陕西省榆林市2018届高考模拟第二次测试数学(理)试题
陕西省榆林市2018届高三二模理数试题
2018届榆林市第二次高考模拟考试试题理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|70}M x x x =-<，{1,3,5,7}B =，则MN =（ ）A ．{1,3}B ．{3,5}C ．{1,3,5}D ．{1,3,5,7} 2.已知0a >，i 为虚数单位，()ai a i +的实部与虚部互为相反数，则a =（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 3.已知cos 3cos(2)sin θπθθ=+，2πθ<，则sin 2θ=（ ） A ．829 B ．223 C ．429 D ．2294.若抛物线216x y =上一点00(,)x y 到焦点的距离是该点到x 轴距离的3倍，则0y =（ ） A ．2 B ．2 C ．1 D ．125.《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重上七两；石方一寸，重六两.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176两），问玉、石重各几何？”其意思为：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（即176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x ，y 分别为（ ）A ．90，86B ．98，78C ．94，82D ．102，746.设x ，y 满足约束条件01030y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则32z x y =-的最大值为（ ）A ．-1B ．3C ．9D ．127.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(,0)-∞上单调递增.若实数a 满足21(3)(3)a ff -≥-，则a 的最大值是（ ）A ．1B ．12 C ．14 D ．348.为了反映各行业对仓储物流业务需求变化的情况，以及重要商品库存变化的动向，中国物流与采购联合会和中储发展股份有限公司通过联合调查，制定了中国仓储指数.由2016年1月至2017年7月的调查数据得出的中国仓储指数，绘制出如下的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是（ ） A ．2016年各月的合储指数最大值是在3月份 B ．2017年1月至7月的仓储指数的中位数为55 C ．2017年1月与4月的仓储指数的平均数为52D ．2016年1月至4月的合储指数相对于2017年1月至4月，波动性更大 9.已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,)2πωϕ><的最小正周期为6π，且其图象向右平移23π个单位后得到函数()sin g x x ω=的图象，则ϕ=（ ） A ．29π B ．3π C ．6πD ．49π 10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．4B ．6C ．203 D ．22311.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，D 为虚轴的一个端点，且ABD ∆为钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A ．(1,2) B ．(2,22)+ C ．(2,2) D ．(1,2)(22,)++∞12.已知函数41()x f x e-=，1()ln 22g x x =+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ） A ．1ln 24- B ．1ln 24+ C ．2ln 213- D ．12ln 23+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知单位向量a ，b 满足1(23)2a ab ⋅-=，则向量a 与b 的夹角为 ． 14.如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，高为2，则异面直线1BC 与1DB 的夹角的余弦值是 ．15.两位同学分4本不同的书，每人至少分1本，4本书都分完，则不同的分发方式共有 种． 16.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，sin :sin 3A B =2cos 3c C ==，则ABC ∆的周长为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知正项数列{}n a 满足11a =，2211n n n n a a a a +++=-.数列{}n b 的前n 项和n S 满足2n n S n a =+.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列11{}n na b +的前n 项和n T .18.4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个小组中随机抽取10名学生参加问卷调查，各组人数统计如下：小组 甲 乙 丙 丁 人数91263（1）从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名，求这两名学生来自同一个小组的概率；（2）在参加问卷调查的10名学生中，从来自甲、丙两个小组的学生中随机抽取两名，用X 表示抽得甲组学生的人数，求X 的分布列和数学期望.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，PAD BAD ∆≅∆，平面PAD ⊥平面ABCD ，4AB =，PA PD =，M 在棱PD 上运动.（1）当M 在何处时，//PB 平面MAC ；（2）当//PB 平面MAC 时，求直线PC 与平面MAC 所成角的弦值.20.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F 和2F ，上顶点为M ，若直线1MF 的斜率为1，且与椭圆的另一个交点为N ，2F MN ∆的周长为42. （1）求椭圆的标准方程；（2）过点1F 的直线l （直线l 的斜率不为1）与椭圆交于P ，Q 两点，点P 在点Q 的上方，若1123F NQ F MP S S ∆∆=，求直线l 的斜率.21.已知函数()(ln )f x x x ax =-，()a R ∈. （1）若0a =时，求函数()f x 的最小值；（2）若函数()f x 既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩，（θ为参数），曲线2C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩，（ϕ为参数）. （1）将1C ，2C 的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标系方程为(cos 2sin )4ρθθ-=.若1C 上的点P 对应的参数为2πθ=，点Q 在2C 上，点M 为PQ 的中点，求点M 到直线l 距离的最小值. 23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数2()23f x x a x a =-+++. （1）证明：()2f x ≥；（2）若3()32f -<，求实数a 的取值范围.榆林市2017～2018年第二次模拟考试试卷高三数学参考答案（理科）一、选择题1-5: CDCAB 6-10: CDDAB 11、12：DB二、填空题13. 60（或3π）3+三、解答题17.解：（1）∵2211n n n n a a a a +++=-，∴11()(1)0n n n n a a a a +++--=，∵10n a +>，0n a >，∴10n n a a ++≠，∴11n n a a +-=， ∴{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴n a n =.当2n ≥时，1n n n b S S -=-22[(1)(1)]2n n n n n =+--+-=，当1n =时12b =也满足2n b n =，∴2n b n =.（2）由（1）可知：1112(1)n na b n n +=+111()21n n =-+，∴11111[()()21223n T =-+-11()]12(1)n n n n +⋅⋅⋅+-=++. 18. 解：（1）由已知得，问卷调查中，从四个小组中抽取的人数分别为3，4，2，1，从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名的取法共有21045C =种， 这两名学生来自同一小组的取法共有22234210C C C ++=，所以102459P ==. （2）由（1）知，在参加问卷调查的10名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为3，2，X 的可能取值为0，1，2，22251(0)10C P X C ===，1132253(1)5C C P X C ===，23253(2)10C P X C ===.∴X 的分布列为：X0 12P110 35 310()012105105E X =⨯+⨯+⨯=. 19. 解：（1）当M 为PD 中点时，//PB 平面MAC .∵设AC BD N =，在PBD ∆中，MN 为中位线，即//MN PB ，又PB ⊄平面MAC ，MN ⊂平面MAC ，∴//PB 平面MAC . （2）∵四边形ABCD 是菱形，PAD BAD ∆≅∆，PA PD =， ∴PAD ∆，BAD ∆均为等边三角形.取AD 的中点O ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，∴OP ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点，射线OA ，OB ，OP 分别为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(2,0,0)A ，(0,23,0)B ，(4,23,0)C -，(2,0,0)D -，(0,0,23)P ，(1,0,3)M -.∴(6,23,0)AC =-，(3,0,3)AM =-，(4,23,23)PC =--. 设平面MAC 的法向量为(,,)m x y z =，则由m AC ⊥，m AM ⊥，得6230330m AC x y m AM x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取3x =，得(3,3,3)m =. 记直线PC 与平面MAC 所成角为θ，则sin m PC m PCθ⋅=43233(23)3161212399-⨯+⨯+-⨯=++⨯++7035=.20. 解：（1）因为2F MN ∆的周长为42，所以442a =，即2a =由直线1MF 的斜率为1，得1bc=， 因为222a b c =+，所以1b =，1c =.所以椭圆的标准方程为2212x y +=. （2）由题可得直线1MF 方程为1y x =+，联立22112y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得41(,)33N --，所以1113NF MF =. 因为1123F NQ F MP S S ∆∆=，即1111sin 2NF QF QF N ⋅∠11121(sin )32MF PF PF M =⋅∠， 所以112QF PF =.当直线l 的斜率为0时，不符合题意，故设直线l 的方程为1x my =-，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由点P 在点Q 的上方，则212y y =-.联立22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)210m y my +--=，所以1221222212m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩.消去2y 得1221222122m y m y m -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，所以222281(2)2m m m =++，得227m =，7m =±，又由画图可知m =m =故直线l的斜率为12m =-. 21. 解：（1）当0a =时，()ln f x x x =，定义域为(0,)+∞.'()ln 1f x x =+，令'()0f x =，可得1x e=.列表：所以，函数()f x 的最小值为()f e e=-.（2）()(ln )f x x x ax =-，定义域为(0,)+∞，'()ln 21f x x ax =-+. 记()'()ln 21h x f x x ax ==-+，(0,)x ∈+∞，1'()2h x a x=-， ①当0a ≤时，'()0h x >，()'()h x f x =在(0,)+∞上单调递增， 故'()f x 在(0,)+∞上至多有一个零点，此时，函数()f x 在(0,)+∞上至多存在一个极小值，不存在极大值，不符题意； ②当0a >时，令'()0h x =，可得1x =，列表：若()02h a ≤，即2a ≥，()()02h x h a≤≤，即'()0f x ≤， 故函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，函数()f x 在(0,)+∞上不存在极值，与题意不符，若1()02h a >，即102a <<时， 由于1112a e >>，且112()ln 1a h e e e =-+20a e=-<，故存在111(,)2x e a∈，使得()0h x =，即'()0f x =，且当1(0,)x x ∈时，'()0f x <，函数()f x 在1(0,)x 上单调递减；当11(,)2x x a ∈时，'()0f x >，函数()f x 在1(0,)x 上单调递增，函数()f x 在1x x =处取极小值. 由于2112a a <，且22112()ln 1h a a a =-+22ln 10a a =--+<（事实上，令2()2ln 1a a aμ=--+，222'()a a a μ=-+22(1)0a a -=>，故()a μ在(0,1)上单调递增，所以()(1)10a μμ<=-<）.故存在2211(,)2x a a ∈，使得()0h x =，即'()0f x =， 且当21(,)2x x a ∈时，'()0f x >，函数()f x 在21(,)2x a上单调递增；当2(,)x x ∈+∞时，'()0f x <，函数()f x 在2(,)x +∞上单调递减，函数()f x 在2x x =处取极大值. 综上所述，当102a <<时，函数()f x 在(0,)+∞上既有极大值又有极小值. 22. 解：（1）1C 的普通方程为22(1)1x y +-=， 它表示以(0,1)为圆心，1为半径的圆，2C 的普通方程为2214x y +=，它表示中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆.（2）由已知得(0,2)P ，设(2cos ,sin )Q ϕϕ，则1(cos ,1sin )2M ϕϕ+， 直线l ：240x y --=，点M 到直线l的距离d=)6πϕ+-=，所以d ≥=M 到l的距离的最小值为5. 23.（1）证明：因为2()23f x x a x a =-+++223x a x a ≥++-+， 而222323x a x a a a ++-+=++2(1)22a =++≥，所以()2f x ≥.（2）解：因为2333()2222f a a -=+++22323,432,4a a a a a a ⎧++≥-⎪⎪=⎨⎪-<-⎪⎩，所以234233a a a ⎧≥-⎪⎨⎪++<⎩或23423a a a ⎧<-⎪⎨⎪-<⎩， 解得10a -<<，所以a 的取值范围是(1,0)-.。
山西省榆林市2018届高三第二次模拟考试理数试题 含解
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|11,|A x x B x y ⎧⎪=+<==⎨⎪⎩ ，则R A C B = （ ）A ．()1,0-B ．[)1,0-C ．(]2,1--D ．()2,1-- 【答案】A考点：集合运算 【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 2.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程ˆ0.76ya x =+，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ）A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元 【答案】B 【解析】试题分析：因为ˆ0.76y a x =+过点(,)(10,8)x y =，所以0.4a =，因此当15x =时，ˆ11.8y=，选B.考点：回归直线方程3.在区间[]0,10内随机取出两个数，则这两个数的平方和在区间[]0,10内的概率为（ ）A ．40π B ．110 D ．4π 【答案】A考点：几何概型概率【方法点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．4.已知等比数列{}n a 各项都为正数，且6a 为1723242526272829log log log log log log log a a a a a a a ++++++=（ ）A ．27B ．21C ．14D ．以上都不对 【答案】C【解析】试题分析：由题意得61742a ==，2324252627282923456789log log log log log log log log a a a a a a a a a a a a a a ++++++=77262log ()log (4)14.a ===选C.考点：等比数列性质5.a 、b 、c 依次表示函数()()()22,32,ln 2x x f x x g x x h x x x =+-=+-=+-的零点，则a 、b 、c 的 大小顺序为（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b a c << 【答案】D考点：函数图像6.已知{}{}2,3,1,2,3a b ∈∈，执行下列程序框图，则输出结果共有（ ）A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种 【答案】B 考点：流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 7.下列命题正确的个数是（ ）①命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤”； ②已知0.642log 7,log 3,0.2a b c -===，则a b c <<；③“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“0a b < ”；④已知数列{}n a 为等比数列，则123a a a <<是数列{}n a 为递增数列的必要条件； A ．3个 B ．4个 C ．1个 D ．2个 【答案】D 【解析】考点：充要关系8.设1m -=⎰，若将函数()()sin f x x ωϕ=+的图像向左平移m 个单位后所得图像与原图像重合，则ω的值不可能为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．12 【答案】B 【解析】试题分析：12m π-==⎰，所以y sin ()2x πωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当4,8,12ω=时y sin ()=2x πωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()sin x ωϕ+，所以选B.考点:定积分，三角函数图像【方法点睛】1.求曲边图形面积的方法与步骤 (1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； (3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．9.已知()()()()2320121111nnn x x x x a a x a x a x ++++++++=++++ ，且012126n a a a a ++++= ，那么n的展开式中的常数项为（ ）A ．-15B ．15C ．20D ．-20【答案】D考点：二项式定理10.如图，在矩形ABCD 中，2AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB AF =，则AE BF的值是（ ）A ．2+．4．【答案】C 【解析】试题分析：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则(m,2)AB AF == ，由AB AF =的1m =，因此(1AE BF ===选C.考点：向量数量积11.过圆()()22:111C x y -+-=的圆心，作直线分别交x 轴、y 轴的正半轴于A 、B 两点，AOB ∆ 被圆分成四部分（如图），若这四部分图形的面积满足1423S S S S +=+，则直线AB 有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．0条 【答案】A 【解析】试题分析：由于第二与第四部分面积确定，因此第三部分与第一部分的差也唯一确定，因此满足条件的直线有且仅有一条，选A. 考点：直线与圆位置关系12.定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()[)[)2213,0,1ln ,1,2x x x f x x x x ⎧-+∈⎪=⎨∈⎪⎩， 若当[)4,2x ∈--时，函数()22f x t t ≥+恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A ．30t -≤≤B ．31t -≤≤C ．20t -≤≤D ．01t ≤≤ 【答案】C考点：分段函数性质，不等式恒成立【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值. 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.如果复数()()12bi i ++是纯虚数，则231b ibi++的值为________.考点：复数运算【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b .-a bi 14.某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球表面积为________.【答案】9π 【解析】试题分析：几何体为一个三棱柱，内接于一长方体，长方体长宽高为2,2，1，外接球直径为，外接球表面积为224(2R)9.R πππ== 考点：三视图【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．15.已知12,F F 为双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，01260F PF ∠=，则12PF PF = ________.【答案】4考点：双曲线定义16.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()()()33222015201520112011120161sin,120161cos 36a a a a ππ-+-=-+-=，则2016S =________.【答案】2018 【解析】试题分析：()()()()332220152015120161120161a a a a -+-=-+-=，又3()2016f x x x =+为单调递增奇函数，所以()2201511a a -=--，即220152a a +=，201612016220151008()1008()=2016.S a a a a =+=+考点：函数性质，等差数列性质三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）如图，已知平面上直线12//l l ，,A B 分别是12,l l 上的动点，C 是12,l l 之间的一定点，C 到1l 的距离1CM =，C 到2l 的距离CN =ABC ∆三内角A ∠、B ∠、C ∠所对边分别为,,a b c ，a b >，且cos cos b B a A =.（1）判断ABC ∆的形状；（2）记()11,ACM f AC BCθθ∠==+，求()f θ的最大值.【答案】（1）直角三角形（2）考点：正弦定理，配角公式【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18.（本小题满分12分）北京市某单位有车牌尾号为2的汽车A和尾号为6的汽车B，两车分属于两个独立业务部门，现对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日，A车日出车频率0.6，B车日出车频率0.5.北京地区汽车限行规定如下：现将汽车日出车频率理解为日出车概率，且,A B两车出车相互独立.（1）求该单位在星期一恰好出车一台的概率；（2）设X表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X的分布及其数学期望()E X.【答案】（1）0.5.（2）详见解析考点：古典概型概率，数学期望【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； 第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X ～B(n ，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度. 19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，060BAD ∠=，Q 为AD 的中点.（1）若PA PD =，求证：平面PQB ⊥平面PAD ； （2）点M 在线段PC 上，13PM PC =，若平面PAD ⊥平面ABCD ，且2PA PD AD ===，求平面MBQ 与平面CBQ 夹角的大小.