同济大学高等数学上册期中考试练习题三套(附答案)
同济大学《高等数学》第五版上册答案(详解)
解 (1)列方程,(2)解方程
练习 12-11
总习题十二
解 正弦级数展开, 余弦级数展开
总习题十一
练习 12-1
练习 12-2
练习 12-3
练习 12-4
练习 12-5
练习 12-6
练习 12-7
提示：
提示：
练习 12-8
练习 12-9
总习题六
练习 7-1
练习 7-2
练习 7-3
练习 7-4
练习 7-5
练习 7-6
总习题七
练习 8-1
练习 8-2
>
练习 8-3
练习 8-4
练习 8-5
练习 2-5
总习题二
练习 3-1
练习 3-2
练习 3-3
练习 3-4
练习 3-5
练习 3-6
x
( 2)
y
y
+
yf(x) ↘
2 0 +
17/5
(2 1) 1
练习 10-4
练习 10-5
练习 10-6
练习 10-7
总习题十
练习 111
练习 112
练习 113
练习 11-4
练习 11-5
练习 11-7
练习 11-8
解 正弦级数展开, 余弦级数展开
练习 8-6
练习 8-7
练习 8-8
总习题八
练习 9-1
练习 9-2
>>
<< >>
<<
练习 9-3
练习 9-4
总习题九
练习 10-1
练习 10-2
练习 10-3
同济大学《高等数学》[上册]的答案解析
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练习 2-5
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总习题四
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练习 3-3
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练习 3-4
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练习 4-3
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练习 4-4
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同济大学高等数学上册期中考试练习题三套(附答案)
2、在.
二、
第一单元微小世界1.
二、问答：2.
7、对于生活中的一些废弃物，我们可以从垃圾中回收它们并重新加工利用。这样做不但能够减少垃圾的数量，而且能够节省大量的自然资源。3.
4.
三、
四、
五、
六、
一、
4、如何借助大熊座找到北极星？（P58）1.
2.
2、你知道日食的形成过程吗？3.
3、月球是距离地球最近的星球直径大约是地球的1/4，质量大约是地球的1/80，月球体积大约是地球的1/49，月球引力大约是地球的1/6。4.
5.
6.
20、对生活垃圾进行分类、分装，这是我们每个公民的义务。只要我们人人参与，养成良好的习惯，我们周围的环境一定会变得更加清洁和美丽。7.
同济大学高等数学上册期中考试练习题三套（附答案）
参考答案
练习一
一、
1．
2．
3．
4．
5．
6．
7．
二、
1.
2.
3.
4.
5.
6.
三、
四、
练习二
一、
1.
2.
3. 4. 5. 二、
6. 7.
三、
7、硫酸铜溶液与铁钉的反应属于化学反应。硫酸铜溶液的颜色是蓝色，将铁钉浸入硫酸铜溶液中，我们发现铁钉变红了。8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 练习三
第一学期高等数学期中考试试卷答案
第一学期高等数学期中考试试卷答案一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中．1．已知()()212x x f x f =-+，则()=x f ______________________________．2．设x x x y arcsin 12-+=，则='y ______________________．3．设函数()x y y =由方程42ln 2x y y =+所确定，则=dxdy _______________． 4．设()x f 为可导的奇函数，且()50='x f ，则()=-'0x f ________________．5．函数()22sin x x e x f x +--=在区间()∞+∞-，上的最小值为_____________． 答案：⒈ 3132312-+x x ； ⒉ x x xa r c s i n122--； ⒊ 2212yy x +； ⒋ 5；⒌ 1-．二．选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。
以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效．1．数列极限()[]n n n n ln 1ln lim --∞→是________ ． ()A ．1 ； ()B ．1-； ()C ．∞； ()D ．不存在但非∞．2．函数()()x x x x x f ---=322不可导点的个数是______________．()A . 3 ； ()B . 2 ； ()C . 1 ； ()D . 0 ．3．设()x f 可导且()210='x f ，则0→∆x 时，()x f 在0x 点处的微分dy 是____． ()A .比x ∆低阶的无穷小； ()B .比x ∆高阶的无穷小；()C .与x ∆同阶的无穷小； ()D .与x ∆等价的无穷小．4．已知函数()x f 具有任意阶导数，且()()[]2x f x f ='，则当n 为大于2的正整数时，()x f 的n 阶导数()()x f n 为___________．()A .()[]nx f n 2!； ()B . ()[]1+n x f n ； ()C . ()[]n x f 2； ()D .()[]1!+n x f n ． 5．设()()[]2x x f ψ='，其中()x ψ在()∞+∞-，上恒为正值，其导数()x ψ'为单调减少函数，且()00='x ψ，则___________ ．()A ．曲线()x f y =在点()()00x f x ，处有拐点；()B ．0x x =是函数()x f 的极大值点；()C ．曲线()x f y =在()∞+∞-，上是凹的；()D ．()0x f 是()x f 在()∞+∞-，上的最小值．答案：⒈ ()B ；⒉ ()A ；⒊ ()C ；⒋ ()D ；⒌ ()A ．三．（本题满分6分）设0>>a b ，()2a a f ='，求极限()()ab a f b f a b ln ln lim --→． 解：()()()()ab a b a b a f b f a b a f b f a b a b ln ln lim ln ln lim--⋅--=--→→ ()()()()a b a b a b a f b f a b a f b f a b a b a b ln ln lim lim ln ln lim --⋅--=--=→→→ ()3a a a f =⋅'=，四．（本题满分7分）设()A x f x x =→0lim ，极限()x g x x 0lim →不存在，试问极限 ()()[]x g x f x x +→0lim是否存在？并证明之．解：极限()()[]x g x f x x +→0lim 不存在． 反证法：如果极限()()[]x g x f x x +→0lim 存在，由极限()A x f x x =→0lim 存在，可知极限 ()()()()[]()()[]()x f x g x f x f x g x f x x x x x x 000lim lim lim →→→-+=-+ 存在，即极限()x g x x 0lim →存在，这与题设中()x g x x 0lim →不存在矛盾，因此极限()()[]x g x f x x +→0lim 不存在．五．（本题满分7分）设()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->+-=-<-=1arccos 1112x x a x bx x x f ，试确定a 、b 之值，使得函数()x f 在点1-=x 处连续．解：()b f =-1，()()01lim lim 0120101=-==----→--→x x f f x x ，()()()π+=+==+-+-→+-→a x a x f f x x a r c c o s lim lim 010101， 所以，由()()101-=--f f ，得0=b ；由()()101-=+-f f ，得π-=a ．因此，当π-=a ，0=b 时，函数()x f 在点1-=x 处连续．六．（本题满分8分）设函数()x y y =由参数方程⎩⎨⎧=+=ty t x cos 12所确定，求22dx y d ． 解：tt t t dtdx dt dydx dy 2sin 2sin -=-== ， dtdxdx dy dt d dx dt dx dy dt d dx dy dx d dx y d 122⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛= ()3224c o s s i n 21s i n c o s 21112s i n t t t t t t t t t t t t dt d t -=⋅--='+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-= ．七．