同济大学《高等数学》上册

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高等数学同济教材上下册

高等数学同济教材上下册高等数学是大学理工科专业的重要基础课程之一。

同济大学编写的高等数学教材从上册到下册内容丰富全面，旨在帮助学生全面掌握高等数学的基本概念、原理和方法。

本文将对高等数学同济教材上下册进行简要介绍。

上册内容主要包括函数与极限、一元函数微分学、一元函数积分学。

其中，“函数与极限”一章是高等数学的基础，涵盖了极限的概念、运算法则以及函数的连续性等内容。

学生通过学习此章可以加深对函数性质的理解，为后续章节打下坚实基础。

“一元函数微分学”一章主要介绍了导数的概念、性质和求导法则，并通过一些实例应用帮助学生理解导数的几何意义。

“一元函数积分学”一章则是导数的逆运算，介绍了不定积分的概念、基本性质和常用积分法等，通过解决一些微分方程的问题，培养学生的应用能力。

下册内容则进一步深入，包括多元函数微分学、多元函数积分学以及常微分方程。

其中，“多元函数微分学”一章介绍了多元函数的极限、连续性以及偏导数的概念和性质，为后续章节打下基础。

“多元函数积分学”一章则介绍了重积分、曲线积分和曲面积分的概念和计算方法，并通过具体的应用问题，帮助学生理解积分的几何意义。

“常微分方程”一章则介绍了常微分方程的基本概念和解法，通过求解一些具体的常微分方程问题，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力。

高等数学同济教材上下册内容丰富全面，配有大量习题和例题，供学生进行练习和巩固。

在学习过程中，学生可以结合课本中的例题进行思考和分析，理解数学概念和方法的应用。

通过反复的习题练习可以加深对知识点的理解和记忆，提高解题能力。

此外，高等数学同济教材上下册的排版整洁美观，语句通顺，表达流畅，给读者带来良好的阅读体验。

章节内容之间的联系和逻辑顺序清晰明了，帮助学生逐步建立起完整的高等数学知识体系。

综上所述，高等数学同济教材上下册是一本具有权威性、全面性和应用性的教材。

通过系统学习和实践，学生能全面掌握高等数学的基本理论和方法，为将来的学习和科研打下坚实的数学基础。

同济大学《高等数学》[上册]的答案解析

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练习 2-5
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总习题四
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练习 3-3
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练习 3-4
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练习 4-3
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练习 4-4
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《高等数学》(同济大学第七版)上册知识点总结

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim（1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。

（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。

（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)2.常见的等价无穷小当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1− cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α二．求极限的方法1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x )若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim 0=→x xx公式2e x x x =+→/10)1(lim3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n nn x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.∞∞型未定式定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则； )()(lim)()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在． 6．利用导数定义求极限基本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在）7.利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→11)()(1lim dx x f n kf n n k n （如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。

同济高数上知识点总结大一

同济高数上知识点总结大一同济高数上知识点总结高等数学作为大学中的一门重要基础课程，对于大一学生来说是相对困难的一门课程。

其中，同济大学的高等数学上册，作为全国各大高校普遍采用的教材之一，内容丰富、难度适中。

本文将对同济高数上的知识点进行总结与归纳，帮助大家更好地掌握这门课程。

1. 极限与连续1.1 极限的概念与性质极限的定义及计算方法，无穷小与无穷大的概念，确定极限的四则运算法则，夹逼定理。

1.2 函数的连续性函数极限存在的条件，连续函数的定义，连续函数的运算法则，介值定理及其应用。

2. 导数与微分2.1 导数的概念与性质导数的定义与解释，导数的几何意义，可导与连续的关系，四则运算法则，复合函数求导，反函数求导。

2.2 微分的概念与应用微分的定义与计算方法，微分中值定理，泰勒公式及其应用，函数的单调性与极值点。

3. 不定积分与定积分3.1 不定积分不定积分的定义，基本初等函数与不定积分，分部积分法，换元积分法，有理函数积分。

3.2 定积分定积分的概念与性质，定积分的计算方法，变上限积分，换元积分法，定积分的几何应用。

4. 微分方程4.1 一阶微分方程可分离变量的一阶微分方程，齐次方程，线性方程，伯努利方程，解法与应用。

4.2 高阶线性微分方程高阶线性微分方程的定义、标准形式及其解法，常系数非齐次线性微分方程。

5. 多元函数微分学5.1 多元函数的极限与连续多元函数极限的定义，连续性与可导性的关系，偏导数及其计算方法。

5.2 多元函数的方向导数与梯度方向导数的概念及计算方法，梯度的定义与性质，多元函数极值的判定条件。

总结：同济高数上册内容较为全面，主要包括极限与连续、导数与微分、不定积分与定积分、微分方程以及多元函数微分学等知识点。

通过系统的学习和掌握，可以帮助大家打好高等数学的基础，为后续的学习奠定坚实的基础。

以上是对同济高数上知识点的简要总结与归纳，希望能够对大家的学习有所帮助。

相信通过努力和不断的练习，大家一定能够掌握这门课程，取得优异的成绩。

同济大学高等数学(第七版)上册第一章函数 PPT课件

16 x2 0
(1) (2)
y 2x ln x 16 x2
y log5 (x2 1)
ln x 0 x [1, 4) (4, )

x0
x2 1 0 x (, 1) (1, )
函数定义可简单地归结为构成函数的两个要素： • 定义域 D f ：自变量的变化范围。 • 对应法则 f ：自变量与因变量的对应规则。
y y f (x)
f (x)
f (x)
-x o x
x
偶函数图形关于y轴对称,如：y=kx2
设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为奇函数;
y
y f (x)
-x f (x)
f (x)
o
xx
奇函数的图形关于原点对称，如：y=kx
奇、偶函数经四则运算后仍可在一定条件下保持相应的奇、偶性。
解： D( 7) 1, 5
D(1 2) 0,
D(D( x)) 1,
(5) 取最值函数
y max{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
y min{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
例.
已知函数
y
f
(
x)

