1,n = 10m n ∴+=。