（本题满分8分）求对数螺线θρe =（由极坐标方程给出）在点()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22πθρπ，e 处的切线的直角坐标方程．解：我们将其转换为参数方程()()⎩⎨⎧==θθρθθρsin cos y x ．在本题中，转换后的参变量方程为⎩⎨⎧==θθθθsin cos e y e x ．这时，我们将θ看作参变量，利用参变量方程的求导方法，我们有()()θθθθθθθθθθθs i n c o s s i n c o s s i n c o s s i n c o s -+=-+==e e d d dydx dy ． 当2πθ=时，1s i n c o s s i nc o s 22-=-+===πθπθθθθθdx dy ，0cos 22==⎪⎭⎫⎝⎛=πθθθπe x ，22sin 2ππθθθπe e y ==⎪⎭⎫ ⎝⎛=． 因此，所求切线方程为()()012--=-x e y π，即2πe y x =+ ．八．（本题满分8分）求曲线5412--=x x y 的铅直渐近线与水平渐近线．解：由于0541limlim 2=--=∞→∞→x x y x x ； 所以，0=y 是曲线5412--=x x y 的水平渐近线；由于 ∞=--=-→-→541lim lim 211x x y x x ，∞=--=→→541lim lim 255x x y x x 所以，1-=x 与5=x 都是曲线5412--=x x y 的两条铅直渐近线． 九．（本题满分8分）求数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛n n 322的最大项() ，，，321=n ．（已知41.05.1ln ≈） 解：设()xx x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=322 ()+∞<≤x 1， 则()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅='23ln 232x x x f x，令()0='x f ，得()x f 在()∞+，0内的唯一驻点为 9.423ln 20≈=x 当23ln 21<≤x 时，()0>'x f ；当x <23ln 2时，()0<'x f ． 所以2ln 20=x 是函数()x x x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=322在区间()+∞<≤x 1上的极大值点，也是最大值点． 由于59.423ln 240<≈=<x ，且()44232163244⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=f ，()()4323503255452f f >⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=， 所以数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛n n 322的最大项为()2438005=f ． 十．（本题满分9分）论证πe 与e π的大小．解：由于ππln e e e =，因此只需讨论π与πln e 的大小．设()x e x x f ln -=，则()xe xf -='1 令()0='x f ，得函数()x e x x f ln -=的驻点e x =0．由于()02>=''xe xf ，所以函数()x e x x f ln -=在点e x =0处取极小值 ()0=-=e e e f由于点e x =0是函数()x e x x f ln -=的唯一极值点，因而也是函数()x e x x f ln -=的最小值点．因此当e x >时，()()0=>e f x f ．因此由e >π，知()0>πf ，即0ln >-ππe ，或ππln e >所以，ππln e e e >，即ee ππ>． 十一．（本题满分9分）设函数()x f 在闭区间[]10，上可微，对闭区间[]10，上的每一点x ，函数()x f 的值都在开区间()10，内，且()1≠'x f ．证明：在开区间()10，内仅有唯一的一点x ，使得()x x f =．解：（存在性）：令()()x x f x F -=，则函数()x F 在闭区间[]10，上连续，且当[]10，∈x 时，由()10<<x f ，所以，()()0000>-=f F ，()()111-=f F ．因此由连续函数的零点定理，知至少存在一点()10，∈x ，使得()()0=-=x x f x F ．即至少存在一点()10，∈x ，使得()x x f =．（唯一性）：若存在两点()1021，，∈x x ，21x x <，使得()11x x f =， ()22x x f =由Lagrange 中值定理，知至少存在一点1021<<<<x x ξ，使得()()()112121212=--=--='x x x x x x x f x f f ξ 这与题设中任意()10，∈x ，()1≠'x f 相矛盾．因此，在开区间()10，内仅有唯一的一点x ，使得()x x f =．。
高等数学上册期中考试试卷
1
1
1
1
1
1
2 1
1
1 48
f ( 1 )
'''
'''
1 48
f ( 2 )
'''
'''
f ( 1 ) f ( 2 ) 48
''' ''' ''' ''' '''
2 | f ( ) | | f ( 1 ) | | f ( 2 ) | | f ( 1 ) f ( 2 ) | 48
dy dx
3
y( x )
由方程
y
2
2 ln y x
4
所确定，则
2x y y 1
2
8．设函数
f ( 2 x ) ln x
，则
f ( x )
1 x
9．曲线
y x e
x
在 x 0 处的切线方程是 y 2 x 1
10．若函数 f ( x ) x 1 在区间[ 1 , 4 ] 上满足拉格朗日中值定理的条件，则定理结论中的ຫໍສະໝຸດ e e 2x
e
x
lim
x
2 2
1 a rc ta n x
1 x
2
2 所以 lim a rc ta n n e n
n
4．设函数
所确定，求
x 1 t y y ( x ) 由参数方程 y cos t 2 d y
同济大学·高等数学B(上)期终考试试卷
ｒ ｇ １ ４
、
～
Ｉ 、
‘Leabharlann ＼ ／ ＼ 六 、 析几 何 解
１（ 分 直 ｚ 过 ２一，，的 向 、 正 的 角 是 ，ｚ 正 的 ６ １ ）线 点 （ ３） 方 与 轴） 向 夹 都 手与 轴 向 夹 ・０ 经 ， ５它 ， 轴
角 为锐 角． １ （ ）写 出直线 ｌ 的对 称式 方程 ；２ （ ）设另 一条直 线 ｌ 的方 程为 ＝Ｙ ＝ｚ求 直线 ｌ与 ｌ ，
之的离 间距 ．
（ 接 ２ 页） 上 ８
…字 ＝ 牛
变换 简单 有效． 另外 由上 面几例 还可 以看 出 ， 自变量 Ｕ取偶 数 次幂 时积 分 结果 仍 属 于 “ Ｕ 当 Ｒ（ ，
／ 一 ） ， （ √ －ａ ） （ ａ ”兄 ， １ 型” 不含反三角函数及反双曲函数） 当 自变量 取奇数次幂时积分 － ，
维普资讯
６ ２
高等数学研究
Ｓ ＵＤＩ Ｎ Ｔ ＥＳ Ｉ ＣＯＬ Ｅ ＴＨＥＭＡ Ｃ Ｌ ＧＥ ＭＡ ＴＩ Ｓ
Ｖ １１ Ｎ ． ｏ．０， ｏ６
Ｎｏ ．， ０ ７ ｖ ２０
同济 大 学 ・高等 数 学 （ ）期 终 考试 试 卷 上
２０ ０ ７年 １月
Ａ．１ Ｂ． ２ Ｃ． ３
Ｄ． ４
６ 限∞ ＋＋｛。… ＋ 于 ． 凡 ｌ 。Ｚ ＋｛ 极 Ｈ ‘ ｎ ＋ ｎ 等 — ＋ ｎ
Ａ． １＂ ７ Ｂ
．
【】 Ａ
４
子
Ｃ予 －
Ｃ Ｒ ＞Ｐ ＞Ｑ ．
Ｄ ・ 仃
７ Ｐ ≥ ， ≥ ， ． ＝ ＝ ＝ 设 Ｑ Ｒ
［ ］归行 茂 ， １ 李重华 ， 柴常智 ， 数学 手册［ ． Ｍ］ 上海 ： 上海科学普及 出版社 ，９ ３年 １月 １９
2024学年同济大学二附中高二数学第一学期期中考试卷附答案解析
2024学年同济大学二附中高二数学第一学期期中考试卷满分：150分，完成时间：120分钟一、填空题（本题满分54分，共12小题，第1-6题每题4分，7-12题每题5分）1.在空间中，如果两条直线没有交点，那么这两条直线的位置关系是___________.2.半径为2的球的表面积为________.3.已知长方体1111ABCD A B C D -的棱11AD AA ==，2AB =，则异面直线BD 与11B C 所成角的余弦值为______．4.在四面体P ABC -中，若底面ABC 的一个法向量为()1,1,0n = ，且()2,2,1CP =- ，则顶点P 到底面ABC 的距离为_____________．5.已知一圆锥侧面展开图是一半径为2的半圆，则该圆锥的侧面积为___________.6.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形OA B C '''，且//OA B C '''，24OA B C '''==，2A B ''=，则该平面图形的面积为_________.7.三棱锥P ABC -中，三条侧棱PA PB PC ==，则顶点P 在平面ABC 内的射影O 是ABC V 的______．（填“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”）8.在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若四边形对角线2==AC BD ，对角线AC 与BD 所成的角为π3，则FH =______．