本科线性代数测试题答案-2

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《线性代数》期末考试题及详细答案(本科试卷二)

《线性代数》期末考试题及详细答案(本科试卷二)

XXX 学年期末考试试卷《线性代数》期末考试题及详细答案(本科试卷二)一、填空题(将正确答案填在题中横线上。

每小题2分,共10分);1. 若02215131=---x ,则=χ__________。

2.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。

3.已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。

4.矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。

5.n 阶方阵A 满足032=--E A A ,则=-1A 。

二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。

每小题2分,共10分);1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0〉D 。

( )2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。

( )3. 向量组m a a a ,,, 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组sa a a ,,, 21课程代码:适用班级:命题教师:任课教师:线性相关。

( )4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0100100000010010A ,则A A =-1。

( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1-A 的特征值为λ。

( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。

每小题2分,共10分);1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=TA A ( )。

① n2;② 12-n ; ③ 12+n ; ④ 4;2. n 维向量组 s ααα,,, 21(3 ≤ s ≤ n )线性无关的充要条件是( )。

① s ααα,,, 21中任意两个向量都线性无关;② s ααα,,, 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示; ③ s ααα,,, 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示; ④ s ααα,,, 21中不含零向量;3. 下列命题中正确的是( )。

线性代数试题及答案二

线性代数试题及答案二

线性代数(试卷一)一、 填空题(本题总计20分,每小题2分) 1. 排列7623451的逆序数是_______。

2. 若122211211=a a a a ,则=16030322211211a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =,其中E 为n 阶单位矩阵,则1B -= 。

4. 若A 为n m ⨯矩阵,则非齐次线性方程组AXb =有唯一解的充分要条件是_________5. 设A 为86⨯的矩阵,已知它的秩为4,则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_6. 设A 为三阶可逆阵,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1230120011A,则=*A 7.若A 为n m ⨯矩阵,则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是8.已知五阶行列式1234532011111112140354321=D ,则=++++4544434241A A A A A 9. 向量α=(2,1,0,2)T-的模(范数)______________。

10.若()Tk11=α与()T121-=β正交,则=k二、选择题(本题总计10分,每小题2分) 1. 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ,则(D) A.s r =B.s r ≤C.r s ≤D.r s <2. 若A 为三阶方阵,且043,02,02=-=+=+E A E A E A ,则=A (A)A.8 B.8-C.34D.34-3.设向量组A 能由向量组B 线性表示,则( d )A.)()(A R B R ≤ B.)()(A R B R <C.)()(A R B R =D.)()(A R B R ≥4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ,则()*kA 等于_____。

5. 设n 阶矩阵A ,B 和C ,则下列说法正确的是_____。

)(A AC AB = 则 C B = )(B 0=AB ,则0=A 或0=B 三、计算题(本题总计60分。

线性代数单元测试卷(含答案)

线性代数单元测试卷(含答案)

线性代数单元测试卷(含答案)一、选择题(每题2分,共20分)1. 在线性代数中,什么是矩阵的秩?A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵的非零行数D. 矩阵的最大线性无关行数正确答案:D2. 下列哪个不是矩阵的运算?A. 矩阵的加法B. 矩阵的减法C. 矩阵的除法D. 矩阵的乘法正确答案:C3. 矩阵的转置满足下列哪个性质?A. (A^T)^T = AB. (AB)^T = B^T * A^TC. (A + B)^T = A^T + B^TD. (AB)^T = A^T + B^T正确答案:B4. 什么是向量的线性组合?A. 向量相加B. 向量相减C. 向量乘以常数后相加D. 向量与常数相乘正确答案:C5. 下列哪组向量线性无关?A. (1, 0)B. (0, 1)C. (1, 1)D. (1, -1)正确答案:C二、填空题(每题3分,共30分)1. 给定矩阵A = [[1, 2], [3, 4]],求A的逆矩阵。

正确答案:[[-2, 1], [1.5, -0.5]]2. 给定矩阵B = [[2, 4], [1, 3]],求B的特征值。

正确答案:[5, 0]3. 给定向量v = (1, 2, 3),求v的范数。

正确答案:sqrt(14)4. 给定矩阵C = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]],求C的秩。

正确答案:25. 给定矩阵D = [[1, 2], [3, 4], [5, 6]],求D的转置矩阵。

正确答案:[[1, 3, 5], [2, 4, 6]]三、解答题(每题10分,共40分)1. 什么是线性相关和线性无关?线性相关表示向量之间存在线性组合的系数不全为零的情况,即存在非零向量组合得到零向量。

线性无关表示向量之间不存在这样的关系,即只有全为零的线性组合才能得到零向量。

2. 什么是矩阵的行列式?矩阵的行列式是一个标量,它是一个方阵中各个元素按照一定规律相乘再求和的结果。

行列式可以用来判断方阵的逆是否存在,以及计算方阵的特征值等。

线性代数题库(含答案)

线性代数题库(含答案)

