线性代数试题及答案。。
大专线性代数试题及答案
大专线性代数试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列矩阵中，哪一个是可逆矩阵？A. \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)B. \(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\)C. \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)D. \(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}\)答案：C2. 矩阵 \(A\) 与矩阵 \(B\) 的乘积 \(AB\) 存在，那么矩阵 \(A\) 的列数必须等于矩阵 \(B\) 的行数。
这个说法是：A. 正确B. 错误答案：A3. 如果 \(\lambda\) 是矩阵 \(A\) 的一个特征值，那么\(\lambda\) 也是 \(A\) 的转置矩阵 \(A^T\) 的特征值。
这个说法是：A. 正确B. 错误答案：A4. 向量 \(\vec{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{bmatrix}\) 和 \(\vec{b} = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6\end{bmatrix}\) 是否正交？A. 是B. 否答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 矩阵 \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\) 的行列式值为 ________。
答案：-22. 向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 的内积定义为 \(\vec{a}\cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2\)，若 \(\vec{a} =\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}\) 和 \(\vec{b} =\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}\)，则 \(\vec{a} \cdot\vec{b} = ________\)。
线性代数期末考试试题及答案
线性代数期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列矩阵中，哪个是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 1]C. [1, 1; 1, 1]D. [0, 0; 0, 0]2. 如果向量v = (3, -2)，那么其对应的单位向量是什么？A. (1, -2/3)B. (3/√13, -2/√13)C. (3/√29, -2/√29)D. (3/√10, -2/√10)3. 对于矩阵A，|A|表示其行列式，那么|A| = 0表示：A. A是单位矩阵B. A是零矩阵C. A不是满秩矩阵D. A是可逆矩阵4. 矩阵的特征值是什么？A. 矩阵的对角元素B. 矩阵的迹C. 满足Av = λv的非零向量v对应的λD. 矩阵的行列式5. 下列哪个矩阵是对称矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 2]C. [1, -1; 1, 1]D. [1, 0; 0, 1]二、填空题（每题3分，共15分）6. 如果矩阵A的秩为1，那么A的零空间的维数是_________。
7. 对于任意非零向量α和β，如果α + β和α - β都是零向量，那么向量α和β_________。
8. 一个向量空间的一组基的向量数量至少是_________。
9. 如果矩阵A是n阶方阵，且A^2 = I（单位矩阵），那么矩阵A是_________矩阵。
10. 对于实数域上的向量空间，任意两个非零向量的标量积是_________的。
三、简答题（每题10分，共20分）11. 解释什么是线性变换，并给出一个线性变换的例子。
12. 证明如果矩阵A和B是可交换的，即AB = BA，那么它们的行列式之积等于各自行列式的乘积，即|AB| = |A||B|。
四、计算题（每题15分，共30分）13. 给定矩阵A = [4, 1; 3, 2]，求A的逆矩阵A^-1。
14. 设向量空间V是所有2x2实对称矩阵的集合，证明V是一个向量空间，并找出一组基。
完整版)线性代数试卷及答案
完整版)线性代数试卷及答案线性代数A试题（A卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数学号：______ 姓名：______题号得分阅卷人一．单项选择题（每小题3分，共30分）1.设A经过初等行变换变为B，则(B)。
(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。
A) r(A)。
r(B)；(D)2.设A为n(n≥2)阶方阵且|A|=，则(C)。
A) A中有一行元素全为零；(B) A中必有一行为其余行的线性组合；(C) A有两行（列）元素对应成比例；(D) A的任一行为其余行的线性组合。
3.设A,B是n阶矩阵(n≥2),AB=O,则下列结论一定正确的是: (D)A) A=O或B=O。
(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX=O的解。
(C) BA=O。
(D) R(A)+R(B)≤n.4.下列不是n维向量组α1,α2.αs线性无关的充分必要条件是（A）A) 存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs≠O；(B) 不存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs=O(C) α1,α2.αs的秩等于s；(D) α1,α2.αs 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。
5.设n阶矩阵(n≥3)A=，若矩阵A的秩为n-1，则a必为（）。
11；(C) -1；(D)。
(A) 1；(B)6.四阶行列式a1a2a3a4b1b2b3b4的值等于（）。
A) a1a2a3a4+b1b2b3b4；(B) (a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)；(C)a1a2a3a4-b1b2b3b4；(D) (a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。
1.设A为四阶矩阵且A=b，则A的伴随矩阵A的行列式为b^3.(C)2.设A为n阶矩阵满足A+3A+In=O，In为n阶单位矩阵，则A=−A−3In。
(C)9.设A，B是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是A与B的行列式相同。
线性代数大学试题及答案
线性代数大学试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间的基是该空间的一组向量，它们满足以下哪些条件？A. 线性无关B. 向量空间中的任何向量都可以由基向量线性组合得到C. 向量空间中的任何向量都可以由基向量线性表示D. 所有选项答案：D2. 矩阵A的秩是指：A. A的行向量组的秩B. A的列向量组的秩C. A的转置矩阵的秩D. 所有选项答案：D3. 下列哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 任何2x2的对角矩阵，对角线上的元素不全为零C. 任何3x3的单位矩阵D. 任何4x4的对称矩阵答案：B4. 线性变换可以用矩阵表示，当且仅当：A. 该变换是线性的B. 该变换是可逆的C. 变换的基向量线性无关D. 变换的输出空间是有限维的答案：C5. 特征值和特征向量是线性变换的基本概念，其中特征向量是指：A. 变换后长度不变的向量B. 变换后方向不变的向量C. 变换后保持不变的向量D. 变换后与原向量成比例的向量答案：D6. 矩阵的迹是：A. 矩阵主对角线上元素的和B. 矩阵的行列式的值C. 矩阵的秩D. 矩阵的逆的转置答案：A7. 以下哪个矩阵是正交矩阵？A. 单位矩阵B. 任何对称矩阵C. 任何对角矩阵D. 任何行列式为1的方阵答案：A8. 矩阵的行列式可以用于判断矩阵的：A. 可逆性B. 秩C. 特征值D. 迹答案：A9. 线性方程组有唯一解的条件是：A. 系数矩阵是可逆的B. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩C. 方程的个数等于未知数的个数D. 所有选项答案：B10. 以下哪个矩阵是对称矩阵？A. 单位矩阵B. 对角矩阵C. 任何方阵的转置D. 任何方阵与其转置的乘积答案：D二、填空题（每题2分，共10分）1. 矩阵的______是矩阵中所有行（或列）向量生成的子空间的维数。