【答案】（1）详见解析（2）60°（2）∵,PA PD AD Q ==为AD 的中点， ∴PQ AD ⊥，考点：线面垂直的判定与性质定理，利用空间向量求二面角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 20.（本小题满分12分）已知()1,0F ，直线:1,l x P =-为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ = .（1）求动点P 的轨迹曲线C 的方程；（2）设动直线y kx m =+与曲线C 相切于点M ，且与直线1x =-相交于点N ，试探究：在坐标平面内是否存在一个定点E ，使得以MN 为直径的圆恒过此定点E ？若存在，求出定点E 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）2:4C y x =（2）()1,0E（2）由24y kx m y x=+⎧⎨=⎩得()222240k x km x m +-+=，由0∆=，得1km =，从而有()21,2,1,M m m N m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭， 则以MN 为直径的圆的方程为()()()21120x mx y m y m m ⎛⎫-++-+-= ⎪⎝⎭，整理得，()22211320x m y m x y x m ⎛⎫-+-+++-=⎪⎝⎭， 由2210020x y x y x -=⎧⎪=⎨⎪++-=⎩，得1,0x y ==，所以存在一个定点()1,0E 符合题意…………………………12分考点：直接法求轨迹方程，直线与抛物线相切，定点问题【思路点睛】定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定值问题同证明问题类似，在求定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定值显现.21.(本小题满分12分)已知函数()32121332x a b f x x x x x λλ-⎛⎫=+++⎪⎝⎭，（,ab R ∈且0a >）. （1）当121,0λλ==时，若已知12,x x 是函数()f x 的两个极值点，且满足：1212x x <<<，求证：()13f '->；（2）当120,1λλ==时，①求实数()()()31ln30y f x x x =-+>的最小值；②对于任意正实数,,a b c ，当3a b c ++=时，求证：3339a b ca b c ++≥. 【答案】（1）详见解析（2）①3ln 3-②详见解析试题解析：（1）当121,0λλ==时，()()()3221,1132a b f x x x x f x ax b x -'=++=+-+， 已知12,x x 是函数()y f x =两个极值点，则12,x x 是方程()0f x '=的两根点由120,12a x x ><<<，∴()()1020f f '<⎧⎪⎨'>⎪⎩，即04210a b a b +<⎧⎨+->⎩，()()()12342133f a b a b a b '-=-+=-+++-+>………………………4分或线性规划可得()13f '->.考点：函数极值，利用导数求函数最值，利用导数证不等式 【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min≥a 即可；f(x)≤a 恒成立，只需f(x)max≤a 即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的平分线，ACD ∆的外接圆交BC 于点E ，2AB AC =.（1）求证：2BE AD =；（2）当1,2AC EC ==时，求AD 的长.【答案】（1）详见解析（2）12 AD考点：三角形相似，切割线定理【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x正半轴重合，且长度单位相同，直线的极坐标方程为5sin 3ρπθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，点()2cos ,2sin 2P αα+，（参数[]0,2απ∈）.（1）求点P 轨迹的直角坐标方程； （2）求点P 到直线l 距离的最大值.【答案】（1）()2224x y +-=（2）6.考点：参数方程化普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，直线与圆位置关系 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知()11f x x x =-++，不等式()4f x <的解集为M . （1）求集合M ；（2）当,a b M ∈时，证明：24a b ab +<+. 【答案】（1）()2,2M =-（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）利用绝对值定义将不等式等价转化为三个不等式组，最后求它们的并集（2）利用分析法证明：注意等价变形，注意利用因式分解转化为判断因子符号.试题解析：解：（1）不等式的解等价于：1111242424x x x x x ⎧≥⎧-≤<<-⎧⎪⎨⎨⎨<<-<⎩⎪⎩⎩或或， 解得：22x -<<，故()2,2M =-；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分考点：绝对值定义, 分析法【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
2018-2019-2018届榆林市高三数学模拟试卷及答案word版本 (9页)
本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==2018届榆林市高三数学模拟试卷及答案高考一直备受大家的关注，其中高考数学的题型基本上是保持不变的，只是逻辑性不同，我们可以通过多做一些高考数学模拟试卷来熟悉高考的题型，以下是小编为你整理的2018届榆林市高三数学模拟试卷，希望能帮到你。
2018届榆林市高三数学模拟试卷题目一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则等于( )A. B. C. D.2.已知复数的实部与虚部之和为4，则复数在复平面上对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知，则等于( )A. B. C. D.4.已知向量与的夹角为60°，，，则在方向上的投影为( )A. B.2 C. D.35. 如果实数，，满足条件，则的最大值为( )A. B. C. D.6.已知，则等于( )A.0B.-240C.-480D.9607. 执行如图所示的程序框图，则下列说法正确的是( )A. ，输出的值为5B. ，输出的值为5C. ，输出的值为5D. ，输出的值为58. 已知函数是奇函数，其中，则函数的图像( )A. 关于点对称B.可由函数的图像向右平移个单位得到C.可由函数的图像向左平移个单位得到D.可由函数的图像向左平移个单位得到9. 已知函数的定义域为，对任意，有，且，则不等式的解集为( )A. B. C D.10. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B.5 C. D.611. 已知点是抛物线与圆在第一象限的公共点，且点到抛物线焦点的距离为 .若抛物线上一动点到其准线与到点的距离之和的最小值为，为坐标原点，则直线被圆所截得的弦长为( )A.2B.C.D.12.已知函数，，实数，满足，若，，使得成立，则的最大值为( )A.4B.C.D.3第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13.甲、乙、丙三人将独立参加某项体育达标测试.根据平时训练的经验，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为、、，则三人中有人达标但没有全部达标的概率为_______.14. 过双曲线的右焦点作与轴垂直的直线，直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点.若，则双曲线的离心率为_______.15.在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形.若直线与平面所成的角为30°，则四棱锥的外接球的表面积为_______.16.在中，内角，，的对边分别为，，，，，是的中点，且，则的面积为_______.三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17(本小题满分12分)已知公比小于1的等比数列的前项和为，且 .(1)求数列的通项公式;(2)设，求数列的前项和 .18.(本小题满分12分)如图，在直四棱柱中，底面是边长为1的正方形, ，点是侧棱的中点.(1)求证：平面 ;(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.19. (本小题满分12分)为推行“新课堂”教学法，某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”.(1)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断“成绩优良与教学方式是否有关”?附： .临界值表(2)现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核.在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为，求的分布列及数学期望.20. (本小题满分12分)。
2018年陕西省榆林市高考数学二模试卷(理科)
2018年陕西省榆林市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合M ={x|x 2−7x <0}，B ={1, 3, 5, 7}，则M ∩N =( ) A.{1, 3} B.{3, 5} C.{1, 3, 5} D.{1, 3, 5, 7}2. 已知a >0，i 为虚数单位，ai(a +i)的实部与虚部互为相反数，则a =( ) A.4 B.3 C.2 D.13. 已知cosθsinθ=3cos(2π+θ)，|θ|<π2，则sin2θ=( )A.8√29B.2√23C.4√29D.2√294. 若抛物线x 2=16y 上一点(x 0,y 0)到焦点的距离是该点到x 轴距离的3倍，则y 0=（ ）A.2B.√2C.1D.125. 《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重长两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176两），问玉、石重各几何？”其意思为：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（即176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x ，y 分别为（ ）A.90，86B.94，82C.98，78D.102，746. 设x ，y 满足约束条件{y ≥0x −y +1≥0x +y −3≤0，则z =3x −2y 的最大值为（ ）A.−1B.3C.9D.127. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间(−∞, 0)上单调递增．若实数a 满足f(32a−1)≥f(−√3)，则a 的最大值是（ ）A.1B.12 C.14 D.348. 为了反映各行业对仓储物流业务需求变化的情况，以及重要商品库存变化的动向，中国物流与采购联合会和中储发展股份有限公司通过联合调查，制定了中国仓储指数．由2016年1月至2017年7月的调查数据得出的中国仓储指数，绘制出如图的折线图．根据该折线图，下列结论正确的是（ ）A.2016年各月的仓储指数最大值是在3月份B.2017年1月至7月的仓储指数的中位数为55C.2017年1月与4月的仓储指数的平均数为52D.2016年1月至4月的仓储指数相对于2017年1月至4月，波动性更大9. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为6π，且其图象向右平移2π3等个单位后得到函数g(x)=sinωx 的图象，则φ等于（ ） A.4π9B.2π9C.π6D.π310. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.4B.6C.203D.22311. 过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，D 为虚轴上的一个端点，且△ABD 为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为（ ） A.(1, √2) B.(√2, √2+√2) C.(√2, 2)D.(1, √2)∪(√2+√2, +∞)12. 已知函数f(x)=e 4x−1,g(x)=12+ln(2x)，若f(m)=g(n)成立，则n −m 的最小值为( ) A.1−ln24 B.1+2ln23C.2ln2−13D.1+ln24二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知单位向量，满足，则向量与的夹角为________．14. 如图，长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面是边长为1的正方形，高为2，则异面直线BC 1与DB 1的夹角的余弦值是________．15. 两位同学分4本不同的书，每人至少分1本，4本书都分完，则不同的分发方式共有________种．16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，sinA:sinB =1:√3，若c =2cosC =√3，则△ABC 的周长为________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.必考题：共60分.17. 已知正项数列{a n }满足a 1=1，a n 2+a n =an+12−a n+1，数列{b n }的前n 项和S n 满足S n =n 2+a n ．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）求数列{1an+1b n}的前n 项和T n ．18. 4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动．为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个小组中随机抽取10名学生参加问卷调查．各组人数统计如下：（1）从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名，求这两名学生来自同一个小组的概率；（2）在参加问卷调查的10名学生中，从来自甲、丙两个小组的学生中随机抽取两名，用X 表示抽得甲组学生的人数，求X 的分布列和数学期望．19. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，△PAD ≅△BAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB =4，PA =PD ，M 在棱PD 上运动．（1）当M 在何处时，PB // 平面MAC ；（2）当PB // 平面MAC 时，求直线PC 与平面MAC 所成角的弦值．20. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为M ，若直线MF 1的斜率为1，且与椭圆的另一个交点为N ，△F 2MN 的周长为4√2． （1）求椭圆的标准方程；（2）过点F 1的直线l （直线l 的斜率不为1）与椭圆交于P ，Q 两点，点P 在点Q 的上方，若S △F 1NQ =23S △F 1MP ，求直线l 的斜率．21. 已知函数f(x)=x(lnx −ax)，(a ∈R)． （1）若a =0时，求函数f(x)的最小值；（2）若函数f(x)既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围．选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =cosℎetay =1+sinℎeta （ℎeta 为参数），曲线C 2的参数方程为{x =2cosarpℎi y =sinarpℎi（arpℎi 为参数） （1）将C 1，C 2的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρ(cosθ−2sinθ)＝4，若C 1上的点P对应的参数为ℎeta =π2，点Q 上在C 2，点M 为PQ 的中点，求点M 到直线l 距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23. 已知f(x)＝|x −a 2|+|x +2a +3|． （1）证明：f(x)≥2；（2）若f(−32)<3，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析2018年陕西省榆林市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】 C【考点】交集及其运算 【解析】化简集合M 、根据交集的定义写出M ∩N ． 【解答】集合M ={x|x 2−7x <0}={x|0<x <7}， B ={1, 3, 5, 7}， 则M ∩N ={1, 3, 5}． 2.【答案】 D【考点】 复数的运算 【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部互为相反数列式求得a 值． 【解答】∵ ai(a +i)=−a +a 2i 的实部与虚部互为相反数， ∴ a 2=a ，又a >0， ∴ a =1． 3.【答案】 C【考点】二倍角的三角函数 【解析】由已知可求sinθ的值，利用同角三角函数基本关系式可求cosθ的值，根据二倍角的正弦函数公式即可计算得解． 【解答】 ∵ |θ|<π2， ∴ cosθ∈(0, 1]， ∵ cosθsinθ=3cos(2π+θ)，∴cosθsinθ=3cosθ，可得：sinθ=13，∴ cosθ=√1−sin 2θ=2√23， ∴ sin2θ=2sinθcosθ=2×13×2√23=4√29．4.【答案】 A【考点】 抛物线的性质 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：方法一：由题意知抛物线的焦点为(0,4)，则{x 02+(y 0−4)2=9y 02,x 02=16y 0,解得y 0=2或y 0=−1（舍去）. 方法二：由抛物线的定义可知，点(x 0,y 0)到焦点的距离为y 0+4，点(x 0,y 0)到x 轴的距离为y 0，所以y 0+4=3y 0，解得y 0=2. 故选A . 5.【答案】 C【考点】 程序框图 【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】模拟程序的运行，可得： x ＝86， y ＝90，s =867+906，不满足条件s ＝27，x ＝90，y ＝86，s =907+866， 不满足条件s ＝27，x ＝94，y ＝82，s =947+826， 不满足条件s ＝27，x ＝98，y ＝78，s =987+786=27，满足条件s ＝27，退出循环，输出x 的值为98，y 的值为78． 6.【答案】 C【考点】 简单线性规划 【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，即可得到结论． 【解答】作出x ，y 满足约束条件{y ≥0x −y +1≥0x +y −3≤0对应的平面区域如图：由z =3x −2y 得y =32x −z2，平移直线y =32x −z2当直线y =32x −z2经过点A 时，直线y =32x −z2的截距最小，此时z 最大． 由{y =0x +y =3，解得A(3, 0)， 此时z max =3×3−2×0=9， 7.【答案】 D【考点】奇偶性与单调性的综合 【解析】根据f(x)为R 上的偶函数即可得出f(32a−1)=f(−32a−1)，再根据f(x)在(−∞, 0)上单调递增，即可根据条件得出−32a−1≥−312，由此即可解得a ≤34，从而便可得出a 的最大值． 【解答】解：f(x)是R 上的偶函数，在(−∞, 0)上单调递增； ∴ f(32a−1)=f(−32a−1)；∴ 由f(32a−1)≥f(−√3)得f(−32a−1)≥f(−√3)； ∴ −32a−1≥−√3； ∴ 32a−1≤312； ∴ 2a −1≤12； 解得a ≤34； ∴ a 的最大值为34． 故选D . 8.【答案】 D【考点】频率分布折线图、密度曲线 【解析】在A 中，2016年各月的合储指数最大值是在11月份；在B 中，2017年1月至7月的仓储指数的中位数为51；在C 中，2017年1月与4月的仓储指数的平均数为53.75；在D 中，2016年1月至4月的合储指数相对于2017年1月至4月，波动性更大． 【解答】解：根据该折线图得到：在A 中，2016年各月的仓储指数最大值是在11月份，故A 错误； 在B 中，2017年1月至7月的仓储指数的中位数为51，故B 错误；在C 中，2017年1月与4月的仓储指数的平均数为：14(50+54+55+56)=53.75，故C 错误；在D 中，2016年1月至4月的仓储指数相对于2017年1月至4月，波动性更大，故D 正确． 故选D . 9.【答案】 B【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】直接利用正弦型函数的性质和平移变换求出结果． 【解答】函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为6π， 则：ω=2π6π=13， 则：f(x)=sin(13x +φ)，将函数的图象向右平移2π3等个单位后得到： g(x)=sin[13(x −2π3)+φ]=sin 13x ， 即：φ=2π9．10.【答案】 B【考点】由三视图求面积、体积 【解析】由三视图还原原几何体，可知该几何体是棱长为2的正方体挖去一个三棱柱，且挖去三棱柱的高为1，底面是腰长为2的等腰直角三角形，则体积可求． 【解答】由三视图还原原几何体如图，该几何体是棱长为2的正方体挖去一个三棱柱，且挖去三棱柱的高为1，底面是腰长为2的等腰直角三角形， ∴ 原几何体的体积V =23−12imes2imes2imes1=6．11.【答案】 D【考点】 双曲线的性质 【解析】设出双曲线的左焦点，令x =−c ，代入双曲线的方程，解得A ，B 的坐标，讨论∠DAB 为钝角，可得AD →⋅AB →<0，或∠ADB 为钝角，可得DA →⋅DB →<0，运用向量数量积的坐标表示，再由离心率公式和范围，即可得到所求范围． 【解答】 设双曲线C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点F 1(−c, 0)，令x =−c ，可得y =±√c 2a 2−1=±b 2a ，可得A(−c, b 2a )，B(−c, −b 2a )，又设D(0, b)，可得AD →=(c, b −b 2a)，AB →=(0, −2b 2a)，DB →=(−c, −b −b 2a)，由△ABD 为钝角三角形，可能∠DAB 为钝角，可得AD →⋅AB →<0， 即为0−2b 2a⋅(b −b 2a)<0，化为a >b ，即有a 2>b 2=c 2−a 2， 可得c 2<2a 2，即e =ca <√2， 又e >1，可得1<e <√2，可能△ADB 中，∠ADB 为钝角，可得DA →⋅DB →<0， 即为c 2−(b 2a +b)(b 2a −b)<0，化为c 4−4a 2c 2+2a 4>0， 由e =ca ，可得e 4−4e 2+2>0， 又e >1，可得e >√2+√2．综上可得，e 的范围为(1, √2)∪(√2+√2．+∞)． 12.【答案】 D【考点】函数与方程的综合运用【解析】根据f(m)=g(n)=t 得到m ，n 的关系，利用消元法转化为关于t 的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论． 【解答】解：不妨设f(m)=g(n)=t ，∴ e 4m−1=12+ln(2n)=t ，(t >0)∴ 4m −1=lnt ，即m =14(1+lnt)，n =12e t−12，故n −m =12et−12−14(1+lnt)，(t >0)令ℎ(t)=12e t−12−14(1+lnt)，(t >0)，∴ ℎ′(t)=12e t−12−14t，易知ℎ′(t)在(0, +∞)上是增函数，且ℎ′(12)=0，当t >12时，ℎ′(t)>0， 当0<t <12时，ℎ′(t)<0，即当t =12时，ℎ(t)取得极小值同时也是最小值，此时ℎ(12)=12−14(1+ln 12)=1+ln24，即n −m 的最小值为1+ln24.故选D .二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.【答案】 60∘（或） 【考点】平面向量数量积的性质及其运算 数量积表示两个向量的夹角 【解析】利用向量的数量积与夹角关系，转化求解即可． 【解答】由题单位向量，满足，2−3． 可得，故向量与的夹角为60∘（或写成）． 14.【答案】√3010【考点】异面直线及其所成的角 【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能法出异面直线BC 1与DB 1的夹角的余弦值．【解答】∵ 长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面是边长为1的正方形，高为2， ∴ 以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴， 建立空间直角坐标系，B(1, 1, 0)，C 1(0, 1, 2)，D(0, 0, 0)， B 1(1, 1, 2)，BC 1→=(−1, 0, 2)，DB 1→=(1, 1, 2)， 设异面直线BC 1与DB 1的夹角为θ， 则cosθ=|BC 1→∗DB 1→||BC 1→|∗|DB 1→|=√5∗√6=√3010． ∴ 异面直线BC 1与DB 1的夹角的余弦值为√3010．15.【答案】 14【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】根据题意，分2类进行分析求解：1、将4本书分为2组，一组2本，2、将书分3本一组，与一本一组，求出分配方法数，然后求和即可． 【解答】根据题意，分2类进行分析：1、将4本书分为2组，一组2本，另一组2本，有C 42∗C 22=6种分组方法；2、将4本不同的书，分2组一组3本，另一组1本，有C 21∗C 41∗C 11=8种情况，则不同的分法有6+8=14种； 16.