第一章随堂检测1.已知行列式333231232221131211a a a a a a a a a D = 展开式的六项中含有,则i+j=( )A.1B.2C.4D.6我的答案:D2.某二阶行列式的所有元素都是整数,则该行列式的结果( ) A.一定是整数 B.一定不是零 C.一定是正数 D.一定是负数 我的答案:A3.[单选题] 行列式=bb a a ( )A.0B.b a 22- C.b a 22+ D.2ab我的答案:A4.[单选题] 方程组⎩⎨⎧=-=+2121212x x x x 的解是( )A.⎩⎨⎧==0121x x B.⎩⎨⎧==1121x xC.⎩⎨⎧==1021x xD.⎩⎨⎧==0021x x 我的答案:A 5.[单选题] 行列式34-43的结果是( )A.0B.7C.10D.25我的答案:D6.[单选题] 某三阶行列式的所有元素都是4,则该行列式的值是( ) A.3 B.4 C.7 D.0我的答案:D7.[单选题] 关于三阶行列式说法正确的是( )A.若行列式的所有元素都等于零,则行列式的结果一定等于零B.若行列式的所有元素都等于零,则行列式的结果一定不等于零C.若行列式的所有元素都不等于零,则行列式的结果一定等于零D.若行列式的所有元素都不等于零,则行列式的结果一定不等于零 我的答案:A8.[单选题]行列式101010102( )A.0B.1C.2D.4我的答案:B9.[单选题] 一元一次方程1211x =的解是( )A.x=1B.x=2C.x=3D.x=4我的答案:A10.[单选题] 已知行列式,3333333331=D ,5555555552=D 则( )A.4B.2C.8D.0我的答案:D11.[单选题] 若a 、b 、c 、d 的绝对值都是1,则行列式dc ba 的最大值是( )A.1B.2C.3D.4我的答案:B12.[单选题] 若某二阶行列式的结果为零,则关于该行列式的以下说法正确的是( )A.至少有一行元素为零B.至少有一列元素为零C.至少有一个元素为零D.以上答案都不对 我的答案:D1.[单选题] 三级排列321的逆序数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0我的答案:A2.[单选题] 以下四个4级排列中,逆序数为零的是( ) A.1234 B.4231 C.1324 D.1423我的答案:A3.[单选题] 一个偶排列的逆序数可能是( )A.1B.3C.4D.5我的答案:C4.[单选题] 已知由1、2、3、4、5组成的某个5级排列中,数字5排在最前面,则该排列的逆序数至少是( )A.1B.3C.4D.5我的答案:C5.[单选题] 关于逆序数说法正确的是( )A.相同的排列一定有相同的逆序数B.相同的排列一定有不同的逆序数C.不同的排列一定有相同的逆序数D.不同的排列一定有不同的逆序数我的答案:A6.[单选题] D是四阶上三角行列式,主对角线元素分别是1、2、3、4,则该行列式的值是( )A.2B.6C.10D.24我的答案:D7.[单选题] 某对角行列式结果等于1,说明该行列式( )A.主对角线上所有元素都等于1B.主对角线上所有元素都大于1C.主对角线上所有元素都小于1D.主对角线上所有元素乘积为1我的答案:D8.[单选题] D是四阶行列式,且结果不等于零,则该行列式的非零元素个数可能是( )A.1B.2C.3D.4我的答案:D9.[单选题] 若某四阶行列式所有元素都是奇数,则该行列式的结果( ) A.一定是奇数 B.可能是奇数 C.一定是正数 D.一定是偶数 我的答案:D10.[单选题] D 是五阶行列式,且位于前三数行和前三列交叉点处的9个元素都是0,而位于其它位置的16个元素都是1,该行列式的值是( ) A.4 B.16 C.25 D.0我的答案:D1.[单选题] 某三阶该行列式共有三个元素为零,则以下说法正确的是( ) A.该行列式的结果一定为零B.若三个零元素在同一行,则该行列式的结果为零C.若三个零元素都在主对角线上,则该行列式的结果为零D.若三个零元素都在副对角线上,则该行列式的结果为零 我的答案:B2.[单选题] 已知行列式13332312322211312111==a a a a a a a a a D 则==3332312322211312112a a a a a a a a a D ( )A.1B.2C.4D.6我的答案:A3.[单选题] 已知222112111a a a a D =,,121122212a a a a D =,且a D D ==21,则a=( )A.0B.1C.2D.4我的答案:A4.[单选题] 行列式ab bb a b a ab a b a ------+( ) A.0 B.b a 22- C.b a 22+ D.2ab我的答案:A5.[单选题] 已知行列式13332312322211312111==a a a a a a a a a D ,==333231223222121341241182a a a a a a a a a D ( ) A.1B.2C.4D.8我的答案:D6.[单选题] 行列式=11-1-111-111( )A.0B.2C.8D.4我的答案:D7.[单选题] 关于行列式说法正确的是( ) A.交换行列式的两行,行列式的结果不变 B.交换行列式的两列,行列式的结果不变C.交换行列式的两行,然后交换行列式的两列,行列式的结果不变D.交换行列式的两行,然后交换行列式的两列,行列式变号 我的答案:C8.[单选题] 行列式987654321=( )A.2B.0C.8D.4我的答案:B9.[单选题] 行列式30219910132121-1=( ) A.2 B.0 C.8 D.4我的答案:B10.[单选题] 若dc bD a =,则=D T( )A. B. C. D.我的答案:B1.[单选题] 在下列四个二阶行列式中,不满足a A ijij =(i,j=1,2,)的是( )A.1111B.111-1C.1001D.2002我的答案:A2.[单选题] 已知行列式,1333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则=++231322122111a a a A A A ()A.1B.2C.3D.0我的答案:D3.[单选题] 对于二阶行列式D,中若a 2a 2112=,则有( )A.A 1212a =B.A 2121a =C.A 2A 2112=D.A 2A 1221=我的答案:D4.[单选题] 已知行列式1333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则下列式子结果为1的是( )A.M a M a M a 232322222121++B.M a M a M a 333332323131++C.A a A a A a 131312121111++D.A a A a A a 131312121111+-我的答案:C5.[单选题] 对于二阶行列式D,中若a a 21211=,则有( )A.A 2A 1112=B.A 2A 1211=C.A1211A =D.以上都不对我的答案:D6.[单选题] 行列式300220111=D ,则A A A 131211++( )A.0B.2C.4D.6我的答案:D7.[单选题] 满足122211211====AAAA 的二阶行列式是( )A.1111B.1111----C.1111--D.1111--我的答案:D8.[单选题] 行列式694432111=( )A.2B.0C.8D.4我的答案:A9.[单选题] 行列式c b a D c ba 2221111=,)()()(1112222111111++++++=c b a D c b a ,则( )A.由D D 21=可得a+c=bB.由D D 21=可得a-c=bC.由D D 21=可得a ·c=bD.以上答案都不对我的答案:D10.[单选题] 若D 是二阶对角行列式,且202211=AA,则D=( )A.2B.1C.8D.4我的答案:A1.[单选题] 若b >a ,则线性方程组⎩⎨⎧=+=+c cax bx bx ax 2121解的情况与c 的关系是( )A.当等于零时,方程组无解B.当不等于零时,方程组无解C.当时,方程组无解D.在任何情况下,方程组都有解 我的答案:D2.[单选题] 若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 333323213123232221211313212111无解,则行列式==333231232221131211a a a a a a a a a D( ) A.1 B.2 C.3 D.0我的答案:D3.[单选题] 对于⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=++000-42-622-53121321x x x x x x x )()()(λλλ有非零解,则不可能取的值是( ) A.5B.8C.2D.6我的答案:D4.[单选题] 方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333232131323222121313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a 解的情况是( )A.一定有解B.一定无解C.可能无解D.当系数行列式为零时无解 我的答案:A5.[单选题] 若齐次线性方程组有一个非零解,则该方程组一定( ) A.有无穷多解 B.恰有两个非零解 C.没有零解 D.恰有三个解 我的答案:A6.[单选题] 在平面直角坐标系中,直线CB A Y X 1111:l =+与直线C B A Y X 2222:l =+相交,则线性方程组⎩⎨⎧=+=+C B A C B A Y X Y X 222111解的情况是( ) A.有无穷多解B.恰有一个解C.恰有两个解D.恰有三个解 我的答案:B7.[单选题] 关于X 、Y 、Z 的齐次线性方程组⎩⎨⎧=++=++0ey 0fz dx cz by ax 解的情况是( )A.无解B.有非零解C.没有零解D.只有零解 我的答案:B8. [单选题] 已知方程组⎩⎨⎧=+=+24622y x y ax 无解,则a=( )A.1B.2C.3D.0我的答案:C9.[单选题] 已知方程组⎩⎨⎧=++=+p y x p y 3225x 3的解满足x+y=2,则p=( )A.1B.2C.3D.4我的答案:D10.[单选题] 若cx a x 2bx )(f ++=,f(d)=f(e)=f(g)=0,且d 、e 、g 两两不等,则关于a 、b 、c 的取值情况是( ) A.a=0,b ≠0,c=0 B.a=0,b=0,c=0 C.a ≠0,b=0,c=0 D.a=0,b ≠0,c ≠0 我的答案:B作业1计算行列式 ____正确答案:132计算行列式 ____正确答案:13计算行列式 ____正确答案: 04计算行列式____正确答案:-275计算行列式____正确答案:06解方程,结果是____正确答案:47解方程,结果是或____正确答案:38解方程,结果是或____正确答案:-21在六阶行列式中,元素乘积应取什么符号____(本节课习题凡是涉及符号问题的,正号请在横线上填“+;正;正号;➕”,负号请在横线上填“-;负;负号;➖”)正确答案:+;正;正号;➕2在六阶行列式中,元素乘积应取什么符号____正确答案:-;负;负号;➖3在六阶行列式中,元素乘积应取什么符号____正确答案:+;正;正号;➕4在六阶行列式中,元素乘积应取什么符号____正确答案:-;负;负号;➖5项是不是五阶行列式中的一项____(是/不是),若是,它的符号是____.(若不是,第二个空不用填)正确答案:第一空:是第二空:+;正;正号;➕6项是不是五阶行列式中的一项____(是/不是),若是,它的符号是____.(若不是,第二个空不用填)正确答案:不是7项是不是五阶行列式中的一项____,若是,它的符号是____.(若不是,第二个空不用填)正确答案:第一空:是第二空:-;负;负号;➖8四阶行列式中乘积前应冠以什么符号? ____ 正确答案:-;负;负号;➖9计算行列式____正确答案:2410计算行列式____正确答案:1某三阶该行列式共有三个元素为零,则以下说法正确的是( )A、该行列式的结果一定为零B、若三个零元素在同一行,则该行列式的结果为零C、若三个零元素都在主对角线上,则该行列式的结果为零D、若三个零元素都在副对角线上,则该行列式的结果为零正确答案: B2已知行列式,则( )A、1B、2C、4D、6正确答案: A3已知,,且,则( )A、0B、1C、2D、4正确答案: A4行列式( )A、0B、C、D、正确答案: A5已知行列式,则( )A、1B、2C、4D、8正确答案: D6行列式( )A、0B、2C、8D、4正确答案: D7关于行列式说法正确的是( )A、交换行列式的两行,行列式的结果不变B、交换行列式的两列,行列式的结果不变C、交换行列式的两行,然后交换行列式的两列,行列式的结果不变D、交换行列式的两行,然后交换行列式的两列,行列式变号正确答案: C8行列式( )A、2B、0C、8D、4正确答案: B9行列式( )A、2B、0C、8D、4正确答案: B10若,则( )A、B、C、D、正确答案: B1用行列式的性质计算行列式的值____正确答案:40131002用行列式的性质计算行列式的值____正确答案:53用行列式的性质计算行列式的值____正确答案:84已知,求行列式的值____ 正确答案:125已知,求行列式的值____ 正确答案:-486计算行列式的值____正确答案:607计算行列式的值____正确答案:-218计算行列式的值____正确答案:09计算行列式的值____正确答案:n!10计算行列式的值____正确答案:-2(n-2)!1求行列式中元素-4的代数余子式(计算出结果).