2 1
x, x,
y
y f (x)
f (x2 )
f (x1)
o
x
I
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f ( x)在区间I上是单调减少的;

同济版高数大一上册知识点

同济版高数大一上册知识点音乐对于人们的生活有着重要的影响，它不仅仅是一种娱乐方式，更是一种艺术表达形式。

在现代社会中，音乐教育越来越受到重视，成为了学校教育的重要组成部分。

本文将会介绍同济版高数大一上册的知识点。

第一章：数列与极限在高等数学的学习中，数列与极限是一个重要的基础概念。

数列可以简单地理解为有序的数的排列，而极限则是指数列趋于无穷或趋于某个数的过程。

这一章主要介绍了数列的概念、数列的性质、常用数列以及极限的概念和性质等内容。

第二章：函数与连续函数是数学中的基本概念，它描述了两个变量之间的依赖关系。

本章介绍了函数的定义、函数的性质、一次函数与二次函数、指数与对数函数、三角函数等内容。

此外，还讲解了函数的连续性以及中值定理等重要知识点。

第三章：导数与微分导数是微积分的重要内容之一，它描述了函数的变化率。

本章介绍了导数的定义、导数的计算方法（包括基本函数的导数法则、复合函数的导数法则、隐函数的导数法则等）、高阶导数、微分的概念和性质等内容。

通过学习导数，我们可以更好地理解函数的特性和变化规律。

第四章：微分中值定理与导数的应用微分中值定理是微积分的重要定理之一，它建立了导数与函数几何性质之间的联系。

本章介绍了拉格朗日中值定理、柯西中值定理等微分中值定理的应用，以及导数的应用（包括函数的单调性与极值、函数图像的描绘等）。

这些知识点帮助我们更好地理解函数的性质和应用。

第五章：不定积分不定积分是微积分的重要内容，它是导数的逆运算。

本章介绍了不定积分的定义、基本积分法、分部积分法、换元积分法以及常见函数的原函数等内容。

通过学习不定积分，我们可以求解函数的原函数，进而求解定积分。

第六章：定积分及其应用定积分是微积分的重要内容之一，它描述了曲线下面的面积。

本章介绍了定积分的定义、定积分的计算方法（包括定积分的性质、牛顿—莱布尼茨公式等）、变限积分以及定积分的应用（包括曲线与曲面的面积计算、定积分的物理应用等）。

高等数学上册教材同济大学

高等数学上册教材同济大学教授回应：高等数学上册教材同济大学同济大学高等数学上册是一本经典的教材，为学习高等数学的同学们提供了全面且易于理解的知识。

本书内容丰富，涵盖了大学高等数学的基本概念、定理和方法，是理工科学生的必备参考书。

本文将从章节划分、内容概述和特点三个方面对该教材进行简要介绍。

一、章节划分同济大学高等数学上册共分为十二个章节，从基础的极限与连续开始，逐步引入不定积分、定积分、微分方程等内容，深入讲解了数学分析的基本概念和方法。

每个章节都具有前后连贯性，层层递进，为学生提供了一个循序渐进的学习路径。

二、内容概述高等数学上册的内容丰富多样。

首先，本书详细介绍了极限的概念与性质，在此基础上深入研究了函数的连续性和一致连续性。

接着，本书对一元函数的微分学和积分学进行了全面而深入的阐述，包括一元函数的导数、不定积分和定积分等。

此外，本书还介绍了一些常见的微分方程及其应用，如一阶线性微分方程和二阶线性微分方程等。

三、特点高等数学上册同济大学教材具有以下几个特点。

首先，本书的内容深入浅出，既包括具体的计算方法和例题分析，又注重引导学生对数学思想和原理的理解。

其次，本书强调理论与应用的结合，通过实际问题引入与数学知识相关的应用领域，能够提高学生的学习兴趣并激发他们的创新思维。

此外，高等数学上册的习题设计丰富多样，不仅包括了基础习题和思考题，还附有更加综合性和深入性的拓展习题，旨在培养学生的解决实际问题的能力。

总结起来，同济大学高等数学上册是一本内容详实、结构严谨的教材。

它以其独特的章节划分、全面而深入的内容概述和注重理论与应用结合的特点，为学生提供了一个系统学习高等数学知识的机会。

相信通过认真学习这本教材，同学们一定能够掌握高等数学的基本概念和方法，为将来的学习和研究打下坚实的基础。

高等数学同济第七版教材上下册

高等数学同济第七版教材上下册高等数学是大多数理工科专业学生都需要学习的一门重要课程，它是数学的一个分支，包括微积分、极限、导数、积分等内容。

同济大学出版社出版的《高等数学同济第七版教材》是一本经典教材，在许多大学都被广泛采用。

本文将对该教材的上下册进行简要介绍。

上册主要讲解微积分的基础知识和方法。

第一章是导言部分，介绍了微积分的起源和发展，以及微积分在科学和工程问题中的重要性。

第二章从实数的相关概念开始，包括实数的性质、大小比较、数列的极限等内容。

第三章介绍了函数的概念和性质，如函数的定义域、值域、单调性等。

第四章主要讲解极限的概念和运算法则，以及极限存在的判定方法。

第五章是导数的基本概念和计算方法，包括导数的定义、四则运算、复合函数求导等。

第六章讲解了微分的概念和性质，以及微分中值定理。

第七章介绍了一元函数的应用问题，如最值、曲线的凹凸性、函数的图象等。

下册主要讲解积分和微分方程等内容。

第八章以不定积分为开始，讲解了不定积分的基本性质和运算法则，以及常见的求积方法。

第九章是定积分的概念和计算，包括定积分的定义、性质、几何应用等。