【答案】 3+2√3 【考点】 正弦定理 【解析】根据题意，由正弦定理可得a:b =1:√3，设a =t ，则b =√3t ，分析可得cosC 的值，由余弦定理可得：c 2=a 2+b 2−2abcosC =4t 2−3t 2=3，解可得t 的值，即可得a 、b 的值，将a 、b 、c 的值相加即可得答案． 【解答】根据题意，△ABC 中，sinA:sinB =1:√3， 则有a:b =1:√3， 设a =t ，则b =√3t ，又由c =2cosC =√3，则c =3，且cosC =√32；由余弦定理可得：c 2=a 2+b 2−2abcosC =4t 2−3t 2=3， 解可得：t =√3， 则a =√3，b =3，则△ABC 的周长l =a +b +c =3+2√3；三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.必考题：共60分. 17.【答案】由a n 2+a n =a n+12−a n+1，∴ a n+1+a n =a n+12−a n 2=(a n+1+a n )(a n+1−a n )，∵ a n >0，∴ a n+1−a n =1，∴ 数列{a n }是以1为首项，以1为公差的等差数列， ∴ a n =1+n −1=n ，∴ S n =n 2+a n =n 2+n ，① 当n =1时，b 1=S 1=2，当n ≥2时，S n−1=(n −1)2+n −1，②， 由①-②可得b n =2n ， 当n =1时，也成立， ∴ b n =2n ，1a n+1b n=1(n+1)∗2n =12(1n −1n+1)，∴ T n =12(1−12+12−13+...+1n −1n+1)=12(1−1n+1)=n2n+2【考点】 数列的求和 数列递推式 【解析】（1）a n 2+a n =a n+12−a n+1可得a n+1−a n =1，即数列{a n }是以1为首项，以1为公差的等差数列，即可求出a n =n ，再根据S n =n 2+n ，即可求出b n =2n ， （2）由1an+1b n=1(n+1)∗2n=12(1n−1n+1)，根据裂项求和即可求出【解答】由a n 2+a n =a n+12−a n+1，∴ a n+1+a n =a n+12−a n 2=(a n+1+a n )(a n+1−a n )，∵ a n >0，∴ a n+1−a n =1，∴ 数列{a n }是以1为首项，以1为公差的等差数列， ∴ a n =1+n −1=n ，∴ S n =n 2+a n =n 2+n ，① 当n =1时，b 1=S 1=2，当n ≥2时，S n−1=(n −1)2+n −1，②， 由①-②可得b n =2n ， 当n =1时，也成立， ∴ b n =2n ，1a n+1b n=1(n+1)∗2n =12(1n −1n+1)，∴ T n =12(1−12+12−13+...+1n −1n+1)=12(1−1n+1)=n2n+2 18.【答案】由已知得，问卷调查中，从四个小组中抽取的人数分别为3，4，2，1，从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名的取法共有C102=45种，这两名学生来自同一小组的取法共有C32+C42+C22=10，所以这两名学生来自同一个小组的概率P=1045=29．由（1）知，在参加问卷调查的10名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为3，2．X的可能取值为0，1，2，P(X=0)=C22C52=110，P(X=1)=C31C21C52=35，P(X=2)=C32C52=310．∴X的分布列为：E(X)=0×110+1×35+2×310=65．【考点】离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）从四个小组中抽取的人数分别为3，4，2，1，从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名的取法共有C102=45种，这两名学生来自同一小组的取法共有C32+C42+C22=10，由此能求出这两名学生来自同一个小组的概率．（2）在参加问卷调查的10名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为3，2．X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】由已知得，问卷调查中，从四个小组中抽取的人数分别为3，4，2，1，从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名的取法共有C102=45种，这两名学生来自同一小组的取法共有C32+C42+C22=10，所以这两名学生来自同一个小组的概率P=1045=29．由（1）知，在参加问卷调查的10名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为3，2．X的可能取值为0，1，2，P(X=0)=C22C52=110，P(X=1)=C31C21C52=35，P(X=2)=C32C52=310．∴X的分布列为：E(X)=0×110+1×35+2×310=65．19.【答案】证明：当M为PD中点时，PB // 平面MAC．∵设AC∩BD=N，在△PBD中，MN为中位线，即MN // PB，又PB平面MAC，MN⊂平面MAC，∴PB // 平面MAC．∵四边形ABCD是菱形，△PAD≅△BAD，PA=PD，∴△PAD，△BAD均为等边三角形．取AD的中点O，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴OP⊥平面ABCD．以O为坐标原点，射线OA，OB，OP分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0, 0, 0)，A(2, 0, 0)，B(0,2√3,0)，C(−4,2√3,0)，D(−2, 0, 0)，P(0,0,2√3)，M(−1,0,√3)．∴AC→=(−6,2√3,0)，AM→=(−3,0,√3)，PC→=(−4,2√3,−2√3)．设平面MAC的法向量为m→=(x,y,z)，则由m→⊥AC→，m→⊥AM→，得{m→∗AC→=−6x+2√3y=0m→∗AM→=−3x+√3z=0，取x=√3，得m→=(√3,3,3)．记直线PC与平面MAC所成角为θ，则sinθ=m→∗PC→|m→||PC→|=√3+2√3×3+(−2√3)×316+12+12×3+9+9=√7035．【考点】直线与平面平行直线与平面所成的角【解析】（1）证明MN // PB，然后证明PB // 平面MAC．（2）说明△PAD，△BAD均为等边三角形．以O为坐标原点，射线OA，OB，OP分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面MAC的法向量，记直线PC与平面MAC所成角为θ，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】证明：当M为PD中点时，PB // 平面MAC．∵设AC∩BD=N，在△PBD中，MN为中位线，即MN // PB，又PB平面MAC，MN⊂平面MAC，∴PB // 平面MAC．∵四边形ABCD是菱形，△PAD≅△BAD，PA=PD，∴△PAD，△BAD均为等边三角形．取AD的中点O，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴OP⊥平面ABCD．以O为坐标原点，射线OA，OB，OP分别为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0, 0, 0)，A(2, 0, 0)，B(0,2√3,0)，C(−4,2√3,0)，D(−2, 0, 0)，P(0,0,2√3)，M(−1,0,√3)．∴ AC →=(−6,2√3,0)，AM →=(−3,0,√3)，PC →=(−4,2√3,−2√3)．设平面MAC 的法向量为m →=(x,y,z)，则由m →⊥AC →，m →⊥AM →，得{m →∗AC →=−6x +2√3y =0m →∗AM →=−3x +√3z =0 ，取x =√3，得m →=(√3,3,3)． 记直线PC 与平面MAC 所成角为θ，则sinθ=m →∗PC →|m →||PC →|=√3+2√3×3+(−2√3)×3√16+12+12×√3+9+9=√7035．20.【答案】根据题意，因为△F 1MN 的周长为4√2，所以4a =4√2，即a =√2， 由直线MF 1的斜率1，得bc =1， 因为a 2=b 2+c 2，所以b =1，c =1， 所以椭圆的标准方程为x 22+y 2=1．由题意可得直线MF 1方程为y =x +1，联立得{y =x +1x 22+y 2=1 ，解得N(−43, −13)， 所以|NF 1||MF 1|=13，因为S △F 1NQ =23S △F 1MP ，即12|NF 1||QF 1|sin∠QF 1N =23(12|MF 1|∗|PF 1|sin∠PF 1M)， 所以|QF 1|=2|PF 1|，当直线l 的斜率为0时，不符合题意，故设直线l 的方程为x =my −1，P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)， 由点P 在点Q 的上方，且|y 2|=|2y 1|， 则有y 2=−2y 1， 联立{x =my −1x 22+y 2=1，所以(m 2+2)y 2−2my −1=0，所以y 1+y 2=2mm 2+2,y 1y 2=−1m 2+2，消去y 2得{y 1=−2mm 2+22y 12=1m 2+2，所以8m 2(m 2+2)2=1m 2+2，得m 2=27,m =±√147， 又由画图可知m =√147不符合题意，所以m =−√147，故直线l 的斜率为1m =−√142．【考点】 椭圆的性质 【解析】（1）根据题意，由椭圆的定义分析可得4a =4√2，又由直线的斜率分析可得b 、c 的值，将a 、b 的值代入椭圆方程即可得答案；（2）根据题意，联立直线与椭圆的方程，解可得N 的坐标，由S △F 1NQ =23S △F 1MP 分析可得|QF 1|=2|PF 1|，按直线的斜率存在与否分2种情况讨论，分析求出m 的值，综合即可得答案． 【解答】根据题意，因为△F 1MN 的周长为4√2，所以4a =4√2，即a =√2，由直线MF 1的斜率1，得bc =1， 因为a 2=b 2+c 2，所以b =1，c =1， 所以椭圆的标准方程为x 22+y 2=1．由题意可得直线MF 1方程为y =x +1，联立得{y =x +1x 22+y 2=1，解得N(−43, −13)， 所以|NF 1||MF 1|=13，因为S △F 1NQ =23S △F 1MP ，即12|NF 1||QF 1|sin∠QF 1N =23(12|MF 1|∗|PF 1|sin∠PF 1M)， 所以|QF 1|=2|PF 1|，当直线l 的斜率为0时，不符合题意，故设直线l 的方程为x =my −1，P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)， 由点P 在点Q 的上方，且|y 2|=|2y 1|， 则有y 2=−2y 1， 联立{x =my −1x 22+y 2=1，所以(m 2+2)y 2−2my −1=0，所以y 1+y 2=2m m 2+2,y 1y 2=−1m 2+2，消去y 2得{y 1=−2mm 2+22y 12=1m 2+2，所以8m 2(m 2+2)2=1m 2+2，得m 2=27,m =±√147， 又由画图可知m =√147不符合题意，所以m =−√147，故直线l 的斜率为1m =−√142． 21.【答案】当a =0时，f(x)=xlnx ，定义域为(0, +∞)．f ′(x)=lnx +1，令f ′(x)=0，可得x =1e ． 列表：所以，函数f(x)的最小值为f(1e )=−1e ．f(x)=x(lnx −ax)，定义域为(0, +∞)，f ′(x)=lnx −2ax +1． 记ℎ(x)=f ′(x)=lnx −2ax +1，x ∈(0, +∞)，ℎ′(x)=1x −2a ，①当a ≤0时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)=f ′(x)在(0, +∞)上单调递增， 故f ′(x)在(0, +∞)上至多有一个零点，此时，函数f(x)在(0, +∞)上至多存在一个极小值，不存在极大值，不符题意； ②当a >0时，令ℎ′(x)=0，可得x =12a ，列表：若ℎ(12a )≤0，即a ≥12，ℎ(x)≤ℎ(12a )≤0，即f ′(x)≤0，故函数f(x)在(0, +∞)上单调递减，函数f(x)在(0, +∞)上不存在极值，与题意不符， 若ℎ(12a )>0，即0<a <12时， 由于12a >1>1e ，且ℎ(1e )=ln 1e −2a e+1=−2a e<0，故存在x 1∈(1e ,12a )，使得ℎ(x)=0，即f ′(x)=0，且当x ∈(0, x 1)时，f ′(x)<0，函数f(x)在(0, x 1)上单调递减；当x ∈(x 1,12a )时，f ′(x)>0，函数f(x)在(0, x 1)上单调递增，函数f(x)在x =x 1处取极小值． 由于12a <1a ，且ℎ(1a )=ln 1a −2a +1=−2lna −2a +1<0（事实上，令μ(a)=−2lna −2a +1，μ′(a)=−2a +2a 2=2(1−a)a 2>0，故μ(a)在(0, 1)上单调递增，所以μ(a)<μ(1)=−1<0）．故存在x 2∈(12a ,1a 2)，使得ℎ(x)=0，即f ′(x)=0，且当x ∈(12a ,x 2)时，f ′(x)>0，函数f(x)在(12a ,x 2)上单调递增；当x ∈(x 2, +∞)时，f ′(x)<0，函数f(x)在(x 2, +∞)上单调递减，函数f(x)在x =x 2处取极大值． 综上所述，当0<a <12时，函数f(x)在(0, +∞)上既有极大值又有极小值． 【考点】利用导数研究函数的极值 【解析】（1）化简函数的解析式求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的最小值即可． （2））求出定义域，导函数f ′(x)=lnx −2ax +1．记ℎ(x)=f ′(x)=lnx −2ax +1，x ∈(0, +∞)，ℎ′(x)=1x−2a ，通过①当a ≤0时，求解极值，②当a >0时，求解导函数的符号，函数的单调性以及函数的极值，推出当0<a <12时，函数f(x)在(0, +∞)上既有极大值又有极小值． 【解答】当a =0时，f(x)=xlnx ，定义域为(0, +∞)．f ′(x)=lnx +1，令f ′(x)=0，可得x =1e ． 列表：所以，函数f(x)的最小值为f(1e )=−1e ．f(x)=x(lnx −ax)，定义域为(0, +∞)，f ′(x)=lnx −2ax +1． 记ℎ(x)=f ′(x)=lnx −2ax +1，x ∈(0, +∞)，ℎ′(x)=1x −2a ，①当a ≤0时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)=f ′(x)在(0, +∞)上单调递增， 故f ′(x)在(0, +∞)上至多有一个零点，此时，函数f(x)在(0, +∞)上至多存在一个极小值，不存在极大值，不符题意； ②当a >0时，令ℎ′(x)=0，可得x =12a ，列表：若ℎ(12a )≤0，即a ≥12，ℎ(x)≤ℎ(12a )≤0，即f ′(x)≤0，故函数f(x)在(0, +∞)上单调递减，函数f(x)在(0, +∞)上不存在极值，与题意不符， 若ℎ(12a )>0，即0<a <12时， 由于12a >1>1e ，且ℎ(1e )=ln 1e −2a e+1=−2a e<0，故存在x 1∈(1e ,12a )，使得ℎ(x)=0，即f ′(x)=0，且当x ∈(0, x 1)时，f ′(x)<0，函数f(x)在(0, x 1)上单调递减；当x ∈(x 1,12a )时，f ′(x)>0，函数f(x)在(0, x 1)上单调递增，函数f(x)在x =x 1处取极小值． 由于12a <1a 2，且ℎ(1a 2)=ln 1a 2−2a +1=−2lna −2a +1<0（事实上，令μ(a)=−2lna −2a +1，μ′(a)=−2a +2a 2=2(1−a)a 2>0，故μ(a)在(0, 1)上单调递增，所以μ(a)<μ(1)=−1<0）．故存在x2∈(12a ,1a2)，使得ℎ(x)=0，即f′(x)=0，且当x∈(12a ,x2)时，f′(x)>0，函数f(x)在(12a,x2)上单调递增；当x∈(x2, +∞)时，f′(x)<0，函数f(x)在(x2, +∞)上单调递减，函数f(x)在x=x2处取极大值．综上所述，当0<a<12时，函数f(x)在(0, +∞)上既有极大值又有极小值．选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.【答案】∵曲线C1的参数方程为{x=cosℎetay=1+sinℎeta（ℎeta为参数），∴曲线C1消去参数θ，得到C1的普通方程为x2+(y−1)2＝1，它表示以(0, 1)为圆心，1为半径的圆，∵曲线C2的参数方程为{x=2cosarpℎiy=sinarpℎi（arpℎi为参数），∴曲线C2消去参数φ，能求出C2的普通方程为x24+y2=1，它表示中心在原点，焦点在x轴上的椭圆．由已知得P(0, 2)，设Q(2cosθ, sinθ)，则M(cosℎeta,1+12sinℎeta)，直线l:x−2y−4＝0，点M到直线l的距离为d=√5=|√2sin(ℎeta+π4)−6|√5，所以6√5−√105≤d≤√10+6√56，故M到直线l的距离的最小值为6√5−√105．【考点】参数方程化成普通方程【解析】（1）曲线C1的参数方程消去参数θ，能求出C1的普通方程及其表示的曲线；曲线C2的参数方程消去参数φ，能求出C2的普通方程及其表求的曲线．（2）P(0, 2)，设Q(2cosθ, sinθ)，则M(cosℎeta,1+12sinℎeta)，直线l:x−2y−4＝0，点M到直线l的距离为d=√5=|√2sin(ℎeta+π4)−6|√5，由此能求出M到直线l的距离的最小值．【解答】∵曲线C1的参数方程为{x=cosℎetay=1+sinℎeta（ℎeta为参数），∴曲线C1消去参数θ，得到C1的普通方程为x2+(y−1)2＝1，它表示以(0, 1)为圆心，1为半径的圆，∵曲线C2的参数方程为{x=2cosarpℎiy=sinarpℎi（arpℎi为参数），∴曲线C2消去参数φ，能求出C2的普通方程为x24+y2=1，它表示中心在原点，焦点在x轴上的椭圆．由已知得P(0, 2)，设Q(2cosθ, sinθ)，则M(cosℎeta,1+12sinℎeta)，直线l:x−2y−4＝0，点M到直线l的距离为d=√5=|√2sin(ℎeta+π4)−6|√5，所以6√5−√105≤d≤√10+6√56，故M到直线l的距离的最小值为6√5−√105．[选修4-5：不等式选讲]23.【答案】证明：f(x)＝|x−a2|+|x+2a+3|≥|x−a2−x−2a−3|＝|a2+2a+3|＝(a+1)2+2≥2；若f(−32)<3，则|−32−a2|+|−32+2a+3|<3，故a2+32+|2a+32|<3，故{a≥−34a2+2a0或{a−34a2−2a−30，解得：−1<a<0．【考点】绝对值三角不等式绝对值不等式的解法【解析】（1）根据绝对值不等式的性质证明即可；（2）通过讨论a的范围，得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】证明：f(x)＝|x−a2|+|x+2a+3|≥|x−a2−x−2a−3|＝|a2+2a+3|＝(a+1)2+2≥2；若f(−32)<3，则|−32−a2|+|−32+2a+3|<3，故a2+32+|2a+32|<3，故{a≥−34a2+2a0或{a−34a2−2a−30，解得：−1<a<0．。
2018届榆林市高三数学模拟试卷及答案
2018 届榆林市高三数学模拟试卷及答案高考一直备受大家的关注，其中高考数学的题型基本上是保持不变的，只是逻辑性不同，我们可以通过多做一些高考数学模拟试卷来熟悉高考的题型，以下是为你的2018届榆林市高三数学模拟试卷，希望能帮到你。
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则等于()A. B.C.D.2. 已知复数的实部与虚部之和为4，则复数在复平面上对应的点在()A. 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 已知，则等于()A.B.C.D.4. 已知向量与的夹角为60°，，，则在方向上的投影为()A.B.2C.D.35. 如果实数，，满足条件，则的最大值为()A.B.C.D.6. 已知，则等于()A.0B.-240C.-480D.9607. 执行如图所示的程序框图，则下列说法正确的是()A. ，输出的值为5B. ，输出的值为5C. ，输出的值为5D. ，输出的值为58. 已知函数是奇函数，其中，则函数的图像()A. 关于点对称B. 可由函数的图像向右平移个单位得到C. 可由函数的图像向左平移个单位得到D. 可由函数的图像向左平移个单位得到9. 已知函数的定义域为，对任意，有，且，则不等式的解集为()A.B.CD.10. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.B.5C.D.611. 已知点是抛物线与圆在第一象限的公共点，且点到抛物线焦点的距离为. 若抛物线上一动点到其准线与到点的距离之和的最小值为，为坐标原点，则直线被圆所截得的弦长为()A.2B.C.D.12. 已知函数，，实数，满足，若，，使得成立，则的最大值为()A.4B.C.D.3第H卷(共90分)二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 甲、乙、丙三人将独立参加某项体育达标测试. 根据平时训练的经验，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为、、，则三人中有人达标但没有全部达标的概率为 ___________ .14. 过双曲线的右焦点作与轴垂直的直线，直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点. 若，则双曲线的离心率为_________ .15. 在四棱锥中，底面，底面是边长为2 的正方形. 若直线与平面所成的角为30°，则四棱锥的外接球的表面积为 _______ .16. 在中，内角，，的对边分别为，，，，，是的中点，且，则的面积为.三、解答题（本大题共 6 小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（本小题满分12 分）已知公比小于 1 的等比数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式;（2）设，求数列的前项和.18.（本小题满分12 分）如图，在直四棱柱中，底面是边长为1的正方形, ，点是侧棱的中点.八、、・(1)求证：平面;(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.19.(本小题满分12 分）为推行“新课堂”教学法，某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20 名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70 分者为“成绩优良”.(1) 由以上统计数据填写下面2X 2列联表，并判断“成绩优良与教学方式是否有关” ?附：.临界值表(2) 现从上述40 人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核.在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为，求的分布列及数学期望.20. (本小题满分12 分)已知右焦点为的椭圆与直线相交于、两点，且.(1) 求椭圆的方程;(2) 为坐标原点，，，是椭圆上不同的三点，并且为的重心，试探究的面积是否为定值，若是，求出这个定值; 若不是，说明理由.21. ( 本小题满分12 分)已知函数，，且曲线与轴切于原点.(1) 求实数，的值;(2) 若恒成立，求的值.请考生在22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. ( 本小题满分10 分) 选修4-1：几何证明选讲如图，在中，是的角平分线，的外接圆交于，(1) 求证：;(2) 当时，求的长.23. ( 本小题满分10 分) 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线的参数方程为( 为参数).(1) 求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程;(2) 设曲线与直线相交于两点，以为一条边作曲线的内接矩形，求该矩形的面积.24. ( 本小题满分10 分) 选修4-5：不等式选讲已知函数.(1) 求证:;(2) 若方程有解，求的取值范围.一、选择题1. ，，.2. 实部与虚部之和为4，，则，故选.3. 由已知得，化简得.4. 向量，的夹角为60°，，，，则在方向上的投影为.5. 根据约束条件画出可行域，可判断当时，取得最大值8，故的最大值为.6.> ・7.此时输出则且，即，故选.9.当时，即函数是在上的增函数，若，则且.10.该几何体的直观图如图所示，连接，则该几何体由直三棱柱和四棱锥组合而成，其体积为11.抛物线上一动点到其准线与到点的距离之和的最小值为，又三点共线，且是线段的中点，则圆心到直线的距离为所求的弦长为12.，则时，;当时，. 所以，，令，设，作函数的图像如图所示，由得或，的最大值为 3.二、填空题13. 三人中有一人或两人达标，其概率为.14. 化简得，则双曲线的离心率.15. 连结交于，则可证得平面，连接，则就是直线与平面所成的角，即，，，，四棱锥的外接球的半径为，则所求外接球的表面积为.16.6 由得，，，即，则,得，，则，又，，，解得，，,则的面积为.三、简答题17. 解：(1) 设等比数列的公比为，则，解得或( 舍去)，4分故................... 5分(2) , ..................................... 6 分，①2分贝打②.................. 7分①-②得：， ................... 10分解得................... 12分18. (1) ..................................... 证明：连接，底面是正方形，，1分又侧棱垂直于底面，，.................. 2分，平面，贝S . ................ 3分,,,,即卩• .................... 4分，平面................... 5分(2) 解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，贝，，，.设平面的一个法向量为，贝即.................. 8分令，贝S, , . ................. 9分向量是平面的一个法向量，.................. 10分, ..................... 11 分平面与平面所成锐二面角的余弦值为.. ...............12分2分根据2X 2列联表中的数据，得的观测值为，在犯错概率不超过 0.05 的前提下认为“成绩优良与教学方式有 关” ................. 5分(2) 由表可知在 8 人中成绩不优良的人数为，则的可能取值为 0,1,23 ................................ 6 分；； .................................. 8 分；. .................................. 10 分的分布列为：................................. 11分所以.20. 解：(1) 设，，则， ，即，①，，即，② ........由①②得，又，， ............椭圆的方程为 . .... (2) 设直线方程为：，由得，为重心，，………………………… 7 分19. 解： (1)12分 ...................... 1分2分 … 3分4分 ……… 5 分点在椭圆上，故有，可得， 而，( 或利用是()到距离的3倍得到)， ......................................................................, ................... 10 分当直线斜率不存在时，，，，的面积为定值 .................... 12分21. 解：(1) , ........................1分，又， ................... 3分(2) 不等式，得，即或， 令，， .当时， ; 当时，， 在单调递减，在单调递增，， 即，所以在上单调递增，而 ; 故;.当或时， ; 同理可得，当时， . 由恒成立可得，当或时， ; 当时，，故 0 和 1 是方程的两根，从而，， ................. 12分22. 证明：(1) 连结,为圆的内接四边形，又即，而 . 又是的平分线，从而 5分(2) 由条件得设 .8分 9分根据割线定理得即解得，即 .. ................23. 解：(1) 对于，由得进而 对于，由 ( 为参数 ) ，得，即的普通方程为 ....................5分(2) 由(1) 可知为圆，且圆心为 (2,0) ，半径为 2，则弦心距 弦长， 因此以为一条边的圆的内接矩形面积 10分24. 解(1) .................................... 5 分(2) 要使方程有解，只需， 即或 或解得，或 . 故的取值范围是 10分 10分。