答案：秩2. 如果矩阵A和B可交换，即AB=BA，则称矩阵A和B是______的。
答案：可交换3. 一个向量空间的维数是指该空间的______的个数。
线性代数复习题部分参考答案
线性代数复习题部分参考答案线性代数试题（一） 一、填空题（每小题4分）1.行列式4100031000210001的值 242.设a b 为实数，则当a= 0 且b= 0 时，10100--a b b a =03.10111111)(-=x x f 中，x 的一次项系数是 -1 4.已知矩阵A 3×2 B 2×3 C 3×3，则B A ⋅为 3 × 3 矩阵 5.A 为n 阶方阵，且d A =，则A K ⋅=d K n ⋅ 二、选择题（4分/题） 1.下列各式中 ④ 的值为0①行列式D 中有两列对应元素之和为0 ②行列式D 中对角线上元素全为0 ③行列式D 中有两行含有相同的公因子 ④D 中有一行与另一行元素对应成比例 2.设23⨯A 32⨯B 33⨯C ，则下列 ② 运算有意义 ①AC ②BC ③A+B ④AB -BC3.用一初等矩阵左乘一矩阵B ，等于对B 施行相应的 ① 变换 ①行变换 ②列变换 ③既不是行变换也不是列变换4.⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1101001100001100001000101的秩为 ①①5 ②4 ③3 ④25.向量组r ααα⋅⋅⋅21线性无关的充要条件是 ②①向量组中不含0向量 ②向量组的秩等于它所含向量的个数 ③向量组中任意r -1个向量无关 ④向量组中存在一个向量，它不能由其余向量表出 6.向量组t βββ⋅⋅⋅21可由s ααα⋅⋅⋅21线性表出，且t βββ⋅⋅⋅21线性无关，则s 与t 的关系为 ④①s=t ②s>t ③s<t ④s≥t7.如果一个线性方程组有解，则只有唯一解的充要条件是它的导出组 ③ ①有解 ②设解 ③只有0解 ④有非0解8.当K= ④ 时，（2. 1. 0. 3）与（1. -1. 1. K ）的内积为2 ①-1 ②1 ③23 ④329.已知A 2=A ，则A 的特征值是 ③①λ=0 ②λ=1 ③λ=0或=λ1 ④λ=0和λ=110.1111111111111111b a a +-+的值为 ④ ①1 ②0 ③a ④-a 2b线性代数试题（二）一、填空题（4分/题）1.行列式21064153247308021的值为 0 2.二次型yz xy z y x yz x f 222)(2221-+-+=对应的实对称矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---110121011 3.10110111)(--=x x f 中x 的一次项系数是 -14.已知A 为3×3矩阵，且A =3，则A 2= 24二、选择题（4分/题） 1.下列各式中 的值为0①行列式D 中有两列对应元素之和为0 ②行列式D 中对角线上元素全为0 ③行列式D 中有两行含有相同的公因子 ④D 中有一行与另一行元素对应成比例 2.设23⨯A 32⨯B 33⨯C ，则下列 ② 运算有意义 ①AC ②BC ③A+B ④AB -BC3. 向量组t βββ⋅⋅⋅21可由s ααα⋅⋅⋅21线性表出，且t βββ⋅⋅⋅21线性无关，则s 与t 的关系为 ④①s=t ②s>t ③s<t ④s≥t4.齐次线性方程组Ax=0是Ax=B 的导出组则①Ax=0只有零解,Ax=B 有唯一解 ②Ax=0有非零解,Ax=B 有无穷多解 ③U 是Ax=0的通解,X0是Ax=B 的一个解,则X0+U 是Ax=B 的通解 5.向量组)1.1.1(1=α )5.2.0(2=α )6.3.1(3=α是 ①①线性相关 ②线性无关 ③0321=++ααα ④02321=++ααα线性代数试题（三） 一、填空题（4分/题）1.向量)1.0.0.1(=α )0.1.1.0(-=β，则2βα+= （2. 1. -1. 2）2.设aER bER ，则当a= 0 ，b= 0 时10100b a a b -=03.10111111)(-=x x f 中，x 的一次项系数是 1 4.已知A 为3×3矩阵，且1=A ，则A 2= 85.已知A3×3 B3×2 C2×4，则矩阵A.B.C 为 3 × 4 矩阵6.用一初等矩阵右乘矩阵C ，等价于对C 施行 初等列变换7.向量组γααα⋅⋅⋅21.可由向量组s βββ⋅⋅⋅21线性表示且γααα⋅⋅⋅21.线性无关则 s ≤γ 8.如果线性方程组Ax=B 有解则必有)(A γ=)~(A γ9.行列式1111141111311112的值为 6 10.当K= 2 时（1. 0. 0. 1）与（a. 1. 5. 3）的内积为5 二、选择题（4分/题）1.已知矩阵满足A 2=3A ，则A 的特征值是 ③ ①λ=1 ②λ=0 ③λ=3或λ=0 ④λ=3和λ=02.如果一个线性方程组有解，则只有唯一解的充要条件是它的导出组 ③ ①有解 ②没解 ③只有零解 ④有非0解3.矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1101001100001100001000101的秩为 ①①5 ②4 ③3 ④2 4.下列各式中 ④ 的值为0①行列式D 中有两列对应元素之和为0 ②D 中对角线上元素全为0 ③D 中有两行含有相同的公因子 ④D 中有一行元素与另一行元素对应成比例 5.向量组)1.1.1(1=α )5.2.0(2=α )6.3.1(3=α是 ①①线性相关 ②线性无关 ③0321=++ααα ④02321=++ααα三、复习题及参考答案1．若三阶行列式1231122331232226a a a b a b a b a c c c ---=，则 123123123a a ab b bc c c = 12 2．若方程组123123123000tx x x x tx x x x tx ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则t=⎽⎽⎽⎽1⎽⎽⎽。
线性代数试题及答案
线性代数试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. [1 0; 0 0]B. [1 2; 3 4]C. [1 0; 0 1]D. [0 1; 1 0]2. 矩阵的秩是指什么？A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中线性无关的行或列的最大数目D. 矩阵的对角线元素的个数3. 线性方程组有唯一解的条件是什么？A. 方程个数等于未知数个数B. 方程组是齐次的C. 方程组的系数矩阵是可逆的D. 方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩4. 向量空间的基具有什么性质？A. 基向量的数量必须为1B. 基向量必须是正交的C. 基向量必须是线性无关的D. 基向量必须是单位向量5. 特征值和特征向量的定义是什么？A. 对于矩阵A，如果存在非零向量v，使得Av=λv，则λ是A的特征值，v是A的特征向量B. 对于矩阵A，如果存在非零向量v，使得A^Tv=λv，则λ是A 的特征值，v是A的特征向量C. 对于矩阵A，如果存在非零向量v，使得A^-1v=λv，则λ是A 的特征值，v是A的特征向量D. 对于矩阵A，如果存在非零向量v，使得Av=v，则λ是A的特征值，v是A的特征向量6. 线性变换的矩阵表示是什么？A. 线性变换的逆矩阵B. 线性变换的转置矩阵C. 线性变换的雅可比矩阵D. 线性变换的对角矩阵7. 以下哪个不是线性代数中的基本概念？A. 向量B. 矩阵C. 行列式D. 微积分8. 什么是线性方程组的齐次解？A. 方程组的所有解B. 方程组的特解C. 方程组的零解D. 方程组的非平凡解9. 矩阵的迹是什么？A. 矩阵的对角线元素的和B. 矩阵的行列式C. 矩阵的秩D. 矩阵的逆10. 什么是正交矩阵？A. 矩阵的转置等于其逆矩阵B. 矩阵的所有行向量都是单位向量C. 矩阵的所有列向量都是单位向量D. 矩阵的所有行向量都是正交的答案：1-5 C C C C A；6-10 D D C A A二、简答题（每题10分，共20分）11. 请简述线性代数中的向量空间（Vector Space）的定义。
线性代数试题(完整试题与详细答案)