第十章讲解了定积分的几何应用，如平面图形的面积、旋转体的体积等。

第十一章介绍了反常积分的概念和计算方法。

第十二章是微分方程的基本概念和解法，包括一阶常微分方程和高阶常微分方程。

第十三章讨论了线性微分方程、二阶齐次线性微分方程以及常系数线性齐次微分方程。

第十四章是常微分方程的应用，如生物学模型、电路模型等。

整本教材的特点是理论与实践相结合，理论部分系统而严谨，实例部分丰富而具体。

教材内容全面，涵盖了高等数学的各个方面，既有基础的原理和知识点，也有实际应用的例子和题目。

教材中的例题和习题都有详细的解答和推导过程，方便学生理解和掌握知识点。

此外，教材还附带有学习指导和练习辅导，帮助学生进行自主学习和巩固复习。

总之，同济大学出版社的《高等数学同济第七版教材》是一本经典的高等数学教材，内容丰富、系统、深入浅出。

高等数学教材上册同济五版

高等数学教材上册同济五版高等数学是大学本科数学专业的一门重要基础课程，被广泛应用于各个学科领域中。

同济大学编写的《高等数学教材上册同济五版》是一本经典教材，内容涵盖了数学分析、数学推理和数学应用等方面的知识。

本文将就该教材的特点、目录结构和部分重要内容进行介绍。

第一部分：数学分析数学分析是高等数学的核心内容，主要包括极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学和级数等知识点。

同济五版教材中，数学分析部分的讲解深入浅出，逻辑性强，以达到培养学生严密的数学分析思维能力为目标。

首先是极限与连续的讲解。

教材通过引入极限的概念，详细解释了数列极限、函数极限以及极限的运算性质，并结合实例进行讲解，使学生能够理解极限的概念及其在数学中的应用。

接着，教材对函数的连续性进行了系统的介绍，包括函数连续的定义、连续函数的性质以及高阶导数连续的概念，使学生能够理解函数的连续性及其在实际问题中的应用。

第二部分：数学推理数学推理是高等数学中重要的思维方法，通过演绎和归纳等推理方法，进行数学问题的解决。

同济五版教材在数学推理部分注重培养学生的逻辑思维和证明能力，通过引入命题与谓词逻辑、集合及映射等内容，激发学生对数学推理的兴趣，并让学生掌握运用数学推理进行问题解答的方法和技巧。

首先是命题与谓词逻辑的知识介绍。

教材系统地介绍了命题与谓词逻辑的基本概念、命题合成与分解的运算规则，以及命题逻辑和谓词逻辑的关系。

学生通过学习命题与谓词逻辑的知识，能够准确地表达数学问题，并通过逻辑推理的方法解决问题。

第三部分：数学应用高等数学的应用广泛涉及了物理、化学、工程、经济等各个学科领域。

同济五版教材在数学应用部分注重联系实际问题，将数学理论知识与实际问题相结合，培养学生运用数学分析的能力。

教材中的应用问题包括曲线的切线与法线、曲率与曲率半径、微分方程与应用问题等。

通过解析几何的方法，教材对应用问题进行了详细的阐述与解答，使学生能够理解数学理论在实际问题中的重要性，并培养学生运用数学方法解决实际问题的能力。

同济版高等数学(上册) 第一章课件

第一章函数、连续与极限
正弦函数
y sin x
y sin x
19
1. 基本初等函数
第一章函数、连续与极限
余弦函数
y cos x
y cos x
20
1. 基本初等函数
第一章函数、连续与极限
y tan x
的定义域是
上是奇函数（见图1-24）； y cot x 上是奇函数（见图1-25）；
a A 表示 a 不是集 A 的元素（读作 a 不属
于 A ）. 集合按照元素的个数分为有限集和无限集，不含任何元素的集合称为空集，记为 .
3
集合之间的关系及运算
定义 . 设有集合
第一章函数、连续与极限
A, B ,
记作
若
x A 必有
x B , 则称 A A B.
是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 若
注：在本书中所讨论的数集除特别说明外均为实数集.
5
1. 集合及其运算集合的基本运算有四种：并、交、差、补. 设 A, B 是两个集合.
第一章函数、连续与极限
由同时包含于 A 与 B 的元素构成的集合（见图 1-2），称为 A 与 B 的交集（简称交），记作 A B ，即 A B {x | x A 且 x B} ；由包含于
y

y x (α 是常数) Z y x 当时，的定义域是 R ；当 Z 时，y x 的定义域是 R\{0}
(１) 幂函数: （见图1-17）；
1 1 当时，y x 2 x 的定义域是 [0, ) ； 1 21 1 当时，y x 2 的定义域是 (0, ) , 2 x

高等数学同济教材上册

高等数学同济教材上册高等数学是一门重要的学科，它是数学学科中的一支，代表了数学上的一种高级水平。

在大学数学课程中，高等数学是必修课之一，对学生具有重要的培养意义。

同济教材是我国一流的教材之一，被广大学生和教师所使用。

本文将从教材的结构、内容、特点以及学习方法等方面进行论述，以便读者更好地了解和掌握这门课程。

一、教材结构和内容同济教材的高等数学上册主要包括函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数应用、不定积分、定积分与定义、定积分的计算、定积分的几何应用、定积分的物理应用等章节。