____正确答案:102若某四阶行列式第三行元素依次为,,,,对应的余子式依次为,,,,求此行列式的值.____正确答案:-113计算行列式的值____正确答案:44计算行列式的值____正确答案:435计算行列式的值____正确答案:-246计算行列式的值____正确答案:-277计算行列式的值____正确答案:278计算行列式的值____正确答案:481已知4阶行列式,则中的系数是____正确答案:-4;➖42设4阶行列式,则=____,其中为元素的代数余子式.正确答案:0;零3设4阶行列式,则第一列各元素的代数余子式之和____正确答案:0;零4设5阶行列式,则____ 和____,其中为的第四行第列元素的代数余子式.正确答案:第一空:-9;➖9第二空:185用克莱姆法则求解线性方程组的解为____ ,____,____ .正确答案:第一空: 1第二空: 2第三空: 36用克莱姆法则求解线性方程组的解为____ ,____,____ ,____ .正确答案:第一空:-8;➖8第二空: 3第三空: 6第四空:07用克莱姆法则求解线性方程组的解为____ ,____,____ ,____ .正确答案:第一空:0第二空: 2第三空:0第四空:08用克莱姆法则求解线性方程组的解为____ ,____,____ ,____ ,____ .正确答案:第一空: 1第二空:-1;➖1第三空: 1第四空:-1;➖1第五空: 19当____ 或____时,齐次线性方程组有非零解.(小数在前,大数在后)正确答案:第一空:-2;➖2第二空: 1二.判断题(共1题,10.0分)1判断:齐次线性方程组仅有零解( ) .正确答案:√1已知行列式展开式的六项中含有,则( )A、1B、2D、6我的答案:D2某二阶行列式的所有元素都是整数,则该行列式的结果( )A、一定是整数B、一定不是零C、一定是正数D、一定是负数我的答案:A3行列式( )A、0B、C、D、我的答案:A4方程组的解是( )A、B、C、D、我的答案:A5行列式的结果是( )A、0C、10D、25我的答案:D6某三阶行列式的所有元素都是4,则该行列式的值是( )A、3B、4C、7D、0我的答案:D7关于三阶行列式说法正确的是( )A、若行列式的所有元素都等于零,则行列式的结果一定等于零B、若行列式的所有元素都等于零,则行列式的结果一定不等于零C、若行列式的所有元素都不等于零,则行列式的结果一定等于零D、若行列式的所有元素都不等于零,则行列式的结果一定不等于零我的答案:A8行列式( )A、B、1C、2D、4我的答案:B9一元一次方程的解是( )A、B、C、D、我的答案:A10已知行列式,,则( )A、4B、2C、8D、0我的答案:D11若、、、的绝对值都是1,则行列式的最大值是( )A、1B、2C、3D、4我的答案:B12若某二阶行列式的结果为零,则关于该行列式的以下说法正确的是( )A、至少有一行元素为零B、至少有一列元素为零C、至少有一个元素为零D、以上答案都不对我的答案:D第二章随堂检测1【单选题】已知矩阵是二阶单位矩阵,则( )A、1B、2C、3D、0我的答案:A2【单选题】已知矩阵的四个元素中任意两个都互为相反数,则该矩阵是( )A、单位矩阵B、四阶矩阵C、负矩阵D、零矩阵我的答案:D3【单选题】下列四个矩阵中是单位矩阵的是( )A、B、C、D、我的答案:B4【单选题】关于矩阵说法正确的是( )A、该矩阵是3阶单位矩阵B、该矩阵是9阶单位矩阵C、该矩阵是27阶单位矩阵D、该矩阵不是单位矩阵我的答案:D5【单选题】关于矩阵的行数与列数说法正确的是( )A、四行八列B、八行四列D、两行三列我的答案:D6【单选题】下列关于单位矩阵、对角矩阵以及数量矩阵说法正确的是( )A、对角矩阵是单位矩阵B、单位矩阵是数量矩阵C、对角矩阵是数量矩阵D、以上说法都不对我的答案:B7【单选题】四阶单位矩阵所有元素的和等于( )A、1B、2C、4D、16我的答案:C8【单选题】下列关于零矩阵说法正确的是( )A、所有元素都是零B、未必所有元素都是零,但第一行的元素一定都是零C、未必所有元素都是零,但所有元素的和一定等于零D、未必所有元素都是零,但所有元素的乘积一定等于零我的答案:A9【单选题】一个3×4矩阵和一个4×3矩阵的共同点是( )A、行数相同B、列数相同C、行数及列数都相同D、所含元素的个数相同我的答案:D10【单选题】某方阵共有16个元素,则它的行数是( )A、2B、4C、8D、16我的答案:B1【单选题】在矩阵等式中,已知和都是二行三列,则是( )A、二行三列B、三行二列D、六行六列我的答案:A2【单选题】已知是非零常数,是非零矩阵,则是否是零矩阵( )A、一定是B、一定不是C、可能是D、不确定我的答案:B3【单选题】已知,,则( )A、B、C、D、我的答案:D4【单选题】矩阵不可能是( )A、两个单位矩阵的和B、两个上三角矩阵的和C、两个下三角矩阵的和D、两个对角矩阵的和我的答案:A5【单选题】已知是负数,是上三角矩阵,则是( )A、下三角矩阵B、上三角矩阵C、数量矩阵D、对角矩阵我的答案:B6【单选题】已知矩阵是六行九列,则矩阵是( )A、十八行二十七列B、两行三列C、六行九列D、九行六列我的答案:C7【单选题】当取何值时,矩阵等式成立( )A、1B、2C、3D、不论取何值,等式都不成立我的答案:D8【单选题】是二阶单位矩阵,则( )A、B、C、D、以上答案都不对我的答案:D1【单选题】,,则( )A、B、C、D、我的答案:D2【单选题】在矩阵等式中,若是上三角矩阵,是下三角矩阵,,则关于的说法正确的是( )A、一定是上三角矩阵B、一定是下三角矩阵C、一定是对角矩阵D、以上答案都不对我的答案:D3【单选题】二阶方阵乘以二阶方阵等于( )A、四阶方阵B、四行四列矩阵C、行数和列数相等且含有十六个元素的方阵D、二阶方阵我的答案:D4【单选题】在矩阵等式中,和的元素都是负数,则的元素符号( )A、都是正数B、都是负数C、正负交替出现D、不确定,与矩阵的行数与列数有关我的答案:A5【单选题】关于矩阵和,以下说法不正确的是( )A、若有意义,则必有的行数等于的行数B、若有意义,则必有的行数等于的列数C、若有意义,则必有的列数等于的行数D、若有意义,则必有的行数等于的列数我的答案:B6【单选题】某矩阵既是对称矩阵又是反对称矩阵,则关于该矩阵说法正确的是( )A、是上三角矩阵,但未必是对角矩阵B、是下三角矩阵,但未必是对角矩阵C、是对角矩阵,但未必是零矩阵D、是零矩阵我的答案:D7【单选题】已知矩阵等式成立,则有( )A、,B、,C、,D、,我的答案:A8【单选题】,,,,则在,,,四个矩阵中,对称矩阵的个数是( )A、1B、2C、3D、4我的答案:D9【单选题】是阶方阵,,则( )A、B、C、D、4我的答案:C10【单选题】如果,则( )A、B、C、D、我的答案:A11【单选题】如果是同阶方阵,则以下说法正确的是( )A、若,则B、若,则C、若,则D、若,则我的答案:D12【单选题】,,且第列的元素和是(,,),则( )A、B、C、D、我的答案:A13【单选题】矩阵的结果是零矩阵,说明( )A、的行数等于的列数B、的列数等于的行数C、和至少有一个是零矩阵D、我的答案:D1【单选题】和是同阶可逆矩阵,则( )A、若,则B、若,则C、若,则D、若,则我的答案:A2【单选题】若,则( )A、可逆,且B、可逆,且C、可逆,且逆矩阵不唯一D、未必可逆我的答案:A3【单选题】逆矩阵不唯一的三阶可逆矩阵有( )个A、0B、1C、2D、3我的答案:A4【单选题】若,且,则( )A、B、C、D、我的答案:A5【单选题】是可逆矩阵,且,若,则( ) A、B、C、D、我的答案:A6【单选题】、、是同阶可逆矩阵,且,则( )A、B、C、D、我的答案:A7【单选题】是阶矩阵,是的伴随矩阵,以下说法正确的是( )A、可逆时,也可逆B、可逆时,不可逆C、不可逆时,可逆D、可逆时,不可逆我的答案:A8【单选题】,则的伴随矩阵( )A、B、C、D、我的答案:B9【单选题】是阶方阵,以下说法正确的是( )A、当可逆时,有B、当是数量矩阵时,有C、当是对角矩阵时,有D、当不可逆时,有我的答案:B10【单选题】、是同阶可逆矩阵,则下列矩阵未必可逆的是( ) A、B、C、D、我的答案:B1【单选题】是3阶初等矩阵,则的值不可能是( )A、3B、2C、1D、0我的答案:D2【单选题】下列关于初等矩阵的说法正确的是( )A、初等矩阵一定是可逆矩阵B、可逆矩阵一定是初等矩阵C、初等矩阵的行列式可能为零D、初等矩阵可能是退化矩阵我的答案:A3【单选题】已知矩阵是一行三列,矩阵是三行四列,则的结果是( )A、矩阵的第一列B、矩阵的第一行C、矩阵的第一列D、矩阵的第一行我的答案:B4【单选题】方阵经过一次初等变换后得到方阵,且,则( )A、0B、1C、2D、不确定我的答案:D5【单选题】交换方阵的第一、二行得到矩阵,交换方阵的第一、二列得到矩阵,则下列说法正确的是( )A、与不等价,且B、与不等价,且C、与等价,且D、与等价,且我的答案:C6【单选题】,则( )A、B、C、D、我的答案:A7【单选题】,则的标准形是( )A、B、C、D、我的答案:D8【单选题】,且已知矩阵可以经过行初等变换得到矩阵,其中,,则( )A、B、C、D、我的答案:A9【单选题】某初等矩阵一共有三行,则该矩阵一共有( )列A、27B、9C、3D、1我的答案:C10【单选题】四阶方阵的标准形中含元素1的个数最多是( )个A、2B、4C、1D、3我的答案:B1【单选题】,,则矩阵方程的解是( ) A、B、C、D、我的答案:B2【单选题】,,则矩阵方程的解是( ) A、B、C、D、我的答案:A3【单选题】可逆,且,则( )A、B、C、D、我的答案:C4【单选题】是阶方阵,且,则有( )A、不可逆B、可逆且C、可逆且D、可逆且我的答案:B5【单选题】是三阶可逆方阵,且,,则矩阵方程的解( )A、B、C、D、我的答案:D1【单选题】A是n阶矩阵,是非零常数,则一定有( )A、B、C、D、我的答案:B2【单选题】A=,则有( )A、B、C、D、我的答案:C3【单选题】A是n阶可逆矩阵,则下列结论正确的是( )A、B、C、D、我的答案:D4【单选题】一个六行八列矩阵的秩可能是( )A、6B、8C、66D、88我的答案:A5【单选题】矩阵A是m行n列且,若,则( )A、1B、2C、3D、4我的答案:D6【单选题】A是一个矩阵,则“是零矩阵”是“”的( )条件A、充分不必要B、必要不充分C、充分必要D、不充分不必要我的答案:C7【单选题】A是n阶矩阵,,,则有( )A、B、C、D、以上答案都错我的答案:A8【单选题】k是常数,,则不可能是( )A、1B、2C、3D、4我的答案:B9【单选题】,则有( )A、B、C、D、我的答案:A10【单选题】矩阵经过3次初等变换得到矩阵,,则( )A、8B、2C、5D、15我的答案:C作业1已知矩阵,、是常数且,则____正确答案:第一空: 12已知,满足,则常数____正确答案:第一空: 43矩阵,(),且,则____正确答案:第一空:504矩阵,及常数,满足,则____正确答案:05,是常数,,是未知数,且矩阵方程组有无穷多组解,则常数____正确答案:101某数量矩阵第四行的非零元素是2,则该矩阵第二行的非零元素是4( ) 正确答案:×2对角矩阵主对角线上的元素都不等于零( )正确答案:×3既是上三角矩阵又是下三角矩阵的矩阵是零矩阵( )正确答案:×4非负矩阵的行数不超过列数( )正确答案:×5五阶方阵的每个元素不小于5( )正确答案:×6数量矩阵不可能是单位矩阵( )正确答案:×7上三角矩阵第一行的元素都不等于零( )正确答案:×8某矩阵共四行,且所有元素都是4,则该矩阵是四阶方阵( )正确答案:×9下三角矩阵的行数不等于列数( )正确答案:×10数量矩阵的所有元素都相等( )正确答案:×1已知矩阵,且,则____正确答案:32已知且,是方阵,则是____阶方阵正确答案:4;四3矩阵,,且,又,则主对角线上所有元素的和等于____正确答案:34矩阵是行3列矩阵,是3行列矩阵,且,则____正确答案:35、、、、、是六个矩阵,且,,, 则矩阵所有元素的和等于____正确答案:06,,其中是单位矩阵,,则____正确答案: 27是反对称矩阵,则____正确答案:08二阶方阵、满足,且,, 则____正确答案:109,,则____正确答案:010是矩阵,是矩阵,的行数与列数相等,则____正确答案:81已知矩阵,且是的逆矩阵,则____正确答案:12是反对称矩阵且可逆,则主对角线上元素的和等于____正确答案:03矩阵可逆且,,则____正确答案:24矩阵是8阶方阵,则是 ____阶方阵正确答案:8;八5,是退化矩阵,则常数____正确答案:26方阵不可逆,则____正确答案:07方阵,且可逆,则____正确答案:18方阵,则____正确答案:29可逆矩阵的逆矩阵,若,则____ 正确答案:410矩阵,且,则____正确答案:01方阵经过初等变换后得到方阵,且,则的值不可能是____正确答案:02是四阶方阵且,是的标准形,则____正确答案:13矩阵,若,则____正确答案:24矩阵与等价,且是3行5列,是行列,则____正确答案:85矩阵,,,,,则____正确答案:36矩阵,,,则____正确答案:7矩阵,,,则____正确答案:18、是同阶方阵且,,则将矩阵的第二行乘以____就能得到矩阵正确答案:29在、、,三个矩阵中,逆矩阵等于自身的有____个正确答案:310矩阵,且矩阵序列,实数序列。