2018年陕西省榆林市高考数学一模试卷(理科)
2018年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|﹣1＜x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，则A∪B等于（）A．{2}B．{1，2，3}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{0，1，2，3}2．（5分）若向量=（1，1），=（2，5），=（3，x）满足条件（8﹣）•=30，则x=（）A．6 B．5 C．4 D．33．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（）A．13 B．35 C．49 D．634．（5分）按下面的流程图进行计算．若输出的x=202，则输入的正实数x值的个数最多为（）A．2 B．3 C．4 D．55．（5分）设F1，F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P 在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2=30°，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）已知曲线，则下列说法正确的是（）A．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2B．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2C．把C1向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线C2D．把C1向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线C27．（5分）《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（）A．4立方丈B．5立方丈C．6立方丈D．12立方丈8．（5分）曲线f（x）=x3﹣（x＞0）上一动点P（x0，f（x0））处的切线斜率的最小值为（）A．B．3 C．2 D．69．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的直径为（）A．13 B．C．D．10．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数的取值范围[m，n]恰好是函数y=2sinωx（ω＞0）的一个单调递增区间，则ω的值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（，2）C．（，）D．（1，）12．（5分）对于函数f（x）和g（x），设α∈{x∈R|f（x）=0}，β∈{x∈R|g（x）=0}，若存在α、β，使得|α﹣β|≤1，则称f（x）与g（x）互为“零点关联函数”．若函数f（x）=e x﹣1+x﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”，则实数a的取值范围为（）A． B． C．[2，3]D．[2，4]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若角α的终边经过点P，则sinαtanα的值是．14．（5分）有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是．15．（5分）设l，m是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列命题正确的是．①若l⊥m，m⊥α，则l⊥α或l∥α②若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或l⊂α③若l∥α，m∥α，则l∥m或l与m相交④若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l⊂β16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=e x（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，（I）求角A的大小；（II）若a=2，求的面积S的最大值．18．（12分）数列{a n}满足．（1）证明：数列是等差数列；（2）若，求T2n．19．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，EB=，且M是BD的中点．（1）求证：EM∥平面ADF；（2）求二面角A﹣FD﹣B的余弦值的大小．20．（12分）已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点k，过点k做圆C：（x﹣5）2+y2=9的两条切线，切点为．（1）求抛物线E的方程；（2）若直线AB是讲过定点Q（2，0）的一条直线，且与抛物线E交于A，B两点，过定点Q作AB的垂线与抛物线交于G，D两点，求四边形AGBD面积的最小值．21．（12分）已知函数，记F（x）=f（x）﹣g（x）．（1）求证：F（x）在区间（1，+∞）内有且仅有一个实根；（2）用min{a，b}表示a，b中的最小值，设函数m（x）=min{f（x），g（x）}，若方程m（x）=c在区间（1，+∞）内有两个不相等的实根x1，x2（x1＜x2），记F（x）在（1，+∞）内的实根为x0．求证：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且l过点A，曲线C1的参考方程为（θ为参数）．（1）求曲线C1上的点到直线l的距离的最大值与最小值；（2）过点B（﹣2，2）与直线l平行的直线l1与曲C1线交于M，N两点，求|BM|•|BN|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设a＞0，b＞0，且．求证：（1）a+b≥2；（2）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．2018年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|﹣1＜x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，则A∪B等于（）A．{2}B．{1，2，3}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{0，1，2，3}【分析】根据并集的运算即可得到结论．【解答】解：∵A={x|﹣1＜x≤2，x∈N}={0，1，2}，集合B={2，3}，∴A∪B={0，1，2，3}，故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）若向量=（1，1），=（2，5），=（3，x）满足条件（8﹣）•=30，则x=（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】根据所给的向量的坐标，写出要用的8﹣的坐标，根据它与的数量积是30，利用坐标形式写出两个向量的数量积，得到关于x的方程，解方程即可．【解答】解：∵向量=（1，1），=（2，5），∴∴∴x=4．故选：C．【点评】向量的坐标运算帮助认识向量的代数特性．向量的坐标表示，实现了“形”与“数”的互相转化．以向量为工具，几何问题可以代数化，向量是数形结合的最完美体现．3．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（）A．13 B．35 C．49 D．63【分析】根据等差数列的性质可知项数之和相等的两项之和相等即a1+a7=a2+a6，求出a1+a7的值，然后利用等差数列的前n项和的公式表示出S7，将a1+a7的值代入即可求出．【解答】解：因为a1+a7=a2+a6=3+11=14，所以故选：C．【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质及前n项和的公式，是一道基础题．4．（5分）按下面的流程图进行计算．若输出的x=202，则输入的正实数x值的个数最多为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】通过分析循环框图，当计数变量x＞100时，结果循环，输出202．求出输入x的个数即可．【解答】解：程序框图的用途是数列求和，当x＞100时结束循环，输出x的值为202：当202=3x+1，解得x=67；即输入x=67时，输出结果202．202=3（3x+1）+1，解得x=22；即输入x=22时，输出结果202．202=3（3（3x+1）+1）+1．即201=3（3（3x+1）+1），∴67=3（3x+1）+1，即22=3x+1，解得x=7，输入x=7时，输出结果202．202=3（3（3（3x+1）+1）+1）+1．解得x=2，输入x=2时，输出结果202．202=3（3（3（3（3x+1）+1）+1）+1）+1．解得x=，输入x=时，输出结果202．共有5个不同的x值，故选：D．【点评】本题考查程序框图的作用，能够分析出计数变量的数值，结束循环是解题的关键．5．（5分）设F1，F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P 在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2=30°，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由已知条件推导出PF2⊥x轴，PF2=，PF2=，从而得到=，由此能求出椭圆的离心率．【解答】解：∵线段PF1的中点在y轴上设P的横坐标为x，F1（﹣c，0），∴﹣c+x=0，∴x=c；∴P与F2的横坐标相等，∴PF2⊥x轴，∵∠PF1F2=30°，∴PF2=，∵PF1+PF2=2a，∴PF2=，tan∠PF1F2===，∴=，∴e==．故选：A．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质的灵活运用．6．（5分）已知曲线，则下列说法正确的是（）A．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2B．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2C．把C1向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线C2D．把C1向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线C2【分析】由题意利用诱导公式、y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：根据曲线=sin（x﹣），把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，可得y=sin（x）的图象；再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2：y=sin（x﹣）的图象，故选：B．【点评】本题主要考查诱导公式、y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．7．（5分）《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（）A．4立方丈B．5立方丈C．6立方丈D．12立方丈【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是组合体，由一个三棱柱和两个相同的四棱锥构成，分别求出体积累加，即可．【解答】解：三棱柱的底面是边长为3，高为1的等腰三角形．三棱柱的高为2．∴三棱柱的体积V=．两个相同的四棱锥合拼，可得底面边长为2和3的矩形的四棱锥，其高为1．∴体积V==2．该刍甍的体积为：3+2=5．故选：B．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．8．（5分）曲线f（x）=x3﹣（x＞0）上一动点P（x0，f（x0））处的切线斜率的最小值为（）A．B．3 C．2 D．6【分析】先求出曲线对应函数的导数，由基本不等式求出导数的最小值，即得到曲线斜率的最小值．【解答】解：f（x）=x3﹣（x＞0）的导数f′（x）=3x2+，∴在该曲线上点（x0，f（x0））处切线斜率k=3x02+，由函数的定义域知x0＞0，∴k≥2=2，当且仅当3x02=，即x02=时，等号成立．∴k的最小值为2．故选：C．【点评】本题考查曲线的切线斜率与对应的函数的导数的关系，以及基本不等式的应用，体现了转化的数学思想．9．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的直径为（）A．13 B．C．D．【分析】BC为过底面ABC的截面圆的直径．取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径．【解答】解：因为直三棱柱中，AB=3，AC=4，AA1=12，AB⊥AC，所以BC=5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径．取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R==13．故选：A．【点评】本题考查球的直径的求法，考查三棱柱、球等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．10．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数的取值范围[m，n]恰好是函数y=2sinωx（ω＞0）的一个单调递增区间，则ω的值为（）A．B．C．D．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解[m，n]，然后利用正弦函数的单调区间列出方程求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则z的几何意义为区域内的点D（﹣2，0）的斜率，由图象知DB的斜率最小，DA的斜率最大，由，解得A（﹣1，2），则DA的斜率k DA==2，由，解得B（﹣1，﹣2），则DB的斜率k DB==﹣2，则﹣2≤z≤2，目标函数的取值范围[﹣2，2]恰好是函数y=2sinωx（ω＞0）的一个单调递增区间，可得2ω=，解得ω=，故选：C．【点评】本题主要考查线性规划和直线斜率的基本应用，利用目标函数的几何意义和数形结合是解决问题的基本方法，同时考查三角函数的单调性的求解．11．（5分）已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（，2）C．（，）D．（1，）【分析】根据斜率与平行的关系即可得出过焦点F2的直线，与另一条渐近线联立即可得到交点M的坐标，再利用点M在以线段F1F2为直径的圆外和离心率的计算公式即可得出．【解答】解：双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（x﹣c），与y=﹣x联立，可得交点M（，﹣），∵点M在以线段F1F2为直径的圆外，∴|OM|＞|OF2|，即有+＞c2，∴＞3，即b2＞3a2，∴c2﹣a2＞3a2，即c＞2a．则e=＞2．∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）．故选：A．【点评】本题考查的知识点是双曲线的简单性质，熟练掌握双曲线的渐近线、离心率的计算公式、点与圆的位置关系是解题的关键．12．（5分）对于函数f（x）和g（x），设α∈{x∈R|f（x）=0}，β∈{x∈R|g（x）=0}，若存在α、β，使得|α﹣β|≤1，则称f（x）与g（x）互为“零点关联函数”．若函数f（x）=e x﹣1+x﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”，则实数a的取值范围为（）A． B． C．[2，3]D．[2，4]【分析】先得出函数f（x）=e x﹣1+x﹣2的零点为x=1．再设g（x）=x2﹣ax﹣a+3的零点为β，根据函数f（x）=e x﹣1+x﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”，及新定义的零点关联函数，有|1﹣β|≤1，从而得出g（x）=x2﹣ax﹣a+3的零点所在的范围，最后利用数形结合法求解即可．【解答】解：函数f（x）=e x﹣1+x﹣2的零点为x=1．设g（x）=x2﹣ax﹣a+3的零点为β，若函数f（x）=e x﹣1+x﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”，根据零点关联函数，则|1﹣β|≤1，∴0≤β≤2，如图．由于g（x）=x2﹣ax﹣a+3必过点A（﹣1，4），故要使其零点在区间[0，2]上，则g（0）×g（2）≤0或，解得2≤a≤3，故选：C．【点评】本题主要考查了函数的零点，考查了新定义，主要采用了转化为判断函数的图象的零点的取值范围问题，解题中注意体会数形结合思想与转化思想在解题中的应用．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若角α的终边经过点P，则sinαtanα的值是．【分析】求出OP的距离，利用任意角的三角函数的定义求出sinα，tanα，即可求出sinαtanα的值得到结果．【解答】解：OP=r==1，∴点P在单位圆上，∴sinα=，tanα=，得sinαtanα=（）×（）=．故答案为．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，考查学生的计算能力，比较基础．14．（5分）有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是丙．【分析】这是一个简单的合情推理题，我们根据“四位歌手的话只有两句是对的”，假设某一个人说的是真话，如果与条件不符，说明假设不成立，如果与条件相符，则假设成立的方法解决问题．【解答】解：若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意．若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意．若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意．故答案为：丙．【点评】本小题情境通俗易懂，主要考查逻辑思维和推理能力，难度不大．15．（5分）设l，m是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列命题正确的是②．①若l⊥m，m⊥α，则l⊥α或l∥α②若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或l⊂α③若l∥α，m∥α，则l∥m或l与m相交④若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l⊂β【分析】对于四个选项利用线面平行与垂直以及面面平行与垂直的定理，公理逐个进行判断即可．【解答】解：①．若l⊥m，m⊥α，则l⊂α或l∥α，故①错；②由面面垂直的性质定理知，若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或l⊂α，故②对；③若l∥α，m∥α，则l∥m或l与m相交，或l与m异面，故③错；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l⊂β或l∥β或l⊂β，或l与β相交．故④错．故答案为：②【点评】本题主要考查空间中直线与平面以及平面与平面的位置关系．是对课本定理，公理以及推论的考查，是基础题．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=e x（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是（e+e﹣1）．【分析】先设切点坐标为（m，e m），然后根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=m处的导数，从而求出切线的斜率，求出切线方程，从而求出点M的纵坐标，同理可求出点N的纵坐标，将t用m表示出来，最后借助导数的方法求出函数的最大值即可．【解答】解：设切点坐标为（m，e m）．∴该图象在点P处的切线l的方程为y﹣e m=e m（x﹣m）．令x=0，解得y=（1﹣m）e m．过点P作l的垂线的切线方程为y﹣e m=﹣e﹣m（x﹣m）．令x=0，解得y=e m+me﹣m．∴线段MN的中点的纵坐标为t=[（2﹣m）e m+me﹣m]．t'=[﹣e m+（2﹣m）e m+e﹣m﹣me﹣m]，令t'=0解得：m=1．当m∈（0，1）时，t'＞0，当m∈（1，+∞）时，t'＜0．∴当m=1时t取最大值（e+e﹣1）．故答案为：（e+e﹣1）．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的最值问题，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，（I）求角A的大小；（II）若a=2，求的面积S的最大值．【分析】（I）利用正弦定理化简，结合和与差的公式求角A的大小；（II）a=2，利用余弦定理建立等式关系，利用基本不等式的性质求解bc的最大值，可得面积S的最大值．【解答】解：（I）已知，正弦定理化简可得：，即sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA=sinC∵0＜C＜π，sinC≠0，∴cosA=1．即cosA=．∴A=．（II）∵a=2，A=．余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA可得：b2+c2=4+bc．∴4+bc≥2bc，当且仅当b=c时取等号．解得：bc≤2（2+）那么三角形面积S=bcsinA≤=．【点评】本题考查了正余弦定理的运用和三角形面积的计算，属于基础题．18．（12分）数列{a n}满足．（1）证明：数列是等差数列；（2）若，求T2n．【分析】（1）根据数列的递推公式可得是以为首项，1为公差的等差数列，（2）根据T2n=a1﹣a2+a3﹣a4+…+a2n﹣1﹣a2n=12﹣22+32﹣42+（2n﹣1）2﹣（2n）2，即可求出答案【解答】证明：（1）由已知可得，即，∴是以为首项，1为公差的等差数列．解：（2）由（1）得，∴，∵，∴T2n=a1﹣a2+a3﹣a4+…+a2n﹣1﹣a2n=12﹣22+32﹣42+（2n﹣1）2﹣（2n）2，=﹣（2﹣1）（2+1）+（4﹣3）（4+3）+…+（2n+2n﹣1）（2n﹣2n+1），=﹣（3+7+…+2n﹣1），=﹣，=﹣2n2﹣n【点评】本题考查了数列递推公式和求和公式，考查了运算能力，属于中档题19．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，EB=，且M是BD的中点．（1）求证：EM∥平面ADF；（2）求二面角A﹣FD﹣B的余弦值的大小．【分析】（1）法一、取AD的中点N，连接MN，NF，由已知及三角形中位线定理可得MN∥EF且MN=EF．得到四边形MNFE为平行四边形，则EM∥FN，由线面平行的判定可得EM∥平面ADF．法二、由EB⊥平面ABD，AB⊥BD，故以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz．再由已知求得所用点的坐标，求出与平面ADF的一个法向量，由数量积为0可得，再由EM⊄平面ADF，可得EM∥平面ADF．（2）由（1）可知平面ADF的一个法向量是．