9.如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1,球O 的体积为V 2，则12V V 的值是_____10.已知二面角AB αβ--为30°，P 是半平面α内一点，点P 到平面β的距离是1，则点P 在平面β内的投影到AB 的距离是_________．11.如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S 滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，则圆锥的母线长为_____12.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动.平面区域W 由所有满足14A P ≤≤的点P 组成，则四面体1P A BC -的体积的取值范围_________.二、选择题（共4小题，第13、14题每题4分，15、16题每题5分）13.已知直线l 和平面α，则“l 垂直于α内的两条直线”是“l α⊥”的（）．A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件14.把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1:4，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为12，则原圆锥的母线长为（）A.16 B.18 C.20 D.2215.m n 、为空间中两条直线，αβ、为空间中两个不同平面，下列命题中正确的个数为（）①二面角的范围是[)0,π；②经过3个点有且只有一个平面；③若m n 、为两条异面直线，,,//m n m αββ⊂⊂，则//n α．④若m n 、为两条异面直线，且//,//,//,//m n m n ααββ，则//αβ．A.0B.1C.2D.316.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且12AA AB ==.下列说法错误．．的是（）A.四棱锥11B A ACC -为“阳马”B.四面体11AC CB 为“鳖臑”C.四棱锥11B A ACC -体积的最大值为23D.过A 点作1AE A B ⊥于点E ，过E 点作1EF A B ⊥于点F ，则1A B ⊥面AEF三、解答题（本题满分78分，共5小题）17.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M N P 、、分别是1111C D CC AA 、、的中点．（1）证明：//MN 平面11ABB A ．（2）求异面直线1PD 与MN 所成角的大小．（结果用反三角表示）18.如图，已知PA ＝AC ＝PC ＝AB ＝a ，PA AB ⊥，AC AB ⊥，M 为AC 的中点．（1）求证：PM ⊥平面ABC ；（2）求直线PB 与平面ABC 所成角的大小．19.现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -(如图所示)，并要求正四棱柱的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的4倍.（1）若m 6AB =，12m PO =，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m ，当1PO 为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？20.如图，AB 是圆柱的底面直径，2AB =，PA 是圆柱的母线且2PA =，点C 是圆柱底面圆周上的点．（1）求圆柱的表面积；（2）证明：平面PBC ⊥平面PAC ；（3）若1AC =，D 是PB 的中点，点E 在线段PA 上，求CE ED +的最小值．21.已知点P 是边长为2的菱形ABCD 所在平面外一点，且点P 在底面ABCD 上的射影是AC 与BD 的交点O ，已知60BAD ∠=︒，PDB △是等边三角形.（1）求证：AC PD ⊥；（2）求点D 到平面PBC 的距离；（3）若点E 是线段AD 上的动点，问：点E 在何处时，直线PE 与平面PBC 所成的角最大？求出最大角的正弦值，并说明点E 此时所在的位置.同济大学第二附属中学2024学年第一学期期中考试高二年级数学学科试卷满分：150分，完成时间：120分钟一、填空题（本题满分54分，共12小题，第1-6题每题4分，7-12题每题5分）1.在空间中，如果两条直线没有交点，那么这两条直线的位置关系是___________.【答案】平行或异面【解析】【分析】根据空间中两直线的位置关系即可判断.【详解】空间中的直线没有公共点，则两直线要么平行，要么是异面直线.故答案为：平行或异面2.半径为2的球的表面积为________.【答案】16π【解析】【分析】代入球的表面积公式:2=4S R π表即可求得.【详解】2R = ，∴由球的表面积2=4S R π表公式可得,2=42=16S ππ⨯⨯球表,故答案为:16π【点睛】本题考查球的表面积公式;属于基础题.3.已知长方体1111ABCD A B C D -的棱11AD AA ==，2AB =，则异面直线BD 与11B C 所成角的余弦值为______．【答案】5【解析】【分析】由定义说明DBC ∠是异面直线BD 与11B C 所成角或其补角，然后计算．【详解】因为11//B C BC ，所以DBC ∠是异面直线BD 与11B C 所成角或其补角，在直角BDC中，BD ==，5cos 5BC CBD BD ∠===，故答案为：5．4.在四面体P ABC -中，若底面ABC 的一个法向量为()1,1,0n = ，且()2,2,1CP =- ，则顶点P 到底面ABC 的距离为_____________．【答案】【解析】【分析】根据点面距公式代入计算即可得.【详解】由点面距公式得d n CP n ==⋅==故答案为：5.已知一圆锥侧面展开图是一半径为2的半圆，则该圆锥的侧面积为___________.【答案】2π【解析】【分析】根据圆锥侧面展开图与圆锥侧面的关系求出圆锥底面圆半径即可计算得解.【详解】设圆锥底面圆半径为r ，则该圆锥底面圆周长为2r π，因圆锥侧面展开图是一半径为2的半圆，则半圆弧长为2π，依题意，22ππ=r ，解得1r =，显然圆锥的母线长2l =，则圆锥侧面积2S rl ππ==，所以圆锥的侧面积为2π.故答案为：2π6.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形OA B C '''，且//OA B C '''，24OA B C '''==，2A B ''=，则该平面图形的面积为_________.【答案】122【解析】【分析】首先求出OC '，再画出平面图形，从而求出其面积.【详解】因为24OA B C '''==，2A B ''=，所以()2242222OC '=-+=由直观图可得如下平面图形，则24OA BC ==，242OC OC '==，所以()124222OABC S =⨯+⨯=.故答案为：1227.三棱锥P ABC -中，三条侧棱PA PB PC ==，则顶点P 在平面ABC 内的射影O 是ABC V 的______．（填“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”）【答案】外心【解析】【分析】由已知可得顶点P 在底面ABC 上的射影O 到底面三角形三个顶点的距离相等，即O 为ABC V 的外心.【详解】如图，设顶点P 在底面ABC 内的射影为O ，则⊥PO 平面ABC ，连接OA ，OB ，OC ，OA ，OB ，OC 在平面ABC 内，∴PO OA ⊥，PO OB ⊥，PO OC ⊥，∴POA ，POB V ，POC △都是直角三角形，PA PB PC ==，∴POA ，POB V 和POC △三个三角形全等，从而有OA OB OC ==，所以O 为ABC V 的外心.故答案为：外心.8.在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若四边形对角线2==AC BD ，对角线AC 与BD 所成的角为π3，则FH =______．【答案】1【解析】【分析】由题意可知四边形EFGH 为菱形，且知菱形相邻的两个角分别为π2π,33，再由所给边长即可求得FH 的长.【详解】如图，由,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 的中点，得1////,12EF AC HG EF HG AC ===，1////,12EH BD FG EH FG BD ===，则四边形EFGH 为菱形，又AC 与BD 所成的角为π3，于是直线EF 与EH 所成角为π3，即菱形EFGH 的边长为1，相邻两个内角分别为π2π,33，即π3FEH ∠=或2π3FEH ∠=，当π3FEH ∠=时，1FH EF ==,当2π3FEH ∠=时，2sin60FH EF ==所以1FH =或FH =故答案为：19.如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1,球O 的体积为V 2，则12V V 的值是_____【答案】32【解析】【详解】设球半径为r ，则12=B 2×243B 3=32．故答案为32．点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．