1. 函数与极限部分涉及一元函数、多元函数及其极限的概念和性质，重点介绍了函数的极限和连续的概念，并探讨了函数的极限存在准则、无穷小量和无穷大量的性质。

2. 导数与微分部分介绍了函数的导数和微分的概念以及它们的计算方法和性质，其中包括一元函数的导数与微分、隐函数与参数方程的导数计算等内容。

3. 微分中值定理与导数应用部分介绍了拉格朗日中值定理、柯西中值定理以及罗尔中值定理等中值定理的概念和应用，并介绍了函数的单调性和曲线的凸凹性的判定方法。

4. 不定积分部分着重介绍了不定积分概念和基本积分公式，并且通过一些实例演示了不定积分的基本方法。

5. 定积分与定义部分从黎曼和定积分的定义出发，介绍了定积分的性质、计算方法以及几何和物理应用。

6. 定积分的计算部分介绍了定积分的各种计算方法，包括换元积分法、分部积分法、定积分的变限积分与反常积分等。

7. 定积分的几何应用部分涉及到定积分在平面图形的面积、曲线弧长以及旋转体体积等几何应用。

8. 定积分的物理应用部分涉及到质心、转动惯量、重心以及质量分布等物理问题的定积分应用。

二、教材特点同济教材具有以下几个特点。

首先，同济教材注重理论与实践相结合。

教材中既介绍了数学的基本理论，又给出了大量的例子和习题供学生练习，力求让学生将理论应用于实际问题中，提高实际解决问题的能力。

其次，同济教材突出了数学的逻辑性和严密性。

同济高等数学第三版上册答案详解

同济高等数学第三版上册答案详解同济大学高等数学第三版上册是比较有名的一本数学教材，最新出版的三版包含了更多的知识和技能。

下面是同济高等数学第三版上册答案详解：第一章：实数和函数1.练习题：1、设x与y为实数，请计算：（1）（2x-3)/(x+2y) = 2x/ (x+2y) - 3/ (x+2y)（2）x+|y|-2y = x-y+2（|y|-|y|）=x-y2、如果a>0,b>0，那么：（1）1/a +1/b = 1/a + 1/b =(ab)/ab=1（2）(a-b)/ab = a/ab - b/ab = (a/b) -13、D=(a +b )2 /4，那么，D/(ab)= (a+b)2/4(ab) =(a+b)/2 2.定理：1、对任何实数x，均有：x-x=02、若a＞b，则a-b＞03、若a＞0，b＞0，则a/b＞1第二章：多项式、函数和系数1.练习题：1、如果a+b=3,且a*b=2，那么：（1）a2 +b2 = 9+4=13（2）a3 + b3 = 8+1=92、若多项式P(x)=2x3+7x2-3x+20，则：（1）P（1）= 2*1^3+7*1^2-3*1+20=26（2）P（-2）=2*(-2)^3+7*(-2)^2-3*(-2)+20=-182.定理：1、若系数a+b=3，则a*b=3-a2、若多项式P(x)=ax3 +bx2 +cx +d，则P(x+h)=a(x+h)3 +b(x+h)2 +c(x+h) +d第三章：极坐标与向量1.练习题：1、如果向量m=(-2,4)，则（1）|m|=根号(-2)^2+4^2=根号20=4.47213（2）m方向的极坐标r=4.47213，O=45°2、若向量m=(3,-3)，则（1）向量m的极坐标r=根号3^2 +(-3)^2 =根号18 =4.24264，\theta=135°（2）向量m在极坐标中的表示法为(4.24264,135°)2.定理：1、若向量a=(a1,a2)和向量b=(b1,b2)，则向量a+b=(a1+b1,a2+b2)2、若向量a=(a1,a2)，则|a|=根号a1^2 +a2^2。

同济大学《高等数学》上册答案

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总习题二
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练习 3-6
x
( 2)
y
y
+
yf(x) ↘
2 0 +
17/5
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练习 3-5
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同济大学《高等数学》上册答案
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练习 2-3
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同济大学《高等数学》上册答案
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高等数学第六版(同济大学)[上册]课后习题答案解析

高等数学第六版上册课后习题答案及解析第一章习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式.解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C . 证明因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明 (1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B );(2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ). 证明因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ⇔ y ∈f (A )⋃f (B ), 所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ). (2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射. 又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2. 因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射. 5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明: (1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )), 所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;解由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-.(2)211xy -=;解由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞). (3)211x x y --=;解由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1]. (4)241x y -=; 解由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2). (5)x y sin =;解由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞). (6) y =tan(x +1);解由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2,⋅ ⋅ ⋅).(7) y =arcsin(x -3);解由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4]. (8)xx y 1arctan 3+-=;解由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3). (9) y =ln(x +1);解由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞). (10)xe y 1=.解由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？ (1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ; (2) f (x )=x , g (x )=2x ; (3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x . 解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x . (3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同. (4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ.9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-∞, 1);(2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时,0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数x x y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的.(2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有 0ln)()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2. 因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加.11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明: (1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数. 如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2); (2)y =3x 2-x 3;(3)2211x x y +-=; (4)y =x (x -1)(x +1); (5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=. 解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数. (2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数.13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期: (1)y =cos(x -2);解是周期函数, 周期为l =2π. (2)y =cos 4x ;解是周期函数, 周期为2π=l .(3)y =1+sin πx ;解是周期函数, 周期为l =2. (4)y =x cos x ; 解不是周期函数. (5)y =sin 2x .解是周期函数, 周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误!未指定书签。