再求出平面BFD的一个法向量是，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣FD﹣B的余弦值．【解答】（1）证明：法一、取AD的中点N，连接MN，NF，在DAB中，M是BD的中点，N是AD的中点，∴，又∵，∴MN∥EF且MN=EF．∴四边形MNFE为平行四边形，则EM∥FN，又∵FN⊂平面ADF，EM⊄平面ADF，故EM∥平面ADF．法二、∵EB⊥平面ABD，AB⊥BD，故以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz．∵AB=2，EB=，∴B（0，0，0），D（3，0，0），A（0，0，2），E（0，0，），F（0，1，），M（，0，0），，，，设平面ADF的一个法向量是．由，令y=3，得．又∵，∴，又EM⊄平面ADF，故EM∥平面ADF．（2）解：由（1）可知平面ADF的一个法向量是．，，设平面BFD的一个法向量是，由，令z=1，得，∴cos＜＞==，又二面角A﹣FD﹣B为锐角，故二面角A﹣FD﹣B的余弦值大小为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．20．（12分）已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点k，过点k做圆C：（x﹣5）2+y2=9的两条切线，切点为．（1）求抛物线E的方程；（2）若直线AB是讲过定点Q（2，0）的一条直线，且与抛物线E交于A，B两点，过定点Q作AB的垂线与抛物线交于G，D两点，求四边形AGBD面积的最小值．【分析】（1）由抛物线的方程可得K的坐标以及C的坐标，设MN与x轴交于点R，分析可得|MR|与|CR|的值，进而可得P的值，代入抛物线的方程即可得答案；（2）设直线AB的方程为x=my+2，设A=（x1，y1），B=（x2，y2），联立直线与抛物线的方程，由根与系数的关系分析可得|AB|的长，再设G=（x3，y3），D=（x4，y4），同理可得|GD|的长，进而可以用m表示四边形AGBD面积，由基本不等式的性质分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，抛物线的E的方程为y2=2px（p＞0），则设MN与x轴交于点R，由圆的对称性可知，．于是，所以∠CMR=30°，∠MCR=60°，所以|CK|=6，所以p=2．故抛物线E的方程为y2=4x．（2）设直线AB的方程为x=my+2，设A=（x1，y1），B=（x2，y2），联立得y2﹣4my﹣8=0，则y1+y2=4m，y1y2=﹣8．∴设G=（x3，y3），D=（x4，y4），同理得，则四边形AGBD的面积=令，则是关于μ的增函数，故S min=48，当且仅当m=±1时取得最小值48．【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系，涉及抛物线的标准方程，关键是求出抛物线的标准方程．21．（12分）已知函数，记F（x）=f（x）﹣g（x）．（1）求证：F（x）在区间（1，+∞）内有且仅有一个实根；（2）用min{a，b}表示a，b中的最小值，设函数m（x）=min{f（x），g（x）}，若方程m（x）=c在区间（1，+∞）内有两个不相等的实根x1，x2（x1＜x2），记F（x）在（1，+∞）内的实根为x0．求证：．【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的单调性以及零点定理证明即可；（2）根据函数的单调性求出m（x）的解析式，问题转化为证明记，根据函数的单调性证明即可．【解答】证明：（1），定义域为x∈（0，+∞），，当x＞1时，F'（x）＞0，∴F（x）在（1，+∞）上单调递增，又，而F（x）在（1，+∞）上连续，根据零点存在定理可得：F（x）在区间（1，+∞）有且仅有一个实根．（2）当0＜x≤1时，f（x）=xlnx≤0，而，故此时有f（x）＜g（x），由（1）知，F（x）在（1，+∞）上单调递增，有x0为F（x）在（1，+∞）内的实根，所以F（x0）=f（x0）﹣g（x0）=0，故当1＜x＜x0时，F（x）＜0，即f（x）＜g（x）；当x＞x0时，F（x）＞0，即f（x）＞g（x）．因而，当1＜x＜x0时，m（x）=xlnx，m'（x）=1+lnx＞0，因而m（x）在（1，x0）上递增；当x＞x0时，，因而m（x）在（x0，+∞）上递减；若方程m（x）=c在（1，+∞）有两不等实根x1，x2，则满足x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞）要证：，即证：x1+x2＞2x0，即证：x2＞2x0﹣x1＞x0，而m（x）在（x0，+∞）上递减，即证：m（x2）＜m（2x0﹣x1），又因为m（x1）=m（x2），即证：m（x1）＜m（2x0﹣x1），即证：记，由F（x0）=0得：，∴h（x0）=0，，，则，当0＜x＜1时，g'（x）＞0；当x＞1时，g'（x）＜0．故，所以当x＞0时，，∵2x0﹣x＞0，∴，因此，即h（x）在递增．从而当1＜x1＜x0时，h（x）＜h（x0）=0，即，故得证．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，考查不等式的证明，函数零点定理，是一道综合题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且l过点A，曲线C1的参考方程为（θ为参数）．（1）求曲线C1上的点到直线l的距离的最大值与最小值；（2）过点B（﹣2，2）与直线l平行的直线l1与曲C1线交于M，N两点，求|BM|•|BN|的值．【分析】（1）由直线l过点A可得，故，从而直线l 的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=8，由此能求出直线l的直角坐标方程为x+y﹣8=0．根据点到直线的距离方程可得曲线C1上的点到直线l的距离，由此能求出曲线C1上的点到直线l的距离的最大值与最小值．（2）由直线l的倾斜角为，得到直线l1的参数方程为（t 为参数）．由曲线C1的普通方程为，把直线l1的参数方程代入曲线C1的普通方程可得，由此能求出|BM|•|BN|的值．【解答】解：（1）∵点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且l过点A，∴由直线l过点A可得，故，∴直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=8，∴直线l的直角坐标方程为x+y﹣8=0．∵曲线C1的参考方程为（θ为参数）．∴根据点到直线的距离方程可得曲线C1上的点到直线l的距离：，∴．（2）由（1）知直线l的倾斜角为，则直线l1的参数方程为（t为参数）．又曲线C1的普通方程为．把直线l1的参数方程代入曲线C1的普通方程可得：，∴，依据参数t的几何意义可知．【点评】本题考查曲线上的点到直线的距离的最大值与最小值的求法，考查两线段乘积的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．设a＞0，b＞0，且．求证：（1）a+b≥2；（2）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．【分析】（1）由已知等式可得ab=1，再由基本不等式即可得证；（2）运用反证法证明，结合不等式的性质，即可得到矛盾，进而得到证明．【解答】证明：（1）由，得ab=1，由基本不等式及ab=1，有，即a+b≥2．（2）假设a2+a＜2与b2+b＜2同时成立，则a2+a＜2且b2+b＜2，则a2+a+b2+b＜4，即：（a+b）2+a+b﹣2ab＜4，由（1）知ab=1因此（a+b）2+a+b＜6①而a+b≥2，因此（a+b）2+a+b≥6②，因此①②矛盾，因此假设不成立，原结论成立．【点评】本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和反证法证明，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。
陕西省榆林市2018届高三第二次模拟考试理数试卷(解析版)
2018届榆林市第二次高考模拟考试试题理科数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上；2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效；3.考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由不等式的解为，所以，所以，故选C.2. 已知，为虚数单位，的实部与虚部互为相反数，则（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】D【解析】因为，又因为的实部与虚部互为相反数且，所以，解得，故选D.3. 已知，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，又，故，所以，故选C.4. 若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的3倍，则（）A. 2B.C. 1D.【答案】A【解析】由抛物线的定义可知，点到焦点的距离为，点到轴的距离为，所以，解得，故选A.5. 《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重上七两；石方一寸，重六两.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176两），问玉、石重各几何？”其意思为：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（即176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的，分别为（）A. 90，86B. 98，78C. 94，82D. 102，74【答案】B【解析】（1）；（2）；（3）；（4），输出分别为98，78。
故选B。
6. 设，满足约束条件，则的最大值为（）A. -1B. 3C. 9D. 12【答案】C【解析】可行域如图所示，当动直线过时，有最大值，又，所以的最大值为,选C.7. 已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的最大值是（）A. 1B.C.D.【答案】D【解析】由图象性质可知，，解得，故选D。
2018年陕西省高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2018年陕西省高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣3x+2≥0}，B＝{x|2x＜4}，则A∪B＝（）A．∅B．{x|x∈R}C．{x|x≤1}D．{x|x＞2}2．（5分）若（1﹣mi）（m+i）＜0，其中i为虚数单位，则m的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣43．（5分）已知向量＝（2，3），＝（x，4），若⊥（﹣），则x＝（）A．1B．C．2D．34．（5分）已知数列{a n}是等差数列，a1＝2，其中公差d≠0，若a5是a3和a8的等比中项，则S18＝（）A．398B．388C．199D．1895．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于点（，0）对称C．关于直线x＝对称D．关于直线x＝对称6．（5分）某程序框图如图所示，则该程序运行输出的k值是（）A．9B．8C．7D．67．（5分）已知⊙C：x2+y2﹣4x﹣6y﹣3＝0，点M（﹣2，0）是⊙C外一点，则过点M的圆的切线的方程是（）A．x+2＝0，7x﹣24y+14＝0B．y+2＝0，7x+24y+14＝0C．x+2＝0，7x+24y+14＝0D．y+2＝0，7x﹣24y+14＝08．（5分）由不等式组所确定的三角形区域内随机取一点，则该点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是（）A．9﹣B．9﹣πC．1﹣D．1﹣9．（5分）已知函数f（x）＝sin x sin（x+3θ）是奇函数，其中θ∈（0，），则f（x）的最大值（）A．B．C．1D．10．（5分）已知三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，且∠ACB＝30°，AC＝2AB＝2，SA＝1，则该三棱锥的外接球的体积为（）A．B．13πC．D．11．（5分）已知F1、F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点，点P 是双曲线右支上一点，若P点的横坐标x0＝a时，F1P⊥F2P，则该双曲线的离心率e 为（）A．B．C．2D．12．（5分）已知函数f（x）＝e x+2（x＜0）与g（x）＝ln（x+a）+2的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，e）C．D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）二项式（﹣x2）10展开式中含x10项的系数是．14．（5分）设函数f（x）＝，则函数f（log26）的值为．15．（5分）已知函数f（x）＝2lnx和直线l：2x﹣y+6＝0，若点P是函数f（x）图象上的一点，则点P到直线l的距离的最小值为．16．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且b＝5且•＝5，则△ABC的面积为．三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22题一第23题为选考题，考生根据要求作答．满分60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）（一）必考题（共5小题，每小题12分，共60分）17．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且满足S n﹣2a n＝n﹣4．（I）证明{S n﹣n+2}为等比数列；（II）设数列{S n}的前n项和为T n，求T n．18．（12分）某高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（1）求直方图中x的值；（2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；（3）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于40分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中频率作为概率）19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB，∠ABC＝90°，侧面A1ABB1⊥底面ABC．（I）求证：AB1⊥平面A1BC；（II）若AC＝5，BC＝3，∠A1AB＝60°，求二面角B﹣A1C﹣C1的余弦值．20．（12分）已知A（﹣2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且△APB面积的最大值为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当点P在椭圆上运动时，求证：以BD为直径的圆与直线PF恒相切．21．（12分）设函数f（x）＝ae x+x2，g（x）＝sin x+bx，直线l与曲线C1：y＝f（x）切于点（0，f（0））且与曲线C2：y＝g（x）切于点（，g（））．（1）求a，b的值和直线l的方程；（2）证明：ae x+x2﹣bx﹣sin x＞0．四.（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，直线l的方程为x﹣y﹣＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C极坐标方程为2cosθ＝ρ（1﹣cos2θ）．（1）写出直线l的一个参数方程与曲线C的直角坐标方程；（2）已知直线l与曲线C交于A，B两点，试求AB的中点N的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|x+2|﹣3|x|≥a．（1）当a＝0，解该不等式；（2）a为何值时，该不等式成立．2018年陕西省高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣3x+2≥0}，B＝{x|2x＜4}，则A∪B＝（）A．∅B．{x|x∈R}C．{x|x≤1}D．{x|x＞2}【解答】解：集合A＝{x|x2﹣3x+2≥0}＝{x|x≤1或x≥2}，B＝{x|2x＜4}＝{x|x＜2}，则A∪B＝{x|x∈R}．故选：B．2．（5分）若（1﹣mi）（m+i）＜0，其中i为虚数单位，则m的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣4【解答】解：由（1﹣mi）（m+i）＝2m+（1﹣m2）i＜0，得，即m＝﹣1．故选：A．3．（5分）已知向量＝（2，3），＝（x，4），若⊥（﹣），则x＝（）A．1B．C．2D．3【解答】解：根据题意，向量＝（2，3），＝（x，4），则﹣＝（2﹣x，﹣1），若⊥（﹣），则有•（﹣）＝2（2﹣x）+3×（﹣1）＝0，解可得：x＝故选：B．4．（5分）已知数列{a n}是等差数列，a1＝2，其中公差d≠0，若a5是a3和a8的等比中项，则S18＝（）A．398B．388C．199D．189【解答】解：数列{a n}是等差数列，a1＝2，其中公差d≠0，∵a5是a3和a8的等比中项，∴（2+4d）2＝（2+2d）（2+7d），化为d（d﹣1）＝0，d≠0．联立解得：d＝1，则S18＝18×2+×1＝189．故选：D．5．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于点（，0）对称C．关于直线x＝对称D．关于直线x＝对称【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，即，∴ω＝2．∴f（x）＝sin（2x+），对于A和C：当x＝时，∴f（）＝sin（2×+）＝1，∴A不对，C对．对于B：当x＝时，∴f（）＝sin（2×+）＝，∴B不对．对于D：：当x＝时，∴f（）＝sin（2×+）＝0，∴D不对．故选：C．6．（5分）某程序框图如图所示，则该程序运行输出的k值是（）A．9B．8C．7D．6【解答】解：模拟程序的运行，可得k＝1，S＝100满足条件S＞0，执行循环体，S＝97，k＝2满足条件S＞0，执行循环体，S＝91，k＝3满足条件S＞0，执行循环体，S＝82，k＝4满足条件S＞0，执行循环体，S＝70，k＝5满足条件S＞0，执行循环体，S＝55，k＝6满足条件S＞0，执行循环体，S＝37，k＝7满足条件S＞0，执行循环体，S＝16，k＝8满足条件S＞0，执行循环体，S＝﹣8，k＝9此时，不满足条件S＞0，退出循环，输出k的值为9．故选：A．7．（5分）已知⊙C：x2+y2﹣4x﹣6y﹣3＝0，点M（﹣2，0）是⊙C外一点，则过点M的圆的切线的方程是（）A．x+2＝0，7x﹣24y+14＝0B．y+2＝0，7x+24y+14＝0C．x+2＝0，7x+24y+14＝0D．y+2＝0，7x﹣24y+14＝0【解答】解：⊙C：x2+y2﹣4x﹣6y﹣3＝0，即（x﹣2）2+（y﹣3）2＝16，故圆心是（2，3），半径是4，点M（﹣2，0）是⊙C外一点，显然x+2＝0是过点M的圆的一条切线，设另一条切线和圆相切于P（a，b），则MP的斜率是，直线直线MP的方程是：bx﹣（a+2）y+2b＝0，故，解得：，故切线方程是7x+24y+14＝0，故选：C．8．（5分）由不等式组所确定的三角形区域内随机取一点，则该点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是（）A．9﹣B．9﹣πC．1﹣D．1﹣【解答】解：画出关于x，y的不等式组所构成的三角形区域，如图．△ABC的面积为S1＝，离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为S2＝π，∴其恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率为P＝1﹣＝1﹣．故选：C．9．（5分）已知函数f（x）＝sin x sin（x+3θ）是奇函数，其中θ∈（0，），则f（x）的最大值（）A．B．C．1D．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝sin x sin（x+3θ）是奇函数，可得sin x sin（x+3θ）是偶函数，∵θ∈（0，），∴3θ＝，可得θ＝．那么：f（x）＝sin x sin（x+）＝sin x cos x＝sin2x．∵sin2x的最大值为1；∴f（x）的最大值为1×．故选：A．10．（5分）已知三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，且∠ACB＝30°，AC＝2AB＝2，SA＝1，则该三棱锥的外接球的体积为（）A．B．13πC．D．【解答】解：如图所示：三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，且∠ACB＝30°，AC＝2AB＝2，SA＝1，则：△ABC为直角三角形．所以：r＝＝．所以：V＝．故选：D．11．（5分）已知F1、F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点，点P是双曲线右支上一点，若P点的横坐标x0＝a时，F1P⊥F2P，则该双曲线的离心率e 为（）A．B．C．2D．【解答】解：把x＝代入双曲线方程可得y＝±，∴|PF1|2＝（）2+，|PF2|2＝（﹣c）2+，∵F1P⊥F2P，|F1F2|＝2c，∴（）2++（﹣c）2+＝4c2，化简可得：16a2+7b2＝9c2，∴9a2＝2c2，∴e＝＝．故选：A．12．（5分）已知函数f（x）＝e x+2（x＜0）与g（x）＝ln（x+a）+2的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，e）C．D．【解答】解：由题意知，方程f（﹣x）﹣g（x）＝0在（0，+∞）上有解，即e﹣x+2﹣ln（x+a）﹣2＝0在（0，+∞）上有解，即函数y＝e﹣x与y＝ln（x+a）在（0，+∞）上有交点，函数y＝g（x）＝ln（x+a）的图象是把由函数y＝lnx的图象向左平移且平移到过点（0，1）后开始，两函数的图象有交点，把点（0，1）代入y＝ln（x+a）得，1＝lna，∴a＝e，∴a＜e故选：B．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）二项式（﹣x2）10展开式中含x10项的系数是210．【解答】解：由＝．令，得r＝6．∴二项式（﹣x2）10展开式中含x10项的系数是．故答案为：210．14．（5分）设函数f（x）＝，则函数f（log26）的值为12．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴函数f（log26）＝f（log26+1）＝＝6×2＝12．故答案为：12．15．（5分）已知函数f（x）＝2lnx和直线l：2x﹣y+6＝0，若点P是函数f（x）图象上的一点，则点P到直线l的距离的最小值为．【解答】解：f′（x）＝，设与直线l平行且与函数f（x）的图象相切于点P（x0，y0）的直线方程为：2x﹣y+m＝0，则＝2，解得x0＝1．∴P（1，0）．∴点P到直线l的距离的最小值为切点P到直线l的距离d＝＝．故答案为：．16．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且b＝5且•＝5，则△ABC的面积为．【解答】解：根据题意，在△ABC中，，则有＝1﹣，即+＝1，变形可得：b2+c2﹣a2＝bc，则cos A＝＝，则sin A＝，又由b＝5且•＝5，即有bc cos A＝5，则c＝2，则△ABC的面积S＝bc sin A＝，故答案为：．三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22题一第23题为选考题，考生根据要求作答．满分60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）（一）必考题（共5小题，每小题12分，共60分）17．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且满足S n﹣2a n＝n﹣4．（I）证明{S n﹣n+2}为等比数列；（II）设数列{S n}的前n项和为T n，求T n．【解答】解：（I）∵S n﹣2a n＝n﹣4．n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，∴S n﹣2（S n﹣S n﹣1）＝n﹣4，化为：S n﹣n+2＝2[S n﹣1﹣（n﹣1）+2]，n＝1时，a1﹣2a1＝1﹣4，解得a1＝3，∴S1﹣1+2＝4．∴{S n﹣n+2}为等比数列，首项为4，公比为2的等比数列．（Ⅱ）由（I）知：S n﹣n+2＝2n+1，可得：S n＝2n+1+n﹣2．于是T n＝（22+23+……+2n+1）+（1+2+……+n）﹣2n＝+﹣2n＝2n+2﹣4+．18．（12分）某高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（1）求直方图中x的值；（2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；（3）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于40分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中频率作为概率）【解答】解：（1）由直方图可得：20（x+0.0175+0.0225+0.005+x）＝1，∴x＝0.0025．（2）新手中上学时间不少于 1 小时的频率为：20（0.005+0.0025）＝0.15，∴新生中可以申请住宿的人数为：1200×0.15＝180人．（3）X的可能取值为0，1，2，3，4．由直方图可知每一个学生上学所需时间少于40分钟的概率为20（0.0025+0.0175）＝0.4．∴P（X＝0）＝（1﹣）4＝，P（X＝1）＝••（1﹣）3＝，P（X＝2）＝•（）2•（1﹣）2＝，P（X＝3）＝•（）3•（1﹣）＝，P（X＝4）＝（）4＝．∴X的分布列为：∴E（X）＝0×+1×+2×+3×+4×＝．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB，∠ABC＝90°，侧面A1ABB1⊥底面ABC．