线性代数试题（完整试题与详细答案）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．22．设A 为2阶矩阵，若A 3=3，则=A 2（ ） A ．21 B ．1 C ．34 D ．23．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=-1C （ ） A ．AB B ．BA C ．11--B AD ．11--A B4．已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 的行列式1-=A ，则=-1*)(A （ ） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛----d c b aB ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a c b dC ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb d D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6．设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（ ）A ．n r =)(AB ．m r =)(AC ．n r <)(AD ．m r <)(A 7．已知3阶矩阵A 的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（ ） A ．A B ．AE - C ．A E -- D ．A E -2 8．下列矩阵中不是．．初等矩阵的为（ ）A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010001C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020001D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1010110019．4元二次型4332412143212222),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ，则二次型Ax x T 的规范形为（ ）A ．232221z z z ++ B ．232221z z z ---C ．232221z z z --D ．232221z z z -+二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
线性代数大学试题及答案
线性代数大学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设A是一个3阶方阵，且满足A^2 = A，则下列说法正确的是：A. A是可逆矩阵B. A是幂等矩阵C. A是正交矩阵D. A是单位矩阵答案：B2. 若矩阵A的特征值为1，则下列说法正确的是：A. 1是A的迹B. 1是A的行列式C. 1是A的一个特征值D. 1是A的秩答案：C3. 设向量组α1, α2, ..., αn线性无关，则下列说法正确的是：A. 向量组中任意向量都可以用其他向量线性表示B. 向量组中任意向量都不可以被其他向量线性表示C. 向量组中任意向量都可以被其他向量线性表示D. 向量组中任意向量都不可以被其他向量线性表示，除非它们线性相关答案：B4. 若矩阵A的秩为2，则下列说法正确的是：A. A的行向量组线性无关B. A的列向量组线性无关C. A的行向量组线性相关D. A的列向量组线性相关答案：A二、填空题（每题5分，共30分）1. 若矩阵A的行列式为0，则A的______。
答案：秩小于矩阵的阶数2. 设向量空间V的一组基为{v1, v2, ..., vn}，则任意向量v∈V可以唯一地表示为______。
答案：v = c1v1 + c2v2 + ... + cnn，其中ci为标量3. 设矩阵A和B可交换，即AB = BA，则A和B的______。
答案：特征值相同4. 若线性变换T: R^n → R^m，且T是可逆的，则T的______。
答案：行列式不为零5. 设A为n阶方阵，若A的特征多项式为f(λ) = (λ-1)^2(λ-2)，则A的特征值为______。
答案：1, 1, 26. 若向量组α1, α2, ..., αn线性无关，则向量组α1, α2, ..., αn, α1+α2也是______。
答案：线性相关三、简答题（每题10分，共20分）1. 简述什么是矩阵的秩，并给出如何计算矩阵的秩的方法。
答案：矩阵的秩是指矩阵行向量或列向量组中线性无关向量的最大个数。
线性代数自考试题及答案
线性代数自考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列矩阵中，哪个不是方阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [1, 2]C. [1, 2; 3, 4; 5, 6]D. [1, 2; 3, 4; 5, 6; 7, 8]答案：B2. 对于向量空间中的向量组，线性相关的定义是什么？A. 向量组中的任意向量都可以用其他向量表示B. 向量组中存在非零向量可以表示为零向量C. 向量组中的向量线性组合为零向量D. 向量组中所有向量都是零向量答案：A3. 矩阵的特征值是什么？A. 矩阵对角线上的元素B. 使得方程Ax = λx 成立的标量λC. 矩阵的行数D. 矩阵的列数答案：B4. 对于矩阵 A，下列哪个矩阵是 A 的伴随矩阵？A. A^TB. A^(-1)C. adj(A)D. det(A)答案：C5. 如果一个向量是另一个向量的标量倍，这两个向量是什么关系？A. 线性无关B. 线性相关C. 正交D. 单位向量答案：B二、填空题（每题3分，共15分）6. 矩阵的秩是指_________。
答案：矩阵中线性无关的行（或列）的最大数目7. 向量空间的基是指一组_________的向量，它们能生成整个向量空间。
答案：线性无关8. 对于任意矩阵 A，|A| 表示_________。
答案：矩阵 A 的行列式9. 如果矩阵 A 可逆，那么 A 的逆矩阵记作_________。
答案：A^(-1)10. 线性变换 T: R^n → R^m 的标准矩阵是指_________。
答案：线性变换 T 对标准基的坐标表示矩阵三、解答题（共75分）11. （15分）设 A 是一个3×3 的实对称矩阵，证明其特征值都是实数。
答案：略12. （20分）给定两个向量 v1 = [1, 2, 3]^T 和 v2 = [4, 5, 6]^T，求它们的叉积v3 = v1 × v2，并证明 v3 与 v1, v2 都正交。
线性代数试题及答案
线性代数（试卷一）一、 填空题（本题总计20分，每小题2分） 1. 排列7623451的逆序数是_______。
2. 若122211211=a a a a ，则=16030322211211a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则CAB =-1。
4. 若A 为n m ⨯矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是_________5. 设A 为86⨯的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为__2___________。
6. 设A 为三阶可逆阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1230120011A，则=*A 7.若A 为n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是8.已知五阶行列式1234532011111112140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A 9. 向量α=(2,1,0,2)T-的模（范数）______________。
10.若()Tk 11=α与()T121-=β正交，则=k二、选择题（本题总计10分，每小题2分） 1. 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则(D) Ａ．s r = Ｂ．s r ≤Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s <2. 若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A)Ａ．8 Ｂ．8-Ｃ．34 Ｄ．34-3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( d )Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R <Ｃ．)()(A R B R =Ｄ．)()(A R B R ≥4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()*kA 等于_____。
c)(A *kA )(B *A k n)(C *-A kn 1)(D *A5. 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是_____。