同济大学高数上册知识点

高等数学上册知识点一、函数与极限（一）函数1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数； 4、函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续)()(lim 00x f x f xx =→第一类：左右极限均存在.间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论.（二）极限 1、定义 1）数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim2）函数极限εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时，当左极限：)(lim )(00x f x f xx -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f x x +→+=)()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、极限存在准则 1）夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞→lim2）单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、无穷小（大）量1）定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量.2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔;Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换）4、求极限的方法 1）单调有界准则； 2）夹逼准则；3）极限运算准则及函数连续性；4）两个重要极限：a) 1sin lim 0=→x xx b) e xx xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5）无穷小代换：（0→x ） a)xx x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b) 221~cos 1x x -c)x e x ~1- （a x a x ln ~1-）d) x x ~)1ln(+ （axx a ln ~)1(log +）e) x x αα~1)1(-+二、导数与微分（一）导数1、定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+ 函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔ 2、几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率.3、可导与连续的关系：4、求导的方法1）导数定义； 2）基本公式； 3）四则运算；4）复合函数求导（链式法则）； 5）隐函数求导数；5、高阶导数1）定义：⎪⎭⎫⎝⎛=dx dy dx d dx y d 22 2）Leibniz 公式：()∑=-=nk k n k k n n v u C uv 0)()()( （二）微分1）定义：)()()(00x o x A x f x x f y ∆+∆=-∆+=∆，其中A与x ∆无关.2）可微与可导的关系：可微⇔可导，且dx x f x x f dy )()(00'=∆'=三、微分中值定理与导数的应用（一）中值定理1、 Rolle 罗尔定理：若函数)(x f 满足：1）],[)(b a C x f ∈； 2）),()(b a D x f ∈； 3）)()(b f a f =；则0)(),,(='∈∃ξξf b a 使.2、 Lagrange 拉格朗日中值定理：若函数)(x f 满足：1）],[)(b a C x f ∈； 2）),()(b a D x f ∈；则))(()()(),,(a b f a f b f b a -'=-∈∃ξξ使.3、 Cauchy 柯西中值定理：若函数)(),(x F x f 满足：1）],[)(),(b a C x F x f ∈； 2）),()(),(b a D x F x f ∈；3）),(,0)(b a x x F ∈≠'则)()()()()()(),,(ξξξF f a F b F a f b f b a ''=--∈∃使（二）洛必达法则（三） T aylor 公式（四）单调性及极值1、单调性判别法：],[)(b a C x f ∈，),()(b a D x f ∈，则若0)(>'x f ，则)(x f 单调增加；则若0)(<'x f ，则)(x f 单调减少.2、极值及其判定定理：a) 必要条件：)(x f 在0x 可导，若0x 为)(x f 的极值点，则0)(0='x f .b) 第一充分条件：)(x f 在0x 的邻域内可导，且0)(0='x f ，则①若当0x x <时，0)(>'x f ，当0x x >时，0)(<'x f ，则0x 为极大值点；②若当0x x <时，0)(<'x f ，当0x x >时，0)(>'x f ，则0x 为极小值点；③若在0x 的两侧)(x f '不变号，则0x 不是极值点.c) 第二充分条件：)(x f 在0x 处二阶可导，且0)(0='x f ，0)(0≠''x f ，则①若0)(0<''x f ，则0x 为极大值点；②若0)(0>''x f ，则0x 为极小值点.3、凹凸性及其判断，拐点 1）)(x f 在区间I 上连续，若2)()()2(,,212121x f x f x x f I x x +<+∈∀，则称)(x f 在区间I 上的图形是凹的；若2)()()2( ,,212121x f x f x x f I x x +>+∈∀，则称)(x f 在区间I 上的图形是凸的.2）判定定理：)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 上有一阶、二阶导数，则a) 若0)(),,(>''∈∀x f b a x ,则)(x f 在],[b a 上的图形是凹的；b) 若0)(),,(<''∈∀x f b a x ,则)(x f 在],[b a 上的图形是凸的.3）拐点：设)(x f y =在区间I 上连续，0x 是)(x f 的内点，如果曲线)(x f y =经过点))(,(00x f x 时，曲线的凹凸性改变了，则称点))(,(00x f x 为曲线的拐点. （五）不等式证明1、利用微分中值定理；2、利用函数单调性；3、利用极值（最值）. （六）方程根的讨论1、连续函数的介值定理；2、 Rolle 定理；3、函数的单调性；4、极值、最值；5、凹凸性. （七）渐近线1、铅直渐近线：∞=→)(lim x f ax ，则a x =为一条铅直渐近线； 2、水平渐近线：b x f x =∞→)(lim ，则b y =为一条水平渐近线； 3、斜渐近线：k xx f x =∞→)(lim b kx x f x =-∞→])([lim 存在，则b kx y +=为一条斜渐近线. （八）图形描绘四、不定积分（一）概念和性质1、原函数：在区间I 上，若函数)(x F 可导，且)()(x f x F ='，则)(x F 称为)(x f 的一个原函数.2、不定积分：在区间I 上，函数)(x f 的带有任意常数的原函数称为)(x f 在区间I 上的不定积分. 3、基本积分表（P188，13个公式）； 4、性质（线性性）.（二）换元积分法1、第一类换元法（凑微分）：[])()(d )()]([x u du u f x x x f ϕϕϕ=⎰⎰='2、第二类换元法（变量代换）：[])(1d )()]([)(x t t t t f dx x f -='=⎰⎰ϕϕϕ（三）分部积分法：⎰⎰-=vdu uv udv（四）有理函数积分 1、“拆”；2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）.五、定积分（一）概念与性质：1、定义：∑⎰=→∆=niiibaxfdxxf1)(lim)(ξλ2、性质：（7条）性质7 （积分中值定理）函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则],[b a ∈∃ξ，使))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ （平均值：ab dx x f f ba-=⎰)()(ξ）（二）微积分基本公式（N —L 公式） 1、变上限积分：设⎰=Φxadt t f x )()(，则)()(x f x =Φ'推广：)()]([)()]([)()()(x x f x x f dt t f dx d x x ααβββα'-'=⎰ 2、 N —L 公式：若)(x F 为)(x f 的一个原函数，则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰（三）换元法和分部积分 1、换元法：⎰⎰'=βαϕϕt t t f dx x f bad )()]([)(2、分部积分法：[]⎰⎰-=bab abavdu uv udv（四）反常积分 1、无穷积分：⎰⎰+∞→+∞=tat a dx x f dx x f )(lim )( ⎰⎰-∞→∞-=btt bdx x f dx x f )(lim)(⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=0)()()(dx x f dx x f dx x f2、瑕积分：⎰⎰+→=btat ba dx x f dx x f )(lim )(（a 为瑕点）⎰⎰-→=tabt badx x f dx x f )(lim )(（b 为瑕点）两个重要的反常积分：1) ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤∞+=-∞+⎰1 ,11,d 1p p a p x x p a p 2) ⎪⎩⎪⎨⎧≥∞+<--=-=--⎰⎰1,1 ,1)()(d )(d 1q q q a b x b x a x x qb a q b a q六、定积分的应用（一）平面图形的面积1、直角坐标：⎰-=badx x f x fA )]()([122、极坐标：⎰-=βαθθϕθϕd A )]()([212122（二）体积1、旋转体体积：a)曲边梯形x b x a x x f y ,,),(===轴，绕x 轴旋转而成的旋转体的体积：⎰=ba x dx x f V )(2π b)曲边梯形x b x a x x f y ,,),(===轴，绕y 轴旋转而成的旋转体的体积：⎰=bay dx x xf V )(2π （柱壳法）2、平行截面面积已知的立体：⎰=badx x A V )(（三）弧长1、直角坐标：[]⎰'+=badx x f s 2)(12、参数方程：[][]⎰'+'=βαφϕdt t t s 22)()( 3、极坐标：[][]⎰'+=βαθθρθρd s 22)()(七、微分方程（一）概念1、微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程.阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.2、解：使微分方程成为恒等式的函数.通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同.特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.（二）变量可分离的方程dx x f dy y g )()(=，两边积分⎰⎰=dx x f dy y g )()(（三）齐次型方程)(x y dx dy ϕ=，设x y u =，则dx dux u dx dy +=；或)(y x dy dx φ=，设y x v =，则dydv y v dy dx += （四）一阶线性微分方程)()(x Q y x P dxdy=+ 用常数变易法或用公式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dxx P )()()(（五）可降阶的高阶微分方程1、)()(x f y n =，两边积分n 次；2、),(y x f y '=''（不显含有y ），令p y ='，则p y '=''；3、),(y y f y '=''（不显含有x ），令p y ='，则dy dp p y =''（六）线性微分方程解的结构1、21,y y 是齐次线性方程的解，则2211y C y C +也是；2、21,y y 是齐次线性方程的线性无关的特解，则2211y C y C +是方程的通解；3、*2211y y C y C y ++=为非齐次方程的通解，其中21,y y 为对应齐次方程的线性无关的解，*y 非齐次方程的特解.（七）常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程：0=+'+''qy y p y特征方程：02=++q pr r ，特征根： 21,r r（八）常系数非齐次线性微分方程 )(x f qy y p y =+'+''1、)()(x P e x f m xλ=设特解)(*x Q e x y m x k λ=，其中 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=是重根是一个单根不是特征根, λ, λ, λk 2102、()x x P x x P e x f n l x ωωλsin )(cos )()(+=设特解[]x x R x x R e x y m m x k ωωλsin )(cos )()2()1(*+=，其中 },max{n l m =，⎪⎩⎪⎨⎧++=是特征根不是特征根i i k ωλωλ ,1 ,0友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。