（I）求证：AB1⊥平面A1BC；（II）若AC＝5，BC＝3，∠A1AB＝60°，求二面角B﹣A1C﹣C1的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：在侧面A1ABB1中，因为A1A＝AB，所以四边形A1ABB1为菱形，所以对角线AB1⊥A1B，…（2分）因为侧面A1ABB1⊥底面ABC，∠ABC＝90°，所以CB⊥侧面A1ABB1，因为AB1⊂平面A1ABB1内，所以CB⊥AB1，…（4分）又因为A1B∩BC＝B，所以AB1⊥平面A1BC．…（6分）（Ⅱ）解：在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝3，所以AB＝＝4，又菱形A1ABB1中，因为∠A1AB＝60°，所以△A1AB为正三角形，如图，以菱形A1ABB1的对角线交点O为坐标原点OA1方向为x轴，OA方向为y轴，过O且与BC平行的方向为z轴建立如图空间直角坐标系，则A1（2，0，0），B（﹣2，0，0），C（﹣2，0，3），B1（0，﹣2，0），C1（0，﹣2，3），∴＝（﹣2，2，0），＝（2，2，﹣3），设＝（x，y，z）为平面A1CC1的法向量，则，取x＝3，得＝（3，，4），又＝（0，﹣2，0）是平面A1BC的一个法向量，∴cos＜＞＝＝＝﹣，∴二面角B﹣A1C﹣C1的余弦值为﹣．…（12分）20．（12分）已知A（﹣2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且△APB面积的最大值为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当点P在椭圆上运动时，求证：以BD为直径的圆与直线PF恒相切．【解答】解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C的方程为+＝1 （a＞b＞0），F（c，0）；由题意知，解得b＝，c＝1；所以椭圆C的方程为+＝1，离心率为e＝＝；（Ⅱ）证明：由题意可设直线AP的方程为y＝k（x+2）（k≠0），则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k）；由，得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12＝0；设点P的坐标为（x0，y0），则﹣2x0＝，所以x0＝，y0＝k（x0+2）＝；因为点F坐标为（1，0），当k＝±时，点P的坐标为（1，±），直线PF⊥x轴，点D的坐标为（2，±2），此时以BD为直径的圆（x﹣2）2+（y±1）2＝1与直线PF相切；当k≠±时，则直线PF的斜率为k PF＝＝，所以直线PF的方程为y＝（x﹣1），点E到直线PF的距离为d＝＝＝2|k|；又因为|BD|＝4|k|，所以d＝|BD|，故以BD为直径的圆与直线PF相切；综上，当点P在椭圆上运动时，以BD为直径的圆与直线PF恒相切．21．（12分）设函数f（x）＝ae x+x2，g（x）＝sin x+bx，直线l与曲线C1：y＝f（x）切于点（0，f（0））且与曲线C2：y＝g（x）切于点（，g（））．（1）求a，b的值和直线l的方程；（2）证明：ae x+x2﹣bx﹣sin x＞0．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝ae x+x2，g（x）＝sin x+bx，∴f′（x）＝ae x+2x，g′（x）＝cos x+b，f（0）＝a，f′（0）＝a，b，，曲线C1：y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线为y＝ax+a，曲线C2：y＝g（x）在点（，g（））处的切线为，即y＝bx+1，依题意有a＝b＝1，直线l方程为y＝x+1．证明：（2）由ae x+x2﹣bx﹣sin x＞0，得ae x+x2＞sin x+bx，∴ae x+x2﹣（x+1）＞sin x+bx﹣（x+1）由（1）知a＝b＝1，则e x+x2﹣（x+1）＞sin x+x﹣（x+1），设F（x）＝e x+x2﹣x﹣1，则F′（x）＝e x+2x﹣1，当x∈（﹣∞，0）时，∵0＜e x＜1，∴F′（x）＜0，当x∈（0，+∞）时，∵e x＞1，∴F′（x）＞0，∴F（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，∴F（x）≥F（0）＝0，当x＝0时，等号成立，∴设G（x）＝sin x+x﹣（x+1）＝sin x﹣1，等号成立，又∵F（x）与G（x）不同时为0，∴F（x）＞g（x），∴e x+x2﹣x﹣sin x＞0，∴ae x+x2﹣bx﹣sin x＞0．四.（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，直线l的方程为x﹣y﹣＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C极坐标方程为2cosθ＝ρ（1﹣cos2θ）．（1）写出直线l的一个参数方程与曲线C的直角坐标方程；（2）已知直线l与曲线C交于A，B两点，试求AB的中点N的坐标．【解答】解：（1）直线l的方程为x﹣y﹣＝0，转换为参数方程为：（t 为参数）．曲线C极坐标方程为2cosθ＝ρ（1﹣cos2θ）．转换为直角坐标方程为：y2＝2x．（2）将（t为参数）代入y2＝2x，得到：3t2﹣2t﹣4＝0，设A、B对应的参数为t1和t2，则：，A（x1，y1）B（x2，y2），中点N（x0，y0），则：＝2+＝，＝．故中点坐标为：N（）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|x+2|﹣3|x|≥a．（1）当a＝0，解该不等式；（2）a为何值时，该不等式成立．【解答】解：（1）a＝0时，原不等式为|x+2|﹣3|x|≥0，故|x+2|≥3|x|，故x2+4x+4≥9x2，解得：﹣≤x≤1，故不等式的解集是{x|﹣≤x≤1}；（2）令F（x）＝|x+2|﹣3|x|，由题意得F（x）max≥a，∵F（x）＝|x+2|﹣|x|﹣2|x|≤|x+2﹣x|﹣2|x|＝2﹣2|x|≤2，当且仅当x＝0时，上述不等式等号同时成立，∴F（x）max＝2，∴a∈（﹣∞，2]时，该不等式成立．。
2018届陕西省榆林市高三二模考试数学理卷Word版含答案
2018届陕西省榆林市⾼三⼆模考试数学理卷Word版含答案2018届榆林市第⼆次⾼考模拟考试试题理科数学⼀、选择题：本⼤题共12个⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1.设集合2{|70}M x x x =-<，{1,3,5,7}B =，则M N = （） A ．{1,3} B ．{3,5} C ．{1,3,5} D ．{1,3,5,7}2.已知0a >，i 为虚数单位，()ai a i +的实部与虚部互为相反数，则a =（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．13.已知cos 3cos(2)sin θπθθ=+，2πθ<，则sin 2θ=（）A ．9 B ．3 C ．9 D ．94.若抛物线216x y =上⼀点00(,)x y 到焦点的距离是该点到x 轴距离的3倍，则0y =（）A ．2B ．1 D ．125.《九章算术》中的⽟⽯问题：“今有⽟⽅⼀⼨，重上七两；⽯⽅⼀⼨，重六两.今有⽯⽅三⼨，中有⽟，并重⼗⼀⽄（即176两），问⽟、⽯重各⼏何？”其意思为：“宝⽟1⽴⽅⼨重7两，⽯料1⽴⽅⼨重6两，现有宝⽟和⽯料混合在⼀起的⼀个正⽅体，棱长是3⼨，质量是11⽄（即176两），问这个正⽅体中的宝⽟和⽯料各多少两？”如图所⽰的程序框图给出了对此题的⼀个求解算法，运⾏该程序框图，则输出的x ，y 分别为（）A ．90，86B ．98，78C ．94，82D ．102，746.设x ，y 满⾜约束条件01030y x y x y ≥??-+≥??+-≤?，则32z x y =-的最⼤值为（）A ．-1B ．3C ．9D ．127.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(,0)-∞上单调递增.若实数a满⾜21(3)(a f f -≥，则a 的最⼤值是（）A ．1B ．12 C ．14 D ．348.为了反映各⾏业对仓储物流业务需求变化的情况，以及重要商品库存变化的动向，中国物流与采购联合会和中储发展股份有限公司通过联合调查，制定了中国仓储指数.由2016年1⽉⾄2017年7⽉的调查数据得出的中国仓储指数，绘制出如下的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是（） A ．2016年各⽉的合储指数最⼤值是在3⽉份 B ．2017年1⽉⾄7⽉的仓储指数的中位数为55 C ．2017年1⽉与4⽉的仓储指数的平均数为52D ．2016年1⽉⾄4⽉的合储指数相对于2017年1⽉⾄4⽉，波动性更⼤ 9.已知函数()sin()f x x ω?=+(0,)2πω?><的最⼩正周期为6π，且其图象向右平移23π个单位后得到函数()sin g x x ω=的图象，则?=（） A ．29π B ．3π C ．6π D ．49π10.某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的体积为（）A ．4B ．6C ．203 D ．22311.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，D 为虚轴的⼀个端点，且ABD ?为钝⾓三⾓形，则该双曲线离⼼率的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．)+∞ 12.已知函数41()x f x e -=，1()ln 22g x x =+，若()()f m g n =成⽴，则n m -的最⼩值为（） A ．1ln 24- B ．1ln 24+ C ．2ln 213- D ．12ln 23+ ⼆、填空题：本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分.13.已知单位向量a ，b 满⾜1(23)2a ab ?-= ，则向量a 与b 的夹⾓为．14.如图，长⽅体1111ABCD A BC D -的底⾯是边长为1的正⽅形，⾼为2，则异⾯直线1BC 与1DB 的夹⾓的余弦值是．15.两位同学分4本不同的书，每⼈⾄少分1本，4本书都分完，则不同的分发⽅式共有种．16.在ABC ?中，⾓A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c，sin :sin A B =2cos c C ==，则ABC ?的周长为．三、解答题：共70分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必做题，每个试题考⽣都必须作答.第22、23题为选考题，考⽣根据要求作答.（⼀）必考题：共60分.17.已知正项数列{}n a 满⾜11a =，2211n n n n a a a a +++=-.数列{}n b 的前n 项和n S 满⾜2n n S n a =+.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列11{}n na b +的前n 项和n T .18.4⽉23⽇是“世界读书⽇”，某中学在此期间开展了⼀系列的读书教育活动.为了解⾼三学⽣课外阅读情况，采⽤分层抽样的⽅法从⾼三某班甲、⼄、丙、丁四个⼩组中随机抽取10名学⽣参加问卷调查，各组⼈数统计如下：（1）从参加问卷调查的10名学⽣中随机抽取两名，求这两名学⽣来⾃同⼀个⼩组的概率；（2）在参加问卷调查的10名学⽣中，从来⾃甲、丙两个⼩组的学⽣中随机抽取两名，⽤X 表⽰抽得甲组学⽣的⼈数，求X 的分布列和数学期望.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，PAD BAD ，平⾯PAD ⊥平⾯ABCD ，4AB =，PA PD =，M 在棱PD 上运动.（1）当M 在何处时，//PB 平⾯MAC ；（2）当//PB 平⾯MAC 时，求直线PC 与平⾯MAC 所成⾓的弦值.20.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F 和2F ，上顶点为M ，若直线1MF的斜率为1，且与椭圆的另⼀个交点为N ，2F MN ?的周长为（1）求椭圆的标准⽅程；（2）过点1F 的直线l （直线l 的斜率不为1）与椭圆交于P ，Q 两点，点P 在点Q 的上⽅，若1123F NQ F MP S S ??=，求直线l 的斜率. 21.已知函数()(ln )f x x x ax =-，()a R ∈. （1）若0a =时，求函数()f x 的最⼩值；（2）若函数()f x 既有极⼤值⼜有极⼩值，求实数a 的取值范围.（⼆）选考题：共10分.请考⽣在22、23题中任选⼀题作答，如果多做，则按所做的第⼀题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数⽅程]在平⾯直⾓坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数⽅程为cos 1sin x y θθ=??=+?，（θ为参数），曲线2C 的参数⽅程为2cos sin x y ?=??=?，（?为参数）.（1）将1C ，2C 的⽅程化为普通⽅程，并说明它们分别表⽰什么曲线；（2）以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建⽴极坐标系，已知直线l 的极坐标系⽅程为(cos 2sin )4ρθθ-=.若1C 上的点P 对应的参数为2πθ=，点Q 在2C 上，点M 为PQ 的中点，求点M 到直线l 距离的最⼩值.23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数2()23f x x a x a =-+++.（1）证明：()2f x ≥；（2）若3()32f -<，求实数a 的取值范围.榆林市2017～2018年第⼆次模拟考试试卷⾼三数学参考答案（理科）⼀、选择题1-5: CDCAB 6-10: CDDAB 11、12：DB⼆、填空题13. 60（或3π）3+ 三、解答题17.解：（1）∵2211n n n n a a a a +++=-，∴11()(1)0n n n n a a a a +++--=，∵10n a +>，0n a >，∴10n n a a ++≠，∴11n n a a +-=，∴{}n a 是以1为⾸项，1为公差的等差数列，∴n a n =.当2n ≥时，1n n n b S S -=-22[(1)(1)]2n n n n n =+--+-=，当1n =时12b =也满⾜2n b n =，∴2n b n =.（2）由（1）可知：1112(1)n na b n n +=+111()21n n =-+，∴11111[()()21223n T =-+-11()]12(1)n n n n ++-=++. 18. 解：（1）由已知得，问卷调查中，从四个⼩组中抽取的⼈数分别为3，4，2，1，从参加问卷调查的10名学⽣中随机抽取两名的取法共有21045C =种，这两名学⽣来⾃同⼀⼩组的取法共有22234210C C C ++=，所以102459P ==. （2）由（1）知，在参加问卷调查的10名学⽣中，来⾃甲、丙两⼩组的学⽣⼈数分别为3，2，X 的可能取值为0，1，2，22251(0)10C P X C ===，1132253(1)5C C P X C ===，23253(2)10C P X C ===.∴X 的分布列为：()012105105E X =?+?+?=.19. 解：（1）当M 为PD 中点时，//PB 平⾯MAC .∵设AC BD N = ，在PBD ?中，MN 为中位线，即//MN PB ，⼜PB ?平⾯MAC ，MN ?平⾯MAC ，∴//PB 平⾯MAC .（2）∵四边形ABCD 是菱形，PAD BAD ，PA PD =，∴PAD ?，BAD ?均为等边三⾓形.取AD 的中点O ，∵平⾯PAD⊥平⾯ABCD ，∴OP ⊥平⾯ABCD .以O 为坐标原点，射线OA ，OB ，OP 分别为x ，y ，z 轴的正⽅向建⽴如图所⽰的空间直⾓坐标系，则(0,0,0)O ，(2,0,0)A ，B ，(C -，(2,0,0)D -，P ，(1M -.∴(AC =- ，(AM =-，(PC =--. 设平⾯MAC 的法向量为(,,)m x y z =，则由m AC ⊥，m AM ⊥，得6030m AC x m AM x ??=-+==-=??，取x =m = . 记直线PC 与平⾯MAC 所成⾓为θ，则sin m PC m PCθ?==35=.20. 解：（1）因为2F MN ?的周长为4a =，即a =由直线1MF 的斜率为1，得1bc=，因为222a b c =+，所以1b =，1c =.所以椭圆的标准⽅程为2212x y +=. （2）由题可得直线1MF ⽅程为1y x =+，联⽴22112y x x y =+??+=得41(,)33N --，所以1113NF MF =. 因为1123F NQ F MP S S ??=，即1111sin 2NF QF QF N ?∠11121(sin )32MF PF PF M =?∠，所以112QF PF =.当直线l 的斜率为0时，不符合题意，故设直线l 的⽅程为1x my =-，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由点P 在点Q 的上⽅，则212y y =-.联⽴22112x my x y =-+=??得22(2)210m y my +--=，所以1221222212m y y m y y m ?+=??+?-?=?+?. 消去2y 得1221222122m y m y m -?=??+??=?+?，所以222281(2)2m m m =++，得227m =，m =⼜由画图可知7m =不符合题意，所以7m =-故直线l 的斜率为12m =-. 21. 解：（1）当0a =时，()ln f x x x =，定义域为(0,)+∞.'()ln 1f x x =+，令'()0f x =，可得1x e=.列表：所以，函数()f x 的最⼩值为()f ee=-.（2）()(ln )f x x x ax =-，定义域为(0,)+∞，'()ln 21f x x ax =-+. 记()'()ln 21h x f x x ax ==-+，(0,)x ∈+∞，1'()2h x a x=-，①当0a ≤时，'()0h x >，()'()h x f x =在(0,)+∞上单调递增，故'()f x 在(0,)+∞上⾄多有⼀个零点，此时，函数()f x 在(0,)+∞上⾄多存在⼀个极⼩值，不存在极⼤值，不符题意；②当0a >时，令'()0h x =，可得1 x =，列表：若()02h a ≤，即2a ≥，()()02h x h a≤≤，即'()0f x ≤，故函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，函数()f x 在(0,)+∞上不存在极值，与题意不符，若1()02h a >，即102a <<时，。
2018年陕西省榆林市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2018年陕西省榆林市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合M＝{x|x2﹣7x＜0}，B＝{1，3，5，7}，则M∩N＝（）A．{1，3}B．{3，5}C．{1，3，5}D．{1，3，5，7} 2．（5分）已知a＞0，i为虚数单位，ai（a+i）的实部与虚部互为相反数，则a＝（）A．4B．3C．2D．13．（5分）已知，，则sin2θ＝（）A．B．C．D．4．（5分）若抛物线x2＝16y上一点（x0，y0）到焦点的距离是该点到x轴距离的3倍，则y0＝（）A．2B．C．1D．5．（5分）《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重长两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176两），问玉、石重各几何？”其意思为：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（即176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x，y分别为（）A．90，86B．94，82C．98，78D．102，746．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝3x﹣2y的最大值为（）A．﹣1B．3C．9D．127．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增．若实数a满足，则a的最大值是（）A．1B．C．D．8．（5分）为了反映各行业对仓储物流业务需求变化的情况，以及重要商品库存变化的动向，中国物流与采购联合会和中储发展股份有限公司通过联合调查，制定了中国仓储指数．由2016年1月至2017年7月的调查数据得出的中国仓储指数，绘制出如图的折线图．根据该折线图，下列结论正确的是（）A．2016年各月的合储指数最大值是在3月份B．2017年1月至7月的仓储指数的中位数为55C．2017年1月与4月的仓储指数的平均数为52D．2016年1月至4月的合储指数相对于2017年1月至4月，波动性更大9．（5分）已知函数的最小正周期为6π，且其图象向右平移等个单位后得到函数g（x）＝sinωx的图象，则φ等于（）A．B．C．D．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4B．6C．D．11．（5分）过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，D为虚轴上的一个端点，且△ABD为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为（）A．（1，）B．（，）C．（，2）D．（1，）∪（，+∞）12．（5分）已知函数，若f（m）＝g（n）成立，则n﹣m 的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知单位向量，满足，则向量与的夹角为．14．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，高为2，则异面直线BC1与DB1的夹角的余弦值是．15．（5分）两位同学分4本不同的书，每人至少分1本，4本书都分完，则不同的分发方式共有种．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，若，则△ABC的周长为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.必考题：共60分. 17．（12分）已知正项数列{a n}满足a1＝1，+a n＝﹣a n+1，数列{b n}的前n项和S n 满足S n＝n2+a n．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和T n．18．（12分）4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动．为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个小组中随机抽取10名学生参加问卷调查．各组人数统计如下：（1）从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名，求这两名学生来自同一个小组的概率；（2）在参加问卷调查的10名学生中，从来自甲、丙两个小组的学生中随机抽取两名，用X 表示抽得甲组学生的人数，求X的分布列和数学期望．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，△P AD≌△BAD，平面P AD⊥平面ABCD，AB＝4，P A＝PD，M在棱PD上运动．（1）当M在何处时，PB∥平面MAC；（2）当PB∥平面MAC时，求直线PC与平面MAC所成角的弦值．20．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，若直线MF1的斜率为1，且与椭圆的另一个交点为N，△F2MN的周长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点F1的直线l（直线l的斜率不为1）与椭圆交于P，Q两点，点P在点Q的上方，若，求直线l的斜率．21．（12分）已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax），（a∈R）．（1）若a＝0时，求函数f（x）的最小值；（2）若函数f（x）既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数），曲线C2的参数方程为为参数）（1）将C1，C2的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρ（cosθ﹣2sinθ）＝4，若C1上的点P对应的参数为，点Q上在C2，点M 为PQ的中点，求点M到直线l距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|x﹣a2|+|x+2a+3|．（1）证明：f（x）≥2；（2）若f（﹣）＜3，求实数a的取值范围．2018年陕西省榆林市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合M＝{x|x2﹣7x＜0}，B＝{1，3，5，7}，则M∩N＝（）A．{1，3}B．{3，5}C．{1，3，5}D．{1，3，5，7}【解答】解：集合M＝{x|x2﹣7x＜0}＝{x|0＜x＜7}，B＝{1，3，5，7}，则M∩N＝{1，3，5}．故选：C．2．（5分）已知a＞0，i为虚数单位，ai（a+i）的实部与虚部互为相反数，则a＝（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：∵ai（a+i）＝﹣a+a2i的实部与虚部互为相反数，∴a2＝a，又a＞0，∴a＝1．故选：D．3．（5分）已知，，则sin2θ＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴cosθ∈（0，1]，∵，∴＝3cosθ，可得：sinθ＝，∴cosθ＝＝，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝2×＝．故选：C．4．（5分）若抛物线x2＝16y上一点（x0，y0）到焦点的距离是该点到x轴距离的3倍，则y0＝（）A．2B．C．1D．【解答】解：拋物线x2＝16y上一点（x0，y0），到焦点的距离是该点到x轴距离的3倍，可得y0+＝3y0，所以y0＝＝＝2．故选：A．5．