10.已知二面角AB αβ--为30°，P 是半平面α内一点，点P 到平面β的距离是1，则点P 在平面β内的投影到AB 的距离是_________．【解析】【分析】设点P 在平面β内的投影为点Q ，作PO AB ⊥于点O ，连接OQ ，证明POQ ∠即为二面角AB αβ--的平面角，再解Rt POQ △即可.【详解】如图，设点P 在平面β内的投影为点Q ，则PQ β⊥，1PQ =，作PO AB ⊥于点O ，连接OQ ，因为PQ β⊥，,OQ AB β⊂，所以,PQ AB PQ OQ ⊥⊥，又,,,PO AB PO PQ P PQ PO ⊥⋂=⊂平面POQ ，所以AB ⊥平面POQ ，又OQ ⊂平面POQ ，所以AB OQ ⊥，所以POQ ∠即为二面角AB αβ--的平面角，所以30POQ ∠=︒，在Rt POQ △中，30,1POQ PQ ∠=︒=，所以OQ =即点P 在平面β内的投影到AB11.如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S 滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，则圆锥的母线长为_____【答案】12【解析】【分析】设圆锥的母线长为l,求出以S 为圆心，SA 为半径的圆的面积以及圆锥的侧面积，根据题意，列出方程即可求得答案.【详解】设圆锥的母线长为l,则以S 为圆心，SA 为半径的圆的面积为2πl ，又圆锥的侧面积为π33πl l ⨯⨯=，因为当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，所以2π43πl l =⨯，解得12l =，故答案为：1212.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动.平面区域W 由所有满足14A P ≤≤的点P 组成，则四面体1P A BC -的体积的取值范围_________.【答案】1632,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】连接AP ，由线面垂直的性质得到1A A AP ⊥，再由勾股定理求出0||2AP ≤≤，即可得到P 以A 为圆心2为半径的14圆面上，再根据1111,3P A BC A PBC PBC V V AA S --==⋅ 得到当P 在边AD 上时四面体的体积最大，当P 在边AB 的中点时四面体的体积最小，再根据面体的体积公式计算可得取值范围.【详解】连接AP ，如图所示，因为1A A ⊥平面ABCD ，AP ⊂平面ABCD ，所以1A A AP ⊥，∵14A A =，由145A P ≤≤2211||A P AP AA =+，则0||2AP ≤≤；所以P 在以A 为圆心2为半径的14圆面上，由题意可知，11113P A BC A PBC PBC V V AA S --==⋅ ，所以当P 在边AD 上时，四面体1P A BC -的体积的最大值是1132444323⨯⨯⨯⨯=.所以当P 在边AB 的中点时，PBC S 的面积取得最小值，此时14242PBC S =⨯⨯=△，所以四面体1P A BC -的体积的最小值是1164433⨯⨯=，所以11632,33P A BC V -⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故答案为：1632,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】思路点睛：求解三棱锥体积的最值问题，要找准突破口，也即是按三棱锥的体积公式13V Sh =，通常会有以下两种：①如果底面积固定，则通过找高的最值来进行求解；②如果高已知确定，则求底面积的最值来进行求解（如本题）.二、选择题（共4小题，第13、14题每题4分，15、16题每题5分）13.已知直线l 和平面α，则“l 垂直于α内的两条直线”是“l α⊥”的（）．A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件【答案】B【分析】利用直线与平面垂直的判定定理，即可得出结论.【详解】根据直线与平面垂直的判定定理可知：如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面.而“l 垂直于α内的两条直线”，没有满足相交，所以不一定能推出直线与平面垂直，但是如果一条直线与平面垂直，一定能推出这条直线垂直于平面内的所有直线，即可得：“l 垂直于α内的两条直线”是“l α⊥”的必要不充分条件.故选：B .14.把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1:4，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为12，则原圆锥的母线长为（）A.16B.18C.20D.22【答案】A【分析】根据圆台的几何特征利用三角形相似即可求得结果.【详解】由题意可得，几何体如下图所示：取轴截面可知，圆台的上、下底面半径的比为14CD AB =，且//,12CD AB BD =，设圆锥的母线长为l ，根据相似比可得1214CD ED l AB EB l -===，解得16=l ，即原圆锥的母线长为16.故选：A.15.m n 、为空间中两条直线，αβ、为空间中两个不同平面，下列命题中正确的个数为（）①二面角的范围是[)0,π；②经过3个点有且只有一个平面；③若m n 、为两条异面直线，,,//m n m αββ⊂⊂，则//n α．④若m n 、为两条异面直线，且//,//,//,//m n m n ααββ，则//αβ．A.0 B.1C.2D.3【答案】B【分析】利用二面角的取值范围可判断①，当三点共线时可判断②，利用线面平行的判定方法可判断③，利用线面平行的性质以及面面平行的判定定理可判断④【详解】对于①，二面角的范围是[]0,π，①错；对于②，若三点共线，则经过这个点有无数个平面，②错对于③，若m n 、为两条异面直线，,,//m n m αββ⊂⊂，则n 与α可能平行也可能相交，故③错误；对于④，因为//,//m m αβ，过直线m 作平面γ，使得,b a γαβγ== ，由线面平行的性质定理可得//,//m a m b ，则//a b ，因为,a b αα⊄⊂，则//a α，因为//,//αβn n ，过直线n 作平面ϕ，使得,d c ϕαβϕ== ，由线面平行的性质定理可得//,//n c n d ，则//c d ，因为,c d αα⊄⊂，则//c α，若//a c ，则//m n ，这与m n 、为两条异面直线矛盾，故,a c 相交，又因为,a c β⊂，所以//αβ，故④对，故选：B16.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且12AA AB ==.下列说法错误．．的是（）A.四棱锥11B A ACC -为“阳马”B.四面体11AC CB 为“鳖臑”C.四棱锥11B A ACC -体积的最大值为23D.过A 点作1AE A B ⊥于点E ，过E 点作1EF A B ⊥于点F ，则1A B ⊥面AEF 【答案】C 【解析】【分析】根据“阳马”和“鳖膈”的定义，可判断A ，B 的正误；当且仅当AC BC =时，四棱锥11B A ACC -体积有最大值，求值可判断C 的正误；根据题意可证1A B ⊥平面AEF ，进而判断D 的正误.【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，∴在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，侧棱1AA ⊥平面ABC ，A 选项，∴1AA BC ⊥，又AC BC ⊥，且1AA AC A = ，则⊥BC 平面11A ACC ，∴四棱锥11B A ACC -为“阳马”，故A 正确；B 选项，由AC BC ⊥，即11A C BC ⊥，又111AC C C ⊥且1BC C C C ⋂=，∴11A C ⊥平面11BB C C ，∴111A C BC ⊥，则11A BC V 为直角三角形，又由⊥BC 平面11AAC C ，得1A BC 为直角三角形，由“堑堵”的定义可得11AC C 为直角三角形，1CC B 为直角三角形，∴四面体11AC CB 为“鳖膈”，故B 正确；C 选项，在底面有2242AC BC AC BC =+≥⋅，即2AC BC ⋅≤，当且仅当AC BC ==1111111243333B A ACC A ACC V S BC AA AC BC AC BC -=⨯=⨯⨯=⨯≤，最大值为43，故C 错误；D 选项，因为1AE A B ⊥，1EF A B ⊥，AE EF E ⋂=，所以1A B ⊥平面AEF ，故D 正确；故选：C三、解答题（本题满分78分，共5小题）17.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M N P 、、分别是1111C D CC AA 、、的中点．（1）证明：//MN 平面11ABB A ．（2）求异面直线1PD 与MN 所成角的大小．（结果用反三角表示）【答案】（1）证明见解析（2）arccos 10【解析】【分析】（1）构造线线平行，根据线面平行的判定定理证明线面平行.（2）根据线线平行，找出异面直线所成的角，在三角形中，利用余弦定理求角的余弦.【小问1详解】如图：连接1A B ，1D C .因为1111ABCD A B C D -为正方体，所以11//A B CD .