线性代数试题及答案
线性代数试题及答案 线性代数是数学的重点知识，多进⾏试题练习提⾼⾃⼰的能⼒。
以下是由店铺整理线性代数试题及答案，希望⼤家喜欢! 线性代数试题及答案(⼀) 说明：在本卷中，AT表⽰矩阵A的转置矩阵，A*表⽰矩阵A的伴随矩阵，E表⽰单位矩阵。
表⽰⽅阵A的⾏列式，r(A)表⽰矩阵A的秩。
⼀、单项选择题(本⼤题共10⼩题，每⼩题2分，共20分) 在每⼩题列出的四个备选项中只有⼀个是符合题⽬要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错癣多选或未选均⽆分。
1.设3阶⽅阵A的⾏列式为2，则 ( )A.-1B. C. D.1 2.设则⽅程的根的个数为( )A.0B.1C.2D.3 3.设A为n阶⽅阵，将A的第1列与第2列交换得到⽅阵B，若则必有( ) A. B. C. D. 4.设A,B是任意的n阶⽅阵，下列命题中正确的是( ) A. B. C. D. 5.设其中则矩阵A的秩为( )A.0B.1C.2D.3 6.设6阶⽅阵A的秩为4，则A的伴随矩阵A*的秩为( )A.0B.2C.3D.4 7.设向量α=(1，-2，3)与β=(2，k，6)正交，则数k为( )A.-10B.-4C.3D.10 8.已知线性⽅程组⽆解，则数a=( ) A. B.0 C. D.1 9.设3阶⽅阵A的特征多项式为则 ( )A.-18B.-6C.6D.18 10.若3阶实对称矩阵是正定矩阵，则A的3个特征值可能为( )A.-1，-2，-3B.-1，-2，3C.-1，2，3D.1，2，3 ⼆、填空题(本⼤题共10⼩题，每⼩题2分，共20分) 请在每⼩题的空格中填上正确答案。
错填、不填均⽆分。
11.设⾏列式其第3⾏各元素的代数余⼦式之和为__________. 12.设则 __________. 13.设A是4×3矩阵且则 __________. 14.向量组(1，2),(2，3)(3，4)的'秩为__________. 15.设线性⽆关的向量组α1，α2，…，αr可由向量组β1，β2，…,βs线性表⽰，则r与s的关系为__________. 16.设⽅程组有⾮零解，且数则 __________. 17.设4元线性⽅程组的三个解α1，α2，α3，已知则⽅程组的通解是__________. 18.设3阶⽅阵A的秩为2，且则A的全部特征值为__________. 19.设矩阵有⼀个特征值对应的特征向量为则数a=__________. 20.设实⼆次型已知A的特征值为-1，1，2，则该⼆次型的规范形为__________. 三、计算题(本⼤题共6⼩题，每⼩题9分，共54分) 21.设矩阵其中均为3维列向量，且求 22.解矩阵⽅程 23.设向量组α1=(1，1，1，3)T，α2=(-1，-3，5，1)T，α3=(3，2，-1，p+2)T，α4=(3，2，-1，p+2)T问p为何值时，该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和⼀个极⼤⽆关组. 24.设3元线性⽅程组 , (1)确定当λ取何值时，⽅程组有惟⼀解、⽆解、有⽆穷多解? (2)当⽅程组有⽆穷多解时，求出该⽅程组的通解(要求⽤其⼀个特解和导出组的基础解系表⽰). 25.已知2阶⽅阵A的特征值为及⽅阵 (1)求B的特征值; (2)求B的⾏列式. 26.⽤配⽅法化⼆次型为标准形，并写出所作的可逆线性变换. 四、证明题(本题6分) 27.设A是3阶反对称矩阵，证明|A|=0. 线性代数试题及答案(⼆)【线性代数试题及答案】。
线性代数期末考试试题及答案
线性代数期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间的基是该空间的一组向量，满足以下哪两个条件？A. 线性无关B. 可以表示空间中的任何向量C. 可以线性组合出空间中的任何向量D. 以上都是2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零行的最大数目B. 矩阵中非零列的最大数目C. 矩阵的行向量组的秩D. 矩阵的列向量组的秩3. 线性变换的核是指：A. 变换后为零的向量集合B. 变换后为单位向量的向量集合C. 变换后保持不变的向量集合D. 变换后向量长度为1的向量集合4. 特征值和特征向量是线性变换中的基本概念，特征向量满足以下条件：A. 变换后保持不变B. 变换后与原向量成比例C. 变换后与原向量垂直D. 变换后与原向量正交5. 对于矩阵A，下列哪个矩阵是A的逆矩阵？B. A的伴随矩阵C. A的行列式D. 与A相乘结果为单位矩阵的矩阵6. 行列式的性质不包括：A. 行列式与矩阵的转置相等B. 行列式与矩阵的伴随矩阵无关C. 行列式与矩阵的行（列）交换有关D. 行列式与矩阵的行（列）乘以常数有关7. 线性方程组有唯一解的条件是：A. 方程组的系数矩阵是可逆的B. 方程组的系数矩阵是方阵C. 方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩D. 方程组的系数矩阵的秩等于未知数的个数8. 矩阵的迹是指：A. 矩阵的对角线元素之和B. 矩阵的行向量长度之和C. 矩阵的列向量长度之和D. 矩阵的行列式9. 线性无关的向量组可以作为向量空间的基，其必要条件是：A. 向量组中的向量数量等于向量空间的维数B. 向量组中的向量数量大于向量空间的维数C. 向量组中的向量数量小于向量空间的维数D. 向量组中的向量数量可以任意10. 对于矩阵A，下列哪个矩阵是A的共轭转置？A. A的转置矩阵C. A的伴随矩阵D. A的复共轭矩阵的转置答案：1. D 2. D 3. A 4. B 5. D 6. B 7. D 8. A 9. A 10. D二、填空题（每空2分，共20分）1. 设向量空间V的基为{v1, v2, ..., vn}，则向量v可以表示为______ 。
线性代数自考试题及答案
线性代数自考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 向量组α1，α2，α3线性无关的充分必要条件是（）。
A. 齐次方程组Ax=0只有零解B. 齐次方程组Ax=0有非零解C. 齐次方程组Ax=0只有零解，且α1，α2，α3线性相关D. 齐次方程组Ax=0只有零解，且α1，α2，α3线性无关答案：A2. 矩阵A与矩阵B相等的充分必要条件是（）。
A. A与B的行数相同B. A与B的列数相同C. A与B的行数相同，且A与B的列数相同D. A与B的行数相同，且A与B的列数相同，且对应元素相等答案：D3. 设A为n阶矩阵，若A的行列式|A|=0，则A是（）。
A. 可逆矩阵B. 非可逆矩阵C. 正交矩阵D. 反对称矩阵答案：B4. 设A为3阶矩阵，且A的特征多项式为f(λ)=λ(λ-1)(λ+2)，则A的迹为（）。
A. 0B. 1C. 2D. -3答案：C5. 设A为3阶矩阵，且A的秩为2，则A的零度为（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 若矩阵A的行列式|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵的行列式|adj(A)|=______。
答案：42. 设矩阵A=\(\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\)，则矩阵A的逆矩阵A^{-1}=______。
答案：\(\begin{bmatrix}-2 & 1 \\ 1.5 & -0.5\end{bmatrix}\)3. 若向量α=(1,2,3)，β=(4,5,6)，则向量α与向量β的夹角的余弦值为______。
答案：\(\frac{1}{3}\)4. 设矩阵A的特征值λ1=2，λ2=3，对应的特征向量分别为α1和α2，则矩阵A+E的特征值λ3=______，对应的特征向量为______。
答案：3，α1；4，α25. 设矩阵A=\(\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\)，则矩阵A的秩为______。
《线性代数》练习题库参考答案