线性代数习题2(附答案)

线性代数习题2(附答案)

线性代数复习题2一. 填空题(每小题4分,共28分) 1. 若240,32k k -=+ 则 k = .2. 设含参数λ的方程组 000x y z x y z x y z λλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩只有零解, 则 λ应满足的条件是 .3. 设 44⨯ 矩阵 234234(,,,),(,,,),A B αγγγβγγγ== 且已知行列式 1A =,4.B = 则行列式 A B += .4. 已知方阵A 满足 220,A A I +-= 其中 I 是与 A 同阶的单位阵, 则()1A I -+= .5. 设20001013A a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与400020002B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似,则a = .6. 设 111022,003A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦*A A 是伴随矩阵, 则 ()1*A -= . 7. 设四阶矩阵A 的元素全为1, 则 A 的非零特征值为 .二. 选择题(每小题4分,共32分)1. 设A 是n 阶可逆矩阵, 则下列叙述不正确的是 ( ) A. 0A ≠ B. ()r A r n =<C. 存在n 阶矩阵 B 使得 .A B I =D. A 必能表为有限个初等矩阵的乘积.2. 设A 是n 阶方阵,其秩 ,r n < 则在A 的 n 个行向量中 ( ) A .必有 r 个行向量线性无关. B. 任意 r 个行向量线性无关.C. 任意 r 个行向量都构成极大线性无关组.D. 任意一个行向量都可由其他 r 个行向量线性表出. 3. 设A 为三阶方阵, 且 3,A =- 则 2A -= ( )A. 24B. 6C. --24D. --64. 若向量组 ,,αβγ 线性无关, 而向量组 ,,αβδ 线性相关. 则 ( ) A. 向量 α 必可由向量组 ,,βγδ 线性表示. B. 向量 β 必不能由向量组 ,,αγδ 线性表示. C. 向量 δ必可由向量组 ,,αβγ线性表示. D. 向量 δ必不能由向量组 ,,αβγ线性表示.5. 设A, B 为同阶方阵, 则 ()2222A B A AB B +=++ 成立的充要条件是 ( )A. A I =B. 0B =C. A B =D. AB BA =6. 已知 0011205010,1236,2002015P PA ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭则 ()r A = ( )A. 1B. 2C. 3D. 47. 设 010100001A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 则 2010A = ( )A. 010100001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭B. 100010001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭C. 020*******00002010-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ D. 201000020100002010-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭8. 设 ,,A B AB I -是同阶可逆矩阵, 则 ()()1111A BA------=( )A. BAB I -B. ABA I -C. ABA A -D. BAB B -三. (本题满分10分) 设 1234511133,325422221146523D = D 的 (),i j 元的代数余子式为 ij A . 试求 (1) 313233;A A A ++ (2) 3435.A A +四. (本题满分10分) 求下列向量组的秩和一个极大线性无关组, 并将其余向量用极大线性无关组线性表示.123451110002401,,,,.1115101252ααααα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭五.(本题满分10分) 设 1102,1/2,0,,,108T TA B αβγαββα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中 T β 是β的转置, 求解方程组 22428.B A x Ax B x γ=++六.(本题满分10分) 已知向量 111X ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭是矩阵 2125312A a b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭ 的一个特征向量. (1) 求参数 ,a b X 及对应的特征值. (2) 试判断矩阵 A 是否可对角化.线性代数复习题2答案一. 填空题 (每小题4分, 共28分)1. 4±2. 1λ≠3. 404. 12A5. 36. 1/61/61/601/31/3001/2⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭7. 4二. 选择题 (每小题4分, 共32分)三. (本题满分10分)解: 将D 中第三行换成 1, 1, 1, 3, 3, 行列式的值等于0, 则有 ()()313233343530,A A A A A++++=…………………………………………4分 同理将D 中第三行的元素换成第四行的对应元素, 按第三行展开, 则有 ()313233343520,A A A A A ++++=……………………………………………8分 联立上面两式, 解得 31323334350,0.A A A A A ++=+=………………………………………..10分四. (本题满分10分) 解: 将12345,,,,ααααα 为列向量作成矩阵, 并施以行初等变换11100024011115101252A --⎛⎫⎪ ⎪=⎪--⎪⎝⎭………………………………………………2分 111000100000251000103--⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭ 10001/40100000101/40013/10⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭………………..6分 故向量组12345,,,,ααααα 的秩为 4, 且 1234,,,αααα 为向量组 12345,,,,ααααα 的极大线性无关组……………………………………………………………………………..8分 5134113.4410αααα=++……………………………10分五.(本题满分10分)解: ()111/20211/20210,111/20TA αβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………………2分 ()111/2022,1TB βα⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭………………………………………………4分而 ()22.T T T TA A αβαβαβαβ===………………………………………5分代入方程, 可得 ()82,A I x γ-=……………………………………………….6分 从而有线性方程组121212310,220,121,2x x x x x x x ⎧-+=⎪⎪-=⎨⎪⎪+-=⎩可求得其对应齐次线性方程组的基础解系为 12,1⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭………………………………8分而 001/2⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭ 为方程组 ()82A I x γ-= 的一个特解,…………………………9分故原方程组的通解为 0102,1/21x k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭其中 k 为任意常数………… 10分六. (本题满分10分) 解: (1) 设0λ 为特征向量 X 对应的特征值, 则0212115311,1211a b λ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭………………………………………………2分 即 000,1,2,1a b λλλ⎧=-⎪+=⎨⎪+=-⎩故01,3,0.a b λ=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩……………………………………………....5分 (2) 由(1)得 212533102A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭, 所以()321253310,12I A λλλλλ---=-+-=-+=+ 因此 1- 是A 的三重特征值……………………………………………………….7分 解齐次方程组 ()0,I A x --= 因其系数矩阵 ()I A -- 的秩为2, ………….9分 故 ()dim 13N I A --=<. 所以 A 不能对角化………………………………10分。