又，M 、N 分别是11C D 、1CC 的中点，所以1//MN CD ，所以1//MN A B ，1A B ⊂平面11ABB A ，MN ⊄平面11ABB A ，所以//MN 平面11ABB A .【小问2详解】如图：连接PC 、1PD 因为1//MN CD ，所以1PDC ∠即为异面直线MN 与1PD 所成的角，设为θ.在1PCD V 中，221111145PD PA A D =+=+=，122CD =，2221443PC PA AB BC =++=++=.所以2221111cos θ2D P D C PC D P D C +-=⨯⋅10102522==⨯⨯.所以异面直线1PD 与MN 所成的角为：10arccos10.18.如图，已知PA ＝AC ＝PC ＝AB ＝a ，PA AB ⊥，AC AB ⊥，M 为AC 的中点．（1）求证：PM ⊥平面ABC ；（2）求直线PB 与平面ABC 所成角的大小．【答案】（1）见解析（2）6arcsin4【解析】【分析】（1）推导出PM AC ⊥，PM AB ⊥，由此能证明PM ⊥平面ABC ；（2）连结BM ，则PBM ∠是直线PB 和平面ABC 所成的角，由此能求出直线PB 和平面ABC 所成的角．【小问1详解】证明：因为PAC 为等边三角形，且M 为AC 的中点，所以PM AC ⊥．又PA AB ⊥，AC AB ⊥，且PA AC A = ，所以BA ⊥平面PAC ．又PM 在平面PAC 内，所以BA PM ⊥．因为AB AC A ⋂=，且BA PM ⊥，PM AC ⊥，所以PM ⊥平面ABC ．【小问2详解】解：连结BM ，由（1）知PM ⊥平面ABC ，所以PBM ∠是直线PB 和平面ABC 所成的角．因为PAC 为等边三角形，所以32PM a =.又PAB 为等腰直角三角形，且π2∠=PAB ，所以PB =．因为PM BM ⊥，所以sin 4PBM PM PB ∠==，则arcsin4PBM =∠所以直线PB 和平面ABC 所成的角的大小等于6arcsin4．19.现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -(如图所示)，并要求正四棱柱的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的4倍.（1）若m 6AB =，12m PO =，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m ，当1PO 为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？【答案】（1）3312m（2），2【解析】【分析】（1）明确柱体与锥体积公式的区别，分别代入对应公式求解；（2）先根据面积关系建立函数解析式，()S x =，然后利用二次函数性质求其最值.【小问1详解】由12PO =知1148OO PO ==.因为116A B AB ==，所以正四棱锥1111P A B C D -的体积()22311111=6224m ;33V A B PO ⋅⋅=⨯⨯=锥正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积()2231=68288m .V AB OO ⋅=⨯=柱所以仓库的容积()324288312m V V V =+=+=锥柱.【小问2详解】设1m PO x =，下部分的侧面积为()S x ，则14m OO x =，1111A O A B ==111()46)S x A B OO x =⋅==<<，设()()()222422363618324f x xx xx x =-=-+=--+，当218x =，即x =max ()324f x =，max ()S x =即当1PO 为2.20.如图，AB 是圆柱的底面直径，2AB =，PA 是圆柱的母线且2PA =，点C 是圆柱底面圆周上的点．（1）求圆柱的表面积；（2）证明：平面PBC ⊥平面PAC ；（3）若1AC =，D 是PB 的中点，点E 在线段PA 上，求CE ED +的最小值．【答案】（1）6π（2）证明见解析（3【解析】【分析】（1）根据圆柱求表面积公式即可求解.（2）先证⊥BC 平面PAC ，再利用面面垂直的判定定理判定即可.（3）先分析得将PAC 绕着PA 旋转到PC '，使其与PAB 共面，且C '在AB 的反向延长线上，当D ，E ，C '三点共线时，CE ED +的最小值为C D '，通过解三角形求C D '即可.【小问1详解】根据题意，圆柱的底面半径12ABr ==，圆柱的高2h PA ==，圆柱的上下底面积和为222π2πS r ==底，圆柱的侧面积为2πr =4πS h =⋅侧，所以圆柱的表面积为26πS S S =+=底侧【小问2详解】由题意可知，PA ⊥底面ABC ，⊂BC 底面ABC ，则PA BC ⊥，由直径所对的圆周角为直角，可得BC AC ⊥，又PA AC A = ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以⊥BC 平面PAC ，又因为⊂BC 平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAC 【小问3详解】将PAC 绕着PA 旋转到PC '，使其与PAB 共面，且C '在AB 的反向延长线上，当D ，E ，C '三点共线时，CE ED +的最小值为C D '，因为2PA =，2AB =，PA AB ⊥，PB ==2tan 12PA PBA AB ∠===，所以π4PBA ∠=，12BD BP ==，213BC BA AC '=+=+=，所以在三角形C BD '中，由余弦定理可得C D ='，所以CE ED +.21.已知点P 是边长为2的菱形ABCD 所在平面外一点，且点P 在底面ABCD 上的射影是AC 与BD 的交点O ，已知60BAD ∠=︒，PDB △是等边三角形.（1）求证：AC PD ⊥；（2）求点D 到平面PBC 的距离；（3）若点E 是线段AD 上的动点，问：点E 在何处时，直线PE 与平面PBC 所成的角最大？求出最大角的正弦值，并说明点E 此时所在的位置.【答案】（1）证明见解析（2）5（3）E 在线段AD 上靠近D 点的14处，4sin 5θ=【解析】【分析】（1）由题可得⊥PO 平面ABCD ，故⊥PO AC .根据菱形的性质可得BD ⊥AC ，再根据线面垂直的判定定理与性质定理即可证明；（2）根据题干数据结合D PBC P BDC V V --=即可求解；（3）由线面平行的判定定理可得AD ∥平面PBC ，可得E 到平面PBC 的距离即为D 到平面PBC 的距离h ，过E 作垂线⊥EF 平面PBC 交于点F ，要使θ最大，则需使PE 最小，此时PE AD ⊥，从而可求解.【小问1详解】因为点P 在底面ABCD 上的射影是AC 与BD 的交点O ，所以⊥PO 平面ABCD .因为AC ⊂平面ABCD ，所以⊥PO AC .因为四边形ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC .因为,,PO BD O PO BD ⋂=⊂平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD .因为BD ⊂平面PBD ，所以AC PD ⊥.【小问2详解】由题意可得ABD △、BCD △与PBD △都是边长为2的等边三角形，所以PO AO CO ===，122BDC S =⨯=△.所以PC =因为2BP BC ==，所以122PBC S ==△.设点D 到平面PBC 的距离为h ，由D PBC P BDC V V --=得1133PBC BDC S h S OP ⋅=⋅△△，=5h =.故点D 到平面PBC 的距离为5.【小问3详解】设直线PE 与平面PBC 所成的角为θ，AD BC AD ⇒∥∥ 平面PBC ，∴E 到平面PBC 的距离即为D 到平面PBC 的距离h .过E 作垂线⊥EF 平面PBC 交于点F ，则EPF θ=∠，此时sin EF PE θ=θ最大，则需使PE 最小，此时PE AD ⊥.由题意可知：1,OD OA ==，因为⊥PO 平面ABCD ，且PO =，所以PA ==，2PD ==，在PAD △中，由余弦定理可得：222cos24AP AD PD PAD AP AD +-∠==⋅，所以sin 4PAD ∠=，由面积相等11sin 22PAD S AP AD PAD AD PE =⋅∠=⋅ ，即1122242PE ⨯=⨯⨯，经计算得，2PE =12DE ==，则4sin 5θ=，此时E 在线段AD 上靠近D 点的14处.。
2020-2021上海同济初级中学高三数学上期中试卷附答案