（5分）《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重长两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176两），问玉、石重各几何？”其意思为：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（即176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x，y分别为（）A．90，86B．94，82C．98，78D．102，74【解答】解：模拟程序的运行，可得：x＝86，y＝90，s＝+，不满足条件s＝27，x＝90，y＝86，s＝，不满足条件s＝27，x＝94，y＝82，s＝，不满足条件s＝27，x＝98，y＝78，s＝＝27，满足条件s＝27，退出循环，输出x的值为98，y的值为78．故选：C．6．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝3x﹣2y的最大值为（）A．﹣1B．3C．9D．12【解答】解：作出x，y满足约束条件对应的平面区域如图：由z＝3x﹣2y得y＝x﹣，平移直线y＝x﹣当直线y＝x﹣经过点A时，直线y＝x﹣的截距最小，此时z 最大．由，解得A（3，0），此时z max＝3×3﹣2×0＝9，故选：C．7．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增．若实数a满足，则a的最大值是（）A．1B．C．D．【解答】解：f（x）是R上的偶函数，在（﹣∞，0）上单调递增；∴f（32a﹣1）＝f（﹣32a﹣1）；∴由得；∴；∴；∴；解得；∴a的最大值为．故选：D．8．（5分）为了反映各行业对仓储物流业务需求变化的情况，以及重要商品库存变化的动向，中国物流与采购联合会和中储发展股份有限公司通过联合调查，制定了中国仓储指数．由2016年1月至2017年7月的调查数据得出的中国仓储指数，绘制出如图的折线图．根据该折线图，下列结论正确的是（）A．2016年各月的合储指数最大值是在3月份B．2017年1月至7月的仓储指数的中位数为55C．2017年1月与4月的仓储指数的平均数为52D．2016年1月至4月的合储指数相对于2017年1月至4月，波动性更大【解答】解：根据该折线图得到：在A中，2016年各月的合储指数最大值是在11月份，故A错误；在B中，2017年1月至7月的仓储指数的中位数为52，故B错误；在C中，2017年1月与4月的仓储指数的平均数为：（50+54+55+56）＝53.75，故C错误；在D中，2016年1月至4月的合储指数相对于2017年1月至4月，波动性更大，故D正确．故选：D．9．（5分）已知函数的最小正周期为6π，且其图象向右平移等个单位后得到函数g（x）＝sinωx的图象，则φ等于（）A．B．C．D．【解答】解：函数的最小正周期为6π，则：ω＝，则：f（x）＝sin（φ），将函数的图象向右平移等个单位后得到：g（x）＝sin[φ]＝sin x，即：φ＝．故选：B．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4B．6C．D．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体是棱长为2的正方体挖去一个三棱柱，且挖去三棱柱的高为1，底面是腰长为2的等腰直角三角形，∴原几何体的体积V＝．故选：B．11．（5分）过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，D为虚轴上的一个端点，且△ABD为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为（）A．（1，）B．（，）C．（，2）D．（1，）∪（，+∞）【解答】解：设双曲线的左焦点F1（﹣c，0），令x＝﹣c，可得y＝±＝±，可得A（﹣c，），B（﹣c，﹣），又设D（0，b），可得＝（c，b﹣），＝（0，﹣），＝（﹣c，﹣b﹣），由△ABD为钝角三角形，可能∠DAB为钝角，可得•＜0，即为0﹣•（b﹣）＜0，化为a＞b，即有a2＞b2＝c2﹣a2，可得c2＜2a2，即e＝＜，又e＞1，可得1＜e＜，可能△ADB中，∠ADB为钝角，可得•＜0，即为c2﹣（+b）（﹣b）＜0，化为c4﹣4a2c2+2a4＞0，由e＝，可得e4﹣4e2+2＞0，又e＞1，可得e＞．综上可得，e的范围为（1，）∪（．+∞）．故选：D．12．（5分）已知函数，若f（m）＝g（n）成立，则n﹣m 的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：不妨设f（m）＝g（n）＝t，∴e4m﹣1＝+ln（2n）＝t，（t＞0）∴4m﹣1＝lnt，即m＝（1+lnt），n＝，故n﹣m＝﹣（1+lnt），（t＞0）令h（t）＝﹣（1+lnt），（t＞0），∴h′（t）＝﹣，易知h′（t）在（0，+∞）上是增函数，且h′（）＝0，当t＞时，h′（t）＞0，当0＜t＜时，h′（t）＜0，即当t＝时，h（t）取得极小值同时也是最小值，此时h（）＝﹣（1+ln）＝，即n﹣m的最小值为；故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知单位向量，满足，则向量与的夹角为60°（或）．【解答】解：由题单位向量，满足，2﹣3＝．可得，故向量与的夹角为60°（或写成）．故答案为：60°（或）．14．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，高为2，则异面直线BC1与DB1的夹角的余弦值是．【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，高为2，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，B（1，1，0），C1（0，1，2），D（0，0，0），B1（1，1，2），＝（﹣1，0，2），＝（1，1，2），设异面直线BC1与DB1的夹角为θ，则cosθ＝＝＝．∴异面直线BC1与DB1的夹角的余弦值为．故答案为：．15．（5分）两位同学分4本不同的书，每人至少分1本，4本书都分完，则不同的分发方式共有14种．【解答】解：根据题意，分2类进行分析：1、将4本书分为2组，一组2本，另一组2本，有＝6种分组方法；2、将4本不同的书，分2组一组3本，另一组1本，有＝8种情况，则不同的分法有6+8＝14种；故答案为：14．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，若，则△ABC的周长为3+2．【解答】解：根据题意，△ABC中，，则有a：b＝1：，设a＝t，则b＝t，又由c＝2cos C＝，则c＝3，且cos C＝；由余弦定理可得：c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝4t2﹣3t2＝3，解可得：t＝，则a＝，b＝3，则△ABC的周长l＝a+b+c＝3+2；故答案为：3+2．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.必考题：共60分.17．（12分）已知正项数列{a n}满足a1＝1，+a n＝﹣a n+1，数列{b n}的前n项和S n 满足S n＝n2+a n．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和T n．【解答】解：（1）由a n2+a n＝a n+12﹣a n+1，∴a n+1+a n＝a n+12﹣a n2＝（a n+1+a n）（a n+1﹣a n），∵a n＞0，∴a n+1﹣a n＝1，∴数列{a n}是以1为首项，以1为公差的等差数列，∴a n＝1+n﹣1＝n，∴S n＝n2+a n＝n2+n，①当n＝1时，b1＝S1＝2，当n≥2时，S n﹣1＝（n﹣1）2+n﹣1，②，由①﹣②可得b n＝2n，当n＝1时，也成立，∴b n＝2n，（2）＝＝（﹣），∴T n＝（1﹣++…+﹣）＝（1﹣）＝18．（12分）4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动．为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个小组中随机抽取10名学生参加问卷调查．各组人数统计如下：（1）从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名，求这两名学生来自同一个小组的概率；（2）在参加问卷调查的10名学生中，从来自甲、丙两个小组的学生中随机抽取两名，用X 表示抽得甲组学生的人数，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由已知得，问卷调查中，从四个小组中抽取的人数分别为3，4，2，1，从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名的取法共有种，这两名学生来自同一小组的取法共有，所以这两名学生来自同一个小组的概率．（2）由（1）知，在参加问卷调查的10名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为3，2．X的可能取值为0，1，2，，，．∴X的分布列为：．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，△P AD≌△BAD，平面P AD⊥平面ABCD，AB＝4，P A＝PD，M在棱PD上运动．（1）当M在何处时，PB∥平面MAC；（2）当PB∥平面MAC时，求直线PC与平面MAC所成角的弦值．【解答】（1）证明：当M为PD中点时，PB∥平面MAC．∵设AC∩BD＝N，在△PBD中，MN为中位线，即MN∥PB，又PB⊄平面MAC，MN⊂平面MAC，∴PB∥平面MAC．（2）解：∵四边形ABCD是菱形，△P AD≌△BAD，P A＝PD，∴△P AD，△BAD均为等边三角形．取AD的中点O，∵平面P AD⊥平面ABCD，∴OP⊥平面ABCD．以O为坐标原点，射线OA，OB，OP分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则O（0，0，0），A（2，0，0），，，D（﹣2，0，0），，．∴，，．设平面MAC的法向量为，则由，，得，取，得．记直线PC与平面MAC所成角为θ，则＝＝．20．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，若直线MF1的斜率为1，且与椭圆的另一个交点为N，△F2MN的周长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点F1的直线l（直线l的斜率不为1）与椭圆交于P，Q两点，点P在点Q的上方，若，求直线l的斜率．【解答】解：（1）根据题意，因为△F1MN的周长为，所以，即，由直线MF1的斜率1，得，因为a2＝b2+c2，所以b＝1，c＝1，所以椭圆的标准方程为．（2）由题意可得直线MF1方程为y＝x+1，联立得，解得N（﹣，﹣），所以，因为，即，所以|QF1|＝2|PF1|，当直线l的斜率为0时，不符合题意，故设直线l的方程为x＝my﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2），由点P在点Q的上方，且|y2|＝|2y1|，则有y2＝﹣2y1，联立，所以（m2+2）y2﹣2my﹣1＝0，所以，消去y2得，所以，得，又由画图可知不符合题意，所以，故直线l的斜率为．21．（12分）已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax），（a∈R）．（1）若a＝0时，求函数f（x）的最小值；（2）若函数f（x）既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝0时，f（x）＝xlnx，定义域为（0，+∞）．f'（x）＝lnx+1，令f'（x）＝0，可得．列表：所以，函数f（x）的最小值为．（2）f（x）＝x（lnx﹣ax），定义域为（0，+∞），f'（x）＝lnx﹣2ax+1．记h（x）＝f'（x）＝lnx﹣2ax+1，x∈（0，+∞），，①当a≤0时，h'（x）＞0，h（x）＝f'（x）在（0，+∞）上单调递增，故f'（x）在（0，+∞）上至多有一个零点，此时，函数f（x）在（0，+∞）上至多存在一个极小值，不存在极大值，不符题意；②当a＞0时，令h'（x）＝0，可得，列表：若，即，，即f'（x）≤0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，函数f（x）在（0，+∞）上不存在极值，与题意不符，若，即时，由于，且＝，故存在，使得h（x）＝0，即f'（x）＝0，且当x∈（0，x1）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，x1）上单调递减；当时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，x1）上单调递增，函数f（x）在x＝x1处取极小值．由于，且＝（事实上，令，＝，故μ（a）在（0，1）上单调递增，所以μ（a）＜μ（1）＝﹣1＜0）．故存在，使得h（x）＝0，即f'（x）＝0，且当时，f'（x）＞0，函数f（x）在上单调递增；当x∈（x2，+∞）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（x2，+∞）上单调递减，函数f（x）在x ＝x2处取极大值．综上所述，当时，函数f（x）在（0，+∞）上既有极大值又有极小值．选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数），曲线C2的参数方程为为参数）（1）将C1，C2的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρ（cosθ﹣2sinθ）＝4，若C1上的点P对应的参数为，点Q上在C2，点M 为PQ的中点，求点M到直线l距离的最小值．【解答】解：（1）∵曲线C1的参数方程为为参数），∴曲线C1消去参数θ，得到C1的普通方程为x2+（y﹣1）2＝1，它表示以（0，1）为圆心，1为半径的圆，∵曲线C2的参数方程为为参数），∴曲线C2消去参数φ，能求出C2的普通方程为，它表示中心在原点，焦点在x轴上的椭圆．（2）由已知得P（0，2），设Q（2cosθ，sinθ），则，直线l：x﹣2y﹣4＝0，点M到直线l的距离为，所以≤d≤，故M到直线l的距离的最小值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|x﹣a2|+|x+2a+3|．（1）证明：f（x）≥2；（2）若f （﹣）＜3，求实数a的取值范围．【解答】（1）证明：f（x）＝|x﹣a2|+|x+2a+3|≥|x﹣a2﹣x﹣2a﹣3|＝|a2+2a+3|＝（a+1）2+2≥2；（2）解：若f （﹣）＜3，则|﹣﹣a2|+|﹣+2a+3|＜3，故a2++|2a+|＜3，故或，解得：﹣1＜a＜0．第21页（共21页）。
2018年陕西省榆林市高考数学一模试卷(理科)
2018年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|﹣1＜x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，则A∪B等于（）A．{2} B．{1，2，3}C．{﹣1，0，1，2，3} D．{0，1，2，3}2．（5分）若向量=（1，1），=（2，5），=（3，x）满足条件（8﹣）•=30，则x=（）A．6 B．5 C．4 D．33．（5分）设Sn 是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（）A．13 B．35 C．49 D．634．（5分）按下面的流程图进行计算．若输出的x=202，则输入的正实数x值的个数最多为（）A．2 B．3 C．4 D．55．（5分）设F1，F2分别是椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2=30°，则椭圆C的离心率为（）A． B ． C ．D ．6．（5分）已知曲线，则下列说法正确的是（）A．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2B．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2C．把C1向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线C2D．把C1向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线C27．（5分）《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（）A．4立方丈B．5立方丈C．6立方丈D．12立方丈8．（5分）曲线f（x）=x3﹣（x＞0）上一动点P（x0，f（x））处的切线斜率的最小值为（）A．B．3 C．2D．6第1页（共17页）9．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的直径为（）A．13 B ．C ．D ．10．（5分）设x，y 满足约束条件，若目标函数的取值范围[m，n]恰好是函数y=2sinωx （ω＞0）的一个单调递增区间，则ω的值为（）A．B ．C ．D ．11．（5分）已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（，2）C．（，） D．（1，）12．（5分）对于函数f（x）和g（x），设α∈{x∈R|f（x）=0}，β∈{x∈R|g（x）=0}，若存在α、β，使得|α﹣β|≤1，则称f（x）与g（x）互为“零点关联函数”．若函数f（x）=e x﹣1+x ﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”，则实数a的取值范围为（）A．B ．C．[2，3]D．[2，4]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若角α的终边经过点P，则sinαtanα的值是．14．（5分）有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是．15．（5分）设l，m是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列命题正确的是．①若l⊥m，m⊥α，则l⊥α或 l∥α②若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或 l⊂α③若l∥α，m∥α，则l∥m或 l与m相交④若l∥α，α⊥β，则l⊥β或 l⊂β16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=e x（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，第2页（共17页）则t的最大值是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c ，已知，（I）求角A的大小；（II）若a=2，求的面积S的最大值．18．（12分）数列{an}满足．（1）证明：数列是等差数列；（2）若，求T2n．19．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，EB=，且M是BD的中点．（1）求证：EM∥平面ADF；（2）求二面角A﹣FD﹣B的余弦值的大小．20．（12分）已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点k，过点k做圆C：（x﹣5）2+y2=9的两条切线，切点为．（1）求抛物线E的方程；（2）若直线AB是讲过定点Q（2，0）的一条直线，且与抛物线E交于A，B两点，过定点Q作AB 的垂线与抛物线交于G，D两点，求四边形AGBD面积的最小值．21．（12分）已知函数，记F（x）=f（x）﹣g（x）．（1）求证：F（x）在区间（1，+∞）内有且仅有一个实根；（2）用min{a，b}表示a，b中的最小值，设函数m（x）=min{f（x），g（x）}，若方程m（x）=c在区间（1，+∞）内有两个不相等的实根x1，x2（x1＜x2），记F（x）在（1，+∞）内的实根为x．求证：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A的极坐标为，直线l 的极坐标方程为，且l过点A，曲线C1的参考方第3页（共17页）程为（θ为参数）．（1）求曲线C1上的点到直线l的距离的最大值与最小值；（2）过点B（﹣2，2）与直线l平行的直线l1与曲C1线交于M，N两点，求|BM|•|BN|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设a＞0，b＞0，且．求证：（1）a+b≥2；（2）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．2018年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|﹣1＜x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，则A∪B等于（）A．{2} B．{1，2，3}C．{﹣1，0，1，2，3} D．{0，1，2，3}【解答】解：∵A={x|﹣1＜x≤2，x∈N}={0，1，2}，集合B={2，3}，∴A∪B={0，1，2，3}，故选：D．2．（5分）若向量=（1，1），=（2，5），=（3，x）满足条件（8﹣）•=30，则x=（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：∵向量=（1，1），=（2，5），∴∴∴x=4．故选C．3．（5分）设Sn 是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（）A．13 B．35 C．49 D．63【解答】解：因为a1+a7=a2+a6=3+11=14，第4页（共17页）所以故选C．4．（5分）按下面的流程图进行计算．若输出的x=202，则输入的正实数x值的个数最多为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：程序框图的用途是数列求和，当x＞100时结束循环，输出x的值为202：当202=3x+1，解得x=67；即输入x=67时，输出结果202．202=3（3x+1）+1，解得x=22；即输入x=22时，输出结果202．202=3（3（3x+1）+1）+1．即201=3（3（3x+1）+1），∴67=3（3x+1）+1，即22=3x+1，解得x=7，输入x=7时，输出结果202．202=3（3（3（3x+1）+1）+1）+1．解得x=2，输入x=2时，输出结果202．202=3（3（3（3（3x+1）+1）+1）+1）+1．解得x=，输入x=时，输出结果202．共有5个不同的x值，故选D．5．（5分）设F1，F2分别是椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2=30°，则椭圆C的离心率为（）A． B ． C ．D ．【解答】解：∵线段PF1的中点在y轴上设P的横坐标为x，F1（﹣c，0），∴﹣c+x=0，∴x=c；∴P与F2的横坐标相等，∴PF2⊥x轴，∵∠PF1F2=30°，∴PF2=，∵PF1+PF2=2a，∴PF2=，tan∠PF1F2===，∴=，∴e==．第5页（共17页）故选：A．6．（5分）已知曲线，则下列说法正确的是（）A．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2B．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2C．把C1向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线C2D．把C1向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线C2【解答】解：根据曲线=sin （x ﹣），把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，可得y=sin （x）的图象；再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2：y=sin （x ﹣）的图象，故选：B．7．（5分）《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（）A．4立方丈B．5立方丈C．6立方丈D．12立方丈【解答】解：三棱柱的底面是边长为3，高为1的等腰三角形．三棱柱的高为2．∴三棱柱的体积V=．两个相同的四棱锥合拼，可得底面边长为2和3的矩形的四棱锥，其高为1．∴体积V==2．该刍甍的体积为：3+2=5．故选：B．8．（5分）曲线f（x）=x3﹣（x＞0）上一动点P（x0，f（x））处的切线斜率的最小值为（）A．B．3 C．2D．6【解答】解：f（x）=x3﹣（x＞0）的导数f′（x）=3x2+，∴在该曲线上点（x0，f（x））处切线斜率 k=3x2+，第6页（共17页）由函数的定义域知 x＞0，∴k≥2=2，当且仅当3x02=，即x2=时，等号成立．∴k的最小值为2．故选：C．9．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的直径为（）A．13 B ．C ．D ．【解答】解：因为直三棱柱中，AB=3，AC=4，AA1=12，AB⊥AC，所以BC=5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径．取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R==13．故选：A．10．（5分）设x，y 满足约束条件，若目标函数的取值范围[m，n]恰好是函数y=2sinωx （ω＞0）的一个单调递增区间，则ω的值为（）A．B ．C ．D ．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则z的几何意义为区域内的点D（﹣2，0）的斜率，由图象知DB的斜率最小，DA的斜率最大，由，解得A（﹣1，2），则DA的斜率kDA==2，由，解得B（﹣1，﹣2），则DB的斜率kDB==﹣2，则﹣2≤z≤2，目标函数的取值范围[﹣2，2]恰好是函数y=2sinωx（ω＞0）的一个单调递增区间，第7页（共17页）可得2ω=，解得ω=，故选：C．11．（5分）已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（，2）C．（，） D．