《线性代数》自测题二及 答案

《线性代数》自测题二及 答案

测试题二(矩阵)一.单项选择题1. 设A 为n 阶矩阵,且O A =3,则( C )(A )A E A E +-,均不可逆; (B )A E -不可逆,但A E +可逆(C )A E -,E A A +-2均可逆;(D )A E -可逆,但E A A +-2不可逆2.设B A ,都是n 阶非零矩阵,且O AB =,则B A ,的秩( B )(A )必有一个等于零 (B )都小于n(C )一个小于n ,一个等于n (D )都等于n3.若A 为n 阶可逆矩阵,则下列结论不正确的是( D ).(A )11)()(--=k k A A ; (B )T k k T A A )()(=; (C )k k A A )()(**=; (D )**=kA kA )(.4. 设B A ,为n 阶矩阵,下列结论正确的是( D )(A )||||||B A B A +=+ (B )||||||B A B A -=-(C )若B AB =,则BA AB = (D )若E B AB +=,则BA AB = 5.B A ,均为三阶可逆矩阵,则下列等式成立的是( A ).(A )111)(---=B A AB ; (B )A A =-; (C )B A B A B A +-=-22; (D )A A 22=.6.设()353=⨯A R ,那么53⨯A 必满足 ( D ).(A )三阶子式全为零; (B )至少有一个四阶子式不为零;(C )二阶子式全为零; (D )至少有一个二阶子式不为零.7.⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a A 212122122111,02121≠n n b b b a a a ,秩=A (B ). (A )0; (B )1 ; (C )2; (D )n .8.设B A ,为n 阶矩阵,**,B A 是伴随矩阵,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B O O A C ,则=*C ( C ). (A ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**B B O O A A ; (B ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**A A O O B B ; (C ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**B A O O A B ; (D ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**A B O O B A .9.设B A ,均为n 阶矩阵,A 与B 等价,下列结论不正确的是( A ).(A )若0||>A ,则0||>B(B )若0||≠A ,则存在可逆矩阵P 使得E PB =(C )若A 与E 等价,则B 是可逆矩阵(D )存在可逆矩阵Q P ,,使得B PAQ =10.设)3(≥n n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a b a b a b a a A ,其中0≠ab ,若1)(-=n A r ,则b a , 应满足( B ) (A )0=+b a (B )a n b )1(-= (C )0=-b a (D )a n b )1(-=11.设B A ,均为n m ⨯矩阵,1)(r A r =,2)(r B r =,若方程组α=Ax 有解,β=Bx 无解,且r B A r =),,,(βα,则( D )(A )21r r r += (B )21r r r +≤ (C )121++=r r r (D )121++≤r r r二.填空题1.若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110P ,那么=20042003AP P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2143. 2.B A ,为三阶矩阵,1-=A ,2=B ,则()='-212B A 2 . 3.已知53)(2+-=x x x f ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a A 00,则=)(A f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-53005322b b a a . 4.若C B A ,,均为n 阶矩阵,且E CA BC AB ===,则=++222C B A 3E . 5.α是三维列向量,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----='111111111αα,则='αα 3 .6.若A 为)2(≥n n 阶可逆矩阵,*A 是A 的伴随矩阵,则**)(A = A A n 2||-.三.判断题(正确打V ,错误打×)1.*A A =的充分必要条件是1-=A A A .( × )2.3223⨯⨯B A 不可逆.( V )3.如果E AB =,则1-=A B .( V )4.B A ,为n 阶非零矩阵,若,O AB =则0==B A .( V )5.()ij a A =为n 阶可逆矩阵,若A 的每行元素之和全为a ,则1-A 的每行元素之和全为1-a .( V )6.若A 为)2(≥n n 阶可逆矩阵,*A 是A 的伴随矩阵,则**)(A A -=-( × )四.设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110011001A ,求n A . 五.讨论参数a 的取值,求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=68963642321a A 的秩.六.设122101221,021425000A B -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,是否存在可逆阵P 使PA B =,若存在,求出P 。

线性代数第二章习题答案

线性代数第二章习题答案

习 题 2-11.由6名选手参加乒乓球比赛,成绩如下:选手1胜选手2、4、5、6而负于选手3;选手2胜选手4、5、6而负于选手1、3;选手3胜选手1、2、4而负于选手5、6;选手4胜选手5、6而负于选手1、2、3;选手5胜选手3、6而负于选手1、2、4;选手6胜选手2而负于选手1、3、4、5.若胜一场得1分,负一场得0分,使用矩阵表示输赢状况,并排序.解: ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000010100100110000001011111000111010654321654321,选手按胜多负少排序为:6,5,4,3,2,1.2.设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=2521,03231z x y x B A ,已知B A =,求z y x ,,. 解:由于B A =得⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=-0253223z x y x ,解得:⎪⎩⎪⎨⎧===211z y x 。

习 题 2-21.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0112A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4021B ,求 (1)B A 52-; (2)BA AB -; (3)22B A -.解:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-202892001050224402150112252B A ;(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-2592041021820112402140210112BA AB ;(3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-152441606112254021402101120112B A 22.2.已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=230412301321A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=052110351234B ,求B A 23-. 解:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0521103512342230412301321323B -A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=619410161510550110104220610246869012369039633.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101012121234,432112122121B A ,求(1)B A -3; (2)B A 32+;(3)若X 满足B X A =-,求X ;(4)若Y 满足()()O Y B Y A =-+-22,求Y .解:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-10101212123443211212212133B A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=13973282851311010121212341296336366363; (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+1010121212343432112122121232B A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=561252527813143030363636912864224244242; (3)由B X A =-得,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=533104041113101012121234432112122121B A X ; (4)由()()O Y B Y A =-+-22得,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=2232323403402231031033112020335532)(32B A Y 。

线性代数考试题及答案

线性代数考试题及答案

线性代数考试题及答案一、选择题(每题2分,共20分)1. 向量空间中,线性无关的向量集合的最小维度是:A. 1B. 2C. 3D. 向量的数量答案:D2. 矩阵A的行列式为0,这意味着:A. A是可逆矩阵B. A不是可逆矩阵C. A的所有行向量线性相关D. A的所有列向量线性无关答案:B3. 线性变换T: R^3 → R^3,由矩阵[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]表示,其特征值是:A. 1, 2, 3B. 0, 1, 2C. -1, 1, 2D. 0, 3, 6答案:D4. 矩阵A与矩阵B相乘,结果矩阵的秩最多是:A. A的秩B. B的秩C. A和B的秩之和D. A的秩和B的列数中较小的一个答案:D5. 给定两个向量v1和v2,它们的点积v1·v2 > 0,这意味着:A. v1和v2垂直B. v1和v2平行或共线C. v1和v2的夹角小于90度D. v1和v2的夹角大于90度答案:C6. 对于任意矩阵A,下列哪个矩阵总是存在的:A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 特征矩阵答案:C7. 线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件是:A. A是方阵B. A的行列式不为0C. B是零向量D. A是可逆矩阵答案:D8. 矩阵的特征值和特征向量之间的关系是:A. 特征向量对应于特征值B. 特征值对应于特征向量C. 特征向量是矩阵的行向量D. 特征值是矩阵的对角元素答案:A9. 一个矩阵的迹(trace)是:A. 所有元素的和B. 主对角线上元素的和C. 所有行的和D. 所有列的和答案:B10. 矩阵的范数有很多种,其中最常见的是:A. L1范数B. L2范数C. 无穷范数D. 所有上述范数答案:D二、简答题(每题10分,共20分)1. 请解释什么是基(Basis)以及它在向量空间中的作用是什么?答:基是向量空间中的一组线性无关的向量,它们通过线性组合可以表示空间中的任何向量。

线性代数大学试题及答案

线性代数大学试题及答案

线性代数大学试题及答案一、选择题(每题2分,共20分)1. 向量空间的基是该空间的一组向量,它们满足以下哪些条件?A. 线性无关B. 向量空间中的任何向量都可以由基向量线性组合得到C. 向量空间中的任何向量都可以由基向量线性表示D. 所有选项答案:D2. 矩阵A的秩是指:A. A的行向量组的秩B. A的列向量组的秩C. A的转置矩阵的秩D. 所有选项答案:D3. 下列哪个矩阵是可逆的?A. 零矩阵B. 任何2x2的对角矩阵,对角线上的元素不全为零C. 任何3x3的单位矩阵D. 任何4x4的对称矩阵答案:B4. 线性变换可以用矩阵表示,当且仅当:A. 该变换是线性的B. 该变换是可逆的C. 变换的基向量线性无关D. 变换的输出空间是有限维的答案:C5. 特征值和特征向量是线性变换的基本概念,其中特征向量是指:A. 变换后长度不变的向量B. 变换后方向不变的向量C. 变换后保持不变的向量D. 变换后与原向量成比例的向量答案:D6. 矩阵的迹是:A. 矩阵主对角线上元素的和B. 矩阵的行列式的值C. 矩阵的秩D. 矩阵的逆的转置答案:A7. 以下哪个矩阵是正交矩阵?A. 单位矩阵B. 任何对称矩阵C. 任何对角矩阵D. 任何行列式为1的方阵答案:A8. 矩阵的行列式可以用于判断矩阵的:A. 可逆性B. 秩C. 特征值D. 迹答案:A9. 线性方程组有唯一解的条件是:A. 系数矩阵是可逆的B. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩C. 方程的个数等于未知数的个数D. 所有选项答案:B10. 以下哪个矩阵是对称矩阵?A. 单位矩阵B. 对角矩阵C. 任何方阵的转置D. 任何方阵与其转置的乘积答案:D二、填空题(每题2分,共10分)1. 矩阵的______是矩阵中所有行(或列)向量生成的子空间的维数。

答案:秩2. 如果矩阵A和B可交换,即AB=BA,则称矩阵A和B是______的。

答案:可交换3. 一个向量空间的维数是指该空间的______的个数。

线性代数大学试题及答案

线性代数大学试题及答案

线性代数大学试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 设A是一个3阶方阵,且满足A^2 = A,则下列说法正确的是:A. A是可逆矩阵B. A是幂等矩阵C. A是正交矩阵D. A是单位矩阵答案:B2. 若矩阵A的特征值为1,则下列说法正确的是:A. 1是A的迹B. 1是A的行列式C. 1是A的一个特征值D. 1是A的秩答案:C3. 设向量组α1, α2, ..., αn线性无关,则下列说法正确的是:A. 向量组中任意向量都可以用其他向量线性表示B. 向量组中任意向量都不可以被其他向量线性表示C. 向量组中任意向量都可以被其他向量线性表示D. 向量组中任意向量都不可以被其他向量线性表示,除非它们线性相关答案:B4. 若矩阵A的秩为2,则下列说法正确的是:A. A的行向量组线性无关B. A的列向量组线性无关C. A的行向量组线性相关D. A的列向量组线性相关答案:A二、填空题(每题5分,共30分)1. 若矩阵A的行列式为0,则A的______。