《线性代数》练习测试题库一.选择题1、=-0000000000121nn a a a a （ B ）A. n n a a a 21)1(-B. n n a a a 211)1(+-C. n a a a 212、n 阶行列式0000000000a a a a= （ B ）A.na B. (1)2(1)n n n a -- C. (1)n n a -3、n21＝ （ B ）A. (1)!nn - B. (1)2(1)!n n n -- C. 1(1)!n n +-4、 A 是n 阶方阵，m, l 是非负整数，以下说法不正确的是 （ C ）. A. ()m l mlA A = B. mlm lA A A+⋅= C. m m mB A AB =)(5、A 、B 分别为m n ⨯、s t ⨯矩阵, ACB 有意义的条件是 （ C ） A. C 为m t ⨯矩阵； B. C 为n t ⨯矩阵； C. C 为n s ⨯矩阵6、下面不一定为方阵的是 （C ）A.对称矩阵.B.可逆矩阵.C. 线性方程组的系数矩阵.7、 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1021 的伴随矩阵是 （A ） A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1021 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1201 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1021 8、 分块矩阵 00A B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（其中A 、B 为可逆矩阵）的逆矩阵是 （ A ）A. 1100A B --⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 00BA ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 1100B A --⎡⎤⎢⎥⎣⎦9、线性方程组Ax b = 有唯一解的条件是 （ A ）A.()()r A r A b A ==的列数B.()()r A r A b = .C.()()r A r A b A ==的行数10、线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211a ax x x a x ax x x x ax 有唯一解的条件是 （A ）A. 2,1-≠aB. 21-==a a 或.C. 1≠a11、 的是则下面向量组线性无关），，，＝（），，，＝（)6,2,4(054312--=--γβα（B ）A. 0，，βα B. γβ， C. γα， 12、设A 为正交矩阵，下面结论中错误的是 （ C ）A. A T 也为正交矩阵.B. A -1也为正交矩阵.C. 总有 1A =-13、二次型()233221214321342,,,,x x x x x x x x x x f --+=的矩阵为 （ C ）A 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---340402021B 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---320201011 C 、⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---0000032002010011 14、设r 是实二次型),,,(21n x x x f 的秩，p 是二次型的正惯性指数，q 是二次型的负惯性指数，s 是二次型的符号差，那么 （ B ）A. q p r -=；B. q p r +=；C. q p s +=； 15、下面二次型中正定的是 （ B ）A. 21321),,(x x x x x f =B.2322213212),,(x x x x x x f ++= C.22213212),,(x x x x x f +=二、判断题1、若行列式主对角线上的元素全为0，则此行列式为0. （ ⨯ ）2、A 与B 都是3×2矩阵，则A 与B 的乘积也是3×2矩阵。
线性代数试题及答案
线性代数试题及答案1. 题目：矩阵运算题目描述：给定两个矩阵A和B，计算它们的乘积AB。
答案解析：矩阵A的维度为m x n，矩阵B的维度为n x p，则矩阵AB的维度为m x p。
矩阵AB中的每个元素都可以通过矩阵A的第i行与矩阵B的第j列的内积来计算，即AB(i,j) =∑_{k=1}^{n}A(i,k)B(k,j)。
2. 题目：矩阵转置题目描述：给定一个矩阵A，求其转置矩阵AT。
答案解析：如果矩阵A的维度为m x n，则转置矩阵AT的维度为n x m。
转置矩阵AT中的每个元素都可以通过矩阵A的第i行第j列的元素来计算，即AT(j,i) = A(i,j)。
3. 题目：线性方程组求解题目描述：给定一个线性方程组Ax = b，其中A是一个m x n的矩阵，x和b是n维向量，求解x的取值。
答案解析：假设矩阵A的秩为r，则根据线性代数的理论，线性方程组有解的条件是r = rank(A) = rank([A | b])。
若方程组有解，则可以通过高斯消元法、LU分解等方法求解。
4. 题目：特征值与特征向量题目描述：给定一个矩阵A，求其特征值和对应的特征向量。
答案解析：设λ为矩阵A的特征值，若存在非零向量x，满足Ax = λx，则x为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
特征值可以通过解特征方程det(A - λI) = 0求得，其中I为单位矩阵。
5. 题目：行列式计算题目描述：给定一个方阵A，求其行列式det(A)的值。
答案解析：行列式是一个方阵的一个标量值。
行列式的计算可以通过Laplace展开、初等行变换等方法来进行。
其中，Laplace展开是将行列式按矩阵的某一行或某一列展开成若干个代数余子式的和。
6. 题目：向量空间与子空间题目描述：给定一个向量空间V和它的子集U，判断U是否为V的子空间。
答案解析：子空间U必须满足三个条件：（1）零向量属于U；（2）对于U中任意两个向量u和v，它们的线性组合u+v仍然属于U；（3）对于U中的任意向量u和标量c，它们的数乘cu仍然属于U。
线性代数自考试题及答案
线性代数自考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中的基是一组向量，以下哪个不是基的性质？A. 线性无关B. 线性相关C. 张成整个空间D. 可以是空间中的任意向量2. 矩阵A和矩阵B相乘，结果矩阵的行列式等于：A. A的行列式乘以B的行列式B. B的行列式乘以A的行列式C. 两个矩阵的行列式之和D. 无法确定3. 对于线性变换，以下哪个说法是错误的？A. 线性变换保持向量的加法运算B. 线性变换保持标量的乘法C. 线性变换保持向量的长度D. 线性变换保持向量的点积4. 一个矩阵的特征值是指：A. 矩阵的对角线元素B. 矩阵的行列式C. 使得矩阵的某个特征向量不为零的标量D. 矩阵的迹5. 以下哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 奇异矩阵D. 任意矩阵6. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零行的最大数量B. 矩阵中非零列的最大数量C. 矩阵中最大的线性无关行或列的数量D. 矩阵的行数或列数7. 线性方程组的解集可以是：A. 一个点B. 一条直线C. 一个平面D. 无限多个解8. 矩阵的迹是：A. 矩阵的对角线元素之和B. 矩阵的行列式C. 矩阵的逆矩阵的对角线元素之和D. 矩阵的转置矩阵9. 向量空间的维数是指：A. 空间中向量的个数B. 空间中基的向量个数C. 空间中任意向量的个数D. 空间中线性无关向量的最大个数10. 线性变换的核是指：A. 变换后为零向量的集合B. 变换后为单位向量的集合C. 变换后为任意向量的集合D. 变换后为非零向量的集合二、简答题（每题10分，共30分）1. 解释什么是线性相关和线性无关，并给出一个例子。
2. 描述如何计算矩阵的特征值和特征向量。
3. 解释什么是正交矩阵，并给出正交矩阵的一个性质。
三、计算题（每题25分，共50分）1. 给定矩阵A = \[\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\]，求矩阵A的逆矩阵。
线性代数试题及答案.
线性代数（试卷一）一、填空题（本题总计20分，每小题2分）1. 排列7623451的逆序数是_______。
2. 2. 若若122211211=a a aa ，则=16030322211211a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则CAB =-1。
4. 若A 为n m ´矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是_________ 5.设A 为86´的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为__2___________。
6. 6. 设设A 为三阶可逆阵，÷÷÷øöçççèæ=-1230120011A ，则=*A 7.7.若若A 为n m ´矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是8.8.已知五阶行列式已知五阶行列式1234532011111112140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A 9. 向量a =(2,1,0,2)T-的模（范数）______________。