2020-2021上海同济初级中学高三数学上期中试卷附答案一、选择题1．若不等式组0220y x y x y x y a ⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]0,1C ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭U2．已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，则n S 的最小正值为( ) A ．1SB ．19SC ．20SD ．37S3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为 A ．4B ．5C ．6D ．4或54．在ABC V 中，4ABC π∠=，AB =3BC =，则sin BAC ∠=（ ）A．10B．5CD5．已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A 、C 两地的距离为 （ ） A ．10 kmBkmC．D．6．在等差数列{}n a 中，351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于（ ） A ．16B ．26C ．8D ．137．已知AB AC ⊥u u u v u u u v ，1AB t=u u uv ，AC t =u u u v ，若P 点是ABC V 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则·PB PC u u u v u u u v 的最大值等于（ ）. A ．13B ．15C ．19D ．218．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 2cos 22A b cc+=，则ABC ∆的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形9．,x y 满足约束条件362000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为 ( ) A ．256B ．25C ．253D ．510．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC V 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形11．若函数1()(2)2f x x x x =+>-在x a =处取最小值，则a 等于（ ） A ．3B ．13+C ．12+D ．412．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin 23sin 0b A a B +=，3b c =，则ca的值为（ ）A ．1B ．33C ．55D ．77二、填空题13．若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的取值范围为_______．14．等差数列{}n a 中，1351,14,a a a =+=其前n 项和100n S =，则n=＿＿ 15．已知数列的前项和，则_______．16．若两个正实数,x y 满足141x y +=，且不等式234y x m m +<-有解，则实数m 的取值范围是____________ . 17．已知数列是各项均不为的等差数列，为其前项和，且满足()221n n a S n *-=∈N．若不等式()()11181nn n n a nλ++-+⋅-≤对任意的n *∈N 恒成立，则实数的取值范围是 ．18．某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,所需租赁费最少为__________元．19．设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0，则a ＝__________． 20．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知,,a b c 成等比数列，且22a c ac bc -=-，则sin cb B的值为________. 三、解答题21．在等比数列{}n b 中，公比为()01q q <<，13511111,,,,,,50322082b b b ∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）设()31n n c n b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T .22．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ﹣3cos （B+C ）=1． （1）求角A 的大小； （2）若△ABC 的面积S=5，b=5，求sinBsinC 的值．23．各项均为整数的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{(1)}nn a -•的前2n 项和2n T ．24．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ()3cos 23cos a C b c A =(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)若2a =，求ABC V 面积的最大值．25．数列{}n a 中，11a = ，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足21()2n n n S a S =⋅-．（1）求n S 的表达式； (2)设n b ＝21nS n +,求数列{}n b 的前n 项和n T ． 26．已知函数()[)22,1,x x af x x x++=∈+∞．（1）当12a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若对任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题解析：D 【解析】 【分析】要确定不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是否一个三角形，我们可以先画出0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…，再对a 值进行分类讨论，找出满足条件的实数a 的取值范围． 【详解】不等式组0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…表示的平面区域如图中阴影部分所示．由22x y x y =⎧⎨+=⎩得22,33A ⎛⎫⎪⎝⎭，由022y x y =⎧⎨+=⎩得()10B ,． 若原不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则直线x y a +=中a 的取值范围是(]40,1,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭U 故选：D 【点睛】平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围．解析：D 【解析】 【分析】由已知条件判断出公差0d <，对20191<-a a 进行化简，运用等差数列的性质进行判断，求出结果. 【详解】已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，则2019190a a a +<， 由数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，可得0d <，19193712029000,,0,370a a a a a S <=∴+<>>， 31208190a a a a ∴+=+<，380S <，则n S 的最小正值为37S 故选D 【点睛】本题考查了等差数列的性质运用，需要掌握等差数列的各公式并能熟练运用等差数列的性质进行解题，本题属于中档题，需要掌握解题方法.3．B解析：B 【解析】由{}n a 为等差数列，所以95532495S S a a d -=-==-，即2d =-， 由19a =，所以211n a n =-+， 令2110n a n =-+<，即112n >， 所以n S 取最大值时的n 为5， 故选B ．4．C解析：C 【解析】试题分析：由余弦定理得22923cos5,4b b π=+-⋅==.由正弦定理得3sin sin4BAC π=∠，解得sin 10BAC ∠=. 考点：解三角形.解析：D 【解析】 【分析】直接利用余弦定理求出A ，C 两地的距离即可． 【详解】因为A ，B 两地的距离为10km ，B ，C 两地的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°， 则A ，C 两地的距离为：AC 2＝AB 2+CB 2﹣2AB •BC cos ∠ABC ＝102+202﹣2110202⎛⎫⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭700．所以AC ＝km ． 故选D ． 【点睛】本题考查余弦定理的实际应用，考查计算能力．6．D解析：D 【解析】 【详解】试题分析：∵351024a a a ++=，∴410224a a +=，∴4102a a +=，∴1134101313()13()1322a a a a S ++===，故选D. 考点：等差数列的通项公式、前n 项和公式.7．A解析：A 【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，10)4(0,1)(1,4)AP =+=u u u r （，，即14)P （，，所以114)PB t=--u u u r （，，14)PC t =--u u u r （，，因此PB PC ⋅u u u r u u u r11416t t =--+117(4)t t =-+，因为144t t +≥=，所以PB PC ⋅u u u r u u u r 的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．8．A解析：A 【解析】 【分析】先根据二倍角公式化简，再根据正弦定理化角，最后根据角的关系判断选择. 【详解】 因为2cos22A b c c+=，所以1cosA 22b cc ++=,() ccosA b,sinCcosA sinB sin A C ,sinAcosC 0===+=,因此cosC 0C 2π==，,选A.【点睛】本题考查二倍角公式以及正弦定理，考查基本分析转化能力，属基础题.9．A解析：A 【解析】 【分析】先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数(0,0)z ax by a b =+>>何时取最大值，进而找到a b ，之间的关系式236,a b +=然后可得23123()(23)6a b a b a b+=++，化简变形用基本不等式即可求解。