（1，）【解答】解：双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（x﹣c），与y=﹣x联立，可得交点M （，﹣），∵点M在以线段F1F2为直径的圆外，∴|OM|＞|OF2|，即有+＞c2，∴＞3，即b2＞3a2，∴c2﹣a2＞3a2，即c＞2a．则e=＞2．∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）．故选A．12．（5分）对于函数f（x）和g（x），设α∈{x∈R|f（x）=0}，β∈{x∈R|g（x）=0}，若存在α、β，使得|α﹣β|≤1，则称f（x）与g（x）互为“零点关联函数”．若函数f（x）=e x﹣1+x ﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”，则实数a的取值范围为（）A．B ．C．[2，3]D．[2，4]【解答】解：函数f（x）=e x﹣1+x﹣2的零点为x=1．设g（x）=x2﹣ax﹣a+3的零点为β，若函数f（x）=e x﹣1+x﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”，第8页（共17页）根据零点关联函数，则|1﹣β|≤1，∴0≤β≤2，如图．由于g（x）=x2﹣ax﹣a+3必过点A（﹣1，4），故要使其零点在区间[0，2]上，则g（0）×g（2）≤0或，解得2≤a≤3，故选C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若角α的终边经过点P，则sinαtanα的值是．【解答】解：OP=r==1，∴点P在单位圆上，∴sinα=，tanα=，得sinαtanα=（）×（）=．故答案为．14．（5分）有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是丙．【解答】解：若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意．若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意．若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意．故答案为：丙．15．（5分）设l，m是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列命题正确的是②．①若l⊥m，m⊥α，则l⊥α或 l∥α②若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或 l⊂α③若l∥α，m∥α，则l∥m或 l与m相交第9页（共17页）④若l∥α，α⊥β，则l⊥β或 l⊂β【解答】解：①．若l⊥m，m⊥α，则l⊂α或 l∥α，故①错；②由面面垂直的性质定理知，若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或 l⊂α，故②对；③若l∥α，m∥α，则l∥m或 l与m相交，或l与m异面，故③错；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β或 l⊂β或l∥β或l⊂β，或l与β相交．故④错．故答案为：②16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=e x（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是（e+e﹣1）．【解答】解：设切点坐标为（m，e m）．∴该图象在点P处的切线l的方程为y﹣e m=e m（x﹣m）．令x=0，解得y=（1﹣m）e m．过点P作l的垂线的切线方程为y﹣e m=﹣e﹣m（x﹣m）．令x=0，解得y=e m+me﹣m．∴线段MN的中点的纵坐标为t=[（2﹣m）e m+me﹣m]．t'=[﹣e m+（2﹣m）e m+e﹣m﹣me﹣m]，令t'=0解得：m=1．当m∈（0，1）时，t'＞0，当m∈（1，+∞）时，t'＜0．∴当m=1时t 取最大值（e+e﹣1）．故答案为：（e+e﹣1）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c ，已知，（I）求角A的大小；（II）若a=2，求的面积S的最大值．【解答】解：（I ）已知，正弦定理化简可得：，即sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA=sinC第10页（共17页）∵0＜C＜π，sinC≠0，∴cosA=1．即cosA=．∴A=．（II）∵a=2，A=．余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA 可得：b2+c2=4+bc．∴4+bc≥2bc，当且仅当b=c时取等号．解得：bc≤2（2+）那么三角形面积S=bcsinA ≤=．18．（12分）数列{an}满足．（1）证明：数列是等差数列；（2）若，求T2n．【解答】证明：（1）由已知可得，即，∴是以为首项，1为公差的等差数列．解：（2）由（1）得，∴，∵，∴T2n =a1﹣a2+a3﹣a4+…+a2n﹣1﹣a2n=12﹣22+32﹣42+（2n﹣1）2﹣（2n）2，=﹣（2﹣1）（2+1）+（4﹣3）（4+3）+…+（2n+2n﹣1）（2n﹣2n+1），=﹣（3+7+…+2n﹣1），=﹣，=﹣2n2﹣n第11页（共17页）19．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，EB=，且M是BD的中点．（1）求证：EM∥平面ADF；（2）求二面角A﹣FD﹣B的余弦值的大小．【解答】（1）证明：法一、取AD的中点N，连接MN，NF，在DAB中，M是BD的中点，N是AD的中点，∴，又∵，∴MN∥EF且MN=EF．∴四边形MNFE为平行四边形，则EM∥FN，又∵FN⊂平面ADF，EM⊄平面ADF，故EM∥平面ADF．法二、∵EB⊥平面ABD，AB⊥BD，故以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz．∵AB=2，EB=，∴B（0，0，0），D（3，0，0），A（0，0，2），E（0，0，），F（0，1，），M （，0，0），，，，设平面ADF 的一个法向量是．由，令y=3，得．又∵，∴，又EM⊄平面ADF，故EM∥平面ADF．（2）解：由（1）可知平面ADF 的一个法向量是．，，设平面BFD 的一个法向量是，第12页（共17页）由，令z=1，得，∴cos ＜＞==，又二面角A﹣FD﹣B为锐角，故二面角A﹣FD﹣B 的余弦值大小为．20．（12分）已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点k，过点k做圆C：（x﹣5）2+y2=9的两条切线，切点为．（1）求抛物线E的方程；（2）若直线AB是讲过定点Q（2，0）的一条直线，且与抛物线E交于A，B两点，过定点Q作AB 的垂线与抛物线交于G，D两点，求四边形AGBD面积的最小值．【解答】解：（1）根据题意，抛物线的E的方程为y2=2px（p＞0），则设MN与x轴交于点R ，由圆的对称性可知，．于是，所以∠CMR=30°，∠MCR=60°，所以|CK|=6，所以p=2．故抛物线E的方程为y2=4x．（2）设直线AB的方程为x=my+2，设A=（x1，y1），B=（x2，y2），联立得y2﹣4my﹣8=0，则y1+y2=4m，y1y2=﹣8．∴设G=（x3，y3），D=（x4，y4），同理得，则四边形AGBD 的面积=令，第13页（共17页）则是关于μ的增函数，故Smin=48，当且仅当m=±1时取得最小值48．21．（12分）已知函数，记F（x）=f（x）﹣g（x）．（1）求证：F（x）在区间（1，+∞）内有且仅有一个实根；（2）用min{a，b}表示a，b中的最小值，设函数m（x）=min{f（x），g（x）}，若方程m（x）=c在区间（1，+∞）内有两个不相等的实根x1，x2（x1＜x2），记F（x）在（1，+∞）内的实根为x．求证：．【解答】证明：（1），定义域为x∈（0，+∞），，当x＞1时，F'（x）＞0，∴F（x）在（1，+∞）上单调递增，又，而F（x）在（1，+∞）上连续，根据零点存在定理可得：F（x）在区间（1，+∞）有且仅有一个实根．（2）当0＜x≤1时，f（x）=xlnx≤0，而，故此时有f（x）＜g（x），由（1）知，F（x）在（1，+∞）上单调递增，有x为F（x）在（1，+∞）内的实根，所以F（x0）=f（x）﹣g（x）=0，故当1＜x＜x时，F（x）＜0，即f（x）＜g（x）；当x＞x时，F（x）＞0，即f（x）＞g（x）．因而，当1＜x＜x时，m（x）=xlnx，m'（x）=1+lnx＞0，因而m（x）在（1，x）上递增；当x＞x时，，第14页（共17页）因而m（x）在（x，+∞）上递减；若方程m（x）=c在（1，+∞）有两不等实根x1，x2，则满足x1∈（1，x），x2∈（x，+∞）要证：，即证：x1+x2＞2x，即证：x2＞2x﹣x1＞x，而m（x）在（x，+∞）上递减，即证：m（x2）＜m（2x﹣x1），又因为m（x1）=m（x2），即证：m（x1）＜m（2x﹣x1），即证：记，由F（x）=0得：，∴h（x）=0，，，则，当0＜x＜1时，g'（x）＞0；当x＞1时，g'（x）＜0．故，所以当x＞0时，，∵2x﹣x＞0，∴，因此，即h（x）在递增．从而当1＜x1＜x时，h（x）＜h（x）=0，即，故得证．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]第15页（共17页）22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A的极坐标为，直线l 的极坐标方程为，且l过点A，曲线C1的参考方程为（θ为参数）．（1）求曲线C1上的点到直线l的距离的最大值与最小值；（2）过点B（﹣2，2）与直线l平行的直线l1与曲C1线交于M，N两点，求|BM|•|BN|的值．【解答】解：（1）∵点A 的极坐标为，直线l 的极坐标方程为，且l 过点A，∴由直线l过点A 可得，故，∴直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=8，∴直线l的直角坐标方程为x+y﹣8=0．∵曲线C1的参考方程为（θ为参数）．∴根据点到直线的距离方程可得曲线C1上的点到直线l的距离：，∴．（2）由（1）知直线l 的倾斜角为，则直线l1的参数方程为（t为参数）．又曲线C1的普通方程为．把直线l1的参数方程代入曲线C1的普通方程可得：，∴，依据参数t 的几何意义可知．[选修4-5：不等式选讲]23．设a＞0，b＞0，且．求证：（1）a+b≥2；第16页（共17页）（2）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．【解答】证明：（1）由，得ab=1，由基本不等式及ab=1，有，即a+b≥2．（2）假设a2+a＜2与b2+b＜2同时成立，则a2+a＜2且b2+b＜2，则a2+a+b2+b＜4，即：（a+b）2+a+b﹣2ab＜4，由（1）知ab=1因此（a+b）2+a+b＜6①而a+b≥2，因此（a+b）2+a+b≥6②，因此①②矛盾，因此假设不成立，原结论成立．第17页（共17页）。
陕西省榆林市2018届高考模拟第二次测试理科综合试题含答案
榆林市2018届高考模拟第二次测试理综试题一、选择题:在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列有关细胞内化合物的说法，正确的是A.参与细胞间信息交流的受体蛋白一定位于细胞膜上B.细胞中的RNA具有催化、物质转运及控制生物性状等多种功能C.在寒冷的冬季，农作物细胞内的自由水与结合水的比值增大D.脂质中的磷脂和动物细胞中的胆固醇都能参与细胞膜的构成2.以紫色洋葱鳞片叶外表皮细胞作为观察植物细胞质壁分离和复原实验的材料，下列有关说法正确的是A.正在发生质壁分离的细胞，其吸水能力逐渐减弱B.正在发生质壁分离的细胞，其紫色区域逐渐缩小，该区域颜色逐渐变深C.发生质壁分离后完全复原的细胞，其细胞液浓度最终与外界溶液浓度相同D.该实验不选择紫色洋葱鳞片叶内表皮细胞作材料，是由于该类细胞不能发生质壁分离3.下列关于下丘脑参与人体稳态调节的叙述，错误的是A.下丘脑可作为渗透压感受器感受机体渗透压的变化B.下丘脑可作为效应器分泌和释放抗利尿激素C.下丘脑可作为效应器分泌促甲状腺激素释放激素D.下丘脑中有参与体温调节和水盐平衡调节的中枢4.分泌蛋白Shh在人胚胎发育过程中起重要的调控作用，由位于7号染色体上的Shh基因控制合成，固醇类复合物是该基因转录所必需的。
分泌蛋白Shh合成后并没有生物活性，只有在切除C末端的一部分氨基酸后，剩下的N末端片段才有活性。
下列推测不合理的是A.胆固醇摄入不足可能会影响胎儿正常发育B.分泌蛋白Shh发挥作用依赖于蛋白酶的修饰、加工C.固醇类复合物通过控制RNA聚合酶的活性来影响分泌蛋白Shh的合成D.某患者体内缺乏分泌蛋白Shh可能与染色体结构变异有关5.研究人员对某草原上啮齿动物多样性进行了连续8年的定点监测研究，结果如下表所示。
下列说法错误的是2002—2009年啮齿动物群落中各物种的捕获量比例（%）（禁牧区:禁牧8年以上。
轮牧区:草地采取围栏轮牧。
过牧区:常年不断过度放牧）A.自然和人类干扰活动是影响物种多样性的重要因素B.可用标志重捕法调查该草原上啮齿动物的种群数量C.放牧强度对草原上啮齿动物的优势种没有影响D.食物缺乏条件下，短耳仓鼠最有可能从该草原消失6.下列关于人类遗传病的说法，错误的是A.致病基因的表达是人患遗传病的根本原因B.调査某种遗传病的发病率应在人群中随机抽样C.画遗传系谱图是确定某些遗传病遗传方式的有效方法之一D.通过染色体组型分析可以在早期发现某些遗传病7、化学与人类生产、生活密切相关。
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2018届榆林市第二次高考模拟考试试题理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由不等式的解为，所以，所以，故选C.2. 已知，为虚数单位，的实部与虚部互为相反数，则（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】D【解析】因为，又因为的实部与虚部互为相反数且，所以，解得，故选D.3. 已知，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，又，故，所以，故选C.4. 若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的3倍，则（）A. 2B.C. 1D.【答案】A【解析】由抛物线的定义可知，点到焦点的距离为，点到轴的距离为，所以，解得，故选A.5. 《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重上七两；石方一寸，重六两.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176两），问玉、石重各几何？”其意思为：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（即176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的，分别为（）A. 90，86B. 98，78C. 94，82D. 102，74【答案】B【解析】（1）；（2）；（3）；（4），输出分别为98，78。
故选B。
6. 设，满足约束条件，则的最大值为（）A. -1B. 3C. 9D. 12【答案】C【解析】可行域如图所示，当动直线过时，有最大值，又，所以的最大值为,选C.7. 已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的最大值是（ ）A. 1B.C.D. 【答案】D【解析】由图象性质可知，，解得，故选D 。
8. 为了反映各行业对仓储物流业务需求变化的情况，以及重要商品库存变化的动向，中国物流与采购联合会和中储发展股份有限公司通过联合调查，制定了中国仓储指数.由2016年1月至2017年7月的调查数据得出的中国仓储指数，绘制出如下的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是（ ） A. 2016年各月的合储指数最大值是在3月份 B. 2017年1月至7月的仓储指数的中位数为55 C. 2017年1月与4月的仓储指数的平均数为52D. 2016年1月至4月的合储指数相对于2017年1月至4月，波动性更大 【答案】D【解析】2016年各月的仓储指数最大值是在11月份，所以A是错误的；由图可知，2017年1月至7月的仓储指数的中位数约为，所以B是错误的；2017年4月的仓储指数的平均数为，所以C是错误的；由图可知，2016年1月至4月的仓储指数比2017年1月至4月的仓储指数波动更大，故选D.9. 已知函数的最小正周期为，且其图象向右平移个单位后得到函数的图象，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为最小正周期为，所以，向右平移后所得图像的解析式为，由题设应有，所以也即是，又，所以，选A.10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 4B. 6C.D.【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是边长为的正方体挖去一个三棱柱，如图所示，且挖去的三棱柱的高为，底面是等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边长为，所以该几何体的体积为，故选B.11. 过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，为虚轴的一个端点，且为钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由通径公式有：，不妨设，分类讨论：当，即时，为钝角，此时；当，即时，应满足为钝角，此时：，令，据此可得：，则：.本题选择D选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e 的取值范围)．12. 已知函数，，若成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，则，所以，则，易知，，则在单调递减，单调递增，所以，故选B。
点睛：本题考查导数的综合应用。
利用导数求函数的极值和最值是导数综合应用题型中的常见考法。
通过求导，首先观察得到导函数的极值点，利用图象判断出单调增减区间，得到最值。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知单位向量，满足，则向量与的夹角为__________．【答案】（或）【解析】由题可得，，故向量与的夹角为（或写成）.14. 如图，长方体的底面是边长为1的正方形，高为2，则异面直线与的夹角的余弦值是__________．【答案】【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，所以，所以。
点睛：本题考查异面直线求夹角。
本题中，由于是长方体的题型，建议采取空间向量求夹角。
建立空间直角坐标系，求出所要求的线向量，利用向量的夹角公式求出夹角余弦值即可。
15. 两位同学分4本不同的书，每人至少分1本，4本书都分完，则不同的分发方式共有__________种．【答案】14【解析】，所以。
点睛：本题考察分组分配模型的应用，而且是无零分配。
分组分配模型是先分组，再分配，关键是均匀分组必有重复，所以会有重复，所以为。
分组分配模型是高考考察排列组合问题中的常见题型。
16. 在中，角，，的对边分别是，，，，若，则的周长为__________．【答案】【解析】由题意，所以，且由余弦定理，得，所以所以的周长为.点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 已知正项数列满足，.数列的前项和满足.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【解析】试题分析：(1)由题意结合所给的递推公式可得数列是以为首项，为公差的等差数列，则，利用前n项和与通项公式的关系可得的通项公式为.(2)结合(1)中求得的通项公式裂项求和可得数列的前项和.试题解析：（1）因为，所以，，因为，所以，所以，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，当时，，当时也满足，所以.（2）由（1）可知，所以.18. 4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个小组中随机抽取10名学生参加问卷调查，各组人数统计如下：（1）从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名，求这两名学生来自同一个小组的概率；（2）在参加问卷调查的10名学生中，从来自甲、丙两个小组的学生中随机抽取两名，用表示抽得甲组学生的人数，求的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名的取法共有种，来自同一小组的取法共有，所以.（2）的可能取值为0，1，2，，，，写出分布列，求出期望。
试题解析：（1）由已知得，问卷调查中，从四个小组中抽取的人数分别为3，4，2，1，从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名的取法共有种，这两名学生来自同一小组的取法共有，所以.（2）由（1）知，在参加问卷调查的10名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为3，2.的可能取值为0，1，2，，，.∴的分布列为：.19. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，平面平面，，，在棱上运动.（1）当在何处时，平面；（2）当平面时，求直线与平面所成角的弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：(1)当为中点时，由几何关系可得，利用线面平行的判断定理即可证得平面.(2)由题意建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量和平面的法向量可求得直线与平面所成角的正弦值为试题解析：（1）当为中点时，平面设，在中，为中位线，即，又平面平面，平面.（2）四边形是菱形，，均为等边三角形.取的中点平面平面平面.以为坐标原点，射线分别为轴的正方向建立如图所示的空间坐标系，则..设平面的法向量为，则由，得，取，得.记直线与平面所成角为，则.20. 已知椭圆的左右焦点分别为和，上顶点为，若直线的斜率为1，且与椭圆的另一个交点为，的周长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线（直线的斜率不为1）与椭圆交于，两点，点在点的上方，若，求直线的斜率.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由的周长为，可得，由直线的斜率为可得，由直线的斜率，得，结合求出从而可得椭圆的标准方程；（2）先求出，由可得，直线的方程为，则，联立，所以，根据韦达定理列出关于的方程求解即可.试题解析：（1）因为的周长为，所以，即，由直线的斜率，得，因为，所以，所以椭圆的标准方程为.（2）由题意可得直线方程为，联立得，解得，所以，因为，即，所以，当直线的斜率为时，不符合题意，故设直线的方程为，由点在点的上方，则，联立，所以，所以，消去得，所以，得，又由画图可知不符合题意，所以，故直线的斜率为.【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和数量积公式，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.21. 已知函数，.（1）若时，求函数的最小值；（2）若函数既有极大值又有极小值，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）代入，得，求导，利用导函数判定函数的单调性，即可求得函数的最小值；（2）现求导数，函数既有极大值又有极小值，等价于有两个零点，可分和两种情况分类讨论，得到函数的单调性和极值，得到函数有极大值和极小值的条件，即可求解实数的取值范围. 试题解析：（1）当时，，定义域为.，令，可得.列表：所以，函数的最小值为.（2），定义域为，.记，，，①当时，，在上单调递增，故在上至多有一个零点，此时，函数在上至多存在一个极小值，不存在极大值，不符题意；②当时，令，可得，列表：若，即，，即，故函数在上单调递减，函数在上不存在极值，与题意不符，若，即时，由于，且，故存在，使得，即，且当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增，函数在处取极小值.由于，且（事实上，令，，故在上单调递增，所以）.故存在，使得，即，且当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减，函数在处取极大值.综上所述，当时，函数在上既有极大值又有极小值.点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、圆等知识联系；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题；(4)考查数形结合思想的应用.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为，（为参数），曲线的参数方程为，（为参数）.（1）将，的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的极坐标系方程为.若上的点对应的参数为，点在上，点为的中点，求点到直线距离的最小值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）分别将曲线、的参数方程利用平方法消去参数，即可得到，的方程化为普通方程，进而得到它们分别表示什么曲线；（2），利用点到直线距离公式可得到直线的距离，利用辅助角公式以及三角函数的有界性可得结果.试题解析：（1）的普通方程为，它表示以为圆心，1为半径的圆，的普通方程为，它表示中心在原点，焦点在轴上的椭圆．（2）由已知得，设，则，直线：，点到直线的距离，所以，即到的距离的最小值为．23. [选修4-5：不等式选讲]已知函数.（1）证明：；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）利用绝对值三角不等式，得，又有，即可作出证明；（2）分类讨论，得出关于实数的不等式组，即可求解实数的取值范围.试题解析：（1）证明：因为，而，所以.（2）解：因为，所以或，解得，所以的取值范围是.。