答案:秩小于矩阵的阶数2. 设向量空间V的一组基为{v1, v2, ..., vn},则任意向量v∈V可以唯一地表示为______。

答案:v = c1v1 + c2v2 + ... + cnn,其中ci为标量3. 设矩阵A和B可交换,即AB = BA,则A和B的______。

答案:特征值相同4. 若线性变换T: R^n → R^m,且T是可逆的,则T的______。

答案:行列式不为零5. 设A为n阶方阵,若A的特征多项式为f(λ) = (λ-1)^2(λ-2),则A的特征值为______。

答案:1, 1, 26. 若向量组α1, α2, ..., αn线性无关,则向量组α1, α2, ..., αn, α1+α2也是______。

答案:线性相关三、简答题(每题10分,共20分)1. 简述什么是矩阵的秩,并给出如何计算矩阵的秩的方法。

答案:矩阵的秩是指矩阵行向量或列向量组中线性无关向量的最大个数。

(本科)线性代数期末考试题及答案AB卷

(本科)线性代数期末考试题及答案AB卷

线性代数试题测试卷及答案2套一、填空题1.四阶行列式中含有因子112432a a a 的项为_________.2.行列式222111ab c a b c 的值为_________. 3.设矩阵1000010000210022⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭A ,则1-=A _________.4.设四元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为1,则其解空间的维数为_________.5.设矩阵1234(,,,)=A αααα,其中234,,ααα线性无关,12342=-+αααα,向量41i i ==∑βα,则方程=AX β的通解为_________.6.已知三阶矩阵A 的特征值为1,2,3,则32--=A A E _________.二、选择题1.若两个三阶行列式1D 与2D 有两列元素对应相同,且123,2D D ==-,则12D D +的值为( ).A.1B.6-C.5D.02.对任意的n 阶方阵,A B 总有 ( ). A.=AB BA B.=AB BA C.()111---=AB B A D.()222=AB A B3.若矩阵X 满足方程=AXB C ,则矩阵X 为( ).A.11--A B C B.11--A CB C.11--CA B D.条件不足,无法求解4.设矩阵A 为四阶方阵,且()3R =A ,则*()R =A ( ). A.4 B.3 C.2 D.15.下列说法与非齐次线性方程组=AX β有解不等价的命题是( ).A.向量β可由A 的列向量组线性表示B.矩阵A 的列向量组与(,)A β的列向量组等价C.矩阵A 的行向量组与(,)A β的行向量组等价D.(,)A β的列向量组可由A 的列向量组线性表示6.设n 阶矩阵A 和B 相似,则下列说法错误的是( ). A.=A B B.()()R R =A BC.A 与B 等价D.A 与B 具有相同的特征向量7.设222123121323()224f x x x x ax x x x x x =+++-+为正定二次型,则a 满足( ).A.11a a ><-或B.12a <<C.11a -<<D.21a -<<- 三、计算题1.已知12111111111n na a D a ++=+,其中120n a a a ≠,求12n n nn A A A +++.2.设矩阵022110123⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ,且2=+AX A X ,求X .3.求矩阵123451122102151(,,,,)2031311041⎛⎫ ⎪-⎪== ⎪- ⎪-⎝⎭A ααααα的列向量组的一个最大无关组,并把其余列向量用最大无关组线性表示.4.求非齐次线性方程组12341234123431,3344,5980x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪--+=⎨⎪+--=⎩的通解.5.求一个正交变换=X PY ,将二次型123121323(,,)222f x x x x x x x x x =--化成标准形.四、证明题已知n 阶方阵A 和B 满足124-=-A B B E ,证明2不是A 的特征值。

《线性代数》测验二答案

《线性代数》测验二答案

1

2
5.设 A 为 n 阶矩阵,B 为 n 阶非零矩阵,若 B 的每一个列向量都是齐次线性方程组 Ax=0 的
解,则|A|=__________________
答0
6.齐次线性方程组
2x1x1x2x2x33 x3
0
0
的基础解系所含解向量的个数为________________
答1
(D)(1)的解是(2)的解,但(2)的解不是(1)的解
1
答A
4 5 8.设矩阵 A= 5 7
6 9 (A)(1,1,1)T 答A
2
3 ,则以下向量中是 A 的特征向量的是(

4
(B)(1,1,3)T (C)(1,1,0)T (D)(1,0,-3)T
1 1 1
《线性代数》(向量、线性方程组、特征值与特征向量)测验二
学院
班级
姓名
成绩
一.单项选择题(每小题 2 分,共 20 分)
1.设向量组1, 2 , 3 线性无关,则下列向量组线性无关的是(

(A)1 2 , 2 3 , 3 1
(B)1 2 , 2 3 ,1 2 2 3
性表示,记向量组(Ⅱ)1, 2 ,, m1, ,则(

(A) m 不能由(Ⅰ)线性表示,也不能由(Ⅱ)线性表示
(B) m 不能由(Ⅰ)线性表示,但可由(Ⅱ)线性表示
(C) m 可由(Ⅰ)线性表示,也可由(Ⅱ)线性表示
(D) m 可由(Ⅰ)线性表示,但不可由(Ⅱ)线性表示
答B
3.设1, 2 ,, s 均为 n 维向量,下列结论不.正确的是(


Ab


1 0

线性代数考试题及答案

线性代数考试题及答案

线性代数考试题及答案一、选择题(每题2分,共20分)1. 向量空间中,向量组的线性相关性指的是:A. 向量组中的向量可以相互表示B. 向量组中存在非零向量可以表示为其他向量的线性组合C. 向量组中的向量线性无关D. 向量组中的向量可以线性独立答案:B2. 矩阵A的秩是指:A. A的行向量组的极大线性无关组所含向量个数B. A的列向量组的极大线性无关组所含向量个数C. A的行数D. A的列数答案:B3. 对于矩阵A,若存在矩阵B,使得AB=BA=I,则B是A的:A. 逆矩阵B. 伴随矩阵C. 转置矩阵D. 正交矩阵答案:A4. 线性变换的特征值是指:A. 变换后向量的长度B. 变换后向量的方向C. 变换后向量与原向量的比值D. 变换后向量与原向量的夹角答案:C5. 一个矩阵的特征多项式是:A. 矩阵的行列式B. 矩阵的逆矩阵C. 矩阵的伴随矩阵D. 矩阵的迹答案:A6. 线性方程组有唯一解的条件是:A. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩B. 系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩C. 系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩D. 系数矩阵的行列式不为零答案:D7. 矩阵的迹是:A. 矩阵的对角线元素之和B. 矩阵的行列式C. 矩阵的逆矩阵D. 矩阵的伴随矩阵答案:A8. 矩阵的伴随矩阵是:A. 矩阵的转置矩阵B. 矩阵的逆矩阵C. 矩阵的对角线元素的乘积D. 矩阵的行列式答案:B9. 向量空间的基是指:A. 向量空间中的一组向量B. 向量空间中线性无关的一组向量C. 向量空间中线性相关的一组向量D. 向量空间中任意一组向量答案:B10. 矩阵的转置是:A. 矩阵的行列互换B. 矩阵的行列互换C. 矩阵的行向量变成列向量D. 矩阵的列向量变成行向量答案:A二、填空题(每空2分,共20分)1. 一个向量空间的维数是指该空间的_________。

答案:基的向量个数2. 矩阵A的行列式表示为_________。

答案:det(A)3. 线性变换的矩阵表示是_________。

《线性代数》练习题库参考答案

《线性代数》练习题库参考答案

《线性代数》练习测试题库一.选择题1、=-0000000000121nn a a a a ( B )A. n n a a a 21)1(-B. n n a a a 211)1(+-C. n a a a 212、n 阶行列式0000000000a a a a= ( B )A.na B. (1)2(1)n n n a -- C. (1)n n a -3、n21= ( B )A. (1)!nn - B. (1)2(1)!n n n -- C. 1(1)!n n +-4、 A 是n 阶方阵,m, l 是非负整数,以下说法不正确的是 ( C ). A. ()m l mlA A = B. mlm lA A A+⋅= C. m m mB A AB =)(5、A 、B 分别为m n ⨯、s t ⨯矩阵, ACB 有意义的条件是 ( C ) A. C 为m t ⨯矩阵; B. C 为n t ⨯矩阵; C. C 为n s ⨯矩阵6、下面不一定为方阵的是 (C )A.对称矩阵.B.可逆矩阵.C. 线性方程组的系数矩阵.7、 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1021 的伴随矩阵是 (A ) A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1021 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1201 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1021 8、 分块矩阵 00A B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(其中A 、B 为可逆矩阵)的逆矩阵是 ( A )A. 1100A B --⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 00BA ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 1100B A --⎡⎤⎢⎥⎣⎦9、线性方程组Ax b = 有唯一解的条件是 ( A )A.()()r A r A b A ==的列数B.()()r A r A b = .C.()()r A r A b A ==的行数10、线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211a ax x x a x ax x x x ax 有唯一解的条件是 (A )A. 2,1-≠aB. 21-==a a 或.C. 1≠a11、 的是则下面向量组线性无关),,,=(),,,=()6,2,4(054312--=--γβα(B )A. 0,,βα B. γβ, C. γα, 12、设A 为正交矩阵,下面结论中错误的是 ( C )A. A T 也为正交矩阵.B. A -1也为正交矩阵.C. 总有 1A =-13、二次型()233221214321342,,,,x x x x x x x x x x f --+=的矩阵为 ( C )A 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---340402021B 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---320201011 C 、⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---0000032002010011 14、设r 是实二次型),,,(21n x x x f 的秩,p 是二次型的正惯性指数,q 是二次型的负惯性指数,s 是二次型的符号差,那么 ( B )A. q p r -=;B. q p r +=;C. q p s +=; 15、下面二次型中正定的是 ( B )A. 21321),,(x x x x x f =B.2322213212),,(x x x x x x f ++= C.22213212),,(x x x x x f +=二、判断题1、若行列式主对角线上的元素全为0,则此行列式为0. ( ⨯ )2、A 与B 都是3×2矩阵,则A 与B 的乘积也是3×2矩阵。