高等数学同济上册教材

高等数学同济上册教材高等数学是大学数学的一门重要课程，它主要包括微积分和数学分析两个部分。

同济大学出版社的《高等数学同济上册教材》是该领域的重要参考书籍，广泛应用于全国各高校的高等数学课程。

本文将对该教材进行综合评述，展示其学术价值和应用效果。

一、教材概述《高等数学同济上册教材》由同济大学数学系编写，系统全面地介绍了高等数学的基本理论和方法。

教材分为十章，包括函数与极限、导数与微分、微分中值定理与高阶导数、不定积分、定积分与函数的应用等内容。

每一章节都有清晰的目录和详细的讲解，同时配备了大量的例题和习题，有力地帮助学生理解和掌握数学概念和解题方法。

二、教学特点1. 结构合理：教材按照知识点的逻辑关系进行组织，并且采用渐进式的难度设计。

每一章都以基础概念和定理为起点，逐步引入更复杂的内容。

这样的结构安排有助于学生建立起数学知识的系统框架。

2. 理论与实践结合：教材注重理论与实践的结合，通过大量的例题和习题，帮助学生应用所学知识解决实际问题。

这种联系实践的方式能够培养学生的数学建模和问题解决能力。

3. 强调思维方法：教材重视培养学生的数学思维方法，注重教学的启发性和启发式思维的培养。

教材中的许多例题和习题都要求学生进行推理和归纳，培养了学生的逻辑思维和分析问题的能力。

三、教学效果《高等数学同济上册教材》的应用效果显著。

首先，教材的设计符合大学高等数学课程的知识体系，能够较好地满足教学需求。

其次，教材篇幅适中，内容全面深入，有助于学生对数学理论进行全面了解。

再次，教材中的例题和习题能够循序渐进地帮助学生巩固掌握所学知识。

最后，教材的语言简练明了，图文并茂，能够提高学生的学习兴趣和阅读体验。

四、教材的优势与不足《高等数学同济上册教材》的优势在于结构合理、理论与实践结合、思维方法培养等方面，对于学生的数学学习具有积极影响。

然而，教材在某些章节的难度设计上可能存在一定的不平衡，需要教师对学生进行适当的引导和解答。

同济高等数学系列教材上册

同济高等数学系列教材上册同济大学数学系列教材是国内著名的高等数学教材，被广大大学生和中学生所使用。

本文将对同济高等数学系列教材上册进行介绍，并从内容、特点和应用等方面进行分析。

一、教材内容同济高等数学系列教材上册主要包含以下内容：1. 数列与极限：介绍了数列与数列极限的基本概念，包括数列极限的定义、性质和计算方法等。

2. 函数与极限：介绍了函数与函数极限的相关知识，包括函数的连续性、导数和微分等内容。

3. 一元函数微分学：深入讲解了一元函数的微分学知识，包括高阶导数、泰勒公式以及函数的应用等。

4. 一元函数积分学：介绍了一元函数的积分学知识，包括不定积分、定积分以及积分应用等内容。

5. 二重积分与曲线积分：对二重积分和曲线积分进行了详细讲解，包括二重积分的计算方法和应用、曲线积分的概念和性质等。

6. 空间解析几何：讲解了空间解析几何的基本概念和计算方法，包括空间曲线、曲面以及平面与直线的位置关系等。

二、教材特点同济高等数学系列教材上册具有以下特点：1. 系统性强：教材内容从基础知识到高阶应用进行有机衔接，构成了一个完整的体系，方便学生全面理解和掌握数学知识。

2. 理论与应用相结合：教材注重理论与实际应用的结合，通过大量的例题和实例分析，帮助学生将抽象的理论知识与实际问题相联系，培养解决实际问题的能力。

3. 示例丰富：教材中提供了大量的例题和习题，不仅覆盖了各个知识点的练习，还涉及了不同难度层次的题目，有助于学生的巩固和拓展。

4. 表达清晰：教材中的文字表达清晰简明，符合数学逻辑，避免了晦涩难懂的情况，易于学生阅读和理解。

三、教材应用同济高等数学系列教材上册广泛应用于大学和中学数学教学中，具有以下几个方面的应用：1. 大学课程教材：作为大学数学课程的教材，同济高等数学系列教材上册准确展现了高等数学的基本原理和应用，帮助学生建立起扎实的数学基础。