同济大学《高等数学》第七版上、下册答案(详解)
0
+
无
-
-
yf(x)
1
极小值
↗
无
↗
0
拐点
↗
无
↗
-1
极大值
练习3-7
总习题三
x
(, 0)
0
f(x)
+
不存在
-
0
+
f(x)
↗
2
极大值
↘
极小值
↗
练习4-2
练习4-3
练习4-4
>>>
总习题四
练习5-1
练习5-2
练习5-3
练习5-4
总习题五
练习6-2
练习6-3
总习题六
练习7-1
练习7-2
练习7-3
练习7-4
↘
17/5
极小值
↗
6/5
拐点
↗
2
拐点
↗
x
0
(01)
1
y
+
+
0
-
-
-
y
0
-
-
-
0
+
yf(x)
0
拐点
↗
极大值↘Biblioteka 拐点↘x1
y
+
+
+
0
-
-
-
y
+
0
-
-
-
0
+
yf(x)
↗
拐点
↗
1
极大值
↘
拐点
↘
x
(1)
-1
(10)
0
高数期中考试及答案详解
高等数学期中试题一、填空题（每题3分，共15分）1、262sin0lim(1)x x x →+= ;2、设21y x ，则dy ；3、0000(2)()()2,lim h f x h f x f x h→+-'== ;4、曲线⎩⎨⎧=+=321t y t x 在2=t 处的切线方程为 ; 5、当0x →时，21cos 2x kx -，k = 。
二、选择题（每题3分，共15分）1、21()1x f x x 在1x 处为 （ ） A 无穷间断点； B 第一类可去间断点 ；C 第一类跳跃间断点 ；D 震荡间断点。
2、()1xf x x ，则(4)(0)f =（ ）A 4!-；B 4!；C 5!- ；D 5! 。
3、若()()f x f x =--，在()0,+∞内()()'0,''0f x f x >>，则在(),0-∞内（ ）.A ()()'0,''0f x f x <<；B ()()'0,''0f x f x <>；C ()()'0,''0f x f x ><；D ()()'0,''0f x f x >>.4.设3()(1)f x x x x =--，()f x 不可导点的个数为（ ）A 0；B 1；C 2 ；D 3 。
5.设()()()F x g x x ϕ=，()x ϕ在x a =处连续，但又不可导，又()'g a 存在，则()0g a =是()F x 在x a =处可导的（ ）条件.A 充要；B 充分非必要；C 必要非充分；D 非充分非必要三、求下列极限（20分）1．)tan 11(lim 20x x x x -→ ； 2. 2tan )1(lim 21x x x π-→；3.x x x x 10)cos sin 2(lim +→； 4．)2112111(lim n n +++++++∞→四、求下列导数或微分（20分）1．,2222x x x x y +++=求：y '2．)(,)(ln )(x f e x f y x f ⋅=二阶可导，求：dy dx3．33cos sin x t y t⎧=⎨=⎩求：224d ydx x π= 4．设)(x y y =是由方程arctan y x =所确定的函数，求：dy dx 。
同济版高数试卷及答案
模拟试卷一一、填空题（每小题3分，满分18分）1、若函数22),(y x xy y x f -=+,则),(y x f = .2、设函数z yxu 1)(=,则)1,1,1(d u = .3、交换积分次序:⎰⎰xy y x f x ln 0e 1d ),(d = .4、曲面xy z =包含在柱面122=+y x 内的面积可用二次．．积分表示为(不必具体计算) .5、已知∑∞=-=-112)1(n n n a ,∑∞=-=1125n n a ,则∑∞=1n n a = .6、母线平行于z 轴，准线为两曲面22219z y x +=+与x z y x =+-222 的交线的柱面方程为二、单项选择题（每小题3分，满分12分） 1、),(y x f z =在点),(y x 的偏导数xz∂∂及y z ∂∂存在是),(y x f 在该点可微的( ).A. 充分条件B. 必要条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件2、函数22y x z +=在点)2,1(处沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的方向导数为( ).A. 321-B. 321+C. 342+D. 342-3、若∑∞=-1)1(n n n x a 在1-=x 处收敛,则此级数在2=x 处( ).A. 条件收敛B. 绝对收敛C. 发散D.收敛性不能确定4、设D 为122≤+y x ；1D 为122≤+y x 且0≥x ,则使⎰⎰Dy x y x f d d ),(⎰⎰=1d d ),(2D y x y x f 成立的充分条件是( ).(A)),(),(y x f y x f =- (B)),(),(y x f y x f =- (C)),(),(y x f y x f -=-(D)),(),(y x f y x f -=-三、计算下列各题（每小题7分，满分49分）1、设),23(2xy y x f z -=,其中f 具有二阶连续偏导数,求x z ∂∂,y z ∂∂,yx z ∂∂∂2. 2、求曲面zx y z ln +=在点)1,1,1(0M 处的法线方程. 3、计算⎰⎰101d e d x yxy x .4、计算三重积分⎰⎰⎰Ωv z d ，其中Ω是由曲面222y x z --=与22y x z +=所围成的闭区域.5、求幂级数∑∞=+01n nn x 的收敛半径、收敛域及和函数.6、 将函数xx f 1=)(展开为)(3-x 的幂级数. 7、过点)1,2,1(且与直线1L ：312213-+=-+=-z y x ，2L ：⎩⎨⎧=+-=+-002z y x z y x 平行的平面方程。
同济二附中高三数学第一学期期中考试试题
同济二附中2007-2008学年度高三数学第一学期期中考试试题满分：150分，完成时间：120分钟．一、填空题（每小题4分，共44分）1、已知函数=+=-)(,12)(1x f x f x 则其反函数____ ．2、设集合=⋂<--=<≤-=N M x x x N x x M 集合则,}032|{}22|{2 ．3、函数()1log 1)(22--=x x x f 的定义域是_______________．4、双曲线14322=-x y 的渐近线方程是 . 5、4326lim 32+++∞→n n n = ．6、已知数列1，4,,21a a 成等差数列，4,,,,1321b b b 成等比数列，则221b a a +的值为 ．7、抛物线x ay =2的准线方程是x =2，则a 的值为 _.8、设二次函数5)(2++=ax x x f 对于任意t 都有)4()(t f t f --=，且在闭区间［m ，0］上有最大值5，最小值1，则m 的取值范围是 ． 9、下列四个命题：①满足zz 1=的复数只有i ±±,1；密封线内不要题答②若a ，b 是两个相等的实数，则i b a b a )()(++-是纯虚数； ③复数R z ∈的充要条件是z z =； ④复数范围内总有22z z =．其中正确的命题序号是 ．10、三角形ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为c b a 、、，若a cb c a +=+222且2:)13(:+=c a ，则角C 的大小为 ． 11、黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地面砖____________块． 二、选择题（每小题4分，共16分）12、31sin =x 是31arcsin =x 的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件 13、函数11y x=-的图象是（ ）14、从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为 （ ）A ．101 B ．103 C ．201 D ．20315、若α是锐角，316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πα,则αcos 的值等于（ ）A.6162- B. 6162+ C. 4132+ D. 3132- 三、解答题 （共90分）16、（本题共12分）已知函数||)(x a x f =的图象经过点（1，3），解不等式3)2(>xf ．17、（本题共14分）已知函数44()cos 2sin cos sin f x x x x x =-- （I ）求()f x 的最小正周期；（II ）若x ∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥02，π，求()f x 的最大值和最小值． 