线性代数第二章习题部分答案

线性代数第二章习题部分答案

线性代数第二章习题部分答案第二章向量组的线性相关性§2-1 §2-2 n维向量,线性相关与线性无关(一)一、填空题1. 设3 α1?α +2 α2+α =5 α3+α , 其中α1=(2,5,1,3)T,α2=(10,1,5,10)T, α3=(4,1,?1,1)T, 则α= (1,2,3,4)T . 2. 设α1=(1,1,1)T, α2=(2,1,1)T,α3=(0,2,4)T,则线性组合α1?3α2+α3= (?5,0,2)T .3. 设矩阵A= 5 ,设βi为矩阵A的第i个列向量,则2β1+β2?β3= (?2,8,?2)T .二、试确定下列向量组的线性相关性1. α1=(2,1,0)T, α2=(1,2,1)T, α3=(1,1,1)T解:设k1α1+k2α2+k3α3=0,则k1 210 +k2 121 +k3 111 = 000即2k1+k2+k3=0k1+2k2+k3=0k2+k3=0 k1+2k2+k3=0?3k2?k3=0k2+k3=0 k1+2k2+k3=0k2+k3=0k3=0 k1=k2=k3=0,线性无关。

2. α1=(1,?1,2)T, α2=(0,0,0)T, α3=(1,4,3)T线性相关三、设有向量组α1=(1,1,0)T, α2=(1,3,?1)T, α3=(5,?3,t)T,问t 取何值时该向量组线性相关。

解:设k1α1+k2α2+k3α3=0,则k1 110 +k2 13?1 +k3 5?3t =0即 k1+k2+5k3=0k1+3k2?3k3=0?k2+tk3=0k1+k2+5k3=0k2?4k3=0?k2+tk3=0k1+k2+5k3=0k1+3k2?3k3=0(t?4)k3=0所以,t=4, 线性相关; t≠4, 线性无关四、设a1,a2线性无关,a1+b,a2+b线性相关,求向量b用a1,a2线性表示的表示式。

解:因为a1+b,a2+b线性相关,所以存在不全为零的k1,k2,使得k1(a1+b)+k2(a2+b)=0, 即(k1+k2)b=?k1a1?k2a2.又因为a1,a2线性无关,所以k1+k2≠0,于是,b=?k1k1+k2a1?k2k1+k2a2.五、已知向量组α1,α2,?,α2n,令β1=α1+α2,β2=α2+α3,?,β2n=α2n+α1,求证向量组β1,β2,?,β2n线性相关。

线性代数自考试题及答案

线性代数自考试题及答案

线性代数自考试题及答案一、选择题(每题2分,共20分)1. 向量空间中的基是一组向量,以下哪个不是基的性质?A. 线性无关B. 线性相关C. 张成整个空间D. 可以是空间中的任意向量2. 矩阵A和矩阵B相乘,结果矩阵的行列式等于:A. A的行列式乘以B的行列式B. B的行列式乘以A的行列式C. 两个矩阵的行列式之和D. 无法确定3. 对于线性变换,以下哪个说法是错误的?A. 线性变换保持向量的加法运算B. 线性变换保持标量的乘法C. 线性变换保持向量的长度D. 线性变换保持向量的点积4. 一个矩阵的特征值是指:A. 矩阵的对角线元素B. 矩阵的行列式C. 使得矩阵的某个特征向量不为零的标量D. 矩阵的迹5. 以下哪个矩阵是可逆的?A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 奇异矩阵D. 任意矩阵6. 矩阵的秩是指:A. 矩阵中非零行的最大数量B. 矩阵中非零列的最大数量C. 矩阵中最大的线性无关行或列的数量D. 矩阵的行数或列数7. 线性方程组的解集可以是:A. 一个点B. 一条直线C. 一个平面D. 无限多个解8. 矩阵的迹是:A. 矩阵的对角线元素之和B. 矩阵的行列式C. 矩阵的逆矩阵的对角线元素之和D. 矩阵的转置矩阵9. 向量空间的维数是指:A. 空间中向量的个数B. 空间中基的向量个数C. 空间中任意向量的个数D. 空间中线性无关向量的最大个数10. 线性变换的核是指:A. 变换后为零向量的集合B. 变换后为单位向量的集合C. 变换后为任意向量的集合D. 变换后为非零向量的集合二、简答题(每题10分,共30分)1. 解释什么是线性相关和线性无关,并给出一个例子。

2. 描述如何计算矩阵的特征值和特征向量。

3. 解释什么是正交矩阵,并给出正交矩阵的一个性质。

三、计算题(每题25分,共50分)1. 给定矩阵A = \[\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\],求矩阵A的逆矩阵。

(完整版)线性代数试题及答案

(完整版)线性代数试题及答案

线性代数习题和答案第一部分 选择题 (共 28 分)、单项选择题(本大题共 14 小题,每小题 2 分,共 28 分)在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

C. 3D. 46.设两个向量组 α1,α2,⋯, αs 和β 1,β2,⋯, βs 均线性相关,则()A. 有不全为 0 的数λ 1,λ2,⋯,λs 使λ1α1+λ2α2+⋯+λs αs =0 和λ 1β 1+λ 2β 2+⋯λ s βs =0B. 有不全为 0 的数λ 1,λ 2,⋯,λ s 使λ 1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+⋯+λs ( α s + β s )=0C. 有不全为 0 的数λ 1,λ 2,⋯,λ s 使λ1(α 1- β1)+λ2(α2- β2)+⋯+λs (αs - βs )=0D.有不全为 0的数λ 1,λ 2,⋯,λ s 和不全为 0的数μ 1,μ 2,⋯,μ s 使λ1α1+λ2α2+⋯+ λ s α s =0 和μ 1β1+μ2β2+⋯+μ s βs =07.设矩阵 A 的秩为 r ,则 A 中( )A. 所有 r- 1阶子式都不为 0B.所有 r- 1阶子式全为 0C.至少有一个 r 阶子式不等于 0D.所有 r 阶子式都不为 08. 设 Ax=b 是一非齐次线性方程组, η1,η2是其任意 2 个解,则下列结论错误的是( )A. m+n C. n- m a 11a 12a 13 a 11=m ,a 21a 22a 23 a 21a 11 a 12 a 13等于(2.设矩阵 A=0 ,则 A - 1 等于( 3A. 0 1 3C. 03.设矩阵 A=a 21 a 22 a 23B. - (m+n) D. m- nB.D.21 ,A *是 A 的伴随矩阵,则 A *中位于 41,2)的元素是(A. –6 C. 2 4.设 A 是方阵,如有矩阵关系式 AB=AC ,则必有( A. A =0 C. A 0 时 B=C 5.已知 3×4 矩阵 A 的行向量组线性无关,则秩( A. 1B. 6 D. –2 ) B. B D. |A| 0 时 B=C C 时 A=0 A T )等于( )B. 21.设行列式 =n ,则行列式10.设 A 是一个 n (≥3)阶方阵,下列陈述中正确的是( )A. 如存在数λ和向量 α使 A α=λα,则α是 A 的属于特征值λ的特征向量B. 如存在数λ和非零向量 α,使(λE- A )α=0,则λ是 A 的特征值C. A 的 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量D. 如λ 1,λ 2,λ 3是A 的 3个互不相同的特征值, α1,α2,α3依次是 A 的属于λ 1,λ2, λ3的特征向量,则 α 1,α 2, α 3有可能线性相关 11. 设λ 0是矩阵 A 的特征方程的 3重根, A 的属于λ 0的线性无关的特征向量的个数为 k ,则必有( )222(a 11A 21+a 12A 22+a 13A 23) +(a 21A 21+a 22A 22+a 23A 23) +(a 31A 21+a 32A 22+a 33A 23) =.18. 设向量( 2, -3, 5)与向量( -4, 6, a )线性相关,则 a= .19. 设A 是 3×4矩阵,其秩为 3,若η1,η2为非齐次线性方程组 Ax=b 的 2个不同的解,则它 的通解为 .20. 设 A 是 m ×n 矩阵, A 的秩为 r (<n ) ,则齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系中含有解的个A. η1+η2 是 Ax=0 的一个解 C. η 1-η 2是 Ax=0 的一个解 9. 设 n 阶方阵 A 不可逆,则必有(A. 秩 (A )<n C.A=0 11B.η1+ η2是 Ax=b 的一个解22D. 2 η 1-η 2 是 Ax=b 的一个解 ) B. 秩 (A)=n- 1D. 方程组 Ax=0 只有零解A. k ≤ 3C. k=312. 设 A 是正交矩阵,则下列结论错误的是(A.| A| 2必为 1 C. A - 1=A T 13. 设 A 是实对称矩阵, C 是实可逆矩阵,A.A 与 B 相似B. A 与 B 不等价C. A 与 B 有相同的特征值D. A 与 B 合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为()23 A.34 1 0 0C. 0 2 30 3 5第二部分B. k<3 D. k>3 )B.|A|必为 1D.A 的行(列)向量组是正交单位向量组 B=C T AC .则( ) 34 B. 26 1 1 1 D. 1 2 0102 非选择题(共 72 分)2 分,共 20 分)不写解答过程,将正确的答案写在每1 1 115. 3 569 25 361 111 2 316.设 A=B=.则 A+2B=1 111 2 417. 设 A =(a ij )3 × 3 , |A|=2 , A ij 表示 |A|中 元 素a ij 的 代 数 余 子 式 ( i,j=1,2,3 ) , 则数为.21. 设向量α、β的长度依次为2和3,则向量α+β与α-β的内积(α+β,α- β)=22.设 3阶矩阵 A 的行列式 |A |=8,已知 A 有 2个特征值 -1和 4,则另一特征值为 .0 10 6223.设矩阵 A=1 3 3 ,已知 α = 1 是它的一个特征向量,则α 所对应的特征值2 10 82为24.设实二次型 f (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)的秩为 4,正惯性指数为 3,则其规范形为 三、计算题(本大题共 7 小题,每小题 6分,共 42分)26.试计算行列式4 2 327.设矩阵 A= 110, 求矩阵 B 使其满足矩阵方程AB=A+2B.12321 3 028.给定向量组α 1=1,3 α2=, α=, α10 2 2 =4.3419试判断 α 4 是否为 α 1, α2,α3 的线性组合;若是, 则求出组合系数。