2. 高考备考资料：同济高等数学系列教材上册内容丰富，涵盖了高考数学考试的知识要点和题型，为高中学生备考提供了重要的参考资料。

同济大学高数上册知识点

高等数学上册知识点一、函数与极限（一）函数1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数； 4、函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续)()(lim 00x f x f xx =→第一类：左右极限均存在.间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论.（二）极限 1、定义 1）数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim2）函数极限εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时，当左极限：)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f xx +→+= )()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、极限存在准则 1）夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞→lim2）单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、无穷小（大）量1）定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔;Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、求极限的方法 1）单调有界准则； 2）夹逼准则；3）极限运算准则及函数连续性； 4）两个重要极限：a) 1sin lim 0=→xx x b) e x x xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5）无穷小代换：（0→x ） a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b) 221~cos 1x x -c) x e x~1- （a x a xln ~1-）d) x x ~)1ln(+ （axx a ln ~)1(log +）e) x x αα~1)1(-+二、导数与微分（一）导数1、定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+ 函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔2、几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率.3、可导与连续的关系：4、求导的方法1）导数定义； 2）基本公式； 3）四则运算；4）复合函数求导（链式法则）； 5）隐函数求导数； 6）参数方程求导；7）对数求导法. 5、高阶导数1）定义：⎪⎭⎫⎝⎛=dx dy dx d dx y d 22 2）Leibniz 公式：()∑=-=nk k n k k n n v u C uv 0)()()( （二）微分1）定义：)()()(00x o x A x f x x f y ∆+∆=-∆+=∆，其中A 与x ∆无关. 2）可微与可导的关系：可微⇔可导，且dx x f x x f dy )()(00'=∆'=三、微分中值定理与导数的应用（一）中值定理1、 Rolle 罗尔定理：若函数)(x f 满足：1）],[)(b a C x f ∈； 2）),()(b a D x f ∈； 3）)()(b f a f =；则0)(),,(='∈∃ξξf b a 使.2、 Lagrange 拉格朗日中值定理：若函数)(x f 满足：1）],[)(b a C x f ∈； 2）),()(b a D x f ∈；则))(()()(),,(a b f a f b f b a -'=-∈∃ξξ使.3、 Cauchy 柯西中值定理：若函数)(),(x F x f 满足：1）],[)(),(b a C x F x f ∈； 2）),()(),(b a D x F x f ∈；3）),(,0)(b a x x F ∈≠' 则)()()()()()(),,(ξξξF f a F b F a f b f b a ''=--∈∃使（二）洛必达法则（三） T aylor 公式（四）单调性及极值1、单调性判别法：],[)(b a C x f ∈，),()(b a D x f ∈，则若0)(>'x f ，则)(x f 单调增加；则若0)(<'x f ，则)(x f 单调减少.2、极值及其判定定理：a) 必要条件：)(x f 在0x 可导，若0x 为)(x f 的极值点，则0)(0='x f . b) 第一充分条件：)(x f 在0x 的邻域内可导，且0)(0='x f ，则①若当0x x <时，0)(>'x f ，当0x x >时，0)(<'x f ，则0x 为极大值点；②若当0x x <时，0)(<'x f ，当0x x >时，0)(>'x f ，则0x 为极小值点；③若在0x 的两侧)(x f '不变号，则0x 不是极值点.c) 第二充分条件：)(x f 在0x 处二阶可导，且0)(0='x f ，0)(0≠''x f ，则①若0)(0<''x f ，则0x 为极大值点；②若0)(0>''x f ，则0x 为极小值点.3、凹凸性及其判断，拐点1）)(x f 在区间I 上连续，若2)()()2( ,,212121x f x f x x f I x x +<+∈∀，则称)(x f 在区间I 上的图形是凹的；若2)()()2( ,,212121x f x f x x f I x x +>+∈∀，则称)(x f 在区间I 上的图形是凸的.2）判定定理：)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 上有一阶、二阶导数，则 a) 若0)(),,(>''∈∀x f b a x ,则)(x f 在],[b a 上的图形是凹的； b) 若0)(),,(<''∈∀x f b a x ,则)(x f 在],[b a 上的图形是凸的.3）拐点：设)(x f y =在区间I 上连续，0x 是)(x f 的内点，如果曲线)(x f y =经过点))(,(00x f x 时，曲线的凹凸性改变了，则称点))(,(00x f x 为曲线的拐点. （五）不等式证明1、利用微分中值定理；2、利用函数单调性；3、利用极值（最值）. （六）方程根的讨论1、连续函数的介值定理；2、 Rolle 定理；3、函数的单调性；4、极值、最值；5、凹凸性. （七）渐近线1、铅直渐近线：∞=→)(lim x f ax ，则a x =为一条铅直渐近线； 2、水平渐近线：b x f x =∞→)(lim ，则b y =为一条水平渐近线； 3、斜渐近线：k xx f x =∞→)(lim b kx x f x =-∞→])([lim 存在，则b kx y +=为一条斜渐近线.