10.10.若若()Tk 11=a 与()T121-=b 正交，则=k 二、选择题（本题总计10分，每小题2分）1. 1. 向量组向量组r a a a ,,,21 线性相关且秩为s ，则，则(D) (D) Ａ．s r = Ｂ．s r £ Ｃ．r s £ Ｄ．r s <2. 2. 若若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A)Ａ．8 Ｂ．8-Ｃ．34Ｄ．34-3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则线性表示，则( d ) ( d )Ａ．)()(A R B R £ Ｂ．)()(A R B R <Ｃ．)()(A R B R =Ｄ．)()(A R B R ³4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()*kA 等于_____。
(完整版)线性代数试题及答案
线性代数习题和答案第一部分 选择题 （共 28 分）、单项选择题（本大题共 14 小题，每小题 2 分，共 28 分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
C. 3D. 46.设两个向量组 α1，α2，⋯， αs 和β 1，β2，⋯， βs 均线性相关，则（）A. 有不全为 0 的数λ 1，λ2，⋯，λs 使λ1α1+λ2α2+⋯+λs αs =0 和λ 1β 1+λ 2β 2+⋯λ s βs =0B. 有不全为 0 的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 使λ 1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+⋯+λs （ α s + β s ）=0C. 有不全为 0 的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 使λ1（α 1- β1）+λ2（α2- β2）+⋯+λs （αs - βs ）=0D.有不全为 0的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 和不全为 0的数μ 1，μ 2，⋯，μ s 使λ1α1+λ2α2+⋯+ λ s α s =0 和μ 1β1+μ2β2+⋯+μ s βs =07.设矩阵 A 的秩为 r ，则 A 中（ ）A. 所有 r- 1阶子式都不为 0B.所有 r- 1阶子式全为 0C.至少有一个 r 阶子式不等于 0D.所有 r 阶子式都不为 08. 设 Ax=b 是一非齐次线性方程组， η1，η2是其任意 2 个解，则下列结论错误的是（ ）A. m+n C. n- m a 11a 12a 13 a 11=m ，a 21a 22a 23 a 21a 11 a 12 a 13等于（2.设矩阵 A=0 ，则 A - 1 等于（ 3A. 0 1 3C. 03.设矩阵 A=a 21 a 22 a 23B. - (m+n) D. m- nB.D.21 ，A *是 A 的伴随矩阵，则 A *中位于 41，2）的元素是（A. –6 C. 2 4.设 A 是方阵，如有矩阵关系式 AB=AC ，则必有（ A. A =0 C. A 0 时 B=C 5.已知 3×4 矩阵 A 的行向量组线性无关，则秩（ A. 1B. 6 D. –2 ) B. B D. |A| 0 时 B=C C 时 A=0 A T )等于( )B. 21.设行列式 =n ，则行列式10.设 A 是一个 n （≥3）阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）A. 如存在数λ和向量 α使 A α=λα，则α是 A 的属于特征值λ的特征向量B. 如存在数λ和非零向量 α，使（λE- A ）α=0，则λ是 A 的特征值C. A 的 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量D. 如λ 1，λ 2，λ 3是A 的 3个互不相同的特征值， α1，α2，α3依次是 A 的属于λ 1，λ2， λ3的特征向量，则 α 1，α 2， α 3有可能线性相关 11. 设λ 0是矩阵 A 的特征方程的 3重根， A 的属于λ 0的线性无关的特征向量的个数为 k ，则必有（ ）222（a 11A 21+a 12A 22+a 13A 23） +（a 21A 21+a 22A 22+a 23A 23） +（a 31A 21+a 32A 22+a 33A 23） =.18. 设向量（ 2， -3， 5）与向量（ -4， 6， a ）线性相关，则 a= .19. 设A 是 3×4矩阵，其秩为 3，若η1，η2为非齐次线性方程组 Ax=b 的 2个不同的解，则它 的通解为 .20. 设 A 是 m ×n 矩阵， A 的秩为 r （<n ） ，则齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系中含有解的个A. η1+η2 是 Ax=0 的一个解 C. η 1-η 2是 Ax=0 的一个解 9. 设 n 阶方阵 A 不可逆，则必有（A. 秩 （A ）<n C.A=0 11B.η1+ η2是 Ax=b 的一个解22D. 2 η 1-η 2 是 Ax=b 的一个解 ) B. 秩 (A)=n- 1D. 方程组 Ax=0 只有零解A. k ≤ 3C. k=312. 设 A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（A.| A| 2必为 1 C. A - 1=A T 13. 设 A 是实对称矩阵， C 是实可逆矩阵，A.A 与 B 相似B. A 与 B 不等价C. A 与 B 有相同的特征值D. A 与 B 合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）23 A.34 1 0 0C. 0 2 30 3 5第二部分B. k<3 D. k>3 ）B.|A|必为 1D.A 的行（列）向量组是正交单位向量组 B=C T AC .则（ ） 34 B. 26 1 1 1 D. 1 2 0102 非选择题（共 72 分）2 分，共 20 分）不写解答过程，将正确的答案写在每1 1 115. 3 569 25 361 111 2 316.设 A=B=.则 A+2B=1 111 2 417. 设 A =(a ij )3 × 3 ， |A|=2 ， A ij 表示 |A|中 元 素a ij 的 代 数 余 子 式 （ i,j=1,2,3 ） , 则数为.21. 设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α- β）=22.设 3阶矩阵 A 的行列式 |A |=8，已知 A 有 2个特征值 -1和 4，则另一特征值为 .0 10 6223.设矩阵 A=1 3 3 ，已知 α = 1 是它的一个特征向量，则α 所对应的特征值2 10 82为24.设实二次型 f （x 1,x 2,x 3,x 4,x 5）的秩为 4，正惯性指数为 3，则其规范形为 三、计算题（本大题共 7 小题，每小题 6分，共 42分）26.试计算行列式4 2 327.设矩阵 A= 110， 求矩阵 B 使其满足矩阵方程AB=A+2B.12321 3 028.给定向量组α 1=1，3 α2=， α=， α10 2 2 =4.3419试判断 α 4 是否为 α 1， α2，α3 的线性组合；若是， 则求出组合系数。
线性代数试题及答案
线性代数试题及答案一、选择题1. 线性代数是数学的一个分支，主要研究向量空间、线性变换以及它们之间的关系。
以下哪个选项不是向量空间的基本性质？A. 封闭性B. 结合律C. 交换律D. 单位元存在性答案：C2. 设A是一个3级方阵，且det(A) = 2，那么det(2A)等于多少？A. 4B. 6C. 8D. 10答案：C3. 在线性代数中，线性变换可以通过什么来表示？A. 矩阵B. 行列式C. 特征值D. 坐标答案：A4. 特征值和特征向量在描述线性变换时具有重要意义。
一个矩阵的特征值和特征向量分别表示什么？A. 变换后矩阵的行列式，变换前矩阵的行列式B. 变换后矩阵的行列式，变换前向量的方向C. 变换前矩阵的行列式，变换后向量的方向D. 变换前矩阵的行列式，变换后向量的方向答案：B5. 线性代数中的欧几里得空间是一个完备的度量空间，它满足哪些性质？A. 可数性B. 完备性C. 可加性D. 所有上述性质答案：D二、填空题1. 在线性代数中，若一个向量空间的基包含n个向量，则该向空间的维数为______。
2. 设矩阵A = [a_ij]，其中i表示行索引，j表示列索引。
如果A的逆矩阵存在，则A的行列式det(A)不等于______。
3. 对于一个n级方阵A，若存在一个非零向量v，使得Av=λv，其中λ为一个标量，则称λ为A的______，v为对应于λ的______。