线性代数模拟题二答案

线性代数模拟题二答案

线性代数 试题 班级 姓名 学号 第 1 页线性代数模拟题(二)答案一、 判断题(正确画“ √ ”,错误画“×”)(每题2分,共10分)( √ ) 1. 任何矩阵都可以经过有限次初等行变换化为行最简形矩阵。

( × ) 2. 若向量组的秩为r ,则向量组中任意1r -个向量线性无关。

( √ ) 3. 任意两个行列式都可以相乘。

( × ) 4. 设A ,B 是n 阶方阵,则()222AB A B =。

( × ) 5. 若两个向量组等价,则它们含有相同个数的向量。

二、 填空题(每空3分,共30分)1.已知4阶行列式1124307115392680D --=----,则11121314539M M M M -+++的值为 0 ,其中M ij 为D 的第i 行第j 列元素的余子式。

2.已知3阶矩阵A 的行列式2A =,则12A -= 4 ,*A = 4 。

3.已知5元齐次线性方程组0Ax =,若利用MATLAB 软件中命令null(A, ‘r ’)可得如下结果:ans =-1 0 -3 1 1 -1 1 0 0 1则(I )的系数矩阵A 的秩为 3 ,(I )的通解为12121031,,111001x k k k k R ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪=+∈- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

4.已知非齐次线性方程组的增广矩阵为B =221002101100001010001k k k k -⎛⎫⎪-⎪⎪--⎪+⎝⎭,则当k =0时方程组无解;当k =1时方程组有无穷解。

5.可逆矩阵的列向量组的线性相关性为 线性无关 。

6.已知101010011A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的3个特征值为123,,λλλ,则123λλλ++= 1 ,A 的3个特征值的乘积为⋅⋅=123λλλ -1 。

三、 计算题(本题共2小题,每题10分,共20分)1. 已知矩阵201021,112101A B --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,1221C ⎛⎫= ⎪-⎝⎭。

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0 1 4.解 (1) 表示矩阵为 1 1 0 ,其行列式为 0,不是可逆矩阵,因此 (1)这组解不构成 0 1 1 基础解系; 1 0 1 (2) 表示矩阵的 1 1 0,行列式为 (2),因此(2) 这组解构成AX 0的基础解系. 0 1 1
(a4 a3 )(a4 a2 )(a4 a1 )(a3 a2 )(a3 a1 )(a2 a1 )
由 a1 , a 2 , a3 , a 4 两两不相等,知 A 0, 从而矩阵 r ( A ) 4. 但系数矩阵 A的秩 R( A) 3, 故 r ( r ( A ), 因此方程组无解。 (2) 当 a1 a 3 k , a2 a 4 k (k 0) 时,方程组为
4.解 由题意知
A1 b,A2 b, ,As b
若 c11 c22 css 为 AX b 的解,则应有 A(c11 c22 css ) b 即 (c1 c2 cs )b b 从而 c1 c2 cs=1 所以应填 1.
2.分析 由矩阵B可知向量组 1 , 2 , 3 , 4的一个极大无关组为1 , 2 , 3,此时只有 4可 由其余向量线性表示;若极大无关组为1 , 3 , 4,只有 2可由其余向量线性表示;即 无论极大无关组为那种情况,1 , 3 , 均不可由其余向量线性表示. 故应选(C).
1 k 2k 0, 故 r ( A) r ( A ) 2, 从而方程组相容且对应的导出方程组的 1 k 因为 1 , 2 是原非齐次方程组的两个解,故
基础解系应含有 3 2 1 个解向量. 1 1 2 2 1 1 1 0 1 1 2 是对应齐次线性方程组的解;且 0, 是导出方程组的基础解系. 于是原非齐次线性方程组的通解为 1 2 X 1 c 1 c 0 (c 为任意常数) 1 2
1 2t 1 0 0 1 t 0 0 (1 t ) 2 x1 x 3 x 2 x3 x4
2 2t t (1 t ) 2
要使 r ( A) 2, 则必有 t 1. 此时与 AX 0 同解的方程组为
1 1 x3 1 0 得基础解系 1 x 取 0, 1 , 1 4 0
3.解 应选(C).
1
4.分析 应用排除法 ( A), ( B), (C ) 不正确。事实上当 A E 时,则 A2 E , 而 A E 不可逆;当A E 时,A2 E , 但 A E亦不可逆。因而只有 ( D ) 正确. 也可直接判定 ( D ) 是正确的选项.由于 A2 E , 所以 ( A E )( A E ) 0, 故 A E 时方程 ( A E ) X 0 有非零解,因此 A E 0, 即 A E 不可逆. 故应选 ( D ).
3.解 一方面,由任何 4 维向量均可由4 维单位向量e1,e2,e3,e4线性表示知向量组
1 , 2 , 3 , 4,可由e1,e2,e3,e4线性表示.
1 1 1 另一方面,由 1 , 2 , 3 , 4 = 1 0 1 1 1 =1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 知1 , 2 , 3 , 4线性无关,从而任一4维向量均可由1 , 2 , 3 , 4线性表示,从而 e1,e2,e3,e4可由1 , 2 , 3 , 4线性表示.
3
x1 kx2 k 2 x3 k 3 2 3 x1 kx2 k x3 k 2 3 x1 kx2 k x3 k x kx k 2 x k 3 1 2 3 因为
2 3 x1 kx2 k x3 k ,即 2 3 x1 kx2 k x3 k
1 1 1 a a2 ar 1 2 2.解 1 , 2 ,, r a12 a2 ar2 记 A, n 1 n 1 a2 arn 1 a1 从矩阵 A中选取前 r 行,r 列构成的一个 r 阶子式 Ar , Ar 为 r 阶范德蒙行列式,由已知 条件 a1 , a2 ,, ar 互不相同知 Ar 0, 所以 r ( A) r , 从而向量组1 , 2 ,, r 线性无关.
2
5.解 因为 n 4, n r ( A) 2, 所以 R( A) 2. 对 A 施行初等行变换化为阶梯形矩阵 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 A 0 1 t t 0 1 t t 0 1 t 2 1 t 0 1 0 t 2 1 1 0 0 (1 t ) t (1 t ) 2 2
4
二、选择题
1.解 非(A). 反例:令(I):1=(1,0,0), 2=(0,1,0), 3=(1,1,0); (II):1=(1,0,0,0), 2=(0,1,0,0), 3=(1,1, 0,1), 不难验证:a1 , a2 , a3线性相关,而1, 2, 3线性无关 非(C),非(D). 反例:令(II):1=(1,0,0,0), 2=(1,1,0,1), 3=(0,0,0,1), (I):1=(1,0,0), 2=(1,1,0), 3=(0,0,0); 显然(II)线性无关, (I)线性相关. 由于“无关组增加分量仍无关”,所以应选(B).
5.分析 由题设知,r ( A) r ( A) 4 5, 故 A的行向量组线性无关,且方程组 有无穷多个解. 但 A 的列向量组不一定线性无关,A的任意四个列向量构成 的向量组不一定都线性无关。 故应选 ( B ).
三、计算、证明题
1.解 由 4 -2 =3- ,整理得 2 =3- 1 1 1 即 = (3 ) [(3,0,3) (3,2, 1)] (0, 2, 4) (0, 1, 2) 2 2 2
答案:本科线性代数测试题(二)
一、填空题
1.分析 向量与 线性相关的充要条件是 =k 1 a 2 也即 = ,所以 a 2,b 4 2 4 b 故应填 2, 4.
2.分析 即 由于 1 , 2 , 3 的第二、四、五个分量组成的向量组是3个单位向量, e1 (1,0,0) e2 (0,1,0) e3 (0,0,1)
0 1 2 0 1
方程组的通解为
1 0 1 1 k11 k 2 2 k1 k 2 ,其中 k1 , k 2 为任意常数. 1 0 0 1
6.解 (1) 增广矩阵 A的行列式 1 1 A 1 1 a1 a2 a3 a4 a12 2 a2 2 a3 2 a4 a13 3 a2 3 a3 3 a3
由于 e1、e2、e3 线性无关,故1 , 2 , 3线性无关.
3.分析
由已知方程组AX 0有n个线性无关的解向量1,2, ,n,故矩阵 A(1,2, ,n ) AB 0
1 1
B (1,2, ,n ) 可逆,且有 从而 A ABB 0 B 0 故应填 0.
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