18、（本题共 14 分）已知椭圆C 的焦点F 1（－22，0）和F 2（22，0），长轴长为6，设直线2+=x y 交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标．19、（本题共 14 分）已知数列{}n x 中，51,x x 是方程012log 8log 222=+-x x 的两根，等差数列{}n y 满足n n x y 2log =，且其公差为负数， （1）求数列{}n y 的通项公式； （2）证明：数列{}n x 为等比数列；（3）设数列{}n x 的前n 项和为n S ，若对一切正整数n ，a S n <恒成立，求实数a 的取值范围.20、（本题共 18 分）某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元． （I ）问第几年开始获利？（II ）若干年后，有两种处理方案：第一种是当年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；第二种是当总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案合算？21、（本题共18分）设()x f 是定义在[-1，1]上的奇函数，当x ∈(]1,0时，()342x tx x f -= (t 为常数) (1)求()x f 的表达式；(2)当60≤<t 时, 用定义证明)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-66,66t t 上单调递增.； (3)当6>t 时，是否存在t 使()x f 的图象的最高点落在直线12=y 上.若存在，求出t 的值，若不存在，说明理由.同济二附中2007学年第一学期期中考试高三年级数学学科试题满分：150分，完成时间：120分钟． 命题人：卜荣利 审核人：王桂杰一、填空题（每小题4分，共44分）1、已知函数=+=-)(,12)(1x f x f x 则其反函数__)1(log 2-x ___ ．2、设集合=⋂<--=<≤-=N M x x x N x x M 集合则,}032|{}22|{2{}21|<<-x x．3、函数()1log 1)(22--=x x x f 的定义域是___()()+∞⋃,22,1____________．4、双曲线14322=-x y 的渐近线方程是 x y 23±= .5、4326lim 32+++∞→n n n = 0 ．6、已知数列1，4,,21a a 成等差数列，4,,,,1321b b b 成等比数列，则221b a a +的值为 . 25．7、抛物线2x ay =的准线方程是2x =，则a 的值为 8_.密封线内不要题答8、设二次函数5)(2++=ax x x f 对于任意t 都有)4()(t f t f --=，且在闭区间［m ，0］上有最大值5，最小值1，则m 的取值范围是 24-≤≤-m ． 9、下列四个命题：①满足zz 1=的复数只有i ±±,1；②若a ，b 是两个相等的实数，则i b a b a )()(++-是纯虚数；③复数R z ∈的充要条件是z z =；④复数范围内总有22z z =．其中正确的命题序号是 ③ ．10、三角形ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为c b a 、、，若ac b c a +=+222且2:)13(:+=c a ，则角C 的大小为 ．11、黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地面砖___42n + _________块．二、选择题（每小题4分，共16分）12、31sin =x 是31arcsin =x 的（ B ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件13、函数11y x=-的图象是（ A ）14、从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为 （ D ）A ． 101B ． 103C ． 201D ． 20315、若α是锐角，316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πα,则αcos 的值等于（ A ）A.6162- B. 6162+ C. 4132+ D. 3132-三、解答题 （共90分） 16、（本题共12分）已知函数||)(x a x f =的图象经过点（1，3），解不等式3)2(>xf ． 解：由题意有a=3 ∴f(x)=3|x|由333)2(|2|>>x xf 即即1|2|>x1|2|>xx<0 ∴ 或 x>0 1|2|->x即0 < x < 2或－2 < x < 0∴不等式3)2(>xf 的解集为)20()02(，，⋃-17、（本题共14分）已知函数44()cos 2sin cos sin f x x x x x =-- （I ）求f x ()的最小正周期． （II ）若x ∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥02，π，求f x ()的最大值，最小值解：44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--()()2222cos sin cos sin sin 2cos 2sin 2x x x x x x x=+--=-（I ）的最小正周期为π （II ） 02≤≤x ππππ()f x ∴的最大值为1，最小值为-218、（本题共 14 分）已知椭圆C 的焦点F 1（－22，0）和F 2（22，0），长轴长为6，设直线2+=x y 交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标．解：22,3==c a189222=-=-=∴c a b于是椭圆C 的方程为1922=+y x 将2+=x y 代入椭圆方程中，得02736102=++x x 设()()2211,,,y x B y x A ，则512,592,518212121=+-=+-=+y y x x x x 所以线段AB 的中点坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛-51,5919、（本题共 14 分）已知数列{}n x 中，51,x x 是方程012log 8log 222=+-x x 的两根，等差数列{}n y 满足n n x y 2log =，且其公差为负数，（1）求数列{}n y 的通项公式； （2）证明：数列{}n x 为等比数列；（3）设数列{}n x 的前n 项和为n S ，若对一切正整数n ，a S n <恒成立，求实数a 的取值范围.略解(1) n y x y x y n -=====7,2log ,6log 525121设{}n x 的公比为)0(>q q .易证（2）2122761==--+n n n n x x ，(3)12821112821121126<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n S 128lim =∞→n n S ，故所求a 的取值范围为128≥a .20、（本题共 18 分）某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元． （I ）问第几年开始获利？（II ）若干年后，有两种处理方案：第一种是当年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；第二种是当总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案合算？解：（I ）由题设知每年费用是以12为首项，4为公差的等差数列，设纯收入与年数的关系为f n () ()()5012168498f n n n ∴=-++++-⎡⎤⎣⎦…获利即为()0f n > ，即解之得： 即2.217.1n << 又n N ∈， ∴当3n =时即第3年开始获利（II ）（1）年平均收入当且仅当n =7时取“＝”（万元）即年平均收益，总收益为万元，此时n =7 （2）∴当总收益为1028110+=万元，此时10n =比较两种方案，总收益均为110万元，但第一种方案需7年，第二种方案需10年，故选择第一种．21、（本题共18分）设()x f 是定义在[-1，1]上的奇函数，当x ∈(]1,0时，()342x tx x f -= (t 为常数)． (1)求()x f 的表达式；(2)当60≤<t 时, 用定义证明)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-66,66t t 上单调递增.； (3)当6>t 时，是否存在t 使()x f 的图象的最高点落在直线12=y 上.若存在，求出t 的值，若不存在，说明理由. 略解(1) ()342x tx x f -=；(2) 证明略；66tx =时，)(x f 有最大值t t 692； )(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡66,0t 上单调递增.(用定义或导数均可)(3) 当6>t 时，166>t，由（2）得)(x f 在[]1,1-上单调递增， 令12)1(=f ，存在8=t ，满足条件.。