（八）图形描绘四、不定积分（一）概念和性质1、原函数：在区间I 上，若函数)(x F 可导，且)()(x f x F ='，则)(x F 称为)(x f 的一个原函数.2、不定积分：在区间I 上，函数)(x f 的带有任意常数的原函数称为)(x f 在区间I 上的不定积分.3、基本积分表（P188，13个公式）；4、性质（线性性）.（二）换元积分法1、第一类换元法（凑微分）：[])()(d )()]([x u du u f x x x f ϕϕϕ=⎰⎰='2、第二类换元法（变量代换）：[])(1d )()]([)(x t t t t f dx x f -='=⎰⎰ϕϕϕ（三）分部积分法：⎰⎰-=vdu uv udv（四）有理函数积分 1、“拆”；2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）.五、定积分（一）概念与性质：1、定义：∑⎰=→∆=ni i i bax f dx x f 1)(lim )(ξλ2、性质：（7条）性质7 （积分中值定理）函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则],[b a ∈∃ξ，使))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ （平均值：ab dx x f f ba-=⎰)()(ξ）（二）微积分基本公式（N —L 公式） 1、变上限积分：设⎰=Φxadt t f x )()(，则)()(x f x =Φ'推广：)()]([)()]([)()()(x x f x x f dt t f dx d x x ααβββα'-'=⎰ 2、 N —L 公式：若)(x F 为)(x f 的一个原函数，则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰（三）换元法和分部积分 1、换元法：⎰⎰'=βαϕϕt t t f dx x f bad )()]([)(2、分部积分法：[]⎰⎰-=bab abavdu uv udv（四）反常积分 1、无穷积分：⎰⎰+∞→+∞=tat a dx x f dx x f )(lim )( ⎰⎰-∞→∞-=btt bdx x f dx x f )(lim)(⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=0)()()(dx x f dx x f dx x f2、瑕积分：⎰⎰+→=btat ba dx x f dx x f )(lim )(（a 为瑕点）⎰⎰-→=tabt badx x f dx x f )(lim )(（b 为瑕点）两个重要的反常积分：1) ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤∞+=-∞+⎰1 ,11,d 1p p a p x x p a p 2) ⎪⎩⎪⎨⎧≥∞+<--=-=--⎰⎰1,1 ,1)()(d )(d 1q q q a b x b xa x x qb a q b a q六、定积分的应用（一）平面图形的面积1、直角坐标：⎰-=badx x f x fA )]()([122、极坐标：⎰-=βαθθϕθϕd A )]()([212122（二）体积1、旋转体体积：a)曲边梯形x b x a x x f y ,,),(===轴，绕x 轴旋转而成的旋转体的体积：⎰=bax dx x f V )(2πb)曲边梯形x b x a x x f y ,,),(===轴，绕y 轴旋转而成的旋转体的体积：⎰=bay dx x xf V )(2π （柱壳法）2、平行截面面积已知的立体：⎰=badx x A V )(（三）弧长1、直角坐标：[]⎰'+=badx x f s 2)(12、参数方程：[][]⎰'+'=βαφϕdt t t s 22)()( 3、极坐标：[][]⎰'+=βαθθρθρd s 22)()(七、微分方程（一）概念1、微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程. 阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.2、解：使微分方程成为恒等式的函数.通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同. 特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.（二）变量可分离的方程dx x f dy y g )()(=，两边积分⎰⎰=dx x f dy y g )()(（三）齐次型方程)(x y dx dy ϕ=，设x y u =，则dxdu x u dx dy +=；或)(y x dy dx φ=，设y x v =，则dy dv y v dy dx +=（四）一阶线性微分方程)()(x Q y x P dxdy =+ 用常数变易法或用公式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()(（五）可降阶的高阶微分方程1、)()(x f y n =，两边积分n 次；2、),(y x f y '=''（不显含有y ），令p y ='，则p y '=''；3、),(y y f y '=''（不显含有x ），令p y ='，则dy dp p y =''（六）线性微分方程解的结构1、21,y y 是齐次线性方程的解，则2211y C y C +也是；2、21,y y 是齐次线性方程的线性无关的特解，则2211y C y C +是方程的通解；3、*2211y y C y C y ++=为非齐次方程的通解，其中21,y y 为对应齐次方程的线性无关的解，*y 非齐次方程的特解.（七）常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程：0=+'+''qy y p y特征方程：02=++q pr r ，特征根： 21,r r（八）常系数非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+'+''1、)()(x P e x f m x λ=设特解)(*x Q e x y m x k λ=，其中 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=是重根是一个单根不是特征根, λ, λ, λk 210 2、()x x P x x P e x f n l x ωωλsin )(cos )()(+=设特解[]x x R x x R e x y m m x k ωωλsin )(cos )()2()1(*+=，其中 } ,max{n l m =，⎪⎩⎪⎨⎧++=是特征根不是特征根i i k ωλωλ ,1 ,0。

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