三、计算题1. 给定矩阵B = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵B的秩。
2. 设线性方程组如下：a_1 + 2a_2 + 3a_3 = 64a_1 + 5a_2 + 6a_3 = 127a_1 + 8a_3 + 9a_3 = 18求该方程组的解。
3. 给定一个3级方阵C，其特征值为1，-2和3，求矩阵C。
四、论述题1. 讨论线性变换在几何上的意义，并给出一个具体的例子来说明其作用。
2. 解释何为线性空间，以及线性空间的同构关系是如何定义的。
线性代数期末考试题及答案
线性代数期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为：A. 1/2B. 1/4C. 2D. 4答案：B2. 向量α=(1,2,3)和向量β=(4,5,6)，则向量α和向量β的点积为：A. 32B. 22C. 14D. 0答案：A3. 设A为3×3矩阵，且A的秩为2，则A的行向量线性相关，下列说法正确的是：A. 正确B. 错误答案：A4. 若A为n阶方阵，且A^2=0，则A的秩为：A. nB. n-1C. 0D. 不确定答案：C5. 设A为3阶方阵，且A的特征值为1，2，3，则矩阵A的迹为：A. 6B. 1C. 2D. 3答案：A二、填空题（每题5分，共30分）1. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，则矩阵A的转置为\[\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 2 & 4\end{bmatrix}\]。
答案：\[\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 2 & 4\end{bmatrix}\]2. 设向量α=(2,3)，向量β=(4,6)，则向量α和向量β共线，其比例系数为2。
答案：23. 若矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 2 & 2\end{bmatrix}\]，则矩阵A的行列式为2。
答案：24. 设矩阵B=\[\begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{bmatrix}\]，则矩阵B的逆矩阵为\[\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 &0\end{bmatrix}\]。
答案：\[\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}\]5. 设矩阵C=\[\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix}\]，则矩阵C的特征值为1和2。
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第一部分选择题（共28分）一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分,共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1。
设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n,则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+n B。
-（m+n） C。
n-m D。
m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,则A-1等于( ）A。
130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3。
设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,A＊是A的伴随矩阵，则A＊中位于（1，2）的元素是( ）A。
–6 B。
6C. 2D. –24。
设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC,则必有（）A。
A =0 B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. ｜A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1 B。
2C. 3D. 46。
设两个向量组α1，α2,…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关,则( ）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C。
有不全为0的数λ1,λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2(α2—β2）+…+λs（αs—βs)=0D.有不全为0的数λ1，λ2,…，λs和不全为0的数μ1，μ2,…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中( ）A.所有r—1阶子式都不为0B.所有r—1阶子式全为0C。
至少有一个r阶子式不等于0 D。
所有r阶子式都不为08。
设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1,η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ )A。
η1+η2是Ax=0的一个解B。
12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1—η2是Ax=0的一个解D。
2η1-η2是Ax=b的一个解9。
设n阶方阵A不可逆,则必有（）A。
秩(A）〈n B。
秩(A)=n—1C.A=0D。
方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3）阶方阵,下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使（λE-A)α=0，则λ是A的特征值C。
A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2,λ3是A的3个互不相同的特征值,α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有( ）A。
k≤3 B. k<3C. k=3 D。
k〉312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.｜A|2必为1 B。
｜A|必为1C。
A—1=A T D。
A的行(列）向量组是正交单位向量组13。
设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC。
则（ )A.A与B相似B。
A与B不等价C。
A与B有相同的特征值D. A与B合同14。
下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪B。
3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D。
111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题(共72分）二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空格内.错填或不填均无分。
15。
11135692536=。
16.设A=111111--⎛⎝⎫⎭⎪，B=112234--⎛⎝⎫⎭⎪.则A+2B= .17.设A=（a ij）3×3，｜A｜=2，A ij表示|A|中元素a ij的代数余子式（i,j=1，2,3）,则(a11A21+a12A22+a13A23)2+（a21A21+a22A22+a23A23）2+（a31A21+a32A22+a33A23）2= .18。
设向量(2，-3,5)与向量(—4，6，a）线性相关，则a= .19。
设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为。
20。
设A是m×n矩阵,A的秩为r（<n），则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为。
21。
设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α—β的内积（α+β,α-β)= 。
22.设3阶矩阵A的行列式｜A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为。
23。
设矩阵A =010********---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,已知α=212-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪是它的一个特征向量,则α所对应的特征值为 。
24.设实二次型f （x 1，x 2,x 3,x 4,x 5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 . 三、计算题（本大题共7小题,每小题6分，共42分)25。
设A =120340121-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，B =223410--⎛⎝ ⎫⎭⎪.求(1）AB T；（2）|4A |。
26.试计算行列式3112513420111533------. 27。
设矩阵A =423110123-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，求矩阵B 使其满足矩阵方程AB =A +2B 。
28.给定向量组α1=-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪2103，α2=1324-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪，α3=3021-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪，α4=0149-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。
29.设矩阵A =12102242662102333334-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 求:(1)秩(A ）；（2)A 的列向量组的一个最大线性无关组。
30。
设矩阵A=022234243----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T 和对角矩阵D ,使T -1AT =D 。
31.试用配方法化下列二次型为标准形f （x 1,x 2,x 3)=x x x x x x x x x 12223212132323444+-+--，并写出所用的满秩线性变换。
四、证明题（本大题共2小题,每小题5分，共10分)32。
设方阵A 满足A 3=0,试证明E -A 可逆，且（E —A )-1=E +A +A 2.33。
设η0是非齐次线性方程组Ax=b 的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b 的解; （2）η0，η1,η2线性无关.答案:一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分,共28分）1.D 2。
B 3。
B 4。
D 5.C 6.D 7。
C 8.A 9.A 10。
B 11.A 12.B 13。
D 14.C 二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分） 15。
6 16. 337137--⎛⎝⎫⎭⎪17. 4 18。
–1019。
η1+c （η2-η1）（或η2+c(η2—η1))，c 为任意常数 20. n —r 21. –5 22。
–2 23. 124。
z z z z 12223242++-三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）25。
解(1）AB T=120340*********-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=861810310⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪. (2)｜4A |=43｜A |=64|A ｜，而｜A ｜=1203401212-=-。
所以｜4A ｜=64·(-2）=-128 26.解31125134201115335111111310010553------=----- =511111155---- =5116205506255301040---=---=+=.27.解 AB =A +2B 即(A —2E ）B =A ，而(A -2E ）-1=2231101211431531641--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪=-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪-.所以 B =（A —2E ）-1A =153164110123---⎝ ⎭⎪⎪⎪-⎝ ⎭⎪⎪⎪=3862962129-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪. 28.解一 ----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪2130130102243419053213010112013112 −→−--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪135011200880014141035011200110000−→−⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪1002010100110000,所以α4=2α1+α2+α3,组合系数为（2，1，1）. 解二 考虑α4=x 1α1+x 2α2+x 3α3，即 -++=-=-+=+-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪230312243491231223123x x x x x x x x x x .方程组有唯一解（2，1,1）T,组合系数为（2，1，1）.29.解 对矩阵A 施行初等行变换A −→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102000620328209632 −→−-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪1210203283000620002171212032830003100000=B . （1)秩(B ）=3，所以秩（A ）=秩（B ）=3。
（2）由于A 与B 的列向量组有相同的线性关系，而B 是阶梯形，B 的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A 的第1、2、4列是A 的列向量组的一个最大线性无关组.（A 的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）30.解 A 的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为ξ1=（2,—1，0)T ， ξ2=(2，0，1）T。
经正交标准化，得η1=550/-⎝ ⎭⎪⎪⎪,η2=451553//⎝ ⎭⎪⎪⎪.λ=-8的一个特征向量为ξ3=122-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,经单位化得η3=132323///.-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪所求正交矩阵为 T =25521515135545152305323////////--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪.对角矩阵 D =100010008-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪.（也可取T =25521515130532355451523////////---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪.）31.解 f(x 1，x 2，x 3)=（x 1+2x 2-2x 3）2-2x 22+4x 2x 3—7x 32=（x 1+2x 2-2x 3）2—2（x 2—x 3）2-5x 32.设y x x x y x x y x 11232233322=+-=-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪， 即x y y x y y x y 112223332=-=+=⎧⎨⎪⎩⎪，因其系数矩阵C =120011001-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪可逆,故此线性变换满秩。